Исследование динамики нелинейных гидравлических систем автоматического управления тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.11 ВАК РФ

Казахский государственный национальный университет имени аль-Фарабн

.На,правах рукоппгп

ГУСМАНОВА ФАРИДА РАВИЛОВНА

Исследование динамики нелинейных гидравлических систем автоматического управления

01.01.11 - Системный анализ п автоматическое управление

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата фпзпко-математпческпх наук

АЛМАТ Ы, 1996

Работа выполнена на кафедре математической кибернетики Казахского государственного Национального университета им. аль - Фарабп

Научные руководители

Официальные оппоненты

Ведущая организация :

доктор технических наук, профессор Бияров Телеухан Нуралдшювнч. кандидат физико-математических наук, доцент Мурзабеков Заннелхрыет Нугмановпч. член-корр. HAH PK,доктор технических наук, профессор Молдабеков М.М. кандидат физико-математических наук, доцент Касымов Е.К. Казахский национальный технический университет .

.1996 года

Защита диссертации состоится . ^_ЦК7И.<£-_

tu 0°

т Ч_часов на заседании специализированного Совета

К 14 / А. 01. 03 по защите диссертаций на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук в Казахском государственном Национальном университете им. аль-Фарабц по адресу: г.Алматы, улица Масанчи, 39/47.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке КазГУ.

Автореферат разослан

d t AWuV

.1996 г

Ученый секретарь специализированного Совета к.ф.-м.н., доцент

Айпанов ПО

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темьд. Гидравлический следящий привод широко применяется в машиностроении как эффективное средство автоматизации. В быстродействующих следящих приводах п качестве исполнительного механизма нашел применение гидравлический привод с дроссельным управлением скорости. В системах автоматики преимущественно используются гидравлические исполнительные механизмы с дроссельным управлением.Это объясняется простотой их конструкции, малыми габаритами п высоким быстродействием.

Анализ динамики следящего гидропривода в первую очередь требует составления и решения полного уравнения дроссельного исполнительного привода.В общем виде это уравнение является сложным нелинейным дифференциальным уравпением, исследование которой представляется весьма актуальной задачей в теории автоматического управление.

К исследованию динамики гидроприводов посвящены работы А.Стодолы, В.А.Котелышкова, Гийоиа, В.А.Лещевко, A.B. Щег-лзева, В.А.Хохлова, Н.С.Гамышша, А.М.Летова, Б.Ж.Майгарпна, Р. Бутлера, Ю.Ройля и др.

Актуальным является исследование динамики нелинейного дроссельного привода как точными методами,так п приближенными методами, а также управление а оптимизация на конечном отрезке времени.

Цель работы.Исследование устойчивости и диссипативности , с точными методами, приближенными методами на основе гар~

монической н статистической линеаризации,» также управление и оптимизация на конечном отрезке времени нелинейных дроссельных гидроприводов.

Методы исследооаиия. В работе использовались общие положении теории автоматического управления,теории устойчивости и стабилизации движения, теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Достоверность полученных результатов обеспечивается строгой формулировкой к решением задач, корректно применяй вышеназванные методы.

Научная новизна. Доказаны различные теоремы точечной к абсолютной устойчивости, диссипативности для системы нелинейных дроссельных гидроприводов. Найдены изменение фазовых координат системы нелинейного гидравлического привода при сходном синусоид!ШЫюм сигнале на основе метода гармонической ли-неаризашш. Впервые г» основе метода статистической линеаризации определена вероятность устойчивости системы нелинейного гидропривода по. математическому ожиданию. Решена задача Т -управляемости в целом и оптимального управления с ограниченным ресурсом №шшс$1ных регулируемых дроссельных гидравлических приводов.

Теоретическая и ирахтычесаая щеииость. Все основные но-лучешг'е результаты сформулированы в виде теорем, хаторые

сопровождаются строгими математическими доказательствами.

*

Практическая ценность заключается п решении конкретных задач автоматического управлений гидроприводом летательного аппарата, вибростенды, навесной системы бульдозера.

Положения, аыносимьге на защиту. Исследование устойчивости нелинейных дроссельных гидравлических приводов точными и приближенными методами, а также исследование управляемости и оптимальности нелинейных гидравлических приводов на конечном отрезке времени.

Апробация работы. Основные результаты диссертация докладывались и обсуждались на конференции - конкурса молодых ученых и специалистов по математике и механике (25-26 марта 1993 года, г.Алматы); на конференции "Материалы школы семинара посвященной 60-летию член-корр. HAH PK К.А.Касымова" (26-28 октября 1995 г., г.Алматы); на конференции "Сборник материалов посвященной памяти профессора Ф.И.Франкле" (1995 г., г.Бишкек); на Украинской конференции "Моделирование и исследование устойчивости систем" (20 мая, 1996г., г.Киев); на семинарах кафедры кибернетики (рук. д.т.н., проф. Т.Н.Бияров) и теории управления (рук. д.т.н., проф. С.А.Айсагалиев).

Публикации. По теме диссертации опубликованы 7 печатных работ, список которых приводится в копне автореферата. О бьем ю структура работы. Диссертационная работа состоит из введенпх, трех глав, заключения, списка использованных источников н изложена на 132 страницах машинописного текста. Список использованной литературы содержит 86 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

Во сведении обосновывается актуальность темы, проводится краткий обзор по исследованиям системы управления гидравлическими приводами.4

В исроой главе исследуются динамика нелинейного дроссельного гидропривода точными методами.

В п.1.1. приведены уршшения движениа гидравлического привода с дроссельным управлением:

о "/ V , <1Рг ,,

= Ыу- ~ + П^ш ~ У.) ~

Л(1) Ртв, = - Ум) + К^у* - у.),

1 (¡1

Кдх - Кд^Р?, ПриО < |.г| < XI,

= +

Ар~Р„-Рг, Рп = Р,-Р„, Р,- = -

IX, Пря|л-| < ГтИ1(/НГ, £1р!ф) > Х,„

¡где Ре — Р\ — Р% - перепад давлений на поршне , у„ - перемещение нагрузки ,$/» - аершещешш поршна , г - перемещение золотника . Протведв структурные преобразовании а введя оГнпшъчгши:

•П ='!/«, -а = = /V. ■*« - =

¡г, спс .оыы (1) получим:

/ - Лх + Ыт,{<т) 4- 4- ги (2)

с

где

А =

0 10 0 —яг -аз а« 0

-6 -0, -0 -0 у О 0 -«-6 0 ({ 1 е /

\ 0 /

а,

У ,х =»

0

~с )

0 / 0

т 0

0 ,5 = а

0 0

0

2 1,

VI = ¡^Р. - ^в«'зпж)«1(упДр,

В кач<хтсе примера рассмотрена гидроприводы системы управления летательного аппарата, оибрашю.чного сгенда, яасесяой системы бульдозера. ,

<2. рассмотрена устойтешость гидропривода при отсутствия гигептях ипдгйстпяй, т.е. яри Р,. — 0, V] — 0 :

к =г Лг + ЬРтг{а),а (3)

1' перчаточной функпией '?''{?>) = с' (Л - рЕ)~Ч>, 1?/(0) = 0. В •»том слуг'!* мм имеем стационарное мнохестпо

А = {г = -Л-'бе.С =гтЫ,Гт,(-0) < С < ^,(+0)}. .

СтлшгонАрпое множество Л на'Шпается точечно устойчивым з п<\-юч (согласно А.Х.Гслигу) . если оно устойчиво в целом и лк»-

бое решение при t со стремится к некоторому стационарному вектору из Л.

На основе известной теоремы А.Х.Гелига и алгебраического критерия С.А.Айсагалиева сформулированы и доказаны следующие теоремы:

Теорема 1 .Если параметры системы (3) и параметр д > G таковы, что при q > 0 число — J не является собственным числом матриц А и (А — /tbcа также выполняются неравенства Гурвица и неравенства, удовлетворяющие V(0) — F(co) = 0, где V(A)- число перемен знаков е ряде Штурма , то стационарное множество А системы (2) точечно устойчиво в целом . Теорема 2.Пусть выполнены следующие условия:

п = п= О,

если ctc+a — /в2 > 0, то 0 < q < min{qi,qj} если ас + с — /З2 < 0, то 0 < q < qi,

Qi = + ac),fl2 = причем число we явлх-

. ется корнем уравнение Д(/)) = det,(pE — А), Д](р) = det(pE — А + )ibcr), а также условие f — 11 > 0. Тогда стационарное множество А системы (3) точечно устойчиво в целом.

Рассмотрены конкретные примеры.

В .1,3, рассматривается частотные критерии устойчивости

замкнутого нелинейного дроссельного гидропривода.

i

Полагая

У| = цЪ

р _

—л/1 ~ <oJ"3slS',<7i/(°ri) = '»u^Vw^h t>

а

где а0 = со = о\ - 1тх, <т3 = стх - х3,

= /(<Т1)Ф(<71,0Х),гЦ<тиа^) = у/1 - саа^дпаи имеем О < 0(аьсгз) < 1,0 < ^ < /< < +оо, и система (I) примет вид (при Рк = ГЦ = 0):

х =8 Ах + М<р(а),с/ — N1,

(4)

где

А =

О 1 О —а —Ь с О -о -Р)

ф) = ( ^^ 1 = 1 I <РзЫ

О о

,лг =

О

тп

\ То О

(Г2 = г)'х = х2,70 = "I = п1 -

Введем в рассмотрение следующие диагональные матрппы : г = <Иад{ц,ъ} > 0,/1 = == ,д2} > 0,/х2 = оо.

Справедлива следующая теорема.

Теорема 3. Пусть 1)Л— устойчивая матрица и среди передаточных функций и>ц(р) есть невырожденная , причем , если (¡г, ^ 0, та величина — ^ ке является полюсом функций и>^(р); 2) яри всех 0 < ш < оо существует такая матрица у , что

я(и) = г/Г1 + Г!е(г + ¿«<г)И'(|"и/) > 0. (5)

Тогда положение равновесия г ="0 системы (4) в области 1 - Состз.'я'дпс?! > 0 абсолютно устойчиво .

Сформулированы также алгебраические критерии абсолютной устойчивости.

Уравнения движения дроссельного гидропривода в форме В.А.Хохлова примет вид:

х = Ах +Ь}(о)ф(а0,о), (6)

где

а — СТХ ~ €¡11 -\-C2X2 + СзХз,Од = АТХ — (¡1XI ^<¡1X2 4- ¿323,

0 1 0 1 (V

Л = 0 0 3 0

1 _/ е _а г _п г / 1 1 7 /

О < ф(оо,с) < 1, 0 < < ¡1 < -ТОО.

Справедлива следующая теорема.

Теорема 4. Пусть для системы (б) выполнены условии: Л)/1 - устойчивая матрица ; ЩТЪ > О, ¿0 > О, 7. = - - ъ(с- С3 = 7,{6 -

^ при всех 0 < ш < оо существует такое вещественное число В > 0, что

7г(и/) = 17Г1 + Лс(г + > О, (7)

причем, при число ( — у) «с является полюсом функции IV {р).

Тогда положение равновесия х = 0 системы (5) в области и.' > 0 аос.олютно устойчиво.

Исследована также система автоматического управления нелинейного дроссельного гидропривода с двумя различными нелижчжы-ми адементлми:

г =Ах + .\[^[а),а ~ Л'х. (6)

¡о

£ = ятФ),

Линеаризованная модель дроссельного гидропривода , где 11 = /(Р?, г) разложен в ряд Тейлора, при наличии сухого треппя сведена к виду (2). В пД,4. рассматривается диссипатшшость пелипейного дроссельного гидропривода:

г = Ах+ АГт,(ст)+ /({,*),

О)

где

/(*,*) =

= 0

аГ, 0

0

/

Определение 1 .Система (9) называется диссипативной (В.А.Якубовича), если

а) в пространстве {г } существует ограниченная область М та'

кап, что из х((о) € М следует х(() € М при < > Ц;

6} любое решение , начинав с некоторого момента , попадает в

эту область ,

в) суще стоуст по крайней мере одно ограниченное на(-оо, оо) решение хо(') 6

Справедлива следующая теорема.

Теорема Ъ.Пусть 1) А-устойчивая матрица; 2) для некоторого вещественного'числа 0 выполнено

тг(и>) = Щ1+ >0, V*» £ (-оо.оо);

3) Um £=^>0;

H-» *

4) J(t,x)- непрерывная функция t,x,

.lim ^ = 0

равномерно no t.

Тогда система (9) диссипативна .

Во второй гларе исследуется динамика нелинейного гидропривода приближенными методами.

В н.2.1. исследуются динамика нелинейного гидропривода на основе метода гармонической линеаризации.

Рассмотрим уравнения движения быстродействующего следящего привода (1) , где F'k = F'i — О,

l'i(r,/y) = Qia(x)\Jl - Pfsignx - -характеристика нелинейности золотникового распределителя , где х- координата перемещения золотника ,Pf — jf-перепад давлений па поршне гпдродвнгателя в относительных единицах ,

QsÀx) =

Радикал в выражений l'i можно представить в виде ряда и

Р

QiA*) ~Q™Fo\ï),

где .Го(х)-нелине11ная функция ограничения,

Qm — - максимальный расход через золотник , получим

Vi-ôi I QmFc(m-ciPF-CiPÏ), прих>0, \ QmF0(î)(\ + oPF - сАР}:), прих < 0,

Рассматривается линеаризация нелинейности Yj. Будем искать периодическое решение в виде :

5 = Аг sin uit = Ar sin — и.>t.

п положим

Рг = ЛрипМ - «) = и{ы)х + Ц^Р*, (И)

п-величнна сдвига фазы между г и Рг', Др-амплнтуда давления. Подставив (11) з (10) получим

У,(*,*) = дтФ„,(2.*)р (12)

где £ — рг; Ф(х,2) - нелинейная функция , которая можно заменить выражением:

- 2» X

л-Л, ¡ - и

-)—I Ф(Д, sinф,Ахи cosí/-1) eosipdi¡>. ~LlAt J

о

С учетом гармонической линеаризации обобщенную гидравлическую характеристику золотникового распределителя можно представить уравнением :

Г.(г.Д-) = <?„[?( Л„и,) +

и*

и линсартуя иолтшейиость типа сухого трения , имеем :

■¿5

для определения амплитуды вынужденных колебаний А и их фазу "у при известном ,4,, о.>.

В п.2.2. рассмотрена вопросы исследования динамики нелннеп-1

ного гидропривода ка основе метода статистической линеаризации.

Рассматривается система нелинейного гидравл5гческого привода

х = Ах + bFmp(cr) 4- qFn,Yi = 0 (13)

Требуется определить вероятность устойчивости системы (13) по математическому ожиданию при случайном входном сигнале и при наличии случайных параметров системы . Систему (13) перепишем для удобства в следующем виде :

X=AX + bfi(v)+ef(t), о = стХ, (14)

и полагая

X(t) = m,(t) + A'°(t), <p(ir) = т,(о) + V>V)> c(t) = шДО + At), № = m,(0 + /°(0-

tp(o) = hme + kia° = h^m^t) + hcTX\t).

имеем

mr{t) - AmI(t)+bk<iCTmt(t) +emf{t), (15)

X\i) = ЛА'с(0 + W-,frA'°(i) + ef(t).

Д-0 =r kQ(mt,ot),ki = ki(mx,ar). Пусть f{t) -стационарная случайная функция в широкой смысле , т.е. inj(t) = const :

Amt + bko(mr,ffI)c7mr + evif = 0 Ii

с»

= —, '¿о = /

Пусть Е - случайный параметр. То вероятность устойчивости системы :

.\t-~r.)' е "в

В примерах 2.1-2.3 найдены вероятность устойчивости , а в примерах 2.4-2.6 найдены математические ожидания и дисперсна.

В третьей главе рассматриваются вопросы исследования динамики нелинейного гидравлического привода на конечном отрезке времени .

Р п.3.1. рассматривается вопросы о Т - управляемости в целом нелинейного гидропривода . Рассмотрим уравнение нелинейного дроссельного привода (1) п следующем виде :

х = Ах + ЬГтг(х2) + .5У, + ЬР„ + ск, (16)

й- управленце , полагаем , что

0 < < ,, < +оо,/(0) = 0>3| < 1, •71

О < \1>(ох,о3) < 1,

> 0прнгг2 0,^2 = Г)ТХ =

Систему (10) можно привести к систему ¡¡втоматлтесхого управления с двумя нелинейными злементамц :

г - Аг + + 1н,(7 ~ Л>, (17)

Заметим , что

и <-$-2 <-< цч = оо.

а 1 Ста

Рассмотрим систему (16) без управления

х-=.Ах + М<?(а),о^Нх (18)

Невозмущеиное движение х — 0 системы (18) будем называть Т • устойчивым в целом , если система (18) устойчива и целом по Ляпунову п-существует момент времени ( , что 1нп г({) = 0, где момент времени (| решает задачу оптимального быстродействия.

Управляемый процесс (17) будем называть Т-управляемым в целом , если найдется управление и(х, <) £ II, обеспечивающее Т-устойчшюсть в целом.

Справедлива следующая теорема.

Теорема 6.Пусть выполняются следующие условия:

1) Матрица А-гурвицева и среди элементов передаточной матрицы IV(р) есть такая, что полином, стоящий в ее знаменателе , имеет степень п ~ 5 и не имеет общих корней с полиномом , стоящим о числителе , причем при ^ ф 0 , то величина — ^ не является иолюсол! функций и'у(р) ;

2)<}Хс'А = 60.'\ > 0. с, > С;

И) выполняется частотно;: условие

тг(и/) - т,(Г! + Ш(т + > О

при всех 0 < и) < оо и положительно-определенная матрица Н определяется из разрещпющих уравнений Лурье

АТН + НА + Л/«г = О, ИМ - 9 = ''Г, 9 = -(АТКТЧ + Л"7 г),

Г > О, Г = т(Г1 - Яе(дЛГМ).

4) управление

- ksigrtQ(x,y) к > О-постоянпый napaMemp;Q(x, <р) определяется формулой : Q(x,<p) = (Wx + <f(o)i¡NT - L.

Тогда система (17) Т-управляема в целом.

В п.3.2. рассматривается исследование вопросов синтеза оптимальных гидравлических систем , с ограниченным ресурсом управления. Рассмотрим систему :

i- = Ах + M<¿(a) + Lu,a = Nx,t £ [<0,Г), (19)

где «( j, t)- кусочно-пепрерывная скалярная функция, удовлетворяющая ограничению: |tt(x,<)| < ji, ц — consí >О. Справедлива следующая теорема.

Теорема 7.Пусть выполняются условия 1), 2) теоремы б, дм системы (18).Тогда управление etida

uV) = -I'sign(t Цс^-Li), t 5 Íío/Л

¡=1 OXi

доставляет абсолютный мингшум функционалу Болъцс

Т. X з

J(«) = v(r(D) + /0(x)A + //ilÉ^r^Irt-

i. '=' 0xi

7(o°) = min /(«) =

В заключении изложены основные выводы , полученные п ходе исследований материала. Основные розультаты диссертации:

1. Решена задача устойчивости нелинейных дроссельных гидравлических приводов на основе частотных теорем Якубовича - Кил-манд в случае : без внешних воздействий и для замкнутой системы автоматического управление , а также получено условие диссипа-тивности нелинейного гидравлического привода .

2. На основе метода гармонической линеаризации найдена изменение фазовых координат системы нелинейного гидравлического привода при входном синусоидальном сигнале , с учетом сложных нелинейных элементов.

3. Определена вероятность устойчивости системы нелинейного гидравлического привода по математическому ожидании» и при случайных параметров системы на основе метода статпст!Г1!чьой ян-иеаризаций .

4. Решена задача Т - управляемости в целом нелинейных I идраи-лическшс прпводоп , обладающих свойством устойчивости на бесконечном интервале времени .

5.Решек« задача синтез;: оптимальною управления с огрлпгл;-:.-иыл; ресурсом регулируемых гидравлических прнводо;; с помои».:-) выбора функционала типа Болыу..

Публикации по теыо дмссе;>-£-;и;. •<.:.: I. Устойчивость замкнутого нелинейного дроссельного гидравлического привода. // Т<чшь: докладов конференции молоды:; у;е-

них КазГУ .-Ллматы, 1993.-С.14-15.

2. Условия абсолютной устойчивости замкнутого нелинейного дроссельного гидравлического привода. //С'б."Деш>ш1р.науч.раб.", Казгосинги ,1994Л' 5498-Ка94,Оып.4,стр.38.(соавтор БняропТ.Н.)

3. Алгебраические критерии устойчивости нелинейного гидравлического привода.// Качгосш1Т11,1994,Х 5499-Ка91,Вин.4,стр.38, (соаптор Бняров Т.Н.)

Устойчивость гидравлического привода с неелннственньш состоянием равновесия //Материалы школы - семинара посвящ. 00-летию член.-корр. ИЛИ РК К.Л.Кагымопа .-Ллматы: Гылым , 1995 ,-с. 45.(соавтор Бняров Т.Н.)

5. Об устойчивости нелинейных гидравлических систем на бесконечном и конечном интервале . //Бишкек , сб. мат., посвящ. памяти .проф-ра Ф.И.Франкле , 1995 г. (соавторы Бняроз Т.Н., Мурза-беков З.Н.)

6. Стабилизация движения на конечном отрезке времени нелинейных систем автоматического управлений. //Тп.докя . Украинской конф." Моделирование и исследование устойчивости систем", Киев,1996. (соавтор Бияроп Т.Н.)

Т. Исследование динамики нелинейного дроссельного пщравлпче-ского прнподн . Ллматы , 1995 , Монография , -132 с. (соавтор Бняроз Т.Н.)

В заключение хочу гн,травить благодарность ле.учнг«; руководителям Бнирову Т.Н. н Мурзабекоь > 1.1". ча постановку залачп

л научные консультации з холе р;'.6отм.

Г*сманова Ф. р.

»

АУТОМАТИКАЛЫК, БАСКАРУДАГЫ СЫЗЫКТЫ ЕМЕС ГИДРАВЛИКАЛЫК, КУЙЕЛЕРД1Н, ДИНАМИКАСЫН ЗЕРТТЕУ

01.01.11-Жтйелеп талдау жэне аутоматикалык Саскару.

Физика-математика гылымдары кандидаты гылыми дарежест алуга

Ккмыста сызыкты емес гидравликалыи, жгйелердщ орны^-тылыгы дел едютермен жэне гармоникалык, статистикалык жуык-тау вд1стер1мен эерттелтген.

Сыэыщты емес гидравликалыи; жгйелердщ диссипативт1Л1к шарты алынган.

Сондай - ак сыэыцты емес дроссельд! гидравликалыи; жгйе-лердт динамикасы tneKTi уакыт аралыгында зерттел1нген..

Gusmanova F. R.

RESEARCH OF DYNAMICS OF NONLINEAR HYDRAULIC SYSTEMS WITH AUTOMATIC CONTROL.

01.01.11 - System analysis and automatic control.

For the scientific degree of candidate (PhD) of physical and mathematical sciences.

Problem and tasks that were determined and solved m this work follow from investigation of dynamics of nonlinear throttle hydraulic drive . To research stable of nonlinear hydraulic driv- , direct methods were used and criteria for closed nonlinear throttle hydraulic drive's stafcle were considered . To research dynamics of nonlinear hydraulic drive, approach methods - harmonic linearization and static linearization - were used.