Исследование дискретных симметрий уравнений Абеля второго рода тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

РГ6 ОД

* Г IX-^ 1 На правах рукописи

АЛЕКСЕЕВА Татьяна Анатольевна

ИССЛЕДОВАНИЕ ДИСКРЕТНЫХ СИММЕТРИЙ УРАВНЕНИЙ АБЕЛЯ ВТОРОГО РОДА

Специальность 01.01.02 - дифференциальные уравнения

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Воронеж - 1996

Работа выполнена на кафедре математического анализа Российского государственного педагогического университета имени А. И. Герцена.

Научный руководитель - доктор физико-математических

наук, профессор Зайцев В. Ф.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических

наук, профессор Сапронов Ю. И., доктор физико-математических наук, профессор Яковенко Г. Н.

Ведущая организация - Санкт-Петербургский государственный университет

Защита состоится " " ¿*-<1У/и>с 1996 г. в Х

часов на заседании диссертационного совета К 063.48.09 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук при Воронежском ордена Ленина государственном университете имени Ленинского комсомола по адресу:

394693 г. Воронеж, Университетская пл., 1, ВГУ, Математический факультет

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Воронежского государственного университета.

Автореферат разослан " " -^с-ЧЩ. 1996 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

В. Г. Задорожний

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В последние десятилетия в науке значительно возрос интерес к симметрийным методам исследования. Это связано с тем, что симметрия является фундаментальным свойством и присуща практически всем объектам и явлениям. Многообразие ее форм дает возможность применять симметрий-ный принцип в различных отраслях науки, в том числе и в теории дифференциальных уравнений. Использование симметрийного подхода позволяет получать качественно новую информацию о дифференциальных уравнениях, что особенно важно для тех из них, которые не имеют регулярных методов решения. В частности, это относится к уравнениям Абеля второго рода (уравнениям А2).

Проблема изучения уравнения А2, представляющего собой естественное обобщение уравнения Риккати, является классической. Эти уравнения упоминаются в трудах Л. Эйлера, Н. Абеля, Ж. Ли-увилля, К. Якоби, Г. Дарбу, а также в работах российских ученых Б. М. Кояловича, В. П. Максимовича, В. Г. Имшенецкого, А. Н. Коркина, Д. М. Синцова и др. К ним сводятся многие уравнения 2-го и 3-го порядков, часто встречающиеся в различных областях естествознания. Несмотря на их простой внешний вид, для уравнений А2 не известна общая форма решения (т. е. общий вид зависимости решения от произвольной постоянной). В данном случае как традиционные методы, так и групповой анализ С. Ли оказываются малоэффективными, и до недавнего времени было известно всего семь разрешимых уравнений такого типа. Применение дискретно-группового анализа (ДГА) позволило существенно увеличить количество интегрируемых уравнений А2 (около 1500). Однако остается открытым ряд вопросов, в частности, о максимальности построенных дискретных метагрупп преобразова-

НИИ (ДМП), а также их строении. Кроме того, современное развитие точных методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ), а также проблема классификации ОДУ и их свойств требуют нового подхода к самой постановке задач. Возникла насущная необходимость в алгоритмах, которые позволяют находить необходимые и достаточные условия существования моделей с априорными симметриями (прогнозирующие алгоритмы) или описывать все модели заданного вида с требуемой симметрией (алгоритмы обратной задачи).

В свете указанных выше проблем системное исследование уравнений А2 и разработка новых алгоритмов поиска дискретных симметрий этих уравнений весьма актуальны.

Цели и задачи исследования. Целью работы являлось сим-метрийное исследование уравнений А2 с применением методов ДГА и аппарата общей алгебры, а также решение классической задачи Б. М. Кояловича.

В соответствии с указанной целью были поставлены и решались следующие задачи:

1. Получение дискретных симметрий, порождаемых частными решениями уравнений А2 вида

уу'х-у = я{х), (1.1)

и изучение их строения.

2. Поиск ДМП, допускаемых классом уравнений (1.1), с использованием основных методов ДГА и принципа обратной задачи.

3. Решение вопроса о максимальности построенных ДМП на заданном классе преобразований.

4. Постановка и решение обратной задачи Б. М. Кояловича.

Методика исследования. В работе применяются основные

методы теории дифференциальных уравнений и дискретно-

группового анализа. Наряду с ними широко используется аппарат общей и дифференциальной алгебры.

Научная новизна состоит в том, что:

1. Впервые проведено комплексное исследование уравнений

А2.

2. В работе впервые введен ряд понятий и построены ранее неизвестные алгебраические объекты, имеющие реальный носитель - множества уравнений А2.

3. Найдены дискретные симметрии этих уравнений, в том числе приводящие к ранее неизвестным разрешимым случаям.

4. Впервые для уравнений А2 применены алгоритмы, основанные на принципе обратной задачи.

5. Впервые предложен способ получения уравнений А2, обладающих полуфундаментальной системой решений (ПФСР).

6. Доказан ряд теорем, имеющих как теоретическое, так и прикладное значение, среди них теорема, позволяющая принципиально решить классическую проблему Б. М. Кояловича.

Все полученные результаты являются новыми.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит как теоретический, так и прикладной характер, поскольку исследование строения дискретных симметрии класса уравнений А2, получаемых методами ДГА (теоретический аспект), тесно взаимосвязано с поиском новых разрешимых случаев (прикладной аспект). Это дает возможность на основе построенных симметрий находить новые интегрируемые уравнения А2, а последние, в свою очередь, порождают новые дискретные симметрии на исследуемом классе уравнений, что особенно важно в связи с исключительной ролью, которую играют симметрии и разрешимые уравнения А2 в разнообразных приложениях. Разработанные алгоритмы являются уни-

нереальными и, в частности, могут быть использованы для изучения других классов уравнений 1-го порядка.

Апробация работы. Основные материалы данной работы докладывались и обсуждались:

- на заседаниях Санкт-Петербургского городского семинара по современному групповому анализу, Санкт-Петербург, 1993, 1994, 1995, 1996;

- на ежегодных Герценовских чтениях, Санкт-Петербург, 1993, 1994, 1995, 1996;

- на трех научных конференциях, в том числе двух международных (Санкт-Петербург, 1993, Самара, 1993, Саранск, 1994);

- на заседании кафедры математического анализа РГГ1У им. А. И. Герцена, Санкт-Петербург, 1995.

- на заседаниях научных семинаров математического факультета ВГУ, Воронеж, 1995.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 7 печатных работ, список которых приведен в конце автореферата.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы, содержащего 78 наименований. Материал изложен на 73 страницах, включая 5 таблиц, 3 рисунка.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении кратко обосновывается актуальность темы исследования, излагается постановка задачи, дается общая характеристика уравнений А2 и вводятся основные определения, среди них - определения симметрии классов ОДУ, класса и подкласса уравнений, пространства параметров, метагруппы, отображения классов ОДУ, ДМП, орбиты элемента класса, алгебраического и

функционального представления ДМП, вложения классов по ДМП.

Под симметрией класса ОДУ будем понимать свойство оставаться инвариантным при некотором преобразовании, а также само ото преобразование, которое имеет соответствующие функциональное и алгебраическое представления.

Определение 0.6.*) Множество с определенной на нем частичной бинарной операцией, которое содержит в себе совпадающие левую и правую единицы и ддя каждого элемента h совпадающие левый и правый обратные, будем называть метагууппой.

Определение 0.8. Любое множество © обратимых преобразований g,, отображающих класс ОДУ D в себя

g,: D(â)^D( Ц), «Д е^ф),

где - пространство существенных параметров класса D, и содержащее тождественное преобразование, будем называть дискретной метагууппой преобразований (ДМП), допускаемой классом D.

Определения, носящие частный характер и необходимые для освещения конкретного материала, приводятся в соответствующих главах и параграфах.

В нерпой главе исследуются ДМП, индуцированные частными решениями уравнений А2 (¡.I). В п. 1.1 вводятся определения основной и независимой ДМП, парагруппы, инварианта преобразования.

Определение 1.3. Группоид с единицей и обратимостью называется парагруппой.

В автореферате сохранена нумерация формул, определений, лемм и теорем, принятая в диссертационной работе.

Доказывается теорема о том, что полная метагруппа есть парагруппа.

В п. 1.2 рассматривается строение ДМП, порождаемых частными решениями уравнений А2. Основные результаты отражены в следующих утверждениях.

Лемма 1.1. Пусть для уравнения А2 (1.1) известно 2 частных решения, тогда преобразования вида

" 1 9 Уо(У~Уо)

Г J у1

йх

где уй - частное решение уравнения (1.1), У0 = ехр|— , задают на

Уо

множестве уравнений А2 (1.1) основную ДМП 3-го порядка (А, В, Е), где Е - тождественное преобразование, А и В - преобразования вида (1.2) для каждого частного решения соответственно, которая может быть представлена графом

Лемма 1.2. ДМП К3 (А, В, Е) является парагруппой 3-го порядка, изоморфной парагруппе V , действующей на классах уравнений 2-го и 3-го порядков вида

1

/"=Л1ха,/'У V®1 +А2ха*уЬу'ьу"&г .

Теорема. 1.3. Пусть для уравнения А2 (1.1) известно п частных решений, тогда преобразования вида (1.2) задают на классе уравнений А2 основную ДМП Кя+1, имеющую строение парагруп-пы порядка п +1.

Полученное множество Ут1 является единственной известной в настоящее время основной ДМП, действующей на классе уравнений А2 (1.1). Поэтому результаты приведенных выше утверждений позволяют установить симметрию вида (1.2) и описать ее свойства на всем классе уравнений А2 при любом количестве известных частных решений у исследуемых уравнений этого класса. Все парагруппы УпА (за исключением случая п-Ъ, когда У3 изоморфна известной ранее парагруппе V) найдены впервые, причем они являются реальными объектами, описывающими симметрии конкретного класса ОДУ - уравнений А2.

Вторая глава посвящена исследованию дискретных симметрии уравнений А2 (1.1) с использованием методов ДГА, среди которых - прямой метод поиска точечных преобразований, метод КГ-пар, метод отображений, и построению на этой основе новых ДМП, действующих на указанном классе уравнений.

В п. 2.1 рассматривается прямой метод поиска точечных, преобразований (который в дальнейшем для краткости называем прямой метод) на классе уравнений А2 (1.1). Как известно, для уравнений 1-го порядка прямой метод считается неэффективным и, в частности, для уравнений А2 практически не применялся. Действительно, в работе доказано, что в общем случае для уравнений А2 справедливо следующее утверждение.

Теорема 2.1. Если общее решение уравнения А2 (1.1) не известно, то преобразование

(2.1)

при условии * 0 не порождает никакой ДМП на классе

уравнений А2.

Отсюда вытекает необходимость рассмотрения четырех частных случаев, когда хотя бы одна из указанных выше частных производных тождественно равна нулю. Тем самым, принятие некоторого логично обоснованного анзаца и применение принципа обратной задачи позволило найти как сами точечные симметрии, так и подклассы уравнений А2, на которых они действуют, что отражено в следующей теореме.

Теорема 2.2. Подкласс уравнений А2

РР{-Р = К{1), (2.12)

где

| + (2.13)

, и0=к1и + к2, и = аи2+Ьи + с\ а, Ь, с, ЬХ! Ъг, к{, -

произвольные постоянные, преобразованиями вида

Г4 = <?(«),

Ь^ьоддк),

где

„ (•«,« + а, т ,

Г = (2.14)

Л(т) = 1

переводится (с учетом канонических преобразований) в другой подкласс уравнений А2

(2.11)

ум^ -уу=Л,(г]), (2.15)

где

и

т (аТ^-ЪТ^+сТ?)

(2ахТ0-ЬхТ1 + Т2)Т1Е ' 2ахТ0 -Ъ\Т^+7г

(2.16)

Т0=к2х2-к4х-к6, 7} = к.1х2-к,г~к5 , Т2 ~{кхкА-к2къ)х2 +2(/с,/с6-к2к^)х +

^{к^-к^к^, Е = е г< , /с3, кА, к$, к6 - произвольные константы.

При этом ДМП (2.11)-(2.14) является максимальной в смысле невозможности дальнейшего ее расширения в заданном классе преобразований (2.11).

В п. 2.2 исследуется возможность применения метода Л^-пар для класса уравнений А2. />/<-пара является упорядоченной последовательностью Л-операции (повышение порядка уравнения) и Р-операции (понижение порядка уравнения). Существует четыре стандартные КР-пары, условно обозначаемые (У,У), (Х,Х), (А,О), (А,и). Поскольку действие первой равносильно преобразованию уравнения А2 в уравнение Абеля первого рода, а две последние могут применяться лишь к конкретным подклассам уравнений А2 (в работе приводится соответствующий пример), то основное внимание уделено ЯГ-паре (Х,Х). Применение ЛР-пары (Х,Х), которая, в принципе, допускается всегда, позволяет связать два подкласса уравнений А2 и, таким образом, построить орбиты ДМП, индуцированных действием указанной Т^-пары. Доказана теорема о том, что полученный посредством (Х,Х) подкласс уравнений А2 вкладывается в подкласс (2.12)-(2.13) по ДМП (2.11)-(2.14).

В п. 2.3 описывается применение метода отображений, а точнее, его разновидности - метода опорного уравнения, основанного на следующем утверждении: если найдены два нетривиальных отображения, заданные существенно различными преобразованиями,

Н>: Щ^йгЩа)), / = 1,2,

то любое решение алгебраической системы аДа) = а2^) порождает образующую ДМП, допускаемой классом D.

Для применения указанного метода в качестве опорных выбраны уравнения 2-го порядка

у" = А^ у"4 y'h +A2xn>ym>y'l>, (2.35)

поскольку для них построены и хорошо изучены ДМП. Получен подкласс класса уравнений (2.35) вида

/'^[^/"'И +/схл'+г/Л1~У/1+г]. fc = const, l — (2.37)

допускающий отображение в класс уравнений А2 посредством RF-пары (AJJ). Показано, что для поиска преобразования, задающего существенно другое отображение необходимо решить 12 (всего их 24, но 12 вырожденные) определяющих систем уравнений в частных производных. Далее проводится анализ этих систем, который позволяет сформулировать следующее утверждение.

Теорема 2.7. Класс опорных уравнений (2.37) порождает на классе уравнений А2 (1.1) тривиальную ДМП.

Тем самым, становится очевидным, что наиболее приемлемым классом опорных уравнений для исследования симметрии уравнений А2 остается класс уравнений Эмдена-Фаулера

у" = Ахпуту''. (2.34)

П. 2.4 имеет целью показать аппарат, опирающийся на основные понятия дифференциальной алгебры, с помощью которого можно легко выписывать и прогнозировать вид решений всех уравнений некоторой орбиты, содержащей интегрируемый элемент, в терминах очень узкого класса функций.

Изложение проводится на примере разрешимых орбит уравнений А2, однако представленный аппарат является универсальным и может использоаться для любых других классов ОДУ.

Пусть а - некоторая ДМП, допускаемая классом уравнений А2 (1.1), и пусть в орбиту какого-либо уравнения (1.1), порожденную действием а, входит элемент, решение которого принадлежит конечно-порожденному дифференциальному кольцу К\, полностью определяемому правой частью Шх) уравнения (1.1). При действии ДМП а на общее решение этого элемента орбиты мы получаем дифференциальное кольцо Кг с конечным базисом, замкнутое относительно операции, заданной в а (суперпозиции функций). Так как на классе уравнений А2 ДМП конечны, го от Кг можно перейти к некоторому конечному множеству 5 : Б с: Кг :

Определение 2.4. Минимальное непустое будем называть сужением кольца Кг на многообразии решений элементов орбиты ДМП & и обозначать 5"..

Решения всех уравнений рассматриваемой орбиты будут принадлежать этому сужению, содержащему ограниченное число функций, и выражаться через элементы его конечного базиса заранее определенным образом. Это позволяет не вычислять решение каждого уравнения, входящего в орбиту, Путем последовательного применения различных преобразований из ДМП к соответствующим элементам орбиты, а, определив сужение 51« и зата-булировав его базис, автоматически прогнозировать вид решений всех уравнений этой орбиты, а также орбит, связанных с указанной посредством отображений в другие классы уравнений, в терминах .

Представленный аппарат дает возможность не только избежать трудоемких выкладок и прогнозировать вид получаемых решений, но и дополнительно классифицировать различные уравнения по типу функций, через которые выражаются их решения, что особенно важно при выборе моделей в разнообразных приложениях.

В третьей главе рассматривается проблема представления общего решения уравнений А2 через частные, имеющая классические корни.

В п. 3.1 вводятся определения фундаментальной системы решений (ФСР), полуфундаментальных систем решений (ПФСР) 1-го и 2-го рода, а также теорема Ли о виде ОДУ, обладающего ФСР. Кроме того, значительное внимание уделено примерам нелинейных ОДУ, имеющих ФСР.

Определение 3.2. Будем говорить, что система ОДУ

= / = (3.1)

обладает ПФСР 1-го рода, если ее общее решение выражается через конечное число т фиксированных различных частных решений

**=(■**>—»**)> к=\,...,т. (3.2)

Замечание 3.1. Формула общего решения может иметь явный, неявный, параметрический вид.

Определение 3.3. Будем говорить, что система ОДУ (3.1) обладает ПФСР 2-го рода , если общее решение этой системы выражается через конечное число т произвольно выбранных различных частных решений (3.2), и формула ее решения записывается в неявном (обычно параметрическом) виде.

Частные решения (3.2) назовем при этом ПФСР 1-го или, соответственно, 2-го рода системы уравнений (3.1).

В п. 3.2 дается краткая характеристика алгоритма Б.М. Коя-ловича, предложившего искать общий интеграл уравнений А2 (1.1) в форме

л »/

П(у-а;) =С, (3.7)

>1

где а^ - частные решения уравнения (1.1), т7 - константы. Однако

незамкнутость указанного алгоритма не позволяет прогнозировать конечный результат, а также описывать множество уравнений (1.1), допускающих общий интеграл вида (3.7). Поэтому в работе ставится и решается обратная задача: по общему интегралу (вообще говоря, с неизвестными частными решениями и константами тнайти для каждого значения п множество уравнений

А2, имеющих решение в форме (3.7), что привело к следующим результатам.

1. Доказана теорема, которая гласит, что для каждого значения и существует единственное уравнение А2 (1.1), допускающее общий интеграл вида (3.7) и не сводящееся к случаю $<п.

2. Описаны свойства частных решений, входящих в формулу (3.7). Показывается, что они образуют ПФСР, как 1-го, так и 2-го рода.

3. Решение обратной задачи позволило свести поиск уравнений А2, обладающих общим интегралом вида (3.7), к задаче исследования алгебраического уравнения «-й степени, корнями которого являются частные решения а,, что дало принципиальную возможность получать все уравнения А2 (1.1), общие интегралы которых записываются в форме (3.7).

В заключении приведены основные итоги диссертационной работы и возможные перспективы использования полученных результатов как в теории дифференциальных уравнений, так и в прикладных областях пауки.

ОБЩИЕ ВЫВОДЫ

1. Построены основные ДМП, индуцированные частными решениями уравнения А2, и доказано, что они имеют строение

парагрупп соответствующих порядков. Среди них лишь одна ДМП К3 изоморфна уже известной парагруппе V, остальные Уп+1 являются совершенно новыми алгебраическими объектами, не встречавшимися ранее.

2. Для уравнения А2 применены все основные методы ДГА, посредством которых получены новые ДМП, индуцированные точечными преобразованиями вида (2.11), ЛР-парой типа (Х,Х), и, соответственно, описаны подклассы уравнений А2, связанные действием этих ДМП. Найденные ДМП максимальны в рассматриваемом классе преобразований.

Доказано, что применение метода опорных уравнений с использованием ДМП, индуцированных уравнениями 2-го порядка (2.35), позволяет получить лишь тривиальные ДМП на классе уравнений А2 . Это показывает, что в настоящее время эффективность метода отображений исчерпана выбором в качестве опорных ДМП, допускаемых обобщенными уравнениями Эмдена-Фаулера (2.34).

3. Доказана теорема о единственности существования уравнения А2 для каждого и, имеющего общий интеграл вида (3.7). Тем самым " закрыта " проблема прямого алгоритма Б. М. Кояло-вича.

4. Частные решения, входящие в формулу общего интеграла (3.7), образуют Г1ФСР 1-го рода (а также и 2-го рода), близкую по свойствам ФСР. Таким образом, доказано, что в классе уравнений А2 существует счетное множество уравнений, обладающих ПФСР. Поиск конкретных уравнений А2 такого типа выходит за рамки настоящей работы и требует привлечения теории Галуа.

5. Полученные в диссертационной работе научные результаты могут быть использованы при исследовании других ОДУ 1-го порядка, а, кроме того, в прикладных задачах дчя описания сим-

метрийных свойств математических моделей (уравнений А2) реальных процессов и явлений.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах :

1. Алексеева Т. А., Зайцев В. Ф., Швец Т. Б. О дискретных симметриях уравнений Абеля 2-го рода // Прикладная механика и математика, междуведомственный сборник научных трудов. -Москва: МФТИ, 1992 . - С. 4-11.

2. Алексеева Т. А., Зайцев В. Ф. О дискретных симметриях уравнения Абеля 2-го рода // Современный групповой анализ и задачи математического моделирования, тезисы докл. XI Российского Коллоквиума. - Самара: изд-во СамГ'У, 1993. - С. 5.

3. Алексеева Т. A. [Alekseeva Т. Л. ] The discrete symmetries of the Abel's equation of the second kind and prognostic algorithms // Тезисы Международного Конгресса CSAM'93. - Санкт-Петербург, 1993. - С. 72-73.

4. Алексеева Т. А. К проблеме фундаментальных решений уравнения Абеля 2-го рода // Теория функций, тезисы докл. семинара. - Сыктывкар: Сыктывкарский ГУ, 1993. - С. 3.

5. Алексеева Т. А. Дискретные симметрии уравнения Абеля 2-го рода // Дифференциальные уравнения и их приложения, тезисы докл. Международной конференции. - Саранск : Мордовский ГУ, 1994,- С. 110.

6. Алексеева Т. А. Дискретные симметрии уравнений Абеля второго рода, индуцированные частными решениями // Сборник научных трудов, т. 8-Орел: ОрелГТУ, 1996. - С. 41-47.

7. . Алексеева 'Г. А. Уравнения Абеля второго рода, обладающие полуфундаментальной системой решений // Сборник научных трудов, т. 8-Орел: ОрелГТУ, 1996. - С. 47-55.

Заказ £29 от JLU- '996 г. Тир. 1QD_.лаборатория оперативной полиграфии ВГУ.