Исследование и применение стохастических эффектов в протонном синхротроне тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.20 ВАК РФ

и

_ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НАУЧНЫЙ ЦЕНТР РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

. ИНСТИТУТ ФИЗИКИ ВЫСОКИХ ЭНЕРГИЙ

НЕР1

2006-6

На правах рукописи

Иванов Сергей Владиславович

ИССЛЕДОВАНИЕ И ПРИМЕНЕНИЕ СТОХАСТИЧЕСКИХ ЭФФЕКТОВ В ПРОТОННОМ СИНХРОТРОНЕ

01.04.20 — физика пучков заряженных частиц и ускорительная техника

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Протвино 2006

УДК G21.384.634

М-24

Работа выполнена в Институте физики высоких энергий (г. Протвино).

Официальные оппоненты: член-корреспондент РАН, доктор физико-математических наук С.П. Денисов (ИФВЭ, г. Протвино); доктор физико-математических наук Н.В. Завьялов (ВНИИЭФ, г. Саров); доктор физико-математических наук Э.А. Перельштейн (ОИЯИ, г. Дубна).

Ведущая организация — Московский инженерно-физический институт (государственный университет), г. Москва.

Защита диссертации состоится " ^ ^ " 2006 г.

в ..... _часов на заседании диссертационного совета К"034.02.01

при Институте физики высоких энергий по адресу: 142281, Протвино Московской обл. -14г<£г>^ . ¿?/

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИФВЭ.

Ученый секретарь диссертационного совета

Автореферат разослаг

© Государственный научный центр Российской Федерации Институт физики высоких энергий, 2006

Общая характеристика работы

Преамбула

В диссертационной работе изучались стохастические процессы продольной динамики частиц в протонном синхротроне. Они обусловлены действием случайных внешних сил (шумов) на нелинейную систему.

Объектом исследования явился сгруппированный пучок заряженных частиц и его гало, оба подверженные действию случайных волн продольного электрического поля, распространяющихся по орбите синхротрона. Случайные поля возникают из-за неустранимых собственных шумов ускоряющей системы либо вводятся преднамеренно для управления функцией распределения пучка и диффузионными потоками частиц.

Диссертация выполнена в Государственном наручном центре Российской Федерации Институт физики высоких энергий (ГНЦ ИФВЭ). В нее вошел цикл теоретических, численных и экспериментальных исследований, проведенных в период с 1982 г. по настоящее время в соответствии с:

1) планами НИР ИФВЭ по направлению "Разработка и сооружение ускорительно-накопительного комплекса протонов ИФВЭ

(УНК)" в рамках государственной научно-технической программы "Физика высоких энергий";

2) программой международного научно-технического сотрудничества между DESY, Гамбург и ИФВЭ, Протвино по ускорительной технологии, электронике и средствам диагностики пучка;

3) программой НИР ИФВЭ по развитию и модернизации протонного синхротрона У-70 на энергию 70 ГэВ "Повышение интенсивности У-70".

В диссертации осуществлено решение научной проблемы, важной для физики пучков заряженных частиц и ускорительной техники и актуальной для нового поколения больших протонных синхротронов.

Актуальность проблемы

Разработка, проектирование и эксплуатация больших протонных синхротронов (SPS, Tevatron, HERA, LHC, УНК, SS С, VLHC) поставили перед ускорительной физикой и техникой новые научные задачи:

1. Достижение высокой интенсивности ускорителя связано с решением проблемы когерентных неустойчивостей пучка. Практический интерес представляет обеспечение устойчивости когерентного движения с помощью цепей обратной связи по пучку. Они становятся неотъемлемой системой ускорителя, существенно влияющей на поведение пучка. Разработка таких систем требует решения новых задач, находящихся на стыке между физикой пучков и теорией радиотехнических систем.

2. Схемы инжекции пучка из промежуточных каскадов ускорения приводят к частичному заполнению орбиты сгустками. Возникает эффект импульсной нагрузки ускоряющей системы током пучка. Осуществление процесса ускорения становится невозможным без применения системы радиотехнической обратной связи вокруг оконечных каскадов ВЧ-усиления.

3. Проведение протонного пучка через промежуточные каскады ускорения сопровождается накоплением ошибок инжекции и перевода. Протонный синхротрон на высокую энергию, завершающий

цепочку ускорителей, обычно принимает сгустки с большим продольным размером. Нелинейность продольных колебаний и высшие муль-типольные моды когерентного движения сгустков начинают играть заметную роль в динамике частиц.

4. Большой периметр синхротрона приводит к низкой частоте обращения частиц по орбите. В полосе пропускания радиотехнических систем оказывается много гармоник частоты обращения. Возникает опасность развития большого числа межсгустковых мод когерентных колебаний пучка.

5. При длительных циклах ускорения и накопления пучка возникает опасность продольной диффузии сгустков под действием шумов ускоряющей системы. Типичные спектры радиотехнических шумов начинают перекрывать значительное число гармоник (низкой) частоты обращения. Включение систем обратной связи и близость к порогам когерентных неустойчивостей изменяют продольную передаточную функцию пучка. Возникает необходимость изучения шумовой диффузии сгустков в этих условиях.

Исследования, составляющие основу диссертации, проводились в ответ на эти практические запросы.

Комплекс задач физики пучков и ускорителей, объединяющих вопросы разработки ускоряющих систем и цепей обратной связи, подавления когерентных неустойчивостей пучка и решения проблемы шумовой диффузии в больших протонных синхротронах, является актуальным и востребованным. Об этом свидетельствует, например, недавнее рабочее совещание ICFA по динамике пучка LLRF05 1, целиком посвященное указанной теме.

Цель диссертационной работы — исследование стохастических процессов продольной динамики частиц в протонном синхротроне, включающее в себя:

1. Теоретическое исследование эффектов внешнего шума на основе динамического подхода, начинающегося с уравнения А.А.Власова.

'http://www.cern.ch/llrf05

2. Разработку и. реализацию численных методов решения краевой задачи для уравнения непрерывности (диффузии) и его верификацию прямыми итерационными методами макрочастиц и Монте-Карло.

3. Экспергшенталъпую проверку достоверности разработанных методик анализа шумовой диффузии на пучке ускорителя У-70 ИФВЭ.

4. Физическое обоснование и проверку работоспособности прототипов технических систем, ориентированных на практическое использование эффектов внешнего шума в ускорителе У-70.

Таким образом, в диссертации представлен замкнутый цикл исследований, рассматривающий проблему стохастической продольной динамики в целом и имеющий внутреннее единство.

Рекомендации по использованию научных результатов

Представленная методика исследования эффектов внешнего шума, расчета и проектирования систем обратной связи и анализа когерентных неустойчивостей представляет интерес для эксплуатации и разработки больших протонных синхротронов с высокой интенсивностью пучка.

Ввод в строй на У-70 предложенной системы стохастического медленного вывода позволит улучшить условия для набора статистики в физических экспериментах на выведенном пучке. Это послужит вкладом в модернизацию материально-технической базы фундаментальных исследований по физике частиц высоких энергий на крупнейшем в России ускорителе — протонном синхротроне У-70 ИФВЭ на энергию 70 ГэВ.

Разработанная в диссертации и опробованная па практике схема стохастического медленного вывода может использоваться при создании кольцевых ускорителей прикладного назначения, требующих прецизионных выведенных пучков (медицина, материаловедение и т.д.).

Сведения о практическом применении

Элементарная теория образования гало пучка в условиях внешнего шума и слабых потерь энергии протонов на синхротронное излучение, разработанная в диссертации, объяснила феноменологическую картину формирования гало пучка в накопителе БЕБУ НЕИА-р (г. Гамбург, Германия). Предложенная аргументация послужила основанием для начала программы экспериментального исследования шумов ускоряющей системы. Была выявлена сильно шумевшая ускоряющая станция. Последовавшая замена неисправного источника питания тока подмагничивания феррита улучшила ситуацию с шумами ускоряющего напряжения в кольце НЕИА-р.

Импедансный метод анализа цепей обратной связи в синхротроне зарекомендовал себя как эффективное средство для проектирования инженерных систем ускорителя. Он нашел практическое применение при разработке физического обоснования ВЧ-системы низкого уровня мощности для проекта УНК ИФВЭ, где позволил согласованно рассмотреть комплекс взаимосвязанных цепей продольной обратной связи.

Методика исследования эффектов внешнего шума использована при разработке и испытаниях на пучке синхротрона У-70 ИФВЭ прототипов двух принципиально новых, стохастических радиотехнических систем низкого уровня мощности (в сотрудничестве с О.П. Лебедевым, ИФВЭ):

1. Система шумовой ВЧ-гимнастики, предназначенная для контролируемого изменения продольной формы сгустков с целью уменьшения пиковой плотности пучка и снижения кулоновского сдвига частоты бетатронных колебаний на плато ввода.

2. Система стохастического медленного вывода, предназначенная для увеличения длительности медленного вывода, улучшения его временной структуры и увеличения интенсивности медленно выведенного пучка.

Обе системы имеют хорошие перспективы для последующего технологического применения. Работы по стохастическому медленному

выводу из У-70 получили поддержку и одобрение со стороны НТС ИФВЭ 2.

Научная новизна и положения, выносимые на защиту

Автор выносит на защиту следующие результаты работы и положения, имеющие научную новизну:

1. Проведен вывод уравнения шумовой диффузии сгустка в протонном синхротроне на основе последовательного динамического подхода. Такой подход представляет самостоятельный методический интерес и способствует лучшему пониманию физики проблемы. В максимальной степени используется формальный аппарат, развитый в современной теории продольных когерентных неустойчивостей сгруппированного пучка. Установлены общие условия применимости диффузионного приближения: второй порядок теории возмущений, иерархия характерных времен, стационарность и согласованность сгустка в начальный момент времени Ь = 0.

2. Проведена классификация внешних шумов в протонном синхротроне. Выявлены два типа технически обусловленных стационарных (в широком смысле) источников шума, задаваемых в лабораторной системе: это шумы низкочастотные амплитудно-модулирующие и шумы высокочастотные полосовые. На этой основе построена универсальная модель случайного поля, изучавшаяся в диссертации.

3. Установлена структура, и впервые получено общее выражение для коэффициента диффузии сгруппированного пучка под действием широкополосного шума, спектр которого перекрывает произвольное число гармоник частоты обращения пучка по орбите. Установлен вид упрощений, позволяющих воспроизвести известные результаты других авторов и установить предел их применимости.

4. Произведен расчет коэффициента шумовой диффузии для пучка, движущегося вне (возможно, вблизи) стационарных сепаратрис ускоряющего поля. Для этой области впервые получены замкнутые

2Протокол Научно-технического совета ИФВЭ № 1-06 от 2 февраля 2006 г.

выражения в терминах эллиптических функций для весов суммирования вкладов мультипольных гармоник в коэффициент диффузии.

5. Получены аналитические выражения для коэффициента диффузии сгустка, находящегося под действием стационарного (в лабораторной системе) высокочастотного полосового шума. Эта классическая модель стохастической системы представляет самостоятельный методический интерес.

6. Подтверждена возможность интерпретации движения протонов по незамкнутым фазовым траекториям вне сепаратрис при слабых потерях энергии как медленного систематического дрейфа с постоянной скоростью изменения переменной действия.

7. Разработан последовательный импедансный подход к анализу работы систем обратной связи по пучку в протонном синхротроне и учтено их влияние на диффузию пучка под действием внешнего шума. Цепи обратной связи рассматриваются в расширенном смысле — как активные элементы штатного оборудования ускорителя, либо как паразитные системы, образованные пассивными импедан-сами вакуумной. камеры и отвечающие за возможность развития продольных когерентных неустойчивостей пучка.

8. Разработана и отлажена методика численного решения несимметричной одномерной краевой задачи для уравнения непрерывности (диффузии) методом конечных элементов в трех сшитых частичных областях. Учтено пересечение частицами сепаратрис и возможное неравноправие верхней и нижней полуплоскостей продольной фазовой плоскости за сепаратрисами без перехода к двумерной пространственной модели.

9. Проведен обоснованный вычислительный эксперимент по проверке достоверности численных решений несимметричной краевой задачи для уравнения непрерывности с помощью прямых итерационных методов многооборотного трекинга макрочастиц и Монте-Карло.

10. Разработана элементарная теория формирования и транспорта гало сгруппированного пучка под действием внешнего шума и слабых потерь энергии. На ее основе с привлечением минимального

числа исходных предположений дано объяснение феноменологической картины образования гало пучка в синхротроне DESY HERA-p.

11. Обоснована и экспериментально проверена на пучке У-70 система шумовой ВЧ-гимнастики для контролируемого изменения продольной формы сгустка на плато ввода.

12. Обоснована и проверена на пучке У-70 оригинальная схема стохастического медленного вывода, обладающая существенными элементами новизны в принятых технических решениях.

Апробация работы и публикации

Основные научные результаты диссертации опубликованы в виде препринтов ИФВЭ и DESY, в журналах "Атомная энергия", "Приборы и техника эксперимента", "Nuclear Instruments and Methods", в Сборниках докладов 16-19-го российских совещаний по ускорителям заряженных частиц, Трудах международных конференций по ускорителям ЕРАС-92,-94,-96, USPAC-93,-95 и НЕАСС-87,-98.

Результаты диссертации докладывались на научно-техническом семинаре ИФВЭ, на научных семинарах подразделений ОУНК и ОУ У-70 ИФВЭ, на семинарах групп ускорительной физики CERN SL/AP и DESY MPY, представлены в виде устных и приглашенных докладов на 16-19-м российских совещаниях по ускорителям заряженных частиц (1989-2004 гг.), 11 и 15-м международных рабочих совещаниях ICFA по динамике пучка (1996 и 2005 гг.) и Международной конференции НЕАСС-98 (1998 г.).

Апробация диссертации прошла в ГНЦ ИФВЭ 31 марта 2006 г.

В диссертацию вошли результаты исследований, опубликованных в работах [1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23, 24,25,26,27,28,29,30,31]. Общее число печатных работ по теме диссертации 31, из них 8 — в реферируемых журналах.

Структура диссертации

Диссертация состоит из введения, 6 глав, заключения и списка цитируемой литературы (включает 78 наименований). Общий объем диссертации составляет 243 страницы текста, включая 65 рисунков и 10 таблиц.

Содержание работы

Во Введении обоснована актуальность темы работы. Изложены новизна результатов и практическая ценность работы. Перечислены положения, выносимые на защиту. Кратко представлено содержание работы по главам.

В Главе 1 рассмотрены общие вопросы теории стохастической продольной динамики частиц в протонном синхротроне.

Проблема продольной шумовой диффузии в сгруппированном пучке протонов приобрела особое практическое значение при осуществлении проекта встречных столкновений протонных и аитннро-тонных сгустков в синхротроне CERN SPS. При методическом сопровождении этой программы получено уравнение диффузии для продольного распределения сгустка и проведено строгое теоретико-физическое обоснование этого результата. Работы по этой проблеме общепризнанны. По первым буквам фамилий авторов (Döme-Krinsky-Wang) их подход получил название DKW-теории.

В рамках DKW-теории уравнение диффузии выводится в рамках чисто вероятностного подхода. Исходным является уравнение Фоккера-Планка для вероятности перехода частиц с одной фазовой траектории на другую под действием внешних возмущений:

д (\ . дР\ ^Mz = 9J \2Mdj) " &

2 0J 4 '

Расчету подлежат коэффициенты и Л2 этого уравнения. Они выражаются через линейную по At часть зависимости от времени первого (Д^Г) и второго {AJ'2) моментов смещения координаты частицы на фазовой плоскости за интервалы времени At —> 0. Здесь используются переменные угол-действие (tp, J7) продольного движения на фазовой плоскости ß' = dd/dt), где -д — азимут в сопровождающей системе. Величина переменной действия на сепаратрисе обозначена Угловые скобки (...) указывают на статистическое среднее по ансамблю шумов. Задача превращается в одномерную после математического усреднения по фазе ф.

ÖP _ дР 1 дгР ~dt~Aldj + 2A2dj*

По существу, таким образом вводятся априорные (и заранее не очевидные) качественные предположения:

1) о полном отсутствии вероятностного последействия (так называемый марковский процесс),

2) о характере поведения вероятности перехода на исчезакнце малых интервалах времени: третий и более высокие моменты смещения частицы на фазовой плоскости убывают быстрее первой степени At.

При таком подходе не анализируется конкретная связь между динамическими свойствами системы и статистическими характеристиками воздействия на нее. В результате не совсем ясны динамическое обоснование и физические условия применимости диффузионного приближения. Много усилий требуется для доказательства равенства А\ — ^dAijOJ. Только при его выполнении уравнение Фоккера-Планка переходит в уравнение диффузии в стандартной, дивергентной форме (правое выражение в (1)).

В данной работе уравнение продольной диффузии сгустка под действием шумов выводится иначе — на основе последовательного динамического подхода. Кратко суть его состоит в следующем. Сначала с помощью уравнения A.A. Власова во втором порядке теории возмущений исследуется динамика частиц, находящихся под действием детерминированного (неслучайного) возмущающего фактора. Лишь на конечном этапе происходит переход к собственно случайным процессам и проводится статистическое усреднение (...). В итоге удается получить уравнение одномерной диффузии по координате J, причем сразу в его дивергентной форме,

Коэффициент диффузии £>(¿7") записывается в терминах временных корреляций комплексных амплитуд случайных волн продольного электрического поля АЕь(П) ехр(Исд — гШ), распространяющихся по орбите О — азимут и частота в сопровождающей системе; к — целое волновое число),

оо

2 Jmki (J)

к к\

771'

X

fc,fci,m=—оо

X

J \АЕк АЕ^)(т) ехр (хшП,(ёт. (3)

—оо

Здесь — с1ф/(1Ь — угловая частота нелинейных синхротронных

колебаний; Г23(0) = По — частота малых синхротронных колебаний. Верхняя фигурная скобка обозначает математическое усреднение по t на отрезке [4; Ь + 2-7г/ал,], где ш8 — частота обращения равновесной частицы. Функция распределения £) получается после трех опе-

раций усреднения:

Попутно легко устанавливаются другие условия применимости диффузионного приближения, а именно:

1. Стационарность (ЭР/дЬ = 0) и согласованность (дР/дф = 0) распределения сгустка ф, £) в начальный момент времени Ь — 0.

2. Иерархия характерных времен

где гд£ обозначает время (авто)корреляции случайного поля; постоянная времени то — диффузионное время жизни сгустка — характеризует скорость медленного изменения £) под действием внешнего шума; Ь есть интервал (масштаб) времени наблюдения за сгустком.

Альтернативный вывод уравнения шумовой диффузии представляет самостоятельный интерес и способствует лучшему пониманию физики проблемы. В рамках такого подхода удается в полной мере использовать формальный аппарат, разработанный в теории когерентных неустойчивостей сгруппированного пучка. Например в ряде (3) участвуют весовые функции

тле < I < то , 2тт/ш3 ,

(5)

(б)

— 7Г

1?07,1/> + 27Г) для

являющиеся коэффициентами разложения плоской волны ехр (ik-d — гШ) в ряд по мультипольным колебаниям сгустка ос ехр(гт-0 — ¿Ш). Эти функции хорошо известны по теории когерентных неустойчивостей, где они входят в определение продольной передаточной функции сгруппированного пучка. С точки зрения традиционной DKW-теории, принципиальная возможность представления D{J) в терминах далеко не очевидна.

За сепаратрисами используется продолжение (6) в верхнюю или нижнюю полуплоскости ■&'),

7Г

Imk(J) = ^ / ехр (ikd(J, ф) - гтф) *ф , (7)

о

2-к

■ô(J^ + ir) = d(J,ip) + —sgni}' для J>JS.

Конкретный вид D(j7) зависит от способа представления случайного поля Ais (г?, t). Возможны два различных подхода к этому вопросу:

1. Традиционная DKW-теория предполагает, что поле АЕ(-д, t) дано в сопровождающей системе, и независимые переменные ■dut разделяются:

Д£?(<?, t) = v{t) g{ß)¡L, g{d) = g{$ + 2тг/д), (8)

где L — длина орбиты; q — кратность ускорения; v(t) — стационарное (в широком смысле) случайное напряжение с нулевым средним; функция g (г?) задает детерминированную (возможно, негармоническую) пространственную форму синхронной с пучком волны возмущающего поля.

Ускоряющая система синхротрона, работающая на кратности q, поддерживает синхронную с пучком волну электрического поля

Е{°д, t) = Vrf cos{qd + 4>a)/L, (9)

стационарную в сопровождающей системе координат. Здесь Vrf — амплитуда ускоряющего напряжения; ips — синхронная фаза (равновесный прирост энергии ос cos9?s). По сути, DKW-теория изначально

предполагает присутствие амплитудного, (а) или фазового, ((р) шума синхронной волны (9). Это означает выбор функций д(г>) и и (г) в виде

5<в>(0) = созОР?+ ¥>,), = ДУкк(0; (Ю)

<7<*>(0) = 8т(90 + V»«), = У^Аф). (П)

Тем не менее, вопрос о приемлемости представления (8) требует более тщательного рассмотрения. Действительно, априорное введение синхронных волн (8)—(11) подразумевает, что операция усреднения по времени на [£; £ + 27г/ш.,] проводится еще до расчета корреляций случайного поля. При выводе О (¿Г) (3) неявно используется,

вообще говоря, неправомерная замена (АЕкАЕ^1) на (АЕк АЕ^). Ясно из общих соображений и подтверждается последующими расчетами, что она допустима только в случае

2тг/и3 < где < то- (12)

2. Левая часть неравенства (12) может стать серьезным ограничением. Дело в том, что естественные характеристики шума, в том числе его где, определяются исключительно техническими особенностями ВЧ-системы. Они никак не связаны, например, с размером синхротрона. Однако с ростом периметров орбит уменьшается частота обращения со3. Становится возможным соотношение тде ~ 2п/и>3 или даже где -С 2тг / и)Тем самым нарушается левая часть неравенства (12), и результаты БКЛУ-теории становятся уже недостаточными.

В диссертации получены более общие формулы для коэффициента диффузии под действием шумов ускоряющего напряжения. Они справедливы не только в области (12), но и за ее пределами:

2тг/ы3 ~ где «С т0, тдб <С 2эт/сл, < та. (13)

По порядку величины Д^деТде — 2тг, где Д^'де есть ширина спектра шума. Поэтому условия (12) означают, что Аш/\Е а

(13) — что Дыде ~ и>3 или ДсидЕ и>3. Именно в таком смысле шум именуется в работе "узкополосным" либо "широкополосным".

Чтобы исследовать широкополосные шумы (13) вместо представления (8) изучается технически обусловленная модель сосредоточенного случайного поля, заданного в лабораторной системе. Она имеет вид

1 *

П=1

(14)

(15)

"«(*) = Х>4С)(0 соз^Ч« - <р1Р)-с

Здесь п = 1,2,.. ../V — номер ускоряющего резонатора; функции Сп(©) = Сп(© + 2тг) характеризуют способ локализации поля на орбите; ип(Ь) — случайное напряжение на зазоре тг-го резонатора; амплитуды — стационарные и стационарно связанные (в ши-

роком смысле) вещественные случайные процессы, = 0; д' и

(Рп^ — кратность и фаза детерминированных (неслучайных) несущих колебаний; в общем случае д' Ф д.

нч

-ды,

АМ

Ч'шД

^К >

о

стационарный

+Я'со, со

нестационарный

/Ы вч /\

-дЪ,

+да, ю

стационарный

Рис. 1. К обоснованию модели случайного поля. Пояснения в тексте.

Общность модели (14), (15) заключается в следующем: 1. Она включает в себя амплитудно-модулирующие шумы VrP(t), переносимые несущими колебаниями с фазами <Рп\ возможно, сдвинутыми относительно опорного сигнала ос соз(д'о<£>п), см. верхний рис. 1. В частности, выбор <рп = <рп означает синфазный (амплитудный), а (рп^ — 1рп — к/2 — квадратурный (фазовый) шум ускоря-

ющего поля в п-ом резонаторе. Такие сигналы представляют шумы маломощных задающих и формирующих цепей ВЧ-снстем: генератора опорной частоты, амплитудного и фазового модуляторов, цепей обратной связи. Результирующий случайный сигнал ип(Ь) (15) — шумовое напряжение на п-ом зазоре — оказывается периодически нестационарным процессом.

2. В модели учтен также стационарный шум ип{1) без явной, аппаратно выделенной несущей, см. нижний рис. 1. Переход к нему проводится, например, тривиальной подстановкой ц' = = О, ип(Ь) — Такой сигнал представляет собственные высоко-

частотные полосовые шумы мощных ВЧ-усилителей: дробовый шум постоянной составляющей анодного тока лампы; паводки в источниках ее питания и т.п.

Использование модели (14), (15) в уравнении (3) позволяет получить коэффициент диффузии в общем случае широкополосного шума со спектром, перекрывающим произвольное число гармоник частоты обращения пучка по орбите (Дшдд ~ и>3, Дидв Он

имеет вид

N оо

П,Щ =1 С,С! *у'=-00

Индекс суммирования з определяет номер т мультипольного колебания сгустка либо его аналог за сепаратрисой:

тп = у, {3 < Зъ)\ гп = 2-3ёш?' + 2з, (17)

<7

Величины РЫ\1\и)) обозначают взаимные спектральные плотности сигналов Уп\ь) — преобразования Фурье их взаимных корреляций:

оо

Р^ М = У (V ехр(йот) йт, где п, щ = 1,2,... N. (18)

—оо

Множители характеризуют эффективность возбуждения

т-го мультипольного возмущения пучка под действием спектраль-

пых компонент шума (£) на частоте ш ~ ки3, включая и и~0: = ^ вхр(-Н^) + (19)

Эти функции зависят от частоты д'и^ несущего колебания и от его фазы относительно сгруппированного пучка. Присутствие коэффициентов осуществляющих разложение плоских волн

ос ехр(г(/с ±<7')г?) в ряд по мультиполям ос ехр(гтт/>), вполне объяснимо. Перемножение сигнала (¿) с высокочастотным гармоническим колебанием сов(д'и>61 — <р1Р) переносит спектральные составляющие напряжения Уп\ь) с частоты и> ~ кш3 в область (высоких) частот ш ~ (к ± Оттуда они и действуют на пучок, возбуждая его

мультипольные колебания. Множители С?П;А;±д' — коэффициенты разложения функций Сп(©) в ряд Фурье — есть факторы пролетного времени на этих частотах (взаимодействия).

Рассмотрены два частных случая узкополосных (в масштабе ал,) шумов, представляющих особый практический интерес (оба показаны на рис. 1):

1. Низкочастотного модулирующего шума г/^(£) со спектром

+ П) = 6к0 р{с\П), (20)

где = рЮ(—Г2) есть низкочастотная функция с шириной

Аи>у со3. На этом пути при соответствующем выборе фаз <р„ ^ несущих колебаний частоты дол, в (15) удается получить результаты БКШ-теории для амплитудного (10) и фазового (11) шума внутри стационарных сепаратрис.

2. Высокочастотного полосового шума гг(4) со спектром

рЮ(ки,а + П) = р«'Х-П) + (21)

где функция сосредоточена в области низких частот

Асои и>3. рк \и>) есть четная функция и, но в общем случае ф Этот шум дополняет случай (20) и предста-

вляет самостоятельный методический интерес, приводя к модели классической стохастической системы.

Рассмотрен переход к пределу несгруппированного пучка. Он проводится подстановкой в выражение (19) вырожденных значений функций (7):

^тк йт,(2к/д№пд>, J ^ Js, (22)

где — символ Кронекера. В итоге для высокочастотных шумов, стационарных в лабораторной системе, из (16) получаются известные выражения для коэффициента диффузии пучка, однородного по азимуту

Обсуждаются эффекты переноса (дрейфа) частиц по импульсу. Они возникают из-за любых механизмов слабых потерь энергии (например, на синхротронное излучение протонов), приводящих к выбору 0 < | сое ср3 | -С 1. Тогда уравнение (2) принимает более общий вид уравнения непрерывности:

Эт.*) . _ 61 + ~ ' '

где <3(^7, £) есть сумма дрейфового и диффузионного потоков частиц ь) = т) F(v7) ь) - (24)

Скорость дрейфа — кусочно-постоянная и знакопеременная функция:

ГО, J <Js

= где (25)

V = -2 (аЪ/я2) сье(ра = -^0 & <л®Ра-

В Главе 2 изучается влияние цепей обратной связи на динамику пучка в протонном синхротроне.

Продольные цепи обратной связи рассматриваются в расширенном смысле — как активные элементы штатного оборудования ускорителя, либо как паразитные системы, образованные пассивными им-педансами вакуумной камеры и отвечающие за возможность развития продольных когерентных неустойчивостей интенсивного пучка.

Обоснован последовательный подход к анализу линейных систем продольной обратной связи по пучку в прогонном синхротроне. Фактически проводится формальное обоснование распространенного представления о том, что пучок "видит" любую систему обратной связи как искусственный импеданс связи, параметры которого контролируются извне.

Импедансный подход обладает двумя преимуществами:

1. Действие цепей обратной связи легко интегрируется в рамки современной теории когерентных неустойчивостей. В результате появляется возможность использования наиболее эффективных понятий и методов, разработанных к настоящему времени, — передаточные функции пучка, пороговые диаграммы, затухание Ландау, учет мод связанных колебаний сгустков, высших мультипольных внутрнсгустковых мод и т. д.

2. Дестабилизирующее влияние пассивных элементов окружения пучка обычно учитывается в терминах импедансов связи и потому естественно принимается во внимание уже на стадии разработки цепи обратной связи.

На рис. 2 показана блок-схема цепи обратной связи по пучку, построенной на принципах фильтрации сигналов. Эта цепь извлекает информацию о состоянии пучка с помощью пикапа (Ри) в виде полосового сигнала с центральной частотой ш ~ ± обрабатывает его на промежуточной частоте и = 0 после сдвига спектра сигнала вниз, а затем возвращает корректирующее напряжение пучку с помощью исполняющего устройства (АИ) в виде полосового сигнала, сдвинутого вверх по частоте в диапазон и) ^ ± я'^в-

Кратности преобразования д и д' являются целыми числами. Рассматривается общин случай, когда <у ф с/ и д,д' ф д, где д есть кратность ускорения. Чаще всего используется д — д' — д, но это не всегда так.

В общем случае цепь обратной связи имеет два канала — синфазный (с) и квадратурный (я), обладающие неодинаковыми передаточными функциями,

Я(с) ф н(в)

В малосигнальном приближении в окрестности рабочей точки первый из них контролирует амплитуду, а второй — фазу ускоряющего поля. Любой из этих каналов может отсутствовать. Так, Н^ = 0 в системе, осуществляющей только фазовый контроль.

— ф) — вт (ц'шэЬ-ф')

соб(<7Шл£ — ф)

*2

и^х)-». //(с>(<5ш) -»-(х)—'

,(<•«0

соБ(дша4 — ф) сок(д'и)3£ — ф')

ири +ири

№'(и>) Т(и>)

ВТР <—| Ар-р^^

I

со5(д'и)а£ — ф) (.7) - _?<<п<*>

т^н

(Ь) „(гпЫ)

Рис. 2. Структурная схема цепи ОС по пучку.

Для учета перекрестного взаимодействия между различными гармониками электрического поля и тока пучка, вызываемого сдвигами спектра сигналов при их обработке, вводится понятие матрицы им-педансов. Такая матрица имеет не более трех нетривиальных элементов в строке, выражающихся через передаточные функции каналов обратной связи и параметры установленной рабочей точки,

2кк'(ь>) = гкк[ш)5кк- + + , (26)

где к, к' — продольные волновые числа; из = кш3 + JT2 — частота в сопровождающей системе. В первом слагаемом учтен вклад всех имеющихся пассивных структур, третье слагаемое обнуляется при

Я(с) = Я(з)

Радиотехнические цепи обратной связи вокруг оконечных каскадов усиления ускоряющей системы рассматриваются как вырожденные цепи обратной связи по пучку. В них пикап и исполняющее устройство объединены в одном устройстве — ускоряющем резонаторе. Это распространяет импедансный подход и на системы, подавляющие импульсную нагрузку током. В этом случае д1 = q = q, а первые два слагаемых в (26) рассматриваются слитно с учетом возможности самовозбуждения системы без пучка.

Суммарное (индекс (tot)) электрическое поле на орбите есть сумма

Е%°*\п) = Е^\П) + Eifb\ü), (27)

где индексы (ext) и (fb) указывают соответственно на поле, возбуждаемое сторонними источниками, и поле, являющееся откликом окружения пучка на его когерентное движение. Гармоники тока возмущенного пучка Jfc(ii) возбуждают цепи обратной связи по пучку посредством (2G), и потому

1 00

Е(кт(П) = £ Zkk,(ku>s + n)Jk,(n). (28)

fc'=-oo

Из линеаризованного по возмущению уравнения A.A. Власова следует

оо

Л(П) = £ £ (29)

к'=-оо

где Укк'(П) является матрицей проводимости пучка.

Совместный учет (27), (28) и (29) позволяет установить матрицы "диэлектрической восприимчивости" x'(ii) и "проницаемости" б(Л) сложной системы — пучка, охваченного цепями обратной связи:

оо

4т(П) = - £ х'ш(П) (30)

к'=-оо

с»

4'й= 2ш/{ки3 + П)Ук»к,(П), (31)

к"=—оо оо

Е£Х1)(П)= £ (32)

к'=—оо

еш(П) = бкк> + х'кк'(П). (33)

При включении цепей обратной связи выражение (16) для -0(^7") остается в силе, если в качестве его спектральных матриц Ргт^(^) использовать матрицы для Ек°1\п) из (27). Это неудобно, поскольку на практике известны только спектральные свойства поля Екех*\£1).

В устойчивом состоянии нули Вс1 располагаются в нижней полуплоскости 1т П < — 1/т£ < 0, где т£ — постоянная времени демпфирования когерентных колебаний. Поэтому матрица е(П) (33) для вещественных не является особой. Существует обратная матрица с элементами, обозначенными екк,(О,). Это позволяет обратить уравнение (32)

оо

Е1Ш)т= £ (34)

к'=-оо

Таким образом, благодаря дисперсионным свойствам системы "пучок + цепи обратной связи" внешний источник случайного поля — он один учитывался при выводе (16) — возбуждает

различные гармоники поля Ек,гЛ\0.). Именно они действуют на сгусток, вызывая его мультипольные колебания через передаточные функции, пропорциональные ^ж» (»/)/&'■

В итоге мы снова получаем представление (16) для в ко-

тором спектральные матрицы Рпгн\ш) относятся уже к внешнему полю из (27). Однако весовые множители (19) теперь за-

писываются в виде

= ~ jt ^ir1 rtk+q>{rnW))Gn.Mq, exp(+*#>) +

(35)

При размыкании обратных связей, в том числе и за счет малой интенсивности пучка, = 5к'к и уравнение (35) переходит в (19).

Выражение (35) является решением поставленной задачи о влиянии цепей обратной связи и механизмов продольных когерентных неустойчивостей интенсивного пу пса на его диффузию под действием внешнего шума.

В Главе 3 обсуждаются численные методы изучения шумовых эффектов в протонном синхротроне.

Разработана методика и представлена программа численного решения несимметричной краевой задачи для уравнения непрерывности (23), (24). Она учитывает все существенные аспекты проблемы — большую нелинейность движения, пересечение частицами сепаратрис и неравноправие верхней и нижней полуплоскостей ($,$') за сепаратрисами, в области гало. Такое неравноправие может возникнуть по трем причинам (см. рис. 3):

1. Неодинаковые коэффициенты диффузии.

2. Разные направления скорости дрейфа (25) вдоль координаты J.

3. Разные апертурпые ограничения — координаты стока, где заданы нулевые граничные условия , t) = 0.

Программа (1600 строк кода, FORTRAN) основана на методе конечных элементов в варианте слабой формулировки метода взвешенных невязок в форме Галеркина (пространственная дискретизация) и на схеме Кранка-Николсона (интегрирование по времени).

Рис. 3. К постановке несимметричной краевой задачи для уравнения непрерывности.

Поиск решения уравнения непрерывности (23) осуществляется в трех сшитых частичных областях (см. рис. 3) без перехода к двумерной пространственной модели на плоскости (г), "в').

На сепаратрисе функция испытывает скачок, а -0(^7") имеет

интегрируемую расходимость. При 3 = на стыке областей [а] и [Ь, с] выполняются условия сшивки плотности частиц и их потоков:

\FiJs - 0,0[а] = П.73 + 0, ф = ад + О, (36)

- о, г)[а] = + 0,0[Ч + + о, (37)

Уравнение (36) учитывает, что непрерывными являются условные функции распределения ЦтУ < 0) и Ь\-д' > 0). Для согла-

сованного сгустка

^(<7, ^ °)И = > °)Ы = & ^

Разработанная программа предоставляет возможность отследить любой этап жизни сгустка и формирования гало пучка. Стал возможен и расчет характерных времен жизни сгустков произвольной длины, находящихся под влиянием шума с произвольным спектром. Эти времена жизни могут вытекать из любого практически значимого критерия: степень деградации эмиттанса сгустка, достижение сепаратрисы частицами, доля потерянных частиц и т.д.

5

1.0

а- 3 &

а. г 1 о

Г0.5

1.2

О г 4 6 8 10

¿.2

0 1 2 3 4 5 6

М.

(а) (б)

Рис. 4. Спектр шума г/1^!) (а) и коэффициент диффузии (б).

(а)

Рис. 5. Эволюция функции распределения пучка внутри (а) и вне (б) сепаратрис.

о.ю

?0.05

I

0.00

I

^0.05

э 3

0.00

7/в'> (Р-- г

0 3 6 9 1г 15

-

»•> 0

«'< 0

. г---

н

у ---в > 0

- гТ< 0

1 | 1 1—

(а)

0 3 6

12 15

Рис. 6. Потоки частиц через сепаратрису 5 и апертуру А (а). Доля частиц внутри сепаратрисы 5, апертуры Лив области гало пучка Н (б).

Стало возможным исследование и более тонких вопросов стохастической динамики частиц — шумовой ВЧ-гимнастики для формирования сгустка, механизмов транспорта гало, шумового наведения при медленном выводе в условиях сильной нелинейности продольного движения и др.

Пример расчета эволюции пучка под действием фазового шума со спектром 1 и коэффициентом диффузии 1 из рис. 4 показан на рис. 5 и 6. Здесь и далее используется безразмерное время диффузии

г' = га20Р{ о).

Известный закон эволюции распределения £) позволяет вос-

становить профили сгустка вдоль осей 1? и Отсюда легко найти ход изменения любых характеристик пучка, представляющих практический интерес и регистрируемых средствами диагностики ускорителя. Выбор способа постобработки определяется потребностями конкретной задачи.

Корректность разработанной методики решения несимметричной краевой задачи проверена и полностью подтверждена обоснованным вычислительным экспериментом — использованием прямых итерационных методов многооборотного трекинга макрочастиц и Монте-Карло.

В Главе 4 проведено численное исследование особенностей образования и транспорта гало сгруппированного пучка в условиях внешнего шума и слабых потерь энергии протонов на синхротронное излучение. В качестве числового примера использованы технические параметры и опубликованные результаты измерений на пучке в накопителе ОЕЭУ НЕПА-р (г. Гамбург, Германия). Это исследование является примером использования разработанной в диссертации методики для решения конкретной задачи, поставленной в рамках программы международного научно-технического сотрудничества между БЕвУ, Гамбург и ИФВЭ, Протвино.

Обоснована элементарная аналитическая теория формирования гало пучка, справедливая при малых отношениях "шум - дрейф" в системе. На ее основе с единых позиций объяснена вся феноменологическая картина формирования несгруппированного гало пучка в кольце НЕКА-р.

Материал главы служит косвенной экспериментальной проверкой достоверности расчетных методик, разработанных в диссертации.

В Главе 5 излагается результат экспериментального исследования и практического применения эффекта внешнего шума — физическое обоснование системы шумовой ВЧ-гимнастики для ускорителя У-70. Система предназначена для контролируемого изменения продольной формы сгустков на плато ввода с целью уменьшения пиковой плотности пучка и снижения кулоновского сдвига частоты бетатронных колебаний.

Описан комплект исследовательской электронной аппаратуры, установленной на ускорителе У-70. В ее состав входят генератор белого шума и схема формирования узкого резонансного спектра мощности фазового шума на пучке 3. Центральная частота спектра совпадает.' с частотой малых синхротронных колебаний. Экспериментально измеренный спектр показан на рис. 7а, соответствующий ему коэффициент диффузии — на рис. 76.

Рис. 7. Спектр шума (а) и коэффициент диффузии (б).

3Разработка и наладка систем электроники выполнена О.П. Лебедевым.

Получено хорошее согласие между результатами расчетов шумовой динамики и экспериментальными измерениями на пучке У-70 в сеансе 2002 г., см. рис. 8. Продемонстрировано, что ценой < 1% дополнительных потерь можно уменьшить пиковую плотность пучка и кулоновский сдвиг частоты бетатронных колебаний примерно на 25%.

з

о о та

5 1. ?

о

0.0 0.5 1.0 1.5

Г. С

Рис. 8. Измерение эволюции параметров сгустка при шумовой ВЧ-гимнастике. Сплошные линии — результат расчета, маркеры — экспериментальные точки. Здесь В' — фактор группировки пучка; Лгз — доля частиц, оставшихся внутри сепаратрис; Д^дс — нормализованная площадь под переменной частью сигнала тока сгустка.

С переходом к инжекции более коротких сгустков (с 95-100 до 80 не по основанию) эффективность метода только возрастет. Это свидетельствует о возможности создания технологической системы для контролируемого изменения продольной формы сгустков в ускорителе У-70 с помощью шумовой ВЧ-гимнастики. Система имеет хорошие перспективы для практического применения при дальнейшем увеличении интенсивности ускорителя.

В Главе 6 излагается еще один результат экспериментального исследования и практического применения эффекта внешнего шума — физическое обоснование и итоги испытаний макета системы стохастического (шумового) медленного вывода пучка протонов из синхротрона У-70.

ввод (6) ...

Рис. 9. Оборудование системы медленного вывода пучка из У-70.

Схема размещения оборудования системы медленного вывода пучка из У-70 показана на рис. 9. Трасса вывода начинается в электростатическом дефлекторе ЭД106, проходит через отклоняющие магниты ОМ24, 26 и завершается в выводном окне 30-го прямолинейного промежутка магнитной структуры. Протоны забрасываются за перегородку ЭД106 с помощью поперечного резонанса Зфх = 29, где (~)х — горизонтальная бетатронная частота. Резонансная гармоника квадратичной нелинейности магнитного поля возбуждается секступольными линзами 812, 72 и Э42, 102. Регистрация тока медленно выведенных частиц осуществляется косвенным методом. В качестве датчика сигнала сброса пучка используется монитор вторичных частиц. Он измеряет потери пучка на перегородке ЭД106 и установлен в 106-м прямолинейном промежутке (монитор-106).

При обычном медленном выводе пучок подводится .к рабочему резонансу 3= 29 с помощью магнитооптических элементов — ква-друпольной линзы (^38 и/или ведущего магнитного поля (создается так называемый "наклон" или спад поля). В результате многолетних усилий службы вывода 4 пульсации токов возбуждения магнитной оптики уменьшены до предела технических возможностей источни-

4Ю.С. Федотов. Диссертация на соискание ученой степени доктора физ.-мат. наук. — Автореферат ИФВЭ 2004-29, Протвино, 2004.

ков питания. Поэтому обычный медленный вывод практически исчерпал свои возможности в плане увеличения длительности вывода при сохранении его качества.

Стохастический (шумовой) медленный вывод призван решить эту проблему — увеличить длительность вывода и заметно улучшить его временную структуру. Для наведения пучка на резонанс вместо линзы Q38 пли спада магнитного поля используется вспомогательная ускоряющая система частоты 200 МГц — станция перегруппировки пучка (СПГП). Это пара резонаторов, расположенных в 44-м прямолинейном промежутке У-70 (рис. 9).

Идея продольного шумового наведения пучка на поперечный выводной резонанс в протонном синхротроне с ненулевой хроматично-стыо бетатронных колебаний предложена Симоном ван дер Меером (Simon van der Meer, CERN) в 1978 г. Техническая реализация классической схемы шумового вывода, использовавшейся в CERN, имеет следующие особенности:

1. Пучок является однородным вдоль азимута кольцевого ускорителя.

2. Шумовое наведение проводится путем изменения граничной частоты спектра шума. Она постепенно надвигается на пучок, ожидающий вывода.

3. Локальное увеличение скорости наведения вблизи резонанса вывода достигается с помощью дополнительного источника шума, имеющего выраженный резонансный спектр (так называемый chimney, "труба, дымоход").

Схема шумового вывода пучка из У-70 заметно отличается от классического варианта. Причиной тому являются технические ограничения, присущие У-70 и влияющие на выбор принципиальных решений.

Длительность верхнего плато магнитного поля в У-70 не превышает 2-3-4 с (для энергий 70-60-50 ГэВ соответственно). Поэтому шумовой вывод реализуется на пределе возможности метода со стороны малых времен.

В качестве продольного толкателя приходится использовать уже имеющуюся станцию перегруппировки пучка на частоту 200 МГц (СПГП). Поэтому надо учитывать следующие обстоятельства:

1. При доступных амплитудах напряжения частоты 200 МГц возможности воздействия на пучок ограничены. Для сокращения времени диффузии пучок и выводной резонанс должны быть размещены как можно ближе друг к другу на продольной фазовой плоскости.

2. По техническим причинам невозможна генерация шумового напряжения при полностью подавленном детерминированном (неслучайном) несущем колебании частоты 200 МГц. Можно реализовать только комбинированный режим "гармоническое колебание -Ь аддитивный шум".

3. Ограниченная полоса пропускания резонаторов позволяет работать только с НЧ модулирующими случайными сигналами в полосе 0-10 кГц. Полный некогерентный разброс по частотам пучка вблизи 990-й гармоники частоты обращения (200 МГц) равен 4-6 кГц. Частотный портрет пучка должен находиться рядом с линией 200 МГц, а на продольной фазовой плоскости пучок вынужден оказаться вблизи сепаратрис 200 МГц.

Поэтому при шумовом выводе из У-70 диффузия по импульсам проходит в области сильно нелинейного продольного движения в непосредственной близости от пустых сепаратрис вспомогательного ускоряющего поля. Выводимый пучок уже не однороден по азимуту, но еще не сгруппирован.

Принципиальная схема шумового вывода из У-70 показана на рис. 10. Цифровые обозначения к нему объяснены в табл. 1, где Ах — амплитуда горизонтальных бетатронных колебаний, С}х — их частота.

Концентрические кривые — линии уровня двумерной функции распределения пучка на плоскости (АХ)(р—р3)/р3), где р — импульс, р3 — его равновесное значение.

Равнобедренный треугольник с основанием 1-4 является образом поперечного резонанса Зфж = 29 на плоскости (Ах,(р —р3)/р3).

Рабочая полуширина выводного резонанса 3-4 полностью размещается в верхней половине сепаратрисы 2-5. Изменение расстояния 2-3 регулирует меру возможного выхода частиц в нерабочую область <3Х < 29/3.

Рис. 10. Диаграмма Стейнбаха (Ch. Steinbach) для режима стохастического медленного вывода пучка из У-70.

Процесс шумового наведения не влияет на распределение частиц по Ах. Диффузионные потоки направлены вверх на плоскости (Ax,(p — ps)/ps), рис. 10. Имеются три зоны с различными механизмами транспорта:

1. На участке 7-9 идет медленная диффузия. Попутно она сглаживает и унифицирует импульсный профиль пучка, ожидающего вывода.

2. В буферном слое 6-7 скорость диффузии увеличена. Это уменьшает пульсации вывода из-за возможной нестабильности взаимного положения центра пучка 8 и сепаратрисы 2-6.

3. После пересечения границы 6 частицы очень быстро, менее чем за один период продольных колебаний попадают в верхнюю полуплоскость (Ах, (р — р3)/рз)- Там они оказываются в зоне действия резонанса 1-4, быстро увеличивают амплитуду Ах и выводятся из ускорителя. Слой 2-6 оказывается функциональным аналогом области "chimney" (см. п. 3 из списка на стр. 29) с той разницей, что

в нем диффузионный механизм передвижения частиц заменен на более быстрый поступательный циклический.

Таблица 1. Легенда к рис. 10 и 11а.

3 Центр резонанса 3С}х = 29. Вывод частиц с Ах = 0.

1, 4 Вывод частиц с тахЛ^.

1-3, 3~4 Две полуширины резонанса.

3~4 Рабочая полуширина резонанса с С}х > 29/3.

5 Импульс равновесной частицы сепаратрисы 200 МГц. Центральная орбита.

2-6 Импульсный размер сепаратрисы 200 МГц. 8 Центр пучка, ожидающего вывода.

7-9 Ядро пучка. Медленный диффузионный транспорт.

7-6 Буферный слой. Быстрый диффузионный транспорт.

Малая плотность пучка. 6-3 (4) Очень быстрый транспорт за счет циклических синхротронных колебаний.

6 "Поглощающая стенка" (сток) для краевой задачи диффузии по импульсу.

Внутренняя область сепаратрисы становится ловушкой для частиц, задерживающей их в зоне действия выводного резонанса. При этом задействованы два механизма перемешивания частиц перед выводом, способствующие уменьшению когерентных пульсаций, — случайная величина начальной фазы синхротронного движения, при которой пересекается нижняя ветвь 6 сепаратрисы, и большой естественный разброс по частотам нелинейных синхротронных колебаний вблизи сепаратрис.

Характерный масштаб времени диффузии в слоях 7-9 и 6-7 сравним с длительностью вывода (секунды, доли секунд). Синхро-тронное движение в слое 2-6 и вывод частицы в полосе 2~4 проходят со временами 1-5 мс. Столь большая разница характерных масштабов £ позволяет рассматривать линию 6 как "поглощающую

стенку" для краевой задачи диффузии. Важно, что положение этой "стенки" не зависит от Ах. Одно решение уравнения диффузии представляет все бетатронные амплитуды в пучке. "Упрощается процесс управления выводом, поскольку поток частиц более не зависит от вида функции распределения по Ах в ожидающем пучке.

На рис. 11а показан срез диаграммы рис. 10 вдоль фазовой плоскости (■&, ■&') в i = 0. Правая колонка цифровых обозначений расшифрована в табл. 1. На обоих рис. 10 и 11а направление к центру ускорителя — вниз.

Рис. 11. Портрет пучка и сепаратриса на продольной фазовой плоскости (а). Коэффициент диффузии (кривая 1) и эволюция профиля пучка (кривые 2) (б).

Начальный профиль пучка F(¿T,t = 0) нормирован на 1. Он формируется после выключения ускоряющего поля частоты 6 МГц в результате последующей разгруппировки пучка и перехода к фазовому портрету рис. 11а. Далее эволюция F{J, t) описывается уравнениями (23) и (24) в пространственной области [с]: »7s < J < оо (см. рис. 3). Дрейф частиц (25) не учитывается. Граничные условия F(<Js11) — F(oo, t) — 0. Доля частиц N(t), остающихся в пучке ко времени í, находится как

roo

N(t)= / F(J,t)dJ, N( 0) = 1. (38)

JJs

"Убыль интенсивности пучка идет по закону

~(t) = Q(JS, t), Q(J, t) = -D(J, (39)

где Q(Js, t) < О есть диффузионный поток частиц извне через сепаратрису. Поток частиц на вывод обозначен Ф(f) = —Q(^7s,t) > 0.

Кривая 1 на рис. 4а показывает используемый спектр фазового шума. Технически он получен после фильтрации белого шума через реализуемый фильтр нижних частот (ФНЧ) Баттерворта 6-го порядка. Кривые 1 на рис. 46 и 116 показывают соответствующий коэффициент диффузии. Частота среза -P(fi) выбрана так, чтобы основание D(J~) не выходило за наружную границу профиля пучка при t — 0.

Результаты решения уравнения диффузии для фазового шума со спектром 1 (рис. 4а) представлены рис. 116. Семейство кривых 2 показывает профили пучка в 6 равноудаленных точках времени диффузии i! = 0,50,.. .250 (определение t' см. на стр. 25).

На рис. 12 показаны графики функций JV(i') и Ф'(4') = dN{t')/dt соответствующих решениям рис. 116. Это так называемые "естественные" сбросы пучка, получаемые при постоянной мощности шума наведения. Они не имеют плоской вершины. Однако потребителям пучка нужен равномерный вывод частиц (прямоугольные импульсы сброса).

Для уплощения импульса сброса в классическом варианте схемы шумового вывода изменяется граничная частота спектра шума. В результате уравнение диффузии, описывающее вывод, получает существенно нестационарный коэфициент D(S, t), а сам процесс диффузии оказывается весьма непростым для анализа и практического применения.

В У-70 используется другая схема наведения. В ней спектр шума имеет вид функции 1 на рис. 4а. Его верхняя граничная частота фиксирована и согласована с частотой обращения частиц на границе пучка, дальней от центральной орбиты, см. рис. 11. Для управления потоком Ф(£) изменяется уровень мощности шума P(fi). Таким образом достигаются три цели:

Рис. 12. Интенсивность пучка (кривая 1) и поток частиц на вывод (кривая 2). Общая картина (а) и начало (б) процесса диффузии. Естественный сброс.

1. Упрощается техническая реализация метода — используются схемы управляемой амплитудной модуляции случайного несущего колебания.

2. Шум действует сразу на весь циркулирующий пучок, ожидающий вывода. Тем самым попутно формируется профиль пучка, слабо зависящий от предыстории ускорения в данном магнитном цикле.

3. Легко доказать существование идеального закона наведения и получить расчетные характеристики импульсов сброса. Это особенно важно для У-70, где шумовой вывод реализуется вблизи предела длительности по £ со стороны малых времен и важно выбрать все допуски.

Таким образом, при стохастическом наведении в У-70 происходит медленное изменение уровня мощности шума, когда его спектр Р(0.) приобретает дополнительный фактор Р(Л) £?(£), где С?(£) > 1 обозначает закон наведения — фактор форсирования шума. При С?(<) — 1 получаем естественный сброс. Его представляют расчетные либо измеренные экспериментально функции 1 и 2, показанные на рис. 12. Отметим такие естественные законы вывода нижним индексом-маркером

N(t) = N.(t), Ф(г) = Ф.(г) для ед = 1. (40)

Из-за введения медленного фактора G(t) ф 1 ход сброса изменится как

N(t) = N. Qf' G(t) dtj , Ф(*) = G(t) Ф. Qf' G(i) dt^ . (41)

Отсюда легко установить закон наведения G(t), обеспечивающий линейную убыль N(t) и плоский импульс Ф(£) в управляемом сбросе. Рис. 13 показывает результаты применения расчетной процедуры выравнивания импульса вывода. Тонкие линии представляют естественный сброс. Закон наведения (рис. 13с) немонотонен и имеет особенности при t' = 0 и t's, где t's = А^(0)/тахФ' - предельная (асимптотическая) длительность сброса.

Рис. 13. Уплощение импульса выводного потока при шумовом наведеиии.

Форсирование шума в начале вывода нужно для укорочения переднего фронта импульса. Уже при С?(0) = 3-5 этот фронт становится пренебрежимо малым. Для получения идеального импульса вывода с нулевым задним фронтом (рис. 13Ь) потребуется сколь угодно большое увеличение уровня шума к концу вывода. Это недостижимо технически. Поэтому шумовой вывод 100% пучка (как вообще, так и под плоской вершиной импульса) невозможен. Остаток пучка придется выводить другими способами (быстрый вывод, внутренние

мишени). Размер этого остатка, как и длина плоской вершины импульса, зависят от аппаратно приемлемого фактора форсирования шума С?м = тах <?(£).

После достижения этого предела функция С?(£) насыщается и формируется задний фронт импульса. В нем вывод идет по естественным законам (40) для постоянного уровня мощности шума Р(Г2) См- В У-70 используются величины См < 15-20.

В осеннем (2004 г.) сеансе синхротрона У-70 проведено экспериментальное исследование естественных сбросов.

На рис. 14а показаны сигналы индукционного датчика интенсивности циркулирующего пучка. Нормализация сигнала N(4) на 1 в Ь = 0 осуществлена при постобработке данных. На рис. 15а показаны сигналы сброса — выводимый поток Ф(£), измеренный с помощью монитора-106 вторичных частиц. Учтена только низкочастотная часть сигнала сброса со спектром в полосе 0-10 Гц (по уровню —3 дБ). Экспериментальные кривые на рис. 14а и 15а измерялись одновременно. На рис. 146 и 156 построены расчетные зависимости. Коэффициенты геометрического подобия между экспериментальными кривыми согласуются с фактором изменения мощности шума на входе задающего генератора. Статические регулировочные характеристики пучка при шумовом выводе соответствуют ожидаемому поведению (41).

Рис. 14. Интенсивность циркулирующего пучка, эксперимент (а) и расчет (б).

Рис. 15. Низкочастотная часть сигнала сброса, эксперимент (а) и расчет (б).

Таким образом, в результате осеннего (2004 г.) сеанса У-70 получены следующие результаты:

1. Экспериментально продемонстрирована принципиальная возможность создания системы стохастического медленного вывода в ускорителе У-70.

2. Установлено, что возможностей вспомогательной ускоряющей системы частоты 200 МГц (мощность, линейность и динамический диапазон фазочастотного модуляционного входа тракта) достаточно для медленного вывода 80-90% циркулирующего пучка с растяжкой в 2—3 с и более.

3. Определены первичные технические данные, необходимые для разработки полнофунционального макета систем обратной связи для формирования плоской вершины импульса и подавления пульсаций вывода.

Принципиальная схема системы обратной связи по току выведенного пучка для стохастического медленного вывода показана на рис. 16.

Объектом управления является пучок при шумовой раскачке. Его поведение описывается уравнениями (41). Такая система не является линейной и инвариантной во времени. Функции /*/.(£) и Ф,(£) — законы естественного сброса — неизменны и выполняют роль структурных функций задачи. Точка приложения управляющего воздей-

ствия — это закон наведения (?(¿). Цель управления — получение прямоугольного импульса сброса с плоской вершиной Фрт и длительностью 1/Фрт-

Уровень плоской вершины

4 т__' г

V

Пучок.

не ЛИВ система

t к

Шум.

G, Р

ЛИВ цепь ОС

Р D

Рис. 16. Система обратной связи по току выведенного пучка.

Уравнение замыкания обратной связи есть

_ - ¿>ф(/Ь) (¿)9 (42)

где 8&iot)(t) — остаточная ошибка регулирования; 5Ф(ext\i) — внешняя ошибка, задаваемая сторонними факторами; — корректирующий сигнал.

Исполняющее воздействие доводится до пучка в пропорциональном виде

G(t) = G0(t) - 6G(t), SG(t) = KS^M\t), (43)

где К > О — постоянный коэффициент усиления; Go(t) — невозмущенный закон наведения.

Для режима малого сигнала получим

Г (t) dt =--- Г 5Фх1У> (t) dt. (44)

Jo Go{t)dt)

Обслуживается интегральная ошибка сигнала сброса, накопленная к текущему моменту t. Такова природа объекта управления.

Возможны два варианта дальнейшего применения формулы (44):

1. Цепь с обратной связью по постоянному сигналу. Ее назначение — формирование плоской вершины импульса вывода. В этом случае Со(£) = 1, а внешняя ошибка суть

<5ф(е1{)(£) = Ф.(£) - Фгт.

(45)

2. Цепь с обратной связью по. переменному сигналу. Ее назначение — подавление пульсаций вывода. В этом случае невозмущениый закон наведения бо(4) обеспечивает прямоугольный сброс, и в знаменателе формулы (44) нужно использовать равенство

Теперь внешняя ошибка имеет смысл переменной составляющей (пульсаций) сигнала вывода, наблюдаемой при разомкнутой цепи обратной связи,

На практике вычитание постоянной составляющей происходит за счет использования фильтра верхних частот (ФВЧ) .

Схемотехническим аналогом задачи управления пучком при стохастическом медленном выводе является задача получения и стабилизации прямоугольного импульса разряда конденсаторной батареи С через апериодическую НЬС цепь с управляемыми переменными сопротивлением Н и индуктивностью Ь. Обоснование и применение этой схемотехнической модели сэкономило время на создание системы управления выводом. Оно позволило объединить этап изучения динамики системы обратной связи в замкнутом состоянии в режиме большого сигнала и разработку электроники.

Макетный вариант аналоговой электронной аппаратуры низкого уровня мощности для стохастического вывода был разработан и установлен в стойке управления ускоряющей системой частоты 200 МГц в технологическом здании 5/6 ускорительного комплекса У-70 5. Реализована блок-схема, показанная на рис. 17. Цепь с

БРазработка и наладка систем электроники выполнена О.П. Лебедевым.

(47)

обратной связью по постоянному сигналу имеет полосу пропускания 0-10 Гц, а по переменному — 10-100 Гц (по уровню —3 дБ). Коэффициенты усиления каналов устанавливаются раздельно.

Рис. 17. Блок-схема цепи обратной связи для управления стохастическим выводом.

Стохастический медленный вывод с плоскими вершинами сброса надежно и воспроизводимо получен в осеннем (2005 г.) сеансе У-70. Энергия 50 ГэВ. Интенсивность выведенного пучка 2-5-1012 протонов в импульсе.

Предварительная отработка методики настройки аппаратуры и измерений с помощью схемотехнической модели пучка при стохастическом выводе полностью оправдала себя. Аппаратура оказалась достаточно простой и понятной в работе с пучком.

На рис. 18 показаны осциллограммы, полученные при настройке стохастического вывода из У-70. Длительность вывода 2.2 с.

На рис. 18а показан естественный сброс при постоянной мощности шума наведения 1. Сигнал обратной связи 3 сформирован, но не подключен к исполняющему устройству. В этих условиях луч 3 — это постоянная составляющая сигнала естественного сброса 4-

На рис. 186 цепь обратной связи замкнута, но ее амплитудный модулятор входит в режим насыщения (см. огибающую шума 1). После этого управляемый плоский сброс 4 переходит в естественный затухающий. Выброс на переднем фронте сигнала 4 вызван перере-

гулировкой при включении обратной связи. Этот выброс устраняется введением задержки момента включения обратной связи.

Рис. 18. Экспериментальные осциллограммы: шум наведения (луч 1); интенсивность циркулирующего пучка (2); сигнал обратной связи (3); сигнал сброса (4), его знак инвертирован. Цена деления по шкале времени 0.5 с.

Рис. 18в показывает, что согласованном выборе начальной мощности шума, уровня плоской вершины сброса и длительности стохастического вывода удается получить хороший медленный вывод 84% пучка за 2.2 с.

На рис. 19 показаны экспериментальные осциллограммы стохастического вывода пучка посте их постобработки. Заданы разные опорные сигналы в устройстве сравнения цепи обратной связи. Они определяют среднюю скорость сброса. Количественные характеристики импульсов сброса представлены в табл. 2. Длительность импульса вывода по основанию составляет 1.40 с. Только это время было доступно по программе исследований на У-70: на второй половине плато магнитного поля использовались внутренние мишени, работавшие на физический эксперимент.

Лучи 1 на рис. 19 показывают шумовое напряжение u(t) (в единицах мВ) на входе задающего генератора частоты 200 МГц. Квадрат сглаженной огибающей этого сигнала повторяет закон наведения G(t).

Лучи 2 на рис. 19 показывают сигнал индукционного датчика тока циркулирующего пучка, нормированный на 1 в t = 0 при постобработке.

Таблица 2. Измеренные характеристики импульсов сброса.

Рисунок: 19а 196, 21а 216

Доля выведенного пучка, % 80 43 86

Время вывода, с 1.40 1.40 2.10

Средняя скорость вывода Ф^с, 1 /с 0.57 0.31 0.41

Отношение с.к.в. <5Ф/Фас 0.27 0.20 1.06

Лучи 3 на рис. 19 показывают нормализованный сигнал монитора-106 вторичных частиц. Он пропорционален току медленно выводимого пучка. Сигнал сброса имеет малую переменную составляющую. Отсутствуют пульсационные отсечки потока вывода. Измеренный спектр пульсаций непрерывен и равномерен в полосе 5-500 Гц. Он не содержит выраженных сетевых гармоник и проходит на уровне —(40—45) дБ по отношению к постоянной составляющей сигнала сброса Фас-

Гистограмма плотности распределения наблюдавшихся пульсаци-онных выбросов показана на рис. 20. В первом приближении пульсации стохастического сброса являются белым гауссовым шумом.

(а) 1,с (б) /.с

Рис. 19. Осциллограммы стохастического вывода при разной скорости наведения. Шум действует на пучок в интервале времени 3151715 мс.

3 2

Рис. 20. Гистограммы распределения пульсационных выбросов. Кривая 1 соответствует сигналу сброса рис. 19а и 21а, кривая 2 — рис. 196, кривая 3 — рис. 216.

Со скоростью сброса, указанной на рис. 196, 80% пучка могло бы быть выведено за время 2.6 с. Это является проектной цифрой из физического обоснования системы стохастического вывода. Максимальная длительность вывода ограничена допустимым временем работы магнитных дефлекторов трассы вывода (3.5 с при энергии 50 ГэВ). Видно, что система стохастического вывода способна обслужить такие растяжки.

Переход к стохастическому наведению позволяет заметно улучшить качество медленного вывода. Сравнение между стохастическим и обычным выводом в сеансе 2005 г. проведено на рис. 21 и 22. Количественные характеристики сигналов представлены в табл. 2. Спектр пульсаций сброса при обычном наведении квадрупольной линзой €¡>38 сильно поражен сетевыми гармониками. Непрерывная составляющая спектра пульсаций имеет примерно одинаковый уровень при обычном и стохастическом выводе.

Таким образом, стохастический (шумовой) медленный вывод протонного пучка из синхротрона У-70 проверен экспериментально в макетном варианте, понятен, работоспособен и прост в управлении. Он соответствует потребностям и возможностям ускорителя У-70. Физическое обоснование системы успешно прошло практическую проверку.

Рис. 21. Импульсы сброса при стохастическом (а) и обычном (б) медленном выводе.

Фактически У-70 приобретает новую по функциональным возможностям систему вывода. Она обладает рядом свойств, важных как для ускорителя, так и потребителей пучка.

О 100 200 300 400 500 (б) f. HZ

Рис. 22. Амплитудные спектры пульсаций при стохастическом (а) и обыч- . ном (б) медленном выводе. Сбросы показаны на рис. 21.

С точки зрения ускорителя, открываются новые возможности по повышению эффективности медленного вывода. Тому служат:

1. Стационарность токов возбуждения магнитной оптики в процессе вывода. Квадрупольная линза Q38 и спад магнитного поля более не нужны.

2. Стационарность центрального импульса выводимого пучка протонов. Трасса пучка в пределах кольца, в канале транспортировки и положение пучка на внешней мишени не изменяется во время вывода.

3. Отсутствие так называемой "пробежки" по бетатронной амплитуде выводимого пучка. Этим обеспечена стационарность функции

s„ J ...

§0.01

(а)

200 300 f, Hz

i

600

распределения по забросу в дефлектор ЭД106 при постоянном токе вывода.

4. Оперативная свобода в выборе направления перемещения рабочей точки по плоскости бетатронных частот О у)- Это направление задано корректируемым вектором хроматичности (хх,Ху)-При обычном наведении на резонанс с помощью линзы (^38 рабочая точка перемещается только параллельно вектору (—0.03, +0.02).

С точки зрения потребителей пучка, интерес представляют:

1. Большие растяжки вывода. Длина медленного вывода ограничивается уже не схемой наведения, а длительностью верхнего плато магнитного поля и возможным временем работы дефлекторов трассы вывода.

2. Хорошее качество временной структуры импульсов вывода. В сигнале сброса наблюдается уменьшенный уровень пульсаций, отсутствуют пульсационные отсечки и подавлены когерентные сетевые гармоники.

3. Хорошая повторяемость импульсов вывода в циклах У-70. Это связано с работой сильной стабилизирующей обратной связи и "стиранием памяти пучка" о предыстории ускорения в данном цикле благодаря фоновому действию шума наведения.

4. Возможность увеличения интенсивности медленного вывода. В ходе стохастического наведения ожидающий пучок, взаимодействующий с рабочим видом колебаний выключенных резонаторов основной ускоряющей системы, удаляется от порога самогруппировки.

5. Принципиальная возможность организации параллельной (одновременной) работы стохастического медленного вывода и внутренних мишеней, расположенных на "отрицательных" (внутренних) радиусах ускорителя У-70. (Возможность последовательной работы в одном цикле ускорения стохастического медленного вывода и внутренних мишеней сохраняется.)

В Заключении сформулированы основные результаты диссертационной работы:

1. Проведен вывод уравнения шумовой диффузии сгустка в протонном синхротроне на основе последовательного динамического

подхода, начинающегося с уравнения A.A. Власова. В максимальной степени использован формальный аппарат, развитый в теории продольных когерентных неустойчивостей сгруппированного пучка. Установлены общие условия применимости диффузионного приближения.

2. Проведена классификация внешних шумов в протонном синхротроне. Выявлены два типа технически обусловленных стационарных (в широком смысле) источников шума, задаваемых в лабораторной системе, — это шумы низкочастотные амплнтудно-мо-дулирующие и шумы высокочастотные полосовые. На этой основе предложена универсальная модель случайного поля, изучавшаяся в диссертации.

3. Установлена структура, и впервые получено общее выражение для коэффициента диффузии сгруппированного пучка под действием широкополосного шума, спектр которого перекрывает произвольное число гармоник частоты обращения пучка по орбите. Установлен вид упрощений, позволяющих воспроизвести известные результаты других авторов и установить предел их применимости.

4. Произведен расчет коэффициента шумовой диффузии для пучка, движущегося вне (возможно, вблизи) стационарных сепаратрис ускоряющего поля. Для этой области впервые получены замкнутые выражения в терминах эллиптических функций для весов суммирования вкладов мультипольных гармоник в коэффициент диффузии.

5. Получены аналитические выражения для коэффициента диффузии сгустка, находящегося под действием стационарного (в лабораторной системе) высокочастотного полосового шума. Эта классическая модель стохастической системы представляет самостоятельный методический интерес.

6. Подтверждена возможность интерпретации движения протонов по незамкнутым фазовым траекториям вне сепаратрис при слабых потерях энергии как медленного систематического дрейфа с постоянной скоростью изменения переменной действия.

7. Разработан последовательный импедансный подход к анализу работы систем обратной связи по пучку в протонном синхротроне и учтено их влияние на диффузию пучка под действием внешнего

шума. Цепи обратной связи рассматриваются в расширенном смысле — как активные элементы штатного оборудования ускорителя, либо как паразитные системы, образованные пассивными импедан-сами вакуумной камеры и отвечающие за возможность развития продольных когерентных неустойчивостей пучка.

8. Разработана и отлажена методика численного решения несимметричной одномерной краевой задачи для уравнения непрерывности (диффузии) методом конечных элементов в трёх сшитых частичных областях. Учтено пересечение частицами сепаратрис и возможное неравноправие верхней и нижней полуплоскостей продольной фазовой плоскости за сепаратрисами без перехода к двумерной пространственной модели.

9. Проведен обоснованный вычислительный эксперимент по проверке достоверности численных решений несимметричной краевой задачи для уравнения непрерывности с помощью прямых итерационных методов многооборотного трекинга макрочастиц и Монте-Карло.

10. Разработана элементарная теория формирования и транспорта гало сгруппированного пучка под действием внешнего шума и слабых потерь энергии На ее основе даио объяснение феноменологической картины образования гало пучка в синхротроне ВЕБУ НЕЛА-р.

11. Обоснована и экспериментально проверена на пучке У-70 система шумовой ВЧ-гимнастики, предназначенная для контролируемого изменения продольной формы сгустка на плато ввода.

12. Обоснована и экспериментально проверена на пучке У-70 оригинальная схема стохастического медленного вывода, обладающая существенными элементами новизны в принятых технических решениях.

Пункты 11 и 12 этого списка представляют работы над прототипами стохастических радиотехнических систем, предназначенных для практического использования эффектов внешнего шума в синхротроне У-70 ИФВЭ.

Таким образом, выполнен цикл теоретических, численных и экспериментальных исследований стохастических процессов продольной

динамики частиц в протонном синхротроне, имеющий внутреннее единство.

Решена научная проблема, имеющая важное значение для физики пучков заряженных частиц и ускорительной техники. Предложены научно обоснованные технические решения, актуальные для эксплуатации и разработки больших протонных синхротронов на высокие энергии.

Внедрение результатов диссертации расширит возможности использования протонного синхротрона У-70 ИФВЭ — крупнейшего в России ускорителя — для экспериментальных исследований по физике высоких энергий.

Результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

Список литературы

[1] С.В. Иванов. Продольная диффузия сгустка протонов под действием внешнего шума. Препринт ИФВЭ 92-43, — Протвино, 1992. (рус./анг.).

[2] С.В. Иванов. Продольная диффузия сгустка протонов под дей-ствиелг внешнего шума (широкополосный шум). Препринт ИФВЭ 93-14, — Протвино, 1993. (рус./анг.).

[3] S. Ivanov. Calculated Evolution of a Proton Bunch under RF-Noise. — В кн.: Proceedings of 3-rd European Particle Accelerator Conference EPAC-92, том 2, стр. 956-958, — Берлин, 1992.

[4] S. Ivanov. Longitudinal Diffusion as Inflicted by Arbitrary BandWidth Random-Modulated Currents in Feeders of De-tuned Cavities. — В кн.: Proceedings of US Particle Accelerator Conference USPAC-93, том 5, стр. 3561-3563, — Вашингтон, 1993.

[5] S. Ivanov. Effect of Feedbacks and Below-Threshold Instabilities on Bunched-Beam Longitudinal Diffusion Inflicted by an External RF-Noise. — В кн.: Proceedings of 4-th European Particle Accelerator Conference EPAC-94, том 2, стр. 1087-1089, — Лондон, 1994.

[6] C.B. Иванов, О.П. Лебедев. Изменение продольной формы сгустков в ускорителе У-70 с помощью шумовой В Ч-гимнастики. — Атомная энергия, том 93, вып. б, стр. 456-460, 2002.

[7] S. Ivanov, О. Lebedev. Coasting Beam in HERA-p Ring. Report DESY HERA 01-03, - Гамбург, 2001.

[8] S. Ivanov, О. Lebedev. Noise Performance Studies at the HERA-p Ring. Report DESY HERA 03-02, — Гамбург, 2003.

[9] S. Ivanov, О. Lebedev, R. Wagner. Upgrading Noise Performance . of 52 MHz RF Cavity В in the HERA-p Machine. DESY Technical Note 2003-02, — Гамбург, 2003.

[10] C.B. Иванов, О.П. Лебедев. Исследование возможности стохастического медленного вывода пучка из синхротрона У-70. Препринт ИФВЭ 2004-22, — Протвино, 2004.

[11] S. Ivanov, О. Lebedev. A Stochastic Slow Extraction Scheme for U70 Synchrotron. — В кн.: Proceedings of 19-th Russian Particle Accelerator Conference RuPAC-2004, том CD-ROM, стр. 192-194, — Дубна, 2004.

[12] C.B. Иванов, О.П. Лебедев. Эксперимент,альное исследование режима стохастического медленного вывода пучка из синхротрона У-70. — Приборы и техника эксперимента, том (вып.) 2, стр. 14-31, 2006.

[13] C.B. Иванов, О.II. Лебедев. Цепь обратной связи для стохастического вывода протонов из синхротрона ИВФЭ. Разработка и эксперименты на пучке. Препринт ИФВЭ 2006-3, — Протвино, 2006.

[14] S. Ivanov, О. Lebedev. Beam Tests of a Stochastic Slow Extraction in the U70. — ICFA Beam Dynamics Newsletter, том (вып.) 36, стр. 60-62, 2005.

[15] S. Ivanov. Impedance Treatment of Longitudinal Coupled Bunch Feedbacks in a Proton Synchrotron. Препринт ИФВЭ 96-8, — Протвино, 1996. (анг.).

[16] S. Ivanov. Impedance Matrix — an Unified Approach to Longitudinal Coulpled Bunch Feedbacks in a Synchrotron. — В кн.: Proceedings of 1995 US Particle Accelerator Conference and International Conference on High Energy Accelerators, том 5, стр. 2949-2951,

— Даллас, 1995.

[17] S. Ivanov. Longitudinal Coupling Impedance Imposed by a Beam Feedback in a Synchrotron. Nuclear Instruments & Methods in Physics Research, Sect. А, том 391, вып. 1, стр. 64-68, 1997.

[18] С.В. Иванов. Система обратной связи для стабилизации ускоряющего поля в УНК. Препринт ИФВЭ 94-43, — Протвино, 1994.

[19] С.В. Иванов, А.Ю. Маловицкий. Система продольной обратной связи по пучку в УНК. Препринт ИФВЭ 96-7, — Протвино, 1996.

[20] S. Ivanov, A. Malovitsky. Longitudinal Coupled Bunch Beam Feedback System in the UNK. — В кн.: Proceedings of 5-th European Particle Accelerator Conference EPAC-96, том 2, стр. 1048-1050, — Барселона, 1996.

[21] С.В. Иванов. Фазо-частотный контур УНК. Препринт ИФВЭ 98-31, — Протвино, 1998.

[22] S. Ivanov. Phase-Frequency Beam Feedback System in the UNK.

— В кн.: Proceedings of 17-th International Conference on High Energy Accelerators HEAC-98, том CD-ROM Rep. ID: 50b, — Дубна, 1998.

[23] С.В. Иванов. Ускорение интенсивного пучка протонов и системы обратной связи в проекте УНК (обзор). — В кн.: Сборник докладов 16 Совещания по ускорителям заряженных частиц, том 2, стр. 5-12, — Протвино, 1998.

[24] C.B. Иванов, О.П. Лебедев. Анализ устойчивости комплекса обратных связей высокочастотной системы синхротрона У-70.

— Приборы и техника эксперимента, том (вып.) 5, стр. 6-19, 2002. Также, препринт ИФВЭ ОУ У-70 2001-46, — Протвино, 2001.

[25] C.B. Иванов, О.П. Лебедев. Система подавления квадруполъных колебаний пучка в ускорителе У-70. — Атомная энергия, том 93, вып. 6, стр. 460-464, 2002.

[26] C.B. Иванов, О.П. Лебедев. Подавление самогруппировки пучка в ускорителе У-70. Препринт ИФВЭ 99-39, — Протвино, 1999.

[27] C.B. Иванов, В.И. Валбеков. Микроволновая неустойчивость пучка в протонных синхротронах. Атомная энергия, том 59, вып. 1, стр. 42-48, 1985. Также, препринт ИФВЭ ОУНК 84-28

— Серпухов, 1984.

[28] C.B. Иванов, В.И. Валбеков. Пороги продольной неустойчивости сгруппированного пучка в протонных синхротронах. Атомная энергия, том 60, вып. 1, стр. 45-51, 1986. Также, препринт ИФВЭ ОУНК 84-211, — Серпухов, 1984.

[29] C.B. Иванов, В.И. Валбеков. Исследование методов подавления продольной неустойчивости сгруппированного пучка при помощи затухания Ландау. Атомная энергия, том 62, вып. 2, стр. 98-104, 1987.

[30] C.B. Иванов, В.И. Валбеков. Продольные неустойчивости пучка в протонных синхротронах (обзор). — В кн.: Труды 13 Международной Конференции по ускорителям высоких энергий, том 2, стр. 124-129, — Новосибирск, Наука, 1987.

[31] C.B. Иванов. Пороги продольной неустойчивости встречных р+р~ или е~ е+ пучков в накопителе. Препринт ИФВЭ 89-163,

— Серпухов, 1989. (рус./анг.).

Рукопись поступила 10 мая 2006 года.

C.B. Иванов.

Исследование и применение стохастических, эффектов в протонном синхротроне.

Оригинал-макет подготовлен с помощью системы Редактор Н.В. Ежела.

Подписано к печати 06.05.2006. Формат 60 х 84/8.

Офсетная печать. Печ.л. 3,32. Уч.-изд.л. 2,85. Тираж 100. Заказ 59. Индекс 3649. ЛР т020498 17.04.97.

ГНЦ РФ Институт физики высоких энергий 142284, Протвино Московской обл.

Индекс 3649

АВТОРЕФЕРАТ 2006-6, ИФВЭ, 2006

Введение

1 Теория шумовой диффузии

1.1 Вводные замечания

1.2 Общие положения.

1.3 Динамическое обоснование диффузионной модели.

1.4 Ускоряющее поле и его шумы.

1.5 Диффузия внутри сепаратрис

1.6 Диффузия вне стационарных сепаратрис.

1.7 Упрощающие предположения.

1.8 Общий случай: широкополосный шум.

1.9 Частный случай: узкополосный низкочастотный шум

1.10 Частный случай: узкополосный высокочастотный шум

1.11 Эффекты переноса по импульсу.

1.12 Итог: уравнение непрерывности

2 Цепи обратной связи, неустойчивости и диффузия

2.1 Вводные замечания

2.2 Обратная связь по пучку.

2.3 Радиотехническая обратная связь.

2.4 Характеристическое уравнение.

2.5 Влияние цепей обратной связи на шумовую диффузию

2.6 Итог.

3 Численные методы изучения шумовых эффектов

3.1 Метод конечных элементов и уравнение непрерывности

3.2 Методы макрочастиц и Монте-Карло

3.3 Пример сравнения результатов двух методов.

3.4 Итог.

4 Гало пучка в накопителе HERA-p

4.1 Вводные замечания

4.2 История вопроса.

4.3 Потеря энергии из-за синхротронного излучения.

4.4 Отношение "шум - дрейф": предварительные оценки.

4.5 Элементарная теория формирования гало.

4.6 Итог: сравнение с экспериментальными наблюдениями

5 Шумовая ВЧ гимнастика в У

5.1 Назначение системы.

5.2 Предварительные оценки.

5.3 Точка ввода шума.

5.4 Генератор шума.

5.5 Расчёт процесса шумовой диффузии.

5.6 Эксперименты на пучке в сеансе У-70 2002 г.

5.7 Итог.

6 Стохастический медленный вывод из У

6.1 Назначение системы.

6.2 История вопроса и состояние дел.

6.3 Специфика ускорителя У

6.4 Принципиальное описание схемы вывода.

6.5 Детали схемы вывода.

6.6 Импульсы сброса с плоской вершиной.

6.7 Технические характеристики системы.

6.8 Эксперименты на пучке в сеансе У-70 2004 г.

6.9 Разработка цепи обратной связи для вывода.

6.10 Эксперименты на пучке в сеансе У-70 2005 г.

6.11 Итоги разработки и испытаний прототипа системы

Преамбула

В работе изучаются стохастические процессы продольной динамики частиц в протонном синхротроне. Они обусловлены действием случайных внешних сил (шумов) на нелинейную систему. Явления динамического хаоса — возникновения стохастичности в детерминированных системах [1] не рассматриваются.

Объектом исследования является сгруппированный пучок заряженных частиц, захваченный в сепаратрисы основного гармонического ускоряющего поля (финитные фазовые траектории), и его гало (инфинитные фазовые траектории), оба подверженные действию случайных волн продольного электрического поля, распространяющихся по орбите синхротрона. Случайные поля возникают из-за неустранимых собственных шумов ускоряющей системы либо вводятся преднамеренно для управления функцией распределения пучка и диффузионными потоками частиц. В ряде случаев (но далеко не всегда) присутствие случайных полей допускает простую физическую интерпретацию как появление шумов амплитуды и фазы синхронной с пучком волны основного ускоряющего поля.

Диссертация выполнена в Государственном научном центре Российской Федерации — Институте физики высоких энергий (ГНЦ ИФВЭ). В неё вошел цикл теоретических, численных и экспериментальных исследований, проведённых автором в период с 1982 г. по настоящее время в соответствии с

• Планами НИР ИФВЭ по направлению "Разработка и сооружение Ускорительно-накопительного комплекса протонов ИФВЭ (УНК)" в рамках государственной научно-технической программы России "Физика высоких энергий" [2],

• Программой международного научно-технического сотрудничества между DESY, Гамбург и ИФВЭ, Протвино по ускорительной технологии, электронике и средствам диагности пучка и

• Внутренней программой НИР ИФВЭ по развитию и модернизации протонного синхротрона У-70 на энергию 70 ГэВ "Повышение интенсивности У-70".

В диссертации осуществлено решение научной проблемы, важной для физики пучков заряженных частиц и ускорительной техники и актуальной для нового поколения больших протонных синхротронов на высокую энергию.

Актуальность проблемы

Разработка, проектирование и эксплуатация ускорительных комплексов протонов (SPS, Tevatron, HERA, LHC, УНК, SSC, VLHC), включающих в себя большой протонный синхротрон, поставили перед ускорительной физикой и техникой новые научные задачи:

1. Достиэ/сение высокой интенсивности ускорителя связано с решением проблемы когерентных неустойчивостей пучка. Требуется не только детальная проработка теории вопроса, разработка методики оценки порогов неустойчивости и формулировка допусков на импедансы связи элементов вакуумной камеры. Особый практический интерес представляет оценка возможности обеспечения устойчивости когерентного движения с помощью цепей обратной связи по пучку. Они становятся неотъемлемой системой ускорителя, существенно влияющей на поведение пучка. Разработка таких систем предполагает решение новых задач, находящихся на стыке между физикой пучков заряженных частиц и теорией радиотехнических систем.

2. Схемы инжекции пучка в большой протонный синхротрон из промежуточных каскадов ускорения приводят к частичному заполнению орбиты сгустками. В результате возникает эффект импульсной нагрузки ускоряющей системы током пучка. При большой интенсивности пучка он приводит к неприемлемой амплитудной и фазовой модуляции ускоряющего поля. Осуществление собственно процесса ускорения становится невозможным без применения специальной системы радиотехнической обратной связи вокруг оконечных каскадов ВЧ усиления. Она предназначена для стабилизации ускоряющего поля в условиях сильной периодической помехи — полей рабочего вида колебаний, возбуждаемых пучком.

3. Проведение протонного пучка через промежуточные каскады ускорения сопровождается накоплением ошибок инжекции и перевода. По этой причине протонный синхротрон на высокую энергию, завершающий цепочку ускорителей, обычно принимает сгустки с большим продольным размером. В итоге возникает необходимость учёта нелинейности продольных колебаний и высших (мультипольных) мод когерентного движения сгустков. Они начинают играть заметную роль в динамике частиц.

4. Большой периметр синхротрона приводит к низкой частоте обращения частиц по орбите. В пределах полос пропускания радиотехнических систем оказывается много гармоник частоты обращения пучка. Отсюда возникает опасность развития большого числа межсгустковых мод когерентных колебаний пучка.

5. При длительных циклах ускорения и накопления пучка, характерных для больших протонных синхротронов (до 10-12 ч и более), возникает опасность продольной диффузии и медленной деградации пучка под действием шумов ускоряющей системы. Типичные спектры радиотехнических шумов начинают перекрывать значительное число гармоник (низкой) частоты обращения. Наряду с этим, включение разнообразных систем обратной связи и возможная близость к порогам когерентных неустойчивостей изменяют продольную передаточную функцию пучка. Поэтому возникает необходимость изучения особенностей шумовой диффузии сгустков в этих условиях.

Исследования, составляющие основу диссертации, проводились в ответ на эти практические запросы.

Комплекс задач физики пучков и ускорителей, сводящий воедино вопросы разработки ускоряющих систем, создания цепей обратной связи, подавления когерентных неустойчивостей пучка и решения проблемы шумовой диффузии в больших протонных синхротронах, является актуальным и востребованным. Об этом свидетельствует, например, недавнее специализированное рабочее совещание ICFA по динамике пучка LLRF05 целиком посвящённое указанной теме. На нём были представлены и работы по шумам, вошедшие в диссертацию (приглашённый доклад [3]).

Цель диссертационной работы

Целью диссертации является комплексное исследование стохастических процессов продольной динамики частиц в протонном синхротроне. Предмет изучения охватывает следующие аспекты проблемы:

1. Теоретическое исследование эффектов внешнего шума на основе последовательного динамического подхода, начинающегося с уравнения А.А. Власова.

2. Разработка и реализация численных методов решения краевой задачи для уравнения непрерывности (диффузии) и его верификация прямыми итерационными методами макрочастиц и Монте-Карло.

3. Экспериментальная проверка достоверности разработанных методик анализа шумовой диффузии на пучке ускорителя У-70 ИФВЭ.

4. Физическое обоснование и проверка работоспособности прототипов технических систем, ориентированных на практическое использование эффектов внешнего шума в ускорителе У-70.

1http://ww\v.cern.ch/llrf05

Таким образом, в диссертации представлен замкнутый цикл исследований, рассматривающий проблему стохастической продольной динамики в целом и имеющий внутреннее единство.

Рекомендации по использованию научных результатов

Разработанная в диссертации методика исследования эффектов внешнего шума, расчёта и проектирования систем обратной связи и анализа когерентных неустойчивостей представляет интерес для эксплуатации и разработки больших протонных синхротронов с высокой интенсивностью пучка.

Ввод в строй на У-70 системы стохастического (шумового) медленного вывода, предложенной в диссертации, позволит улучшить условия для набора статистики в физических экспериментах на выведенном пучке, использующих счётную методику. Это послужит заметным вкладом в модернизацию материально-технической базы фундаментальных исследований по физике частиц высоких энергий на крупнейшем в России ускорителе — протонном синхротроне У-70 ИФВЭ на энергию 70 ГэВ.

Разработанная в диссертации и опробованная на практике схема стохастического медленного вывода может использоваться при создании кольцевых ускорителей прикладного назначения, требующих прецизионных выведенных пучков (медицина, материаловедение и т. д.).

Сведения о практическом применении

Элементарная теория образования и транспорта гало пучка в условиях внешнего шума и слабых потерь энергии протонов на синхротронное излучение, разработанная в диссертации, объяснила феноменологическую картину формирования гало пучка в накопителе DESY HERA-p (г. Гамбург, Германия) с привлечением минимального числа исходных предположений. Предложенная аргументация послужила основанием для начала программы экспериментального исследования шумов ускоряющей системы в синхротроне HERA-p. В результате была выявлена сильно шумевшая ускоряющая станция, одна из шести. Последовавшая замена неисправного источника питания тока подмагничивания феррита, работавшего в составе цепи обратной связи для автоматической подстройки собственной частоты резонатора, позволила заметно улучшить ситуацию с шумами ускоряющего напряжения в HERA-p.

Импедансный метод анализа цепей обратной связи в синхротроне зарекомендовал себя как эффективное средство для проектирования инженерных систем ускорителя. Он нашёл практическое применение при разработке физического обоснования ВЧ системы низкого уровня мощности для проекта УНК ИФВЭ [2], где позволил на основе единого подхода рассмотреть комплекс взаимосвязанных цепей продольной обратной связи.

Методика исследования эффектов внешнего шума, разработанная в диссертации, использована при разработке и испытаниях на пучке синхротрона У-70 ИФВЭ прототипов двух принципиально новых, стохастических радиотехнических систем низкого уровня мощности (в сотрудничестве с О.П. Лебедевым, ИФВЭ). Это:

1. Система шумовой ВЧ гимнастики, предназначенная для контролируемого изменения продольной формы сгустков с целью уменьшения пиковой плотности пучка и снижения кулоновского сдвига частоты бетатронных колебаний на плато ввода. Система может быть востребована при дальнейшем увеличении интенсивности ускорителя.

2. Система стохастического (шумового) медленного вывода пучка, предназначенная для увеличения длительности медленного вывода, улучшения его временной структуры и увеличения интенсивности медленно выведенного пучка. Разрабока и ввод в строй рабочего варианта системы не требует больших материальных затрат и позволит заметно расширить возможности использования пучка У-70 для экспериментальных исследований по физике высоких энергий.

Обе системы имеют хорошие перспективы для последующего технологического применения. Работы по стохастическому медленному выводу из У-70 получили поддержку и одобрение со стороны НТС ИФВЭ 2.

Апробация работы и публикации

Основные научные результаты диссертации опубликованы в виде препринтов ИФВЭ, в журналах "Атомная энергия", "Приборы и техника эксперимента", "Nuclear Instruments and Methods", в препринтах DESY, в Сборниках докладов 16-19-го российских Совещаний по ускорителям заряженных частиц, Трудах международных конференций по ускорителям ЕРАС-92,-94,-96, USPAC-93,-95 и НЕАСС-87,-98.

Результаты диссертации прошли апробацию на научно-техническом семинаре ИФВЭ, научных семинарах ускорительных подразделений ОУНК и ОУ У-70 ИФВЭ, обсуждались на семинарах групп ускорительной физики CERN SL/AP и DESY MPY, представлены в виде устных и приглашённых докладов на 16-19-м российских Совещаниях по ускорителям заряженных частиц (1989-2004 г.г.), Ни 15-м международных рабочих совещаниях ICFA по динамике пучка (1996 и 2005 г.г.) и международной конференции НЕАСС-98 (1998 г.).

В диссертацию вошли результаты исследований, опубликованных в работах [4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34]. Общее число печатных работ по теме диссертации — 31, из них 8 в реферируемых журналах.

2Протокол Научно-технического совета ИФВЭ № 1-06 от 02 февраля 2006 г.

Научная новизна и положения, выносимые на защиту

Автор выносит на защиту следующие результаты работы, имеющие научную новизну:

1. Проведён вывод уравнения шумовой диффузии сгустка в протонном синхротроне на основе последовательного динамического подхода, начинающегося с уравнения АА. Власова. Такой подход представляет самостоятельный методический интерес и способствует лучшему пониманию физики проблемы. В максимальной степени используется формальный аппарат, развитый в современной теории продольных когерентных неустойчивостей сгруппированного пучка. Установлены общие условия применимости диффузионного приближения: второй порядок теории возмущений, иерархия характерных времён, стационарность и согласованность сгустка в начальный момент времени t = 0.

2. Проведена классификация внешних шумов в протонном синхротроне. Выявлены два типа технически обусловленных стационарных (в широком смысле) источников шума, задаваемых в лабораторной системе, — это шумы низкочастотные амплитудно-модулирующие и шумы высокочастотные полосовые. На этой основе построена универсальная модель случайного поля, изучавшаяся в диссертации.

3. Установлена структура и впервые получено общее выражение для коэффицента диффузии сгруппированного пучка под действием широкополосного шума, спектр которого перекрывает произвольное число гармоник частоты обращения пучка по орбите. Установлен вид упрощений, позволяющих воспроизвести известные результаты других авторов и установить предел их применимости.

4. Произведён расчёт коэффициента шумовой диффузии для пучка, движущегося вне (возможно, вблизи) стационарных сепаратрис ускоряющего поля. Для этой области впервые получены замкнутые выражения в терминах эллиптических функций для весов суммирования вкладов мульг' типольных гармоник в коэффициент диффузии.

5. Получены аналитические выражения для коэффициента диффузии сгустка, находящегося под действием стационарного (в лабораторной системе) высокочастотного полосового шума. Эта классическая модель стохастической системы представляет самостоятельный методический интерес.

6. Подтверждена возможность интерпретации движения протонов по незамкнутым фазовым траекториям вне сепаратрис при слабых потерях энергии как медленного систематического дрейфа с постоянной скоростью изменения переменной действия.

7. Разработан последовательный импедансный подход к анализу работы систем обратной связи по пучку в протонном синхротроне и учтено их влияние на диффузию пучка под действием внешнего шума. Цепи обратной связи рассматриваются в расширенном смысле — как активные элементы штатного оборудования ускорителя, либо как паразитные системы, образованные пассивными импедансами вакуумной камеры и отвечающие за возможность развития продольных когерентных неустойчивостей интенсивного пучка.

8. Разработана и отлажена методика численного решения несимметричной одномерной краевой задачи для уравнения непрерывности (диффузии) методом конечных элементов в трёх сшитых частичных областях. Учтено пересечение частицами сепаратрис и возможное неравноправие верхней и нижней полуплоскостей продольной фазовой плоскости за сепаратрисами без перехода к двумерной пространственной модели.

9. Проведён обоснованный вычислительный эксперимент по проверке достоверности численных решений несимметричной краевой задачи для уравнения непрерывности с помощью прямых итерационных методов многооборотного трекинга макрочастиц и Монте-Карло.

10. Разработана элементарная теория формирования и транспорта гало сгруппированного пучка под действием внешнего шума и слабых потерь энергии (для малых величин отношения "шум - дрейф"). На её основе дано объяснение феноменологической картины образования гало пучка в синхротроне DESY HERA-p.

11. Обоснована и экспериментально проверена на пучке У-70 система шумовой ВЧ гимнастики для контролируемого изменения продольной формы сгустка на плато ввода.

12. Обоснована и проверена на пучке У-70 оригинальная схема стохастического медленного вывода, обладающая существенными элементами новизны в принятых технических решениях.

Структура диссертации

Диссертация состоит из введения, 6 глав, заключения и списка цитируемой литературы (включает 78 наименований). Общий объём диссертации составляет 243 стр. текста, включая 65 рис. и 10 таблиц.

Основные результаты диссертации заключаются в следующем:

1. Проведён вывод уравнения шумовой диффузии сгустка в протонном синхротроне на основе последовательного динамического подхода, начинающегося с уравнения А.А. Власова. В максимальной степени использован формальный аппарат, развитый в теории продольных когерентных неустойчивостей сгруппированного пучка. Установлены общие условия применимости диффузионного приближения.

2. Проведена классификация внешних шумов в протонном синхротроне. Выявлены два типа технически обусловленных стационарных (в широком смысле) источников шума, задаваемых в лабораторной системе, — это шумы низкочастотные амплитудно-модулирующие и шумы высокочастотные полосовые. На этой основе предложена универсальная модель случайного поля, изучавшаяся в диссертации.

3. Установлена структура и впервые получено общее выражение для коэффицента диффузии сгруппированного пучка под действием широкополосного шума, спектр которого перекрывает произвольное число гармоник частоты обращения пучка по орбите. Установлен вид упрощений, позволяющих воспроизвести известные результаты других авторов и установить предел их применимости.

4. Произведён расчёт коэффициента шумовой диффузии для пучка, движущегося вне (возможно, вблизи) стационарных сепаратрис ускоряющего поля. Для этой области впервые получены замкнутые выражения в терминах эллиптических функций для весов суммирования вкладов муль-типольных гармоник в коэффициент диффузии.

5. Получены аналитические выражения для коэффициента диффузии сгустка, находящегося под действием стационарного (в лабораторной системе) высокочастотного полосового шума. Эта классическая модель стохастической системы представляет самостоятельный методический интерес.

6. Подтверждена возможность интерпретации движения протонов по незамкнутым фазовым траекториям вне сепаратрис при слабых потерях энергии как медленного систематического дрейфа с постоянной скоростью изменения переменной действия.

7. Разработан последовательный импедансный подход к анализу работы систем обратной связи по пучку в протонном синхротроне и учтено их влияние на диффузию пучка под действием внешнего шума. Цепи обратной связи рассматриваются в расширенном смысле — как активные элементы штатного оборудования ускорителя, либо как паразитные системы, образованные пассивными импедансами вакуумной камеры и отвечающие за возможность развития продольных когерентных неустойчивостей интенсивного пучка.

8. Разработана и отлажена методика численного решения несимметричной одномерной краевой задачи для уравнения непрерывности (диффузии) методом конечных элементов в трёх сшитых частичных областях. Учтено пересечение частицами сепаратрис и возможное неравноправие верхней и нижней полуплоскостей продольной фазовой плоскости за сепаратрисами без перехода к двумерной пространственной модели.

9. Проведён обоснованный вычислительный эксперимент по проверке достоверности численных решений несимметричной краевой задачи для уравнения непрерывности с помощью прямых итерационных методов многооборотного трекинга макрочастиц и Монте-Карло.

10. Разработана элементарная теория формирования и транспорта гало сгруппированного пучка под действием внешнего шума и слабых потерь энергии. На её основе дано объяснение феноменологической картины образования гало пучка в синхротроне DESY HERA-p.

И. Обоснована и экспериментально проверена на пучке У-70 система шумовой ВЧ гимнастики, предназначенная для контролируемого изменения продольной формы сгустка на плато ввода.

12. Обоснована и экспериментально проверена на пучке У-70 оригинальная схема стохастического медленного вывода, обладающая существенными элементами новизны в принятых технических решениях.

Пункты 11 и 12 этого списка представляют работы над прототипами стохастических радиотехнических систем, предназначенных для практического использования эффектов внешнего шума в синхротроне У-70 ИФВЭ.

Основные научные результаты диссертации опубликованы в виде препринтов ИФВЭ, в журналах "Атомная энергия", "Приборы и техника эксперимента", "Nuclear Instruments and Methods", в препринтах DESY, в Сборниках докладов 16-19-го российских Совещаний по ускорителям заряженных частиц, Трудах международных конференций по ускорителям ЕРАС-92,-94,-96, USPAC-93,-95 и НЕАСС-87,-98.

Результаты диссертации прошли апробацию на научно-техническом семинаре ИФВЭ, научных семинарах ускорительных подразделений ОУНК и ОУ У-70 ИФВЭ, обсуждались на семинарах групп ускорительной физики CERN SL/AP и DESY MPY, представлены в виде устных и приглашённых докладов на 16-19-м российских Совещаниях по ускорителям заряженных частиц (1989-2004 г.г.), 11 и 15-м международных рабочих совещаниях ICFA по динамике пучка (1996 и 2005 г.г.) и международной конференции НЕАСС-98 (1998 г.).

В диссертацию вошли результаты исследований, опубликованных в работах [4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, И, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34]. Общее число печатных работ по теме диссертации — 31, из них 8 в реферируемых журналах.

Статистические данные по тексту диссертации: введение, 6 глав, заключение и список цитируемой литературы на 243 стр. текста, включая 65 рис. и 10 табл.

Благодарности

Автор считает своим долгом выразить благодарность научному руководителю ГНЦ ИФВЭ акад. А.А. Логунову и директору ГНЦ ИФВЭ проф. Н.Е. Тюрину, предложившим представить эту диссертацию к защите.

Автор признателен проф. К.П. Мызникову и проф. В.И. Котову за поддержку и полезные обсуждения актуальных вопросов физики пучков заряженных частиц.

Автор благодарит к. т. н. О.П. Лебедева за многолетнее сотрудничество, помощь в практической работе на ускорителе У-70 и квалифицированную разработку систем электроники для экспериментальных исследований на 1?учке У-70.

Заключение

Выполнен цикл теоретических, численных и экспериментальных исследований стохастических процессов продольной динамики частиц в протонном синхротроне, имеющий внутреннее единство.

Решена научная проблема, имеющая важное значение для физики пучков заряженных частиц и ускорительной техники. Предложены научно обоснованные технические решения, актуальные для эксплуатации и разработки больших протонных синхротронов на высокие энергии.

Внедрение результатов диссертации позволит расширить возможности использования пучка протонного синхротрона У-70 ИФВЭ — крупнейшего в России ускорителя — для экспериментальных исследований по физике высоких энергий.

1. Г.М. Заславский. Стпохастпичностъ динамических систем. — М., Наука, 1984.

2. Ускорительно-накопительный комплекс на энергию 3000 ГэВ. Физическое обоснование. Препринт ИФВЭ 93-27, — Протвино, 1993.

3. S. Ivanov. Noise Effects on Stored Beam in a Proton Synchrotron. — В кн.: Proceedings of 15-th ICFA Beam Dynamics Workshop on Low Level RF LLFR05, Contribution ID:3, том CD-ROM, Женева, 2005.

4. C.B. Иванов. Продольная диффузия сгустка протонов под действием внешнего шума. Препринт ИФВЭ 92-43, — Протвино, 1992. (рус./анг.).

5. С.В. Иванов. Продольная диффузия сгустка протонов под действием внешнего шума (широкополосный шум). Препринт ИФВЭ 93-14, — Протвино, 1993. (рус./анг.).

6. S. Ivanov. Calculated Evolution of a Proton Bunch under RF-Noise. — В кн.: Proceedings of 3-rd European Particle Accelerator Conference EPAC-92, том 2, стр. 956-958, Берлин, 1992.

7. S. Ivanov. Longitudinal Diffusion as Inflicted by Arbitrary Band-Width Random-Modulated Currents in Feeders of De-tuned Cavities. — В кн.: Proceedings of US Particle Accelerator Conference USPAC-93, том 5, стр. 3561-3563, Вашингтон, 1993.

8. С.В. Иванов, О.П. Лебедев. Изменение продольной формы сгустков в ускорителе У-70 с помощью шумовой ВЧ-гимнастики. — Атомная энергия, том 93, вып. 6, стр. 456-460, 2002.

9. S. Ivanov, О. Lebedev. Coasting Beam in HERA-p Ring. Report DESY HERA 01-03, Гамбург, 2001.

10. S. Ivanov, O. Lebedev. Noise Performance Studies at the HERA-p Ring. Report DESY HERA 03-02, Гамбург, 2003.

11. S. Ivanov, O. Lebedev, R. Wagner. Upgrading Noise Performance of 52 MHz RF Cavity В in the HERA-p Machine. DESY Technical Note 2003-02, Гамбург, 2003.

12. С.В. Иванов, О.П. Лебедев. Исследование возможности стохастического медленного вывода пучка из синхротрона У-70. Препринт ИФВЭ 2004-22, Протвино, 2004.

13. S. Ivanov, О. Lebedev. A Stochastic Slow Extraction Scheme for U70 Synchrotron. — В кн.: Proceedings of 19-th Russian Particle Accelerator Conference RuPAC-2004, том CD-ROM, стр. 192-194, Дубна, 2004.

14. С.В. Иванов, О.П. Лебедев. Экспериментальное исследование реэюима стохастического медленного вывода пучка из синхротрона У-70. — Приборы и техника эксперимента, том (вып.) 2, стр. 14-31, 2006.

15. С.В. Иванов, О.П. Лебедев. Цепь обратной связи для стохастического вывода протонов из синхротрона ИВФЭ. Разработка и эксперименты на пучке. Препринт ИФВЭ 2006-3, — Протвино, 2006.

16. S. Ivanov, О. Lebedev. Beam Tests of a Stochastic Slow Extraction in the U70. — ICFA Beam Dynamics Newsletter, том (вып.) 36, стр. 60-62, 2005.

17. S. Ivanov. Impedance Treatment of Longitudinal Coupled Bunch Feedbacks in a Proton Synchrotron. Препринт ИФВЭ 96-8, — Протвино, 1996. (анг.).

18. S. Ivanov. Longitudinal Coupling Impedance Imposed by a Beam Feedback in a Synchrotron. Nuclear Instruments & Methods in Physics Research, Sect. А, том 391, вып. 1, стр. 64-68, 1997.

19. С.В. Иванов. Система обратной связи для стабилизации ускоряющего поля в УНК Препринт ИФВЭ 94-43, — Протвино, 1994.

20. С.В. Иванов, А.Ю. Маловицкий. Система продольной обратной связи по пучку в УНК. Препринт ИФВЭ 96-7, — Протвино, 1996.

21. S. Ivanov, A. Malovitsky. Longitudinal Coupled Bunch Beam Feedback System in the UNK. — В кн.: Proceedings of 5-th European Particle Accelerator Conference EPAC-96, том 2, стр. 1048-1050, — Барселона, 1996.

22. С.В. Иванов. Фазо-частотный контур УНК. Препринт ИФВЭ 98-31, — Протвино, 1998.

23. S. Ivanov. Phase-Frequency Beam Feedback System in the UNK. — В кн.: Proceedings of 17-th International Conference on High Energy Accelerators HEAC-98, том CD-ROM Rep. ID: 50b, Дубна, 1998.

24. С.В. Иванов. Ускорение интенсивного пучка протонов и системы обратной связи в проекте УНК (обзор). — В кн.: Сборник докладов

25. Совещания по ускорителям заряженных частиц, том 2, стр. 5-12, — Протвино, 1998.

26. С.В. Иванов, О.П. Лебедев. Анализ устойчивости комплекса обратных связей высокочастотной системы синхротрона У-70. — Приборы и техника эксперимента, том (вып.) 5, стр. 6-19, 2002. Также, препринт ИФВЭ ОУ У-70 2001-46, Протвино, 2001.

27. С.В. Иванов, О.П. Лебедев. Система подавления квадруполъных колебаний пучка в ускорителе У-70. — Атомная энергия, том 93, вып. 6, стр. 460-464, 2002.

28. С.В. Иванов, О.П. Лебедев. Подавление самогруппировки пучка в ускорителе У-70. Препринт ИФВЭ 99-39, Протвино, 1999.

29. С.В. Иванов, В.И. Балбеков. Микроволновая неустойчивость пучка в протонных синхротронах. Атомная энергия, том 59, вып. 1, стр. 42-48, 1985. Также, препринт ИФВЭ ОУНК 84-28 Серпухов, 1984.

30. С.В. Иванов, В.И. Балбеков. Пороги продольной неустойчивости сгруппированного пучка в протонных синхротронах. Атомная энергия, том 60, вып. 1, стр. 45-51, 1986. Также, препринт ИФВЭ ОУНК 84-211, Серпухов, 1984.

31. С.В. Иванов, В.И. Балбеков. Исследование методов подавления продольной неустойчивости сгруппированного пучка при помощи затухания Ландау. Атомная энергия, том 62, вып. 2, стр. 98-104, 1987.

32. С.В. Иванов, В.И. Балбеков. Продольные неустойчивости пучка в протонных синхротронах (обзор). — В кн.: Труды 13 Международной Конференции по ускорителям высоких энергий, том 2, стр. 124-129, — Новосибирск, Наука, 1987.

33. С.В. Иванов. Пороги продольной неустойчивости встречных р+р или е~ е+ пучков в накопителе. Препринт ИФВЭ 89-163, — Серпухов, 1989. (рус./анг.).

34. А.А. Коломенский, А.Н. Лебедев. Теория циклических ускорителей.1. М., Физматгиз, 1962.

35. D. Boussard, L. Evans, J. Gareyte, Т. Linnecar, W. Mills, E.J.N. Wilson. Acceleration and Storage of a Dense Single Bunch in the CERN SPS. — IEEE Transactions on Nuclear Science, том NS-26, вып. 3, стр. 3484-3486, 1979.

36. D. Boussard, T.P.R. Linnecar. RF Noise Performance of the CERN Antiproton Collider. — В кн.: Proceedings of 12-th International Conference on High-Energy Accelerators, стр. 226-228, — FNAL, Батавия, 1983.

37. D. Boussard, G. Dome, C. Graziani. The Influence of RF Noise on the Life-Time of Bunched Proton Beams. — В кн.: Proceedings of 11-th International Conference on High-Energy Accelerators, стр. 620-626, — CERN, Женева, 1980.

38. G. Dome. Theory of RF Acceleration and RF Noise. — В кн.: CAS Proceedings "Antiprotons for Colliding Beam Facilities", CERN/84-15, стр. 215-260, Женева, 1984. Также, preprint CERN SPS/84-14 (ARF),- Женева, 1984.

39. S. Krinsky, J.M. Wang. Bunch Diffusion due to RF Noise. — Particle Accelerators, том 12, вып. 2, стр. 107-117, 1982.

40. H.-J. Shih, J.A. Ellison, B.S. Newberger, R. Cogburn. Lomgitudinal Beam Dynamics with RF Noise. — Particle Accelerators, том 43, вып. 3, стр. 159-194, 1994.

41. Ю.Л. Климонтович. Статистическая физика. — М., Наука, 1982.

42. А.Н. Лебедев. Когерентные синхротронные колебания при наличии пространственного заряда. — Атомная энергия, том 25, вып. 2, стр. 100-104, 1968.

43. Н.Г. Ван Кампен. Стохастические процессы в физике и химии. — М., Высшая школа, 1990.

44. С.М. Рытов. Введение в статистическую радиофизику. Часть 1. Случайные процессы. — М., Наука, 1976.

45. У.М. Сиберт. Цепи, сигналы, системы. В 2-х частях. — М., Мир, 1988.

46. К. Магнус. Колебания. Введение в исследование колебательных систем. — М., Мир, 1982.

47. Е. Янке, Ф. Эмде, Ф. Лёш. Специальные функции. Формулы, графики, таблицы. — М., Наука, 1977.

48. М. Абрамовиц, И. Стиган. Справочник по специальным функциям. — М., Наука, 1979.

49. LHC Design Report. Vol.1: The LHC Main Ring. Report CERN-2004-003, — Женева, июнь 2004.

50. F. Pedersen. Feedback Systems. Report CERN CERN/PS/90-49 (AR), -Женева, 1990.

51. С.И. Баскаков. Радиотехнические цепи и сигналы. — М., Высшая школа, 1988.

52. Л.А. Вайнштейн. Электромагнитные волны. — М., Радио и связь, 1988.

53. А.Н. Лебедев, Е.А. Жильков. Стационарное ускорение частиц с учётом пространственного заряда. Nuclear Instruments & Methods in Physics Research, том 45, стр. 238, 1966.

54. D. Boussard. Control of Cavities with High Beam Loading. Report CERN CERN/SPS/85-31 (ARF), Женева, 1985.

55. О. Зенкевич, К. Морган. Конечные элементы и аппроксимация. — М., Мир, 1986.

56. Р. Хокни, Дж. Иствуд. Численное моделирование методом частиц. — М., Мир, 1987.

57. К. Ehret. Частные сообщения, 2001.

58. К. Ehret. Performance of the HERA-B Target and Interference with HERA Operation. — В кн.: Proceedings of International Symposium on Near Beam Physics, стр. 33-42, FNAL, Батавия, 1997.

59. К. Ehret, M. Funcke, S. Issever, et al. Observation of Coasting Beam at the HERA Proton-Ring. Nuclear Instruments & Methods in Physics Research, Sect. А, том 456, стр. 206-216, 2001.

60. С. Montag, J. Klute. Unbunched Beam Cleaning in HERA-p. — В кн.: Proceedings of 7-th European Particle Accelerator Conference EPAC-2000, том 2, стр. 1534-1536, Вена, 2000.

61. С. Montag. Coasting Beam Experience in HERA-p. Report DESY M 0005, DESY Beschleuniger-Betriebsseminar, стр. 91-102, — Гамбург (Гре-митц), 2000.

62. G. HofFstaetter (ed.). HERA Accelerator Studies 1999. Report DESY HERA 00-02, Гамбург, 2000.

63. R.H. Helm, M.J. Lee, P.L. Morton, M. Sands. Evaluation of Synchrotron Radiation Integrals. — IEEE Transactions on Nuclear Science, том NS-20, стр. 900-901, 1973.

64. Т. Toyama, D. Arakawa, S. Igarashi, et al. Bunch Shaping by RF Voltage Modulation with a Band-limited White Signal. — В кн.: Proceedings of 12-th Symposium on Accelerator Science and Technology, стр. 96-98, — Вако (Япония), 1999.

65. H.A. Игнашин, С.Э. Сытов, В.Г. Тишин, Е.Ф. Троянов. Цифровой задающий генератор частоты ускоряющего поля У70. — В кн.: Сборник докладов 17-го Совещания по ускорителям заряженных частиц, том 2, стр. 267-269, Протвино, 2000.

66. К.П. Мызников. Обзор результатов по разработке высокоэффективных систем вывода ускорителей на высокие энергии. — В кн.: Труды 5-го Всесоюзного совещания по ускорителям заряженных частиц, том 2, стр. 78-87, Дубна, 1976.

67. Accelerators: U70 tests stochastic extraction scheme. CERN Courier, том 45, вып. 2, стр. 10, 2005.

68. S. van der Meer. Stochastic Extraction, a Low-Ripple Version of Resonant Extraction. Report CERN/PS/AA Note 78-6, Женева, март 1978.

69. R. Cappi, W. Hardt, Ch. Steinbach. Ultraslow Extraction with Good Quality Factor. — В кн.: Proceedings of 11-th International Conference on High-Energy Accelerators, стр. 335-340, — Женева, 1980.

70. G. Molinary, H. Mulder. The Improved Ultra Slow Extraction Noise System at LEAR. — В кн.: Proceedings of 4-th European Particle Accelerator Conference EPAC-94, том 3, стр. 2376-2378, Лондон, 1994.

71. E. Keil, W. Schnell. Concerning Longitudinal Stability in the ISR. Report CERN/ISR/RF/ТН/ Note 69-48, Женева, 1969.

72. В.И. Балбеков, П.Т. Пашков. Продольная неустойчивость циркулирующего протонного пучка, взаимодействующего с пассивным резонатором. — Атомная энергия, том 37, вып. 4, стр. 332-335, 1974.