Исследование ламинарных и турбулентных вихревых течений над поверхностью и в следе за самолетом

Судаков, Виталий Георгиевич

Исследование ламинарных и турбулентных вихревых течений над поверхностью и в следе за самолетом тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

Судаков, Виталий Георгиевич АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Москва МЕСТО ЗАЩИТЫ

2004 ГОД ЗАЩИТЫ

01.02.05 КОД ВАК РФ

Диссертация по механике на тему «Исследование ламинарных и турбулентных вихревых течений над поверхностью и в следе за самолетом»

Автореферат диссертации на тему "Исследование ламинарных и турбулентных вихревых течений над поверхностью и в следе за самолетом"

11а примах рукописи

Судакон Виталий Георгиевич

ИССЛЕДОВАНИЕ ЛАМИНАРНЫХ И ТУРБУЛЕНТНЫХ ВИХРЕВЫХ ТЕЧЕНИЙ НАД ПОВЕРХНОСТЬЮ И В СЛЕДЕ ЗА САМОЛЕТОМ

Специальность: 01.02.05 - механика жидкости, газы и плазмы

Лнтореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 2004

■ -/'

1'иГниа выполнена на кафедре ачро! ндромеханики факультета аэромеханики и летательной техники Московского физико-гехиичеекот инстшута (государственного университета) и в Федеральном государственном унитарном предприятии «Центральный Д>р01 идродипамическин институт им. проф. 11.11. Жукове кЬго».

Научный руководитель: доктор физико-математических наук.

профессор, член-корреспондент 1'/\!1 СЫЧНИ Владимир Васильевич

Официальные оппонешы: доктор физико-математических наук, профессор

1Ш:И1'Л1;В Юрий Дмтриеиич

на заседании диссертационного совета К212.156.06 при Московском физико-техническом институте по адресу 141700. Московская обл.. г. Долгопрудный. Инсппутекий пер.. 9.

С диссертацией можно ознакомится в научной библиотеке Московскою физико-технического инстшута.

доктор технических наук, профессор

С ! ДС111КЧ > Альберт Леонидович

Ведущая организация: Институт Проблем Механик!: 1'ЛП

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Вихревые течения часто встречаются и природе, например, смерчи, торнадо. Также они образуются в следе за летательными аппаратами и в различных технических устройствах типа вихревой камеры.

Важным классом вихревых течений являются течения типа торнадо. Простейшая гидродинамическая модель торнадо - вращательное осеснмметричное движение жидкости над твердой поверхностью. Множество работ посвящено исследованию вязких вихревых ядер таких течений, в то время как влияние твердой поверхности не учитывается. Наличие. же перпендикулярной оси потока твердой поверхности, на которой ставятся условия прилипания, приводит к существенному изменению свойств решения. Многие решения для приосевых пограничных слоев оказываются несовместимыми с наличием стенки. Эта задача принадлежит к числу тех, которые до сих пор не получили своего удовлетворительного разрешения.

Другим интересным и практически важным типом вихревых течений является вихревой след за летательным аппаратом с крылом большого удлинения. Такая вихревая система живет достаточно долго (несколько минут). За тяжелым самолетом образуется интенсивный вихревой след, попадание в который следующего самолета может привести к аварийной ситуации. Эта проблема особенно актуальна на режиме взлета и посадки, т.к. приходится соблюдать безопасную дистанцию между самолетами. Современные аэропорты сильно загружены, поэтому определение и уменьшение этой дистанции играет огромную роль в увеличении пропускной способности аэропорта. Особенно важно это при введении в эксплуатацию более тяжелых самолетов, что приводит к более интенсивному вихревому следу. Таким образом, моделирование вихревого следа за самолетом является важной задачей еще на стадии его проектирования. Следует также отметить, что экспериментальное исследование дальнего вихревого следа за самолетом в аэродинамических трубах ограничено в связи с большой протяженностью следа. К тому же параметры турбулентности набегающего потока в аэродинамических трубах и в реальной атмосфере сильно отличаются, а этот параметр является одним из определяющих для затухания вихревого следа.

Цель работы. Диссертационная работа посвящена исследованию таких природных вихревых течений, как торнадо, смерчи, а также исследованию вихревых следов за самолетом и влияния внешней турбулентности на их динамику.

Методы исследования. Применяются методы сращиваемых асимптотических разложений,

Основные результаты, которые выносятся на защиту:

• Решение задачи о взаимодействии вихря с плоскостью при больших числах Рейнольдса методом сращиваемых асимптотических разложений.

• Решение задачи об истечении струи из малого отверстия на плоскости при больших числах Рейнольдса методом сращиваемых асимптотических разложений.

• Сравнение различных модификаций алгебраических, одно- и двухпараметрических дифференциальных моделей турбулентности для течений с сильной закруткой потока.

• Модификация алгебраической модели турбулентности для учета влияния внешней турбулентности.

• Численное решение задачи о диффузии одного осесимметричного вихря и пары вихрей в турбулентной атмосфере.

• Численное решение задачи о длинноволновой неустойчивости пары вихрей в идеальной жидкости и нескольких вихрей в турбулентной атмосфере в нелинейной постановке.

Научная новизна. Задача о взаимодействии вихря с плоскостью является одной из парадоксальных задач гидродинамики, т.к. при ограниченности осевой скорости решение перестает существовать при конечном числе Рейнольдса (Гольдштик М.А.). В диссертации построено асимптотическое решение этой задачи при больших числах Рейнольдса, при этом с необходимостью возникает более слабая логарифмическая особенность в осевой скорости около оси.

Построено асимптотическое решение задачи об истечении струи из малого отверстия на плоскости при больших числах Рейнольдса. Ранее было известно решение только в приосевом пограничном слое и в основной области течения.

Разработана алгебраическая модель турбулентности, которая учитывает влияние атмосферной турбулентности на диффузию вихрей. С помощью этой модели исследована турбулентная диффузия одного вихря и пары вихрей в зависимости от параметров атмосферной турбулентности.

Предложена нелинейная модель развития синусоидальной неустойчивости для нескольких вихрей в турбулентной а1мосфсре. Даны оценки времени существования вихревого следа за самолетами в зависимости от параметров турбулентности атмосферы.

Практическая ценность. Разработанные программы могут рассчитывать время жизни вихревого следа самолета на основе нелинейной модели развития длинноволновой неустойчивости в турбулентной атмосфере. Они применялись в рамках проектов МНТЦ #1018-98 «Безопасность полета, вихревой след самолета и пропускная способностьцэропорта» (руководитель проекта В.В. Вышинский, научный

руководитель чл.-кор. РАИ, проф. В.Л. Ярошсвский), М1 ГГЦ //2086-01 «Проблема спутпой турбулентности в коридоре захода на посадку аэропорта Франкфурта на Майне» (руководитель проекта В.В. Вышинский), проекта ИНТАС#0632-01 «Влияние уровня и масштаба внешней турбулентности на характеристики вихревого следа за самолетом при малых скоростях полета» (руководитель проекта Г.Г. Судаков, координатор программ В.В. Вышинский).

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались на:

• ХЫ, ХЬП, ХЬШ, ХЬУ, ХЬУ1 научных конференциях МФТИ (1998, 1999,2000,2002,2003 гг.).

• Ежегодном семинаре ДАГИ-ОКБИЛ. 6-7 сентября 2001г., г. Жуковский.

• И Всероссийской научно-технической конференции молодых ученых «Современные проблемы аэрокосмической науки». 26-28 мая 1999г., г. Жуковский.

• Международной научно-технической конференции молодых ученых и специалистов «Современные проблемы аэрокосмической науки и техники». 23-26 мая 2000г., г. Жуковский-Москва'.

• Школе-семинаре молодых ученых и специалистов «Актуальные проблемы аэрокосмическои науки». 26-28 апреля 2001г., г. Жуковский.

• II Международной научно-технической конференции молодых ученых и специалистов «Современные проблемы аэрокосмической науки и техники». 8-12 октября 2002г., г. Жуковский.

• 1-ой Международной выставке-смотре «ЮНИМАКС-2003». 19-24 августа 2003г., г. Жуковский.

• Международном авиационно-космическом научно-гуманитарном семинаре имени СМ. Белоцерковского. 16 октября 2003г., г. Москва.

За отдельные результаты работы автору была присвоена вторая премия ЦАГИ за 2002г.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 17 печатных работ. Список опубликованных работ приведен в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения трех глав, заключения, списка литературы, включающего 126 наименований. Диссертация изложена на 132 страницах, содержит 42 рисунка.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы исследования, кратко излагается содержание диссертации. Приведен обзор литературы по теме диссертации и указана новизна данной работы. Кратко описаны современные принципы решения задач данного класса.

В первой главе рассматриваются стационарные конически симметричные течения вязкой несжимаемой жидкости, составляющие большой класс решений уравнений Навье-Стокса, где скорость течения обратно пропорциональна расстоянию от начала координат. Важным классом вихревых течений являются течения типа торнадо (смерч). Простейшей гидродинамической моделью такого течения является вращательное осесимметричное движение жидкости над твердой поверхностью (рис. 1). Учет влияния перпендикулярной оси потока твердой поверхности, где выполняются условия прилипания жидкости, является' в этой задаче определяющим. Задача о течении, вызванном вихревой нитью над плоскостью, моделирует движение жидкости в реальных торнадо и смерчах на некотором расстоянии от оси. Эта задача рассмотрена в п. 1.1. диссертации. Поскольку определяющие параметры этой задачи - циркуляция 2яГ„ и кинематический коэффициент вязкости v имеют одинаковые размерности, ее решение является автомодельным, т.е. система уравнений Навье-Стокса сводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Гольдштиком М.А. было впервые показано, что при условии ограниченности осевой скорости на оси, решение поставленной задачи существует лишь в ограниченном диапазоне чисел Рейнольдса Ле = Г0/у < 5.53. Серрин обобщил эту задачу,

предположив наличие логарифмической особенности для осевой скорости на оси (более слабую, чем особенность для окружной скорости). В этом случае решение существует при всех числах Рейнольдса. Однако этот результат был подвергнут критике по ряду соображений, одно из которых состоит в неопределенности коэффициента при логарифме.

В п. 1.1 решена задача о взаимодействии вихря с плоскостью при больших числах Re с помощью метода сращиваемых асимптотических разложений. Поле течения при Ис»1 подразделяется на четыре области. Прежде всего, это приосевой пограничный слой 1^2 = О^е"'где

окружная Уи осевая ш = (Г0/г)ЯсИ'(^) скорости достигают своих экстремальных значений (а радиальная составляющая по сравнению с ними мала), ^ = Яе-г/г, и основная область течения которая характеризуется тем, что в ней осевая и радиальная

Рис. 1. Взаимодействие вихря с плоскостью

компоненты имеют одинаковый порядок величины, а окружная скорость по порядку величины оказывается много меньше. Здесь ^.И^) -

безразмерные радиальная, окружная и осевая скорости в приосевой области.

Решение в приосевом пограничном слое найдено численно. На рис. 2 показана картина линий тока меридионального течения в этой области. Наиболее важным результатам являются при этом неизбежность

возникновения логарифмической особенности для осевой составляющей скорости на оси с вполне определенным

коэффициентом =

При этом следует отметить, что около оси течение направлено вниз.

Так . как непосредственное сращивание главных членов асимптотических разложений для приосевого пограничного слоя и основной области течения невозможно, то оказывается необходимым введение двух промежуточных областей которые по принципу перекрытия

обеспечивают возможность сращивания всех асимптотических разложений в их главных членах. Первая из промежуточных областей - это область, где радиальная и окружная составляющие вектора скорости сравниваются по порядку величины: В этой области, где

нарушается квазицилиндрическое приближение, а ее рассмотрение необходимо для учета влияния радиальной скорости на давление. Тем не менее, сращивание асимптотических разложений в этой области и в области основного течения в главных членах невозможно. Поэтому необходимо ввести еще одну промежуточную область где

дш ди

слагаемые компоненты завихренности сравниваются по порядку

величины. Решение в двух промежуточных областях найдено аналитически.

В основной области течения, где г/г = 0(1), наблюдается весьма малая закрутка потока, а течение в главных членах соответствует известному решению для линии стоков, моделирующей эжектирующие свойства вихревого ядра. В этой области компоненты вектора скорости в

сферической системе координат определяются:

V. = —

V. =

,Г(дг)

, . -Яе"3, х = совО, ы = уЛу. Решение в этой области

Л^пе * ЛапВ

полученоiчисленно. На рис. 3 приведены графики функций у(х) и Г(дг), характеризующие функцию тока и циркуляцию в этой области.

Рис. 3. Графики функций у{х) И Г(х), характеризующие функцию тока и циркуляцию в основной области течения

Таким образом, найдено решение во всем поле течения. Течение является пячким во всех областях, а вращение жидкости локализуется вблизи оси.

В п. 12 рассмотрено стационарное осесимметричное течение вязкой несжимаемой жидкости под действием точечного источника потока импульса J, бьющего из малого отверстия на плоскости. В данной задаче также нет определяющего параметра с размерностью длины, поэтому задача может иметь только автомодельное решение. Число Рейнольдса определяется Не = К/у, К = где р - плотность. Задача решается при Ке з> 1. Решение задачи для приосевото пограничного слоя, где осевая скорость много больше радиальной

(¡; = Кс г/г), было аналитически получено Шлихтингом. При этом на оси ставятся регулярные граничные условия.

Непосредственное сращивание главных членов асимптотических разложений для приосевого пограничного слоя и основной области течения, где г/г = 0( 1) И к/ш = 0(1), невозможно. Это связано с отсутствием области перекрытия этих асимптотических разложений. Поэтому оказывается необходимым введение промежуточной области которая по принципу перекрытия обеспечивают

возможность сращивания всех асимптотических разложений в их главных членах. В промежуточной области слагаемые компоненты завихренности <?ш Ли ,,

— И — сравниваются по порядку величины. Решение в промежуточной

области найдено аналитически.

Течение в основной области соответствует течению, вызванному линией стоков (расположенной перпендикулярно плоскости), которая

моделирует эжекцию струи. При этом на плоскости ставится условие прилипания жидкости, т.е. условие равенства нулю всех компонент скорости. Решение в этой области было известно ранее.

Таким образом, найдено автомодельное во всем поле течения решение задачи об истечении струи из малого отверстия на плоскости. Течение во всех областях является вязким.

Во второй главе диссертации рассмотрены задачи о турбулентной диффузии одного или двух вихрей, которые являются наиболее простыми моделями течения в дальнем следе за самолетом.

В п.2.1 рассматривается задача о диффузии бесконечного осесимметричного вихря в несжимаемой турбулентной жидкости с нулевой компонентой скорости вдоль его оси в

рамках уравнений Рейнольдса. Задача сводится к решению уравнения

дУ 1 д

диффузии для окружной скорости

i)t г18г

где v,. -

коэффициент

кинематический коэффициент турбулентной вязкости. Для определения неизвестного vr использовались алгебраические и одно-, и двухпараметрические модели турбулентности. Алгебраические модели -самый простой тин моделей турбулентности. Эти модели не универсальны и сильно меняются от одного класса течений к другому, хотя и требуют минимальных вычислительных затрат.

Используя гипотезу равновесности турбулентности, можно записать:

производство кинетической энергии турбулентности, ре - ее диссипация. Производство кинетической энергии турбулентности можно представить с помощью гипотезы Буссинеска

следующим образом:

тензор скоростей . деформации. Кинематический турбулентной вязкости vr можно определить по Колмогорову из

интервала равновесия v.(. = Се Х1 ', г де I - масштаб турбулентности; С -константа. Отсюда: Е = С \'].1 Тогда получим известную формулу:

Таким образом, можно получить, что гипотеза Прандтля о пути смешения и ее обобщение (1) могут быть выведены на основе гипотезы о равновесном характере турбулентности.

В дифференциальных моделях турбулентности потоки выражаются не только через параметры осредненного движения,, но и через некоторые параметры, характеризующие пульсационное движение. Для этих параметров используются дополнительные дифференциальные уравнения.

Стандартные одно- и двухпараметрические модели турбулентности дают чрезвычайно быструю диффузию вихря, что и было подтверждено расчетами в данной работе. В ядре вихря, где происходит вращение

жидкости, близкое к вращению с постоянной угловой скоростью, турбулентные пульсации сильно уменьшаются. Стандартные же двухпараметрические модели турбулентности не отражают этого явления, что приводит к очень сильной диффузии вихря, поэтому требуется их модификация.

Для учета закрутки потока можно использовать различные параметры. Например, иарианты числа Ричардсона. Однако такие модификации оказались не универсальными. Поэтому в качестве параметра, описывающего закрутку потока, использовалась угловая скорость вращения главных осей тензора скоростей деформации В«//)/. В

двумерном случае

Ра Dt '

DSU

■sa

DS.,

где DSjDt -

гф+в^у" Dt Dt

компоненты лагранжевой производной от тензора скоростей деформаций. Коэффициент в с/-ш модели турбулентности определялся как функция от параметра закрутки Da/Dt по формуле, предложенной Пакиным А.П. Проведено исследование модифицированной модели турбулентности

и алгебраической модели. Расчетные данные сравнивались с экспериментальными (рис. 4), полученными в аэродинамических трубах АДТ-124 ЦАГМ (концевой вихрь и вихрь от закрылка) и АДТ-105 ЦАГИ (концевой вихрь за полной компоновкой самолета).

В реальности вихревой след самолета разрушается в

турбулентной атмосфере. Уровень турбулентности атмосферы (i],,) и масштаб (L0) являются важными параметрами этой задачи. В п.2.1 предлагается алгебраическая

модель, которая учитывает эти факторы в явном виде. Скорость диссипации кинетической энергии турбулентности атмосферы выражается в виде

В данной постановке задачи турбулентная атмосфера должна влиять на диффузию вихря. Но масштаб турбулентности атмосферы, как правило, много больше масштаба турбулентности в вихре. Поэтому крупные вихри атмосферы не моделируются в такой постановке. В то же время энергия турбулентности атмосферы должна передаваться по каскаду вихрей в более мелкие масштабы. Следовательно, в уравнении баланса турбулентной энергии вихря должен присутствовать член, связанный с притоком энергии от крупномасштабных вихрей атмосферы. Тогда

- ч и, следовательно, из гипотезы равновесности

турбулентности атмосферы

где /=г, /• < I,/, ( = г > . Таким образом, получено кубическое ураимение для определения кинематического коэффициента турбулентной" вязкости. В этом уравнении предполагалось, что (у„, Ь„ заданы,

- циркуляция вихря в начальный момент

времени.

На основе алгебраической модели с учетом турбулентности атмосферы была дана оценка влияния внешней турбулентности атмосферы на структуру вихря. На рис. 5 приведены профили окружной скорости в следе за самолетом В-747-400 для случаев спокойной атмосферы,

для нескольких моментов времени. Как видно из приведенных графиков, при наличии турбулентной атмосферы диффузия вихря происходит гораздо быстрее. При этом радиус ядра растет с течением времени лишь несколько быстрее, а максимальная скорость в вихре уменьшается значительно быстрее по сравнению со случаем спокойном атмосферы. Таким образом, при увеличении уровня турбулентности атмосферы происходит быстрая диффузия внешней части вихря.

—|«о -»-(=40 с -*-1=60с

Рис. 5. Профили окружной скорости в следе за В-747-400 для случаен спокойной атмосферы, д„ = 0.1 м/с (а) и случая д0 = 0.5 м/с (б) при ( = 0,40,80 с

В п.2.2 рассмотрена задача о турбулентной диффузии пары вихрей в рамках двумерных нестационарных уравнений Рейнольдса. При этом для определения уг использовалась формула (2), которая учитывает

турбулентность атмосферы, но РвС^/^СУ+Р, С„ = 0.08В, С„=10.0 (Вразмах крыла самолета). На основе этой алгебраической модели

-1=40 с

-1-80 с

турбулентности проведен ряд расчетов параметров дальнего вихревого следа за самолетом. Проведено сравнение результатов расчета по данному методу с экспериментальными данными для окружной скорости и результатами расчетов методом моделирования крупных вихрей (LES), которое показывает удовлетворительное соответствие. Расчеты пары вихрей в двумерной постановке подтверждают выводы, сделанные для осесимметричного течения, что турбулентность атмосферы сильно влияет на диффузию вихря, в частности, на максимальную окружную скорость, которая характеризует степень опасности при попадании в этот вихрь следующего самолета.

Одной из основных форм разрушения вихревого следа является синусоидальная неустойчивость (длинноволновая неустойчивость, неустойчивость Кроу), которая носит пространственный характер. Она возбуждается турбулентностью атмосферы и развивается благодаря взаимной индукции вихрей.

В третьей главе проводилось исследование времени жизни вихревой системы разрушаемой вследствие длинноволновой неустойчивости, в зависимости от параметров турбулентной атмосферы. Вихревая система состояла из двух или более вихрей. определялось как время до первого касания вихрей между собой. Задача решалась в нелинейной постановке, т.е. не предполагалось, что амплитуда возмущений мала по сравнению с расстоянием между вихрями. Проводилось сравнение результатов расчетов, полученных в настоящей работе, с результатами, полученными в линейной задаче.

Каждый вихрь характеризуется набором узлов {.vj*,. Движение узлов описывается уравнением где скорость в точках нитей

определялась путем интегрирования формулы Био-Савара, за исключением криволинейного сегмента длины L по обе стороны от точки, в которой определяется скорость. Чтобы учесть вклад в скорость от выделенного криволинейного сегмента, уравнение

структуры ядра вихря. При этом структура ядра считалась "замороженной", т.е. не изменялась со временем. Таким образом, раскрывается логарифмическая особенность в скорости, направленной по бинормали к вихревой нити. При помощи такой процедуры находилась скорость в каждой точке разбиения нити. При этом предполагалось, что радиус вихревого ядра г„ мал по сравнению с радиусом кривизны вихревой нити. С учетом сделанных предположений для вихря Рэнкина (циркуляция Г(г) = Г0 •г2/гй! ,Г < ^;Г(г) = Г0,Г £ Га) единственная компонента скорости, которая не равна нулю, есть компонента направленная вдоль

интегрировалось с учетом

кривизна криволинеиного отрезка.

В п.3.1 исследуется движение пары вихревых нитей в отсутствие турбулентной атмосферы. При этом возмущения с длиной волны Х = % оказались наиболее быстро растущими, на рис. 6 показан рост амплитуды возмущений для этой длины волны. Также на рис. 6 хорошо заметно изменение формы синусоиды вследствие

нелинейных эффектов. Здесь в начальный момент времени задавалась плоская волна малой амплитуды, причем угол наклона этой волны к плоскости симметрии составлял 45°. В процессе движения вихрей плоская волна не меняет своей формы, и угол наклона этой волны к плоскости симметрии при t = 64 с по-прежнему составляет 45°.

Распределение циркуляции в вихре Рэикина лишь качественно соответствует распределению, наблюдаемому в экспериментах. Распределение циркуляции, которое более точно описывает экспериментальные данные по следам за самолетами, было ггоедложено Викроем Г(г) = Гс • г2/гс2,г е [0,;;|; Г(г) = Лг",ге[гс^,], Г(г) = Г0,ге |г0,+«),

где - радиус, на котором окружная

компонента скорости максимальна, Г'с - циркуляция, соответствующая гг, Г„ - полная циркуляция вихря, г„ - радиус, соответствующий Г,,. Для такой структуры вихря была получена аналогичная формула для индуцированной скорости

Все качественные выводы, которые были сделаны для вихря Рэнкина, остаются справедливыми и для вихря Викроя. Различие проявляется только в количественной оценке для величины а наиболее

быстрорастущими для вихря Викроя являются возмущения с длиной волны Х = &Ь.

В п.3.2 рассматривалась эволюция пары нихром в турбулентной атмосфере. Здесь источником начальных возмущений является атмосферная турбулентность, а самоиндукция вихрей и взаимная индукция вихревой пары приводят к развитию колебательных движений вихревых нитей. При этом воздействие атмосферной турбулентности на вихревой

след учитывается посредством наложения внешнего стохастического поля скоростей с заданным спектром. В качестве модели турбулентности атмосферы использовалась модель Кармана (спектр Кармана). Блок программы, с помощью которого вычислялись компоненты вектора скорости, индуцированного атмосферой, был написан Кузьминым В.П.

В турбулентной атмосфере реализуются моды с разными длинами волн и плоскостями колебаний. Время жизни вихревой системы, определяемое как время до первого касания вихрей между

1 Пик »

собой

турбулентной атмосфере будет зависеть от состояния последней. Для определения средних величин усреднялось по двадцати реализациям. На рис. 7 представлено сравнение данных полученных в настоящей работе на основе нелинейной постановки, с данными, полученными В.П. Кузьминым на основе линейной теории. Видно небольшое различие результатов.

На рис. 8 показана типичная картина развития синусоидальной неустойчивости в турбулентной атмосфере.

О 0.25 0.5 0.75 ц, м/с 1 Рис; 7. Сравнение данных, полученных на основе линейной (маркеры) и нелинейной теорий (сплошная линия)

Рис. 8. Картина развития синусоидальной неустойчивости в турбулентной атмосфере

Была также рассмотрена задача о движении четырех вихревых нитей в турбулентной атмосфере, при этом рассматривалось их симметричное движение относительно плоскости у = 0. На рис. 9 показано положение четырех нитей в один из моментов движения. При проведении расчетов было обнаружено: нити с одной стороны от плоскости симметрии в

процессе движения «слипаются», т.е. происходит преобразование многоядерном структуры следа за самолетом в пару вихрей. Таким образом, в идеальной жидкости происходит наматывание одною вихря на другой с одном стороны плоскости симметрии.

логарифмическая особенность (с вполне определенным коэффициентом) для осевой скорости. Это подтверждает основное предположение работы Серрина, согласно которому для получения, решения при всех числах Re необходимо отказаться от требования ограниченности осевой скорости при г = 0, приводящему к известному парадоксу об отсутствии решения при Яе > 5.53.

2. Рассмотрено стационарное осесимметричное течение вязкой несжимаемой жидкости под действием точечного источника потока импульса, расположенного на плоскости.. Задача решается методом сращиваемых асимптотических разложений при больших числах Рейнольдса. Сращивание этих разложений в главных членах требует рассмотрения трех характерных областей, в которых г/г последовательно принимает значения порядка Течение во всех областях

за» 25Ш эта жо вхв „ «00

Рис. 9. Эффект «слипания» вихрей

ВЫВОДЫ

является вязким. В первой области, приосевом пограничном слое, решение соответствует решению Шлихтинга. В третьей области, где г/л = 0(1), задача соответствует задаче о линии стоков. Но непосредственное сращивание главных членов разложения в этих областях невозможно. Введение промежуточной области позволяет получить автомодельное решение во всей области течения.

3. Стандартные полуэмпирические модели турбулентности для замыкания уравнений Рейнольдса неправильно моделируют течение в ядрах вихрей. Проведено исследование различных модификаций алгебраических, одно- и двухпараметрических дифференциальных моделей турбулентности для учета закрутки потока. Сравнение расчетных и экспериментальных данных для задачи о турбулентной диффузии вихря показало, что наилучше совпадение получается при использовании параметра закрутки Спалара-Шура.

4. Произведена модификация алгебраической модели турбулентности для учета влияния внешней турбулентности на диффузию вихря. Для этой цели в уравнение баланса турбулентной энергии введен дополнительный член, который моделирует приток энергии от вихрей атмосферы. При увеличении уровня турбулентности атмосферы происходит быстрая диффузия внешней части вихря.

5. Решена задача о развитии длинноволновой неустойчивости пары вихрей в идеальной жидкости в нелинейной постановке, т.е. не предполагалось, что амплитуда возмущений мала по сравнению с расстоянием между вихрями. Исследовалось время жизни вихревой системы (время до первого касания нитей между собой) в зависимости от длины волны начальных возмущений и от структуры ядер вихрей. Показано, что наиболее быстрорастущими являются возмущения с длиной волны Х = 9Ь для вихря Рэнкина и Л. = 8Ь для вихря Викроя. Решена задача о движении нескольких вихрей в турбулентной атмосфере. В качестве модели турбулентности атмосферы использовалась модель Кармана (спектр Кармана). Показано, что наличие атмосферной турбулентности приводит к более быстрому росту неустойчивости вихревой пары. При исследовании многовихревой структуры обнаружено, что нити с одной стороны от плоскости симметрии в процессе движения «слипаются», т.е. происходит преобразование многоядерной структуры в пару вихрей.

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Судаков В.Г. Исследование эволюции многоядерного вихревого следа за самолетом на посадочном режиме // XLI Научная конференция МФТИ «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук». 27-28 ноября 1998г.-, г. Москва-Долгопрудный. Тез. докл. С. 162.

2. Судаков В.Г. Нелинейная асимптотическая модель эволюции многоядерного дальнего вихревого следа в турбулентной атмосфере // II Всероссийская научно-техническая конференция молодых ученых «Современные проблемы аэрокосмической науки». 26-28 мая 1999г., г. Жуковский. Тез. докл. С. 99.

3. Судаков В.Г. Влияние турбулентности атмосферы на структуру вихрей в дальнем следе за самолетом // XLII Научная конференция МФТИ «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук». 26-27 ноября 1999г., г. Москва-Долгопрудный. Тез. докл.

4. Bezroclnov A.V., Gaifullin A.M., Soudakov G.G., Souclukov V.G., Voyevodin A. V., Zakharov S.B. Investigations into the wake vortex evolution downstream the A300 aircraft model // Trudy TsAGI. 1999. V. 2641. P. 8494.

5. llyina IP., Soudakov V.G. Investigation of the influence of a turbulent atmosphere on motion of small particles in the vortex wake behind an aircraft //Trudy TsAGI. 1999. V. 2641. P. 396-400.

6. Soudakov V.G. Nonlinear asymptotic model of the far vortex wake behind an aircraft flying through the turbulent air // Trudy TsAGI. 1999. V. 2641. P. 162-175.

7. Судаков ВТ. О применимости моделей турбулентности для задач о вихревом следе за самолетом // Международная научно-техническая конференция молодых ученых и специалистов «Современные проблемы аэрокосмической науки и техники». 23-26 мая 2000г., г. Жуковский-Москва. Тез. докл. С. 84-85.

8. Судаков В.Г. О применимости моделей турбулентности для задач о вихревом следе за самолетом с учетом турбулентности атмосферы // XLIII Научная конференция МФТИ «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук». 29-30 ноября 2000г., г. Москва-Долгопрудный. Тез. докл.

9. Судаков В.Г. Решение 313 уравнений Эйлера с использованием многопроцессорных вычислений (MPI) для следа за самолетом // Школа-семинар молодых ученых и специалистов «Актуальные проблемы аэрокосмической науки». 26-28 апреля 2001г., г. Жуковский. Тез. докл. С. 22-23.

10. Судаков В.Г. Численное моделирование развития синусоидальной неустойчивости вихревого следа // Ежегодный семинар ЦАГИ-ONERA. 6-7 сентября 2001 г., г. Жуковский. Тез. докл. С. 17-18.

11. Кощеев А.В., Судаков В.Г., Замятин А.В. Результаты обработки данных летного эксперимента по изучению вихревого следа за самолетом при различных атмосферных условиях // II Международная научно-техническая конференция молодых ученых и специалистов «Современные проблемы аэрокосмической науки и техники». 8-12 октября 2002г., г. Жуковский. Тез. докл. С. 112.

12. Судаков ВТ., Сычев В.В. Асимптотическая теория вязкого взаимодействия вихря с плоскостью // И Международная научно-техническая конференция молодых ученых и специалистов! «Современные проблемы аэрокосмической науки и техники». 8-12 октября 2002г., г. Жуковский. Тез. докл. С. 202.

13. Судаков В.Г., Кощеев А.В. Численное моделирование разрушения вихревого следа в приземном слое турбулентной атмосферы // XLV Научная конференция МФТИ «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук». 29-30 ноября 2002г., г. Москва-Долгопрудный. Труды конференции. Часть VI. С. 22-23.

14. Судаков ВТ., Сычев В.В. Асимптотическая теория вязкого взаимодействия вихря с плоскостью // Изв. РАН. МЖГ. 2002. № 6. С. 22-30.

15. Судаков ВТ. Численное моделирование пары вихрей в рамках трехмерных уравнений Навье-Стокса // XLVI Научная конференция МФТИ «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук». 28-29 ноября 2003г., г. Москва-Долгопрудный-Жуковский. Труды конференции. Часть VI. С. 74.

16. Судаков ВТ. О применимости моделей турбулентности для задач с сильной закруткой потока// Учен. зап. ЦАГИ. 2003. Т. XXXIV. №1-2. С. 76-83.

17. Судаков В. Г., Сычев В.В. Об истечении струи из малого отверстия на плоскости // Изв. РАН. МЖГ. 2003. № 1. С. 33-36.

Судаков Виталий Георгиевич

ИССЛЕДОВАНИЕ ЛАМИНАРНЫХ И ТУРБУЛЕНТНЫХ ВИХРЕВЫХ ТЕЧЕНИЙ НАД ПОВЕРХНОСТЬЮ И В СЛ ЕДЕ ЗА САМОЛ ЕТОМ

Подписано а печать 9.11.2004 Формат {10 < М'/ю- Бумага офсетнлн. Печать офсетная. >сл п<"1. л. 0.75. Ум.-им. л. 11,75. Тираж 500 да.

!акп ! .V" ф .'.'¡I

Отдел аитома ги'ифшмммы.ч и иатг;п.скич систем .¡ФИЗТЕХ-ПОЛИГРАФ» 1-11700, Могкоиская пол., г. Долгопрудный. Институтский пер.. 9

»23 8 47

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Судаков, Виталий Георгиевич

Введение.

Глава I. Асимптотическая теория вязкого взаимодействия струйно-вихревых течений с перпендикулярной поверхностью при больших числах Рейнольдса.

1.1. Асимптотическая теория вязкого взаимодействия вихря с плоскостью.

1.1.1. Постановка задачи и течение в приосевом пограничном слое.

1.1.2. Течение в промежуточных областях.

1.1.3. Течение в основной области.

1.2. Асимптотическая теория истечения струи из малого отверстия на плоскости.

1.2.1. Постановка задачи и течение в приосевом пограничном слое

1.2.2. Течение в промежуточной области.

1.2.3. Течение в основной области.

1.3. Истечение закрученной струи из малого отверстия на плоскости.

1.3.1. Течение в приосевом пограничном слое.

1.3.2. Невозможность удовлетворения условию прилипания на стенке.

Глава II. Исследование диффузии вихрей при наличии внешней турбулентности.

2.1. Осесимметричная задача о турбулентной диффузии вихря.

2.1.1. Постановка осесимметричной задачи.

2.1.2. Алгебраическая модель турбулентности.

2.1.3. Двухпараметрические дифференциальные модели турбулентности.

2.1.4. Модификация дифференциальных моделей турбулентности для учета вращения и кривизны линий тока.

2.1.5. Сравнение результатов расчета с экспериментальными данными.

2.1.6. Алгебраическая модель с учетом турбулентности атмосферы . 71 2.2. Двумерная задача о турбулентной диффузии пары вихрей.

2.2.1. Постановка задачи.

2.2.2. Метод решения.

2.2.3. Тестирование численного метода.

2.2.4. Результаты расчетов.

Глава Ш. Нелинейная модель развития длинноволновой неустойчивости дальнего вихревого следа за самолетом в турбулентной атмосфере.

3.1. Модель следа в отсутствии турбулентности атмосферы.

3.1.1. Постановка задачи.

3.1.2. Результаты расчетов для вихря Рэнкина.

3.1.3; Двузонное ядро.

3.2. Модель следа в турбулентной атмосфере.

3.2.1. Постановка задачи.

3.2.1.1. Симметричный случай.

3.2.1.2. Общий случай.

3.2.2. Результаты расчетов.

3.2.2.1. Симметричный случай.

3.2.2.2. Общий случай.

3.2.2.3. Влияние земли.

3.2.2.4. Многоядерная структура вихревой системы.

Выводы.

Введение диссертация по механике, на тему "Исследование ламинарных и турбулентных вихревых течений над поверхностью и в следе за самолетом"

Вихревые течения часто встречаются в различных технических устройствах, например, в вихревой камере, в интенсивных атмосферных вихрях типа смерчей, торнадо, также в вихрях, сходящих с кромок крыльев летательного аппарата. В данной работе рассматриваются некоторые вихревые течения, которые представляют научный и практический интерес, т.к. они распространены в природе и технике.

Исследованию вихревых течений несжимаемой жидкости посвящено огромное число работ как теоретических, так и экспериментальных. Начало этим исследованиям было положено в работе Гельмгольца «Об интегралах уравнений гидродинамики, соответствующих вихревым движениям» [Helmholtz Я, 1858] и продолжено Кельвином, Пуанкаре и другими учеными конца XIX - начала XX века. По образному выражению Кюхеманна (Küchemann) вихри - это «мышцы и жилы гидродинамики». И в настоящее время в связи с многочисленными технологическими и математическими проблемами продолжаются интенсивные исследования вихревых течений. Им посвящены и многие специальные монографии, например, [Гольдштик М.А., 1981; Гольдштик М.А. и др., 1989; Saffman P.G., 1992; Белоцерковский О.М. и др., 2000].

Часто завихренность сконцентрирована вблизи оси симметрии потока, в так называемых ядрах вихрей. Исследованию вязких вихревых ядер таких течений посвящено большое число работ. В работе [Hall M.G., 1961; Stewartson К., Hall M.G., 1963] рассматривались ядра вихрей, сходящих с передних кромок треугольного крыла. Экспериментальное исследование течения в ядре вихря над треугольным крылом было проведено в [.Earnshaw Р.В., 1961].

Струйные течения и закрученные струи играют важную практическую роль, в то же время они представляют значительный теоретический интерес. В [Ландау JI.Д., 1944] получено точное решение уравнений Навье-Стокса для осесимметричной струи без закрутки, возникающей в безграничном 5 пространстве, заполненном несжимаемой жидкостью, если туда поместить точечный источник потока импульса. Это решение относится к классу пространственных конически автомодельных течений. При больших числах Рейнольдса данная задача решена в приближении пограничного слоя [Шлихтинг Г., 1974]. Также представляется интересным случай истечения струи из малого отверстия в вершине конуса. При этом на конусе ставится условие прилипания. В частном случае получается решение задачи о струе, бьющей из малого отверстия в плоской стенке, нормально к последней. Эта задача обсуждается в [Гольдштик М.А. и др., 1989], где указывается, что течение не описывается автомодельным решением в целом, а лишь по отдельности в приосевом пограничном слое и в основной области течения с неизбежным разрывом между ними. При этом в основной области течения задача сводится к задаче о линии стоков, которая моделирует эжекцию струи. Таким образом, непосредственное сращивание главных членов разложения в приосевом пограничном слое и в основной области течения невозможно. Это обстоятельство, по мнению авторов [Гольдштик М.А. и др., 1989], является парадоксальным.

Задача о закрученной струе была приближенно решена Лойцянским [Лойцянским Л.Г., 1953]. Решение строилось в виде асимптотического ряда по целым степеням расстояния от точечного источника струи. Задача была неавтомодельной (см. также монографию [Вулис JI.A., Кашкаров В.П., 1965]). Такое решение характеризует «слабую» закрученную струю. Гольдштиком [Гольдштик М.А., 1979] построено коническое автомодельное решение этой задачи, характеризующее «сильную» закрученную струю. Задача о течении в приосевом пограничном слое при больших числах Рейнольдса для закрученной струи впервые была решена Лонгом [Long R.R., 1961]. Затем она была исследована в [Зубцов A.B., 1986]. В [Зубцов A.B., 1984] исследовано течение в приосевом погранслое при больших числах Рейнольдса для струи с малой закруткой.

Важным классом вихревых течений являются течения типа торнадо. Простейшей гидродинамической моделью течения типа торнадо является вращательное осесимметричное движение жидкости над твердой поверхностью (см. рис. В.1). Эта задача принадлежит к числу тех, которые до сих пор не получили своего удовлетворительного разрешения. Если характерное число Рейнольдса задачи достаточно велико, то основная часть поля течения может считаться невязкой, а влияние вязкости будет существенно лишь в узких областях вблизи оси симметрии (ядре вихря) и в тонком пограничном слое около стенки.

Множество работ посвящено отдельному исследованию вязких вихревых ядер таких течений, в то время как влияние твердой поверхности не учитывается. При этом решение в ядре может быть как конически автомодельным (независимой переменной является ~ r/z), так и быть другого вида автомодельности (независимой переменной является ~r/zm ). Течениям с автомодельностью общего вида (независимая переменная ^~r/zm) в вязких вихревых ядрах посвящено большое число работ, например, [Fernandez-Feria R. et al, 1995; Булдаков Е.В. и др., 1998а]. Исследование турбулентных вихревых ядер проводилось в [Булдаков Е.В. и др., 19986]. Интересным свойством этих решений является их неединственность. Существуют режимы как с восходящим течением около оси, так и с нисходящим.

Наличие же перпендикулярной твердой поверхности, на которой ставятся условия прилипания, приводит к существенному изменению свойств решения. Многие решения для приосевых пограничных слоев оказываются несовместимыми с наличием стенки. Если в качестве невязкого течения в основной области рассматривается чисто вращательное движение со степенным законом убывания окружной скорости с расстоянием от оси вращения v~r~m,m> 0, то сращивание с вязкими областями оказывается невозможным. В области вязкого ядра стационарное течение возможно только при балансе процессов диффузии и переноса завихренности, а выполнение этого условия возможно лишь в том случае, если окружная и осевая скорости в ядре вихря и на его периферии одного порядка [.Мауег E.W., Powell K.G., 1992; Fernandez-Feria R. et al, 1995]. Это означает необходимость существования меридионального течения в невязкой области [Сычев В.В., 1997], такого, что окружная скорость порядка осевой при г -» 0.

Невозможным оказывается и построение пограничного слоя, индуцируемого чисто вращательным невязким течением, если плоскость бесконечна [King W.S., Lewellen W.S., 1964]. Исследование пограничного слоя, индуцируемого такими течениями на поверхности диска конечного радиуса, было проведено в [Belcher R.J. et al., 1972]. В работе [Сычев В.В., 1997] рассмотрение вращательно-симметричного течения над твердой поверхностью при больших числах Рейнольдса позволило построить систему сращиваемых асимптотических разложений для трех характерных областей течения - невязкого поля, вязкого ядра вихря и пограничного слоя вблизи твердой поверхности. При этом в каждой области существуют автомодельные решения, в совокупности дающие полную картину течения. Однако, в этой модели, являющейся наиболее обоснованной в рамках такого трехзонного подхода, не удалось удовлетворить условию прилипания на стенке: условие прилипания для окружной скорости на твердой поверхности удовлетворяется только асимптотически.

Если предполагать, что решение задачи о взаимодействии вихря с плоскостью является конически автомодельным, то не удается удовлетворить одновременно условию регулярности на оси симметрии и условию прилипания на перпендикулярной твердой стенке [Гольдштик М.А., 1989]. Но задача о взаимодействии вихревой нити с плоскостью моделирует течение в реальных торнадо и смерчах на некотором расстоянии от оси. При этом на оси симметрии вводится особенность в виде вихревой нити с заданной циркуляцией, которая и является источником движения. Также эта задача представляет большой теоретический интерес, т.к. является парадоксальным примером потери существования решения уравнений Навье-Стокса при конечном числе Рейнольдса. Она неизменно притягивала внимание многих авторов и послужила побудительным стимулом написания монографий [Гольдштик М.А., 1981; Гольдштик М.А. и др., 1989]. В работе [Гольдштик М.А., 1960] Гольдштик показал, что при заданном значении циркуляции на оси Г, ограниченности осевой скорости и условии прилипания на плоскости решение перестает существовать, когда число Рейнольдса Re = r/(27cv) = ro/v (v - кинематический коэффициент молекулярной вязкости) превышает критическое значение 5.53. Серрин [Serrín J., 1972] обобщил эту задачу, допустив логарифмическую особенность для осевой скорости на оси (более слабую, чем особенность для окружной скорости). В этом случае решение существует при всех числах Рейнольдса. Однако этот результат был подвергнут критике по ряду соображений [Гольдштик М.А. и др., 1989], одно из которых состоит в неопределенности коэффициента при логарифме.

Современные аэропорты сильно загружены, поэтому определение и уменьшение этой дистанции играет огромную роль в увеличении пропускной способности аэропорта. Особенно важно это в связи с тенденцией к утяжелению самолетов, что приводит к более интенсивному вихревому следу. Таким образом, моделирование вихревого следа за самолетом является важной задачей еще на стадии его проектирования [Vyshinsky V.V., 1998; Rossow V.J., 1999]. Опасные зоны при попадании в след впереди летящего самолета указаны на рис. В.2.

В то же время большой интерес вызывают методы оценки возможного воздействия высотной авиации на атмосферу. Информация о структуре следа является необходимой для исследования физико-химических процессов, связанных с образованием аэрозоля в нем [Гринац Э.С., Стасенко A.JI., 1996]. С целью обеспечения безопасности полета можно визуализировать струйно-вихревой след самолета [Гринац и др., 1996]. \

Рис. В.2. Опасные зоны при попадании в след впереди летящего самолета

Следует отметить, что экспериментальное исследование дальнего вихревого следа за самолетом в аэродинамических трубах (АДТ) практически невозможно в связи с большой протяженностью следа. К тому же параметры турбулентности набегающего потока в АДТ и в реальной атмосфере сильно отличаются, а этот параметр является одним из определяющих для затухания вихревого следа [Вышинский В.В., Судаков Г.Г., 2003]. Кроме того, экспериментальное исследование в реальных условиях чрезвычайно затруднено из-за стохастичной природы атмосферной турбулентности. Кроме измерения параметров следа необходимо измерение параметров атмосферы в заданные моменты времени. Вблизи земли необходимы измерения внутри приземного слоя атмосферы на большом расстоянии вдоль вихрей. Такие измерения требуют больших затрат, поэтому обычно измеряют параметры атмосферы в одной точке, что не всегда хорошо характеризует атмосферную турбулентность. Тем не менее, существуют некоторые методические экспериментальные исследования вихревого следа в турбулентной атмосфере [Замятин А.Н., 1989; Кощеев A.B. и др., 2002; Proctor F.H., 1996]. Однако одним из основных методов исследования таких течений является метод численного моделирования. Так, в [Белоцерковский С.М., Гиневский A.C., 1995; Аубакиров Т.О. и др., 1999; Желанников А.И., 2002] проводилось численное моделирование вихревых следов с помощью метода дискретных вихрей.

Вихревая пелена, сошедшая с кромок летательного аппарата, в ближнем поле образует многоядерную вихревую структуру. Затем вихри с каждой половины крыла сливаются, и в дальнем поле образуется двухвихревая система. Существуют различные сценарии разрушения этой вихревой системы: длинноволновая (синусоидальная) неустойчивость, коротковолновая неустойчивость, взрыв вихря, диффузия вихрей.

Наиболее часто встречаемый вид неустойчивости вихревой пары -длинноволновая неустойчивость. Теоретическое исследование этого явления в линейной постановке (амплитуда возмущений на двух прямолинейных нитях мала по сравнению с расстоянием между этими нитями) было впервые проведено Кроу [Crow S.C., 1970]. Поэтому длинноволновую неустойчивость пары вихрей часто называют неустойчивостью Кроу. Длина волны таких возмущений ~ 106 (Ъ - расстояние между вихрями).

Рис. В.З. Развитие длинноволновой неустойчивости в следе за самолетом В-47. Из «Альбома течений жидкости и газа» Ван-Дайка [Ван-Дайк М, 1986].

С картиной развития синусоидальной неустойчивости в следе за самолетом В-47 можно ознакомиться в «Альбоме течений жидкости и газа» Ван-Дайка [Ван-Дайк М, 1986] (см. рис. В.З). Видно, что на начальной стадии на паре прямолинейных вихрей возникают малые синусоидальные возмущения. С течением времени они растут, вихревые нити смыкаются, и появляются вихревые кольца, которые затем быстро распадаются.

В реальной атмосфере длинноволновая неустойчивость порождается турбулентностью атмосферы [Crow S.C., Bate E.R. Jr., 1976]. В этой же работе указана оценка времени жизни вихревой системы в зависимости от уровня турбулентности атмосферы, при этом при моделировании турбулентной атмосферы использовался спектр Колмогорова, а задача решалась в линейной постановке. В такой же постановке она была решена в [Kuzmin V.P., 1997], но с учетом влияния земли, а для моделирования турбулентности атмосферы использовались спектры Колмогорова, Драйдена и Кармана. Модель Колмогорова может рассматриваться как аппроксимация модели Кармана при больших волновых числах. Дальнейшее развитие линейной теории было проведено в [Гайфуллин A.M., 2001], где учитывается движение вихрей около земли, изменение циркуляции вихрей и используется спектр Кармана, а также исследуются более общие виды возмущений. В этой работе показано, что изменение расстояния между вихрями около земли может приводить к тому, что возмущения заданной частоты имеют растущие и затухающие периоды своего развития по мере удаления от летательного аппарата.

В устойчиво стратифицированной атмосфере преобладает другой вид неустойчивости: коротковолновая неустойчивость с длиной волны порядка одного или двух расстояний между вихрями. В настоящее время активно проводятся экспериментальные [Delisi D.P., Robins R.E., 2000; Leweke Т., Williamson C.H.K., 1998] и численные [Holzäpfel F. et al., 2001] исследования этого вида неустойчивости.

Еще один вид разрушения вихрей - «взрыв» вихря. Литература, посвященная ему, обширна и разнообразна: это и экспериментальные работы, и теоретические, и численные [Faler J.H., Leibovich S., 1978; Сычев Buk. В., 1993]. Обзор работ, посвященных «взрыву» вихря, можно найти, например, в [Delery J.M., 1994].

Определение структуры вихря также является одной из важнейших задач для оценки времени жизни вихревой системы в следе за самолетом. На режимах взлета и посадки за самолетом образуется вихревая пелена, которая сворачивается в многоядерную структуру (это вызывается отклонением закрылков и других элементов механизации крыла, рис. В.4). Затем на расстоянии 5-10 размахов крыла многоядерная структура преобразуется в двухядерную, и формируется дальний след самолета. Двухвихревая система под действием самоиндукции опускается вниз. По мере удаления от самолета происходит диффузия вихрей, что вызывает изменение интенсивности вихрей (максимальная скорость в ядрах вихрей уменьшается) и уменьшение скорости опускания. На большой высоте вихри опускаются почти параллельно друг другу, но при приближении к земле вихри начинают разбегаться друг от друга. Около земли вихри взаимодействуют с завихренностью приземного пограничного слоя. В то же время происходит отрыв пограничного слоя около поверхности и возникновение вторичного вихря, оторвавшегося от поверхности земли. Оба эти фактора приводят к отскоку вихря следа от поверхности земли (см., например, [Puel F., De Saint Victor X., 2000; Спаларт Ф.Р. и др., 2001; Белоцерковский Ал.С., Гиневский A.C., 2001]).

Рис. В.4. Многоядерная структура в следе за самолетом

Так как число Рейнольдса задачи о вихревом следе достаточно большое 11е = ГУ(27Гу)~107 (Г - циркуляция вихря, V - кинематический коэффициент молекулярной вязкости), то течение является турбулентным. В настоящее время существует три основных подхода к численному моделированию турбулентных течений (см., например, [Лапин Ю.В., Стрелец М.Х., 1989; Власенко В.В., 2000]).

Наиболее распространенным является подход, основанный на осреднении уравнений Навье-Стокса по времени и последующем замыкании этой системы при помощи полуэмпирической модели турбулентности. Следует отметить, что в данном подходе используется осреднение по всему диапазону турбулентных движений. Однако в развитой турбулентности можно выделить, по крайней мере, два принципиально различных масштаба движений. Первый - крупномасштабная турбулентность, которая определяется геометрией среднего течения, и потому принципиально не может быть описана универсальным образом. Второй - мелкомасштабная турбулентность, которая является равновесной и для которой теоретически может быть создана универсальная модель. Т.к. крупномасштабная турбулентность, которую нельзя описать универсально, включается в диапазон осреднения, то константы полуэмпирической модели турбулентности должны меняться от одного течения к другому.

Полностью лишен этих недостатков метод прямого численного моделирования турбулентности (direct numerical simulation - DNS), в котором используется полная, не осредненная по времени, нестационарная система уравнений Навье-Стокса. При этом размер ячейки сетки должен быть достаточно малым или схема должна быть высокого порядка аппроксимации, а это требует огромных затрат компьютерного времени и оперативной памяти.

Третий подход - метод моделирования крупномасштабной турбулентности (large eddy simulation - LES). Данный метод использует осреднение лишь тех турбулентных движений, масштаб которых меньше размера ячеек сетки. При этом крупные вихри моделируются непосредственно, а мелкие учитываются при помощи замыкающих моделей. В этом методе можно использовать более крупные ячейки сетки, т.к. необходимо лишь, чтобы подсеточная турбулентность принадлежала интервалу универсального равновесия. Но метод LES, тем не менее, также требует больших вычислительных ресурсов.

Оценки применимости методов LES и DNS можно найти, например, в [Лапин Ю.В., Стрелец М.Х., 1989], где показано, что для больших чисел Рейнольдса эти методы при современном развитии вычислительной техники чрезвычайно трудоемки. Поэтому, в настоящее время наиболее распространенным является подход, основанный на осреднении уравнений Навье-Стокса с последующим замыканием их при помощи полуэмпирических моделей турбулентности. Тем не менее, в настоящее время существуют некоторые успехи при моделировании вихревого следа методами LES и DNS [Shen S. et al., 1999; Garten J.F., 2001].

Можно выделить несколько типов полуэмпирических моделей турбулентности [WilcoxD.С., 1998; Власенко В.В., 2000]:

1) Алгебраические модели турбулентности. В алгебраических моделях замыкание уравнений Навье-Стокса, осредненных по Рейнольдсу, производится с помощью алгебраических формул, без использования дополнительных дифференциальных уравнений для каких-либо параметров турбулентности. Алгебраические модели - самый простой тип моделей турбулентности. В них используется гипотеза локальности, согласно которой механизмы турбулентного переноса полностью определяются локальными параметрами осредненного течения и моментально реагируют на изменение условий осредненного движения. Эти модели не универсальны и сильно меняются от одного класса течений к другому, хотя и требуют минимальных вычислительных затрат.

2) Модели с одним или двумя дифференциальными уравнениями (одно- и двухпараметрические модели). В дифференциальных моделях потоки выражаются не только через параметры осредненного движения, но и через некоторые параметры, характеризующие пульсационное движение. Для этих параметров используются дополнительные дифференциальные уравнения. При этом гипотеза локальности не устраняется полностью, она используется при замыкании дополнительных дифференциальных уравнений для параметров пульсационного движения. Как было сказано выше, существует два наиболее важных диапазона турбулентных движений: крупномасштабные и мелкомасштабные. Эти два диапазона физически различны и должны описываться по отдельности. Поэтому чаще применяются двухпараметрические модели турбулентности.

3) Двухпараметрические модели с алгебраическим замыканием для напряжений Рейнольдса (ARSM). Эти модели в настоящее время бурно развиваются. Они основаны на моделях анизотропной градиентной диффузии.

4) Дифференциальные модели для напряжений Рейнольдса. В данных моделях для определения неизвестных напряжений Рейнольдса решаются дополнительные дифференциальные уравнения.

Модели с алгебраическим замыканием для напряжений Рейнольдса и модели с дифференциальными уравнениями для напряжений Рейнольдса достаточно сложны. Поэтому в настоящей работе использовались алгебраические и двухпараметрические модели турбулентности.

Константы замыкания этих моделей меняются от одного класса течений к другому. Следует отметить, что стандартные модели турбулентности не описывают течение в ядрах вихрей, где движение жидкости близко к трердотельному вращению. В ядрах вихрей происходит понижение турбулентных пульсаций, а многие стандартные модели турбулентности вместо этого дают на оси максимум. Таким образом, необходимо специально модифицировать стандартные модели турбулентности для учета кривизны линий тока и вращения. Одним из первых методов модификации было использование числа Ричардсона, которое вводится обычно для небольшой кривизны линий тока по аналогии со стратификацией атмосферы [Bradshaw Р., 1969]. В работе [Hellsten А., 1998] предложены различные варианты для определения числа Ричардсона. В [Grinats E.S., Stasenko A.L., 1999] использовалась двухпараметрическая модифицированная модель турбулентности для расчета струйно-вихревого следа за самолетом. Другой метод - введение дополнительных функций, зависящих от закрутки потока, вместо констант замыкания моделей турбулентности.

При численном моделировании реальных случаев вихревого следа за самолетом, ввиду опускания пары и отскока вихрей, необходимо использовать довольно большую расчетную область в поперечной плоскости, кроме того вихревой след имеет протяженность порядка нескольких километров. Поэтому полная трехмерная нестационарная задача является чрезвычайно трудоемкой. В настоящее время для определения структуры вихрей в дальнем следе, где осевая скорость мала, наиболее часто употребляемым является численное моделирование в рамках двумерной нестационарной задачи для уравнений Рейнольдса.

Для нестационарной задачи необходимо корректно задать начальное условие. Существует несколько основных способов задания начальных условий для решения задачи в дальнем следе за самолетом: из экспериментальных данных, по эмпирическим формулам, с помощью численного расчета трехмерной компоновки самолета и ближнего следа за ним. В связи с вышеуказанными трудностями, возникающими при экспериментальных исследованиях вихревого следа, соответствующие данные удается найти редко. Поэтому наиболее часто употребляются два последних подхода.

Существуют различные эмпирические формулы описания вихря в дальнем следе за самолетом (см., например, [Gerz Т., 2001]): вихрь Рэнкина (Rankine); вихрь Ламба-Озеена (Lamb-Oseen) [ЛамбГ., 1947]; вихрь Хэллока-Бернхема [Burnham D.C., Hailock J.N., 1982]; вихрь Проктора [Proctor F.H., 1998]; вихрь Викроя [Vicroy D.D. et al., 1998] и некоторые другие. Описание и сравнение этих вихрей будет дано во второй главе данной диссертации.

Другой подход - это расчет полной компоновки самолета и определение параметров вихревого следа за летательным аппаратом. Такой расчет в рамках уравнений Навье-Стокса, осредненных по Рейнольдсу, требует очень больших вычислительных ресурсов, хотя и является наиболее точным. Расчет в рамках уравнений Эйлера менее затруднителен, но и он требует больших вычислительных затрат [Stumpf Е. et al., 2000]. Наиболее приемлемым представляется расчет с помощью панельного метода. Так, в [Воеводин A.B. и др., 2003] исследуется динамика вихрей в струйно-вихревом следе за самолетом.

Сразу за летательным аппаратом образуется многовихревая система, которая в дальнем следе преобразуется в двухвихревую. Процесс слияния вихрей с каждой половины крыла (merging) представляет отдельный научный и практический интерес. Проводились как теоретические исследования, так и численное моделирование данного явления [Zakharov S.B., 1999; Cerretelli С., Williamson C.H.K., 2003].

Течение в вихре является турбулентным, и как указывалось выше, одним из важных параметров, влияющих на вихревой след, является турбулентность атмосферы. Поэтому необходимо принимать во внимание не только турбулентность в вихре, но и правильно учитывать турбулентность окружающей среды. Влияние внешней турбулентности на обтекание различных тел к настоящему моменту изучено недостаточно. В работе [Секундов А.Н., 1997] предложена модификация однопараметрической модели vr-92 для турбулентной вязкости [Гуляев А.Н. и др., 1993], учитывающая влияние внешней турбулентности на пристеночный пограничный слой. В [Miyazaki Т., Hunt J.С., 2000] исследовалось влияние внешней турбулентности на колоннообразный вихрь. Известно, что турбулентность атмосферы оказывает сильное влияние на диффузию вихря и на развитие синусоидальной неустойчивости вихревой пары. Однако этот эффект еще недостаточно исследован.

В первой главе диссертационной работы при больших числах Рейнольдса методом сращиваемых асимптотических разложений решена задача о взаимодействии вихря с перпендикулярной плоскостью. При этом на оси симметрии задается особенность в виде вихревой нити, которая и является источником движения. Также решена задача об истечении струи из малого отверстия на плоскости при больших числах Рейнольдса. Исследуются приосевые пограничные слои закрученных струй.

Во второй главе исследуются модификации полуэмпирических моделей турбулентности, которые пригодны для расчета сильно завихренных потоков, в том числе в вихревом следе за самолетом. Также численно исследуется влияние турбулентности атмосферы на диффузию вихря. Для этого рассматривается модельная задача о турбулентной диффузии одного осесимметричного вихря и диффузия пары вихрей за самолетом в турбулентной атмосфере. Решается двумерная нестационарная задача в рамках уравнений Рейнольдса для несжимаемой жидкости.

В третьей главе построена нелинейная модель развития длинноволновой неустойчивости вихревого следа самолета. При этом вихревая система моделируется дискретными вихревыми трубками со структурой. Также проведено исследование влияния турбулентности атмосферы на развитие синусоидальной неустойчивости вихревого следа за самолетом.

В заключении сформулированы основные выводы диссертации.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю, чл.-корр. РАН, Сычеву В.В. Автор выражает признательность Судакову Г.Г., Вышинскому В.В., Гайфуллину A.M. за обсуждение отдельных задач и результатов исследований.

Методы исследования. Применяются методы сращиваемых асимптотических разложений, методы вычислительной гидродинамики.

Основные результаты, которые выносятся на защиту:

• Модификация алгебраической модели турбулентности для учета влияния внешней турбулентности.

Разработана алгебраическая модель турбулентности, которая учитывает влияние атмосферной турбулентности на диффузию вихрей. С помощью этой

21 модели исследована турбулентная диффузия одного вихря и пары вихрей в зависимости от параметров атмосферной турбулентности.

Предложена нелинейная модель развития синусоидальной неустойчивости для нескольких вихрей в турбулентной атмосфере. Даны оценки времени существования вихревого следа за самолетами в зависимости от параметров турбулентности атмосферы.

Практическая ценность. Разработанные компьютерные программы могут рассчитывать время жизни вихревого следа самолета на основе нелинейной модели развития длинноволновой неустойчивости в турбулентной атмосфере. Они применялись в рамках проектов МНТЦ #1018-98 «Безопасность полета, вихревой след самолета и пропускная способность аэропорта» (руководитель проекта В.В. Вышинский, научный руководитель чл.-кор. РАН, проф. В.А. Ярошевский), МНТЦ #2086-01 «Проблема спутной турбулентности в коридоре захода на посадку аэропорта Франкфурта на Майне» (руководитель проекта В.В. Вышинский), проекта ИНТАС#0632-01 «Влияние уровня и масштаба внешней турбулентности на характеристики вихревого следа за самолетом при малых скоростях полета» (руководитель проекта Г.Г. Судаков, координатор программ В.В. Вышинский).

Апробация работы. Результаты диссертационной работы дркладывались на:

• ХЫ, ХЫ1, ШП, ХЬУ, ХЬУ! научных конференциях МФТИ (1998, 1999, 2000, 2002, 2003 гг.), г. Долгопрудный-Жуковский.

• Ежегодном семинаре ЦАТИ-ОМЕКА, 6-7 сентября 2001г., г. Жуковский.

• II Всероссийской научно-техническая конференции молодых ученых «Современные проблемы аэрокосмической науки», 26-28 мая 1999г., г. Жуковский.

• Международной научно-техническая конференции молодых ученых и специалистов «Современные проблемы аэрокосмической науки и техники», 23-26 мая 2000г., г. Жуковский-Москва.

• Школе-семинаре молодых ученых и специалистов «Актуальные проблемы аэрокосмической науки», 26-28 апреля 2001г., г. Жуковский.

• II Международной научно-техническая конференции молодых ученых и специалистов «Современные проблемы аэрокосмической науки и техники», 8-12 октября 2002г., г. Жуковский.

• 1-ой Международной выставке-смотре «ЮНИМАКС-2003», 19-24 августа 2003г., г. Жуковский.

• Международном авиационно-космическом научно-1уманитарном семинаре имени С.М. Белоцерковского, 16 октября 2003г., г. Москва.

За отдельные результаты работы автору была присвоена вторая премия ЦАГИ за 2002г.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 17 печатных работ. Список опубликованных работ приведен в конце диссертационной работы.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы, включающего 126 наименований. Диссертация изложена на 132 страницах, содержит 42 рисунка.

Заключение диссертации по теме "Механика жидкости, газа и плазмы"

Выводы.

1. Рассмотрено стационарное осесимметричное течение вязкой несжимаемой жидкости, индуцируемое вихревой нитью, ортогональной твердой поверхности, при больших значениях чисел Рейнольдса. Задача решается методом сращиваемых асимптотических разложений. Сращивание этих разложений в главных членах требует рассмотрения четырех характерных областей, в которых r/z последовательно принимает значения порядка Re"1, Re~3/4, Re~2/3, l. Течение во всех этих областях является вязким. В области r/z = 0(l) оно соответствует линейному вихрестоку со слабой закруткой. В приосевой области r/z = 0(Re"1) поведение функций при Re(r/z) О является особым. Следствием особенности для окружной скорости v ~ Г0/г оказывается логарифмическая особенность (с вполне определенным коэффициентом) для осевой скорости. Это подтверждает основное предположение работы Серрина, согласно которому для получения решения при всех числах Re необходимо отказаться от требования ограниченности осевой скорости при г = 0, приводящему к известному парадоксу об отсутствии решения при Re > 5.53.

2. Рассмотрено стационарное осесимметричное течение вязкой несжимаемой жидкости под действием точечного источника потока импульса, расположенного на плоскости. Задача решается методом сращиваемых асимптотических разложений при больших числах Рейнольдса. Сращивание этих разложений в главных членах требует рассмотрения трех характерных областей, в которых r/z последовательно принимает значения порядка Re"1, Re~1/2, 1. Течение во всех областях является вязким. В первой области, приосевом пограничном слое, решение соответствует решению Шлихтинга. В третьей области, где r/z = 0(i), задача соответствует задаче о линии

119 стоков. Но непосредственное сращивание главных членов разложения в этих областях невозможно. Введение промежуточной области позволяет получить автомодельное решение во всей области течения.

5. Решена задача о развитии длинноволновой неустойчивости пары вихрей в идеальной жидкости в нелинейной постановке, т.е. не предполагалось, что амплитуда возмущений мала по сравнению с расстоянием между вихрями. Исследовалось время жизни вихревой системы (время до первого касания нитей между собой) в зависимости от длины волны начальных возмущений и от структуры ядер вихрей. Показано, что наиболее быстрорастущими являются возмущения с длиной волны Х = 9Ь для вихря Рэнкина и к = 86 для вихря Викроя. Решена задача о движении нескольких вихрей в турбулентной атмосфере. В качестве модели турбулентности атмосферы использовалась модель Кармана (спектр Кармана). Показано, что наличие атмосферной турбулентности приводит к более быстрому росту неустойчивости вихревой пары. При исследовании многовихревой структуры обнаружено, что нити с одной стороны плоскости симметрии в процессе движения «слипаются», т происходит преобразование многоядерной структуры в пару вихрей.

Список источников диссертации и автореферата по механике, кандидата физико-математических наук, Судаков, Виталий Георгиевич, Москва

1. Аубакиров Т.О., Желанников А.И., Иванов П.Е., Ниьит М.И. Спутные следы и их воздействие на летательные аппараты. Моделирование на ЭВМ. Алматы, 1999. 280 с.

2. Белоцерковский Ал. С., Гиневский A.C. Численное моделирование дальнего вихревого следа самолета на взлетно-посадочных режимах // Докл. АН. 2001. Т. 380. № 6. С. 761-764.

3. Белоцерковский О.М., Давыдов Ю.М. Метод крупных частиц. Москва: Наука. 1982. 392 с.

4. Белоцерковский О.М., Андрущенко В.А., Шевелев Ю.Д. Динамика пространственных вихревых течений в неоднородной атмосфере. Вычислительный эксперимент. М.: Янус-К, 2000. 456 с.

5. Белоцерковский С.М., Гиневский A.C. Моделирование турбулентных струй и следов на основе метода дискретных вихрей. М.: Физматлит, 1995. 368 с.

6. Белоцерковский С.М., Ништ М.И. Отрывное и безотрывное обтекание тонких крыльев идеальной жидкостью. Москва: Наука, 1978. 352с.

7. Булдаков Е.В., Егоров И.В., Сычев В.В. Некоторые свойства автомодельных решений для течений в вязких вихревых ядрах // Изв. РАН. МЖГ. 1998. № 1.С. 38-43.

8. Булдаков Е.В., Егоров И.В., Сычев В.В. Некоторые свойства автомодельных решений для течений в турбулентных вихревых ядрах // Изв. РАН. МЖГ. 1998. № з. С. 60-64.

9. БэтчелорДж. Введение в динамику жидкости. Москва: Мир, 1973. 760 с.

10. Ван-Дайк М. Методы возмущений в механике жидкости. М.: Мир, 1967. 311с. '

11. Ван-Дайк М. Альбом течений жидкости и газа. М.: Мир, 1986. 184 с.

12. Воеводин A.B., Вышинский В.В., Гайфуллин A.M., Свириденко Ю.Н. Эволюция струйно-вихревого следа за пассажирским самолетом // Аэромеханика и газовая динамика. 2003. № 4.

13. Вулис JI.A., Кашкаров В.П. Теория струй вязкой жидкости. М.: Наука, 1965.432 с.

14. Вышинский В.В., Судаков Г.Г. Математическая модель эволюции вихревого следа за самолетом в турбулентной атмосфере // Аэромеханика и газовая динамика. 2003. № 3. С. 46-55.

15. Гайфуллин A.M. Уравнения нарастания возмущений в следе за самолетом // Изв. РАН. МЖГ. 2001. № 3. С. 122-132.

16. Гайфуллин A.M., Зубцов A.B. Диффузия двух вихрей // Изв. РАН. МЖГ. 2004. № 1.С. 126-142.

17. Голубинский A.A., Сычев В.В. Об одном автомодельном решении уравнений Навье-Стокса // Учен. зап. ЦАГИ. 1976. Т. 7. № 6. С. 11-17.

18. Гольдштик М.А. Вихревые потоки. Новосибирск: Наука, 1981. 367 с.

19. Гольдштик М.А. Одно парадоксальное решение уравнений Навье-Стокса //ПММ. 1960. Т. 24. № 4. С. 610-621.

20. Гольдштик М.А. О закрученных струях // Изв. РАН. МЖГ. 1979. № 1. С. 26-35.

21. Гольдштик М.А., Штерн В.Н., Яворский Н.И. Вязкие течения с парадоксальными свойствами. Новосибирск: Наука, 1989. 336 с.

22. Гринац Э.С., Кошеваров A.B., Стасенко A.JI. Численное исследование струйно-вихревого следа тяжелого самолета у земли // Труды ЦАГИ. 1996. Т. 2622. С. 137-145.

23. Гринац Э.С., Стасенко A.JI. Модели струй двигателя самолета в поле спутных вихрей // Учен. зап. ЦАГИ. 1996. Т. 27. № 1-2. С. 105-116.

24. Гуляев А.Н., Козлов В.Е., Секундов А.Н. К созданию универсальной однопараметрической модели для турбулентной вязкости // Изв. РАН. МЖГ. 1993. № 4. С. 69-84.

25. Де Бор К. Практическое руководство по сплайнам. Москва: Радио и связь, 1985. 304 с.

26. Желанников А.И. Математические модели аэродинамики летательных аппаратов и спутных следов на основе метода дискретных вихрей // Труды ЦАГИ. 2002. Т. 2655. С. 189-194.

27. Замятин А.Н. Натурные исследования структуры вихревых течений в следе самолетов // Труды ЛИИ. 1989. № 536.

28. Знаменская И.П. (Ильина И.П.) Требования к размерам частиц, используемых для визуализации вихревого следа за самолетом // Труды ЦАГИ. 1996. Т. 2622. С. 146-150.

29. Зубцов A.B. Об одном автомодельном решении для слабо закрученной струи // Изв. АН СССР. МЖГ. 1984. № 4. С. 45-50.

30. Зубцов A.B. О некоторых автомодельных решениях для закрученной струи // Изв. АН СССР. МЖГ. 1986. № 3. С. 61-66.

31. Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика. Т. 2. Москва: Гостехиздат. 1948. 508 с.

32. ЛамбГ. Гидродинамика. Москва-Ленинград: ОГИЗ, 1947.928 с.

33. Ландау Л.Д. Об одном новом точном решении уравнений Навье-Стокса // Докл. АН СССР. 1944. Т. 43. № 7. С. 299-301.

34. Лапин Ю.В., Стрелец М.Х. Внутренние течения газовых смесей. М.: Наука, 1989. 368 с.

35. Лойцянский Л.Г. Распространение закрученной струи в безграничном пространстве, затопленном той же жидкостью // Прикл. Математика и механика. 1953. Т. 17. Вып. 1. С. 3-16.

36. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука, 1987. 736 с.

37. Пакин А.Н. К вопросу о выборе дифференциальных моделей турбулентности при расчете двумерных вихревых течений газа // Труды ЦАГИ. 1996. Вып. 2622.С. 90-99.

38. Седов ЛИ. Методы размерности и подобия в механике. М.: Наука, 1977. 438 с.

39. Секундов А.Н. Модель турбулентности для описания взаимодействия пограничного слоя с крупномасштабным турбулентным потоком // Изв. РАН. МЖГ. 1997. № 2. С. 59-68.

40. Спаларт Ф.Р., Стрелец М.Х., Травин А.К., Шур М.Л. Моделирование турбулентного вихревого следа за механизированным крылом // Изв. РАН. МЖГ. 2001. № 5. С. 64-72.

41. Спаларт Ф.Р., Стрелец М.Х., Травин А.К., Шур М.Л. Моделирование взаимодействия вихревой пары с поверхностью земли // Изв. РАН. МЖГ. 2001. №6. С. 52-63.

42. Сычев В.В. Об одном классе автомодельных решений для течений типа торнадо // Изв. РАН. МЖГ. 1997. № 3. 112-124.

43. Сычев Вик.В. Асимптотическая теория разрушения вихря // Изв. РАН. МЖГ. 1993. №3. С. 78-90.

44. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. М.: Наука, 1974. 711 с.

45. Belcher R.J., Burggraf O.K., Stewartson К. On generalized-vortex boundary layers // J. Fluid Mech. 1972. V. 52. Pt. 4. P. 753-780.

46. Bradshaw P. The analogy between streamline curvature and buoyancy in turbulent shear flow // J. Fluid Mech. 1969. V. 36. Part 1. P. 177-191.

47. Brysov O.P., Soudakova I.A., Soudakov G.G. Experimental investigation of the vortex wake behind a high-lift wing // Trudy TsAGI. 1999. V. 2641. P. 3950.

48. Burggraf O.R., Stewartson K., Belcher R. Boundary layer induced by a potential vortex // Phys. Fluids. 1971. V. 14. № 9. P. 1821-1833.

49. Burnham D.C., Hallock J.N. Chicago monostatic acoustic vortex sensor system. Report № DOT-TSC-FAA-79-103.IV, July 1982. 206 pp.

50. Cerretelli C., Williamson C.H.K. The physical mechanism for merging of trailing vortices // AIAA Paper 2003-1287.

51. Coakley T.J., Huang P.G. Turbulence modeling for high speed flows 11 AIAA Paper 92-0436.5 5. Crow S. C. Stability theory for a pair of trailing vortices // AIAA Paper 70-53.

52. Crow S.C., Bate E.R. Jr. Lifespan of trailing vortices in a turbulent atmosphere // J. Aircraft. 1976. V. 13. № 7. P. 476-482.

53. DeleryJ.M. Aspects of vortex breakdown //Prog. Aerosp. Sci. 1994. V. 30. P. 1-59.

54. Delisi D.P., Robins R.E. Short-Scale Instabilities in Trailing Wake Vortices in a Stratified Fluid // AIAA Journal. V. 38. № 10. P. 1916-1923.

55. Earnshaw P.B. An experimental investigation of the structure of a leading edge vortex // A.R.C. 22876. Reports & Memoranda № 3281.

56. Faler J.H., Leibovich S. An experimental map of the internal structure of a vortex breakdown // J. Fluid Mech. 1978. V. 86. Pt. 2. P. 313-335.

57. Fernandez-Feria R., Fernandez de la Mora J., Borero A. Solution breakdown in a family of selfsimilar nearly inviscid axisymmetric vortices // J. Fluid Mech. 1995. V. 305. P. 77-91.

58. Garten J.F., Werne J., Fritts D.C., Arendt S. Direct numerical simulations of the Crow instability and subsequent vortex reconnection in stratified fluid // J. Fluid Mech. 2001. V. 426. P. 1-45.

59. Gerz Т., Holzapfel F., Darracq D. Aircraft Wake Vortices. WakeNet Position Paper. 2001. 43 pp. http://www.cerfacs.fr/-wakenet/.

60. Gerz Т., Holzapfel F., Darracq D. Commercial aircraft wake vortices // Prog. Aerosp. Sei. 2002. V. 38. P. 181-208.

61. Green G.C. An approximate model of vortex decay in the atmosphere // J. Aircraft. 1986. V. 23. № 7. P. 566-573.

62. Grinats E.S., Stasenko A.L. Development of an algorithm for numerical simulation of water condensation in jet-vortex wake of an aircraft at low atmosphere // Trudy TsAGI. 1999. V. 2641. P. 310-323.

63. Hall M.G. A theory for the core of a leading-edge vortex // J. Fluid Mech. V. 11. P. 209-228.

64. Hellsten A. Some improvements in Menter's k-cd SST turbulence model // AIAA Paper 98-2554.

65. Helmholtz H. Liber Integrale der hydrodynamischen Gleichungen welche den Wirbelbewegungen entsprechen // Crelles J. 1858. P. 25-55. (Перевод: Гелъмголъц Г. Основы вихревой теории. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002. 82 с.)

66. Holzäpfel F., Gerz Т., Baumann R. The turbulent decay of trailing vortex pairs in stably stratified environments //Aerosp. Sei. Technol. 2001. V. 5. P. 95-108.

67. Jones W.P., Launder B.E. The prediction of laminarization with two-equation model of turbulence // Int. J. of Heat and Mass Transfer. 1972. V. 15. P. 11191130.

68. King W.S., Lewellen WS. Boundary layer similarity solutions for rotating flows with and without magnetic interaction // Phys. Fluids. 1964. V. 7. № 10. P. 1674-1680.

69. Klein R., Knio O.M. Asymptotic vorticity structure and numerical simulation of slender vortex filaments // J. Fluid Mech. 1995. V. 284. P. 275-321.

70. Knight D.D., Saffman P.G. Turbulence model prediction for flows with significant mean streamline curvature // AIAA Paper 78-258.

71. Kuzmin VP. Estimation of wake-vortex separation distances for approaching aircraft // Trudy TsAGI. 1997. V. 2627. P. 209-224.

72. Lakshminarayana B. Turbulence modeling for complex shear flows // AIAA Journal. 1986. V. 24. №12. P. 1900-1917.

73. Leweke T., Williamson C.H.K. Cooperative Elliptic Instability of a Vortex Pair // J. Fluid Mech. 1998. V. 360. P. 85-119.

74. Long R.R. Vortex motion in an infinite viscous fluid I I J. Fluid Mech. 1961. V. 11. №4. P. 611-624.

75. Madsen N.K., Sincovec R.F. Algorithm 540: PDECOL, General collocation software for partial differential equations // ACM Transactions on Mathematical Software. 1979. V. 5. №3.

76. Mayer E.W., Powell K.G. Similarity solutions for viscous vortex cores // J. Fluid Mech. 1995. V. 238. P. 487-507.

77. Miyazaki T., Hunt J. C. Linear and nonlinear interactions between a columnar vortex and external turbulence // J. Fluid Mech. 2000. V.402. P. 349-378.

78. Pakin A.N. Application of a modified q-co turbulence model to simulation of two-dimensional vortex gas motion // Trudy TsAGI. 1997. V. 2627. P. 79-92.

79. Proctor F.H Numerical Simulation of a Wake Vortices Measured During the Idaho Falls and Memphis Field Programs // AIAA Paper 96-2496.

80. Proctor F.H. The NASA-Langley wake vortex modeling effort in support of an operational aircraft spacing system // AIAA Paper 98-0589.

81. Puel F., De Saint Victor X. Interaction of Wake Vortices with the Ground // Aerosp. Sci. Technol. 2000. V. 4. P. 239-247.

82. Rossow V.J. Lift-Generated Vortex Wakes of Subsonic Transport Aircraft // Prog. Aerosp. Sci. 1999. V. 35. № 6. P. 507-660.

83. Rubinstein R., Zhou Y. The dissipation rate transport equation and subgrid-scale models in rotating turbulence // ICASE Report No 97-63.

84. Rumsey C.L., Gatski T.B. Recent turbulence model advances applied to multielement airfoil computations // AIAA Paper 2000-4323.

85. Rumsey C.L., Gatski T.B. Isolation curvature effect in computing wall-bounded turbulent flows // AIAA Paper 2001-0725.

86. Rumsey C.L., Gatski T.B. Recent turbulence model advances applied to multielement airfoil computations // Journal of Aircraft. 2001. V. 38. № 5. P. 904-910.

87. Saffrnan P.G. Structure of turbulent line vortices // Phys. Fluids. 1973. V. 16. №8. P. 1181-1188.

88. Saffman P.G. Vortex dynamics. Cambridge University Press. 1992. 376 p.

89. Sarpkaya T. A new model for vortex decay in the atmosphere // AIAA Paper 99-0761.

90. Schneider W. Flow induced by jets and plumes // J. Fluid Mech. 1981. V. 108. P. 55-65.

91. Serrin J. The swirling vortex // Philos. Trans. R. Soc. London. Ser. A. 1972. V. 271. № 1214. P. 327-360.

92. Shen S., Ding F., Han J. Arya S. P., Proctor F. H. Numerical modeling studies of wake vortices: real case simulations // AIAA Paper 99-0755.

93. Shur M.L., Strelets M.K., Travin A.K., Spalart P.R. Turbulence modeling in rotating and curved channels: assessing the Spalart-Shur correction // AIAA Journal. 2000. V. 38. № 5. P. 784-792.

94. Soudakov G.G. Engineering model of the wake behind an aircraft // Trudy TsAGI. 1999. V. 2641. P. 95-110.

95. Spalart P.R., Allmaras S.R. A one-equation turbulence model for aerodynamic flows // AIAA Paper 92-439.

96. Spalart P.R., Shur M.L. On the sensitization of turbulence model to rotation and curvature // Aerospace Sci. and Technol. 1997. V. 1. № 5. P. 297-302.

97. Stewartson K., Hall M.G. The inner viscous solution for the core of a leading-edge vortex // J. Fluid Mech. 1962. V. 15. P. 306-318.

98. StumpfE., RudnikR., Ronzheimer A. Euler computation of the nearfield wake vortex of an aircraft in take-off configuration // Aerosp. Sci. Technol. 2000. V. 4. P. 535-543.

99. Vicroy D.D., Vijgen P.M., Reimer H.M., Gallegos J.L., Spalart P.R. Recent NASA wake-vortex flight tests, flow-physics database and wake-development analysis // World Aviation Conference. 1998. №985592.

100. Vyshinsky V.V. Aircraft vortex wake, flight safety and crisis airports // Proceedings of the 21-th Congress of ICAS. 1998. ICAS-98-6.5.1.

101. Widnall S. The structure and dynamics of vortex filaments // Ann. Rev. of Fluid Mech. 1975. V. 7. P. 141-165.

102. Wilcox D.C. Turbulence modeling for CFD. DCW Industries, Inc. Anaheim. 1998. 537 p.

103. Zakharov S.B. A note on vortex merging // Trudy TsAGI. 1999. V. 2641. P. 78-83.

104. Zheng Z.C. Thin-tube vortex simulations for sinusoidal instability in a counter-rotating vortex pair // Int. J. Numer. Meth. Fluids. 2002. V. 39. P. 301324.

105. Судаков В.Г. Влияние турбулентности атмосферы на структуру вихрей в дальнем следе за самолетом // XLII Научная конференция МФТИ

106. Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук». 26-27 ноября 1999г., г. Москва-Долгопрудный. Тез. докл.

107. Bezrodnov A.V., Gaifullin A.M., Soudakov G.G., Soudakov V.G., Voyevodin A. V., Zakharov S.B. Investigations into the wake vortex evolution downstream the A300 aircraft model // Trudy TsAGI. 1999. V. 2641. P. 84-94.

108. Ilyina I.P., Soudakov V.G. Investigation of the influence of a turbulent atmosphere on motion of small particles in the vortex wake behind an aircraft // Trudy TsAGI. 1999. V. 2641. P. 396-400.

109. Soudakov V.G. Nonlinear asymptotic model of the far vortex wake behind an aircraft flying through the turbulent air // Trudy TsAGI. 1999. V. 2641. P. 162175.

110. Судаков В.Г. Численное моделирование развития синусоидальной неустойчивости вихревого следа // Ежегодный семинар ЦАГИ-ONERA. 67 сентября 2001г., г. Жуковский. Тез. докл. С. 17-18.

111. Судаков В.Г., Сычев В.В. Асимптотическая теория вязкого взаимодействия вихря с плоскостью // Изв. РАН. МЖГ. 2002. № 6. С. 2230.

112. Судаков В.Г. О применимости моделей турбулентности для задач с сильной закруткой потока // Учен. зап. ЦАГИ. 2003. Т. XXXIV. №1-2. С. 76-83.

113. Судаков В. Г., Сычев В.В. Об истечении струи из малого отверстия на плоскости // Изв. РАН. МЖГ. 2003. № 1. С. 33-36.