Исследование метода присоединенных плоских волн и электронные свойства гексагональных NbN и WC тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.07 ВАК РФ

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ИНСТИТУТ ФИЗИКИ ВЫСОКИХ ДАВЛЕНИЙ ш. Л.Ф.ВЕРЕЩАГИНА

Р.Г.В. ОД •

На правах рукописи • 1. '-А УДК 538.915

ЛИТИНСКИЙ Леонид Борисович

ИССЛЕДОВАНИЕ МЕТОДА ПРИСОЕДИНЕННЫХ ПЛОСКИХ ВОЛИ И ЭЛЕКТРОННЫЕ СВОЙСТВА ГЕКСАГОНАЛЬНЫХ мьн И ис

Специальность 01.04.0? -.Физика твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степегш кеядвдага физико-Математических наук

г. Троицк 1994

Работа выполнена в Иституте физики Высоких Давлений им. Л.Ф.Верещагина Российской Акакдемии Наук.

Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук

Ю.А.Успенский (г.Москва), доктор Физико-математических наук В.П.Широковский (г.Ижевск).

Ведущая организация - Московский институт стали И сшивов,

кафедра теоретической физики.

Защита диссертации состоится "25" апреля 1994 г. в 11-00 час. на заседшли Специализированного Совета К 003.82.01 при Институте Фипики Высоких Давлений РАИ по адрес*: 142092, г.Троицк, Московской области, ИФВД РАН.

С. диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института Физики

Пнг-пки* Давлений РАН.

Апт'ч>е1|1ят разослан "24" марта 1994 г.

А.Ф.Тзтзрчеяко

Общая характеристика работы

Актуальность темы. В части исследования метода присоединенных плоских волн зонного расчета (ППВ-метода) актуальность темы определяется широким использованием ППВ-метода и различных его модификаций для изучения энергетической структуры кристаллов. Для продуктивного использования ППВ-метода важно прояснение таких вопросов, как критерии выбора внешних параметров ППВ-расчета ( тех, что исследователь выбирает из эвристических соображений), или - возможности и ограничения различных модификаций ППВ-метода.

В части исследования электронных свойств конкретных кристаллов актуальность работы определяется отсутствием теоретической модели поверхности Ферми гексагональных нитридов и карбидов, несмотря на то, что для гексагонального не с 1986 года известны результаты измерений де Гааз - ван Альфена.

Цель работы. В части исследования метода присоединенных плоских волн целью работы является переформулировка ППВ-метода из квазиволнового представления в представление сферических гармоник и исследование возможностей, связанных с этой новой формулировкой. Основной используемый при этом инструмент - так называемая, псевдообратная матрица ( матрица, обратная к вырожденной). В части изучения электронных свойств гексагональных мьм и не целью является расчет их энергетических зон и построение на этой основе теоретической модели поверхности. Ферми.

Научная новизна работы. В части исследования ППВ-метода научная новизна рэботы определяется тем, что для него не было известно иной формулировки, кроме квазиволнового представления. В то же время, для родственного ему метода функций Грина, существовало как представление в базисе сферических гармоник (ККР-уравнпние), так и квазиволновое представление (ККРЗ-уравнение); причем, в

вычислительном отношении, представление сферических гармоник давало ряд преимуществ по сравнении с квазиволновым представлением. Поэтому, с отысканием для ППВ-методя представления сферических гармоник, связывались надезды на получение более аффективных вычислительных процедур.

В части исследования электронных свойств гексагональных ньм и ис научная новизна работы определяется тем, что на основе зонного расчета и теоретико-групповых соображений удалось не только построить правдоподобную модель поверхности Ферми исследуемого класса соединений, но и интерпретировать существующие для кс результаты де-Гаэз - ван-Альфеновских измерений.

Научная и практическая ценность. Результаты, полученные при исследовании методов зонного расчета, позволяют: а) сформулировать удобные и осмысленные критерии для выбора внешних параметров ППВ-метода; б) прояснить вопрос о целесообразности использования - в рамках той или иной вычислительной процедуры,- либо представления сферических гармоник, либо - квазиволнового представления, система приемов, развитая при исследований энергетического спектра гексагональных ньи и «с, и базирующаяся на последовательном применен! теоретико-групповых соображений к результатам зонного расчете, позволяет строить теоретические модели поверхностей Ферми полуметаллов.

На защиту выносятся:

1. Критерии выбора внешних параметров ППЗ-расчета: числа базисных функций ( п ) и значения орбитального момента 1тах, на котором обрывают разложение плоской волны по сферическим гармоникам.

2. Получение и исследование представления сферических гармоник длп ППВ-метода зонного расчета.

3. Обоснование некорректности использования ККРЗ-уравнения в кяче^тпе квазиволнового представления метода функций Грина,'

получение нового варианта представления сферических гармоник для метода функций Грина.

4. Расчет энергетических зон для гексагональных пьн и wc, обнаружение аномалий в расщеплении вырожденных зон около уровня Ферми и объяснение этих аномалий.

5. . Построений теоретической модели поверхности Ферми рассматриваемого класса соединений.

6. Интерпретация результатов измерений эффекта де-Гааз-ван Альфена для гексагонального wc. .

Апробация результатов работы. Результаты работы докладывались и обсуздались на 4-м Всесоюзном совещании "Методы расчета екергетической зонной струкутры я физических свойств кристаллов*(Киев, 1987),. на Мездународной конференции по физике высоких давлений (Троицк, 1939), на 20-м мевдународном симпозиуме

"Electronic Structure of Solids", (г.Гауссиг, Германия, 1930), на мездународных рабочих совещаниях "Numerical Methods in the Electronic Theory of Solids" (Г.СверДЛОБСК, 1991) И "Methods of electronic structure celculations", (Г.Триест, Италия, 1992).

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 9 работ, список которых приведен в конце автореферата.

■ Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, 'заключения и списка-литературы; Объем диссертации - 160 страниц, включая 37 рисунков и список литературы из 74-х наименований.

.Основное содержание работы.

Во введении . сформулирована цель работы, обоснована ее актуальность, й практическая значимость, отражены элементы новизны, приводятся основына положения, выносимые на защиту, а тапге дается краткое описание структуры диссертации.

Первая глава целиком посвящена изложению теоретических положений, составляющих фундамент метода ПИВ.

В первом параграф излагаете» восходящая к Дж.Слзтеру идея конструирования присоединенной плоской волны, выводятся выражения дл матричных элементов гамильтониана и матрицы перекрытий, отшивается процедура отыскания собственных.энергий кристалла ( путем прогона энергии е, рассматриваемой как параметр, в интересующем исследователя интервале и отыскания всех корней возникающего нелинейного уравнения). Здесь же дан обзор наиболее известных модификаций ППВ-метода, направленных на ускорение вычислительной процедуры. Полученные в втом параграф выражения стянут отправной точкой исследований во второй главе диссертации. Во втором параграфе списывается одна из наиболее известных версий линеаризации ППВ-метода, основанная на подходе Келинга-Арбмана линеаризуется энергетическая зависимость решения u^r.e) радиального уравнения Шредингера (здесь.R - радиус muffin-tin сферы, окружающей атом); выводятся выражения для матричных элементов, приводятся рекомендации относительно выбора параметрических энергий, в окрестности которых процедура линеаризации имеет смысл. Посредством программного комплекса, реализовавшего этот вариант линеаризованного ППВ-метода, наш рассчитывались .энергетические» зоны конкретных кристаллов, в том числе - и гексагональных чьи и wc, исследовании •■ поверхности Ферми которых целиком посвящена третья глава диссертации В третьем параграфе кратко описываются, во-первых, принятый у нас способ построения кристаллического потенциала 'muffin-tin приближение, без самосогласовянмн электронной плотности), и во-вторых, два варианта использования нами теории групп ( симметризация базисных Функций -в зонном расчете, и -непосредственный учет теоретики-групповых соображений при построении поверхности Ферми).

Вторая глава целиком посвящена теоретическому исследовании ППВ-метода.

В первом параграфе выражениям для матричных элементов гамильтониана придается удобный для анализа вид. Основная идея при этом -• представление анергетически-зависящей части матричного элемента гамильтониана

'max ц (r,e)

F (Е) - 4nR2 ) (2U1)Pti,j)j (ltR)jlkR) / ij L I i L j U^R.E)

в виде'тройного произведения матриц

f (е) - (a'*l(u )а) (1)

Ч I ч

Здесь, как обычно, k = -|ic | = (¡с + £ t и Й - приведенный волновой

вектор, а £ - вектор обратной решетки; ^U) - сферическая

функция Бесселя; штрих.означает дифференцирование по радиальной

переменной,'а. p^i.Я - полином Лежандра 1-го порядка, на разложении

которого по сферическим гармоникам Yu.(1) и основано равенство (I),

В этом равенстве А означает пряыо^гольну« матрицу с элементами.

ft, • 4nRj (k r) y (i) . (2)

lm,t I i Itn

Для нумерации строк матрицы а используются два индекса: 1 меняется

от 0 до 1 , а m - при фиксированном 1,- меняется от -1 до 1; всего,

такш образом, получается число строк р = (1тах* 1,2» индекс i нумерует столбцу матрицы а (то есть - плоские волны) и пробегает значения от 1,до п; матрица А действует из пространства Rn размерности п в пространство Rp размерности р. Символом а

в равенстве,(I) обозначена матрица, сопряженная к а; иначе говоря -

* —

транспонированная и комплексно сопряженная: (а д^; она действует Из пространства Rp в пространство R? Символом Uu^ обозначена квадратная диагональная матрица размерности р«р, у которой на диагонали стоят логарифмические производные Ни.) решений радиального уравнения Шредингера:

Ut(R,E)

L1 V " -ЗГПГЁ) • Lu.iv' Ul > ■ V«m-L (Ul1 •

i

Строки и столбцы матрицы И>\) нум-руются по тому же принципу, что и строки матрицы а.

Если ввести еще две квадратные матрицы размерности пхп J и М:

j <k R)

j • & а - 4пп , н - (й .it )*j ,

Ч I I ■ К М I I W J

где о - объем злементзрной ячейки, a k -|it-ic|,i,j-i,..n,

i j i )

то окончательно матрица гамильтониана н(е) примет вид

*

11(e) - и ♦ a l(u,.m, (3)

а отыскание собственных анергий кристалла сведется к известной нелинейной щюблеме: найти те значения параметрической энергии е, которые совпадают хотя бы с одним из собственных значений задачи: Г (М ♦ A*L(u^)A)u - >Ju

I Е - X IE), u s R" . • (4)

)

Задача (4) и является (слегка нетрадиционной) запись» квазиволнового представления ГШВ-проблемы; как мы увидим дальше, представление матрицы hie) в виде (3) оказывается чрезвычайно плодотворным.

Подчеркнем, что вся зависимость матрицы гамильтониана от параметрической энергии е и от кристаллического потенциала сосредоточена в диагональной матрице L(ut) - матрицы м, J л а полностью определит-* структурой кристаллической решетки. В частности, для теста пустой решетки (когда потенцлял внутри MT-ciJepH полагается равным нулю ) матрица гамильтонинана имеет вид

Н°(Е) - М ♦ A*L(j (5)

< , • 1 ,о •

Еешения e' j'задачи (4) с гамильтонианом Н (Е) пустой решетки хорошо .'"ье-етны - это '.eo'ojHt,- ш+.иаи (CD).' И в ППВ-рэсчете . ря -.Ч'-рЧ'.к'ти пуп можно получить только т> первых

Е°. к' . к* - к*.

. »'■а» ft

''Пм.•Т!иян»я Плйнкч и уде^ннля мчос*Г алектрон* тгрияяты равными единиц

Свободные анергии вида к* в таком расчете получены быть не могут. Do втором параграфе» решения проблемы (■*) дли гамильтониана общего вида (3) - HHhOHbU ИХ J-'HHtJl-ш >«<*;>:ЛJiflu (33) - НрИВЯсНВаяН'СЯ к решениям той же проблемы-дли гамильтониана (5) пустой решетки, то есть - к CD к*. Делается его посредством представления гамильтониана общего вида Н(Е| в форме

IKE) • »'"(Б) ♦ A*D(E)A (6)

где на "диагонали у квадратной (диагональной) матрицы die) стоят ралнбсынш логарифшческие щюизводные

d (Е) - L(u ) - H^Ulfcl) Известно, что для 1 £ '•> неличини cMei на больших ннергетических интервалах близки к нулю; для l < 3 «то уже не так из-за сингулярноотей логарифмических производных Liu) и u:((j) ( то есть, анергий, при которых либо ujr.e) - о , либо jt(.|"Ek) - о ). Однако, оказывается, можно отыскать достаточно щютязкениым внергетичеокие интерналы, на которых и du<E'' d,<E>i d2<£) -одновременно - близки к нулю, ото значит, что можно ввести Mdj.uft параметр и второе слагаемое в (G) рассматривать как возмущение гамильтониана н'°1е). Стандартное использование теории возмущений позволяет интерпретировать ЗГ> кристалла как образующиеся в результате расщепления СЗ к' под действием возмущающего члена в (6). Это - только о:*ин класс ЗЭ; их называот k'-noioSnaiu ПЭ. Второй класс -ЗЭ кристалла - их называют р«яониисны-ш - обусловлен сингулярностями логарифмических производных; параграф) завершается описанием качественного механизма их образовании. В третьем параграфа главы получены критерии выбора внешних Параметров ППВ-метода: необходимого дли расчета числа л базисных Функций и значения орбитального момента, на кото|>ом можно обрывать разложение плоской волны по сферическим гармоникам. Поскольку к*-подобные ГО "ироисходят" из расщепл.чяцихсн СЭ к', а

про нти последние точно известно - какие именно из них могут, быть получены в ППВ-расчете размерности п-п (см. ьыше), критерий выбора числа п состоят н следующем (формулировка несколько упрощена):

п долно ciniь "¡at им, ч/г.С'.'Ы к • к накрывало интерес у>.чццй

и

11сjв■ лп.г- 7л Uu ItHt>.ei'8'.i 1,

Формулировка критерия выбора 1 исходит из следующей постановки вопроса: пусть число п фиксщювлно; каким следует взять 1 , чтобы ППВ-расчет был корректен?

Получен следующий ответ: _J д<ижх> быть таким, чтобы выполнялось приближенное равенство:

1

В, (k R) 5 S (21*1)Rial.

I mo* n Lt t n '

I -O

Табулирование сумм в^х) для различных значений 1 и х дают удобный илетрумя-нт выбора I п я и. Оба критерия проверены в машинном skсперименте

Четвертый параграф главы посвящен получении и исследованию представления сферических гармоник для ППВ-метода (будем называть его п*ни*н ); иначе говоря, речь идет о переформулировке

задачи (4) с матрицами размерности п»п в ывивалектну» задачу с матрицами размерности р>р ( р - (1 ^*' ) * ).

Интерес к а той проблеме во многом связан с тем, что метод функций Грина ( родственный ППй зонный метод ) известен как в I-представлен® (KKF-уравнение), так л в квяьинмлнок/м представлении (КК73-уравнение); причем использование I-представления доставляет сл^дустдие существенные преимущества: небольшая размерность матриц ( для расчетов обходятся значениями 1 не больше 3-4 )' и удобная в вычислительном отношении конструкция матричного элемента - он распадается на определящупся только кристаллической решеткой '-"¡л" п>\!(:ч"/.1 часть и зависящую исключительно от потенциала. 11?п"?чц'юп.нуи часть. Структурная часть вычисляется хотя и сложно, но '.•дин раз, я потенциальная часть, которую надо многократно

пересчитывать во время прогона параметрической энергии е, вычисляется просто и быстро, на два порядка быстрее, чем в ППВ-методе. Основная идея при выводе 1-представления для ППВ-метода очень проста. Она базируется на понятии о гкььооэбратнс,:, матрице, то" есть такой, которая.осуществляет отображение, обратное к отображению, осуществляемому вырожденной. матрицей. У нас вырожденной является прямоугольная матрица а (2): щюстранство плоских волн она отображает в пространство сферических гармоник. Без ограничения общности предположим', что р < п и что ранг матрицы а равен р; тогда понятно, что на некотором подпространстве пространства и" матрица а вырождается, отображая его в ноль (это подпространство называется яЭром цгтрицы А - кегА; его размерность равна п-р). Зато оставшаяся часть пространства к" { она называется носителе» матрицы а - сагд; размерность' Сага равна р) отображается матрицей а в нр взаимшэоднозначнр. Следовательно, можно определить матрицу, осуществляющую обратное отображение из йр в подпространство саг д. Такая матрица называется псевдообратной; обозначается она а1 и известны несколько эффективных способов ее построения.

» I »

Аналогично, матрица (А ) есть псевдообратная к А ; она совпадает

* I I *

с сопряженной к псевдообратной: (а ) - (А ).

Понятно, что матрица А-А1 является единичной матрицей в пространстве

ар: А А'= I . •

<Р|

Опуская некоторые ёеаюли, можно сказать, что матрицы А и А* взаиаюобратны (. равно'как и матриц а и (а )' ). Тогда понятно, что нужно сделать для перехода от уравнения (4) размерности п-п к уравнен») размерности р<р: домножить (4) слева на матрицу (а )', а справа -на а1 и построить матрицы м - (л1 ¡ м л' и } - (л1 )1 л1 размерности-р*р. В результате получим задачу

' ■ Г (М ♦ ыи^У? - х-;-? (7)

I Е - л (Е), ? «5

I

Здесь привлекательно то, что, во-первых, размерность матриц равна рхр; а во-вторых - что матричный элемент уравнения хорово . разделяется на структурную и потенциальную части ( матрицы Н й ; определятся только решеткой кристалла, а матрице Ми ) - только потенциалом и вычисляется просто).

Оказывается, однако, что задача (7) не .эквивалентна задаче (4). .И причина этого - "опущенные детали". Дело в том, что когда яЭро патрииы а не равно нулю, матрица а1 а не есть единичная матрица, но только ортопроектор РСагд па подпространство сагл:

КегА # О -Ф А*А - Р * I .

Сагл ■ (п>

Аккуратный учет этого обстоятельства показывает, что задаче (7) эквивалентна не задача (4), а задача

( Р ■ [Н + А*Ци, )А - ХЛ -Р и - 0

•{ СагА I СагА (8)

V Е - \ (е), и € ЕП

1 .... И оказывается, что как у задачи (4) могут быть решения, не являщиес

решениями задачи (8), так и наоборот.

Единственный способ добиться эквивалентности задач (4) и (7) -сделать так, чтобы ядро матрицы а было, равно нулю.. Этого мозко достичь, наращивая число строк у матрицы а, иначе говоря - увэличива 1 . В завершение параграфа приведены результаты машинных экспериментов, а также указана модификация ГШВ-процэдуры, для которой переход к задаче (7) особенно продуктивен.

В пятом параграфе с аналогичной точки зрения анализируется метод функций Грина. Здесь иследование вдет в обратном направлении - от представления сферических гармоник (ККР-уравнения) к квазиволновому представлению. Показано, что широко известное ККРЗ-уравнение на в коем случае нельзя считать квазиволновым эквивалентом ККР-уравнения ( по тем же причинам, по каким в общем случае неэквивалентны задачи (4) и (8)). Получена строгая формулировка квазиволнового представления метода функций Грина, а также новый, неизвестный ране?

вариант. 1-представления; отличительная черта нового варианта 1-представления от канонического ККР-уравнения - отсутствие сйнгулярностей у матричных элементов.

В шестом параграфе дана систематическая теория псевдообратной матрицы ( в необходимом объеме ) и приведен разработанный наш алгоритм ее построения, хорошо зарекомендовавший себя в вычислениях.

Третья глава- целиком посвящена исследованию электронных свойств гексагональных Nbti и кс.

~ В первом параграфе описывается их кристаллическая решетка, приводятся параметры зонного расчета (линеаризованным ППВ-методом), англизируется полученные энергетические зоны, плотности состояний и положение уровня Ферми, проводится сравнение результатов для ис с расчетами других авторов (показано их удовлетворительное согласие). Оба соединения оказываются полуметаллами, и, в совокупности с изоструктурннм км тан (рассчитывавшимся ранее нашими коллегами), образуют группу соединений, обладающих похожими энергетическими зонами. '■...*•'

Во втором параграфе анализируется фрагмент зонных картинок, хзраэтершЗ для всех соединений этой группы - небольшое перекрытие двух зон вдоль симметричного направления Г-А: невнроздешой Е(к) и дваздц Ещхиздеипой D(k) ( к принадлежит оси Г-А; см. рис.1 ). Весь этот гогошй фрагмент сосредоточен .в непосредственной близости от точки А, леяащей йа границе зоны Ериллюэпа. Важность данного фрагмента обуславливается тем, что.не будь пзрекрытил зоя s{k) и D{k), NbN был бы диэлектриком, поскольку во всей остальной части зоны Бриллюана его уровень Ферми попадает в щель мззду валентной зоной и зоной проводимости. Для мс,- Формально говоря, это не так: у наго уровень Фермя пересекается с енергетаческими кривыми также в районе точек К и ь у границы зоны Бршитэна; однако, как' показано в аятом параграф глава, если бы для

Ью. I.Вверху - перекрытие двух зон в районе точки А:

Е(к) - нещккадыыан соаа, о<к| - дважды вы{южденн8н; Бг ~ положена* уровне <к,[т; »3 - ^мещени* с оси Г-А. Вниз^ - сечнил« гювпрхнисти ■ н.вдм кчк'тьм, содер-ж*<и»-Л «»<"•*» Г-А: ова.к мгж.цу точками к и к . - дьцючные ('<)!.т'шчин, "ч vi' точки а -.ч.^ктринны*.

I

r m

PHC. 2.CieM>iTirtt-cKne ¡tt<>6pHX(-me rirmepxiiocTH iepwa ,vtfi MC: ajuBTwouR BoKjiyr tomkk A - sjicht[x >mwe cncTvuma, ocraJiHKHc Maf'TH rtoBf-jixnocM $?PMH - ¿iupowTHe.

o T

n j

f

A

0 w I00O1

AiSi' ira ¿LUT <K,

\

t J?

r

1 1 . ..1 I I i i * i t

eo

30 0 30 n CiJd l»fd

pool

yrai _ riwcu

Fine. .J.lt.iMfifHMH 'H^'i'-i A»-7- B^-AjTbleH« pah wc; ,

JiPBHi* riP.H'-^S - 'irtji^Jcil Hp»iii«f*TC* THK, HTO

ruim'-KnOTb q^icim' ihhms - Henr»AWWH»( n-nocKo^TS

;ip.-tH-iH HH •• '/VM.M.-'i 'U'oef'VicTh ALtfT,

wc зоны E(k) и E(k) не перекрывались вдоль направления Г-А, то не бит би и пересечения уровня Ферми с зонами в районе точек К и ь; то есть, не тоже был бы диэлектриком.

Таким образом, фрагмент зон EU) и о(к) вдоль симметричного направления Г-А очень важен. Для его исследования привлекается аппарат известного £ р-метода, симметрийные соображения и теория возмущений. В качестве малого параметра используется величина « небольшого смещения с оси Г-А вглубь зоны Бршишана. Кривая eui превращается при етом в енергетическую поверхность eu,*) над плоскостью (к,*), и получащееся для нее аналитическое выражение удовлетворительно описывает зависимость eu,*i от *, наблэдаемую в зонном расчете:

г

eu.,) ■ е( к) . »' [l ♦ 2 е(кд0(к)].

Здесь ч - импульсный матричный элемент мезду волновой функцией *,(?), принадлежащей невыроеденной анергии ei к), и любой из волновых функций (i*), ♦jl?), принадлежащих выроаденно«Р анергии DU): q ' <4 |7|i > |7| t >.

и I и !

Выроаденная кривая Dikl при небольшом смещении с оси Г-А расщепляется на две поверхности - dt(k,*j и du.«), Поскольку переход между состояниями ^, i правилами отбора не запрещен, вырождение должно сниматься в первом порядке теории возмущений; то есть, с точность« до членов более высокого порядка малости поверхности о,(к,*) должны иметь вид

DtU,«l • D(k | IB«,

где »"<*i7,l>»<0.

14 « г

Однако тщатьльныВ анализ зонных расчетов в втой области заставляет предположить, что по каким-то причинам ( ьынсня»лч«шся ц четвертом параграфе данной главы ) выполняется равенство:

в - о. («I

Аналитические выражения для о+(к,*), полученные по теории возмущений в предположении (9), адекватно описывают зависимость зон n+(k,*) от наблюдающуюся в зонном расчете.

Завершается параграф построением поверхности Ферми в районе оси Г-А с помощью полученных.выражений для Е(к,*) и D+(k,*j, Сечение поверхности Ферми плоскостью, проходящей через ось Г-А, показано на рис..I. Овал, заключенный между точками ^ и содержи дырочные состояния, а "чаша" вокруг точки А - ¡электронные. В предположении, что выполняется равенство (Э), поверхность Ферми является поверхностью вращения этой фигуры. Если бы s было отлично от нуля, поверхность Ферми не обладала бы аксиальной симметрией, у нее появлялась бы тригональная гофрировка. У Nbti (и упоминавшегося выше тая) поверхность Ферми построенным фрагментом исчерпывается. А поскольку число валентных электронов у всех рассматриваемых нами соединений четное, то, по теореме Латтинджера-Ландау, объемы дырочной и электронной частей поверхности Ферми должны быть равны. Это важное, соображение используется в пятом и шестом параграфах данной главы.

В третьем параграфе исследуется ситуация, когда зоны Е(к) и D(k) настолько близки друг к другу, что влиянием на них остальных зон можно пренебречь (этого можно добиться каким либо внешним воздействием на кристалл, например - давлением). Тогда из бесконечномерного гамильтониана можно выделить фрагмент 3*3 ( относящийся к волновым функциям *о» ^и ) и записать секулярное уравнение как алгебраическое уравнение третьей степени. Приняв в районе точки А квадратичную аппроксимации дм зон Е(к) и Шк), получаем замкнутую систему уравнений, которая, мажет быть полностью исследована. Площади экстремальных сечений поверхности Ферми выражаются при этом через такие , параметры, кик ширина области перекрытия гон ZS, эффективные массы'»лектронор в точке А, импульсный матричный элемент

q. К сожаление, не удается . эффективно воспользоваться приведенным выше правилом равенства "электронного" и "дырочного" объемов, поскольку объем дырочной части выражается вллиптическим интегралом. Завершается параграф топологической классификацией типов поверхности Ф&рми в зависимости от значения параметра q. В четвертом параграфе разъясняется причина, лежащая в основе выполнения равенства (9). Подчеркнем, что правилами отбора для группы симметрии оси Г-А, переход мех$ду состояниями не.

запрещен; то есть, s может быть не равно нулю. Однако анализ парциальных зарядов состояний ^ и ^ показывает, что они образованы исключительно ¿-состояниями металла и р-сосгояниями неметалла. При вычислении s ~ <i4?|i2> возникнут интегралы вида

fF ( г ) У ( г } • 7 f F (г)У (r)ldr и Г F ( г ) V (rJ-VÎF |г)У (r)1dr

J 2m 2m 2т 2m' J J Un im • . ^ lin' im ' J

шет.) . (неметь

которые обращаются в ноль при интегрировании по углам. По сути, это есть следствие квантово-механических правил отбора для оператора импульса 7 в применении к атому.

Неравный нулю вклад в <i |7|*2> могли бы внести s-состоящш неметалла, но по симметрийным соображениям они не могут принимать участия в состояниях * и^, Таким образом, причина равенства нуда импульсного матричного элемента б - в специфике устройства состояний и В заключение параграфа разобранная ситуация сравнивается с аналогичной - и хорошо изученной - для энергетических зон графита. В пятом параграф* модель "гамильтошмана 3*3" ( см. описание третьего параграфа данной главы ) расщюстряняется На всю зону Бриллызна. Однако если раньше эта модель использовалась для получения точных . выражений (дли площадей «кстремальных сечений и объемов, поверхности Ферми), то теперь она используется как весьма грубое приближение ( обоснована возможность такого приближения). Основной результат,

:(01'0|;ий Нрл jTuM ГКм'уччеТСЯ - ВОЗМОЖНОСТЬ КаЧ6СТВеНг{оГО 01ШСМНЛН

внергетических зон, пересекающихся с уровнем Ферми на периферии зоны Бридлюэна. (в районе точек К и ь ); в результате атого пересечения образуются еще две части поверхности Ферми «с - небольшие по объему полости дырочного характера.

Таким образом, поверхность ¡^-рми ь'с состоит из четырех полостей: одной - электронной, к трех - дырочных ( см. ряс.2). Суммарный объем дырочных частей .должен равняться объему електронной. Это позволяет сделать вывод о том, что.если (в результате какого-либо внешнего воздействия) перестанут перекрываться зоны Е(Ю и о(к) вдоль направления Г-А, то исчезнут и.те части поверхности Ферми, * которые находятся на границе зоны Бриллювнв: при таком расцеплении зон Е{к) и и(к) исчезает единственная электронная часть поверхности Ферми.

В шестом параграфе интерпретируются результаты де-Газз -ван-Аьфеновских измерений длй мс. При этом используются только результаты экспериментов (см. рис.3) и имеющееся общее представление о поверхности Ферми кристалла. Четыре частотные кривые, уверенно различимые на больших угловых интервалах, отождествляется с четырьмя известными нам полостями поверхности Ферми. Постоянство частотных кривых на средней панели рис.3 свидетельствует об аксиальной симметрии отдельных частей поверхности Ферми, что хорошо согласуется с нашим выводом о том, что з = о (см. выше). Характер убывания и возрастания частотных кривых позволяет сделать разумные предположения о форме отдельных частей поверхности Ферми, а также оценить ах объемы, опираясь исключительно на взятые из эксперимента площади екстремяльных сечений. Подстановка полученных объемов в уравнение, связывающее "дырочной" и "влектрокной" объемы поверхности Ферми, позволяет ( е приемлемой дяи полуметаллов точность» ) отождествить частотные кривые с теми или иными частями поверхности Ферми.

Результаты зонного расчета, будучи подставленными в модель "гамильтонинана 3*3", дают качественное согласие с вкспериментальными данными.

В заключении сформулированы основные результаты, полученные в диссертационной работе.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ • Основные результаты настоящей работы сводятся к следующим:

1. Получены критерии выбора внешних параметров ППВ-метода.: числа необходимых для расчета базисных функций и значения орбитального момента 1

пюх

2. Получено и детально исследовано представление Сферических гармоник для ППВ-метода.

3. Для метода функций Грина получена строгая'формулировка квазиволнового представления, обоснована некоррёктность использования известного ККРЗ-уравнения, выведен новый вариант представления сферических гармоник. '..'•■'

4. Рассчитаны и исследованы энергетические зоны для гексагональных ньп и ис, показано, что оба соединения являются полуметаллами. Выявлены и объяснены аномалии в расщеплении дважды вырожденных зон около уровня Ферми.

5. Построена теоретическая модель поверхности Ферми данного класса соединений, на основании которой удовлетворительно интерпретированы результаты измерений де-Гааз -¡ Ван Алы|ена для wc.

Основные результаты диссертации опубликованы в следуниц» работах?

I. Е.С.Алексеев, Л.Б.Литинский. . Программа посг^ения оимметриьивинных ФУНКЦИЙ ДЛЯ ПРОИЗВОЛЬНОЙ точки зоны Бриллы^ма. . ЬПТ^цемтр, лн{т[1мационннй бшиетень, ьыП.5, 6 П;«"»'?-с>34, Н»7П.

2. Литинский Л.В. О линеаризации метода ППВ. Деп. Ж341-83, Москва: ВИНИТИ, 1983.

3. ■ Е.С.Алексеев, В.В.Бражшн, Л.Б.Литинский, С.В.Попова.

О

Зонная структура и анергия связи галлидов скандия. Металлофизика -1986 - т.8, JS - стр. 25-31.

4. Л.Б.Литинский, Е.С.Алексеев, С.В.Попова. Зонная структура и поверхность Ферми кубического карбида рения. ДАН СССР - 1987-т.296, №?, - стр.347-351.

5. Е.С.Алексеев, Л.Б.Литинский, А.И.Лихтер. Расчет зонной структуры германия с использованием фиктивных сфер. Физика и техника полупроводников -1988 - т.22, вып.II - стр. 2059-2062.

6. L.B.Litinsky. The band structure of hexagonal NbM. Sol. St. Comm. - 1989 - v.71, JS 4 - p.p.299-305.

7. L.B.Litinsky. On Ferral's surfaces of hexagonal carbides and nitrides. Sol. St. Comm. - 1990 - v.75, JJ12 - p.p. 1009-1012.

8. L.B.Litinsky. The pseudolnverse m&trlx and the methods о£ band calculation. Sol.'St. Comm: - 1991 - v.79 - p.p. 879-884.

9. L.B.Litinsky. On the choice of external parameters of band calculation in augmented plane wave methods. Sol. St. Comm. - 1992 v.84, Mo.12 - p.p.1127-1131.

РОТАПРИНТ ГИН PAH

• В почать 23.03.94r. Заказ № II Тираж 100 эка.