Исследование напряженно-деформированного состояния геометрически нелинейных тел методом фотоупругости тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА. I. ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ КОНЕЧНЫХ ДШОРМАЦИЙ\

§ I.I Геометрия; деформации. II

§ 1.2 Теориш напряжений;.

§ 1.3 Связь мевду тензорами деформаций; и напряжений

ГЛАВА. П. ТЕОРИЯ ПЬЕЗООПТИЧЕСКОГО Э^ЕКТА

§ 2.1 Вводные замечания;.

§ 2.-2 Связь оптической; анизотропии с механическими величинами.

§ 2.3 Разделение удлинений (деформаций]) о использованием несжимаемости материала

ГЛАВА Ш. ОПТИЧЕСКИ ЧУВСТВИТЕЛЬНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИ НШННЙННХ ЗАДАЧ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

§ 3.1 Материалы моделей;, применяемые в поляризационно-оптическом методе.

§ 3.2 Некоторые пьезооптические материалы для: решения геометрически нелинейных задач.

ГЛАВА 1У. ИССЛЕДОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ ГЕОМЕТРИЧЕСКИ НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧ

§ 4.1 К постановка задач; исследования;.

§ 4.;2 Методика исследования геометрически нелинейных задач; теории упругости поляризаци-онно-оптическим методом.XOI

§ 4,3 Исследование напряженно, деформированного состояния круглой тонкой пластинки переменной толщины.

§ Численное решение тонкой пластины; переменного сечения: с учетом геометрической. нелинейности

§ 4.5 Исследование пластины средней; толщины.

§ 4,6 Исследование круглых валов с отверстиями при кручении.

§ 4.7 Использование "замораживания" деформаций: для исследования геометрически нелинейных плоских задач;.

ВЫВОДЫ.

Возрастаощие требования к прочности и надежности машин и механизмов, снижению их веса и экономии металла привели к значительному развитию методов определения напряженного состояния тел сложной формы, находящихся; в экстремальных условиях (высокие температуры, большие скорости нагружения, агрессивные среды и т.д.). Несмотря на успехи теории пластичности, ползучести, вяз-коупругости, механики разрушения - в основе большинства расчетов на прочность лежит определение напряженно-деформированного состояния элементов конструкции, полученное методами теории упругости, которая в настоящее время наиболее полно разработана.

Естественным обобщением классической теории упругости является нелинейная теория, появление которой определилось как требованиями промышленности, так и внутренней логикой самой науки. Прежде всего было обращено внимание на задачи в геометрически нелинейной постановке, так как во многих областях современной, техники,iв том числе авиастроении, судостроении, машиностроении, промышленном и гражданском строительстве широко используются тонкостенные гибкие конструктивные элементы.

Подобные задачи возникают также и при применении новых материалов: резиновых деталей, резино-металлических конструкций и использовании в конструктивных элементах современной техники материалов на основе полимеров, в которых деформации достигают десятков процентов.

Вопрос о больших деформациях представляет значительный интерес и с точки зрения теории упругости,' так как позволяет исследовать задачи, не решаемые в рамках линейной теории , и где учет геометрической нелинейности является обязательным.

Экспериментальное изучение задач больших деформаций, решение которых методами теории упругости в настоящее время весьма сложно, а в некоторых случаях и невозможно, должно сыграть свою роль и при дальнейшем развитии полной и стройной теории конечных деформаций .

Необходимость применения и развития экспериментальных, методов вызвана:

- во-первых, математическими трудностями,! возникающими при расчете деталей сложной формы, и зачастую на сегодняшний день практически непреодолимыми;

- во-вторых,^ сами приближенные методы требуют проверки их достоверности и точности и экспериментального обоснования гипотез,1 лежащих в их основе.

Нередко экспериментально полученные данные не только позволяют правильно выбрать расчетные схемы, но и служат основой для создания новых способов расчета.

Исследователи имеют достаточно много различных экспериментальных методов,' но поляризационно-оптический достойно занимаат ведущее положение.

Благодаря работам ряда исследователей, и в первую очередь советских (Х.К.Абена, А.Я.Александрова, М.Х.Ахматзянова, И.И.Бу-гакова, Г.В.Варданяна, В.К.Воронцова, Л.МЛобанова, А.Б.Кудрина, Н.И.Полухина, В.М.Краснова, В.Н.Нетребко, Н.И.Пригоровского, В.И.Савченко, В.И.Тараторина, В.Х.Трумбачева, ГЛ.Хесина, Н.А.Чи-ченева и др.), в настоящее время поляризационно-оптический. метод успешно применяется для решения не только классических задач теории упругости, но и таких задач механики деформируемого тела, как задачи пластичности, ползучести, термоупругости, вязкоупругости, динамические задачи, задачи, связанные с анизотропией и др. Работы [2-5]j содержат описание теории и техники эксперимента, а так же огромную библиографию по применению метода.

Настоящая работа посвящена разработке новой методики исследования напряженно-деформированного состояния поляризационно-оптическим методом пространственных элементов конструкций с учетом геометрической нелинейности,7 которая возникает под действием внешних нагрузок.

До настоящего времени исследования больших деформаций проводились, в основном, на плоских моделях (моделировались как плосконапряженное состояние, так и плоскодеформированное), однако решенных конкретных задач не так уж и много. Исследования: проводились на моделирующем материале СК7-6 или его аналогах 6-15^] . Краткий обзор этих работ приведен в главе Ш.

Отметим, что в настоящей работе изучаются лишь упругие деформации, и применение поляризационно-оптического метода к вязко-упругим и пластическим деформациям не рассматривается•Поэтому анализ применения метода к решению инженерных задач обработки металлов давлением [хб^ , где также возникают большие деформации, гнами сознательно упущен.

Суть использования поляризационно-оптического метода для изучения больших деформаций на плоских моделях из упругих изотропных материалов типа прозрачных резин доогаточно проста .

Основной особенностью при изучении плоских моделей является-то, что замеряемая оптическая разность хода §" выражается через две неизвестные величины: разность главных напряжений и изменение толщины модели А3 • Это приводит к значительным и техническим и принципиальным трудностям.

Этого можно легко избежать, используя метод "замораживания" деформаций, хорошо разработанный в методе пространственной "фотоупругости". (Нагрезв модели до температуры высокоэластического состояния, нагружение при этой температуре, медленное охлаждение до комнатной температуры, разрезка модели на тонкие среды, измерение оптической анизотропии в срезах).

Так как из "замороженной" модели вырезаются срезы постоянной толщины, то замеренная разность хода связана только с одной неизвестной величиной - разностью псевдоглавных напряжений.

В случае больших деформаций для характеристики напряженно-деформированного состояния тела вводятся несколько тензорных величин - тензора деформаций, Грина, Альманси, тензора напряжений; Коши, Кирхгофа, обобщенных напряжений, истинных напряжений (ом., например, ^ I, 17, 18 3 )• В высоко эластическом состоянии оптически чувствительные материалы, как правило, ведут себя как идеально упругие,поатому оптическую анизотропию можно связать либо с напряжениями (согласно теории Максвелла) или с деформациями (теория Неймана). Физически более естественно (с точки зрения физики твердого тела, а не с позиций феноменологических подходов механики сплошной среды) связать оптическую анизотропию в окрестности точки не с напряжениями в этой точке, а с удлинениями,: что можно рассматривать как развитие идей Неймана на случай; конечных деформаций.

В пространственной фотоупругости не полностью используются все возможности которые дает "замораживание" деформаций.! Так как в классической теории упругости рассматривается равновесие недеформируемого тела, то перемещениями и поворотами "замороженной" модели как деформациями тела в целом обычно не интересуются. И таким образом,1 упускают .очень важную информацию, которую можно получить, обмеряя "замороженную" модель, а также обмеряя отдельные срезы как в "замороженном", так и в "размороженном" состояниях. Даже небольшие упругие относительные удлинения и сдвиги, достигающие всего нескольких процентов,' могут вызвать значительные деформации в целом (перемещения и углы поворота) и тогда следует рассматривать равновесие деформированной конструкции. В этом случае обмеры "замороженной" модели и отдельных срезов

С"замороженных", а затем "размороженных") позволяют определить деформацию в целом.

Тогда на основании оптических измерений в срезах можно определить удлинения Еi ( i-1,2,5) в окресности точки, т.е. изменения размеров и формы элемента объема. Например, определить ориентацию и величину полуосей (l + E^dfc, (l + Ez)clt, (l элементарного эллипсоида, в который переходит в результате деформации сфера радиуса d^z. .

Если известны величины El , то компоненты тензора деформаций (Грина или Альманся) легко определяются по известным формулам. Затем выбирая соответствующие формы упругого потенциала переходим к вычислению напряжений.

В настоящей работе мы ограничимся рассмотрением линейно упругих тел, так как оптически чувствительные материалы на основе эпоксидных смол в высокоэластическом состоянии ведут себя как идеально уцругие линейные материалы. Для линейно упругого тела тензоры напряжений и деформаций соосны, т.е. направление главных напряжений (о; и удлинений Е;. совпадают. Если известны направления главных напряжений и их величины, то можно оцределить компоненты различных тензоров напряжений в других координатных системах.

При относительных удлинениях порядка нескольких процентов можно с точностью на порядок превышающую точность эксперимента лоло-житьЕ;:£« и напряжения связать с удлинениями законом Гука. В этом случае на основании оптических измерений можно определить тензор деформации £ij и действительное напряжение , используя закон Вертгейма и закон Гука, т.е. в задачах, где в с 10°/о используем метод расшифровки, обычно применяемый в пространственной фотоупругости при исследовании классических задач.

Однако деформации до 10% даже в сравнительно толстостенных элементах конструкций могут вызывать большие перемещения и углы поворота и приводить к существенному перерасцределению напряжений .

Таковы основные идеи работы, оцределившие ее структуру.

Работа состоит из введения, четырех глав, выводов, списка цитируемой литературы и приложения.

Первая глава содержит весьма краткое изложение теории конечных деформаций. Здесь основное внимание уделено возможности характеризовать деформацию "в малом" относительными удлинениями в окрестности точки. Приводится краткий анализ теории нацряжений.

Вторая глава посвящена теории пьезооптического эффекта. В ней исследуется связь оптической анизотропии, возникающей в моделирующем материале, с механическими величинами и разделение деформаций с использованием несжимаемости материала в высокоэластическом состоянии.

Третья глава посвящена созданию и исследованию новых оптически чувствительных материалов для моделирования конечных деформаций. Приводятся составы рекомендуемых материалов для исследования напряженно-деформированного состояния тел, подверженных в цроцессе нагружения конечным деформациям. и U

В четвертой главе описано применение цредлагаемои методики к решению конкретных задач.

Проблемы изгиба пластин и оболочек при прогибах сравнимых с их толщинами, а так же некоторые проблемы кручения и изгиба, которые выпадают из классической теории упругости в случае ее некоторой ограниченности и которые могут быть решены с позиций нелинейной теории.

Значительный теоретический и практический интерес представлают так же вопросы, связанные с выяснением влияния конечных деформаций на концентрацию напряжений возле отверстии, особенно заполненных.

Поэтому в качестве примеров применения предлагаемой методики выбраны задачи исследования напряжено-деформированного состояния тонкой и толстой пластинки переменной толщины в радиальном направлении, концентрации напряжений в круглых валах с отверстием, а так же плоская задача исследования концентрации напряжений возле заполненного отверстия.

Полученные наш результаты, 1фоме иллюстрации возможности метода, представляют и значительный самостоятельный интерес.

выводы.

Основше результаты, полученные в работе, состоят в следующем*

1. Разработана методика исследования геометрически нелинейные пространственных: и плоских задач теории уцругости поляриза-

. ционно-оптическим методом.

1.1, Создан оптически чувствительный материал, позволяющий при температуре "замораживания" получить в моделях: относительные удлинения до

1.2, При исследовании моделей, в которых возникают значи-

тельные конечные до деформации, оптическую анизотропию в срезах предложено связать с квазиглавными удлинениями» В случае деформаций до ВД можно использовать закон Вертгеима.

1.3, Предложена методика разделений главных: удлинений, использующая несжимаемость материала в высокоеластическом состоянии при температуре "замораживания".

2. Решен ряд новьк задач в геометрически нелинейной постановке •

2Д. При исследовании тонких круглые пластин подверженных: конечным деформациям замечены существенные отклонения распределения напр же шй по отношению к распределению аналогичных: напряжений в пластине с малыми деформациями.

2.I.I. Распределение окружных напряжений 6ГВ по толщине пластины вдоль линий перпендикулярных деформированной срединной поверхности отличается от линейной зависимости распределения напряжений в пластине с малыми деформациями.

2.1.2. В распределении напряжений по толщине вдоль линий параллельных оси 02 наблюдается отклонение от симметрии абсолютных величин напряжений граничных точек относительно срединной поверхности, хотя распределение напряжений практически линейно.

2.1.3. Поверхностные напряжения во второй пластине, возникающие по нижнему контуру, до абсолютному значению больше напряжений, возникающих по верхнему контуру,

2.1.4. Распределение напряжений Щ по толщине второй пластины как вдоль линий перпендикулярных деформированной срединной поверхности, так и вдоль линий параллельных оси 02 практически линейно (как и в первой пластине ) но не симметричны относительно срединной поверхности.

2.2. Для сравнения результатов оптического метода с результатами машинного счета был поставлен численный эксперимент.

2.2.1. Экспериментальные и расчетные данные показам, что

результаты эксперимента, выполненные по разработанной методике хорошо согласуются с данными полученными на основе численного

решения задачи с учетом геометрической нелинейности.

2.2.2. Уже цри деформациях, близких к максимальные напряжения, полученные по линейной теории, отличаются от напряжений, полученных с учетом геометрической нелинейности, приблизительно на 40 % в сторону увеличения.

2.3. Исследование напряженно-деформированного состояния пластин средней толщины показали, что распределение нацряжений в них отличается от распределения аналогичных нацряжений в тонких пластинах.

2.3.1. Поверхностные напряжения б^ не изменяют своего

знака вдоль всей поверхности.

2.3.2. В пластине с малыш деформациями поверхностные напряжения 6*g до нижнему контуру превышают поверхностные напряжения возникающие на верхней поверхности приблизительно в 1,5 раза.

2.3.3. При достижении прогибов пластины до 30 % большей толщины, поверхностные напряжения сравнивают свои значения (по абсолютной величине).

2.3.4. Распределение напряжений - вдоль линий перпендикулярных деформированной срединной поверхности и параллельных оси 02 близки к линейному.

2.3»5. Напряжения 6"е- (Th в пластине с малыми деформациями распределяются по ^ко выраженному нелинейному закону с ассимет-рией значений напряжений поверхностных точек.

2.3.6. Во второй пластине распределение напряжений - Си в тангенциальных срезах перпендикулярных деформированной срединной поверхности и параллельных оси 02 мало отличались друг от друга. Однако по сравнению с первой пластиной уменьшилась нелинейность их распределения и выравнялись их граничные. значения.

2.4. Исследовано распределение концентрации напряжений на поверхности крутлых валов при кручении возле поперечных отверстий.

2.4.1. Коэффициент концентрации напряжений в зоне сжатия и растяжения отличается друг от друга.

2.4.2. Коэффициент концентрации напряжений в зоне.сжатия больше 4, а в зоне растяжения меньше 4.

2.4.3. С увеличением отношения диаметра отверстия к даамет-ру вала концентрация напряжений в зоне сжатия растет, а в зоне растяжения падает.

2.5. Исследовано плоское напряженное состояние растянутой пластины с отверстием, в которое плотно, но без натяга вставлен диск из того же материала.

2.5.1. Угол контакта в результате деформации уменьшился с 18" до 15е.

2.5.2. Напряжения по контуру отверстия возросло повсюду. Максимум 6"0 - сместился с точки на горизонтальном диаметре в точку начала контакта, т.е. на контуре отверстия наблюдается четыре точки максимальньк напряжений, по сравнению с двумя в случае с малыш деформациями.

1. НОВСШЛОВ В.В.' Основы, нелинейной теории упругости. ОГИЗ, Л.-М. 1948, 212 с.

2. АЛЕКСАНДРОВ А.Я., АХМЕТЗЯНОВ М.Х. Поляризационно-оптический. метод исследования, напряжений. М., Наука, 1973, 576 с.

3. МЕТОД фотоупругости. Под ред. Хесина ГЛ. М.: Стройиздат,* 1975.-т. 1-3.

4. ДГОРЕЛЛИ А., РАЙЛИ У. Введение в фотомеханику (поляризационно-оптический: метод). М.,! Мир, 1970, 488 с.5. §Р0КТ М. Фотоупругость. Ч.1-П, изд. ТТЛ, М.-Л. 1948, 1950.

5. ГОРЕЛИК Б.М., ФЕЛЬДМАН Г.И. Исследование напряжений в плоской модели резинового уплотнительного кольца круглого поперечного сечения. Каучук и резина, 1963, Jfc 4, с.27.

6. ГОРЕЛИК Б.М., ФЕЛЬДМАН Г.И. Оптически активные резины СКУ-б.1.63r.t Н2, с.29-30.

7. ШИНА В.Ф., ПОЛОВИНА И.П., САВЕНКОВА О.В. Оптические; характеристики некоторых марок полиуретанов. Сб.тр. Пермского политехнического ин-та, №171, 1975, с.61-63.

8. ЗАМВСОВ Л.А. и др.; Об изготовлении моделей; из оптически активного резиноподобного материала. Сб.тр. Пермского политехнического ин-та, № 127, 1973, с.179-184.

9. АЛБАУТ Г.Н., БАРЫШНИКОВ В.Н. Исследование пьезооптичееких. свойств резины СКУ-б. Тр. ШИЖТа,' вып.9б, 1970, с.340-346.

10. И. ГОРЕЛИК Б.М.,' ФЕЛЬДМАН Г.И., МАЙСКАЯ М.А. Учет изменяемости коэффициента Пуассона при исследовании напряженного состояния резиновых деяалвй;. Механика полимеров, № 4, 1967, с.752-755.

11. АЛЕКСАНДРОВ А.Я. и др. О поляризационно-оптичеоких исследованиях при больших, деформациях. ПМП № 5, 1969, с.89-99.

12. ФЕЛЬДМАН Г.И. Исследование напряжений в резинах при конечных деформациях.' Поляризационно-оптический метод исследований напряжений,. Изд. АН СССР, М., 1956, с.24-36.

13. ГОРЕЛИК Б.М. и др. Напряженное состояние растянутой резиновой пластины с выточками. Каучук и резина,' № 9, 1969, с.36-38.

14. ГОРКИИК Б.ДО. и др. Исследование распределения напряжений в резиновой пластине с отверстием при конечных деформациях. Каучук и резина, $ 4, 1968, с.29-32.

15. ВОРОНЦОВ В.К., ЛОПУХИН П.И. Фотоплаатиншсть. M.V Металлургия, 1969, 400 с.

16. ГУЗЬ А.Н. Устойчивость упругих тел при конечных деформациях. К., Наукова думка, 1973,< 270 с.

17. ЛУРЬЕ А.И. Теория упругости. М., Наука, 1970, 939 с.

18. ГОЛЬДЕНБЛАТ И.И. Нелинейные проблемы; теории упругости. М. Наука, 1969, 336 с.

19. ГУЗЬ А.Н. Устойчивость трехмерных деформируемых тел. К., Наукова думка, X97I, 276 с.

20. ИЛЬЮШИН А.А. Механика сплошной: среды. Изд. МГУ, М., 1971, 247 с.

21. НОВОЖИЛОВ В.В. Теория упругости. Л., Судпромгиз, 1958, 372 с.

22. ПРАГЕР В. Введение в механику сплошных сред. М., ИЛ., 1963, 312 с.

23. СВДОВ Л.И.; Механика сплошной среды. М., изд. МГУ, 1968, 242 с.27* Wuzna Дай RD. Г ivii l« Jel olmalions <и So£id.'and /951

24. ГРИН А., АДКИНС Дж. Большие упругие деформации и нелинейная механика сплошной среды. М., Мир, 1965, 455 с.25.

25. А. Е. Й» Ч.У1С* yj. TI, eotetlcctlin.V. Pzess 195428. ftivLtn R.; $>oxxv\4u\% 0.f W13I. "Trans Доу. Soc.; London, 24Ъ7 Ы S65, 251(495*).- 178

26. ТРЕЛЛОАР JI. Физика упругости каучука. М., ИЛ, 1953, 240с.

27. ГУЗЬ А.Н.! 0 неустойчивости границы тел при в ыс о ко эластических деформациях. - Механика полимеров, 1971, № б5с.999-юо2.

28. СГИБАЛОВ П.М. и др. Конструктивные материалы. Методы экспериментального исследования. Книга вторая. М., изд. МГУ, 1972, 308 с.

29. ЛАНДО" ЛД., ЛШШ1ИЦ Е.М. Электродинамика! сплошных, сред. М. Физматгиз), 1999, 532 с.

30. НАИ Дж.! Физические свойства кристаллов и их описание при помощи тензоров и матриц. М.,; ИЛ, I960, 385 с.

31. ВУГАКОВ И.И* Ползучесть полимерных материалов. М., Наука, 1973; 288 с.

32. АБЕН Х.К. Интегральная: фотоупругость. Таллин,1 Валгус, 1975, 220 с.

33. БОРН М.у ВОЛЬФ 3. Основы оптики. М,, Наука, 1973,' 720 с.37.

34. КОКЕР и ФАЙЛШ Л. Оптический метод, исследования напряжений. М.-Л. Гостехиздат, 1940, 120 с.

35. КРАСНОВ Л.А. Некоторые приближенные способы разделения главных деформаций при исследовании методом фотоупругих покрытий. Тр. НИШТа/вып.24, 1961.

36. O'ReqctH. tfevr ftleihoJ -foz Vd ezyviving о^Ъйч" ои ^^*f а Ьос/ц v-iU PLiocfodlc Exp.1. Wed. 5,3, 1965

37. АХМЕТЗЯНОВ М.Х. и др. Численные способы разделения деформаций. в поляризационно-оптическом методе. Тр. НИИЖТа, вып.62, 1967,с.

38. ВСШОШШИНОВ Ю.И. Разделение напряжений в экспериментальной, механике на основе новых, уравнений. Сб.науч.ст.-Киев: ИЭС им. Е.О.Патона, 1983. -71 с.

39. ВШОГЗШШНОВ Ю.И.- Приближенный метод разделения напряжений: в фотоупругости. - Прикл.механика, 1981, 17,' № 8, с.56-61.

40. ВШОШШИНШ Ю.И. Модификация приближенных методов разделения напряжений по их суммам или разности." - Прикл.механика, 1983, 19, & 4, с.68-73.

41. САВЧЕНКО В1Й. Метод разделений деформаций; в пространственной, фотоупругости. Вопросы атомной науки и техники. Сер.: Физика и техника, ядерных реакторов. Вып.6(28), М., ШЛЮТ, 1982,"с.21-23.

42. КАСАТКИН Б.С./ КУДРИН А.Б., ЛОБАНОВ Л.М.- Экспериментальные методы исследования напряжений и деформаций. Справочное пособие.-К.: Наук.думка, ЗЭ81,1 584 с.

43. Поляризационно- оптический метод исследований напряжений. Изд. ЛГУ, 1960г. 451 с.

44. Поляризационно-оптический метод исследований напряжений. Изд. ЛГУ, 1Э66г, 776 с.

45. УТИ Всесоюзная конференция по методу фотоупругости. Таллин, 1971г, т.П, 274 с.

46. УХ Всесоюзная конференция по поляризационно-оптическому методу. Л. 1970г, 45 с.53» НЕЙБЕР Г.! Концентрация напряжений. Гостехиздат,: 1947,20Цс.

47. ФЕЛЬДМАН. Г.И. Определение напряжений в резиновых и технических изделиях методом фотоупругости. М.: Химия, Х97бг!П0 с.

48. БУРНАТОВ В.Б. Исследование напряжений на объемных моделях методом рассеянного света. Сб.тр. Пермского политехническогоин-та, № 171, 1975, с.49-51.

49. АСВДСКИЙ А.А., МАРШАЛКОВЙЧ А.С., ЩЕГОЛЕВСКАЯ Н.А. Прогнозирование свойств и разработка оптически чувствительных, полимерных. материалов для развития различных направлений метода фотоупругости\,Qjccn. методы иссл. д&рор иноир/ kueb, l983,c.l!N£6.

50. МАРИНЧЕНКО В.Л.; ТАДЕУШ В.А.: Материал для моделирования геометрически нелинейных задач поляризационно-оптическим методом. Деп.сб,1 "Исследования по математике и механике",)Ь 403481, 1981, С.ТЗСМЗЗ.

51. ТАДЕУШ В.А.- Эпоксидные смолы - лучший материал для моделирования в методе фотоупругости. Материалы У1П Всесоюзной конференции по методу фотоупругости. Таллин, 1979, т.1,с. 196 - 197.62ПЁРЕПВЧКО И.И. Акустические методы исследования полимеров.

52. ВЛАСОВ В.З. Избранные труды. T.I. Общая теория оболочек. М.: Изд-во АН СССР, 1962, 528 с.

53. ВОЛЬШР А.С. Гибкие пластины и оболочки. М.:Гостехиздат, 1956, 419 с.

54. ВОРОВИЧ И.И.' О существовании решений в нелинейной теории оболочек. - Изв.АН СССР,1 сер.матем., 1955,; т.19, № 4.

55. ГРИГОРЕНЮ Я.'М., МУКАД А.П. Решение нелинейных задач теории оболочек на ЗВМ. К.: Втца школа, 1983, 286 с.1

56. ГРИГОРЕНКО Я.М., ВАСИЛЕНКО А.Т. и др. Численное решение задач статики ортотропных оболочек с переменными параметраш. К.: Наук.думка, 1975, 183 с.

57. ГРИГОЛЮК Э.И.у КАБАНОВ В.В. Устойчивость оболочек. М.: Наука, 1973, 359 с.

58. ИЛЫЖН А.А. Пластичность. ч.5. Упруго-пластические деформаь ции. М.: Гостехиздат, 1948; 376 с.

59. КОРНИШИН М.С. Нелинейные задачи теории пластин и пологихоболочек и методы их решения. М.:Наука, 1964, 192 о.

60. КОРНИШЙН М.С., ИСАНБАЕВ Ф.С. Гибкие пластины и панели. М.: Наука, 1968, 260 с.

61. ПАПКОВИЧ П.Ф. Строительная механика корабля. Ч.П, Л.: Суд-промгиз;, 1939, с.497-527.

62. ОБРАЗЦОВ И.Ф./ ОПАНОВ Г.Г.' Строительная механика скошенных тонкостенных систем. М.: Машиностроение/ 1973, 659 с.

63. ТИМОШЕНКО С.П.1 О больших прогибах круглых пластинок. 1915.

64. ТИМСШЕНКО С.П. Устойчивость упругих; систем. М.: Гостехиздат,1 1955, 568 с.8I.1 ТИМОШЕНКО С.П.у ВШНОВСКШ С.' - Кригер. Пластинки и оболочки. М.: Наука, 1966, 635 с.

66. Rei'sine? fr. 4n axt'syfayneltie*^ Je^otwiahon PV -lliS skiff ofzevo1.iси. I 2off. Zjzo aPPl МЛ.1. W 3J9SO, p.p -52.

67. АЛУМНЗ H.Av 0 представлении основных соотношений нелинейной: теории оболочек. - Прикл.матем.и мех.-, 1956, 20, I,- с.136.

68. Ъ9. BA3MHGB А.НО геометрической нелинейности теории тонких, оболочек. - Сб.тр. Ленинградского инж.-строит.ин-та, 1976,5 вып.1(119), с.12-18.

69. ГАЛИМОВ К.З./ КОРНИШЙН М.С., ПАЙМИН В.Н/ О некоторых соотношениях теории среднего изгиба пологих, оболочек сложной геометрии. - Прочность и надежность сложных систем. К.: 1979, с.26-33.

70. ГАЛИМОВ К.З. Основы нелинейной теории тонких оболочек.-Изд-во Казанского ун-та/ 1975/ 328 с.

71. ГАЛИМОВ К.З. К нелинейной теории тонких оболочек типа Тимошенко. Изв. АН СССР, Мех.твердого тела, 1976/ № 4/ с.155

72. НЖШР Б.Я. Нелинейные задачи теории неоднородных пологих оболочек. К.: Наук/думка1971/ 136 с.

73. Dyadic sLetts pi Рго*. КоШпЬ? П<го1егС.

74. Акcd. Wely vo^. £9, h/o l3 1966.grj Л 'w).!/* ПГ. I 11.166.appt/ /977 £2 A/c pp. £4/-.

75. ВЛАСОВ В.З. Основные дифференциальные уравнения общей; теории упругих оболочек. ПММ: т.УШ, вып.2, 1944, с {09-140.

76. РАБОТНОВ Ю.Н. Уравнения пограничной зоны в теории оболочек. -ДАН СССР, т.ХХУП, 1945, № 5, с. 334- 336.

77. К'^Д G. Die Thecw E^a&ii si lb ( J ie bejc^fisse

78. Je?: F<2$tie3 kit3 HAizZeA га Ш1.ugem^ V4£1998

79. КОЛОСОВ Г.В.' Об одном приложении функции комплексного переменного к плоской задаче математической теории упругости.1. Юрьев: 1909.

80. САВИН Г.Н. Концентрация напряжений около криволинейных отверстий в пластинах и оболочках. В сб.: Концентрация напряжений," вып.I, К.: Наук.думка,' 1965, с.

81. САВИН Г.Н;-Распределение напряжений около отверстий. К.:1. Наук.думка,- 1968 887 с.

82. АРУТЮНЯН И.Х., АБРАШН Б.Л; Кручение упругих тел; Физматгиа,1. М»: 1963; с.

83. ЛБЙКИН А.С. О неравномерности распределения напряжений в шейках коленчатых и прямых валов. Сб.статей, № 7, Оборонгиз,1952.

84. ЛЕЙКИН А.С. Концентрация напряжений в галтелях ступенчатых. осесимметричных валов при изгибе и кручении. Проблемы прочности, вып.4, 1952,5 с;

85. ПО. АКЖШН O.K. О концентрации напряжений в толстых плитах. :

86. ПММ: т.ЗО, вып.5, 1966, с. 970.

87. I. ВОРОВИЧ И.И. Некоторые математические вопросы теории пластин и оболочек.' Тр. П Всес.съезда по теоретической и при--кладной механике. Механика твердого тела. М.:: Наука, 1966, с. 116-136.

88. П2. ГРИНЧЕНКО В.Т., УЛИТКО А.Ф. Точное решение задачи о распределении напряжений около кривого отверстия в упругом слое. Прикладная механика, т.Х, вып.10, 1968, с.

89. Лурье А.И. Концентрация, напряжений в области отверстий.на поверхности кругового цилиндра. -ПММ; т.10; вып.З, 1946, с. ЗЭ7-406.

90. АБЕН Х.К; 06J оптических явлениях в фотоупругих покрытиях при исследовании оболочек.

91. АЛЕКСАНДРОВ А.Я., АХМЕГЗЯНОВ М.Х., РАКИН Л.С.< Исследование упруго-пластического деформирования с вырезами и методом фотоупругости. Прикл.мех., № 3; 1966, с.

92. АХМЕТЗЯНОВ М.Х'. Применение метода фотоупругих покрытий; для определения напряжений и деформаций в гибких плитах и обо-, лочках. Изв. АН СССР, Механика и машиностроение; № I, 1964, с.

93. АХМЕТЗЯНОВ М.Х. К вопросу о применении фотоупругих покрытий для исследования оболочек. Изв. АН СССР. Механика,1 № б,1965, оЛ99-£о1.

94. СЕРЕНСЕН С.В.,' ЛЕЙКИН А.С. Исследование распределений напряжений в коленчатых валах: авиационных двигателей. Сб.: Динамика и прочность авиационных двигателей. М.: 1949.

95. САВЧЕНКО В.И. Некоторые применения поляризационно-оптическо-го метода исследования напряжений. В кн.: Поляризационное оптический метод и его применения к исследованию тепловых: напряжений и деформаций. К.: Наук.думка, 1976, с.178-193.

96. ШАПОВАЛОВ Л.Ay Об одном простейшем варианте уравнений геометрически нелинейной теории тонких оболочек. « Механика; твердого тела, 1968, № I, с.56-62.

97. БЕЛЛМАН Р., КАЛАБА Р. Квазилинеаризация и нелинейные краевые задачи. М.: Мир, 1968,-180с.126.- ВАЛЙШШЛМ Н.-В.- Методы расчета оболочек вращения на ЭВМ. -М.: Машиностроение,- 1967-280с.

98. ГРЙГОРЕЯКО Я;М., ОВЛЯКУШЕВ 0. К численному решениюкараевых задач о деформации гибких круглых пластин переменной жесткости.- Прикладная механика;, 1978, 14, № 4, с.63-70.

99. Статика и динамика тонкостенных оболочечных конструкций (А.В.Кармишин, В.И.Мяченков/ В.А.Лесковец, А.Н.^ролов, -М.: Машиностроение,1 1975,-376с.129.' Теория гибких нруглых пластинок (под ред. А.С.Вольмира, - М.-: Изд-во ИЛ., 1957,: -207с.

100. ТИМОШЕНКО С.П., ВШНОВСКИЙ-КРИГЕР С. Пластины и оболочки.-М.: Физматгиз, 1963,-635 с."

101. КРАСНОВ В.М. К решению цросзранственной задачи теории упругости оптическим методом. Ученые записки ЛГУ, серия математических наук, вып. 13, ©44, J©7, с. 135 - 130.

102. ТИМОШЕНКО С.П. Теория упругости /перевод с английского/ Гостехиздат, 1948.

103. САВЧЕНКО В.И. Исследование пространственных задач теории упругости и термоупругости поляризационно-оптиче ским методом. Диссертация на соискание ученой степени доктора фязико-математических наук. Киев, 1975,296 с.

104. КРАСНОВ В.М. О решении пространственной задачи теории упругости оптическим методом. Ученые записки ЛГУ, серия математических наук, вып. 8, $ 41, с. 101.

105. ШЕРЕМЕТЬЕВ МЛ. Упругое равновесие бесконечной пластинки с вложенной абсолютно жесткой иж уЯругой шайбой. Прикл.матем. и мех., т. ХУ1, в. 4, 3952.136. £tippes K,Y6^oW Н.Е>., Ъ, \(iuU F.IV. А Сои

106. ЧУБОК В.А. Поляризационно-оптическое исследование влияния диска, вставленного в бесконечную растягиваемую плас

107. САВИН Г.Н. Концентрация напряжений около отверстий. М., ГИТТЛ, 3951.11 J is. ктину. Прикл. механика, 3970, т. 71, в. 9, стр. 109 - III.