Исследования по теории тестовых множеств тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

российская акадкмия наук

сикирское отделение

институт математики

РГ8 ОД

• ^ • На правах рукописи

1абскер

Лев Григорьевич

УДК 513.88:513.83+517.948.3/5

ИССЛЕДОВАНИЯ ПО ТЕОРИИ ТЕСТОВЫХ ИЮЯЕСТВ

01.01.01 - Математический анализ

' АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Новосибирск - 1994

Работа выполнена в Московском институте повышения квалификации руководящих работников и специалистов химической промышленности.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор В.А.Баскаков,

доктор физико-математических наук, профессор Г.Ш.Рубинштейн,

доктор физико-математических наук, профессор А.Г.Кусраев.

Ведущая организация: Российский государственный педагогичес

кий университет им.А.И.Герцена (г.С.-Петербург)

Защита состоится •' ^/5* ЫлоНЯ 1994 г. в НО

часов

на заседании Специализированного Совета Д 002.23.02 по защите диссертаций на соискание учёной степени доктора наук при Институте математики СО РАН по адресу: 630090,Новосибирск,90,Университетский проспект,4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики СО РАН,Университетский проспект,4.

Автореферат разослан " НЪ " М 1994 г.

Учёный секретарь Специализированного Совета при Институте математики СО РАН,доктор физико-математических наук, профессор

ОБЦАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТУ

Ляяуаяьноаи, теш. Диссертация посвящена систематическому развитию качественной теории приближения коровкинского типа.Основными объектами ее исследования являются определяемые в ней тестовые множества в банаховых пространствах для сходимости последовательностей функционалов и операторов.При этом в определении тестовых множеств от функционалов и. операторов последовательностей требуется в общем случае лишь линейность, а сходимость рассматривается к любому функционалу или оператору из целого "предельного множества", а не только к единичному оператору, как это в большинстве случаев было принято традиционно.

Основы теории тестовых множеств были заложены в работах П.П. Коровкина в 1953 г.Центральная идея доказанной им теоремы "о трех функциях" заключается в том,что в установлении факта сильной сходимости любой последовательности линейных положительных операторов в пространстве непрерывных на отрезке функций к единичному оператору на всем пространстве три функции {Х1(Ь)-£.1>21-о образуют тестовое (пробное) множество.

Важность подобного эффекта в теории приближения определяется прежде всего тем» что он значительно упрощает доказательство возможности приближения любой функции пространства последовательностями линейных положительных операторов. Это обстоятельство стимулировало построение для приближения и исследование большого числа конкретных последовательностей линейных положительных операторов.

В качестве предшественников П.П.Коровкина необходимо упомянуть: Т.Поповичу (1950) и Г.Бомана (1952). в работах которых рассматривались; аналогичные ситуации.но лишь для некоторых весьма специальных последовательностей линейных положительных операторов.

Теорема П.П.Коровкина вызвала к жизни стремительный поток литературы .посвященной ее обобщениям,уточнениям и распространениям. |

Приложения этой теоремы к различным сконструированным классам ли-| нейных положительных операторов, перенос на двумерный случай и связан-' ные с ней различные необходимые и достаточные условия исследовали уче-| ники П.П.Коровкина В.А.Баскаков,В.И.Волков,Г.А.Фомин,Э.Н.Морозов и др.'

Ю.А.Шашкин (1960) выделил пробное множество в самостоятельное понятие "конечной системы Коровкина" и изучил свойства таких систем в пространстве функций.непрерывных на конечномерном компакте,использовав аналитические и геометрические методы исследования. Критерий конечных систем Коровкина в этом же пространстве в терминах существования по ним полиномов с наперед заданным общим нулем получил А.Л.Гаркави

(1970). Геометрический подход Ю.А.Шашкина был развит Х.Беренсом и Дж.Дж.Лоренцом (1975).

Данная задача в пространстве Lp была решена В.К.Дзядыком (1966).

Связь указанных сходимостных явлений с подпространствами Чебьшева в пространстве непрерывных функций,обнаруженная П.П.Коровкиным (1953), исследовалась Ч.А.Мичелли (1973).Аналогичный вопрос для так называемых подпространств Коровкина,связанный со сходимостью к конечно определенным операторам изучался Ю.А.Шаткнным (1965) и А.С.Каваретта (1973).

В 1965 г. М.А.Красносельский, В.С.Климов и Е.А.Лифшиц поставили и проанализировали данную задачу в банаховом пространстве с конусом для случая сходимости последовательностей линейных положительных относительно этого конуса операторов к единичному,использовав для формулирования достаточных условий сходимости введенные ими в рассмотрение точки гладкости конуса.

Новый подход к исследованию этих вопросов.основанный на введенном понятии супремального генератора, был предложен С.С.Кутателадзе и A.M. Рубиновым (1971).

Приближение линейными положительными операторами конечного ранга в пространстве непрерывных на отрезке функций исследовалось В.С.Ви-денским (1985).

К рассматриваемой тематике относится и задача описания так назы-вамых замыканий Коровкина, которая в случае пространства непрерывных на отрезке функций и сильной сходимости последовательностей линейных положительных операторов к единичному впервые была решена в 1961 году независимо В.А.Баскаковым и Г.Бауэром.

Известные к настоящему времени задачи, вопросы,принципы, методы и результаты,так или иначе связанные с установлением факта сходимости последовательностей операторов или функционалов на основе идеи тестовых множеств,составляют вполне сложившийся раздел анализа - качественную теорию приближения коровкинского типа.Информацию об имеющихся публикациях в этой области за период с 1952 г.по 1987 г.можно получить из библиографии Ф.Альтомаре и М.Кампити (1989).снабженной детальной тематической классификацией.

Таким образом, интерес, проявленный к данной тематике, еще раз свидетельствует об актуальности поставленных в диссертации проблем.

Цель рабоаи заключается в разработке общего подхода к определению

и методам исследования тестовых множеств в банаховых пространствах и в анализе на их основе тестовых множеств и связанных с ними некоторых задач для различных классов функционалов и операторов.

Ытощжя исслвлояааия базируется на синтеве общих методов функционального анализа в банаховых пространствах и теории функций, а также на специальных методах теории операторов класса ^ и теории систем

Чебышева. |

!

Научная новизна исследования заключается в следующих основных ре-! зультатах диссертации: |

I

1. Построена теория тестовых множеств в банаховом пространств^ для сходимости последовательностей линейных функционалов,сводящая анализ более сложного понятия тестового множества, содержащего предельны^ переход,к анализу более простого понятия отличающего множества,свобод-! ного от предельного перехода,и на ее основе доказаны признаки и существование конечных тестовых множеств. |

2. Разработаны общие методы изучения тестовых множеств для сходимости последовательностей функционалов из шара и линейных положительных функционалов. В частности, для последних дан сравнительный анализ тестовых и коровкинских множеств.

3. Проведено исследование введенных понятий л-точек шара и конуса, используемых в изучении прианаюов тестовых множеств.

Л. Исследованы тестовые,коровкииские и отличающие множества в банаховом пространстве для сходимости последовательностей линейных операторов из множества специальной конструкции, включающей в себя как частные случаи множества таких операторов как положительные,нерастяги-вающие,оставляющие инвариантным положительный сектор, операторы класса ^ .В случае положительных операторов полученные здесь результаты являются обобщенными аналогами соответствующих результатов М.А.Красносельского, В.С. Климова и Е.А.Лифшица.

5. Дан новый подход к определению операторов класса . основан-

ный на построении и изучении специального класса конусов Ки .порождаемых знаковыми функциями «.Получены различные критерии.признаки и свойства тестовых множеств для сходимости последовательностей функционалов и операторов, положительных на этих конусах,и класса ^ в случае различных предельных множеств. Эти результаты являются существенна* развитием результатов П.П.Коровкина.А.Л.Гаркави,Ю.А.Пашкина и Ч.А.Мичелли.

6. Введены обеде определения тестовых, коровкинских и отличаоцих замыканий множеств в банаховом пространстве и получены их признаки в пространстве непрерывных функций для множеств положительных на конусах Ки операторов и операторов класса ^ .обобщающие некоторые ив результатов В.А.Баскакова.Г.Бауэра,Р.М.Миньковой и А.Лупапа.

7. Аппарат отличаюяих множеств применен к доказательству нового критерия систем Чебьиева.из достаточной части которого следует обратимость известного результата С.Н.Бернштейна.

6. Исследована проблема продолжаемости систем Чебывева и связанное с ней свойство существования по системам Чебывева полиномов с произвольный расположением нулей. Получены, в частности.удобные в приложениях достаточные условия непродолжаемости систем ЧеОмвева, которые применены к новым и ранее известным конкретнш системам Чебшева.что даю возможность получить новыми методами результаты В.И.Волкова.В.И.Андреева, Р. К. С. Рзтора и П. Н. Эгруэля, Р. Гаверкампа.

Тоорсоичеооя и практическая цеяаошь. В диссертационной работе захожены основы нового направления в качественной теории приближения коровкинского типа - теории тестовых множеств в банаховых пространствах для сходимости последовательностей линейных функционалов и операторов. Разработаны методы исследований тестовых.коровкинских и отличающих множеств в обцем случае и дано приложение их результатов для линейных положительных операторов,нерастягкваюякх операторов, операторов класса Я, и для систем Чебывева.

Диссертация носит теоретический характер и относится к направлению фундаментальных исследований.Практическая ценность работы состоит в возможности применения результатов исследования в теории приближения и в вычислительной математике для установления факта сходимости кон-

кретных последовательностей линейных функционалов и операторов.Некоторые из вопросов.освещаемых в диссертации.могут быть включены в учебные программ спецкурсов и спецсеминаров по теории приближения.

Лтробтщм работ. Результаты диссертации докладывались на Межвузовской конференции по применение) функционального анализа в теории приближений (Калинин,1970 г.),на Конференции по теории приближения.пос вяценной 60-лети» П.П.Коровкина (Калуга,1972 г.).на Межотраслевой конференции по проблемам повышения квалификации в области статистических методов,планирования эксперимента и моделирования технологических процессов (Москва, 1981 г.).на семинарах по теории приближения матенатичес ких кафедр Московского автодорожного института поя руководством проф. В.А.Баскакова (Москва, 1982,1984 гг.), на семинарах по теории функций кафедры высшей математики Московского инженерно строительного института под руководством проф. С.Я.Хавинсона (Москва. 1982,1983 гг.), на XIX Всесоюзной Воронежской зимней математической вноле (Воронеж,1986 г.), на секциях математического анализа Герценовских чтений под руководст-; вом проф.B.C.Виденского (Ленинград,1986,1987,1988,1991 гг.), на Ленин-! градском городском семинаре по конструктивной теории функций под руко- ! водством проф.Г.И.Натансона (Ленинград, 1987 г.).на семинаре по теории; приближения Московского Государственного университета под руководством проф.В.М.Тихомирова (Москва.1990 г.)

Дублина»*«. По теме диссертации автором опубликовано 30 работ.Основные результаты содержатся в работах tlJ-[223.Диссертация с добавлениями и детализацией издана в виде трех монографических учебных посо-j бий [19]-[21].соответствующих трем ее главам. j

!

Структура и объен мюоершаиш. Диссертация состоит из Введения. ! грех глав.содержащих 17 параграфов, списка цитированной литературы из 230 наименований и занимает объем в 306 страниц машинописного текста.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во Ваеяевии проводится схематический экскурс по результатам П.П.Коровкина начала 50-х годов, приведшим к понятию "тестового мно-

жества".и дается краткий обзор их развития в последующе годы с достаточно полной библиографией.а также приводится краткое описание основных результатов диссертации.

Глава 1 посвящена систематическому развитию теории тестовых множеств в банаховых пространствах. При этом исследуются тестовые множества как для множеств линейных функционалов,так и для множеств ли -нейных операторов.

В 5 1.1 вводятся одни из основных определений- определения тестовых, коровкинских и отличающих множеств для множеств линейных функционалов.

Всюду далее,если не оговорено противное, считаем,что Е - действительное банахово пространство; Ещ - сопряженное с ним пространство; Хс Е; Г.ФсЕ* -произвольные непустые множества.

Определение 1 (1.1.1). Множество К назовем (Г,Ф)-тестовый,если для любой последовательности функционалов <Гп>Т с Г с ограниченными в совокупности нормами и любого функционала <р £ Ф из ,

Нш п-»^ /'пСк) - ч»(х). хеХ, (1)

следует справедливость этого предельного равенства для каждого х£ Е.

Если в определении 1 опустить требование ограниченности последовательности норм { |ГП1 >? ,то определяемое в таком случае множество X назовем (Г.Ф)-множешвом Коровкина.

(Р,Ф)-множество Коровкина является (Р.Ф)-тестовым. Обратное же будет справедливым, если для любой последовательности функционалов

оо

< 1 с Г и любого функционала <? е Ф из (1) будет следовать ограниченность последовательности норм < |ГП| >? .

Определение г (1.1.3). Множество X назовем {Г,- отличатш, если для любой пары функционалов Г е Г и 9 е. Ф из равенства Г(х) - <р(х). х&Х, следует равенство Г - .

Приводится ряд критериев {Г.Ф>-отличакщих множеств и выявляется связь последних с линейной независимостью подмножеств сопряженного пространства Е* на подмножествах пространства Е.

Центральной в этом параграфе является следующая теорема.описывающая понятие (Е.Ф)-тестового множества,содержащее предельные равенства, через более простое понятие (Г,«»-отличающего множества, свободного от

предельного перехода.

Теорема 1 (1.1.1). Пусть множество F замкнуто в *-слабой топологии. Для того чтобы множество X было (/\Ф)-тестовым необходимо и достаточно, чтобы оно было iF.Q)-отличающим.

Эта теорема формулируется и в другой эквивалентной форме,удобной для получения из нее некоторых ранее известных результатов.А именно, пусть УСЕ. Y * 0. Yx • if&E* : f(Y) - <0>> - аннулятор множества Y. Го£E* и H(ï,fo) - Ул + Го - плоскость в Е* , полученная сдвигом подпространства )"х на функционал fo •Тогда справедлива

Теорема 2 (1.1.2). Пусть Y.ZCE. ФСЛ(У./*о) - произвольные не -пустые множества и F замкнуто в *-слабой топологии. Для того чтобы .объединение Y U Z было (F.®)-тестовым необходимо и достаточно, чтобы множество Z было {Fn/XY.fo). Ф>-отличающим.

Формулируются аналоги теорем 1 и 2 в случае сепарабельного пространства Е.

Теорема 2 дает возможность получить следующие достаточные условия тестовых множеств:

Теорема 3 (1.1.6). Если произвольные непустые множества Y.Z с Е; F.VCE" и плоскость /7(Y,fo) таковы.что n(Y.fo) С-Ип ¥ (где Fw -замыкание множества F в *-слабой топологии.a lin 7 - линейная оболочка множества Y ) и множество ? линейно независимо на множестве 2,то объединение Y U Z является (F, F*n П(У.Го))-тестовым множеством.

Доказывается, что для утверждения теоремы 3 в случае конечного множества 1 - <xi>J,cE достаточно,чтобы

dim lin (F*n /2(Y.fo)) - шеи (2)

4

ЛИ.....<Ьг

*

\ xi, ..., лт,

+l(*l)

♦ lUm)

* О (3)

для некоторого множества функционалов ? - Uj>™ с Ип (Я*П n(Y,fo)).

Устанавливается следующая теорема существования конечных (F, F*Пfо))-тестовых множеств.

Теорема 4 (1.1.9). Если множества YCE, FCE* и плоскость /7(Г.Го) удовлетворяют условию ( 2) и dim lln Y - к, то существует (F, Fwn/](Y,fo))-тестовое множество, состоящее либо из fc+m, либо из к+т-1

элементов.В частности.если ЩУ.Лэ)-!'"1" .то X состоит из km элементов.

Изучается признак конечных (F, F"D П(У, Го))-тестовых множеств в случае.когда F есть множество

E"(G,r):-{feE* : f(ff)cn, (4)

где GcE и Г - замкнутое множество в К, a Y состоит из единственного элемента хо и. следовательно.П(У.fo) представляет собой гиперплоскость ЕЧхо.тО <Г€.Е*: Г(хо) - ï >. где т - fotto).

В заключение параграфа дается анализ некоторых свойств объединения множеств У и 2. удовлетворяющих условиям (2) или (3).

S 1.2 посвящен тестовым множествам для множеств линейных функционалов из шара.

Если в (4) в качестве множества G рассмотреть единичный замкнутый шар В\ в Е. а в качестве Г - отрезок С-г.г] (г>0), то множество E*(G.D будет представлять собой замкнутый шар Вг в пространстве Е* с центром в начале 8 (- нулевой функционал) и радиуса г. и результаты §1.1 дают возможность сформулировать следующие достаточные условия (Bf . ßr П £* ( . V) ) - тестовых множеств:

Если числа г>0. ïé в и элемент хо£Е таковы.что

dira lin (ВгПЕ*(хо.тг)) - теп. (5)

то для любых m элементов <*i>?gE. удовлетворяющих условию (3) для некоторого набора функционалов {♦i>™Clln (ߣ Л £*(хо. ï) ).множество <Xi>o является (Вг. ВгП£"(xo,ï))-тестовым.

Так как нормы функционалов ив вара- Вг ограничены в совокупности (числом г), то понятия ( Вг, Ф) - тестового множества и (Z?r. С5)-множества Коровкина совпадают.

Изучаются всевозможные ситуации, связанные с вопросом об условиях на числа г>О, г и элемент хоеЕ, необходимых или достаточных для справедливости (5).Так.элементы хо££.удовлетворяющие условию (5), принадлежат EVßp . где |ï| -гр.При этом подмножество Х(т) множества ХСЕ\Вр , состоящее из точек хо .для которых справедливо равенство (5) при |г| -- гр .не зависит от чисел т и р.а зависит лишь от отношения |г|/г - р.

Определение 3 (1.2.1). Точку xoe. (Sj>)<т), где Sp - сфера в Е с центром в начале 0 и радиуса р>0,назовем пьтмкой сферы Sp .

Показывается, что (если т < dim Е и р > О) (E\Bp)im) - (Sp)(m).

Понятие 1-точки (т - 1) единичной сферы оовпадает с понятием ее точки гладкости.

Вводятся понятия насыщенности.равномерной насыщенности и полной насыщенности подпространства пространства Е т-точками сферы, которые j используются при формулировании признаков тестовых множеств для мно- j жеств нерастягивающих операторов. Насыщенные подпространства в некото- ; рых различных пространствах изучались В.С.Рублевым и М.З.Берколайко. ,

В качестве конкретизации дается описание множества пь точек сферы ¡. в пространстве С1а,Ь2 в терминах этого пространства,а именно.для того, j чтобы функция хо€ Cla.bl была m-точкой сферы Sj> необходимо и достаточ- j но, чтобы max {|xo(t)|: a<t<b)-p и число точек teta.b], в i которых |x0(t)l - р. равнялось т. 1

На основании этого предложения формулируются признаки (Вг . ВгПЕ*(хо.г))-тестовых множеств в Cla.bJ и приводятся примеры.из которых, в частности, следует известный факт о сходимости функционалов С.Н. Бернштейна.

В § 1.3 исследуются тестовые множества для множеств линейных положительных на конусе К функционалов. Положив в (4) G-K и Г-10, + о» [, получим множество Е"(G,Г) - Е* (К. [0,+« С) положительных (на К) функционалов из Е*, которое обычно обозначают через К" .

Изучаются условия, при которых (Я",<Р)-тестовое множество является (К*,Ф)-множеством Коровкина и, следовательно, эти понятия совпадают.В терминах пространства Е соответствующее предложение выглядит так: Каждое (К*.Ф)-тестовое множество Хсе. удовлетворяющее условию Kf")lln X + * 0, является (К*, Ф)-множеством Коровкина. Условие Kill in X * 0 эквива-

о

лентно тому, что конус К телесен (К * 0) и множество X является {К {6>>-отличающим. В терминах пространства Е* имеем следующее утверждение: Если телесный конус К и множество ФСЕ* удовлетворяют условию К*С\ О ф »• 0, то каждое (К*.ф)-тестовое множество является (К".Ф)-множеством Коровкина.

Из этого утверждения, например, вытекает, что в пространстве C4Q) действительных непрерывных на метрическом компакте Q функций с чебы-шевской нормой и конусом К неотрицательных функций понятия (К* )-тестового множества и (К* ,й )-множества Коровкина совпадают, где Л :-<6t: teQ) -множество функционалов вычисления в каждой точке t£Q.

Приведенные предложения справедливы для телесного конуса. Анапизи-

руется случай произвольного конуса.для чего привлекаются понятия мини-эдральности конуса и монотонности нормы.

Отправляясь от результатов § 1.1. формулируются признаки (К*, К*П £"(хо,г))-тестовости множества (xi>o .состоящие в выполнении условия

dim lin (К"Л E*Uo.r)) - ffl£« (6)

и условия (3) для множества ¿--(xi^cE и некоторого набора функционалов V «Ui>?clln (К"ПЕ'(хo.ï)).

Исследуются различные необходимые и достаточные условия на конус Клочку хо и число т. связанные с выполнением равенства (6).

На основании полученных признаков тестовых множеств изучается слабая сходимость обобщенно монотонных последовательностей линейных не обязательно положительных функционалов,определяемых следующим образом:

Пусть Wk. i> (fc.ieN, к<1) - семейство функционалов из Е" .Последовательность функционалов {h*У%сЕ* назовем {//к. О-монотонной (на конусе К), если для любой пары натуральных чисел к<1 выполняется неравенство hk.U) < hi(x) + Hk.i(x), хек .

При Як. 1 - Н£К*Г\Е*(.хо.О) и №>1 монотонные последовательности функционалов рассматривались М.А.Красносельским,В.С.Климовым.Е.А.Лившицем.

В 5 1.4 сосредоточен материал по определяемым m-точкам конуса.естественно возникающим в связи с условием (6).

Определение 4 (1.4.1). Ненулевую точку Хо конуса К назовем его т-точкой (т > 0 - целое),если она удовлетворяет условию (6) при г - 0.

Равенство (6) при г -0 означает, что максимальное число линейно независимых линейках положительных функционалов.проходящих через точку хо,равно m .

Множество всех пьточек конуса К обозначим через К(ш). При от - О получаем множество К(0) 0-точек конуса К, представляющих собой его квазивнутренние точки.т.е.такие точки.через которые ненулевые функционалы из К* не проходят. Множество К(0> называется квазивнутренностью конуса К. Если квазивнутренность конуса не пуста, то он называется квазителесным.

Изучаются связи между множеством К(1> 1-точек конуса К и множеством К(s) его точек гладкости, рассмотренных в работах М.А.Красносель-

скиго.В.С.Климова.Е.А.Лифиица и определенных ими как ненулевые точки конуса,через каждую из которых проходит единственный с точностью до ! нормы ненулевой функционал из К".

Показывается, что в случае произвольного конуса К множество К(3) ! является несобственным подмножестовм множества К(1), т.е. справедливо, ! по меньшей мере, одно из двух равенств: K(S) - 0 или К(3) - К(1). При- ' водится пример конуса.у которого нет точек гладкости, но есть 1-точки. | Однако.если кон-;с К квазителесен (в частности, телесен),то К(3)- Иш. Строится пример,показывающий,что последнее утверждение не обратимо. Но ¡ если у конуса существуют точки гладкости (и.следовательно,К<s>- К(1)), ! то он квазителесен.В то же время квазителесность еще не влечет наличия у конуса точек гладкости .

Определяются понятия насыщенных, равномерно насыщенных и вполне насыщенных подпространств m-точками (тем) конуса, обобщавшие соответствующие понятия,данные М.А.Красносельским,B.C.Климовым и Е.А.Лифшщем для точек гладкости конуса.

Отмечаются связи между этими понятиями, приводятся критерии насыщенных и равномерно насиненных подпространств, формулируются необходимые условия существования насыщенных подпространств. Указанные понятия находят применение в изучении достаточных условий тестовых множеств для множеств линейных положительных операторов.

S 1.5 посвящен изучению тестовых множеств для множеств линейных ограниченных операторов.

Пусть В(Е) - множество всех линейных ограниченных операторов в банаховом пространстве Е и X. Tree в(£) -произвольные непустые множества. Аналогично определениям тестовых,коровкинских и отличающих множеств для функционалов, данным в § 1.1,вводятся определения для операторов.

Определение 5 (1.5.1). Множество X назовем ( -тестовый,

00

если для любой последовательности операторов (tn>iC ^ с ограниченными в совокупности нормами и любого оператора Kéw: из сильной сходимости последовательности (¿n>T к оператору M на множестве X:

Иш п—>оо I LnX - ЫХ I- О, Х£ X. (7)

следует сильная сходимость ее к оператору M на всем пространстве Е.

Если в определении 5 опустить требование ограниченности в сово-

купности норм {IZ.nl} 1. то определяемое в таком случае множество X назовем {X ,Ш) -множеством Коровкина,которое.таким образом, является ,"Ж)-тестовым.

Определение 6 (1.5.3). Множество X назовем }-отличающим,

если для любой пары операторов Ь £ X и М £ ээг из равенства 1х - Ых, хе.Х, следует равенство I - М.

(.2?. 2?Г)-тестовое множество является {X э ,?тг > - отличающим и. следовательно, < X. , "пе>-отличающиы,где - секвенциальное замыкание множества X. в сильной операторной топологии.Относительно обратной связи, подобно той. которая установлена в теореме 1 для функционалов, ничего определенного в общем случае сказать нельзя. Дело в том; что в случае пространства В(£) отсутствует аналог такого важного для рассматриваемого круга вопросов результата как теорема Алаоглу о компактности в а-слабой топологии замкнутого шара в Е*. которая используется в доказательстве теоремы 1.

Изучается связь между тестовыми и отличающими множествами в важном случае, когда множества ^ и тпгс определяются с помощью множеств Р.Ф.П с Е* следующим специальным образом.

Определение 7 (1.5.4). Через /р будем обозначать совокупность всех операторов IеВСЕ). для каждого из которых сопряженный оператор Ь*:Е* —» Е" отображает множество й в множество Г.т. е.функционал Г для любого функционала и ей.

Приводятся некоторые свойства множества .

Хотя конструкция множества Гд и специальна, но тем не менее она является достаточно общей, ибо включает в себя как частные случаи множества таких операторов,как положительные.нерастягивающие, оставляющие инвариантным положительный сектор, операторы класса и др.

Если в7 - совокупность операторов на В(Е). оставляющих инвариантным множество вСЕ. то в случае, когда С есть конус К, или единичный замкнутый шар В\, или единичный положительный сектор Кп Bi.ro б*7 представляет собой соответственно множество К 7 положительных операторов, множество (В\)у нерастягивающих операторов (т.е.операторов 1£В(Е) таких.что 1и<1).множество СКПВО0 операторов.оставляющих инвариантным единичный положительный сектор. Имеют место следующие представления: к7- (К")к> - (К")<к'пв;> - (*") <к*п э*>. (В1)у - (В1)в- - (В1)з* . А если (КПВ1)*:-<ГеЕи: Г (КО В\) С [О.Ш, то при условии миниэдраль-ности конуса К и монотонности нормы в Е.справедливы следующие равенст-

ва: (КПВ!)0- (КПВ1Г(кп в^*- (К"П В\) <к"пв£). В частности, в пространстве С(<3) с конусом К неотрицательных функций получаем: К - (К")д. (б!)7- (ВГ)Д и (К Л во3- К^П^У7 - (К")ДП(ВГ)Д - (К"П В1)д .

(К у0 Ви </})-множества Коровкина в пространстве СЩ) рассматривали Г.Беренс и Дж.Дж.Лоренц.

Если Е - ССа.Ы. Р - множество всех функционалов класса {т > 0 - целое) (см.определение на стр.17), а Я - Л - {51= t€[a.b]}, то - ($п)д представляет собой класс операторов.введенных в рассмотрение (в других терминах) П.П.Коровкиным. Изучению тестовых множеств для этих функционалов и операторов в новой интерпретации посвящена вторая глава диссертации. !

Исследуются различные связи между (^ )-тестовыми, (Г,Ф)-тестовыми. {/£> >-отличающими и 4F.il>>-отличающими множествами при неко- | торых предположениях относительно множеств Р. Ф и Я . Приведем некоторые из них.

Будем говорить,что функционал Г б Е* обладает Я -свойством, если множество не пусто; другими словами, если существует оператор € ВСЕ).для которого сопряженный оператор (¿г)" принимает на множестве Я постоянное значение Л г.е. Жг - Г для каждого функционала ы£ Я. Бу- ; дем говорить, что множество Р обладает Я -свойством, если этим свойством обладает каждый функционал Г ер.

Например.С* (£2) обладает Д-свойством.

Характеризация отличающих множеств для множеств операторов посредством отличающих множеств для множеств функционалов дается следующей теоремой:

Теорема 5 (1.5.2). Если множество Я тотально,то для того чтобы множество X было .Ф^}-отличающим достаточно, а при условии,что множества Р и Ф обладают Я-свойством, и необходимо, чтобы X было {р,Ф>-отличающим.

Отсюда в частности.вытекает,что {Р.ЯЬотличающее множество, где Я тотально,является ,Ш>-отличающим.

Тестовые множества для множеств операторов и множеств функционалов связаны иежлу собой следующим образом:

Если Я тотально. Р замкнуто в *-слабой топологии и множества Р и Ф обладают Я-свойством, то (Р^ )-тестовое множество является (Р.Ф)-тестовым.

Это предложение обращается в следующей форме:

Теорема б (1.5.4). Если множество ft секвенциально компактно в *-слабой топологии и существует число X > О такое.что

X 1x1 < |x|q : - sup <|«(х)|: w £ ft >. xtE, (8)

то (Г.Ф)-тестовое множество является (F^ .Фд? )-тестовым.

Перечисленные результаты позволяют сформулировать следующее предложение:

Если множество F замкнуто в *-слабой топологии, множества F и Ф обладают ft-свойством, ft секвенциально компактно и выполняется (8), то понятия (/^ тестового. (Г.Ф)-тестового. {F& -отличающего и {F, Ф) - отличающего множеств эквивалентны.

Доказываются достаточные условия (Fq ,7ге)-тестового множества, когда lit - подмножество множества Ф ,не обязательно с ним совпадающее. Отсюда выводится следствие о достаточных условиях конечных (/уj ,?Г()-тестовых множеств и (Я^ .ЭД-множеств Коровкина.В частности, получаем, что в пространстве C(Q) с конусом К неотрицательных функций конечное {К*.Д>-отличающее множество является (К 7,Ш)-множеством Ко-ровкина. Это предложение доказано Ю. А. (Пашкиным, а в случае, когда Q - отрезок или окружность и {/С*,Д>-отличающее множество состоит из трех функций - еще раньше П.П.Коровкииым.

Результаты,аналогичные приведенным.можно сформулировать и для се-парабельного пространства Е.

В заключительном 5 1.6 первой главы изучаются тестовые множества для множеств линейных положительных операторов и множеств нерастягива-ющих операторов.

Доказываются теоремы об условиях. при которых (X .??£)-тестовое множество в действительном банаховом пространстве £ с телесным или произвольным конусом К является ( st . W-)-множеством Коровкина (и. следовательно,эти понятия совпадают) в случаях X - (К")£> и ZC - К7.

Пусть хо является ль точкой (шел0 конуса /(.Систему точек Z-ixi^c С е. удовлетворяющую условию (3) для некоторой системы, функционалов * - Ui^clln (К*П£"(хо.О)), назовем хо-сиапеиой.

Будем говорить, что подпространство EqCE обладает К(т)-свойством (т £ М) .если оно с каждой точкой хо £ Ео ПКШ содержит хо-систему.

Можно показать, что насыщенное 1-точками конуса К подпространстю Ео обладает К(1)-свойством.

Теорема 7 (1.6.5). Подпространство £о.насыщенное т-точками (m£N) конуса К и обладающее Кш-свойством, является {(K*)v<e0 .ktm) ). ÍV(E0 .к^')}-отличающим, где V(Eo,K(m)) - множество нормированных, а Ф - множество всех функционалов из К" , проходящих через точки пересечения £ЬЛК(П,).

Обозначим через К7 (£оПК(т)) - совокупность операторов L £ К7. для каждого из которых и каждой точки х€ Ео ПКш найдется число Хь.х такое.что Lx - Xl. Хх.

Из теоремы 7 вытекает,что подпространство Ео.насыщенное т-точками (m&N) конуса К и обладающее К(т)-свойством,является íK^.K^EoПКГт)))--отличающим.откуда,в свою очередь,следует результат М.А.Красносельского, В.С.Климова.Е.А.Лифшица о том, что линейный положительный оператор, совпадающий с единичным на подпространстве,насыщенном точками гладкости конуса.является единичным.

Теорема 8 (1.6.6). Подпространство Ео.вполне насыщенное т-точками (meN) конуса К и обладающее К(т)-свойством.является (К7,К7(ЕоПК(т)))--тестовым.

Если в условиях этой теоремы ЕоПК * 0,то Ео является (К7,К7(ЕоП О К(п,)))-множеством Коровкина.

На основании этой теоремы доказываются предложения о сходимости обобщенно монотонных последовательностей (не обязательно положительных) операторов подобно случаю аналогичных последовательностей функционалов.

Указанный выше подход осуществляется и для нерастягивающих операторов, которые в рассматриваемом круге вопросов ведут себя подобно положительным.

Гложа 2 посвящена исследованию тестовых множеств для приближения в пространстве ССа.Ь] функционалами и операторами класса ^.введенными в рассмотрение П.П.Коровкиным в 1962 г.,которые обобщают положительные ;' и обладают по сравнению с ними тем преимуществом,что допускают, вообще ! говоря.более высокий порядок приближения. |

Во' избежание возможного недоразумения в терминологии и в обозна- | чениях при рассмотрении множества функционалов и множества операторов ¡ класса Sm.Mb» обозначаем эти множества по-разному: множество функциона- j лов через Sm.a множество операторов - через .

Для определения множеств Sm и нам понадобятся следующие по-

нятия.

Изолированный нуль t£[a,fc] функции х называют узловым (или простым),если либо teia.b). либо ttla.bL и при переходе через него функция х меняет знак.и называют неузловым (или двойным) в противном случае. Кратностью Ux(t) изолированного нуля t функции х называется число, равное 1,если t - узловой нуль,и равное 2.если t - нуль неузловой.Если множество 2(х) всех нулей функции х конечно, то сумму их кратностей обозначим через Для целого т > 0 пусть Ст:-<уб:С[а.Ь]:цу < т >.Для функции у рассмотрим множество Су: - ixeCla.bl: sign x(t)-slgn y(t), ti ta.W). Пусть v - функция ограниченной вариации на [а.Ы. Функционал f(x) - Га x(t) dv(t), хеССа.Ь]. принадлежит классу Я, тогда и только тогда.когда найдется функция у€Сго такая, что f(xj>0 для любой функции х&Су. Оператор (Lx)(x) - x(t) dv(t.x), xeCla.bl, принадлежит классу Sm тогда и только тогда, когда при каждом фиксированном значении teta.b) функционал (Lx)(t) принадлежит классу Sm .

Как уже отмечалось ранее, - (Sm)A .где Д - <6t: tfe ta,b]>.

В S 2.1 описывается специальная конструкция конуса Кы в пространстве ССа.Ы. порождаемая знаковой функцией « и связанная с определением функционалов класса Sm .

Знаковая функция « определяется следующим образом. Множество Z(a) (различных) нулей функции ос конечно или пусто.Если 2(«) - -iti,г£И, где а<ti<tz<...<tr-i<tr<Ь. то « на каждом из промежутков Са.t\I .

Hi.t2t.....)tr-i.trC.]tr.b] принимает постоянное значение 1 или -1.

В случае ti- а (tr - b) промежуток Са,tiС (]tr.£>]) отсутствует. Если функция а не имеет нулей, то она тождественно равна либо 1, либо -1 на [а,Ы; в первом случае будем обозначать ее через 1,а во втором через -1.

Вводится в рассмотрение множество Кфункций из С[а.Ы,знак каждой из которых в каждой точке отрезка [a.bJ.B которой она не равна нулю.совпадает со значением функции а в этой точке. Множество является конусом в СГа.Ь].который при а - 1,превращается в конус неотрицательных функций. Изучаются теоретико-множественная структура и свойства конуса Кос .а также множество К*и .Доказывается следующая теорема об описании множества (т > 0) /п-точек конуса К & :

Для того чтобы функция хо& СГа.Ы была пьточкой конуса К^ необходимо и достаточно.чтобы она принадлежала конусу Кос и имела на [а.Ы точно т различных нулей.

Если О < т < |2(«)|, то в пространстве С1а,£>] не существует подпространств насыщенных.а.следовательно, равномерно и вполне насыщенных да-точками конуса Кос. При т > |Z(ct)l выявляется критерий насыщенности подпространства т- точками конуса К и , которая в этом случае оказывается эквивалентной равномерной насыщенности. Доказываются признаки при т > |Z(cO| и критерии при т - |Z(«)|+1 полной насыщенности. Приводятся примеры вполне насыщенного,а также равномерно насыщенного,но не вполне насыщенного подпространств в С1а,Ь].

Доказывается,что если функции ccca.b], т > 1, таковы,что хо является m-точкой конуса Кы . 2(хо) - <ti>!i и det (XiCTj))1^ j-i * О, то множество 1x0™ является (К^ . Л £"(*о.О))-тестовым.

Индексом eÄ(t) пенки t€ ta.b) относительно знаковой функции a назовем число,равное 1,если либо te <а,Ь> .либо точка teia.bí и совпадает с одним из нулей функции « кратности 1, и равное 2 в остальных случаях. При ot - 1, понятие индекса (t) точки t относительно знаковой функции а совпадает с понятием индекса e(t) точки t. Иядексои еи (.Т) пустого иди конечного множества Тс ta.b) отоситвхьно знаковой функции а назовем число, равное 0. если Т» 0, и равное сумме индексов e*(t) всех точек t из 7",если Т* 0 .

Пусть целое число k i О такое,что |Z(aj|+fól. Скажем,что функционал ? принадлежит множеству тогда и только тогда,когда для <р найдутся число ре И,различные точки (e.i>f с ta.bl,удовлетворяющие условию \Z(cO) < к, и отличные от нуля числа . удовлетворяющие условию Aiotfei) > 0 при t.i£Z(<t), такие, что * - Z í-i .

Теорема 9 (2.1.8). Система ЧеСышева иа л > к + 1 функций является (К£ .Фк" )-тестовой.

Если в этой теореме « - 1,то из нее при п - 1 - к - 2 вытекает (в несколько более общем виде) результат П.П.Коровкина.а при л - 1 - к >1 - результат Ч.А.Мичелли.

В заключение этого параграфа определяется конус в пространстве 7Р (р > 1), аналогичный конусу К<* в (7[а,Ы,и приводится пример подпространства в Jp ,насыщенного,но не равномерно насыщенного /я-точками этого конуса.

В S 2.2 на основании равенства &n - U : цс(< т >.выявляющего связь между функционалами класса S^ и функционалами,положительными на конусах Кы. .и представления последних, полученного в предыдущем параг- 1 рафе,дается конструктивное описание функционалов класса Sm и операто-

ров класса .

§ 2.3 посвящен решению задачи характеризации ,Дк )-тестовых мнохеств, где Дк - (Дк)д . а Дк есть множество всех функционалов из С"1а.Ы,каждый из которых представляется линейной комбинацией функционалов вычисления не более чем в к произвольных (различных) точках отрезка 1а,Ь1.

Определение 8 (2.3.4). Будем говорить, что конечное множество Х-<хх>¥сС1а,Ы удовлетворяет условию (6™.к) (т>0,Ш - целые числа), если для любых 1 (1 < 1 < к) различных точек с [а.Ь] и любой

функции уеССа.Ы, имеющей г > 0 различных между собой и отличных от точек нулей,сумма кратностей которых м-у<л1, существует л < 5-1-г полиномов по системе X таких,что

(a) точки и нули функции у и только они являются общими нулями этих полиномов,

(b) у(£)РПО > О на множестве общих нулей полиномов Ро(.Ь)шО, Р1.....р^ 1. .....п .

Определение 9 (2.3.5). Будем говорить, что конечное множество с (Ла.Ь) удовлетворяет условию (Ат. к) (л£>0,к>1 - целые числа), если для любых натуральных чисел Кк и гСб и любых 1+г различных точек £г<...<£г . . .<£-1+г отрезка 1а,Ы никакая ненулевая линейная

комбинация первых 1 строк матрицы .....не Равняется

линейной комбинации остальных ее строк с коэффициентами,в ряду которых не более т перемен знака.

Центральные результаты этого параграфа можно сформулировать в виде следующей теоремы.

Теорема 10 (2.3.4 и 2.3.6). Для того чтобы множество сС1а,Ы было ,Дк )-тестовым необходимо и достаточно, чтобы оно удовлетворяло одному из условий (бщ. к) или к) •

Эта теорема является обобщенным аналогом результатов А.Л.Гаркави для систем Коровкина.Р.М.Минъковой и Ю.А.Шашкина для Кт -систем и Ю.А. Шашкина о сходимости положительных операторов к конечно определенным.

В § 2.4 устанавливаются некоторые свойства и признаки , Дк)--тестовых множеств и изучается связь между ними. Доказывается, что (^ , Дк )-тестовое множество состоит из не менее ЛН-2К+1 функций.

Определение 10 (2.4.1). Будем говорить, что конечное множество ХНх,,)^5сСЕа.Ы удовлетворяет условию (Вт. к) .если для любого натурального числа Кк,любых 1 чисел (Х^ ,не все из которых равны нулю,и лю-

бых J+s различных точек ti<...<ti , ti+i<...<ti+s отрезка ía.bl в ряду чисел { dj- L j1-! >f-i .где

(i. /XI.....xj-1. *J. *J+l.....*s \

D) D i \ .

\tl+l,.... tl + j-l, ti. tl + j+l.....tl+g /

имеется более m перемен знака.

Если требование в определении 10 выполняется лишь для точек

ti<___<tj. ti+i<...<ti+s, для которых det (*i(ti+j))i. j-i * О.то будем

говорить.что множество удовлетворяет условию (Вт.к).

Для удобства дальнейшего изложения будем говорить .что система функций X удовлетворяет условию (К(1)).если она - система Чебышева.

Определение И (2.4.4). Будем говорить, что непустое множество Xccta.b] удовлетворяет условию (Kp2;) (гЛ) .если для любой совокуп- ; ности г точек T~it\<... < fcr>c [а.Ы размерность dim St(X) образа 6j(X) множествах при отображении вычисления 5т: ССа.Ы -> Кг . определяемом формулой ССа.Ы эх »-» 5T(x)-(x(ti).... ,x(tr))e йг .равна г. ¡

При s>m*-2k+l доказывается.что каждое из условий (К(1)) и (£m k) I

(О) !

является достаточным.но не необходимым, а каждое из условий (Hí>+2k+i) и (Вт.к) - необходимым, но не достаточным для того чтобы множество Í ixt>? с Cla.bl было ,Лк )-тестовым,при этом условие (К(1)) достаточно, но Не Необходимо ДЛЯ КаЖДОГО ИЗ УСЛОВИЙ (.Вт. к) И (Krri+¿k+l) .Уело- i вие (Вт. к) достаточно, но не необходимо для условия (Вт.к), а условия (K^Vzk+i) и к) никак не связаны между собой.

При s-лн-2к+1 ситуация меняется. В этом случае каждое из условий (Кш). (£n+2k+i) и (Вт.к) эквивалентно (s£, Д& )-тестовости множества -(%>? с СГа.Ь] и. следовательно, эквивалентны между собой, а условие (Дп.к) по-прежнему необходимо.но не достаточно для (s£, Дк )-тестовос-ти множества ixsif .

Из полученных результатов вытекает,что минимальное число функций, образующих , Дк )-тестовое множество,равно т2к+1.

Доказанные в этом параграфе теоремы позволяют получить некоторые из результатов П.П.Коровкина о сходимости последовательностей линейных положительных операторов и Р.М.Миньковой о сходимости операторов класса Sin к единичному оператору.

В S 2.5 изучаются (Sfi ,Фк )-тестовые множества, где Фк - (®к)д .

а множество Фк (кеН) определяется следующим образом:

Функционал <геС*[а,Ь] принадлежит множеству Фк тогда и только тогда, когда для ф найдутся число р е N. числа * О}**-! и точки а<Т1<.. .<тр<£>, удовлетворяющие условию £1-1 е(Т1) С к. где е(Х1> -индекс точки , такие, что ф - Е^-!

Выясняется соотношение между классами Фк и Дк .

/О 1

Доказывается,что при т)0 и к>2 условие (Иги-2Ск/2)+1). где [К/23-целая часть числа к/2. необходимо для ,ф£ )-тестовости произвольного множества ХСС1а,Ь1.

Если требование в определении 11 будет выполняться лишь для совокупности точек Г-и1<.. .«¿г>с [а.М.для которых {,Сг}П (а.Ь> »• 0. то будем говорить.что множество X удовлетворяет условию (¿г).

Связь между условиями (Кг21) и (£.г) описывается следующей цепочкой

импликаций: (¿г+1) -> (*г2>) -> -Таким образом,условие (^ш+2Ск/23+1)

(2)

слабее условия (йп+гск/гэ-и) и именно поэтому оно оказывается необходимым для ,Фк )-тестовости множества X уже при всех к>1. Доказывается, что .Ф\? Ьтестовое множество состоит ив не менее лн*+1 функций и для того чтобы для любого множества ХСС1а,Ы из его .Фк )-тестовости следовала выполнимость для него условия (КгЯ|) необходимо и достаточно.чтобы г < т + 2[к/21 + 1.

По приведенному выше утверждению (Б^.Фк )-тестовое множество удо-(2) (2) влетворяет условию (*п+к+1) при четном к>2 и условию (Цп+к) при Нечетко)

ном ЮЗ. Поскольку условие (Ип+к+1) влечет,в силу доказанного выше,условие (1^,+к). то естественно возникает вопрос: не удовлетворяет ли

,Фк° )-тестовое множество условию (|С+к+1) и в случае нечетного к ? На этот вопрос дается отрицательный ответ.

Приводится утверждение о том.что система Чебышева.состоящая из г) >/7)+/с+1 (й>0,К>1) функций, является (^.Фь )-тестовой.Отсюда следует, что для каждой пары целых чисел т>0 и Ш Минимальное число функций, образующих ,ф£ )-тестовое множество,равно пнк+1.

Если к - четное, то ,ф£ )-тестовость системы из лн-К+1 функций эквивалентна тому, что X - система Чебышева.

Из доказанных предложений при ю-0 следует результат Ч.А.Мичелли о том,что система Чебышева из кн функций является (К7. (Фк )д)-тестовой, где а - 1,при любом к. и его обратимость при четном Л.Ч.А.Мичелли сделал попытку доказать указанное обращение и для нечетного к. Но данное

им доказательство представляется неубедительным.

5 2.6 посвящен изучению тестовых,коровкинских и отличающих замыканий множеств. Сначала эти понятия определяются для общего банахова пространства Е.

Определение 12 (2.6.1). Элемент хо Е назовем /почкой (X,7К)-тестового прикосновения к множеству X, если для любой последовательности операторов {Lp}™ с ZC с ограниченными в совокупности нормами и любого оператора M&tre из (7) следует: 11m п -юо I Ln*o - Мхо | - 0.

Если в этом определении опустить требование ограниченности в совокупности норм •(iLnlJi'.TO получим определение почки ,Ж )-коров-кинского прикосновения к X.

Определение 13 (2.6.3) .Элемент хо Е назовем точкой ,ШУ-отли-чахщего прикосновения к множеству /.если из совпадения любой пары операторов и М& W на множестве X следует их совпадение в точке хо .

Множество зсех точек (£zf.W)-тестового прикосновения к множеству X назовем (X /fit) -тестовый замыканием множества X и обозначим через

< (k! рК)-Т> [XI. Аналогично определяются (X ,?*е) -коровкинское замыкание <(Х.Ж)-К>1Х1 и УКУ-отличающее замыкание <{5? ?ку-0> 1X1.

Множество X естественно назвать (X (irt) -тестовым для замыкания

< (X,1К)-Т> [X]. (X )-множеством Коровкина для замыкания < (Х ,дгс )--К> [X] и ,Ж}-отличаацим для замыкания <i£ [X] .В случае,если каждое из замыканий )-Г>Ш, ,ъгс )-К>1Х], <ix ;ггс }-0>т совпадает со всем пространством Е, мы получаем соответственно определения тестовых,коровкинских и отличающих множеств.данные в § 1.5.

Все сказанное относится и к случаю функционалов.

Многие из перечисленных выше результатов о тестовых,отличающих и коровкинских множествах для всего пространства Е можно доказать и для соответствующих замыканий.

(Sit>, Ш)-тестовое замыкание конечномерного множества X рассматривалось Р.М.Миньковой и при более специальных предположениях относительно X - А.Лупашем.

Пусть oi(t), tela.bl, - некоторая знаковая функция. Функционал я: X R (определенный на X ) назовем а-позитивным относительно X, если для любой функции Г&-1 акхк. 6 Кы. (i£W. х^йХ. anfeB ) имеем Ek-i ak*(xк) > 0. Множество всех таких функционалов обозначим через &(Х).

Это определение,когда X - последовательность <хк> ий- 1,превра-

щается в определение позитивной последовательности < «к - at(Xk) > относительно X » {Хк>.изучавшейся М.Г.Крейном и В.А.Баскаковым.

Для множества Хс Cla.b] .функции xoecía.bl,функционала f&C*ía,bl и числа reR определим на множестве X U <хо> функционал х х. х :t. г(х), равный f (х) на X и равный г в точке хо •

Доказывается следующая теорема о признаке принадлежности точек множеству <((Oí? ,Фг?)-Г>СХ].

Теорема 11 (2.6.6). Пусть X с ССа.Ь]. Ф с С*[а,Ь] - произвольные непустые множества, множество QcCuía,bl секвенциально компактное ★-слабой топологии и удовлетворяет условию (8). а - произвольная знаковая функция и xqé Cía,Ь1. Если для каждого функционала <p G Ф функционал х х.х0 ; ч>.vf(х0 ) является единственным среди функционалов множества {» х.хо : ^-г : reif), принадлежащим множеству CP„¿ (X U íxo>), то *0é<((Oq ,«й)-Т>СЯ.

Пусть знаковая функция « либо, неотрицательна, либо неположительна на (а.ЬЗ и 5t = 5t в первом случае и - -5t во втором.Тогда использованием предыдущей теоремы доказывается,что если для любой точки ££[а.Ы среди функционалов множества { х х.х0 гген } функционал * х. х0; £•*. 6% (х0 ) является единственным принадлежащим множеству i%.(X и {х0>). то xoe<((Ko¿)a.í/>)-r>[XD.

Это предложение в случае конечного множества Х-{Х)>", « « 1, и Kfilin X * 0 доказано (другим методом) независимо В.А.Баскаковым и Г.Бауэром.

Пусть Sm(X) - U i ii^ < m }. Позитивные последователь-

ности относительно системы X принадлежат классу So(X). Имеет место следующая теорема:

Если для каждого функционала Фб <X>tC*la,bl среди функционалов множества < ж х. х0 : ччг : ге й > функционал х х, х0 : ч1. Ч ) является единственным принадлежащим классу Sm(X и (хо>). то хо£ е <(s£ ,ФЛ )-Г>[Х].

Пусть « - некоторая знаковая функция.Функцию х & С[а,£>] назовем « -подчиненной множеству X с ССа.Ь], если для нее найдутся две функции X такие,что х-хД-хеЯ*. Каждая функция xelin X «-подчинена множеству X для любой знаковой функции а .

Для «-подчиненной множеству XcCLa.b] функции xeCía.bJ и функционала <ре/С существуют конечные Гц..ы(х) - sup(<p(x): xelln X, х-хеК*}. Tf.cJx) - Inf <ф(х): xGlln X, x-xeKJ и < »(л) < Т^.^ОО.

Доказывается.что справедлива

Теорема 12 (2.6.9). Пусть а - произвольная знаковая функция, Xс ссса.ы. Фея«. - произвольные непустые множества.хо£ С(а.Ь] - произвольная функция.« -подчиненная множеству X, и йс С* 1а,Ы - произвольное множество,удовлетворяющее условиям.наложенным на нее в теореме 11. Если для каждого функционала <?&Ф имеет место равенство х^,* (хо) -- Тч.ы(х0).то х0е<((ОЛ

Отправляясь от теоремы 12. можно показать,что если знаковая функция а не имеет внутренних нулей кратности 1.функция хо£ССа,Ь) «-подчинена множеству ХСС1а,Ы и для любой точки I & Са,М выполняется равенство т^«.. ^ (х0) - (хо). то хоб<((^)°,<1>)-Т>т.

Справедливость этого4 утверждения при >[*. «-1. и КПНп X * 0 отмечена (без доказательства) В.А.Баскаковым. При этом требование се -подчиненности множеству X функции хо в формулировке условий можно опустить, ибо оно будет следовать из последних двух условий.

Глава 3 посвящена изучению некоторых вопросов теории систем Чебы-шева в пространстве С1а,Ы, которые.как показано ранее, при надлежащем числе составляющих их функций являются тестовыми.

В 5 3.1 доказывается критерий системы Чебышева в естественных терминах существования по ней полиномов с некоторыми наперед заданными узловыми и неузловыми нулями.Формулировка критерия различается в зависимости от четности числа функций системы. Из достаточности критерия, доказываемого на основе использования множеств непрерывных функций,отличающих специально подобранные множества функционалов,следует обращение известного еще с 1926 г. результата С.Н.Бернштейна о том. что для любых целых неотрицательных чисел р и ч таких.что р*2д-п-1,и любых непересекающихся множеств Ас [а.£>] и Вс)а.Ь[ таких, что \А\- р. |В|- д. существует полином по чебышевской системе X. состоящей из л функций, имеющий каждую точку множества 4 своим узловым нулем,каждую точку множества В - своим неузловым нулем и не имеющий других нулей на Са.Ь]. Для формулирования критерия даются следующие определения. Определение 14 (3.1.1).Систему ХсС1а,Ь2 назовем ит1а,Ы-системой (т > 0 - целое). если она обладает свойствами:

(Уш ) Для любого множества 0~с ]а,Ь[, | Т\ - т, и любой точки X £ Са,Ь]\ Т существует функция Я^е 11п X, имеющая т своим узловым нулем, каждую точку из Т - своим неузловым нулем и не имеющая других

нулей на la.bl;

(Um ) Для любого множества^с ]a,t>[, | ¿Г| - m -1, и любой точки te]a.b[\ существует функция РЛ, g-, т.ь£11п имеющая точки а.т.Ь своими узловыми нулями,точки из U~- своими неузловыми нулями и не имеющая других кулей на [а,Ы.

Определение 15 (3.1.2).Систему Xс Cía.Ы назовем Vmta,Ы-системой (ш > О - целое), если она обладает свойствами:

(v¿ ) для любого множества Тс ]а.Ь[, | (Г | - т. существует функция РТ е lin Л.имеющая каждую точку из 7" своим неузловым нулем и не имеющая других нулей на [а,Ы;

(Vm ) Для любого множества Тс ]а,Ы, \Т\ - m - 1. и любых двух различных точек ti. t2 & [а.Ы\ !7~. по меньшей мере одна из которых является концевой точкой отрезка [а.Ы .существует функция Рт±. ^ <félln X, имеющая точки Х\.Хг своими узловыми нулями, каждую точку из СГ- своим неузловым нулем и не имеющая других нулей на [а.Ы.

При m = 0 в свойствах (и„ ) и (vñí ) множество пусто,а свойства (um ) и (v,íf ) отсутствуют. При m - 1 в свойствах (Um ) и (Vm ) множество Ü~пусто.

Указанный критерий содержится в следующей теореме:

Теорема 13 (3.1.1 и 3.1.2). Для того чтобы система X с Cía,Ь1, состоящая из 2т2, соответственно из 2/w-l, функций (m > 0), была чебы-шевской на [а,Ь] необходимо и достаточно,чтобы она была Umla,Ы-системой, соответственно Уго[а,Ы-системой.

Для систем из трех функций, данный критерий доказал (другим методом) В.И.Волков.

Приводится пример приложения этого критерия.

В § 3.2 исследуются достаточные■условия непродолжаемости систем Чебышева.

Систему Чебышева на [а.Ы.состоящую из _ л функций,будем называть для краткости Гп[а,Ы-системой. Гп[а,Ы-систему <Xi}"cC[a,b] называют продолжаемой за отрезок [а.Ы.если существует отрезок [c,d)^ía.b], для которого найдется Гпle.di-система {yi)ncClc.dJ такая, что уi(t) -» Xi(t), £.£[а,Ы, 1-1,....л.

Вопрос о продолжаемости систем Чебышева возникает во многих областях анализа.

Известно, что любая система Чебышева из одной или двух функций продолжаема. Однако,для каждого л > 3 известны примеры непродолжаемых

Гп[а,Ь]-систем. Невозможность линейного преобразования Гп[а,Ы-систе-мы в систему Маркова является признаком ее непродолжаемости. О.М.Виноградовым в терминах р-супремального генератора сформулировано еще одно достаточное условие непродолжаемости Тп[а,ЬЗ-системы, но для нечетного л > 3.

В этом параграфе доказываются другие, более удобные в приложениях признаки непродолжаемости ГпCa,Ы-систем для любого л > 3. Основной является следующая

Теорема 14 (3.2.1). Если для ТпГа,М-системы X, п > 3. существует целое число т. 2<т<л-1, ил линейно независимых полиномов Р\,Ръ.

■ • • ,Рт £ lln X таких, что для любых чисел 0. Аг..... *п> сумма

кратностей нулей полинома P(t) - Е AjPj(t) не меньше л - т + 1,то система X не продолжаема.

Это предложение формулируется и в геометрической форме.

На основе теоремы 14 доказывается

Теорема 15 (3.2.2).Пусть для 7пГа,М-системы X-ixO% . л > 3,найдется целое число к, 1 < к < п - 2, такое,что выполняются условия:

1. Существуют различные между собой точки fci,...,tj<ela.bl, для которых Xi(t4)=0, l-k+2.....л, J-l....,ic;

2. Существует точка tk+i £ Ca.büMti.....tk> такая.что

3. Для каждого набора п-к-1 чисел otk+2.....«п со свойством;

Е i-k+2 «iXjitk+i) * О

п

множество значений функции

включает в себя множество К\{0>.

Тогда система X не продолжаема.

Приводятся примеры применения теорем 14 и 15.

5 3.3 посвящен системам Чебышева.по которым существуют полиномы с произвольным расположением нулей.

Известно,что если полином по ТпСа,£>]-системе имеет р > О узловых и д > О неузловых нулей,то р + 2д < п-1. Этот факт вместе с упомянутым в § 3.1 результатом С.Н.Бернштейна делает естественным следующее определение:

Если Гп[а,Ь]-система такова что для любых целых неотрицательных чисел р и д , удовлетворяющих неравенству р + 2д < п-1.и любых непересекающихся множеств АС1а,Ы и ВсЗа.Ы таких, что р, |Я|- д. существует по этой системе полином, имеющий каждую точку множества >1 своим узловым нулем, каждую точку множества В своим неузловым нулем и не имеющий других нулей на [а.Ы.то говорят,что по данной Г^а.Ы-системе существуют полиномы с произвольным расположением нулей.

Существование по Гп[а.Ы-системе полиномов с произвольным расположением нулей при п - 1.2 необходимо и достаточно, а при л > 3 необходимо, но не достаточно для продолжаемости этой системы.

Существование по чебышевской системе полиномов с произвольным расположением нулей изучалось С.Н.Бернштейном. М.Г.Крейном, С.Карлином и В.Стадденом, В.И.Волковым и др. Анализируя состояние этого вопроса, можно показать справедливость следующего критерия существования.

Для того чтобы по 7"п[а.Ь]-системе, л > 3. существовали полиномы с произвольным расположением нулей необходимо и достаточно, чтобы для

каждого к - 1.....С(л-1)/2].где [(п-1)/23 -целая часть числа (л-1)/2.

и для любых непересекающихся множеств 4С[а,Ы и ВсЗа.М таких.что |Д| - п-2к, |В| - к-1 и множество А содержит только одну из точек а или Ь. существовал полином по этой системе, имеющий точки множества А своими узловыми нулями, точки множества В своими неузловыми нулями и не имеющий других нулей на Са.М.

Формулируются частные случаи этого критерия для некоторых значений п и приводится пример на применение.

В § 3.4 проводится анализ теоремы 15 и дается ряд ее уточнений в зависимости от значения числа к и свойств нулей полинома

О

по системе <Х1>5 1.На основе этого формулируются,например.условия,достаточные для того,чтобы Тп1а,Ы-система, п > 3 - нечетное, не обладала свойством существования по ней полиномов с произвольным расположением нулей и.следовательно.не была продолжаемой.

В заключительном §3.6 этой главы приводятся примеры систем Чебы-шева. по которым не существует полиномов с произвольным расположением нулей. В доказательстве этого применяются теоремы, сформулированные в предыдущих параграфах, и, таким образом, некоторые из результатов В.И.Волкова. В.И.Андреева, Р.К.С.Рэгора и П.Н.Эгруэля, Р.Гаверкампа получаются другими методами.

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМ? ДИССЕРТАЦИИ

1. Лабскер Л.Г. О некоторых достаточных условиях аппроксимации непрерывных функций операторами класса ^ .-Докл.АН Азерб.ССР.-1970.26,Н 9.

- с. 3-7.

2. Лабскер Л.Г. О слабой сходимости последовательностей линейных поло тигельных функционалов.- Докл.АН СССР.- 1971,197,N б.-с.1264-1267.

3. Лабскер Л.Г. О сильной сходимост последовательностей линейных положительных операторов в банаховых пространствах.- Докл.АН СССР.-1972, 206,N 3.- с.525-528.

4. Лабскер Л.Г. О некоторых необходимых условиях сходимости последовательностей линейных положительных операторов к операторам множества -Применение функционального анализа в теории приближений. -Калинин,1975,Вып.6,- с.59-69.

5. Лабскер Л.Г. О некоторых необходимых условиях существования насыщенных подпространств в нормированном пространстве.-Докл.АН Азерб.ССР.

- 1975,31,N 10.- с.3-6.

6. Лабскер Л Л'. Отличающие множества и сходимость последовательностей линейных функционалов и операторов класса .- Применение функционального анализа в теории приближений.-Калинин,1977,Вып.7.- с.79-91.

7. Лабскер Л.Г. О множествах Коровкина в пространстве непрерывных функций для операторов класса .- Матем.заметки.-1979,25,N4.-с.521-536.

8. Лабскер Л.Г. К вопросу о признаках )-множеств Коровкина,-Применение функционального анализа в теории приближений.-Калинин,1979, Вып.9.- с.73-83.

9. Лабскер Л.Г. О некоторых необходимых и достаточных признаках множеств Коровкина для операторов класса .- Сибирский матем. журнал.-1980,21,N 2,- с.128-138.

10. Лабскер Л.Г. О множествах Коровкина в банаховом пространстве для множеств линейных функционалов.-Матем.заметки.-1982,31.N 1.- с.93-112.

11. Лабскер Л.Г. Характериаация систем Чебышева и достаточные условия их непродолжаемости,- Докл.АН СССР,- 1984,276,N 2.- с.277-281.

12. Лабскер Л.Г. Пример непродолжаемой системы Чебышева алгебраических многочленов, по которой существуют полиномы с произвольным расположением нулей.-Применение функционального анализа в теории приближений. - Калинин,1984.- с.102-106.

13. Лабскер Л.Г. К вопросу о слабой сходимости последовательностей линейных функционалов.- Anal.Numer.et ТЬеог.Арргох1т.- 1985, 14, N 1.-с.33-57.

14. Лабскер Л.Г. Об одном критерии систем Чебышева.- Матем.заметки.-1986,39,N 2.- с.196-211.

15. Лабскер Л.Г. 0 достаточных условиях непродолжаемости систем Чебышева,- Изв.ВУЗ.Математика.- 1986,N 9.- с.45-58.

16. Лабскер Л.Г. 0 двух примерах систем Чебышева, по которым не сушеспь вует полиномов с произвольным расположением нулей.-Геометрические вопросы теории функций и множеств.- Калинин, 1986.- с.141-153.

17. Лабскер Л.Г. Некоторые замечания о чебышевском ранге систем.-Из в.ВУЗ.Математика. -1987.N 3.- с.44-47.

18. Labsker L.G. On a test sets In the Banach space for a sets of linear operators.- Trends In Functional Analysis and Approximation Theory (Aoqua-fredda dl Maratea - September 11-15.1989).Program and Abstracts. Unl vers lta della Basillcata.Facolta dl Sclen2e.Myl.FF.NN. Istltuto dl Matematlca.-1989.-p.43. (Italia).

19. Лабскер Л.Г. Тестовые множества в банаховом пространстве.-М..МКПК Минхимлрома СССР,1989.-108 с.

20. Лабскер Л.Г. Тестовые множества для приближения операторами и фун- 'j кционалаии класса Sm ,-М. .МИПК Минхимпрома СССР. 1990.-128 с.

21. Лабскер Л.Г. Некоторые вопросы теории систем Чебышева.- М.. МИПК йшхимпрома СССР.1991.-140 с. '

22. Лабскер Л.Г. Тестовые и отличающие множества в банаховом прост- j эанстве.- Ивв.ВУЗ.Математика.- 1992,N 1.- с.102-105.

Отпечатано на ротапринте Финансовой Академии при Правительстве Российской Федерации. Объем 1 п.л. Печать офоетная. Формат бОхЭО1/!^« Тира* 100 экз. Заказ 30.

Финансовая Академия при Правительстве РФ 125468, Москва, ДеввнградокиИ просп., 49, комп.1