Кинетика и термодинамика неидеального ридберговского вещества, полученного при помощи лазера на красителях тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.21 ВАК РФ

На правах рукописи

Зеленер Борис Борисович

Кинетика и термодинамика неидеального ридберговского вещества, полученного при помощи лазера на красителях

Специальность 01.04.21 -лазерная физика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Автор

Москва - 2005

Работа выполнена в Московском инженерно-физическом институте (государственном университете)

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук,

профессор Маныкин Эдуард Анатольевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Крайнов Владимир Павлович

доктор физико-математических наук,

профессор Полуэктов Павел Петрович

Ведущая организация Институт общей физики РАН

Защита состоится 11 мая 2005 г. на заседании диссертационного совета Д 212.130.05 в 14.00 в конференц-зале МИФИ по адресу: Москва, Каширское Ш..Д.31, тел. 323-91-67

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МИФИ

Автореферат разослан 2005 г.

Просим принять участие в работе совета или прислать отзыв в одном экземпляре, заверенный печатью организации.

Ученый секретарь диссертационного совета

И.В. Евсеев

Общая характеристика работы.

Актуальность работы.

Настоящее теоретическое исследование представляет интерес в связи с тем, что экспериментальные исследования ридберговской вещества достаточно невелики и противоречивы, хотя возможность существования таких систем были предположены Э.А. Маныкиным еще в 80 годах. С тех пор эксперименты проводились лишь четырьмя группами исследователей из Швеции, США и России, и поскольку эти исследования не имели четко сформулированной идеи и фундаментальной теоретической базы, все результаты, полученные в этих экспериментах, имели лишь косвенный и размытый характер. Кроме того, изучение этих систем обусловлено важностью их свойств для фундаментальных исследований.

Цель работы.

Цель настоящей работы теоретически обосновать возможность существования ридберговского вещества, обработать уже полученные косвенные экспериментальные данные в рамках созданной теории, предсказать свойства таких систем для постановки новых более четких и продуманных экспериментов для доказательства существования структуры в ридберговском неидеальном веществе.

Научная новизна.

• Предложена кинетическая модель, основанная на работах Л.М. Бибермана, B.C. Воробьева, И. Т. Якубова, для изучения различных стадий существования ридберговского вещества при низких температурах от его возникновения до распада.

• На основе этой модели была выстроена иерархия времен для ридберговского вещества. При этом показано, что существуют условия, при которых установление термического равновесия в системе

происходит раньше, чем происходит существенная рекомбинация. В результате в системе устанавливается равновесие по температуре, но отсутствует равновесная заселенность возбужденных атомов по энергиям.

• Для изучения термодинамических свойств и корреляционных функций ридберговского вещества была использована псевдопотенциальная модель, предложенная в работах Б.В. Зеленера, Г.Э. Нормана, B.C. Филинова.

• Были рассчитаны псевдопотенциалы для конкретных концентраций и температур и написана программа для расчета термодинамических параметров и корреляционных функций такой системы методом Монте-Карло.

• Были получены значения для энергии, давления и корреляционных функций в области температур 0.1-1000К и Пе=10"2-1019 см"3. Была рассмотрена псевдопотенциальная модель для плазмы Хе, полученной в работах Т.С. Killian и др., для плазмы щелочных металлов М.Р. Robinson и др., а также плазмы, возникающей в экспериментах изучающих термоэмиссионные преобразователи L. Holmlid и др. при температурах до 1000К.

• В слабо неидеальной плазме результаты наших расчетов совпадают с дебаевской асимптотикой. В области сильной неидеальности обнаружено возникновение многочастичных кластеров, а также пространственной упорядоченности (квазирешетки) в расположении электронов и ионов плазмы.

• Кроме того, был проведен кинетический анализ экспериментальных данных Т.С. Killian и др., соответствующих параметру неидеальности уе<1. Получено хорошее согласие между теоретическими и экспериментальными данными.

• Получена также зависимость количества возбужденньгх атомов при N¡¡=N,=7x105 и Те=6К от главного квантового числа, объяснено поведение этой зависимости и плотности частиц от времени.

• Выдвинуто предположение о наличии максимума в распределении возбужденных атомов при значении главного квантового числа к=25 в области Т=1-10К.

Практическая ценность.

Практическая ценность работы определяется возможностью использовать полученные результаты для понимания процессов происходящих при создании и исследовании ридберговского вещества.

Достоверность и обоснованность результатов, полученных в процессе выполнения диссертационной работы, обусловлена использованием самых передовых численных методов расчета и воспроизводимостью результатов численного моделирования для разного количества частиц. А также хорошим согласием теории с экспериментальными данными.

Автор выносит на защиту.

1. Результаты кинетического анализа различных стадий существования ридберговского вещества при низких температурах от его возникновения до распада.

2. Результаты расчета термодинамических параметров и корреляционных функций ридберговского вещества с использованием псевдопотенциальной модели и метода Монте-Карло в широком диапазоне параметров.

3. Кинетический анализ экспериментальных данных Т.С. КИНап и др., соответствующих параметру неидеальности

Апробация работы.

Материалы диссертационной работы изложены в 8 статьях научных специализированных журналов и вынесены для обсуждения на следующие международные конференции:

1. 12th International Laser Physics Workshop, Hamburg, August 2003, V.S. Filinov, E.A Manykin, B.B. Zelener, B.V. Zelener, « Ultracold Rydberg plasma by photoionization of strong laser-cooled xenon atoms ».

2. Moscow Workshop Nonideal Plasma Physics, 2-3 December, 2003, Б.Б. Зеленер, Б.В. Зеленер, Э.А Маныкин, B.C. Филинов, В.Е. Фортов, «Модель ультрахолодной ридберговской неидеальной плазмы щелочных металлов».

3. XIX International Conference "The equation of state of matter", Elbrus, 11-17 марта 2004, Б.Б. Зеленер, Б.В. Зеленер, Э.А. Маныкин, B.C. Филинов, В.Е. Фортов, «Ультрахолодная ридберговская неидеальная плазма щелочных металлов».

4. International Workshop and Seminar on Rydberg Physics, Germany, Dresden, 19 April -14 May, 2004, V.S. Filinov, V.E. Fortov, E.A. Manykin, B.B. Zelener, B.V. Zelener, «Ultracold Rydberg plasma state diagram».

5. International Workshop and Seminar on Rydberg Physics, Germany, Dresden, 19 April - 14 May, 2004, A.A. Belevtsev, B.B. Zelener, B.V. Zelener, «Kinetics and recombination of ultracold Rydberg nonideal plasma»,.

6. 13th International Laser Physics Workshop, Triest, July 2004, V.S. Filinov, E.A. Manykin, B.B. Zelener, B.V. Zelener, « Thermodynamics of nonideal Rydberg plasma created by dye laser».

7. Moscow Workshop Nonideal Plasma Physics, 1-2 December, 2004, Б.Б. Зеленер, Б.В. Зеленер, Э.А. Маныкин, «Кинетические процессы в неидеальной ридберговской материи».

8. XX Международная конференция «Воздействие интенсивных потоков энергии на вещество», Эльбрус, 1-6 марта 2005, А.А. Бобров, Б.Б. Зеленер, Б.В. Зеленер, Э.А Маныкин, «Кинетические процессы в неидеальной ридберговской материи».

А также результаты диссертации обсуждались на: семинаре в Институте общей физики РАН под руководством профессора Н.Б. Делоне, семинаре теоретического отдела Института сверхпроводимости и физики твёрдого тела РНЦ "Курчатовский институт" под руководством академика Ю.М. Кагана, семинаре ИТЭС ОИВТ РАН под руководством академика В.Е. Фортова, семинаре МИФИ кафедры «Физики твердого тела» под руководством профессора, д.ф-м.н. Э.А. Маныкина, семинаре теоретического отдела ИТЭС ОИВТ РАН под руководством д.ф-м.н. B.C. Воробьева.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из предисловия, введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Общий объем диссертационной работы составляет 100 страниц, включая 34 рисунка и списка литературы из 58 наименований.

Содержание работы.

Во введении обсуждается актуальность разрабатываемой темы, сформулирована цель работы, ее практическая ценность, кратко излагается содержание работы.

В главе 1 рассмотрены методы изучения ридберговского вещества, как теоретические, так и экспериментальные.

В параграфе 1.1 Вводится понятие ридберговского вещества и возможность фазового перехода в системе возбужденных центров с образованием конденсированных возбужденных состояний, которое было предложено в работах Э.А. Маныкина, где рассматривался газ электронов и

ионов такой плотности, когда электроны вырождены, а температура равна или очень близка к 0.

Конденсированные возбужденные состояния представляют собой качественно другое состояние в системе возбужденных центров, отличающиеся от исходной системы возбужденных центров настолько, насколько отличается конденсированное состояние вещества от системы атомов или молекул. Как и в случае привычного конденсированного вещества, взаимодействие между центрами при увеличении их плотности приводит, в конечном счете, к изменению фазового состояния системы и качественного изменения всех характеристик.

В параграфе 1.2 обсуждаются эксперименты, проведенные группой шведских исследователей под руководством L. Holmlid, изучающих термоэмиссионные преобразователи при температурах до 1000К.

В параграфе 1.3 обсуждаются эксперименты, проведенные двумя группами американских исследователей. Изучалось ридберговское вещество в плазменном состоянии. Вначале создавалась полностью ионизованная плазма, которая затем частично рекомбинировала. При этом образовывались ридберговские атомы, которые существовали длительное время в смеси со свободными электронами и ионами. Эксперименты в работах Т.С. Killian и др. проводились для плазмы Хе. Эксперименты М.Р. Robinson и др. проводились для плазмы щелочных металлов.

В параграфе 1.4 обсуждаются теоретические работы, описывающие эксперименты Т.С. Killian и др. Эти результаты можно разделить на две группы. Первая группа работ основывается на том, что рекомбинация, протекающая в плазме сразу после ее образования, приводит к увеличению кинетической энергии электронов. Тем самым она приводит к росту и увеличению кинетической энергии ионов.

Вторая группа работ предполагает, что в плазме в момент ее образования кулоновское отталкивание между ионами приводит к большой

положительной потенциальной энергии электронов. При расширении плазмы потенциальная энергия частиц превращается в кинетическую. В плазме образуется ионная решетка с размером равным среднему расстоянию.

В главе 2. обсуждаются кинетические процессы в плазме, созданной в работах Т.С. К!Шап и др. Для лучшего понимания рассматриваются различные стадии существования ридберговской плазмы от ее возникновения до ее распада.

В параграфе 2.1 рассматривается установление электронной температуры в такой системе. Для слабонеидеальной плазмы время

установления Те определяется следующим выражением [30]:

где Ье - кулоновский логарифм, для которого в этих условиях справедливо следующее выражение:

(2)

При уе3>1/4я выражения (1) и (2) теряют смысл, так 1к=0 п]ж уе3=й/4я, а

при больших становится отрицательным. Предложен метод оценки

кулоновского логарифма при

В случае более плотных систем кулоновский логарифм Ц запишется в следующем виде:

(3)

На рис.1 приведены зависимости Ье(уе)для случая (1) и (2).

I— 1/2

£в=1п(2ч'хгв )

12 10 8

Le6 4

2

0

О 0.2 0.4 0.6 0.8 1

У ' е

Рис. 1. Зависимости Ье(уе): I—соотношение(1), II-соотношение(2).

Оценка тее в области "/¿<1 по формулам (1), (3) для параметров ультрахолодной плазмы показывает, что тее~10""-10"10 сек.

В параграфе 2.2 рассматривается неравновесная двухтемпературная ридберговская плазма и установление термического равновесия. После установления температуры Те, электроны начинают заселять уровни дискретного спектра, т.е. начинают идти процессы рекомбинации. Поскольку вначале все электроны находятся в непрерывном спектре, рекомбинация начинается с границы дискретного и непрерывного спектра. При этом основным механизмом являются электронные столкновения. В рассматриваемых нами условиях, в большей части дискретного спектра в рекомбинацию вносят вклад, в основном, электронные столкновения.

Интенсивность радиационных переходов в этой области энергий мала. При увеличении энергии связи роль радиационных процессов возрастает. При E<Er — доминируют ударные процессы. При E>Er - возмущение осуществляется ударными процессами, а тушение радиационными.

=К/(4.5-10|3)]1/4-Г~1/8;

(4)

где Те выражено в электрон-вольтах, пс в см'3.

В случае ультрахолодной ридберговской плазмы Бя~0.1-1.1 еУ для начальных состояний плазмы до начала разлета, что соответствует уровням возбуждения к=4-11 (главное квантовое число). При разлете плазмы Ел смещается в сторону непрерывного спектра, т.к. зависимость от пе сильнее, чем от

Рис. 2. Схема, поясняющая характерные распределения атомов по возбужденным состояниям: 1 —равновесный случай (прямая Щп^ь), проведенная через точки Е¡, Е2, ■■■, соответствующие реальным энергетическимуровням атома, позволяет найти электронную температуру), 2 - режим рекомбинации: Штрихи -распределение населенностей при значительной роли радиационных процессов. I-группа состояний, находящаяся в равновесии с континуумом, II- группа неравновесных состояний. - характеризует границу влияния радиационных переходов.

-1-П-г

Е| Е2 Е3Е4 О

Е

На рис.2 приведена схема, поясняющая распределение атомов по уровням при неравновесности рекомбинационного типа. Зависимость 1п(Пк/£к)=£(Ек), проведенная через точки, соответствующие реальным уровням атома, в случае равновесия изображается прямой, наклон которой однозначно связан с температурой. Необходимо отметить, что для температур Т=1-10К эта линия проходит вблизи оси энергии. Кривая (2) схематически отображает поведение неравновесной заселенности рекомбинационного типа.

Можно разделить условно заселенности на две группы: 1. Группа верхних возбужденных состояний находится в равновесии с континуумом. 2. Группа остальных возбужденных состояний, находящихся в существенно неравновесных условиях. Место перехода от одной группы к другой называют «узким местом». Положение узкого места при Ея>3/2Те определяется столкновительными процессами и в нашем случае:

Е =-Т т 2 е

(5)

Номер ридберговского состояния, например для определяющий узкое место равен:

Проведенные нами оценки для экспериментальной точки с и

которой соответствует начальное значение показывают, что

количество образованных возбужденных состояний составляет

лишь -15% от числа зарядов.

Одновременно с рекомбинационными процессами в плазме идет процесс установления термического равновесия между электронами и ионами. Для оценки времени установления термического равновесия воспользуемся формулой для Те, в случае слабонеидеальной плазмы:

где П;, М;, ъ - концентрация, масса и заряд ионов соответственно.

Также как и в случае оценки тее, проведенной ранее, для дебаевской плазмы мы используем значение Ье, вычисленное по (2), а в случае недебаевской плазмы значение Ье, определяемого выражением (3).

При у—1, тС1 составляет несколько микросекунд. Это означает, что за в ридберговской ультрахолодной плазме температура ионов становится равной температуре электронов. С увеличением у, согласно нашим оценкам, это время уменьшается за счет сильного кулоновского взаимодействия; т.е время установления температуры значительно меньше времени рекомбинации.

В главе 3 для изучения термодинамических свойств и корреляционных функций ультрахолодной ридберговской неидеальной плазмы была использована псевдопотенциальная модель.

В параграфе 3.1 обсуждается псевдопотенциальная модель и границы ее применимости. Термодинамика равновесной квантовомеханической системы полностью определена, если известна статистическая сумма:

гЛ,=5^(ехр(-/5Й'))= ||>п| ехрС-Д^у (7)

где - шпур матрицы плотности - волновые

функции и уровни энергии N - частиц, Н - гамильтониан системы N частиц, qN — координаты N частиц, V - объем системы.

Она связана с рассмотрением суммы Слэтера:

5„=МЛЗЛГ ¿^¡2ехр(-/?£:л)) (8)

VЦктТ

Суть псевдопотенциальной модели заключается в том, что (8) представляется в виде произведения парных электрон - электронных, ион -ионных и электрон - ионных слэтеровских сумм:

2Ы И,

^ = = гк

I<н

'■<7=1

'<7=1

(9)

По аналогии с классикой, произведение (9) можно заменить выражением:

(10)

где

(11)

называется псевдопотенциалом.

Парные слэтеровские суммы в случае электрон - ионных, электрон -электронных и ион - ионных взаимодействий могут быть рассчитаны точно. При этом псевдопотенциал на больших расстояниях совпадает с законом Кулона, а на малых конечен и зависит от температуры.

В параграфе 3.2 рассчитывается электрон-ионный псевдопотенциал. В псевдопотенциальной модели, которую мы рассматриваем в настоящей работе, электрон - ионный псевдопотенциал рассчитывается по формуле

(12):

где Б,, вклад дискретного спектра, а Бе - непрерывного.

(12)

Псевдопотенциал рассчитывается с учетом только тех энергетических уровней, которые существуют в нерекомбинировавшей плазме. Например, в условиях эксперимента Т.С. ЕШап и др. существует только непрерывный

14

спектр, а в условиях эксперимента М.Р. Robinson и др. - непрерывный спектр и дискретный от к>36 или к>39. Мы также рассматриваем случай соответствующий k>10.

Электрон - ионный псевдопотенциал существенно отличается от закона Кулона. Причем, при учете только непрерывного спектра, псевдопотенциал переходит в закон Кулона на расстоянии Ю6ао (ао - радиус Бора). Учет уровней дискретного спектра с 36 уровня существенно понижает ион -электронный псевдопотенциал, а переход в закон Кулона происходит на тысячах ао.

В параграфе 3.3 рассчитывается электрон - электронный и ион -ионный псевдопотенциал. Электрон - электронный и ион - ионные псевдопотенциалы практически совпадают с законом Кулона. Необходимо только учесть конечность размеров иона (например, кристаллографический радиус).

В параграфе 3.4 приводится метод расчета термодинамических параметров системы. Для расчета термодинамических свойств и корреляционных функций ридберговской ультрахолодной плазмы был использован метод Монте-Карло для многокомпонентной плазмы в каноническом ансамбле. Определение различных термодинамических величин при этом сводится к вычислению средних значений от известных функций координат (q).

Например, для энергии:

где Q(N,V,T) - конфигурационный интеграл.

Метод Монте-Карло это численный метод, использующий цепи Маркова. Он позволяет выбирать лишь основные, наиболее типичные слагаемые, определяющие значения интегральной суммы. Поэтому, иначе, он называется методом существенной выборки. Другой особенностью метода является использование периодических граничных условий. Все трехмерное

15

пространство разбивается на равные ячейки объема У с N частицами в каждой. Если одна из частиц ячейки вследствие изменения своих координат выходит из этой ячейки, то одновременно ее образ из соседней ячейки входит через противоположную грань и число частиц в ячейке сохраняется.

В параграфе 3.5 приводятся результаты расчета проведенные при помощи численного метода Монте-Карло. Были получены значения для энергии, давления и корреляционных функций в области температур 0.1-1000К, концентраций пе=10'2-1019 см'3 и различных уровней возбуждения.

В случае у«1 наблюдаются хорошее согласие с приближением Дебая-Хюккеля (линеаризованным или нелинеаризованным). При у>1 корреляционные функции указывают на образование ближнего порядка среди частиц как одного, так и разных знаков. При росте у этот порядок усиливается. Максимумы корреляционных функций растут, а минимумы обращаются в ноль, что связано с формированием строгого порядка в пространственном расположении частиц. В области нулевых значений корреляционных функций частицы практически отсутствуют.

Для того, чтобы лучше понять ситуацию, связанную с установлением порядка при росте у, использовалась программа визуализации. Она позволяет увидеть расположение частиц в различных равновесных конфигурациях. Обсудим результаты для изотермы Т=0.1К. С увеличением плотности возникает порядок, который соответствует решетке с размером при 109см"3 (рис.3).

Рис 3 Графическое изображение координат частиц соответствующие корреляционным функциям 2ее(г)> ён(г)> 8и(г) при 1К и Точки -

ионы, окружности - электроны Ионы и электроны находятся в узле решетки

При увеличении температуры формирование упорядоченной структуры смещается в сторону увеличения плотности частиц. Так для Т=10К при существенно большей плотности п=1015 устанавливается только лишь ближний порядок в виде электрон - ионных кластеров, как видно из равновесной конфигурации представленных на рис. 4.

Рис 4 Графическое изображение координат частиц соответствующее корреляционным функциям gee(r), gu(r), geí(r) приТ=10Кип=1015 Точки—

ионы, окружности - электроны Ионы и электроны образуют капли с зачаткамирешетки Переходное состояние между ближним порядком и

решеткой

Эти кластеры представляют собой сгустки (капли) разноименно заряженных частиц, причем в этих каплях электроны и ионы выстраиваются в минирешетки

Энергия E/NkT в области у>0 1 в диапазоне Т=0 1К-10К зависит линейно от у Это означает, что, исключив температуру из этой зависимости, получим выражение аналогичное известному закону Маделунга

(14)

где А=10 константа (аналог постоянной Маделунга), причем А>0

Постоянная решетки, как следует из расчетов, ~ п 1/3 Формула (14) напоминает выражение для энергии Маделунга для ионного кристалла, но в

нашем случае А>0. Полученные результаты для Е/К=Ае2п1/3 говорят о том, что при в полученном ионизованном газе устанавливается порядок,

аналогичный кристаллической решетке и энергия при этом является функцией среднего расстояния между частицами, которое примерно соответствует постоянной решетки.

В главе 4 анализируются результаты экспериментов Т.С. ЕНИап и др.

В параграфе 4.1 рассматривается вопрос расширения плазмы. С увеличением температуры ионов в процессе взаимодействия с электронами усиливается процесс расширения плазмы. При этом запас положительной потенциальной энергии, которая переходит в процессе расширения в кинетическую, приводит к увеличению этой скорости во много раз. Этот факт подтверждается экспериментальными данными.

В работе Т.С. ЕШап и др. для скорости расширяющегося шара Уо при Ее>70К предположена следующая зависимость:

(15)

где Ее — кинетическая энергия электронов, а=1.7 - подгоночный параметр, определяемый по экспериментальным точкам.

Выражение (15) с подгоночным параметром а можно получить теоретически, исходя из следующих соображений. В задаче разлета газового шара в пустоту, средняя радиальная скорость газовой массы асимптотически

стремится к постоянному предельному значению

- скорость границы, В=сош1.

Из рассмотрения этой задачи ясно, что скорость, которая определяется из выражения (15), связана не с предельной V,», как полагают Т.С. ЕШап и др., а со скоростью границы (при этом Коэффициент

в случае автомодельного режима разлета газового шара, при

К =

I Е

I __ е

а-М,

2 Е V

=_а« гдеу,, М В '

условии, что показатель адиабаты и постоянства плотности по всему

объему. В результате получим:

к= Дм*

0 } 9-М,

(16)

При установлении термического равновесия кинетическая

энергия ионов и тогда:

(17)

Выражения (15) и (17) совпадают с хорошей степенью точности. Оценим также время перехода потенциальной энергии тяжелых частиц в кинетическую энергию. Если предположить, что движение частиц является равноускоренным, то время перехода:

(18)

[4£7

где Уя = - н а ч а л ь ща^я=¥он е ч н а я скорость, а Ь - расстояние, на

котором это происходит, определяется из условия:

(19)

1/3

где уо~По'" - начальное значение параметра взаимодействия, у!"-^1^ -параметр взаимодействия, при котором Подставив (19) в (18) получим:

Для п=2-109см"3 и Ее=9К - т^^-Ю^сек. Полученные результаты говорят о том, что переход потенциальной энергии в кинетическую, после установления равенства Те=Т; происходит значительно быстрее, чем сам процесс выравнивания температур.

В параграфе 4.2 обсуждается вопрос рекомбинации в расширяющейся плазме. Увеличение кинетической энергии частиц за счет положительной потенциальной энергии ведет:

1) К частичной ионизации имеющихся к этому моменту высоковозбужденных состояний за счет увеличения температуры и к падению суммарного числа этих состояний. Этот факт мы наблюдаем на рис.5 при анализе экспериментальных данных.

l—I-1-1-1—1

55 70 85 100

Principle Quantum Number

Рис. 5. Распределениеридберговских атомов в зависимости от времени послефотоионизациидля Ee=9KuNi=71(f. Распределениечисла возбужденных атомов): I-1-25 мкс и Те:25=2К, II—1=125 мкс и Tej2}~0.22K.

Вставка врисунок. Кружки - полное число возбужденных атомов от

времени, сплошная линия - плотность тяжелых частиц от времени.

До 1=25МКс происходит падение значений заселенности возбужденных атомов и общего их количества (вставка в рис.5). После г=25мкс начинается рост заселенностей и общего числа возбужденных атомов, прекратился рост температуры электронов, температура стала уменьшаться, и начался процесс рекомбинации.

2) Процесс рекомбинации, тем не менее, после 1=25мкс идет медленно и это связано с большой скоростью разлета. Скорость разлета такова, что рекомбинация плазмы замедляется. Наблюдается эффект «закалки». Этот эффект связан с тем обстоятельством, что расширение плазмы происходит быстрее, чем ее охлаждение.

Анализ распределения ридберговских атомов на рис.5 позволяет предположить, что при к=25 существует максимум.

Основные результаты и выводы.

1. В настоящей работе исследованы последовательно все стадии возникновения и распада ультрахолодной ридберговской плазмы. В области экспериментальных параметров Т.С. К1Шап и др. температура электронов устанавливается за время а

температура ионов Т сравнивается с температурой электронов Те за Это позволяет нам рассматривать плазму в неполном

термодинамическом равновесии, т.е., когда Те= Т,, но отсутствует равновесная заселенность возбужденных атомов по энергиям.

2. Расчеты показывают, что в такой системе заряженных частиц, где не образуются связанные состояния, существует сильное отталкивание, увеличивающееся с ростом у. Оно приводит при расширении плазмы: 1) к большей скорости разлета плазмы. 2) к ионизации, имеющихся на момент установления термического равновесия, некоторого количества возбужденных атомов. 3) к режиму «закалки» рекомбинации.

22

3. Была исследована область температур 0 1 - 10 К, и концентрации 10"2 - 10'6 см"3 без учета дискретного спектра. В результате было обнаружено формирование структуры при у>1. Формирование структуры происходит в области, когда газ электронов далек от вырождения а сама структура меняется от ближнего порядка (аналогично структуре в жидкости) до дальнего порядка (аналогично решетке в твердых телах).

4. Учет состояний дискретного спектра, приводит к изменению свойств этого газа. В настоящей работе также проведен теоретический расчет термодинамической модели ультрахолодной неидеальной ридберговской плазмы для случаев когда: 1) плотный ионизованный газ, сформирован из ридберговских атомов с уровнем возбуждения к=36 и выше плюс состояния непрерывного спектра; 2) плотный ионизованный газ, сформирован из ридберговских атомов с уровнем возбуждения к=10 и выше плюс состояния непрерывного спектра. И в том и в другом случае наши расчеты говорят о формировании структуры при Учет состояний с меньшими к приводит к изменению свойств этого газа. При этом для конкретных концентраций и температур энергия уменьшается, и это приводит к переходу такой плазмы из неустойчивого в метастабильное состояние.

5. Предложенная модель не содержит каких-либо конкретных характеристик элементов. Поэтому она может быть использована для газа любого элемента. Существование структуры хотелось бы подтвердить экспериментально путем рассеяния электромагнитного излучения.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Б.Б. Зеленер, Б.В. Зеленер, Э.А. Маныкин, Труды XVII международной конференции «Уравнения состояния вещества», п. Эльбрус, Кабардино-Балкарская республика, стр. 166, (2002), под редакцией академика В.Е. Фортова и др., отпечатано в типографии ИПХФ РАН г. Черноголовка, Институтский пр.-т, 18.

2. V.S. Filiniov, EA Manykin, B.B. Zelener, B.V. Zelener, Proceedings of 42th International Laser Physics Workshop', p. 67, Hamburg

(2003).

3. M. Бониц, Б.Б. Зеленер, Б.В. Зеленер, Э.А. Маныкин, B.C. Филинов, В.Е. Фортов, ЖЭТФ, 125, 821 (2004).

4. V.S. Filinov, EA Manykin, B.B. Zelener, B.V. Zelener, Laser Physics, 14,2, 186(2004).

5. Б.Б. Зеленер, Б.В. Зеленер, Э.А. Маныкин, Труды XIX международной конференции «Уравнения состояния вещества», п. Эльбрус, Кабардино-Балкарская республика, стр. 20, (2002), под редакцией академика В.Е. Фортова и др., отпечатано в типографии ИПХФ РАН г. Черноголовка, Институтский пр.-т, 18.

6. Б.Б. Зеленер, Б.В. Зеленер, ЭА Маныкин, ЖЭТФ, 99, 6, 1173

(2004).

7. МА Butlitsky, V.E. Fortov, EA Manykin, B.B. Zelener, B.V. Zelener, Laser Physics, 15,2, 256(2005).

8. A.A. Бобров, Б.Б. Зеленер, Б.В. Зеленер, Э.А. Маныкин, Тезисы XX международной конференции «Воздействие интенсивных потоков энергии на вещество», п. Эльбрус, Кабардино-Балкарская республика, стр. 153, (2005), под редакцией академика В.Е. Фортова и др., отпечатано в типографии ИПХФ РАН г. Черноголовка, Институтский пр.-т, 18.

Подписано в печать 22.03.2005 г. Формат 60 х 90/16. Объем 1.0 п.л. Тираж 100 экз. Заказ № 2203051

Оттиражировано на ризографе в «ИП Гурбанов Сергей Талыбович» Св. о регистрации № 304770000207759 от 09 июня 2004 года ИНН770170462581

О {. оц

139

il ллрщ

Введение.

Глава 1. Обзор и анализ предшествующих работ.

1.1. Ридберговское вещество.

1.2. Эксперименты в термоэмиссионных диодах (ТЭД).

1.3. Эксперименты с лазерным охлаждением в магнито -оптических ловушках.

1.4. Теоретические исследования в ридберговской плазме.

Глава 2. Кинетика ридберговской плазмы.

2.1. Создание плазмы и установление электронной температуры.

2.2. Неравновесная двухтемпературная ридберговская плазма и установление термического равновесия.

Глава 3. Термодинамика ридберговского вещества.

3.1. Псевдопотенциальная модель и границы ее применимости.

3.2. Электрон-ионный псевдопотенциал.

3.3. Электрон - электронный и ион - ионный псевдопотенциалы.

3.4. Метод расчета.

3.5. Результаты расчетов.

Глава 4. Обработка экспериментов американской группы исследователей.

4.1. Расширение плазмы.

4.2. Рекомбинация в расширяющейся плазме.

Выводы.

В настоящее время большой интерес вызывают конденсированные состояния, возникающие в достаточно разреженных газовых системах. К ним, например, относятся многочисленные эксперименты и теоретические работы по охлаждению лазерным излучением разреженных газов с последующим захватом в магнитные ловушки. Это так называемая проблема Бозе - Эйнштейновской конденсации (БЭК) в газах [1-3].

С другой стороны, по-прежнему остается актуальной проблема образования кластеров в газах. Это касается атомов и молекул, находящихся как в основном состоянии, так и в возбужденных состояниях, в том числе ридберговских состояниях, когда главное квантовое число к»1 [4-11]. Иногда такую систему называют ридберговским веществом.

В последние несколько лет стали интенсивно изучать неидеальную сильновзаимодействующую плазму, охлажденную до сверхнизких температур. Эксперименты в этой области проводятся на тех же установках, что и при исследовании БЭК. Было показано, что такие сильно разреженные системы обладают свойствами конденсированных состояний, присущих обычным жидкостям и газам [12-15].

Неупорядоченные равновесные системы многих частиц, потенциальная энергия взаимодействия в которых сравнима или больше кинетической, относятся к сильнонеидеальным системам.

В зависимости от рассматриваемого состояния и состава вещества, а также плотности и температуры, неидеальность может быть обусловлена различными видами взаимодействия: взаимодействием нейтральных частиц между собой в плотном газе и жидкости, взаимодействие зарядов и нейтральных частиц друг с другом, а также между собой в плотной плазме. Кроме того, от области параметров зависит, насколько существенны во взаимодействии квантовые эффекты, обусловленные неопределенностью координат частиц в области порядка тепловой волны длины волны де-Бройля X и возможностью образования связанных состояний.

В настоящей работе исследуются классические и квантовые невырожденные (к меньше среднего межчастичного расстояния) сильнонеидеальные ридберговские системы многих частиц, т.е. системы, состоящие из атомов, находящихся в высоковозбужденных, ридберговских (водородоподобных) состояниях.

Диссертация посвящена теоретическому изучению кинетики и термодинамики холодного ридберговского неидеального вещества состоящего из ридберговских атомов различного уровня возбуждения, а также ионов и электронов непрерывного спектра.

В диссертации рассмотрены последовательно все стадии возникновения и распада ридберговского вещества в области параметра неидеальности е п уе = ~ - ОЛн-100 (где е - заряд электрона, пс - концентрация электронов, кТе ninh

Те - температура) и параметра вырождения п'/3Х.е = ,--«1 (где ше

V2mekBTt масса электрона, Ь. - постоянная Планка).

Расчеты показали, что время установления термического равновесия в такой системе значительно меньше времени начала рекомбинации, т.е. в момент установления термического равновесия отсутствует большое количество связанных уровней. Поэтому для определения соответствующих термодинамических величин можно применить все методы, разработанные в статистической термодинамике классических систем как аналитические, так и численные. В работе предложена псевдопотенциальная модель для расчета статистической суммы неидеального невырожденного ридберговского вещества, с учетом наличия связанных состояний от n=nk. Величина Пк варьируется от 10 до 100. В общем случае nk=f(T).

Экспериментальные исследования ридберговского вещества достаточно невелики и противоречивы, хотя возможность существования таких систем были предположены Э.А. Маныкиным еще в 80 годах [4-7]. С тех пор эксперименты проводились лишь четырьмя группами исследователей из Швеции, США и России [8-16].

Цель настоящей работы теоретически обосновать возможность существования таких систем, обработать уже полученные косвенные экспериментальные данные в рамках созданной теории, предсказать свойства таких систем для постановки новых более четких и продуманных экспериментов для доказательства существования кристаллической структуры в ридберговском неидеальном веществе.

Для того чтобы понять, какие процессы происходят в таких системах, мы провели подробный анализ кинетики такой системы на основе имеющихся экспериментальных данных [12-14], соответствующих параметру неидеальности у—1. Получено хорошее согласие между теоретическими и экспериментальными данными. В области параметров [12-14] температура электронов устанавливается за время тее<10*10с, а температура ионов Tj сравнивается с температурой электронов Те за те1<10"6с. Это позволяет нам рассматривать систему в неполном термодинамическом равновесии, т.е., когда Те= Т;, но отсутствует равновесная заселенность возбужденных атомов по энергиям. Учитывая все выше сказанное, можно предположить, что после установления термического равновесия в ультрахолодной ридберговской плазме при наличии незначительного количества рекомбинировавших электронов (т.е. рекомбинация протекает медленно) можно рассчитывать методами равновесной термодинамики термодинамические и корреляционные функции такой системы.

Теоретическое исследование термодинамики таких систем проводилось с помощью метода Монте-Карло [17]. Этот метод позволил проводить расчеты термодинамических свойств на основании общих соотношений статистической физики. Использование численных методов для расчета свойств неидеальных систем обусловлено, прежде всего, тем, что обычные аналитические подходы (различные методы теории возмущения), использующие в качестве основного приближения модель идеального газа, непригодны из-за отсутствия малого параметра по взаимодействию. Возможность экстраполяции существующих разложений в сильнонеидеальную область вызывает сомнение.

Расчет термодинамических величин численными методами обычно проводится по общим формулам, следующим из классического выражения для статистической суммы, записанной в приближении попарной аддитивности взаимодействия. При этом необходимо задаться законом взаимодействия между частицами. В качестве парных потенциалов взаимодействия обычно рассматриваются различные потенциалы взаимодействия: полуэмпирические, получаемые из термодинамических и переносных свойств в области слабой неидеальности, теоретические - из квантово-механического расчета взаимодействия двух частиц; потенциалы из данных по рассеянию частиц и спектроскопических измерений.

В качестве модели для получения парных потенциалов взаимодействия в настоящей работе использовалась псевдопотенциальная модель невырожденной квантовой системы [18]. Она в общем случае описывает совокупность свободных частиц и их парных, тройных и т.д. связанных состояний, находящихся в условии химического равновесия. Свободные частицы взаимодействуют при помощи парных псевдопотенциалов. Парные псевдопотенциалы совпадают с классическим взаимодействием на больших и отличаются от него на коротких расстояниях. Это отличие обусловлено квантовыми эффектами, связанными с квантовой неопределенностью положения частицы в пределах X, возможностью образования связанных состояний, что порождает зависимость псевдопотенциала от температуры. Та часть взаимодействия между частицами, которая приводит к образованию связанных состояний: атомов, молекул, молекулярных ионов и т.д., определяет их статистическую сумму. Связанные состояния взаимодействуют между собой при помощи соответствующих им псевдопотенциалов. Отметим, что выбор псевдопотенциальной модели не является однозначным. Он зависит от возможности образования различных связанных состояний в данной системе взаимодействующих частиц, от заданной области параметров, в которой проводится исследование термодинамических свойств. В ридберговском веществе в рассматриваемой области параметров существенную роль играют лишь парные взаимодействия, этим и определяется выбор псевдопотенциальной модели.

Полученные в настоящей работе результаты позволяют теоретически обосновать полученные экспериментальные данные, а также предсказать наличие других, еще не полученных экспериментально свойств ридберговского вещества в широком диапазоне параметров.

Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения.

Выводы.

По материалам работы можно сделать следующие выводы:

1. В области параметров [12-14] Те=0.1-9К, пе=п;=108-109см'3 температура электронов устанавливается за время тее<10~10с, а температура ионов Tj сравнивается с температурой электронов Те за Tej<10"6c. Это позволяет нам рассматривать плазму в неполном термодинамическом равновесии, т.е., когда Те= Ti, но отсутствует равновесная заселенность возбужденных атомов по энергиям.

2. Расчеты термодинамических свойств [43,44] для условий [12-14] показывают, что в такой системе заряженных частиц, где не образуются связанные состояния, существует сильное отталкивание, увеличивающееся с ростом у (54).

3. Был рассмотрен ридберговский ионизованный газ, сформированный из электронов и ионов непрерывного спектра. Была исследована область температур 0.1 - 10К, и концентраций 10"2 - 1016 см'3. В результате обнаружено формирование структуры при у>1. Формирование структуры происходит в области, когда газ электронов далек от вырождения (nA,3«l), а сама структура меняется от ближнего порядка (аналогично структуре в жидкости) до дальнего порядка (аналогично решетке в твердых телах).

4. Учет различных состояний дискретного спектра, приводит к изменению свойств этого газа. В настоящей работе также проведен теоретический расчет термодинамической модели ультрахолодной неидеальной ридберговской плазмы для случаев когда: плотный ионизованный газ, сформирован из ридберговских атомов с уровнем возбуждения к=36 и выше плюс состояния непрерывного спектра [15] и плотный ионизованный газ, сформирован из ридберговских атомов с уровнем возбуждения к=10 и выше плюс состояния непрерывного спектра. И в том и в другом случае наши расчеты говорят о формировании структуры при у > 1. Учет состояний с меньшими к приводит к изменению свойств этого газа. При этом для конкретных концентраций и температур энергия уменьшается, и это приводит к переходу такой плазмы из неустойчивого в метастабильное состояние.

5. Анализ радиационных и столкновительных процессов в области температур Т=1-5К и концентраций ne=108-1013 cm"3 показывает, что за время создания плазмы до установления термического равновесия iCi<10"6c квазистационарность рекомбинационного потока существует только до уровня к>25, а радиационные переходы становятся существенными только при к<10. Основными являются столкновительные процессы. Время высвечивания уровня к~10 составляет ~10"5с, что значительно больше времени установления термического равновесия. Это также свидетельствует о том, что за t~10'6c энергия из плазмы не уходит, а кинетическая энергия, освобождающаяся при акте рекомбинации, расходуется на:

1) ионизацию возбужденного атома (обратный процесс рекомбинации).

2) нагрев ионов.

3) нагрев электронов.

6. Установлено, что разогрева плазмы за счет процесса рекомбинации, как предполагалось в [30-33], не наблюдается. Это связано, прежде всего, с тем, что вероятность перехода слабосвязанного электрона в возбужденном атоме за счет столкновения со свободным электроном в более низкое энергетическое состояние очень мала (значительно меньше, чем полагалось), т.к. энергия Е/Г и энергия перехода АЕ/Т в рассматриваемой области температур больше, либо много больше 1. Кроме того, низкая температура электронов приводит к смещению «узкого места» (наибольшего сопротивления рекомбинационному потоку) почти к границе дискретного и непрерывного спектра. При этом выше «узкого места» отсутствуют уровни с Ek<kT при у<1, а с увеличением у исчезают и сами уровни с rav=n"1/3 и уровни с высокими орбитальными моментами. Все это уменьшает рекомбинационный поток, хотя, как показывают расчеты и эксперимент, имеется незначительное количество возбужденных атомов с k>kqS, которое существенно меньше числа свободных электронов и ионов. Все это свидетельствует в пользу той модели, которая была использована для расчета термодинамических свойств.

7. В настоящей работе рассмотрение кинетики плазмы мы провели на основе имеющихся экспериментальных данных (рис.3 5-3 7), соответствующих параметру неидеальности у~1. Получено хорошее согласие между теоретическими и экспериментальными данными для скорости разлета плазмы V0 и ДЕс/(Ес/а). Получена также зависимость количества возбужденных атомов для Ne=Nj=7-105 и Ее=9К, объяснено поведение этих зависимостей и плотности частиц от времени и от главного квантового числа. Выдвинуто предположение о наличии максимума в распределении возбужденных атомов при к=25 при этих параметрах.

8. С увеличением у появляются дополнительные обстоятельства, которые необходимо учитывать:

1) Замедление рекомбинации в неидеальной плазме (см. например [35,46]), связанное с учетом эффектов сильного кулоновского взаимодействия в плотности состояний и коэффициента диффузии электронов.

2) Отсутствие возбужденных уровней, размер которых превышает среднее расстояние, ниже уровня km, что приведет к увеличению сопротивления рекомбинационному потоку.

9. Предложенная модель не содержит каких-либо конкретных характеристик элементов. Поэтому она может быть использована для газа любого элемента. Существование структуры хотелось бы подтвердить экспериментально путем рассеяния электромагнитного излучения.

В заключении хотелось бы выразить благодарность своему научному руководителю Э.А. Маныкину за постановку задачи и помощь при проведении этой работы. Искренне признателен B.C. Филинову, сотрудничество с которым было для меня крайне полезным и привело к появлению ряда работ. Глубоко благодарен всем преподавателям кафедры физики твердого тела МИФИ за полезное обсуждение и поддержку. Особую благодарность хотелось бы выразить своим родителям, без которых эта работа точно бы не состоялась.

Считаю своим долгом поблагодарить В.Е. Фортова, А.Г. Лесскиса и всех кто способствовал созданию этой работы.

1. М.Н. Anderson, J.R. Ensher, M.R. Mathnews at al., Science, 269, 198 (1995).

2. W.D. Philips, Reviews of modern physics, 10, 3 (1998).

3. Б.Б. Кадомцев, М.Б. Кадомцев, УФН, 167, 6, 649 (1997).

4. Маныкин Э.А., Ожован М.И., Полуэктов П.П., ДАН СССР, 260, 1096 (1981).

5. Маныкин Э.А., Ожован М.И., Полуэктов П.П., ЖЭТФ, 84,442,(1983).

6. Э.А. Маныкин, М.И. Ожован, П.П. Полуэктов ЖЭТФ, 102, 804 (1992).

7. Э.А. Маныкин, М.И. Ожован, П.П. Полуэктов, Химическая физика, 18, 7, 88 (1999).

8. С. Aman, J.B.C. Pettersson, L. Holmlid, Chem. Phys. 147, 189 (1990).

9. R.S. Svensson, L. Holmlid, L. Lundgren, J. Appl. Phys. 70, 1489 (1991).

10. C. Aman, J.B.C. Pettersson, H. Lindroth, L. Holmlid, J. Matter Res. 7, 100(1992).1 l.R. Svenson, L. Holmlid, Phys. Rev. Lett, 83, 9, 1739 (1999).

11. T.C. Killian, S. Kulin, S.D. Bergeson et al, Phys. Rev. Let. 83, 23, 4776(1999).

12. S. Kulin, T.C. Killian, S.D. Bergeson and S.L.Rolston, Phys. Rev. Let., 85, 2,318(2000).

13. T.C. Killian, M.J. Lim, S. Kulin et al, Phys. Rev. Let., 86, 17, 3759(2001).

14. M.P. Robinson, B.L. Tolra, M.W. Noel et al, Phys. Rev. Let. 85, 21, 4466 (2000).

15. В.И. Ярыгин, B.H. Сидельников, И.И. Касиков, B.C. Миронов, C.M. Тулин, Письма в ЖЭТФ, 77, 6, 330(2003).

16. В.М.Замалин, Г.Э. Норман, В.С Филинов, Метод Монте-Карло в статистической термодинамике, Наука, Москва 129(1977).

17. Б.В. Зеленер, Г.Э. Норман, B.C. Филинов, Теория возмущений и псевдопотенциал в статистической термодинамике, Наука, Москва, 101(1981).

18. Райе Т., Хенсел Дж., Филлиппс Т., Томас Г., Электронно-дырочная проводимость в полупроводниках. М.: Мир, 1980.

19. Ридберговские состояния атомов и молекул., Под ред. Р. Стеббингса, Ф. Даннинга, М.: Мир, 1987.

20. Хейне В., Коэн М., Уэйр Д., Теория псевдопотенциала, М.: Мир, 1973.

21. Теория неоднородного электронного газа., Под ред. С. Лундквиста, Н. Марча, М.: Мир, 1987.

22. L.M. Sander, J.H. Rose, Н.В. Rose, Phys. Rev. В., 21, 2739(1980).

23. Б.М. Смирнов, Отрицательные ионы, Атомиздат, Москва, 176(1978).

24. J.A. Alonso, L.C. Balbas, Phys. Rev. В., 37, 1059(1988).

25. Б.Б. Кадомцев, М.Б. Кадомцев, Конденсаты Бозе-Эйнштейна, УФН, 167, 649(1996).

26. С. Е. Simien, Y.C. Chen, Т.С. Killian at al.,

27. J.L. Roberts, C.D. Fertig, M.J. Lim, S.L. Rolston, Phys. Rev. Lett., 92, 25(2004).

28. M. S. Murillo, Phys. Rev. Lett., 87, 11 (2001).

29. S.G. Kuzmin and T.M. O'Nail, Phys. Rev. Lett., 88, 065003 (2002).

30. F. Robicheaux, J.D. Hanson, Phys. Rev. Lett., 88, 055002 (2002).

31. A. H. Ткачев, С.И. Яковленко, Квантовая электроника, 31, 1084 (2001).

32. S.I. Yakovlenko, A.N. Tkachev, Laser Phys., 11, 977 (2001).

33. T. Pohl, T.Pattard, J.M. Rost, Phys. Rev. A., 70, 033416 (2004).

34. Y. Hahn, Phys. Let. E, 64, 046409 (2001).

35. Y. Hahn, Phys. Let. A, 293, 266 (2002).

36. M.W.C. Dharma-Wardana and F. Perrot, Phys. Rev. E., 58, 3705(1998).

37. N.W. Ashcroft and D. Stroud, Solid State Phys. 33, 1(1978).

38. S. Hamaguchi, R.T. Farouki, D. H. E. Dubin, Phys. Rev. E., 56, 4671(1997).

39. Ю.И. Сыцько, С.И. Яковленко, ЖТФ, 46, 1006 (1976).

40. Ю.В. Коптев, E.J1. Латуш, М.Ф. Сэм, Г.Д. Чеботарев, В сб. Инверсная заселенность и генерация на переходах в атомах и малых молекулах (Томск, изд-е Томского университета, 1986, с.35-36).

41. Б.Б. Зеленер, Б.В. Зеленер, Э.А. Маныкин, ЖЭТФ, 99, 6, 1173 (2004).

42. V.S. Filinov, Е.А. Manykin, В.В. Zelener, B.V. Zelener, Laser Physics, 14, 2, 186 (2004).

43. M. Бониц, Б.Б. Зеленер, Б.В. Зеленер, Э.А. Маныкин, B.C. Филинов, В.Е. Фортов, ЖЭТФ, 125, 821, (2004).

44. Е.М. Лифшиц, Л.П. Питаевский, Физическая кинетика, Наука, Москва, 207(1979).

45. Л.М. Биберман, B.C. Воробьев, И. Т. Якубов, Кинетика неравновесной низкотемпературной плазмы, Наука, Москва, (1982).

46. P. Mansbach, J. Keck, Phys. Rev., 181, 275 (1969).

47. V.S. Filinov, M. Bonitz, W. Ebeling and V.E. Fortov, Plasma Physics and Controlled Fusion, 43, 3, 743(2001).

48. V.S. Filinov, W.M. Bonitz, P. Levashov, V.E. Fortov, W. Ebeling, M. Schlanges, and S.W. Koch, J.Phys.A.: Math. Gen. 36, 6069 (2003).

49. B.C. Филинов, В.Е. Фортов, M. Бониц, П.Р. Левашов, Письма в ЖЕТФ 74, 422 (2001).

50. B.C. Филинов, В.Е. Фортов, М. Бониц, Письма в ЖЕТФ 72, 361 (2000).

51. V.S. Filinov, V.E. Fortov, М. Bonitz, and D. Kremp, Phys. Lett. 274, 228 (2000).

52. A.A. Barker, J. Chem. Phys., 55, 4, 1751(1971).

53. B.C. Воробьев, Г.Э. Норман, B.C. Филинов, ЖЭТФ, 57, 3, 838 (1969). 55.Ч.Киттель, Введение в физику твердого тела, Наука, Москва, 1281978).

54. М.А. Butlitsky, V.E. Fortov, Е.А. Manykin, В.В. Zelener, B.V. Zelener, Laser Physics, 15, 2, 256(2005).

55. Я.Б. Зельдович, Ю.П. Райзер, Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений, Наука, Москва, (1966).

56. И.Т. Якубов, ТВТ, 30, 5, 862, (1992).