Кольца частных и делимые оболочки кольца непрерывных функций тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

, „ . . . га

/ ^ I

йШКТ-ИЕТКРБ.УРГСКИЛ ГОСУДАРСТВШШЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

ЗАХАРШ Валерий Константине..«ч

КОЛЬЦА ЧАСТНЫХ И ДШШЕ ОБОЛОЧКИ КОЛЬЦА ПЕПРКРиЮНЫХ ФУНКДОЙ

Ы.01.06 - [датеуатическая логика, алгебра и теория чисел

АВОТйЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-иатемагичеекмх наук

Саикт-Пегербург - 19У1

Работа'выполнена на кафедре внешен математики Санкт-Петербургского института текстильной и легкой промышленности.

Официальные оппононтн:

- доктор физико-математических наук, профессор Арнаутов И.11.

- доктор физике-математических наук, профессор Бокуть Л.А.

- доктор физико-математических наук, профессор Ыихалев кл,

¿едущая организация: Киевский государственный университет им. 'Г.Г.Шеаченко.

часов на заседании .специализированного совета Д Ь63.5?.29 по эа.цпте диссертации на соискание ученой степени доктгча физико-математических наук в Санкт-Петербургском государственном уни-

гоф, Библпотечн^ площадь, 2, Сачкт-Петербургский государственный университет, матемлтико-механиче^кий факультет.

Защита Судет проходить но адресу: 191о11, Санкт-Петербург, Набережная реки Фонтанки, 27.

С диссертацией молено ознакомиться в научной библиотеке им. М.Горького Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: Санкт-Петербург, Университетская набережная,

Защита состоится

ворсите!.!. Адрес совета: 1989^4, Санкт-Петеюбург, Старый Петер-

7/9.

.Автореферат разослан Учений секретарь совета

О? 199&.

С.М.Ананьевский

- : ОБЦАЯ ХА?ЛКТ2РИОШ(А РАБОТА

Актуальность тсмч. Диссертация посияцона развития обпей теории оилышх колец частних и дотмх оболочек ступенчатого типа о целью характоризации сер:т классических кольцовнх расширений кольца непрерывных функций в рамкох этой теории.

■ ( Кольца частных ужа давно входят в классический арсенал '

теории колоц тт ряда других разделов алгеСрц. Исторически первым а наиболее широким по применена»-является кольцо частних А^ ~ ^ \ л е А ^ I ^ \ по мультипликативно?. системе /5 его частяий случай - классическое кольцо частных А) при мультипликативной система £ , состоящей из всех ¡¡оделителей нуля.

В период пятидесятых - сскпдослтих годов в теории колоц была создана общая тоорттл колец частних. Сначала и работах Дтоисоиз £121, [13 3 , Утумн [18'3 , Огадаэя п Лям&нса [ 7 других для кольца А било построено (рационально) поллоэ кольцо частних О. (Д) , Затем в работах Габриеля [91 , -Змйсо Со И , ГоДдг.тапз С101, Итешатрёмз Е16-] » Шртипдейла и других била разви.а общая теория колец модулей част;п»":с по радикальным фильтром идеалов, кольца А . Эта теория в систематической форма било изложена з монографиях Мкииной п Скорпякена С1'3, ФойсаГСЗ, С23 и Што«итрё»а [161 , СГП , ■

Наиболее значительном результатом этой теория било поотро-ею» для любого колтд'а А и лобоуо радакадгиого' Зялмрз де-лиггого кольца частинх { А) .» которое:' а) является долгим на идеалы Е из в ток сг.пслэ, что для яэбого дниала В & ^ и- ;к^ого. гомоморфаайа ' > е ( £ <п)) сущо-

стаут ого тотальное предо.тхенпо цг & Ио«1 . (А, Ост' (А)) ,-л ' > . А '

б) является кольцом частних относительно (фильтра в том

смысле, что для любого элемента о^ & 0,с^{[\) существует

идоэл лГ, такой, что о \ ^ А » или эквивалент-

но, существуют идеал Е и гомоморфизм о^- ^б'йомд [&# А) , такие, что ^€ для любого . Делило о кольцо частных

О ¿¡г' (п^ включает в оебя как частйыо случаи кольца частных А-^

И а(/\).

Наряду с развитием этой обцей теории колец частных, в структурной теории колец одновременно шло накопление применений разных конструкций колец частных к конкретным классам колец. В 1365 году Файн, Гиллман и Ламбек СО] применили конструкции полного п классического колец частных к кольцу С С*(Т) всех ограниченных ноггрорншшх функций на вполне регулярном пространстве ~Г. било дано изоморфное представление классического кольца чютных ^ (С) к полного кольца частных О, 3

ГС} кольца С виде классов экштаяоитности некоторых (но обязательно непрорывных) функций на пространство т, Однако эти весита простые результата но лмоли Сн существенного значения, если Си эти авторы но продолжили с'н метрику разномерной сходимости с кольца С на кольца Ои и , устаношш при • этом, что относительно этой метрики колы,, и Я но явля-

ются равномерно полными» В связи с этим они были вынуждены рассмотреть равномерные пополнена (5 и 0. колец

а и О.*?

па

этой ьштршее и начать изучение полученных новых колец. Это явилось начальным моментом для постановки ряда весьма нетривиальных и перспективных задач.

Файлом, Гиллианом и ЛаМбекш С 81 бала доказана следующая .Теорема, Если Т - компактное пространство, то кольцо ф

изоморфно кольцу классов эквивалентности (по модулю идоала множеств первой категории) всех фувкшй П—* iR , нопрорщзнах на поресечешшх il Tj к последовательностей ^ ] плотных от-.

крцта:: множеств U" , то еоть обладающих сэойстпо.'.! Бэра, к

В 1971 году Гоншором ПП била доказана оледупка; Теорема. Если Т - компактное пространство, то кольцо Q тасглор^ио кольцу классов экзятлэнтиост!. (по модулю идеала мио~ йоста первой катогорш) всох функций на Т , irewpiraix по Борола.

Так:« образом, эти теоремы показал;! евг.зь теории колец

частник с тактг.-.н поджог фушахионально-фтаторянг-я хо;ш;,т.:н,ких

кедто 3 классов со свойс-гвои Бора к кольцо ¿елг.е-

сой сулкцкй, нэкорямах -по Город)« Наряду о эткяй доездюмпями

колика кеирсрнсинх зушзягё сдается и ряд групп отаягкх

клзссичискк.ти роспарэни;! ко ца С .

Наг.с'олео пзвесгнь-гл к нажшг.гл срода ¡¡их являются: г.ольцо

классов и - ;т;-;тогрдрус:.ах по Клану, кольцо

L л классов- функций, .и -пэкадкаах an Л2О017, кольцо 1ГМ / /

уштореальао изьоришх (по coca нарам) §уикцай, колкХо В>М и £>№ функций, iizitev-,zznt.no Еорелэ к ко Бэру, кольца В° клас-сос фупкцкй со свойскгом Хйзз йтяосятольло «ояулы'шокесха» второе солрякешюо яояьцо Лрзяса С " п т.д.

образен посла работ Сз;'ло, йтллмапа, Ломбока £83 , ГонсораСП") ;т лругях авторов воэшгкла естественная проблема яарактвркзэцяи- серпа упаазикшс к.^асснческгёс рэсйщроипЯ кольца мегщарияннх фуищГш в ^кгкэх теории далкмых колец частних.

3 прочоссс лэучоагя указан;!^.. вишо копгфоташ: росътпрсннП ") Доке о сое рассматриваемые футеци» сштаятся огранпчошшта.

кольца С был обнаруген ряд существенных особенностей, отли-чаюднх эти расширения от делт,шх колец частных C>—r Qq? (С) по любыа радикальная фильтрам: I) элементы этих рассгарений разделяются на образуйте элементы, являющиеся частными, л на выражэюциося через них остальные элементы; 2) эти образующие элементы являются части::;.« относительно некоторых семейств ненулевых идеалов кольца С , 'Ее являющихся не то лысо радикальными фильтрами, но даже просто фильтрам; 3) образуйте частя этих расширений состоя? из ступенчатых частных, котораэ опро-деляются последовательным образом кз простейших частных в том смысла, что следующие лростейшнз частные определяются лишь поело того, как определены see предыдущее простейзио частные; 4) эти рассирения обладают ступенчатым свойством делимости,-состояпргм из ряда простейших свойств делимости, каждое из которых в отдельности не является характеристическим и которые определяется последовательным образом в том смысле, что следующее простейшее свойство делжостя определяется лишь после того, как определены асе предыдущее простойте свойства делимости; 5) указанные простеппиа свойства делимости не являются только глобальным кольцевыми, о обладают различавддаи локальными идеалън'о-фзкторнши эффектами, без которых глобальные' ва~ рканты этих сэойст& не являются различающими харак т ери с тнчв с-кими.

Из описания этик пятя существенных особенностей вытекает, . что структура делимого кольца частных С Q с^- (А) по радикальному фильтру ^ является узкой и хтубой для характорп-зацин вшоприаодешшх расширений кольца С ■

s

изоморфно кольцу классов эквивалентности (то модулю идеала мно-яеств первой категории) всех функций Г—5? ¡R , непрерывных на пересечениях П U последовательностей ^ J^ \ плотных от-.

крыты:: множеств О" , то есть обладают* свойств см Бэра.

¡л

В I9VI году Геншером ЕП~] была доказана аяедушзл Теорема. Если Т - компактное простр-знстао, то кольцо G изоморфно кольцу класс od экшшалентност!. (по модулю идоолз множеств первой категории) всох функций на Т , пзл.~>ри?л.'х по Борола.

Таким образом, эти теоремы показали се^зь теории колец частных с так:г::т аагл-йли фупкциональпе^яктор.'нга кольцам, как

-, V)

кследо ií классов ЗункЦкГг' со свойстао« Бэра и кольцо coa £упкцкл, шжтаах из Город».. Наряду с эткда poc^rpemvaat ico.'hjto непрерывных йуюахиЗ нлоетзя а ряд друпгх ставдвх у.г.э

КЛЗССИЧйСйП.ГП pCCXHpSHKit кс ца С ,

Кзпболео извесгпкли и ьатлы.'.п» среди них ясляятся: г.ольцо

-о

¡•^ хлзсссз <й'ш2;нл( « - КИТО^ГЙруОУЛХ ПО pr.'.'JIiy, КОЛЬЦО

1. классов функций, ,и -паиедашс по Лсо-згу, кольцо VM / ' i

ушшорсальйо кзЫ'Зри?й)Я (по всем мерам) функций» :;ольа;а BW ц

функций, изггзрзьгк.по 2й?ояа и ко Бору, кольцо В0 классов функций со сзойстисч Efepa относительно коиулыднозесга» второе COnpHiïCîlSiOO кольцо Лрснса С " и т.д.

.Та:си:л 'образом поело работ Caíiaa, Гпллмапа, Ламбскя С 3 j , Гснсора СИ] я другях авторов еоз'шпуя естественная лребломя характоркзацйи серил указзияшс классических расашроттЯ кольца лепрзрыдинх в ра-яци теории долимых колец частных.

В дроцосСо изучения указанных Еыггз коккроткня расширений X) Далее see рассматриваемо функции считаются ограниченными.

кольца С был обнаружен ряд существенных особенностей, отличающих эта расширения от долимых колец частных СЦ; (С) по любым радикальным фильтрам: I) элементы этих расширений разделяются на образующие элементы, являющиеся частными, и на выражаьхдшся через нгх остальные олементы; 2) эти образующие элементы являются частными относительно некоторых ссмейстэ ненулевых идеалов кольца С , 'не являющихся не только радикаль-mr.ni фильтрами, но дало просто фильтрами; 3) образующие части этих расширений состоят из ступенчатых частных, которыо определяются последовательным образом из простейших частных' в том смысле, что следующие простеГшшо частные определяются лишь посла того, как определены все предыдущее простейшие частные; 4} эта распирения обладают ступенчатым свойством делимости,-состоящим из ряда простейших свойств делимости, каждое из которых в отдельности не является характеристическим и которые определяются последовательным образом в том смысле, что следующее простейшее свойство делимости определяется лишь после того, как определены асе предыдущие простейшие свойства делимости; 5) указанные простейсие свойства деддмостп не являются только глобальными кольцевыми, а обладают различающими локальными идеально-факторными эфйектагаг, без которых глобальные' варианты этих свойств не являются различающими характеристическими.

Кз описания этих пяти существенных особенностей вытекает, . что структура делимого кольца частных С >-т (к) по Е3"

дккадьному фильтру ^ является узкой и грубой для характернее цки вшопрщедешшх расширений кольца С •

Цель работа. Целью работа является развитие новой болео обще!: более тонкой теории чолоц частных, пригодной для характеризован серии указанных классических расширений кольца непрерывны:; функций.

метод; исследования. Для рошония сформулированной еысо проблемы используются методы теории долимых колец частных, а также в §§ I.2-1.4 первой главы диссертации развита следу*:дяе методы:

1) метод влояения (реализации) некоторых классов абстрактных кольцевых расширений и \ А кольца С 2 функциональные расширении -и^. : С >—> О (И (, порсндэшшо

м аксгслальаиуи спектрами т : Т~ И fft) этлх аострактиих рчогг,гпс,ч!й (о 5.2, с, 1.3);

2) метод изоморфного представления всех указанных рапоп конкротных расширений в виде фу/пецнонально-факторного pacmipo-н:;я универсального вида С *—О (Т; "ОС) /ъЦ , определяемого посредством кольца О (Т, ¿С) функций -j. малого колебания-относительно некоторой решотки подмножеств ¿С пространства Т, факторизсгааняого по модуля некоторого булоановз идеала подмяоявств пространства Т (§ 1.4);

3) метод топологической связи « ^ f- « т <CT~'itJ?> Cj.y по модула булоанозых идеалов мел-ду элементами а фуик—

цпояальцих рэегкрошгй С 0 (И С } и элементами ^ фуц-кдаональяо-факториых pacs:ipcssiiit С ■>—=> О СТ , SC ) /\3г (§ 1.4).

• Каучнпя иошгзш. Boo йаяыо&шо результата дяссонтация является И OTUiOI.

3 диссертации выделена некоторая новая категория с -колец

А с измельчением (X ■ , состоящим из некоторого семейства 0( идеалов кольца А., и категория с? -расширений (С ,<£)>-+(к, фиксированного кольца С с фиксированным измельчением ^ С^ I . Это позволяет но только глобально '.в кольце А ), но и локально (в фактор--кол-4ах Д ) более тонко определить свойства сильной делимости в сч -расширениях.

На основе этой категории в § 1.1 первой главы диссертации емосто структуры делимого кольца частных С >->7 (С; кольца О относительно радикального фильтра 5Г введена более, ойцая и одновременно более тонкая структура • сильно-делимой оболочки С В^ ... 2?|4 СС ) ступенчатого типа 2 ^ ... .2 кольца (С, ¿С) как такого сч -расширения, которое является одновременно: 1} наибольшим из всех колец частных ступенчатого типа 2 ^ . .2 и 2) наименьшим из всех сильно-делимых по ступенчатому типу 7 "1, .. 2 " к -расширений кольца

В остальных трех главах и приложении на основе концепции сильно-делимой оболочки ступенчатого типа с помощью указанных выш методов даны характеризации всех вышеприведенных конкретных расширений кольца С' как сильно-делимых оболочек кольца (2 некоторых ступенчатых типов.

Практическая и теоретическая ценность. Диссертационная работа носит теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы в ойцей теории колец частных, в теории функциональных колец, в дескриптивной теория функций, в теории булевых и банаховых алгеф, в теории векторных решеток.

Апробация -рзботн. Результата диссертации докладывалась на Всесоюзных :г Международных коп;Херсн.,::ях (Лешшград 1931; Права 1931, Айзек 1383, Будапешт 1383, Книга ев 1935, Львов КЗ?, Львов 1991), из алгебраических се:лшарах ШС1 л МГУ, на соиша-ре по теории колец К.» СО АН СССР.

Публикации. По те:.:о диссертации автором опубликовано 28 работ, список которых приводится в копцо роферата.

Объем лэботн. Диссертация состоит пз зведелия, четырех глав, приложения, списка литературы к предметного указателя. Список лкторатурц содержит 7-Г наименовании. Полной объем- диссертации занижает 210 страниц машшопйсного тгкета.

С0дН?2АКЗ РЛТЮхИ

Дпссортгция относится к так:?.: раздала:.: тосгпи колец, как теория долгл;;с колец частних и тоорня йункцполалгпц:: кзлоц. Во введении дается краткий обзор созданной в перкод пятп-десятих-ссмидссятих годов об^е;: теории долгах колс-ц частных относительно раджальних фильтров п излагается связь отой теории с теорией функциональных колец (см. ва-лэ раздел "Актуальность тем:"). Перечисляются наиболее зажита к нлтереенно для теории колец частных к теории функциональных колец следующие расширения:

С >—* ■>—=» $ - расширения Фзйна-Гялл:лэнз-Ла:.:-

бека;

С —* >—* (X - счетно-дзл1Иоо расширение и рас-

^ п прение £а"ща-Гилг.йна-Л: ¡бона;

С ■> » > > - (ка' згорлыо) распар'еака Б^а;

С 1—> ^ >—=» - раса, рения Римэна и Лебега; г г

С д ^—* ВМд - (кзмерс/ые) расширения Бэра и Бо-

реля класса ; С ''—* 3 П 0 V—> В>М - (измеримые) расширения Бэра и Бо-

реля;

С "»—* ^ * - универсально измеримое расширенно

Каплаяа и второе сопряженное расширение Аренса. Первая глава, названная "Сильнуе кольца частных и делимые оболочки ступенчатого типа с -кольца с измельчением", посвящена- подробному описанию концепции сильно-делимых колец частных ступенчатого типа и разработке необходимых для решения поставленной задачи технических средств.

В § 1.1 вводится общее понятие сильно-делимой -болочки ступенчатого типа. В пункте 1.1.1 этого параграфа проводится принадлежащее Дельфоссу С 5 Л понятие с -кольца: Фактически по те-ремо Дал г т.осоа оказывается, что кольцо А является с-кольцом тогда и только тогда, когда оно изоморфно кольцу всех непрерывных функций на своем спектре максимальных идеалов

М <ме ^рсс А .

3 дальнейшем С является фиксированным с -кольцам. Инъективный гомоморфизм и : С >—> А , где А является с -кольцом, называется с -расширением с -кольца С . Категория с -расширений выбрана потому, что всо рассматриваемые в ■-■■зции конкретные расширения, и в частности приведенные еышо, являются С -расширениями.

В пункте 1.1.2 вводятся основные для дальнейшего понятия с х -кольца и сч -расаирения.

Пусть - фиксированное упорядоченное множество с наи-

меньсш элементом 0 . Элемент ^ назовем ворзиной множества { если сч^ < ^ и для любого о < уЗ < и существую?

и ^ , такие, что и ^¿«¿^ • Обозначим

Пусть (В (А) обозначает множество всех замкнутых идеалов с. -кольца А . Отображение (X—> (Д] назовем измельчением с -кольца А , если: а) !\ тогда только тогда, когда ; б) С\1Хи)~ ; в) ^ ь влочет

(X (ил ^ (¿ц.) влечет ОС и) * Г: 0( (

сЦ с -лолт.цо А с измольчоиием ОС назовем су -полис:: и будем обозначат?« ого чорзз . Обозначал (-¿I

чорез А , .

Дале о будет йлгкснров.знныгл с -колитом с фггнснро-

ванным измельченном оС ^ | к /Г ] . с -Рзсаяронко и : С V—> п . где [А, ОС) является с -г -кольцом с измельчением СС~.^1\с< , назовем сх -расширением от -колнт.а ГС сС) , если Д^ С, • Такоэ расширение будем обозначать через и : ( С) сС ) —> С А ; (X).

Категория о ч -расепреяяЦ к: СС\оС ) >—> ((X) являотся главной используемой а диссертации категорией, в рангах которой и определяется основное понятие сгльно-дидимон оболочки ступенчатого типа с г -кольца (С,<£>) .

Б пункте 1.1.3 вводятся простейшие типы сильной делимогти. В дпссортации выделены четыре просто2пз:х типа сильной делимости, которые встречаются у всох видзуказанпих конкретных расширений:

2 - делимость 2е- делимость

11 *

2. - делимость ==> 2 0 - делимость

Символ 2. обозначает делимость м все идеала, символ 2 е обозначает делимость на дополняемые идеалы, сшлзол 2 0 обозначает делимость ка счетно-порожденные идеалы и еймгол 2 со обозначает делимость на счетно-поролсденные идеалы, дополняемые счотно-поро."деш1ы?.ти идеалами. Для этих типов делимости существует относительные варианты: 2 5Г- делимость кольца А относительно подкольца Е> - и абсолютные варианты: " - делимость кольца А (относительно подкольца А ). Здесь 7Г обозначает один из символов: Р, с1 о и со , причем символ, в индексе но пишется. Таким образом, вместо радикальных фильтров кольца А в диссертации играют роль всего четыре семейства ненулевых идеалов кольца А . Это позволяет учесть вторую из указанных существенных особенностей.

Приведем точные определения. Пусть Е является идеалом в сч -кольце [А, (Л) . Для. того, чтобы но еыходить за пределы ограниченных функций, мы наряду с гомоморфизмами у (г . СЕ, А) будем рассматривать ограниченные гомоморфизма ^ , для которых существует число и= и^) 6-, такое, что па-уч и а являются квадратами в А для любого 4 & Е . Семейство ограниченных гомоморфизмов обозначил через -Ьо^., (В/ А] . Для через ^ обозначил: элемент из -я«** ^ ГА; А/ ,

такой, что уд сч г. аЛ

Тотальное продолжение у ^ ( & ) гомоморфизма

(Е , й) назовем т -плотным (то есть плотным отно-

ситольно измельчения (К. } , ¿ели « ^ Е с А ^ влечет <* ^

* х

а ^ Н^ .то есть ^ м- ^ ^ ^ с з ,

1де второй аннулятор берется в фактор-кольце А //%■ . Из этого локального свойства такяе следует, что' 1|/А с ^ | ** ,то есть продолжение ^ не выводит из второго апнулятора образа ^ £ не только в самом кольцо А , но и во всех его фактор-кольцах А /А, . Идеал Е. назовем г -плотным в А , если с А , влечет ст. & А,.. Это означает,, что Иде^л £ имеет

■ л • л

нулезой анвулятор но. только в самом кольце А . но. и во ^сех его фактор-кольцах А /А-^ .-'Идеал Е назовем дополняемым идеалом Рс£* , если идеал Е© £ является, т -плотним.

Пусть в сц -кольце А выделено надкольцо £> с единицей. Рассмотрим ссмейсгпо £("ВУ всех идеалов ё з. <{ Е ^ ) з А , порездолннх многестзами , и семейство б'сЬ}

всех идеалов 15. с-с$Сб>) , дополняемых идеалами Р .

Рассмотрим такяе семейство ё 0 С всех идеалов с. з £. ^ <5 С В") » порожденных счетными множествами Е. |> , и семейство £Со г сой идеалов Е & В ° ГВ) ...дополняемых идеалам}: Р & £ Т &) . Далее будем просто писать £А (Ъ) .

с г -Кольцо А назовем сплт-по-доя:"игл по типу 2. /7" относительно подкольца £> . , если для любого идеала Е-

5^(8)) лабой гомоморфизм <=■ Нем. . ( д.; Р) . .такой, что £ ^ ^ Ь , ",:оат тотальное т -плотное продол.\то-киз у & Й Ойл д ГА / й ) у При В - А получаем определение (абсолютно) силыто-дэлнмого по типу й 2. " сх -кольца 4 • Эти определения г,гага пояснить слодувдим образе:,!. Возкам элемент а^. Тогда » ¿1 г.. этому ^е^еч для любого -е 6- Е. » что г.31 условимся обозначать кете ^ £ / Е - а .

Значит этот тип сильной долкмостц позволяет "делить мисясство Е. па идеал Е " . Это определение позволяот учесть пятую из указанных существенных особенностей.

Ме?.;ду кольцом Д и подкольцом 8 рассмотрим по.дкольцо частных 2 о) , порожденное весгя! элементами л с- А , которые шляется сильными частными типа 2 ^ , то есть для которых существуют идеал- (В) и гомоморфизм ^ {инк д СЕ, 1\) , такие, что уЕ^^В» и является г -плотпум продолжением ^ , Это означает, что берутся все элемонты ¡л с- А , такие, что я^уЕ./, и пороченное кмк педкольцо. Это определение позволяет учесть первую из указанных особенностей.

В пункте 1.1.4 вводятся ступенчатые типы сильной делимости и определяется обцоо понятие сильно-делимой оболочки ступенчатого й'ппа.

Пусть -и: (А■,(%) — сч -расширение. Для сло-

ва 7ТЛ ... выдедш в А возрастающую ступенчатую послодова-тольнооть подколоц В>0 н г<С В, з- 2. "л ( В>0) . •• с- В- = 2 (6.(- ) для всех к .

с * -Расширенно -и : ' А назовем сильно-делимым по

стулончатому типу 2 ^ . .. 2 ' , если с*г -кольцо А

является сильно-долимым по типу ¿1 1 относительно подкольца

$ . для любого о к , Это определение позволяет ' Л

учость четвертую указанную особенность.

с т -Расширение г<: А назовем сильным с г -кольцам частных ступенчатого тина "2. ^ . .. 2 с г -кольца С , ооли , . Это определенна позволяет учесть третью

существенную особенность.

Сильно-делимой ст -оболочкой ступенчатого типа .. . 2 ^ \ " ее -кольца С паз01 зи сч -расаире-ние С Л) 7 ^ 2.7Гл\ ^^ * которое является: а)нап-

большш из всех сильных с т -колец частных ступенчатого типа ~2. ... 2 ^ и б) наименьшим из всех сильно-делимых по ступенчатому тйпу 2 ^. .. 2 с-г -расширений ст -коль-

ца С > а кроме того является сильно делимым по типу я2 ^ • В диссертации рассмотрен и более общий случай трансфинитного

слова тг, 7Г. . . С Л, > > с более обегати типами ТГ. . 1 ' " д ' ' ^ л

3 заключение. этого параграфа доказывается адинствонность этой долгой оболочки и пр:пзодятсЗ некоторые ее о&ро свойства.

Тлэрная техническая труда ость хорактэрззедои ныаогоиэе-деклых конкретных расширений как некоторых снльпо-дс-л'с.шх ободочек из отмоченной "тое попвой особоапсстк зткх расскргннй. А именно, если С >-** /-1 является силынк.: кольцом частных ти-

ТГу '¡7^, п д"

па '...¿1 ; с ■'-*!' н яв.-лзтея с;:лы:о-дол:е.^«: по ступ<нгчато«у типу ' к расдирснпем, о яв-

ляется одним из Ешеприведойных копкротккх расширений (например С >—> сс ), то для доказательства теорема характер:*»

А Л* ~ 2

зации нуда!о построить гзлюение V кольца А в колщо А и

л«,

владение V кольца А в колхдо $ . Однако про заутсчпке

кольца В з. 2 (В . ) глаэд С а А и

-В> . } между С" к А одределяахса через образуйте эле-

А

менты. Построить эти злокеяия V. и 1/.° на -оСпазукщих эломоп-

к I

тах этих промежуточных колец моззгс достаточно спродёл лпо. Од/ч

нако при попытке продолжить .т V? па остальные элементы

I 1

возникают большие сдсаности, связанные с ¡^однозначностью

&

представления юс через образующие, поскольку не удается дряням алгебраическим путем доказать независимость отого" продолжения па остальные элементы от их представления через образующее зле-монты.

Для того, чтобы доказать эту независимость в §5 1,2-1.4 разработан достаточно длинный и сложный обходной тополого-ал-гобраичсский путь. А именно, приходится использовать максималь-

л л г\ ^

нне спектры расширений и ■ С*—* А я ъ' С->-> А . В §1.2 епсктрк максимальных идеалов с а -колец рассматриваются как пространства Александрова ( <* -пространства), на которых вводится параллельная измельчению новая вспомогательная топологическая структура, названная прикрытием и состоящая из некоторого семейства ^ г ^ сА ! 1 замкнутых подпространств а -пространства Н . я -Пространства с прикрытием названы а ъ -пространствами.

В § 1.С с категорией ст -кольцевых расширений и : (С,сС) ~>—* ( А , (Х- ) С1 -кольца С связывается двойственная категория а *> -пространственных прообразов (Н ) а ■*> - пространства "Т , являюцпхея прообразам

максимальных идеалов этих расширений. С каздым л л, -прообразом т : ( Т, (И, овязывается новое -прооб-разное сх. -расширение -ц™.

¿согором кольцо О (Н) является некоторым кольцом функций малого колебания на а. -пространстве И .

Приводится достаточно широкий признак наростной отделимости, поэволязднй вкладывать абстрактноа с г -расширение и • (С1йС)>~^ ("А, ОС) в ото -прообразноо расширенно ит:

(C<£ j ">—> CO(H)t 6й) . В диссертации используются четыре конкретных категорий и: (С£ "N ->—> (h, Ос) с ч. ,, -рас-

ыяроиий, задаваомт четырьмя конкретными измельчонпямл оС^ ,

оС , сС, " оС па кольце С (см.далее). Дот них выпол-

Z1 « Р нен признак наростмоЯ отдодкмостя и поэтому все эти ct^ -

paciiiiтрения и : (С,<£. j>—{И, (X.) вкладнваатся в ц -

прообразные ct -расширения к ^

(О(Н),

сС " л J ■

Таким образом, расширения. СД и С>~> А вклздмвз-

ются в соответствуете прообразные расширения С v-=* 0(Н.) и

Л tV л

С 0 ( ^ у . Посла этого .для продолжения' вло.?.они;с я V." используется топологическая связь по модула булозпезых идеалов

г А ч ^

патду олемэнтами рэсиироний -

и С >-*»• ОСИ j а

о

элементами конкретного расигронкя А , которая подроб-

но описывается в § 1.4.

Йсторнчэскп вшеяривзденный конкретные гаеппрендя строились вссша разяичними способами:. Один из способов состоит во взятки кольца фупкци;!, кзмор>й.й:х относительно Некоторой замкнутой по счетным объединс-пачл рс-язтхи ko^siosscto в пространстве . Т • ЯругоЯ способ состоит ао'взат.п! кольца функций "почт" иопрарывныл в разннгс смыслах. Расширения Флйпз-Вшйлаиа-Лзмбз-кп С >-> Q с< и С>~-у Q вообще по удает -н пзоиор&ю представить ни пороз измерклгз, лл черзз ''почта" н-сйрорнвнно функции.

В связи с ST'-'i в этом параграфе описывается новый обвд: способ взятая кольца О (Т; SC ) функций талого колебания стпо-езтольно некоторой решеткд падмнсжастп 6С пространства Т , которое как частные случен дает и кольцо измеримых, я кольцо

ift

"почти ' непрерывных функций.

iia основе универсального кольца О (Т, ОС) в § 1.4. вводится общая конструкция функционально-факторного с г -расширения С О ГГ, ОСJ, охватывающая все (кроме второго сопряженного расширения Аренса С >-> С ) ви-кеярпаоденние конкретные расширения при различных решетках ЗС и различных полиадеалэх С/5- { i oc^js^ j поилнодоств в пространстао т с ядраш . Для расширения Аренса в этом параграфе вводится более сложная конструкция функционально-полифакторного расширения

( С сС ) >—-> (ОСТ, ОС.) /с/г ОС j , Тагам образом все рассматриваемые конкретные расширения ¡\ тают всего дао ушазерсалише фа

4 и С-> ОСТ, X)/У. .

Л л^

Поскольку расширения С »—-> О (H t и С ^—> 01W ) состоят

л ~ '

из функций а на И и Н, , о конкретное расширение С >—>

/, cocxc.it из классов ь функций f с-

О (Т, ОС)

на

< I } )

Т> псин о тоиорь ислользовать эквивалентность между функцией

л л.»

с\ и ^ушсцпямп j- о f или у о т по модула тощего идеала 4 £ ""UJ? , «ли -С т ^ (J У для некоторого эври-

стически выбираемого тощего идеала множеств Ч на И или

г^ (7

на H . Поэтому стоит теперь только построить отображения

'. a f—> р или V- : р t—> а на образующих элементах та-.:, что й -^^сг или a<j -^о ч , как они сразу жо однозначно ародояяаютоя и на остальные элементы из 8> • или В. « поскольку эквивалентность по модулю идеала сохраняет все кольцевые операции.

Эти отесанные в § 1.4 топологически связывающие отображения д I—> р и р > а во всех рассматриваемых в диссертащш

а 'ч-

случшие и задают необходимые нам колъцовыо влояония V. я V .

Вторая глава, названная "Кольца частных к делимые оболочки, связанные о классическим и поляышкольцоми частных", посвящена харзкторвзацяи рэспиронгЛ Фэйнэ-Рлллшпз-1змбвка С >—>

и , , (категорннх) расширений Бэра В°

и С~В , а также расшрения С*--'связанного.с одним важным видом делимости- регулярностью по Нейману, которая оказалась но включенной в общую теорию делимости относительно радикальных фильтров.

Пусть "Г является фиксированным вполне регулярным пространством. Рассмотрим па Т каяоническуо а. -основу | ссъ(. I -г- е- С ] г С обозначает с -кольцо всех ограниченных непрерывных функций па 1 . Ясно, что с-огг/у; . .

Пусть - фиксированная открытая 7г -база в ироотрзн-сииТ , то есть семейство открытых множеств, такое, что для любого открытого мноавства (5 существует множество >

для которого I)^ й . Наделимпорядком по влегаенкы. Рассмотрим на с -кольцо С базисное измельчение с^г,-? (С^ Ш ] , где С-, 3 ^ есС ) *е( 2> Г) со?- с ~р\ * Таким образам, в первом параграфе этой главы фиксируется категория ст -расширений (. С;оС^ ;>—> {А, О? / , а которой и рассматривается расширения С >—>

Второй параграф посвящен малому расоиренпо 5айна~Гил.-:.:а-но-Ламбекй, связанному с клзссичсасзл кольца: частпнх С>~>(5Ь кольца С , а- таюка изоморфному ому (в случае компактного пространства Т ) малому (катогсрнсму) распиронта Бора С

Рассмотрим подкольцо * 6 Сс ограниченных элементов кольца (Xе*- , состоящее из всех элементов с< « С;, для которых

ло

существует число п = кся) еЩ . такое, что и 1- а и к ± . л- а являются квадратами. Так как кольцо не является

г,

с -кольцом, то рассмотрим ка *~0_ * норму (I я || , равную кн~ izs.yi.rj всох подоаатедънах рациональных дробей т /у\ , для которых элементы + и пй-^я являются квадратами.

— п о

Рассмотрим с -кольцо х ц сс , равное пополнению кольца

__а

относительно этой нормы, с -Гасииршшо С-у-^^О называется малым уасоирона&м Озйиа-Гиллмана-Ламбека. После работы этих авторов С 8]. 1565 года до 1280 года оставалась открытой задача об изоморфном- ^икцгюнздьпо-фаеторпом представлении расширена С *(Ц дза произвольного вполне регулярного пространства "Г .

В 1980 году Даииолом, Хагером и Хенриксоном £41 было дано частичное решениэ этой задачи, а именно ими была доказана 'сло-дуюдая

Тоорома. Если Т~ - компактаоо пространство, то кольцо и< изоморфно кольцу о классов эквивалентности (по модуля идеала мнокастз -первой категории) всех ограниченных Фушац:й ^ • 1 > , непрерывных на порэссчонкях Г) "О ^ последовательностей ( } плотных конульшашглэ 17 , то ость сбда-

< ^ ) «л.

дахдас свойством Бэра относительно конуяьмиохоств.

Однако эта теорема но допускает обобщения на общий случай произвольного вполне регулярного проотх'анотва Т , поскольку в атом случае гомоморфизм С —? & модот быть неингоктивиим. 3 том ке 1980 году автором в СI ] было дано полное решение этой задачи. В § 2.2 доказывается следуюодя

Теорема. Для любого вполне регулярного пространства *Т с -расширение (?>—»• 0 изоморфно некоторому функционально-

Zi

факторному С -расширению 0ГГ} яЛ У^0) ?

С помощью этого изоморфного представления доказывается основной результат § 2.2.

Теоромэ. Малое расширенно £ойиа-Гиллмана-Лачбекз является сильно-делимой оболочкой относительно одноступенчатой делимости на счетно-порокдениие дополняемые идеалы при выборе базисного измельчения па кольцо С , или более точно расширение С>—> -

с'

и " является сильно-делимой с Хя -оболочкой одноступон-~7 с о 1 а со V

чатого типа ^ , ^ _

Третий параграф главы 2 посвящен расширению Оайиа-Гиллмэнэ--Ламбека, связо!шомуукЬлъцом частных 0 кольца С , а также изоморфному ему (в случае компактного пространства Т ) (категорному) расширению Бэра С1*-^ В .

Рассмотрим в аналогичное надкольцо "О и его равномерное пополнение относительно аналогичной норму И с\ ||.

С -Расширенно называется расширенном Сайла-Гиллма-

па-Ламбека.

Приведенная ранее теорема Фа&чэ-Рллялана-Ламбека об изоморфизме меяду расширениями и В в с лупе компактного пространства ~Г не допускает обобщения на оощпй случай вполне регулярного пространства, поскольку в этем случао гомоморфизм С —> монет быть неинъоктпшшм, Поэтсад до работы автора [111980 года оставалась открытой задача Ззйпэ-Гилл-мала-Ламбека об изоморфном функционально-факторном представлении раскирония С>—>*0дяп произвольного пполно регулярного пространства. В § 2.3 доказывается слодумшая

Теорема. Для любого вполно регулярного пространства Тс-расширенпз изоморфно некотором!' функцпонзльно-фактор-

и

ному с -расширению С ">—^ 0 \ Г, ¿S

С показы» этого из оморфного•представлешзд доказывается основной результат § 2.3.

Теорема. .Расширенно Файна-ХЧтллмяна-Ламбека является енль-но—до дилой оболочкой 'относительно одноступенчатой делтости па любыо дополняете идеалы и склько-деяшой оболочкой относительно' -одноступенчатой двлнаоств но любые идеалы при выборе базисного измельчения на кольце' С , .или более точно расштрение С

>—ЯЯЛЯОТСЯ СИЛЬНО-ДОЛИМЫМ с ■ С t « -оболочками ОДНОСТУПОН-

~7с И?с. 7'i ч? ; '' чатых типов ¿L [ ¿-. н i. i .

Кроме делимоетн на культидянглтиэлу» систему 3 в теории колец использовался ещо один тип долимоехк - регулярность по Нойману. Напомнил, что кольцо А нэзивазтея регулярным (по Нойлзду),'если для любого a. t А существует , такой,

что л. с\ - (х, . Регулярность оказалась но включенной в о&чую теорию долккостк относительно радикальных фильтров.

В связи с&тим в .ÏS82 roa' авторе;.; в Ее 7 было построоно и охарактеризовано регулярное пополнение R ГА) кольца А как наименьшее ¿ некотором смысле из всех регулярных колец, содор-нацих кольцо Д , и, в частности, наименьшее из всех регулярных подкодоц регулярном .кольца Q. ГА) . Поскольку R. (?т ) CQ//]), то естественно продолздть лгпсо Фапна-Гпллмана-Яомбека и рассмотреть регулярной пополнение U =■ WC) кольца С , его ограниченную часть-и ее равномерное пополнение по норме дч ц в кольцо . . ■

. Расширение С"1-^ 1 'ч является дзлшлым но только на олзмен— .ты кольца С , но и является ейльно-делк.им по типу 2° па лэ-быо' счетно-порсйденпыо идеалы кольца С . ir сожалении, кольцо

_ 23

нэ является )абсолютно) спльно-делкмыгл по ттгпз' 0 на любые счетпо-пороздешше идеалы из . В связи о от;?,; возникает оотостзетшй вопрос: существует ли мекду кольцом и кольцом (абсо.татаэ) сильно-делимое по типу '* подколндо!)0, наименьшее сродп всех таких подколец кольца, и, если существует, то какова его характеризация?

Четвертый параграф этой главы и посвящен ответу на этот вопрос. Это гипотетическое расширение называется счетно-делимым расширением. Для ответа на этот вопрос вначале рассматривается некоторое фупкциоиально-факторное с -расширенно С О (Т, ^.Р0) . Затем доказывается, что сно обладает указаннкми свойствам! и, следовательно, является счетно-делимым расширением С ^ .]) 0 . С помощью этого футщяонально--фэкторного представления доказывается основной результат § 2.4.

Теорема. Счетно-делимое расширение является сильно-делимой оболочкой относительно ооЛ - студенчатой деядаости на лабыо счетно-пороядегшыо идеалы-при выборе базисного измольчоппя на кольце С , или более точно распирелио I) ° является енль-

но-делшой с ч р -оболочкой « -ступенчатого типа (2°) . . • и°)х ... С

Третья глава, названная "Кольца частных и долимые оболочки в категории с ч -кольцевых распираний", посвяцена характериза-цш расширений Рлмана £>-> Я и .Тобога [_, для лю<5оЙ

м М

ограниченной радоиовской моры ч, на пространстве Т , такой, что Т* является носителем моры и .

Компактное множество К из ~Г назовем р -компактным, осли П К. но является ул -преяобрекилым множеством для любого открытого мнелеотва G , пересекающего мнокостгю К • Семейство всех ц -компактных подоножсств из Т обозначил чероз / •

Vk

и наделим его порядком по вложению.

Рассмотрим на с. -кольце С и -компактное измельчение £ 3 tCj¿\ . где Скз {cCU^c

• В первом параграфе этой-главы, таким, образом, фиксируется категория ' с ч -расширений (С, оС Га, (х) г в

которой, и рассматриваются расширения R и 0>-* L .

г

Вгоро" параграф этой'главк- посвящен расширению Римана С. Еиачале. доказывается, что с . -расширение С^^ является 5ункциояалыш-факторныт.1 с трасшронпем вида С >->

, С помгадаз .этого представления дока-

-г - ./* зывается основной.результат § 3.2.■

Теорема.- Расширение Римана является сильно-делимой оболочкой относительно одноступенчатой дощвдоотп на счетио-порож-деиные допсшшомне. идеалы при выборе ^ц -компактного измельчения на кольцо-Сили белое точно расжроипз С>—яв-

■ляется сильно-делимой ах -оболочной, одноступенчатого типа

со | у со у4 .

'Отметим, что.расиирсния Си ^ имеэт

одинаковый тт~' делимости. Их удалось различать только благодаря выбору различных иэкальчоний.сСл к на кольцо С .

Третий параграф этой главы посвяадеи распадению Лебега С . Оно является с -раоаяренаоы вида С. О ÍT,

) . Поскольку идеал оСУ^ всех р -препе-

брейпаах множеств загжнут относительно счетных соединений, а меньизгй идеал Л° не обладает этим сильным свойствам, то ха-рактерпзация расширения Лебега оказывается по доказательству процо, чей для расширения Римана. Основным результатом § 3.3

является следующая

Теорема. Расширение Лебега является сильно-долимой оболочкой относительно двуступенчатой делимости на либыо счетно-порож-денные идеала и на днбке счотно-поровдоннио'дополняемые идеалы при выборе ц -компактного измельчения но кольце С пли более точно расширение' С ?—> I* ^ является сильно-делимой ст^ -оболочкой двуступенчатого типа 2 0 21 с ° ! я 2 с °

Четвертая глава, названная "Кольца частных и делимые оболочки в категории с ч -кольцевых расширений", посвящена-ха-[ф

рактеризации универсально измеримого расширения Каплана С >-т им и второго сопряженного расширения Аренса СЧ

Первый параграф этой главы посвяцен описанию измельчения лебега сС/^ = ^ С ^ ! ,4 ^^^ | кольца С • В эта: измельчении в качестве параметра ^ уке берутся не единичные подаоде-ства 1) или К^^- пз""Г , как это было в предыдущие

£ / -т-

главах, а целые идеалы К подмножеств Е из Г . Эти идеалы

М , названные идеалам! Келли, фактически восходят к основополагающей статье Келли Ц151 , в которой были найдены необходимые к достаточные условия существования меры на булевой алгебре. Идеалы Келли вводятся в § 4.1 и здесь яе доказывается наличие взаимно-одпозначного соответствия меяду семейством всех идеалов Колли N и семейством классов соабсолютности п зсех ограниченних радонсвских мор -3 на Т . 'Годи:.: образом идеал Келли N является абстрактным описанием идеала всех

пренебреяимих множеств некоторой меры -V .

Для каждого идеала Келли N определим кольцевой идеал измельчения С., , поладив С з Г С 6 С | соъ С в N \ . За-

N N '

дание измельчения Лебега фиксирует, таким образок, категории с*, -расширений '' С, с£ ) >—> С А/ . г которой и рассматриваются расширения С>-^иМ и С

Второй параграф этой глава посвящен универсально кзглери- . кому расширений С И . Оно является функциональным с -

расширением вида С >-> О (Т, ОХ^Л ) /0 . Основным результатом § 4.2 является сдедуицая

Теорема, Универсально измеримое расширение Каплана является сплы!о—делимой оболочкой относительно дзуетуленчатой делимости на любые идеал! и на двбыа доподляемое идеал;: при зы-борэ пзмольчония Лебега на кольцо С , или болео точка расынро-

Ш£0 с>—* М ЯЕЛЯОТСЯ СИЛЫ)О-ДОЛИМОЙ с 'с -оболочкой дву-

~7 ~7 с \ с ь

ступенчатого типа <¿1 »

Третпл параграф этой главу посвящен второму ссинякеиному расширению Лронса С >-» . Задача о харахтеризации этого расширения в частном сдучао С' для компактного простран-

ства I была поставлена в 1284 году Калганом в предисловии к ого монографии С141 .

' Из статы. Аренса с 3 •] следует, что расширенно с * с/ изоморфно функцяонально-полп^кторнсму с -расширен::?; вида С1—> О (Т; относительно полнидоалз . С

помощью этого изоморфного подставления доказывается основной результат § 4.3.

Теорема. Второе сопряженное рассиреиие Аренда является сильно-долимоЛ оболочкой относительно трехступенчато;! ".елкмости на либые идеалы, второй раз на лабыо идеалы и иг* любые дополняема идеала при выборе измельчения Лебога на кольце С , или бо-

лсо точно расширение С >-> С^ является сильно-делимой С1| -оболочкой трехступенчатого типа 2'2 2 с ! .

Поскольку доказательства характеризационнвх теорем для (измеримых) расширений Бэра С ^> ВМ°. и С * про-

А

водятся аналогично доказательствам соотэетствуззях теорем для сч -расширения Лебога С^—> а счетно-делимого сч . -расширения , характеризации расширений Бэра (а вместе -

с ними и расширений Бореля С->—^ВМ^ и ) отнесен

в приложение.

Через ^"/р обозначим семейство не более чем одноточечных подмножеств пространства Т , :!а до ленное порядкш по вложении. Рассмотрим на с -кольце С точечное измальчепио оСрЗ ^ С^ 1 "Н я'р } .где = $ с. е- С.) с (+) = о ] .Тем самым, в § I задается категория С1* -расширений С С, сС^ ) (А, »

в которой и рассматриваются расширения Бэра л Боредя.

Второй параграф приложения посвящен расширению Бэра Ст—>

(Ъ М ° класса Х .'Хорошо известно, что это расширение д

является функциональным с -расширением вида С ■>—^ О (Т,

гдо ^Зд 2 ^ для нечетных > и Я ° г для

четных X . К сожалении это представление но приго.дчо для определения расширения Бореля класса Л • Поэтому для определения расширения Бореля класса Д потребовалось найти друхуга форму с>—> 0[Т; .где ^ 3- для ночотних Л и ¿Зд

5 для четных Л . Основным результатом § 2 является сло-Л

дующая

Теорема, а) Расширение Бэра класса Л язляотся сильно-де-лмой оболочкой относительно (А""!) -ступенчатой делимости на любые счетно-поргаденные идеалы раз и на любые счетно-

порожденные дополняемые идеалы при выборе точечного измзл-че-нил на кольце С • или .более точло расширение явля-

ется сильно-долимой с к -оболочкой (А-ы) -ступенчатого типа (2е) Ъ.с°\щгео. Л

б) Басшгройио Бореля С В класса X является сильноделимой сч. р -оболочкой Сл+1; -ступенчатого типа (2.)

... [2а);г.сог «2'со.

Трот-/,;! параграф приложения посвящен полным (измеримым) расширениям Вэрз С >-=» и Бареля ВМ , которые яв-

ляются функциональными с: -расширениями вида О {Т; /3

и С>-> О' СТ} ^3) /0 . Основным результатом 5 3 является сладу кетя

Теорема, а) Расширенно Бэра является скльио-долимс.': оболочкой относительно -ступенчато!: долхюстя на любые счет-но-порожденныо идеалы при выборе точечного измольченкя на кольцо С' , или болео точно расширение ¿¡4 е является сильпо-делимоЛ с ч. „ -оболочкой с^ л -ступенчатого типа

■ с-*, ь>л с

б) Распарение Взроля С Е является сильно-долпмоц сг -оболочкой и. -ступенчатого типа \7~) ... (210). ...

» __Л /

с

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Захаров В.К. функциональное представление равномерного пополнения максимального и счотно-плотного модулей частных модуля йолрернвных фикций // Успехи матем. наук. 1530. Т.35, И С.187-188.

2. Захаров B.K. Делимость на счетно-плотные идеалы и счетная ортополнота модулой // 1йтом. заметки. 1981. Т.30, й 4. С.481-495.'

3. ~Z-i*JLl\<vio^r- \f, К. JacA^vKKötenin^iiou «Jfe&J?

a^d cv^pCdCe» // ß.J/. A<W. Po&v,. &<ч.,

r^cdk . iW-i.XT. Z9) NH b-6 . 2. Д.ЗЗ

4. Захаров З.К. Характеризация гиперстоунова накрытия компакта ■ //Функц.анализ и его прилож. 1981. T.I5, й 4. С.79-80.

5. Захаров В.К. Функциональное описание делимой оболочки модуля относительно фильтра счетно-плоткых.идеалов // ХЛ Всос. алгебр.конф., ч.2. Ленинград, 1981. С.59-60.

6. Захаров В.К. Функциональное представление регулярного пополнения модулой без кручения Утоми // Известия ВУЗов, Математика. 1282.' JS 5. ..22-29.

7. Захаров В.К. Гиперстоунов абсолют'вполне регулярного пространства // Докл. АН СССР. IS32. Т.267, .'5 2. С.280-283.

8. V. К. Io'p>C&cpaJ2 сь^л и&рсМ et,

icbi с^. i^c^^^ruJUe . £ icc. FcftK

. Вег&л: Ие^У^^и 1Геп&у , -i SB l W6-*U.

9. Захаров B.K. Гиперделшая оболочка модуля непрерывных функций //Вестник Моск.унив., сер.Х, Матем., мохан. 1982. й 4. С. 79.

10. Захаров В.К. функциональная характеризация абсолюта, векторные решетки фунщий со свойством Бэра п Квазинормальных функций и модули частных непрерывных функций // Груды Моск. матем. общ. 1982. Т.45. C.68-I04.

11. Захаров В.К. Алгебраический эквивалент теоремы Лузина. ХУЛ

Всес.алгебр.конга. Минск, 1933. С.80-81.

12. \J. kí ^пеcc^^ded -u^tii

tockcvífit Q-jj. Htü C-&tdrCn*ítru\ ítvi.

МяЯ. s

13. Захаров В.К. О двух классических расширения" векторной ре-ветии непрерывных функций // Сункц.анализ и его прилог. I2B4. T.I8, is-2. С.92-ЭЭ.

14. Захаров ЗЛ'. Раосргроияя колец неярерь'внкх функций. ОТ . Взоз* алгебр.кои-J). Килпнев, 1935, С.202.

15. Захаров В.К. Расширенно Ссрпкнекого н адоксандловскее пах-'ритке. У. Тирлоподьский спмл. ио обаой толол. и со прилик, Iteran ов: Йгиянца, 1935. С. 97-99.

16. Захаров В.К. Гасаирэапя векторах розетьк ¡Н'Прсрквшгх функций // Докл.. АН'СССР... 1986. T.2J8, Л' G. C.I237-I30I.

17. Захаров В.К. До.имость в с а -кольцах //XIX Всос.алгебр, кокф. Львов, 1537. С.107.

1С. Захарок В.К. с'с -Оболочки кольца непрерывных сун-ций // Докл. АН TCP. 1987. Т.294, & 3. С.531-534.

19. Ot\ cíwm-АЛ ixi¡-et¿Jv,

vw^. -res?-. V:-ís, us-Í. 2.A1-M.

20. J\fa*-u>v \f.¡¿. 6 к CK4 cetvwofj wJ-i'A лк-р-^Ь'си"

Л

//Sa. t-U&.H^. M%% . VM3, МйД. JP .-H¿-U3.

21. Z V. p-í-'z-iíoHCe1-" с1ма£ cxJ.we* //í\Jc* MtfOít. W,<.k? 1-S8*. V.S-¿, N! JP. 1 as-^^3..

4. bc^lidl P. , Ha^i /Ц Hc^t^, M.O^ - ■

*{ ъ'^Л <w' vobn. CiJrCcc^ ol ^„M LLM//

Ся«- ttnik. -Шс.У. rv3.2.er/- as-.

5. J.-£. (W^W;** ¿W,^* Д Uck*. coJre^S

^ An«. S«-.S«.*. k,Ci .1. -is??,v:*?, м-з, p. ae-36g.

6« C. %ávJTJt\ o. <!nj'ciklvf, \MC¡L<-íes

. V. Bcv/Лл :

7. «.î>., í,л»4ск j. а ^ь&и&гсА •и'ч i, H // C%W. НлМ.БЛШ. V" 1. p.

8. i-iVi M.J., IvttH^M l, t) X Rc^íj^ ffvoti'Ci-Ji сч-uk^ 05 • M rchntxù : Me £>'£ WC4?»".

9. (xíiÁ-LÍcZ £. Drf a*Á¿y<rUti &Ь ¿Л-Сел^ьц //' &JJ . %rc. y\ttkU.

■ V

. -i 36 i . V. 30, в. l .

10. o. ß,-.«?* **JL «-¿i // J. kCytfa*.

-ti'fj. v.-ü . p

11. IxPKifvi't \¡. t.4 'uuvj. ¡Lwbccí^íi c!r 'KK-Í. i>¿ гшч;-

I t f >■ J V J

Ьучл/' е*л* . KW& . Ыд. -fïH .7 -.4, N'í i'. P. -1 (60.

12. JciuiîO» R. fc . (y-nic^-J-tÁ .'С Й л

. У

^ 2-^í. МлМ. 2«. -I3S1 .V.U.?.

13. JÜ.-G. С^&к&Л ot'iv^í, rí 'n'iwji ;<W?.".¿иг

J.fWí. Jí-i.y -/í. Í'.-ÍÍ r:r-í3í¿.

14. ^ C(K) . A: Í\WA -UeücuJ

Ссцл-р^ -iúbP.

)Lc£¿c*j ~J . L . ¿u. ctl^cb^i 2(\u¿ . J.

Mrttó! 'Í5Í"3.V.5, ÍV-4.P. jiSS-n 77 16. -Б, R^J^ .mc^rt

I l' I

22. ТЛи

Кои 2сС. 1и^. £5.3,-368.

23. "¿ссЛкЬялспХ У.К- АслгуСО. е*Лгн-

Ко* //Хиеиа. %с;. Иии^. Д*. £ 53- -М*.

24. Захаров В.К. Связи мокду расширением Лобога и расширением ■ Вореля первого класса к кежду соответствугазми им прообраза;,га // Изв. АК' СССР, сер.'йтеМ. 1990. Т.54, В 5. С.928-956.

25. Захаров В. 1С. Топологические прообразы, соответствующие классическим рзсаиренпям кольца непрерывных функций // Вестник ¡Лоск.уннв., сер.1, ','атем., механ. 29Э0. .|е I."С.44-47.

25. Захаров В.К. Классические расикренмя векторной реаетки непрерывных функций // Вестник ыоск.уншз., сср.1, Иатем., механ. 1990. ¡Ь 4. С.15-18.

27. Захаров Б.К. Универсально измеримое расширение и расширение Аренса банахово:! олгебш непрерывных функций // Функц.анал. К его црплож. 1990; Т.24, 1» 2. С.83-84.

28. Захаров В.К. Связь между полным кольцом частнкх кольца не-прернэнах функций, рехуляряш пополнением « расшрсмдяки Хаусдорфа-Серпинского // Успехи шток. наук. 1390. Т.45,

а 6. 0.133-134.

ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. Миаина АЛ., Скорняков Л.Л. Аболоаы группа я модуля. М.: Наука, 1969.

2. Фейо К. Алгебра; кольца, иодул» » категория I. И.: Мир, 1977.

3. Ач^М Я,?. Орегс^Сй^л и> |!<лисЛ'0*\ сХхЦс*,^ МоШ ■ -V. Я", £ -1- -13.

22. ¿аА.Ьагипг- V. V-. 'и«/^сЛ^м-с с-ои-Сг. -

ЙСи/^Ыл 2с,-. МоД. Ч^. -19«. V? 23 ..£?.

23. У.К- А€схЫ\с*/и>\>1а.1т. с^ууСг. СЬ^'А СхАн,-Ко*//Нии^. -ШЗ.У.Ль. Р. 33-т.

24. Захаров В.К. Связи мейду расширением; Лебега и расширением • Бореля первого класса и .меяду соответствуй!!?:?.« гол прообразами // Кзз. /Л СССР, сер.Мзтем. 1990. Г.5-1, 5. С. 928956.

25. Захаров В.К.- Топологические прообразы, соответствуккио классичоским расаирониям кольца непрерывных функций // Вестник 1,!оск.унив., сер.1, Г.'атом., мекон. 19Э0.. .'ё I. С.44-47.

25. Захаров В.К. Классические расширения векторной решетки непрерывных фушеций // Вестник ¿'еск.ушш., сср.1, Матем., мохан. 1990. ,'5 4. С. 15-18.

27. Захаров В.К. Универсально измеримое расширение к расширение Арен с а банаховой алгебры непрерывных функций // Фушсц.знал. и его прилеж. 1990. Т.24, Я 2. С.83-84.

28. Захаров В.К. Связь каг.ду полным кольцом частных кольца непрерывных функций, регулярным пополнением я расширениями Хаусдорфэ-Серпинского // Успехи матом, наук. 1390. Т.45,

й 6. С.133-134.

ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. Г/лакна А.Я.-, Скорняков Л.А. Абвлови трупп и модуля. И.: Наука, 1959.

2. Фейс К. Алгебра: кольца, модуля и категории I. К,: Мир, 1977.

3. Ачещ Я.Р. ¿ис^-ис-Ы &

1. £-Г- -13.

4. ÎWUtf p. , Н^г A-., Hewr^ M.O^ - с*. "

-Mi-V. 3Д^ £L з.р.б57- «.T.

5. J.-2. Л

//%0C.%tí. B^uckí&C^ V^ .l.-iilS. v.il, ?. С'Ъ61.

6« C. yécíumX CJv ¿^-¡trä'Cv-C, nu>oU<-teJ, .л.ц'"

г«. ЯЖ.у.м.Ы«-. Sfí^.jcz-Vcxl-u.^^e?.

7. pú^uluj, &.d., Lcí^Jc-k x с! gf^hí^v^w "-uví, iL Ca~,aá. ÏXcMx .'¡buJj. ■ -fííí. "V"-i P. 7-V-Î5", -1

8. i-liai M-T., ОлИч^Ят Ц I,ai~t'í-íi. 7. оД etfiotíuJs oj -WkjK

c| . Яи^ам^: ,1c ft.tí jPVsç, -i^Si.

9. (xííi-^ic-t 2 . Ъс* Cm&¿<jcn¿t3 Itb с'ЛСс-i^i^-Cï /У ЪЛА ■ Srv. MeUfi. РЧл^сг . -ii&iX. SO. 2.Zij-¡*hl.

10. . (\C-tJ-l~xau 0. Д.'л^л «J, oí- ■рцЛ.'Сч^Ч // J. kùjiél*.

'Í «f-J. V.-13 . ? . ic-г,/.

11. g: сl--ifi-ct r.tо.ч 'гчи^ tí c-i 'И'ъ' o¿ í«,^.

) v f » l» j

iii-Ht/r CU*. . ßitii. -fïri .y -.4, Ги~ j. 2. -t rj- /ÍÍ.

12. TcA.«^«. R £. Jiu? (?,)Cke^-J-tÁ C-1 ÍC Й PvOT. « t**eU£i ^ 2-м*. /„win. Кл'А-'Д«. ./554 .V.J..Í. íi-i- bi:!7

13. jo-fui^k fc-c. d^cí^J táo**. Л K'lvfí 10ÍÍ& 1 itW'í^&VL

, tf V <J i

icXi^x ,j>w á. .jí-í .vu. j?.-í¿ ti" - -î3ïà.

14. S.9G ^ CCX} . A: ¡JoM -UtücuU

. S^á-C. Co*y• ) ' "iâ ¿

V í. f

MM.^SÍi.V.íf, NS-b.2. -i-íS-y-NT?.

17. ^("et^vfor¿Avv В. o-ji <кл . ЪспХ^м ;

ЛГЫау , -(37-5".

18. Т/Ъ«*м V. Ok Ct/^ytiZ^t //" O-^kx . J. MSB.

V.8. P.И -ЛЬ.

Подписано к печати3. Л> Л. ¿>ор!.пт 6uxU4 i/16. Печчть оусетная. /ч.-кгд. 2,1. /сл.яеч.л. 1,1'. Здказ/;^. Тивэя ii^ эль.Бесплатно Отпечатаю ал ротапринте С11р;.'ГЛП. iylL26, Санкт-ПатерОусг, ¡.юхоьля , 26