Комбинаторный анализ сбалансированности сложныхрегуляторных систем с приложениями тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

Р\6

1 о ФЕВ 1997

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

Клочкова Нина Петровна

Комбинаторный анализ сбалансированности сложных регуляторных систем с приложениями

01.01.09 - математическая кибернетика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург 1996г

Работа выполнена в Санкт-Петербургском государственном университете.

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук, Барт Александр Георгиевич

Официальные оппоненты:

• докт.физ.-мат.наук Мирошин Роман Николаевич

• канд.физ.-мат.наук Граничила Ольга Александровна

Ведущая организация:

• Санкт - Петербургский государственный электротехнический университет.

Защита диссертации состоится "Л-/ " дн^ссинь- 199? г. в час, йО мин, на заседании диссертационного совета К 0635749 по защите диссертации на соискание ученой степени кандидата наук в Санкт - Петербургском государственном университете по адресу: 198004, Санкт - Петербург, Старый Петергоф, Библиотечная пл. 2.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Санкт - Петербургского университета по адресу:

199034, Санкт-Петербург, Университетская набережная, 7/9.

Автореферат разослан " & " «¿/¿-/д^ 199*г. Ученый секретарь

диссертационного совета А.И.Шепелявый

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Важным аспектом в исследовании сложных регуляторных систем (медико-биологических, маркетинговых и т.п.) является оценка границ устойчивых регуляций. Разнообразие различных форм проявления регуляций диктует поиски новых способов их описания. При работе с системами, которые по ряду причин не могут быть описаны в терминах принятых понятий кибернетических систем, результативным оказывается комбинаторный подход к анализу систем по сбалансированности, описываемой в данном случае инвариантностью подсистем относительно определенных групп преобразований. Разработка такого метода исследования систем является основной задачей диссертационной работы.

Целью работы является решение указанной задачи на основе исследования групп отражений для описания пространственных структурных симметрий и повторного частичного обращения функций для исследования динамики системы.

Методы исследования. В работе использованы методы теории конечных полей и групп, комбинаторного анализа, частичного обращения функций, случайных процессов, теории вероятностей и многомерной статистики.

Научная новизна. Разработан метод классификации систем пс степени их сбалансированности на основе исследования подстановок дизайнов (блок-схем). Введено понятие канонических дизайнов, отличающихся дополнительным условием внутренней сбалансированности, и указан метод их построения (интегрирование дизайнов). Осуществлена систематизация отклонений от канонических дизайнов в случае, связанном с описанием искажений симметрий трехмерного пространства. Разработана специальная технология построения ряда исключительных изоморфизмов простых классических конечных групп, позволяющая использовать эти изоморфизмы для описания сбалансированности систем.

Для исследования систем в динамике введено понятие ритмической сбалансированности, определяемой согласованием повторного частичного обращения функций с обобщенным геометрическим распределением, и указан способ оценивания ее границ. Построены линейные оценки параметров по реализациям с повторностямн ком-

плексного марковского нормального стационарного (КМНС) процесса. Выделены пять типов корреляционных функций КМНС процесса, определяемых инвариантностью его знаковых структур.

Получен новый вид рекуррентных соотношений для производящих функций обобщенных биномиальных распределений, позволяющих построить алгоритм их совместного моделирования на основе схемы группированных испытаний Бернулли.

В плане приложений: для анализа медико-биологических систем получен новый способ отличия патологического и нормального состояния системы, демонстрируемый на примере знаковых структур факторного анализа данных оральной биосистемы и системы ФРОЭ (фракционная реакция оседания эритроцитов); построена математическая модель эволюции артериальной гипертензии; для экономических систем разработан метод оценивания границ устойчивых регуляций, в пределах которых внешнее вмешательство в систему наиболее продуктивно; указан комбинаторный способ анализа психологических наблюдений с точки зрения конечных геометрий (ин-тертипные отношения в соционике, тест Люшера).

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на научных семинарах кафедры статистического моделирования, на международных конференциях БИОМОД-92 (1992, Санкт-Петербург) , "Model Orient Data Analysis" (1992, Петродво-рец), "Statistical Analysis in Clinical Studies" (1995, Петродворец), на III съезде Ассоциации стоматологов России (1996, Москва). По теме диссертации опубликовано 9 работ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения и 4 глав. Объем диссертации составляет 122 машинописных листа. Список литературы содержит 75 наименований.

Содержание работы

Глава 1 посвящена вопросам комбинаторного анализа сложных ре-гуляторных систем, описываемых на языке блок-схем (Slv,Bb), где

= {о,}у=1 есть множество элементов, Вь = {I?j}j=1, (Bj С П„) — совокупность подмножеств (блоков). Блок-схема, соответствующая такому размещению v элементов по Ь блокам из к элементов, в котором каждый элемент и каждая пара элементов встречаются

соответственно г и Л раз, называется дизайном D(v, Ь, г, к, Л). Через D(v,b, г, к, Л|П„) обозначается его реализация при фиксированном множестве в качестве которого рассматриваются поля Галуа, аффпнные и проективные геометрии, другие объекты. 1

В §1.1 осуществляется классификация систем Кц, G {0,1}, исходя из комбинации свойств внешней (t = 0) и внутренней (j — 0) сбалансированности: система обладает внешней сбалансированностью, если соответствующая блок-схема является дизайном, внутренней — если сумма элементов в каждом се блоке равна нулю над некоторым конечным полем. Внутренне сбалансированный дизайн называется каноническим. Математической основой классификации Кц является исследование подстановок блок-схем, под которыми понимаются отображения, осуществляемые симметрической группой 5« на множестве Подстановки блок-схем, при которых совокупность блоков остается неизменной, называются авто-морфными, в противном случае — неавтоморфнъши. На практике сбалансированность системы может быть исследована, например, по матрицам знаков факторных весов метода главных компонент. В табл. 1 приведена матрица, полученная на основании реальных данных, в которой признаки с одинаковыми знаками факторных нагрузок образуют дизайн D(8,14,7,4,3). Каноническими дизайнами в данном случае анализа медико-биологической системы описывается се нормальное (непатологическое) состояние, а неканоническими — проявления патологии.

В §1.2 содержится описание специального метода построения канонических дизайнов, основанного на многократных отражениях конечных геометрий в пространствах большей размерности, называемого в противоположность операции перехода к производной блок-схеме интегрированием дизайнов [1]. Операция интегрирования является индуктивной и определяется на симметричных 2дизайнах Dn = £>(in,i„_i,i„_2) с t„ = (qn - 1 )/(q - 1), которые, по теореме Зингера, образуют гиперплоскости проективной геометрии Р*.

1Для представления элементов полей Галуа Fq (g = pr, р - простое число) в качестве представителей классов вычетов по модулю неприводимого полинома рассматриваются полиномы вида ^iso' а* ^ ^р, допускающие различные кодировки, например, в числовой кодировке Тч каждому вектору а = («о,... ,<in_j) сопоставляется число 0, принимающее значение, меньшее р", по правилу о0р° 4-ûip1 + ... +or„_]p"_1 = /3.

2 Дизайн D{v,v,k,k, А) называется симметричным и обозначается D(v,k,\).

Базой индукции является проективная.прямая Р*, представляемая в виде вырожденного дизайна £)(д+1,1,0). Интегрированный переход от к -Р™ осуществляется с помощью рекуррентного соотношения типа Фибоначчи. Для этого определяется конечная последо-

Признаки Знаки главных компонент

Код 1 2 3 4 5 6 7 8

0 + - - - - - + -

1 Н- - - - + + - +

2 + + - + - - - +

3 + + - + + + + -

4 - + + - + - -

5 + - + + + - + +

6 4- + + - - + + +

7 + + + - + - - -

в+ 2367 4567 2345 1357 1346 0356 1256

В_ 0 0145 0123 0167 0246 0257 1247 0347

Полные

блоки ео е1 ег ез е4 еь е6 в7

(Я+.В-)

Таб. 1: Знаки факторных нагрузок признаков.

вательность векторов [щ,... <р] = (9°,.. -,<р]), £ V'*, 3 полученная с помощью соотношения:

<РН 1 = V) + <*Фз-1 > 0 = 1,2,...) (1)

с начальными условиями у>о £ <р\ £ (<Ро — 0, ^ ф 0).

Параметр рекуррентности а выбран таким образом, что ^ € \ для любого 2 = 2,...,д. Ввиду того, что последовательность I по определению, является импульсной, упорядоченный набор ...,будем называть импульсным модулем ж(<р0\(р\) элемента ¡Ра относительно <рх. Показывается, что для любого блока В = [х!,..., ц], х; £ , дизайна £)„_1 существует такое разбиение множества \ при помощи некоторого набора векторов

'Через V™ обозначено множество точек как элементов дизайна Оп.

г/1,..., уч, £ 7>ч" \ 1), при котором для $ ф1 выполнено

*(£%)(>№)=© и = (2)

¿=1

где 7г(В|^>1) = [п(х\\(р1),.. есть импульсный модуль бло-

ка В относительно . Блоки вида [В,-, 7г(В,|у,)], где I = 1,..., £„, 3 = 1,..., д, наряду с блоком, состоящим из всех элементов "Р^-1 образуют соответствующий дизайн ^(¿„-ц, ¿„, ¿„-1), а блоки вида [ — канонический дизайн, соответствующий эвклидовой геометрии Е™.

Отличительным свойством дизайнов типа является каноничность 4 структуры их блоков, исследованию которой посвящен §1.3. В нем подробно анализируется случай д = 2, играющий важную роль при разработке знаковых методов. Пусть имеется канонический дизайн V0(v,b,r,k,\\Jrv) = ^^^Т») типа V = 2П, Ь = 2(2" - 1), г = 2" - 1, к = 2"-1, Л = 2"-1 - 1. Обозначим через множество полных блоков = где В^ ПВ} = 0, В} и В] —

Тг- Пусть — е0 где е0 = (0, -Г„) есть полный вырожден-

ный блок.

Теорема 0.1 1)На множестве ^ могут быть заданы теоретика • множественные операции, условно называемые сложением и умножением такие, что полные блоки канонического дизайна Vй{п | Ту) наряду с вырожденным блоком образуют поле Галуа . Нулевому элементу соответствует "полный вырожденный блок" е0, а единице — полный блок е = ((0,2,.. .,2п), (1,3,.. . ,2п +1)). 2)Невырожденные., попарно различные полные блоки в Т>(ь | Тъ), удовлетворяющие равенству е^ © ... ф е„ = во, образуют симметричный канонический дизайн £>° (2п — 1,2п-1 — 1,2"~2 — 11 = 27°(2» -

Элементы группы автоморфизмов дизайна £>°(2" — параме-

трически задаются в виде упорядоченного набора

с = («г/2.ОЧ./4. • - •, «1) (з)

4Смысл этой каноничности заключается в том, что агрегации блоков, соответствующие параллельным гиперплоскостям Ерассматриваемые в качестве элементов, образуют канонический дизайн типа

из п чисел а,-, соответствующих матричным столбцам a, G ф

aj,&j ф 0.

Теорема 0.2 Автоморфизм, дизайна £>°(2n — осуществля-

емый с помощью матриц вида (3), действует по правилу, определяемому подстановкой (г0, 7i,..., r„_i) вида

т f Qt, при j = t, _4.

3 \ + при j=t+i. v;

zdet = 2% s=0,l,...,n-l (0 < t < f).

Для практики значение этого утверждения определяется тем, что согласно правилу (4) описывается порядок главных компонент в табл.1. Полному вырожденному блоку соответствует первая главная компонента с одинаковыми знаками.

§1.4 посвящен классификации различных отклонений от канонических дизайнов, которая связана с построением канонической структуры большего порядка, объединяющей на правах блоков неканонические дизайны с каноническими. Построение такой структуры в общем виде является проблемой. В данной работе эта задача решена для наиболее часто встречающегося в прикладных задачах дизайна D(8,14,7,4,31Т&) - D{81 Ть).

Теорема 0.3 Пятнадцать четных (или нечетных) неавтоморф-ных подстановок дизайнов V(8| JFS) с 2>(8,70,35,4,151 Je) в качестве нулевого элемента образуют аддитивную группу поля Fie, и канонический дизайн D( 15,7,3).

Элемент J 6 T'w, = \ {0}, соответствующий неавтоморфной подстановке дизайна 25(81 J~s), называется его формой. Кроме этого, дизайн D(8 ] Jg) характеризуется четностью К € {0,1} и порядком С = (q4,o2, ai) € SL32, параметризующим чередование его блоков. Порядок имеет смысл только при упорядоченности блоков дизайна Т>(81 /g) по правилу (4). Если такая упорядоченность отсутствует, то порядок считается неопределенным.

Классификация подстановок дизайна D(8,14, 7,4,3) осуществлена с использованием хорошо известных в алгебре особых изоморфизмов простых классических конечных групп: ,7(60): SL^2 ~ PSL; »7(168): SLp ~ PSL^;J{360): PSL? ~ Лв; J(20160): SL? ~ Л8;

,7(25920): РБр%3 Данная задача потребовала нового языка

описания этих изоморфизмов с точки зрения комбинаторной структуры Платоновых тел (Глава 2). В §2.1 содержится описание специального метода построения указанных изоморфизмов 5 на основе инвариантных подстановок дизайнов и двойственных им конструкций. §2.2 посвящен геометрическим интерпретациям используемых блок-схем на примере куба и додекаэдра. Такой подход оказывается применимым как при анализе медико-биологических систем, так и в более гуманитарных областях, таких как психология, искусствоведение. Это прежде всего связано с фундаментальными свойствами симметрии живых систем, а указанные выше изоморфизмы являются средством согласования этих свойств с различными биологическими ритмиками. Иллюстрациями к этому служат приводимые в Главе 4 примеры из морфологии, физиологии, психологии.

Помимо задач, связанных с пространственными структурными симметриями, понятие сбалансированности может быть использовано для описания динамики систем. Здесь сбалансированность системы проявляется в синхронизации разнородных процессов я появлении четких ритмических структур в динамике некоторых итоговых характеристик. Их исследованию с точки зрения метода частичного обращения функций и теории обобщенных биномиальных распределений, введенных Бартом А.Г., посвящена Глава 3.

В §3.1 рассматриваются модели систем, итоговая динамика которых описывается функциями вида Н7(<) = С(5~12(<), г), где функция

5(0 = «г2е-ч,совг*, т) > 0, (5)

в соответствии с приложениями в медицине носит название кривой саногенеза (саногенетические или защитные факторы препятствуют развитию патологии). Символ (<) обозначает двойное частичное обращение функции 5, в котором первое и второе обращения определяются параметрами у, 6 € [0,1].

В §3.2 введением параметра у в модели Н7(1) решается проблема управления. Вследствие двойного частичного обращения функции 5(4) наряду с лабораторным временем выделяются так называемые критические точки

Т*"'. «1 <«2 < ..., <4 бЛГ, 0<i<j,

53а исключением 17(25Э20).

задающие определенную временную структуру. В эти моменты времени появляется возможность управления, иначе говоря, "задержки развития системы" и перехода из периода убывания функции (распада саногенеза) в константный латентный период. Последовательность {ау}^! задает различные варианты стратегий (рис.1). Точки Т1'1 определяются в результате проектирования на 5(<) точек Г/ локальных максимумов: ближайшим является Т/, а для любых I и п 5(Т= 3(Т£>) = 5(Г/). Ввиду неявного задания точек Т'к'3 исследование зависимости а,- = а у(7,1/, г) может быть осуществлено только дескриптивными методами, в основе которых лежит свойство последовательности критических точек Т^ образовывать арифметическую, а ее значений — геометрическую прогрессию.

G(S(t))

Л

H/t)

ЦЖ

_JML_/ \

kHß Жу—

п:

Т \ти , TJ Т'к .

\ ;S(t) V/

/

V/

Рис. 1: Функции 5(0, Hi(t), H0(t) и #0.5 (0-

Структура значений S^"'), задаваемая частичным обращением функции (5) с параметром частичности 7, согласована с обобщением геометрической прогрессии вида

Pj = с-1 (S(t£'"j) - S(l£'ai41)) = qai - qa, (6)

где q = c-27"¡/rí с — envlT соъ <p. Исходя из структуры этого обобщения вводится понятие ритмической сбалансированности. Если a.j = mj, то указанное обобщение геометрической прогрессии является обычной геометрической прогрессией со знаменателем qm. В этом случае говорится о наличии ритмической сбалансированности

системы, а при более сложной структуре обобщения (6) — о ее отсутствии.

При а, = [j/u|, 0 < or < 1, выражение (6) имеет вид плотности обобщенного геометрического распределения

используемого для описания устойчивых регуляций в биосистемах [3]. При а = \/т имеет место соответствующее случаю устойчивых взаимоотношений в биосистеме обычное геометрическое распределение с параметром q вида q™ (g — вероятность неудачи, [ж] — ближайшее целое справа). Смысл устойчивости состоит в том, что она соответствует однородным агрегациям испытаний Бернулли, задаваемым обычным геометрическим распределением. Обобщенным геометрическим распределением (а = s/m) описываются структуры неоднородных агрегаций испытаний (неустойчивая система), когда масштабы воздействия (s) и противодействия (т) несоизмеримы. Такое понятие устойчивости систем было введено А.Г.Бартом при анализе различных биосистем в работах 80-х годов. Экстремальные значения параметра q, при которых возможно представление Q — Qо\ назывались порогами иммунитета (т —масштаб иммунитета), интервал [<?i ,g0] — областью устойчивых регуляций.

При сопоставлении этих двух подходов к анализу биосистем оказывается, при определенных значениях параметров т;, т и -у, равном а, структуры двойного частичного обращения функции S(t) и обобщенного геометрического распределения совпадают, то есть

— Г?/а1- В этом случае говорится о согласовании частичного обращения функции (5) с обобщенным геометрическим распределением. В §3.3 исследуется вопрос оценивания границ указанной согласованности.

Теорема 0.4 1) При 7 = s/m функция (t) всегда имеет разрыв ™S(T0kirm) = cqrm, г = 0,1,....

2) При 7 = er = 1/2 имеет место согласование обращений для любых параметров rj и т.

3) В случае 7 = 1/ш, m > 2 существуют такие q0 и qx (0 < 4i < Ço < 1)/ что согласование обращений возможно лишь при 4i < S~~{t) < ço.

4) В случае я > 1 данная согласованность обращений невозможна ввиду несовпадения чередования разрывов функции с

ритмикой \Ца\ .

Из теор.0.4 следует, что область ритмической сбалансированности ограничена интервалом [91,90], которому с точки зрения обобщенных биномиальных распределений соответствует область устойчивых регуляций. Временной интервал, соответствующий области [<21>9о], разбивается на два неоднородных отрезка, один из которых относится к периоду распада (так называемый критический период), другой — к латентному периоду. В терминологии Главы 1, критическому периоду на уровне аналогий сопоставляется неканонический класс К01, латентному — класс Коо-

Кривые саногенеза используются при исследовании кривых дожития или распределения времени жизни маркетингового продукта. Параметры в этом случае оцениваются по методу наименьших квадратов. Одним из способов подключения дополнительной информации о текущем состоянии системы заключается в том, что функция (5) рассматривается как вещественная часть ковариационной функции

ВЩ^о^е-М-"*, г)> О, (7)

комплексного марковского стационарного и нормального процесса. Параметры г) и т в этом случае могут быть оценены по реализациям этого процесса. Вопросам оценивания параметров посвящен §3.4. В отличие от известных ранее подобных оценок, получаемых из решений кубического или квадратного уравнений, указаны условия, при которых возможно получение линейных оценок. Предполагается, что мы имеем т независимых реализаций = «¿(О + ">¿(0 (иу(£) и независимы) КМНС процесса с нулевым средним и ковариационной функцией (7), наблюдаемых в моменты времени ¿ = 1,2,..., к. Положим = хц, и3(I) = и^, «¿(/) = Vj^, Основными статистиками являются

& т к—1 т (г—1 та

А2 = Лз =

1=1 3=1 1=2 3=1 1=1 3 = 1

Оценка максимального правдоподобия г может быть получена как аргумент комплексного числа д ~ В(1)/В(0) = £1 + ¿£>2, а сг2 имеет

л А к—t m

вид <т2 = В{0), где B(t) = , * _ £ £ (+(. В случае, когда

^ ¿=1j = l

= А?¡{к — 2), для ¡7 имеет место оценка г) = — In of + Q^-Если А\/к ф Аг/(Ь - 2), то f¡ — - In0/2. Оценка § является решением кубического уравнения

А2(к - 1 )03 - Z{f)(k - 2)02 - (кА2 Лг)0 -I- fcZ(f) = 0,

где Z(r) = ДсЛз cos т + 1тЛз sin т.

В §3.5 приводятся два иллюстративных примера исследования динамики сложных систем. В первом анализируются кривые дожития по кардиологическим данным. Использование модели динамики саногенетических факторов (5) позволило выявить согласующуюся с реальностью зависимость скорости прогрессирования заболевания от типа гемодинамики. Во втором примере оцениваются границы ритмической сбалансированности в динамике изменения объемов рыночных продаж. Показывается, каким образом согласование политики рекламы с критическими периодами в процессе продаж приводит к более эффективным стратегиям управления.

В §3.6 исследуется процесс, в качестве реализаций которого рассматриваются знаки реализаций КМНС процесса, sign:r( = signut + ¿signt)t. Получено выражение для корреляционной функции процесса знаков вида

~ 2

П (t) = - (arcsmRe72.(f) + iarcsinlmTl(t))

7Г

Случаи оценки параметров модели r¡ и т определяются из принципа минимума функционала

при t = 1, где ||а:|| = л/хх*, ат = (1 + i, 1 - г, -1 + г,-1 - г) — вектор всевозможных реализаций процесса sigriXj. Получены пять основных типов кривых саногенеза. Наиболее важным представляется так называемый регуляторный тип, определяемый матрицами вида А3 = / и инвариантный относительно симметрической группы S4, действующей на компонентах вектора а.

В связи с широким использованием в анализе различных биосистем обобщенных биномиальных распределений их исследование приобретает самостоятельное значение. В §3.7 приводятся новые рекуррентные соотношения для производящих функций распределений Р+(к\п,р,а) и (3"_(п\к,р, а) и их моделирование, связанное с искажением случайного блуждания на целочисленной решетке.

Глава 4 посвящена краткому описанию некоторых приложений. В §4.1 описывается пример анализа стоматологических данных. По знаковой структуре матриц факторных весов для показателей гингивита получено, что группы индивидов с различным состоянием иммунитета относятся к различным классам сбалансированности: классу Коо соответствует нормальное состояние иммунитета, а классу K0i — наличие функциональных нарушений иммунных реакций. При этом отмечена большая продуктивность внешнего вмешательства путем лечения для критической неканонической системы в отличие от сверх сбалансированной канонической, когда иммунитет находится в незадействованном состоянии. Также по знаковым структурам факторного анализа производится сопоставление динамики ФРОЭ для различных форм бронхиальной астмы (§4.2).

В §4.3 анализируются двенадцать инволютивных матриц группы SpOf*. 6 На этих матрицах задаются комбинаторные операции (в виде перестановок столбцов и инверсии нулей и единиц), которым сопоставляются коллинеации конечной эвклидовой плоскости С точки зрения этих коллинеаций интерпретируются двенадцать меридианов акупунктурных точек, в связи с чем указанные матрицы названы в данной работе меридианными.

§4.4 посвящен описанию комбинаторного метода анализа шестнадцати соционических типов в психологии. Дано описание интертип-ных отношений на основе SpOи операции сложения в Fie. Различные формы межтиповой совместимости интерпретируются при помощи блоков канонического дизайна D°(16,140,35,4,71 Jie).

В §4.5 установлено соответствие между соционическими и лю-шеровскими типами. Под люшеровскимл типами понимаются 16 состояний, описываемых четными подстановками на 8-ми объектах (8 цветов), соответствующими по ,7(20160) 16-ти матрицам SpO^.

«Через SpO^ обозначена подгруппа порядка 16 ортогональных и симплек-тическях матриц группы 5£Î3.

Работы автора по теме диссертации

[1] Клочкова Н.П., (1996), Интегрирование дизайнов. "Вестник С.-Петерб.ун-та". Сер.1. Вып.1. С.39-43.

[2] Клочкова Н.П., (1996), Производящие функции обобщенных биномиальных распределений. "Вестник С.-Петерб.ун-та". Сер.1. Вып.2. С.100-103.

[3] Bart A.G., Klotchkova N.P., Kozhanov Y.M., (1993), The Universal Scheme of Regulations in Biosystems for the Analysis of Neuron Juncions as an example, In Model-Oriented Data Analysis, W.G.Muller, H.P.Wynn, A.A.Zhigljavsky (Eds.), Heidelberg: Physica-Verlag. P. 167 177.

[4] Барт А.Г., Клочкова Н.П. и др. (1995), Математический анализ эволюции артериальной гипертензии. Сб. Артериальные гипертеюии. (Актуальные вопросы патогенеза и терапии) Изд. С.-Петерб. гос. мед. ун-та. С.202-210.

[о] Клочкова Н.П., (1995), Моделирование обобщенных биномиальных распределений. Депонирование JV2576-B95 от 15.09.95, 7с.

[6] Барт А.Г., КлочковаН.П., К.Тиен, (1992), Частично обратные функции в схеме Бернулли. Депонир. 1854-В92 от 05.05.92, 50с.

[7] Соколова Л.А., Бондаренко Б.Б., Барт А.Г., Клочкова Н.П., (1994), Исходы пограничной артериальной гипертензии (результаты проспективных клишко-гема динамических наблюдений. Кардиология Лг11. С.23-25.

[8] Соколова JI.A., Клочкова Н.П. и др. (1995), Факторы риска прогрессировать пограничной артериальной гипертензии. Сб. Артериальные гипертензии. (Актуальные вопросы патогенеза и терапии) Изд. С.-Петерб. гос. мед. ун-та. С.287-294.

[9] Соловьева A.M., Клочкова Н.П., Котюрова О.Л. (1996) Роль местнодействующих экзогенных факторов в развитии гингивита у лиц молодого возраста Пародонтология N1. С.44-47.