Компьютерное моделирование динамики систем абсолютно твердых и упругих тел, подверженных малым деформациям тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.06 ВАК РФ

На правах рукописи

МИХЕЕВ Геннадий Викторович

КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ СИСТЕМ АБСОЛЮТНО ТВЕРДЫХ И УПРУГИХ ТЕЛ, ПОДВЕРЖЕННЫХ МАЛЫМ ДЕФОРМАЦИЯМ

Специальность 01.02.06 -Динамика, прочность машин, приборов и аппаратуры

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Брянск-2004

Работа выполнена на кафедре «Прикладная механика» государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Брянский государственный технический университет»

Научный руководитель доктор физико-математических наук,

профессор Погорелое Д.Ю.

Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор

СерпикИ.Н.

кандидат технических наук, доцент Ольшевский А.А.

Ведущая организация ФГУП Всероссийский научно-исследовательский

конструкторско-технологический инс гитут (ВНИКТИ), г. Коломна

Защита состоится «28» декабря 2004 г. в 11 ч. 30 мин на заседании диссертационного совета К 212.021.02 Брянского государственного технического университета по адресу: 241035, г. Брянск, бульвар 50-летия Октября, 7, ауд. 220.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Брянского государственного технического университета.

Автореферат разослан «оСО » ноября 2004 года.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Компьютерное моделирование является в настоящее время одним из основных способов исследования динамики сложных механических систем. Оно стало неотъемлемым этапом проектирования конструкций, оптимизации их параметров и широко применяется в различных областях науки и техники, таких как железнодорожный и автомобильный транспорт, авиастроение, робототехника и пр.

Программы моделирования реализуют методы построения и анализа математических моделей объектов, разработанные на основе обобщенных подходов к описанию разнообразных конструктивных элементов, условий их взаимодействия и функционирования. Эффективность математических моделей определяется допущениями, которые принимаются в рамках таких подходов.

В основе современных программ, например, ADAMS (США), SIMPACK (Германия), EULER (Россия), лежит представление объекта исследований системой абсолютно твердых тел (СТТ), связанных посредством шарниров и силовых элементов. Подобный метод реализован также в программном комплексе (ПК) «Универсальный механизм» (УМ), разработанном в Брянском государственном техническом университете под руководством проф. Погорелова Д.Ю., и весьма хорошо зарекомендовавшим себя по результатам решения широкого класса задач.

Однако многие исследования эффективны только с учетом упругости некоторых частей конструкции, что следует учитывать при построении математической модели. Таковыми, например, являются исследования вибраций кузова или рамы железнодорожного экипажа при движении с учетом воздействий от силового оборудования и неровностей пути.

Подобные задачи предполагают использование гибридных моделей, которые строятся на основе совмещения различных подходов при описании динамики конструкции. Отечественные программы, реализующие моделирование методом гибридных моделей, автору не известны.

Цель и задачи работы. Целью работы является разработка и программная реализация на базе программного комплекса УМ методики построения и анализа математических моделей гибридных механических систем и оценка эффективности их применения для исследований динамики конструкций.

Для достижения цели в работе поставлены и решены следующие задачи.

1. Разработка алгоритма численного синтеза уравнений движения упругих тел, подверженных малым деформациям, с учетом больших перемещений и представления деформаций разложением в ряд по формам конструкции.

2. Модификация метода подсистем для возможности совмещения упругих и абсолютно твердых тел в составе гибридной модели.

3. Реализация эффективной модификации метода Ланцоша с применением разработанного метода решения систем линейных алгебраических урав-

РОС. НАЦИОНАЛЬНАЯ БИБЛИОТЕКА

нений большого размера для решения обобщенной проблемы собственных значений.

4. Реализация разработанной методики компьютерного моделирования в виде отдельного модуля ПК «Универсальный механизм», обеспечивающего моделирование гибридных систем как на основе данных подготовленных в среде модуля, так и импортированных из программных пакетов ANSYS, DSMFem.

5. Оценка корректности и эффективности разработанной методики на основе результатов тестовых примеров и моделирования реальных технических систем.

Обшая методика исследований. В работе использованы принципы и методы теоретической механики, математического моделирования деформируемых тел на основе метода конечных элементов и линейной алгебры.

Научную новизну работы составляют:

• методика моделирования систем, состоящих из абсолютно твердых и деформируемых тел, позволяющая проводить исследования динамики сложных технических систем в уточненной постановке;

• алгоритм численного синтеза уравнений движения упругих тел, подверженных малым деформациям, с учетом больших перемещений и представления деформаций разложением в ряд по формам конструкции;

• модификация метода подсистем для возможности совмещения упругих и абсолютно твердых тел в составе гибридной модели;

• новый метод решения систем линейных алгебраических уравнений с матрицами большого размера.

Достоверность научных результатов обеспечена:

• корректным использованием в рамках методики моделирования принципов и методов теоретической механики и теории упругости;

• тестирование методики с использованием моделей, имеющих точное теоретическое или известное численное решение;

• обсуждением результатов работы на научно-технических, в том числе всероссийских и международных, конференциях.

Практическая ценность и реализация результатов работы.

• Разработана методика моделирования систем, состоящих из абсолютно твердых и деформируемых тел, позволяющая проводить исследования динамики сложных технических систем в уточненной постановке.

• Данная методика реализована в виде модуля программного комплекса «Универсальный механизм», позволяющего строить и анализировать модели гибридных механических систем.

" Разработан интерфейс с программами МКЭ и Б8МЕеш, посредст-

вом которого разработанные методы стали доступными широкому кругу инженеров-исследователей в области машиностроения.

• Разработана методика моделирования динамики железнодорожных экипажей с учетом упругих свойств элементов конструкции.

• С использованием разработанного модуля решена прикладная задача о расчете вибраций щебнеочистительной машины ЩОМ 1200.

Апробация работы. Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях:

• восьмой всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике, Пермь, 2001 г.;

• седьмая Международная научно-техническая конференция «Проблемы развития рельсового транспорта», г. Ялта, 2002 г.;

• научно-практическая конференция «Безопасность движения поездов», г. Москва, 2003 г.;

• международный конгресс «Механика и трибология транспортных сис-тем-2003», г. Ростов-на-Дону, 2003 г.;

• пятый международный симпозиум по классической и небесной механике, г. Великие Луки, 2004 г.

На защиту выносится:

• методика моделирования систем, состоящих из абсолютно твердых и деформируемых тел;

• уравнения движения упругого тела с учетом геометрически нелинейных перемещений присоединенной системы координат;

• метод решения систем линейных алгебраических уравнений большой размерности.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 8 печатных работ.

Структура и объем диссертации. Работа включает введение, 3 главы, заключение, библиографический список из 98 наименований и 4 приложения. Общий объем диссертации составляет 153 страниц, включая 38 рисунков и 5 таблиц в текстовой части.

Автор выражает благодарность Российскому фонду фундаментальных исследований (фанты 98-01-00782, 99-01-00223," 02-01-00364) и научной программе «Университеты России» (гранты УР.04.01.09, УР.04.01.046, УР.04.01.002).

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Введение содержит обоснование актуальности и формулировку цели работы.

В первой главе рассмотрены основы современных методов компьютерного моделирования динамики систем абсолютно твердых и деформируемых тел. Приведена краткая историческая справка, отражающая основные этапы становления науки моделирования.

Базовым подходом для компьютерного моделирования динамики механических систем является представление их системой абсолютно твердых тел (СТТ), связанных посредством шарниров и силовых элементов. Он основан на принципах и законах классической механики. В рамках подхода разработаны эффективные алгоритмы вывода уравнений движения в численной или символьной форме, а также численные методы их анализа. Метод СТТ хорошо зарекомендовал себя при решении широкого класса задач.

Основоположниками компьютерного моделирования динамики систем тел являются Й. Виттенбург, Р. Роберсон, В. Шилен, Е. Кройцер, М. Вукобратович.

Приведены основные соотношения кинематики и динамики систем абсолютно твердых тел, лежащие в основе алгоритмов и методов, реализованных в программном комплексе «Универсальный механизм».

Представлен обзор известных подходов к формированию уравнений движения упругих тел, на основе которого выбран метод присоединенной системы координат (ПСК) для реализации в рамках разрабатываемой методики.

Подход на основе ПСК рассмотрен в работах А.А. Шабаны, П.Е. Никравеша. Он учитывает инерционную связь больших движений тела как твердого и малых упругих перемещений.

Пространственное движение упругого тела представляется посредством связанной с ним системы координат 1 системы координат (СК1), относительно которой строятся

соотношения для упругих перемещений. Положение произвольной точки деформируемого тела в глобальной СКО определяется соотношением (рис. 1):

гГ=г'?' + А01(р''> + 11<"), 0)

где - матрица направляющих косинусов (поворота) СК1 относительно СКО. Индекс в скобках означает систему координат, относительно которой записаны выражения. Вектор d представляет перемещения за счет упругих деформаций тела. Такой подход получил широкое распространение при условии малости упругих перемещений. К числу преимуществ метода следует отнести возможность применения линейного метода конечных элементов (МКЭ) для описания малых упругих перемещений в СК1. Теоретические основы метода хорошо разработаны, существующие типы конечных элементов позволяют исследовать тела практически любой конфигурации.

Рис.1. Метод присоединенной

С учетом этого описание упругих тел методом ПСК может применяться для решения многих задач, имеющих важное прикладное значение, например, исследования вибраций кузова железнодорожного экипажа или автомобиля при движении.

Используя любой известный способ построения уравнений движения, например уравнения Лагранжа II рода, уравнения движения упругого тела можно записать в виде

Mq + k = -Cq-Dq+fa +fc, (2)

где М, С, D - матрицы масс, упругости и внутреннего демпфирования упругого тела, q — обобщенные координаты, к — вектор-столбец обобщенных сил инерции, Гв-вектор-столбец обобщенных сил от приложенных нагрузок, fc -вектор-столбец обобщенных сил реакций. Число обобщенных координат равно 6+N', 6 координат задают положение СК1 в пространстве, N узловых координат используются для описания малых упругих перемещений в СК1. Уравнения, построенные с применением метода ПСК, содержат нелинейные матрицу масс и вектор сил инерции как результат инерционной связи между большим движением тела как твердого и малыми упругими перемещениями. Стоит отметить, что, несмотря на распространенность метода, конечные выражения всех членов уравнения (2), полученные на его основе, автором в публикациях не обнаружены.

Число ТУ узловых степеней свободы конечно-элементной модели для многих конструкций может равняться десяткам и сотням тысяч. Этот факт, а также наличие высокочастотных составляющих в решении, которые в реальности гасятся внутренним демпфированием, делают непосредственный анализ системы уравнений движения неэффективным, а часто просто невозможным. Ее размер можно уменьшить в несколько раз, используя преобразования координат на основе модального анализа. Тогда малые упругие перемещения описывают Нмодальных координат, соответствующие допустимым формам упругого тела, Н<<N Общий вид уравнений движения, записанных в терминах модальных координат, совпадает с видом уравнения (2).

Применение модального анализа предполагает решение обобщенной проблемы собственных значений. Эта задача становится нетривиальной, если размер матриц составляет десятки и сотни тысяч.

Таким образом, основными задачами, которые должны быть решены для построения моделей, совмещающих абсолютно твердые и деформируемые тела с малыми упругими перемещениями, являются вывод нелинейных уравнений движения упругих тел, проведение модального анализа, описание взаимодействий между твердыми и упругими телами в составе гибридной модели посредством произвольных силовых элементов и шарниров.

Вторая глава посвящена поэтапному рассмотрению методики моделирования динамики гибридных систем, в рамках которой разработаны новые методы либо обоснованно выбраны наиболее эффективные из существующих.

Для совмещения абсолютно твердых и упругих тел в составе модели модифицирован метод подсистем, разработанный проф. Погореловым Д.Ю. и pea-

лизованный в ПК «Универсальный механизм». Основной идеей метода является деление конструкции на части, называемые подсистемами, путем разрезания подходящих шарниров или силовых элементов, которые в рамках подсистемы именуются внешними. Объект, включающий более одной подсистемы, называется составным. Описание отдельной подсистемы выполняется независимо от других подсистем, после чего следует этап компоновки составного объекта.

Уравнения движения отдельной подсистемы с номером можно представить в следующем обобщенном виде:

где - вектор-столбец обобщенных сил, соответствующих внутренним активным силам; - вектор-столбец обобщенных сил от силовых взаимодействий подсистем с номерами / И к", - уравнения связей в шарнирах, соединяющих подсистемы; - матрица Якоби уравнений связей, - вектор-столбец множителей Лагранжа, К — множество подсистем составного объекта с которыми взаимодействует подсистема

Заметим, что общий вид уравнений (2) и (3) совпадает, что позволяет рассматривать упругое тело в качестве подсистемы и включить его в состав гибридной модели.

Уравнения движения составного объекта строятся на основе уравнений движения для отдельных подсистем. Каждое упругое тело представляется отдельной подсистемой. Для реализации взаимодействий между данной упругой подсистемой и другими подсистемами объекта посредством силовых элементов и шарниров используются стандартные внутренние процедуры УМ. Модификация метода подсистем заключается в разработке процедур расчета текущих значений кинематических характеристик упругой подсистемы, а также выражений для матриц Якоби, которые используются при построении уравнений связей.

Далее представлен подробный вывод нелинейных уравнений движения упругой подсистемы с применением метода ПСК. Уравнения выведены с использованием уравнений Лагранжа II рода. В работе приведен явный вид выражений всех членов уравнения движения (2).

Кинематика точки упругого тела описывается на основе соотношения (1). Выражения членов уравнений движения упругих подсистем получены при трех упрощающих предположениях, применение которых обосновано и не приводит к существенной потери точности моделирования.

1. Упругое тело описывается в СК1 в терминах линейного МКЭ. Силы инерции, возникающие в результате больших движений упругого тела, прикладываются в узлах конечно-элементной схемы. В этом случае приближенное выражение кинетической энергии упругой подсистемы имеет вид

1у ¿к

где к - номер узла, т¡¡- узловая масса, - узловой момент инерции, Ук - скорость узла, <ак - угловая скорость узла.

2. Малые упругие перемещения в СК1 аппроксимируются допустимыми формами упругого тела на основе следующего соотношения:

Х = = (5)

где х - вектор-столбец узловых координат, - допустимые формы упругого тела, - вектор-столбец модальных координат. Выражение (5) задает преобразование координат. В подавляющем большинстве случаев для приближенного представления упругих перемещений используется Н<<N.

Наиболее трудоемким оказался вывод выражений обобщенных сил инерции и матрицы масс, а также обобщенных сил тяжести. Тем не менее, для них удалось получить достаточно компактные выражения посредством введения девяти постоянных в СК1 матриц, элементы которых зависят от значений узловых масс, узловых моментов инерции, координат узлов и столбцов И, модальной матрицы Н.

Выражения для обобщенной матрицы жесткости, с другой стороны, получаются довольно простыми, благодаря факту, что упругие координаты определяются в локальной СК1.

Получены также соотношения для расчета обобщенных сил от приложенных нагрузок, рассмотрены способы задания матрицы внутреннего демпфирования.

Эффективность моделирования упругих тел во многом определяется видом форм h¡ используемых для аппроксимации решения. В параграфе, посвящен-• ном методам модального анализа, рассмотрены: статическая конденсация, преобразования на основе собственных и присоединенных форм упругой подсистемы, а также метод связанных подструктур. Для каждого метода приведены выражения для обобщенной матрицы жесткости упругой подсистемы. Рассмотрена проблема так называемых остаточных сил.

Статическая конденсация обобщает методы анализа статики, развитые в рамках МКЭ и метода суперэлементов, на динамические задачи. Отмечается сложность и большие ограничения применяемой процедуры. В общем случае в результате преобразований не сохраняются важные динамические характеристики конструкции: масса и момент инерции, положение центра масс, собственные частоты.

Аппроксимация упругих перемещений собственными формами подсистемы позволяет эффективно моделировать ее динамику при отсутствии шарнирных взаимодействий с другими подсистемами объекта. Собственные формы являются результатом решения обобщенной проблемы собственных значений с матрицами масс и жесткости упругой подсистемы, сформированными МКЭ (С-ХМ)у = 0. (6)

Учет так называемых присоединенных форм рк от действия единичных нагрузок, приложенных в узлах упругой подсистемы, в некоторых случаях позво-

ляет повысить эффективность моделирования. Модальная матрица тогда строится на основе соотношения:

*=+Ер*^ = [у РК=Н\у

где У - число используемых собственных форм, Р - число присоединеных форм.

Основным недостатком аппроксимаций собственными формами при наличии шарнирных взаимодействий между подсистемами является нарушение уравнений связей в процессе моделирования.

Метод связанных подструктур (Крэйга-Бэмптона) свободен от этого недостатка. Он представляет собой комбинацию процедур статической конденсации и редуцирования уравнений движения по собственным формам. Применение метода включает 4 этапа:

1) деление узлов МКЭ модели подсистемы на 2 категории: граничные (интерфейсные) и внутренние;

2) расчет форм от единичных смещений, в направлении одной из граничных степеней свободы при закрепленных остальных;

3) расчет собственных форм колебаний подсистемы при закрепленных граничных узлах;

4) построение модальной матрицы.

В соответствии с первым этапом вектор-столбец узловых степеней свободы и матрицы подсистемы представляются в следующем виде:

где индекс i соответствует внутренним степеням свободы, Ь - граничным.

Статические формы $„ рассчитанные на втором этапе метода, и собственные формы рассчитанные на третьем, располагаются по столбцам модальной матрицы:

У в

н=

0 Е

где Е - единичная матрица. Заметим, что при таком подходе редуцирование степеней свободы в граничных узлах не производится, что позволяет корректно строить уравнения связей в разрезанных шарнирах.

Реализация этапа понижения порядка уравнений движения предполагает решение обобщенной симметричной проблемы собственных решений. Размер матриц, сформированных методом конечных элементов для реальных технических систем, может достигать нескольких десятков и даже сотен тысяч. При таких условиях задача (6) становится нетривиальной. Для ее решения на основе анализа существующих методов был выбран метод Ланцоша. Реализовано несколько известных модификаций алгоритма. Метод предполагает решение системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) на каждом шаге. Эффективность вычислений определяется возможностью проведения их в оператив-

ной памяти ЭВМ, что предполагает либо хранение профиля матрицы жесткости, либо применение итерационных методов. Итерационные методы сходятся очень медленно и практически неприемлемы для многошаговых вычислений. С другой стороны, профиль матрицы жесткости в некоторых случаях невозможно разместить в оперативной памяти компьютера даже теоретически. Поэтому в рамках разрабатываемой методики предлагается новый метод прямого решения СЛАУ большого размера, который позволяет резко сократить потребности в оперативной памяти ЭВМ по сравнению с традиционными методами.

Поясним метод на примере матрицы жесткости, построенной в соответствии с МКЭ. Используя п-1 сечений, условно разделим конструкцию на п частей, называемые подконструкциями. После специальной перенумерации узлов матрица принимает блочно-трехдиагональный вид. Используя разработанный автором и изложенный в заключение второй главы алгоритм, профили диагональных блоков матрицы уплотняются, что, наряду с применением специального алгоритма решения СЛАУ с блочно-трехдиагональной матрицей, приводит к значительному снижению потребности в оперативной памяти.

Эффективность разработанного метода продемонстрирована на примере задачи поиска собственных форм кузова тепловоза ТЭП70. Конечноэлементная модель предоставлена Коломенским тепловозостроительным заводом. Она содержит 164088 степеней свободы. Профиль исходной матрицы жесткости занимает более 2 Гб памяти, что больше теоретически возможного для используемого компилятора Borland Delphi. Применяя описанный метод, требования к объему памяти для расчета 10 форм кузова удалось сократить до 700 Мб, при этом 500 Мб использовалось для хранения матрицы жесткости.

Третья глава посвящена описанию программной реализации разработанной методики в виде модуля к программному комплексу УМ, тестированию модуля, а также описанию примера моделирования динамики реальной технической системы - щебнеочистительной машины ЩОМ 1200.

Модуль реализует всю последовательность действий, необходимых для исследования упругих тел в составе гибридной модели:

• представление объекта в терминах МКЭ;

• понижение порядка системы уравнений движения упругой подсистемы на

основе модального анализа;

• включение упругой подсистемы в состав объекта на этапе его компоновки;

• численный анализ уравнений движения составного объекта.

К настоящему моменту возможности модуля в части представления объекта конечно-элементной схемой ограничены узким набором стержневых и пластинчатых конечных элементов. Для расширения класса решаемых задач разработаны интерфейсы с широко распространенным программным пакетом МКЭ ANSYS, а также программным комплексом DSMFem.

После разработки программа прошла тестирование с использованием простых моделей гибридных систем. В работе рассмотрено 2 тестовых примера:

• расчет частот упругой однородной балки;

• моделирование кривошипно-ползунного механизма с упругим шатуном.

Первый тест проведен для подтверждения корректности построения уравнений движения отдельного упругого тела с использованием различного типа связей. Выводы об успешности проведенного теста сделаны на основании сравнения рассчитанных значений частот с теоретическими.

Второй тест проведен для подтверждения корректности моделирования упругих тел, подверженных большим перемещениям. Предметом сравнения были результаты, полученные с использованием трех моделей, в которых шатун был представлен следующим образом:

• абсолютно твердым телом;

• системой одиннадцати абсолютно твердых тел, связанных вращательными

шарнирами с внутренними линейными упругостью и диссипацией;

• упругим телом в соответствии с разработанной методикой. Тестирование программы показало корректность разработанной методики и ее программной реализации.

С целью оценки эффективности применения разработанной методики для исследований динамики железнодорожных экипажей, а также определения динамических параметров, на точность расчета которых влияет учет упругих свойств, проведено тестовое моделирование автомотрисы АС4 при движении в прямых и кривых участках пути с учетом неровностей. Кузов автомотрисы полагается упругим и представляется упрощенной схемой МКЭ. Гибридная модель представлена на рис. 2.

Рис. 2. Гибридная модель автомотрисы АС4

Проведен ряд численных экспериментов. Установленные закономерности продемонстрируем на примере сравнения значений динамических величин, вычисленных с применением трех моделей, в которых упругий кузов представлен наборами из шести, двадцати четырех и семидесяти собственных форм, соответствующих низшим собственным частотам. Двадцать четвертая собственная частота равна 12 Гц, семидесятая - 22 Гц. На приведенных графиках результаты, полученные с применением первой модели, обозначены цифрой 1, второй -цифрой 2, третьей - цифрой 3.

По результатам моделирования сделаны следующие основные выводы:

1. Учет упругих свойств кузова несущественно уточняет значения рамных сил при движении в кривой без неровностей (рис. 3). При этом влияние оказывают только формы, соответствующие низшим собственным частотам.

2. При движении в кривой с учетом неровностей влияние упругих форм кузова на значения рамных сил более заметно. Оно оценивается по среднеквад-ратическим отклонениям (СКО) значений рамных сил после удаления низкочастотного тренда (рис. 4). Разница результатов моделирования при использовании первой и второй моделей кузова составила 9,8 %

3. Показано существенное влияние учета упругости на значения СКО виброускорений, замеренных на раме кузова. Для точки рамы под серединой салона уточнение составляет до 70% (на

Рис. 4. Рамные силы в кривой с неровностями после удаления низкочастотного тренда скорости 100 км/ч) по сравнению с твердотельной моделью (рис. 5), для точек рамы под кабинами - до 30 %. При этом учет высокочастотных составляющих позволяет расширить анализируемый диапазон спектра колебаний (рис. 6).

На основе результатов тестового моделирования автомотрисы разработанную методику рекомендуется применять для исследований вибраций упругих частей конструкций железнодорожных экипажей.

20 40 60 80 100

Рис. 5. СКО виброускорений рамы под серединой салона

Рис. 6 Спектральная плотность мощности виброускорений под серединой салона V= 100 км/ч

Моделирование динамики щебнеочистительного модуля ЩОМ 1200, результаты которого приводятся в заключение третьей главы, проведено на этапе проектирования машины. Техническая документация, на основе которой разработана гибридная модель, представлена ГУП БНИКТИ МПС России г. Коломна.

Рис. 7. Гибридная модель щебнеочистительного модуля ЩОМ 1200. Расположение контрольных точек

Компьютерная модель объекта исследований (рис. 7) включает три подсистемы. Упругая подсистема №1 включает раму, обустройство рамы, а также рамы грохотов. Подсистема №1 взаимодействует с базовой СКО посредством 4 упругих и 4 диссипативных линейных элементов, которые моделируют рессорное подвешивание машины. Конвейеры, привод тележки и другое оборудование, прикрепляемое к раме, учитывались сосредоточенными массами, помещенными в узлах схемы, соответствующих местам крепления. Математическая модель подсистемы 1 построена на основе 25 собственных форм, соответствующих низшим собственным частотам в диапазоне от 2 до 28 Гц. Грохоты представляются идентичными подсистемами №2 и №3, состоящими из 7 твердых тел, и взаимодействуют с подсистемой №1 посредством 4 упругих и 4 дис-сипативных силовых элементов.

Целью исследований является определение параметров вибраций рамы в режимах, разбега, выбега и рабочем режиме грохотов в зависимости от углов поворотов дополнительных дебалансов относительно основных и смещения фазы вращения вала заднего грохота относительно вала переднего.

Варьировались 2 параметра с шагом 30 градусов:

• ф° - смещение фаз вращения дебалансных валов грохотов;

• а° - поворот дополнительных дебалансов относительно основных. Этот параметр полагался равным для обоих грохотов.

Исследования параметров вибрации проводились в восьми контрольных точках (рис. 7). В результате проведенных исследований выяснилось, что самым неблагоприятным режимом является выбег грохотов, при этом значения амплитуд вертикальных вибраций преобладают над значениями продольных. Амплитуды поперечных вибраций пренебрежимо малы.

Максимальные значения амплитуды вертикальных вибраций и СКО виброускорений зафиксированы в точке 4 в режиме выбега грохотов при следующих значениях (рис. 8):

• для вибраций а=0°, ф = 0°;

• для виброускорений а=0°, <р° = 150°.

Рис. 8. Амплитуды вертикальных вибраций (а) и СКО вертикальных виброускорений (Ь) в контрольной точке 4 в режиме выбега грохотов

По результатам моделирования установлено, что параметры вертикальных вибраций рамы под воздействием со стороны грохотов определяются в основном тремя формами колебаний с частотами: 2.6 Гц, 9.5 Гц и 13 Гц. Колебания с частотой 2.6 Гц соответствуют колебаниям машины на подвеске, две друге формы являются изгибными формами колебаний рамы.

В заданном диапазоне параметров грохотов и режимов их работы значения виброускорений лежат в допустимых пределах.

1. Разработана методика моделирования систем, состоящих из абсолютно твердых и деформируемых тел, позволяющая проводить исследования динамики сложных технических систем в уточненной постановке. Методика позволяет получать более достоверные спектральные оценки динамических процессов, в частности при компьютерном моделировании динамики рельсовых экипажей. Методика также позволяет моделировать упругими телами звенья механизмов, совершающих геометрически нелинейные движения.

2. Построены нелинейные уравнения движения упругого тела при условии больших перемещений присоединенной системы координат. Для уменьшения числа степеней свободы в результирующей модели реализован модальный подход. Наиболее эффективная методика предполагаег расчет комбинации собственных и статических форм упругого тела. Показана обоснованность упрощений уравнений движения, связанных с приложением сил инерции в узлах конечно-элементной сетки.

а

гЗ 5 •3 0 25 20 15 10 05

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ И ВЫВОДЫ

3. Модифицирован метод подсистем для возможности совмещения упругих и абсолютно твердых тел в составе гибридной модели. Модификация позволяет учитывать каждое упругое тело в виде отдельной подсистемы с автоматизированным формированием элементов уравнений движения, сил взаимодействия с другими подсистемами, уравнений связей, а также визуального отображения движения.

4. Разработан новый метод решения систем линейных алгебраических уравнений большого размера, который применяется на этапе поиска собственных форм упругих тел методом Ланцоша. Разработанный метод позволяет до пяти раз сократить объем оперативной памяти ЭВМ, необходимой для поиска собственных форм, что позволяет решать без использования жесткого диска задачи с размером матрицы до 250 000. С использованием данного метода рассчитаны низшие собственные частоты и формы колебаний кузова тепловоза ТЭП70 (число степеней свободы 165 000). Предложен эффективный алгоритм минимизации объема профиля матриц. Применение алгоритмов к моделям, приведенным ниже, позволяет уменьшить число ненулевых элементов в профиле матриц жесткости от трех до пяти раз.

5. Разработан модуль UMFem для ПК «Универсальный механизм», позволяющий автоматизировать исследования динамики гибридных систем тел, соединенных шарнирами и силовыми элементами произвольных типов. Модуль автоматизирует подготовку моделей упругих тел и позволяет проводить их численный анализ. Разработанная программа не имеет аналогов среди российских программных продуктов. Модуль включает также возможность построения конечно-элементных моделей конструкций с использованием балочных и пластинчатых конечных элементов, а также проводить расчет частот и форм упругих тел методом Ланцоша.

6. Разработаны интерфейсы с программами МКЭ ANSYS и DSMFem, позволяющие строить гибридные системы в ПК УМ на основе конечно-элементных моделей, разработанных в этих программах. Интерфейс позволяет формировать данные, необходимые для построения гибридных моделей, в специально разработанном формате и поддерживает большую часть конечных элементов, доступных в этих программах. Благодаря данному интерфейсу модуль моделирования гибридных систем становиться доступным широкому кругу инженеров-исследователей.

7. Проведенное тестирование показало корректность разработанных алгоритмов и программного обеспечения.

8. С использованием модуля UMFem создана конечно-элементная модель кузова автомотрисы АС4, рассчитаны низшие частоты и формы колебаний, на основе которых построена гибридная модель экипажа. Проведено тестовое исследование динамики данной модели при движении в прямых и кривых. Показано, что учет семидесяти собственных форм позволяет уточнить значения СКО виброускорений на раме кузова до 70 % по сравнению с твердотельной моделью. При этом учет высокочастотных составляющих значительно уточняет спектральный состав динамических характеристик. Кроме того, учет собствен-

ных форм, соответствующих низшим частотам, позволяет уточнить значения рамных сил при движении в кривых с учетом неровностей.

9. С использованием модуля 1МБеш создана конечно-элементная модель рамы проектируемой щебнеочистительной машины ЩОМ 1200 и соответствующая гибридная модель, включающая грохоты. На основе данной модели решена прикладная задача исследования вибраций рамы. Проведенный анализ показал, что в заданном диапазоне параметров грохотов и режимов их работы значения виброускорений лежат в допустимых пределах. Результаты исследований переданы во ВНИКТИ МПС.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Основное содержание работы изложено в следующих публикациях.

1. Погорелов Д.Ю., Михеев Г.В. О моделировании гибридных систем тел//Динамика и прочность транспортных машин / Сб. тр. под ред. Сакало В.И., Брянск: БГТУ, 1998. - С. 55-62.

2. Михеев Г.В. Применение метода Ланцоша для расчета частот и форм колебаний механических систем // Динамика и прочность транспортных машин / Сб. тр. под ред. Сакало В.И. - Брянск: БГТУ, 1998. - С. 48-54.

3. Михеев Г.В. Некоторые результаты исследований гибридных моделей механических систем, построенных методом подсистем с учетом упругости элементов конструкции // Динамика и прочность транспортных машин / Сб. тр. под ред. Сакало В.И. - Брянск: БГТУ, 2000. - С. 28-34.

4. Михеев Г.В. Методы построения и анализа гибридных моделей технических систем. Восьмой всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике 23-29 августа 2001г. Пермь. Аннотации докладов. 2001. - С. 437-438.

5. Михеев Г.В. Применение гибридных моделей для исследования динамики железнодорожных экипажей // Вюник Схщно-укра1нського нацюнального ушверситету шет Володимира Даля №6(52), СНУ, 2002. - С. 32-38.

6. Михеев Г.В. Некоторые приемы, используемые для построения эффективных гибридных моделей технических систем // Сборник докладов международного конгресса "Механика и трибология транспортных систем - 2003" сентябрь 2003 г., в 2-х томах. Том 1. Ростовский государственный университет путей сообщения. Ростов-на-Дону, 2003. - С. 150-154.

7. Михеев Г.В. Некоторые моменты технологии построения и примеры практического применения гибридных математических моделей для исследования динамики железнодорожных транспортных средств // Безопасность движения поездов. Труды научно-практической конференции. - М.: МИИТ, 2003.-С.1У62.

8. Михеев Г.В. Методы построения и анализа гибридных математических моделей механических систем. // Тезисы докладов пятого международного симпозиума по классической и небесной механике, 23-28 августа, 2004 года, Великие Луки. - С. 141.

Михеев Геннадий Викторович

КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ СИСТЕМ АБСОЛЮТНО ТВЕРДЫХ И УПРУГИХ ТЕЛ, ПОДВЕРЖЕННЫХ МАЛЫМ ДЕФОРМАЦИЯМ

01.02.06 - Динамика, прочность машин, приборов и аппаратуры Автореферат

Подписано в печать 25.11.04 Формат 60x84 1/16. Бумага офсетная. Офсетная печать. Усл. печ.л. 1. Уч.-изд.л. 1. Тираж 100 экз. Заказ 715

Брянский государственный технический университет.

241035, г. Брянск, БГТУ, бульвар 50-летия Октября, 7. Телефон 55-90-49.

Лаборатория оперативной полиграфии БГТУ, ул. Институтская, 16.

И2б 42 2

ВВЕДЕНИЕ.

1. ОБЗОР СОВРЕМЕННОГО СОСТОЯНИЯ В ОБЛАСТИ МОДЕЛИРОВАНИЯ ДИНАМИКИ СИСТЕМ ТЕЛ И ЗАДАЧИ ИССЛЕДОВАНИЙ.

1.1. Краткий анализ основ и обзор современного состояния в области моделирования динамики систем твердых тел.

1.1.1. Краткая историческая справка и современное состояние.

1.1.2. Основные соотношения кинематики и динамики систем твердых тел

1.1.2.1. Основные понятия.

1.1.2.2. Описание относительной кинематики пары тел, связанных шарниром.

1.1.2.3. Уравнения кинематики системы со структурой дерева.

1.1.2.4. Уравнения кинематики систем с замкнутыми цепями.

1.1.2.5. Динамика системы твердых тел.

1.2. Обзор подходов к формированию уравнений движения упругих тел.

1.2.1. Метод твердотельных элементов.

1.2.2. Линейная теория динамики упругих тел.

1.2.3. Метод последовательных приближений.

1.2.4. Векторы больших поворотов.

1.2.5. Метод присоединенной системы координат.

1.2.6. Формулировка МКЭ в терминах абсолютных координат.

1.3. Выводы и задачи исследований.

2. РАЗРАБОТКА МЕТОДИКИ ПОСТРОЕНИЯ ГИБРИДЫХ МОДЕЛЕЙ

2.1. Метод подсистем - основа построения гибридных моделей.

2.2. Вывод соотношений для численного синтеза уравнений движения упругих подсистем.

2.2.1. Основные допущения.

2.2.2. Выражение кинетической энергии.

2.2.3. Вывод уравнений движения упругой подсистемы с использованием уравнений Лагранжа IIрода.

2.3. Методы понижения порядка системы уравнений движения упругой подсистемы.

2.3.1. Статическая конденсация.

2.3.2. Собственные формы колебаний.

2.3.3. Метод связанных подструктур.

2.4. Эффективное решение обобщенной симметричной проблемы собственных значений.

2.4.1. Предварительные замечания.

2.4.2. Краткий обзор существующих методов решения симметричной проблемы собственных значений.

2.4.2.1. Прямые методы.

2.4.2.2. Методы аппроксимаций.

2.5. Решение систем линейных алгебраических уравнений большого размера

2.6. Алгоритм оптимальной нумерации.

2.7. Выводы по результатам теоретических исследований. Общая схема методики построения гибридных моделей.

3. ПРОГРАММНАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ МЕТОДИКИ МОДЕЛИРОВАНИЯ ДИНАМИКИ ГИБРИДНЫХ СИСТЕМ, ТЕСТИРОВАНИЕ И ПРИМЕР ПРАКТИЧЕСКОГО ИСПОЛЬЗОВАНИЯ.

3.1. Программная реализация методики.

3.2. Тестирование программы.

3.2.1. Частоты закрепленной балки.

3.2.2. Тестовая модель кривошипно-ползунного механизма с упругим шатуном.

3.3. Тестовое моделирование динамики автомотрисы АС4.

3.4. Исследование вибраций рамы щебнеочистительной машины ЩОМ

3.4. Выводы по результатам главы.

Компьютерное моделирование является в настоящее время одним из основных способов исследования динамики сложных механических систем. Оно стало неотъемлемым этапом проектирования конструкций, оптимизации их параметров и широко применяется в различных областях науки и техники, таких как железнодорожный и автомобильный транспорт, авиастроение, робототехника и пр.

Программы моделирования реализуют методы построения и анализа математических моделей объектов, разработанные на основе обобщенных подходов к описанию разнообразных конструктивных элементов, условий их взаимодействия и функционирования. Эффективность математических моделей определяется допущениями, которые принимаются в рамках таких подходов.

В основе современных программ, например, ADAMS (США), SIMPACK (Германия), EULER (Россия), лежит представление объекта исследований системой абсолютно твердых тел (СТТ), связанных посредством шарниров и силовых элементов. Подобный метод реализован также в программном комплексе «Универсальный механизм» (УМ), разработанном в Брянском государственном техническом университете под руководством профессора Погорелова Д.Ю., и весьма хорошо зарекомендовавшим себя по результатам решения широкого класса задач.

Однако многие исследования эффективны только с учетом упругости некоторых частей конструкции, что следует учитывать при построении математической модели. Таковыми, например, являются исследования вибраций кузова или рамы железнодорожного экипажа при движении с учетом воздействий от силового оборудования и неровностей пути.

Подобные задачи предполагают использование гибридных моделей, которые строятся на основе совмещения различных подходов при описании динамики конструкции.

К сожалению, автору не известны отечественные программы, реализующие моделирование методом гибридных моделей. Среди зарубежных пакетов можно отметить, например, ADAMS, который импортирует данные об упругих телах из программ анализа конструкций методом конечных элементов. Наиболее известные из них - ANSYS и NASTRAN. Всесторонняя оценка зарубежных программ затруднительна в силу малой доступности как самих пакетов, цена которых весьма высока, так и работ с описанием реализованных методов. Ситуация с публикациями в последние годы несколько улучшилась вследствие развития Интернета. Однако реализация теоретических основ почти всегда связана с множеством нюансов, учет которых нередко требует дополнительных исследований.

Целью работы является разработка и программная реализация на базе программного комплекса УМ методики построения и анализа математических моделей для исследований динамики гибридных механических систем.

В работе показано, что наиболее универсальным методом вывода уравнений движения упругих тел является метод присоединенной системы координат (ПСК), позволяющий моделировать тела, подверженные любым пространственным перемещениям. При этом упругие перемещения за счет деформаций малы. Метод ПСК использует линейный метод конечных элементов (МКЭ) на одном из этапов построения модели, что позволяет адекватно представить упругие характеристики широкого класса технических систем.

Анализ системы уравнений движения в терминах узловых координат путем интегрирования сильно затруднен по причине ее большого размера и наличия в решении высокочастотных составляющих, которые в реальных условиях гасятся внутренним демпфированием. Повышение эффективности осуществляется на основе перехода к формулировке в терминах модальных координат, что предполагает предварительное решение обобщенной проблемы собственных значений. Поиск собственных пар матричных пучков большого размера является нетривиальной задачей.

Таким образом, эффективное моделирование упругих тел в составе объекта исследований предполагает решение комплекса проблем, составляющими которого являются:

• синтез уравнений движения упругих тел;

• понижение порядка системы уравнений на основе модального анализа;

• решение обобщенной проблемы собственных значений для систем с большим числом степеней свободы;

• описание способов взаимодействия тел различной природы в составе модели.

Каждая из перечисленных проблем является этапом разрабатываемой методики и представляет собой относительно самостоятельную область исследований.

В главе 1 диссертации приведен обзор основных существующих методов численного моделирования систем абсолютно твёрдых и деформируемых тел. В параграфе 1.1 изложена краткая историческая справка, отражающая основные этапы становления науки моделирования. Рассмотрены основные соотношения кинематики и динамики систем абсолютно твердых тел, лежащие в основе алгоритмов, реализованных в программном комплексе УМ. В параграфе 1.2 приводится обзор существующих методов моделирования динамики упругих тел, проведен их сравнительный анализ, на основе которого метод ПСК выбирается в качестве базового для разрабатываемой методики. В параграфе 1.3 конкретизируются задачи, которые необходимо решить для достижения цели диссертационной работы.

В главе 2 излагаются теоретические основы каждого этапа разрабатываемой методики. В начале каждого параграфа главы 2 кратко анализируется современное состояние области исследований, после чего излагаются авторские предложения и разработки, выполненные, в том числе, и в соавторстве. В параграфе 2.1 описаны теоретические основы модификации метода подсистем, которая позволяет совмещать абсолютно твердые и деформируемые тела в составе гибридной модели. Параграф 2.2 посвящен выводу соотношений, на основе которых строится алгоритм численного синтеза уравнений движения упругих тел. В параграфе 2.3. приведен анализ известных методов, применяемых для понижения порядка систем уравнений движения упругих тел, на основе которого самые эффективные из них выбраны для реализации. В параграфе 2.4 анализируются методы решения обобщенной проблемы собственных значений. Основное внимание при этом уделяется методу Ланцоша, на базе которого разработан эффективный алгоритм поиска собственных пар матричных пучков большого размера. Важной составляющей алгоритма является новый разработанный метод решения систем линейных алгебраических уравнений большого размера.

Третья глава посвящена тестированию и оценке эффективности разработанной методики на основе анализа результатов моделирования. Набор примеров включает расчет частот балки при различных вариантах закрепления, моделирование кривошипно-ползунного механизма, тестовое моделирование динамики автомотрисы АС4 при движении, а также пример, имеющий прикладное значение - исследование вибраций рамы щебнеочистительной машины ЩОМ 1200 при различных режимах работы грохотов.

Заключение диссертации содержит описание результатов работы и выводы.

Автор выражает благодарность Российскому фонду фундаментальных исследований (гранты 98-01-00782, 99-01-00223, 02-01-00364) и научной программе «Университеты России» (гранты УР.04.01.09, УР.04.01.046, УР.04.01.002).

3.4. Выводы по результатам главы

В третьей главе рассмотрена программная реализация разработанной методики исследований динамики гибридных систем в виде программного модуля иМРет. Модуль реализует всю последовательность действий, необходимых для исследования упругих тел в составе гибридной модели:

• представление объекта в терминах МКЭ;

• понижение порядка системы уравнений движения упругой подсистемы на основе модального анализа;

• включение упругой подсистемы в состав объекта на этапе его компоновки;

• численный анализ уравнений движения составного объекта.

К настоящему моменту возможности модуля в части представления объекта конечно-элементной схемой ограничены узким набором стержневых и пластинчатых конечных элементов. Для расширения класса решаемых задач разработаны интерфейсы с широко распространенным программным пакетом МКЭ а также программным комплексом 08МРеш.

Тестирование программы с использованием простых моделей показало корректность разработанной методики.

Проведено тестовое моделирование динамики автомотрисы АС4 при различных режимах движения с учетом неровностей. Основными задачами теста являлись оценка эффективности применения разработанной методики для исследований динамики железнодорожных экипажей, а также определение динамических параметров, на точность расчета которых влияет учет упругих свойств кузова. Построены гибридные модели, в которых упругий кузов представлен различным числом собственных форм, соответствующих низшим собственным частотам. Показано существенное влияние учета упругих свойств кузова на значения СКО и спектральный состав виброускорений, измеряемых на раме. При использовании семидесяти собственных форм для представления кузова уточнение СКО виброускорений на раме под серединой салона составляет до 70 % по сравнению с твердотельной моделью. Влияние упругих форм кузова на расчет рамных сил менее значительно.

В заключение главы приведен пример использования методики и разработанного программного обеспечения для решения прикладной задачи - исследований вибраций рамы щебнеочистительной машины ЩОМ 1200 при различных режимах работы грохотов. В результате моделирования выявлены значения варьируемых параметров: углов расстановки дебалансов грохотов и смещения фаз вращения дебалансных валов, при которых значения СКО виброускорений и амплитуды вибраций имеют максимальные значения. Выявлены формы колебаний рамы, оказывающие основное влияние на значения исследуемых параметров.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В настоящей работе представлена методика компьютерного моделирования динамики систем абсолютно твердых и упругих тел, подверженных малым деформациям. Она реализована в виде модуля к программному комплексу «Универсальный механизм».

Сформулируем основные результаты работы.

1. Разработана методика моделирования систем, состоящих из абсолютно твердых и деформируемых тел, позволяющая проводить исследования динамики сложных технических систем в уточненной постановке. Методика позволяет получать более достоверные спектральные оценки динамических процессов, в частности, при компьютерном моделировании динамики рельсовых экипажей. Методика также позволяет моделировать упругими телами звенья механизмов, совершающие геометрически нелинейные движения.

2. Построены нелинейные уравнения движения упругого тела при условии больших перемещений присоединенной системы координат. Для уменьшения числа степеней свободы в результирующей модели реализован модальный подход. Наиболее эффективная методика предполагает расчет комбинации собственных и статических форм упругого тела. Показана обоснованность упрощений уравнений движения, связанных с приложением сил инерции в узлах конечно-элементной сетки.

3. Модифицирован метод подсистем для возможности совмещения упругих и абсолютно твердых тел в составе гибридной модели. Модификация позволяет учитывать каждое упругое тело в виде отдельной подсистемы с автоматизированным формированием элементов уравнений движения, сил взаимодействия с другими подсистемами, уравнений связей, а также визуального отображения движения.

4. Разработан новый метод решения систем линейных алгебраических уравнений большого размера, который применяется на этапе поиска собственных форм упругих тел методом Ланцоша. Разработанный метод позволяет до пяти раз сократить объем оперативной памяти ЭВМ необходимой для поиска собственных форм, что позволяет решать без использования жесткого диска задачи с размером матрицы до 250 ООО. С использованием данного метода рассчитаны низшие собственные частоты и формы колебаний кузова тепловоза ТЭП70 (число степеней свободы 164 088). Предложен эффективный алгоритм минимизации объема профиля матриц. Применение алгоритма к моделям упругого кузова автомотрисы АС4 и рамы щебнеочистительной машины ЩОМ 1200, приведенным в работе, позволяет уменьшить объем профиля матриц жесткости от трех до пяти раз.

5. Разработан модуль UMFem для программного комплекса «Универсальный механизм», позволяющий автоматизировать исследования динамики гибридных систем тел, соединенных шарнирами и силовыми элементами произвольных типов. Модуль автоматизирует подготовку моделей упругих тел и позволяет проводить их численный анализ. Разработанная программа не имеет аналогов среди российских программных продуктов. Модуль включает также возможность построения конечно-элементных моделей конструкций с использованием балочных и пластинчатых конечных элементов, а также проводить расчет частот и форм упругих тел методом Ланцоша.

6. Разработаны интерфейсы с программами МКЭ ANSYS и DSMFem, позволяющие строить гибридные системы в ПК УМ на основе конечно-элементных моделей, разработанных в этих программах. Интерфейс позволяет формировать данные, необходимые для построения гибридных моделей, в специально разработанном формате и поддерживает большую часть конечных элементов, доступных в программах. Благодаря данному интерфейсу, модуль моделирования гибридных систем становиться доступным широкому кругу инженеров-исследователей.

7. Проведенное тестирование показало корректность разработанных алгоритмов и программного обеспечения.

8. С использованием модуля UMFem создана конечно-элементная модель кузова автомотрисы АС4, рассчитаны низшие частоты и формы колебаний, на основе которых построена гибридная модель экипажа. Проведено тестовое исследование динамики данной модели при движении в прямых и кривых. Показано, что учет семидесяти собственных форм позволяет уточнить значения СКО виброускорений на раме кузова до 70 % по сравнению с твердотельной моделью. При этом учет высокочастотных составляющих значительно уточняет спектральный состав динамических характеристик. Кроме того, учет собственных форм, соответствующих низшим частотам, позволяет уточнить значения рамных сил при движении в кривых с учетом неровностей.

9. С использованием модуля иМБет создана конечно-элементная модель рамы проектируемой щебнеочистительной машины ЩОМ 1200 и соответствующая гибридная модель, включающая грохоты. На основе данной модели решена прикладная задача исследования вибраций рамы. Проведенный анализ показал, что в заданном диапазоне параметров грохотов и режимов их работы значения виброускорений лежат в допустимых пределах. Результаты исследований переданы в ФГУП ВНИКТИ МПС.

1. Бабаков И.М. Теория колебаний. М: Наука, 1968.

2. Верещагин А.Ф. Компьютерное моделирование динамики сложных механизмов роботов-манипуляторов // Инженерная кибернетика, вып. 6, -С. 65-70.

3. Вериго М.Ф., Коган А.Я. Взаимодействие пути и подвижного состава, М.: Транспорт, 1986.

4. Воеводин В.В. Кузнецов Ю.А. Матрицы и вычисления, М: Наука, 1984.

5. Виттенбург Й., Динамика систем твердых тел, М: Мир, 1980.

6. Галлагер Р., Метод конечных элементов. Основы-М.: Мир, 1984.

7. Деммель Дж., Вычислительная линейная алгебра. Теория и приложения/ Пер. с англ. Икрамова Х.Д. М.: Мир, 2001.

8. Дмитроченко О.Н. Методы моделирования динамики гибридных систем тел с учётом геометрической нелинейности // Динамика, прочности и надёжность транспортных машин / Сб. тр. Под ред. Б.Г. Кеглина. -Брянск: БГТУ. 2001. - С. 24-34.

9. Дмитроченко О.Н., Погорелов Д.Ю. Упругие балочные элементы в системах твёрдых тел // Динамика и прочность транспортных машин / Сб. тр. под ред. В.И. Сакало. Брянск: БГТУ, 2000. - С. 18-27.

10. Ефимов Г.Б., Погорелов Д.Ю. Решение некоторых модельных задач механики с использованием программного комплекса «Универсальный механизм». Препринт Института прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН, 1993, №72.

11. Ефимов Г.Б., Погорелов Д.Ю., «Универсальный механизм» комплекс программ моделирования динамики систем твердых тел. Препринт Института прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН, 1993, №77.

12. Ефимов Г.Б., Погорелов Д.Ю. Некоторые алгоритмы автоматизированного синтеза уравнений движения системы твердых тел. Препринт Института прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН, 1993, №84.

13. Ефимов Г.Б., Погорелов Д.Ю. О численных методах моделирования движения системы твердых тел. Препринт Института прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН, 1994, №12.

14. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике М.: Мир, 1975.

15. Кобищанов В.В., Антипин Д.Я., Забелин А.Л. Оценка динамической нагруженности несущих конструкций кузовов вагонов // Безопасность движения поездов. Труды научно-практической конференции. М.: МИ-ИТ, 2003.-C.IV41.

16. Леонтьев В. А. Оптимальная дискретизация распределённой упругости в расчётных моделях звеньев манипулятора // Тр. 1-й научн.-техн. конф. «Роботы и манипуляторы в экстремальных условиях». СПб.: СПбДНТП, 1992.-С. 100-106.

17. Маркеев А.П. Теоретическая механика: Учеб. Пособие для университетов. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1990.

18. Мейснер К. Алгоритм многосвязного объединения для метода жест-костей структурного анализа. Ракетная техника и космонавтика, 1968, №11.

19. Михальченко Г.С. Динамика ходовой части перспективных локомотивов-М.: МАМИ, 1982.

20. Михальченко Г.С. Погорелов Д.Ю., Симонов В.А., Совершенствование динамических качеств подвижного состава железных дорог средствами компьютерного моделирования // Тяжелое машиностроение 12, 2003, С. 2-5.

21. Михеев Г.В., Применение гибридных моделей для исследования динамики железнодорожных экипажей // Вюник Схцщо-укра'шського наць онального ушверситету ¿меш Володимира Даля №6(52), С. 32-38,СНУ, 2002.

22. Ольшевский А.А., Прасолов А.П. Исследование свободных колебаний кузова автомотрисы АС-4 с использованием комплекса программ МКЭ// Динамика, прочность и надежность транспортных машин: Сб. тр. / Под ред. Б.Г. Кеглина. Брянск: БГТУ, 1997, - С. 81-84

23. Погорелов Д.Ю. Введение в моделирование динамики систем тел: Учеб. пособие. Брянск: БГТУ, 1997.

24. Парлетт Б. Симметричная проблема собственных значений М.: Мир, 1983.

25. Погорелов Д.Ю. О кодировании символьных выражений при синтезе уравнений движения системы твердых тел//Изв. РАН. Техн. кибернетика, 1993. №6.

26. Постнов В.А. Численные методы расчета судовых конструкций, JL: Судостроение, 1977.

27. Постнов В.А. (ред.) Метод суперэлементов в расчетах инженерных сооружений. Л.: Судостроение, 1979.

28. Постнов В.А., Хархурим И.Я. Метод конечных элементов в расчетах судовых конструкций. Л.: Судостроение, 1974.

29. Пржеминицкий Е.С., Матричный метод исследования конструкций на основе анализа подструктур. Ракетная техника и космонавтика, 1963, №1.

30. Свами М., Тхуласираман К. Графы, сети, алгоритмы. М.:Мир, 1984.

31. Уилкинсон Д., Райнш У. Справочник алгоритмов на языке Алгол. Линейная алгебра / Пер. с англ. под ред. Ю.И. Топчельева. М.: Машиностроение, 1976.

32. Холл Дж., Уатт Дж. (ред.) Современные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1979.

33. Bennighof, J.K., and Kaplan, M. F., and Muller, M. B. Extending the Frequency Response Capabilities of Automated Multilevel Substructuring, AIAA Dynamics Specialists Conference, Atlanta, GA, April 2000, to appear

34. Bennighof, J.K., and Lehoucq, R. B. An automated multilevel substructuring method for eigenspace computation in linear elastodynamics, submitted to S1AM Journal of Scientific Computing, January 2002.

35. Berzeri M., Shabana A.A. Development of simple models for the elastic forces in the absolute nodal co-ordinate formulation // Journal of Sound and Vibration 235(4), 2000, 539-565.

36. Campanelli M., Berzeri M., Shabana A. A. Performance of the incremental and non-incremental finite element formulations in flexible multibody problems // Journal of mechanical design. 2000. - Vol. 122. - P. 498.

37. Craig, R.R., Jr., and Bampton, M.C.C. Coupling of substructures for dynamic analysis, AIAA Journal, Vol. 6, No. 7, 1968, pp. 1313-1319

38. Craig, R.R., Jr., and Bampton, M.C.C. Coupling of substructures for dynamic analysis: an overview", AIAA Journal, 2000

39. Denavit J., Hartenberg R.S. A kinematic motion for lower pair mechanisms based on matrices // Journal of Applied Mechanics 22, 1955, pp. 215-221.

40. Dias J.M.P and Pereira M.S. Sensitivity Analysis of Rigid-Flexible Multibody Systems, Multibody System Dynamics 1, Kluwer Academic Publishers: 303-322, 1997

41. Dmitrotchenko O.N. Efficient simulation of rigid-flexible multibody dynamics: Some implementations and results // Proceedings of NATO ASI on Virtual Nonlinear Multibody Systems 1, W. Schielen, M. Valäsek (Eds.), Prague, 2002, pp. 51-56.

42. Dmitrotschenko O. Dynamik der Borsten rotierender Buerste // Zwischenbericht ZB-097 / Arbeitsbereich Meerestechnik II Mechanik. -Technische Universität Hamburg-Harburg, Hamburg. - 1998. - pp. 1-23.

43. Dmitrochenko O.N., Pogorelov D.Yu. Generalization of plate finite elements for absolute nodal coordinate formulation // Multibody System Dynamics 10, No.l, Special issue 'Virtual Nonlinear Multibody Systems', Kluwer, Dordrecht, 2003, 17-43.

44. Dürr R., Neerpasch U., Schiehlen W., and White L. Mechatronik und STEP Standardisierung eines neutralen datenformats in STEP fur die simulation mechatronischer systeme, Produkt daten Journal,2, 1995? pp. 2-19.

45. Eichberger A. Transputer-Based Multibody System Dynamic Simulation, Part I: The Residual Algorithm A Modified Inverse Dynamic Formulation, Part II: Parallel Implementation - Results // Mechanics of Structures and

46. Machines, 22(2), 1994, 211-261.

47. Featherstone R. Robot dynamics algorithms // Kluwer, Boston. 1987.

48. Flanagan D.P. and Taylor L.M. An accurate numerical algorithm for stress integration with finite rotation // Computer methods in applied mechanics and engineering 62, 1987, pp. 305-320.

49. Gear C.W., Gupta G.K.? Leimkuhler B. Automatic integration of Euler-Lagrange equations with constraints // Journal of Computational and Applied Mathematics 12(13), 1985, pp. 77-90.

50. Grimes R.G., Lewis J.G., and Simon H.D. A shifted block Lanczos algorithm for solving sparse symmetric generalized eigenproblems, SIAM J. Matrix analysis and applications, 15 (1994), pp. 228-272.

51. Guyan, R.J. Reduction of Stiffness and Mass Matrix, AIAA Journal, 1965, Vol 3,№ 2, pp. 380.

52. Hooker W.W., Margulies G. The dynamical attitude equations for n-body satellite // J. on Astronomical Science 12, 1965, pp. 123-128.

53. Hughes T.J.R. and Winget J. Finite rotation effects in numerical integration of rate constitutive equation arising in large deformation analysis, International Journal for Numerical methods in Engineering 15 (12), 1980, pp. 18621867.

54. Hurty W.C. Dynamic analysis of structural system using component modes», AIAA Journal, Vol. 3, №4, 1965, pp. 678-685.

55. Huston R.L. Computer methods in flexible multibody dynamics // Int. J. for Numerical Methods in Engineering 32(8), 1991, 1657-1668.

56. Kruszewski J., Gawronski W., Wittbrodt E., Najbar F., Grabowski S. Metoda Sztywnych Elementow Skonczovnych (Rigid Finite Element Method), Arkady Warszawa, 1975 (nojibCK.).

57. Lotstedt P., and Petzold L.R. Numerical Solution of nonlinear differential equations with algebraic constraints I: Convergence results for backwords differentiation formulas, Math. Comput., 46 (1986), pp 491-516.

58. Levinson D.A. Equations of motion for multi-rigid-body systems via symbolic manipulations // Journal of Spacecraft and Rockets 14, 1977, pp. 479-487.

59. MacNeal, R. H. A hybrid method of component mode synthesis" J. Computers and Structures, Vol. 1, No. 4, Dec. 1971, pp. 581-601.

60. Mikkola A.M., Shabana A.A. A new plate element based on the absolute nodal coordinate formulation // Proceedings of ASME 2001 DETC, Pittsburgh, 2001.

61. Nikravesh, P. E. Model Reduction Techniques in Flexible Multibody Dynamics, NATO Science Series II, Vol. 103 Virtual nonlinear multibody systems, by ed. W. Schiehlen and M. Valasek, Kluwer Academic Publishers, 2003, pp. 83-102

62. Omar M.A., Shabana A.A. A two-dimensional shear deformation beam for large rotation and deformation // Journal of Sound and Vibration 243(3), 2001, pp. 565-576.

63. Pascal M., Gagarina T. Numerical simulation of flexible multibody systems using a virtual rigid body model // Proc. of NATO ASI on Virtual Nonlinear Multibody Systems 1, W.Schielen, M.Valasek (Eds.), Prague, 2002, pp. 174-179.

64. Park K.C. An improved stiffly stable method fo direct integration of nonlinear structural dynamic equations, J. Comput. Appl. Mech (June 1975), pp. 464-470.

65. Päsler M. Prinzipe der mechanik, De Gruyter, Berlin, 1968.

66. PogorelovD. Multibody system approach in simulation of underwater cable dynamics // Abstr. of Euromech 398 Colloq. on Fluid-Structure Interaction in Ocean Engineering, TU Hamburg-Harburg, Hamburg, Germany, 1999, p. 40.

67. Pogorelov D. Plate modeling by rigid-elastic elements // Zwischenbericht ZB-103, Institut B für Mechanik, Universität Stuttgart, 1998.

68. Pogorelov D. Differential-algebraic equations in multibody system modeling, Numerical algorithms, v. 19 (1998), pp. 183-194.

69. Rauh J. Ein Beitrag zur Modellierung Elastischer Balkensysteme // Fortschr.-Ber. VDI Reihe 18, Nr. 37, VDI-Verlag, Dusseldorf, Germany, 1997.

70. Schiehlen W. (Ed.) Multibody Systems Handbook, Springer, Berlin, 1990.

71. Schiehlen W. Multibody System Dynamics: Roots and Perspectives. Multibody System Dynamics 1, Kluwer Academic Publishers: 1997, pp. 149-188,.

72. Schiehlen W., A. Rükgauer, Th. Schirle Force coupling versus differential algebraic description of constrained multibody systems //Multibody system dynamics 4, 2000, pp. 317 340.

73. Schiehlen W., Kreuzer E. Rechnergestützes Aufstellen der Bewegungsgleichungen gewöhnlicher Mehrkörpersysteme // Ing.-Archiv 46, 1977, pp. 185-194.

74. Schwertassek R. Flexible bodies in multibody systems. Computational methods in mechanical systems: mechanism analysis, synthesys and optimization / Jorge Angeles, Evtim Zakhariev. p. cm. - (NATO ASI series. Series F,

75. Computer and systems sciences; vol. 161). pp. 329-363.

76. Shabana A.A. An absolute nodal coordinate formulation for the large rotation and large deformation analysis of flexible bodies // Techn. Rep. No. MBS96-1-UIC, Dept. of Mech. Eng., Univ. of Illinois at Chicago, March 1996.

77. Shabana A.A. Dynamics of Multibody Systems, 2nd Edition, Cambridge University Press, Cambridge, 1998.

78. Shabana A.A. Flexible multibody dynamics: review of past and recent developments //Multibody System Dynamics 1, 1997, pp. 189-222.

79. Shabana, A. A. Computer implementation of flexible multibody equation, Computer-Aided Analysis of Rigid and flexible mechanical systems, M.S. Pereira and J.A.C. Ambrosio, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 1994, pp. 325-349.

80. Shabana A.A., Yakoub R.Y. Three dimensional absolute nodal coordinate formulation for beam elements: Theory // Journal of Mechanical Design 123, 2001, pp. 606-621.

81. Shabana A.A., Wehage R.A. Coordinate reduction technique for transient analysis of special substructureswith large angular rotations // Journal of Structural Mechanics 11(3), 1983, pp. 401-431.

82. Simo J.C. A finite strain beam formulation. The three-dimensional dynamic problem, Part I // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering 49, 1985, pp. 55-70.

83. Simo J.C., Vu-Quoc L. A three-dimensional finite strain rod model, Part II: Computational aspects // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering 58, 1986, pp. 79-116.

84. Simon H.D. Analysis of the symmetric Lanczos algorithm with reorthogonalization methods. Linear Algebra Appl., 61, 1984, pp. 101-131.

85. Uicker J.J. (Jr.) On the dynamic analysis of spatial linkages using 4 by 4 matrices // Ph.D. Thesis, Northwestern University, Evanston, 1965.

86. Vukobratovic M., Frank A.A., Juricic D. On the stability of biped locomotion // IEEE Transactions on Biomedical Engineering BME-17, 1970, pp. 25-36.

87. Yoo W.-S, Park S.-J., Lee J.-H., Pogorelov D.Yu., Dmitrochenko O.N. Large deflection analysis of a thin plate with ANCF: Computer simulation and experiments // Multibody System Dynamics, Kluwer, Dordrecht, 2003.