Компьютерное моделирование пьезопреобразователей и анализ их параметров методами конечных и граничных элементов тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.06 ВАК РФ
|
Балабаев, Сергей Михайлович
АВТОР
|
||||
|
доктора физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Владивосток
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
1998
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.04.06
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
_ »ИЛ«) ^ЛГЛ
- 0 и—о
ДАЛЬНЕВОСТОЧНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ РЫБОХОЗЯЙСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
На правах рукописи
Балабаев Сергей Михайлович
КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПЬЕЗОПРЕОБРАЗОВАТЕЛЕЙ И АНАЛИЗ ИХ ПАРАМЕТРОВ МЕТОДАМИ КОНЕЧНЫХ И ГРАНИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
Специальность: 01.04.06 - Акустика
АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук
Владивосток -1998
Работа выполнена в Дальневосточном государственном техническом рыбохозяйственном университете
Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Казанцев В.Ф.
доктор физико-математических наук, профессор Каневский И.Н.
доктор технических наук, профессор Шендеров Е.Л.
Ведущая организация: ГНЦ РФ Акустический институт.
а > 00
Защита состоится " «¿> " 1998 года в часов на заседании
диссертационного совета Д. 003. 34. 01 к Тихоокеанском океанологическом
институте ДВО РАН по адресу:
690041, Владивосток, ул.Балтийская, 43, ТОЙ ДВО РАН.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ТОЙ ДВО РАН. Автореферат разослан '«^-2?" {мъ^виА 1998 г.
Ученый секретарь диссертационного
совета Д. 003.34. 01
доктор физико-математических наук
Н.В.Сушилов
АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ.
Пьезоэлектрические и пьезомагнитные преобразователи (ПЭП и ПМП) являются важной частью самых различных гидроакустических систем, а также широко применяются в ультразвуковых установках, радиотехнике, автоматике, измерительной технике. Технические характеристики любой акустической системы в значительной степени зависят от основных параметров используемых в ней пьезопреобразователей (ПП). В настоящее время наибольшее распространение получили ПП, активный элемент которых выполнен из пьезоэлектрической или пьезомагкитной керамики; он может иметь различную геометрическую форму и размеры.
Полный анализ ПП произвольной формы и размеров содержит две основные задачи, которые фактически являются связанными, - анализ многомерных колебаний ПП с учетом пьезоэффекта и анализ формирования акустического поля многомерными колебаниями ПП. Аналитические методы позволяют рассматривать только небольшой класс таких задач, используя различные приближенные модели теории колебаний и теории излучения. В этом случае ПП заменяют классическими одномерными моделями, которые анализируются либо аналитическим методом, либо следующим из него методом эквивалентных схем. Одномерные модели ПП не учитывают конечность их нерезонансных размеров и ограничиваются простейшими геометрическими формами.
Во многих практических случаях одномерная модель весьма далека от реального ПП, поэтому аналитические методы дают только приближенные значения основных параметров ПП, не позволяют учесть конструктивные особенности и выбрать оптимальные геометрические размеры. Одномерная модель предполагает также постоянство колебательной скорости на излучающей поверхности, что часто не соответствует фактической ситуации и приводит к большой погрешности при расчете характеристики направленности. Отметим также, что существующие аналитические методы, основанные на одномерной
теории, неприменимы для исследования ПП неканонической формы и усложненных конструкций, представляющих практический интерес, например, рассмотренных в данной работе цилиндрических ГШ с внутренними пассивными элементами. Таким образом, ситуация в теории ПП аналогична с положением дел в гидроакустике в целом, так как по мнению известного сторонника численных методов В.Ю.Завадского, изложенному в его монографии "Моделирование волновых процессов" (М.: Наука, 1991. 248 е.): "В настоящее время даже минимальные требования гидроакустики выше максимальных возможностей метода нормальных волн и лучевого метода."
Ограниченные возможности аналитических методов приводят к тому, что многие вопросы разработки ПП сейчас можно решить только опытным путем, что связано с большими затратами времени и материалов. Вопрос об оптимальности конструкции при этом обычно остается открытым, так как часто невозможно экспериментально исследовать все варианты. Компьютерное моделирование на основе современных численных методов: метода конечных элементов (МКЭ) и метода граничных элементов (МГЭ) позволяет анализировать реальную конструкцию при варьировании ее параметров и таким образом значительно ускорить и удешевить разработку ПП. По этой причине автор солидарен с мнением уже упоминаемого В.Ю.Завадского: "...необходимы своевременная смена научных концепций, разработки радикально новых теорий, математическое и численное моделирование в условиях наиболее близких к реальным. Становится необходимым не просто улучшать и усложнять прежние формулы, а принципиально изменять подход, переходя от чрезмерной, иногда парализующей всякий анализ (даже численный) сложности теоретических формул к простоте, ясности и своеобразной красоте алгоритмических решений, которые берут в основу простоту и красоту исходных уравнений математической физики."
ЦЕЛЬ РАБОТЫ.
Целью диссертационной работы является развитие методов компьютерного моделирования ПП произвольной геометрической формы и размеров на ос-
нове современных численных методов: МКЭ и МГЭ и анализ собственных и вынужденных колебаний конечных ПП классических и неклассических типов с учетом пьезоэффекта и акустического излучения в жидкость.
НАУЧНАЯ НОВИЗНА И ОСНОВНЫЕ НАУЧНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ, ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ.
Основными положениями, выносимыми на защипу и отвечающими требованиям новизны, являются:
1. Разработка и применение комбинированного метода конечных и граничных элементов с учетом пьезоэффекта для анализа вынужденных колебаний конечных ПП произвольной геометрической формы и размеров.
2. Учет пьезомаппгпюго эффекта в конечно-элементной модели ПМП и \ разработка комбинированной численно-аналитической компьютерной модели
конечного ПМП с аналитическим учетом магнитного поля.
3. Разработка комбинированной численно-аналитической компьютерной модели конечной секционированной пьезооболочки вращения с аналитическим учетом электрического поля.
4. Полный анализ собственных колебаний (спектров собственных частот, динамического коэффициента электромеханической связи (ДКС), форм колебаний) цилиндрических ПЭП с радиальной, осевой и тангенциальной поляризацией. Обоснование выбора пьезоактмвных участков и оптимальных геометрических размеров (или диапазона размерой) этих ПЭП, обеспечивающих максимальный ДКС.
5. Полный анализ собственных колебаний ПП других типов (пьезопрямоу-гольника, осциллирующего и изгибного пьезоцилиндров, полых пьезоконусов, пьезомагнитного цилиндра с тороидальной обмоткой). Обоснование ..выбора пьзоактивных участков и оптимальных геометрических размеров этих ПП, обеспечивающих максимальный ДКС.
6. Анализ основных параметров водозаполненных пьезоцилиндров с тангенциальной и радиальной поляризацией. Определение их оптимальных
геометрических размеров, при которых достигается наиболее равномерная широкополосная частотная характеристика чувствительности излучения. Показано, что паразитная изгибная мода может значительно искажать частотные характеристики и диаграмму направленности водозаполненного пьезоцнлиндра. Отмечено, что известные аналитические модели пьезоцилинд-ров, основанные на теории оболочек, не учитывают изгибную моду, поэтому на их основе нельзя получить полную информацию о цилиндрических пьезопреобразователях.
7. Исследование гидроакустической антенны из двух водозанолненных пьезоцилиндров с учетом их акустического взаимодействия. Показано, что акустическое взаимодействие между пьезоцилиндрами при малом расстоянии между ними приводит к значительному изменению распределений нормальной колебательной скорости и давления на излучающих поверхностях. Также показано, что акустическое взаимодействие может приводить к появлению паразитной антисимметричной моды, которая, как и изгибная мода, искажает частотные характеристики антенны и ее диаграмму направленности. Отмечено, что антисимметричная мода также не учитывается в известных аналитических моделях пьезоцилиндров, основанных на теории оболочек. Обсуждены способы устранения ьлияния этих паразитных мод.
8. Исследование конечного цилиндрического ПЭП с внутренним твердым пассивным заполнением. Показано, что при заполнении пьезоцнлиндра материалом с малым акустическим сопротивлением он является аналогом водозаполненного пьезоцилиндра, так как имеет широкополосную частотную характеристику с двумя максимумами.
9. Исследование конечного цилиндрического ПЭП с внутренним пассивным стержнем, выполненным из материала с малым акустическим сопротивлением. Исследование водозаполнеиной пьезокерамической оболочки в виде полого усеченного конуса и цилиндрического водозаполненного ПЭП с внутренней упругой перегородкой, представляющей собой часть сферы.
НАУЧНАЯ И ПРАКТИЧЕСКАЯ ЗНАЧИМОСТЬ.
Научная к практическая значимость работы состоит в решении фундаментальных задач, связанных с «собственными и вынужденными колебаниями конечных ПП, вследствие чего полученные в диссертации результаты позволяют:
- оценить пределы применимости классических аналитических одномерных теорий для собственных колебаний ПП (либо по отклонению резонансной частоты от соответствующего одномерного приближения, либо по отклонению ДКС от соответствующего статического коэффициента связи, либо по отклонению реального распределения смещений от идеализированного одномерного);
- обосновать выбор геометрических размеров ПП, соответствующих пьезоактивным участкам спектра, и оптимальных геометрических размеров (или диапазона размеров) ПП, обеспечивающих максимальный ДКС, а следовательно, максимальную эффективность преобразования энергии и максимальную широкополосность;
- обосновать выбор оптимальных геометрических размеров водозаполнеи-ных пьезоцилиндров, гидроакустической антенны из двух водозаполненных пьезоцшшндров, цилиндрического ПЭП с внутренним твердым пассивным заполнением для достижения наиболее равномерной широкополосной частотной характеристики чувствительности излучения этих ПЭП;
- достаточно просто классифицировать и устранять погрешность решения на критических частотах при анализе ПП комбинированным методом конечных и граничных элементов путем введения потерь в жидкости;
- решать задачи компьютерного моделирования, анализа и оптимизации всех параметров и геометрических размеров конкретных ПП на основе разработанного программного обеспечения МКЭ и МГЭ.
Полученные результаты использованы в Дальневосточном государственном техническом рыбохозяйственном университете и предприятии п/я А-1778
при выполнении хоздоговорных и госбюджетных научно-исследовательских работ, а также в Дальневосточном государственном университете при выполнении хоздоговорной работы для предприятия п/я В-2645.
Таким образом, в диссертации развито новое научное направление в теории акустических ПП - компьютерное моделирование и анализ основных параметров конечных ПП на основе современных численных методов: МКЭ и МГЭ, комбинации этих методов и их комбинации с аналитическими методами.
АППРОБАЦИЯ РАБОТЫ.
Основные результаты опубликованы в 38 научных работах. Основные результаты докладывались на Всесоюзных конференциях "Использование современных физических методов в неразрушающих исследованиях и контроле" (1984, 1987, Хабаровск), Всесоюзной школе по техническим средствам и методам освоения океана (1989, Геленджик), Российской гидроакустической конференции "Современное состояние и перспективы развития теории н прикладных вопросов гидроакустики" (19%, Владивосток), Четвертой Дальневосточной акустической конференции (1986, Владивосток), ХХХХ Всероссийской межвузовской научно-технической конференции "Фундаментальные и прикладные вопросы физики и математики" (1998, Владивосток). Полностью диссертация докладывалась и обсуждалась на семинарах в Дальневосточном государственном техническом рыбохозяйственном университете, Институте прикладной математики ДВО РАН, ведущей организации - ГНЦ РФ Акустическом институте и Санкт-Петербургском семинаре по теоретической и вычислительной акустике.
СТРУКТУРА И ОБЪЕМ РАБОТЫ.
Диссертация состоит из введения, 3 глав, заключения, приложения (31 стр.) и списка литературы (252 наименования). Содержание диссертации изложено на 331 стр., включая 263 стр. текста, 113 рис. (68 стр. иллюстраций).
ЛИЧНЫЙ ВКЛАД АВТОРА.
Во всех основных работах по теме диссертации автор самостоятельно
ставил задачи, проводил теоретические исследования, разрабатывал алгоритмы программ, анализировал результаты и соответствующие разделы в указанных работах были написаны автором, 11 работ выполнены без соавторов. В монографии "Компьютерное моделирование колебаний и излучения тел конечных размеров (методы конечных и граничных элементов)" весь текст написан автором (это отмечено и в предисловии к ней).
СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ.
ВО ВВЕДЕНИИ обоснована актуальность темы диссертации, изложены основные проблемы и дана характеристика работ в данной области. Сформулированы новизна, цель и задачи работы, ее научная и практическая значимость.
1 .МОДЕЛИРОВАНИЕ И АНАЛИЗ СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ ПЬЕЗОПРЕОБРАЗОВАТЕЛЕЙ МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ БЕЗ УЧЕТА ПЬЕЗОЭФФЕКТА.
Моделирование и анализ собственных колебаний ПП без учета пьезоэффекта, то есть фактически просто упругого тела, можно рассматривать, как первое приближение, позволяющее определить собственные частоты и формы колебаний в изотропном или анизотропном приближениях. Кроме того, ПП часто состоит из набора пьезоактивных и пассивных конструктивных элементов, и иногда полезно знать собственные частоты отдельных пассивных частей составного ПП. Также очевидно, что анализ собственных колебаний конечных упругих тел полезен при разработке электроакустических преобразователей других типов, в состав которых входят упругие элементы.
Исходя из этого, в небольшой по объему первой главе (45 стр., включая 8 рис.) рассмотрены основные положения МКЭ, его преимущества й недостатки. Обсуждены преимущества МКЭ по сравнению с более известным методом конечных разностей (МКР).
Кратко рассмотрен метод Бубнова-Галеркияа, который позволяет получить основные соотношения МКЭ непосредственно из дифференциальных уравнений задачи, не рассматривая соответствующий функциональный эквива-
лент. Этим методом, в котором присутствуют основные этапы МКЭ, решена простая одномерная задача - расчет спектра собственных частот бесконечной упругой пластины. Эта задача имеет точное решение, поэтому сопоставление приближенного н точного решений позволяет оценить погрешность МКЭ, сравнить МКЭ и МКР и точность при применении конечных элементов (КЭ) различных типов, оценить необходимое число КЭ, требующихся на длину волны для обеспечения заданной точности.
Из анализа полученных результатов сделаны следующие выводы:
1. При одинаковом порядке системы уравнений (количестве узловых точек) МКЭ с использованием линейных элементов (первого порядка) и МКР дают примерно одинаковую точность, при этом МКР дает заниженные значения собственных частот, а МКЭ - завышенные. Известно, что замена сплошной среды с бесконечным числом степеней свободы совокупностью КЭ, имеющей конечное число степеней свободы, увеличивает жесткость системы; по этой причине МКЭ дает завышенные значения собственных частот.
2. Повышение порядка аппроксимации путем использования квадратичных КЭ (второго порядка) значительно увеличивает точность при одинаковом числе уравнений в системе (количестве узловых точек), однако при этом увеличивается ширина ленты в матрице коэффициентов. Следовательно, заданная точность может быть достигнута при меньшем порядке системы уравнений. Это существенное преимущество МКЭ перед обычным МКР.
3. При применении квадратичных элементов, которые обычно считаются оптимальными с точки зрения получения заданной точности при минимальных затратах машинного времени, дня достижения относительной погрешности не превышающей 1 % достаточно брать 4 КЭ (9 узлов) на длину волны.
4. При анализе собственных колебаний предпочтительнее использование вариационного МКЭ, для которого граничные условия на свободных границах учтены сразу при выводе уравнений для КЭ. Это также очевидное преимущество МКЭ по сравнению с МКР.
По этой причине в дальнейшем применяется вариационный МКЭ. В МЮ тело конечных размеров разбивается на КЭ, которые связаны между собой в узловых точках (узлах). Исследование движения твердого тела заменяется рассмотрением перемещений узловых точек. Типы КЭ зависят от геометрической формы ПП. В МКЭ скалярные и векторные величины интерполируются через свои значения в узлах с помощью интерполяционных матриц, составленных из функций формы (интерполяционных функций). Рассмотрены основные этапы общего алгоритма и программного обеспечения МКЭ для анализа собственных колебаний конечных упругих тел: вычисление функций формы и их частных производных по локальным координатам, вычисление подынтегральных элементных матриц массы и жесткости, численное интегрирование, формирование глобальных матриц, учет механических граничных условий и условий симметрии, решение обобщенной матричной задачи на собственные значения. Все эти задачи решаются с помощью специальных подпрограмм, тексты которых на языке Фортран для PC IBM приведены в приложении. Программное обеспечение первой главы представлено J 9 подпрограммами и основной программой, в которой используются эти подпрограммы.
На основе разработанного алгоритма МКЭ и его программной реализации решен ряд задач о собственных колебаниях ПП канонических типов: прямоугольника (прямоугольной призмы, один из размеров которой не учитывается), конечного полого пульсирующего цилиндра, конечных осциллирующего и изгибного цилиндров. Получены новые результаты: спектры собственных частот этих ПП с учетом анизотропии пьезокерамики в большом диапазоне изменения геометрических размеров ПП (формы колебаний рассмотрены в главе 2 в основном для пьезоактивных участков спектра, представляющих практический интерес).
Для прямоугольника нз пьезокерамики ЦТС приведен спектр собственных частот, рассчитаны первые 12 мод спектра. Результаты расчетов по МКЭ
проверены по известным аналитическим результатам для изотропного прямоугольника, а также по известным точным значениям резонансных частот для дискретного набора размеров изотропного прямоугольника (модам Ламе), получено хорошее соответствие в обоих случаях. Отмечено, что учет анизотропии повышает собственные частоты, так как увеличивается жесткость тела. Заметам, что учет анизотропии в МКЭ, в отличие от аналитических методов, достаточно прост, поскольку упругие постоянные учитываются матрицей, компоненты которой могут соответствовать или общему анизотропному случаю или упрощенному изотропному.
Для пульсирующих, симметричных по высоте колебаний полого конечного цилиндра рассмотрено влияние типа поляризации (анизотропии): радиальной, осевой, тангенциальной на спектр собственных частот. Отмечено, что учет анизотропии не приводит к качественным изменениям спектра собственных частот по сравнению с изотропным приближением.
Для моделирования собственных колебаний цилиндров высших порядков (в частности, осциллирующего и изгибного) рассмотрен полуаналнгический МКЭ. В этом случае угловая зависимость описывается ортогональными тригонометрическими функциями соэ/нр, я - порядок излучателя.
Приведены спектры собственных частот симметричных по высоте колебаний осциллирующего и изгибного цилиндров, выполненных из пьезокерамики ЦТС в анизотропном приближении.
В спектре собственных частот изгибного цилиндра можно отметить основную моду, которая не зависит от высоты цилиндра и является асимптотой для высших мод. При уменьшении толщины стенки цилиндра частота основной моды понижается. Влияние анизотропии проявляется, как и в случае пульсирующего цилиндра, в увеличении значений собственных частот (пьезокс-рамика ЦТС).
Результаты расчетов по разработанным программам МКЭ проверены по известным численным результатам для изотропных цилиндров конкретных
геометрических размеров. Получено хорошее соответствие во всех трех случаях: пульсирующий, осциллирующий и изгибный цилиндр.
Основные выводы по первой главе:
1. Изложены основные соотношения МКЭ для моделирования собственных колебаний ПП без учета пьезоэффекга. Эти соотношения с одной стороны позволяют определить собственные частоты и формы колебаний в изотропном или анизотропном приближениях, а с другой стороны являются исходными для дальнейшего моделирования и анализа ПП с учетом пьезоэлектрического и пьезомагнитного эффектов.
2. Кратко рассмотрено разработанное программное обеспечение МКЭ: даны описания (тексты приведены в приложении) 19 подпрограмм и основной программы, в которой используются эти подпрограммы.
3. Решена одна из простых одномерных задач (определен спектр собственных частот бесконечной упругой пластины); это позволило оценить погрешность МКЭ, сравнить МКЭ и МКР и точность при применении КЭ различного порядка, оценить необходимое количество КЭ, требующихся на длину волны для обеспечения заданной точности.
4. Решены задачи о собственных колебаниях прямоугольника (прямоугольной призмы, длина которой не учитывается) и конечных полых цилиндров для случая пульсирующего, осциллирующего и изгибного Цилиндров; получены спектры их собственных частот в большом диапазоне изменения геометрических размеров. Рассмотрено влияние анизотропии пьезокерамики на собственные частоты ПП указанных типов.
3. Результаты расчетов собственных частот по разработанной программе МКЭ проверены по известным частным теоретическим и численным результатам для изотропных тел, предельным решениям и решениям для мод Ламе. Получено хорошее соответствие во всех случаях, поэтому представленные результаты можно считать достаточно обоснованными.
2.М0ДЕЛИР0ВАНИЕ И АНАЛИЗ СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ ПЬЕЗОПРЕОБРАЗОВАТЕЛЕЙ МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ С УЧЕТОМ ПЬЕЗОЭЛЕКТРИЧЕСКОГО И ПЬЕЗОМАГНИТНОГО ЭФФЕКТОВ.
Пьезоэлектрический эффект в конечно-элементную модель пьезоэлектрического тела был впервые введен Х.Алликом и Т.Дж.Р.Хьюзом (Allik Н., Hughes T.J.R. Finite element method for piezoelectric vibration//Int. J. Nuraer. Meth. Eng. 1970. V.2. № 2. P.151-157). В их работе приведена в окончательном виде в компактной матричной форме полученная на основе вариационного принципа, обобщающего принцип минимума потенциальной энергии в теории упругости, система линейных алгебраических уравнений, описывающая пьезоэлектрический КЭ, однако сам вывод отсутствует. В диссертации рассмотрен другой подход к выводу глобальной системы МКЭ с использованием вариационного принципа, предполагающего, что функция Лагранжа (лагранжиан) должна принимать стационарное значение. Глобальная система уравнений МКЭ, описывающая пьезоэлектрическое тело произвольной формы, имеет вид
(1)
[Кии] - глобальная матрица жесткости; [М\ - глобальная матрица массы; -глобальная матрица пьезоэлектрической "жесткости"; [А^,] - глобальная матрица диэлектрической "жесткости"; <о - круговая частота; - вектор узловых смещений; (р,) - вектор узловых электрических потенциалов; (/•} -вектор внешних узловых сил; |Q) - вектор узловых электрических зарядов.
Глобальные матрицы в системе (1) формируются из соответствующих элементных матриц, которые определяются через интегралы по объему КЭ. В элементных матрицах учтены упругие, пьезоэлектрические и диэлектрические постоянные пьезокерамики посредством введения соответствующих матриц. Элементные матрицы вычисляются для каждого КЭ, поэтому , упругие, пьезоэлектрические, диэлектрические свойства и плотности материалов могут быть различны для разных КЭ. Более того, эти параметры могут быть неодно-
родны (непостоянны) даже в пределах одного КЭ. Это позволяет моделировать колебания сложных ПЭП, состоящих из произвольного набора пьезоактивных и пассивных элементов.
Показано, что для упрощения программной реализации МКЭ целесообразно ввести обобщенную элементную матрицу жесткости. Рассмотрены новые положения МКЭ, появившиеся из-за введения пьезоэффекта, - учет электрических граничных условий и конденсация (в данном случае - исключение электрических потенциалов узлов, находящихся вне электродов), определены режимы резонанса (проводимость стремится к бесконечности) и антирезонанса (импеданс стремится к бесконечности) и ДКС. Рассмотрено программное обеспечение МКЭ с учетом пьезоэффекта, даны описания соответствующих подпрограмм и программы (тексты приведены в приложении), в которой используются разработанные подпрограммы.
После учета электрических граничных условий на электродах и конденсации глобальная система МКЭ (1) записывается в виде
Ы^Н„УЫ11ю, (2)
[//„„], \Нт), Н„ - измененные глобальные матрицы после конденсации; V- электрическое напряжение; I - электрический ток; / - мнимая единица. Отметим, что после конденсации значительно уменьшается порядок глобальной системы уравнений, однако матрица коэффициентов системы (2), оставаясь симметричной, теряет ленточную структуру (характерную для чисто упругих задач МКЭ), но остается разреженной.
С помощью разработанных программ выполнен полный анализ собственных колебаний (спектров собственных частот в режимах резонанса и антирезонанса, форм колебаний и ДКС) в большом диапазоне изменения геометрических размеров следующих ПЭП: пьезопрямоугольника (прямоугольной призмы), пульсирующих пьезоцилиндров с радиальной и осевой поляризацией. Вычисления проверены по известным одномерным приближени-
ям, результатам, полученным по теории оболочек, вариационному методу Рнтца и экспериментально. Погрешность вычисления четырех первых резонансных частот аксиально поляризованного пьезоцилиндра не превышает одного процента по сравнению с точным решением для предельных случаев длинного и короткого цилиндров (и примерно такая же, как в методе Ритца). Отметим, что большой вклад в погрешность вносит нестабильность параметров пьезокерамики, то есть отличие ее фактических постоянных от справочных данных. Сравнение результатов расчетов собственных частот по МКЭ и по теории оболочек показывает, что последняя (из-за принятых в ней допущрдий) не позволяет учесть изгибные моды (имеющие две и более узловые окружности радиальной компоненты смещения на цилиндрической позерхности), и поэтому информация, полученная на ее основе, является неполной.
Рассмотрим собственные колебания пьезоцилиндров с высотой 21, средним радиусом а и толщиной стенки 2А; в дальнейшем геометрические размеры определяются безразмерными отношениями На и h/a. Спектры собственных частот длл пьезоцнлиндров с двумя типами поляризации, выполненных из пьезокерамики ЦТБС-3, представлены на рис. 1 и 3 в координатах х- kj, у к/и при А/а=0,3 (к, - волновое число поперечной волны). Рис. I и 3 показывают зависимости безразмерного частотного параметра (к& или к,!) резонанса (сплошные линии) и антирезонанса (пунктирные линии при условии их несовпадения со сплошными) от относительной высоты цилиндра //а. Каждому лучу, выходящему из начала координат, соответствует определенное значение геометрического размера На. Пьезоактивные (эффективно возбуждаемые электрическим полем) участки спектра заштрихованы, номера мод обозначены цифрами. Зависимости ДКС от относительной высоты пьезоцилиндра представлены на рис. 2 и 4. В диссертации приведены подобные зависимосш и при других толщинах стенки пьезоцилиндра и для пьезокерамики НБС-1, а также распределения смещений (формы колебаний) и их подробный анализ.
При радиальной поляризации эффективно возбуждаются основная мода,
Рис. 1. Спектр собственных частот пьезоцилиндра с радиальной поляризацией, пьезокерамика ЦТБС-3
» \ л. > Л— 9 _____г___
4 \ 1/ и У { !
Л |\ 11 • 1 (| п....... и и
1 ------/ Н «1 1 1 ¡6 |Дл[ 1 —-Чг> » \ Л/" 1 1 X ' \ Л 1 1 1 1 1 1 —— Г — __»- Л ____ *
ч 1 /Л.
Рис. 2. Зависимости динамического коэффициента электромеханической связи пьезо цилиндра с радиальной поляризацией от его безразмерной высота, пьезокерамика ЦТБС-3
Рчс. 3. Спектр собственных частот пьезоцилиндра с осевой поляризацией, пьезокерамика ЦТБС-3
гЧ \
* 11 •'Л * ли \ \ \ >
гП \ г Ф/А1 йй
х^' \ И / { / ¡¿л
Рис. 4. Зависимости динамического коэффициента электромеханической связи пьезоцилиндра с осевой поляризацией от его безразмерной высоты, пьезокерамика ЦТБС-3
высотная (третья) мода н ее высшие гармоники, радиальные моды длинных цилиндров. Характер этих мод, определяемый по распределениям компонент смещения на поверхности пьезоцилиндра, меняется при движении по моде (изменении 1/а) и при изменении толщины стенки пьезоцилиндра, трансформируясь в другой тип колебаний.
Основной отличительной особенностью спектров собственных частот аксиально поляризованных пьезоцилиндров по сравнению с радиально поляризованными является изменение эффективности возбуждения некоторых мод, это объясняется изменением приложенного электрического поля. Увеличивается ДКС первой моды, который для длинных цилиндров достигает значения к5з, и ДКС третьей моды. Радиальные колебания длинных цилиндров при осевой поляризации практически не возбуждаются, что ранее отмечалось экспериментально.
Результаты, полученные для пьезоцилиндров с радиальной и осевой поляризацией (а также ПП других типов), имеют большое практическое значение, так как позволяют оценить пределы применимости классических аналитических одномерных теорий и обосновать выбор пьезоактивных участков и оптимальных геометрических размеров ПП, обеспечивающих максимальный ДКС, а следовательно, максимальную эффективность преобразования энергии и максимальную широкополосность.
Для секционированных (тангенциально поляризованных) пьезоцилиндров при конечно-элементном моделировании в общем случае необходимо использовать трехмерные КЭ, что значительно увеличивает порядок глобальной системы уравнений и усложняет программу. В диссертации разработана комбинированная численно-аналитическая компьютерная модель секционированной пьезо-оболочки вращения, которая позволяет, как и в случае радиальной и осевой поляризации, аппроксимировать КЭ только осевое сечение пьезооболочки, что очень удобно при моделировании сложных осесимметричных ПП на основе пьезоцилиндров.
При выводе основных соотношений комбинированной модели исходными являются: уравнения Максвелла для электромагнитного поля (взятые в приближении электростатики), обобщенный принцип виртуальной работы, электромеханические уравнения состояния пьезоэлектрического материала, граничные условия для механических и электрических величин. В итоге сразу получается глобальная система уравнений вида (2), которая была получена в общем случае после учета электрических граничных условий и конденсации.
Для проверки правильности разработанной комбинированной математической модели тангенциально поляризованной пьезооболочки и достоверности полученных численных результатов выполнено их сравнение с известными численными (полученными МКЭ с использованием трехмерных КЭ) и экспериментальными результатами для случая тангенциально поляризованного пьезо-цмлиндра конкретных геометрических размеров (//0=0,355, й/а=0,081). Из полученных результатов следует, что разработанная комбинированная модель при использовании КЭ второго порядка обеспечивает достаточную для практики точность при данных размерах пьезоцилиндра для первых трех мод уже при использовании только двух КЭ (с учетом условий симметрии).
Па основе разработанного программного обеспечения для комбинированной модели выполнен полный анализ собственных колебаний пьезоцилиндров с тангенциальной поляризацией. Для пьезоцилиндра с толщиной стенки Ыа=-0,3 зависимости, аналогичные ранее рассмотренным для других типов поляризации, приведены на рис. 5 и 6. Характерной особенностью спектра собственных частот тангенциально поляризованного пьезоцилиндра является отсутствие пьезоакгивных высотных и толщинных мод колебаний, эта особенность ранее отмечалась экспериментально.
Таким образом, из рассмотрения собственных колебаний пьезоцилиндров с тремя типами поляризации можно сделать следующие основные выводы: спектр резонансных частот и формы колебаний на резонансной частоте определяются, главным образом, геометрическими размерами пьезоцилиндра и
Рис. 5. Спектр собственных частот пьэзоцилиндра с тангенциальной поляризацией, пьезокерамикз ЦТБС-3
N 4 $ л Г ' е ' 1 т
■
[1 1 |
V ЗГ '" и >■ -'-■■ ................. И ,------- —........дг*
Ркс. б. Зависимости динамического коэффициента электромеханической связи пьезоцилкндра с тангенциальной поляризацией от его безразмерной высоты, пьезохерзмиха ЦТБС-3
постоянными пьезокерамнки, влияние же типа поляризации невелико (по крайней мере, для трех - четырех низших мод). Наличие пьезоактивности, а следовательно, спектр шггирезонансных частот и зависимость ДКС от высоты пьезоцилиидра определяются в основном типом поляризации, то есть соответствием возбуждающего электрического поля типу собственных колебаний на конкретной моде.
Рассмотрен учет пьезомагаитного эффекта в конечно-элементной модели ПМП. В диссертации разработана комбинированная численно-аналитическая модель ПМП с аналитическим учетом магнитного поля. При выводе основных соотношений комбинированной модели исходными являются: уравнения Максвелла для электромагнитного поля, принцип виртуальной работы, уравнения состояния для пьезомагаитного материала, граничные условия для механических и магнитных величии. В итоге получена глобальная система уравнений МКЭ вида (2), в которой электрическое напряжение и ток "поменялись местами". Рассмотрены режимы резонанса (импеданс стремится к бесконечности) и антирезонанса (проводимость стремится к бесконечности), определен динамический коэффициент магнитомеханической связи (ДКС).
На основе разработанной комбинированной модели выполнен полный анализ собственных колебаний ПМП в виде пьезомагнитного цилиндра с тороидальной обмоткой. Качественно спектры собственных частот и зависимости ДКС от высоты цилиндра аналогичны ранее рассмотренным зависимостям для секционированного пьезоцилиидра (рис. 5,6).
Результаты, полученные для ПМП с тороидальной обмоткой, также, как и соответствующие результаты для тангенциально поляризованных цилиндрических ПЭП позволяют обосновать выбор оптимальных геометрических размеров ПП, обеспечивающих максимальный ДКС, и оценить пределы применимости одномерных аналитических приближений.
Комбинированным численно-аналитическим методом рассмотрены симметричные по высоте собственные колебания конечных осциллирующего и
изгибного пьезоцшшндров. Проанализированы спектры собственных частот в режимах резонанса и аитирезонанса и зависимости ДКС от относительной высоты цилиндра. В спектре собственных частот изгибного пьезоцилиндра можно выделить основную моду, имеющую пнзкую резонансную частоту, которая не зависит от высоты пьезоцилиндра, однако ДКС этой моды невелик: £«аг=0,132 при Ыа=0,3. При уменьшении толщины стенки пьезоцилиндра резонансная частота этой моды понижается, но ДКС также падает: при А/о=0,1, **«*=0,049.
Рассмотрены собственные колебания ПЭП неканонической формы: пьезооболочки вращения в виде двух полых усеченных пьезоконусов, соединенных широкими или узкими частями. Исследованы их спеетры собственных частот и зависимости ДКС от геометрического размера. Показано, что за счет изменения угла между осью вращения и образующей конуса можно менять распределение нормальной компоненты смещения на конической поверхности, а следовательно, и диаграмму направленности при использовании этого ПЭП в качестве гидроакустического излучателя.
Рассмотрен осесимметричный ПЭП сложной конструкции, состоящий из пьезоакгквных и пассивных конструктивных элементов. Расчет такого ПЭП по известным методам не позволяет правильно определить спектр собственных частот, так как его тыльная накладка, имеющая сложную геометрическую форму, может совершать изгибные колебания. Компьютерное моделирование позволяет правильно определить спектр собственных частот и получить дополнительную информацию, необходимую дня проектирования этого ПЭП. Варьируя размеры и форму тыльной накладки, можно изменять значения резонансных частот, формируя рабочий диапазон частот. Результаты расчетов по программе, моделирующей колебания такого ПЭП, проверены экспериментально; получено хорошее соответствие расчетных и экспериментальных результатов по спектру частот (трем первым частотам) и формам колебаний.
Основные выводы по второй главе:
1. Изложены основные соотношения МКЭ для моделирования собственных колебаний ПЭП с учетом пьезоэлектрического эффекта. Эти соотношения позволяют определить частоты резонанса и антирезонакса, распределение смещений (формы колебаний) и динамический коэффициент электромеханической связи (ДКС).
2. Разработана математическая модель тангенциально поляризованной пьезооболочки вращения с аналитическим учетом электрического поля; выполнен ее анализ для случая шышвдричесшго секционированного ПЭП.
3. Получены основные соотношения для учета пьезомапштного эффекта в конечно-элементной модели ПМЛ; разработана математическая модель цилиндрического ПМП с тороидальной обмоткой, выполнен ее анализ.
4. Рассмотрено разработанное программное обеспечение МКЭ с учетом пьезоэффекта: даны описания (тексты приведены в приложении) 12 подпрограмм и ос «оспой программы, в которой используются эти подпрограммы. Таким образом, программное обеспечение МКЭ представлено 31 подпрограммой (19 описаны п главе 1) и двумя программами. Оно позволяет моделировать ПП произвольной осеспмметрячной формы и конструкции с любым типом поляризации и произвольной формой электродов, состоящие из пьезоакгивных и пассивных элементов, и определять оскошше параметры их собственных колебаний: частоты резонанса и шпкрезоигиса, формы колебаний, ДКС и их зависимости от геометричзских размеров ПП.
5. Разработанное программное обеспечение МКЭ проверено по предельным решениям, известным теоретическим (полученным на основе теории оболочек, вариационным методом и МКЭ) и экспериментальным результатам дм пьезощшшдров с тремя типами поляризации: радиальной, осевой и тангенциальной. Во всех случаях наблюдается хорошее соответствие с известными теоретическими и экспериментальными значениями резонансных и антирезонансных частот. Более того, показано, что допущения, принятые о теории оболочек, не позволяют учитывать шгнбные моды, позтоглу информация о со С-
стБзнных колебаниях ПП, полученная на ее основе, является неполной. Следовательно, представленные результаты можно считать достаточно обоснованными,
6. Рассмотрены собственные колебания пьезопрямоуголышка (прямоугольной призмы, длина которой не учитывается), кратко проанализирован спектр его собственных частот, формы колебаний и ДКС.
7. Выполнен довольно полный анализ собственных колебаний цилиндрических ПЭП с радиальной, осевой а тангенциальной поляризацией и цилиндрического ПМП с тороидальной обмоткой: спектры собственных частот, формы колебаний, ДКС и их зависимости от геометрических размеров ПП. Полученные результаты имеют большое практическое значение, так как позволяют оценить пределы применимости классических одномерных теорий (либо по отклонению резонансной частоты от соответствующего одномерного приближения, либо по отклонению ДКС от соответствующего статического КС, либо по отклонению распределения смещений от идеализированного одномерного) и обосновать выбор пьззезктнзных участков и оптимальных, геометрических размеров (или диапазона размеров) ПП, обеспечивающих максимальный ДКС, а следовательно, максимальную эффективность преобразования энергии и максимальную ширскополосность.
3. Рсссмслрено влияние формы электродов па эффективность возбуждены собственных колебаний пьезоцилиндров с радиальной поляризацией. Показано, что применяя отдельные кольцевые электроды можно повысить эффективность возбуждения изгибией моды колебании, а изменяя размеры зле:сгрода электрической коммутацией, изменять номера возбуждаемых мод, то есть рабочий спектр чзстот.
9. Рассмотрены собственные колгбгния осциллирующего п нзгибиого пьезоцилкндров. Показано, что (как и для случаи пульсирующего пьезоцнлннд-рз) существуют оптимальные геометрические размеры, при которых реализуется максимальный ДКС.
10. Рассмотрены собственные колебания ПЭП неканонической формы: пьезооболочки в виде двух усеченных полых пьезоконусов, соединенных узкими или широкими частями. Исследовано влияние угла между образующей конуса и осью вращения на спектр собственных частот такого ЛЭП и на распределение нормальной компоненты смещения на излучающей поверхности.
11. Рассмотрена возможность моделирования ПЭП сложной конструкции, состоящего из пьезоактивных и пассивных конструктивных элементов, который нельзя рассчитать (учесть все моды колебаний) на основе одномерной теории.
3.МОДЕЛИРОВАНИЕ И АНАЛИЗ АКУСТИЧЕСКОГО ИЗЛУЧЕНИЯ КОНЕЧНЫХ ПЬЕЗОПРЕОБРАЗОВАТЕЛЕЙ.
Акустическое излучение реальных ПП в гидроакустических системах реализуется в двух основных вариантах: в экране и без экрана. МКЭ позволяет моделировать конечные ПП с учетом акустического излучения в обоих вариантах. В первом случае удобен комбинированный численно-аналитический метод, рассмотренный в первых разделах третьей главы. В этом случае конечный Г1П моделируется МКЭ, а акустическое поле в жидкости описывается аналитически.
Рассмотрен комбинированный численно-аналитический метод дат анализа акустического излучения конечных осесимметричных ПЭП в плоском жестком экране. Изложенный метод является модификацией метода, предложенного Ю.Кагавой и Т.Ямабучи; это позволяет в отличие от их работ не рассматривать обратную волну акустического поля, что упрощает алгоритм формирования импедансной матрицы. Кроме того, рассмотрена более общая задача: учтены две компоненты электрического поля (в указанных работах задачи были "электрически одномерными").
Задача излучения акустической энергии ПП, находящимся в плоском жестком экране, дополняет систему МКЭ (2), описывающую ПП, и может быть сформулирована следующим образом с учетом реального распределения смещений на излучающей поверхности: система уравнений (2) дополняется
уравнением Гелъмгольца, описывающим ахусткческое поле з жидком полупространстве и граничными условиями, предполагающими непрерывность осевой компоненты смещения на излучающей поверхности и определяющими вектор внешних узловых сил |/*>. Вседеиа имледаисная матрица, связывающая узловые силы и скорости узловых точек па излучающей поверхности ПЛ. Эта матрица представляет собой совокупность собственных и взаимных готедансоз узловых точек ХЭ на поверхности излучения. Введение импедаисоа отдельных узловых точек поверхности позволяет уесть разную амплитуду и фазу колебаний этих точек при излучении.
По представленному алгоритму разработаны подпрограммы, дополняющие подпрограммы МКЭ. По разработанной программе можно моделировать акустическое излучение конечных осесимметричных ПЭП в плоском жестком экране с учетом объемных колебаний и реального распределения скорости на излучающей поверхности. ПЭП может состоять из произвольного набора пьезоактивиых и пассивных элементов и иметь сплошные или отдельные кольцевые электроды. Излучающая поверхность разбивается на одинаковые КЭ с квадратичной аппроксимацией. Рассмотрен один из простых ПЭП этого типа -круглая конечная пьезопластина, плоские поверхности которой полностью покрыты электродами; такие пьезопластины используются как высокочастотные гидроакустические излучатели. Оценена эффективность работы пьезоплас-тии из различных составов пьезокерамики на четвертой (квазитолщинной) моде колебаний.
Большее внимание уделено моделированию акустического излучения ПП без экрана на основе современного численного метода - МГЭ. Рассмотрены основные положения этого метода, его преимущества и недостатки.
При решении краевых задач в МГЭ используются не дифференциальные уравнения в частных производных, описывающие искомую функцию внутри области и на ее границе, а граничные интегральные уравнения (ГИУ), определяющие функцию в области по ее значению на границе. МГЭ фактически преде-
тавляет собой численную реализацию решения ГИУ, основанную на разбиении границы области на КЭ, в данном случае называемые граничными элементами (ГЭ), которым он обязан своим названием. В значительной степени его появление связано с большим успехом МКЭ и появлением мощных ЭВМ.
В отличие от МКР и МКЭ, где осуществляется дискретизация всей области, в МГЭ необходима дискретизация только ее границы, что снижает на единицу размерность рассматриваемой задачи (таким образом, осеснмметрич-ная задача фактически сводится к одномерной). Очевидно, что это приводит к снижению вычислительных затрат и их стоимости. Особенно важным преимуществом МГЭ для рассмотренных задач акустического излучения является относительная простота их решения для бесконечных областей, так как МГЭ предполагает использование фундаментальных решений, которые естественным образом удовлетворяют условию излучения.
В МГЭ важную роль играет функция Грииа - фундаментальное сингулярное решение соответствующего неоднородного уравнения с правой частью в виде дельта-функции Дирака. В задачах излучения этим уравнением является неоднородное уравнение Гельмгольца.
ГИУ для задач акустического излучения является ГИУ Гельмгольца, которое определяет давление в произвольной точке пространства, если известно распределение давления и нормальной компоногта колебательной скорости на замкнутой поверхности ПЛ.
Для анализа ПП с учетом пьезоэффгкга разработан комбинированный метод конечных и граничных элементов (кратко - комбинированный метод), который применим для расчета основных характеристик ПП произвольной формы, находящихся в жидкости. Как показано в главе 2, колебания конечного ПП произвольной геометрической формы описываются системой линейных алгебраических уравнений большого порядка (2).
Для анализа вынужденных колебаний удобно пользоваться системой уравнений следующего вида, которую можно получить из системы (2), если по-
ложить, что электрическое напряжение равно -1 В
([Нт\-с?[М\)\щ)=Щт)+\Р), (3)
Г=Ы(Нт\\иЪ-Н„). (4)
Система уравнений (3) определяет узловые смещения. Уравнение (4) выражает электрическую проводимость Г ПЭП.
Для решения рассматриваемой задачи нужно определил, вектор узловых сил |/-), учитывающий реакцию жидкости на колебания ПП, и описать излучаемое акустическое поле. Учет влияния бесконечной акустической среды приводит к определенному соотношению между нормальной компонентой скорости и давлением на излучающей поверхности ПП. Для этой цели и для описания излучаемого поля используется ГИУ Гельмгольца.
Для численного интегрирования ГИУ Гельмгольца излучающая поверхность разбивается на конечное количество ГЭ, число узловых точек которых зависит от порядка аппроксимирующих функций. МГЭ позволяет задать различный порядок аппроксимации искомых функций и самой поверхности интегрирования. Из ГИУ Гельмгольца можно получить систему уравнений, связывающих векторы давления |") и нормальной скорости | У,,} на поверхности ПП
ЩРУ=-И»№Ю> (5)
где р - плотность жидкости; [Л], [й] - глобальные матрицы МГЭ, полученные специальным суммированием соответствующих элементных матриц. Элементные матрицы в МГЭ выражаются через интегралы по поверхности ГЭ.
Соотношение (5) можно использовать для определения импеданса излучения. Импеданс излучения зависит от частоты и геометрической формы ПП. Заметим, что при использовании одномерных моделей импеданс - скалярная величина, которая характеризует реакцию акустической среды и равна отношению силы, действующей на излучающую поверхность, к ее колебательной скорости. Если излучающая поверхность представлена совокупностью ГЭ с узловыми точками, то можно определить собственный и взаимный импеданс
излучения каждой точки, то есть сформировать импедансную матрицу и учесть различную амплитуду и фазу колебаний этих точек при излучении.
Для заданной точки акустического поля можно определил» давление по известным граничным значениям |i°> и \V„)
¡HWmv^aMv,)), (6)
где (4i\, - матрицы-строки МГЭ, определенные для заданной точки акустического поля. Выражение (6) применяется для определения поля излучения в ближней и дальней зоне.
Таким образом, уравнение (S) определяет связь давления и нормальной скорости на поверхности ПЛ. Это уравнение нужно добавил, к системе МКЭ (3), описывающей колебания ПЛ. Полную систему уравнений комбинированного метода конечных и граничных элементов с учетом пьезоэффекта можно записать в виде
¿тттША]\рн>, (7>
где [W] - матрица направляющих косинусов внешней единичной нормали в узловых точках; [5] - диагональная матрица площади. Нормальная скорость на поверхности ПП определена через узловые смещения \V„)=ia{Wf\Uii, а реакция акустической среды - через граничное давление I/^IWHSIIP).
Совокупность системы уравнений (7), уравнений (4) и (6) позволяет определить все характеристики ПП: система (7) определяет давление на поверхности ПП и смещения всех узловых точек; уравнение (4) определяет электрическую проводимость, а уравнение (6) - давление в ближней и дальней зоне акустического поля по известным граничным значениям давления и нормальной скорости.
Рассмотрены основные соотношения комбинированного метода для анализа осесимметричных ПП. Блок-схема программы комбинированного метода приведена в приложении. В программе комбинированного метода определяются все характеристики как свободных колебаний ПП (ранее рассмот-
ренные в главе 2), так и основные характеристики вынужденных колебаний: частотные характеристики (чувствительности излучения, акустической мощности, входного электрического импеданса или проводимости), диаграммы направленности и распределения скорости и давления на излучающих поверхностях.
Для проверки программной реализации МГЭ (как составной части комбинированного метода) рассмотрена задача, имеющая точное решение, -излучение пульсирующей сферы. Активная и реактивная составляющие импеданса излучения пульсирующей жесткой сферы определяются известными аналитическими выражениями. В МГЭ импеданс представляет собой квадратную матрицу, размерность которой равна числу граничных точек. Элементы матрицы, стоящие на главной диагонали, представляют собой собственные импедансы излучения граничных точек, все остальные элементы -взаимные импедансы излучения. Скалярный импеданс излучения сферы равен сумме всех элементов импедаисной матрицы. Показано, что рассмотренные аппроксимации для задачи излучения дают хорошее соответствие численных и аналитических результатов для активной и реактивной составляющих импеданса излучения и диаграммы направленности.
Так как в задачах акустического излучения МГЭ связан с интегрированием ГИУ Гельмгольца, то рассмотрен вопрос о влиянии погрешности на критических частотах в комбинированном методе на результаты расчета основных характеристик ПП на примере конкретного цилиндрического ПЭП с объемной деформацией. Для устранения погрешности применен ранее известный метод: к уравнению (5) добавляется несколько уравнений, соответствующих точкам, расположенным внуфи ПЭП. Показано, что этот метод позволяет устранить ложные экстремумы на частотных характеристиках и искажения характеристики направленности.
Поскольку погрешность на критической частоте обусловлена резонансом внутреннего объема ПП при условии, что он заполнен жидкостью, окружающей
этот ПП, то исследовался следующий довольно простой, физически очевидный и значительно проще реализуемый способ устранения этой погрешности. Для этого вводились потери, то есть волновое число в жидкости принималось комплексным с небольшой мнимой частью. Волновое число определялось как k =ki(l-ia); при расчетах величина а принималась равной 0,01-0,05. Показано, что для рассмотренного цилиндрического ПЭП хорошие результаты получаются при й»0,03, причем основной резонанс практически не изменяется, в то время, как ложный резонанс исчезает. Такой прием удобно использовать для классификации ложных резонансов.
Результаты расчетов по разработанной программе комбинированного метода тщательно проверены по известным частным расчетным и экспериментальным результатам для водозаполнеиных пьезоцилиндров конкретного геометрического размера с тангенциальной и радиальной поляризацией и гидроакустической антенны из двух водозаполнеиных секционированных соосных пьезоцилиндров. Получено хорошее соответствие расчетных результатов со всеми теоретическими и экспериментальными характеристиками. Более того, показано, что комбинированный метод обеспечивает лучшее соответствие с экспериментом для радиально поляризованного водозаполненного пьезоцилиндра, чем метод с использованием дипольных демпфирующих элементов (Bossut R., Decarpigny J.-N. Finite element modeling of radiating structures using dipolar damping elements//Journ. Acoust. Soc. Am. 1989. V.86. № 4. P.1234-1244). Таким образом, достоверность представленных результатов, полученных по комбинированному методу, является достаточно обоснованной.
На основе разработанных программ комбинированного метода выполнен анализ и оптимизация геометрических размеров следующих ПЭП: водозаполнеиных пьезоцилиндров с тангенциальной в радиальной поляризацией; гидроакустической антенны из двух одинаковых соосных водозаполнеиных секционированных пьезоцилиндров с учетом их акустического взаимодействия;
пьезоцшшндра с внутренним твердым пассивным заполнением; пьезоцнлиндра с внутренним пассивным стержнем; водозаполненной пьезокерамической оболочки в виде полого усеченного конуса (кратко - пьезоконуса); водозапол-ненного пьезоцилиндра с внутренней упругой сферической перегородкой.
Рассмотрим акустическое излучение водозаполненного секционированного пьезоцилиндра конечных размеров, выполненного из пьезохерамики ЦТБС-3, параметры которой соответствуют справочным данным. Отметим, что подобная задача привлекала и до сих пор привлекает внимание многих исследователей, и для ее решения разрабатывались различные упрощенные аналитические и численно-аналитические модели, не позволяющие учесть все эффекты. В диссертации отмечено, что разработанные на основе теории оболочек модели пьезоцилиндра, например, в известной статье П.Х.Роджерса (Rogers Р.Н. Mathematical model for a free-flooded piezoelectric cylinder transducer// Journ. Accust. Soe. Am. 1986. V.80. № 1. P. 13-18) из-за принятых в них допущений не упитывают изгибкые моды. В то же время показано, что нзгибные моды могут значительно искажать частотные характеристики и диаграмму направленности Еодозаполненного пьезоцилиндра. Таким образом, на оснозе указанных моделей нельзя получить полную и достоверную информацию о цилиндрических водозаполненных ПЭП.
Большое практическое значение представляет исследование характеристик излучения водозаполненного пьезоцилиндра при изменении его геометрических размеров с целью определения их оптимальных значений, обеспечивающих равномерную широкополосную частотную характеристику такого ПЭП. Рассмотрим пульсирующие, симметричные по высоте колебания пьезоцнлиндра с внешним радиусом а, высотой /, толщиной стенки А; в дальнейшем размеры пьезоцилиндра определяются безразмерными отношениями На и Ыа, для краткости - просто / и h. Осевое сечение секционированного пьезоцилиндра, состоящего из 32 призм, моделируется 12 прямоугольными кольцевыми КЭ второго порядка, а граница осезого сечения -16 ГЭ второго порядка; показано,
что такая аппроксимация обеспечивает хорошее соответствие численных и экспериментальных результатов.
На рис. 7 приведены частотные характеристики чувствительности излучения V в точке дальнего поля на плоскости симметрии пьезоцилиндра (в дБ относительно уровня 1 мкПа/В при 1 м) при двух фиксированных значениях толщины стенки пьезоцилиндра А и изменении его высоты I. По оси абсцисс отложен безразмерный частотный параметр к, - волновое число поперечной волны в пьезокерамике. Первый (низкочастотный) максимум на частотных характеристиках связан с резонансом системы пьезоцшшндр - внутренний объем жидкости - часть окружающей жидкости, второй максимум - с радиальным резонансом пьезоцилиндра.
Приведенные частотные характеристики позволяют обосновать выбор оптимальных геометрических размеров пьезоцилиндра для получения равномерной широкополосной частотной характеристики при ее заданной неравномерности. Отметим, что под оптимальными геометрическими размерами здесь и далее понимаются размеры, при которых чувствительность излучения на объемном и радиальном резонансах примерно одинакова, а неравномерность частотной характеристики не превышает 3 дБ.
Из рис. 7,а следует, что для пьезоцилиндра с толщиной стенки />=0,2 оптимальная высота примерно равна 1«\ . При увеличении толщины стенки пьезоцилиндра с /»=0,2 до /»=0,25 чувствительность излучения немного повышается, частотная характеристика чувствительности излучения при оптимальной высоте (Ы0,8) становится более равномерной, однако при этом уменьшается относительная ширина полосы пропускания с 75% до 64%. Таким образам, пьезоцилиндр с толщиной стенки А «0,2 можно считать приблизительно оптимальным, так как при более тонкой стенке (/»=0,15) неравномерность частотной характеристики чувствительности излучения превышает 3 дБ (рис. 7,6), кроме того, частотные характеристики в этом случае сильно искажаются изгибной модой, которая приводит к немонотонности частотной харакгериста-
Рис. 7. Частотные характеристики чувствительности излучения водозапол-ненного пьезоцшшндра: а-/»=0,2,1-/=0,9,2-/=1,0,3-/=1,1; б-Ь=0,15,1-/=1Д
2-/=1,1,3-/=1,2
Рис. 8, Распределения модулей безразмерной нормальной компоненты колебательной скорости (а) и давления (б) на внешней {п=1-13) и внутренней (п=14-26) цилиндрических поверхностях водозаполненного пьезоцшшндра: 1,2-&/0=1,1,3,4-^1,4,5,6-к/а=1,9
ки выше частоты радиального резонанса; искажаются также и диаграммы направленности.
Типичные распределения модулей безразмерной нормальной компоненты колебательной скорости и давления (при электрическом напряжении равном 1 В) на цилиндрических поверхностях для пьезоцилиндра с размерами /=1, /¡=0,2 приведены на рис. 8 для трех частот, соответствующих частотам трех экстремумов частотной характеристики (рис. 7,а). По оси абсцисс на рис. 8 и 10 отложены номера узловых точек на цилиндрических поверхностях. Точки расположены на одинаковом расстоянии друг от друга, причем точки 7 и 20 находятся на плоскости симметрии пьезоцилиндра. Первые 13 точек расположены на внешней поверхности снизу вверх, последующие 13 точек с номерами 14-26 - на внутренней поверхности сверху вниз.
Исследована гидроакустическая антенна из двух одинаковых соосных водозаполненных секционированных пьезоцилиндров с размерами / и Л и безразмерным (нормированным на а) расстоянием Н/ между ними (соединенных параллельно, пьезокерамика ЦТБС-3, 32 призмы) с учетом акустического взаимодействия между ними. На рис. 9,а приведены частотные характеристики чувствительности излучения, а на рис. 9,6 - частотные характеристики безразмерной активной составляющей акустической мощности антенны из пьезоцилиндров с толщиной стенки й=0Д и высотой, близкой к оптимальной, при небольшом расстоянии между ними (кривые 2, 3). Для сравнения на этих же рисунках приведены соответствующие кривые (кривые 1) для одиночного пьезоцилиндра с высотой, близкой к оптимальной. На рис. 10 приведены распределения модулей безразмерной нормальной компоненты колебательной скорости (а) и давления (б) на цилиндрических поверхностях верхнего пьезоцилиндра при /=0,5, />¿=0,1 для трех значений частоты; нумерация точек -как на рис. 8.
Рассмотрение форм распределения модулей скорости и давления на цилиндрических поверхностях показывает, что при малом расстоянии между
Рис. 9. Частотные характеристики чувствительности излучения (а) и безразмерной активной составляющей акустической мощности (б) гидроакустической антенны: 1-/=0,95 (пьезоннлиндр); 2-/=0,5, А/~0,1; 3-/=0,5, Л/=0,2
Рнс. 10. Распределения модулей безразмерной нормальной компоненты колебательной скорости (а) и давления (б) на внешней (л=/-/5) и внутренней (п~ 14-26) цилиндрических поверхностях верхнего пьезоцилкндра в гидроакустической антенне: 1,2-Аг^?=1,25,3,4-Ал=1,6,5,6-к<а= 1,9
пьезоцилиндрами (сильном акустическом взаимодействии) они значительно отличаются от соответствующих форм для одиночного пьезоцилиндра оптимальной высоты (рис. 8), а также значительно меняются с изменением частоты при фиксированных геометрических размерах. Характерным является то, что акустическое взаимодействие приводит к асимметрии распределения указанных величин относительно плоскости симметрии пьезоцилиндра.
Немонотонность на частотных характеристиках при (ниже часто-
ты радиального резонанса) объясняется влиянием антисимметричной моды, которая, как и изгибная мода, является паразитной модой. Кроме того, как следует из рис. 10,а, на частотах, близких к антисимметричной моде (аналогичная ситуация наблюдается и с ранее рассмотренной изгибной модой), скорость на концах пьезоцилиндра может достигать значительной величины. Это приведет к большим механическим напряжениям в пьезоцилиндре, а следовательно, и к его разрушению при большом электрическом напряжении. Таким образом, при проектировании водозаполненных пьезоцилиндров и антенн надо избегать попадания изгибной и антисимметричной (в антенне) мод в рабочую полосу частот, этого можно достичь изменением геометрических размеров пьезоцилиндров, а в антенне - и изменением расстояния между пьезоцилиндрами.
Из анализа полученных численных результатов можно сделан, следующие основные выводы.
Акустическое взаимодействие между пьезоцилиндрами приводит к тому, что оптимальная высота пьезоцилиндров в антенне зависит от расстояния между ними. Причем при малом расстоянии она составляет примерно половину от оптимальной высоты одиночного пьезоцилиндра (при И=0,2) и повышается с увеличением этого расстояния.
Частотная характеристика с двумя максимумами, характерными для одиночного водозаполненного,пьезоцюншдра, в антенне может формироваться не всегда, а только при малом расстоянии между пьезоцилиндрами и большом
(когда их акустическое взаимодействие почти не сказывается).
При малом расстоянии между пьезоцилиндрами антенна из двух пьезоцилиндров оптимальной высоты не дает увеличения чувствительности излучения на 6 дБ (в два раза) и соответствующего увеличения акустической мощности; это объясняется сильным акустическим взаимодействием между пьезоцилиндрами.
Акустическое взаимодействие между пьезоцилиндрами почти не сказывается на расстоянии Л/>2,5, при этом частотные характеристики по форме близки к частотным характеристикам одиночного пьезоцилиндра, чувствительность излучения увеличивается на 6 дБ, а безразмерная активная составляющая акустической мощности - в два раза (и более - на частоте радиального резонанса, это связано с формированием добавочного максимума характеристики направленности). Отметим, что длина волны в жидкости на частоте радиального резонанса пьезоцилиндра 1,9) составляет 2,5 а.
Исследован цилиндрический секционированный ПЭП с внутренним твердым пассивным заполнением. Показано, что при заполнении пьезоцилиндра материалом с небольшим акустическим сопротивлением (эбонит, сфероплас-тик) частотная характеристика чувствительности излучения такого ПЭП при определенных геометрических размерах имеет два максимума, то есть он является аналогом водозаполненного пьезоцилиндра. Первый (низкочастотный) максимум связан с резонансом внутреннего заполнения (точнее с резонансом системы пьеэоцилиндр - внутреннее заполнение - часть окружающей жидкости), а второй - с радиальным резонансом пьезоцилиндра. Определены оптимальные геометрические размеры такого ПЭП, при которых достигается высокая чувствительность излучения, небольшая неравномерность частотной характеристики и широкая полоса пропускания. Внутреннее твердое заполнение с небольшим акустическим сопротивлением, близким к акустическому сопротивлению воды, в этом ПЭП выполняет роль части столба жидкости в водозаполненном пьезоцилиндре.
Последнее обстоятельство открывает некоторые новые возможности в "управлении" низкочастотным резонансом: твердое заполнение можно выполнять из различных легких материалов, его можно делать только частичным (занимающим часть внутреннего объема), а также изменять при этом его форму. Так, например, при заполнении пьезоцилиндра сферопластиком можно уменьшить величину осевого лепестка, который в случае пьезоцилиндра с эбонитом достигает по величине радиального на частоте объемного резонанса. Отметим, что при заполнении пьезоцилиндра материалом с большим акустическим сопротивлением, например, алюминием получается обычная частотная характеристика с одним максимумом на радиальном резонансе.
Выполнен анализ цилиндрического ПЭП с пассивным внутренним стержнем, изготовленным из материала с небольшим акустическим сопротивлением (эбонита). Рассмотрена возможность формирования направленного излучения вдоль оси стержня при небольшом уровне радиального и тыльного лепестков. Показано, что хорошие результаты можно получить при длине стержня, соответствующей пьезоакгивному участку третьей моды, вблизи максимума ее ДКС (длина выступающей части стержня при этом составляет примерно 1,9 от его радиуса). Использование стержня большей длины нецелесообразно, так как при этом увеличиваются габариты, а чувствительность излучения и ширина полосы пропускания уменьшаются. Кроме того, увеличивается количество радиальных лепестков диаграммы направленности и, как правило, их величина.
Исследован водозаполненный полый усеченный пьезокерамический конус (пьезоконус) с поляризацией по толщине стенки. Предварительно определены оптимальные геометрические размеры водозаполненного пьезоцилиндра с радиальной поляризацией, являющегося частным случаем пьезоконуса. При толщине стенки /»=0,2 оптимальная высота составляет /»0,8 (для секционированного пьезоцилиндра /»1), относительная ширина полосы пропускания- 67 %. Из анализа полученных результатов следует, что при а^20° (а - угол между осью вращения и образующей пьезоконуса) пьезоконус остается двухрезонанс-
ным широкополосным гидроакустическим излучателем; при этом значительно увеличивается уровень осевого излучения. При а=30° пьезоконус на частоте объемного резонанса излучает преимущественно в осевом и радиальном направлениях, величина тыльного излучения значительно меньше. Его диаграмма направленности по форме похожа на кардиоиду, подобная диаграмма направленности может быть необходима для специальных гидроакустических устройств. На частотах же вблизи раднатьного резонанса пьезоконус является почти ненаправленным гидроакустическим излучателем.
Выполнен анализ цилиндрического секционировашюго водозаполненного пьезопреобразователя с внутренней упругой перегородкой, представляющей собой часть сферы. Рассмотрена возможность формирования направленного излучения вдоль оси симметрии такого пьезопреобразователя. Большой уровень осевого излучения можно получить в сторону вогнутости перегородки при определенных геометрических размерах пьезопреобразователя. Форма диаграммы направленности в пределах полосы пропускания в основном сохраняется, она немного похожа на кардиоиду. Наличие толстой несимметрично расположенной перегородки приводит к уменьшению чувствительности излучения и рабочей полосы частот по сравнению с полым пьезоцилнндром, но позволяет сформировать диаграмму направленности указанного вида. Следовательно, такая асимметричная конструкция позволяет сформировать направленное излучение в достаточно широкой полосе частот, причем получаемый эффект устойчив при небольшом изменении геометрических размеров (или, соответственно, параметров материалов) ПЭП.
Основные выводы по третьей главе:
1. Разработан комбинированный численно-аналитический метод для анализа акустического излучения осесимметричных ПЭП в плоском жестком экране, выполнена его программная реализация. С помощью этого метода исследовано акустическое излучение пьезопластины, находящейся в плоском жестком экране.
2. Рассмотрены основные положения МГЭ, разработано его программное обеспечение для осесимметричных ПЭП. Программа МГЭ проверена по задаче, имеющей точное решение, - излучению пульсирующей сферы. Получено хорошее соответствие численных результатов с аналитическими.
3. Разработан комбинированный метод конечных и граничных элементов с учетом пьезоэффекта для анализа вынужденных колебаний конечных ПП, находящихся в жидкости, выполнена программная реализация этого метода для осесимметричных ПЭП.
4. Расчеты по программе комбинированного метода конечных и граничных элементов проверены по известным численным и экспериментальным результатам для водозаполненных пьезоцилиндров с тангенциальной и радиальной поляризацией. Показано, что результаты расчетов находятся в хорошем соответствии с экспериментом.
5. Рассмотрен вопрос об исключении погрешности решения МГЭ на критических частотах, являющихся собственными частотами для внутренней задачи Дирихле. Отмечено, что погрешность решения комбинированного метода конечных и граничных элементов можно исключить, используя известный метод. Кроме того, предложен довольно простой и физически очевидный способ устранения этой погрешности, основанный на введении потерь (комплексного волнового числа в жидкости). Показано, что с помощью предложенного метода можно получить практически идентичные результаты при анализе ПП по сравнению с известным более сложным классическим методом.
6. Выполнен анализ основных характеристик водозаполненных пьезоцилиндров с тангенциальной и радиальной поляризацией. Определены оптимальные геометрические размеры этих ПЭП, при которых достигается наиболее равномерная широкополосная частотная характеристика чувствительности излучения. Показано, что изгибная мода может значительно искажать частотные характеристики и диаграмму направленности водозаполненного пьезоци-линдра. Обсуждены способы устранения влияния паразитной изгибной моды.
7. Выполнен анализ гидроакустической антенны из двух одинаковых водозаполненных пьезоцшшндров с учетом их акустического взаимодействия. Показано, что акустическое взаимодействие между пьезоцилиндрами при малом расстоянии между ними приводит к значительному изменению распределений нормальной колебательной скорости и давления на излучающих поверхностях. Также показано, что акустическое взаимодействие может приводить к появлению паразитной антисимметричной моды, которая искажает частотные характеристики антенны и ее диаграмму направленности. Обсуждены способы устранения влияния паразитной антисимметричной моды.
8. Исследован цилиндрический ПЭП с внутренним твердым заполнением. Показано, что при заполнении пьезоцилиндра материалом с малым акустическим сопротивлением он является аналогом водозаполненного пьезоцилиндра, то есть имеет широкополосную частотную характеристику с двумя максимумами. Определены оптимальные геометрические размеры такого ПЭП, обеспечивающие его наиболее равномерную широкополосную частотную характеристику.
9. Рассмотрен цилиндрический ПЭП с внутренним пассивным стержнем, выполненным из материала с небольшим акустическим сопротивлением. Показана возможность формирования направленного излучения вдоль оси стержня с небольшим уровнем бокового и тыльного излучения при определенных геометрических размерах ПЭП.
10. Исследован ПЭП в виде водозаполненного полого усеченного конуса (более общая задача по сравнению с водозаполненным пьезоцшшндром). Показано, что применение водозаполненного пьезоконуса в качестве гидроакустического излучателя позволяет либо сформировать диаграмму направленности в виде, близком к кардиоиде, либо получить почти ненаправленное излучение.
11. Выполнен анализ цилиндрического водозаполненного ПЭП с внутренней упругой перегородкой, представляющей собой часть сферы. Показано, что при определенных геометрических размерах формируется характеристика нап-
равленности с небольшим уровнем тыльного излучения, осевое сечение которой похоже на кардиоиду.
В приложении приведена блок-схема программы комбинированного метода конечных и граничных элементов и тексты 31 подпрограммы на языке Фортран для РС ЮМ и двух программ, в которых используются эти подпрограммы. СПИСОК ОСНОВНЫХ ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ.
1. Балабаев С.М., Ивина Н.Ф. Компьютерное моделирование колебаний и излучения тел конечных размеров (методы конечных и граничных элементов). Владивосток: Дальнаука, 1996.213 с.
2. Балабаев СМ. Анализ собственных колебаний пьезомагнитных преобразователей методом конечных элементов//Акуст. журн. 1987. Т.ЗЗ. К» 5. С.792-797.
3. Балабаев СМ. Акустическое излучение цилиндрического пьезопреоб-разователя с внутренним стержнем//Акуст. журн. 1998. Т.44. № 2. С.155-159.
4. Бачабаев СМ. Компьютерное моделирование и анализ основных параметров цилиндрической гидроакустической антенны//Акуст. журн. 1998. Т.44. № 1. С.5-10.
5. Бачабаев С.М., Ивина Н.Ф. Акустическое излучение конечных пьезопреобразователей в экране//Акуст. журн. 1995. Т.41. № 2. С.181-184.
6. Бачабаев СМ., Ивина Н.Ф. Анализ пьезопреобразователей комбинированным методом конечных и граничных элементов//Аку ст. журн. 1996. Т.42. №2. С. 172-178.
7. Бачабаев СМ., Ивина Н.Ф. Анализ собственных колебаний пьезокера-мических цилиндров произвольных размеров//Прикл. механика. 1989. Т.25. № 10. С.37-41.
8. Бачабаев С.М., Ивина Н.Ф. Анализ собственных колебаний секционированных пьезокерамических цилиндров произвольных размеров//Акуст. журн. 1988. Т.34. № 1. С. 165-167.
9. Бачабаев СМ., Ивина Н.Ф. Влияние погрешности комбинированного
метода конечных и граничных элементов на результаты расчета основных характеристик пьезопреобразователей//Акуст. жури. 1997. Т.43. № 3. С.299-303.
10. Балабаев СМ., Ивииа Н.Ф. Собственные колебания конечных пьезокерамкческих цилиндров/УАкуст. жури. 1990. Т.36. № 2. С.204-208.
11. Балабаев С.М., Ивииа Н.Ф. Численный анализ собственных колебаний пьезокерамических оболочек вращения//Акуст. жури. 1989. Т.35. № 3. С.391-395.
12. Балабаев С.М., Касаткин Б.А. Численный анализ дисперсионных соотношений нормальных волн пьезоэлектрического волновода типа пластины с электродами на торцах//Дефектоскопия. 1984. № 6. С.20-23.
13. Балабаев СМ. Собственные колебания пьезокерамических полых конусов/Антенны и преобразователи. Владивосток: Изд-во ДВГУ, 1988. С.86-90.
14. Балабаев С.М., Ивииа Н.Ф. Численный анализ собственных колебаний тангенциально поляризованных цилиндров/Антенны и преобразователи. Владивосток: Изд-во ДВГУ, 1988. С.134-141.
15. Балабаев С.М., Касаткин Б.А. Анализ цилиндрических пьезопреобра-зователей произвольных размеров методом конечных элементов/Акустические методы и средства исследования океана. Владивосток: Изд-во ДВГУ, 1986. С.82-86.
16. Балабаев СМ. Пьезопреобразователи тала однополостного гиперболоида вращения и их анализ методом конечных элементов/Лез. докл. Всесоюз. конф. "Использование соврем, физич. методов в неразруш. иссл. и контроле." Хабаровск: ЦНТИ, 1984. С.358-359.
17. Балабаев СМ., Касаткин Б.А. Применение метода конечных элементов для расчета спектра собственных частот цилиндрических пьезопреобразо-взгелей произвольных размеров. Там же. С.356-357.
18. Балабаев СМ. Численный анализ трехмерных колебаний конечных пьезокерамических цилиндров//Тез. докл. Всесоюз. конф. "Использование соврем, физич. методов в неразруш. иссл. и контроле." Хабаровск: ЦНТИ, 1987.
С. 105-106.
19. Балабаев СМ. Машинное моделирование колебаний конечных пьезо-керамических пластин, находящихся в жидкости. Там же. С.114-115.
20. Балабаев С.М., Ивина Н.Ф. Машинное моделирование и численный анализ собственных колебаний конечных пьезопреобразователей. Там же. С.116-117.
21. Ивина Н.Ф., Балабаев СМ. Использование метода конечных элементов для анализа и проектирования сложных пьезопреобразователей //Тез, докл. Всесоюз. школы по технич. средствам и методам освоения океана, т. 2. М.: Институт океанологии им. П.П.Ширшова, 1989. С.35.
22. Ивина Н.Ф., Балабаев С.М. Применение комбинированного метода конечных и граничных элементов к анализу акустических преобразователей// Доклады Российской гидроак. конф. "Современное состояние и перспективы развития теории и прикладных вопросов гидроакустики". Владивосток: ТОВВМУ им.С.О.Макарова, 1996. С.84-87.
23. Балабаев С..М., Ивина Н.Ф., Касаткин Б.А. Анализ пьезокерамических цилиндрических преобразователей произвольных размеров методом конечных элементов/Теория направл. и фокусир. акуст. систем//Тез. докл. 4-ая Дальне-вост. акуст. конф. Владивосток: ДВНЦ АН СССР, 1986. С.86-88.
24. Балабаев СМ. Компьютерное моделирование и анализ цилиндрического пьезопреобразователя с внутренним заполнением//Сборн. докл. ХХХХ Всерос. межвуз. науч.-техн. конф. "Фундаментальные и прикладные вопросы физики и математики." Владивосток: ТОВВМУ им.С.О.Макарова, 1997. Т. 1, ч. 2. С.29-31.
25. Балабаев С.М. Анализ акустического излучения водозаполненной пьезокерамической оболочки. Там же. С.34-36.
26. Бачабаев СМ., Ивина Н.Ф. Акустическое излучение водозаполненного пьезоцилиндра с внутренней упругой перегородкой. Там же. С.32-33.
¿0 /09}
/
' кУ ^
ДАЛЬНЕВОСТОЧНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ РЫБ' ЗЖС1ВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
а правах рукописи
Балабаев Сергей Михайлович
КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПЬЕЗОПРЕОБРАЗОВАТЕЛЕЙ И АНАЛИЗ ИХ ПАРАМЕТРОВ МЕТОДАМИ КОНЕЧНЫХ И ГРАНИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
Специальность: 01. 04. 06 - Акустика
Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук
Владивосток - 1998
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение....................................................................................................................5
Глава 1. Моделирование и анализ собственных колебаний пьезопреобразовате-лей методом конечных элементов без учета пьезоэффекта..................................21
1.1. МКЭ, его основные положения, преимущества и недостатки.............22
1.2. Одномерные колебания бесконечной упругой пластины; метод Бубнова - Галеркина...............................................................................................26
1.3. Типы конечных элементов. Интерполяция скалярных и векторных величин....................................................................................................................33
1.4. Основные соотношения метода конечных элементов для
анализа колебаний упругих тел..............................................................................39
1.5. Численное интегрирование....................................................................44
1.6. Формирование глобальных матриц.......................................................46
1.7. Учет механических граничных условий и условий симметрии...........48
1.8. Собственные колебания конечных упругих тел.................................. .49
1.9. Собственные колебания прямоугольника..............................................51
1.10. Собственные колебания конечных цилиндров...................................55
1.11. Полуаналитический метод конечных элементов. Собственные колебания осциллирующего и изгибного цилиндров...........................................59
1.12. Выводы.................................................................................................64
Глава 2. Моделирование и анализ собственных колебаний пьезопреобразовате-лей методом конечных элементов с учетом пьезоэлектрического и пьезомагнит-ного эффектов.........................................................................................................66
2.1. Учет пьезоэлектрического эффекта в конечно-элементной модели пьезоэлектрического преобразователя..................................................................67
2.2. Формирование обобщенной элементной подынтегральной матрицы жесткости................................................................................................................72
2.3. Учет электрических граничных условий, конденсация.......................76
2.4. Режимы резонанса и антирезонанса. Динамический коэффициент электромеханической связи....................................................................................79
2.5. Собственные колебания пьезопрямоугольника....................................83
2.6. Собственные колебания пьезоцилиндров с радиальной поляризацией...........................................................................................................86
2.7. Собственные колебания пьезоцилиндров с осевой поляризацией.... 99
2.8. Влияние формы электродов на эффективность возбуждения собственных колебаний пьезоцилиндров............................................................108
2.9. Моделирование пульсирующих колебаний тангенциально поляризованных оболочек вращения...................................................................111
2.10. Собственные колебания пьезоцилиндров с тангенциальной поляризацией.........................................................................................................117
2.11. Учет пьезомагнитного эффекта в конечно-элементной модели пьезомагнитного преобразователя.......................................................................122
2.12. Собственные колебания пьезомагнитного цилиндра с тороидальной обмоткой........................................................................................128
2.13. Собственные колебания осциллирующего и изгибного пьезоцилиндров.....................................................................................................133
2.14. Собственные колебания полых пьезоконусов..................................139
2.15. Анализ собственных колебаний пьезопреобразователя сложной конструкции..........................................................................................................144
2.16. Выводы...............................................................................................149
Глава 3. Моделирование и анализ акустического излучения конечных пьезопреобразователей.........................................................................................152
3.1. Учет акустического излучения в конечно-элементной модели пьезопреобразователя в экране, постановка задачи............................................155
3.2. Определение матрицы импеданса акустического поля и узловых
сил, эквивалентных излучению............................................................................158
3.3. Определение частотных характеристик пьезопреобразователя и дальнего поля излучения......................................................................................162
3.4. Анализ эффективности излучения пьезопластин конечных размеров.................................................................................................................164
3.5. Методы учета акустического излучения пьезопреобразователей
без экрана..............................................................................................................168
3.6. МГЭ. его основные положения, гфеимушества и недостатки...........170
3.7. Комбинированный метод конечных и граничных элементов
для анализа пьезопреобразователей.....................................................................173
3.8. Основные соотношения метода граничных элементов для
анализа осесимметричных пьезопреобразователей............................................178
3.9. Проверка программы метода граничных элементов по известным аналитическим результатам..................................................................................184
3.10. Исключение погрешности решения метода граничных элементов на критических частотах.....................................................................188
3.11. Сравнение результатов расчетов по комбинированному методу конечных и граничных элементов с известными теоретическими
и экспериментальными результатами..............................................................,...199
3.12. Анализ водозаполненного тангенциально поляризованного пьезоцилиндра.......................................................................................................211
3.13. Анализ гидроакустической антенны из двух водозаполненных пьезоцилиндров.....................................................................................................222
3.14. Анализ цилиндрического пьезопреобразователя с внутренним твердым заполнением...........................................................................................232
3.15. Анализ цилиндрического пьезопреобразователя с
внутренним стержнем...........................................................................................244
3.16. Анализ водозаполненной пьезокерамической оболочки.................252
3.17. Анализ цилиндрического водозаполненного пьезопреобразователя
с внутренней упругой перегородкой....................................................................263
3.18. Выводы...............................................................................................270
Заключение............................................................................................................273
Приложение...........................................................................................................277
Литература.............................................................................................................308
ВВЕДЕНИЕ
Пьезоэлектрические и пьезомагнитные преобразователи (ПЭП и ГТМП) являются важной частью многих самых различных гидроакустических систем, а также широко применяются в ультразвуковых установках, радиотехнике, автоматике, робототехнике, измерительной технике. Технические характеристики любой акустической системы в значительной степени зависят от основных параметров используемых в ней пьезопреобразователей (ПП). В настоящее время наибольшее распространение получили ПП, активный элемент которых выполнен из пьезоэлектрической или пьезомагнитной керамики; он может иметь различную геометрическую форму и размеры.
Полный анализ ПП произвольной формы и размеров содержит две основные задачи, которые фактически являются связанными, - анализ многомерных колебаний ПП с учетом пьезоэффеьсга и анализ акустического поля многомерными колебаниями ПП. Аналитические позволяют рассматривать только небольшой класс таких задач, используя различные приближенные модели теории колебаний и теории излучения. В монографии М-Д.Смарышева [117] отмечается: "В принципе задача об излучении или приеме звука антенной сводится к необходимости совместного решения двух задач - волновой и задачи о механических колебаниях преобразователей. Поэтому наиболее строгий метод должен состоять в совместном решении волнового уравнения, определяющего распространение звука в среде, и уравнения колебаний преобразователя. Однако в такой постановке задачу удается довести до конца только в простейших случаях. В связи с этим обычно для описания колебаний преобразователя пользуются упрощениями, позволяющими рассматривать преобразователь как механическую систему с сосредоточенными параметрами." В этом случае ПП заменяют классическими одномерными моделями, которые анализируются либо аналитическим методом, либо следующим из него методом эквивалентных схем. Одномерные модели не учитывают конечность нерезонансных размеров ПП и ограничиваются простей-
шими геометрическими формами: пластинами, стержнями, цилиндрами и сферами [1, 57, 63, 64,103-106, 113, 122, 126-128, 211].
Во многих практических случаях одномерная модель весьма далека от реального ПП, поэтому аналитические методы дают только приближенные значения основных параметров ПП, не позволяют учесть конструктивные особенности и выбрать оптимальные геометрические размеры. Одномерная модель предполагает также постоянство колебательной скорости на излучающей поверхности, что часто не соответствует фактической ситуации и приводит к большой погрешности при расчете характеристики направленности. В статье В.В.Мелешко [97] отмечено: "Экспериментальные данные, полученные в последние годы, наглядно свидетельствуют о том, что задание на поверхности излучателя равномерно распределенной колебательной скорости, не отражающей фактически реализуемой формы движения, приводит к существенным погрешностям в определении диаграммы направленности в дальнем поле".
Отметим также, что существующие аналитические методы, основанные на одномерной теории, неприменимы для исследования перспективных ПИ неканонической формы и усложненных конструкций, представляющих практический интерес, например, рассмотренных в данной работе цилиндрических ПП с внутренними пассивными элементами. Таким образом, ситуация в теории пьезопреобразователей аналогична с положением дел в гидроакустике в целом; так как по мнению известного сторонника численных методов В.Ю.Завадского, изложенному' в его монографии [62]: "В настоящее время даже минимальные требования гидроакустики выше максимальных возможностей метода нормальных волн и лучевого метода."
Ограниченные возможности аналитических методов приводят к тому, что многие вопросы разработки отечественных ПП сейчас можно решить только опытным путем, что связано с большими затратами времени и материалов. Вопрос об оптимальности конструкции при этом обычно остается открытым, так как часто невозможно исследовать все варианты. Компьютерное моделирование на основе метода конечных элементов (МКЭ) и метода граничных элеме-
нтов (МГЭ) позволяет анализировать реальную конструкцию при варьировании ее параметров и таким образом значительно ускорить и удешевить разработку высокоэффективных ПП. По этой причине автор работы солидарен с мнением уже упоминаемого В.Ю.Завадского [62]: "... необходимы своевременная смена научных концепций, разработки радикально новых теорий, математическое и численное моделирование в условиях наиболее близких к реальным. Становится необходимым не просто улучшать и усложнять прежние формулы, а принципиально изменять подход, переходя от чрезмерной, иногда парализующей всякий анализ (даже численный) сложности теоретических формул к простоте, ясности и своеобразной красоте алгоритмических решений, которые берут в основу простоту и красоту исходных уравнений математической физики."
Кратко рассмотрим ситуацию в аналитической теории колебаний ограниченных лтфугих тел без учета и с учетом пьезоэффекта. Анализ собственных частот и форм колебаний конечных однородных изотропных упругих тел (то есть без учета анизотропии и пьезоэффекта) был предметом исследования известных ученых прошлого: Дебая, Кри, Ламе, Лауэ, Лэмба, Похгаммера, Пуассона. Задача о колебаниях сферы оказалась единственной пространственной задачей, имеющей строгое решение [50]. Основные трудности связаны с тем, что конечное тело ограничено координатными поверхностями различных типов и поэтому не является гладким, а имеет линии (ребра), в которых существует неединственная нормаль. Это приводит к значительным трудностям при подборе решения, удовлетворяющего граничным условиям. Большие проблемы возникли при анализе собственных колебаний конечных круглых цилиндров. "Сложности в построении точных аналитических решений привели Лауэ (1925 г.) к парадоксальному заключению о том, что собственных колебаний цилиндра со свободной поверхностью вообще не существует" [50]. (Макс фон Лауэ (1879-1960 г.г.), немецкий физик, лауреат Нобелевской премии 1914 г.).
Трудности получения точных решений для упругих тел конечных разме-
ров стимулировали развитие приближенных теорий. К началу XX века приближенные решения были получены для пластин, мембран, стержней, оболочек; работы в этом направлении продолжаются и до настоящего времени. Аналитические методы для изотропных твердых тел развиты в работах В.Т.Гринченко и В.В.Мелешко [50]; Б.А.Касаткина [81-84]; Е.В.Именитовой, К.В.Чернышева, В.В.Шегай [72, 131]; Дж.Р.Хатчинсона а&НшсЫшюп) [174]; Р.Кумара (Д.Китаг) [192-194]; М.Румермана (М.Кшпегтап) [216] и многих других отечественных и зарубежных ученых. Однако, многолетние исследования в этом направлении привели лишь к частичному успеху для упругих тел простейшей геометрической формы без учета анизотропии и пьезоэффекха, причем применяемый математический аппарат достаточно сложен и неуниверсален. Обобщение же разработанных методов на пьезокерамику приводит к непреодолимым математическим трудностям. Отметим также, что анализ полученных результатов часто невозможен без разработки специализированных программ, иногда требующих корректировки алгоритма яри изменении размеров упругого тела. Следовательно, значительного прогресса в аналитическом направлении не ожидается.
Неодномерные приближенные аналитические модели с учетом пьезоэффекта, рассматривались в работах ЛЛ.Гутина [53]; В.Н.Лазуткина и А.И.Михайлова [90-94]; В.З.Партона и Б.А.Кудрявпева [103], а также в статьях зарубежных авторов [152, 166, 203, 212, 235, 236, 240]. Д.С.Друмхеллер и А.Калнинс (О.З.ОгшпЬеИег, А.Ка1шш, Университет Лехай, г.Бетлехем, Пенсильвания) [153] рассмотрели две низшие моды колебаний пьезоэлектрических цилиндров конкретных размеров с радиальной и осевой поляризацией на основе теории оболочек. Заметим, что допущения, принятые в этой теории, накладывают большие ограничения на возможные формы колебаний и, как будет показано в главе 2, не позволяют анализировать изгибные моды, поэтому полученная этим методом информация является неполной.
В статьях сотрудников отдела электроупругости Института механики Академии наук Украины А.М.Болкисева и Н.А.Шульги, опубликованных в
журнале "Прикладная механика", например, [32, 33] используется классический метод разделения переменных Фурье. Для этого подбираются "искусственные" краевые условия, при которых этот метод можно применять, в том числе, одновременное наличие электродов на цилиндрических поверхностях и торцах. Недостаток теоретических результатов в некоторой мере компенсировался экспериментальными исследованиями [2, 206,219, 231].
Лучшие результаты были получены вариационными методами. Р. Хол-ленд и ЕНЭрниссе (R.Holland, Е.Р.Еег Nisse, Лаборатория Сандиа, г.Альбукерке, Нью-Мексико) в работах [154, 167-169] применили вариационный метод Ритца для анализа собственных колебаний ПЭП конечных размеров и исследовали резонансные частоты, формы колебаний и динамические емкости прямоугольных и круглых пластин и прямоугольных параллелепипедов. В.Н.Лазуткин и А.И.Михайлов (Научно-исследовательский инженерный институт г.Балашиха) в статье [91] использовали этот метод для анализа колебаний цилиндров конечных размеров с осевой поляризацией и рассмотрели зависимости резонансных частот и динамических емкостей от длины цилиндра (первые четыре моды).
В вариационном методе решения для электрического потенциала и смещения ищутся в виде рядов по координатным функциям, которые должны наиболее полно приближаться к точному решению и зависят от геометрической формы ПЭП. Если область имеет неканоническую форму вариационный метод неприменим, так как нельзя подобрать систему координатных функций для всей области в целом. МКЭ представляет собой один из вариационно-разностных методов. Его большим преимуществом, по сравнению с обычными вариационными методами, является универсальность: МКЭ можно анализировать 1111 произвольной геометрической формы и размеров с любым типом поляризации и произвольной формой электродов с учетом пассивных элементов конструкции.
Высокая производительность современных ЭВМ (в том числе персональных компьютеров), а также перспективы их развития изменили соотношение между численными и аналитическими
