Контактные задачи теории пластин и плоской деформации цилиндрических оболочек тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Р Г Б ОД Днепропетровский государствешшй университет

На нравах рукописи

НАУМОВА Ирина Юрьевна

УДК 539.3

КОНТАКТНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ПЛАСТИН И

ПЛОСКОЙ ДЕФОРМАЦИИ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК

01.ОЙ.01 - Механика деформируемого твёрдого тела

Автореферат

диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Днепропетровск - 1995

________Диссертация является рукописью. ----------------------------------- -----------'

Работа выполнена на кафедре строительной механики Государственной металлургической академии Украины(г.Днепропетровск).

Научный руководитель: доктор технических наук

профессор Колесник И.А.

Официальные оппоненты: член-корреспондент HAH Украины,

доктор технических наук, профессор Гудрамович B.C.

доктор физико-математических .наук, профессор Андрианов И.В.

Ведущая организация: Институт проблем машиностроения НЛН Украины (г.Харьков).

Защита диссертации состоится " ¿0" ) >1 1995г. в часов на заседании специализированного ученого совета Д 03.01.14 Днепропетровского государственного университета 320625, ГСП, г.Днепропетровск-Ю, пр.Гагарина, 72, корпус 3, аудитория 57 .

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке) Днепропетровского государственного университета.

Автореферат разослан " — " 1995г.

Ученый секретарь специализированного ученого совета

Костнрко В.В.

______________________________СЩАЯ ХАРАКГОГИЗДИКА РАБОТЫ

Актуальность теш. 03 актуальности рассматриваемой в работе проблемы механического взаимодействия тонкостенных элементов конструкций говорит обширное освещение её в периодических изданиях научных работ, публикациях материалов съездов, конференций, симпозиумов. В частности, на конференциях по смешанным задачам этой проблеме посвящается отдельная секция. Интерес к названной проблеме вызван в первую очередь расширением области примэнения тонкостенных конструкций повышенной ответственности в инженерной практике, это повлекло за собой потребность в более тщательных исследованиях механического взаимодействия таких конструкций. Как известно, решение таких задач в постановке теории упругости связано с применением прямых численных методов, которые из-за больших градиентов в контактных напряжениях дают большие погрешности. Классические теории пластин и оболочек дают только нулевое приближение реального распределения контактных взаимодействий. Причём решение в этом случае можно найти только в классе обобщённых функций, сингулярная часть которых распределена на границе области контакта. В имеющихся уточнённых теориях для получения достаточной точности распределения контактного взаимодействия между контактирующими по лицевой поверхности элементами при отсутствии прокладок приходится накладывать ограничения на характер нагрузки в области контакта.

Поэтому, задача построения уточнённой теории пластин и оболочек, пригодной для решения контактных задач с произвольной нагрузкой на лицевых поверхностях, сочетающая простому прикладных теорий с достаточной точностью является весьма актуальной.

Целью работы является:

- построение уточнённой теории пластин и оболочек, которая бы обеспечивала достаточную точность определения контактных взаимодей-

■ ствий(,_|была бы пригодна для разрывных нагрузок и, вместе с тем,__________

сохраняла бы простоту приклалних теорий;

- формулировка корректных краевых задач непосредственно относительно контактных напряжений;

- разработка эффективных способов решений одномерных контактных задач с учётом касательных взаимодействий;

- получение зависимостей, удобных для численного исследования контактных задач на ЭВМ.

Научная новизна работы состоит в развитии идей Гольденвейзера -Айнолы при построении уточнённых теорий пластин и оболочек для различных классов задач.- Уравнения распространены на контактные задачи пластин и оболочек с произвольной нагрузкой в области контакта. Рассмотрен ряд новых одномерных контактных задач.

Достоверность найденных результатов следует из достоверности используемых при построении приближённой теории исходных положений и подтверждается на тестовых примерах, имеющих точное решение в постановке теории упругости.

Практическая ценность работы в том, что полученпне уравнения могут быть использованы для решения широкого класса контактных задач пластин и оболочек с произвольной нагрузкой в области контакта. Результаты рассмотренных новых задач могут быть использованы в инженерных расчётах на контактную прочность.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на: Ш-ей Всесоюзной конференции по смешанным задачам механики деформируемого тела ^Харьков, 1985 г.^; Ш-ей научно ~ технической конфэрещии молодых ученных и специалистов ДГУ по методам решения прикладных задач механики деформируемого твёрдого тела (Днепропетровск, 1988 г.); заседании Республиканского научно-методического семинара по сопротивлению материалов и строительной механики 1кафедры динамики и прочности машин и сопротивлешш мате-

______риалов. (КПП,.. 1989г.) ; Г.У-ой Всесоюзной конферещии по смешанным задачам механики деформируемого тела (Одесса, 1989г.) ; семинарах кафедры строительной механики Государственной металлургической академии Украины с 1984г. по 1994г.; семинаре кафедры теоретической механики Днепропетровского государственного университета (1994г.}; семинаре "Компьютерные задачи механики" научного совета HAH Украины по проблеме "Кибернетика" при приднепровском научном центре(1994г.) . Публикации. Основные результаты работы отражены в /I - 7/. j С£*ём работы. Диссертационная работа изложена на <¡30 страшцах машинописного текста и состоит из введения, четырёх глав, заключения, списка литературы, включающего J26 наименований-и заключения. Работа иллюстрирована 61-им рисунком и содержит 6 таблиц.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАЩЕ РАБОТЫ

Во введении изложена суть и состояние проблемы контактного взаимодействия тонкостенных элементов конструкций, проведена классч кация задач этой проблемы, обоснованы выбор темы диссертационной работы, актуальность её, научная и практическая ценность, сформулированы цели и задачи.

рассматриваемая в работе проблема механического взаимодействия тонкостенных элементов конструкций между собой и с твёрдыми телами имеет давнюю историю, начало которой положено работами С.П.Тимошенко (1925г.), Л.А.Галина (1948г.). М.М.флоненко-Бородича (194Уг.). Основы её развития были заложены в.И.Моссаковским, В.С.Гудрамовичем, Б.Л.Пелехом, М.А.Сухорольским, Э.И.Григолюком, В-М.Толкачёвим, Ю.П.Артюхиным, С.Н.Карасёвым, М.В.Блохом, Г.Я.Поповым, В.М.Александровым, Т.Л.Мартыновичем, В.Ю.Юрищом. В этих задачах результат вычислений распределения контактного взаимодействия существенно зависит от принятой теории тонкостенного элемента, в обзорной работе Г.Я.Попов и В.М.Толкачёв показали на примере задачи Тимошенко, что решение контактных задач на основе классической теории оболочек и пластин в классе обычных функций вообще не существует и его следует разыскивать в классе обобщённых функций, сингулярная часть которых

распределена на границе области контакта. Для оценки же контактной прочности требуется знание более точного распределения контактного -взаимодействия. Использование уже известных уточнённых теорий не всегда даёт требуемую точность распределения контактного взаимодействия. Поэтому для ряда задач возникает необходимость построения специальных уточнённых теорий. Мэтодн построения теории тонкостепного элемента разделяются на аналитические (А.Л.Гольденвейзер, Н.А.Кильчевский, И.Н.Векуа, Б.Л.Пелех, М.А.Сухорольский, В.М.Александров, Н.А.Базаренко и др.^ и полуобратные, основанные на гипотезах (с.П.Тимошенко, э.Рейсснер, С.А.Ам5арцумян, э.И.Григолгок, В.М.Толкачёв и др./

А.Л.Гольденвейзер предложил задавать основные напряжения в виде

Здесь

щ - произвольная функция, в отличие от гипотезы Рейсснера, где Л.Я.Айнола показал, что. введенная А.Л.Гольденвейзе-

ром функция зависит от нагрузки на лицевой поверхности и может быть определена из вариационного прищипа Кастильяно. Это налравлеше развития уточнённых теорий пластин и оболочек недостаточно освещено в литературе и представляется перспективным в контактных задачах по лицевым поверхностям, поскольку частично снимаются искусственные связи в зоне контакта, накладываемые гипотезой Рейсснера.

В первой главе построены уравнения обобщённой теории пластин полуобратным методом с помощью следующих основных положений.

I. Основные напряжения Ж- <Экт 6т , ))/ аналогично

тому, как это было предложено для случая только изгиба А.Л.Гольденвейзером, представлены в виде

Здесь для облегчения выкладок и обозримости результатов были введены тензорно (векторно]- матричные обозначения обобщённых усилий

1,1 II т

'(кт) к т '(кт) II | _ * //г (?)

■X 7Г 7? ~{/г

в{/ьг> /С3 - ортонормирование базисные вектора ортогональной криволинейной системы крирдинат - матрица - строка произвольных функций. Точки над ними обозначают производные по поперечной координате

2. Обобщённые перемещения )(к в отличие от известных способов, вводятся следующим образом

< '-'/<? //> (3)

Здесь матрица - столбец произвольных функций 0{(х^ Ог(Х^, не

связанная с матрицей функций

На основе этих положений, осредняя уравнения равновесия теории упругости с соответствующим весом, получаем известные уравнения равновесия пластин, которые в обозначениях (2) имеют вид

ж „а)

где = у3 ~ нагрузки на ¿-ой лицевой поверхности пластины.

Осредняя закон Гукн.^все шесть уравнений^ с произвольным весом получаем соотношения упругости

и соотношения контакта

% > г\\ЧГГ4 + Т~?г 'ЩЩ7II $

V). I \ ' I у . (

?/ ^ V _ 2АтТ+

из " 2М) С

I Замкнутая система уравнений (4), [ъ), (б) определяет обобщённую теорию пластин. Уравнения (б), (б) по форме полностью совпадают с уравнениями, приведенными в книге Э.И.Григолюка, В.М.Толкачёва (^ Отличие состоит в произвольности коэффициентов, поскольку они выражаются через матрицы произвольных функций СЗ,(Хг) и/(%]по формулам

г' Ш • СО '/г '

$ = ; ^/дг(х)?/*)</х; Я -¡Ш)?%)с1х;

-</г -//* 7/

& ■ 0 . . а .

г~М Г• .(4 Г (V- (V • , /У)

/где П 'Ъ -Ф

\0(х}) Ц{;Ы1 ОД? Ц^Щй-У

< Доказано на основании тождественности выполнимости теоремы Бетти и условий инвариантности уравнений теории пластин по отношению к выбору системы- координат, что все коэф!ициенты уравнений теории пластин выражаются только через 8 независимых констант ^П)Рн, Ргг, (П{2) П1г// СН) Сгг какими бы ни были функции (^/СГД ?.^следующим сбразом

* Григолюк Э.И., Толкачёв В.М. Контактные задачи теории пластин и оболочек. - М.: Машиностроение, 1980. - 411с.

II Са+Пг1п/1Щс„+гтнп№)/Ч) #ггщ,уг+1т,!/21

. и) II ; сгг + Щ« . I

' "Справедливо и обратное утверждение: если назначить константы

аи,агг>А(• Аз>тн>тго Ся> С?> то 5,3 Уравнений (8), (7) можно определить функции ¿?. и точностью до полиномов пятого и седьмого порядков соответственно.

Таким образом, вопрос построения обобщённой теории пластин сводится к выработке критерия для определения указанных 8-ми констант.

Кроме этого, в первой главе были получены выражения полей напряжений и перемещений в пластине. Причём, поле перемещений найдено путем интегрирования не всех уравнений закона Гуна. Путём подстановки их в оставшиеся уравнения получены соотношения несовместности деформаций, которые в интегральном смысле с весом 0(Х3) обращаются в ноль тождественно при любых константах. Потребовав обращение его в ноль в среднем с весом СО(Х,) были найдены следующие значения констант

={,2;т{2^№}Л1!{-{/{0; С^ОЗЗ^ш (9)

и функций

+3&,ере; {2х-39,еРг ЧИР, - /33 Р^ II.

I»

Если задать согласно гипотезе Рейсснера функции ; {2ХУ1/

и положить ОЫ}) - ^(Х^ то значения коэффициентов уравнений (5), (б) определённые по формулам (?) полностью совпадают с коэффициентами уравнений, приведенных в работе(#) , где они были получены другим

путём. Сопоставление значений коэффициентов уравнений приведенных

в работе (X) с коэффициентами, подсчитанными по формулам (8) при

значениях констант (9) показывает, что они отличаются-лить кбэФГи-

__________________________________МО

циентами в контактных соотношениях л и то незначительно. Такое совпадение даёт возможность судить о степени достоверности предлагаемого способа определения констант на основе более точного удовлетворения условия» совместности деформашй. Что касается функций и CJi(X,)j то в отличие от работы Л.Я.Айналы, где эти функции предлагается определять для конкретно заданной нагрузки, их выражения (ю) приведены здесь для класса основных задач.

Во второй главе выработан критерий для определения констант в контактных задачах и определены эти константы. Для этого предварительно система уравнений (4), (б),. (6J была приведена к дифференциальным соотношениям относительно нагрузки на лицевых поверхностях путём исключения переменных состояния из контактных соотношений. Эта система разделена на две независимые вида

4

Коэффициенты которых А^^Л^ >0(у;иг ; ; определённым обра-

зом выражаются через константы.

Если задать на у-ой лицевой поверхности перемещения^ , , то нагрузку этой стороне пластины {= у следует рассматри-

вать как контактное взаимодействие, а соотношения , (12) - как дифференциальные уравнения относительно этого взаимодействия.

Для негладкой нагрузки было предложено использовать условие непередачи разрывов в нагрузке в контактное взаимодействие ( качественный критерий). Это условие будет выполнено, если потребовать, чтобы порядок дифференциальных уравнений [н^, (12) относительно коггт"1'^-

ного взаимодействия был бы выше порядка относительно нагрузки, то есть, наложить условия: . .

АМ

И) , , 2

Первое из условий (13^ накладывает связи на константы, в результате чего для системы (тт} из восьми независимых конста!гг остаётся только пять. Аналогично, Еторое из условий (13) накладывает ещё одну связь и для уравнения (12) из четырёх входящих в него независимых констант 0-ц, А///г? остаётся - три.

Для определения остальных констант предложен следующий (количественный) критерий: невязка 0(&) операторных выражений перемещений в области контакта по теории пластин и теории упругости должна бить минимальна. В работе предложены два способа минимизации невязки:

- по Тейлору ОМ/ =0, (к~-0^г2г..) («) -эрмиту¡0ЩкШ)е'Ы(^0} (к»ем„) (и)

где Ц (х) - полином эрмита.

Полученная на основании критериев (М/ , (15) в третьем приближении система линейных уравнений относительно констант, вообще говоря, несовместна. Определены эти константы из другой, уже совмест. системы линейных уравнений, полученной путём минимизации оценочной Функции.

В случае гладкой нагрузки качественный критерий не используется, ся, а все константы были определены из количественного критерия.

Определением констант заканчивается построение теории пластин (л) , (5), (6). Применимость обобщённой теории пластин оценена на ряде задач, решение которых известно в постановке теории упругости.

В. третьей главе сделаны интегральная и дшДОйрещиачьная постановки одномерных контактных задач.

В интегральной постановке задачи сводятся к системе интеграчь-

ных уравнений Вольтерра 11-го рода относительно контактных взаимодействий с произвольными постоянными. Обычно эти уравнения исключением, произвольных постоянных с помощью условий на торцах приводятся к интегральным уравнениям Зредгольма 11-го рода. Здесь непосредственно к уравнениям Вольтерра добавляются условия на торцах.и полученная система решается методом механических квадратур. В качестве примеров были рассмотрены следующие задачи.

Сложный сдвиг и кручение защемлённой по торцам пластины штампом через накладку. Найдены гладкие кривые контактных взаимодействий между штампом и накладкой и между накладкой и пластиной при различных относительных жесткостях накладки, а также получены зависимости приведенного коэффициента жёсткости системы от относительнрй жёсткости накладки при различных относительных толщинах накладки.

Цилиндрический изгиб защемлённой пластины выпуклым штампом через гладкую накладку. Разработан алгоритм определения оптимальной накладки. В качестве примера определена область изменения параметров, для которых накладка ширины равной трём толщинам является оптимальна!.

Изгиб круглой защемлённой пластины колщевой нагрузкой через накладку. Исследован учёт касательных взаимодействий.

Изгиб колщевой пластины круглым штампом через кольцевую накладку.

В дифференциальной постановке рассмотрена негладкая полоса, зажатая между штампами, которым сообщается поступательное перемещение

' Такая задача может описывать процесс выталкивания - вытаскивания полосы , зажатой между штампами. Между штампом и пластиной могут быть области сцепления, проскальзывания с трением и отставание. Задача исследования процесса состоит в установлении зависимости положе-

V/ и загружена по торцам силами

ния границ этих областей X* от величин Р ; 1/, Эти точки определя-

ются условиями

1у(£о)=

X*

также условиями непрерывности переменных состояния.

Рис. I

Задача усложняется условиями на кощах штампа. Были рассмотрены четыре варианта взаимного расположения пластины и штампов: пластина на входе (правый торец пластины находится между штампами, а левый -вне штампов) ; пластина на выходе (левый торец пластины находится между штампами, правый - вне штампов); пластина в состоянии прохода между штампами и её ширина меньше ширины штампов (оба коща пластины находятся между штампами); пластина в состоянии прохода между штампами и её ширина больше ширины штампов (оба торца пластины вне штампов).

Перед исследованием процесса были определены допустимые значения сил Р , при которых имеют место полные состояния: сцепления, проскальзывания с трением или отставания по всей области контакта. На рисунке 2 показаны эти области для четвёртого варианта.

Области допустимых значений сил Р~ , при которых имеет место полное проскальзывание с трением изображена двум секторами, ограниченными лучами (2) и (з) для полного проскальзывания вправо и луча-1 ми@и© для полного проскальзывания влево. Эти секторы располагаются симметрично относительно биссектрисы второго и четвёртого

добиться полного проскальзывания], но можно "втащить" /приложить силу справа и добиться полного проскальзывания]. При рассмотрении пластины на выходе сектор проскальзывания вправо вырождается в луч (з) Здесь пластину можно и"вытолкать" и "выталдать", причём для "выталкивания" потребуется большая сила, чем для "вытаскивания".

Область полного сцепления представлена на рисунке 2 четырёхугольником. Если пластина находится в состоянии прохода между штампами, то этот четырёхугольник симметричен относительно биссектрисы второго и четвёртого квадрантов.

И наконец, область полного отставания, определяемая условиями д/Х,Р%0; %(Х,Р*)*0 представлена лучём ф.

Процесс был начат из состояния обжатия при отсутствии

торцевых нагрузок Р -0. Было показано, что при этом имеют место в центре - одна область сцепления и 2 области проскальзывания по краям. Получени также кривые зависимости границ между областями от А" иТк

Затем были рассмотрены симметричные процессы: Р =-Р ~Р. При монотонном сжатии область сцепления увеличивается до полного сцепления. Траектория нагружения при этом ¡¡а плоскости Р , Р совпадает с отрезком прямой Р + Р = 0 от начала координат до полного сцепления ^рис.2)т При растяжении область сцепления с увеличением сил Р уменьшается и с её исчезновением наступает полное отставание. Траектория нагружения совпадает с отрезком прямой от начала координат до полного отставания (ряс.2).

Также были рассмотрены 2 несимметричных процесса. При выталкивании силой Р ^траектория нагружения - отрезок оси Р от нуля до точки Рщ (ряс.2) в первую очередь уменьшается область проскальзывания слева до полного исчезновения, в то время как область проскальзывания справа практически не меняется. Этому критическому состоянию соответствует сила Р=Р~ = 0,££ Затем начинает увеличиваться область проскальзывания справа до наступления состояния полного

л* _

проскальзывания вправо при силе V- ^ 55, При вытаскивании (траектория нагружения - отрезок оси Р от нуля до точки V = (рис.2)) с~увеличением силы в первую очередь исчезает об-

ласть проскальзывания слева, но одновременно увеличивается иоб-ласть проскальзывания справа, то есть, область сцепления как бы смещается влево, одновременно уменьшаясь. При Р-Р^ 0;9{ область проскальзывания слева исчезает и остаётся 2 области. Затем начинает расти область проскальзывания справа, и при Т^Рц^ наступает

состояния полного проскальзывания,

В четвёртой главе исходя из тех же основных положений, что и при построении теории пластин и по тому же прищипу путём осреднения уравнений теории упругости были получены уточнённые уравнения плоски деформации цилиндрической оболочки

I „.(/)* г V гт, у. Г) ¡МЛОп 11 Ъ 11

и поле напряжений.

В отличие от теории пластин, здесь коэффициенты зависят не только от произвольных функций и , но и от параметра тонкостей-ности оболочки Разложив коэффициенты в ряд по степеням &

и ограничиваясь членами с Ь в первой степени по сравнению с единицей, то есть, рассматривая оболочку средней толщины, было показано, что все коэффициенты выражаются через 14 независимых констант при произвольных СУ(- и I •.

Для основных задач константы были определены прямым способом, задавая и £7,- по гипотезе Рейсснера: = /,' = Ц>Х.

В этом случае уравнения (16^ являются обобщением уравнений в работе ) на случай - плоской деформации циливдриче ской сб олочки.

Условия для определения констант 1Рконтактннх--задачах,те_же, что и в теории пластин. Для формулировки качественного критерия о непередачи разрывов нагрузки в контрактное взаимодействие была получена система дифферещиальных уравнений относительно контактных взаимодействий. После удовлетворения этого условия осталось Ю независимых констант, которые были определены из количественного критерия: условия минимизации невязки операторных выражений перемещений в области контакта по теории оболочек и теории упругости, В результате были получены константы для негладкой нагрузки. Построенная теория применена к исследованию взаимодействия системы двух находящихся в контакте оболочек, нагруженных по наружной поверхности внешней оболочки и внутренней поверхности внутренней оболочки нормальной нагрузкой. В случае гладкого контакта при отсутствии касательной нагрузки получено замкнутое решение относительно контактных взаимодействий. На его основе были исследованы следующие задачи.

1. Расслоение соосных оболочек, посаженных с натягом. Оказалось, что можно найти такое соотношение параметров, когда при растяжении соосных оболочек при отсутствии предварительного натяга расслоения не будет. При сжатии же тендещия к расслоению всегда имеется и добиться отсутствия расслоения можно только с помощью предварительного натяга.

2. Взаимодействие замкнутой оболочки с нагруженными по внешней поверхности накладками, внутренний радиус которых совпадает с внешним радиусом оболочки. Найдена зависимость угла раствора накладки и оболочки, при котором между накладкой и оболочкой не возникает области отрыва.

В приложениях приведены вычисления часто встречающихся в работе

интегралов; решение неопределённого уравнения Вольтерра ГГ-го рода; --------определение псепдообрзтиой матрицы.

ОСНОВНЫЕ виводи ДИССЕРТАЦИОННОЙ РАБОТ!! ---------------

1. Построена уточненная теория пластин и плоской деформации цилиндрической оболочки средней толщины, обеспечивающая требуемую точность, пригодная для разрывны); нагрузок на лицевых поверхностях п сохраняющая простоту прикладных теорий.

2. Предложен обратный способ определения коэффициентов предлагаемой теории для основных и контактных задач, осноьанный на приближении решения задачи рассматриваемого класса к её решению в постановке теории упругости.

3. Тестовые примеры показывают, что решение, полученное на основе предлагаемых уравнений качественно и количественно оказываются ближе к решению в постановке теории упругости, чем решение, полученное на основе других прикладных теорий.

-!. Сформулированы корректные краевые задачи непосредственно относительно контактных напряжений.

Б. Исследовано влияние истории погружения негладкой пластины торцевыми нагрузками на процесс её протаскивания между плоскими штампам!.

6. В задаче о действии выпуклого штампа на защемлённую пластину через гладкую накладку исследован вопрос со оптимальных размерах накладки.

7. В осеснмметричной задаче о взаимодействии круглой защемлённой по торцам пластины с накладкой оценено влияние учЗга касательных взаимодействий на распре,деление нормальных взаимодействий.

8. Разработан эффективный способ решения неопределенных интегральных уравнений Вольтерра с дополнительными условиями на искомые функции.

По теме диссертации опубликованы следую-цие ряооты:

Г. Колесник И.Л., Наумова И.Ю. К расчёту цилиндрических оболочек и -пластин.// Прикл. механика. - 1985. - 21, $ [I. - С. 73-81.

2. Колесник И.А., Наумова"Й-.Ю.-Контактное ¡ждахуцпн-.тшш цилиндрических оболочек,- соединенных »нахлестку /'/ СмошпшТчб' задачи_______

механики деформируемого тела: Тез. докл. III Всесоюз. конФ», Харьков, Я-6 июня 1ПЯ5г. - Харьков, 1985. - С.103.

3. Колесник И.А., Наумова И.Ю. К расчету взаимодействия тонких соосннх колец и накладок при одностороннем контакте // Динамика и прочность тяжёлых машин. Моделирование п эксперимент. - Днепропетровск, 1987. - C.IIOII4.

4. Колесник И,А., Наумова И.Ю. 0 новом способе определения контактного взаимодействия пластин // Смешанные задачи механики деформируемого тела: Тез. докл. ГУ Всесоюз. конф., Одесса, 26 - 29 сент. 1989г. - Одесса, 1989, ч.Г. - С.170.

5. Наумова И.Ю. К решению контактных з;щач цилиндрических оболочек случай плоской деформации . - Днепропетровск, - 24с. -Деп. в УкрНИИНГИ 06.01.87, Л 227-Ук87.

с-,. Наумова И.Ю. Построение уравнений обобщённо?! теории пластин, применяемых в контактных задачах. - Днепропетровск, 1990. - 82с. -Деп. в УкрНИИНГИ 07.03.90, $ 405-Ук90.

7. Наумова И.Ю. Исследование влияния интенсивности торцевых нагрузок на характер взаимодействия негладкой пластины со сжимающими её штампам. - Днепропетровск, 1995. - 28с. - Деп. в ГШ'Б Украины 27.03.95, J* 630-УК95.