Корневые полиномы и корневые соотношения систем полиномов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Київський університет імені Тараса Шевченка

. рГ6 од

На правах рукопису

“ НОЯ 1995

СЕЙФУЛЛІН Тимур Рустемович

УДК 512.62

КОРЕНЕВІ ПОЛІНОМИ ТА КОРЕНЕВІ СПІВВІДНОШЕННЯ СИСТЕМ ПОЛІНОМІВ

01.01.06 — алгебра і теорія чисел

Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

К:'-їз *525

Дисертацією є рукопис

Робота виконана в Інституті кібернетики імені В. М. Глуш-кова НАМ України.

Науковий керівник: доктор фізико-математичннх наук, професор УС'ГИМЕНКО В. А.

•Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор ШАРКО В. В.,

кандидат фізико-математичних наук БАВУЛА В. В.

Провідна організація: Львівський державний університет імені Івана Франка.

9(0 44 Г

Захист відбудеться «-------•» ---1--------- 199 ° р. о-----------

год. на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 01.01.01 при

Київському університеті імені Тараса Шевченка за адресою:

252127 Київ 127, проспект Академіка Глушкова, 6, механіко-математичний факультет, ауд. ———.

З дисертацією можна ознайомитися в науковій бібліотеці університету.

Автореферат розісланий « ^ »——-------------- 199 ^р.

Учений секретар спеціалізованої вченої ради

ОВСІЄНКО С. А.

Актуальність теми, практичне і теоретичне счаченкя. Розв'язання систем подіноміалінкх рівнянь і перетворення поліноміальних виразів було первісною задачею алгебрі, з якої вока виникла, і погані, незважаючи на розпарення предмету, залишається центральною її проблемою. Оскільки мова алгебри йоліномі і раціональних функцій є основной мовся прзродаггах та технічних наук, а тзкох 2 фундаментом .інших розділів математики - - геометрії, диференціального та інтегрального числення, і^нкціоналького аналізу, теорії дкфзренціальних та інтегральних ріЕКянь, теорії імовірностей та інше, то актуальність цієї теми не виклнказ сумнівів. Особлива складність виникав при розгляді нелінійних виразів, тобто виразів,які мають змінні у степені більше одиниці. Розв'язання нелінійних поліноміальних рівнянь, а також виключення невідомих з нелінійних поліноміальних співвідношень в багатьох практичних та теоретичних застосуваннях є зовсім нездоланною перепоною. Особливу актуальність ця проблема набуває з виникненням ЕОН, та пов'язаними з цим розширеннями технічних обчислювальних можливостей, з розвитком комп'ютерної алгебри.

Задача алгебраїчних (аналітичних) перетворень полягає в тому, щоб систему поліноміальних рівнянь (співвідаоиень),. записаних у еигляді ,а:?.(х)=0,звести до належного вигляду. (Тут і нижче х^(х^, •. • , У~(Уу, • • • , %—(%у г - ■ • )) • Якідо систему рівнянь

вигляду *і:?і(х,у)=0, потрібно звесга до системи рівнянь вигляду у/:# ;(х)=0, то це є задача виключення невідоігих. Якщо дві системи

V

рівнянь вигляду v£:/{fr,j/J=0 та вигляду vj:gj(.y,z)=Q необхідно

звести до системи ріЕнянь вигляду vk:h^(x,z)=0, то це е задача

суперпозиції двох алгебраїчних функцій,заданих у неявному вигляді.

Незвідність або звідність системи рівнянь вигляду v{(х)=0 до

рівняння вигляду 1=0 рівнозначна існуванню, або неіснуванню

коренів у початкової системі рівнянь в алгебраїчно замкненому

полі. Звідність системи рівнянь ЕИГЛЯДУ Vt: f^(x)=0 до системи

рівнянь вигл'їду vi; х;-Х^=0 рівнозначна існуванню одного, з

урахуванням кратності, кореня початкової системі рівнянь, а саме

зведення до задаї.ого вигляду є розв’язанням початкової системи

рівнянь. .

Алгебраїчні перетворення системи поліноміальких рівнянь

w'-'j;(x)=0 е отримання лінійних комбінацій обох частин різностей з “ з _ _

полінсміальними коефіцієнтами: У f-(x)-gl(x)=0, де gV^.)-поліноми

і=1 1

від x=(Xj,... ,хп). Отгке, задача приведення системи поллгаміальних

рівнянь до заданого еигляду зводиться до задачі розв'язання систем * ' ' • з _

лінійних ПІВЕЯНЬ ЕИГЛЯДУ F(X)= У f;(x)‘gt(x), де невідомими є . І=1 .

поліноми е"(х), а полііг ті ї^х) - відомі; на коефіцієнти полінома

І'(х) накладені дєяки лінійні умови. Розв'язки зазначеного

з _

лінійного рівняння ми будемо затісувати у вигляді Y /,■ •gl(x). Для . №1 1

розв'язання та дослідження'властивостей розв'язків рівнянь вигляду з ,

F(x'= f^x) -в1 (х) необхідно розглядати рівняння вигляду_ а ^ ’

У f;(x)'gl(x)=0, розв'язки яких називаються співвідношеннями або ihi 1 ■

сізігіями поліномів f{x). Найпростішим прикладом' співвідношення

поліномів є комутаційні співвідношення, тобто співвідношення.

породзсекі СПІВЕІДНОїїЄНН.ЧЯІ ВИГЛЯДУ j:'f :(x)-f -’f ■ (X) .

- * J J I

Класичним методом розв'язання зазначеного класу задач є метод послідовного ' виключення невідомих, розробленій Ейлером та записаний Сільвестром у фор^і результантів. Указаний метод достатньо громіздкий' і призводить до виникнення зайвих коренів. Подальший рззвигок цього методу було зроблено в працях Маколея (Macaulay P.S.). Серед сучасних методів розв'язання указаного класі задач, побудованих на застосуванні результантів, є алгоритм одноразового виключення змінних для однорідних поліномів

' Лї)

запропонований Лазарем Д. (lasard D.). Цей метод вимагав C(d )

операцій, де п - кількість змікних, <2 - максимальний степінь

поліномів. Інший підхід до розв’язання зазначеного класу задач

грунтується на методі базисів Грьобнера, розроблений Бухбергером

Б. (Buchberger 3.). Цей алгорітм призначений для довільних, ке

обов'язково однорідних, поліномів, але вимагає до (dn ) операцій.

Кенні Дк. (Canny J.') запропонував зробити дьяху деформацію

початкової kj однорідної системи поліноміальних рівнянь сляхсм

введення параметра таким чином, шоб відповідна однорідна споте»,;а

рівнянь мала скін\.нну кількість коренів, а потім застосувати

метод результантів до отриманої однорідної системи рівнянь.

Указану деформацію- він запозичив з робіт А.Л.Чистсеа і

Д.Ю.Григор'єва. Цей алгорітм потребує сР^п^ операцій.

Сізігії (співвідношення) поліномів досліджувалися в пралях

Д.Гільберта, Кошуля (J.L.Koszul), А.Картака (H.Cartan), Д.Лазаря.

Мета роботи. ■ Метою роботи е дослідження розв'язків лінійних а '

рівняй* вигляду У (х)=Р(х). та розв'язків ЛІНІЙП/Х

3 .

рівнянь ВИГЛЯДУ J J (Х)-О, де ПЄВІДОЮЕ.ТИ Є ПОЛІНОМИ S'(X),

і-1

поліноми f^(x) відомі; на . коефіцієнти полінома F(x) накладеяі

деякі лінійні умови. Розв’язки останнього однорідного ЛІНІЙНОГО ріЕнянь називаються співвідношеннями поліномів /(х).

Наукова новизна. Вдалося записати у явному вигляді всі

некомутзційяі співвідношення ПОЛІНОМІВ Ї(Х)=(}^ (X), .. . ,/ } їх))

від х=(х.,,...,хп) через кореневі функціонали ЦИХ ПОЛІНОМІВ у

загадку, коли простір К[х1/(/(х) )х скінченновимірний, та для

поліномів І(х)=(ї1(х).........?^(х)) від Х=(Х1...........хп) вдалося

записати явний вг-тгляд елементів ¥.[х1/(ї(л))х, через кореневі

фуг-кціонали цих поліномів і явний вигляд полінома з ідеалу- (f(x))x

через поліноми /^(х) У випадку* коли простір Их]/(/(х))х

скінченновимірний. Це дас обмеження на степінь некомутаційних ' і співвідношень випадку п+1 поліномів від п змінних та обмеження

на степінь елементів з Мх1/(Т(х))х у випадку п поліномів бід ті

сміншх. В основному відомі підходи розв'язання задач виключення

невідомих грунтуються або на розгляданні КСх^,х ] як лінійного

простору над полем К, або на розгляданні К[х1,...,хп1 як лінійного

простору К(хп,...,хп)[х1] над полем К(х2,••.>хп), при цьому

комутаційні сізігії постулюються додатково до аксіом лінійного

простору, а природа некомутаційшх сізігій взагалі лишається

невідомою. При наїті.'у підході кожному поліному співставляеться

п-компононтюй поліноміальниії Еектср еід двох пар змінних

х=(х1г...,хп) і ...,уп) та на основі визначників, над

кільцем КСх,у] будується вся теорія, на відміну. ВІД попередніх

теорій, в яких застосовуються визначники., побудовані з

коефіцієнтів ПОЛІНОМІВ ?-(х) над полем К.

Апробація роботи. Результати дисертації доповідалися ка семінарах у Київському університеті на кафедрі алгебри у 1993-1955 роках, ка конференції, присвяченій пал’.-"і Л.А.Кзлужнінз в 1393 році, у Київському політехнічному інституті в 1594 році, е Інституті кібернетики ім. В.М.Глушкова у 1994-1995 роках.

Публікації. Основні результати роботи опубліковані у і 1 - 4 ].

Структура та обсяг робота. Дисертація складається із вступу, списку літератури з 16 найменувань, п'яти глав, містить 104 сторінки машинописного тексту.

ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі викладені основні ідеї, мотиви та мета роботи, коротка історія проблеми.

' У главі І вводяться і дослідгуються поняття лінійного функціонала на просторі Их]. та кореневого функціонала системі

поліномів від х=(х^,________х ). Поняття кореневого функціонала дає

геометричний опис кратного кореня. Встановлюється взаємозв’язок міз розв'язками відповідної системи лінійних диференціальна рієнянь у часткових . похідних з постійними ксефіцівктамп та кореневими функціоналами системи поліномів через перетворення Фур'е - Лапласа; встановлюється зв'язок мій іаіогоЕ'Лкірннми послідовностями, які задовольняють системі лінійних рекур;нтннт. співвідношень та кореневими функціоналам системи поліномів, які відповідають цим рекурентним співвідношенням.

У главі 2 визначаються поняття лінійного виразу поліномів тч лінійного співвіднесення поліномів, вивчаються їх елементарні

властивості; дається • означення комутаційного співвідношення поліномів. Далі визначаються поняття різницевого диференціала та різницевої похідної полінома. Для поліномів /=(7^,...,fn) від х=(х1г ...хп) даються визначення різницевого Якобіана системи полілохів, поняття кореневого полінома, означення одиничного кореневого функціонала та доводятся їх властивості. Зокрема, доводиться те, ЕЮ коли • існує одиничний функціонал, то фактор-простір K(x]/(f(z))x - скінченновимірний; модуль коренених функціоналів над кіпьцем Мхі породжується одиничним функціоналом; довільній полінам F(x) е суком кореневого полінома ■ степеня

-^ ) і полінома г ідеада (f(x))x; виводиться формула

для вимірності фактор-простору X[xl/(f(x)) . Для поліномів від х=(х1г...хп) у випадку, коли фактор-простір ¥dxl/(f(x))x - скінченновимірний, доводиться існування одиничного кореневого функціоналу і те, що всі співвідношення цих поліномів комутаційні.

У ГЛЕЬІ З для поліномів від X=(Xj,...Xn)

установлюється взаємозв'язок між співвідношеннями поліномів та

чоренеьими функціоналам; доводиться основний результат, роботи,

тобто, що у випадку, коли фактор-простір K[xJ/(f(x))x -

скінчекновимірігай, довільне співвідношення ЦИХ ПОЛІНОМІВ Є CjMOffl

п+1

КОШКЄВОГО СПІВВІДНСлЗЄНЇІЯ, яке має степінь 5 У (<38g(fi)-1 ) + 1. і * £=/ 1

комутаційного співзідношенкя. .

У главі 4 розвинута теорія застосовується до систем однорідних ’’ОЛІНОМІВ. Для поліномів f=(f ■;,••• ,fn) ВІД x=ixv.. .х ) у випадку, коли фактор-простір K[x]/(f(x))x -

скікченг-.сь’.імірі-нй, оочисдека його вимірність; доводиться, що

п

довільний поліном степеня > ^ (Oegrf:)~1) належить до ідеалу

(Ї(Х))Х. Для. поліномів від х=Сх1,...хп) у в:птадку,

коли фактор-лростір Их]/(/(х))х - скінченнонкмірний, доводиться,

що довільне однорідне- співвідношення поліномів степеня

п+1 .

> У є комутаційним.

І=1 1

У главі 5 розглядаються алгоритмічні аспекти розвинутої в

дисертації теорії. Зокрема, для поліномів /~ґ/7................../п) від

х=(х^,...й:п) розглядається взаємозв’язок ■ мік цієи сисгєиого

неоднорідних поліномів та системою ОДНОрІТЖХ ПОЛІНОМІВ, котра

складається із старша за степенем однорідних компонент поліномів

/{И у випадку, коли ця система однорідних поліномів має тільки

корінь.£=--0. Обчислена вимірність простору К[х1/(ї(х))^ і тім самзл

доведена новим способом теорема Еезу. На базі цього будується

гп

алгоритм ЕИКЛНЧЄННЯ ВСІХ ЗМІННИХ, кпім ОДНІЄЇ 33 0(П’3Г )

ТІ ' 1

операцій, де в^= У (б38(Ґ,-)-1)’ і=1 1

Основні положення дисертації опубліковані в таких працях:

1.Сеіїфуллин Г.Р. Корневые функционалы и корневые полиномы системы полиномов// Доп. НІН Україїм . -1395. -N5, -С. 5-9.

2.Сейфуллин Т.Р. Корневые функционалы и корневые соотношения система полиномов// Там :ке. -1995. -Кб. -С. 7-Ю.

3.Сейфуллин Т.Р. Корневые полиномы систем полиномов. -

Киев, 1Э94. -Юс.- Деп. в ГЕТБ Украины. 05.С8.94, N І529-УН94. '

4.Сейфуллин Г.Р. Корневые соотношения СИСТЕМЫ ползгаэмоз. -Киев, 1994. -8с,- Деп. В ПЕГЕ.Украины. C5.C3.S4, ЇГ І528-УН94.

Оейфултан Т.Р. Корневые полиномы и корневые соотношения систем, полиномов. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.06 - алгебра и теория чисел, Киевский университет им. Тараса Шевченко, Киев, 1995.

Основной целью работы является исследование соотношений полиномов /=(/«,..от х=(х...................х ), т.е. выражений вида

а а .

У Т--Сь'х), таких, что " ?}(х)■я1(х)=0. Коммутационными соотно-г=1 1 ' . IЛ 1 .

шекиями называются соотношения вида

соотношениями полиномов и линейными функционалами на ¥Лх^...........хп],

аннулирующими идеал, порожденный полиномами ' ?^(х). функционалы такого вида называются в работе корневыми функционалами системы полиномов. С какднм корневым функционалом связано корневое соотношение полиномов Т^(х). Доказано, что если число корней конечно, то люоое соотношение полиномов есть сумма корневого и коммутационного соотношений. Коэффициенты при в корневых соотношениях называются корневыми полиномам» ' Для з=п были изучены свойства корневых полиномов. Доказано, что если чесло корней конечно, то лкбой

полином раЕен сумме корневого полинома и полинома вида

я

У Т:(х)’81(х). На основе полученых результатов предложен ряд 1=1 '

алгоритмов.

Seifullin Т.н.. Hoot polynomials and root syzyges of tha systerr.3 of polynomials. Kaster's Dissertation: Speciality 0І.0І.СЄ - Algebra and number theory, Тагаз Shevchenko Kiev University, 1995. "

The main goal of this work is to investigate the syzyges'of polynomials /=f/7, -..,f3) in x=(x^,...,xn), which are expressions

3 3

of the form У such that У /. (x)-gi(x, --0. The syzygy of

i-i “ £=?7 ”

the form £ [fp'fyixJ-fq-fptxpyGP^Cx) із' called the

corcmutationary syzygy. For a=n-;-1, the connection between the

syzyges of polynomials and й-linear functionals on the , space

KtXj,..-,xnl which annul the ideal of polynomials generated by

polynomials f-(x) is. established. Such functionals are called root

functionals in the system of polynomials. Any root functional

corresponds to a I’cot syzygy. It was established that if the

number of roots is finite, then any syzygy of polynomials is the

sum of root syzygy and commutationaiy syzygy. The coefficients of

/{ of root syzyges .are called root polynomials. For з=п, it was

investigated the properties of root polynomials. . It was

established that if the r.’imber of roots is finite, then any

polynomial is the sum of root polynonial and polynomial of the з _ • '

fora У f-(x)'gl(z). Some algoritns are proposed on the base this i=7 1

results. ,

Ключові слова: кореневий'функціонал, кореневий .поліном, кореневе співвідношення, комутаційне співвідношення, різницева похідна, різницевий ЯкоОіан. - ■ •