Критерии полуабелевости n-арных групп тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

ГОМЕЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. Ф. СКОРИНЫ

СОВЕТ: ПО ЗАЩИТЕ ДИССЕРТАЦИЙ Д 02.12.01

П и '-<'>•

УДК 512.567.5

КУЛАЖЕНКО Юрий Иванович

КРИТЕРИИ ПОЛУАБЕЛЕВОСТИ п-АРНЫХ ГРУПП

01.01.06—математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Гомель 1098

Работа выполнена в Белорусском государственном университете транспорта

Научный руководитель - кандидат физико-математических наук,

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

Оппонирующая организация - Витебский государственный университет

Защита состоится '¿¿Ч" 1998 года в часов не

заседании совета по защите диссертаций Д 02.12.01 при Гомельскоп государственном университете имени Ф.Скорины по адресу: 24669; г.Гомель, ул.Советская, 104. Телефон ученого секретаря (0232)57-37-91.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Гомельское государственного университета им.Ф.Скорины.

Автореферат разослан "/У" 1998 года.

Ученый секретарь

совета по защите диссертаций,

доктор физико-математических наук,

профессор Русаков Степан Афанасьевич

профессор Кириченко Владимир Васильевич

кандидат физико-математических наук, доцент Гальмак Александр Михайлович

профессор

В.С.Монахе

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность теш диссертации. Понятие полуабелевости является одним из центральных понятий теории п-арных групп. О важности этого понятия свидетельствует тот факт, что оно было введено Дбрнте [ 1 ] в 1928 году одновременно с понятием самой п-арной группы, хотя применялось еще Прюфером [2] в 1924 году при исследовании бесконечных абелевых груш. С тех пор полуабелевы п-арные группы не ускользали от внимания математиков, чьи труды по п-арным грушам можно отнести к разряду классических. Так, эти группы изучал Пост [31, в частности, в 1940 году он обобщил понятие полуабелевой п-арной группы на случай г-полуабелевой п-арной группы. п-Арные группы нашли отражение в

монографиях А.К.Сушкевича [4], А.Г.Куроша [5], В.Д.Белоусова [6], С.А.Русакова [7-8].

Особенно весомым оказалось значение полуабелевых п-арных груш для развития приложений теории п-арных груш. Так, Вакарелов [91 в 196Э году использовал полуабелевы тернарные группы для построения элементов аффинной геометрии. С.А.Русаков Г8] с помощью введенных на п-арной груше понятий параллелограмма, симметричности точек и вектора определил п-арную га-грушу и доказал ее существование, построил аффинное пространство Я (О методом фундаментальных последовательностей векторов полуабелевой ге-группы й и доказал изоморфное вложение всякой абелевой 1-арной ге-группы С в абелеву п-арную группу, построенную на множестве да(С).

Поэтому весьма актуальной является задача установления сритериев существования полуабелевых п-арных груш.

Профессором С.А.Русаковым автору были предложены следующие две задачи:

1) исследовать фигуры аффинной геометрии и свойства векторов на 1-арной груше С=<Х, (),

2) .на основании свойств заданных геометрических фигур остановить критерии существования полуабелевых п-арных груш.

Решению этих задач и посвящена настоящая диссертация.

Связь с крупными научными программами, темами. Диссертация «полнена в рамках госбюджетах тем:

Гомельского госуниверситета имени Ф.Скорины "Структурная теория юрмаций и других классов алгебр". Тема входит в план

важнейших научно-исследовательских работ в области естествознания, технических и общественных наук по Республике Беларусь. План утвержден решением Президиума HAH Беларуси N88 от 23 ноября 1995 г. Номер госрегистрации в БелИСА - 19963987. Выполнение теш запланировано на 1996 - 2000 гг.;

Белорусского госуниверситета транспорта "Развитие теории n-арных групп и применение ее в аффинной геометрии и полиадических автоматах". Утверждена решением научно-технического совета университета от 28 февраля 1997 г. Номер госрегистрации в БелИСА - 19971499.

Цель и задачи исследования. Основная цель диссертации установить критерии существования полуабелевых n-арных груш, выраженные через свойства объектов аффинной геометрии. Для достижения поставленной цели решены следующие задачи:

- установлены критерии полуабелевости как произвольной п-арной группы, так и n-арной 2s-rpynrm, выраженные через свойства параллелограммов, симметричных точек и векторов п-арных груш;

- получен аналог теоремы Фалеса для полуабелевой п-арной группы.

Объект и предмет исследования. Основным объектом исследования диссертации являются n-арные группы, а предметом - полуабелевы n-арные группы. На основании свойств объектов аффинной геометрии, определенных на п-арной груше G = <Х, (), 2 -1 >, устанавливаются необходимые и достаточные условия полуабелевости п-арной группы G, выраженные через эти свойства.

Методология и методы проведенного исследования. На основании методов теории n-арных груш устанавливаются свойства объектов аффинной геометрии, которые в дальнейшем используются для установления критериев полуабелевости n-арных груш.

Научная новизна и значимость полученных результатов. Все полученные результаты - новые. Впервые получеш необходимые и достаточные условия существования полуабелевых n-арных груш, выраженные через свойства объектов аффинной геометрии. Отдельные из результатов обобщают и усиливают результаты Вакарелова, относящиеся только к тернарным грушам.

Научная значимость результатов диссертации определяется тем, что они являются составной частью нового направления исследований теории n-арных груш и устанавливают связь между свойством

полуабелевости n-арных групп и свойствами объектов аффинной геометрии.

Работа имеет теоретический характер. Полученные результаты нашли применение в изучении геометрии (см., например, [8]). Они могут способствовать развитию общей теории n-арных групп и быть использованы при чтении спецкурсов, преподаваемых в университетах.

Основные положения диссертации, выносимые на защиту.

1) Методами теории n-арных групп описаны объекты аффинной геометрии, необходимые для установления критериев пояуабелевости n-арных групп.

2) Установлены критерии полуабелевости произвольной п-арной группы, выраженные через свойства параллелограммов и симметричных точек, определенных на этих группах.

3) Установлены критерии полуабелевости n-арной 2s-rpynmj, выраженные через свойства векторов, определенных на этих группах.

4) Развиты методы исследования объектов аффинной геометрии, определенных на n-арных группах. В частности, получен аналог теоремы Фалеса для n-арной группы.

Личный вклад соискателя. Все результаты диссертации получены автором самостоятельно и опубликованы без соавторов.

Апробация результатов диссертации. Основные результаты диссертации докладывались на семинарах кафедры высшей математики Белорусского государственного университета транспорта, на VI и VII конференциях математиков Беларуси (Гродно, 1992 г. и Минск, 1996 г.), Международной конференции, посвященной 200-летию со дня рождения Н.И.Лобачевского (Минск, 1993 г.), Международной 51-ой научно-технической конференции, посвященной 75-летию БГПА (Минск, 1995 г.), Международной конференции, посвященной памяти С.А.Чунихина (Гомель, 1995 г.), Международной алгебраической конференции, посвященной памяти профессора Л.М.Глускина (Славянск, 1997 г.).

Опубликованность результатов диссертацииОсновные результаты диссертации опубликованы в четырех статьях и в семи тезисах конференций. Общее количество страниц опубликованных материалов -77.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из

введения, общей характеристики работы, пяти глав, заключения и списка используемых источников из 55 наименований. Полный объем диссертации 118 страниц.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ

Понятие n-арной группы, являясь естественным обобщением понятия бинарной группы, представляет собой одно из наиболее интересных и глубоких направлений современной алгебры.

Понятие n-арной группы впервые было введено в 1928 году Дбрнте в его работе [11, опубликованной по инициативе Эмми Нётер (смЛЗ]), хотя идея введения и изучения таких груш высказывалась еще в 1904 году Кеснером [10]. Отметим также, что большое влияние на Дбрнте оказала работа Прюфера С21» в которой он исследовал бесконечные абелевы группы с помощью груд. Дбрнте показал, что груда Прюфера являются частным случаем его п-груш: груда не что иное, как полуабелева 3-груша, состоящая только из идемпотентных элементов. В 1932 году Лемер [11] независимо сформулировал и исследовал специальное понятие "triplex", которое в терминологии Дбрнте является абелевой 3-грушой. Статья Дбрнте привлекла внимание Поста, опубликовавшего в 1940 году работу [3], которая по важности полученных результатов и введенных идей является одним из краеугольных .камней теории n-арных груш и во многом предопределила тематику современных исследований. Указанные работы Дбрнте и Поста оказали большое влияние на развитие не только n-арных груш, но и других n-арных алгебраических систем.

Так, в начале 50-х годов наряду с n-арными грушами начинается изучение различных алгебраических систем, являющихся обобщением n-арных груш - n-арных квазигруш, n-арных полугруш, алгебр Менгера, унаров и других. Первой работой в этом направлении была работа С.А.Чушшша [12], явившаяся идейным источником для многих последующих исследований.

Несколько позже в этом направлении получены глубокие результаты, вошедшие в обширную журнальную литературу (см. обзоры В.А.Артамонова [13], Глазека [14], А.Е.Залесского и В.С.Конюха [15]), монографии А.Г.Куроша [5], В.Д.Белоусова [6], Брака [16], Л.А.Шеметкова и А.Н.Скибы [17], С.А.Русакова [7-8], Твермоеса [183, Глазека [19].

Начиная с середины 60-х годов n-арные группы находят применение в решении многих задач практического и теоретического характера. Подтверждением тому являются работа Вакарелова [9] о построении элементов аффинной геометрии на тернарной, груше и серия работ

Гржимала-Буссэ С20-22], посвященных описанию полиадических автоматов с помощью п-арных групп.

Поскольку в упомянутой работе Вакарелов определяет и исследует элементы аффинной геометрии только на тернарной груше, то, естественно, возникло направление о приложении теории п-арных груш в исследованиях объектов аффинной геометрии для любого щ>2.

Отметим, что основным аппаратом исследований в этом направлении являются полуабелевы п-арные группы.

Поэтому весьма актуальной является задача установления критериев полуабелевости п-арных груш.

В представляемой диссертационной работе решаются следующие з адата:

1) определяются и исследуются некоторые объекты аффинной геометрии на п-арной груше С=<Х, (), с-21>;

2) на основании свойств параллелограмма С, симметричности точек и векторов устанавливаются критерии существования полуабелевых п-арных груш.

Исследования в диссертации ведутся по следующему принципу: на основании методов теории п-арных груш устанавливаются и исследуются объекты аффинной геометрии на п-арной груше С=<Х, (), [_2:|>, а затем, на основании свойств этих объектов, устанавливаются критерии существования полуабелевых п-арных групп.

Диссертация состоит из введения, общей характеристики работы, пяти глав, заключения и списка используемых источников.

Глава 1 - обзорная. Здесь приведены основные этапы развития теории п-арных груш, касающиеся полуабелевых п-арных груш. Указаны некоторые нерешенные проблемы и намечены конкретные задачи, решенные в диссертации.

В главе 2 приводятся необходимые обозначения, определения и известные результаты, используемые в основном тексте диссертации.

В главе 3 устанавливаются критерии полуабелевости п-арной группы С=<Х,(),выраженные через свойства параллелограмма С и симметричности точек. Причем, в пункте 3.1 вводится понятие к-угольника п-арной группы й, а также исследуются свойства симметричных точек и параллелограммов 0, необходимые в дальнейшем для установления критериев полуабелевости п-арных груш. На основании этих свойств в пункте 3.2 устанавливаются критерии полуабелевости произвольной п-арной группы в, а в пункте 3.3 -критерии полуабелевости п-арной 2з-групш

б

В качестве основных результатов главы 3 приведем следующие: 3.2.3. Теорема. Пусть G=<X, О, [-2:>> - n-арная груша. Тогда 1) если G - полуабелева n-арная группа, то для любых точек а,Ь,с из X четырехугольники

<a,Sb(a),Sc(a),S 2п_д (а)>, <a,b,So<a),Sc(b)>,

(ab*-23 b с)

<Зь(а),8о(а),Зс(Ь),Ь>, <53 (а).ЗоСЪ),Ь.8о(а)>,

С

,211-4

<Ь,с,(аЬ1 Ь с),а>

являются параллелограммами С,

2) если для любых точек а.Ъ.с е X хотя бы один из указанных четырехугольников - параллелограмм С, то С - полуабелева п-арная группа.

Отметим, что из этой теоремы при п=3 вытекают некоторые теоремы Вакарелова [91. Причем наш результат усиливает один из результатов Вакарелова еще и тем, что мы устанавливаем необходимое и достаточное условие полуабевости в, а в [9] лишь доказывается, что четырехугольник является параллелограммом С.

3.2.6. Следствие. Если а,Ъ,с - произвольные точки полуабелевой тернарной группы то <а,Ь,с,Зс(а),5с(Ь)> - параллелограмм С.

3.2.7. Следствие. Если <а,Ь,с,<1> - параллелограмм тернарной группы й, то С - полуабелева тогда и только тогда, когда <а,Зь(а), Зс(а),Бй(а)> - параллелограмм й.

3.2.8. Теорема. Пусть п^2 - натуральное число, а1,ап,ап+1 - произвольные точки из X. Если <а,,а2,...,а2п> такой 2п-угольник п-арной группы С=<Х, (), [~2:|>, что четырехугольники

<а1 ' а2 ' ап+1 ' ап+2> ' <а2' аз' ап+2' ап+3 > ' ' " ' ' <Эп-2 •'3п-1 ■ а2п-2' Эгп-1 >' <а .,.зп.а2п_1.а2п> - параллелограммы й, то й - полуабелева тогда

и только тогда, когда <ап,ап+1,агп,а1> - параллелограмм С.

Приведенная теорема обобщает известный результат Вакарелова, а именно имеет место

3.2.9. Следствие. Пусть в шестиугольнике <а1,а2,а3,ад,а5,аб>

тернарной группы 0 четырехугольники <а1,а2,ал,а3> и <а2,а3,а5,а6> - параллелограммы С. О - полуабелева тернарная группа тогда и только тогда, когда <а3,а4,а6,а1> - параллелограмм й.

3.3.11. Теорема. Пусть а,Ь,с - произвольные точки из X, а точка йеХ такая, что четырехугольник <а,Ъ,с,й> - параллелограмм п-арной гэ-группы С=<Х,()[~25>. С - полуаОелева тогда и только тогда, когда существует точка хеХ такая, что Зх(а)=с и Э (Ь)=й.

В главе 4 устанавливаются критерии полуабелевости п-арных групп, выраженные через свойства векторов й=<Х,(),[~21>. В частности, в пункте 4.1 приводятся критерии полуабелевости произвольной п-арной группы С, а в 4.2 - критерии полуабелевости п-арной 2з-группы й.

Основными результатами главы 4 являются следующие: 4.1.3. Теорема. Пусть С=<Х, (), - п-арная груша. Тогда

1) если С - полуаОелева п-арная группа, то для любых точек а,Ь,с,с1,и,т из X справедливы равенства

аб + ей = аЙ -»- с$,

Зь(а)За(с) = 2БЗ - а£,

(аЬ[ -1 Ь с)(с1ис -1 и у) = а5 - Ш + с?,

2а£ = а(Ьас ] а Бс(Ь)),

2) если для любых точек а,Ь,с,<1,и,7 из X хотя бы одно из указанных равенств выполняется, то С - полуабелева п-арная груша.

Подчеркнем, что из второго равенства этой теоремы при п=3 вытекает теорема Вакарелова [9]. Причем наш результат не только обобщает в случае п»2 теорему Вакарелова, но и усиливает этот результат еще и тем, что является необходимым и достаточным условием полуабелевости п-арной группы С, а в Е9] устанавливается справедливость этого равенства лишь в случае, когда й полуабелева тернарная груша. Имеет место

4.1.4. Следствие. Для произвольных точек а,Ь,с,й полуабелевой тернарной группы б справедливо равенство

Б^а^с) = 2Б5 - а£.

4.2.1. Теорема. п-Арная 2з-груша С=<Х, (), [~2]> - полуабелева тогда и только тогда, когда для любых векторов е V(0) выполняется равенство

+ = г? +

При п=3 из этой теоремы вытекает теорема Вакарелова , а именно имеет место

4.2.2. Следствие. Пусть С - тернарная Йэ-груша. С -полуабелева тогда и только тогда, когда для любых двух векторов € С справедливо равенство

¡Ф + 5> = ?Р +

В главе 5 приводится аналог известной теоремы Фалеса для п-арной группы, а именно справедлива

5.2. Теорема. Пусть С=<Х, (), [~г]> - полуабелева п-арная груша, и для последовательности а^е Хк вшолняется условие

Если последовательность Ь* е Хк такая, что

то

^2 = ^3 = =

Ь.= а.,

Список использованных источников

1. Dürnte W. Untersuchungen über einen verallgemeinerten Gruppenbegrlff//Math.Z.-1928.-Bd. 29.-S.1-19.

2. Prüfer H. Theorie der Abelschen Gruppen//I. Grundeigenschaften,Math.Z.-1924.-Bd.20.-S. 165-187.

3. Post E.L. Polyadic groups//Trans.Amer.Math.Soc.-1940.-V.48, N 2.-P.208-350.

4. Сушкевич A.K. Теория обобщенных груш.-Харьков,-Киев: ГНТИУкр., 1937.-176 с.

5. Курош А.Г. Общая алгебра:Лекции 1969/70 учебного года.-М.: Наука, 1974.-160 с.

6. Белоусов В.Д. п-Арные квазигруппы.-Кишинев:Штиинца, 1972.228 с.

7. Русаков С.А. Алгебраические n-арные системы:Силовская теория n-арных групп.-Минск:Наука и техника,1992.-264 с.

8. Русаков С.А. О некоторых приложениях теории n-арных групп.-Гомель:БелГУТ,1997.-167 с.

9. Вакарелов Д. Тернарни групи//Годишнш{ Софийск. ун-та.Мат. фак.-1966-1968.-Т.61 .-С.71-105.

10. Kasner Е. An extension of the group concept//Bull.Amer. Math.Soc.(rep.by L.G.Weld).-1904.-V.10.-P.290-291.

11. Lehmer D.H. A ternary analogue of abellan groups//Amer. Joum. of Math.-1932.-V. 54.-P.329-338.

12. Чунихин С.А. К теории неассоциативных n-групп с постулатом К//Докл.АН СССР.-1945.-Т.48,N 1.С.7-10.

13. Артамонов В.А. Универсальные алгебры//Итоги науки и техники. Сер. Алгебра.Топология.Геометрия.-М.:1976.-С.191-248.

14. Glazek К. Bibliography of n-groups (polyadic groups) and some group like n-ary systems//Proc. of the sympos n-ary Structurs.-Skopje,1982.-P.253-289.

15. Залесский A.E., Конюх B.C. Алгебра и алгебраическая геометрия в работах математиков Белоруссии.- Минск:Наука и техника;, 1979.-80 с.

16. Brack R.H. A survey of binary systems.-Berlin-Heidelberg-New-York:Sprlnger-Verlad, 1966.-185 p.

17. Шеметков Л.А., Скиба A.H. Формации алгебраических систем.-М.:Наука,1989.-254 с.

18. Tvermoes Н. Orn en Generalisation of Gruppebegrebet.-Kobenhavn:Ch.Hohausens Bogtrykkerl,1952.-107 s.

19. Glazek K. Algebry dlzalan algebralcznych a morflzmy systemo'w algebralcznych.-Wroclaw: Wydawnictwo Unlwesytetu Wroclawskiego, 1994.-148 p.

20. Grzymala-Busse J.ff. Automorphisms of Polyadic Automata// J.Assoc. Computing Machinery.-1969.-V.16,N 2.-P.208-219.

21. Grzymala-Busse J.W. On the Periodic Representations and the Reduclbillty of Periodic Automata//J.Assoc. Computing Machinery.-1969.V.16.N 3.-P.432-441.

22. Grzymala-Busse J.W. On the Automorphisms of Infinite Time-

Уагу1п8 Аиготага//Ви11. йе 1'Асайега1е Ро1опа1зе йеэ БсЛ-Бег. гааШ. ,аз^.,р11у5.-1970.-7.18,N 5.-Р.261-266.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации.получены следующие результаты:

1. Для п-арной группы С=<Х,(),[~2]> введено понятие к-угольника 0. Исследованы свойства параллелограммов в, симметричных точек и векторов й, необходимые для установления критериев полуабелевости п-арных груш [1-3,5,6,93.

2. Установлены критерии полуабелевости произвольной п-арной группы и п-арной 2з-группы С=<Х,(),[_2]>, выраженные через свойства паралеллограммов С и симметричных точек, определенных на этих грушах И-4,7,8].

3. Установлены критерии полуабелевости произвольной п-арной группы и п-арной 2з-грушш С=<ХД), [~2]>, выраженные через свойства векторов С, определенных на этих грушах [2,6,103.

4. Развиты методы исследования объектов аффинной геометрии на основании методов теории п-арных груш. В частности, получен аналог теоремы Фалеса для п-арной группы [1-113.

Список опубликованных автороы работ по теме диссертации

1. Кулаженко Ю.И. Многоугольники п-арных груш/БелЮТТ.-Гомель, 1992.-25с.-Деп. В ВИНИТИ 10.09.92.-ТЯ 2763-В92//РЖ: 13А. Математика.-1993.-Ы 2.-2А143 ДЕП.-С. 17.

2. Кулаженко Ю.И. Геометрия параллелограммов//Вопросы алгебры и прикладной математики:СО.науч. тр./Под ред. С.А.Русакова.-Гомель:БелГУТ,1995.-С.47-64.

3. Кулаженко Ю.И. Построение фигур аффинной геометрии на парной группе//Вопросы алгебры и прикладной математики:Сб. науч.тр./Под ред. С.А.Русакова.-Гомель:БелГУТ,1995.-С.65-82.

4. Кулаженко Ю.И. Критерии полуабелевости п-арных груш//Вест-ник Витебского государственного университета.-1997.-N3(5).-С.61 -64.

5. Кулаженко Ю.И. Параллелограммы и точки симметрии п-арных груш//Конференция математиков Беларуси:Тез.докл.науч.конф.,

часть 1, Гродно, 29 сент.- 2 окт. 1992 г./Акад.наук Респ. Беларусь. Мин. обр. Респ. Беларусь.ГТУ им. Я.Купалы.-Гродно, 1992.-С.31 .

6. Кулаженко Ю.И. О некоторых свойствах векторов п-арной группы//ПроОлемы повыш.функц. и эконом, устойчивости работы транспорт.комплекса и его кадр.обеспеч. в условиях рынка:Тез. докл. междунар. научно-прахтич. конф., Гомель, 1993 г./Мин. обр.Респ. Беларусь. Мин.трансп. и коммун. Респ. Беларусь. БелШЗКТ. Бел.жел.дорога.-Гомель,1993.-С.106-107.

7. Кулаженко Ю.И. Признаки полуабелевости п-арных групп// Международная математич.конф., посвященная 200-летию со дня рожд. Н.И. Лобачевского: Тез.докл.науч.конф..часть 1.,Минск, 4-8 декаб.1993 г./Акад.наук Респ. Беларусь. Мин. обр. Респ. Беларусь. БГУ.МПШ.-Минск,1993.-С.18.

8. Кулаженко Ю.И. О связи полуабелевости с последовательностью параллелограммов п-арной групп//Мевдун. 51-ая научно-технич. конф.БГПА, посвящ. 75-лению БГПА:Тез. докл.науч.конф., часть 7..Минск,1995 г./Мин.обр. и науки Респ. Беларусь. Бел. гос. политех, академия.-Минск,1995.-С.143-144.

9. Кулаженко Ю.И. Построение параллелограммов п-арных групп// Проблемы алгебры и кибернетики:Тез.докл.междун.конф.,посвящ. памяти академика С.А.Чунихина, часть 1./Мин. обр. и науки Респ.Беларусь.БелГУТ. ГГУ им.Ф.Скорины.Гом.филиал инст.мат. АН Беларусь. Белорусское республ.агенст.науч.-тех. и делов. информ.-Гомель, 1995.-С.89-90.

10. Кулаженко Ю.И. О связи полуабелеЕости со свойствами векторов п-арной группы//УП Белорусская матем.конф.:Тез.докл..часть 1.,Минск, 18-22 ноябр.1996 г./Мин.обр. и науки Респ.Беларусь. Белорусское мат.общ. БГУ.Инст.мат.Акад.наук.Беларуси.-Минск, 1996.-0.68-69.

11. Кулаженко Ю.И. Аналог теоремы Фалеса, выраженной через векторы п-арной группы//Междун.алгебраич.конф..посвященная памяти проф. Л.М.Глускина: Тез. докл. науч.конф., Славянск, Донецкой обл., 25-29 авг. 1997 г./Киевский университет им. Т.Шевченко. ГГУ им. Ф.Скорины. ДГУ. ЛГУ им. И.Франко. Славянский гос.пед. институт.-Славянск,1997.-С.12-13.

12 РЭЗЮМЭ

Кулажанка Юрый 1ванав1ч Крытэры! пауабелевасц! п-арных груп

Ключавыя словы: поуабелева п-арная група, 2Б-група, паралелаграм, с!мятрычныя пункты, вектар, тэарэма Фалеса.

У дысэртацы! знайшла далейшае разв1одб агульная тэорыя п-арныз груп. У прыватнасц1, вызначаны крытэры! пауабелевасц! адвольна! п-арнай групы С=<Х, (),[_2:1> 1 п-арнай 2з-груш С=<Х, (), с-2:1>, выражаныя праз свойствы паралелаграмау в, с!мятрычных пунктау 1 вектароу Ч, а таксама свойствы аб'ектау аф1ннай геаметры!, неабходныя для вызначэння гэтых крытэрыяу.

Разв1та тэхн1ка даследавашя аб'ектау аф1ннай геаметры! : дапамогай метадау тэоры1 п-арных груп. У прыватнасц1, атрымаш аналаг тэарэмы Фалеса для п-арнай груш. Усе результаты працы -новыя, з'яуляюцца састауной часткай новага нак!рунка даследавашя^ тэоры1 п-арных груп. Асобныя з 1х абагульняюць 1 узмацняющ результаты Вакарэлава, як1я адносяцца тольк1 да тэрнарных груп.

Результаты дысэртацы! могуць быць выкарыстаны у даследавання; па п-арным трупам и пры рашэш1 актуальных задач аф1нна1 геаметры1, а таксама пры чытанн1 спецкурсау, выкладаемых ; ун!верс!тэтах 1 пед!нстытутах.

13 РЕЗЮМЕ

Кулаженко Юрий Иванович Критерии полуабелевости п-арных групп

Ключевые слова: полуабелева п-арная груша, п-арная 2э-груша, параллелограмм, симметричная точка, вектор, теорема Фалеса.

В диссертации получила дальнейшее развитие общая теория п-арных груш. В частности, установлены критерии полуабелевости произвольной п-арной группы С=<Х,(),[-2]> и п-арной 2з-группы С=<Х,(),[~21>, выраженные через свойства параллелограммов в, симметричных точек и векторов С, а также свойства объектов аффинной геометрии, необходимые для установления этих критериев.

Развиты методы исследования объектов аффинной геометрии на основании методов теории п-арных груш. В частности, получен аналог теоремы Фалеса для п-арной группы.

Все результаты работы новые, являются составной частью нового направления исследований теории п-арных груш. Отдельные из них обобщают и усиливают результаты Вакарелова, относящиеся только к тернарным грушам.

Результаты диссертации могут быть использованы в исследованиях по п-арным грушам и при решении актуальных задач аффинной геометрии, а также при чтении спецкурсов, преподаваемых в университетах и пединститутах.

14 SUMMARY

YU.I.KULAZHENKQ CRITERIA OF SEMICOMMUTATIVITY OF n-ARY GROUPS

Key words: a semlcommutatlve n-ary group, 2s-group, parallelogram, symmetric dots, vector, Pales theorem.

In this thesis the general theory of n-ary groups has got further development. In particular, the criteria of semlcommutatlvlty of arbitrary n-ary group G=<X,(),[~2J> and n-ary 2s-group G=<X, (),[~2]> have been established and they are expressed through the parallelogram properties G, symmetric dots and vectors G, and also the properties of afflne geometry objects necessary for the establishment of these criteria.

The Investigation technique of afflne geometry objects on the basis of methods of n-ary groups theory has been developed. In particular, the analog of Fales theorem for n-ary group has been obtained.

All the results of the work are new, and they are the components of a new trend of n-ary groups theory Investigations. Many of them generalize and reinforce the Vacarelov's results, relating to the ternarn groups only.

The results of this thesis can be used in the Investigations or: n-ary groups and for solutions of actual problems of afflne geometry and also in reading special courses, taught at the Universities and Pedagogical Institutes.