Квадратичные формы от случайных величин и некоторые задачи математической статистики тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

сашст-петербургский государственный университет

БАНИРОВ НАШ1Ь КУШЖАНОВИЧ

квадратичнйе формы от случайных: величш и некоторые задачи математической статистики

(01.0!.05 - "теория вероятностей и математическая статистика")

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени • доктора Физико-математических наук-

На правах рукописи

уфа - '1994

Работа выполнена е Институте Математики о ВЦ Уфимского Научного Центра Российской Академии Наук.

Официальные оппоненты:

член-корреспондент РАН H.A. Ибрагимов, доктор физ.-мат. наук, профессор Я.Ю. Никитин, доктор физ.-мат. наук, профессор Л.Б. Клебанов.

Ведущая организация - Математический Институт им. В.А.Стеклова РАН

Завита диссертации состоится "__"__199_г.

в_____часов на заседании специализированного Ученого Совета

Д 063.57.ЙЭ при Санкт-Петербургском Государственном Университета (193Э04 Санкт-Петербург, Петродворец, Библиотечная площадь д.2, мат.-мех. факультет) •

С даесетациэй можно ознакомиться в библиотеке Санкт-Петербургского Государственного Университета (Университетская набережная, д.7/9)'

Автореферат разослан "_"___199_г.

Ученкй секретарь Совета доктор физико-математических наук

С.М.Анакьевский

окуя ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Настоящая работа посвяздена изучению свойств распределений квадратичных форм от случайных величин. Квадратичные формы (КФ) от случайны* велики наряду с линейными формами являются одним из осноекнх объектов математической статистики. Бот некоторые из примеров, в которых присутствуют КФ. Статистики: выборочные дисперсия и коэффициент корреляции, еог ,

, Бартлетта-Шеффе, Аббе, Отношение Стыпдента и т.д. К$ естественным образом возникаят в теории стационарных случайных последовательностей и процессов при оценивании спектральных характеристик, в статистике стационарных гауссовск'К процессов при построении оптимальных статистических процедур, основанных на логарифме отношения правдоподобия, а также р задачах дисперсионного анализа, в методе наименьшее квадратов и т.д. и т.п.

Таким образом, актуальность исследования проблем, связанных с КФ обусловлена помимо теоретического интереса также и практической значимостью тематики.

Б 1953 года вышла.в свет книга М.К.Камалова "Распределение квадратичных форм в выборках из нормальной совокупности", в которой рассмотрен широкий круг вопросов. Перечислим основные направления, в которга велись и ведутся исследования : предельные георемы, неравенства для распределений КФ, представление ф.р, 1Э рядами, независимость КФ, К5 и линейных форм и, наконец, большое разнообразие задач, связанных с изучением распределений № математической статистики. На перечисленных направлениях получено большое количество различных результатов, нике мы более подробно остановимся на тех задачах, в которых автором достигнут определенный прогресс.

Отметим, что с самого начала работы над тематикой не рассматривались предельные теоремы для КФ как таковых, соответствующая теория здесь уже достаточно развита.

Первоначальный интерес автора был связан с попыткой улучшить известные оценки для ф.р. нормированных (тем или иным способом) КФ от гауссовских сл.в. Развитие исследований в этой области стимулировались академиком Ю.В.Прохоровым.

Цель работы.

I) ролучбние неулучшаемьге оценок для функций распределения.

квадратичных форм от пентрированных гауссовских величин при различных естественных ограничениях на коэффициенты форм, а также , для некоторых распределений математической статистики в случае ' неравноточнкх наблюдений.

2) Получение практически приемлемых алгоритмов проверки непараметрических гипотез для многомерных наблюдений и случайных процессов.

3) Изучение сюйств некоторых известных статистик, являющих собой квадратичные формы от наблюдений (или функционалов от наблюдений).

Методика исследования. В диссертации используются традици-• онные методы теории вероятностей и математической статистики, теории функций действительного переменного и теории мера. .

Научная новизна. Б работе найдены экстремумы функции распределения квадратичных форм от пентрироЕанных гауссовских величин при различных ограничениях на коэффициенты форм найдены экстремумы функций распределения некоторых важных с точки зрения практических приложений статистик в случае неравноточных наблюдений. ■;'•'".

Предложены новые критерии проверки непараметрических гипотез для многомерных данных и случайных процессов (здесь ксполь- ■ эувтея результаты для квадратичных форм от гауссовских случайных величин). " ' , .. ••.;..

Получено асимптотическое разложение для функции распределения к вант илыюго критерия Л.Н.Большева. Доказано некоторое характеризационное свойство для статистики хи-квадрат Пирсона.

Практическая и теоретическая ценность. Разработанные методы расширяют область применения математических методов в доверительном и точечном оценивании параметров, в проверке непараметрических гипотез. , ■' - ;:•

Апробация работы. Основные результаты докладывались на семинарах по теории вероятностей и математической статистике в ПОМП (ЛОМИ), ШШ (Москва), «ДО/ НИИ математики и механики при Казанском госуниверситете, Институте математики Уфимского научного центра РАН, ва Международных вильнюсских конференциях- по теории вероятностей и математической статистике.(1985г., 1989гЛ,

Советско-японском симпозиуме (Киев, 1991), Кэлмсгородских чтениях (Санкт-Петербург, 1993).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 12 работ, список которых приведен в конце автореферата.

Объем работы. Диссертационная работа состоит из введения и четырех глав. Библиография содержит "б наименований. Объем диссертации - 292 страницы матинописвого текста.

Краткое содержание диссертации

Глава I. В задачах проверки гипотез я доверительного оценивания в статистике неравноточных наблюдений я нормальных внбор-ках, в статистике стационарных гауесовскях последовательностей и ряде других задач математической статистики возникает необходимость в оценках хвостов распределения квадратичной формы 5 ,от центрировании* гауссовских сл.в. Переходя к соответствующим ортогональным базисам, мы всегда можем записать произвольную Кб такого рода следующим образом

х. I*. т

■

где независимые нормальные (0,1) сл.в. Естественным сбразом

У

возникает задача об отыскании

ыъс р{£'лгг*

при различных условиях на коэффяпие'-тгы Л; . Заметим, что

Ну *

условиям ^( в» отвечает, непример, распределение

квадратичной формы и, » где ~ выборочная

дисперсия, построенная по наблюдениям Л;г I * к- , распределенным независимо и нормально (0,6" ), а условию г

"0.5 отвечает распределение нормированной кгадратичной

¿рми(а-еа)/т'. Ргп>хг

Оптимизационная задача для вероятности Г {, < & } сразу

дает необходимые условия на плотности (и их производные) сл.в. вида 0. +■ , где <?' - некоторая новая К§&, тесно связанная с С} . Получить их (довольно просто) можно, перейдя от вероятностей >Х-У к их преобразованиям Лапласа (-«то и проделы-вается систематически на протяжении всей главы I).

Принципиально важными здесь оказываются свойства одновер-шинности сл.в. вида (I). Напомним, что распределение сл.в. 5 называется одновершинным с вершиной в точке & , если ф.р. сл.б. выпукла при эс. < а, , и вогнута при зс > Л. . В § I доказывается

Теорема 1.1.1. Сл.в. вида (I) V К, Л^ одновершинны. , ,

Отметим, что соответствующий вопрос ставился в свое время академиком А. К. Колмогоровы?-!.

1 В доказательствах результатов главы I важен тот факт, что вероини распределений сл.в. вида (I) не превосходят некоторых предельные значений.

Теорема. Вершка сл.в.

¿ХЛ+ К^'+ К&Г ¿л-1. А,»®

где сл.в. , I независимы, нормальны (0,1) л не зависят от |. , > не превосходят 2.

Доказательство этой теоремы содержится в 5 5.

Лемма 1.1.4. Пусть X. у вершина произвольной одновершинной сл.в. V такой, что ЕУг'-1 , тегда , если

кроме того, дополнительно известно, что У > 0 , то тогда | < \Гз~ (неравенства точные).

При рассмотрении экстремальной задачи для нормированных I® от центрированных гауссовских величин оказывается важным также следующее свойство одно вершинное ти.

Определение. Распределение сл.в. X назовем - 5 -одновершинным, если существует плотность, вогнутая на интервале ( Д., £ ) для некоторых й- й £ , и выпуклая на промежутках ( - лэ> О. ) к (ё, ). ' ' Теорема 1.1.2, Сл.в. вида

А, £ + £ V, СК О + Я).

^ \К\,

кг!

где , У* , к » Рк > к СУТЬ независимые, нормальные (0,1) сл.в., 5 - одновершинны.

Теорема 1.1.3. Пусть сл.в. У 5 - одновершинна и - точка перегиба ее плотности (произвольная) Е Р1- I. , тогда

В следующих параграфах рассматриваются непосредственно вероятности вида

Пусть ^ 1-г____ Гц.) набор независимых стандарт-

ных гауесоЕСккх величин, А - неотрицательно определенная матрица порадка К.* к» и 7- ее след, пусть ( • , • ) скалярное произведение в К.*-" . Центральным результатом 5 2 является

Теорема. Обозначим

, >4 т)

, для всех к > 2

Т1А-1

р £&*} «14

В тех же обозначениях, если отказаться от требования неотрицательной определенности матрицы А , доказывается

'Георема 1.2.2. Для всех х ? 5"! 1гД«1

В 5 2 даны также »многочисленные статистические применения указанных результатов.

Интересен вопрос об определении экстречушп р.-норнированной КФ от центрированных гауссовских сл.в.,

После очевидных преобразований мы приходим к следующей постановке: для каждого * найти экстремумы величины

(V 4

при ограничении ™ ^ • Обозначим

Основное содержание § 3 главы I составляют следующие результаты. Теорема 1.3.1. Пусть X. С" , ¿+(/1], К->2 .тогда

ХбВ, 1

если же , то тогда

: :■

Те в

Рассматривая задачу в менее жестких ограничениях, положим Теорема 1.3.2. Пусть , тогда

ц 700= х3

Метод доказательства этих теорем позволяет также определить экстремумы плотности сл.в. ^ * Д. . Обозначим

1л. 1 ь 1

Ьв - [ Л 1 -2: 1,

Теорема 1.3.3. Пусть измеримое множество А лежит правее

■,» ' „

- 8 -

точки 1 + , тогда

^ Р/З-Е^М) - ?[ в А), В

-»Л

В § 3 даны применения перечисленных результатов и некоторые их обобщения.

В § 4 найдены экстремумы функции распределения отношения двух положительно определенных ® от центрированных гауссовских величин. Обозначим

* г г А: *г .

п i—I

где У. , ' > 1 суть независимые, нормальные (0,1) сл.в. Теорема 1.4.1. Для всех ос ^ 6

^ (х) , 1) * X X

для всех -ЭС. ? 1 здесь

- сл.в., имевшая распределение Склера с

( а., £

) степенями свободы.

В частности,Qz. 3 > & ^ Для любых двух независимых неотрицательно определенные КЗ от пентрированных гауссов-ских величин ЕС?!. = £г £ О .

Наконец, в § 5 главы I даны условия, позволяющие сравнивать ф.р. сл.с. шда (I), Пусть запись А >означает, что

А, * Л«.* .. . ^ X*. , »/Ч. * • - • *, ^ , и.

-» »v

Теорема 1.5.1, Пусть X э А- = 1 , Д;,/*«- ^ .

тогда 1 '

1

Даны применения этого результата, в частности, доказано некоторое свойство оптимальности статистики Б^ Н.В.Смирнова.

Отыетим, что во всех случаях экстремумы фо ф.р. I® находятся при X. достаточно боль сих. Достаточно рассмотреть случаи

Т,"1 и ~, где И, - велико, чтобц понять, что экстрему)/! плотности и ф.р. не может достигаться для некоторой одной № СС. равномерно по всем гс .

Глава 2. Пусть X*,... дк .набор независимых сл.в., имеющих распределение , принадлежащее некоторому семейству

распределений / > ® У . Доверительное оценивание и проверка гипотез для параметра & обычно включает в себя рассмотрение уклонений вида

где

некоторая функция параметра & и наблюдений Л/ ' ¡-й » В - некоторое измеримое множество.

В простейшем случае распределение сл.в. X' определено

( с точностью до параметра $ ), а функция и множество

В подбираются так, чтобн величина оС : I) не зависела от О , 2) допускала явное выражение, позволявшее произвести соответствующие вычисления.

При таком подходе за пределами рассмотрения оказывается ряд практически ватных ситуаций (некоторые из них и рассмотрены в настоясей главе). В этих ситуациях, как правило, величина уклонения оС по-прежнему не зависит от , но оказывается зависящей от некоторого дополнительного иешалцего параметра или распределения С и, таким образом, в контексте решаемых задач естественным обрезом возникает экстремальная задача о нахокдании

оССг)

В § I рассмотрен случай, когда V есть отношение Стьа-дента, а сл.в. XI распределены нормально с общим средним и дисперсиями С".4' (неравноточные наблюдения). Заметим здесь, что для отношения Стыэдента

где X * ^»Л = иГ^" X) , сл.в. Тг

независимы и распределены нормально (0,1), Аг - суть- собственные числа квадратичной формы(при замене Х'~ -0 ?га ^ ). Таким образом, для определения (2) нам нужно решить соответствующую экстремальную задачу для Й5 от центрированных гауссовских величин. Достаточно неожиданным представляется следующий результат

Теорема 2.1.1. Для'веет

- II -

ОС < 1.

Plltfc.il>*}

где Я = 1.1-Эс.*) , ¿'н-1. - случайная величина, име-

ющая распределение Стьпдента с И.-1 степень» свободы.

Теорема имеет прозрачный статистический смысл: при построении доверительных интервалов для параметра В по обычной схеме с использованием отношения Стьюдента, мы можем не беспокоиться о равноточности наблюдений, соответствующий уровень доверия всегда не будет ниже доверительного уровня для случая равноточных наблюдений (теорема обслуживает уровни доверия 93% и выше).

Отметим, что теорема 2.1.1. остается в силе, если верхнюю грань брать по всей независимым симметричным услосно-гауссовским случайным величинам

В § 2 в ракках рассмотрения проблемы Беренса-$ишера для нормальных выборок X*,... Хк. со средним уЧ. и дисперсиями и Ух, У».,... У к* со средним V и дисперсиями 6*^5 определяется

1х-71 /КН^иН-*) у^

ч р. .хг

(3)

где герхняя грань берется по всем возможным значениям 6*К> Кб к и Г- г ¿«^ . . Тесрема 2.2.1. Пусть Кг.? ? > (£+*<) (4 +

где тогда

В § 3 решена одна экстремальная задача для биномиального распределения. Пусть независимые сл.в. подчиняются биномиальным распределениям с параметрами А/ 1- р- :

В диссертации доется точное ранение экстремальной задачи для ф.р. статистики Т* 1 .-

' Теорема 2.3.1. Для всех е (О, 1) , ОС & С<?, Л/3

^ ?17<х} - Нк **}. 1 1/

где сл.в. ^ ^ имеет биномиальное распределение с параметрами

Л/, <1, Ч' , 1 ? 1- суть независимые биномиальные сл.в. с параметрами Д^, А.

К»

Величина /В. = (1 - Р-^естъ вероятность безотказной работы комплекса из К/ последовательно соединенных, независимо работающих приборов, р- - вероятность отказа / -го прибора, ^ • - количество случаев исправной работы в Д/ независимых испытаниях с. -го прибора. Теорема 2.3.1. позволяет строить доверителыше пределы , уб^ для параметра р> :

УРьР*,.../Ч

( /) -уровень доверия) как решения уравнений

Кт, М^, Р(т,ь)-1-у

Доверительные пределы оказываются наиболее точными в клас-

се функций монотонно зависящих: от Т , в случае Т^ Л/ мы

получаем^* (^1-У)^ , что совпадает с хорошо известной неулу-чшаемой нижней доверительной границей для параметра ^

В § 4 доказывается

Теорема 2.4.1. Для с вех: Х> О

где нижняя грань берется по всем парам независимых, одинаково

распределенных, сга/метричных сл.в. Т^ с I Та | 1 < она достигается для симметричных сл.в., равномерно распределенных

на !+[*] точках отрезка [-1, равноотстоящих друг от

друга на расстояние ос

В § 5 рассматриваются экстремальные задачи

где I/ фиксированное (доверительное) множество, а {? экви-рариантные оценки р параметра $ , построенные по независимым наблюдениям , Хк , при этом, 0 параметр сдвига

, в первом случае и. масштаба - во втором. Верхняя грань в случае параметра сдвига достигается,- очевидно, на литменовских сценках

для соответствующей функции потерь. Для > ] ,

при нексториг условиях регулярности на распределения выборки' доказнЕается,' что для оценки максимального правдоподобия

а в случае симметричных выборок

для некоторого б" .

Обозначим — Ж-Ь^Х ; в рамках рассмотрения пара-

метра маектгба, в частности, доказывается

Предложение 2.5.3. Для таких:, что

1

здесь, как и прежде, суть независимые, нормальные (0,1)

сл.в.

В главе 3 даны применения результатов главк I в некоторых ралных с точки зрения статистических приложений ситуациях.

В 5 I строятся критерии проверки гипотез об однородности, симметричности, независимости и некоторых других (нулевые гипотезы) в случае многомерных данных. Теория проверки непараметрк-ческих гипотез для многомерных данных развита, сравнительно слабее соответствующей "одномерноЯ" теории. Возникающие здесь затруднения, в частности, связаны с тем, что асимптотические распределения статистик критериев (при нулевой гипотезе) могут зависеть от ф.р. исходных данных и тем, что ч с ростом равномерности данных могут супественно возрастать сложность и объем вычислений.

Б диссертации предлагается некоторый новый класс критериев проверки непаря^етрических гипотез для повторных многомерных выборок, Пусть К. - объем выборок, с/ - размерность пространства выборок. Предлагаемые критерии и соответствующие им статистики обладают свойствами

А I) состоятельность в классе всех альтернатив,

А 2) при я. мощность критерия экспоненциально быстро стре-

мится, к единице для любой простой альтернативы,

Л 3) в случае справедливости нулевой гипотезы и к. —

асимптотичнекая значимость критерия не превосходит задашю-

го уровня о( ,

А 4) количество операций, необходимое для подсчета статистики

критерия не превосходит С , С - абсолютная

константа,

А 5) значение статистики критерия инвариантно относительно перехода к новой системе координат, т.е. относительно ортогональных преобразований исходных данных (за исключением преобразования сдвига при 1гроверке симметричности), а также относительно масштабных преобразований.

/!дея, лежащая в основе конструкции, по сути дела очень проста: все рассматриваемое гииотеди переформулируптся в эквивалентной форме как гипотезы сб однородности. Например, гипотеза о симметричности повторной выборки XiJ .. . эквива-

лентна гипотезе об однородности выборок Х^, Ха, ХйЛ/-1

И Хх у Хч , •. - Хм •

Для проверки гипотезы об однородности двух независимых повторных Еыборок Ль Хл> • - • Хь. И Ух, Уа»,.. Уы. строится статистика

т - 1 - "*" $>я

1 ^з '

( 0 > £ГСИ* ¿з ^ ^ ). Гипотеза отвергается,если

т > С^0-г))г

ИаЧ- К.

здесь- нормальной '.0,1) сл.в., ф . - обратная

- 16 -

функция» соответствующая асимптотическая значимость при Кс, К, —у не превосходит о( , ^ ^ ^ "'Б'*.

В § 2 строятся критерии проверки гипотез об однородности, симметричности, независимости и некоторых других для случайных процессов. Приведем здесь результат, касающийся проверки гипотезы Но об однородности распределения двух независимых повторных выборок Х| И)» Хгяи ^ Уд • ... . % предполагаем, что сл.пр. Ус(1) имеют с вероятностью I непрерывные траектории. Обозначим

1 * £(и ШУ^о-\лк юО -

- 1 4= , » 1 £ , • > Г ^>

здесь II'Ц - норма прострянстга

гЗ .

Теорема 3.2.1. Критерий проверки На с критическим множеством { > }

имеет асимптотическую значимость

. Критерий'

состоятелен для всех альтернатив вида И^ г траектории сл.пр. X' [!:}, У; ('О непрерывны, их распределения различны. Мощность критерия для альтернативы ГЦ не меньше, чем для достаточно больпиг Д Б С £11 Нь) > & •

Отметим здесь, что величина . является метрикой во множестве распределений сл.пр. с непрерывными траекториями.

■ Результаты главы I сукественно использованы также и в § 3. Пусть - гауссовские процессы

с нулевыми средними и непрерывгаали траекториями, наша цель -оценить близость вероятностей вида

а-- « йз

где - непрорывные функции, й - бсрелевское множество

б С Л О, 13 - пространстве непрврыгных функций с естественной в* - алгеброй. Задачу можно разбить на два подслучая

А) корреляционные функции сл.пр. (?) совпадают, различны,

Б) • корреляционные функции сл.пр. Т* различны, совладают.

Случай А. Пусть распределения Р^ Сл.рр. Т('{4) - ^¿И)

эквивалента, т.е. ~ А^/Л.} > ДО« некото-

рой сл.в. 5 и некоторого функционала Л от характеристик сл.пр. . Справедливо соотношение

а

оно позволяет, в частности, легко доказать существование ограниченной плотности функционала ¿¡^Р , где - гауссе вский процесс с нулевым средним, непрерывными траекториями и дисперсией, не вырождающейся в нуль на отрезке £ 0,13 • & также некоторых интегральных функционалов от гауссовких процессов.

Случай Б. Без ограничения общности <Г — & (в противном случае переходим к миожестгам ) . Пусть эквивалентны меры Р^ пороченные сл.пр. У; Об) • Справедливо неравенство

где С - абсолютная константа,

Г*Т»2> , 2)

- оператор

Гилберта - Емидта в соотношении - ^ - , здесь

- корреляционные операторы, соответстЕуюсш« сд.г.р.

В.главе 4 продолжено изучение квадратичны* форм от случайных величин э разлипких задачах математической статистики.

В § I рассмотрен» асимптотические свойства квантильного критерия Н , предложенного Л.Н.Болыпевым, близкого^ по своим свойствам к ^ иритеркт) согласия Пирсона. Пусть ^ * статистика хи-кгадрат критерия Пирсона, построенного на выборке

)(1,Хг>... Хи. и соответствующему разбиению<4^,..

пространства выборки. Известно, что Ух> о

г

здесь ((~ сл.в., имеющая хи-квадрат распределение с степенью свободы.

В диссертации получена асимптотическая формула для Ф.р. статистики Н^ квантильного критерия:

где для функции |у (эс) дается явное выражение.

В § I дается такяе асимптотическое разложение мощности квантильного критерия для конгигуальных альтернатив и оценивается в определенном смысле ~ близость критериев 2"*" и •

Б 5 2 доказывается некоторое свойство единственности распределения хи-квадрнт. Пусть для поверки ну л его А гипотезы Н» , которой соответствует дискретное распределение Р ~ ®СР<> Рл>-- РО > ХЯ«5*! используется статистика Т^ , допускающая асимптотическое представление: при К —>е-о

V». 7) V- (кг (4)

здесь

- непрерывная функция на £ , не вырождающаяся в константу, - частоты результатов наблюдений в выборке объема К = 2И И. • . Представление (4) имеют, например,

критерии хи-квадрат : «5Г V• , отношения правдоподобия -

И, Л ✓ у V . -

, информационного - X (и¿/кр^),

Матуситы С^Ч ' & случае £ (ос, р*} »/ос/* , где

¡'I ~ евклидова норма в (т.е. в случае использования критерия хи-квадрат) соответствующее предельное при К. —=» о» распределение статистики не зависит от , более

того, для последовательности альтернатив (<?)• р^» /х у-1-4.1 \[р1/{К , 2Я.*»,) предельное распределение статистики Т^ зависит только от величины в /лГ/

В § 2 доказываются в определенном смысле обратные утверждения.

Предложение 4.2.1. Пуст ь предельное при И*—>ро распределение статистики Т*, для последовательности альтернатив зависит только от \ А. / , тогда для некоторой непрерывной функции £(•).> У Л. «е

Предложений 4.2.2. Пусть предельное при К,—*■ о*» распределение статистики "Гц, Для последовательности альтернатив зависит только от одномерного параметра У(Я-> Р ) неп|ю-рывного по совокупности переменных, пусть также ^йе К

множество

(к | > С

выпукло, симметрично, ограничено (либо пусто) и

& Р ) <*•<=> > здесь С* скалярное произведение,

. Тогда для некоторых непрерывных функ-

Последний результат означает, что в ситуации Н ^ ( ^ при проверке одномерных гипотез не возникает мешаящих параметров лишь в случае использования статистики Пирсона, соответствующий параметр есть | сС | .

В § 3 рассмотрено свойство локальной асимптотической нормальности (ЛАК) для стационарных гауссовских последовательностей. Пусть Хь. , K~&>t,Zi... стационарная гауссовская последовательность со спектральной плотностью ' ,

зависящей от параметра ©С ВХ 1 ~® • случае

и некоторих условиях регулярности на с.п,

^^А справедливо свойство ЛАН в точке 9„ , с некоторой

нормировкой • У ^

Г(хЛ) «к. "

где X * (Хг, Хл,,.. Х*.\ Р(-*><?) - плотность сл.в. X »

4Рк ~ последовательность.сл.в. 4к. асимптоти-

чески нормальна (0,1) по мере с( Р^ . Известно, что ЛАН справедливо, если^)-|р(е'Х)|^0(Л,/Р) „где Р(*> многочлен с корнями на единичной окружности, у!' Т0 (> ® Каша цель - осл^ить требования к нулям плотности &) • Обозначим

■—оЩ-

Теорема 4.3.1. Стационарная гауссовская последовательность обладает свойством ЛАН в точке Во с

если выполнены условия

В I) I <1} . здесь >Нй<5

мера Лебега,

Рассмотрен также случай, когда величина ^может быть неогриничена, а с.п. £Ро) может обращаться в нуль. Рассмотрены опенки максимального правдоподобия и байесовские для параметра $ , доказаны их асимптотическая нормальность и эффективность.

В § 4 получены необходимые к достаточные условия независимости двух квадратичных форм от двух независимых симметричных сл. в. X , У

«аX"V/У*+ сХУ, &X + Ас, хУ (5)

^ (д Щ-0 .Б дальнейшем отождествляются пары форм , ^ отличающиеся друг от друга перестановкой индексов I и 2 и умножением на ненулевке константы. Известны различные достаточные условия неяависимости двух квааиполииомиальных статистик от портерных выборок.

В случае, когда объем выборки равен двум, удается улучшить некоторые оеэультаты в этой области применительно к статистикам (5).

Центральный результат параграфа составляет

Теорема 4.4.2, Пусть X , У - независимые симметричные сл.в., а квадратичные формы ^ , (5), одна иа которых неотрицательно определена, независимы, тогда имеет место одна из возможностей

1) <?, -Х\ У*,

2) в X* • X - биномиальная сл.в.

3) Ц -« у"*" , У - биномиальная сл.в.

4) сл. в. X . У биномиальные и в (5) С С1 = О

5) сл.в. X , У гауссов^кие и

для некоторых констант А , В> ,

Следствие. Пусть X , У* повторная выборка из симметричного распределения и независимы формы ^ - й Х4+ 8 У + С Х> > ж ®Х Я У , тогда имеет место одна из возможностей

V . либо » У*, - X, 2) сл.в. X « У имеют биномиальное распределение и С - О, 3} сл.в. X . У имеют гауссовское распределение и

их-аг/.

Таким образом, автором делается попытка охватить широкий круг задач, приближенны* к потребностям математической статистики.

Автор выражает глубокую признательность И.А.Ибрагимову за постоянное доброжелательное внимание и ценные советы при подготовка работы.

Публикации по теме диссертации

1. Бакиров Н.К. Экстремальное свойство распределения Стью-дента/УЗаписки научн.сем. ЛОМИ. -Ленинград,,1986.- Т.153: Исследования по математической статистике. УП. - С. 16-26.

2. Бакиров Н.К. Уточнение асимптотики мощности квантиль-ного критерия//3аписяи научн.сем, Л0Ш1. -Ленинград, 1966. - Т. 153; Исследования по математической статистике. УЛ. -С, 5-15.

3. Бакиров Н.К. Экстремумы распределения статистики з2// Теория вероятностей и ее применения. - 1988,- Т.ЗЗ.выл. I. - С, 184-188.

4. Бакиров Н.К. Экстремумы распределений квадратичных форм от гаусс обских величин/Деория вероятностей и ее применения. -1989. - Т.34, вып. г.- С. 241-250.

5. Бакиров Н.К. Экстремумы распределений квадратичных форм от случайных величин и связанные задачи статистики//Докл. АН СССР. - 1986. - Т. 291, № 3. - С. 525-528.

6. Бахиров H.H. Критерии проверки неларвметричесхих гипотез для случайны* процессов/записки научн.сем. ЛОМИ. - Ленинград ,1990; - T.I64: Исследования по математической статистике. IX. С. 8-13.

7. iiiklrov K.K. Testing nonparcunotric hypothesis for rundoE ргосевсеи/, Proc. Bixth UüSU - Japan Sycip, .Kiev, aug,, 1993. Singapore: 199?. P. 1-1.

8. Бакиров H.K. He равноточный подход в проблеме Веренса-Фишера// Записки научн.сем. ЛОМИ. - Ленинград, 1988, - Т. 166: 'Исследования по математической статистике. Ml. - С, 6-8.

9. Бахиров U.K. Одно применение леммы Неймана-Пирсона ж гауссовским процессам// Записки научн.сем. ЛОМИ. Ленинград, 1993.- Т.207: Исследования по математической статистике. УЛ.-С. 5-12. '

IQ, Ealctrov ...К. An external property of the binomial di-Bfci-ibution/'Mathematical methods of statistics.-1993,V. 2,.. 2.-p. 165-170. ' . ■ - •

11. Бахиров H.K. Независимость квадратичных форы от двух случайных величин// Исследования по теории приближений. - Уфа, I9Q9. - С. 139-150.

12. Бакиров Н.К. Экстремумы распределений квадратичные форм от гауссовскюс величин. - Уфа, 190?. - 43 с, (Црепринт/ЭД УрО АН СССР).

13. Бахиров Н.К. Независимые квадратичные форш от случайных величин. - Уфа, 1968. - 26 с. (Препринт/ БЩ УрО АН СССР).

14. Бахиров Н.К. Три статистические ваметки. - Уфа, 1990. -23 с. (Препрют/БНЦ УрО АН СССР).