Квазиоптические системы для сверхвысокочастотной электроники тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.03 ВАК РФ

РГБ ОД

1 ^ лог юзе

Па правах рукописи

КЛЕЕВ Андрей Игоревич

КВАЗИОПТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ ДЛЯ СВЕРХВЫСОКОЧАСТОТНОЙ ЭЛЕКТРОНИКИ

01.04.03 — радиофизика

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

САРАТОВ — 1995

Работа выполнена в Институте физических проблем имени П.Л.Капицы РАН

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

Московский государственный институт электроники и математики (технический университет).

Защита состоится 18 октября 1995 года в 15 часов 30 минут на заседании диссертационного совета Д 063.74.01 при Саратовском государственном университете им. Н.Г.Чернышевского по адресу: 410071, Саратов, Астраханская 83.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Саратовского государственного университета.

ялен-корреспоидент РАН, профессор

Трубецков Д.И.

доктор физико-математических наук, профессор

Быков В.П.

доктор физико-математических наук, профессор

Братман В.Л.

Автореферат разослан

1995 года.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физико-математических наук

Аникин В.М.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы

В настоящее время одним из наиболее перспективных направлений развития электроники сверхвысоких частот является создание усилителей- и генераторов, работающих в миллиметровом и субмиллиметровом диапазонах длин волн. Спектр возможных практических применений излучения данного диапазона длин волн в различных областях фундаментальной и прикладной науки необычайно широк. Это, например, спектроскопия (в т.ч. нелинейная) систем с низкими уровнями возбуждения, геофизические, биологические и медицинские исследования и т.д. Эффективное решение возникающих при этом проблем невозможно без раз работки методов расчета и исследования соответствующих атектродинамических систем, создания самосогласованной теории взаимодействия полей с электронными пучками.

В коротковолновом диапазоне длин волн (начиная с миллиметрового и субмиллиметрового) для формирования и передачи атектромагнитного излучения используются главным образом так называемые квазиоптические системы. Традиционно к квазиоптическим системам относят такие, в которых наряду с геометроопти ческими явлениями существенную роль в формировании поля играют дифракционные эффекты [I, 2, 3]'. В теоретическом отношении анализ квазиоптических систем связан с некоторыми специальными' задачами асимптотической теории дифракции.

Одним из важнейших примеров квазиоптических систем являются квазиоптические резонаторы (КОР). Впервые интерес к КОР возник в связи с появлением оптических квантовых генераторов (лазеров) [4, 5). Применение КОР в лазерах связано с основными свойствами открытых электродинамических систем: в определенном смысле открытый резонаюр можно отождествить с "обычной" (закрытой) резонансной системой, спектр добротных колебаний которой разрежен вследствие излучения в открытое пространство. Подчеркнем, что подобное представление об открытых резонаторах довочьно условно; открытые системы обладают непрерывным спектром собственных колебаний и, строго говоря, речь идет о так называемых "квазисобственных" или "вытекающих" модах [2, 3].

Большинство теоретических рабог, связанных с этой тематикой, было посвящено развитию численных методов исследования простейшей модели КОР — днухзеркального резонатора Фабри Перо [6, 7, 8, 9, 10, И, 12, 13). К сожалению, приближенные аналитические результаты удается получить только в некоторых частных случаях [14, 15] или делая некоторые упрощающие предположения (например, пренебрегая излучением [16, 17, 18]). Отметим, что для радиационных потерь в КОР с помощью аналитических методов в общем случае

'Нумерация цитированной литературы дается в соответствии со списком, приведенным в конце anTiipecjiepa га.

• удается получить лишь качественные оценки (см. напр. [19]).

Несмотря на большое число публикаций, свидетельствующее о существовании постоянно расширяющейся области применения квазиоптических структур, ряд существенных вопросов теории квазиоптических систем исследован неполно. В частности, недостаточно исследован вопрос об области применимости интегральных уравнений, возникающих в теории открытых резонаторов. В субмиллиметровом диапазоне длин волн простейшая модель КОР — двухзеркальный резонатор — плохо применима и не позволяет рассмотреть физические процессы, оказывающие существенное влияние на формирование' собственных колебаний КОР. Развитие техники субмиллиметрового диапазона длин- волн стимулирует создание методов численного моделирования более сложных квазиоптических систем. Отметим здесь, в качестве примера, проблему, связанную с исследованием процессов в так называемых полноводных лазерах на свободных электронах (ЛСЭ) [20, 21]. Как показывают предварительные результаты, ЛСЭ данного типа могут обладать весьма интересными, с точки зрения практических применений, параметрами. Так например, длительность импульса излучения может быть существенно меньше, чем в ЛСЭ обычного типа. Результаты расчетов, приведенные в ряде работ, указывают, что важное значение в квазиоптическом диапазоне параметров задачи имеет явление взаимодействия колебаний. По существу, данный эффект, определяет устойчивость рассматриваемой геометрии. . Ряд экспериментальных результатов свидетельствует о необходимости более детального изучения этого явления. Данный эффект существенен и при расчете взаимодействия собственных колебаний КОР. с электронным пучком. Решение этой задачи невозможно без исследования самосогласованной системы уравнений динамики электронов и электромагнитного поля резонатора с учетом влияния электронного пучка на поперечную структуру поля, поскольку в отличие от низкочастотных резонансных систем, потеря в КОР весьма сильно зависят от распределения поля собственного колебания. Важным, с точки зрения практических применений, является вопрос о допусках в квазиоптических резонаторах, влиянии малых отверстий связи. Малые возмущения стенок КОР могут, вследствие явления взаимодействия колебаний, приводить к резкому ("резонансному") падению добротности.

Сказанное выше свидетельствует о том, что развитие эффективных и достаточно универсальных методов расчета квазиоптических структур вместе с исследованием различных физических явлений в КОР являются актуальными фундаментальными проблемами современной радиофизики. Детальное теоретическое исследование и оптимизация свойств КОР позволило бы свести-до минимума дорогостоящие экспериментальные исследования при изучении возможностей использования КОР в том или ином приборе, а также явилось бы предпосылкой для создания принципиально новых устройств. Очевидно, что при разработке методов расчета необходимо существенно опираться на специфику определенных классов структур и на возможность соответствующих аналитических преобразований исходных уравнений. Изложению теоретических результатов, полученных автором в, рамках данной проблемы и посвящена настоящая диссертационная работа.

Цепи диссертационной работы

Цели диссертационной работы вытекают из перечисленных выше фундаментальных проблем и могут быть сформулированы следующим образом:

— Развитие методов расчета квазиоптических волноводных резонаторов. Исследование закрытых и открытых систем, резонаторов со сложной структурой излучающей области.

— Разработка методов самосогласованного описания движения электронов в поле электромагнитной волны с учетом дифракционных эффектов.

— Исследование эффектов взаимодействия колебаний в квазиоптических системах, в частности, в квазиоптических резонаторах с электронными потоками. Определение влияния эффектов взаимодействия на чувствительность собственных колебаний к малым возмущениям геометрии структуры.

Основные направления исследовании

В диссертации в результате решения указанных выше фундаментальных проблем рассмотрены и решены задачи о собственных колебаниях в волноводном резона торе ЛСЭ, о колебаниях в бочкообразном резонаторе, о влиянии электронного пучка на собственные колебания КОР, рассмотрено взаимодействие электронного лучка с полем многосекционной квазиоптической системы, исследован вопрос о взаимодействии колебаний в КОР, рассмотрена задача о допусках в экранированных КОР, исследованы КОР со сложными излучающими структурами. Важным практическим аспектом диссертационной работы является то, что теоретическое рассмотрение доведено до создания пакетов программ для ЭВМ, об эффективности которых свидетельствуют .риведенные в диссертации расчетные материалы.

Научная новиона работы

В диссертации получен ряд новых результатов, к которым относятся:

— Численная методика расчета собственных колебаний квазиоптических (ог крытых и закрытых) резонаторов волноводного типа, позволяющая учесть омические потери и векторный хар! тер решения.

— Методика расчета "взаимодействия полей квазиоптических резонаторов с элек тронным пучком, учитывающая влияние последнего на поперечную, структу ру поля. В линейном приближении задача формулируется как задача на собственные колебания. Исследованы некоторые особенности нелинейного режима.

— Результаты исследования эффектов, связанных с взаимодействием колебаний в квазиоптических системах. Показано, чгго тип взаимодействия определяется степенью разреженности спектра собственных частот вытекающих (квазисобственных) колебаний. Определена роль явлений взаимодействия мод на устойчивость колебаний по отношению к малым возмущениям геометрии резонатора (теория допусков закрытых КОР).

— Результаты исследования особенностей взаимодействия мод КОР с электронным пучком в случае неизолированности колебаний. Получено обобщение соотношения связывающего спонтанное. и индуцированное излучение.

— Численная методика расчета -усилителя О-типа с открытой квазиоптической волноводной структурой. Исследован механизм усиления электромагнитного излучения при резонансном взаимодействии электронного пучка с полем периодической структуры, расположенной внутри волноводной квазиоптической линии. ,

I

Методика расчета квазиоптических систем со сложной излучающей структурой.

Практическая ценность работы

Результаты исследований, изложенных в диссертации, в основном направлены на создание математических методов моделирования квазиоптических структур, используемых в приборах, генерирующих и усиливающих коротковолновое излучение с помощью электронных пучков, взаимодействующих с полями квазиоптических структур. Принципиальным моментом данной работы является то, что в ней последовательно учитываются дифракционные явления, причем указан ряд эффектов в которых данный учет является существенным; создана модель, учитывающая основные физические процессы в электронных приборах на основе КОР. В работе исследовано влияние экранировки (полной или частичной) КОР на селекцию мод. Результаты данной работы могут быть использованы для расчетов волноводных ЛСЭ, в частности, для оптимизации параметров ЛСЭ в субмиллиметровом диапазоне длин волн. Результаты диссертации были использованы при разработке оптической системы ЛСЭ в Институте физических проблем им. П.Л.Капицы РАН, при подготовке экспериментов по созданию кольцевого ЛСЭ в Ritsumeikan University (Япония).

Апробация работы.

Результаты изложенные в диссертации докладывались на:

• 10 м Всесоюзном семинаре по методам решения внутренних краевых задач

'" электродинамики (Вильнюс, 1988)

• Международных конференциях по использованию синхротронного излучения (Новосибирск, 1988, 1994; Москва, 1990)

• 8-й зимней школе-семинаре инженеров по радйофизике (Саратов, 1989)

• 20-й Европейской конференции по микроволнам (Венгрия, Будапешт, 1990)

• 10-м Всесоюзном симпозиуме по дифракции и распространению волн (Винница, 1990)

• 9-й зимней школе-семинаре инженеров по радиофизике (Саратов, 1992)

• 17-й Международной конференции по инфракрасным и миллиметровым волнам (США, Лос-Анжелес, 1992)

• 18-й Международной конференции по инфракрасным й миллиметровым волнам (Англия, Колчестер, 1993)

• 24-й Генеральной Ассамблее Международного Радиосоюза (URSI GA) (Япония, Киото, 1993)

• 5-й Международной конференции по математическим методам в электромагнитной теории (Украина, Харьков, 1994)

в 16-й Международной конференции по лазерам на свободных электронах (США, Стэнфорд, 1994)

• XV Международном симпозиуме по атектромагнитной теории (С.Петербург, 1995)

• научных семинарах Саратовского государственного университета, Института ядерной физики им. Г.И.Будкера JO РАН, семинаре по проблемам СВЧ электроники и электродинамики периодических и нерегулярных структур (МГИЭМ), семинаре Института физических проблем им. П.Л.Капицы РАН

Часть результатов, представленных в диссертации, получена в рамках исследований, проводившихся в 1991-1995 г.г. по грантам Государственного Комитета Российской Федерации по высшему образованию (грант 2-061-ГБ), Российского фонда фундаментальных исследований (гранты 94-02-03523-а и 95-02 05524-а) и Международного Научного Фонда (гранты N8F000 и N8F300).

Публикации автора по теме диссертации

1. Клеев Л.И., Тихомиров A.B. ' Расч^. квазиоптнческого резонатора с импе-дансным волноводом между зеркалами. — Тезисы докл. на X Всесоюзном семинаре по методам решения внутренних краевых задач электродинамики. - Вильнюс, 1988, с. 42.

2. Клеев А.И., Маненков А.Б, Расчет открытого резонатора с волноводом между зеркалами. — РЭ, 1988, т. 33, №7, с. 1387-1393.

3. Klcev A.I., Tihomirov A.V. Numerical Analysis' of the Open Resonator for an FEL. — Nuclear Instruments and Methods in Physics Research, 1989, vol. A282, №1-2, pp. 445-447.

4. Вайнштейн Л.А., Клеев А.И. Спонтанное и индуцированное излучение в вакуумной электронике. — Лекции по электронике СВЧ и радиофизике. 8-я зимняя школа-семинар инженеров. — Саратов: Изд-во Саратовского ун-та, 1989, кн. 1, с. 4-24.

5. Вайнштейн Л А., Клеев А.И. Кооперативной излучение из малых объемов

. в квантовой и классической (вакуумной) электронике. — Лекции по электронике СВЧ и радиофизике. 8-я зимняя школа-семинар инженеров. — Саратов: Изд-во Саратовского ун-та, 1989, ки. 1, с. 25-53.

6. Вайнштейн Л.А., Клеев А.И. Кооперативное излучение электронсв-осцнлля-

• торов. — Докл. АН СССР, 1950, т. 311, №4, с. 862-866.

7. Клеев А.П., Тихомиров А.В. Расчет открытого резонатора с импедайсным волноводом между зеркалами. — РЭ, 1990, т. 35, №11, с. 2282-2287.

8. Klcev A.L, Tihomirov A.V. Numerical Analysis of the Quasi-Optical Waveguide Resonator Using Collocation Technique. — Proceedings of the 20-th European Microwave Conf. — Budapest, Microwave Exhib. and Publ. Ltd, 1990, vol. 1, pp. 741-744.

9. Вайнштейн Л.А., Клеев А.И. Кооперативное излучение атсктрснов осцилляторов из малых объемов. — Волны и дифракция — 90 (Труды X Симпозиума по дифракции и распространению волн). — М.: Физическое общество, 1990, т. 1, с. 17-20.

10. Вайнштейн ЛА., Клеев А.И., Солнцев В А. Сноатанное п индуцированное излучение электронов, взаимодействующих с бшшой шепчущей галереи. — РЭ, 1991, т. 36, №2, с. 377-386.

11. Wainsttin L.A., Klecv A.I., Soinlscv V.A. Radiation from the Relativistic Electron Interacting with the Whispering-Gallery Mode. — Nuclear Instruments and

.Methods in Physics Research, 1991, vol. A308, №1-2, pp. 94-96.

12. Капица С.П., Клеев А.И. Взаимодействие электронов, движущихся по круговой орбите, с пешем, квазиоптического резонатора. — РЭ, 1991, т. 36, №12, с. 2379-2384. • ' . '

13. Клеев А.И. Использование квази оптического волноводного резонатора в лазере на свободных апектронах. — РЭ, 1992, т. 37, №3, с. 526-534.

14. Клеев А.И. Взаимодействие колебаний в открытом резонаторе лазера на свободных электронах. — РЭ, 1992, т. 37, №6, с. 1109т-1115.

15. Ромашин НЛ., Клеев А.И., Солнцев В А. Анализ усиления в волноводной квазиоптической линии с электронным потоком. — РЭ, 1992, т. 37, №11, с. 2023-2032.

16. Клеев А.И. Омические потери в экранированном квазиоптическом резонато ре. — РЭ, 1992, т. 37, NU2, с. 2120-2125.

17. Romashin N.L., Kleev A.I., Solnticv V.A. Powerful Й¡11 ¡meteг-Wave Amplifier With Quasi-Optical Structure. — In Seventeenth International Conference on Infrared and Millimeter Waves, Richard J.Temkin, Editor, Proc. SPIE, 1992, vol. 1929, pp. 329-329.

18. Клеев А.И. Открытые резонаторы в лазерах на свободных электронах. — Лекции по СВЧ электронике и радиофизике. IX зимняя школа-семинар. — Издательство Государственного учебно-научного центра "Колледж" Саратовского государственного университета, 1992, с. 30-39.

19. Клеев А.И. Расчет характеристик лазера на свободных электронах с волно водным резонатором. — РЭ, 1993, т. 38, N55, с. 910-916.

20. Klecv A.I. Modes Interaction in the Waveguide FEL. — Proceedings of the XXIVth General Assembly of the URS1. — Kyoto, 1993, p. 137.

21. Romashin N.L., Kltev A.I., Saintsei) V.A. The Analysis of Electromagnetic Wave Amplification in Qusai-Optical Waveguide with Electron Beam (SELECTRON). — In Eighteenth International Conference on Infrared and Millimeter Waves, James R.Birch, Terence J.Parker, Editors, Proc. SPIE, 1993, vol. 2104, pp. 86 87.

22. Kleev A.I. Quasi-Optics Eigenmodes of the Waveguide Resonator. — In Eighteenth International Conference on Infrared and Millimeter Waves, James R.Birch, Terence J.Parker, Editors, Proc. SPIE, 1993, vol. 2104, pp. 218-219.

*

23. Ромашин HJI., Клеев А.И., Солнцев B.A. Возбуждение волноводной квазиоптической линии с электронным потоком. — РЭ, 1993, т. 38, №9, с. 1662-1671.

24. Клеев А.И., Манепкое А.Б. Взаимодействие колебаний в квазиоптических резонаторах. — РЭ, 1994, т. 39, NM, с. 559-572.

25. Kleev A.I., Manenkov А.В. Interaction of the modes in quasi-optical resonators. — Proceedings of the 5-th International Conference on Mathematical Methods in Electromagnetic Theory. — Kharkov, 1994, pp. 113-116.

26. Клеев А.И., Маненков А.Б. Расчет квазиоптических резонаторов методом поперечных сечений. — РЭ, 1994, т. 39; NM1, с. 1691-1701.

27. Yamada Я>, Tatayama Т., Tsvtaui Н., Атапо D., Hori Т., Miyade II., Yaaumitsu N., Kleev A.I., Manenkov А.В., Sate /., Shimoda K., Photon Storage Ring Project. — 16th International Free Electron' Laser Conference Proceedings. Edited by T.I.Smith. Stanford University, .1994, p. 120.

28. Kleev A.I., Manenkov A.B., Yamada H. The Barrel Shape Resonator for the Photon Storage Ring. — 16th International Free Electron Las'-r Conference Proceedings. Edited by T.I.Smith. Stanford University, 1994, p. 251.

— Nuclear Instruments and Methods in Physics Research, 1995, vol. A358, NU-3, pp. 362-364.

29. Bogomolov G.D., Kleev A.I., Manenkov A.B. Investigation of the Quasi-Optical Resonator for the Free Electron Lasers. — Nuclear Instruments and Methods in Physics Research, 1995, vol. Л359, N=1-2, pp. 63-69.

30. Kleev A.I., Manenkov A.B. The numerical analysis of the quasi-optical resonators with complex radiation structures. — Proceedings of the 1995 International Symposium on Electromagnetic Theory. — St. Petersburg, 1995, pp. 476-478.

Личный вклад автора

Инициатором постановки многих задач, представленных в настоящей диссертации, был член-корреспондент АН СССР, профессор Лев Альбертович Вайнштейн. Рад работ, вошедших,в диссертацию, например, работы по спонтанному и индуцированному излучению, по кооперативному излучению электронов-осцилляторов, были выполнены под непосредственным руководством Льва Альбертовича и при его деятельном участии. После смерти Л.А.Вайнштейна автор старался, насколько это было в его силах, продолжить начатые исследования.

Работы по расчету собственных колебаний в экранированном квазиоптическом резонаторе, по исследованию влияния атектронного пучка на собственные колебания КОР ЛСЭ, по взаимодействию колебаний в КОР ЛСЭ, по расчету установившихся колебаний в КОР ЛСЭ выполнены автором самостоятельно. Работы по расчету КОР, по расчету колебаний в бочкообразном резонаторе, по исследованию взаимодействия колебаний в КОР, по расчету резонаторов со сложными излучающими структурами, выполнены в соавторстве с С.П.Капицей, А.Б.Маненковым, Г.Д.Богомоловым, Х.Ямадой и рядом сотрудников университета Ritsumeikan. Работы по расчету омических потерь в волноводном КОР, по исследованию сходимости метода коллокации при расчете КОР выполнены в соавторстве с А.В.Тихомировым. Исследования взаимодействия кольцевого электронного пучка с полем квазиоптических периодических структур проводились совместно с В".А. Солнцевым и Н.Л.Ромашиным. Автор выражает искреннюю благодарность и признательность всем упомянутым выше лицам.

Автор признателен академику А.Ф.Андрееву за поддержку и предоставленную возможность проводить работу в Институте физических проблем им П.Л.Капицы РАН. Автор пользуется возможностью выразить свою искреннюю благодарность Е.Р.Подоляку, Е.Л.Косареву, А.С.Семенову и многим другим сотрудникам Института физических проблем, в доброжелательной и творческой атмосфере которого автору посчастливилось работать.

Глубокую благодарность автор приносит всем участникам научного семинара по электронике в Саратовском университете за большую помощь, многочисленные обсуждения, критику л цепные советы. Автор благодарен Р.Л.Силину за дискуссию и конструктивную критику.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, пяти глав и заключения. Общий объем работы составляет 309 страниц, включая 120 рисункоз. Библиография насчитывает 173 Цитированных источника и (отдельно) 30 публикаций автора по теме диссертации.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во Введении обоснована актуальность темы, определена цель работы, изложены научная новизна и практическая значимость, кратко изложено содержание диссертации.

Первая глава посвящена теории собственных колебаний в волнозодных квазиоптических резонаторах. Такой резонатор состоит из отрезка регулярного волновода и размещенных на некотором расстоянии от его торцов зеркал, фокусирующих излучение (рис. 1,а). Впервые интерес к системам такого рода возник в связи с их использованием в газоразрядных лазерах [22, 23, 24]. Однако опубликованные ранее работы оставляли открытыми многие вопросы, связанные с исследованием физических характеристик волноводных резонаторов. Отметим, что рассматриваемая модель достаточно универсальна и удобна; она, с одной стороны, дает возможность провести достаточно подробное теоретическое исследование, а с другой — адекватно отражает физические процессы в разнообразных реальных системах. »

Особенностью оптической системы ЛСЭ является то, что в лазерах на сво бодных электронах активная среда (электронный пучок) занимает сравнительно малый объем, причем с уменьшением поперечных размеров структуры эффективность взаимодействия увеличивается вследствие возрастания действующего на электроны магнитостатического поля. Теоретические и экспериментальные исследования показали, что в резонаторах ЛСЭ существенную роль в формировании полей собственных колебаний играют стенки электроновода — палой металлической трубы, расположенной внутри ондулятора [25, 26]. В реальных условиях поперечный размер электроновода не может быть сделан произвольно большим — это привело бы к сильному уменьшению магнитостатического поля ондулятора, и вследствие этого — к снижению коэффициента усиления. Параметры большинства действующих в настоящее время и проектируемых ЛСЭ таковы, что влияние ааектроновода становится существенным при работе в субмиллиметровом диапазоне.

В §1 приведена методика расчета квазиоптического резонатора с волноводом между зеркалами (рис. 1,а). Отметим, что при анализе было использовано то обстоятельство, что а » А (А — длина волны в вакууме), Г> > а. Задача сведена к решению системы интегральных уравнений для полей на торцах волновода. Методом коллокации данная система сводится к обобщенной алгебраической задаче

Рисунок 1: а) Поперечное сечение резонатора ЛСЭ. б) Зависимость потерь (кривые 1, 2) и |ВН (кривая 3) от W'; 1 — точное решение, 2 — результаты расчета методом возмущений.

на собственные значения:

RTb(—1) ™rWb(—1), fc(2ö + íi + Ь)" irg +»In Г, (1)

где q — целое число, вектор Ь(0) - (^VJi-'m^-iW.^Wi-m^LiW) определяет поле внутри регулярного волновода (рис. 1,а) посредством соотношений

Ёх - É[l}(z, у, х) exp(ikz) - (-1 УЕ<?(х,у,-z) éxp(-<*«),

É« = (E¡r\EP), p-1,2, BW-í^MJ + JtWjexpí-fcV),-

2N-I

EM = _iEM FÍ>)(t,r))- E bi.riW7Ím)^(9nt)exp(-ig2nA^, m-0,2, (2)

n-0 .

i = r/a, tf = z/D, Д - Dflka2, 7<°> - 1, - 1" г 003 V, У т г «in <р,

(зависимость от времени г имеет вид ехр(—¿vcfcr), где vt — скорость света в вакууме). Собственное значение Г в соответствии с (I) дает частоту и потери собственного колебания. Ниже будет также использоваться величина Л ■ -201g |Г|, характеризующая потери в резонаторе "за проход". . Приведенные выше соотношения описывают поля, азимутальная зависимость которых подобна волнам Ein в Ны круглого волновода, на стенках которого выполняется граничное условие: . . - .

ñxÉ-Cñx [пхЯ], í-\]kvJ4ii<T - (' - ¿С", (3)

где а — проводимость материала стенок волновода2, й г— единичная нормаль. Постоянные д„ выбираются таким образом, чтобы граничное условие (3) для

'Используется абсолютная система еднниц.- . . .

разложения (2) выполнялось почленно. В (1) матрицы W v R определяют распространение электромагнитной волны в волноводе и в промежутке между волноводом и зеркалом соответственно. Матрица* Т связывает коэффициенты разложения поля на правом и левом концах полноводной зстаыл:. Для "холодного" (без электронного пучка) резонатора Т = I. Ниже уравнение (1) будет использовано для получения самосогласованного решения, описывающего линейный режим работы ЛСЭ. ■

В диссертации показано, что свойства исследуемой системы определяются всего четырьмя безразмерными параметрами: с e kaJ/V, д 1 - 2IjR, Д - D/2ka2, W т ка(. Каждый из этих параметров характеризует определенный физический процесс. Параметр с определяет распространение электромагнитной волны в свободном пространстве — между торцом волновода н зеркалом. Распространение волны внутри отрезка волновода зависит err величин Д и W. Отражение от параболического зеркала определяется величиной д. Волноводные резонаторы, значения параметров с, д, А и W для которых одинаковы, обладают одинаковыми потерями. Это дает возможность проводить экспериментальные исследования на моделях резонаторов, работая, например, в более длинноволновом диапазоне.

Расчеты показали, что в резонаторах данного типа существенны явления межтиповой связи колебаний; при этом может происходить заметное изменение потерь в резонаторе и структуры резонаторной моды. Более подробно явление межтиповой связи в квазиоптических системах будет рассмотрено в третьей главе.

(а)

) г

гк^ 0

г?

сч » Li

■"« т

Рисунок 2: Поперечное сечение бочкообразного резонатора.

В соответствии с геометрооптпческим описанием собственных колебаний, решения, исследованные в первом параграфе, соответствуют т.н.. "колеба1шям типа прыгающего мячика". Оказалось, что раззитый для их анализа подход мо-

•жет быть применен при ассмотрении другого, тоже весьма распространенного типа колебаний волноводного резонатора. В §2 рассмотрены характеристики собственных колебаний квазиоптического бочкообразного резонатора (КОБР) (рис. 2) типа мод шепчущей галереи (МШГ) или колебаний с внутренней каустиков. Резонаторы такого типа в последнее все больше привлекают внимание

исследователей в сг.язг с разнообразными применениям: структур данного типа в физике и технике [27, 2й, 29]. Имеющиеся методы расчета таких систем были основаны, как правило, на ^стчлл упрощающих предположениях [2, 16, 17]. Для исследование подобных систек в диссертации были развиты идеи, использованные в §1 г/. 1 при расчете волноводного КОР. При этом оказалось возможным, в частности, учесть омические потери в торцевых стенках резонатора и излучение из целей в-зеркале (рис. 2). Отметим, что в рассматриваемом случае волноводом является,радиальная линия, образованная плоскостями zm£D.

Поле собственной: колебания рассматриваемой структуры аппроксимировано линейной комбинацией собственных волн радиальной линии. Полагай, что на стенках резонатора вглалнены условия (3), с помощью метода Гвлеркина получено уравнение, определяющее комплексную частоту собственных колебания. Однако непосредственное решение данного трансцендентного уравнения затруднительно, поскольку оно в рассматриваемом диапазоне параметров задачи имеет корни, расположенные весьма близко друг к другу. Оказалось, что при kR > 1 можно получить квазиоптическую аппроксимацию исходной системы — разложение по малому параметру D/R. Полученное уравнение преобразуется к линейной алгебраической задаче на собственные значения:

Sb-ГЬ, b-(b[-\...,b$Am).....4m))T. (4)

где Г — собственное значение, Ь :— собственный вектор, посредством которого определяются коэффициенты разложения AW, .ДМ полей собственных колебаний (здесь и далее символом Т обозначена операция транспонирования), рМ» j4ra> — нормировочные коэффициенты. Преимущество данного уравнения перед исходным заключается в том, что собственные значения Г существенно лучше разделены для.больших значений к, поэтому для решения (4) можно применять хорошо разработанную технику решения линейных алгебраических задач на собственные значения. По существу, уравнение (4) определяет не сами частоты, а их сдвиг относительно некоторых больших величии.

Матрица S имеет следующую структуру:

S { St~> K.sw }'Kt W3 4- Wi' 1 + ИУ (5)

W\ - кЩ, Wj-kDtine, Wi-Cime.swe-iJi-pißiR1,

где p — азимутальный индекс собственного колебания. Отметим, что при анализе КОБР могут быть введены безразмерные параметры ff m kD2/2R*m9 к Q — iy-2Rs\a29/Ro, аналогичные параметрам си д соответственно.

Волновое число собственного колебания определяется соотношением

, . !п Г kR - +г-г-т, " sin в

где — уй корень уравнения " 0. Система собственных функций

КОБР может быть условно разделена на две группы. Для первой группы мы имеем » (дЕ моды) и для второй группы — |Я,| > (<?// моды). При /Ьт2<?/[Я0(С| + 81П 0)1 = а « 1, матрицы 8(""> и Э*"") малы, и в нулевом приближении задача на собственные значения (4) может быть сведена к двум независимым уравнениям:

7lxS(e)bW - pWjjW, 7J,S(,n)b(m) - r("»>b(m>.

(7)

|Er(*)/bV(0)|

t.o

0.5

(а) Д

10"s

0.5

z/ü

1.0

Рисунок 3: а) Распределение поля основной qE■моды бочкообразного резонатора, б) Потери qE-мод (крестики) и цН-мод (кружки) с различными вертикальными индексами I.

Гибридизация собственных колебаний существенно изменяет распределение qE моды. На рис. 3,а показано распределение компоненты поля Ег на зеркале для основной qE моды (1 = I), рассчитанное пня различных значений а при AÍ - 10, Q т 0. Черными кружками показано предельное (для "бесконечного" зеркала) распределение поля, полученное в скалярном приближении [2, 30]. Су щественным для практического использования КОБР результатом является то, что качественный вид спектра qE и qll мод существенно различен. На рис. 3,6 приведены значения Л, соответствующие qE модам (крестики) и qll модам (кружки) с различными поперечными индексами I. Как видно из рисунка, омические потери в КОБР обладают селективными свойствами только по отношению к qE модам Спектр этих колебаний является квазиразреженным — его начальный участок выглядит также, как и у открытых систем. Подробнее это общее свойство полноводных КОР будет рассмотрено в §4. Развитая методика позволяет

■рассматривать резонаторы более сложной структуры, например резонаторы с однородными щелями, расположенными вблизи верхней и нижней боковых стенок (рис. 2,в). Граничные условия на щелях при этом записываются в виде импеданс-ных условий с некоторым эффективным импедансом. Показано, что излучение через боковые щели в зеркале КОБР приводит х разрежению спектра qH мод.

Полученное в §1 интегральное уравнение, описывающее собственные колебания волноводного КОР, решалось методом коллокации. Метод коллокации позволяет, избавившись от необходимости численного интегрирования, существенно сократить вычислительные затраты. Однако, как известно [31], сходимость • метода коллокации существенно зависит от расположения узлов, в которых производится сшивание решения. В §3 первой главы диссертации, на основании исследования асимптотики базисных функций, предлагается алгоритм выбора коллокационных узлов, обеспечивающий сходимость решения. Метод апробирован на примере решения задачи о расчете двухмерной системы — резонатора с цилиндрическими »зеркалами и расположенным внутри плоским сверхразмерным волноводом, на стенках которого поля удовлетворяют имледансным граничным условиям. Характерные зависимости, иллюстрирующие основные свойства исследуемой системы, представлены на рис. 1,6. Важным свойством волноводных КОР является то, что параметр IV, характеризующий омические потери, не является малым. Это приводит к существенному изменению модового состава поля в резонаторе (по сравнению с идеально проводящей структурой); коэффициент разложения соответствующий сильно затухающей квазк-ТЕМ моде, быстро уменьшается с ростом IV'в 11е IV — данная мода "исключается" из разложения а общие потери убывают. Очевидно, что традиционный метод возмущений, пригодный для малых V/' (или на низких частотах) при № ~ 1 приводит к совершенно неверному результату.

Зависимости, приведенные на рис. 1,6, являются типичными для волноводных резонаторов; физические процессы, обусловливающие их вид, определяют механизм резрежекия спектра собственных колебаний в волноводном КОР. Данный вопрос подробно рассмотрен в §4. Показано, что в волноводном резонаторе с плоскими зеркалами потери за проход определяются соотношением |Гт|'иехр(-И^7с) при т > И" и — |Гга| и ехр(-тгт2/8И^'с) при т< (здесь т — поперечный индекс колебания). Отметим, «по в последнем случае при V/' ш у/с/0 (0 и 0.824) зависимость от поперечного индекса такая же, как и в открытом резонаторе с плоскими зеркалами; в этом случае омические потери приводят к такому же разрежению спектра в закрытой системе, • как и в открытом резонаторе с радиационными потерями. Таким образом, для колебаний, парциальные лучи которых падают на велноводнуто стенку под углами меньшими брюстеровского, имеет место разрежение спектра. Для этих мод омические потери в,стенках "эквивалентны" излучению в свободное пространство в открытых системах.

Качественно сходный вид имеет и спектр КОР с неплоскими зеркалами. На рис. 4,6 показано "движение" - комплексных собственных значений Г для первых

Рисунок 4: а) Геометрия задачи, б) Зависимость Г от д для колебаний в волноводном резонаторе

трех мод резонатора при изменении параметра 5 от -1 до I, Кружками отмечены значения Г при д"~ 1/2, 0, н 1/2. Стрелками показано направление возрастания параметра д. Для сравнения, на рис. 4,6 крестиками показаны собственные значения уравнения, описывающего колебания п открытом резонаторе, вычисленные при д " 0. Отметим, что собственные значения Гт при т» 1 рас положены на окружности; радиус этой окружности при |1Г/с| <С 1 определяется выражением |Г| ™ <,х|>(-1У'/с) (внутренняя штриховая окружность на рис. 4,6). поскольку для мод с большими поперечными индексами кривизна зеркала оказывает несущественное влияние на потери. Приведенные результаты показывают, что в рассмотренном предельно(. случае "пашой" экранировки КОР спектр собственных колебаний является "квазиразреженным". Часть колебаний, определяемая величиной параметра IV, принадлежит разреженной части спектра; расположение собственных частот этих колебаний на комплексной плоскости выглядит также, как и у открытой системы. Остальные колебания обладают приблизительно одинаковыми потерями.

Во второй главе исследованы вопросы взаимодействия электронных пучков с полями квазиоптических структур, в частности, в резонаторах, используемых в ЛСЭ. Идея о возможности представления КОР в виде комбинации некоторой регулярной структуры, нагруженной на то или иное нерегулярное устройство, получила дальнейшее развитие в данной главе, в которой развита методика расчета квазиоптических систем, атектромапштные поля которых формируются при взаимодействии с электронными потоками. Во многих практически интересных случаях взаимодействие осуществляется в регулярной части системы и это д.. л о возможность при создании методов расчета опираться на достаточно подробно разработанную теорию возбуждения регулярных структур. В §1 при-

•ведены методика и результаты расчета взаимодействия электронного пучка с полем электромагнитной волны в лазере на свободных электронах, оптической системой которого является открытый волноводный резонатор. В данном разделе диссертации методика расчета, развитая в первой главе для анализа "холодных" квазиоптических систем обобщается применительно к КОР с электронными пучками. Рассматриваемый подход позволяет самосогласованным образом учесть влияние взаимодействия пучка с полем на поперечную структуру собственных колебаний. Показано, что в линейном приближении взаимодействие с электронным пучком приводит к формированию собственных колебаний КОР. Такие колебания описываются уравнением (1) причем для ЛСЭ со спиральным ондулятором матрица Т преобразования Ь(^) от плоскости 1? =* -1 к плоскости д ■= 1 дается выражением

Г,.„ = ехр [(^ - з/)Дт) - Ф,]} [*,,„(!) + ¿ФпЛ,.п+2л(1) - Ф*Х,.„+4*(1)] , .»Ч = О./Д, Ф, - 2(к - д2Д/£» + Ло - *«)£>« - ф - 2<7,2Дт,, Ао - 2л■//„, к. = а»/^, (8) где Х(с) ■= ехр (сМ) — матрицант системы ¿у/с£« = Му}

V М<°) О М<3) ) ' р> ' а' Ч|То»о

В выражениях (8) и (9) ь± и гц — соответственно поперечная и продольная компонента скорости электронов, движущихся в периодическом (с периодом !а) поле спирального ондулятора, /о — полный ток пучка, /А = тпег'/|е| ез 17 • 103Л.

Для малых ц, т.е. фактически, при малых коэффициентах усиления, ограничиваясь членами первого порядка по /¡, можно получить: Т'1' = I + /А', где

_ ехр[->(Ф, + Ф„)/2]

ехр(«Ф|) — 1 — ¿Ф) ехр(г'Ф„) — 1 — гФ„

ф?

(10)

Абсолютная величина Г характеризует усиление (ослабление) электромагнитной волны в резонаторе а изменение arg Г — электронную перестройку частоты. При ведены результаты расчетов полей и потерь (инкрементов) собственных колебаний для резонаторов, характеризуемых различными значениями безразмерных параметров. В §2 приведены методика и результаты расчета стационарных колебаний в лазере на свободных электронах с волноводным резонатором. Самосогласованная система нелинейных уравнений, учитывающая нефиксированную поперечную структуру поля, для расчета установившихся колебаний в ЛСЭ с волноводным резонатором имеет вид

. ВЦ,,.™*-,,. ägffl-^;

Г2ЛГ-1 1 I У

I £ Ь„О?)ехр[1(Ф„0-¥>о- 4Vo,»»))]j. -/ exp[t(po + v(Vo,i>))]<fo>. (И)

Исследовано влияние резонансной системы на установившиеся колебания. Показано, что межтиповая связь колебаний приводит к сйльной ависимости характеристик лазера на свободных электронах от параметров электродинамической системы.

• Результаты расчетов, представленные п §1 и §2 второй главы представляют интерес, в частности, с точки зрения применимости методов, использующих различные упрощающие предположения, например, не учитывающих влияние электронного пучка на поперечную структуру поля (32, 33, 34, 35]. Необходимость такого учета является одной из особенностей расчета систем с радиационными потерями. Расчеты показали, что существуют области параметров КОР, в которых происходит весьма сильное изменение потерь ,резонатора, приводящее к появлению своеобразной неустойчивости: сравнительно малое изменение геометрических размеров (или параметров, характеризующих а1ектронный пучок), может приводить к исчезновению генерации.

Как уже отмечалось, одной из существенных особенностей квазиоптических систем является сильная неоднородность поля вдоль одной из выделенных координат. Например, характерный масштаб изменения поля вдоль оси г волно-водного КОГ сравним с длиной волны, в КОБР поле быстро меняется вдоль у>. В ряде случаев это приводит к некоторым особенностям при взаимодействии поля собственного колебания с а1ектронным пучком. Примеры, иллюстрирующие это положение рассмотрены в §3 и §4 второй главы. В §3 рассмотрено излучение релятивистских ааектронов, движущихся по круговым орбитам в открытом резонаторе, собственное колебание которого является волной шепчущей галереи. Обсуждаются некоторые особенности практической реализации генератора, основанного на данном механизме взаимодействия. В частности, показано, что сильная радиальная неоднородность поли волны шепчущей галереи приводит к резкой зависимости коэффициента усиления, и, следовательно, пускового тока от ширины пучка. В §4 рассмотрено излучение апектронов, движущихся по окружности в папе открытого .'ркального резонатора. Показано, что использование двухсекционного прибора, в котором реализован клистронный принцип группировки, позволяет, в принципе, достичь высокой эффективности взаимодействия электронов с полем. Тем не менее, также, как и в задаче, рассмотренной в §3, в данной системе разброс электронов по направлениям влета в пространство взаимодействия существенно снижает коэффициент усиления.

Продольная структура поля КОР, используемого, например, в ЛСЭ, существенно зависит от протяженности поля в поперечном направлении; изменение последней приводит к изменению условий взаимодействия электронного пучка с полем электромагнитгой волны. В то ;.;е время, уменьшение нормы собственного колебания желательно с точки зрения увеличения коэффициента усиления прибора. В §5 показано, что данные соображения дают возможность в некоторых случаях указать оптимальную геометрию КОР. Показано, например, что оптимальный двухзеркальный резонатор ЛСЭ определен параметром д « -0.6.

Разработка электро-вакуумных приборов (ЭВП) с обычными "закрытыми" за-

медляющими системами I. резонаторами встречает значительные затруднения при переходе в миллиметровый диапазон, особенно его коротковолновую часть, из-за уменьшения размеров пространства взаимодействия электронного пучка и электромагнитного поля. Существенное увеличение размеров пространства взаимодействия возможно при использовании открытых электродинамических систем. В §6 и §7 приведены результаты исследования усилителя О-типа с открытой квазиоптической волноводной структурой. Данная система в значительной степени свободна от недостатков известных в настоящее время электрон но- волновых систем, и, в то же время, обладает присущими этим системам достоинствами.

Рисунок 5: Схема многосекционного усилителя с дифракционной селекцией

В §б исследована возможность усиления электромагнитной волны при резонансном взаимодействии электронного пуг I с полем периодической структуры, расположенной внутри волноводной квазиоптической линии. При этом, если число волноводных секций достаточно велико, структура выходного излучения определяется полем основной моды. §7 посвящен исследованию процесса взаимодействия электронного пучка и поля квазиоптической линии с учетом влияния на формирование установившейся структуры поля как дифракционных эффектов, так и энергообмена с электронным пучком. Для описания процесса усиления используется подход, развитый в §1,2 гл. 2. Внутри отрезков волновода взаимодействие электронного пучка с полем, имеющим нефиксированную поперечную и продольную структуру поля, описывается системой самосогласованных уравнений:

(12)

Решение системы (12) можно, представить в виде:

у(*»)'-Х(^)у(0), ¡, = (7,¿//¿Л,С?,...,С?,), (13)

где X(i»0

= схр(т?цМ), M =

(12) определен выраже! иями:

0 1 0 0 0 \

-<хг 0 -»F, —t'Fî . • ->FM

-Т, О -»3| 0 0

-т2 о 0 -1S2 . 0

-Тд, 0 0 0 • -¿Злг /

(14)

В соотношениях (12), (13) и (14) величина I пропорциональна продольной составляющей тока пучка, в — параметр пространственного заряда, векторы определяют амплитуды пространственных гармоник в m-ой волне, а векторы Fm описывают их взаимное возбрхдение. Векторы Ym задают эффективность взаимодействия, a Sm — матрица расстроек гармоник в m-ой волне. .

Выражение (13) описывает линейную стадию эволюции атектромагнитного поля и тока в волноводе, внутри которого электронный поток взаимодействует с пространственными гармониками периодической замедляющей структуры, причем это взаимодействие сопровождается модуляцией тока пучка. Система соотношений, связывающих ток и поле ira входах к-й и к - 1-й секций, может быть записана в матричной форме

yW(0) = Ту^-^(О).

(15)

Матрица Т выражается через матрицу X и матрицу Б, описывающую распространение электромагнитной волны между полноводными секциями. В приближении малого коэффициента усиления для матрицы X получены явные аналитические выражения.

Соотношение (15) является исходным соотношением для расчета эволюции входного сигнала в многосекционном усилителе. Данный подход позволяет рассчитывать как коэффициент усиления в системе, так и распределение поля в выходной секции усилителя, по заданному входному полю. Приведенные в диссертации результаты позволяют указать диапазон параметров системы, в котором может быть реализован режим "дифракционной стабилизации" выходного излучения.

В §8 рассмотрены эффекты сверхизлучения электронов-осцилляторов, возникающие как под действием ближнего поля самих электронов, так и при фазировке "дальним" полем — полем собственного колебания резонатора, в котором могут находиться электронные сгустки. Необходимо отметить, что рассмотрено излучение электронов-осцилляторов, локализованных в малых объемах. В работах Н.С.Гинзбурга с соавторами (36, 37| рассмотрен другой интересный для практики случай — излучение из протяженных систем.

В третьей главе описываются эффекты взаимодействия колебаний в квазиоптических резонаторах. В первых двух главах диссертации приведена методика расчета и исследованы колебания в различных квазиоптических системах. Следуя

традиции, мы должны исследовать устойчивость полученных решений. Неустойчивость в резонансных системах может быть связана с вырождением колебаний: в этом случае малое изменение геометрии резонатора приводит к сильному изменению характеристик колебаний. Вообще говоря, неустойчивость колебаний при деформации поверхности резонатора может возникать по разным причинам: либо как следствие связи двух колебаний, имеющих различную добротность, или из-за "разрушения" каустик колебания (как, например, при определенных деформациях вблизи концентрической, плоской или конфокальной геометрий). В частности, в литературе подробно исследованы неустойчивые резонаторы со слабо различающимися радиусами кривизны зеркал. В такой системе, при геометрии, близкой к конфокальной, каустики колебаний исчезают и структура поля определяется дифракцией на краях зеркал. В реальной экспериментальной установке очень часто обе эти причины вносят вклад в неустойчивость, однако в ряде случаев некоторые экспериментальные приемы позволяют почти полностью исключить неустойчивость, связанную с разрушением каустик и неустойчивость систем будет определяться явлениями взаимодействия колебаний, исследованию которых посвящена данная глава диссертации.

В §1 проведен численный анализ характеристик колебаний в двухмерных квазиоптических системах вблизи точек вырождения частот. Рассмотрены колебания в волноводном резонаторе и в открытой двухзеркальной системе. Были исследованы эффекты, связанные с такими изменениями геометрии, при которых резонатор остается симметричным относительно плоскости ХУ (одинаковые зеркала). Отметим, что в имеющейся литературе (см. напр. [38]) исследовано взаимодействие колебаний в системах, размеры которых составляют несколько длин волн, между тем, размеры КОР, используемых в сверхвысокочастотной электронике, часто составляют несколько сотен и даже тысяч длин волн. Поэтому, в настоящей работе исследована возможность численного моделирования взаимодействия колебаний в квазиоптических системах, свободных от этого ограничения. Сформулированы условия, которым должна удовлетворять форма зеркала для применимости параксиального приближения.

Как показывают расчеты, для типичных значений параметров КОР достаточно близкими (на комплексной плоскости к ш к' + {к") могут оказаться частоты двух собственных колебаний (см. рис. 4,6). В этом случае приближенное уравнение для собственного значения Г возмущенной системы можно, записать в виде

е5 - п2 - тг, в - [1пГ - - (во + 0,)], п - \ (во - е2), (16)

где

п

ехр(.-е,)-Г,*-Г,+ // /,(0/|(МК(я)(М|)Л<"|, ' "0,2 (17)

-и

— собственные значения, даваемые формулами первого порядка теории возмуще-

ний, а

Т = (ГоГ2)-,/2// m)h{U)I&\l,U)dUdt (18)

-i-i

— коэффициент межтиповой связи, характеризующий взаимное возбуждение колебаний токами, наведенными в стенках волновода. В соотношениях (17) и (18) ядро K^(t,tt) определено выражением

tf t,) = exp[-ie(v>(«) + p(<i ))]G«(f, t,, 1,-1), (19)

где G(p)(<,<i, 1,-1) — малая (при с» 1) добавка (обусловленная влиянием стенок волновода) к функции Грина в свободном пространстве. При выводе (17) и (18) функция Грина волновода с импедансными стенками была представлена в виде

GM(MiA0i) = tf'}(MbM.) + G(r,(M.A<M. (20)

где (?(j>(£,ti,0,0|) — функция Грина параболического уравнения, в свободном пространстве.

Уравнение (16) определяет зависимость собственной частоты системы от величины какого либо физического параметра, характеризующего резонатор. Мы рассматриваем те случаи, когда изменение этого параметра приводит к перестройке комплексных частот парциальных систем. Качественный вид кривых перестройки существенно зависит от соотношения входящих в (16) параметров П и Т; формулы (17), (18) дают связь этих величин с геометрией системы. Анализ показывает, что а типичных для практики случаях декременты взаимодействующих колебаний сильно различаются, так что выполняется условие

|Im(*o-*2)|L»|T|. (21)

В этом случае имеет место так называемая слабая связь двух колебаний. При совпадении действительных значений двух комплексных частот колебаний (Re fco - Не ki) не происходит существенного изменения структуры колебдния (так как связанность систем мала), причем изменяется в основном декремент добротного колебания. Отметим, что приведенные соображения являются достаточно грубыми, так как в области связывания мод в рассматриваемом резонаторе происходит довольно сильное изменение парциальных систем (т.е. всех коэффициентов уравнения (16)); поэтому, например, в малой окрестности конфокальной геометрии может происходить резкое увеличение добротности колебаний (см. ниже).

Рассмотрим некоторые наиболее характерные результаты, иллюстрирующие данный круг явлений. На рис. 6,а приведены зависимости величины Л =-201g |Г|, характеризующей потери в волноводном резонаторе ог параметра д, построенные при различных значениях с. Как видно из рисунка, при д ~ 0 происходит существенное (в несколько раз) увеличение потерь основного колебания.

(а)

л

(б)

Ю-1

1,5 ■ 10~2

5-Ю"1

10"5

О

-1 -0.5 0 0 5 9 1

-1 -0.5 0

0.5 д 1

Рисунок 6: а) Зависимость Л от д при W'm2. Кривые 1 - 4 при с~8, с »9, с - 10, с-11. б) Зависимость 8у> от д. Кривые I - 3 при (»1/32, (»1/16,

Развитый в диссертации подход был использован для исследования влияния взаимодействия колебаний на аберрационные поправки к собственной частоте открытого резонатора. В приближении бесконечной апертуры расчет аберрационных поправок, связанных с членом четвертого порядка по I может быть проведен с использованием различных асимптотических методов (18, 39, 40). Рассмотрим, например, открытый КОР, в котором отклонение формы зеркала от параболической есть (1*а2/Ь. На рис. 6,6 приведены результаты численного расчета величины 6<р =» — а — агйГ для основной моды (т ~ 0). Методика, развитая в работе ¡18) при а2/Ьг <С 1 дает: |£/[с(1 - д2)]. Результаты расчета по этой приближенной формуле показаны на рис. 6,6 хружками. Штриховой линией на рис. 6,6 показаны результаты расчета по методике работы [41]. Как видно из рисунка, результаты численного расчета и статьи [18] хорошо согласуются в широком диапазоне значений параметров, за исключением относительно небольшой области, в которрй происходит взаимодействие колебаний, а также в окрестностях точек д = ±1. По видимому, в этой области параметров плохо работает использованный в [18] вариант метода, возмущений.

В §2 исследовано влияние электронного пучка на межтиповум связь колебаний в открытом резонаторе лазера на свободных электронах. Получено условие, при выполнении которого различные моды открытого резонатора взаимодействуют с электронным пучком независимо друг от друга. Показано, что если в резонатора существуют собственные колебания с бли-кими частотами, можно наблюди, ь их взаимодействие, причем связь колебаний зависит от полного тока пучка. Данное обстоятельство проиллюстрировано результатами расчетов, показанными на рис. 7,а, на котором приведены зависимости 2(|Гт| - 1) ог ¡1, вычисленные для рассматриваемых трех типов собственных колебаний. Из рисунка видно, что для

¿-1/8.

изолированного колебания 3 изменение 2(|Гт|-1) действительно практически про порционально ц. Поскольку собственные значения, соответствующие колебаниям 1 и 2 близки, они не могут, вообще говоря, считаться изолированными и указан ная выше пропорциональность нарушается. В данном случае величина ¡1 играет роль расстройки собственных колебаний, а ход зависимостей 2(|Гт| - 1) и а^Гга от р (см. рис. 7,6) аналогичен зависимости декрементов и частот собственных колебаний в системе из двух связанных контуров. Отметим, что увеличение /1 также приводит к гибридизации колебаний и соответствующему преобразованию распределения полей.

В диссертации показано, что для изолированных колебаний собственные значения Г в системе с электронным пучком можно получить, используя универсальное соотношение между спонтанным и индуцированным излучением [42]. Условие

|Г, — Гг| » 2fi

(bf .Ь1°>)(ЬМ°>)

1/2

(22)

может рассматриваться, как одно из критериев применимости полученного в [42] выражения для спонтанного и индуцированного излучения. В том случае, когда условие (22) не выполнено, необходимо учитывать взаимодействие различных типов колебаний резонатора. В диссертации дано обобщение соотношения между спонтанным и индуцированным излучением, применимое и для неизолированных колебаний.

. -о2

(б)

-1 агеГ"

-1.15

0.05

0.1

0.05

0.1 fi 0.15

Рисунок 7: Зависимость 2(|Гт| ~ 1) (а) и arglV, сгвенных колебаний резонатора, с *» 8,3,.

(б) от ц для различных соб-

В четвертой главе приводятся результаты исследования влияния геометрических неоднородностей на собственные колебания в квазиоптических' системах. Реальная геометрия резонаторов обычно отличается ог идеальной из-за различных неоднородностей (деформаций) стенок, которые возникают, например, при их изготовлении. Эти неоднородности стенок могут существенно изменять резонансные

о

характеристики колебаний. Анализ допусков, т.е. оценка неоднородностей, при которых характеристики колебаний остаются в допустимых пределах, особенно важен для разработки рекомендаций по практическому конструированию частично экранированных квазиоптических систем. В таких системах, как известно, спектр колебаний может быть густым и из-за деформаций различные колебания достаточно легко связываются друг с другом.

Необходимо отметить, что влиянием на собственные колебания открытых резонаторов различного рода возмущений (перекос зеркал, отклонение поверхности зеркала от заданной формы) стали интересоваться практически сразу же после появления первых работ по расчету ОР. Имеющиеся в многочисленной литературе результаты показывают, что зависимость потерь в двухзеркальных открытых резонаторах от какого либо параметра, характеризующего возмущение, достаточно плавная (см. напр. [2]). В частично экранированных системах межтиповая связь колебаний в КОР может приводить к качественно иному виду подобных зависимостей.

В §1 рассмотрено влияние различных неоднородностей на характеристики собственных колебаний на примере расчета собственных мод бочкообразного резонатора. Основное внимание уделялось влиянию неоднородностей на величину добротности этот фактор определяет, в основном, условия возбуждения электронных генераторов, в которых может использоваться бочкообразный резонатор. Для анализа рассматриваемой задачи методика, развитая в §2 гл. I была модифицирована таким образом, чтобы с ее помощью можно было рассчитывать несимметричные структуры. На рис. 8,а показаны некоторые типичные деформации бокового зеркала, рассмотренные в §1.

Расчеты показывают, что геометрические деформации приводят к передаче энергии от основной моды к паразитным. • В большинстве случаев паразитная мода имеет большие омические потери, и, следовательно, указанное выше явление приводит к относительно плавному уменьшению добротности основного колебания при возрастании деформаций. Однако существуют узкие области, в которых происходит связывание колебаний и добротность существенно снижается при относительно небольшом изменении параметра, характеризующего деформацию зеркала.

На рис. 8,6 показаны зависимости величины (¿/(}о (здесь и далее (¿о -- добротность невозмущенного резонатора) для цН моды от относительной амплитуды возмущения Деформация зеркала определялась в рассматриваемом случае выражением £(г) ■= (г4/202Ло. Сплошной линией на рис. 8,6 показаны результаты, полученные для основной моды (/ = 1), а штриховой аналогичные зависимости, вычисленные для мод высшего типа (I = 2).

Для рассматриваемых систем мы сталкиваемся со случаем так называемой "сильной" связи, когда М- - 7.54 (кривая 4); зависимости для добротностей в этом случае пересекаются. В остальных случаях связь слабая: вблизи личений £ при которых происходит падение добротности основного колебания, добротность

(а)

2=0 | ,. 2 .ОД

с'

Г

3

т

г=-0

-0.15 . -0.10 -0.05 £ 0.00

Рисунок 8: а) Форма некоторых типичных деформаций зеркала (сплошная линия показывает поверхность зеркала невозмущенного КОБР, а штриховая — деформированного. б) Зависимости (¿/(}о для дН-моды от Кривые 1 — 4 при Я -8,98, Л/" «7.82, Л"-7.80 и N -7.54.

колебания высшего типа, связывающегося с основным, возрастает. Отметим одну интересную особенность рассматриваемого примера. Обычно считается, что при слабой связи (точнее связанности), добротность основной моды падает незначительно. В данном случае существует область-параметров, когда при слабой связи (например, при 7.80) величина основной моды уменьшается на существенно большую величину, чем при сильной связи (при Я - 7.54). Этот эффект зависит от величины добротности второй моды. Отметим также, что для случая сильной связи при увеличении (по абсолютной величине) параметра £ от О основк .я МЩГ плавно трансформируется во вторую моду (и обратно). Частоты МШГ при этом меняются как на графике Вина, поэтому в области пересечения кривых (?(£) моды можно нумеровать по разному. На рис. 8 мы считаем, что при всех ( у МШГ сохраняются те индексы которые были им присвоены

при £-0 (т.е. для невырожденной геометрии).

В §2 приведен модифицированный вариант изложенной ранее методики расчета КОБР. В то время как в §1 были рассмотрены однородные нерегулярности резонатора, которые не зависят от азимутального угла, в §2 исследован общий случай возмущений. Для некоторого класса деформаций получены приближенные соотношения. В общем случае, применяя метод Галеркина получаем алгебраическую задачу на собственные значения типа (7) (подробнее см. в гл. 1 §2); матрица 8(т) и вектор-столбец Ь(т) определены соотношениями

¿i*. VíT.....An,m^pt\• • •.

AmVPF.....Aorv/pF*.....,

f g-Aí,-Af g-M,-Trti ' g-AÍ,M ^

g(m) ш gm»—&f ^ gm.mj gm,A/

g MЫ gAÍ,m f ^ g АГ,ЛХ

_ exp{-il(m + m,)0 + (g\ + )/4Af]} ^

(24)

* y/PnVm

*J¡ cos{(m mi )<fi— 2ф(<р, 1>)J cos(ynt?) cos(g„, ■d )épdd.

» i

(2S)

Расчеты показали, что деформации могут также приводить к сильному изменению распределения поля. На рис. 9 приведены результаты расчета распределения поля вблизи каустики для деформаций вида: б(у>,*)в{Д2*гсоз2у>//)г. В рассматриваемом случае кривизна зеркала зависит от угла <р. Вследствие этого, размеры внешней каустики относительно сильно зависят от <р и это обусловливает существенную азимутальную неоднородность паля вблизи каустики.

(а)

(б) 1,0

IEJ

0.6

-i

/ 7Т I

Рисунок 9: а) Зависимость f£y| вблизи кау тики от парамь.ра t? при ( т 1/16 6) Зависимость \EV\ вблизи каустики т ц> для различных*^ при Л/"« 10, £7»0,

Очень часто раль возмущающих неоднородностей играют различного рода конструктивные элементы КОР (устройства связи, ввода и вывода электронного

2S

пучка, и т.п.) В §3 приведены результаты решения задачи о собственных колебаниях КОБР, в боковой стенке которого имеется щелевидное отверстие. Тадие отверстия имеются в реальных конструкциях КОР и предназначены да я вывода излучения или для ввода электронного пучка в пространство взаимодействия. В экранированных КОР влияние отверстий связи может приводить к весьма заметному искажению структуры поля. Численное моделирование КОБР со щелевидным отверстием показало, что такое вредное явление может быть ослаблено, если каким либо образом "отфильтровать" высшие типы колебаний. Подобная "фильтрация" на практике может быть осуществлена посредством нанесения поглощающего покрытия либо (как показано на рис. 10,а) — прорезанием дополнительных боковых щелей на части зеркала КОБР. На рис. 10,6 показана характерная зависимость добротности резонатора от размера щели; конфигурация щели показана в верхней части рисунка.

О 10 Ь2М0 20

Рисунок 10: а) Геометрия задачи, б) Зависимость добротности от размера щели.

В пятой заключительной главе диссертации, рассмотрены методики расчета и результаты численного моделирования систем со сложными излучающими структурами (ИС). Как уже говорилось, предложенная ранее модельная структура — волноводный КОР — достаточно универсальна и может быть применена для исследования разнообразных реальных устройств. Однако в ряде случаев существенные для практики явления могут быть изучены только на более сложных моделях. В §1 рассчитаны собственные волны экранированной диафрагменной линии. Как показано в работе (43), такие квазиоптические структуры обладают определенными преимуществами при их использовании в оптической системе лазера на свободных электронах. Отметим, что свойства полубесконечных структур исследованы довольно давно [44]. • Развитая методика расчета позволяет рассмо-

треть влияние на свойства собственных волн экрана, приводящего к дополнительному отражению волн, распространяющихся в области между диафрагмами. Как показывают расчеты, при этом имеют место различного рода интерференционные эффекты, приводящие к тому, что потери в гребенчатой структуре конечной глубины могут заметно превосходить затухание в полубесконечной структуре.

В §2 описана методика расчета колебаний в КОР, которая эффективна для более широкого круга задач, чем традиционный метод интегральных уравнений. Методика основана на методах поперечных сечений и обобщенной матрицы рассеяния. Внутренняя область I резонатора рассматривается как сверхразмерный волновод поперечное сечение (рис. И,а) которого задается соотношением z - ±[L — if>(t)/2k]. Поля в каждом сечении < ** const данной области разлагаются по системе волноводных мод. Для коэффициентов разложения получена система линейных обыкновенных дифференциальных уравнений:

JP(i) - U(t)P(t) + V(t)Q(<), - P(t),

dt

(26)

где Р(0 = (P-M{t),.... Pm(£).....Pu(t))f Q(t) - (0-m(0. • • •. Qm(t), • ■ ■, <?A/(t))r Элементы матриц U(t) и V(t) определены соотношениями:

I О пшт,

Vm»(t)

\ 2сфЦ) + 4хст + ^ (V-'(t))2 - 2ср, п-т,

(27)

(28)

причем параметр р связан с частотой собственного колебания соотношением 2кЬ = тг(2д + 1) +р.

(б) A2/Ai

10'

10*

10

-1.0 -0.5 -0.0 0.5 1.0 д

Рисунок 11: а) Геометрия задачи, б) Зависимость Л2/Л1 от д при с »2,5

На концах этого волновода, где происходят трансформация и излучение волн, поставлены граничные условия импедансного типа:

P(1)-ZQ(1)=0. (29)

Матрицу Z можно определить из решения вспомогательной задачи о рассеянии волноводных мод, набегающих на границу областей II и III. Пусть S - матрица рассеяния волноводных мод в плоскости у =■ а + Д. Переходя к пределу Д —» fО получаем, что матрица Z определена соотношением

Z = i (z - Z<°>) , Z = H (I - S) (I + S)-', H - di ag(^M, ...,Vam.....vbii ), (30)

где Z^n"iUm,n(l)/2, sm = ^J2(p — ф(1) — 2-ктп).

Для иллюстрации данного подхода рассмотрен ряд примеров. В частности, рассчитаны собственные колебания резонатора, у которого излучение происходит в секторный волновод. Отметим, что расчет такой системы методом интегральных уравнений достаточно сложен, так как эта задача является сингулярной (зеркала бесконечны). Расчеты показали, что в КОР с ИС в виде секторного волновода можно достичь значительно лучшей фильтрации мод [2] по сравнению с обычными резонаторами с цилиндрическими зеркалами, что позволяет подашггь нежелательные явления, связанные со взаимодействием колебаний. На рис. 11,6 приведена зависимость отношения Л2/Л1 от параметра д, где Л] и Л2 характеризуют по терн первого я второго колебаний соответственно. Расчет проведен для КОР с вогнутыми зеркалами и секторным волноводом, у которого (4u2kL),/3 = 0.5. Для сравнения на рис. 11,6 штриховой кривой показана та же зависимость, построенная для открытого резонатора без секторного, волновода. Уменьшение с приводит тому, что каустика второго колебания в КОР выходит за пределы зеркала. Для такого колебания добротность в резонаторе с секторным волноводом существенно ниже, чем в обычном резонаторе с цилиндрическими зеркалами, так ■ как отражение волноводных мод от стыка с секторным волноводом существенно меньше, чем от открытого конца волновода [2]. В то же время, добротность колебаний, которые имеют каустику, увеличится, если связать обычный двухзеркальньш КОР с секторным волноводом. Вследствие этого при сравнительно малых значениях с спектр КОР с секторным волноводом оказывается более разреженным. При увеличении параметра с размеры каустики второго колебания могут стать меньше размеров зеркала; это приведет к ухудшению модовой селекции.

Важным достоинством рассмотренного метода является его универсальность по отношению к форме зеркала и виду излучающей структуры. Данный подход в ряде случаев более эффективен, чем известные; задача сводится к решению краевой задачи для системы обыкновенных дифференциальных уравнений, для решения которых в настоящее время разработаны достаточно надежные и эффективные алгоритмы. Метод может быть применен к трехмерным задачам, например, к расчету КОБР, для оптимизации ИС с целью создания КОР, обладающих сильной фильтрацией мод высших типов.

В Заключении перечислены основные результаты, полученные в диссертации, следующие из них выводы и положения, выносимые, на защиту..

Суммируя сказанное, отметим основные моменты диссертации:

— Развитая методика расчета квазиоптических систем позволяет самосогласованным образом рассчитывать потери^ инкременты, стартовые токи, КПД, в электронных приборах субмиллиметрового диапазона длин волн. Определен круг задач, в которых необходимо учитывать влияние электронного пучка на поперечную структуру поля собственного колебания и радиационные потери.

— Полная или частичная экранировка квазиоптических систем приводит к появлению областей, в которых существенное влияние оказывают процессы взаимодействия колебаний.

— В закрытых квазиоптических волноводных резонаторах частичное разрежение спектра собственных колебаний, может быть обусловлено омическими потерями. В ряде случаев может быть сделана аналитическая оценка 'числа мод, принадлежащих разреженной части спектра.

— Предложен новый метод расчета квазиоптических систем, обладающий существенно большей универсальностью, чем традиционные.

— В экранированных квазиоптических резонаторах аберрации зеркал могут приводить к появлению резких (резонансных) провалов добротности. Предложен ряд приемов, позволяющих подавить это вредное явление.

Основные результаты, выводы и положения, выносимые на защиту

1. Развита теория волноводных квазиоптических резонаторов в которой строго учтены омические потери и векторный характер решения. Показано, что волноводная вставка оказывает существенное влияние на характеристики резонаторных мод даже при сравнительно большом диаметре волновода или малой его длине. Связано это, главным образом, с появлент—.м межтиповой связи колебаний в резонаторе.

2. Исследованы колебания шепчущей галереи в бочкообразном резонаторе. Получено характеристическое уравнение в квазиоптическом приближении. Показано, что разрежение спектра собственных колебаний определяется величиной потерь на торцевых стенках и на зеркале. Геометрические "еодпорочности резонатора могут приводить к связыванию мод, причем паразитные колебания разрушают структуру рабочей моды. Это разрушение может быть

сведено к минимуму, если отфильтровать нежелательные типы колебаний используя щели в зеркалах или покрытие их поверхности тонкой поглощающей диэлектрической плепкой.

3. Омические потери в волноводах на высокпх частотах определяются отношением двух малых величин: поверхностного импеданса стенок волновода и отношения длины волны к поперечному размеру системы. В субмиллиметровом диапазоне длин волн этот параметр порядка единицы и известные результаты, полученные рзпее методом возмущений не применимы; например, в соответствие с точным решением, потери в квазиоптическом волноводе убывают при увеличении частоты пли поверхностного импеданса.

-4. В закрытом квазиоптическом резонаторе для колебаний определенного вида может иметь место частичное разрешение спектра собственных колебаний; оно связапо с тем, что для плоских волн, распространяющихся под малым углом к оси резонатора, смическпе потери обладают выраженной избирательностью,. фактически, такой se, как я потери па излучение в открытом резонаторе. Отлпчпз от открытого резонатора заключается в том, что число колебаний, для которых эта избирательность проявляется, _ ограничено величиной импеданса стеноз.

5. Построепа линейная слмосогллсогаппая теория взаимодействия электронного пучка, с поляют квзЗпоптнческого регопаторз, упитывающая влияние электронного пучка па поперечную структуру поля.

6. Получена стгстепз урн ¿гений, самосогласованно описывающая нелинейное взаимодействие поля с электретами з ргсопзторг ЛСЭ. Показано, что дпфракциоппые эффекты, привсдзщпе к взаимодействию типов колебаний в волпсзоднсм резопаторг, определяют, фактически, устойчивость генерации по бтяошетпо к гомепетш геометрии резонатора.

7. В еолповодном резопаторг с аяектрошшм пучком существует область параметров, s которой происходит сшгьпог изменение радиационных потерь резо-пат последнее прпводот к своеобразной неустойчивости, проявляющейся в том, что небольшое гамепепве геометрических параметров резонатора, или параметров, характеризующих аяектрснный пучок, может приводить к срыву геперацпп.

8. В результате взаимодействия атектронпого пучка с полями собственных колебаний КОР формируются позые собственные колебания системы, причем для изолированных резоиаторпмх мод воздействие электронного пучка приводит к сдвпгу собственной частоты, пропорциональному полному току, и к незначительному изменению структуры поля. Влияние пучка на колебания с близкими частотами приводит к их связыванию, при этом происходит гибридизация собственных функций, т.е. существенное искажение полей собственных „ мод; зависимость сдвига частоты от полного тока в этом случае более сложная, чем при взаимодействии с изолированным колебанием.

9. Последовательный учет эффектов взаимодействия колеианий в КОР позволяет получить обобщение соотношения, связывающего спонтанное и индуцированное излучение в квазиоптических резонаторах вблизи точки совладения частот.

10. Исследовано спонтанное и индуцированное излучение электронов, движущихся но окружности в поле колебания типа шепчущей галереи. Полученные результаты показывают, что взаимодействие электронов, движущихся по круговой орбите, с волной шепчущей галереи имеет ряд ценных свойств, однако при экспериментальной реализации необходимо учесть трудности, связанные с энергетическим разбросом и конечными размерами электронного пучка: требования к качеству пучка в рассматриваемом случае более жесткие, чем, например, в ЛСЭ.

11. Развита методика численного моделирования одномодовых усилителей с "дифракционной стабилизацией" типов волн. Установлено, что использование в качестве электродинамической системы периодической квазиоптической вол-новодной линии позволяет фиксировать структуру, поля вследствие более сильного высвечивания высших мод на дифракционном промежутке. Показано, что формирование поля собственного колебания в полноводной квазиоптической линии с электронным пучком обусловлено двумя факторами: излучением из дифракционных промежутков и взаимодействием с электронным пучком. Изменение этих величин позволяет получать приборы с заданными характеристиками, в частности, реализовать режим "дифракционной стабилизации" выходного излучения.

12. Рассчитаны характеристики собственных колебаний квазиоптических резонаторов вблизи точек вырождения частот. Результаты расчетов демонстрируют важность учета потерь при анализе рассмотренных задач. Омические потери в стенках волновода или излучение из открытой структуры "раздвигают" собственные частоты колебаний в комплексной плоскости. Показано, что для типичных параметров КОР при учете этих эффектов связь основного колебания с колебаниями высших типов становится слабой, так как различие их декрементов затухания оказывается существенно больше коэффициента связи. . .

13. Исследовано влияние различного типа неоднородностей поверхности зеркала на характеристики собственных колебаний бочкообразного резонатора. Показано, что возмущения приводят к изменению свойств собственных колебаний, например, они могут .увеличивать омические потери последних. Величина потерь зависит от величины, места и формы деформаций, распределения поля собственного колебания и его частоты.

14. Предложена методика расчета, позволяющая учесть влияние деформаций, зависящих от азимутального угла, на собственные колебания квазиоптического бочкообразного резонатора. Похазано, что деформации такого типа могут

приводить к существенному изменению распределения паля собственного ко лебания.

15. Тип взаимодействия колебаний (характерный вид зависимости собственной частоты и добротности вблизи точки совпадения частот) в квазиоптических резонаторах определяется степенью разреженности спектра собственных частот вытекающих (квазисобственных) колебаний. Взаимодействие колебаний существенно влияет па устойчивость мод по отношению к малым возмущениям геометрии резонатора.

16. Изучены собственные колебания бочкообразного резонатора с центральной щелью конечных размеров. Показало, что щель изменяет распределение поля основного колебания. Данное изменение может быть существенно уменьшено, если каким либо образом "подавить" высшие моды (например, с помощью дополнительных боковых щелей или поглощающего покрытия).

17. Предложен метод расчета квазиоптических систем со сложной формой области, в которую происходит излучение колебаний. Важным достоинством метода является его достаточная универсальность по отношению к форме зеркала и к виду излучающей структуры. Данный подход в ряде случаев более эффективен, чем известные; задача расчета колебаний в кпазиоптиче ском резонаторе сведена к решению краевой задачи для системы обыкновенных дифференциальных уравнений, для решения которых в настоящее время разработаны достаточно надежные и эффективные алгоритмы.

Список цитируемой литературы

[1] Кацспелепбаум Б.З. Квазиоптические методы формирования и передачи миллиметровых воли. — УФН, 1964, т. 83, №2, с. 81-105.

[2] Вайнштейн Л. А. Открытые резонаторы и открытые волноводы. — М.: Сов. радио, 1966.

[3] Вайнштейн Л.А., Лесик Н.И., Рожнеа А.Г., Трубсцкоа Д.И. Квазиоптические системы и их применение в сверхвысокочастотной электронике. — Лекции по электронике СВЧ и радиофизике (6-я зимняя школа-семинар инженеров). — Саратов: Изд-во Саратовского ун-та, 1983, кн. 3, с. 4-178.

[4] Прохоров AM. О молекулярном усилителе и генераторе на субмиллиметровых волнах. — ЖЭТФ, 1958, т. 34, №б, с. 1658-1659.

[5] Барчуков А.И., Прохоров A.M. Экспериментальное исследование дисковых резонаторов в миллиметровом диапазоне длин волн. — РЭ, 1959, т. 4, N*12, с. 2094-2095.

[6] Foi' A.G.f Li Т. Resonant modes in a masrr mtrrfcromelt'r. — Hrll .System Toclin. J. 1961, vol. 40, N=2, pp. 453-488.

[7J Вайнштейн Л.А. Дифракции в открытых резонаторах и открытых волноводах с плоскими зеркалами. — ЖТФ, 1964, т. 34, №2, с. 193-204.

[8] Вайнштейн Л.А. Открытые резонаторы с цилиндрическими зеркалами. — ЖТФ, 1964, т. 34, №2, с. 205-217.

[9] Булдырев B.C., Фрадкин Э.Е. Интегральные уравнения открытых резонаторов. — Оптика и спектроскопия, 1964, т. 17, NM, с. 583-596.

10] Бондаренко Н.Г., Галанов В.И. Некоторые вопросы теории квазиоптических систем. — Изв. вузов. Радиофизика, 1964, т. 7, №2, с. 313-327.

11] Seigman А.Е., Miller H.Y. Unstable optical resonator loss calculations using the Prony method. — Appl. Optics, 1970, vol. 9, NU2, pp. 2729-2736.

12] Sanderson R.L., Streifer W. Comparison of the laser mode calculation. — Appl. Optics, 1969, vol. 8, NH, pp. 131-136.

13] Попов MM. О дифракционных потерях открытых резонаторов. — Оптика и спектроскопия, 1974, т. 36, N=3. С. 561-566.

•

141 Boyd G.D., Kogelnik Н. Generalized confocal resonator theory. — Bell System Techn. J., 1962, vol. 41, N14, pp. 1347-1369.

15] Вайнштейн Л.А. Открытые резонаторы дня квантовых генераторов света.

— ЖЭТФ, 1963, т. 44, №3, с. 1050-1067.

16] Keller J.В., Rubinow S.I. Asymptotic solution of eigenvalue problems. — Ann. of Physics, I960, vol. 9, Nil, pp. 24-75.

17] Быков ВЛ., Вайнштейн Л.А. Геометрическая оптика открытых резонаторов.

— ЖЭТФ, 1964, т. 47, N¿2, с. 508-517. -

18] Лазуткин В.Ф. Формула для собственных частот неконфокального резонатора с цилиндрическими зеркалами, учитывающая аберрацию зеркал. — Оптика и спектроскопия, 1968, т. 24, №3, с. 453-454.

191 Славянов С.Ю. К теории открытых резонаторов. — ЖЭТФ, 1973, т. 64, N&3, с. 785-795.

201 Ride S.K., Pahtel R.H., Feinstein J. Reducing slip in a far-infrared free-electron laser using a parallel-plane waveguide. — Appl. Phys. Lett., 1990, vol. 57, N=13, pp. 1283-1285.

21] Lee B.C., Kawamvra Y., Toyoda K., Kawoi M., Lee S.S. Measurement of homogeneously broadened spectra of spontaneous emission and small-signal gain in a low-energy waveguide-mi/.e free-elytron laser. — Appl.-Phys. Lett., Л990, vol. 56, №8, pp. 703-J705,

[22] Abrams R.L., Chester A.N. Resonator theory for hollow waveguide lasers. — Appl. Optics., 1974, vol. 13, pp. 2117-2125.

[23] Bridges Т.J., Burkhardt E.G., Smith P.W. C02 waveguide lasers. — Appl. Phys. Lett., 1972, vol. 20, N'10, pp. 403-405.

[24] Hodges D.T., Hartwick T.S. Waveguide laser for the far infrared (FIR) pumped by a C02 laser. — Appl. Phys. Lett., 1973, vol. 23, N'5, pp. 252-253.

[25] Elias L.R., Gallardo J.C. Cylindrical Gaussian-Hermite modes in rectangular waveguide resonators. — Appl. Phys., 1983, vol. R31, N'4, pp. 229-233. ■

[26] Богомолов Г.Д., Давтян Л.Г. Измерение потерь в резонаторе лазера на свободных электронах субмиллиметрового диапазона. — ПТЭ, 1992, N'5, с. 136-143.

[27] Yamada Н. Nucl. Instrum. Methods Phys. Res., 1993, vol. B79, NU-2, p. 762.

[28] Ng K.-Y., Warwock R. Reactive impedance of a smooth toroidal chamber below the resonance region. — Physical Review D, 1989, vol. 40, N=1, P. 231-243.

[29] Бушуев B.A., Орудхалиса M.H. Структура электромагнитного поля в равномерно изогнутых лентообразных волноводах рентгеновского диапазона. — ЖТФ, 1993, т. 63, N-9, с. 89-98.

[30] Вайнштейч Л.А. Бочкообразные открытые резопаторы. — Электроника больших мощностей. — М.: Наука, 1964, сб. 3. с. 175-215.

[31] Klcev A.I. Manenkov А.В. The convergence of point-matching technique. — IEEE Trans. Antennas and Propag., 1989, vol. AP-37, N'l, pp. 50-54.

¡32] Вайнштейч Л.А. О релятивистских приборах типа О. I — линейная теория. — ЖТФ, 1979, т. 49, №6, с. 1129-1136.

[33] Вайнштейч Л.А. О релятивистских приборах типа О. II — нелинейная теория. — ЖТФ, 1979, т. 49, №6, с. 1137-1144.

[34] Братман ВЛ., Гинзбург Н.С., Петелин М.И. Теория лазеров и мазеров на свободных электронах. — Лекции по электронике СВЧ и радиофизике (5-я зимняя школа-семинар инженеров). — Саратов: Изд-во Саратовского ун-та, 1981, кн. 1, с. 69-172.

[35] Гинзбург И.С. Нелинейная теория вынужденного ондуляторного излучения и вынужденного рассеяния волн на магнитонаправляемых релятивистских электронных пучках в поперечно-ограниченных электродинамических системах. — Релятивистская высокочастотная электролика. — Горький, 1983, сб. 3, с. 26-95.

[36] Гинзбург Н.С. Об эффекте сверхизлучеиия сгустков релятивистских электронов-осцилляторов. — Письма в ЖТФ, 1988, т. 14, N'5, с. 440-443.

[37] Гинзбург Н.С., Сергеев А.С. Излучателыше неустойчивости в слоях возбужденных осцилляторов. — Физика плазмы, 1991, т. 17, N5 11, с. 1318-1324.

[38] Мележик П.Н., Поединчук А.Е., Тучкин Ю.А., Шестопалов В.П. Об ана литической природе явления межтиповой связи собственных колебаний. — Докл. АН СССР, 1988, т. 300. №6, с. 1356-1359.

[39] Быков В.П. Аберрации в геометрической оптике открытых резонаторов. — В сб. "Электроника больших мощностей". — М.: Наука, 1968, сб. 5. с. 117-135.

[40] Мелехин В.Н. Инвариантные кривые точечных отображений и собственные колебания открытых резонаторов. — РЭ, 1983, т. 28, N=6, с. 1043-1050.

[41] Манеиков А.Б. Исследование открытых резонаторов с концентрацией поля. — В сб. 'Электроника больших мощностей". — М.: Наука, 1968, сб. 5. с. 64-80.

[42] Вайнштейн J1.А. Спонтанное и индуцированное излучение свободных электронов. — ЖЭТФ, 1988, т. 94, №5, с. 40-50.

[43] Гинзбург Н.С., Сергеев A.C., Шапиро М.А. Линейная теория канализации излучения в ЛСЭ со сверхразмерным планарным и диафрагменным волноводами. — ЖТФ, 1993, т. 63, NS3, с. 104-114.

[44] Нефедов Е.И., Фиалковский А.Т. Дифракция плоской электромагнитной волны на бесконечной системе параллельных металлических полос. Общая теория. — РЭ, 1970, т. .15, NU1, с. 2211-2219.

Объем: . 2 пл. Тираж Юоэкз. Заказ №7

УОП ИЭА РАН

117334 Москва, Ленинский проспект, 32 А