Локально наиболее мощные критерии проверки гипотез о параметрах случайных процессов с дискретным временем

Новиков, Петр Андреевич

Локально наиболее мощные критерии проверки гипотез о параметрах случайных процессов с дискретным временем тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

Новиков, Петр Андреевич АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Казань МЕСТО ЗАЩИТЫ

2010 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.05 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Локально наиболее мощные критерии проверки гипотез о параметрах случайных процессов с дискретным временем»

Автореферат диссертации на тему "Локально наиболее мощные критерии проверки гипотез о параметрах случайных процессов с дискретным временем"

004616313

Министерство образования и науки Российской Федерации Казанский (Приволжский) федеральный университет

На правах рукописи

-и

Новиков Петр Андреевич

Локально наиболее мощные критерии проверки гипотез о параметрах случайных процессов с дискретным временем

01.01.05 - теория вероятностей и математическая статистика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

- 9 ДЕК 2010

Казань - 2010

004616313

Работа выполнена на кафедре математической статистки факультет« вычислительной математики н кибернетики Китайского (Приволжского) федерального университета.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор

Володин Игорь Николаевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических паук, ведущий научный сотрудник МИЛН имени В. Л. Стеклова Гущин Александр Ллександроинч

доктор фнзико-матема'1 ических наук, щюфч'сор факультета ВМК МГУ имели М. В. Ломоносова Б 1'штг Владимир Евгеньевич

Ведущая организация: Российский университет дружбы народов имени Пахриса Лумумбы

Защит», диссертации состоятся 24 декабря 2010 г. я 11:00 на -заседании диссертационного совета Д 501.001.44 в Московском государственном университете имени М. В. Ломоносова но адресу: 119991, ГСП-1, Москва. Ленинские горы, МГУ, 2-й учебный корпус, факультет ВМК. аудитория 085.

С диссертацией можно «такомmiьсн в библиотеке факультета ВМК МГУ. С текстом автореферата можно ознакомиться на официальном сайте ВМК МГУ имени М. В. Ломоносова http://\nviv .cmc.msu.ru в разделе «Наука» «Работа диссертационных советов» «Д 501.001.14».

Автореферат разослан 22 ноября 2010 г.

Ученый секретарь диссертацнои ного совета профессор

Н. 11. Трифонов

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Последовательный анализ является основным методом сокращения объема наблюдений при проведении статистического эксперимента. В рамках различения двух гипотез проблема оптимизации объема наблюдений обычно ставится следующим образом. Проверяемые гипотезы разделяются областью безразличия, и рассматривается класс последовательных критериев, гарантирующий заданные ограничения на вероятности ошибок I и II рода. В этом классе ищется критерий, минимизирующий среднее значение объема наблюдений при ряде фиксированных значений тестируемого параметра или минимизирующий наибольшее значение среднего объема наблюдений по всему параметрическому пространству (проблема Кифера-Вейса).

Abraham J. К. The local power of sequential tests subject to an expected sample si2e restriction. - Unpublished Stanford technical report. ~ 1969.

2Berk R. H. Locally most powerful sequential tests. AnnaU of Statistics. - 3. - 1975. - P. 373-381.

последовательно планируемый метод содержится в монографии Н. Шмитца3. Во всех цитируемых работах рассматривался только случай наблюдений последовательности независимых одинаково распределенных случайных величин (простой случайной выборки). В диссертации рассматривается более общий случай проверки гипотез о параметрах случайных процессов с дискретным временем и локально наиболее мощные последовательные критерии строятся при более слабых ограничениях на вероятностную модель. В качестве примеров рассматриваются локально наиболее мощные последовательные критерии для процессов Маркова, процесса авторегрессии AR(1), периодических и конечно-нестационарных процессов с дискретным временем.

Другая проблема, которая рассматривается в диссертации, - это построение локально наиболее мощного критерии проверки той же простой гипотезы, но для многомерного параметра в, когда класс альтернатив определяется некоторым конусом в параметрическом пространстве с вершиной в точке во- Строятся локально наиболее мощные критерии в особой максиминной постановке: максимизируется производная мощности по направлению наименьшего роста мощности.

Цели диссертационной работы.

1. Характеризация структуры локально наиболее мощного последовательного критерия для случайного процесса с дискретным временем в общем случае. Разработка алгоритма построения такого критерия.

2. Построение локально наиболее мощного последовательного критерия для случайного процесса с дискретным временем в случае независимых наблюдений.

3. Разработка методов построения локально наиболее мощного критерия в случае многомерного параметра.

Общая методика исследований. Основным методом, используемым в диссертации, является метод, впервые примененный Ан. А. Новиковым4 для характе-ризации структуры последовательного критерия проверки простой гипотезы при простой альтернативе, идея которого заключается в рассмотрении задачи построения оптимального в том или ином смысле критерия как задачи оптимизации. В диссертации задача построения локально наиболее мощного последовательного

3Schmitz N. Optimal sequentially piamied decisioil procedures. Lecture notes in statistics 79. - New York: SpringerVerlag. - 1993.

4Novikov A. Optimal sequential tests for two simple hvpotheses. Sequentiell analysis. - 2009. - 28(2). - P. 188-217.

критерия [ф, ф) представляет из себя задачу оптимизации с производной функции мощности критерия в точке, в = <?о в качестве целевой функции и ограничениями на средний объем выборки и вероятность ошибки первого рода в качестве ограничений типа неравенств. Для такой задачи составляется «функция Лагранжа» и показывается, что пара (ф,ф), доставляющая минимум «функции Лагранжа», является оптимальной в смысле максимизации производной функции мощности в в = вц среди всех пар (ф1, ф'), удовлетворяющих указанным ограничениям на средний объем наблюдений и вероятность ошибки первого рода. При этом нахождение пары функций (ф,ф), доставляющей минимум «функции Лагранжа», оказывается возможным без привлечения вариационных методов.

Научная новизна. Основные результаты работы следующие:

1. Получена структура локально наиболее мощного последовательного критерия в общем случае (в случае зависимых наблюдений). Разработан алгоритм построения такого критерия.

2. Построены локально наиболее мощные последовательные критерии для независимых наблюдений и марковских процессов с дискретным временем.

3. Получены неравенства, связывающие производную функции мощности критерия с другими характеристиками критерия: средним объемом наблюдений и вероятностью ошибки первого рода.

4. Введено понятие критерия, локально максиминного по направлениям, - обобщение понятия локально наиболее мощного критерия на случай многомерного параметра - и получен его вид. Построен асимптотический критерий, локально максим нный по направлениям, и доказано свойство асимптотической оптимальности такого критерия.

В совместной работе [1] соавтору принадлежит постановка задачи. Все остальные результаты работы [1] получены автором самостоятельно. Работа [2| выполнена автором без соавторов.

Теоретическая и практическая значимость. Полученные в диссертации результаты носят теоретический характер и могут быть использованы при построении локально наиболее мощных последовательных критериев. Такие критерии, в свою очередь, могут находить приложения в таких областях, как обработка радиосигналов, обработка изображений, клинических исследованиях фармацевтических

препаратов и других областях науки и практики.

Апробация работы. Результаты настоящей диссертации докладывались на международной конференции «Prague Stochastics» (2006 г.), на научно-исследовательском семинаре кафедры математической статистики МГУ под руководством В. Ю. Королева (2009 г.), на научно-исследовательском семинаре кафедры математической статистики КФУ под руководством И. Н. Володина (2010 г.).

Публикации автора. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1] и [2].

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, включающих семнадцать параграфов, и изложена на ста четырех страницах. Список литературы содержит тридцать девять наименований, включая работы автора.

Содержание работы

Во Введении обоснована актуальность выбранной темы, дан обзор литературы по теме диссертации, сформулированы цели, представлены выносимые на защиту научные положения и кратко изложено содержание работы.

Первая глава состоит из шести параграфов. В первом параграфе производится постановка задачи. Пусть Х\, Хг,..., Х„,... - случайный процесс с дискретным временем, такой, что для любого п вектор А"'"' = (Xi, Хг,..., Х„) имеет плотность в £ в, где в - открытое подмножество в R. Цель главы - характеризация локально наиболее мощного критерия проверки гипотезы Но : в = во при альтернативе Hi: в > во в классе последовательных критериев с некоторым максимальным средним объемом наблюдений JV и некоторым уровнем а.

Вводятся следующие условия регулярности С1) дифференцируемое™ в точке 0 — 6>ц в смысле L\ совместной функции плотности fg для любого п.

С2) дифференцируемое™ в точке в = во функции мощности с конечным средним объемом наблюдений и

СЗ) существования таких 7 > 0 и jV0 > 0, что Ee^fy/fj,^)2 < 771 для всех N > No-

Bo втором параграфе для поставленной задачи составляется «функция Лагран-жа»

Цф, ф) = сЛ'(ф) + Ьа(ф, ф) - Реа (ф, ф), G

где - средний объем наблюдений, а^иф) - размер критерия, ре0{"ф,ф) - про-

изводная в точке в = 6>о функции мощности критерия ('ф,ф)> и доказывается, что критерий {■ф, ф), доставляющий минимум Ь{ф, ф) со средним объемом наблюдений ¿V и размером а, является критерием, максимизирующим производную функции мощности в точке 9 = 0о в классе критериев с максимальным средним объемом наблюдений ¿V и уровнем а. Для нахождения формы решающего правила ф при данном правиле остановки гр Ь{ф,ф) представляется в виде

зо -

Ь(-ф, ф) = + £ / *ФпФп{ЪЦ - ЯМхг... <1хп,

Т1 = 1 ^

где = (1 — 'фх) ... (1 — "фп-{)фп - вероятность остановки на п-м этапе, - производная /да в точке в — во, и к интегралу в выражении для Ь{"ф, ф) применяется утверждение о том, что минимум интеграла

1 (ф(х)Г1{х) + (I - ф(х))Р2{х-))йх,

где 0 ^ ф(х) ^ 1, равен

и достигается при ф = почти наверное, с ^ = з%фп(Ь/уо ~ F2 = 0, что

дает форму оптимального решающего правила фп с критической областью

< II

Таким образом, изначальная задача сводится к задаче нахождения правила остановки "ф, минимизирующего

= £ [ + ■ • ■ <1хп,

П=1 ^

где /п - функция плотности, по которой считается мат. ожидание момента остановки

пйх1... (1хп,

1п — тт{0, —

В третьем параграфе рассматривается класс правил остановки, прекращающих эксперимент на М-м (конечном) этапе с вероятностью 1, - усеченных правил

остановки - и в этом классе путем проведения рассуждений, во многом аналогичных рассуждениям второго параграфа для^, характеризуется структура правила остановки, минимизирующего Ь(ф): момент остановки

ту, = тт{п : 1п < с/" + J У^йХп+х},

где = 1ц,

^ = шш{г„,сГ + /

для п = N - 1, N - 2,..., 1.

В четвертом параграфе этот результат обобщается на случай неусеченных правил остановки, когда требуется лишь конечность среднего объема наблюдений: момент остановки

ту, = тт{п : /„ < с/" + ! Уп+хйхп+1},

где У„ = lim.v-.oo КГ-

Основной результат первой главы приводится в пятом параграфе. Назовем критерий (ф, регулярным, если выполняется

í5{(Уп — 1„)йцп —»■ 0 прип —» оо,

где = (1 - ф\). ■ ■ (1 - фп-г)- Справедлива следующая

Теорема 1 Предположим, что выполнены условия регулярности С1, С2, СЗ. Пусть с>0иЪ>0~ любые вещественные числа. Пусть правило остановки ф такое, что

цп-почти наверное на Т^ = {(хх,..., хп) : (х\,..., хп) > 0}, Ли каждого п = 1, 2,..., г/, пусть решающее правило ф такое, что

< < '(ВД}^') (2)

ц"-почти наверное на = {(ж1,..., х„) : ^(хх,..., х„) > 0} для каждого п = 1,2,....

Пусть {ф,ф) - регулярный критерий с конечным средним объемом наблюдений и пусть т!^' Ь(ф') > —со. Тогда последовательный критерий (ф, ф) - локально

наиболее мощный критерий проверки гипотезы Но : в = во при альтернативе Н\ : в > во в классе всех критериев {яр', ф') с конечным средним объемом наблюдений в том. смысле, что

Рвв(^,Ф)>М.Ф'), (3)

если

а(^')<с*Ш) и (4)

Неравенство (3) является строгим, если строгим является хотя бы одно из неравенств (4)-

Если во всех неравенствах в (3) и (4) достигается равенство, то'ф' также удовлетворяет (1) цп-почти наверное на для каждого п = 1,2,... (с ф'п вместо трп), и ф' удовлетворяет (2) (сф'п вместо фп) ¡1п-почти наверное на для каждого п = 1, 2,...

В шестом параграфе в качестве примера строится локально наиболее мощный последовательный критерий для проверки гипотезы относительно параметра условных распределений для марковских процессов и, как для частного случая, для процесса авторегресии АИ(1) с неизвестным параметром масштаба. Для марковских процессов теорема 1 остается справедливой с заменой выражения (1) выражением

1{ь-/^//^Шс),в^с))}(х[п)) < 1 - Фп(х{п)) < ^-/»"„//^еИпИЛСст^'"') для некоторых действительных А„(с), Вп(с), зависящих от с.

Вторая глава состоит из шести параграфов. В первом параграфе рассматривается постановка задачи. Пусть Х\,Х2,.. . ,Хп,... - случайный процесс с дискретным временем с независимыми значениями, случайная величина X) имеет плотность для любого ], 9 6 в, где © - открытое подмножество в Л. Цель главы - характеризация локально наиболее мощного критерия проверки гипотезы Но : в = во при альтернативе Н\ : 0 > в классе последовательных критериев с некоторым максимальным средним объемом наблюдений ,/Г и некоторым уровнем а.

Вводятся следующие условия регулярности СГ) дифференцируемости в точке 9 = во в смысле Ь\ маргинальной функции

плотности /едля любого

СТ) существования таких 5 > 0 и 0 < 71 < оо, что

для всех ] = 1,2,... и для всех \в — 0ц| < 5. где

- различающая информация по Кульбаку-Лейблеру между распределенямиХ, при в = е0 и0 = 9пз = 1,2,... и

СЗ') существования такого72 > 0, что Ед^/е^//^] < 72 для всех,;' = 1,2,____

Во втором параграфе рассматриваются условия существования производной функции мощности и выводятся неравенства, связывающие эту производную со средним объемом наблюдений и вероятностью ошибки I рода. Информация Кульбака-Лейблера, содержащаяся в наблюдениях процесса А^.Хг,... ,Хп,... до случайного момента остановки, определяемого правилом ф, определяется как

Устанавливаются границы характеристик (среднего объема наблюдений, вероятности ошибки I рода и производной функции мощности): при выполнении условия регулярности С2 для любого последовательного критерия (т/>,ф) с конечным средним объемом наблюдений Ев0Тф производная его функции мощности в точке в = во существует и справедливо неравенство

Устанавливается, что при выполнении условий регулярности СГ. С2\ СЗ' справедливо равенство

В третьем параграфе рассматривается класс усеченных (до этапа ТУ) правил остановки и в этом классе характеризуется структура правила остановки, минимизирующего «функцию Лагранжа»: момент остановки

(Аь№> Ф)? < 271/Ш. ФК1 - /Ш. Ф))ЕеаТф-

где д^^) =

= шп{п : д(Ь - гп) < с + Еву^+1(х - qn, с)}, 10

где g{z) = min{0, z}, v$(z,c) = g{z), v%{z, c) = min{g(z), с + E6av%{z - gn, с)} для

n = JV)JV-l,...1l,zn = E;=, fooj/fhj-

В четвертом параграфе этот результат обобщается на случай неусеченных правил остановки с конечным средним объемом наблюдений: момент остановки

тф = min{n : g(b — z„) < с + Ee„vn+i(z - qn, с)},

где vn = limw_.cc vi?* N = 1,2, —

Основной результат второй главы приводится в пятом параграфе.

Теорема 2 Предположим, что выполнены условия регулярности Gl' - CS'. Пусть c>0ub>0 - любые вещественные числа. Пусть правило остановки ф такое, что

^{д(ь-гл)<с+гпсь-гп,с)}(х(">) < Фп(хМ) < I{g(b-z„Hc+r„(b-zn,c)} (х(п)) (5)

цп-почти наверное на T¡f > 0} для каждого п = 1,2,..., и пусть решающее правило ф такое, что

1{^>ь)(х[п)) < Фп(х{п)) < /{^Ь}^"') (6)

цп-почти наверное на Г) {fg > 0} для каждого п = 1,2,.... Пусть (ф, ф) имеет конечный средний объем наблюдений. Тогда последовательный критерий (ф, ф) ~ локально наиболее мощный критерий проверки гипотезы На : в = ва при альтернативе Н\ : 9 > вп в классе всех критериев (ф',ф') с конечным средним, объемом наблюдений в том смысле, что

М1>,Ф) (7)

если

а(ф',ф')^а(ф,ф) и (8)

Неравенство (7) является строгим, если строгим является хотя бы одно из неравенств (8).

Если во всех неравенствах в (7) и (8) достигается равенство, то ф' также удовлетворяет (5) ц11 -почти наверное на Tjf' П {fg > 0} для каждого п = 1,2,... (с ф'п вместо фп), и ф' удовлетворяет (6) (с ф'п вместо фп) цп-почти наверное на Sf П {fg > 0} для каждого п — 1,2,....

В каждой из областей {г < 0} и {г ^ 0} существует единственное решение уравнения д(г) = с + г „(г, с), соответственно Ап(с) < 0 и Вп (с) < 0, и выражение (5 можно представить в более простом виде

„МАМ!}^'"1)' (9)

Утверждение теоремы 2 остается справедливым при замене формулы (5) формулой (9).

В шестом параграфе в качестве примеров рассматриваются случай «периодических» наблюдений, то есть случай, когда существует такой Т € N. что /в,п+т = /й,п для любого п = 1,2,..., и случай «конечно-нестационарных» наблюдений, то есть случай, когда = /$¿+1 для любого у начиная с некоторого к.

Третья глава состоит из пяти параграфов. В первом параграфе производится постановка задачи. Пусть Хь ..., Х„ - выборка фиксированного объема п из распределения с плотностью , где 0 £ 8 С - многомерный параметр. Цель главы - построение локально наиболее мощного критерия проверки гипотезы Но ■ 9 = во при альтернативе Я] : 9 6 в:, где ©1 - конус в ДГ-мерном пространстве,

©!= {0о + *ы,|ие и, г>о}.

Вводится условие регулярности: С1") дифференцируемое™ в точке в = в смысле Ь\ совместной функции плотности Г0\

Во втором параграфе вводится понятие критерия, локально наиболее мощного в направлении, - критерия, максимизирующего производную функции мощности по выбранному направлению и, - и устанавливается, что критическая область такого критерия имеет вид Ь/^ < и'/^.

В третьем параграфе на основе понятия критерия, локально наиболее мощного в направлении, вводится понятие критерия, локально максиминного по направлениям: для каждого направления и из области альтернативы строится локально наиболее мощный в этом направлении критерий фи, далее, для любого другого направления V из области альтернативы вычисляется локальная мощность у'рдК{фи) критерия фи и находится то направление V, у которого мощность критерия фа минимальна, а затем ищется направлением*, которое максимизирует этот минимум мощности, - локально наиболее мощный критерий в этом направлении и* называ-

ется локально максиминным по направлениям критерием:

тЫРвАФи') = sup Ы у'рво{Фи)-

vec/ иап

В четвертом параграфе строится критерий, локально максиминный по направлениям, для проверки гипотезы о среднем значении многомерного нормального (в, Е) распределения 9 = 0П при области альтернативы Эх: такой критерий отклоняет нулевую гипотезу при

где и* определяется из соотношения (10).

В пятом параграфе строится асимптотический локально максиминный по направлениям критерий для локально асимптотически нормальных семейств. Такой критерий имеет ту же форму, что локально максиминный по направлениям критерий для проверки гипотезы о среднем значении нормального распределения, где в качестве матрицы ковариаций Е выступает информационная матрица Фишера в точке, соответствующей нулевой гипотезе. Доказывается, что такой критерий обладает свойством асимптотической оптимальности в смысле асимптотического превосходства производной функции мощности по любому направлению из области альтернативы такого критерия над аналогичной производной любого другого локально наиболее мощного в любом направлении из области альтернативы критерия асимптотического уровня а.

Список публикаций автора по теме диссертации.

[1] Novikov А., Novikov Р. Locally most powerful sequential tests of a simple hypothesis vs. one-sided alternatives. Journal of Statistical Flanning and Inference. - 2010. -

¡2] Новиков П. А. Локально наиболее мощные последовательные критерии для марковских процессов с дискретным временем. Теория вероятностей и ее применения. - 2010. - 55(2). - с. 369-372.

140(3). - Р. 750-765.

Отпечатано с готового оригинал-макета в типографии Казанского университета Тираж 100 экз. Заказ 62/11

420008, ул. Профессора Нужина, 1/37 тел.: (843) 233-73-59, 292-65-60

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Новиков, Петр Андреевич

Введение

1 Локально наиболее мощный последовательный критерий

1.1 Постановка задачи.

1.2 Сведение к задаче оптимальной остановки.

1.3 Структура оптимальных последовательных критериев. Усеченные правила остановки.

1.4 Структура оптимальных последовательных критериев. Общий случай.

1.5 Основной результат

1.6 Примеры: марковские процессы с дискретным временем и процесс авторегрессии АЯ(1).

2 Локально наиболее мощный последовательный критерий для независимых наблюдений

2.1 Постановка задачи.

2.2 Дифференцируемость функции мощности и информационные неравенства для характеристик критериев

2.3 Структура оптимальных последовательных критериев. Усеченные правила остановки.

2.4 Структура оптимальных последовательных критериев. Общий случай.

2.5 Основной результат

2.6 Примеры: случаи «периодических» и «конечно-нестационарных» наблюдений.

3 Обобщение локально наиболее мощного критерия на случай многомерного параметра

3.1 Постановка задачи.

3.2 Критерий, локально наиболее мощный в направлении

3.3 Критерий, локально максиминный по направлениям.

3.4 Локально максиминный по направлениям критерий для нормального распределения.

3.5 Асимптотический локально максиминный по направлениям критерий для ЛАН семейств.

Введение диссертация по математике, на тему "Локально наиболее мощные критерии проверки гипотез о параметрах случайных процессов с дискретным временем"

Последовательный анализ является основным методом сокращения объема наблюдений при проведении статистического эксперимента. В рамках различения двух гипотез проблема оптимизации объема наблюдений обычно ставится следующим образом. Проверяемые гипотезы разделяются областью безразличия, и рассматривается класс последовательных критериев, гарантирующий заданные ограничения на вероятности ошибок I и II рода. В этом классе ищется критерий, минимизирующий среднее значение объема наблюдений при ряде фиксированных значений тестируемого параметра или минимизирующий наибольшее значение среднего объема наблюдений по всему параметрическому пространству (проблема Кифера-Вейса).

С точки зрения практики существующие последовательные гарантийные критерии обладают двумя недостатками: среднее значение объема выборки при значении параметра в области безразличия может принимать бесконечное значение, выбор области безразличия всегда составляет тяжелую проблему в практических применениях. Естественно было бы убрать область безразличия и ограничить сверху среднее число наблюдений. В связи с этим в диссертации рассматривается следующая постановка проблемы последовательной проверки гипотез. Рассматривается простая нулевая гипотеза в = ПРИ сложной альтернативе, не обязательно отграниченной от во, а также класс последовательных критериев заданного уровня а, средний объем наблюдений которых ограничен сверху заданным числом 1Ж. В этом классе ищется локально наиболее мощный критерий - критерий, максимизирующий производную функции мощности в точке во. Естественно, при наличии некоторого монотонного относительно некоторой статистики отношения правдоподобия такой критерий является равномерно наиболее мощным среди всех критериев уровня а с ограниченным средним объемом выборки. Актуальность такого рода постановки для задач последовательного различения гипотез впервые, по-видимому, рассматривалась Дж. Эй-брехемом в его диссертации (1969) [13] и получила дальнейшее развитие в работе Р. Берка (1975) [15]; распространение этих результатов на последовательно планируемый метод содержится в монографии Н. Шмитца (1993) [33]. Во всех цитируемых работах рассматривался только случай наблюдений последовательности независимых одинаково распределенных случайных величин (простой случайной выборки). В диссертации рассматривается более общий случай проверки гипотез о параметрах случайных процессов с дискретным временем и локально наиболее мощные последовательные критерии строятся при более слабых ограничениях на вероятностную модель. В качестве примеров рассматриваются локально наиболее мощные последовательные критерии для процессов Маркова, процесса авторегрессии А11(1), периодических и конечно-нестационарных процессов с дискретным временем.

Другая проблема, которая рассматривается в диссертации, - это построение локально наиболее мощного критерии проверки той же простой гипотезы, но для многомерного параметра в, когда класс альтернатив определяется некоторым конусом в параметрическом пространстве с вершиной в точке во. Строятся локально наиболее мощные критерии в особой максиминной постановке: максимизируется производная мощности по направлению наименьшего роста мощности.

Цели диссертационной работы следующие:

3. Разработка методов построения локально наиболее мощного критерия в случае многомерного параметра.

Основным методом, используемым в диссертации, является метод, впервые примененный Ан. А. Новиковым [26] для характеризации структуры последовательного критерия проверки простой гипотезы при простой альтернативе, идея которого заключается в рассмотрении задачи построения оптимального в том или ином смысле критерия как задачи оптимизации. В диссертации задача построения локально наиболее мощного последовательного критерия (ф, ф) представляет из себя задачу оптимизации с производной функции мощности критерия в точке 9 = 9о в качестве целевой функции и ограничениями на средний объем выборки и вероятность ошибки первого рода в качестве ограничений типа неравенств. Для такой задачи составляется «функция Лагранжа» и показывается, что пара(/0, ф), доставляющая минимум «функции Лагранжа», является оптимальной в смысле максимизации производной функции мощности в 9 = 9о среди всех пар (ф',ф'), удовлетворяющих указанным ограничениям на средний объем наблюдений и вероятность ошибки первого рода. При этом нахождение пары функций (■*/>, ф), доставляющей минимум «функции Лагранжа», оказывается возможным без привлечения вариационных методов. Основные результаты работы следующие:

2. Построен локально наиболее мощный последовательный критерий для независимых наблюдений.

3. Построен локально наиболее мощный последовательный критерий для марковских процессов с дискретным временем.

4. Приводятся неравенства, связывающие производную функции мощности критерия с другими характеристиками критерия: средним объемом наблюдений и вероятностью ошибки первого рода.

5. Введено понятие критерия, локально максиминного по направлениям, обобщения понятия локально наиболее мощного критерия на случай многомерного параметра - и получен его вид.

6. Построен асимптотический критерий, локально максимнный по направлениям, и доказано свойство асимптотической оптимальности такого критерия.

В совместной работе [27] соавтору принадлежит постановка задачи. Все остальные результаты работы [27] получены автором самостоятельно.

Полученные в диссертации результаты носят теоретический характер и могут быть использованы при построении локально наиболее мощных последовательных критериев. Такие критерии, в свою очередь, могут находить приложения в таких областях, как обработка радиосигналов, обработка изображений, клинических исследованиях фармацевтических препаратов и других областях науки и практики.

Результаты настоящей диссертации докладывались на международной конференции «Prague Stochastics» (2006 г.), на научно-исследовательском семинаре кафедры математической статистики МГУ под руководством В. Ю. Королева (2009 г.), на научно-исследовательском семинаре кафедры математической статистики КФУ под руководством И. Н. Володина (2010 г.).

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [10] и [27].

Диссертация состоит из введения, трех глав, включающих семнадцать параграфов, и изложена на ста четырех страницах. Список литературы содержит тридцать девять наименований, включая работы автора.

Список источников диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Новиков, Петр Андреевич, Казань

1. Биллингсли П. Сходимость вероятностных мер. - М.: Наука. - 1977. . - 352 с.

2. Боровков А. А. Математическая статистика. Новосибирск: Наука, издательство института математики. - 1997. - 772 с.

3. Володин И. Н. Гарантийные процедуры статистического вывода (определение объема выборки). В сб.: Исследования по прикладной математике. 10. - 1984. - с. 13-53.

4. Володин И. Н. Нижние границы для среднего объема выборки в критериях инвариантности. Теория вероятностей и ее применения. 25(2).- 1980. с. 359-364.

5. Володин И. Н. Нижние границы для среднего объема выборки и эффективность процедур статистического вывода. Теория вероятностей и ее применения. 24(1). - 1979. - с. 119-129.

6. Володин И. Н. Нижние границы для среднего объема выборки в критериях согласия и однородности. Теория вероятностей и ее применения.- 24(3). 1979. - с. 637-645.

7. Де-Гроот М. Оптимальные статистические решения. М.: Мир. -1974.

8. Ибрагимов И. А., Хасьминский Р. 3. Асимптотическая теория оценивания. М.: Наука. - 1979. - 528 с.

9. Леман Э. Проверка статистических гипотез. М.: Наука. - 1979. -408 с.

10. Новиков П. А. Локально наиболее мощные последовательные критерии для марковских процессов с дискретным временем. Теория вероятностей и ее применения. 2010. - 55(2). - с. 369-372.

11. Рокафеллер Р. Выпуклый анализ. М.: Мир. - 1973. - 470 с.

12. Русас Дж. Контигуальность вероятностных мер. Применения к статистике. М.: Мир. - 1975. - 254 с.

13. Abraham J. К. The local power of sequential tests subject to an expected sample size restriction. Unpublished Stanford technical report. - 1969.

14. Bahadur R. R. An optimal property of the likelihood ratio statistic. Proceedings of the fifth Berkeley symposium on mathematical statistics and probability (1965/66) I University of California Press, Berkeley. - 1967. - P. 13-26.

15. Berk R. H. Locally most powerful sequential tests. Annals of Statistics. -3. 1975. - P. 373-381.

16. Ghosh M., Mukhopadhyay N., Sen P. K. Sequential Estimation. New York: Wiley. - 1997.

17. Ferguson T. S. Mathematical Statistics: a Decision Theoretic Approach. -New York: Academic Press. 1967.

18. Irle A. Sequentialanalyse. Optimale sequentielle Tests. Stuttgart: Teubner. - 1990.

19. Liu Y., Blostein D. Optimality of the sequential probability ratio tests for nonstationary observations. IEEE transactions on information theory. -28. 1992. - P. 177-182.

20. Le Cam L. Locally asymptotically normal families of distributions. University of California publications in statistics. 3. - 1960. - P. 37-98.

21. Müller-Funk U. Mathematical Programming and Optimal Stopping in Sequential Testing Theory. Habilitatonsschrift. - Universität Freiburg. - 1986.

22. Müller-Funk U., Pukelsheim F., Witting H. Locally most powerful tests for two-sided hypotheses. In: Probability and statisitcal decision theory. Vol. A (Bad Tatzmannsdorg, 1983). - P. 31-56. - Dordrecht: Reidel. - 1985.

23. Novikov A. Asymptotic optimality of two-stage hypotheses tests. Aportaciones Matematicas, Serie Comunicaciones. 35. - 2005. - P. 37-43.

24. Novikov A. Optimal sequential tests for two simple hypotheses based on independent observations. International journal of pure and applied mathematics. 2008. - 45(2). - P. 291-314.

25. Novikov A. Optimal sequential tests for two simple hypotheses. Sequential analysis. 2009. - 28(2). - P. 188-217.

26. Novikov A., Novikov P. Locally most powerful sequential tests of a simple hypothesis vs. one-sided alternatives. Journal of Statistical Planning and Inference. 2010. - 140(3). - P. 750-765.

27. Roters M. Locally most powerful sequential tests for processes of the exponential class with stationary and independent increments. Metrika.- 39. 1992. - P. 177-183.

28. Roters M. Locally Most Powerful Sequentially Planned Tests in Continuous Time. Sequential Analysis. 25(4). - 2006. - P. 365-378.

29. Tsai M.-T. M., Sen P. K. On the local optimality of optimal linear tests for restricted alternatives. Statistica Sinica. 3. - 1993. - P. 103-115.

30. Schaafsma W., Smid L. J. Most stringent somewhere most powerful tests against alternatives restricted by a number of linear inequalities. Annals of Mathematical Statistics. 37(5). - 1966. - P. 1161-1172.

31. Schmitz N. Optimal sequentially planned decision procedures. Lecture notes in statistics 79. New York: Springer-Verlag. - 1993.

32. Shi N. Z. Testing a normal mean vector against the alternative determined by a convex cone. Mem. Fac. Sci. Kyushu Univ. 41. - 1987. - P. 133-145.

33. Shi N. Z., Kudo A. The most stringent somewhere most powerful one-sided test of the multivariate normal mean. Math. Centre Tracts. 29. - 1987. -P. 303-328.

34. Stein C. A note on cumulative sums. Annals of Mathematical Statistics. -17. 1946. - P. 498-499.37. van der Vaart A. W. Asymptotic Statisitcs. Cambridge University Press.- 1998.

35. Wald A., Wolfowitz J. Optimum character of the sequential probability ration test. Annals of Mathematical Statistics. 19. - 1948. - P. 326-339.

36. Wald A. Statistical Decision Functions. New York: Wiley. - 1950.