Локально-неравновесное описание массопереноса в металлических системах при воздействии концентрированными потоками энергии тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.07 ВАК РФ

На правах рукописи

Сидорова Евгения Анатольевна

ЛОКАЛЬНО-НЕРАВНОВЕСНОЕ ОПИСАНИЕ МАССОПЕРЕНОСА В МЕТАЛЛИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ ПРИ ВОЗДЕЙСТВИИ КОНЦЕНТРИРОВАННЫМИ ПОТОКАМИ ЭНЕРГИИ

Специальность 01.04.07—физика конденсированного состояния

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Омск-2008

003450704

Работа выполнена в ГОУ ВПО "Омский государственный университет им. Ф.М. Достоевского" на кафедре физического материаловедения.

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук,

доцент Вершинин Георгий Анатольевич.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

старший научный сотрудник Холопов Евгений Викентьевич;

кандидат физико-математических наук, доцент Лебедев Владимир Геннадьевич.

Ведущая организация:

ГОУ ВПО "Томский государственный университет", г. Томск.

Защита состоится 27 ноября 2008 г. в 14 часов на заседании диссертационного совета Д 212.179.04 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук при Омском государственном университете им. Ф.М. Достоевского по адресу: 644077, г. Омск, пр. Мира, 55а.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Омского государственного университета им. Ф.М. Достоевского

Автореферат разослан 18 октября 2008 г.

Отзывы на автореферат, заверенные гербовой печатью организаций, просим присылать в 2-х экз. на адрес университета.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д212.179.04

кандидат физико-математических наук, доцент •— Вершинин Г.А.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы диссертации. На современном этапе развития техники для модификации поверхности и получения материалов с качественно новыми свойствами применяется обработка приповерхностных слоев концентрированными потоками энергии (КПЭ) высокой мощности. В качестве КПЭ используется лазерное излучение, мощные (сильноточные) электронные пучки, мощные ионные пучки. Изменения свойств металлов и сплавов при использовании методов КПЭ—технологий в большинстве случаев обусловлены одновременным или раздельным действием теплофизических (термообработка), металлургических (легирование), ударно-волновых (деформация) процессов, вызывающих структурно-фазовые превращения в металлических системах. При этом могут быть созданы экстремальные условия их протекания. Высокоинтенсивный нагрев и последующее охлаждение материала приводят к изменению его физико-химических и механических свойств. При этом в результате перегрева при оплавлении и быстрого охлаждения возможно образование метастабильных твердых растворов и фаз, отсутствующих на равновесной диаграмме состояния обрабатываемой системы.

Одной из важных причин, влияющих на свойства материала после воздействия КПЭ, является скорость охлаждения тонкого приповерхностного слоя после оплавления, которая может достигать значений 10в-10пК/с в зависимости от удельной мощности поглощенного потока, длительности облучения и теплофизических характеристик обрабатываемого материала. Кроме того, расчеты температурных полей в металлических системах показывают, что средняя скорость затвердевания по порядку величины совпадает со скоростью распространения концентрационных возмущений в среде (для расплавов металлов Кд -1-10 м/с). В этой ситуации массоперенос при высокоскоростном плавлении и затвердевании протекает, по-видимому, в локально-неравновесных условиях, что, в результате, позволяет получать материалы с уникальными физико-химическими и механическими свойствами, представляющими большой практический интерес.

При таких высокоскоростных процессах, когда скорость возмущений внутри системы сравнима со скоростью распространения концентрационных или тепловых возмущений (что имеет место в подобных экспериментах по модифицированию свойств материалов), состояние системы может значительно отличаться от локального равновесия. Этот факт ставит под сомнение корректность применения моделей, основанных на решении классических параболических уравнений переноса, пригодных для описания достаточно медленных процессов и не учитывающих конечную скорость распространения возмущений в среде. Локально неравновесные модели переноса, опирающиеся на уравнения гиперболического типа с учетом только временной нелокальности, в последние годы интенсивно развиваются в работах Соболева, Галенко и их коллег [1, 2, 3], а также в работах зарубежных авторов [4, 5]. Высокая степень неравновесности процессов приводит к необходимости определить роль не только временной, но и пространственной нелокальности в явлениях переноса.

Фундаментальные исследования локально-неравновесных структурно-фазовых превращений, механизмов тепло- и массопереноса в металлических материалах должно способствовать углублению представлений о состоянии вещества в экстремальных условиях (сверхвысокие температуры и давления, короткие промежутки времени). Наличие подобных знаний позволит эффективно использовать КПЭ для создания материалов с заданным комплексом физико-механических свойств и для разработки методов упрочняющей обработки материалов. В связи с этим развитие теории переноса в металлических твердых телах при условии отсутствия локального равновесия является актуальной задачей физики конденсированных сред и материаловедения. Следует заметить, что важную роль в фундаментальных и прикладных задачах исследования взаимодействия КПЭ с веществом играет математическое моделирование процессов массопереноса с учетом пространственно-временной нелокальности.

Целью настоящей работы является установление общих закономерностей локально-неравновесного массопереноса в бинарных металлических системах при воздействии концентрированными потоками энергии, учитывая пространственно-временную нелокальность процессов;

В соответствии с целью работы были поставлены следующие задачи:

1. Вывести уравнения массопереноса в бинарной системе с учетом пространственно-временной нелокальности и перекрестных эффектов в рамках формализма расширенной необратимой термодинамики. На основе эволюционных уравнений для обобщенных потоков развить физико-математическую модель локально-неравновесного массопереноса в бинарных системах, подвергаемых воздействиям КПЭ.

2. Определить влияние локально-неравновесных эффектов на массопере-нос в металлических системах при облучении КПЭ, опираясь на модельные расчеты.

3. Применить развитую модель массопереноса с учетом пространственной и временной нелокальное™ для исследования общих закономерностей высокоскоростной перекристаллизации, возникающей при облучении материалов КПЭ.

4. Исследовать в рамках развиваемой модели высокоскоростного затвердевания и гипотезы маргинальной устойчивости влияние различных параметров на формирование кристаллической микроструктуры при перекристаллизации, обусловленной воздействием КПЭ.

Научная новизна работы заключается в том, что в ней впервые:

1. Исследовано влияние пространственной нелокальности на массоперенос в бинарных металлических системах при воздействии КПЭ. Установлено, что ее учет объясняет усиленный перенос примесных атомов на большие глубины и сглаживает поверхности сильного разрыва в концентрационных полях, которые предсказываются в моделях только с временной нелокальностью.

2. Аналитическими и численными методами решения обобщенных уравнений переноса, учитывающих пространственно-временную нелокальность, установлено, что ненулевая начальная скорость изменения потока субстанции (массы, температуры) при определенных значениях обусловливает появление уда-

ленных от поверхности облученных образцов максимумов в пространственных распределениях потока субстанции и самой субстанции.

3. Установлено, что учет пространственной нелокальности в уравнениях массопереноса предсказывает диффузионный механизм затвердевания при любых скоростях движения фронта раздела фаз при высокоскоростной кристаллизации.

4. Исследовано влияние модельных параметров затвердевания на размеры микроструктуры при высокоскоростной кристаллизации. Показано, что увеличение вклада пространственной нелокальности, градиента температуры, коэффициента поверхностного натяжения и уменьшение градиента концентрации приводят к росту размеров микроструктуры. Немонотонное изменение последних наблюдается при варьировании коэффициента диффузии в жидкой фазе.

Практическая ценность работы состоит в том, что развиваемые модели и результаты расчетов позволяют глубже понять механизмы процессов переноса в конденсированных средах, которые имеют место при облучении их КПЭ. Полученные в работе результаты и выводы могут быть применены при разработке новых технологий радиационного модифицирования материалов и использованы в учебном процессе при подготовке лекционных курсов специальных дисциплин.

Достоверность полученных результатов достигается корректностью постановки решаемых задач и их физической обоснованностью; использованием классических апробированных методов решения задач математической физики (метод преобразования Фурье и Лапласа, метод функции Римана); удовлетворительным согласием полученных в работе теоретических результатов с литературными теоретическими и экспериментальными данными.

На защиту выносятся следующие положения:

1. Наблюдаемая усиленная миграция примесных атомов на аномально большие глубины в бинарных металлических системах при воздействии КПЭ есть в значительной степени проявление пространственной нелокальности в процессах переноса.

2. Максимумы в потоках и наблюдаемых концентрационных полях в приповерхностных слоях облученных образцов обусловлены при определенных значениях ненулевой начальной скоростью изменения потока.

3. С точки зрения пространственно-временной нелокальности явлений переноса диффузионный механизм затвердевания в бинарных сплавах имеет место при любых скоростях движения фронта раздела фаз при высокоскоростной перекристаллизации после воздействия КПЭ.

4. Размеры ячеисто/дендритных микроструктур, формирующихся в результате высокоскоростной перекристаллизации бинарных сплавов, растут с увеличением вклада пространственной нелокальности в процессы массопереноса.

Апробация работы. Материалы диссертации докладывались и обсуждались на следующих научных форумах: XXXII-XXXVII Международных конференциях по физике взаимодействия заряженных частиц с кристаллами (Москва, 2002 - 2007); 6th-8th International Conferences on Modification Material with Particle Beams and Plasma Flows (Tomsk, 2002, 2004, 2006); 12th International Confe-

rence on Radiation Physics and Chemistry of Inorganic Materials. (Tomsk, 2003); IV и V Международной научной конференции "Радиационно-термические эффекты и процессы в неорганических материалах" (Томск, 2004, 2006); Всероссийской молодежной конференции "Под знаком "сигма" (Омск, 2003, 2005); III и IV Международном технологическом конгрессе "Военная техника, вооружение и технологии двойного применения" (Омск, 2005, 2007); 3-й Всероссийской конференции молодых ученых "Фундаментальные проблемы новых технологий в 3 - ем тысячелетии" (Томск, 2006 г.).

Публикации. Материалы диссертационной работы изложены в 24 работах, 7 из которых представляют публикации в рецензируемых научных журналах. Список опубликованных работ приводится в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, приложения, изложенных на 118 страницах текста и включает 23 рисунка, 1 таблицу, 145 библиографических наименований.

Во введении обосновывается актуальность темы, сформулирована цель работы, изложена научная новизна, описаны структура и объем диссертации.

Первая глава "Процессы переноса, возникающие при воздействии на материалы концентрированными потоками энергии и способы их описания", содержит литературный обзор по теме диссертации, в котором приводятся экспериментальные данные, позволяющие сделать вывод о том, что описание процессов переноса, имеющих место при облучении материалов КПЭ, основанное на классических уравнениях теплопроводности и диффузии, становится непригодным. Представлен обзор существующих локально неравновесных теорий для описания высокоскоростных явлений переноса. Проведенный анализ экспериментальных данных и современного состояния теории переноса позволил сделать ряд выводов и поставить задачи для исследования.

Во второй главе "Вывод уравнений переноса в рамках расширенной необратимой термодинамики с учетом пространственно-временной нелокальности " получены следующие эволюционные уравнения для диссипатив-ных потоков в бинарной системе:

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

V ¿22 T ) Lv_ ^ p J

+ ß{/.T2Vp" - ~ r, , L, 8t

0)

dJ

г,—

j/ + + + j+/?2£>„7V • P"+

XT1 dt'

(2)

8РУ

г

д£ дI

( « л

Р" + 2т]У

v 1

д( - У<7| . (4)

Здесь г/, г?, г0 и тз - времена релаксации потока тепла /7, потока массы 7 , вязкого давления и девиатора тензора вязкого давления Р", соответственно;

р" =Р* - р"Е ', р" -Тг(Ру)/3- характеризует вязкое давление, возникающее при всестороннем сжатии, (£- единичный тензор); р - гидродинамическое давление; Р" - тензор вязких напряжений; О - коэффициент диффузии; с - концентрация примесных атомов; Ьп и 1?2, Р\ и Р{, Р2 и Р'2 - кинетические коэффициенты; Б = В{дц1 дс)'^, = - р2, где химические потенциалы компонентов бинарной системы, соответственно); Г-температура; ¿"-объемная вязкость; ц -сдвиговая вязкость; V— скорость; V - симметрическая часть градиента скорости со следом, равным нулю; (V/)5 - симметрическая часть тензора

V./ со следом, равным нулю; (У</)5 - симметрическая часть тензора со следом, равным нулю; кр/р, кт/Т - бародиффузионное и термодиффузионное отношения, соответственно.

Выражения (1)-{4) учитывают как процессы релаксации к локальному равновесию диссипативных потоков с характерными временами г/, т2, т0 и т3, так и перекрестные эффекты, т.е. взаимовлияние вязкоупругих напряжений, диффузионного и теплового потока друг на друга. Если в соотношениях (1) не учитывать релаксационные и перекрестные эффекты (времена протекания процесса переноса много больше времен релаксации), то они сводятся к классическим законам Фурье, Фика и Навье-Стокса, соответственно.

В диссертационной работе продемонстрировано, как из системы (1)—(4) могут быть получены всевозможные частные виды уравнений переноса в одномерном случае, если использовать предположение о малости градиентов скорости, пренебречь объемной вязкостью (р1 =0) и зависимостью потоков от скорости изменения других потоков. Так, например, если в одномерных аналогах выражений (1)-(4) не рассматривать перекрестные эффекты, то из (1) получается уравнение, известное как закон Максвелла-Катганео для потока массы [1,6]:

а/, дс

= (5)

В законе Максвелла-Каттанео, по сравнению с классическим уравнением Фика, появляется дополнительное слагаемое г, &1х/д1, которое отражает временную нелокальность процесса массопереноса, т.е. показывает, что изменение градиента концентрации приводит к появлению диффузионного потока не в тот

+ = (6) £ ъЛ Я/ э„2 4 '

же момент времени Г, как в классическом законе Фика, а на время релаксации г2 позже.

Из (5), совместно с законом сохранения массы дс/& = -Ых/дх, следует уравнение диффузии без учета перекрестных эффектов

д2с дс пд2с д( д1 дх2

Учет временной нелокальности массопереноса привел здесь к появлению дополнительного слагаемого г2 д2с/Э?2 по сравнению с классическим уравнением и смене его типа из параболического в гиперболическое.

Если в выражении (1)—(4) учесть термо- и бародиффузию за счет гидродинамического давления, то получим: 82с.дс „д2с

Т дх2 р дх2 )

а2 е/ дх2

ч -

Пренебрегая релаксационными эффектами (г;=тг=т.з=0), т.е. предполагая, что система находится в локальном равновесии и, считая, что поток тепла не оказывает влияния на процесс массопереноса и на перенос импульса, из выражений (1)-(4) получим новое уравнение диффузии

(8)

3/ дх2 д(дх2 Учет влияния вязкоупругих напряжений на процесс массопереноса приводит здесь к появлению дополнительного члена /2 д>с/о1дх2, который отражает пространственную нелокальность массопереноса. Другими словами, поток массы 3х и градиент концентрации дс/дх связаны между собой не в одной пространственной точке с координатой х, как в классическом законе Фика, а в некоторой окрестности этой точки с характерным размером / = Р2Т(В^]е)''!2.

Если в уравнениях (1)-{4) рассматривать только взаимовлияние тензора вязкоупругих напряжений и диффузионного потока, то получим новый вариант уравнения массопереноса (без учета термо- и бародиффузии) дс д2с „д2с ( _ ,2\ дъс

— + г3 — = £>—- + 1г,£) + / )-(9)

э/ дI2 дх2 к 3 'д1дх2 Уравнение (9), по сравнению с классическим локально-равновесным уравнением, содержит два дополнительных параметра: временной т3 и пространственный /, которые отражают пространственно-временную нелокальность процесса массопереноса. Соотношение между этими микропараметрами, характеризующими внутренние свойства системы, и характерными макропараметрами процесса переноса определяет форму соответствующего уравнения диффузии. С течением времени соотношение между характерными масштабами процесса массопереноса и характерными масштабами нелокальности могут изменяться. Это, в свою очередь, приводит к изменению роли, которую играют релаксационные и перекрестные эффекты в процессе диффузии, меняя тем самым характер протекания процесса.

Обозначив в (9) г, = г3 и т'2 =т3+12 / О, получили

дс , д2с _

е/ а/2 а*2 2 9/йс

5с ,д2с _32с , „ Э3с ,1Л.

= т, (10)

где г, и г2, имеют смысл, соответственно, времен релаксации плотности потока частиц и градиента концентрации в вязкой среде.

Наличие смешанной производной в (10), отражающей пространственную нелокальность, изменяет тип уравнения: из гиперболического (при т'г =0) оно снова превращается в параболическое.

Таким образом, в данной главе получены и проанализированы уравнения массопереиоса в различных приближениях. Следует отметить, что уравнения для потока массы имеют аналогичный вид.

Третья глава "Общие закономерности решений локально-неравновесных уравнений диффузии с разными краевыми условиями" посвящена построению и анализу решений локально-неравновесных уравнений массопереиоса для полубесконечного образца и образца конечной толщины. Исследовано влияние пространственной нелокальности на массоперенос в бинарных металлических системах при воздействии КПЭ.

Решение уравнения диффузии с учетом только временной нелокальности (6) для полубесконечного образца с начальным распределением примеси в виде бесконечно тонкого слоя приводит к тому, что скачок концентрации на поверхности тела распространяется в его объем как поверхность сильного разрыва с конечной скоростью У0 = ,'/3 / г2 . В то время как решение классических уравнений переноса параболического типа подразумевает, что влияние всякого возмущения распространяется с бесконечно большой скоростью на все пространство.

Описание массопереиоса с учетом пространственной и временной нело-капьности без учета термо- и бародиффузии проводилось с использованием диффузионного уравнения (10). Для массивных образцов рассматривалась следующая модельная конфигурация: в полуограниченном образце с начальной концентрацией частиц внутри образца с,, на поверхности поддерживается постоянная концентрация частиц с0 для всех ? > 0. В этом случае граничные и начальные условия имеют вид:

с(*,0) = со>—(*,0) = 0, хб[0,оо); (11)

от

с(О,0 = со, с(оо,г) = с,, Г>0.

В этом случае аналитическое решение уравнения (10) для безразмерной концентрации II(х, ?) = (с(х, ?) - с,) /(с0 - с,) в безразмерных переменных

г = г/(2г() и £ = х/(2(От[)иг) было построено методами интегральных преобразований Фурье и Лапласа и для параметра / = т'г/(2т[)>0.5 представляется в виде:

1/(1, г) = 1--,

-77" ^

где /•',(£, г, ¿а)

аю

ехр(- А г/2^2а ск(ат) + ¡2 - уог\зк{ат)),

А = 2 +уа1, а = л1А2-4со2/2.

Для у < 0.5 получаем:

и(4,г)=1-

1

7Г

¿1 А *

]>,(£, г, 60)^+ ]>,(£, г, <у)Лу +

ч о г, &

где = р-2у-2^1-2у/у, <52 = р-2у+ 2^1-2у/у,

[п(га Ьсо

(13)

(14)

(15)

^ су) = ехр(- /1 г/2)(гь 003(6 г) + [г - ;г<и2 };т(6 г)),

(16)

Ь = ^4о)2-А212.

Здесь параметр у определяет отношение между вкладами пространственной и временной нелокальностями.

При постоянном потоке частиц Jo на поверхности образца решение уравнения для безразмерного потока - Л имеет такой же вид, что и для концентрации в предыдущей краевой задаче (учтено, что уравнения для потока частиц и концентрации имеют одинаковый вид). В этом случае безразмерную концентрацию = (с-с,)О/(:/0(Ог])"2) можно выразить через безразмерный поток из закона сохранения массы и определить в виде:

Интегрирование в последнем выражении по временной координате привело, для значений у > 0.5, к выражению

1

к

Ж *

со

(18)

аса

4а - ехр( —~ |([4 + 2а2(у - 1)]уА(аг) + 4аск(ат))

Для у < 0.5 решение принимает вид:

Щ,т) =

(19)

(20)

cos(cy^) bo?

4b - exp

-At

|( [4 + 2 со2 (у- l)]sin(6r) + 4b cos(6r))

Значения Si и д2 определяются выражениями (15).

Приведенные выше выражения были положены в основу численного моделирования, которое велось на языке системы аналитических вычислений Maple.

Поскольку при больших временах наблюдения решения указанных краевых задач совпадают с решениями классического уравнения параболического типа, интерес представляют промежутки времен, когда система находится вне локального равновесия (т < 0.5). На рис.1 и 2 представлены пространственно-временные поля концентраций примесных атомов в бинарной металлической системе в изотермическом приближении, соответствующие рассмотренным выше решениям двух краевых задач для различных значений параметра у(г[ фиксировано, меняется т'2). Концентрационные профили существенно отличаются как от классических, так и от профилей, полученных на основе решения телеграфного уравнения (6) (у=0). Если телеграфное уравнение переноса предсказывает, что скачок концентрации на границе полубесконечного тела распространяется как поверхность сильного разрыва с постоянной скоростью, то пространственно нелокальный член сглаживает скачок концентрации и приводит к возникновению вместо сильного разрыва переходного фронта с непрерывным

Рис.1. Пространственно-временные поля концентрации при постоянном числе частиц на поверхности для различных значений параметра у: а - 0.001, Ь - 1.0

05 04 03 0.2 01 0-*

02 67 1 0 5 '~08°

S

Рнс.2. Пространственно-временные поля концентрации при постоянном потоке частиц на поверхности для различных значений параметра у: а- 0.001, Ь — 1.0.

изменением концентрации. Толщина этого фронта постепенно увеличивается с ростом времени. Однако, при относительно малых у (рисунки 1 а, и 2а) поля концентраций близки к предсказаниям гиперболического уравнения. С увеличением вклада пространственной нелокальности фронт сглаживается интенсивнее в том случае, если на поверхности образца поддерживается постоянная концентрация, а не поток частиц.

Для описания массопереноса в тонком образце конечной толщины Ь при воздействии КПЭ дополним уравнение (10) для плотности потока следующими начальными и граничными условиями:

7(х,0) = 0, Э/(х,0) /Зг = ./0 при 0 <х <Ц

7(0,0 = Л> 5/(1,01дх = 0 при Р>0. (22)

Эта краевая задача решалась методом преобразования Лапласа для безразмерного потока^(^,г) =/(^,г)/70 в новых безразмерных перемен-

ныхг=//(А2/£) и 4=х/Ь.

Решение для образа Лапласа безразмерного потока было получено в виде:

р

'I

V "'V^

+ (1-z,)-" , (23)

где введены обозначения

1 + аср Ч 1 + асР ас = г'21(1} /£>), ctj = г{ /(I2 / D) - безразмерные времена релаксации;

Х0 = J0(L2/D)/J0-безразмерная начальная скорость изменения потока частиц.

Для возврата к оригиналу использовалось обратное преобразование Лапласа

У+1с£

Х^,т) = М2т ^,р)ехр(рг)ф. (25)

Переход к новой вещественной переменной а, определяемой соотношением р = P + ico, позволяет свести интеграл (25) к интегралу Фурье

/M, г) = Ь(4, р = 0 + ico)exp(im)da>. (26)

Вычисление последнего интеграла может быть проведено путем интегрирования по контуру в комплексной плоскости с использованием теории вычетов, что является непростой и трудоемкой задачей. Поэтому его вычисление было проведено численными методами с использованием алгоритмов метода Дурбина или Римана.

Метод Римана сводит вычисление интеграла (26) к вычислению суммы exp(r/0

2

+ Re £ (-1)" Ж, Р + in* ' г)

(27)

Точность аппроксимации интеграла суммой Римана определяется значениями

параметра Д, который влияет на скорость сходимости ряда, и числом учитываемых слагаемых N в сумме. Для вычисления с точностью до 10~5 в расчетах было выбрано N=2000 и Дг = 5.0 для всех случаев.

Для перехода от безразмерного потока /(£, г) к безразмерной концентрации частиц Г(£,г) - (с-сс)о/[угх] вновь использовалось выражение (17). Здесь с(г-начальная концентрация примеси в образце.

/ ^

< t -..... t

Рис 3. Влияние на распределение концентрационного потока начальной скорости изменения потока ¿0: а - 0, b - 10, с - 40. ас- 1-0, 2-0.002, 3-0.04, 4-0.1, 5-0 5

Для исследования влияния пространственной нелокальности на процесс массопереноса рассмотрим сначала случай, когда начальная скорость изменения потока на левой границе равна нулю (J0= 0). Значения aj фиксированы (dj =0.04), варьируется ас. На рис.З(а), представлены результаты моделирования. Кривая со значением ас=0 соответствует волновому механизму массопереноса со скоростью (D/r,)"2. Резкий волновой фронт наблюдается при % = т1(а1)12. При незначительном отклонении ас от нуля (а, =0.002), т.е. когда начинает действовать пространственная нелокальность, резкий волновой фронт расплывается, а область проникновения потока частиц расширяется в глубь образца. Кривая 3, для которой безразмерные времена релаксации совпадают: ac=aj, соответствует классическому закону диффузии Фика. Если ac>ajt то значения потока превышают величины, предсказываемые волновой и диффузионной моделями, резко растет глубина проникновения примесных атомов. Значительное отклонение от прогнозируемых результатов классической и волновой теорий, показанное на рис.З(а), означает, что эффекты, обусловленные пространственной и временной нелокальностями, нельзя рассматривать по отдельности, а необходимо учитывать их общий вклад в массоперенос.

Ненулевая начальная скорость изменения потока массы вносит новые коррективы в характер массопереноса рис.З(Ь, с). Если в области значений 0< j0 <20 тенденции поведения плотности потока с ростом ас при неизменных других параметрах сохраняются такими же, как на рис.З(а), то при %0> 20 плотность потока вблизи поверхности, наоборот, понижается (рис.З(с)). Эффекты начальной скорости потока в этом случае преобладают над влиянием пространственно-временной нелокальности. Однако независимо от величины начальной

скорости потока пространственная нелокальность и в этом случае нарушает волновой характер массопереноса.

г

0.8

| 0.2 0.4 0.6 0 8 ! 1

V

-0.1

0 0.2 0.4 0.6 0.8

Рнс.4. Распределение безразмерного потока х и безразмерной концентрации примеси К в тонкой пленке для различных моментов наблюдения т: 1 - 0.05,2 - 0.1,3 - 0.3,

Рнс.5. Распределение безразмерного потока х и безразмерной концентрации примеси V в тонкой пленке для различных моментов наблюдения т: 1 -0.05,2- 0.1, 3 -0.3,

4-0.5,5-1.0; ас=0 10, 0.05; ¿„=20.

Профили безразмерного потока % и безразмерной концентрации V примесных атомов в пленке для различных моментов времени наблюдения г при Хо =20 для параметров ас <а] и ас> а] представлены на рис.4 и 5, соответственно. С ростом времени предсказываемые максимумы концентрационных профилей убывают как при малых, так и больших значениях параметра пространственной нелокальности ас, но в первом случае их местоположение по глубине не меняется и локализованы вблизи поверхности, в то время как во втором варианте они смещаются вглубь образца. Немонотонны и потоки в зависимости от времени на разных глубинах, но при относительно больших временах наблюдения они стремятся к константе, предсказываемой классическим законом Фика.

В четвертой главе "Описание высокоскоростной перекристаллизации бинарных сплавов с учетом пространственно-временной нелокальности" сформулирована и решена задача о высокоскоростном затвердевании бинарного сплава после воздействия КПЭ. В рамках модели массопереноса с учетом про-

4-0.5, 5-1.0; ас =0005, а, =0.05, ¿<,=20.

7.

О 0.2 0.4 _ 0.6 0.8 1

странственно -временной нелокальности и теории маргинальной устойчивости приведена оценка размеров ячсисто/дендритной микроструктуры, формирующейся в бинарных сплавах при высокоскоростной кристаллизации из расплава.

Для описания высокоскоростного затвердевания рассматривалась следующая модельная конфигурация: плоский фронт кристаллизации движется с постоянной скоростью (К=соп51) вдоль оси х. Идеализируя условия тепло-массопереноса, пренебрегли изменением удельного объема при фазовом переходе, химическими реакциями, диффузией в твердой фазе, конвективным движением и температурной зависимостью коэффициента диффузии в расплаве.

В этом случае для концентрации примеси с! в жидкой фазе обобщенное уравнение диффузии (10) в подвижной системе координат, связанной с фронтом затвердевания %=х-У1, принимает следующий вид:

^ + = 0. (28)

Здесь степень локальной неравновесности определяется параметрами у] = У/Ут и у2 = У/Ут, где введены дополнительно характерные диффузионные скорости: Ут=(рь1т|')"2 (скорость распространения диффузионных возмущений в системе, связанная с временной нелокальностью) и Ут = {й, /т'2)''" (скорость выравнивания градиента концентрации, связанная с пространственной нелокальностью). Граничное условие на фронте затвердевания, выражающее закон сохранения массы на поверхности раздела фаз, было получено путем интегрирования уравнения (28) по замкнутой поверхности, включающей поверхность раздела между жидкой и твердой фазами

= 0. (29)

£=о

У ' 2 д?

Здесь к = с3/с1 -коэффициент распределения (сегрегации) примеси, численно равный отношению концентраций примеси в твердой и жидкой фазах С1 вблизи фронта затвердевания, и зависящий, в общем случае, от скорости движения границы раздела фаз. Еще одно граничное условие задается из требования, что иа больших расстояниях от фронта кристаллизации концентрация остается постоянной

с(«) = с0. (30)

Решение уравнения (24) совместно с граничными условиями (25), (26) дает концентрационный профиль примеси в жидкой фазе в следующем виде

1+ (1 - А)ехр(- рУ£!О,)

= сг

2г.

Выражение (31) позволяет ввести эффективный коэффициент диффузии D, , который характеризует локально неравновесный массоперенос в расплаве, соотношением

D*=DLlß, (32)

В волновой модели (когда т2 =0 или уг =0), учитывающей только временную нелокальность (кривая 1 на рис. 6), при скоростях движения фронта, превышающих диффузионную скорость VDU массоперенос перед поверхностью фазового перехода отсутствует (эффективный коэффициент диффузии равен нулю). Дополнительный учет пространственной нелокальности приводит к увеличению эффективного коэффициента диффузии (кривые 2, 3 на рис. 6) по сравнению с волновой моделью. Следовательно, диффузия перед поверхностью раздела фаз имеет место даже при V/VDi>l.

Введение эффективного коэффициента диффузии позволило получить коэффициент сегрегации с учетом пространственно-временной нелокальности, заменив D на D* в выражении для локально-равновесного коэффициента [7]:

т = {ке+гМl + hß). (33)

Выражение (33) получено в предположении, что диффузионные скорости на поверхности фазового перехода и в объеме жидкости совпадают.

Расчеты концентрационных профилей для примесной компоненты бинарного сплава в расплаве по формуле (31) показывают, что в локально-равновесном пределе (Yi«l и Уг«1) распределение примесных атомов в жидкой фазе совпадает с классическим решением уравнения диффузии параболического типа с характерным диффузионным слоем Di/V. Учет только временной нелокальности массопереноса приводит к уменьшению диффузионного слоя d~D\lV, который сокращается до нуля при у,>1, т.е. перераспределение примеси перед фронтом затвердевания прекращается. При дополнительном учете пространственной нелокальности (уг^^О) переход к бездиффузионному механизму затвердевания не предсказывается, что качественно меняет механизм фазо-образования при высокоскоростной кристаллизации сплавов. С ростом вклада пространственно—нелокальных эффектов увеличивается уровень значений концентрации примеси перед фронтом затвердевания и ширина диффузионного слоя. Представленные результаты подтверждаются наличием резких максимумов у поверхности на ряде экспериментально измеренных концентрационных профилях в фольгах, полученных сверхбыстрой закалкой из расплава [8], в ста-

0 0 5 1 1.5 2 2 5 v/vtl

Рис.б. Зависимость эффективного коэффициента диффузии от параметра временной нелокальности г\=У!Ув\ для разных значений параметра пространственной нелокальное™ = 1- 0,2-0.2,3-0.5.

лях, облученных мощными ионными пучками [9, 10], а также при мощном лазерном воздействии на материалы [11].

Для оценки размеров й формирующейся микроструктуры при высокоскоростной кристаллизации исходили из гипотезы маргинальной устойчивости [12], согласно которой с1 равен минимальной длине волны малого возмущения, соответствующего условию нейтральной устойчивости плоской поверхности раздела фаз. С учетом временной нелокальное™ выражение для размеров микроструктуры имеет вид [3]:

й = ^Г/(а(твс£с - 0.5(С^ + С^,)) • (34)

Здесь а = \/4л:, Г - коэффициент Гнббса-Томсона, т - наклон линии ликвидус на кинетической фазовой диаграмме. Функции устойчивости имеют вид:

^ =1-1/л/Г+Т7оР?, =1 + 1/л/1 + 1/оРгг ,

4с =1 + 2к/ф-2к-(1 + (1-у?)/о-Р<?, (35)

где соотношения РТ =Ус1/2а и Рс = Ус1 НО определяют, соответственно, тепловое и концентрационное число Пекле (а— коэффициент температуропроводности). Наклон линии ликвидус на кинетической фазовой диаграмме, согласно [3], описывается выражением:

т(У) = те(\~к + \п(к/ке)+ (1 -к)2у1 )/(1 -ке). (36)

Для определения размера микроструктуры с учетом пространственной и временной нелокальности в нулевом приближении использовалось выражение

(30). При этом полагалось, что формула (30) справедлива не только с учетом временной нелокальности, но и с дополнительным учетом пространственной нелокальности, если только в них заменить коэффициент сегрегации А(К), коэффициент диффузии 0(У) и тангенс угла наклона линии ликвидус т(У) на соответствующие локально-неравновесные величины. Соответственно, в выражениях (35) и (36) коэффициент сегрегации к определялся формулой (33). Как видно из (34), размер структуры зависит не только от градиентов температуры на фронте кристаллизации со стороны расплава и твердой фазы £7<г> но и от градиента концентрации <?с, для которого из выражения (27) получаем:

Сс=-(1 -к(ПУС0/(к(П£>'), (37)

Для исследования влияния параметров кристаллизации на размеры микроструктуры при моделировании была выбрана конструкционная сталь марки 50Г2 [2] (с характеристиками ке=0.35, т=-\4 ат. %, 2>2 10~8 м2/с, С0=2.29 ат.%, Л=1.9 10^7 К м, 1=35 Вт/К м).

Рнс.7. Зависимость размера микроструктуры от величины граднента температуры и параметра пространственной нелокальности: 1- у2= 1; 2- у2=0.1. V = 4 м/с.

С использованием локально неравновесных уравнений (34)-(37) были проанализированы общие закономерности изменения характерных размеров кристаллической микроструктуры при варьировании параметров V, С/, С0 , у/, у, и некоторых других.). При анализе зависимости размера микроструктуры от какого-либо параметра значения остальных оставались постоянными. Полагалось, что вь=С3.

Одним из главных управляющих факторов при образовании структуры в процессе кристаллизации являются градиент температуры и концентрации на фронте затвердевания. На рис.7, представлена зависимость размера микроструктуры от величины градиента температуры для разных значений параметра пространственной нелокальности. С ростом градиента температуры размеры увеличиваются. Подобное действие оказывает рост поверхностного натяжения. Как показало моделирование, рост градиента концентрации приводит к уменьшению размеров дендритов (рис.8). Для всех рассмотренных выше случаев учет пространственной нелокалыюсти ведет к росту размеров. Что касается их зависимости от коэффициента диффузии примесных атомов в расплаве, то она неоднозначна (рис.9).

* 4

г.. 31.

1.5

21. о

0.5

Рнс.8. Зависимость размера микроструктуры от начальной концентрации и параметра пространственной нелокальности уг: 1- 0,2-1; 3-2. V = 3 м/с

2 3 4 5 6

i), ю'и'-'с

Рнс.9. Зависимость размера микроструктуры от коэффициента диффузии для разных параметров пространственной нелокальности у2-1-0:2-1; 3-2. У = 3 м/с.

В данной главе дана интерпретация наблюдаемых закономерностей. Представленные результаты коррелируют с экспериментальными данными.

В заключении изложены основные защищаемые положения и практическая ценность, приведены данные об апробации работы, сформулированы основные результаты и выводы диссертационной работы, которые состоят в следующем:

1. Для описания быстропротекающих процессов в рамках расширенной необратимой термодинамики получена система локально-неравновесных уравнений переноса, которые учитывают как релаксационные процессы, так перекрестные эффекты, т.е. взаимовлияние теплопроводности, массопереноса и вязкости.

2. Показано, что учет вязкоупругих напряжений приводит к пространственной нелокальности массопереноса. Модифицированное (локально-

неравновесное) уравнение диффузии является уравнением в частных производных третьего порядка.

3. Развита и проанализирована локально—неравновесная модель массопе-реноса в бинарных системах, подвергаемых воздействиям КПЭ, которая учитывает как пространственную, так и временную нелокальность переноса.

4. Показано, что локально-неравновесная модель массопереноса позволяет учесть начальную скорость изменения потока, влияние которой приводит к немонотонным распределениям потоков и концентрации частиц по глубине.

5. Сформулирована модель высокоскоростного затвердевания с учетом как временной, так и пространственной нелокальное™.

6. Получено аналитическое решение для задачи высокоскоростного затвердевания с учетом пространственно-временной нелокальности.

7. Проанализировано влияние параметров процесса локально-неравновесного затвердевания, в частности, влияние локально-неравновесных эффектов на структурообразование при высокоскоростной перекристаллизации.

Список публикаций по теме диссертации

Статьи:

1. Вершинин Г.А., Геринг Г.И., Афонькина Е.А. Особенности описания тепло-массопереноса в рамках расширенной необратимой термодинамики // Вестник Омского университета. - 2002 - №4. - С. 20-23.

2. Вершинин Г.А., Геринг Г.И., Афонькина Е.А. Описание в локально-неравновесном приближении массопереноса в кристаллах при воздействии высокоинтенсивными пучками заряженных частиц // Поверхность. - 2003-№5,-С. 14-16.

3. Афонькина Е.А., Вершинин Г.А., Геринг Г.И. Влияние пространственно-временной нелокальности на формирование концентрационных полей в металлах при воздействии мощными ионными пучками // Физика и химия обработки материалов. - 2004,-№2 - С. 5-11.

4. Афонькина Е.А., Вершинин Г.А., Геринг Г.И., Шумилин В.А Локально неравновесный массоперенос в бинарных системах при воздействии концентрированными потоками энергии // Поверхность. - 2006. - №4. - С. 35-40.

5. Afonkina Е. A., Vershinin G.A., Shumilin V.A. Role of Relaxation Processes in Microstructure Forming in Binary Alloys under Irradiated with High-Intensive Energy Flow // Известия вузов. Физика. - 2006. -№ 8. Приложение. - С. 226228.

6. Сидорова Е.А. Вершинин Г.А., Геринг Г.И., Шумилин В.А Особенности локально-неравновесной перекристаллизации бинарных сплавов при воздействии концентрированными потоками энергии // Известия вузов. Физика. -2007.-№ 10/3.-С. 64-68.

7. Сидорова Е.А. Вершинин Г.А., Геринг Г.И., Шумилин В.А Особенности локально-неравновесной перекристаллизации бинарных сплавов при воздействии мощными импульсными потоками заряженных частиц И Поверхность. -2008.-№4.-С. 55-60.

8. Sidorova E. A., Vershinin G.A., Gering G.I., Shumilin V.A. Features of Local Nonequilibrium Recrystallization of Binary Alloys under Effect of Intense Pulsed Beams of Charged particles // Journal of Surface Investigation. X-ray, Synchrotron and Neutron Techniques. - 2008. -V. 2- № 2. - P. 305-309.

Доклады и тезисы докладов:

9. Вершинин Г.А., Геринг Г.И., Афонькина Е.А. Описание в локально-неравновесном приближении массопереноса в кристаллах при воздействии высокоинтенсивными пучками заряженных частиц // Тез. докл. XXXII Международной конференции по физике взаимодействия заряженных частиц с кристаллами (Москва, 27-29 мая 2002).- М.: Изд-во УМЦЦО, 2002 - С. 175.

10. Афонькина Е.А., Вершинин Г.А., Геринг Г.И., Бухбиндер Г.Л. Локально-неравновесная модель массопереноса в металлах при воздействии сильноточными пучками заряженных частиц // 6th International Conference on Modification Material with Particle Beams and Plasma Flows (Tomsk, Russia, 23-28 September 2002) - Томск: Издательский дом "Курсив", 2002. - С. 234-237.

11. Афонькина Е.А. Роль упругих напряжений в формировании концентрационных и температурных полей в материалах при воздействии концентрированными потоками энергии // Материалы всероссийской молодежной конференции "Под знаком "Сигма". Омск. 2003. - С. 31.

12. Афонькина Е.А., Вершинин Г.А., Геринг Г.И. Влияние пространственно-временной нелокальности на формирование концентрационных полей в металлах при воздействии мощными ионными пучками // Тез. докл. XXXIII Международной конференции по физике взаимодействия заряженных частиц с кристаллами (Москва, 26-28 мая 2003). -М.: Изд-во УМЦДО, 2003-С. 122.

13. Афонькина Е.А. Вершинин Г.А., Геринг Г.И. Влияние релаксационных процессов на формирование концентрационных профилей в металлах при воздействии импульсными пучками частиц высокой интенсивности // 12th International Conference on Radiation Physics and Chemistry of Inorganic Materials (Tomsk, Russia, 23-27 September 2003).- C. 142-144.

14. Афонькина E.A., Вершинин Г.А., Геринг Г.И. Анализ локально-неравновесного массопереноса в металлических системах при воздействии высокоинтенсивными пучками заряженных частиц // Тез. докл. XXXIV Международной конференции по физике взаимодействия заряженных частиц с кристаллами (Москва, 31 мая - 2 июня 2004).- М.: Изд-во УМЦЦО, 2004.-С. 126.

15. Afonkina Е. A., Vershinin G.A., Gering G.I. Modeling of the concentration fields in metal films under irradiated with high-intensive pulse beams of charged particles // 7th International Conference on Modification Material with Particle Beams and Plasma Flows (Tomsk, Russia, 25-30 July 2004) — Tomsk: Publishing house of the IAO SB RAS, 2004. - P. 232-235.

16. Афонькина E.A., Вершинин Г.А., Геринг Г.И. Локально-неравновесные процессы в металлических системах при воздействии мощными ионными пучками // Труды IV Международной научной конференции "Радиационно-

го

термические эффекты и процессы в неорганических материалах" (Томск, Россия, 12-19 августа 2004). - Томск: Изд. ТПУ, 2004 С.210-213.

17. Афонькина Е.А., Вершинин Г.А., Геринг Г.И. Локально неравновесный мас-соперенос в неизотермической бинарной металлической системе при воздействии интенсивными импульсными пучками частиц // Тез. докл. XXXV Международной конференции по физике взаимодействия заряженных частиц с кристаллами. (Москва, 31 мая -2 июня 2005). - Москва: Изд-во УНЦ ДО.-С. 183.

18. Афонькина Е.А., Вершинин Г.А., Геринг Г. И., Шумилин В.А Высокоскоростное затвердевание бинарных сплавов при воздействии концентрированными потоками энергии // Военная техника, вооружение и технологии двойного применения: Материалы III Международного технологического конгресса (Омск, 7-10 июня 2005 г.) В 2 ч. Омск: ОмГУ, 2005. 4.1. - С. 245-247.

19. Афонькина Е.А., Вершинин Г.А., Геринг Г.И., Шумилин В.А. Описание локально-неравновесных эффектов в металлических системах при облучении концентрированными потоками энергии // Тезисы докладов III Всероссийской научной молодежной конференции "Под знаком "Сигма". (Омск, 4-6 июля 2005). - Омск. С.95-96.

20. Афонькина Е.А., Шумилин В.А., Вершинин Г.А. Влияние пространственной нелокальности на формирование микроструктуры при быстрой перекристаллизации бинарных сплавов // Материалы 3-й Всероссийской конференции молодых ученых "Фундаментальные проблемы новых технологий в 3— ем тысячелетии" (Томск, 3-6 марта 2006 г.). - Томск: Изд-во Института оптики атмосферы СО РАН, 2006. - С. 75-78.

21. Афонькина Е.А., Вершинин Г.А., Геринг Г.И., Шумилин В.А. Формирование микроструктуры при кристаллизации из расплава, образованного высокоэнергетическими импульсными потоками заряженных частиц // Тезисы докладов XXXVI Междун. конференции по физике взаимодействия заряж. частиц с кристаллами (Москва, 30 мая - 1 июня 2006г.).- М.: Изд-во Моск. ун-та, 2006. - С. 129.

22. Шумилин В.А., Афонькина Е.А., Вершинин Г.А. Особенности локально неравновесного формирования микроструктуры при кристаллизации бинарных сплавов после воздействия импульсными пучками заряженных частиц // Труды V Международной научной конференции "Радиационно-термические эффекты и процессы в неорганических материалах" (Томск, Россия, 28 июля-4 августа 2006). - Томск: Изд. ТПУ, 2006 . - С.288-291.

23. Афонькина Е.А., Вершинин Г.А., Геринг Г.И. Особенности локально-неравновесной перекристаллизации бинарных сплавов при воздействии мощными импульсными потоками заряженных частиц И Тез. докл. XXXVII Международной конференции по физике взаимодействия заряженных частиц с кристаллами (Москва, 29 мая-31 мая 2007). — М.: Университетская книга, 2007. - С. 150.

24. Сидорова Е.А. Вершинин Г.А., Геринг Г.И. Формирование микроструктуры при высокоскоростном затвердевании бинарных сплавов в результате воздействия концентрированными потоками энергии // Материалы IV Междун.

технологического конгресса "Военная техника, вооружение и современные технологии при создании продукции военного и гражданского назначения" (Омск, 4-9 июня 2007 г.). - Омск: Изд-во ОмГТУ, 2007. - 4.2, С. 405^10.

Список цитируемой литературы

1. Соболев С. JI. Локально-неравновесные модели переноса // УФН. - 1997. -№10. -С 1095-1106.

2. Галенко П.К., Харанжевский Е.В., Данилов Д.А. Высокоскоростная кристаллизация конструкционной стали при лазерной обработке поверхности // ЖТФ. - 2002. - Т.72. - №5. - С.48-55.

3. Galenko Р.К., Danilov D.A. Linear morphological stability analysis of the solidliquid interface in rapid solidification of a binary system // Phys. Rev. E. - 2004. -V.69.-051608.

4. Mullins A. M. Rapid solidification within the framework of a hyperbolic conduction model // Int. J. Heat Mass Transfer. - 1997. - V.40. -№ 17. - P.4085-4094.

5. Lewandowska M. Hyperbolic heat conduction in the semi-infinite body with a time-dependent laser heat sourse // Heat and mass transfer. - 2001. - V.37. -P.333-342.

6. Jou D., Casas-Vazquez J., Lebon G. Extended irreversible thermodynamics// Rep. Prog. Phys. - 1988. - № 51. - P. 1105-1179.

7. Aziz M.J., Kaplan T. Continuous growth model for interface motion during alloy solidification // Acta Metall. -1988. - V.36. - №8. - P.2335-2347.

8. Ташлыкова-Бушкевич И.И., Гутько E.C., Шепелевич В.Г. Пространственное распределение германия в быстрозатвердевших сплавах A!-Ge // Поверхность. Рентгеновские, синхротронные и нейтронные исследования. - 2006. -№4.-С. 100-103.

9. Pogrebnjak A.D., Remnev G. Е. Physical and mechanical changes in HPIB-irradiated steels // Nuclear Instruments and Physics Research. - 1989. - V. B43. -P.41-45.

Ю.Полещенко K.H., Поворознюк C.H., Вершинин Г.А. Влияние условий ионно-лучевого воздействия на структуру и свойства твердых сплавов // Поверхность. Физика, химия, механика. - 1995. -№4. - С. 114-116.

11. Е. Fogarassy, Stuck R., Toulemonde M. at.al. A model for laser induced diffusion// J. App. Phys. - 1983 - V. 54. - № 9. - C. 5059 - 50063.

12. Van Vaerenbergh S., Coriel S.R., McFadden G.B. Morphological stability of a binary alloy: thermodiffusion and temperature-dependent diffusivity // J. Crist. Growth. - 2001. - V. 223. - P. 565-572.

Сидорова Евгения Анатольевна

ЛОКАЛЬНО-НЕРАВНОВЕСНОЕ ОПИСАНИЕ МАССОПЕРЕНОСА В МЕТАЛЛИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ ПРИ ВОЗДЕЙСТВИИ КОНЦЕНТРИРОВАННЫМИ ПОТОКАМИ ЭНЕРГИИ

Специальность 01.04.07-физика конденсированного состояния

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Подписано в печать 17.10.2008. Формат 60*84 1/16. Печ. л. 1.5. Уч.-изд. л. 1.5. Тираж 120 экз. Заказ 589

ООО «Полиграфический центр «Татьяна» 644020, г.Омск, ул. Лобкова, д. 4, тел.: (3812) 48-10-39, факс: (3812) 46-21-15

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА

Процессы переноса, возникающие при воздействии на материалы концентрированными потоками энергии и способы их описания.

1.1. Введение.

1.2. Основные этапы и направления развития теории переноса.

1.2.1. Локально-равновесные теории.

1.2.2. Феноменологические модели.

1.2.3. Локально-неравновесные теории.

1.3. Анализ явлений переноса с учетом временной нелокальности.

1.3.1. Высокоскоростная кристаллизация.

1.3.2. Формирование микроструктуры.

1.4. Постановка задач исследования.

ГЛАВА

Вывод уравнений переноса в рамках расширенной необратимой термодинамики с учетом пространственно-временной нелокальности.

2.1. Эволюционные уравнения для диссипативных потоков.

2.2. Обобщенные уравнения массопереноса.

ГЛАВА

Общие свойства решений локально-неравновесных уравнений диффузии с разными краевыми условиями.

3.1. Решение уравнения диффузии с учетом временной нелокальности.

3.2. Локально неравновесный массоперенос в полуограниченном твердом теле.

3.2.1. Краевая задача для концентрации примесных атомов.

3.2.2. Краевая задача для плотности потока частиц.

3.2.3. Результаты моделирования и их анализ.

3.3. Локально-неравновесный массоперенос в образце конечной толщины.

3.3.1. Постановка краевой задачи и методы ее решения.

3.3.2. Результаты моделирования.

ГЛАВА

Описание высокоскоростной перекристаллизации бинарных сплавов с учетом пространственно-временной нелокальности.

4.1. Математическая модель высокоскоростной кристаллизации.

4.2. Общие закономерности массопереноса при высокоскоростном затвердевании.

4.3. Размер формирующейся микроструктуры.

Одним из перспективных направлений получения материалов с качественно новыми свойствами является модифицирование их приповерхностных слоев концентрированными потоками энергии (КПЭ) высокой мощности. В качестве КПЭ используется лазерное излучение, мощные (сильноточные) электронные пучки, мощные ионные пучки [1-6]. В настоящее время в той или иной степени развиваются все эти направления. Изменения свойств металлов и сплавов при использовании методов КПЭ-технологий в большинстве случаев обусловлены одновременным или раздельным действием теплофизических (термообработка), металлургических (легирование) и ударно-волновых (деформация) процессов, вызывающих структурно-фазовые превращения в металлических материалах. При этом могут быть созданы экстремальные условия прохождения этих процессов.

Из основных процессов, которые приводят к модификации поверхностных свойств материала при данном виде радиационной обработки, можно выделить изменение микроструктуры при перекристаллизации и интенсивный массо-перенос примесных атомов и компонентов сплава вглубь обрабатываемого материала. Решающие значение при формировании свойств материала имеют условия процесса затвердевания, к которым, в частности, относится скорость охлаждения тонкого приповерхностного слоя после оплавления. По проведенным количественным оценкам [2, 7—11] она может достигать значений 106— 1011 К/с в зависимости от удельной мощности поглощенного потока, длительности облучения и теплофизических характеристик обрабатываемого материала. Кроме того, расчеты температурных полей в металлических системах показывают [9, 12, 13], что средняя скорость затвердевания расплава по порядку величины совпадает со скоростью распространения концентрационных возмущений в среде (для расплавов металлов — 1—10 м/с [14]). В этой ситуации массоперенос при высокоскоростном плавлении и затвердевании протекает, по-видимому, в локально-неравновесных условиях, что, в результате, позволяет получать материалы с уникальными физико-химическими свойствами, представляющими больтой практический интерес. При таких высокоскоростных процессах, когда скорость возмущений внутри системы сравнима со скоростью распространения концентрационных или тепловых возмущений (что имеет место в подобных экспериментах по модифицированию свойств материалов), состояние системы может значительно отличаться от локального равновесия. Этот факт ставит под сомнение корректность применения моделей, основанных на решении классических параболических уравнений переноса, пригодных для описания достаточно медленных процессов и не учитывающих конечную скорость распространения возмущений в среде [15]. Локально неравновесные модели переноса, опирающиеся на уравнения гиперболического типа с учетом только временной нелокальности, в последние годы интенсивно развиваются в работах Соболева, Га-ленко и их коллег [14-21], а также в работах зарубежных авторов [22-24]. Однако, высокая неравновесность процессов, возникающих при облучении материалов КПЭ, приводит к необходимости учитывать влияние не только временной, но и пространственной нелокальности на явления переноса.

Фундаментальные исследования локально-неравновесных струетурно-фазовых превращений, механизмов массопереноса в металлических хматериалах должны способствовать углублению представлений о состоянии вещества в экстремальных условиях (сверхвысокие температуры и давления, короткие промежутки времени). Наличие подобных знаний позволит эффективно использовать КПЭ для создания материалов с заданным комплексом физико-механических свойств и для разработки методов упрочняющей обработки материалов. В связи с этим развитие теории переноса в металлических твердых телах при условии отсутствия локального равновесия является актуальной задачей физики конденсированных сред и материаловедения. Следует заметить, что важную роль в фундаментальных и прикладных задачах исследования взаимодействия КПЭ с веществом играет математическое моделирование процессов массопереноса с учетом пространственно—временной нелокальности.

В связи с этим целью данной работы являлось установление общих закономерностей локально-неравновесного массопереноса в бинарных металлических системах при воздействии концентрированными потоками энергии, учитывая пространственно-временную нелокальность процессов.

Научная новизна работы заключается в том, что в ней впервые:

1. Исследовано влияние пространственной нелокальности на массоперенос в бинарных металлических системах при воздействии КПЭ. Установлено, что учет пространственной нелокалыюсти сглаживает поверхность сильного разрыва в концентрационном поле, которое имеет место при учете только временной нелокальности, и предсказывает усиленный перенос примесных атомов на большие глубины.

2. Аналитическими и численными методами решения обобщенных уравнений переноса, учитывающих пространственно—временную нелокальность, установлено, что ненулевая начальная скорость изменения потока субстанции (массы, температуры) при определенных значениях обусловливает появление удаленных от поверхности облученных образцов максимумов в пространственных распределениях потока субстанции и самой субстанции.

3. Установлено, что учет пространственной нелокальности в уравнениях массопереноса предсказывает диффузионный механизм затвердевания при любых скоростях движения фронта раздела фаз при высокоскоростной кристаллизации.

4. Исследовано влияние модельных параметров затвердевания на размеры микроструктуры при высокоскоростной кристаллизации. Показано, что увеличение вклада пространственной нелокальности, градиента температуры, коэффициента поверхностного натяжения и уменьшение градиента концентрации приводят к росту размеров микроструктуры. Немонотонное изменение последних наблюдается при варьировании коэффициента диффузии в жидкой фазе.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, приложения, изложенных на 118 страницах текста, и включает 23 рисунка, 1 таблицу, 145 библиографических наименований.

Основные результаты и выводы диссертационной работы заключаются в следующем:

1. Для описания быстропротекающих процессов в рамках расширенной необратимой термодинамики получена система локально-неравновесных уравнений переноса, которые учитывают как релаксационные процессы, так перекрестные эффекты, т.е. взаимовлияние теплопроводности, массопереноса и вязкости.

2. Показано, что учет вязкоупругих напряжений приводит к пространственной нелокальности массопереноса. Модифицированное (локально-неравновесное) уравнение диффузии является уравнением в частных производных третьего порядка.

3. Разработана локально-неравновесная модель массопереноса в бинарных системах, подвергаемых воздействиям КПЭ, которая учитывает как пространственную, так и временную нелокальность переноса.

4. Показано, что локально-неравновесная модель позволяет учесть начальную скорость изменения потока, влияние которой приводит к немонотонным распределениям потоков и концентрации частиц по глубине.

5. Сформулирована модель высокоскоростного затвердевания с учетом как временной, так и пространственной нелокальности.

6. Получено аналитическое решение для задачи высокоскоростного затвердевания с учетом пространственно-временной нелокальности.

7. Проанализировано влияние параметров процесса локально-неравновесного затвердевания, в частности, влияние локально-неравновесных эффектов на структурообразование при высокоскоростной перекристаллизации.

На защиту выносятся следующие положения:

1. Наблюдаемая усиленная миграция примесных атомов на аномально большие глубины в бинарных металлических системах при воздействии КПЭ является в значительной степени проявлением пространственной нелокальности в процессах переноса.

2. Максимумы в потоках и наблюдаемых концентрационных полях в приповерхностных слоях облученных образцов обусловлены при определенных значениях ненулевой начальной скоростью изменения потока.

3. С точки зрения пространственно—временной нелокальности явлений переноса диффузионный механизм затвердевания в бинарных сплавах имеет место при любых скоростях движения фронта раздела фаз при высокоскоростной перекристаллизации после воздействия КПЭ.

4. Размеры ячеисто/дендритных микроструктур, формирующихся в результате высокоскоростной перекристаллизации бинарных сплавов, растут с увеличением вклада пространственной нелокальности в процессы массопереноса.

Практическая ценность работы состоит в том, что развиваемые модели и результаты расчетов позволяют глубже понять процессы переноса в конденсированных средах, которые имеют место при облучении их КПЭ. Полученные в работе результаты и выводы могут быть применены при разработке новых технологий радиационного модифицирования материалов и использованы в учебном процессе при подготовке лекционных курсов специальных дисциплин.

Достоверность полученных результатов достигается корректностью постановки решаемых задач и их физической обоснованностью; использованием классических апробированных методов решения задач математической физики (метод преобразования Фурье и Лапласа, метод функции Римана); удовлетворительным согласием полученных в работе теоретических результатов с литературными теоретическими и экспериментальными данными.

Апробация работы. Материалы диссертации докладывались и обсуждались на следующих научных форумах: XXXII-XXXVII Международных конференциях по физике взаимодействия заряженных частиц с кристаллами (Москва, 2002 - 2007); 6th-8th International Conferences on Modification Material with Particle Beams and Plasma Flows (Tomsk, 2002, 2004, 2006); 12th International Conference on Radiation Physics and Chemistry of Inorganic Materials. (Tomsk, 2003); IV и V Международной научной конференции "Радиационно-термические эффекты и процессы в неорганических материалах" (Томск, 2004, 2006); Всероссийской молодежной конференции "Под знаком "сигма" (Омск, 2003, 2005); III и IV Международном технологическом конгрессе "Военная техника, вооружение и технологии двойного применения" (Омск, 2005, 2007); 3-й Всероссийской конференции молодых ученых "Фундаментальные проблемы новых технологий в 3-ем тысячелетии" (Томск, 2006 г.).

Публикации. Материалы диссертационной работы изложены в 24 работах, 7 из которых представляют публикации в рецензируемых научных журналах.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В настоящей диссертационной работе в рамках РНТ с учетом пространственно—временной нелокальности теоретически проанализированы явления массопереноса в бинарных металлических системах при воздействии концентрированными потоками энергии.

1. Рыкалин Н.Н., Углов А.А., Кокора А.Н. Лазерная обработка материалов. -М.: Машиностроение, 1975.-296с.

2. Диденко А.Н., Лигачев А.Е., Куракин И.Б. Воздействие пучков заряженных частиц на поверхность металлов и сплавов. — М.: Энергоатомиздат, 1987184 с.

3. Быковский Ю.А., Неволин В.Н., Фоминский В.Ю. Ионная и лазерная имплантация металлических материалов. — М.: Энергоатомиздат, 1991. — 240с.

4. Калин Б.А., Якушин В.Л., Польский В.И. Модификация металлических материалов при обработке потоками высокотемпературной импульсной плазмы // Известия высших учебных заведений. Физика. 1994. - №5. - С. 109126.

5. Калин Б.А. Перспективные радиационно-пучковые технологии получения и обработки материалов // Известия томского политехнического университета. 2000. - №2. - С. 46-58.

6. Бойко В.И., Евстегнеев B.B., Прилепских H.H., Шаманин И.В. Эволюция температурного поля поглотителя, облученного интенсивным ионным пучком // Известия вузов MB и ССО СССР. Физика. 1986. - №5. - С. 89-93.

7. Погребняк А.Д., Ремнев Г.Е., Чистяков С.А., Лигачев А.Е. Модификация свойств материалов под действием мощных ионных пучков // Известия высших учебных заведений. Физика. 1987. - №1. - С. 52-65.

8. Блейхер Г.А., Кривобоков В.П., Пащенко О.В. Тепломассоперенос в твердом теле под действием мощных пучков заряженных частиц. Новосибирск: Наука. Сибирская издательская фирма РАН, 1999. - 176 с.

9. Бойко В.И., Валяев А.Н., Погребняк А.Д. Модификация металлических материалов импульсными мощными пучками частиц // Успехи физических наук.- 1999.-№11.-С. 1243-1271.

10. Ремнев Г.Е. Модификация материалов с использованием мощных ионных пучков // Известия томского политехнического университета. 2000. - №2. - С. 59-70.

11. Блейхер Г.А., Кривобоков В.П., Пащенко О.В. Теплофизические процессы в твердом теле при воздействии мощных импульсных пучков заряженных частиц // Известия томского политехнического университета. — 2000. №2. -С. 71-91.

12. Грибков В.А., Григорьев Ф.И., Калин Б.А., Якушин B.JI. Перспективные радиационно-пучковые технологии обработки материалов. Учебник под редакцией Калина Б.А. М.: Круглый год, 2001. - 527 с.

13. Sobolev S.L. Space-time nonlocal model for heat conduction // Physical review E. 1994 - V.50. - №4. - P. 3255-3258.

14. Соболев С. Jl. Локально-неравновесные модели переноса // Успехи физических наук. 1997. -№10. - С 1095-1106.

15. Галенко П.К. К феноменологической теории локально-неравновесной кристаллизации сплавов // Доклады академии наук. 1994. - Т. 334. - №6. - С. 707-709.

16. Sobolev S.L. Local- nonequilibriunr model for rapid solidification of under-cooled melts // Physics letters A. 1995. - V. 199. - P. 383-386.

17. Galenko P, Sobolev S. Local nonequilibrium effect on undercooling in rapid solidification of alloys // Physical review E. 1997. - V.55. - №1. - P.343-352.

18. Sobolev S.L. Rapid solidification under local nonequilibrium conditions // Physical review E. 1997. - V.6. - P. 6845-6854.

19. Галенко П.К., Харанжевский E.B., Данилов Д.А. Высокоскоростная кристаллизация конструкционной стали при лазерной обработке поверхности // Журнал технической физики. 2002. - Т.72. - №5. - С .48-5 5.

20. Галенко П.К. Модель высокоскоростного затвердевания как проблема неравновесных фазовых переходов // Вестник удмурдского университета. -2005.-№4.-С. 61-98.

21. Mullins А. М. Rapid solidification within the framework of a hypcrbolic conduction model // International Journal of Heat and Mass Transfer. 1997. - V.40. -№ 17. - P.4085-4094.

22. Lewandowska M. Hyperbolic heat conduction in the semi-infmite body with a time-dependent laser heat sourse // Heat and mass transfer. 2001. - V.37. - P. 333-342.

23. Masoliver J., Weiss G. Finite-velocity diffusion // Eur. J. Phys. 1996. - V.17. -P. 190-196.

24. Lavernia E.J., Ayers J.D., Srivaison T.S. Rapid solidification processing with specific applications to aluminium alloys // Inter. Mater. Rev. 1992. - V. 37. -P. 1-25.

25. Davis L.A., Das. S.K., Li J.C.M., Zedalis M.S. Mechanical properties of rapidly solidified amorphous microcrystalline materials: a review // Inter. J. Rapid solidi-ficat. 1994. - V. 8. - P. 73-131.

26. Haranzhevskiy E.V., Danilov D.A., Krivilyov M.D., Galenko P.K. Structure and mechanical properties of structural steel in laser resolidification processing // Materials Science and Engineering. A. -2004. V. 375-377 - P. 502-506

27. Шепелевич В.Г., Ташлыкова-Бушкевич И.И., Анисович А.Г. Зеренная структура быстрозатвердевших фольг низколегированных Fe, Си, Sb и Ge сплавов алюминия // Физика и химия обработки материалов. 1999. - №4. -С. 86-91.

28. Шепелевич В.Г., Ташлыкова-Бушкевич И.И., Васильева JI.A. Структура и микротвердость быстрозатвердевших сплавовАЮе // Перспективные материалы. 1999. - №5. - С. 85-90.

29. Ташлыкова-Бушкевич И.И., Шепелевич В.Г. Пространственное распределение железа в быстрозатвердевших сплавах Al-Fe // Физика и химия обработки материалов. 1999. -№6. - С. 73-76.

30. Шепелевич В.Г., Ташлыкова-Бушкевич И.И. Состав и структура сплавов на основе алюминия, полученных способом сверхбыстрой закалки из расплава // Перспективные материалы. 1998. - №5. - С. 31-33.

31. Ташлыкова-Бушкевич И.И., Шепелевич В.Г. Элементный и послойный анализ распределения компонентов в объеме быстрозатвердевших низколегированных сплавов алюминия // Физика и химия обработки материалов. -2000.-№4.-С. 99-105.

32. Ташлыкова-Бушкевич И.И. Распределение примеси в быстозатвердевших сплавах Al-Cu // Физика и химия обработки материалов. 2002. - №5. - С. 76-80.

33. Ташлыкова-Бушкевич И.И., Шепелевич В.Г., Василевич Е.Ю. Композиционный состав быстрозатвердевшего сплава Al—Si—Ti // Физика и химия обработки материалов. 2003. - №3. - С. 73-76.

34. Ташлыкова-Бушкевич И.И., Куликаускас B.C., Веш В., Вендлер Э., Гретц-шель Р., Шепелевич В.Г., Василевич Е.Ю. Послойный элементный анализ быстрозатвердевших сплавов А1-Со // Физика и химия обработки материалов.-2004.-№3. С. 75-80.

35. Ташлыкова-Бушкевич И.И., Гутько Е.С., Шепелевич В.Г. Пространственное распределение германия в быстрозатвердевших сплавах Al-Ge // Поверхность. Рентгеновские, синхротронные и нейтронные исследования. -2006.-№4.-С. 100-103.

36. Блейхер Г.А., Кривобоков В.П., Пащенко О.В. Диссипация энергии мощных импульсных пучков заряженных частиц в твердом теле. Тепловые процессы. // Известия высших учебных заведений. Физика. 1997. - № 2. —С. 6789.

37. Диденко А.Н., Кривобоков В.П. Миграция атомов в металлах под действием сильноточных наносекундных ионных пучков // Журнал технической физики. 1988.-№10.-С. 2003-2008.

38. Кривобоков В.П., Пащенко О.В., Сапульская Г.А. Исследование механизмов интенсивного переноса атомов в веществе, облучаемом мощными наносекундными пучками заряженных частиц // Журнал технической физики. 1994.-№8.-С. 37-42.

39. Плотников C.B. Массоперенос и структурно-фазовые изменения в сплавах при радиационном воздействии: Автореферат диссертация доктора физмат. наук. Алмааты, 1995. - 34с.

40. Fogarassy Е., Stuck R., Toulemonde M. at. al. A model for laser induced diffusion//J. App. Phys.- 1983-V. 54. -№ 9. C. 5059-50063.

41. Герцрикен С.Д., Дехтяр И.Я. Диффузия в металлах и сплавах в твердой фазе. М.: Физматгиз, 1960. - 564 с.

42. Любов Б.Я. Диффузионные процессы в неоднородных твердых средах. -- М.: Наука, 1981.-296 с.

43. Филиппов Л.П. Явления переноса. М.: Издательство МГУ, 1986. - 186 с.

44. Герцрикен Д.С. Мазанко В.Ф., Фальченко В.М. Импульсная обработка и массоперенос в металлах при низких температурах. Киев: Наукова думка, 1991.-203 с.

45. Де Грот С. Термодинамика необратимых процессов. М.: Гос. Изд. Технико-теоретической литературы, 1956.-281 с.

46. Де Грот С., Мазур П. Неравновесная термодинамика. М.: Мир, 1964. -456с.

47. Пригожин И. Введение в термодинамику необратимых процессов. Ижевск НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001. - 160с.

48. Соболев С. Л. Процессы переноса и бегущие волны в локально-неравновесных системах // Успехи физических наук. 1991. - №3. - С 5-29.

49. Бокштейн Б.Е. Диффузия в металлах. М.: Металлургия, 1978. - 332 с.

50. Лариков Л.Н., Исайчев В.И. Диффузия в металлах и сплавах. Справочник. -Киев: Наукова думка, 1987. 509 с.

51. Лыков A.B. Некоторые проблемные вопросы теории тепломассопереноса // Инженерно-физический журнал. 1974- Т. 26. - №5-С 781-790.

52. Антонишин Н.В., Геллер М.А., Парнас А.Л. Гиперболическое уравнение теплопроводности дисперсных систем. // Инженерно-физический журнал. -1974,-Т. 26.-№.3.-С 503-507.

53. Лыков A.B. Тепломассобмен. М.: Энергия, 1978. - 480 с.

54. Колпащиков В.Л., Шнип А.И. О линейных определяющих уравнениях в теории теплопроводности с конечной скоростью распространения термических возмущений // Инженерно-физический журнал. — 1978 — Т. 34. — №2 — С 357-361.

55. Толмачев Б.М. Об учете внутренней релаксации в процессах межфазного взаимодействия в дисперсных системах // Инженерно-физический журнал. 1979.- Т. 37. - №4-С 609-612.

56. Ясников Г.П., Гальперин Л.Г., Кутявин З.Н. Гиперболическое уравнение диффузии в релаксирующей и дисперсной среде //Инженерно-физический журнал. 1980.- Т.39. - №2.-С334-338.

57. Петрик Т.Ф., Таганов И.Н. Математическое моделирование процессов мает сопереноса с использованием гиперболического уравнения переноса // Теоретические основы химической технологии. 1981- Т. 15. - №2. - С 246253.

58. Глазунов Ю. Т. Вариационный принцип явлений взаимосвязанного тепло-и массопереноса, учитывающий конечную скорость распространения возмущений // Инженерно-физический журнал. 1981- Т. 40. - №1.-0 134138.

59. Буевич Ю. А., Ясников Г. П. Релаксационные методы в исследованиях процессов переноса // Инженерно-физический журнал-19 83.-Т.44.-№3-С.489-504.

60. Вайсблат П.М., Ясников Г.П. О решении гиперболического уравнения диффузии (теплопроводности) в полуограниченной области // Инженерно-физический журнал. 1987- Т. 53. - №3.-С 500-501

61. Соболев C.JI. Влияние процессов релаксации на распространение тепловых волн // Доклады академии наук. 1988. - Т. 303. - №5. - С. 1184-1188.

62. Буевич Ю.А., Вайсблат П.М. К теории диффузионного переноса в материалах с ловушками // Инженерно-физический журнал. 1989 - Т.57. - №6-С950-959.

63. Соболев СЛ. Неединственность автоволновых режимов распространения волн переключения в средах с памятью // Доклады академии наук. 1990. -Т. 310.-№3.-С. 603-606.

64. Буевич Ю. А., Вайсблат П. М., Кирнос И. В., Семенова Jl. М., Ясников Г. П. О моделировании диффузии при термоциклических воздействиях на металл // Инженерно-физический журнал. 1990 - Т. 58. - №2.-С. 278-284

65. Колпащиков B.JI., Шнип А.И. Ограничения конститутивных уравнений термодинамических систем с памятью, вытекающие из принципа необратимости // Инженерно-физический журнал. 1993- Т. 65. - №2-С 192-197.

66. Мартыненко О.Г., Павлюкевич Н.В. Тепло- массоперенос в пористых средах // Инженерно-физический журнал. 1998 - Т. 71. - №1.-С 5-18.

67. Chen J.K., Beraun J. Е., Tzou D.Y. A dual-phase-lag diffusion model for interfacial layer growth in metal matrix composites // Journal of materials science. -1999.-V. 34.-P. 6183-6187.

68. Chen J.K., Beraun J. E., Tzou D.Y. A dual-phase-lag diffusion model for predicting thin film growth // Semicond. Sci. Technol. 2000. - V. 15. - P. 235241.

69. Tzou D.Y., Chiu K.S. Temperature-depended thermal lagging in ultrafast laser heating // International Journal of Heat and Mass Transfer. 2001. - V. 44. - P. 1725-1734.

70. Шнип А.И. Теория обобщенных термодинамических систем с памятью // Инженерно-физический журнал. 2002 - Т. 75. - №1.-С 21-31.

71. Шабловский О.Н. Нелинейные релаксационные тепловые процессы при высокоскоростной кристаллизации // Поверхность. Рентгеновские, синхро-тронные и нейтронные исследования. — 2002. — №2—С 49-54.

72. Шабловский О.Н. Релаксационный теплоперенос в нелинейных средах: Монография. Гомель: Учреждение образования «Гомельский государственный технический университет имени П.О. Сухого», 2003. - 328 с.

73. Jou D., Casas-Vazquez J., Lebon G. Extended irreversible thermodynamics // Rep. Prog. Phys. 1988. - № 51. - P. 1105-1179.

74. Nettleton R. E., Sobolev S.L. Application of extended thermodynamics to chemical, rheological and transport processes: A special survey. Part I. Approaches and scalar rate process // J. Non-Equilib. Thermodyn. 1995. - V. 20. - P. 205-229.

75. Dedeurwaerdere T., Casas-Vazquez J., Jou D., Lebon G. Foundations and applications of mesoscopic theory of fast phenomena // Physical review E. 1996. -V. 53. -№1. - P. 498-506.

76. Nettleton R. E., Sobolev S.L. Application of extended thermodynamics to chemical, rheological and transport processes: A special survey. Part III. Wave phenomena//J. Non-Equilib. Thermodyn. 1996.-V. 21. - P. 1-16.

77. Соболев C.JI. Локально-неравновесные процессы переноса в бегущих волнах: Диссертация д-ра физ. -мат. наук. Черноголовка. - 1997. - 232 с.

78. Jou D., Casas-Vazquez J., Lebon G. Extended irreversible thermodynamics revisited (1988-98) // Rep. Prog. Phys. 1999. - № 62,- P. 1035-1142.

79. Jou D., Casas-Vazquez J., Lebon G. Extended irreversible thermodynamics and its relation with other continuum approaches // J. Non-Newtonian Mech. 2001. -№96,-P. 77-104.

80. Casas-Vazquez J., Criado-Sancho M., Jou D Comparison of three thermodynamic descriptions of nonlocal effects in viscoelasticity // Physica A. 2002-№311.-P. 353-360.

81. Tzou D.Y., Ozisik M.N., Chiffele. The lattice temperature in the microscopic two-step model // Journal of heat transfer. 1994- V. 116. - P. 1034-1038.

82. Tzou D.Y. A unified field approach for heat conduction from macro to micro -scales // Journal of heat transfer. - 1995- V. 117. - P. 8-16.

83. Tzou D.Y. Experimental support for the lagging behavior in heat propagation // Journal of thermophysics and heat transfer. 1995- V. 9. - №4. - P. 686-692.

84. Zhang Y., Tzou D.Y. An analytical study on the fast-transient process in small scales. Int // J. Engng. Sci. 1995. - V. 33. -№10. - P. 1449-1463.

85. Goldstein R.J., Eckert E.R.G., Ibele W.E. and other. Heat transfer a review of 2000 literature // Heat and mass transfer. - 2002. - V.45. - P. 2853-2957.

86. Новиков И.А. Электротепловая аналогия в наследственных средах и ее применение // Инженерно-физический журнал. 1988 - Т. 55. - №4.-С. 643-649.

87. Иванцов Г.П. «Диффузионное» переохлаждение при кристаллизации бинарного сплава // Техническая физика. 1951,- №2. - С. 179-182.

88. Чернов А.А. Современная кристаллография. Образование кристаллов. М.: Наука, 1980.-Т. 3.-408 с.

89. Вайнгард У. Введение в физику кристаллизации металлов. М.: Мир, 1967.-172с.

90. Aziz M.J., Kaplan Т. Continuous growth model for interface motion during alloy solidification // Acta Metall. -1988.- V.36. -№8. -P.2335-2347.

91. Kittl J.A., Aziz M.J., Brunco D.P., Thompson M.O. Nonequilibrium partitioning during rapid solidification of Si-As alloys // Journal of crystal growth. 1995. -V. 148. P 172-182.

92. Воронов B.B., Долгаев С.И., Лаврищев C.B. и др. Формирование конических микроструктур при импульсном лазерном испарении твердых тел // Квантовая электроника. 2000. - Т. 30. №8. С. 710-714.

93. Панова Т.В., Ковивчак B.C. Исследование механизмов деформации кристаллической решетки мартенситной стали при облучении мощным ионным пучком // Физика и химия обработки материалов 2004. - №6. - С. 14-19.

94. Космическое материаловедение. Введение в научные основы косхмической технологии: Пер. с англ. Под ред. Б. Фойербаха, Г. Хамахера, Р.Й. Наумана. -М.: Мир, 1989.-478 с.

95. Lambert R.A., Range R.H. Linear stability analysis of the solidification of a supercooled liquid in a half-space // International Journal of Heat and Mass Transfer. 2002. - V. 45. - P. 4577-4587.

96. Langer J.S., Muller-Krumbhaar H. Theory of dendritic growth. Elements of stability analysis // Acta Metallurgies 1978. - V.26. - P. 1681-1688.

97. Van Vaerenbergh S., Coriel S.R., McFadden G.B. Morphological stability of a binary alloy: thermodiffusion and temperature-dependent diffusivity // Journal of crystal growth. -2001. V. 223. P. 565-572.

98. Hunziker O. Theory of plane front and dendritic growth in multicomponent alloys // Acta Meterialia. 2001. - V.49. - P.4191-4203.

99. Galenko P.K., Danilov D.A. Linear morphological stability analysis of the solidliquid interface in rapid solidification of a binary system // Physical review E. -2004. -V.69.- 051608-14.

100. Соболев С.JI., Михайлов Ю.М. Описание диффузии низкомолекулярных веществ в стеклообразных полимерах на основе расширенной необратимой термодинамики // Высокомолекулярные соединения. Серия Б, т. 40, №4, с. 653-657.

101. Зубарев Д.Н. Неравновесная статистическая термодинамика. М.: Наука, 1971.-416 с.

102. Бабич А.П. Термодинамика необратимых процессов. Днепропетровский государственный университет, 1981. — 64 с.

103. Пригожин И., Кондепуди Д. Современная термодинамика. От тепловых двигателей до диссипативных структур. М.: Мир, 2002. - 461 с.

104. Пригожин И., Кондепуди Д. Введение в термодинамику необратимых процессов. Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001. - 160 с.

105. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. В 10 т. T. VI. Гидродинамика. М.: Наука, 1986. - 736 с.

106. Вершинин Г.А., Геринг Г.И., Афонькина Е.А. Особенности описания тепло— массопереноса в рамках расширенной необратимой термодинамики // Вестник Омского университета. 2002.- №4. - С. 20-23.

107. Афонькина Е.А. Роль упругих напряжений в формировании концентрационных и температурных полей в материалах при воздействии концентрированными потоками энергии // Материалы всероссийской молодежной конференции «Под знаком «Сигма». Омск. 2003. С. 31.

108. Вершинин Г.А., Геринг Г.И., Афонькина Е.А. Описание в локально-неравновесном приближении массопереноса в кристаллах при воздействии высоко интенсивными пучками заряженных частиц // Поверхность. 2003-№5,-С. 14-16.

109. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1972.-735 с.

110. Будак. Б.М., Самарский А.А., Тихонов А.Н. Сборник задач по математической физике. М.: Наука. 1972. - 687с.

111. Курант Р. Уравнения с частными производными. М.: Мир., 1964- 830 с.

112. Афонышна E.A., Вершинин Г.А., Геринг Г.И. Влияние пространственно-временной нелокальности на формирование концентрационных полей в металлах при воздействии мощными ионными пучками // Физика и химия обработки материалов. 2004.- №2- С. 5-11.

113. Фарлоу С. Уравнения с частными производными для научных работников и инженеров. М.: Мир, 1985. - 384 с.

114. Корн Г., Т. Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. СПб.: Издательство «Лань», 2003. - 832с.

115. Диткин В.А., Прудников А.П. Интегральные преобразования и операционное исчисление, СМБ, Физматгиз,. 1961. 468 с.

116. Abate J., Whitt W. Numercial inversion of Laplace transforms of probability distributions // ORSA Jornal on computing. 1995- V. 7. - №1.- P. 38-43.

117. Valko P. P., Vajda S. Inversion of Noise-free Laplace Transforms: Towards a Standardized Set of Test Problems // Inverse Problems in Engineering. 2002-V. 10.-№5.-P. 467-483.

118. Durbin F. Numercial inversion of Laplace transforms: an efficient improvement to Durbin and Abate's method // The computer Journal. -1974. V.17. - P.371-376.

119. Zhao X. An efficient approach for the numerical inversion of Laplace transform and its application in dynamic fracture analysis of a piezoelectric laminate // International Journal of Solids and Structures. 2004. -V. 41.

120. Афонькина Е.А., Вершинин Г.А., Геринг Г.И., Шумилин В.А Локально неравновесный массоперенос в бинарных системах при воздействии концентрированными потоками энергии // Поверхность. 2006. - №4. - С. 35-40.

121. Pogrebnjak A.D., Remnev G. Е. Physical and mechanical changes in HPIB-irradiated steels // Nuclear Instruments and Physics Research. 1989. - V. B43. -P.41-45.

122. Полещенко K.H., Поворознюк C.H., Вершинин Г.А. Влияние условий ион-но-лучевого воздействия на структуру и свойства твердых сплавов // Поверхность. Физика, химия, механика. 1995. - №4. - С. 114-116.

123. Afonkina Е. A., Vershinin G.A., Shumilin V.A. Role of Relaxation Processes in Microstructure Forming in Binary Alloys under Irradiated with High-Intensive Energy Flow // Известия вузов. Физика. 2006. -№ 8. Приложение. - С. 226228.

124. Сидорова Е.А. Вершинин Г.А., Геринг Г.И., Шумилин В.А Особенности локально-неравновесной перекристаллизации бинарных сплавов при воздействии концентрированными потоками энергии // Известия вузов. Физика. -2007. -№ 10/3.-С. 64-68.

125. Сидорова Е.А. Вершинин Г.А., Геринг Г.И., Шумилин В.А Особенности локально-неравновесной перекристаллизации бинарных сплавов при воздействии мощными импульсными потоками заряженных частиц // Поверхность. 2008. - №4. - С. 1-6.

126. Lima M.S.F., Golddenstein H. Morphological instability of the austenite growth front in a laser remelted iron-carbon-silicon alloy // Journal of crystal growth. -2000. V.208. - P. 709-716.

127. Willnecker R., Herlach D.M., Feuerbacher B. Grain refinement induced by a critical crystal growth velocity in undercooled melts // Appl. Phys. Lett. 1990. -V.56. - P.324-326.

128. Galenko P.K., Danilov D.A. Selection of the dynamically stable regime of Linear morphological stability analysis of rapid solidification front motion in an isothermal binary alloy // Journal of crystal growth. 2000. - V.216. - P.512-536.