Магнитное удержание плазмы в ловушках со спадающим полем при самосогласованном поддержании конвективно-устойчивого распределения давления тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.08 ВАК РФ

На правах рукописи

ЦВЕНТУХ МИХАИЛ МИХАЙЛОВИЧ

МАГНИТНОЕ УДЕРЖАНИЕ ПЛАЗМЫ В ЛОВУШКАХ СО СПАДАЮЩИМ ПОЛЕМ ПРИ САМОСОГЛАСОВАННОМ ПОДДЕРЖАНИИ КОНВЕКТИВНО-УСТОЙЧИВОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ДАВЛЕНИЯ

01.04.08 - физика плазмы

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 2009

Работа выполнена в Государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования Московском инженерно-физическом институте (государственном университете)

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Курнаев Валерий Александрович

Научный консультант: доктор физико-математических наук,

ведущий научный сотрудник, Арсенин Владимир Васильевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

ведущий научный сотрудник, Щепетов Сергей Викторович

доктор физико-математических наук, старший научный сотрудник, Беклемишев Алексей Дмитриевич

Ведущая организация: Институт ядерного синтеза Российского

научного центра «Курчатовский институт» (ИЯСРНЦ КИ), Москва

Защита состоится« 03 » июня 2009 г. в час 00 мин, на

заседании диссертационного совета Д 212.130.05 в Государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования Московском инженерно-физическом институте (государственном университете) по адресу: 115409 Москва, Каширское шоссе 31, тел. 8 (495) 323-91-67, 8 (495) 324-84-98.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МИФИ.

Автореферат разослан « 29 » апреля 2009 г.

Просим принять участие в работе совета или прислать отзыв в одном экземпляре, заверенный печатью организации.

Ученый секретарь у

диссертационного совета /Рь/У**^^^— Евсеев И.В.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы

Прогресс исследований удержания термоядерной плазмы в токамаках и начало строительства экспериментального токамака-реактора ИТЭР [1] позволяет говорить не только о развитии физики и техники управляемого термоядерного синтеза, но и о начале его практического освоения. Вместе с тем, в долгосрочной перспективе следует обратить внимание на возможности наиболее эффективных альтернативных систем удержания, изученных недостаточно. Один аспект связан с использованием перспективных топливных циклов D-3He и D-D, для реализации которых требуются лучшие, чем достигнуты на сегодня параметры [2]. Второй аспект связан с поисками эффективного и простого источника нейтронов в гибридном реакторе [3].

Особенного внимания заслуживают ловушки со спадающим полем, в которых наиболее опасная - конвективная (желобковая) неустойчивость плазмы подавляется [4,5] за счет естественного, но не очень резкого спада давления наружу. К ним относятся простые осесимметричные конфигурации пробочной геометрии [6]; их замкнутые цепочки в виде гофрированных торов [7,8]; ловушки с внутренними проводниками, окруженными плазмой [9,10], в том числе на основе диполя [11]; атакже обращенные конфигурации с плазменными токами с высоким давлением [12]. Указанные конфигурации должны обладать заметной кривизной силовых линий. При этом силовые линии должны быть замкнутыми или иметь небольшое вращательное преобразование. К основным достоинствам подобных ловушек, помимо стационарности и высокого бега Р=8лр/В2, относится их простота, так как в них не требуется создания ни (среднего) минимума поля, ни перекрещенности силовых линий.

Спектр применения подобных магнитных ловушек может быть шире удержания термоядерной плазмы. Они применимы там, где требуется эффективное удержание энергии в плазме для различных целей. Это и мощные ЭЦР источники многозарядных ионов, и устройства для разделения изотопов, и плазмохимические реакторы высокой мощности.

Общей проблемой является поиск оптимальной конфигурации, обеспечивающей удержание плазмы с наибольшей энергией в центре и наименьшей на периферии, то есть с наибольшей локализацией плазмы. При этом определяющими параметрами являются: вид конфигурации - размер и форма магнитной сепаратрисы, градиент магнитного ноля, а также параметры плазмы - уровень давления, столкновителышсть, анизотропия.

Целью настоящей работы является создание методики исследований и применение ее для анализа магнитоплазменных конфигураций со спадающим полем, обеспечивающих оптимальные параметры удержания при сохранении крупномасштабной устойчивости плазмы конечного давления.

Для достижения этой цели требуется решение следующих задач

1. Создание численных алгоритмов для анализа ловушек со спадающим полем. В расчетах требуется самосогласованный учет равновесия плазмы конечного давления, конвективной устойчивости в МГД и в кинетическом описаниях, реальной магнитной геометрии с сепаратрисой, заданного уровня анизотропии.

2. Проведение с помощью этих алгоритмов расчетов равновесных конвективно-устойчивых конфигураций. Сравнение результатов, полученных при более простом - МГД описании, с полученными при необходимом и достаточном - кинетическом описании конвективной устойчивости.

3. Формулирование на основании проведенных исследований предложений по достижению наиболее выгодных параметров в указанных ловушках со спадающим полем и разработка на их основе новой магнитной конфигурации.

Научная новизна работы заключается в следующем

1. Разработан численный алгоритм, позволяющий проводить расчет конвективно-устойчивого равновесия в реальной геометрии магнитного поля, что особо существенно для ловушек, имеющих у сепаратрисы протяженные участки со слабым полем.

2. Разработанный алгоритм позволяет исследовать конвективную устойчивость плазмы в ловушках большой кривизны в соответствии и с МГД критерием, и с (необходимым и достаточным) бесстолкновительным кинетическим критерием, как для вакуумного, так и для равновесного поля, что дает возможность согласовать конвективную устойчивость и равновесие при заданном давлении и анизотропии плазмы.

3. Установлено существование ограничения на конвективно-устойчивое равновесие с сепаратрисой, которое определяет наибольшую величину давления плазмы в центре конфигурации. При более высоком давлении происходит либо быстрое расширение сепаратрисы, либо «филаментация» градиентного плазменного тока у нее, что определяется соответственно большим, либо малым размером участков со слабым полем у нулей на сепаратрисе.

4. Кинетические расчеты конвективной устойчивости показали возможность удержания плазмы в рассматриваемых ловушках со значительно более высокими параметрами, чем это следовало из МГД расчетов, не только для р—>0, но и при конечном (равновесном) давлении плазмы.

5. Предложена новая магнитная конфигурация, которая может привести к заметному повышению энергосодержания плазмы в концептуальных стеллараторных ловушках типа ДРАКОН [7], EPSILON [8] (а также в открытых системах). В предложенной конфигурации при кинетическом анализе конвективной устойчивости обнаружено формирование радиального

пьедестала иа устойчивом профиле давления в слое силовых линий со слабой, но знакопеременной кривизной.

Практическая ценность работы состоит в:

1) разработанных расчетных методиках, применимых для анализа конвективной устойчивости при равновесном давлении плазмы в широком классе магнитных конфигураций;

2) полученных с их применением результатах анализа конкретных ловушек со спадающим полем, позволивших сформулировать условия для достижения более оптимальных параметров удержания в таких системах;

3) предложенной на их основе новой магнитной конфигурации, позволяющей повысить достижимые параметры плазмы в ряде концептуальных систем.

Положения, выносимые на защиту

1. Численные алгоритмы для расчета равновесия плазмы, согласованного с ее конвективной устойчивостью в спадающем поле в ловушках большой кривизны в соответствии как с МГД, так и с (необходимым и достаточным) кинетическим критерием устойчивости.

2. Результаты расчетов, показавшие, что достижение высокого давления плазмы в центре при конвективно-устойчивом равновесии ограничено либо расширением сепаратрисы (в случае протяженных участков со слабым полем), либо «филаментацией» градиентного плазменного тока (в случае малых участков со слабым полем, когда основное падение давления происходит вблизи сепаратрисы).

3. Результаты сравнения двух моделей, показавшие, что кинетическое описание конвективной устойчивости дает лучшие параметры удержания плазмы в ловушках со спадающим полем с позиции равновесия и появления непотенциальных баллонных мод, чем более простая МГД модель и позволяет еще более улучшить эти параметры при задании определенного вида анизотропии.

4. Новая многосвязная конфигурация для удержания плазмы на основе ловушек типа ДРАКОН и EPSILON, позволяющая существенно повысить содержание энергии в центральных приосевых областях. В предложенной конфигурации при кинетическом описании устойчивости обнаружена возможность формирования радиального пьедестала давления, расположенного на границе средней магнитной ямы в слое силовых линий со слабой, но знакопеременной кривизной.

Апробация работы. Результаты исследований, изложенные в диссертации, докладывались на следующих конференциях: 32-я - 36-я Международная (Звенигородская) конференция по физике плазмы и управляемому термоядерному синтезу, Звенигород (2005, 2006, 2007, 2008, 2009); 28th International Conference on Phenomena in Ionized Gases (ICPIG), July

15-20, 2007, Prague, Czech Republic; 35th European Physical Society (EPS) Conference on Plasma Physics June 9-13 2008, Hersonissos, Crete, Greece; International Congress on Plasma Physics (ICPP), September 8-12 2008 Fukuoka, Japan; Российский Научный Форум с международным участием "Демидовские чтения" Москва, 25-28 февраля 2006.

Результаты исследований опубликованы в 16 печатных работах, список которых приведен в конце автореферата

Личный вклад соискателя отражен в постановке задач, создании, реализации и отладке требуемых численных алгоритмов, проведении расчетов, анализе полученных результатов. Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Общий объем составляет 140 стр., включает 90 рис.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Во введении обосновывается актуальность выбранной темы исследований, формулируются цели и содержание поставленных задач, а также научная новизна и основные защищаемые положения.

Первая глава содержит мотивацию работы, обзор современного состояния исследований по стабилизации плазмы в ловушках большой кривизны со спадающим полем. Основное внимание уделено системам на основе диполя. Рассматриваются условия конвективной устойчивости для систем с большой кривизной приМГД [4] {VpVU<yp(VUf /\U\, U^-jd!/B,

у - показатель адиабаты, нейтрально устойчив профиль: pccí/Y) и при бесстолкновительном кинетическом подходе [13-16]. Приведены основные параметры созданной в МИФИ двухдиполыюй ловушки Магнетор [17] и результаты проведенных автором расчетов ее магнитной конфигурации и движения в ней частиц.

Во второй главе рассматривается конвективно-устойчивое равновесие плазмы в реальных заданных токовыми витками магнитных конфигурациях в МГД описании с конечным давлением при помощи специально разработанного численного кода ESPHIB (Equilibrium with Stable Pressure and High Beta). Уравнение равновесия плазмы Грэда-Шафранова [18]:

(1)

(где - плотность токов, потоковая функция ч/(г,г) определяет

компоненту поля: Вг - -1/гЭ\у/&, В2=1/гдцг/дг) решается конечно-разностным методом с итерациями по профилю давления ("по давлению") и с итерациями внешних граничных условий ("по току"). Размеры сетки г-г 250x400 элементов. Граничные условия: \|/(0,г)=0; в плоскости г - 0:

й|//&(/*,0)= 0- При свободной внешней границе -о. Проблема

решается выбором граничных условий 2-го рода на внешней границе сетки;

где компоненты магнитного поля на внешней границе,

вычисленные но закону Ьио-Савара для набора тонких витков /0 внутри сетки (как в плачме, так и в катушках). Эти функции корректируются на каждой итерации "по току" в соответствии с токами в плазме. При решении (1) с граничными условиями (2) погрешности магнитного ноля определяется только сеточной аппроксимацией и количеством итераций. Это позволяв! сократить размер сетки, расположив границу сетки близко к виткам или к сепаратрисе.

Ич ч<(г.г) определяется устойчивый профиль давления

/бе)=д ■ • и(ч>)«-{а/в (3)

(при 7=1, или 7=5/3). Производная др/дц>- лает распределение токов

которое подставляется а (1) на следующей итерации "по давлению". Исследовались осесиммсгричпые конфигурации: Маш сто ра «основная» и со «сжатой сепаратрисой» и пробкотрона с дивертором (рис,1).

О ГО го г

Рис.1. Силовые ЛИНИИ в сечении r-z в конфигурации Магиетора - основной (I), со «сжатой сепаратрисой» (1Г) (токи в катушках направлены противоположно), а также пробкотрона из двух колец с током (Ш), z~0 - плоскость симметрии

1. Установлено, что {в согласии с [19-21]} наличие у сепаратрисы больших участков со слабым полем обеспечивает более плавный спад давления до пуля на сепаратрисе (рис.2 кривая 1). В противном случае (сжатая конфигурация, нробкотроп с дивертором) большая часть давления спадает до нуля гораздо ближе к сепаратрисе (рис.2 кривая 2).

2. Обнаружено ограничение на конвективно-устойчивое равновесие при высоком давлении плазмы. В случае протяженных участков со слабым полем, при высоком бета происходит расширение сепаратрисы с выходом ее за стенку камеры. При этом чем слабее поле у сепаратрисы, тем быстрее она

расширяется. Это расширение можно ограничить, уменьшая размер участков со слабым полем («сжимая» конфигурацию). Тогда - в случае малых по размеру участков со слабым нолем - основным ограничением па наибольшее достижимое давление в центре становится «филаментация» градиентного плазменного тока у сепаратрисы. Это связано с тем, что, в случае малых участков со слабым полем, большая часть давления спадаст вблизи сепаратрисы (рис.2, кривая 2), а значит и градиентный ток ]<р=сгдр!ду у сепаратрисы наиболее велик.

1.0-

о.к-

i0Л' ъ-

0.1 -CNJ J

0 JWVk НШ2 им» .IfiOW

¿I'M';' J

Рис. 2. Профили давления (1,2) (у,^ - сепаратриса), а также относительного градиента 31пр/3ц) (3,4) в геометрии Магнето ра (1,3) и пробкотрона с дивертором (2,4)

Рассмотрение распределения плотности фоновой плазмы, измеренного в ловушке Магиетор, показало, что, в целом, оно близко к конвективно-устойчивому: pi/^const (при 7^1, или у=5/3) (см. рис. 3, кривые 1 и 2). Отклонения определяются влиянием пробочных потерь на ряде силовых линий (проходящих через край бандажа внутренней катушки), транспортом плазмы, а также распр еде легшем источника плазмы,

В основной конфигурации Магнетора, со сжатой сепаратрисой, а также для пробкотрона с дивертором при помощи специально созданного кода Amciiff (Ambipofar Diffusive Fiux) было рассчитано распределение плотности плазмы в предположении амбииолярной диффузии по Шотгки. Из рис, 3 видно, что рассчитанное диффузионное распределение {3) достаточно близко к const (2), в том числе и в слабом поле. При этом из сравнения с экспериментально измеренным распределением плотности (/) видно, что отклонения от plP=const в основном можно описать в рамках простой амбиполярной диффузии при задании распределенного источника плазмы. В приведенных расчетах источник задан в точке минимума поля на одной из силовых линий (в точке »-11см, 2= 8см) (рис. 3), В таких областях, как известно, MOiyr наиболее эффективно генерироваться быстрые ЗЦР электроны. Близость измерений к диффузионной модели при таком задании источника может говорить о том, что ]) быстрые ЭЦР электроны являются

основным источником фоновой ЭЦР плазмы, 2) при более точном задании источников измеренное распределение может быть описано более точно.

3.5-

—Я~ I И. 20^Гогг

......

-3 „_

О 10 20 rem Рис. 3. Слева - радиальные профили, проходящие через z=9cm: I - плотность плазмы п(г) - измерения при давлении ЗОмкТорр в Магнеторе, 2 - рассчитанный профиль плотности рм/Те (где /jM(lrfi/,i,3=const)) л1 - рассчитанный в соответствии с амбиполярной диффузией. Справа - расчетное диффузионное распределение

В третьей. главе конвективно-устойчивое равновесие в ловушках со спадающим полем рассматривается в (необходимом и достаточном) бесстолкновительном кинетическом описании (Кру скала-Обермана), Для этого код ЕБРНШ дополнен следующим алгоритмом. Для устойчивости потенциальная энергия конвективных возмущений должна быть положительна: у = |<р|2и-оУ > 0 . то есть [13,16]:

J

(SF

ду

-т

Зу де

\d\idz > 0>

(где £=>'2/2 и \.\.-{\х)гИВ - энергия и магнитный момент, -продольный инвариант, тц=|й?//уц - время между отражениями от пробок).

При представлении функции распределения Р в виде произведения = условие устойчивости принимает вид [21]:

Л(ч0' др„ /ар + 5(4/) р„ (у) £ 0, (4) где функции ЖнО и равны соответственно:

А(у)= 5(У) = + (5 С + 21дО/д1)к/тУп., (5)

лкч) = {Л/Г^ТЙ^/, т(я.,у)= -хв- (6)

Из (4) следует: 51п рт/ду > -Б(у)/Л(у), и Критический профиль:

¿**<0) • expj - dvf

(Ъ

где X = р/е = 1/5 — суть питч-угол, определяющий точку поля В, от которой отражается частица; - функция анизотропии: 0<С<1, бравшаяся в виде

изотропного распределения С(Х)~1 с трапециевидным вырезом в области сильного поля (малых X), который задавался параметрами а и б (рис. 4); /;„,(Ч') - профиль, вместе с С (к,у) определяющий продольное и поперечное давление. В изотропном случае (а=5=1, (7=1) рш(у}=р(у).

Применялись две схемы сеток В первой количество элементов Л^ х где = 200 или 1000, Ы\ ~ 200. Шаг по X - свой дня каждой силовой линии у. §Му) = }-тм(у)/200-Во второй схеме применялся динамический массив с плавающей границей. Шаг по X выбирался постоянным и равным:

(у)})/100. При этом количество узлов но X на каждой линии

Ut*™«,

Рис. 4. Функция анизотропии GfX.ty)

5A*=(roin {À,,

было свое, равное: = Атщ^уУЗл, (т.е. ДГл(у)>100; среднее число узлов

<N\> менее 300). Наибольшее количество узлов по X - на силовой линии ближайшей к с ел ар ai рисе в случае пробкотрона с дивертором обычно не превышало iV^\[/scp)<2000-5000, и конфигурации Магиетора Л/Цуцр^ОООО.

На рис. 5-7 приведены исследуемые конфигурации и результаты расчетов профилей рЛу) (3.4) для вакуумного поля при разной анизотропии G. Обозначения на рис. 6,7 соответствуют: У - МГД профиль/;(\}/)сг (7Т; 2-8 -кинетические профили р„(у) согласно (3.4); 2 - а=3=1; 3 - а=5~0.3; 4 ~ а-д-0.05 - а=0.1, 6=0.8; 6 и 7— меняющаяся по сечению анизотропия G с анизотропным пиком на оси и сепаратрисе соответственно (см, ниже стр. 13, 14); 5 - G рассчитанная из плотности в Маг него ре.

:>а

jss

Рис. 5. Силовые линии в сечении г-г в рассматриваемых конфигурациях Магиетора (слева I), пробкотрона с дивертором (в центре II), Цепочки трех пробкотроши (справа III) (центральный из них с дивертором), г=0 - плоскость симметрии

Из рис. 6 и 7 видно, что критические профили рт(у) могут существенно отличатся при различной анизотропии, однако всюду градиент выше, чем для

10

МГД случая 1Л). Из сравнения профилей видно, что "рост" анизотропии, а именно, уменьшение а и увеличение 5 (см. рис. 4) приводит к более крутым зависимостям р„,(у). Характерно, что, как я в МГД описании, в случае малых по размеру участков со слабым полем (в пробочной геометрии) более значительная часть давления спадает вблизи сепаратрисы.

1 гщио ПИ ^ № ' ' га- ' ^ ' ш

и V

Рис. 6. Профили /МчО для Магнеторэ при различной анизотропии. Справа -увеличенный участок профилей у сепаратрисы ц/=0

-т-,--1-*-->—"т----,---,-,-1 -02-1->-г--1---■---1--*--1----Т--'-"г--1

Г» .ЧНЮ 10ЙЧ I у.> :■<.<! • ГЖЫ ТНРМи II 771.4 2.11 31144

V у

Рис. 7. Профили рт(у) для цепочки трех пробкотроиов при различной анизотропии. Справа - увеличенный участок профилей /Ля(Ч') у сепаратрисы ч(=Ч,5

Из рис.5-7 видно, что вблизи сепаратрисы все рас пр с деления имеют близкую зависимость профиля рт(у), которая, в свою очередь, близка к р.(\у) ос , полученной в [22] для профиля изотропного давления у

сепаратрисы простой пробочной ловушки с дивертором. То есть вне зависимости от анизотропии у сепаратрисы все профили /;га(у) во всех рассмотренных конфигурациях близки к изотропному' (а=5=1, С=1, рт~р). Это может быть связанным с тем, что пробочное отношение у сепаратрисы очень велико и влияние обедненных плазмой конусов потерь незначительно.

Д^я рассмотрения анизотропного равновесия была переопределена величина градиентного тока для подстановки его в (1) [23]:

ф I

Э\|/

где ф,^!/1-.1

Величины продольного и поперечно!-о давления^ (1 /В,у)

„ 0 V 1-Я'Й

рассчитываются на сетке Х-у, (ири В=1Л,) (полное давление вычисляется производная фц/сНу Значения ру (/*,£), 5р|/с?ц/(г,г)

и а(г,г) рассчнтываются затем из сетки Х-у с билинейной аппроксимацией.

Установлено, что основное отличие равновесия с «кинетическим» критерием (7) от равновесия с МГД критерием устойчивости (3) связало с тем, что «кинетические» профили спадают более значительно еще до приближения к сепаратрисе, из-за чего расширение сепаратрисы замедляется, а филаментация градиентного тока происходит при большем давлении. С этим же свойством связан и более медленный рост к сепаратрисе значений бета, чем это следонало бы из МГД зависимости (£Ду))';' (рис. 8).

~ Рь. *

■3 ¡ЗД, va<^ едиИ.

Рис. Профили изотропного (0-1) давления р(у) в рассчитанной по вакуумному полю ((3=0) (/) и равновесной (2) конфигурации Маг нетора, а также соответствующие им профили |3(у) (3 и 4). Максимальное давление 2-Ю3 эрг/см5. Для сравнения приведены профили «(£/{ц/))'5/3, для «вакуумной» (5) и рассчитанной «кинетической» равновесной конфигурации (б)

Известно, что при обеспечении устойчивости плавным спадом давления к сепаратрисе на участках со слабым полем существует проблема роста величины бета [24], который может приводить к баллонной неустойчивости, при ¡3 > Рсг - пгаЯ/Ь2 (где а - малый радиус плазмы, - радиус кривизны, £ -длина линии). В рассматривающихся непараксиальных системах с большой

кривизной |!(Т ~ 1. Из рис. 8 видно, что не только «вакуумное», но и равновесное распределение давления таково, что зависимость ртах(1|/) (для точек в минимумах поля на каждой силовой линии у) заметно положе в случае кинетического описания устойчивости плазмы, чем при МГД (Эос 1Г5П). Это, во-первых, отодвигает границу появления баллонных мод р >

дальше к сепаратрисе, а во-вторых, расширяет рамки применимости используемого согласования равновесия и конвективной устойчивости, отвечающей кинетическому критерию.

Из измеренного в Магнеторе распределения плотности плазмы была рассчитана функция анизотропии Оехр(Х,у). Функция Оехр меняется по сечению ловушки от изотропной на периферии С(\|/—>0)=сопз1=1 до треугольного пика (а—>0, 8—>0) в глубине ловушки. Градиент давления в расчетах (3.4) с Ссхр выше примерно вдвое, чем для изотропного распределения. Набольшее давление было оценено при нормировании «кинетического» профиля с (7схр на значение Р(г=14см, г=9см)~ 1.25-1012эВ/см3 и составило Ршлх,ехР ~ 4-1013эВ/см3. Если принять среднюю энергию быстрой (электронной) компоненты равной 4кэВ (что следует из измерений), то плотность быстрых электронов можно оценить на уровне 10шсм"3. Отметим, что согласно приведенным выше расчетам равновесия с «кинетическим» профилем давления в базовой магнитной конфигурации Магнетора может удерживаться максимальное давление на уровне ~2-103эрг/см3=1.25-1015эВ/см3 (Р(рт1Х)~0.3, рис.8), что при средней энергии быстрых электронов ~10 кэВ отвечает плотности ~10псм°.

В ходе анализа влияния функции анизотропии на профиль

давления (7) были указаны два "предельных" распределения Ох2 - с меняющейся по сечению анизотропией: - с анизотропным пиком на оси (параметр 51(уаыв)=0) и изотропное у сепаратрисы (51(\|/8ер)=1); и С2 -наоборот - изотропная плазма на оси (82(уах«)=1) и анизотропный пик у сепаратрисы (бгОСвцО-О); (рис. 9); при этом параметры а12^0 (см. рис.4).

Профили рт(у) в пробкотроне с дивертором для 0\ и 02 показывают, что распределение С\ с пиком на оси и изотропной периферией дает "наибольший", а С2 - с пиком на сепаратрисе и изотропным центром -"наименьший" перепад (градиент) давления плазмы (рис. 10,6,7). Вычисленная величина "энергосодержания" е(у) = />„(у) ДМО ■ (в

изотропном случае е = р\ СУ]) иллюстрирует уменьшение количества частиц при изменении анизотропии (рис. 9,10). Очевидно, что чем меньше частиц на периферии (распределение 02), тем положе должен быть и предельный по устойчивости профиль, спадающий к сепаратрисе. И наоборот - "более устойчивое" распределение Су позволяет иметь и более крутой профиль рт(у), так как частиц снаружи больше, чем внутри (рис.9).

Распределение с анизотропной периферией (С2) дает наибольший спад "энергосодержания" е(\|/) к сепаратрисе. То есть выгодно иметь анизотропное распределение в области большой кривизны, где эффект стабилизации

благодаря и кривизне, и анизотропии проявляется наиболее сильно, и изотропное распределение в области слабой кривизны - там, где сам допустимый градиент давления гораздо ниже.

Рис, 9. Массив силовых линий в пробкотроне с дивертором; I - изотропный участок, где 01,3=1; II - анизотропный участок с пониженным количеством частиц - где

61 ^ос 1/В; слева - справа - С2

■" : |' (("!'-:к- рсдЧ) - * , реек)

---V ' ; ¡50Ттр1с

■а; - «

-2 й№, ряЦ

- Э I : ' ■ 1 &01гйрк

Рис. 10. Профили рт(у) (слева) и профили "энергосодержания" е(^) (справа), 1 и 2 -распределения Сп и (Тг, соответственно, 3 - изотропная плазма С-1

Распределение О] с пиком в центре на оси имеет смысл создавать в отдельном пробкотроне, с большим энерговкладом в центре. Распределение 02 с изотропной серединой и пиком у сепаратрисы применимо к (замкнутым) цепочкам открытых ловушек, где требуется снизить энергию периферийной плазмы, например, для работы с большим бета.

В четвертой главе описана предложенная новая многосвязная ловушка, основанная на сочетании применения внутренних витков для стабилизации центральных областей средней магнитной ямой со стабилизацией внешних областей со спадающим полем конвективно-устойчивым гшазиым спидом давления. Основной интерес этого предложения состоит в возможности

14

существенного повышения содержания энергии в центральных областях при таком применении внутренних витков в длинных замкнутых стеллараторных системах типа ДРАКОН и ЭПСИЛОН.

Рассматривается гофрированный тор из восьми пробкотронов, в двух из которых созданы внешние диверторы. В двух других ячейках размещены внутренние кольца с током, так что возникают нули поля на оси и проходящие через них сепаратрисы 5„ рис. 11. При этом объем удержания плазмы разделяется надвое. Часть плазмы в ячейках с кольцом находится в областях V, внутри сепаратрис S,. Силовые линии вне таких сепаратрис проходят по всей длине системы. Они занимают другую часть объема Ve, который, в свою очередь, разделяется на две области. Приосевая область (обозначаемая на рисунках цифрой I) стабилизируется средним minß (в этой области VpVU< 0)- Внешние, простирающиеся до сепаратрисы Se, проходящей через диверторы, слои II и III, в которых VpVU > 0, стабилизируются дивертором при плавном спаде давления. Для расчетов трехмерных магнитных конфигураций и конвективно-устойчивых профилей давления в них разработан специальный численный код.

Рис. 11. Силовые линии в гофрированном торе с двумя диверторами и двумя ячейками с внутренними витками (в экваториальном сечении х-у). Слева изображена четверть тора, справа - общий вид тора

Так как стабилизация средней магнитной ямой допускает резкий перепад давления, то возможно заметное пикирование давления (и повышение запаса энергии) у оси по сравнению с исходной конфигурацией типа ДРАКОН и EPSILON, стабилизируемой только диверторами.

В [24] обнаружено, что непараксиальные ячейки с большой кривизной силовых линий, являясь своеобразными "якорями", размещенными по длине ловушки, препятствуют развитию конвективных и баллонных смещений. В

итоге, оценка максимальной р в длинной системе возрастает в соответствии с тем, насколько часто расставлены эти ячейки по длине ловушхи. А именно, в оценку величины рсг ~ т^аВЛ} (где а - малый радиус, Я - радиус кривизны силовых линий) в качестве Ь следует подставлять не общую длину ловушки, а расстояние между ячейками-якорями. Предложенные ячейки с внутренними витками будут играть роль якорей, аналогичную действию таких непараксиальных ячеек. Их также можно располагать в требуемом количестве по длине ловушки. Так, для изображенной на рис. 11 ловушки, в которой две ячейки расставлены диаметрально противоположно, предельное значение рсг в приосевой области в магнитной яме повысится в 4 раза.

При расчете конвективно-устойчивого профиля (давления) рт в радиальном сечении гофрированного тора с витками (рис.11) согласно бесстолкновительному кинетическому критерию обнаружен радиальный пик (разрыв) на устойчивом профиле давления (рис.12), расположенный у границы средней магнитной ямы §гасШ—>0 в слое силовых линий со слабой знакопеременной кривизной. Такой профиль означает возможность формирования радиального пьедестала давления у границ магнитной ямы 1-И

Рис. 12. Профили рт(г) (давление плазмы) (1,2), в конфигурации гофрированного тора с внутренними витками и диверторами для функции анизотропии при а=5=1 (изотропная плазма) (/) и а=5=0.01 (2); профили Щг) (3) и Кчя(г) (V), (1-Ш см. рис.21)

В осесимметричной конфигурации ячейки с внутренним витком, рассчитанной по коду ЕБРНШ, также обнаружен пик (разрыв) на профиле конвективно-устойчивого давления (рис. 13).

Рис. 13. Силовые линии в сечении г-г в осесимметричной ячейке с внутренним витком (слева), профилирт(у), (для а=5=1, 0.5, 0.1), С/(у), в ней (справа)

Для изотропного распределения плазмы С(Я.,у)=1 можно показать, что пик - это разрыв первого рода на градиенте устойчивого давления р(у), который возникает из-за несовпадения радиального (поперечного к полю) положения поверхностей, на которых цгас1С/=0 и gra4/=0 (для всех значений питч-угла). (Имеет значение поперечная к полю компонента gra(i=a/Эx|/.) Действительно, критерий конвективной устойчивости (4) для изотропной плазмы сводится к [13,16]:

ЧрЪи^—р^^УсГк- (8)

Отсюда видно, что профиль давления, отвечающий нейтральной устойчивости, следует из условия У1пр °с • Для отсутствия

расходимости градиента давления необходимо, чтобы одновременно с ^а<1 С/ обращался бы в нуль и интеграл в правой части (8): |тГ'(У./)2<Л, что

возможно только, если §га(1/(А.)=0 (6) для всех значений X. При этом известно, что положения тш(|й?//5)=тах£/ и тт(!а7)=гта/(0) не совпадают [25,10] (исключение - ось прямой пробочной ловушки).

Характерно, что МГД критерий \JpVU < ур(Vи)г¡\и\ пе подразумевает

никаких особенностей на устойчивом профиле давления. Критическому градиенту отвечает равенство V 1п р = уУ 1п и, и видно, что с обнулением £гас1С/ обращается в нуль и ¡»гаф.

Обнаруженный пик (разрыв) на профиле давления - наиболее существенное отличие необходимого и достаточного кинетического критерия конвективной устойчивости от достаточного МГД критерия.

Расчет J(X,y) показывает, что силовая линия, на которой производная grad/ = dJidy обращалась бь! в нуль для всех значений X, ¡te наблюдается (рис. 14). Тем не менее, на профилях рЛу) видна особенность в области m'míXjMx) (рас. ) 2,13), связанная с тем, что подьштефальное выражение (K=dJ/d\\t) а стабилизирующем слагаемом в 5 (5) "почти" обнуляется в этой области. При этом видно, что особенность сильнее проявляется в анизотропных профилях — где главный вклад дают частицы с большими X.

Положение пика (разрыва) на устойчивом профиле давления смещается в сторону к пшцТ^^) при рас с мо грении анизотропных профилей (см. рис.12,13). Это связано с тем, что в выражении для критического градиента давления d\npJdy~S!A (см. (7)) точка перехода Л(У) через ноль для анизотропных профилей (как и вся зависимость .4(у) в целом) определяется участками слабого поля - больших X.

Несовпадение поверхностей grad С/=0 и grad/=0 и в обычном гофрированном торе (без внутренних витков) приводит к появлению пика на устойчивом профиле давления (похожего на внутренний транспортный барьер в стелларагорах),

Согласно [26] из-за конечности ларморовского радиуса р при расчетах конвективной устойчивости можно считать силовые линии магнитного поля замкнутыми вплоть до вращательного преобразования - рКд/'аг, где и а

- большой и малый радиусы плазмы.

Расчеты показали, что «кольцо устойчивости» Р юто в а-Сту о а ко ва [19] не щраег роли в наблюдаемом формировании пика. Наблюдаемый разрыв на профиле давления может быть близок к эффекту стабилизации плазмы знакопеременной кривизной, обнаруженному Арсеннным [27].

Рассчитанный ход профиля давления в магнитной яме согласно критерию Кадомцева для ямы [28] jAnU1 (рис.) 5),

сопряженный с профилями во внешней области, показывает, что перепад давления от магнитной оси до периферии у сепаратрисы p¡n,Jpr,er,/ может: быть на уровне 104-105. При ЭТОМ МГД профиль в конфигурации без внутренних витков позволяет иметь отношение pijp^rif равным всего -2-3.

Учет конечного давления плазмы при расчетах конвективно-у сто й ч и в ого равновесия может привести к «фидаментации» градиентного тока в слое

Ркс. 14. Поверхность ДХ,^). Показан один из десяти узлов сетки по X и по 1[<

силовых линий с пиком давления, аналогичной описанной в главах 2 и 3. Однако здесь она может быть затруднена из-за того, что в указанном слое силовых линий поле (в среднем) наиболее сильное во всем сечении. Более точный анализ устойчивого равновесия должен включать и непотенциальные возмущения, как в критерии, полученном в [29].

3 1 ' I ' I ' 1 ■ I ■ I ' ......—1 1 I 1 1 ' I ■ I ■ I 1 I '• ч

-14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 б 8 10 12 14

'Л

Рис. 15. Суммарные профили давления в радиальном сечении гофрированного тора (рис.11), построенные по лучу через дивертор. Профиль давления в магнитной яме {ЧрУи<0) (I) сопряжен с конвективно-устойчивыми профилями вне ямы

(УрЧи > 0) - 2 и 3, рассчитанными согласно МГД (2) и кинетическому (3) описанию

для 0=1). 4 - и(г). 5 - МГД профиль в базовой конфигурации без внутренних витков

В расчетах рассматривался левитирующий виток (бесконтактная магнитная подвеска внутреннего кольца продемонстрирована на установках 11Т-1 и 1ЛЖ [30]), однако описанная конфигурация ячейки с внутренним витком может быть создана и при помощи плазменных токов. В этом случае требуется иметь обращенную магнитную конфигурацию [12], возникающую, когда в ячейке с "плазменным витком" локальное р»1.

В заключении сформулированы основные выводы работы.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

Разработан численный код ЕБРНШ, позволяющий проводить расчет предельных по конвективной неустойчивости распределений давления плазмы в ловушках со спадающим полем в соответствии с МГД критерием р ос 1П, либо с необходимым и достаточным бесстолкновительным кинетическим критерием (Крускала-Обермана) согласованно с равновесием плазмы с конечным давлением и с заданной анизотропией в реальной магнитной геометрии.

Найдено ограничение на конвективно-устойчивое равновесие со стороны наибольшего давления плазмы (бета) в конфигурациях ограниченных

сепаратрисой. Если конфигурация характеризуется протяженными участками со слабым полем у сепаратрисы, то основным ограничением является расширение сепаратрисы, если такие участки малы, то основное ограничение - «филаментация» градиентного плазменного тока у сепаратрисы. При этом в первом случае спад давления к сепаратрисе (и в МГД, и в кинетическом описании) более плавный, тогда как во втором - большая часть давления спадает до нуля вблизи сепаратрисы.

Проведено сравнение рассчитанных согласно конвективной устойчивости распределений с измеренным давлением фоновой плазмы в Магнеторе. Оно показало, что, в целом, экспериментальные распределения близки к р<х 1ГУ при у=5/3 и у=1. Расчет плотности плазмы согласно амбиполярной диффузии по специально созданному коду показал, что отклонения измеренного распределения от pozU1 в целом могут быть описаны этой диффузионной моделью при задании источника плазмы (области локализации быстрых электронов).

Проведен анализ влияния вида функции анизотропии на критический градиент давления и указаны предельные распределения, дающие наиболее выгодный перепад давления из центра к сепаратрисе. Установлено, что у сепаратрисы зависимость профиля ртМ (определяющего профиль давления) слабо зависит от анизотропии и конкретного вида магнитной конфигурации и близка к изотропному распределению, которому соответствует: рт(у) = р(*|/)

*/Ку)офг-уГ55 [22].

Установлено, что более значительный спад «кинетических» профилей по сравнению с МГД существенен не только с позиции локализации, но и с точки зрения равновесия плазмы. Кроме того, зависимость локальных значений бета растет к сепаратрисе (к нулю поля) гораздо медленнее, чем в случае МГД профилей. Таким образом, порог неустойчивости непотенциальных баллонных возмущений Ргаах(ч/) > [)„ ~ TiaRJL1 ~ 1 для «кинетической» плазмы отодвинут дальше на периферию. Это позволяет иметь более высокое содержание энергии в центральных областях. Практически это означает возможность иметь более высокие параметры удержания горячей плазмы в ловушках со спадающим полем, чем следует из более простой МГД модели.

Создан численный код для расчета трехмерных вакуумных магнитных полей, заданных тонкими витками, с возможностью расчета траекторий частиц, а также предельных по конвективной неустойчивости профилей давления в МГД и бесстолкновительном кинетическом описании. (В сравнении с расчетом по Био-Савару расчет быстрее в ~103 раз при отклонении от более точного значения поля не более чем на

Предложена новая многосвязная магнитная конфигурация в виде замкнутой гофрированной ловушки типа ДРАКОН или EPSILON, в которой предлагается применить дополнительную ячейку-пробкотрон с внутренним витком с током противоположного направления. Из-за появления нулей поля

в центре ячейки у оси возникает средняя магнитная яма, позволяющая существенно повысить давление плазмы в центральных областях. Внешние области вне этой ямы можно стабилизировать дивертором при плавном спаде давления.

В предложенной конфигурации обнаружен радиальный ник (разрыв) на конвективно-устойчивом профиле давления, рассчитываемом согласно кинетическому критерию, отсутствующий при МГД описании. Он расположен у границы средней магнитной ямы gradC/—>0 в слое силовых линий со слабой знакопеременной кривизной. Его практическое значение заключается в возможности формирования у границы средней ямы радиального пьедестала давления, который позволяет иметь еще больший перепад давления между центром и периферией. В проведенных расчетах суммарный перепад давления от центра до периферии ловушки pmnlpperif составил ~104-105. При этом влияние дивертора незначительно. Стоит подчеркнуть, что речь идет о длинной замкнутой (гофрированной) ловушке. В расчетах рассматривался левитирующий виток, однако, такую же конфигурацию можно создать и при генерации плазменного тока. В этом случае в ячейках с "плазменным витком" требуется иметь локальное р»1.

Список публикаций по теме диссертации

1. Цвентух М.М. // "Равновесие плазмы в двухдипольной ловушке с сепаратрисой", Физика плазмы, 2007, том 33, №7, с. 591-598.

2. Цвентух М.М. // "Применение внутренних витков в длинных замкнутых магнитных ловушках", Физика плазмы, 2009, том 35, №4, с. 381-384.

3. Вовченко Д.Е., Крашевская Г.В., Курнаев В.А., Ходаченко Г.В., Цвентух М.М. // "Исследование профилей давления плазмы в магнитной ловушке Магнетор". Вопросы Атомной Науки и Техники (ВАНТ). Сер. Термоядерный синтез, 2006, вып. 4, с. 68—76.

4. G. V. Krashevskaya, V. A. Kumaev, and М. М. Tsventoukh, "Plasma parameters distribution in the experimental model of the compact-dipole magnetic confinement device", Proc. of 28th International Conference on Phenomena in Ionized Gases, July 15-20, 2007, Prague, Czech Republic, P. 393-396.

5. M.M. Tsventoukh, Equilibrium and stability of the plasma confined by doubledipole device, Proc, 35ш European Physical Society (EPS) conference on Plasma Physics, 9-13 June 2008, Hersonissos, Crete, Greece, P-4.057.

6. V.A. Kurnaev, G.V. Krashevskaya, M.M. Tsventoukh, D.E. Vovchenko, G.V. Khodachenko, and G.H. Salahutdinov, Plasma confinement in the compact double-dipole magnetic trap, in Proc. of 14th International Congress on Plasma Physics (ICPP2008), Fukuoka, Japan, September 8-12,2008.

7. Цвентух M.M. // "Параметры плазмы в ловушках со спадающим полем в зависимости от анизотропии". XXXVI-я Международная (Звенигородская) конференция по физике плазмы и УТС. Звенигород 9-13 февраля. Москва 2009. С.53.

8. Бойко С.А., Крашевская Г.В., Курнаев В.А., Салахутдинов Г.Х., ЦвентухМ.М. // "Быстрые электроны в ЭЦР плазме низкого давления удерживаемой в двухдипольной ловушке Магнетор". XXXVI-я Международная (Звенигородская) конференция по физике плазмы и УТС. Звенигород 9-13 февраля. Москва 2009. С.54.

9. Цвентух М.М. // "Равновесие плазмы согласованное с конвективной устойчивостью". XXXV-я Международная (Звенигородская) конференция по физике плазмы и УТС. Звенигород 11-15 февраля. Москва 2008. С.96.

10. Цвентух М.М. // "Использование внутренних витков для стабилизиции плазмы в замкнутой гофрированной системе". XXXV-я Международная (Звенигородская) конференция по физике плазмы и УТС. Звенигород 11-15 февраля. Москва 2008. С.97.

11. Цвентух М.М. // "Амбиполярный транспорт плазмы в области слабого поля вблизи сепаратрисы двухдипольной ловушки". XXXV-я Международная (Звенигородская) конференция по физике плазмы и УТС. Звенигород 11-15 февраля. Москва 2008. С.98.

12. Цвентух М.М. // "Конвективно-устойчивое равновесие плазмы в конфигурации с сепаратрисой при высоком бета". XXXIV-я Международная (Звенигородская) конференция по физике плазмы и УТС. Звенигород 12-16 февраля. Москва 2007. С.83.

13. Крашевская Г.В., Курнаев В.А., Ходаченко Г.В., ЦвентухМ.М. // "Пространственное распределение параметров СВЧ плазмы в сильно неоднородном магнитном поле". XXXIV-я Международная (Звенигородская) конференция по физике плазмы и УТС. Звенигород 12-16 февраля. Москва 2007. С.84.

14. Цвентух М.М. // "Удержание плазмы в двухдипольной ловушке Магнетор в широком диапазоне значений бета". XXXIII-я Международная (Звенигородская) конференция по физике плазмы и УТС. Звенигород 13-17 февраля. Москва 2006. С.86.

15. Бердникова М.М., Вайтонене A.M., Вайтонис В.В., Вовченко Е.Д., Ивашин С.В., Колтунов М.В., Крашевская Г.В., Курнаев В.А., Ходаченко Г.В., Цвентух М.М. // Исследование удержания и распределения параметров плазмы в ловушке би-дипольной конфигурации «Магнетор» // 32-я звенигородская конференция по физике плазмы и проблеме УТС. С.78.

16. Цвентух М.М. // "Разряд на электронно-циклотронном резонансе для моделирования и оптимизации систем магнитного удержания управляемого термоядерного синтеза" // Российский научный форум с международным участием "Демидовские чтения" Москва, 25-28 февраля 2006г. С. 43-44.

СПИСОК ЦИТИРУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. R. J. Hawryluk, 22nd IAEA Fusion Energy Conference Geneva, Switzerland 1318 October 2008, IT/1-2.

2. J. Kesner, D.T. Gamier, A. Hansen et al, Nucl. Fusion 44 (2004) 193-203.

3. Алексеев П.Н. и др., 36-я Международная (Звенигородская) конференция по физике плазмы и УТС. Звенигород 9-13 февраля. Москва 2009. С.21.

4. Кадомцев Б.Б., Физика Плазмы и проблема управляемых термоядерных реакций. М.: изд-во АН СССР. 1958. Т.4. - С.353.

5. Пастухов В.П., Чудин Н.В., Физика Плазмы 27 963 (2001).

6. Рютов Д.Д., УФН 154 565 (1988); Димов Г.И., УФН 175 1185 (2005).

7. Глаголев В.М., Кадомцев Б.Б., Трубников Б.А., Шафранов В.Д., 10th Eur. Conf. Contr. Fus. and Plasma Phys. Moscow. 1981.E-8.; Кондаков B.B., Перелыгин С.Ф., Смирнов B.M., ЖТФ 69 2 22 (1999).

8. V.V. Arsenin, E.D. Dlougach, V.M. Kulygin et al, 2001 Nucl. Fusion 41 945952; V.M. Kulygin et al, 2007 Nucl. Fusion 47 738-745.

9. Фгорт Г.П., в сб. Физика высокотемпературной плазмы, пер. с англ., под ред. М. С. Рабиновича, М.: Мир, 1972. С. 172.

Ю.Морозов А. И., Савельев В. В., УФН 168 1153 (1998).

11. Hasegawa A., Chen L., Mauel М.Е., Nucl. Fusion 30 2405 (1990).

12. Tuszewski M., Nucl. Fusion 28 2033 (1988).

13. Кадомцев Б.Б., Физика Плазмы и проблема управляемых термоядерных реакций. М.: изд-во АН СССР. 1958. Т.4. - С.370.

14. M.D. Kruskal and C.R. Oberman, Phys. Fluids 1 275 (1958).

15. M.N. Rosenbluth and N. Rostoker, Phys. Fluids 2 23 (1959).

16. Михайловский А.Б., Теория плазменный неустойчивостей. T. 2. Неустойчивости неоднородной плазмы, М., Атомиздат, 1971.

17. Бердникова М.М. и др., ВАНТ. Сер. Термоядерный синтез. 1 22 (2003).

18. Шафранов В.Д., Вопросы теории плазмы, вып.2. Госатомиздат 1963, С.92.

19. Рютов Д.Д., Ступаков Г.В., Физика плазмы 12 1411 (1986).

20. Попович П.А., Шафранов В.Д., Физика Плазмы 26 519 (2000).

21. Арсенин В.В., Куянов А.Ю., Физика Плазмы 27 675 (2001).

22. Соколов А.Ю., Физика Плазмы 18 657 (1992).

23. V.V. Arsenin, A.Yu. Kuyanov, Trans. Fusion Sei. Tech., 39 IT (2001) 175.

24. Арсенин B.B., Звонков A.B., Сковорода A.A., Физика Плазмы 31 6 (2005).

25. Демиденко И.И., Ломино Н.С., Падапка В.Д. и др., в сб. Плазменные ускорители, под ред. Л.А.Арцимовича, М., Машиностроение, 1972, С.282.

26. Сковорода A.A., Физика плазмы 31 133 (2005).

27. Арсенин В.В., Письма в ЖЭТФ, 43 6 270 (1986), ibid. 37 11 534 (1983).

28. Кадомцев Б.Б., Физика Плазмы и проблема управляемых термоядерных реакций. М.: изд-во АН СССР. 1958. Т.4. - С.380.

29. Арсенин В.В., Терехин П.Н., Физика Плазмы 34 971 (2008).

30. Z. Yoshida et al, 22nd IAEA Fusion Energy Conference Geneva, Switzerland 13-18 October 2008, EX/P5-28; D.T. Garnier et al, ibid. IC/P4-12.

Подписано в печать 27.04.2009. Тираж 120 экз. Заказ №196

Московский инженерно-физический институт (государственный университет). 115409, Москва, Каширское ш., 31. Типография МИФИ

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. ОБЗОР СОВРЕМЕННОГО СОСТОЯНИЯ ИССЛЕДОВАНИЙ.

1.1. ИССЛЕДОВАНИЯ СТАБИЛИЗАЦИИ ПЛАЗМЫ В ЛОВУШКАХ СО СПАДАЮЩИМ ПОЛЕМ БОЛЬШОЙ КРИВИЗНЫ.

1.2. УСЛОВИЯ ОТСУТСТВИЯ КОНВЕКТИВНОЙ НЕУСТОЙЧИВОСТИ В СПАДАЮЩЕМ ПОЛЕ.

1.3. ДВУХДИПОЛЬНАЯ ЛОВУШКА МАГНЕТОР.

ВЫВОДЫ ИЗ ПЕРВОЙ ГЛАВЫ.

ГЛАВА 2. МГД РАВНОВЕСИЕ И КОНВЕКТИВНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ ПЛАЗМЫ В МГД ОПИСАНИИ, СЛУЧАЙ ЧАСТЫХ СТОЛКНОВЕНИЙ.

2.1. ОБЗОР РАБОТ И ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ.

2.2. АЛГОРИТМ КОДА ЕБРШВ.

2.3. ИССЛЕДУЕМЫЕ КОНФИГУРАЦИИ.

2.4. ОБСУЖДЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ РАСЧЕТОВ.

2.5. СРАВНЕНИЕ С ИЗМЕРЕННЫМ РАСПРЕДЕЛЕНИЕМ.

2.6. ТРАНСПОРТ ПЛАЗМЫ В ОБЛАСТИ СЛАБОГО ПОЛЯ.

2.7. АЛГОРИТМ ЧИСЛЕННОГО КОДА АМЮТЕ.

2.8. РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТА ДИФФУЗИОННЫХ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ ПЛОТНОСТИ ПЛАЗМЫ.

2.9 ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТИ ДИФФУЗИОННОГО КОДА АМБШЕ 69 ВЫВОДЫ ИЗ ВТОРОЙ ГЛАВЫ.

ГЛАВА 3. РАСЧЕТЫ РАВНОВЕСИЯ СОГЛАСОВАННОГО С БЕССТОЛКНОВИТЕЛЬНЫМ КИНЕТИЧЕСКИМ ОПИСАНИЕМ КОНВЕКТИВНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ ПЛАЗМЫ.

3.1. ОБЗОР РАСЧЕТНЫХ РАБОТ.

3.2. ОПИСАНИЕ ЧИСЛЕННОГО АЛГОРИТМА.

3.3. РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТА КИНЕТИЧЕСКИХ ПРОФИЛЕЙ ДАВЛЕНИЯ В ВАКУУМНЫХ КОНФИГУРАЦИЯХ.

3.4. СОГЛАСОВАНИЕ КИНЕТИЧЕСКОГО ПРОФИЛЯ С АНИЗОТРОПНЫМ РАВНОВЕСИЕМ.

3.5. РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТОВ РАВНОВЕСНЫХ КОНФИГУРАЦИЙ ПЛАЗМЫ С КИНЕТИЧЕСКИМ ПРОФИЛЕМ ДАВЛЕНИЯ.

3.6. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВИДА ФУНКЦИИ АНИЗОТРОПИИ ИЗ ИЗМЕРЕНИЙ НА МАГНЕТОРЕ.

3.7. УДЕРЖАНИЕ ПЛАЗМЫ В ЛОВУШКАХ СО СПАДАЮЩИМ ПОЛЕМ В ЗАВИСИМОСТИ ОТ АНИЗОТРОПИИ.

3.8. КОД ДЛЯ БЫСТРОГО РАСЧЕТА ВАКУУМНЫХ ПОЛЕЙ.

ВЫВОДЫ ИЗ ТРЕТЬЕЙ ГЛАВЫ.

ГЛАВА 4. НОВАЯ МНОГОСВЯЗНАЯ КОНФИГУРАЦИЯ.

4.1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ.

4.2. РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТОВ. ДОПУСТИМЫЕ ПРОФИЛИ ДАВЛЕНИЯ.

4.3. ОБСУЖДЕНИЕ.ill

4.4. ОБНАРУЖЕННЫЙ ПИК НА «КИНЕТИЧЕСКОМ» ПРОФИЛЕ ДАВЛЕНИЯ В КОНФИГУРАЦИИ С ВНУТРЕННИМ ВИТКОМ.

4.5. ОСОБЕННОСТИ ФОРМИРОВАНИЯ ПИКА ДАВЛЕНИЯ.

4.6. ОБЗОР ПРЕДШЕСТВУЮЩИХ БЛИЗКИХ РАБОТ.

4.7. СУММИРОВАНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ.

ВЫВОДЫ ИЗ ЧЕТВЕРТОЙ ГЛАВЫ.

Актуальность темы

Прогресс исследований удержания термоядерной плазмы в токамаках и начало строительства экспериментального токамака-реактора ИТЭР [1] позволяет говорить не только о развитии физики и техники управляемого термоядерного синтеза, но и о начале его практического освоения. Вместе с тем, в долгосрочной перспективе следует обратить внимание на возможности наиболее эффективных альтернативных систем удержания, изученных недостаточно. Один аспект связан с использованием о перспективных топливных циклов D- Не и D-D, для реализации которых требуются лучшие, чем достигнуты на сегодня параметры [2]. Второй аспект связан с поисками эффективного и простого источника нейтронов в гибридном реакторе [3].

Особенного внимания заслуживают ловушки со спадающим полем, в которых наиболее опасная - конвективная (желобковая) неустойчивость плазмы подавляется [4,5] за счет естественного, но не очень резкого спада давления наружу. К ним относятся простые осесимметричные конфигурации пробочной геометрии [6,7]; их замкнутые цепочки в виде гофрированных торов [8,9]; ловушки с внутренними проводниками, окруженными плазмой [10,11], в том числе на основе диполя [12,13]; а также обращенные конфигурации с плазменными токами с высоким давлением [14]. Указанные конфигурации должны обладать заметной кривизной силовых линий. При этом силовые линии должны быть замкнутыми или иметь небольшое вращательное преобразование. К основным достоинствам подобных ловушек, помимо стационарности и высокого бета р=8пр/В , относится их простота, так как в них не требуется создания ни (среднего) минимума поля, ни перекрещенности силовых линий.

Спектр применения подобных магнитных ловушек может быть шире удержания термоядерной плазмы. Они применимы там, где требуется эффективное удержание энергии в плазме для различных целей. Это и мощные ЭЦР источники многозарядных ионов, и устройства для разделения изотопов, и плазмохимические реакторы высокой мощности.

Общей проблемой является поиск оптимальной конфигурации, обеспечивающей удержание плазмы с наибольшей энергией в центре и наименьшей на периферии, то есть с наибольшей локализацией плазмы. При этом определяющими параметрами являются: вид конфигурации -размер и форма магнитной сепаратрисы, градиент магнитного поля, а также параметры плазмы - уровень давления, столкновительность, анизотропия.

Целью настоящей работы является создание методики исследований и применение ее для анализа магнитоплазменных конфигураций со спадающим полем, обеспечивающих оптимальные параметры удержания при сохранении крупномасштабной устойчивости плазмы конечного давления.

Для достижения этой цели требуется решение следующих задач:

1. Создание численных алгоритмов для анализа ловушек со спадающим полем. В расчетах требуется самосогласованный учет равновесия плазмы конечного давления, конвективной устойчивости в МГД и в кинетическом описаниях, реальной магнитной геометрии с сепаратрисой, заданного уровня анизотропии.

2. Проведение с помощью этих алгоритмов расчетов равновесных конвективно-устойчивых конфигураций. Сравнение результатов, полученных при более простом - МГД описании, с полученными при необходимом и достаточном — кинетическом описании конвективной устойчивости.

3. Формулирование на основании проведенных исследований предложений по достижению наиболее выгодных параметров в указанных ловушках со спадающим полем и разработка на их основе новой магнитной конфигурации.

Научная новизна работы заключается в следующем

1. Разработан численный алгоритм, позволяющий проводить расчет конвективно-устойчивого равновесия в реальной геометрии магнитного поля, что особо существенно для ловушек, имеющих у сепаратрисы протяженные участки со слабым полем.

2. Разработанный алгоритм позволяет исследовать конвективную устойчивость плазмы в ловушках большой кривизны в соответствии и с МГД критерием, и с (необходимым и достаточным) бесстолкновительным кинетическим критерием, как для вакуумного, так и для равновесного поля, что дает возможность согласовать конвективную устойчивость и равновесие при заданном давлении и анизотропии плазмы.

3. Установлено существование ограничения на конвективно-устойчивое равновесие с сепаратрисой, которое определяет наибольшую величину давления плазмы в центре конфигурации. При более высоком давлении происходит либо быстрое расширение сепаратрисы, либо «филаментация» градиентного плазменного тока у нее, что определяется соответственно большим, либо малым размером участков со слабым полем у нулей на сепаратрисе.

4. Кинетические расчеты конвективной устойчивости показали возможность удержания плазмы в рассматриваемых ловушках со значительно более высокими параметрами, чем это следовало из МГД расчетов, не только для (3—;Ю, но и при конечном (равновесном) давлении плазмы.

5. Предложена новая магнитная конфигурация, которая может привести к заметному повышению энергосодержания плазмы в концептуальных стеллараторных ловушках типа ДРАКОН [7], EPSILON [8] (а также в открытых системах). В предложенной конфигурации при кинетическом анализе конвективной устойчивости обнаружено формирование радиального пьедестала на устойчивом профиле давления в слое силовых линий со слабой, но знакопеременной кривизной.

Практическая ценность работы состоит в:

1) разработанных расчетных методиках, применимых для анализа конвективной устойчивости при равновесном давлении плазмы в широком классе магнитных конфигураций;

2) полученных с их применением результатах анализа конкретных ловушек со спадающим полем, позволивших сформулировать условия для достижения более оптимальных параметров удержания в таких системах;

3) предложенной на их основе новой магнитной конфигурации, позволяющей повысить достижимые параметры плазмы в ряде концептуальных систем.

Положения, выносимые на защиту

1. Численные алгоритмы для расчета равновесия плазмы, согласованного с ее конвективной устойчивостью в спадающем поле в ловушках большой кривизны в соответствии как с МГД, так и с (необходимым и достаточным) кинетическим критерием устойчивости.

2. Результаты расчетов, показавшие, что достижение высокого давления плазмы в центре при конвективно-устойчивом равновесии ограничено либо расширением сепаратрисы (в случае протяженных участков со слабым полем), либо «филаментацией» градиентного плазменного тока (в случае малых участков со слабым полем, когда основное падение давления происходит вблизи сепаратрисы).

3. Результаты сравнения двух моделей, показавшие, что кинетическое описание конвективной устойчивости дает лучшие параметры удержания плазмы в ловушках со спадающим полем с позиции равновесия и появления непотенциальных баллонных мод, чем более простая МГД модель, и позволяет еще более улучшить эти параметры при задании определенного вида анизотропии.

4. Новая многосвязная конфигурация для удержания плазмы на основе ловушек типа ДРАКОН и EPSILON, позволяющая существенно повысить содержание энергии в центральных приосевых областях. В предложенной конфигурации при кинетическом описании устойчивости обнаружена возможность формирования радиального пьедестала давления, расположенного на границе средней магнитной ямы в слое силовых линий со слабой, но знакопеременной кривизной.

Апробация работы. Результаты исследований, изложенные в диссертации, докладывались на следующих конференциях: 32-я - 36-я Международная (Звенигородская) конференция по физике плазмы и управляемому термоядерному синтезу, Звенигород (2005, 2006, 2007, 2008, 2009); 28th International Conference on Phenomena in Ionized Gases (ICPIG), July 15-20, 2007, Prague, Czech Republic; 35th European Physical Society (EPS) Conference on Plasma Physics June 9-13 2008, Hersonissos, Crete, Greece; International Congress on Plasma Physics (ICPP), September 8-12 2008 Fukuoka, Japan; Российский Научный Форум с международным участием "Демидовские чтения" Москва, 25-28 февраля 2006.

Личный вклад соискателя отражен в постановке задач, создании, реализации и отладке требуемых численных алгоритмов, проведении расчетов, анализе полученных результатов.

Необходимые численные коды были созданы с использованием Borland Delphi 7.0 Enterprise.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка цитируемой литературы. Общий объем составляет 140 страниц и включает

Основные результаты работы могут быть сформулированы следующим образом. Разработан численный код ESPHIB, позволяющий проводить расчет предельных по конвективной неустойчивости распределений давления плазмы в ловушках со спадающим полем в соответствии с МГД критерием р<х1Гу, либо с бесстолкновительным кинетическим критерием (Крускала-Обермана) согласованно с равновесием плазмы с конечным давлением и с заданной анизотропией в реальной магнитной геометрии.

Найдено ограничение на конвективно-устойчивое равновесие со стороны наибольшего давления (бета) в конфигурациях ограниченных сепаратрисой. Если конфигурация характеризуется протяженными участками со слабым полем у сепаратрисы, то основным ограничением является расширение сепаратрисы; если такие участки малы, то основное ограничение - «филаментация» градиентного плазменного тока у сепаратрисы. При этом в первом случае спад давления к сепаратрисе более плавный, тогда как во втором - большая часть давления спадает до нуля вблизи сепаратрисы.

Проведено сравнение рассчитанных согласно конвективной устойчивости распределений с измеренным давлением фоновой плазмы в Магнеторе, которое показало близость экспериментальных распределений к pU{=const при 7=5/3 и 7=1. Расчет плотности плазмы согласно амбиполярной диффузии по специально созданному коду показал, что отклонения измеренного распределения от plF=const в целом могут быть описаны этой диффузионной моделью при задании источника плазмы (быстрых электронов).

Проведен анализ влияния вида функции анизотропии на критический градиент давления и указаны предельные распределения, дающие наиболее выгодный перепад давления из центра к сепаратрисе. Установлено, что у сепаратрисы зависимость профиля рт(у) (определяющего профиль давления) слабо зависит от анизотропии и близка к изотропному распределению, для которого /?/;г(у) = р(\|/) ~ £>*oc|\|/s-\|/|0 555.

Установлено, что более значительный спад «кинетических» профилей по сравнению с МГД существенен не только с позиции локализации, но и с точки зрения равновесия плазмы. Кроме того, зависимость локальных значений бета растет к сепаратрисе (к нулю поля) гораздо медленнее, чем в случае МГД профилей. Таким образом, порог неустойчивости непотенциальных баллонных возмущений (Зтах(чО > Pc/ ~ TCaRIV ~ 1 для «кинетической» плазмы отодвинут дальше на периферию. Это позволяет иметь более высокое содержание энергии в центральных областях. Практически это означает возможность иметь более высокие' параметры удержания горячей плазмы в ловушках со спадающим полем, чем следует из более простой МГД модели.

Создан численный код для быстрого расчета трехмерных вакуумных магнитных полей заданных тонкими токовыми витками, с возможностью расчета траекторий частиц, а также предельных по конвективной неустойчивости профилей давления в МГД и бесстолкновительном кинетическом описании. (В сравнении с интегрированием по закону Био-Савара, расчет по примененной интерполяционной схеме быстрее в ~10 раз, при отклонении от более точного значения не хуже чем 10~5-10~4.)

Предложена новая многосвязная магнитная конфигурация ловушки в виде замкнутой гофрированной системы,. типа концептуальных ловушек ДРАКОН и EPSILON, в которой предлагается применить дополнительную ячейку-пробкотрон с внутренним витком, с противоположным током. Из-за появления нулей поля в центре ячейки у магнитной оси возникает средняя магнитная яма, позволяющая существенно повысить давление плазмы в центральных областях. Внешние области вне этой ямы можно стабилизировать дивертором при плавном спаде давления.

Для предложенной конфигурации обнаружен радиальный пик (разрыв) на конвективно-устойчивом профиле давления, рассчитываемом согласно кинетическому критерию, отсутствующий в МГД описании, расположенный на радиальной периферии в слое силовых линий со слабой знакопеременной кривизной. Практическое значение такого разрыва заключается в возможности формирования радиального пьедестала давления, который приводит к еще большему перепаду давления между центром и периферией. В проведенных расчетах перепад давления из центра на периферию ловушки ртп/ррег1у- был на уровне ~104-105. При этом влияние дивертора незначительно. Стоит подчеркнуть, что речь идет о длинной замкнутой (гофрированной) ловушке. В расчетах рассматривался левитирующий виток, однако, такую конфигурацию можно создать и при генерации плазменного тока. В этом случае в ячейках с "плазменным витком" требуется иметь локальное (3»1.

Автор считает своим приятным долгом выразить глубокую искреннюю благодарность за поддержку работы академику Г.А. Месяцу, научным руководителям В.В. Арсенину и В.А. Курнаеву за внимание к работе и ценные замечания, Г.В. Крашевской за внимание и помощь в подготовке работы, а также всем коллегам и сотрудникам Кафедры физики плазмы МИФИ, Отдела физической электроники ФИ РАН, а также Института ядерного синтеза РНЦ КИ за доброжелательное отношение и ценные советы при обсуждениях.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. J. Kesner, D.T. Gamier, A. Hansen, M.Mauel and L. Bromberg, Plelium catalysed D-D fusion in a levitated dipole, Nucl. Fusion 44 (2004) 193-203

2. Кадомцев Б.Б. // Физика Плазмы и проблема управляемых термоядерных реакций. М.: изд-во АН СССР. 1958. Т.4. С.353.

3. Арсенин В.В., Аксиально-симметричные открытые ловушки // Итоги нгуки и техники Сер. Физика плазмы. Т. 8. — М.: ВИНИТИ, 1988, — С. 49.

4. Рютов Д.Д., УФН 154 565 (1988).

5. Димов Г.И., УФН 175 1185 (2005).

6. Glagolev V.M., Kadomtsev В.В., Trubnikov В.А., Shafranov V.D. // 10th Eur. Conf. Contr. Fus. and Plasma Phys. Moscow. 1981.E-8.

7. V.V. Arsenin, E.D. DIougach, V.M. Kulygin, A.Yu. Kuyanov, A.A. Skovoroda, A.V. Timofeev, V.A. Zhil'tsov, A.V. Zvonkov, The EPSILON experimental pseudo-symmetric trap, 2001 Nucl. Fusion 41 945-952.

8. Фюрт Г.П. // Физика высокотемпературной плазмы / Пер. с англ. Под ред. М. С. Рабиновича, М.: Мир, 1972. С. 172.

9. Морозов А. И., Савельев В. В., УФН 168 1153 (1998).

10. Hasegawa A. // "A Dipole Field Fusion Reactor", Comments Plasma Phys. And Controlled Fusion 11 147 (1987).

11. Hasegawa A., Chen L., Mauel M.E. // "A D-3He fusion -reactor based on a dipole magnetic-field", Nucl. Fusion. 1990. V. 30. P. 2405.

12. Tuszewski M., Nucl. Fus. 28 2033 (1988)

13. Morozov A.I., Pastukhov V.P., Sokolov A.Yu. // Proc. Workshop on D-3He Based Reactor Studies. Moscow: Kurchatov Atomic Energy Institute. 1991. P. lcl.

14. Брагинский С.И., Кадомцев Б.Б. // Физика Плазмы и проблема управляемых термоядерных реакций. М.: изд-во АН СССР, 1958. Т.З. -С.300.

15. M.N. Rosenbluth, C.L. Longmire, Annals of Phys., "Stability of Plasmas Confined by Magnetic Fields". Ann. Phys., 1 (1957), 120-40.

16. Кадомцев Б.Б. // Физика Плазмы и проблема управляемых термоядерных реакций. М.: изд-во АН СССР. 1958. Т.4. С.16.

17. Кадомцев Б.Б. // Физика Плазмы и проблема управляемых термоядерных реакций. М.: изд-во АН СССР. 1958. Т.4. С.370.

18. Кадомцев Б.Б. // Физика Плазмы и проблема управляемых термоядерных реакций. М.: изд-во АН СССР. 1958. Т.4. С.380.

19. Кадомцев Б.Б. // Вопросы теории плазмы, вып.2. Госатомиздат 1963, С.132.

20. Frieman, Kruskal, Kulsrud, and Bernstein, NYO-7315, Project Matterhorn Rept. PM-S-25, (Princeton University, Princeton, New Jersey, March, 1957).

21. I.B. Bernstein, E.A. Frieman, M.D. Kruskal and R.M. Kulsrud, An energy principle fr hydromagnetic stability problem, in Proc. of the Royal Society of London. Series A, Vol. A244, (1958) p. 17-40.

22. M.D. Kruskal, C.R. Oberman // Phys. Fluids. 1958. V. 1. P. 275.

23. M.N. Rosenbluth and N. Rostoker // Phys. Fluids. 1959. V. 2. P. 23.

24. Соколов А.Ю. // Физика Плазмы. 1992. Т. 18. №5 С.657.

25. Н. P. Furth, Phys. Rev. Lett., 1963, 11, 308.

26. J. Andreoletti, Comptes Rendus Acad. Sci., 1963, 257, 1235.

27. Рютов Д.Д., Ступаков Г.В., Письма в ЖЭТФ, 26, 186-189 (1977).

28. Рютов Д.Д., Ступаков Г.В., Физика плазмы 4 501-519 (1978).

29. Кадомцев Б.Б. // Физика Плазмы и проблема управляемых термоядерных реакций. М.: изд-во АН СССР. 1958. Т.З. С. 285.

30. Lane В., Post R. S., Kesner J., Nucl. Fusion. 1987. V 27. P.227.

31. J.A. Casey, B.G. Lane, J.H. Irby, K.L. Brau, S.N. Golovato, W.C. Guss, J. Kesner, R.S. Post, E. Sevillano, and J. Zielinski, Phys. Fluids, 31 (1988) 2009.

32. Post R.S., Brau K., Casey J. et al, Plasma Phys. and Contr. Nucl. Fusion Res., 1988 (12th Intern. Conf., Nice). Nucl. Fusion Suppl. 1989. V. 2. P. 493.

33. K. Brau, J.H. Irby, E. Sevillano, D. Goodman, J.A. Casey, S.N. Golovato, S. Home, R.S. Post, Nucl. Fusion 28 (1988) 2093-2101.

34. John R. Ferron, Alfred Y. Wong, Guy Dimonte, and Bernard J. Leikind, Interchange stability of an axisymmetric. average minimum-B magnetic mirror, Phys. Fluids 26, 2227 (1983).

35. E. A. Adler, Flute instability in axisymmetric mirrors, Phys. Fluids 25, 2053 (1982).

36. Д. А. Панов. Амбиполярные открытые ловушки // Итоги науки и техники. Сер. Физика плазмы. Т. 8. — М.: ВИНИТИ, 1988. — С. 5.

37. Е. Teller, A, Glass, Т.К. Fowler, J. Santarius, Fusion Technology 22, 82 (1992).

38. M.E.Mauel, H.H.Warren, and A.Hasegawa, IEEE Trans. On Plasma Sci., Vol. 20, No. 6, Dec. 1992, P. 626.

39. H.P. Warren and M.E. Mauel, PRL 74 1351 (1995).

40. B. Levitt, D. Maslovsky, and M. E. Mauel, PRL 94, 175002 (2005); B. Levitt, D. Maslovsky, M. E. Mauel, and J. Waksman, PHYSICS OF PLASMAS 12, 055703 (2005).

41. R. A. Dandl, A. C. England, W. B. Ard, H. O. Eason, M. C. Becker, and G. M. Hass, Nucl. Fusion 4, 344 (1964).

42. H. Ikegami, H. Ikezi, M. Hosokawa, Sh. Tanaka, and K. Takayama, Phys. Rev. Lett. V19. N14. Oct.1967. P 778

43. D.L. Smatlak, X. Chen, B.G. Lane, S. A. Hokin, and R. S. Post, Phys. Rev. Lett. V58. N18. May. 1987. P 1853

44. Кеснер Дж., Моуэл M., Физика плазмы. 1998. Т.23. С. 801-810.

45. X. Chen, В. G. Lane, D. L. Smatlak, R. S. Post, and S. A. Hokin, Phys. Fluids В 1, 615 (1989)

46. В. H. Quon, R. A. Dandl, W. DiVergilo et al., Phys. Fluids 28, 1503 (1985); R. A. Dandl, F. W. Baity, Jr., К. H. Carpenter et al., Nucl. Fusion Suppl. 2, 355 (1979).

47. Бердникова M.M., Вайтонене A.M., Вайтонис B.B., Ивашин C.B., Крашевская Г.В., КурнаевВ.А., Пастухов В.П., Перелыгин С.Ф., Самитов М.А., Ходаченко Г.В. // ВАНТ. Сер. Термоядерный синтез. Вып. 1. 2003. С. 22-27.

48. Вовченко Д.Е., Крашевская Г.В., КурнаевВ.А., Ходаченко Г.В., Цвентух М.М. // "Исследование профилей давления плазмы в магнитной ловушке Магнетор". Вопросы Атомной Науки и Техники (ВАНТ). Сер. Термоядерный синтез, 2006, вып. 4, с. 68—76.

49. G. V. Krashevskaya, V. A. Kurnaev, and М. М. Tsventoukh, "Plasma parameters distribution in the experimental model of the compact-dipole magnetic confinement device", Proc. of 28th International Conference onw 7

50. Phenomena in Ionized Gases, July 15-20, 2007, Prague, Czech Republic, P. 393396. http://icpig2007.ipp.cas.cz/files/download/cd-cko/ICPIG2007/pdf/lP04-18.pdf

51. М.М. Бердникова, Вайтонене A.M., Вайтонис B.B., Д.Е. Вовченко, Г.В. Крашевская, С.В. Ивашин, В.А. Курнаев, С.Ф. Перелыгин,

52. Г.В. Ходаченко// Установка «Магнетор». Препринт МИФИ 004-2006, М.: 2006, -40с.

53. D.T. Gamier, A. Hansen, М.Е. Mauel, Е. Ortiz, А. С. Boxer, J. Ellsworth, I. Karim, J. Kesner, S. Mahar, and A. Roach, Phys. Plasmas 13, 056111 (2006).54. http://psfcwvvw2.psfc.mit.edu/ldx/pubs.html.

54. M. Mauel, I. Karim, A. Boxer, J. Ellsworth, D. Gamier, A. Hansen, J. Kesner, and E. Ortiz, Reconstruction of the Pressure Profile of LDX High Beta Plasma, Innovative Confinement Concepts (ICC) Workshop, February 13-16, 2006, Austin, Texas. PI.028.

55. D.T. Gamier, A.C. Boxer, J.L. Ellsworth, J. Kesner, M.E. Mauel, Confinement Improvement with Magnetic Levitation of Superconducting Dipole, 22nd IAEA Fusion Energy Conference Geneva, Switzerland 13-18 October 2008, IC/P4-12.

56. Z. Yoshida, Y. Ogawa, J. Morikawa, M. Furukawa, H. Saitoh, M. Hirota, D. Hori, J. Shiraishi, S. Watanabe, Y. Yano, Magnetosphere-like Plasma

57. Produced by Ring Trap 1 (RT-1) 21st IAEA Fusion Energy Conference 16-21 October Chengdu, China. Paper icp7-14.61. http:/Avww.ppl.k.u-tokyo.ac.jp/RTlnews/rtl .html.

58. Gamier D.T., Kesner J., Mauel M.E., Phys. Plasmas, Vol. 6, No. 9, (1999) 3431.

59. Пастухов В.П., Чудин H.B. // Физика Плазмы. 2001. Т.27. №11 С.963.

60. Yasaka Y., Takeno H., Inoue S., et al. Proc.XII Intern. Conf. on Plasma Phys. and Controlled Nucl. Fusion Res., Nica 1988, v.l, p.727 (1989).

61. Yasaka Y„ Sakai O., Takeno H., and Hojo H. Nucl. Fusion, 34, 1263-1269 (1994).

62. Sakai O., Yasaka Y, and Itatani R. Phys. Rev. Lett., 70, 4071-4074 (1993).

63. Yasaka Y., Takano N., Takeno H. Trans, of Fusion Technology. 2001. V.39. №1.T. P.350.

64. Yasaka Y., Maruyama A., and Takano N. Transactions Fusion science and technology, 43 (IT) 44-50 (2003).

65. I. Katanuma, Y. Sasagawa, Y. Tatematsu, Y. Nakashima, T. Cho and V.P. Pastukhov, Magnetic divertor design in GAMMA10 central cell, Nucl. Fusion 46 (2006) 608-617.

66. Трубников Б.А., Теория плазмы, M.: Энергоатомиздат, 1996. с. 117.

67. Перелыгин С.Ф., Смирнов В.М. // Физика плазмы. 1991. 17. №8 С.945-951.

68. Перелыгин С.Ф., Альтернативная термоядерная установка типа ДРАКОН. Препринт МИФИ 021-96, М.: 1996, -20с.

69. Кондаков В.В., Перелыгин С.Ф., Смирнов В.М., ЖТФ 1999, том 69, вып 2, с 22-26.

70. V.M. Kulygin, V.V. Arsenin, V.A. Zhiltsov, A.V. Zvonkov, A.A. Skovoroda and A.V. Timofeev, On the way to project EPSILON, 2007 Nucl. Fusion 47 738-745.

71. V.M. Kulygin, V.V. Arsenin, V.A. Zhil'tsov, A.V. Zvonkov, A.A. Skovoroda A.V. Timofeev, PROJECT EPSILON A WAY TO STEADY STATE HIGH (3 FUSION REACTOR, IAEA XXI Fusion Energy Conference, 16 -21 October 2006, Chengdu, China, IC/P7-1.

72. Будкер Г.И., // Физика Плазмы и проблема управляемых термоядерных реакций. М.: изд-во АН СССР. 1958. Т.1. С.66.

73. Звонков А.В., Куянов А.Ю., Нюренберг Ю., Сковорода А.А., Цилле Р., Физика плазмы 28 822 (2002)

74. Сковорода А.А., Шафраиов В.Д., Физика плазмы 21 937 (1995)

75. М. Kruskal and М. Schwarzschild, Some instabilities of a completely ionized plasma, in Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Mathematical and Physical Sciences. Vol.223.A. (1954) p.348-360.

76. Михайловский А.Б., Теория плазменный неустойчивостей. Т. 2. Неустойчивости неоднородной плазмы, М., Атомиздат, 1971.

77. Михайловский А.Б., Неустойчивости плазмы в магнитных ловушках, М., Атомиздат, 1978.

78. Пастухов В.П., Соколов А.Ю., Физика Плазмы, 1991. Т. 17. С. 1043.

79. Арсенин В.В., Звонков А.В., Сковорода А.А. // Физика Плазмы. 2005. Т.31. №1 С.6.

80. Арсенин B.B., Терехин П.Н., Физика Плазмы 34 971 (2008).

81. Арсенин В.В., Физика Плазмы 34 387 (2008).

82. Михайловская Л.В., Физика плазмы 14 1241 (1988).

83. Арсенин В.В., Куянов А.Ю. // Физика Плазмы. 2001. Т.27. №8 С.675.

84. Попович П.А., Шафранов В.Д., Физика Плазмы 26 519 (2000)

85. Цвентух М.М., Физика плазмы, 2007, том 35, №7, с. 591-598.

86. Шафранов В.Д., Вопросы теории плазмы, вып.2. Госатомиздат 1963, С.92.

87. Трубников Б.А., Теория плазмы, М.: Энергоатомиздат, 1996. с. 148.

88. Grad Н., Toroidal Containment of a Plasma, Phys. Fluids, 1967, V. 10, P. 137.

89. Захаров Л.Е., Шафранов В.Д., Вопросы теории плазмы, вып. 11. М.: Энергоиздат, 1982, с. 118-233.

90. Arsenin V.V., Kuyanov A.Yu., Nonparaxial plasma equilibria in axisymmetric mirror, Trans. Fusion Sci. Tech., 39 IT (2001) 175.

91. Дроздов B.B., Мартынов A.A., Физика плазмы 12 1429 (1988).

92. Arsenin V.V., Kuyanov A.Yu., Plasma equilibrium in axisymmetric open divertor configurations, Plasma Phys. Rep., 26 (2000)741.

93. Арсенин B.B., Сковорода A.A. // Физика Плазмы. 2005. T.31. №12 С. 1078-1086.

94. Трубников Б.А., Теория плазмы, М.: Энергоатомиздат, 1996. с. 29.

95. Бойко С.А., Крашевская Г.В., Курнаев В.А., Салахутдинов Г.Х., Цвентух М.М. // "Быстрые электроны в ЭЦР плазме низкого давления удерживаемой в двухдипольной ловушке Магнетор". Тезисы докладов

96. XXXVI Международной (Звенигородской) конференции по физике плазмы и УТС. Звенигород 9-13 февраля. Москва 2009. С.54.

97. Рютов Д.Д., Ступаков Г.В., Физика плазмы, 1986, том 12, вып. 12, стр. 1411-1428.

98. Гурин A.A., Пасечник JI.JL, Попович A.C., Диффузия плазмы в магнитном поле, Киев: Наук, думка, 1979. с. 49.

99. Schottky W., Diffusionstheorie der positiven Säule. Phys. Z., 1924, 25, N 23, 635-640.

100. J. Connor and R. J. Hastie, Phys. Fluids 19, 1727 (1976).

101. Цвентух M.M., Физика плазмы, 2009, том 35, №4, с. 381-384.

102. Сковорода A.A., Физика плазмы 31 133 (2005)

103. Демиденко И.И., Домино Н.С., Падалка В.Д., Репалов Н.С., Терещенко Ф.Ф., Устойчивость плазменных потоков в мультипольных магнитных полях, в сб. Плазменные ускорители, под общей редакцией акад. Л.А.Арцимовича, М., Машиностроение, 1972, С.282

104. Рютов Д.Д., Ступаков Г.В., Письма в ЖЭТФ, 1985, том 42, вып. 1, стр. 29-32.

105. Арсенин В.В., Физика плазмы, 1982, том, 8, вып. 3, стр. 484-486.

106. Арсенин В.В., Письма в ЖЭТФ, 1983, том 37, вып. 11, стр. 534-536.

107. Арсенин В.В., Письма в ЖЭТФ, 1986, том 43, вып. 6, стр. 270-272.