Массы и радиационные переходы тяжелых кваркониев тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК ПЕТЕРБУРГСКИЙ ИНСТИТУТ ЯДЕРНОЙ ФИЗИКИ им. Б.П. КОНСТАНТИНОВА

УДК 538.115 На правах рукописи

Марков Владимир Николаевич

МАССЫ И РАДИАЦИОННЫЕ ПЕРЕХОДЫ ТЯЖЕЛЫХ КВАРКОНИЕВ

01.04.02 - теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Работа выполнена в Отделении теоретической физики Петербургского института ядерной физики им. Б.П.Константинова РАН.

Научные руководители:

доктор физико-математических наук, профессор В.В. Анисович;

доктор физико-математических наук, старший научный сотрудник А.В. Саранцев.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор А.К. Лихо дед;

доктор физико-математических наук, старший научный сотрудник Д.И. Мелихов.

Ведущая организация:

Санкт-Петербургский государственный университет.

Защита диссертации состоится "_"_2005 г. в_часов на заседании диссертационного совета Д 002.115.01 при Петербургском институте ядерной физики им. Б.П.Константинова РАН по адресу: 188300, Ленинградская обл., Гатчина, Орлова роща.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке ПИЯФ РАН.

Автореферат разослан "_

2004 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

И.А. Митропольский.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ

Поиск подходов к решению задач квантовой хромодинамики (КХД) в области энергий, где константа взаимодействия велика и пертурбатив-ный подход не применим, остается актуальным в течение длительного времени.

Спектр адронов определяется сильным взаимодействием кварков и глюонов, а их общая структура при больших массах имеет своим источником кварк-глюонный конфаймент. Однако до сих пор остается неизвестным выражение для непертурбативных сил, определяющих конфаймент цветных объектов, и решение этой проблемы является одним из важнейших вопросов сильной КХД.

Сейчас в рамках КХД для этой цели применяются расчеты на пространственно-временных решетках. Таким путем получены существенные результаты. Тем не менее, эти расчеты остаются весьма трудоемкими и обеспечивают невысокую точность, причем, как правило, трудно оценить погрешность расчетов теоретически. Особую проблему представляет описание сильно связанных состояний (<< 1 ГэВ) иэ-за численных трудностей, возникающих при работе с малыми кварковыми массами. Альтернативный подход-это киральная теория возмущений, позволяющая описывать низкоэнергетическую динамику, она сталкивается с серьезными трудностями при описании резонансных состояний(> 1 ГэВ). Поэтому представляется актуальным изучение и разработка других возможных подходов к проблеме нахождения характеристик сил конфай-мента.

В настоящее время достаточно популярными являются расчеты ад-ронных состояний в терминах уравнения Бете-Салпетера. Такой подход позволяет учитывать релятивистскую динамику кварковых состояний, т.е. дает возможность изучать как кварк-антикварковые связанные состояния с почти нулевыми массами конституентов (псевдоскалярный октет голдстоуновских бозонов), так и системы, состоящие из тяжелых кварков (чармониумы, боттомониумы). Основной проблемой при расчетах адронных систем является приблизительное знание сил конфай-мента. Поэтому имеет смысл ставить обратную задачу, то есть восстанавливать кварк-антикварковые силы на основе наблюдаемого адрон-ного спектра и известных свойств распада адронных резонансов. Для

3 I МС НАЦИОНАЛЬНА« I ММИОТККА

! ¿""ЗК^

этой задачи представляется удобным использовать специфический вариант уравнения Бете-Салпетера, имеющий много общих черт с дисперсионным N/D уравнением-в таком подходе виртуальные состояния описываются спектральными интегралами. Метод спектрального интегрирования привносит существеннные преимущества по сравнению со стандартной процедурой. Во-первых, в технике спектрального интегрирования осуществляется контроль над кварковыми промежуточными состояниями. Например, говоря о 99-мезонах, мы можем гарантировать в таком подходе отсутствие экзотических компонент типа qqg и ?Это,бесспорно, существенно для выявления и дальнейшего поиска экзотических и гибридных состояний. Другое преимущество техники спектрального интегрирования-отсутствие проблем с выбором калибровки векторных взаимодействий или с выбором спиновой структуры в кварковой вершине. Это весьма существенный пункт для однозначного восстановления сил; в стандартной технике неоднозначности с выбором калибровки или спиновой структуры ведут к вариантам с возникновением вкладов от головастиковых или пингвинных диаграмм.

Для восстановления структуры кварк-антикваркового взаимодействия необходимо знать как уровни -систем , так и их волновые функции. Обычно используемая процедура-попытки описания дд-систем на базе информации об их массе-ведет к неоднозначностям. Информация о волновых функциях gg-систем содержится в формфакторах радиа-ционых переходов как однофотонных (99)1 —» 7*(Q2) + (99)2, так и двухфотонных, (99) —* j'(Qi) + 7*№2)" Поэтому задача о восстановлении -взаимодействия должна базироватся на одновременном использовании как сведений о мезонных массах, так и данных по переходным формфакторам. При этом, конечно, методика описания формфакторов должна соответствовать методике написания уравнения для систем, т.е. основываться на технике спектрального интегрирования.

В настоящее время мы имеем богатую экпериментальную информацию о кварк-антикварковых состояниях с разной динамикой формирования: с одной стороны, это системы, состоящие из легких кварков (q=u,d,s), в которых заведомо велики релятивистские эффекты, с другой- боттомониумы (66), в которых известные к настоящему времени состояния являются нерелятивистскими. Особое положение занимают чармониумы - в высоковозбужденных состояниях существенны релятивистские эффекты, тогда как низколежащие состояния должны хорошо описываться в терминах нерелятивистского приближения. По-

этому при проведении программы востановления взаимодействия представляется разумным в качестве первого шага начинать с рассмотрения сс-систем; малая величина релятивистских эффектов в низших состояниях дает возможность использовать сведения, накопленные нерелятивистской кварковой моделью. К настоящему времени имеется богатый спектр вариантов нерелятивистской модели, применяемой не только к системам тяжелых кварков, но и к легким кваркам. В таких подходах необходимые релятивистские эффекты фиксируются специальным выбором взаимодействия или параметров модели, например, включением Х^-взаимодействия. Несмотря на свою простоту, нерелятивистские модели довольно хорошо описывают спектр тяжелых мезонов, и, даже, по неизвестным динамическим причинам, дают удовлетворительное согласие в случае легких кварков.

В релятивистской кварковой модели, основанной на уравнении Бете-Салпетера, спин-орбитальное и спин-спиновое расщепления контролируются довольно естественным образом. Динамика расщепления явным образом зависит от дираковской структуры кварк-антикваркового взаимодействия.

Существует достаточно много указаний на то, что основной вклад кварк-антикваркового взаимодействия на больших расстояниях хорошо аппроксимируется линейным потенциалом. Проведенный нами численный анализ показывает, что параметры линейного потенциала оказываются сильно скоррелированы со спиновой структурой взаимодействия, и, следовательно, должны определяться одновременно. Параметры взаимодействия определялись по известному на сегодняшний день экспериментальному мезонному спектру и радиационным распадам мезонов. Помимо ясного понимания структуры сил конфаймента при низких энергиях решение этой задачи позволит явно проинтерпретировать лишние состояния как экзотические.

ЦЕЛЬ И ЗАДАЧИ РАБОТЫ

1. Исследование уравнений типа Бете-Салпетера в технике спектрального интегрирования в случае систем; рассмотрение случаев равных и неравных масс кварков.

2. Расчет переходных формфакторов радиационных процессов

в технике дисперсионного интегрирования. Создание методики использования полученных уравне-

ний для нахождении спектра gg-систем и восстановление вершины перехода f —» сб.

3. Построение эффективных методов численного решения полученных интегральных уравнений в импульсном пространстве.

4. Апробация метода на примере рассмотрения сс-систем. Определение параметров эффективного кварк-антикваркового взаимодействия по экспериментальному мезонному спектру и ширинам радиационных распадов.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА

В диссертации предложена модификация уравнения Бете-Салпетера, основанная на использовании техники спектрального интегрирования. Полученные уравнения для çg-систем представляют собой вариант дисперсионных соотношений для вершины meson —> qq, позволяющий учитывать как запаздывающие взаимодействия в кварк-антикварковой системе, так и одновременные. Эффекты, связанные с запаздыванием, были систематически изучены сначала на примере -систем. Проведен расчет спектра -состояний совместно с восстановлением известных ширин радиационных распадов. Дано предсказание о спектре и ра-диационых распадах состояний, еще не обнаруженых в эксперименте. По найденным волновым функциям выполнено восстановление вершин перехода 7 -* сс. Систематически исследована дираковская структура взаимодействия с-кварков. Использование техники спектрального интегрирования совместно с методом кинематических спиновых операторов позволяет факторизовать исходное уравнение по траекториям мезон-ных резонансов. Для легких çg-мезонов с массой М, спином J и радиальным квантовым числом п получены уравнения для следующих (п,М2) траекторий: nj,T)j,cij, îj,pj,Wj,hj,bj.. В случае мезонов, состоящих из кварков с разными массами, были получены уравнения для Х-мезонных и Л-мезонных состояний.

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ

Расчеты спектра мезонов актуальны как для современных экспериментов ВагВаг, Belle, FOCUS, так и для будущего эксперимента на рр-коллайдере GSI в Дармштадте, где планируется определять спектр

мезонов в интервале 2-5 ГэВ. Расчет радиационных переходов дает важную информацию для однозначной идентификации наблюдаемого в эксперименте состояния.

Расчет распадов типа дает информацию о пар-

циальных ширинах, которые важны для 77-экспериментов, например, L3 и Argus. На основе полученных предсказаний возможно определение кандидатов на экзотические состояния. Знание массы и константы связи позволяет однозначно фиксировать природу наблюдаемого состояния.

В случае мезонов, сформированных из легких кварков, важнейшей информацией является знание мезонных траекторий (п,М2) и (J,M2). Состояния, не лежащие на этих траекториях, должны рассматриваться как бесспорные кандидаты на экзотику.

Величины радиационных переходов между различными состояниями позволяют определять радиальные квантовые числа волновых функций и углы смешивания состояний. Кроме того, радиационные переходы дают возможность различать -состояния с различными орбитальными моментами.

ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ДИССЕРТАЦИИ. ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ:

1. Уравнения для ^д-состояний в технике спектрального интегрирования.

2. Факторизация уравнений для систем с различными квантовыми числами в случае кварков с одинаковыми и разными массами.

3. Методика расчета мезонных спектров на основе совместного использования уравнений для - систем и амплитуд радиационных переходов (qq)i -» 7 + (дд)2.

4. Описание спектра сс-мезонов на основе полученных уравнений.

5. Восстановление вершины перехода для 7 сс. СТРУКТУРА И ОБЪЕМ РАБОТЫ

Диссертация состоит из введения, четырех глав, содержащих 4 приложения, заключения и списка литературы. Объем диссертации - 129

страниц и включает 10 рисунков, 7 таблиц. Список литературы содержит 72 наименования.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Глава I является введением. В ней обоснована актуальность темы. Дается обзор литературы, посвященной изучению двухчастичных составных систем в рамках уравнения Бете-Салпетера и техники дисперсионных уравнений. Ставится цель и формулируются задачи диссертационной работы, дается краткое содержание диссертации, характеристика научной новизны и практической ценности полученных результатов.

В главе II рассмотрена редукция уравнения Бете-Салпетера, основанная на фиксации двухчастичной унитарности. На основе этих исследований получены уравнения для расчетов Од-систем в технике спектрального интегрирования.

В первой части сравнивается уравнение Бете-Салпетера для составных систем, записанное в технике фейнмановского интеграла, с уравнением в терминах дисперсионных соотношений с сепарабельными вершинами. Сравнение подсказывает методику преобразования уравнения Бете-Салпетера с сепарабельными вершинами в уравнение в спектральном представлении с произвольным взаимодействием мезон-обменного типа.

Далее рассматривается парциальная амплитуда рассеяния в дисперсионном Л/.В-методе. Парциальная амплитуда зависит только от ! и имеет все сингулярности полной амплитуды A(s,t), а именно, полюсную сингулярность при д = М2, правые пороговые сингулярности при д = 4т2, д = (2т + /г)2 и так далее, а также левые сингулярности, обусловленные t- и и- канальными обменами в кроссинговых каналах при д = 4т2 - ц2, д = 4т2 - 4д15 и так далее. Л/В-метод дает нам возможность сконструировать релятивистскую двухчастичную амплитуду в районе низких и промежуточных энергий, где процессы множественного рождения мезонов не важны. Если пороговая сингулярность при д = (2т + ц)2 не является сильной (одномезонные процессы подавлены), то область применимости можно продолжить до следующего порога.

В принципе, Л/В-метод дает нам полное описание поведения парциальных амплитуд в области малых s: амплитуда определяется Л-функцией, которая учитывает только левые сингулярности, возникаю-

щие из-за одномезонного обмена (5 = 4т2 — /¿), двухмезонного обмена (5 = 4т2 -4^2) и так далее. Правые сингулярности оказываются не связанными с левыми-в отличие от подхода, основаного на феймановских диаграмах. Важным для описания реальных процессов является знание как левых, так и правых сингулярностей. В качестве примера приведена рп- амплитуда с квантовыми числами дейтрона, где рождение пионов подавлено (правая сингулярность при 5 = (2т + /¿^)2 слаба), в то время как силы, соответствующие обмену пионами (левая сингулярность при 5 = 4т2 — ц\) сильны.

Далее обсуждается Л/.В-метод, и сепарабельные взаимодействия. Л/О-метод, дает нам парциальную амплитуду на массовой поверхности при условии, что 1У-функция известна. Однако Л-функция имеет довольно сложные свойства: она зависит от полного числа t- и и-канальных обменов и не является факторизуемой, т.е. для различных реакций Л-функции могут быть разными и независимыми. Как было подчеркнуто выше, уравнение Бете-Салпетера в спектральном представлении обладает преимуществами метода дисперсионных соотношений и не имеет данной проблемы, так как использует t- и и- канальные обмены с универсальными блоками взаимодействия.

В качестве первого шага в написании уравнения Бете-Салпетера в технике спектрального интегрирования, для примера рассмотрены се-парабельные взаимодействия. Уравнение Бете-Салпетера дает нам возможность также рассматривать взаимодействия и более общего мезон-обменного типа. Для этого рассмотрена петлевая диаграмма в дисперсионной и фейнмановской технике. Предположение о сеперабельном взаимодействии дает возможность решить точно уравнение Бете-Салпетера. При данном предположении можно равноценно использовать разные техники: технику дисперсионного интегрирования, технику переменных светового конуса или стандартную фейнмановскую технику.

Далее обсуждается, какие силы взаимодействия допустимы в технике спектрального интеграла. При рассмотрении уравнения Бете-Салпетера следует контролировать правые сингулярности, особенно те, которые соотносятся с рождением нескольких мезонов, при 5 = (2т + /¿)2, 5 = (2т + 2р.)2 и т.д. В технике спектрального интеграла данные особе-ности хорошо контролируются. Рассмотрены основные предположения, на которых основана техника спектрального интеграла: конституент-ные частицы в промежуточном состоянии на массовой поверхности и отсутствие сохранения энергии в процессе взаимодействия.

После этого выводится уравнение Бете-Салпетера в технике спектрального интегрирования для случая неидентичных скалярных кон-ституентов с одинаковыми массами и с угловым моментом Х = 0. Связанное состояние рассматривается как составная система этих консти-туентов. Вводится новый объект, который получается преобразованием вершинной функции. Его имеет смысл назвать 'ф (^-релятивистской волновой функцией связанного состояния, поскольку показано, что данный объект переходит в нерелятивистском пределе в волновую функцию уравнения Шредингера и удовлетворяет релятивистскому аналогу уравнений Липмана-Швингера вблизи полюса амплитуды. Обсуждается уравнение как для вершиной, так и для волновой функции с Х = 0.

Далее выводится уравнение для состояния с произвольным угловым моментом Х. Вводится анзатц, который позволяет провести интегрирование для волновой функции с произвольным угловым моментом по углам в аналитическом виде. Анзатц использует ковариантные спиновые операторы, которые представляют собой тензорное неприводимое представление группы Лоренца и определены только на массовой поверхности, что полностью соответствует введению спектрального интеграла. Показано, что в данном случае спектральное уравнение сводится к задаче на собственные значения, что позволяет решать как обратную, так и прямую задачу адронной спектроскопии. Прямая задача состоит в нахождении массового спектра и волновых функций мезонов по заданному взаимодействию между конституентами. Обратная же задача подразумевает отыскания взаимодействия, приводящего к наблюдаемому спектру, информация о котором частично известна из экспериментальных данных.

Далее рассматривается спинорное уравнение Бете-Салпетера для кварк-антикварковой составной системы как в фейнмановской, так и в дисперсионной технике. Обсуждаются общие свойства таких уравнений, сравниваются координатное и импульсное представления. Проводится сравнение методики учета запаздывания с одновременным приближением, необходимым в технике фейнмановского интегрирования. В релятивистском одновременном приближении энергетическая зависимость всегда недооценена. Показано, что в предложенной в диссертации технике возможно включение зависимости от энергии при сохранении проблемы на собственные значения.

Уравнение Бете-Салпетера, записанное в спектральном представлении и скомбинированное с техникой ковариантных спиновых операто-

ров, оказывается весьма удобным для описания состояний с высшими спинами. Характерной особеностью данного представления является отсутствие величин вне массовой поверхности и линейность уравнений относительно масс связанных состояний. В случае конституентов-фермионов матричное уравнение Бете-Салпетера сводится к системе интегральных уравнений с минимальным смешиванием между физическими состояниями.

Для -системы существует четыре состояния: (S = 0; L = J) и (S= 1; L = J+1, J, J-1). Для этих состояний построены в явном виде ковариантные спиновые операторы, которые несут тензорную структуру и соответствующие квантовые числа . Данные операторы используются для построения волновых функций.

Ядро i-канального взаимодействия является матрицей в дираков-ском пространстве и раскладывается по стандартному базису. Используя преобразование Фирца совместно с техникой ковариантных спиновых операторов, возможно свести спинорное матричное уравнение Бете-Салпетера к системе минимально связанных скалярных уравнений.

Выводятся уравнения для (S = 0, J = £)-состояний, при этом вычисляются необходимые следы и свертки спиновых операторов. Подставляя полученное выражение в уравнение, производится разложение ядра взаимодействия по полиномам Лежандра и интегрирование по угловым переменным. В общем виде приводится условие нормировки волновых функций. Хотя уравнения применимы к любому флейвору, удобно классифицировать уравнения по квантовым числам легких мезонов.

В явном виде приводится уравнение для пионной (М2, п)-траектории с квантовыми числами (S = 0, J = 0). За исключением основного состояния с п =1, которое занимает особую роль в кварковой модели, поскольку является голдстоуновским бозоном при спонтанном нарушении киральной симметрии, все высшие возбуждения должны лежать на линейной траектории в плоскости (М2, п). Выводятся уравнения для Ь1 (М2, п)-траектории (S = 0, L = 1, J = 1) и для r¡ (М2, n)- траектории. Для 77-состояний имеются две компоненты, nñ = (uñ+dd) ¡ \¡2 и ss. Можно записать

Соответственно, имеются два уравнения для волновых функций, которые описывают - и -компоненты. Приводятся также уравнения для к1(М2 ,п)-, 7Г2 (М2, п)-, т)2 (М2, n)- и b3 (М2, п)-траекторий.

Далее проведен общий вывод уравнений для (S = 1, J = 1/)-состояний. Выписаны уравнения для al (М2, п)-траектории и для a3 (М2, п)-траекто-

рии.

Для (S = 1, J = L ± 1)-состояний мы имеем два уравнения с S = 1 и J = L ± 1 для J > 0. Соответствующие физические состояния являются ортогональной линейной комбинацией этих состояний. В этом разделе приведены уравнения для а0(М2, п)-, f0(M2, п)-, р(М2, п)-траекторий. Показано, что в случае равных масс конституентов присутствует смешивание для J = L+1 и J = L-1 состояний, а состояния (S = 0, J = L) и (S = 1, J = L) не смешиваются.

Уравнения в явном виде приведены для следующих состояний: Jrc =

В главе III выполнен анализ спинорного уравнения Бете-Салпитера в спектральном представлении в случае конституентов с разними массами т1 и тг. Уравнение для кварк-антикварковой составной системы с конституентами разных масс, таких как q = и, d), qQ и sQ (с Q = с, b), записаны в терминах спектрального интеграла. Для мезонов, характеризуемых массой М, спином J и радиальным квантовым числом п, уравнения представлены для (n, М2)-траекторий с фиксированым J. Подчеркивается, что в технике спектрального интегрирования возможно отказаться от одновременного приближения. Более того, возможно использование взаимодействий, зависящих от энергий.

В этой главе также обсуждается смешивание между состояниями с различными кварковыми спинами 5 и угловыми моментами L. Показано, что в этом случае возникает дополнительное смешивание между состояниями (S = 0, J — L) и (S = 1, J = L). Смешивание между этими состояниями пропорционально разнице масс между конституен-тами 5т = т2 - т, Отличие от случая равн^1х масс состоит в том, что для восстановления спектра мезона с полным спином J необходимо знать все низшие парциальные проекции взаимодействия. В данной главе детально представлены все промежуточные вычисления, в том числе свертки кинематических спиновых операторов и следы от спинового петлевого интеграла.

В главе IV рассмотрены различные аспекты численного решения уравнений для ад-систем. Множество вычислений, проведенных в рамках КХД на решетке, указывает на вполне определенное асимптотическое взаимодействие между кварками Vcaf (r) = ar + b. В импульсном пространстве имеем сингулярное ядро Vcatf (q) ~ 1/q4 и решение уравнения с подобным или релятивистски модифицированным ядром

требует специальной вычитательной процедуры или введения регуляризации.

Уравнение Бете-Салпетера для дд-систем решается в импульсном представлении. Разработаны и реализованы методы решения уравнений в случае двух типов взаимодействий. Прежде всего это взаимодействие с запаздыванием УО), где 4 = (¿1 — к[)11(—к2 + к^),,., а к1 и к' -импульсы конституентов в начальном и промежуточном состояниях. Второй тип рассматриваемых взаимодействий-мгновенное, когда переданный импульс определяется поперечными составляющими импульса, = (Ац. — &21 + Для обо1® классов взаимодействий рассмотрены следующие типы ¿-обменов: ~ - с п = -1, - 2, - 3. В случае мгновенного взаимодействия эти 1-канальные формы воспроизводят как убывающие на больших расстояниях потенциалы (ехр(—-^), , так и неубывающие, а + Ьг (так называемый "потенциал конфаймента").

Нахождение характеристик од-состояний основано на одновременном фитировании как масс этих состояний, так и ширин радиационных переходов . В рамках спектральной техники произве-

ден расчет амплитуд радиационных переходов, измеренных к настоящему времени (это реакции , где V, 8, Р, А, Т суть векторные, скалярные, псевдоскалярные, аксиальные и тензорные дд-системы), причем амплитуды представлены в виде однократных интегралов по энергиям -систем, что делает удобным их включение в фитирующую процедуру.

В главе V рассмотрены чармонии, в случае, когда сб-системы находятся в 8- и Р-волновых состояниях. Нахождение волновых функций систем проводилось как для взаимодействий с запаздыванием, так и для мгновенных: результат оказался слабо зависящим от типа ис-пользованого взаимодействия, поэтому для упрощения изложения все результаты представляются для мгновенных сил.

Для описания сс-систем оказалось достаточным включения скалярных и векторных ^обменов. Некоторое улучшение результатов дает псевдоскалярный обмен. Использовались потенциалы типа а+Ъг+се~,1Г, параметры потенциалов, полученных в фитирующей процедуре, приведены в Таблице 1.

Описание данных достигается при массе с-кварка шс ~ 1.25 - 1.55 ГэВ; в данном варианте фита положено тпс = 1.25 ГэВ. Было получе -но очень хорошее описание массового спектра известных -состояний

Таблица 1: Параметры потенциала (в ГэВ )

Тип взаимодействия (О/ ® б/) а__Ь__с__

_Скаляр (I® I)__-1.527 0.170 1.013 0.201

Вектор (fu ® 7„)__-1.539 0 2.133 0.401

Псевдоскаляр (75® 75) -3.000 0 0 0.201

■4>{nS), ip(nD), iJc(nS), Xd(nP), Хс2(пР),Ха{пР), см. Таблицу

2, и однофотонных радиационных распадов, см. Таблицу 3.

Таблица 2: Экспериментальные (input) и вычисленные (fit) значения массового спектра (в единицах ГэВ )

п tf-(nS) Vc{nS) XcofrP) Xci(nP)

data fit data fit data fit data fit

1 3.096 3.1022 2.979 2.9776 3.415 3.3933 3.510 3.4962

2 3.686 3.6737 3.594 3.6246 3.8485 3.9002

3 4.040 4.0565 4.0225 4.1812 4.2514

4 4.415 4.3960 4.3678 4.5569 4.6709

5 4.8465 4.8233 5.1185 5.1886

6 5.4448 5.4242 5.7510 5.8404

Хсг{пР) п 1 2 3 4 5 6

data 3.556

fit 3.5676 3.9495 4.3046 4.8250 5.4758 6.2197

В чармованных системах имеется богатая информация по переходам е"е+ —» ф(п8) и двум фотонным распадам (сс) —► 77. Расчеты таких переходов требуют знания вершины Проблема здесь в

том, что низкоэнергетическое кварк-антикварковое взаимодействие возмущает контактную структуру вертекса, присущего большим энергиям -системы. В работе, используя модель векторной доминантности, во-станавливается низкоэнергетическая структура вертекса и при-

водится описание парциальных ширин —* е+е~ для п=1,2,3,4 и

двухфотонных распадов и Результаты

представлены в Таблице 4.

Таблица 3: Парциальные ширины однофотонных распадов (в КэВ )

Распад Эксперимент Результат

26± 4 22.9

25± 4 50.7

1*(25)-»Х<а(1РЬ 20± 4 24.5

ф(23)->Чс(13Уг 0.8±0.2 0.6

Х=о(1Я) - ^/»(15)7 165±50 177

ХсН1Р) - ^(13)7 295±90 295

Хсг(1Р) - .//*(15Ь 390±120 234

Чс(15)7 1.1±0.3 2.1

Таблица 4: Вычисленные парциальные ширины и экспериментально наблюдаемые значения

Распады Г (КэВ) ëР(КэВ)

.7/Ф (3096) -» е+е" 5.444 5.40 ± 0.22

Ф(3686) -»е+е" 2.151 2.14 ± 0.21

Ф(4040) -»е+е~ 0.756 0.75 ± 0.15

Ф(4415) -»е+е~ 0.462 0.47 ± 0.10

т?с(2979) 77 6.979 7.0 ± 1.0

т/с(3594) - 77. 1.968 —

Хсо(3415) - 77 2.572 2.6 ± 0.5

Хс2(3556) -»77 1.195 -

Заключение содержит основные результаты диссертации, а также сведения, касающиеся апробации данной работы.

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ:

[1] A.V. Anisovich, V.V. Anisovich, V.N. Markov, MA Matveev and A.V. Sarantsev, "Quark-antiquark composite systems.the Bethe-Salpeter equation in the spectral-integration technique", Ядерная Физика 67(2004) 794-824.

[2] A.V. Anisovich, V.V. Anisovich, V.N. Markov, M.A Matveev and A.V. Sarantsev, "Quark-antiquark composite systems:the Bethe-Salpeter equation in the spectral-integration technique in the case of the different quark masses". Preprint PNPI-2557 , Gatchina (2004), 31 p.

[3] A VAnisovich, V.V. Anisovich, V.N. Markov, N.A Nikonov, "Radiative decay and quark content of _/0(980) and ф(1020)", Ядерная Физика , Vol. 65, 3(2002)

[4] V.V. Anisovich, L.G. Dakhno, V.N. Markov, V.A. Nikonov, A.V. Sarantsev, "Charmed quark component of the photon wave function", Preprint PNPI-2583, Gatchina (2004), 20 p.

Отпечатано в типографии ПИЯФ РАН

188300, Гатчина Ленинградской обл, Орлова роща Зак. 439, тир. 100, уч-изд. л. 1; 21.12 2004 г.

Р-"747

Глава I Введение

Глава II Уравнение Бете-Салпетера с спектральном представлении.

2 1 Сравнение Бете-Салпетера для скалярных конституентов

2 11 Уравнение Бете-Салпетера в технике феймановского интегрирования

2 2 Метод дисперсионных соотношений и уравнение Бете-Салпетера для составных частиц в случае скалярных контитуентов

2 2 1 Уравнение Бете-Салпетера в технике Феймановского интеграла

2 2 2 Амплитуда рассеяния в дисперсионном iV/D-методе

2 2.3 NjD-метод и сепарабельные взаимодействия

2 2 4 Петлевая диаграмма

2 2 5 Спектральный интеграл и силы взаимодействия

2 2 6 Уравнение Бете-Салпетера в технике спектрального интегрирования

2 3 Уравнение Бете-Салпетера для кварк-антикварковой составной системы

2 3 1 Спипорнос уравнение Бете-Салпетера в технике феймановского интегрирования

2 3 2 Спинорное уравнение Бете-Салпетера в технике спектрального интегрирования

2 3 3 Уравнение для (5 = О, J = £)-состояний

2 3 4 Уравнения для (5 = 1, J — £)-состояний

2 3 5 Уравнение для (5 = 1, J = L ± 1)-состояний

5.3 Определение сс компоненты волновой функции фотона . .109

5 3 1 Распад tp{nS) е+е~ . 109

5 3 2 Распад т]с(пР) -^77 109

533 Распад Хсо(^-Р)77 • • • • НО

5 3 4 Распад хМпР) — 77 . 110

535 Результаты фита. . . 111 о 4 Заключение . . .112

Глава VI Заключение по результатам диссертационной работы 121 Ж

3.2 Вывод

В данной главе представлено уравнение Бете-Салпетера для случая разных масс кои-ституентых кварков Это su, сй,сЗ, Ьй, bs,bc системы. Главным отличием от случая равных масс является смешивание между состояниями (J = L, S = 0) и (J = L, S = 1) и это смешивание пропорционально разнице масс конституентов. Также следует отметить, что смешивание между (S = 1 , J = L) и (S = 0, J = L) состояниями дает сильно скорелированную систему интегральных уравнений. Для состояний с полным спином J необходимо знать все низшие парциальные проекции взаимодействия, а не только J + 1,

5.4 Заключение

В данной главе мы провели вычисления радиационых переходов, с участием сс систем, и сравнили результаты с экспериментом Результат представлен в табл 5 В общем получилось хорошее согласие с экспсриментальнвми данными. Однако , следу с г огмегить расхождение в двух случаях: tp(2S) —> Xci(l-P)7 и ""1"

Проведен анализ массового спектра и радиационных распадов чармониума. Проведены вычисления радиационных переходов с участием чармония сс . Результаты приведены в таблице 1. Полученно очень хорошее согласие с эксперименталышми данными. Исключение составляют лишь переходы ф(2S) —* Xci(lP)l , J/Ф —* Vc(lS)y. Следует отметить, что данные переходы не воспроизводились ни при каком выборе взаимодействия что указывает на то что это отличие носит систематический характер и указывет на специфическое поведение волновых функций данных состояний.

Вычисления парциальных ширин распадов ф(2Э) —> Xci(l-P)7 ПРИ всех исследо-ваных взаимодейсвиях отличается фактором 2 от экспериментального значения [67, 68].Такое расхождение возможно связано с принципиально большей экспериментальной ошибкой [67, 68] или специфическим поведением волновой функции Xci(l-P)

Другое систематическое отличие было обнаружено в переходе J/ф —* 7yc(lS)7 Это так называемый Ml переход,который обусловлен магнитным моментом с— кварка Для возможноного уменьшения полученного значения можно увеличить массу с— кварка или включить в вычисления аномальный магнитный момент с— кварка Гипотеза об присутсвии аномального магнитного момента для легких кварков была предложена достаточно давно при изучении распадов и> —» 7г°7, например в [69].

В таблице 5, представлены значения других авторов для парциальных ширин

В [53], идеология рассмотрения сс систем близка к нашей, массы чармониев были фитированны совместно с радиационными переходами. Результат в [53] зависит от выбраной калибровки для одиоглюонного обмена — мы приводим результаты для Фей-мановской (F) и кулоновской (С) калибровок; различные подходы использованные в

1. D. J. Gross and F. Wilczek, ASYMPTOT1.ALLY FREE GAUGE THEORIES 1, Phys Rev D 8 (1973) 3633-3652, ASYMPTOTICALLY FREE GAUGE THEORIES. 2., Phys. Rev. D 9 (1974) 980-9932| Y. L. Dokshitzer, "HARD QCD", NucI Phys A 638 (1998) 291-303.

2. M. E. Peskin and D. V. Schroeder, AN INTRODUCTION TO THE QUANTUM FIELD THEORY, Addison-Weslcy Reading/Massachusetts. 1995

3. C. Itzykson and J.-B. Zuber, QUANTUM FIELD THEORY, McGraw-Hill, New York 1980

4. M. Gell-Mann and F. Low, "BOUND STATES IN QUANTUM FIELD THEORY"

5. Phys Rev. 84 (1951) 350-354.

6. G. C. Wick, "PROPERTIES OF BETHE-SALPETER WAVE FUNCTIONS", Phys. Rev. 96 (1954) 1124-1134.

7. J. Gasser and H. Leutwyler, "CHIRAL PERTURBATION THEORY EXPANSION IN THE MASS OF THE STRANGE QUARK Nucl Phvs. В 250 (1985) 465-517.

8. E. E. Salpeter and H. A. Bethe, "A RELATIVISTIC EQUATION FOR BOUND STATE PROBLEMS", Phys. Rev. 84 (1951) 1232-1242.

9. E. E. Salpeter, "MASS CORRECTIONS TO THE FINE STRUCTURE OF HYDROGEN LIKE ATOMS", Phys. Rev. 87 (1952) 328-342.

10. J. Resag, C. R. Miinz, В. C. Metsch and H. R. Petry, "ANALYSIS OF THE INSTANTANEOUS BETHE-SALPETER EQUATION FOR Q ANTI-Q BOUND STATES", Nucl. Phys. A 578 (1994) 397-417.

11. J. Resag and C. R. Miinz, "HEAVY QUARKONIA IN THE INSTANTANEOUS BETHE-SALPETER MODEL", Nucl. Phys A 590 (1995) 735-752

12. H. Ito, W. Buck and F. Gross, "COVARIANT QUARK MODEL OF PION STRUCTURE", Phys. Lett В 248 (1990) 28-33

13. Т. Kopaleishvili, "BOUND Q ANTI-Q SYSTEMS IN THE FRAMEWORK OF DIFFERENT VERSIONS OF 3-D REDUCTIONS OF THE BETHE-SALPETER EQUATION", Phys Part.Nucl.32:560-588,2001, Fiz.Elem.Chast.Atom.Yadra 32 1061-1114,2001 .

14. N. Nakanishi, "A GENERAL SURVEY OF THE THEORY OF THE BETHE-SALPETER EQUATION", Prog Theor. Phys. Suppl. 43 (1969) 1-81.

15. R. E. Cutkosky, "SOLUTIONS OF A BETHE-SALPETER EQUATIONS", Phvs. Rev. 96 (1954) 1135-1141.

16. F. Gross, "THREE-DIMENSIONAL С О VARIANT INTEGRAL EQUATIONS FOR LOW-ENERGY SYSTEMS", Phys Rev 186 (1969) 1448-1462

17. S. Mandelstam, "DYNAMICAL VARIABLES IN THE BETHE-SALPETER FORMALISM", Pioc Roy Soc Lond A 233 (1955) 248-262

18. H. R. Petry, H. Hofestadt, S. Merk, K. Bleuler, H. Bohr and K. S. Narain, "AN APPLICATION OF QCD IN NUCLEAR STRUCTURE", Phys Lett В 159 (1985) 363-373

19. V. V. Anisovich, THE LIGHTEST SCALAR GLUEBALL, Phys Usp 41 (1998) 419-451 Usp. Fiz. Nauk 168 (1998) 481-512],hep-ph/9712504

20. C. Savkli and F. Tabakin, "QUARK ANTI-QUARK BOUND STATES WITHIN A DYSON-SCHWINGER BETHE-SALPETER FORMALISM", Nucl. Phys. A 628 (1998) 645-668

21. P. Maris, DYSON-SCHWINGER STUDIES OF MESON MASSES AND DECAY CONSTANTS, Nucl Phys A 663 (2000) 621-624.

22. G. S. Bali and K. Schilling, "STATIC QUARK ANTI-QUARK POTENTIAL-SCALING BEHAVIOR AND FINITE SIZE EFFECTS IN SU(3) LATTICE GAUGE THEORY", Phys Rev. D 46 (1992) 2636-2646.

23. G.F. Chew, "THE ANALITIC S-MATRIX", W.A. Benjamin, New York, 1966,

24. V.V. Anisovich, M.N. Kobrinsky, D.I. Melikhov and A.V. Sarantsev, "WARD IDENTITIES AND SUM RULES FOR COMPOSITE SYSTEMS DESCRIBED IN THE DISPERSION RELATION TECHNIQUE: THE DEUTERON AS A COMPOSITE TWO NUCLEON SYSTEM ", Nucl Phys A544, 747-792 (1992).

25. A.V. Anisovich and V.A. Sadovnikova, "LOW-ENERGY AND INTERMEDIATE-ENERGY NUCLEON-NUCLEON INTERACTIONS AND THE ANALYSIS OF DEUTERON PHOTODISINTEGRATION WITHIN THE DISPERSION RELATION TECHNIQUE Eur. Phys. J. A2, 199-221 (1998)

26. A.V. Anisovich and A.V. Sarantsev, "ANALYSIS OF THE NUCLEON-NUCLEON SCATTERING AMPLITUDE BY THE TECHNIQUE OF DISPERSION INTEGRATION "Yad Fiz 55, 2163-2174 (1992) Sov J Nucl Phys. 55, 1200-1206 (1992)]

27. A.V. Kapitanov, A.V. Sarantsev, "CALCULATION OF DISPERSION VERTEX FUNCTIONS ON THE BASIS OF DYNAMICAL MODELS OF THE INTERACTION", Yad Fiz. 56, 156-172 (1993).

28. A.V. Anisovich, V.Vl Anisovich, V.N. Markov, M.A. Matveev, V.A. Sarantsev, "MOMENT OPERATOR EXPANSION FOR THE TWO MESON. TWO PHOTON AND FERMION ANTI-FERMION STATES", J. Phys G: Nucl. Part. Phys 28, 15-32 (2002).

29. V.V. Anisovich, D.I. Melikhov, V.A. Nikonov, "QUARK STRUCTURE OF THE PION AND PI ON FORM-FACTOR", Phys Rev. D52 5295-5307 (1995)

30. A.V. Anisovich, V.V. Anisovich, and V.A. Nikonov, "RADIATIVE DECAYS OF BASIC SCALAR, VECTOR AND TENSOR MESONS AND THE DETERMINATION OF THE P WAVE Q ANTI-Q MULTIPLET", Eur. Phys J. A12 103-115 (2001).

31. A.V. Anisovich, V.V. Anisovich, and A.V. Sarantsev, "SYSTEMATICS OF Q ANTI-Q STATES IN THE (N, M**2) AND (J, M**2) PLANES", Phys. Rev. D 62 051502-051507 (2000).

32. R. Ricken, M. Koll, D. Merten, B.C. Metsch and H.R. Petry, "THE MESON SPECTRUM IN A COVARIANT QUARK MODEL", Eur. Phys J. A 9, 221-244 (2000).

33. D.Merten, R.Ricken, M. Koll, B.Metsch and H.Petry, "WEAK DECAYS OF HEAVY MESONS IN A COVARIANT QUARK MODEL", Eur. Phys. J. A 13, 477-491 (2002)

34. A. D. Lahiff and I. R. Afnan , "UNITARITY AND THE BETHE-SALPETER EQUATION", Phys Rev. С 66 044001-044018 (2002)

35. V.N. Markov, "THE BETHE-SALPETER EQUATION FOR THE MESON QUARK-ANTIQUARK STATES", Proceedings of the XXXIII PNPI Winter School, (2003).

36. R. Alkofer , L.von Smekal, "THE INFRARED BEHAVIOR OF QCD GREEN'S FUNCTIONS- CONFINEMENT DYNAMICAL SYMMETRY BREAKING, AND HADRONS AS RELATIVISTIC BOUND STATES", Phys.Rept 353: 281-502 (2001)

37. K.M.Maung,D.E.Kahana,J.W.Norbury "SOLUTION OF TWO-BODY RELATIVISTIC BOUND STATE EQUATIONS WITH CONFINING PLUS COULOMB INTERACTIONS", Phys. Rev. D 47, 3, (1993) 1182-1189

38. A.V. Anisovich, V.A. Sadovnikova, "ISOBAR CONTRIBUTION TO THE DEUTRON PHOTODESINTEGRATION IN DISPERTION TECHNIQUE", Sov J. Nucl Phys. 55, 1483-1498 (1992).

39. V.V.Anisovich, D.I.Melikhov, and A.Nikonov, "QUARK STRUCTURE OF THE PION AND PION FORM-FACTOR", Phys Rev. D 52, 5295-5307 (1995)

40. V.V. Anisovich, D.I. Melikhov, V.A. Nikonov , "PHOTON-MESON TRANSITION FORM-FACTORS PIO.GAMMA ETA AND GAMMA ETA-PRIME AT LOW. AND MODERATELY HIGH Q**2"Phys. Rev. D55, 2918-2930 (1997)

41. O.V. Zenin, V.V. Ezhela, S.B. Lugovsky et al., "A COMPILATION OF TOTAL CROSS-SECTION DATA ON E+ E- -> HADRONS AND PQCD TESTS", Report IHEP-2001-25,25pp., hep-ph/0110176.

42. A.V. Anisovich, V.V. Anisovich, B.N. Markov, M.A. Matveev and A. V. Sarantsev, "QUARK-ANTIQUARK COMPOSITE SYSTEMS: THE BETHE-SALPETER EQUATION IN THE SPECTRAL INTEGRATION TECHNIQUE". Yad Fiz 67, 794-824 (2004) Phys of Atomic Nuclei, 67, 773-803 (2004)]

43. A.V. Anisovich, V.V. Anisovich, B.N. Markov, M.A. Matveev and A. V. Sarantsev, "QUARK-ANTIQUARK COMPOSITE SYSTEMS: THE BETHE

44. SALPETER EQUATION IN THE SPECTRAL INTEGRATION TECHNIQUE IN

45. CASE OF DIFFERENT QUARK MASSES", PREPRINT PNPI-2557 , Gatchina (2004), 31 p

46. V.V. Anisovich, L.G. Dakhno, V.N. Markov, V.A. Nikonov, A.V. Sarantsev , "CHARMED QUARK COMPONENT OF THE PHOTON WAVE FUNCTION", Preprint PNPI-2583, Gatchina (2004), 20 p.

47. G. Hulth and H. Snellman , "Ml TRANSITIONS IN CHARMONIUM AND THE ANOMALOUS MAGNETIC MOMENT OF THE CHARM QUARK", Phys Rev D24, 2978-2986 (1981)

48. S. Godfrey and N. Isgur, "MESONS IN A RELATIVIZED QUARK MODEL WITH CHROMODYNAMICS" Phys Rev D32, 189-231 (1985)

49. S.N. Gupta, S.F. Radford and W.W. Repko, "MESONS IN A RELATIVIZED QUARK MODEL WITH CHROMODYNAMICS", Phys. Rev. D31, 160-172 (1985).

50. W. Lucha, F. Schoberl, and D. Gromes, "BOUND STATES OF QUARKS", Phys Rep 200, 127-240 (1991)

51. J. Linde and H. Snellman, "CHARMONIUM IN THE INSTANTANEOUS APPROXIMATION ", Nucl. Phys. A619. 346-378 (1997).

52. P.C. Tiemejer and J.A. Tjon , "MESON MASS SPECTRUM FROM RELATIVISTIC EQUATIONS IN CONFIGURATION SPACE", Phys. Rev. C49, 494-512 (1994)

53. H. Hersbach, "RELATIVISTIC MESON SPECTROSCOPY IN MOMENTUM SPACE",'Phys. Rev. C50, 2562-2575 (1994).

54. J.J. Hernandes, S. Navas and C. Patrignani, "BRANCHING RATIOS OF PSI(2S) AND CHI(C0,1,2)", Phys. Rev. D66, 010001,730-736 (2002).

55. G. t'Hooft, "COMPUTATION OF THE QUANTUM EFFECTS DUE TO A FOUR-DIMENSIONAL PSEUDOPARTICLE", Phys. Rev. D14, 3432-3450 (1976)

56. A.V. Anisovich, V.V. Anisovich and V.A. Nikonov, "RADIATIVE DECAYS OF BASIC SCALAR, VECTOR AND TENSOR MESONS AND THE DETERMINATION OF THE P WAVE Q ANTI-Q MULTIPLET", Eur Phys. J A12 103-115 (2001).

57. A.V. Anisovich, V.V. Anisovich, V.N. Markov and V.A. Nikonov,

58. RADIATIVE DECAY AND QUARK CONTENT OF /O(980) AND ф{ 1020) Yad Fiz. 65, 523-540 (2002) Phys. Atom. Nucl. 65, 497-514 (2002).

59. A.V. Anisovich, V.V. Anisovich, M.A. Matveev and V.A. Nikonov, "TWO PHOTON PARTIAL WIDTHS OF THE TENSOR MESONS "Yad. Fiz. 66, 946-959 (2003) Phys Atom. Nucl. 66, 914-927 (2003)]

60. K. Hagiwara et al. , "REVIEW OF PARTICLE PHYSICS. PARTICLE DATA GROUP", Phys. Rev. D66 010001-1 (2002).

61. F. Gross and J. Milana , "A COVARIANT, CHIRALLY SYMMETRIC, CONFINING MODEL OF MESONS", Phys. Rev. D43, 2401-2417 (1991).

62. M. Acciari et al., "CHI(C2) FORMATION IN TWO PHOTON COLLISIONS AT LEP."Phys. Lett. B453, 73-82 (1999).

63. K. Ackerstaff et al., "PRODUCTION OF CHI (C2) MESONS IN PHOTON-PHOTON COLLISIONS AT LEP", Phys. Lett. B439, 197-208 (1998).

64. J. Dominick et al., EXCLUSIVE HADRONIC В DECAYS TO CHARM AND CHARMONIUM FINAL STATES, Phys. Rev. D50, 43-68 (1994).

65. T.A. Armstrong et al. , "MEASUREMENT OF THE GAMMA GAMMA PARTIAL WIDTH OF THE CHI(2) CHARMONIUM RESONANCE", Phys Rev Lett. 70, 2988-2991 (1993).

66. J. Gaiser et al., "CHARMONIUM SPECTROSCOPY FROM INCLUSIVE PSI-PRIME AND J / PSI RADIATIVE DECAYS", Phys. Rev. D34, 711-751 (1986).

67. C.J. Biddick et al. , "INCLUSIVE GAMMA-RAY SPECTRA FROM PSI (3095) AND PSI-PRIME (3684)", Phys. Rev. Lett. 38, 1324-1336 (1977).

68. S.B. Gerasimov, "HIDDEN STRANGENESS IN NUCLEONS, MAGNETIC MOMENTS AND SU(3)", hep-ph/0208049; FHD Proceedings, March 2002, Kobe University, Japan.

69. M. Beyer, U. Bohn, M.G. Huber, B.C. Metsch and J. Resag, "RELATIVISTIC EFFECTS AND THE CONSTITUENT QUARK MODEL OF HEAVY QUARKONIA"Z Phys C55, 307-315 (1992)

70. M.A. DeWitt, H.M. Choi and C.R. Ji, "RADIATIVE SCALAR MESON DECAYS IN THE LIGHT FRONT QUARK MODEL", Phys. Rev. D68: 054026054036 (2003).

71. B.-W. Xiao, B.-Q. Ma , "PION PHOTON AND PHOTON PION TRANSITION FORM-FACTORS IN THE LIGHT CONE FORMALISM", Phys. Rev. D 68, 034020-034030 (2003).