Математическая модель кожи человека и ее приложение к задачам биомеханики тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На правах рукописи

Федоров Андрей Евгеньевич

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ КОЖИ ЧЕЛОВЕКА И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЕ К ЗАДАЧАМ БИОМЕХАНИКИ

01.02 04 - Механика деформируемого твердого тела

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Пермь - 2007

003162625

государственном техническом университете

заслуженный деятель науки РФ, доктор технических наук, профессор Няшин Юрий Иванович

заслуженный деятель науки РФ, доктор физико-математических наук, профессор Соколкин Юрий Викторович (Пермский государственный технический университет)

кандидат технических наук, старший научный сотрудник Ковров Владимир Николаевич (Институт механики сплошных сред)

Ведущая организация Пермская государственная медицинская

академия им акад Е.А Вагнера

Работа выполнена в Пермском Научный руководитель

Официальные оппоненты

Защита состоится 14 ноября 2007 г в 15 часов на заседании диссертационного совета Д 212 188 05 при Пермском государственном техническом университете по адресу

614990, г Пермь, Комсомольский проспект, 29, ауд 4236

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Пермского государственного технического университета.

Автореферат разослан « » октября 2007 г.

Ученый секретарь диссертационного совета д т.н, профессор

Н.А Шевелев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы

Начиная с древних времен и до сегодняшнего дня, кожа человека всегда привлекала внимание ученых Кожа непосредственно воспринимает все воздействия внешней среды У животных они опосредуются шерстяным покровом, у птиц - перьями, которые являются образованиями кожи. Внешней оболочкой человека также является кожа. Она защищает организм от механических воздействий, не позволяет нарушать структуру организма, его форму и внутреннюю среду. Кожа защищает также от физических и химических воздействий, препятствует проникновению в кровь бактерий, грибов, вирусов. Она предохраняет ткани от потери воды, задерживает и выводит различные вещества, участвует в поддержании температуры тела, в газообмене.

Многие патологические и косметические изменения состояния кожи метут быть описаны с помощью механических свойств. Диагностика, лечение и последующее определение различных кожных нарушений часто требуют детальной информации об изменениях в ее структуре и функциях. Такие изменения обычно оказывают влияние на механические свойства кожных тканей и могут быть очень информативны.

Экспериментально показано, что по механическим свойствам кожа является нелинейным реологическим материалом, допускающим большие деформации. Деформирование кожи с последующими раз1рузками позволяет выявить наличие упругих, вязких и необратимых составляющих деформации, зависящих от времени и истории механического нагружения Кожа не гомогенна и не изотропна - это композиционный материал, состоящий из дискретных частей, который имеет преимущественное направление распределения

В настоящее время имеется довольно много работ посвященных различным аспектам механического поведения кожи. Ряд работ посвящен определению возрастных изменений в кожной ткани (Escoffier, 1989; Montagna, 1990; Lapiere, 1990; Reihsner, 1995), имеются исследования на микроуровне (Виноградова, 1975; Oxlund, 1988), экспериментальные работы по определению механических свойств (Danielson, 1973; Fung, 1976; Черномашенцев, 1981; Селезнев, 1981; Wan Abas, 1982, Zhang, 1994; Gambarotta, 2005; Hendriks, 2006), по исследованию акустических свойств кожи (Pereira, 1991; Федорова, 1998, 2005; Авдошенко, 2006). Однако ни в одной работе не получены результаты, которые бы позволили проводить предоперационное планирование операций на коже с позиции механики деформируемого твердого тела и биомеханики.

По определению общества пластических и реконструктивных хирургов, эстетическая хирургия - это область хирургии, занимающаяся изменением внешнего вида, формы и взаимосвязей анатомических структур любых областей человеческого тела, которые должны внешне значительно не

отличаться от нормы и учитывать возрастные особенности конкретного человека

В настоящее время в области пластической, реконструктивной и эстетической хирургии имеется большое количество операций, где кожа испытывает большие деформации, это восстановительные операции после различных ожогов, косметические операции по иссечению рубцов и закрытию дефектов на коже и т.д

Построение биомеханической модели, адекватно описывающей поведение кожной ткани человека, является актуальной проблемой. Это позволит улучшить работу хирургов и снизить послеоперационные осложнения.

Целью работы является построение определяющих соотношений, адекватно описывающих поведение кожи человека, и исследование с помощью построенной модели операции по лифтингу лица и абдоминоппастике Научная новизна работы заключается в следующем-

1. Анализируется связь гистологии кожи и определяющих соотношений

2 Показано, что моделью, наиболее адекватно описывающей поведение кожи человека, является модель Кельвина для малых деформаций и модель неогука для больших деформаций

3 Разработан алгоритм определения параметров моделей и проведен эксперимент для их определения.

4. Дан анализ применимости моделей для операции по лифтингу лица, абдоминопластике и лечению ожогов.

5. Определены силовые параметры и время их приложения для лифтинга лица

6. Даны предложения по подготовке к проведению операции абдомияопласгики.

Практическая ценность. Получены свидетельства двух интеллектуальных продуктов и результаты переданы в больницы города Перми для использования в лечебной практике отделепий пластической и реконструктивной хирургии для повышения эффективности эстетических операций.

Апробация работы. Основные положения и результаты диссертации докладывались и обсуждались:

- на Международной конференции «Euro Summer School on Biorheology», 29 июня - 1 июля 2003 г, Варна,

- на 7-й Всероссийской конференции по биомеханике «Биомеханика-2004», 24-28 мая 2004 г., Нижний Новгород,

- на 8-й Всероссийской конференции по биомеханике «Биомеханика-2006», 22-26 мая 2006 г., Нижний Новгород,

- на 15-ой Всероссийской школе-конференции молодых ученых и студентов «Математическое моделирование в естественных науках», 4-7 октября 2006 г., Пермь;

- на научных семинарах кафедры теоретической механики ПГТУ под руководством доктора технических наук, профессора Ю И Няшина, 2004-2007 гг

— на научном семинаре кафедры механики композиционных материалов и конструкций ПГТУ под руководством доктора физико-математических наук, профессора Ю В Соколкина, 2007 г

Публикации. Основное содержание диссертации отражено в 11 опубликованных работах, в том числе 2 статьи в журналах, рекомендованных ВАК

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы, занимающих в целом 96 страниц Работа содержит 42 рисунка, расположенных в тексте по месту ссылок Список литература включает 83 наименования

Автор выражает глубокую признательность и благодарность А А Адамову, Т А Кирилловой, В А Самарцеву за помощь при выполнении данной работы

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении приведен краткий обзор литературы, отражающий современное состояние вопросов исследования Сделано заключение об актуальности темы диссертационной работы

После этого сформулированы цели и задачи работы, ее новизна и практическая ценность Представлена краткая аннотация содержания глав диссертации

Во второй главе рассмотрено строение кожи человека, результаты гистологического исследования и построение математической модели кожи человека для случая малых и больших деформаций

При построении определяющих соотношений был принят ряд допущений, а именно кожа считается изотропной, деформации сначала считаются малыми Рассмотрено пять идеализированных механических моделей вязко-упругого поведения материала, определяемые соответствующим числом механических параметров (рис 1-5)

В результате анализа моделей для дальнейшего исследования была выбрана модель Кельвина, так как она содержит лишь три параметра и их можно определить из эксперимента При релаксации она ведет себя как кожа человека, обладает ограниченной ползучестью и неполной релаксацией напряжений Связь между нормальными напряжениями и деформациями модели Кельвина имеет вид

о + Хс = £(е + це)> Е = Е., 1=Е1 + Е\ ц = (1)

Зц2 Зц2

11

где Е - мгновенный модуль упругости, — <— характеризуют время

X ц

запаздывания системы на изменение нагрузки и деформации

Рис 1 Модель Максвелла

Рис 2 Модель Фойгта

Рис 3 Модель Кельвина

Е1

|1|

Пз

Ел

Рис 4 Модель Рис 5 Пятипараметрическая модель

Бюргерса Бранкова

Подстановка в уравнение вместо а и в девиаторных компонент тензоров напряжений и деформаций дает трехмерное обобщение в предположении о линеаризованных геометрических соотношениях (Циглер, 2002)

= + (2)

Девиатор напряжений представлен в виде разности тензора напряжений и шарового тензора напряжений

(3)

Девиатор скорости напряжений представлен в виде

(4)

Таким же образом запишем девиатор деформации и девиатор деформации скорости

Подставив уравнения (3), (4), (5) и (6) в (2), получим

°~ + ^ - = *Уг + -

Относительное изменение объема е и среднее напряжение о уравнением

с = Кгт

т т

Запишем уравнение (7) с учетом (8)

(5)

(6)

(7)

связаны

а+хд - (ая + хот )§ = е{1 + це) - |-(аи + )§, (9)

где коэффициенты Е, К, X и (х являются коэффициентами модели

При построении определяющего соотношения для случая больших деформаций в качестве исходных гипотез при формулировке уравнений состояния для деформируемого твердого тела примем гипотезы сплошности, изотропности, однородности и естественного ненапряженного состояния в отсчетной конфигурации При построении определяющего соотношения используется теория, ранее развитая А А Адамовым, которая применена для живых систем

Кожу человека в первом приближении можно считать несжимаемым изотропным упругим материалом Зададим удельную потенциальную энергию деформации упрощенной формой потенциала Муни

^ = ^(/,-3) (р = 1) (10)

Это «неогуков» потенциал, иначе называемый потенциалом Трелоара

Было показано (Адамов, 2004), что потенциал (10) обладает удовлетворительной способностью к аппроксимации резиноподобных материалов как систем связанных друг с другом длинных молекулярных цепочек, в широкой области изменения упругих постоянных для диапазона умеренно больших деформаций (до 100 %) при различных видах однородного напряженно-деформированного состояния Анализ гистологических данных показал, что кожа человека обладает схожей структурой, содержит сети эластических и коллагеновых волокон

В качестве второго приближения для описания наблюдаемых релаксационных эффектов предлагается использовать вязкоупругую модель несжимаемого материала при умеренных больших деформациях, которая получена путем формального обобщения модели заменой упругой постоянной ¡л. интегральным оператором наследственной теории вязкоупругости В результате имеем вязкоупругий аналог «неогукова тела»

ё = (11) где р - неопределенный множитель Лагранжа

Определяющее уравнение (11) обладает инвариантностью к геометрическому преобразованию систем координат благодаря использованию тензорных величин, определенных в базисе отсчетной конфигурации, а используемые операторы наследственной теории вязкоупругости инвариантны к изменениям масштаба времени и начала его отсчета

Для дальнейшего использования соотношения (11) необходимо идентифицировать интегральный оператор ц на основе полученных экспериментальных данных

Задача идентификации интегрального оператора ц существенно упрощается при использовании параметрического представления Достаточной

7

аппроксимационяой гибкостью обладает четырехпараметрическое ядро скорости релаксации М,А. Колтунова

т=-

I

Интегральный оператор для ядра Колтунова имеет вид

< ехрГ-р(г-т)"1 (*-*)

(12)

(13)

Тогда задача идентификации оператора р сводится к задаче параметрической минимизации целевой функция поиска Ф(С, а,т)>0. Данная процедура реализуется по методике, описанной ранее (Адамов, 2004).

В третьей главе разработана методика определения параметров моделей и проведен эксперимент для их определения.

Для исследования брали кожу с внутренней поверхности бедра ампутированных конечностей ног. Хранение и транспортировка кожи осуществлялись в физиологическом растворе при пониженной температуре. Перед экспериментом лоскуты вынимались из раствора, нагревалась до комнатной температуры и после этого проводились испытания. С момента забора ткани до проведения эксперимента проходило не более суток.

Рис. 6. Вырубной НОЖ

Рис. 7. Рслаксометр осевого растяжения;

1- станина; 2 - нагружающее устройство;

5 - силонэмерительная балка равного сопротивления изгибу; 4 - индикатор часового типа с ценой деления 1 или 10 мкм

Для создания одинаковых условий исследования из лоскутов кожи, предварительно освобожденных от подкожно-жировой клетчатки, при помощи вырубного ножа (рис. 6) вырезали образцы с общей длиной 75 мм и шириной рабочей части 7 мм. После измерения толщины и нанесения рисок па рабочей части образец закреплялся в захватах и испытывался на настольном релаксомстрс осевого растяжения (рис. 7).

8

После проведения экспериментов и расшифровки полученной информации были определены параметры моделей (табл. 1,2).

Таблица 1

Экспериментальные значения для модели Кельвина

Возраст Пол X, с1 ц,с1 Е, МПа К, МПа Место

49 лет Муж 0,395 0,041 48,53 1,95 Живот

52 года Жен 0,41 0,041 43,21 1,64 Бедро

61 год Жен 0,42 0,041 41,79 1,48 Бедро

65 лет Жен 0,40 0,043 41,42 1,87 Бедро

70 лет Муж 0,40 0,042 42,12 1,56 Бедро

73 года Жен 0,43 0,043 39,7 1,5 Бедро

78 лет Муж 0,43 0,041 40,1 1,65 Бедро

85 лет Жен 0,43 0,043 37,84 1,86 Бедро

Таблица 2

Экспериментальные значения параметров модели вязкоупругого неогукова тела

Объект а Р, сек"™ т А, сек"" |г0,МПа

Жен 52 года 0,0189 0,5 0,0292 0,0202 26,29

Муж 49 лет 0,157 0,32 0,25 0,0197 30,63

Жен 65 лет 0,0176 0,43 0,032 0,02 28,47

В четвертой главе рассмотрена постановка и решение задачи о лифтинге

лица.

Лифтинг — это удаление морщин и кожных складок путем подтяжки

кожи.

При полной подтяжке разглаживание морщин происходит в результате удаления и подтягивания кожи лица с двух сторон. Разрезы делают по краю роста волос на голове, в обе стороны лица - ото лба и до заушной области. При этом ушная раковина специальным образом огибается, чтобы шов не был заметен. Такой широкий хирургический доступ позволяет отслоить кожу от подкожной клетчатки на большей части щек, подбородка и передней поверхности шеи, а затем подтянуть ее и удалить излишки Таким образом, кожу подтягивают вверх и кзади, добиваясь разглаживания морщин в углах глаз, борозд на щеках, а также кожных складок на подбородке и шее (рис 8)

Во время операции натяжение кожи проводится вручную, следовательно, каждый хирург может по-своему оценивать и реализовывать натяжение кожи Для обеспечения наилучшего косметического эффекта и уменьшения

Рис 8. Операция по полному лифтингу кожи лица

неблагоприятных последствий необходимо обеспечить оптимальное натяжение кожи. Недостаточное натяжение не дает должного эффекта омоложения, поскольку ненатянутая кожа образует морщины Чрезмерное натяжение ведет к следующим неблагоприятным последствиям, появление келоидного рубца, развитие некроза кожи. Некроз является следствием ухудшения или прекращения питания кожи кровью Нарушение питания связано с отсепаровкой кожи от подлежащих тканей и отсутствием кровотока от соседних тканей вследствие пережатия сосудов Отсепаровка тканей является необходимым действием при операции и избежать ее невозможно, а пережатие сосудов можно не допустить, устанавливая необходимое натяжение кожи

Требуется рассчитать напряжено деформированное состояние в коже после проведения операции. Так как кривизна кожи лица в данной области практически равна нулю, то задача решалась в терминах плосконапряженного состояния Глубина отсепаровки составляет 6 см Толщину лоскута примем единичной Основными точками крепления кожи являются козелок уха и верхняя часть уха. Хирург первоначально натягивает кожу за эти точки. При решении подобных задач возникают неопределенности при отыскании напряжений и деформаций в точках приложения силы. Поэтому прикладывается распределенная нагрузка, моделирующая силы, возникающие в месте разреза после сшивания ткани

Деформирование происходит в два этапа 1. Растяжение постоянной нагрузкой, 2 Релаксация растянутого кожного лоскута В данной задаче применяется модель малых деформаций, так как априорные оценки показывают, что в данной операции имеют место именно малые деформации. Тогда постановка задачи будет следующей

4 Отсепарированная область

а Область с подлежащими тканями 6 Рис 9 Граничные условия а-первый этап, б-второй этап

V 5 = 0, геГ, д+Ха-(ат+Х<ут)§ = е(|+цё)-~(аа + \хат)§, г е V,

е = 1(Ум + УЙг), геГ

Для первого этапа деформирования начальные и краевые условия будут иметь вид _

Со=°> геГ,

51 =0,

1г, Я ст|

(15)

= 0,

Для второго этапа деформирования начальные и краевые условия будут иметь вид _

г е Г,

геГ,

(16)

йЧ„г3,г5=0' "1г4=0'

где а0 и м0 определяются из решения задачи на первом этапе.

Постановка задачи оптимизации.

При послеоперационной реабилитации в коже происходит релаксация напряжений От протекания этого процесса во многом зависит косметический эффект операции Из экспериментальных данных известно, что питание кожи потоком крови прекращается при напряжении с^ =10кПа. Оптимизацией является подбор таких напряжений и задаваемых деформаций, при которых достигается максимальный косметический эффект и в то же время напряжения в коже спадут ниже а^

Критерий оптимального натяжения задан следующим образом: необходимо, чтобы напряжения в коже с течением времени становились меньше и достаточными для возобновления кровотока, но в то же время не становились меньше некоторого уровня напряжений.

О,9атах<0а->оо)<ашах. (17)

Необходимо при этом учесть, что при длительном перенапряжении кожи ст>сттах кожа без питания кровью начинает мертветь Поэтому необходимо ввести еще одно требование:

СТ(7*) - °тах > О«)

то есть за необходимый промежуток времени Тк напряжения в коже спадут и питание восстановится. Эта величина из клинических наблюдений принята равной двум минутам

Минимизация функционала ¥ позволит найти силу, с которой необходимо производить растяжение, чтобы напряжения после двух минут релаксации оказались в допустимой зоне.

Ч' — Р2 ->тт. (19)

Минимизация проводилась методом правильного симплекса. Поиск оптимального решения производился методом внешних штрафных функций В результате решения задачи оптимизации были получены следующие результаты

Таблица 3

Возраст Время приложения нагрузи, сек Нагрузка, Н

45-50 16 ± 1 28

51-59 19 ±1 25

60-69 21 ±1 23

70-85 24 ±1 22

Как видно из табл. 3, нагрузка, необходимая для получения наилучшего косметического эффекта в зависимости от возраста, лежит в интервале от 22 до 28 Н, что соответствует наблюдаемым в клинике. Во время операции хирург прикладывает усилие от 2 до 3 кг. Время приложения нагрузки с возрастом увеличивается, так как кожа становится менее податливой и требуется больше времени, чтобы волокна коллагена успели растянуться.

Сть Па

|-Модель неогука--Модель Кельвина ¡

Рис 10 Сравнение значений первого главного напряжения по узлам границы отсепаровки

Для проверки модели больших деформаций решена задача с той же конфигурацией и нагрузкой На рис 10 представлено полученное сравнение напряжений по узлам границы отсепаровки ткани Как видно из рисунка, напряжения в узлах после релаксации очень близки и расхождение результатов не превышает 3 %

В пятой главе рассмотрена постановка и решение задачи абдоминопластики

Абдоминопластика (от греч abdomen — живот) - это объемное хирургическое вмешательство, направленное на удаление избытка кожи и жировой клетчатки в области живота с целью восстановления нормальных эстетических пропорций передней брюшной стенки Во время операции также производится сшивание разошедшихся мышц передней брюшной стенки и удаление имеющихся «выпячиваний» и грыж

Для обеспечения наилучшего косметического эффекта и уменьшения неблагоприятных последствий необходимо выбрать оптимальный размер иссекаемого лоскута и размер мобилизируемого (отсепарируемого) кожно-жирового лоскута При избыточной мобилизации кожи с передней брюшной стенки может произойти пересечение основных артериальных стволов, питающих переднюю и боковые стенки живота, что может привести к негативным результатам операции При чрезмерном натяжении лоскута возможно закупоривание сосудов Дело в том, что в паховой области, где делают разрез, проходят крупные сосуды и при неправильном выборе иссекаемого лоскута может образоваться некроз

Рассматривалась операция абдоминопластики у пациентки с птозом третьей степени Длина разреза 43 см, глубина отсепаровки кожи 52 см (рис 11) Нагрузка к границе П прикладывалась таким образом, чтобы после двухминутной релаксации максимальные напряжения в отсепарированной

области не превышали 10 кПа, В этой задаче применяется модель больших деформаций, так проведенный анализ показывает, что в данной задаче имеют место именно большие деформации.

Щ Тогда постановка задачи будет

следующая:

V а = 0, г е v, с = 1/2(У« + + те ■ V«7"), г е v,

Рис. 11. Размеры образца и граничные условия

где Q - энергетический тензор напряжений, С - тензор деформации Коши-Грина.

В результате решения были получены следующие результаты. На рис. 12а представлено поле напряжений после двухминутной релаксации. Как видно из рисунка, в отсепарированной области напряжения не превышают 10 к! 1а, Такие напряжения получены в результате перемещения нижней границы на один сантиметр (рис. 13). Таким образом, во время операции после расправления отсепарированного лоскута хирург может наметить линию для иссечения избытков кожи на один сантиметр выше линии разреза. На рис. 126 представлено решение этой же задачи с использованием модели Кельвина. Из решения видно, что при тех же перемещениях напряжения превышают

<Г[, Па

oi. Па

а б

Рис. 12. Первое главное напряжение через 120 секунд после релаксации: а - модель неогука, б - молеяь Кельвина

о

Рис. ¡3. Вертикальное перемещение образца

допустимый уровень, то есть модель малых деформаций для решения этой задачи не может быть использована.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Разработана математическая модель кожи человека для малых и щя больших деформаций с учетом возрастных изменений кожи.

2. Поставлен и проведен эксперимент для определения коэффициентов моделей.

3. Предложена методика определения параметров модели Кельвина и модели нсогука по результатам проведенных экспериментов.

4. Решена задача о лифта иге лица. Получена оптимальная нагрузка и время ее приложения в зависимости от возраста пациента. Показана возможность использования модели малых и больших деформаций.

5. В результате решения задачи абдо ми но пластики даны предложения по подготовке к проведению операции.

6. По результатам решения задач получены свидетельства двух интеллектуальных продуктов, и результаты переданы в больницы № 4, 6, 21 города Перми для использования в лечебной практике.

Лечение ожогов. Сущность оперативного лечения глубоких ожогов сводится к тому, чтобы тем или иным способом ликвидировать дефект кожных покровов, образующийся вследствие их гибели. Основным методом оперативного восстановления кожного покрова у обожженных является свободная пересадка кожных трансплантатов. Лечение ожогов это отдельная сложная задача и в рамках этой работы рассмотрена лишь методика решения этой задачи с учетом больших деформаций, которые здесь обычно имеют место.

С/г, м

□

.00450 а и ь! ? э .00112 .000617 .СЮИ^!

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ

1 Федоров АЕ, Лохов В А О применении теории вязкоупругости в эстетической хирургии // Российский журнал биомеханики — 2003 Том 7, № 4 - С 32-43

2 Fedorov A Application of theory of viscoelasticity for mathematical modeling of the human skm // Proc EuroSummer School on Biorheology - 2004 - P 127-131

3 Федоров АЕ Применение теории вязкоупругости для моделирования кожных покровов // Тез докл VII Всероссийская конференция по биомеханике -2004 - С 140

4 Федоров А Е, Самарцев В А, Кириллова ТА О механических свойствах кожи человека // Российский журнал биомеханики - 2006 - Том 10, № 2 - С 29-42

5 Федоров А Е, Самарцев В А, Кириллова ТА Определение механических свойств кожи человека // Тез Докл 15-ая Всероссийская школа-конференция молодых ученых и студентов «Математическое моделирование в естественных науках» - 2006 - С 93

6 Федоров А Е Определение механических характеристик кожи человека // Тез докл VIII Всероссийская конференция по биомеханике - 2006 -С 66

7 Самарцев В А, Федоров А Е, Грихутик В М, Дронов Н М Свидетельство на интеллектуальный продукт «Способ оценки деформирования свободных полнослойных аутодермальных трансплантатов при пластических операциях» № 73200600071 от 27 И 2006

8 Федоров А Е, Самарцев В А, Няшин Ю И Свидетельство на интеллектуальный продукт «Математическая модель напряженно-деформированного состояния кожи при пластических операциях» № 73200600076 от 05 12 2006

9 Самарцев В А, Федоров А Е, Кириллова ТА Клиническое значение математической оценки механических свойств кожи человека // Анналы пластической, реконструктивной и эстетической хирургии - М АирАрт, -2007 -№2 - С 80-86

10 Федоров, А Е, Адамов А А Моделирование поведения кожи человека при больших деформациях // Российский журнал биомеханики - 2007 - Том 11,№ 1 -С 76-83

11 Федоров АЕ, Самарцев В А, Адамов А А О моделировании кожи человека // Известия Саратовского университета — 2007 - Том 7 - Серия Математика Механика Информатика -Вып 2 - С 57-61

Федоров Андрей Евгеньевич

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ КОЖИ ЧЕЛОВЕКА И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЕ К ЗАДАЧАМ БИОМЕХАНИКИ

01.02.04—Механика деформируемого твердого тела

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Подписано в печать 11 10 2007 Формат 60х90/16

Набор компьютерный Уел печ л 1. _Тираж 100 экз Заказ № 269/2007_

Издательство

Пермского государственного технического университета Адрес 614990, г Пермь, Комсомольский пр, 29, к 113 Тел (342)2-198-033

1. Введение.

2. Определяющие соотношения.

2.1. Строение кожи человека.

2.1.2. Гистологическое исследование кожи человека.

2.2. Определяющие соотношения для случая малых деформаций.

2.2.1. Модель Максвелла.

2.2.2. Модель Фойгта.

2.2.3. Модель Кельвина (Зинера).

2.2.4. Модель Бюргерса.

2.2.5. Пятипараметрическая модель Бранкова.

2.2.6. Анализ моделей.

2.2.7. Обобщение определяющего соотношения на трехмерный случай

2.3. Деформация и напряжения в сплошной среде.

2.3.1. Деформация сплошной среды.

2.3.2. Меры деформации Коши-Грина и Альманзи.

2.3.3.Тензоры, обратные мерам Коши-Грина и Альманзи.

2.3.4. Тензор напряжений Коши.

2.3.5. Уравнения движения сплошной среды.

2.3.6. Удельная потенциальная энергия.

2.3.7. Уравнения состояния упругого изотропного материала.

2.4. Определяющие соотношения для случая больших деформаций кожи

3. Экспериментальное определение коэффициентов моделей.

3.1. Эксперимент.

3.2. Определение коэффициентов модели Кельвина.

3.3. Процедура идентификации параметров модели неогука.

4. Лифтинг лица.

4.1. Описание операции.

4.2. Постановка задачи.

4.2. Постановка задачи оптимизации.

5. Пластика передней брюшной стенки (абдоминопластика).

5.1. Анатомия передней брюшной стенки.

5.2. Анатомофукциональная недостаточность передней брюшной стенки

5.3. Разметка операционного поля и оптимальный доступ.

5.4. Моделирование операции абдоминопластики.

Биомеханика - это наука, в которой изучаются механические свойства тканей, органов и систем живого организма и механические явления, сопровождающие процессы жизнедеятельности, а на их основе строят математические модели этих систем.

Биомеханика находится на стыке различных наук: медицины, физики, математики, физиологии, вовлекая в свою сферу различных специалистов, таких как врачи, инженеры, конструкторы, программисты и др.

Пользуясь методами теоретической и прикладной механики, эта наука исследует деформацию структурных элементов тела человека (кожа, мышцы, хрящи), течение жидкостей и газов в живом организме, движение в пространстве частей тела, устойчивость и управляемость движений, и другие вопросы, доступные указанным методам. На основе этих исследований могут быть составлены биомеханические характеристики тканей, органов и систем организма, знание которых является важнейшей предпосылкой для изучения процессов регуляции. Учет и дальнейшее исследование биомеханических характеристик дает возможность строить математические модели систем, управляющих физиологическими функциями [4].

Математическое моделирование сложных биологических объектов представляет собой аналитическое и численное описание идеализированных процессов и систем, адекватных реальным. Идеальных систем и процессов в природе не существует, однако, полученные в результате моделирования результаты в известных пределах можно применить к реальным процессам и системам жизнедеятельности человека, так как они имеют общие свойства с идеальными. Математические модели строят либо на основе экспериментальных данных, либо умозрительно, используя гипотезу или известную закономерность какого-либо явления.

Впервые эстетические операции начали выполнять в XIX веке, хотя резкий скачок развития этой области хирургии произошел в начале XX века. В настоящее время в странах с высоким уровнем жизни населения эстетическая, пластическая и реконструктивная хирургия является важнейшей областью медицины.

По определению общества пластических и реконструктивных хирургов, эстетическая хирургия - это область хирургии, занимающаяся изменением внешнего вида, формы и взаимосвязей анатомических структур любых областей человеческого тела, которые должны внешне значительно не отличаться от нормы и учитывать возрастные и этнические особенности конкретного человека.

Реконструктивная хирургия - это попытка вернуться к норме (после травм или заболеваний, а также естественных для человеческой жизни изменений, связанных с родами и кормлением ребенка).

Кожа (cutis) - сложный орган, являющийся наружным покровом тела животных и человека, выполняющий разнообразные физиологические л функции. У человека площадь поверхности кожи равна 1,5 - 2м (в зависимости от роста, пола, возраста). Это самое большое структурное формирование, которое полностью открыто для исследования. Основная проблема заключается в установлении определяющего соотношения, адекватно описывающего поведение реальной кожи.

Основной целью построения определяющего соотношения для кожи человека является то, что это позволит улучшить работу хирургов и снизить послеоперационные осложнения.

Начиная с древних времен и до сегодняшнего дня, кожа человека всегда привлекала внимание ученых. Кожа непосредственно воспринимает все воздействия внешней среды. У животных они опосредуются шерстяным покровом, у птиц - перьями, которые являются образованиями кожи. Внешней оболочкой человека также является кожа. Она защищает организм от механических воздействий, не позволяет нарушать структуру организма, его форму и внутреннюю среду. Кожа защищает также от физических и химических воздействий, препятствует проникновению в кровь бактерий, грибов, вирусов. Она предохраняет ткани от потери воды, задерживает и выводит различные вещества, участвует в поддержании температуры тела, в газообмене [5].

Многие патологические и косметические изменения состояния кожи могут быть описаны с помощью механических свойств. Диагностика, лечение и последующее определение различных кожных нарушений часто требуют детальной информации об изменениях в ее структуре и функциях. Поэтому такие изменения обычно оказывают влияние на механические свойства кожных тканей и могут быть очень информативны.

Сейчас окончательно доказано экспериментально, что кожа сильно нелинейный вязкоупругий материал. Вязкоупругость подразумевает, что кожа представляет комбинацию упругих и вязких свойств. Поэтому ее вязкие характеристики, механические свойства зависят от времени и механической истории кожи. Кожа не гомогенна и не изотропна - это композиционный материал, состоящий из дискретных частей, который имеет преимущественное направление распределения. Также, напряжения, которым подвержена кожа, велики, это означает, что обычная теория упругости (основанная на предположении о малых деформациях) во многих случаях не может быть использована.

Первые упоминания о коже с точки зрения ее механических свойств были сделаны Дюпюитраном {Dupuytren) [40] в 1831 году во время расследования самоубийства в Париже. Он провел эксперименты на трупе и доказал, что раны на коже, сделанные конусообразным предметом, становятся похожими на линии и направление этих линий в различных частях тела отличаются.

Первая статья, посвященная анатомическому обобщению линий расссечений на коже, была написана профессором Карлом Лангером {Karl Langer) [57] в 1861 году. Результаты этой работы можно обобщить таким образом:

1. Рассечения, сделанные при помощи круглого шила, собираются в линии, которые, по существу, отображают направления волокон.

2. За исключением кожи головы, ладоней и ступней, кожа, покрывающая тело имеет везде доказуемую степень натяжения. Это натяжение кожи сопротивляется растяжению, вызванному растяжением содержимого тела или движениями сустава. Кусочки кожи, удаленные с тела, всегда сокращаются до меньшего размера поверхности, чем они имели in situ.

3. Кожа обладает значительной растяжимостью, которая уменьшается с увеличением нагрузки.

4. Когда полоска кожи натянута, кожа проявляет очень слабую, но упругость до тех пор, пока сетка ткани полностью не растянется, то есть пока волокна не вытянутся прямолинейно. При дальнейшем растяжении, когда сами волокна вовлечены в удлинение лоскутка, упругость возрастает. Остаточное растяжение, которое продолжать существовать после растяжения, исчезает после некоторого времени и растянутая полоска восстанавливает свою первоначальную длину.

Таким образом, Лагером были обнаружены линии натяжения кожи (линии Лангера), а также был установлен тот факт, что кожа на теле человека имеет какое-то начальное натяжение.

Кокс (Сох) [40] (1941 - 42) провел исследование, аналогичное Лангеру. Это исследование было обусловлено тем, что, несмотря на теоретическую и практическую важность данного аспекта, это явление было недостаточно изучено и распространено в литературе. В работе проведено не только макроскопическое исследование, но и микроскопическое, чего раньше сделано не было.

Во время исследования было использовано 28 тел. По результатам исследования построены диаграммы линий натяжения для всех участков тела. Обнаружено, что линии зависят от конфигурации тела (степень развития мускулатуры, полнота, худоба и т.д.) и постоянны для любых тел одной конфигурации.

Проведено исследование кожи под микроскопом. Из полученных изображений было обнаружено, что волокна коллагена располагаются вдоль длинной оси элипса перпендикулярно короткой. Следовательно, линии Лангера (линии натяжения) можно увидеть визуально, используя увеличительные приборы.

Было установлено, что если на теле человека сделать круглый прокол, то кожа сократится в направлении перпендикулярном линии Лангера (рис. 1.1) и растянется вдоль нее. Это свойство очень важно для хирургии, т.к. оно определяет оптимальные линии разреза при проведении операции. Если проводить разрез проводить вдоль линии Лангера, то ткани будут меньше отходить друг от друга, что способствует быстрому заживлению раны и уменьшению (или исчезновению) келоидного рубца.

Линия Лангера йг

Кожа на теле человека Исходный контур отверстия (окружность)

Контур отверстия после деформации с/, -д, (1 а

Рис. 1.1. Схема деформации кожи после вырезания круглого сегмента

На данный момент имеется большое количество работ посвященных различным проблемам, связанных с кожей.

Ряд работ посвящен определению возрастных изменений в кожной ткани. Имеются исследования на микроуровне, показывающие старение ткани в связи с замедлением обменных процессов и угнетением волокон коллагена и эластина [60, 64]. Также исследовано изменение толщины кожи и плотности коллагеновой сети и зависимости от пола и возраста [78]. Предпринималась попытка с помощью световой и растровой электронной микроскопии изучить строение дермы различных областей тела человека и показать зависимость биомеханических свойств кожи этих областей от особенностей архитектоники волокнистых структур [Виноградова].

В работе Дали (Daly) и Одланда (Ödland) (1979) [41] механические свойства кожи были изучены in vivo и in vitro с помощью различных методов испытаний. Временная зависимость этих свойств, связана с компонентами основного вещества кожи. Возрастные изменения механических свойств являются функцией деградации эластиновой сети и некоторыми до сих пор неопределенными изменениями в вязкоупругих свойствах основного вещества. Обнаружено, что с возрастом кожа при тех же самых напряжениях испытывает значительно меньшие деформации, что, по-видимому, связано с изменением коллагеновой и эластиновой сетей.

Левек (Leveque) и др. (1980) [61] измеряли отклик кожи предплечья 141 человека в возрасте от 3 до 89 лет при крутящем моменте. Результаты каждой возрастной группы были приведены к толщине кожи в 1 мм. Было обнаружено, что максимальная толщина кожи достигается в возрасте 40 лет. В работе установлено, что растяжимость кожи уменьшается с возрастом, кожа женщин менее растяжима, чем у мужчин. Недостатком работы являлось то, что модуль упругости при расчетах не учитывался.

В работе Оксланда (Oxlund) и др. (1988) [67] кожные образцы эластиновых волокон крысы были деградированы (разрушены) с помощью эластазы и добавлением соевого ингибитора. Контрольные эксперименты обнаружили деградацию эластина и отсутствие эффекта у коллагена. Механические свойства образцов кожи были изучены до и после ферментной обработки. Было показано, что эластин важен для механического поведения кожи крысы при малых напряжения и деформациях. Волокна эластина отвечают за механизм ответа после приложения напряжения или деформации.

Эскоффер (Escoffier) и др. (1989) [46] исследовали in vivo различные вязкоупругие параметры, которые описывают механические свойства кожи человека при разном возрасте. Результаты исследования показали, что кожа сохраняет свою толщину и растяжимость до старости человека в отличие от ее упругости или способности восстанавливаться, которые уменьшаются с раннего возраста. Вязкая часть деформации постоянна всю жизнь, тогда как время релаксации при ползучести линейно уменьшается с годами. Никакого различия в этих параметрах между мужчиной и женщиной обнаружено не было, кроме толщины кожи.

Рейхснер (Reihsner) и др. (1995) [73] исследовали двумерное биомеханическое поведение и содержание коллагена в образцах кожи человека из различных анатомических мест. Определялись оси минимального и максимального сокращения после иссечения и связь их с линиями Лангера. Экспериментальное оборудование было разработано, чтобы сохранять геометрию и измерять нагрузки, действующие перпендикулярно к окружности образцов кожи. Используя in vivo геометрию образцов, как базу, были приложены различные деформации. После релаксации напряжений конечные значения напряжений были записаны и сопоставлены с деформациями. Было обнаружено, что оси максимального и минимального напряжения не совпадают с линиями Лангера, а повернуты на 10°. Ортотропия механического поведения была в основном найдена в областях уменьшенного in vivo натяжения.

Наряду с возрастными изменениями кожи определялось и количественное содержание коллагена [37, 52, 62].

Исследовались и электрофизиологические свойства кожи, оценивался импеданс кожи при различных температурных режимах [49], а также ее диэлектрические свойства [51].

Часть работ посвящена влиянию температуры на кожу [35, 36, 43, 56, 63, 68, 77].

Некоторые авторы проводили исследования по кровотоку при изменении внешнего давления на кожу [32, 34, 45, 66, 75, 76]. В работах [45, 76] к поверхности кожи человека прикладывалось давление и, используя лазерную доплеровскую потокометрию, были получены данные по прекращению кровотока в коже: это 8 кПа и 9,3 кПа, соответственно.

Чанг (Zhang) и Роберте (Roberts) (1993, 1994) [83, 84] исследовали эффект сдвиговых сил, приложенных к поверхности кожи, на подлежащие ткани. Внутренние напряжения анализировались при помощи упрощенных моделей, в рамках теории упругости. Для отыскания закона распределения напряжений в кожной ткани человека использовали задачу, изображенную на рис. 1.2. Если приложена только вертикальная сила Р (рис. 1.2), то сшах = 2/уяг. После приложения сосредоточенной нормальной силы Р и горизонтальной силы S получим a'max =2R/nr. Т.е. величина совместного воздействия сдвиговой и нормальной сил определяет внутреннее максимальное напряжение и деформацию. С этой точки зрения, касательные усилия имеют то же самое воздействие на ткани как нормальные силы.

Кровоток измерялся лазерной доплеровской потокометрией при изменении сдвиговых и нормальных сил от 0 до 250 грамм, приложенных к поверхности кожи. Экспериментальные исследования показали, что ток крови в коже уменьшается почти линейно с увеличением силы сдвига. Когда нормальная и сдвиговая силы равны, поток уменьшается на 45% по сравнению с потоком без приложенной сдвиговой силы. Кровоток прекращается при приложении сдвиговой силы с эквивалентным давлением 10^-12 кПа. Полученные результаты коррелируют с работами [45, 76]. Анализ показал, что сдвиговая сила изменяет распределение напряжений в основном в поверхностном слое мягкой ткани и увеличивается напряжение впереди области приложения. Исследование предполагает, что равнодействующая сила есть основной параметр при оценке эффекта нагрузки, приложенной к коже; и сдвиговая сила оказывает такой же эффект на кожу и подлежащую ткань, как и нормальная сила. Показано, что касательные напряжения более опасны для пережатия сосудов и при меньшей величине вызывают прекращение кровотока в ткани. Недостатком работ является использование теории упругости и отсутствие временных характеристик действия силы.

В последнее время много исследований посвящено механическим свойствам кожных тканей [30, 31, 48, 53, 54, 55]. В большинстве случаев эксперименты одноосные, так как двумерные эксперименты сопряжены с трудностями при создании оборудования.

В работе Веронды (УегопЛа) и Вестмана (И^еяШапп) (1970) [81] рассмотрена модель кожи кошки с учетом больших деформаций. Кожа рассматривалась как сжимаемый нелинейно-изотропный материал Муни-Ривлина, потенциал, которого равен

Рис 1.2. Схема упрощенной модели. Сконцентрированная сила приложена к полубесконечной пластине. константы определялись из одноосного эксперимента. Было обнаружено, что материал сжимаемый и меняет свой объем во время экспериментов, однако это изменение незначительно. Подтвердилось и наличие анизотропии кожи, но в расчетах это не учитывалось.

Даниелсон фатекоп) (1973) [42] в своей работе вывел основные уравнения для деформации в коже человека и записал уравнения анизотропной, упругой мембраны, подвергающейся малым деформациям.

Уравнения равновесия (2еаР1, + еНа)а«* + (Яар + 2еар)/ = 0, где а - тензор напряжений, г - тензор деформаций, % - метрический тензор, ра - тангенциальная поверхностная нагрузка. Определяющее соотношение где А и В - тензоры упругих констант, а С - скаляр. Восемь констант подлежали определению, чтобы установить связь напряжений и деформаций. Для больших деформаций эти константы не были определены.

Как частный случай теории, решены уравнения простой модели сгибания сустава. В другом частном случае решены уравнения для однородной, изотропной, упругой мембраны, лежащей в плоскости и подвергающейся малым деформациям, при помощи комплексной переменной для случая, когда лист имеет круглое отверстие и при условии двухосного растяжения на бесконечности. Предложена методика планирования разрезов, используемых пластическими хирургами, т.е. контроль натяжения в области разреза и вычисление напряжений во время заживления раны.

Ланир {Lanir) и Фанг {Fung) (1974) [58, 59] провели in vitro двуосные испытания кожи кролика с помощью экспериментальной установки [58]. Они обнаружили, что результаты экспериментов на коже нужно интерпретировать очень осторожно и сами эксперименты необходимо готовить очень тщательно из-за особенных свойств ткани. Результаты опытов не повторяются при тех же самых условиях и всегда имеют разброс. -Зависимость между напряжениями и деформацией нелинейна и незначительно зависит от скорости деформации, но сильно зависит от температуры. В работе показано, что кожа кролика анизотропна, однако отношение продольной и поперечной деформации не превышает 15%. В данной работе для проведения экспериментов используется достаточно сложная установка. Для крепления образца в установке его предварительно прокалывают во многих местах, это могло повлиять на результаты эксперимента.

Работа Тонга {Tong) и Фанга (1976) [80] - это продолжение работы Ланира и Фанга (1974). В работе сделана попытка представить экспериментальные данные в виде потенциала деформаций, напряжения в таком материале будут Pi/ = d{p0W)JdCu, где Я - тензор напряжений

Пиола-Кирхгофа, Ctj- тензор деформаций Коши-Грина. Потенциал такого тела равен

PoW=f(a,e) + ce[F{a'e)], где а,е) = щегп + а2е222 + 2а4епе22,

F(a,e) = а/и + а2е222 + а/Х2 + а,ехе2 + у,е,3 + у2е\ + у4е,2е2 + у5е,е22, а а(, ап у. и с- константы. Показано, что кожа не является чисто упругим материалом, и ее свойства зависят от способа подготовки к эксперименту. Эта работа подтверждает предыдущие исследования, направленные на установление характера поведения кожи. Подтвердился тот факт, что кожа - вязкоупругий материал, и ее поведение достаточно сложное.

В работе Кука (Cook) и др. (1977) [38] представлен метод экспериментального определения натяжения кожи человека. Эксперимент позволяет учитывать расположение коллагеновых волокон. Установлен тот факт, что линии действия максимальных напряжений не совпадают с линиями Лангера, а пересекают их под углом. Перед экспериментом кожа проходит очень грубую термическую обработку, которая существенно изменяет свойства кожи. Для сохранения свойств кожу необходимо хранить в специально приготовленном растворе и не более двух дней. При более долгом хранении кожа начинает отмирать, и данные эксперимента не дают правильного описания поведения живой кожи. Дополнительно в статье рассмотрен метод определения двумерных характеристик напряжения-растяжения на живой коже. Используется вакуумная установка, способная создавать необходимый градиент давлений. Из чаши выкачивается воздух, создавая разность давлений и равномерное поле напряжений в коже при достаточном удалении от границ чаши. Измерив радиус кривизны и толщину кожи, можно определить напряжение в ткани. Преимущества этой методики заключаются в том, что метод можно просто и безболезненно использовать на живом человеке.

В работе Ван Абаса (Wan Abas) (1982) [82] исследовались модуль растяжения и коэффициент Пуассона иссеченных полосок кожи длиной 25 мм и шириной 3,2 мм при нагрузке от 5 до 100 грамм. Образцы хранились в герметичных пакетах при пониженной температуре (-6 °С). Эксперимент проводился одноосный. Было обнаружено, что величины упругого модуля и коэффициента Пуассона зависят от размера предварительно обработанных образцов, и полученные результаты имеют большой разброс данных, поэтому трудно оценить их истинные величины. Разброс результатов обусловлен слишком маленьким размером образцов. Также подтверждено, что ткань обладает анизотропией.

Отдельное место занимают работы по определению механических свойств ткани при помощи акустических методов [44, 50, 65, 69].

В работах Перейры (Pereira) (1990, 1991, 1991) [70] кожа подвергалась исследованию с помощью различных акустических методов. В работе 1990 г. был проведен анализ экспериментальных данных для определения действительной и мнимой части комплексного модуля. Эксперимент основывался на распространении сдвиговой волны через кожу. Анализ использовался для определения эффектов параметров, таких как свойства кожи и подкожного жира, толщина кожи. Кожа была представлена как один вязкоупругий, изотропный слой. Компьютерная симуляция показала, что при низких частотах (< 1000 Гц), измеренные результаты сильно зависят от толщины кожи, в то время как при более высоких частотах (2000 Гц) результаты сравнительно нечувствительны к толщине кожи и к свойствам подкожного жира. Результаты также зависят от расстояния между местом приложения сдвига и точкой измерения. Анализ предполагает, что при высоких частотах (2000 Гц) результаты лучше отражают механические свойства кожи, чем результаты при низких частотах (1000 Гц). В работе проведено одномерное исследование из-за простоты, но это может вести к значительным ошибкам при определении вязкоупругих свойств кожи.

В работе 1991 г. [71] исследовались образцы иссеченной кожи кролика. Измерялись динамические вязкоупругие свойства иссеченной кожи, когда объект находился при низкой возрастающей деформации. Были измерены скорость распространения, затухание, модуль накопления и потерь при распространении пульсации вдоль полоски кожи. Эксперименты проводились с кожей при статическом нагружении в 1500 Па и 20000 Па. При малой нагрузке поведение кожи было вязкоупругим. Для оценки результатов проводились эксперименты на силиконовой резине. Исследование проводилось для определения частотных зависимостей вязкоупругих модулей. Эти модули используются для интерпретации распространения возмущения через кожу in vivo. Эта технология используется для оценки возрастных изменений в коже.

В статье [72] исследовалось влияние рогового слоя и подкожной основы на распространение сдвиговой волны вдоль поверхности кожи с использованием математической модели. В данном исследовании кожа считается линейным вязкоупругим материалом. Она представлялась как два отдельных слоя: один представлял роговой слой, а другой подкожную основу. Слои были оперты на полубесконечное вязкоупругое полупространство, представляющее собой подкожный жир. Физические и механические свойства материалов модели определялись из литературы и из собственных экспериментальных данных. Несмотря на то, что роговой слой очень тонкий (12 -15 микрон), результаты показали, что он может оказывать сильное влияние на распространение волны из-за более высокой плотности по сравнению с дермой. Таким образом, по скорости распространения волны в коже можно судить о возрастных изменениях в коже.

В работах Федоровой [27, 28] при помощи прибора ASA, который позволяет измерять скорость распространения поверхностных акустических волн на частотах 5-6 кГц, проводились измерения скорости во взаимно перпендикулярных направлениях Vx и V, и определялся коэффициент акустической анизотропии K = VyJVx-\. Показана возрастная акустическая анизотропия, которая с возрастом нивелируется. В статье [1] по скорости распространения волн производили контроль течения раневого процесса после пластических операций, а также оценивали эффективность применения различных видов физиотерапевтического воздействия. Показано, что после лечения восстанавливается акустическая анизотропия и максимальное натяжение совпадает с линиями Лангера.

Подводя итоги по обзору, заметим, что:

• Различные свойства кожи исследуются уже достаточно долго.

• Работы можно разбить на несколько характерных групп:

- возрастные изменения кожи;

- кровоток в коже при нагрузках;

- определение механических свойств.

• Хорошо исследована микроструктура кожной ткани, функции и строение коллагеновой и эластиновой сети.

• Имеются подходы для построения математической модели кожи. Положительные аспекты опубликованных работ: накоплен опыт исследования характеристик кожной ткани, проведено большое количество экспериментов, в том числе и ш vivo, широко применяются акустические (малоинвазивные) методы определения характеристик мягких тканей.

Однако существует ряд не решенных вопросов, не нашедших должного развития. Проблема при выборе модели, адекватно описывающей поведение ткани. Имеющиеся модели не учитывают вязкие свойства, а экспериментальное определение параметров этих моделей практически невозможно или имеется ряд допущений, которые сильно идеализируют модель. Вязкие характеристики, механические свойства зависят от времени и от механической истории кожи. Следующая проблема возникает при определении этих характеристик. Они зависят от различных факторов, таких как пол, возраст, локализация. Такие исследования проводились лишь для определения изменения толщины кожного покрова в зависимости от возраста, а для пола и возраста таких данных нет. Кроме того, во время различных пластических и косметических операций кожа испытывает деформации порядка 100% в связи с этим необходимо учитывать теорию больших деформаций и идентифицировать ткань по экспериментальным данным на конечном интервале времени.

Таким образом, в данной работе ставятся следующие задачи:

1. Разработка математических моделей кожи человека с учетом структурных изменений для малых и больших деформаций.

2. Разработка алгоритма определения параметров моделей и проведение серии экспериментов для определения коэффициентов моделей.

3. Показать применимость моделей для операции по лифтингу лица, абдоминопластике и лечению ожогов.

4. Формулировка критериев оптимальности для задачи о лифтинге кожи.

5. Разработка рекомендаций для предоперационного планирования. Работа имеет следующую структуру и содержание.

Во второй главе рассмотрено строение кожи человека, приведены результаты гистологического исследования. Показана применимость модели Кельвина для случая малых деформаций и модели неогука для больших деформаций.

В третьей главе разработана методика определения параметров моделей и проведен эксперимент для их определения.

В четвертой главе представлена постановка и решение задачи о лифтинге лица. Дано описание операции полного лифтинга лица. Получено решение задачи оптимизации.

В пятой главе рассмотрена постановка и решение задачи абдоминопластики. Даны предложения по подготовке к проведению операции абдоминопластики.

В создании настоящего труда автор многим обязан своему руководителю доктору технических наук, профессору Ю.И. Няшину. В связи с этим автор выражает ему свою искреннюю признательность за всестороннюю помощь.

Автор благодарит своих коллег, сотрудников кафедры теоретической механики Пермского государственного технического университета, и особенно В.А. Лохова, чье участие в обсуждении проблем, часто было незаменимым и помогло найти удачное решение многих проблем, С.А. Чернопазова за участие в разработке программного обеспечения.

Автор выражает глубокую признательность и благодарность A.A. Адамову, Т.А. Кирилловой, В.А. Самарцеву за помощь при выполнении данной работы.

Заключение

1. Разработана математическая модель кожи человека для малых и для больших деформаций с учетом возрастных изменений кожи.

2. Поставлен и проведен эксперимент для определения коэффициентов моделей.

3. Предложена методика определения параметров модели Кельвина и модели неогука по результатам проведенных экспериментов.

4. Решена задача о лифтинге лица. Получена оптимальная нагрузка и время ее приложения в зависимости от возраста пациента. Показана возможность использования модели малых и больших деформаций.

5. В результате решения задачи абдоминопластики даны предложения по подготовке к проведению операции.

6. По результатам решения задач получены свидетельства двух интеллектуальных продуктов [16, 24], и результаты переданы в больницы № 4, 6, 21 города Перми для использования в лечебной практике.

Лечение ожогов. Сущность оперативного лечения глубоких ожогов сводится к тому, чтобы тем или иным способом ликвидировать дефект кожных покровов, образующийся вследствие их гибели. Основным методом оперативного восстановления кожного покрова у обожженных является свободная пересадка кожных трансплантатов. Лечение ожогов это отдельная сложная задача и в рамках этой работы рассмотрена лишь методика решения этой задачи с учетом больших деформаций, которые здесь обычно имеют место.

1. Адамов A.A. Методы прикладной вязкоупругости / A.A. Адамов, В.П. Матвеенко, H.A. Труфанов, И.Н. Шардаков. Е.: Уро РАН, 2003. -411с.

2. Бегун, П.И. Биомеханика / П.И. Бегун, Ю.А. Шукейло. СПб.: Политехника, 2000.

3. Бегун, П.И. Моделирование в биомеханике/ П.И. Бегун, П.Н. Афонин. -М.: Высшая школа, 2004.

4. Безухое, H.H. Основы теории упругости, пластичности и ползучести / Н. Безухов. -М.: Высшая школа, 1968.

5. Белоусов, А.Е. Пластическая реконструктивная и эстетическая хирургия / А.Е. Белоусов. СПб.: Гиппократ, 1998.

6. Бранков, Г. Основы биомеханики / Г. Бранков М.: Мир, 1981.

7. Виноградова, Е.В. Структурные основы прочности и растяжимости кожи человека по данным световой и растровой электронной микроскопии / Е.В. Виноградова // Биомеханика (Рига). 1975. - С. 169-174.

8. Курбанов, У. А. Значение абдоминопластики в хирургии передней брюшной стенки / У.А. Курбанов, С.М. Джанобилова, Ф.Ш. Рашидов, A.A. Давлатов // Анналы пластической, реконструктивной и эстетической хирургии. М: АирАрт, - 2006. - №3. - С. 40-48.

9. JJeeep, У.Ф. Гистопатология кожи / У.Ф. Левер. -М.: Медгиз, 1958.

10. А.Лурье, А.И. Нелинейная теория упругости / А.И. Лурье. М.: Наука, 1980.

11. Самарцев, В. А. Клиническое значение математической оценки механических свойств кожи человека / В.А. Самарцев, А.Е. Федоров, Т.А. Кириллова // Анналы пластической, реконструктивной и эстетической хирургии. М: АирАрт, - 2007. - №2. - С. 80-86.

12. Селезнев, С.А. Механические свойства кожи передней поверхности туловища человека / С.А. Селезнев, В.В. Шульпина // Биомеханикакровообращения, дыхания и биологических тканей. Рига: Зинатне, 1981.-С. 268-271.

13. Федоров, А.Е. О применении теории вязкоупругости в эстетической хирургии / А.Е. Федоров, В.А. Лохов // Росиийский журнал Биомеханики. 2003. - Том. 7, № 4. - С. 32-^3.

14. Федоров, А.Е. Моделирование поведения кожи человека при больших деформациях / А.Е. Федоров, A.A. Адамов // Российский журнал биомеханики. 2007. - Том 11, № 1. - С. 76-83.

15. Федоров А.Е. О моделировании кожи человека / А.Е. Федоров, В.А. Самарцев, A.A. Адамов // Известия Саратовского университета. -2007. Том 7. - Серия Математика. Механика. Информатика. - Вып. 2.-С. 57-61.

16. Федорова, В.Н. Оценка механических свойств кожи боковой поверхности лица в различных возрастных группах / В.Н. Федорова, О.О. Носова, Е.Е. Фаустова, М.А. Роменская, Е.В. Захарова // Российский журнал биомеханики. 2005. - Том 9, № 4. - С. 62-66 .

17. Федорова, В.Н. Акустические свойства кожи в диагностике и оценке эффективности лечения / В.Н. Федорова. М.: Российский Государственный Медицинский Университет, 1998.

18. Циглер, Ф. Механика твердых тел и жидкостей / Ф. Циглер. Ижевск-Москва: РХД, 2002.

19. Цончев, Р. Два прибора для экспериментального исследования свойств кожи человека in vivo / Р. Цончев // Биомеханика (София). 1988. -№20.-С. 77-81.

20. Черномашенцев, А.Н. Деформативно-прочностные свойства мягких биологических тканей в аспекте пластической хирургии /

21. A.Н. Черномашенцев, Г.Д. Бурдей, М.М. Горелик, В.Г. Колосков,

22. B.Н. Николенко, Н.М. Овчинникова, Н.В. Островский // Биомеханика кровообращения, дыхания и биологических тканей. Рига: Зинатне, 1981.-С. 272-276.

23. Bennett, L. Shear vs preassure as causative factors in skin blood flow occlusion / L. Bennett // Arch. Of Phys. Med. & Rehab. 1979. - Vol. 60, No. July.-P. 309-314.

24. Chao, K.N. Heat and Water Losses From Burnt Skin. / K.N. Chao, J.G. Fisley, R.J. Yang // Med. & Biol. Eng. & Comput. 1977. - Vol. 15, No. November.-P. 598-603.

25. Chao, K.N. Heat and Water Migration Through Normal Skin: Part I -Steady State / K.N. Chao, J.G. Fisley, R.J. Yang // Med. & Biol. Eng. & Comput.- 1979.-Vol. 17, No. May.-P. 301-310.

26. Clore, J.N. Quantitation of Collagen Types I and III during Wound Healing in Rat Skin / J.N. Clore, I.K. Cohen, R.F. Diegelmann // Proc. Soc. For Experimental Biol. & Med. 1979.-Vol. 161.-337-340.

27. Cook T., Alexander H., Cohen M. Experimental method for determining the 2-dimensional mechanical properties of living human skin // Med. & Biol. Eng. & Comput.-Vol. 15, 1977.-381-390.

28. Cowin, S.C. How is a tissue built? / S.C. Cowin // J. Biomech. Eng. 2000. - Vol. 122. - No. December. - 553-569.

29. Cox H.T. The cleavage lines of the skin // The British journal of surgery. -Vol.29,1941-42.-234-240.

30. Daly C.H., Odland G.F. Age-related changes in the mechanical properties of human skin // J. Investigative Dermatology. Vol. 73, No. 1, 1979. - 8487.

31. Danielson D.A. Human skin as an elastic membrane // J/ Biomechanics. -Vol. 6,1973.-539-546.

32. Deng Z., Liu J. Non-Fourier Heat Conduction Effect on Prediction of Temperature Transients and Thermal Stress in Skin Cryopreservation // J. Thermal Stresses. Vol. 26, 2003. - 779-798.

33. Diridollou S. et al. An in vivo method for measuring the mechanical properties of the skin using ultrasound // Ultrasound in Med. & Biol. Vol. 24, No. 2, 1998.-215-224.

34. Ek A., Gustavsson G., Lewis D. Skin blood flow in relation to external pressure and temperature in the supine position on a standard hospital mattress // Scandinavian Journal of Rehabilitation Medicine. Vol. 19, 1987.- 121-126.

35. Escoffier C., et al. Age-related mechanical properties of human skin: an in vivo study // J. Investigative Dermatology. Vol. 93, No. 3, 1989. - 353357.

36. Al.Fedorov, A. Application of theory of viscoelasticity for mathematical modeling of the human skin / A. Fedorov // Proc. EuroSummer School on Biorheology. 2004. - P. 127-131.

37. Gambarotta, L. In vivo experimental testing and model identification of human scalp skin / L. Gambarotta, R. Massabo, R. Morbiducci, E. Raposio, P. Santi // J. Biomechanics. Vol. 38, 2005. - 2237-2247.

38. Gierlotka S. Electrophysiology of the human skin under climatically difficult conditions // Polish J. Med. Phys. & Eng. Vol. 6, No 4, 2000. -251-267.

39. Gorodetsky R. et al. Late effects of dose fractional on the mechanical properties of breast skin following post-lumpectomy radiotherapy // Int. J. Radiation Oncology Boil. Phys. Vol. 45, No. 4, 1999. - 893-900.

40. Grimnes S. Dielectric breakdown of human skin in vivo // Med. & Biol. Eng. & Comput. Vol. 21, 1983.-379-381.

41. Gundiah, N. Determination of strain energy function for arterial elastin: Experiments using histology and mechanical tests / N. Gundiah, M.B. Ratcliffe, L.A. Pruitt // J. Biomechanics. Vol. 40, 2007, 586-594.

42. Gunner C.W., Hutton W.C., Burlin T.E. The mechanical properties of skin in vivo a portable hand-held extensometer // British J. of Dermatology. -Vol. 100, 1979.- 161-163.

43. Gunner C.W., Burlin T.E., Hutton W.C. An idealized element model of human skin // Eng. In Medcine. Vol. 13, No. 3, 1984. - 121-129.

44. Hodson D.A., Eason G., Barbenel J.C. Modeling Transient heat Transfer Through the Skin and Superficial Tissues -1: Surface Insulation // J. Biomech. Eng.-Vol. 108, No. May, 1986.- 183-188.

45. Langer K. (trans. Gibson T., 1978) On the anatomy and physiology of the skin // British journal of plastic surgery. Vol. 31, 1978. - 3-8, 93-106, 185-199, 273-278.

46. Lanir Y., Fung Y.C. Two-dimensional mechanical properties of rabbit skin -1. Experimental system // J. Biomechanics. Vol. 7, 1974. - 29-34.

47. Lanir Y., Fung Y.C. Two-dimensional mechanical properties of rabbit skin -II. Experimental results // J. Biomechanics. Vol. 7,1974. - 171-182.

48. Lapiere C.M. The ageing dermis: the main cause for the appearance of'old' skin//British J. of Dermatology. Vol. 122, No. 35, 1990.-5-11.

49. Leveque J.L., Rigal J., Agache P.G., Monneur C. Influence of ageing skin on the in vivo extensibility of human skin at a low stress // Arch. Dermatol. Res.-269, 1980.-127-135.

50. Lovell C.R. et al. Type I and III Collagen Content and Fibre Distribution in Normal Human Skin During Ageing // British J. of Dermatology. Vol. 117, 1987.-419-428.

51. Mahanty S.D., Roemer R.B. Skin Temperature Probe // J. Biomech. Eng. -Vol. 101, No. November, 1979. 232-238.

52. Montagna W., Carlisle K. Structural changes in aging skin // British J. of Dermatology. Vol. 122, Sup. 35, 1990. - 61-70.

53. Moran C.M., Bush N.L., Bamber J.C. Ultrasound propagation properties of excised human skin // Ultrasound in Med. & Biol. Vol. 21, No. 9, 1995. -1177-1190.

54. Pal D.S., Pal S. Prediction of Temperature Profiles in the Human Skin and Subcutaneous Tissues // J. Math. Biol. Vol. 28,1990. - 355-364.

55. Pan L., Zan L., Foster F.S. Ultrasonic and viscoelastic properties of skin under transverse mechanical stress in vitro // Ultrasound in Med. & Biol. -Vol. 24, No. 7,1998. 955-1007.

56. Pereira J.M., Mansour J.M., Davis B.R. Analysis of shear wave propagation in skin; application to an experimental procedure // J. Biomechanics. Vol. 23, No 8, 1990.-745-751.

57. Pereira J.M., Mansour J.M., Davis B.R. Dynamic measurement of the viscoelastic properties of skin // J. Biomechanics. Vol. 24, No 2, 1991. -157-162.

58. Pereira J.M., Mansour J.M., Davis B.R. The effects of layer properties on shear disturbance propagation in skin // J. Biomechanical Eng. Vol. 113, 1991.-30-35.

59. Reihsner R., Balogh B., Menzel E.J. Two-dimensional elastic properties of human skin in terms of an incremental model at the in vivo configuration // J. Med. Eng. Phys. Vol. 17, No. 4, 1995.-304-313.

60. A.Robertson, J.D. Abdominoplasty repair for abdominal wall hernias / J.D. Robertson, J.I. de la Torre, P.M. Gardner, J.H. Grant, R.J. Fix, L.O. Vasconez//Annals of plastic surgery.-2003.-Vol. 51.-P. 10-16.

61. Ruth B. Measuring the steady-state value and the dynamics of the skin blood flow using the non-contact laser speckle method // Med. Eng. Phys. -Vol. 16,No March, 1994.-P. 105-111.

62. Sangeorsan B.J. et al. Circulatory and mechanical response of skin to loading // J. of Orthopaedic Research. Vol. 7, 1989. - P. 425-431.

63. Saxena V.P. Temperature Distribution in Human Skin and Subdermal Tissues // J. Theoretical Biol. Vol. 102, 1983. - P. 277-286.

64. Shuster S., Black M., McVitie E. The Influence of Age and Sex on Skin Thickness, Skin Collagen and Density // British J. of Dermatology. Vol. 93, 1975.-639-643.

65. Taber, L. Nonlinear theory of elasticity. Application to biomechanics / L. Taber. New Jersey-London-Singapore: World Scientific, 2004.

66. Tong P., Fung Y.C. The stress-strain relationship for the skin // J. Biomechanics. Vol. 9, 1976. - 649-657.

67. Veronda D.R., Westmann R.A. Mechanical characterization of skin finite deformations // J. Biomechanics. - Vol. 3,1970. - 111-124.

68. Wan Abas W.A.B., Barbenel J.C. The response of human skin to small tensile loads in vitro // J. of Engineering in Medicine. Vol. 11, No 1, 1982.-43-46.

69. Zhang M., Roberts V.C. The effect of shear forces externally applied to skin surface on underlying tissues // J. Biomed. Eng. Vol. 15, 1993. -451-456.

70. Zhang M., Turner-Smith A.R., Roberts V.C. The reaction of skin and soft tissue to shear forces applied externally to the skin surface // J. Engineering in Medicine. Vol. 208, 1994. - 217-222.