Математическая модель тонкопленочного оптического волновода и восстановление профиля показателя преломления по спектральным данным тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

РГо ^

На правах рукописи

КХАНА МОХАММЕД РЕЗАНУР РАХМАН

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ТОНКОПЛЕНОЧНОГО ОПТИЧЕСКОГО ВОЛНОВОДА И ВОССТАНОВЛЕНИЕ ПРОФИЛЯ ПОКАЗАТЕЛЯ ПРЕЛОМЛЕНИЯ ПО СПЕКТРАЛЬНЫМ ДАННЫМ

<01.04.02 - ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА )

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва — 1995

Работа выполнена на кафедре теоретической физики Российского университета дружбы народов

Научные руководители:

кандидат физико-математических наук, доцент

Севастьянов Л. А. кандидат физико-математических наук, доцент Марчук &.Н.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор

Шевченко В.В. кандидат физико-математических наук, доцент Сорокин В.А.

Ведущая организация:

Лаборатория Вычислительной Техники и Автоматизации Объединенного Института Ядерных Исследований, г. Дубна.

Защита диссертации состоится "¿-2.» ^¡УС(шр&. 1995 г. в час.-"-^~ шн. на заседании диссертационого совета К 053.22.01 в Российском университете дружбы нашдов по адресу: 117198, г. Москва, ул. Орджоникидзе, 3, ауд.^л°

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Российского университета дружбы народов по адрессу: 117198 г. Москва, ул. Орджоникидзе, 3.

Автореферат разослан "-ч-"-------{--1995 г.

Ученый секретарь

диссертационого совета

кандидат физико-математических наук,

доцент В.И.Санж

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы диссертации. Исследования интегрально-оптических волноводных элементов и устройств интенсивно проводятся на протяжении нескольких десятилетий. Все существущие интегрально оптические устройства основываются на явлении волноводного распространения оптического излучения по тонким диэлектрическим слоям с показателем преломления несколько большим, чем у обрамляющих сред. Главной особенностью теории градиентных волноводов является исследование и решение дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами, определяемыми функцией поперечного распределения (ФПР) диэлектрической проницаемости или показателя преломления среда в приповерхностном (волноводаом) слое. Надо отметить, что метод решения таких задач существенно зависит от вида функции. Сами залечи аналогичны задачам квантовой механики, где решавтся уравнения Шредингерэ, например в задачах о прохождении (и рассеянии при прохождении) частиц через потенциальную яму.

Для успешного решения задач о заданном характере распространения волны в градиентных волноводах решающее значение имеет восстановление реального вида функции распределения показателя преломления среда в приповерхностном (волноводаом) слое. Как правило, вид этой функции заранее неизвестен. Поэтому разрабатываются различные метода определения функции поперечного разпределения (профиля) показателя преломления тонкопленочного оптического волновода (TOB) по спектральным данным. Причем, для практических целей удобно восстанавливать профиль, обеспечивающий эквидистантный спектр мод.

Все предложенные к настоящему времени математические модели TOB о связи ФПР показателя преломления на отрезке толщины волноводного слоя с дискретным (конечным) спектром волноводаых мод в силу неполного соответсвия описываемому обьекту не позволяли вычислять поперечный профиль показателя преломления волноводного слоя с наперед заданной точностью. В данной работе

в рамках вычислительного эксперимента предложен процесс уточнения математической модели TOB, позволяющей решить обратнр) задачу синтеза градиентного TOB с машинной (наперед заданной) точностью.

Цель работы. Установление математической модели взаимосвязи функции поперечного распределения показателя преломления (ФПРПП) пленарного тонкопленочного открытого волновода (TOB) и спектральных данных рассеяния. Формулировка устойчивого (регуляризованого) метода решения (обратной) задачи синтеза ФПРЛП пленарного TOB по неполному набору спектральных данных (дискретному спектру). Реализация соответсвущего алгоритма решения указанной задачи синтеза с помощью компьютера. Восстановление параметров диффизионого волновода по заданному эквидистантному спекту мод.

Научная новизна. Установлены математические модели взаимосвязи потенциала и спектральных данных модового уравнения планерного TOB - задача Штурма-Лиувилля и задача рассеяния на оси. Установлена разрешимость задачи синтеза потенциала по спектральным данным рассеяния методом декомпозицта: с пошаговым решением прямой задачи рассеяния в линеаризованной модели. Реализована редукция задачи Штурма-Лиувилля на оси к задаче Штурма-Лиувилля на отрезке с сохранением отрицательного спектра и соответсвувдей части спктральной матрицы-функции.

Практическая ценность. Задача восстановления поперечного распределения показателя преломления регулярного диффузионного тонкопленочного оптического волновода по эквидистантному дискретному спектру мод решалась для нуад оптоэлектроники. Математическая модель, исследованная в диссертации, может быть применена для проектирования регулярных градиентных тонкопленочных открытых волноводов не только в оптическом диапазоне, для которого она разрабатываясь, но и в других частотных диапазонах.

Апробация работы. Материалы диссертации докладывались на: XXIX-XXXI научных конференциях факультета физико-математических и естественных наук РУДН (Москва, 1993-1995 г.), на научных

семинарах кафедры теоретической физики РУДН (1992-1995 г.)» IV,V Международных научно-технических конференциях. "Лазеры в науке, технике, медицине". (Суздаль, 1994-1995 г.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 8 работах.

Структура и обьем работа. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка цитированной литературы и приложения. Общий обьем работы составляет "155" стр., в том числе машинописного текста, рисуков, —- таблиц и

списка цитируемой литературы из -'Л-- наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дана постановка задачи, обсуждается современное состояние изучаемой проблемы, прослеживается путь и метода решения сформулированной задачи, дается краткое содержание материала диссертационной работы, приводятся основные результаты, выносимые на защиту.

В первой главе, являющейся в основном обзорной, описываются установившиеся колебания электромагнитного поля в закрытых и открытых волноводах. Обсуждаются достоинства и недостатки перехода от уравнений Максвелла к системе волновых уравнений для пары потенциалов: продольных и поперечных компонент электромагнитного поля. Рассматриваются модовые уравнения и модовые решения для волноводов простейшей структуры в качестве примера и образца для класификации мод волноводных устройств более сложной конструкции, не допускающих: точных аналитических решений. Исследуйся модовые уравнения и гладкость их решений в случае пленарных тонкопленочных (градиентных) открытых волноводов, приводится эквивалентная формулировка в терминах одномерной задачи Штурма-Лиувилля и одномерной задачи рассеяния на оси. Проводится редукция задачи на оси к задаче на отрезке -толщине волноводного слоя, - с сохранениям "отрицательного" дисскретного спектра - связанных состояний, волноводных мод.

Во второй главе, также во многом обзорной, приводится обзор одномерных задач Штурма-Лиувилля и задач рассеяния - на

отрезке, на полуоси, на всей оси. Формулируется утверждение об однозначном соответсвии между функцией потенциала рассмотренного уравнения Шредингера и спектральной функций уравнения с одной стороны, а также с данными рассеяния с другой стороны. Тем самым показано, в частности, взаимно однозначное соответсвие между функцией поперечного распределения пленарного тонкопленочного , открытого (оптического) волновода и спектральными данными мод волновода. Исследуется линейный предел рассмотренного нелинейного спектрального преобразования и показывается взаимноодяазначное соответсвие инфинитезималъной вариации потенциала и инфинитезимальных вариаций спектральных данных рассеяния.

В третьей главе аккуратно формулируется некорректная задача восстановления потенциала рассеяния на оси по неполному набору спектральных данных рассеяния, а также ее линеризованное следовав - восстановление инфинитезималъной вариации потенциала по шйаштезимальнш вариациям дискретного спектра задачи рассеяния. После обсуждения регулиризованных методов решения линейно* и нелинейной некорректных задач предлагается два способа гешения поставленной задачи.

Первый, деухэтапвый способ восстановления функции поперечного распределения показателя преломления диффизионного пленарного тонкопленочного оптического волновода включает в себя а) отыскание толщины волноводного слоя методом вариации параметров функционала и б) уточнение ФПРНП тихоновской регуляризацией системы линейных интегральных уравнений первого рода. В заключении способа производится проверка численных результатов решением прямой задачи на отрезке и обсуждаются его свойства - простота реализации и отсутствие гарантий положительного результата.

Второй, итерационный способ требует более подробного изложения и проверки условий сходимости итераций. Вначале излагается абстракный метод декомпозиции минимизации вариационного функционала и указываются условия его сходимости. Затем исследуется его приложение к спектральной задаче и

проверяются условия сходимости. Обсуждается варианты условной минимизации компонент вариационного функционала, и приводится дискретный алгоритм табличного восстановления потенциала рассеяния на отрезке по дискретному спектру данных рассеяния. Далее обсуздются результаты численной реализации алгоритма в приложении к диффузионному тонкопленочному оптическому волноводу с эквидистантным спектром.

В заключении обсуждаются границы применимости рассмотренных математических моделей и методов решения сформулированных задач, возможные области применения полученных результатов, а также предположения о возможных обобщениях результатов и соответствующем расширении области их применения.

В приложении приведены пакеты программ, реализованные на языке фортран-77.

Основные результаты диссертации

1. Установлена теоретическая модель задачи синтеза функции поперечного распределения ФПР показателя преломления (ПП) волноводного слоя пленарного тошопленочного оптического волновода (TOB) на отрезке (толщине волноводного слоя) по конечному дискретному спектру волноводннх мод.

2. Установлены математические модели взаимосвязи ФПРПП планарного TOB и спектральных дашшх модового уравнения -задача Штурма-Лиувилля и задача рассеяния на оси.

3. В рамках вычислительного эксперимента установлена разрешимость задачи синтеза потенциала по спктральным данным рассеяния методом декомпозиции с пошаговым решением линеаризованной модели.

4. Установлена линейная математическая модель взаимосвязи инфинитезимальных вариаций потенциала с инфинитезимальными вариациями данных рассеяния.

5. Некорректная задача восстановления сигнала (потенциала) по неполному набору данных об отклике (по дискретному конечному спектру) решена методом тихоновской регуляризации по априорной информации о решении ( по известной ФПРПП планарного TOB вне волноводного слоя).

6. Проделана редукция задачи Штурма-Лиувилля на оси к задаче Штурма-Лиу вялля на отрезке с сохранением отрицательного дискретного спектра и соответствующей части спектральной матрицы-функции.

7. Реализован метод декомпозиции в виде регуляризованного алгоритма решения вариационной задачи восстановления потенциала на отрезке по заданному отрицательному дискретному спектру.

8. Реализован альтернативный двух этапный алгоритм (в рамках концепции вычислительного эксперимента) восстановления потенциала на отрезке по заданному отрицательному дискретному спектру мод.

9. Восстановлены параметры диффузионного волновода по заданному эквидистантному спектру мод.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Севастьянов Л.А.. Резанур Рахман K.M. Математическая модель регулярного градиентного интегрально-оптического волновода. //Теней докладов XXIX научной конф. ф-та физико-мат. и ест. наук. -М.: Изд. РУДН. 1993. -часть 2,- с.11.

2. Севастьянов Л.А., Резанур Рахман K.M. Уточнение потенциала вариационным методом по дискретным данным рассеяния. //Тезсы докладов XXX научной конф. ф-та физико-мат. и ест. наук. -М.: Изд. РУДН, 1994. -часть 2, -с.4.

3. Севастьянов Л.А., Резанур Рахман K.M. Восстановление поперечного профиля показателя преломления регулярного TOB по дискретному спектру мод. //V межнародная научно-техническая конф. "Лазеры в науке, технике, медицине".(г. Суздаль) -М.: Изд. КРЭ РАН, 1994. - с.41-42.

4. Севастьянов Л.А., Резанур Рахман K.M. Одна математическая модель регулярного тонкопленочного открытого волновода. //V межнародная научно-техническая конф. "Лазеры в науке, технике, медицине", г. Суздаль.-М.: Изд. ИРЭ РАН, 1994. - с.42-43.

5. Севастьянов Л.А., Резанур Рахман K.M. Решение задачи Штурма-Лиувилля - математическая модель регулярного оптического

волновода. Деп. ВИНИТИ №.2182-в94, М., 1994.

6. Резанур Рахман. Дискретная модель восстановления вариации потенциала по вариации дискретной части спектра. //Тезсн докладов XXXI научной конф. ф-та физико-мат. и ест. наук. -М.: ИЗД. УРДН, 1995. -часть 1, - с.25-26.

7. К.М.Резанур Рахман , А.Н.Марчук, Л.А.Севастьянов. Модель расчета параметров диффузионого волновода по заданному эквидистантному дискретному спектру мод. //Тезсы докладов XXXI научной конф. ф-та физико-мат. и ест. наук. -М.: Изд. РУДН, 1995 -часть 1, -с.25-26.

8. А.Н.Марчук, К.М.Резанур Рахман, Л.А.Севастьянов. Рвгуляризованный метод восстановления поперечного профиля показателя преломления регулярного тонкопленочного открытого волновода по дискретному спектру мод. //VI международная научно-техническая конф. "Лазеры в науке, технике, медицине", г. Суздаль.-М.: Изд. ИРЭ РАН, 1995. -с. 41-43.

Кхана Мохамиед Резанур Рахыан (Бангладеш) Математическая модель тонкопленочного оптического волновода и восстановление профиля показателя преломления по спектральным данным

В работе изучена математическая модель взаимосвязи функции поперечного распределения показателя преломления диффузионного пленарного тонкопленочного оптического волновода и дискретного спектра волноводных мод - нелинейное спектральное преобразование потенциала уравнения Шредингера на оси в спектральные данные задачи рассеяния. В рамках указанной модели рассмотрена и решена некорректная задача синтеза потенциала рассеяния по неполному набору спектральных данных, (по дискретному спектру) методом тихоновской регуляризации с использованием априорной информации о потенциале вне изучаемого отрезка (о поперечном распределении показателя преломления вне толщины волноводяого слоя).

Khna Mohammed Rezanur Rahman (Bangladesh)

A mathematical model for thin-filmed optical wave guide and reconstruction or refractive Index profile according to the spectral data.

In this dissertation, a mathematical model for the interrelation of function of the transverse distribution of refractive Index of the diffused planar thin-filmed optical wave guide and of the discrete spectrum of the guided wave modes are studied - nonlinear spectral transformation of the potential of Shredinger's equation at the axis In spectral data of the scattering problem. In the context of the above mentioned model, ill-posed problem of synthesis of the scattering potential according to the incomplete set of the spectral data (according to the discrete spectrum) has been considered and solved. For this purpose, TrhlKhonov's regul: riaation method according to aprlori (into clan) about the potential outside the interval to be studied (about the transverse distribution of refractive index outside the width of the guided wave layer) is used.