Математические методы гамильтоновой механики в решении задачи высокоэффективного медленного вывода пучка заряженных частиц из синхротрона тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.20 ВАК РФ

л

г

НЕР

Ф В

Э

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НАУЧНЫЙ ЦЕНТР

ИНСТИТУТ ФИЗИКИ ВЫСОКИХ ЭНЕРГИЙ

95-42 На правах рукописи

Волин Сергей Петрович

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ГАМИЛЬТОНОВОЙ МЕХАНИКИ В РЕШЕНИИ ЗАДАЧИ ВЫСОКОЭФФЕКТИВНОГО МЕДЛЕННОГО ВЫВОДА ПУЧКА ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ ИЗ СИНХРОТРОНА

01.04,20 - физика пучков заряженных частиц и ускорительная техника

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Протвино 1995

м-

Работа выполнена в Институте ядерных исследований РАН (г. Моек

Научный руководитель - кандидат физико-математических н< Ю. В. Сеничев.

Официальные оппоненты: кандидат физико-математических нг В. П. Белов, доктор физико-математических наук П. Н. Остроумов.

Ведущая организация - Московский Радиотехнический институт Р^

Защита диссертации состоится "_"_!_;_ 1995 г

_часов на заседании специализированного совета Д034.02.01 в

Институте физики высоких энергий (142284, Протвино Московской об;

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке НФВЭ.

Автореферат разослан "_" _ 1995 г.

Ученый секретарь

специализированного совета Д034.02.01 Ю.Г.РяС

(с) Институт физики высоких энергий, И

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы

Медленный вывод пучка заряженных частиц из кольцевых ускорителей :тал неотъемлемой частью практически всех крупных современных уско-зительных комплексов. Он дает возможность менять пространственно— ¡ременную структуру выводимого пучка в довольно широких пределах, 1ем и привлек внимание физиков-экспериментаторов и медиков, которые >идят в нем прекрасное средство для формирования различных условий фоведения физических и медицинских экспериментов с ускоренными ча-:тицамп пучка. Медленный вывод дает возможность варьировать время (ывода от нескольких сот миллисекунд до нескольких часов, длину банки — от очень коротких банчей до практически непрерывного пучка, юлучать почти моноэнергетические пучки и пучки с большим разбросом го продольному импульсу.

Существует несколько способов организации медленного вывода пучка :з синхротрона. Наибольшую популярность приобрел вывод с использова-ием механизма резонансной раскачки амплитуды бетатронных колебаний аряженной частицы. Суть этого метода заключается в том, что в одной з поперечных фазовых плоскостей ускорителя (как правило, горизонталь-ой) создается сильный нелинейный резонанс. Частицы циркулирующего учка первоначально занимают устойчивую область движения фазового ространства. Затем каким-либо способом создают условия, когда части-ы пересекают сепаратрису нелинейного резонанса и попадают в неустой-явую область движения. Амплитуда колебаний этих частиц со временем зеличивается до некоторого значения, определяемого положением септум-агнита, который и отделяет попавшие в область его апертуры частицы

от циркулирующего пучка. Этот метод с успехом применяется на многи современных синхротронах.

В последнее время широко обсуждается возможность создания ускорх тельных комплексов для получения высокоинтенсивных пучков протоне для нужд каонных фабрик. К таким комплексам очень жестко примет ется требование радиационной безопасности, с которым приходится сч! таться особенно при проектировании системы медленного вывода. Есл в современных ускорителях при медленном выводе пучка допускаютс потери частиц до 10%, то в ускорительных комплексах для каонных фг брпк уровень потерь должен быть ниже 0.1%. Такое жесткое требовали заставило искать новые возможности понижения потерь при медленно] выводе пучка.

К числу наиболее важных задач, с которыми приходится сталкиватьс при проектировании системы медленного вывода, можно отнести след) ющие:

- создание устойчивой области движения частиц нужной конфигура ции;

- подавление нелинейных возмущений высоких порядков;

- построение магнитооптической структуры циклического ускорителя оптимальной с точки зрения уменьшения эмиттанса выводимого пучка ] увеличения фактора банчировки пучка.

При анализе доступных средств для решения перечисленных зада обнаружилось отсутствие полноценного программного математическог обеспечения (ПМО), адекватного этим задачам. На практике задачи либ сводились к более простым, либо решались с помощью неспецифическю имеющих общеприкладное назначение расчетных программ. Такой под ход приводил к частичной потере свободы в выборе значений проектные параметров, а следовательно, полученные системы медленного вывода : определенном смысле не являлись оптимальными.

Цель диссертационной работы:

• построение математического аппарата с применением современны: методов гамильтоновой механики для решения задач, возникающи: при проектировании системы резонансного медленного вывода про тонов из сильноточного синхротрона;

• создание на основе построенного математического аппарата про

' граммного математического обеспечения для построения магнито

оптической структуры синхротрона, позволяющей вывести пучо] протонов с низкими потерями, и анализа этой структуры;

• собственно построение магнитооптической структуры высокоинтенсивного синхротрона для организации медленного вывода пучка протонов на 1/3-резонансе с потерями частиц не выше Ю-3.-------------------

Научная новизна работы

Впервые с помощью метода преобразований Ли решена задача пода-:ния нелинейных возмущений, вносимых еекступольными компонента-магнитооптических элементов, вплоть до четвертого порядка. Задача палась численно с помощью разработанного для этой цели ПМО. Впервые получено точное аналитическое решение уравнений движения >яженной частицы вблизи 1/3-резонанса.

Получил свое развитие метод настройки конфигурации области устой-юго движения заряженных частиц пучка с соблюдением предписы-мых ей размеров, ориентации и требуемой величины шага заброса юдимого пучка.

Впервые предложены теоретические рекомендации к построению наи-ее эффективной, с точки зрения минимизации потерь ускоряемых ча-ц, магнитной оптики участка вывода пучка и* размещению на нем гум-магнитов.

Впервые предложен метод выбора значений бетатронных и дисперсных функций на участке вывода пучка для подавления локальных хро-ических эффектов, что обеспечило снижение уровня потерь при выводе ка.

предложена и исследована магнитооптическая структура растяжителя вывода пучка протонов с энергией 45 ГэВ и током 125 мкА. При этом ие потери на септумах не превышают Ю-3.

практическая ценность работы. Полученные в диссертации ре-.таты могут быть использованы при построении систем медленного ода пучка заряженных частиц из циклического ускорителя с низкими ;рями и высокими требованиями к качеству пучка.

Апробация работы. Результаты диссертации опубликованы в рабо-

[1-11], докладывались и обсуждались на семинарах отделов каонной шки и ускорительного-комплекса ИЯЙ РАН, на семинаре механико-;матического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова, на XII и XIII эюзных совещаниях по ускорителям заряженных частиц, на Между->дной конференции по ускорителям (Сан-Франциско, США, 1991 г.), абочем совещании, проводившемся в рамках Международной конфе--[ии "Поля и частицы" (Ванкувер, Канада, 1991 г.).

Теоретические и численные результаты, полученные в диссертацио: ной работе, внесены в проект Московской каонной фабрики и техничесю проект каонной фабрики ТЛГОМГ (г.Ванкувер, Канада).

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введ ния, четырех глав, трех приложений и заключения. Работа изложена I 148 страницах, включая 25 рисунков и список литературы, содержали 99 работ.

На защиту выносятся:

1. Использование гамп ль тонового формализма для описания динам; ки заряженных частиц в циклическом ускорителе с учетом нелинейнь резонансов.

2. Качественный анализ влияния нелинейных возмущений, вносимь секступолями, на динамику заряженных частиц вблизи 1/3-резонанса.

3. Решение задачи коррекции нелинейных возмущений, вносимых сек туполями.

4. Решение задачи настройки области устойчивого движения заряжен ных частиц, формируемой с помощью 1/3-резонанса.

5. Метод построения оптики участка вывода.

6. Решение задачи коррекции локальных хроматических эффектов.

7. Программное математическое обеспечение для построения магнит* оптической структуры кольца-растяжителя.

8. Магнитооптическая структура кольца-растяжителя для проект МКФ с потерями менее 0.1%.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дается краткий обзор современного состояния дел области методов построения систем резонансного медленного вывода пу> ков заряженных частиц из синхротронов, определяются цели и задач исследования, проводившегося в ходе диссертационной работы.

В первой главе формулируются основные общие задачи динамик частицы, возникающие при проектировании системы медленного вывод пучка заряженных частиц из синхротрона. Глава основала на публик; циях [4,5,10] и состоит из трех параграфов.

Особенностью данной работы является последовательное использов; ние гампльтонова подхода для описания динамики заряженной частицы ускорителе. Поэтому первый параграф посвящен изложению гамильтон<

формализма, позволяющего получать уравнения движения заряженной ггтщы в ускорителе, исходя из более общих законов — уравнений Лоща и уравнений Максвелла для электромагнитного поля. Показано,^ э этот вопрос не получил достаточно полного освещения несмотря на что ему посвящены многие работы. В параграфе определены поня-г оптической осп ускорителя и расчетной частицы, представлен вывод шых уравнений невозмущенного п возмущенного движений частицы шектромагнитном поле, задаваемом векторным п скалярным потен-шами самого общего вида. Уравнения движения выписаны в системе »рдпнат сопровождающего трехгранника. В конце параграфа дано обе выражение для разложения продольной компоненты векторного по-щпала электромагнитного поля в ускорителе с медианной плоскостью шетрии.

Во втором параграфе изучается нелинейная гамильтонова система, гсывающая поперечную динамику частиц в циклических ускорителях екступольными и октупольными линзами. Предполагается, что силы ступолей и октуполей являются малыми величинами. Тогда исходную тему можно рассматривать как наложение малого нелинейного перп-[чески зависящего от "времени" гамильтонова возмущения на невоз-денную линейную гамильтонову систему с двумя степенями свободы, :же периодически зависящую от "времени" (в качестве "времени" ис-•ьзуется длина 5 вдоль оптической оси). Одним из методов изучения та-■. нелинейных систем является метод Пуанкаре - фон Цейпеля. В общем чае изучение нелинейной гамильтоновой системы достаточно сложная ■блема. Однако существуют два крайних случая, когда такая система :;ет быть исследована более менее полно аналитически. В первом случае тема находится достаточно далеко от сильных резонансов, а во вто: — близко к одному из них. Резонансный медленный вывод как раз и гветствует второму случаю. Вместо канонически сопряженных импуль-рх, ру и координат х, у вводятся переменные действие-угол и исходный пльтониан приводится к виду Т1(1, ф, Ь, $) = #о(1)+£,- ЫНц(1,ф, в), где - малые параметры. Это стандартный вид гамильтониана, к которому эсредственно применяется резонансная каноническая теория возмуще-(РКТВ). В конце параграфа получен гамильтониан во втором порядке ГВ.

3 третьем параграфе отмечается, что большим недостатком метода нкаре-фон Цейпеля является то, что производящая функция, зада-ая канонические преобразования, выражается как через старые, так ерез новые переменные, что влечет за собой проблему выражения

одних через другие. Сложность этой задачи довольно быстро растет ростом порядка возмущений, что, собственно, и явилось причиной ото ствия работ в области динамики заряженных частиц, в которых раса, тривались бы возмущения выше второго порядка. По этой же прич! трудно анализировать систему даже тогда, когда известны характер стики каждой из ее подсистем. Все эти трудности не присущи "нов! методам", использующим теоретико-групповые свойства систем гамш тоновой механики. Недавнее применение методов нестандартного анал! к вопросам вычислительной математики, приведшее М.Берца к создан] Пакета дифференциальной алгебры, предоставило возможность точнс дифференцирования любых функций на ЭВМ, и "новые методы" явиле идеальным объектом для их приложения. Такое удачное слияние метол нестандартного анализа и теории групп и алгебр Ли позволило физик изучать эффекты более высоких порядков возмущений практически с т же легкостью, как это делается в линейной оптике. В третьем параг{ фе кратко излагается суть теоретико-группового анализа гамильтонов] систем, описывающих движение заряженной частицы в циклическом ус! рителе.

Во второй главе изучается влияние на динамику заряженной части] вблизи 1/3-резонанса нелинейных возмущений второго и более высок порядков. В первом параграфе получено выражение для гамильтоним описывающего движение заряженной частицы вблизи резонанса 1/3 с у том членов второго порядка малости, которые кроме членов, зависящ только от переменных действия и определяющих сдвиги частот, содерж резонансный член, определяющий резонанс 2/6. В конце раздела метох ми качественной теории дифференциальных уравнений изучено поведен гамильтоновой системы, соответствующей полученному гамильтониан при различных значениях параметров.

Во втором параграфе обсуждаются различные способы подавления I линейных возмущений высших порядков. Приведены примеры численно исследования этой проблемы, опирающиеся на результаты, полученн: методом Пуанкаре - фон Цейпеля и методами теории алгебр Ли.

В третьей главе излагается метод решения задачи резонансного в вода пучка, позволяющий построить схему вывода, отвечающую предп санным ей заранее свойствам [8]. Получено точное аналитическое решен уравнений движения, описывающих движение заряженной частицы вбл зи резонанса 1/3. При движении частиц вдоль неустойчивой траектор]

>асстояние между двумя близкими растет с удалением от области устой-швого движения. В работе представлен способ определения коэффициента >астяжения расстояния между двумя близкими частицами, движущимп-я вдоль одной траектории. Это позволило более корректно подойти к ;ычислению коэффициента потерь на септумах при выводе пучка.

На основе точного аналитического решения уравнений движения заряженной частицы вблизи 1/3-резонанса рассмотрены задачи, связанные с становкой основных динамических и расчетных параметров резонансно-о механизма вывода пучка. Разработаны принципы построения оптики прямого участка вывода пучка и размещения на нем септум-магнитов, оторые обеспечивают достаточно низкий уровень потерь частиц. Приедены также аналитические оценки для потерь частиц на септумах в роцессе их вывода из ускорителя.

Математическое содержание метода получило свое воплощение в виде рограммного обеспечения, удобного в обращении, поскольку разработано виде расширения известной программы MAD. С помощью этого ПО азработана схема медленного вывода из кольца-растяжителя Московской аонной фабрики ИЯИ РАН с потерями, меньшими 0.1%, что является учпшм среди существующих проектов подобного сорта.

Четвертая глава состоит из трех параграфов. В первом парагра-е описывается магнитооптическая структура кольца-растяжителя проста ускорительного комплекса Московской каонной фабрики [1-3,6,11]. астяжитель накапливает пучок протонов (9.375 • 1013 частиц) с энергией 5 ГэВ, поступающих из основного синхротрона, и обеспечивает прак-ически непрерывный вывод пучка, который осуществляется за 120 мс течение 35 ООО оборотов. Система вывода пучка обеспечивает уровень этерь частиц менее 0.1%.

Сформулированные здесь требования, предъявленные к пучку и коль-у, нашли свое отражение и на общей структуре растяжителя. Для обес-эченпя низкого уровня потерь частиц в процессе вывода пучка была редложена система вывода, состоящая из четырех септумов [1,2,11] и азмещенная на одном из двух прямолинейных участков. Таким обра->м была выбрана структура кольца-растяжителя типа рэйстрек с двумя эямыми участками длиной около 200 м каждый, соединенными двумя Ушаковыми дугами (см. рис.1). Такая структура кольца дает суперпе-юдичность растяжителя равную 2.

Растяжитель может работать как в хроматической так и в ахромати-;ской моде. С помощью двух семейств секступолей, расположённых на

• МРЭХ, МРБ2 — нагшстоые прсдсептуиы;

• ЕЗ — аоехтрвчеаат ссптуи;

• Мй — магнитный септух;

« ВХ, В2, ВЗ, В4 — бамп-иагшггы;

• <}ВД? — доводящие гвадрупоюц

• БРХ-ЗОб — формирующие ссжсгуполи;

• ОР2, ОШ — «ирректярующие охтупоая.

Рис. 1. Магнитооптическая структура кольца-растяжителя.

тах кольца в местах с отличной от нуля дисперсиеи, горизонтальная вертикальная хроматичности корректируются либо до определенного нулевого значения (хроматическая мода), либо до нуля (ахроматине-;ая мода). Использование того пли иного режима работы растяжителя ределяется требованиями к выведенному пучку при проведении с ним 1зическпх экспериментов.

В основе процесса медленного вывода пучка лежит механизм резонанс-й раскачки горизонтальной амплитуды нелинейных колебаний частиц кольце. С этой целью в кольце устанавливаются дополнительные сек-уполи, которые возбуждают нелинейный 1/3-резонанс (3(2х — р, где — целое число), и настройкой горизонтальной бетатронной частоты . на ■значение, близкое к резонансному, формируется требуемая конфи-рация области устойчивого движения частиц пучка. С помощью пары ли двух пар) дополнительных квадруполей значение частоты С}х мож-варьировать, приближая ее к точному резонансу. При этом область тойчивого движения, ограниченная прямыми сепаратрисами, сжимается порожденной седловой точке, а частицы, ранее совершавшие устойчивые линейные колебания, оказываются в области неустойчивого движения, зершая свое движение вдоль прямых ветвей сепаратрис. При достиже-и этими частицами заданной амплитуды они отделяются септумом от гальных и выводятся по отводному каналу в зал экспериментов. Одна-при наведении на резонанс сепаратрисы замазывают некоторую часть зового пространства. Это замазывание является одним из источников герь частиц. Вместо смещения сепаратрисы з процессе медленного вы-да к оптической оси вводят смещение замкнутой равновесной орбиты гаправлении вершины стабильного треугольника, ближайшей к септу. Тем самым уменьшается и эмиттанс выводимого пучка, что также гяется немаловажным. Смещение ЗРО достигается с помощью четырех ип-магнитов — два в начале участка вывода и два в конце его. Присутствие секступолей приводит к нелинейным аберрациям, огранивающим динамическую аппертуру кольца, а также искажающим пря-[е сепаратрисы, что ведет к значительному росту потерь частиц. Для гранения этих аберраций в растяжителе установлены октуполи. В первом параграфе описывается система вывода пучка заряженных гтиц. Обосновывается выбор числа, типов и последовательности раз-цения септумов на прямом участке растяжителя, а также построение гнитной оптики этого участка, позволяющей с максимальной эффектив-:тью использовать возможности септумов. На прямом участке вывода зка располагаются последовательно два магнитных предсептума, элек-

тростатический септум, и магнитный септум типа Ламбертсона. Оптик участка вывода строилась в соответствии с принципами, обеспечивак хцими наиболее эффективный вывод пучка протонов с точки зрения mi нимизации потерь частиц. Эти принципы сформулированы в работе [8]

Предложенная в работе оптика участка вывода обеспечивает раздел! ние пучков на входе в магнитный септум шириной в 30 мм, а шаг заброс пучка на первом предсептуме составлял 10 мм. На рис.2 показано действ! каждого септума на "рабочую" ветвь сепаратрисы.

Влияние погрешностей полей и установок магнитооптических элеме! тов на потери частиц изучалось с помощью численного моделирования использованием программы MAD. Результаты этих исследований излож( ны во втором параграфе. Показано, что при относительной погрешност поля AB/В < 0.001 в дипольных магнитах и при абсолютных линейны погрешностях установок магнитов Ах, Ау < 125 мкм система медленно: вывода со схемой коррекции работает удовлетворительно.

В третьем параграфе описывается программное обеспечение, а так» представлены результаты численного моделирования динамики пучка процессе медленного вывода. Для решения задач медленного вывода пучв был разработан пакет программ, позволяющий пользователю:

• находить неподвижные точки и максимальный эмиттанс пучка з; ряженных частиц, совершающих устойчивые колебания вблизи н< линейных резонансов, возбуждаемых секступолями в первом поряда резонансной теории возмущений;

• находить силы секступолей, обеспечивающих требуемое положен! и размер стабильного треугольника вблизи 1/3-резонанса;

• находить силы октуполей для коррекции сдвигов частот, вносимы секступолями во втором порядке теории возмущений;

• находить величину магнитного поля в бамп-магнитах, служащв для смещения оптической оси ускорителя в процессе медленши вывода пучка;

• рассчитывать траектории движения частиц в реальных полях маа нитного предсептума, электросептума и магнитного септума;

• моделировать динамику пучка заряженных частиц в процессе ме; ленного вывода из растяжителя.

Этот пакет работает в составе программы MAD — одной из наибол< популярных среди физиков-ускорителыцнков программ. При надисанв программного пакета были полностью соблюдены принципы построен!

3-I- г а- 5" §■„

и а. -V и с, -1-2-

X, ии X хк

а) после МРБ1 б) после МРБ2

—' -рч^'

и

I, им в) после ЕЭ

и

а.

Л ^

х, ш

г) после МБ

Рис. 2. Положение сепаратрисы после септумов.

программы МАИ, что позволило со всеми перечисленными выше зал чами обращаться с помощью новых команд Языка стандартных кома; так же, как это делалось со старыми в оригинальной версии МАО.

Численное моделирование процесса вывода пучка из растяжителя г казало, что уровень потерь в системе вывода пучка не превышает 0.1 от общего числа частиц.

Научные результаты работы

1. В работе предложена единая, основанная на методах гамильтонов механики, концепция для описания динамики заряженной частицы в и клическом ускорителе вблизи нелинейных резонансов. Использование а парата производящих функций позволило строго и корректно определят с помощью каких переменных следует описывать движение заряжены частиц в ускорителе при переходе от одной системы криволинейных кос динат к другой. Для каждой криволинейной системы координат, испол зуемой обычно в теории ускорителей, выведены гамильтоновы уравнен движения заряженной частицы и уравнения Максвелла для электромг нитного поля.

2. На основе метода Пуанкаре - фон Цейпеля и методов преобразован] Ли решена задача подавления нелинейных возмущений высших порядке вносимых секступольными компонентами магнитооптических элементе Задача решалась численно с помощью разработанного для этой це, ПМО, основанного на результатах применения методов канонической 1 ории возмущений.

3. Получено точное аналитическое решение уравнений движения зар женной частицы вблизи 1/3-резонанса.

4. В работе представлены результаты качественного анализа пове; ния заряженной частицы в циклическом ускорителе вблизи 1/3-резонав во втором порядке теории возмущений с учетом вторичного резонан< Результаты легли в основу ПМО, которое позволяет пользователю I ходить значения для коэффициентов, определяющих сдвиги частот, си вторичного резонанса, а также координаты особых точек в фазовом щ странстве.

5. Получил свое развитие метод настройки конфигурации облас устойчивого движения заряженных частиц пучка с соблюдением пре писываемых ей размеров и ориентации как для хроматической, так для ахроматической моды медленного вывода. Созданное на основе это метода ПМО позволяет находить значения сил секступолей, осуществх ющих настройку этой области.

6. Впервые предложены теоретические рекомендации к построению апболее _ эффективной с точкп зрения минимизации потерь ускоряемых астиц магнитной оптики участка вывода пучка и,размещению на нем гптум-магнитов. Эти рекомендации были применены к построению маг-птооптической структуры растяжителя с энергией пучка 45 ГэВ.

7. Впервые предложен метод выбора значений бетатронных и диспе-сионных функций на участке вывода пучка для подавления локальных роматпческпх эффектов, что обеспечило снижение уровня потерь при ыводе пучка.

8. Создало ПМО для построения магнитооптической структуры вы-экоинтенсшзного синхротрона, позволяющей вывести пучок протонов с изкими потерями, и анализа этой структуры. В основе ПМО лежат езультаты применения методов, развитых в данной диссертации. ПМО добно для пользования, поскольку работает в составе широко известной рограммы MAD.

9. Предложена и исследована магнитооптическая структура растяжи-еля для вывода пучка протонов с энергией 45 ГэВ и током 125 мкА. 'рн этом общпе потери на септумах не превышают 10_3.

Результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

[1] Физическое обоснование Каонной фабрики ИЯИ АН СССР. - Отчет ОКФ ИЯИ АН СССР. Москва, 1989.

2] Волин С.П. , Сеничев Ю.В., Чурсин А.Г. Медленный вывод пучка протонов из растяжителя Московской каонной фабрики. - В кн.: Труды XII Всесоюзного совещания по ускорителям заряженных частиц. - Москва, 1990.

3] Волин С.П. и др. Ускорительный комплекс Московской каонной фабрики. - В кн.: Труды XII Всесоюзного совещания по ускорителям заряженных частиц. - Москва, 1990.

4] Волин С.П. Гамяльтоново описание динамики заряженной частицы в ускорителе: Препринт П-0669 ИЯИ АН СССР. - Москва, 1990.

[5] Волин С.П. Резонансная каноническая теория возмущений дина, мики частиц в кольцевых ускорителях с секступольныма линзами Препринт П-0670 ИЯИ АН СССР. - Москва, 1990.

[6] Volin S. et al. The Acceieraior Complex of the Moscow Kaon Factory. -In: IEEE Particle Accelerator Conference. - San Francisco. 1991, p. 2823

[7] Volin S.P. How to Get a Separatrix Branch with Low Divergence at a 1/3-integer Resonant Beam Slow Extraction. - In: IEEE Particle Acceleratoi Conference. - San Francisco, 1991.'

[8] Волин С.П. Метод построения системы резонансного медленного вывода пучка заряженных частиц с потерями ниже 0.1% из высокоинтенсивных синхротронов : Препринт П-0776 ИЯИ РАН. - Москва, 1992.

[9] Волин С.П. Аналитическое изучение динамики заряженной частицы i синхротроне вблизи 1/3-резонанса. - В кн.: Труды XIII Всесоюзного совещания по ускорителям заряженных частил. - Москва, 1992.

(10] Volin S.P. Coping with High Order Perturbation Effects in the Particlt Dynamics near 1/3-Integer Resonance: Preprint INR RAS - 0863/92 (1994).

[11] Волин С.П., Сеничев Ю.В., Чурсин А.Г. Организация медленного вывода пучка из растяжителя Московской каонной фабрики: Препринт ИЯИ РАН 0864/92. - Москва, 1994.

Рукопись поступила 9 марта 1995 г.