Математические методы исследования и проектирования оптических покрытий тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

/* I л

/О 4 ? ц/

МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА,ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В.ЛОМОНОСОВА

ТИХОНОВ Андрей Николаевич

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ И ПРОЕКТИРОВАНИЯ ОПТИЧЕСКИХ ПОКРЫТИЙ

01.01.03-математическая физика

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

На правах рукописи

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук,

профессор

Тихонравов А.В.

Москва, 1999г.

СОДЕРЖАНИЕ

Введение

стр.

2-4

Глава 1. Методы второго порядка в задачах синтеза многослойных оптических покрытий

§ 1. Постановка задачи

§2. Малые в норме С вариации оценочного функционала §3. Вторые вариации оценочного функционала при игольчатом варьировании диэлектрической проницаемости §4. Вывод расчетных формул

§5. Обоснование необходимости аналитического подхода к вычислению матрицы Гессе оценочного функционала в задачах синтеза.

§6. Практическое решение задач синтеза многослойных покрытий

Глава 2. Методы исследования оптических свойств тонких пленок

§1. Постановка задачи. Обзор используемых методов. §2. Иерархия моделей для исследования параметров тонких слоев.

§3. Исследоваание влияния неоднородности показателя преломления слоя на его спектральные характеристики. §4. Решение модельных задач.

5-11 12-19

20-29 30-45

46-49 50-56

57-59 60-69

70-80 81-83

Глава 3. Исследование неоднородности тонких пленок, полученных путем электронно - лучевого испарения в вакууме

§ 1. Обработка экспериментальных данных, полученных на основе измерения напыленных пленок. 84-90

§2. Исследование изменения оптических параметров 91-96

пленок в процессе их роста.

Заключение Список литературы

97

98-106

ВВЕДЕНИЕ

Настоящая работа посвящена разработке новых математических моделей и эффективных методов для исследования и проектирования тонкослойных оптических покрытий.

Тонкослойные оптические покрытия находят самое широкое практическое применение в различных областях современной экспериментальной науки и технологии [1]. Например, разнообразные частотные фильтры, просветляющие покрытия, многослойные диэлектрические зеркала используются в практически любом лазере или оптоэлектронном приборе. Трудно указать экспериментальную установку или современный прибор с оптическим трактом, где бы не встречалось какого-либо элемента с тонкослойными оптическими покрытиями. В связи с этим проблема проектирования и создания тонкослойных покрытий весьма актуальна.

Высокий уровень развития технологии, достигнутый за последние годы, выдвигает повышенные требования к уровню проектирования оптических покрытий. В связи с этим необходимо тщательное исследование всего спектра проблем, связанных с проектированием и созданием тонкослойных оптических покрытий.

Прежде всего, необходимо совершенствование математического аппарата для решения задач синтеза (проектирования) оптических покрытий. Для успешного применения разработанных методов синтеза необходимо детальное знание оптических свойств тонких слоев пленкообразующих материалов. При исследовании этих свойств очень

важно правильно выбрать модель тонкого слоя [2], которая бы находилась в соответствии с реальными экспериментальными данными и априорной информацией о строении тонкого слоя. Проблема обоснованного выбора модели тонкого слоя стала особенно важной в последнее время в связи с расширением возможностей экспериментального исследования тонких пленок и повышения точности экспериментальных данных.

Настоящая работа состоит из трех глав. Первая глава посвящена разработке новых эффективных алгоритмов решения задач синтеза слоистых сред. Дается постановка задачи синтеза. Предлагается новый математический аппарат, позволяющий разработать аналитический подход к вычислению матрицы вторых производных оценочного функционала в случае вариационной постановки задачи синтеза. Данный подход позволил впервые применить методы оптимизации второго порядка к решению задач синтеза тонкослойных оптических покрытий.

Вторая глава посвящена вопросам разработки системы моделей для исследования оптических свойств однослойных покрытий (тонких пленок). Вводится иерархическая система моделей для определения оптических параметров однослойного покрытия с учетом таких основных факторов как дисперсия оптических параметров, наличие поглощения в тонком слое, возможная неоднородность слоя. Особое внимание уделяется теоретическому исследованию влияния неоднородности тонких пленок на их спектральные характеристики. Это исследование необходимо для разработки методики определения

параметров слоя с использованием иерархии моделей. Разработка данной методики проводится на основании решения модельных задач.

Третья глава работы посвящена исследованию конкретных тонких пленок, полученных путем электронно-лучевого испарения в вакууме. В этой главе особое внимание уделяется также детальному изучению неоднородности тонких пленок, ранее исследованному далеко недостаточно.

По материалам диссертации опубликовано шесть работ [77-82]. Основные результаты диссертационной работы докладывались на международных конференциях: (Глазго, июнь 1996 г.), "Обратные и некорректно поставленные задачи" (г. Москва, сентябрь 1996 г.), "Рассеяние электромагнитных и световых волн" (г. Москва, май 1997 г.), неоднократно обсуждались на научных семинарах кафедры математики физического факультета МГУ, научных семинарах НИВЦ МГУ.

ГЛАВА 1.

Методы второго порядка в задачах синтеза многослойных

оптических покрытий.

§ 1. Постановка задачи.

Методы синтеза оптических покрытий с заданными спектральными свойствами интенсивно разрабатываются уже в течение нескольких десятков лет [3-9]. Хороший обзор по данной тематике содержится в работах Дж. А. Добровольского [10; 11], в монографиях Телена [12], Маклеода [13]. Основной трудностью при решении задач синтеза многослойных покрытий является многоэкстремальность функционалов, оценивающих качество решения задачи [14]. Как правило, успеха при решении сложных задач синтеза, в которых искомые системы описываются большим числом параметров, удается добиться при использовании совокупности различных методов. К настоящему времени разработан достаточно широкий круг методов, использующих различные математические подходы: аналитические методы, берущие свое начало в теории микроволновых фильтров [15-17], метод обратного преобразования Фурье [18-23], метод последовательной эволюции [24;25], "флип-флоп" метод [26], метод "отрицательных фильтров" [27] и т.д. Одно из центральных мест среди них занимают методы, основанные на непосредственной минимизации оценочных функционалов [28-30]. На их основе строятся как локальные методы синтеза, обеспечивающие

поиск ближайшего к начальному приближению минимума, так и нелокальные методы [31].

Минимизация оценочных функционалов является составным элементом наиболее эффективного подхода к решению задач синтеза, основанного на так называемых игольчатых вариациях показателя преломления [32]. Идея этого подхода была предложена А.В.Тихонравовым в 1982 г. [33] и с тех пор продолжает интенсивно разрабатываться [34-42].

При решении задач синтеза многослойных оптических покрытий до последнего времени использовались методы оптимизации нулевого и первого порядка [43]. Однако, в случае многопараметрических, многоэкстремальных оптимизационных задач методы нулевого и первого порядка далеко не всегда эффективны для использования. При сложной, овражистой структуре поверхности оценочного функционала эти методы зачастую не могут обеспечить быструю сходимость алгоритмов минимизации.

В общем случае более эффективными являются методы оптимизации второго порядка, основанные на информации о значениях матрицы вторых производных оценочного функционала [4446].

Эффективность использования методов второго порядка в существенной мере зависит от возможности точного и быстрого вычисления матрицы Гессе - матрицы вторых производных оценочного функционала. Однако до настоящего времени не был разработан математический аппарат, позволяющий эффективно производить указанные операции. Матрицу Гессе в принципе можно

вычислять, используя разностные схемы. Однако, такой подход к вычислению вторых производных не обеспечивает необходимой точности. Возникают существенные проблемы, связанные с некорректностью операции численного дифференцирования (соответствующие примеры будут рассмотрены ниже). В целом, разностные способы вычисления матрицы вторых производных являются неэффективными. Они крайне ненадежны для вычисления собственных значений и собственных векторов матрицы Гессе. Поэтому разрабатываемый в данной главе алгоритм вычисления матрицы вторых производных по точным аналитическим формулам является наиболее эффективным и позволяет значительно расширить класс рассматриваемых задач.

Надо отметить, что разрабатываемый далее аналитический аппарат применим не только к конкретной рассматриваемой задаче, но и к значительно более широкому классу задач, описываемому аналогичными математическими моделями. В связи с этим в настоящей главе разработка алгоритмов вычисления матрицы Гессе оценочного функционала будет проведена для достаточно широкого общего класса экстремальных задач. Затем разработанный подход будет применен к конкретной задаче синтеза многослойных оптических покрытий. Однако, поскольку основным объектом исследования в настоящей работе является именно указанная конкретная задача синтеза, то целесообразно вначале рассмотреть ее постановку, а затем исследовать общий класс экстремальных задач, к которому она относится.

Рассмотрим вначале один из частных, но наиболее широко встречающихся на практике вариантов постановки задачи синтеза оптических покрытий, когда синтезируемое покрытие является непоглощающим, падение света на покрытие нормальным, а интересующей исследователя характеристикой слоистой среды является энергетический коэффициент отражения.

Пусть многослойная система состоит из ш слоев, каждый из которых характеризуется диэлектрической проницаемостью ^ (постоянной для каждого слоя) и толщиной с1] (рис.1). В дальнейшем для характеристики слоев будет удобно использовать также показатели преломления ^ = в//2.

.21

Рис.1

го

Обозначим координаты границ слоистой системы через г0 и га. Однородные среды в областях г<г() и г>га будем соответственно

называть подложкой и внешней средой (предполагается, что волна падает на многослойную систему из второй из них). Показатели преломления подложки и внешней среды обозначим п0 и па.

В рассматриваемом варианте постановки задачи синтеза спектральные характеристики среды (энергетические коэффициенты отражения и пропускания) удобно определять с помощью уравнения для адмитанса (отношения амплитуд магнитного и электрического полей). Это уравнение имеет вид [32]:

^ = 1к[8(2)-А2]. (1.1)

Здесь к - волновое число падающей волны в вакууме, а функция е(х) описывает распределение диэлектрической проницаемости вдоль нормали к покрытию. Нормировка поля по амплитуде проходящей волны в подложке приводит к следующему граничному условию для уравнения (1.1) [32]:

А(го) = -п<>. (1.2)

Амплитудный коэффициент отражения выражается через решение уравнения для адмитанса на границе с внешней средой по формуле [32]:

г(к)=Па+А(2а'к). (1.3)

па - А(га,к)

В выражении (1.3) в явном виде указана зависимость решения равнения (1.1) от параметра к. Для энергетического коэффициента отражения имеет место следующее равенство:

Я(к) = г(к)хг*(к). (1.4)

При решении задач синтеза в вариационной постановке [47] вводится функционал, оценивающий близость спектральной характеристики среды к требуемой зависимости. Этот функционал может иметь, например, следующий вид:

т — 9

Ф = Е^[К(к])-Я]]2. (1.5)

1=1

Здесь - требуемые значения спектрального коэффициента

отражения на заданной сетке волновых чисел, V] - весовые коэффициенты.

Поиск решения задачи синтеза в вариационной постановке сводится к минимизации функционала (1.5) или аналогичных ему функционалов (при других вариантах постановки задачи синтеза [48]).

Основные математические построения данной работы мы проведем в общем виде, а затем полученные результаты будут применены к описанной выше конкретной задаче синтеза. Сформулируем общую экстремальную задачу, обобщающую постановку (1.1-1.5). Поскольку подлежащий минимизации функционал (1.5) имеет по параметру к аддитивный вид, зависимость от этого параметра для дальнейших выкладок несущественна. При их проведении также более удобно рассматривать вещественную постановку задачи.

Итак, рассмотрим экстремальную задачу следующего вида:

ах

Х(2о) = Х0 ' (1-6)

Ф[в] = Ф[х(г )] => тт.

8.

Здесь х/ - п-мерные вещественные функции, е(г) - управляющая функция, в общем случае 1-мерная. Функционал Ф[в] зависит от управляющей функции неявным образом - он выражается через решение системы дифференциальных уравнений в конечной точке интервала [г0;2а]. Нетрудно заметить, что если привести задачу (1.1-1.5) к вещественному виду, то функционал (1.5) будет иметь именно такую структуру.

В задачах синтеза слоистых покрытий наибольший интерес представляет рассмотрение функционала Ф[в] на множестве кусочно-постоянных функций [49]. Как и в описанной выше частной постановке, эти кусочно-постоянные функции удобно описывать эквивалентным образом конечным набором параметров с11,...,с1т,Е1,...,8т. Напомним, что одной из целей настоящей работы является получение выражений для вторых вариаций функционала Ф, соответствующих вариациям этих параметров, а затем и выражений для матрицы Гессе оценочного функционала.

§2. Малые в норме С вариации оценочного функционала.

Чтобы не усложнять изложение материала, не будем приводить полного математического обоснования тех выкладок, которые достаточно типичны для теории экстремальных задач (имеются в виду выкладки, которые можно найти в широко известных монографиях по теории экстремальных задач [50;51]). При этом будем считать, что все рассматриваемые функции обладают достаточными свойствами гладкости для обоснования корректности необходимых выкладок: непрерывность по совокупности переменных, непрерывность частных производных по совокупности переменных. Отметим, что это справедливо для интересующих нас конкретных задач синтеза многослойных покрытий.

В этом параграфе мы получим выражения для вариаций оценочного функционала в случае малых в норме С вариаций управляющей функции 8(¿).

Пусть Е8(г) = в(г) + 5г|(2), где 8 - малый параметр.

Рассмотрим систему уравнений

(1хг

ск 4 8" с начальными условиями х5(г0) = х0.

Введем обозначение Ах = х8(г) - х(г).

Приращение Ах можно представить в виде [51]

Ах = 5Ь(г) + о(8),

где h(z) - решение так называемого уравнения в вариациях h(z) = fx[x(z),s(z)]h(z) + fE[x(z),e(z)Mz) (1.7)

с начальным условием h(0) = 0.

Заметим, что h(z) - вектор-функция такой же размерности, как и x(z), fx и fE - матрицы частных производных вектор-функции f по компонентам х и в, соответственно.

Рассмотрим приращение функционала ДФ = Ф[е5] -Ф[е].

Представим его в следующем виде Д ф=ф [х5, в5] -Ф [х,в]=Ф [x5(za)] -Ф [x(za)] =<ФХХ, Ax(za)> +

+ 1 /2<Дх(га),ФххДх(га)> + о (52). (1.8)

Здесь и далее скобками <...,...> обозначается скалярное произведение в конечномерном пространстве.

Введем в рассмотрение так называемую сопряженную функцию, являющуюся решением уравнения

dl|/ ft П оч

— = -ixV (1-У)

dz

с граничным условием

V(za) = -Ox[x(za)]. (1.10)

Значок t в правой части уравнения (1.9) обозначает операцию транспонирования матрицы частных производных fx. Функция \\i также является вектор-функцией размерности т.

Используя сопряженную функцию, запишем

< Фх,дх(га) >= - < 1|/(га), Ах(га) >=< Ах(20) > - < ц>(ха, Дх(2а) >=

^ а 2аг

= - | — < у (г), Ах(х) > с^ = - I < у (г), Ах(г) > ёг -7 ёг

10 20 2а

- |< \|/(г), , е5) - ^х, в) > ёг

2о

(1.11)

Введем функцию Гамильтона следующего вида [52] Н[х(г),е(г)д|/(7)] = <{(х(х),г(х),\\1(г)>.

С ее помощью можно записать следующую цепочку равенств

2а 2а

<Фх,дх(2а)>= - |< у,Ах(г) > ёг— |(Н[х6,85,\|/]-Н[х,8,\|/])ё2 = 20 20

2г ^ % 1 2аг Г ан ан 1,

= - < \|/, Ах(г) > ах - N <-, Ах > + <-, Аг) > >ах +

[ дх дг }

2о 2о

2а / =

+ | 1-<ах,Нххах>+-<5г1,Н885т1>+<ах,Нх85т1> Ых + о(52).

2о

(1.12)

Обозначим сумму трех слагаемых во втором интеграле, имеющих порядок малости 5 через Р. Из (1.8), (1.12) получим

2а ^

дф = -5 {<—,Л>а2 + -<Ах(2а),ФххАх(2а)>-Р (1.13)

об 2

20

Линейный по 5 член данного представления дает выражение для первой вариации оценочного функционала:

2а 5ТТ

5Ф = -5 |<—, г| > ёг. (1.14)

Заменяя в (1.13) дх(г) на 5Ь(г) + о(5), соберем все члены, пропорциональные 5 . В результате получим следующее выражение для второй вариации функционала

1 12а

-<Ь,ФххЬ>-~ }(< Ь,НххЬ>+2<Ь,НхеЛ>+<Л9Н88Л>)<12 >

2о

Введем в рассмотрение матрицу-функцию которую в

дальнейшем будем называть матричной сопряженной функцией, определив ее при равенством

ЧЫ = Фхх[х(га)].

При других значениях ъ матричная сопряженная функция определяется �