Математическое моделирование электрооптического дифракционного дефлектора тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

Введение.

Глава 1 .Физические аспекты работы электрооптического дефлектора.

Постановка задачи для исследования этого устройства.

§1.1 .Обзор литературы.

§1.2. Физическая постановка задачи исследования дефлектора.

§1.3. Общая математическая постановка задачи.

Глава 2. Математическая модель дефлектора в двумерном приближении.

§2.1. Постановка задачи.

§4. Расчет характеристик дефлектора в границах данной модели.

Глава 3. Трехмерная модель дефлектора.

§3.1. Построение функции Грина.

§3.2. Преобразование функции Грина к ряду, удобному для вычислений.

§3.3. Составление интегрального уравнения.

§3.5. Обсуждение результатов моделирования.

§3.6. Оптимизация формы электродов.

Одной из серьезных проблем, стоящих перед разработчиками разнообразных систем с использованием ОКГ, является проблема создания высокоскоростных устройств управления лучом ОКГ в пространстве, обладающих широким диапазоном скоростей и высокой разрешающей способностью, надежных в работе, простых в эксплуатации, легко управляемых и перестраиваемых в процессе работы. Устройства, позволяющие управлять направлением распространения оптических лучей, называют дефлекторами. Дефлекторы могут применяться в лазерных системах: телевизионных, воздушной разведки, обнаружения целей, записи информации, скоростных осциллографах, устройствах оптической памяти, оптических вычислительных приборах и в других системах и приборах.

В одних случаях управление положением оптического луча должно быть непрерывным (плавным), в других — дискретным, реализуемым в виде переключения на два и более направления. В основу работы дефлекторов оптического луча могут быть положены механические перемещения в пространстве преломляющих и отражательных элементов, электрооптический и магнитооптический эффекты в жидких и твердых средах, магнитоэлектрический, электромагнитный и обратный пьезоэлектрический эффекты, взаимодействие световых и акустических волн и другие физические явления.

Законы преломления и отражения излучения лежат в основе работы дефлекторов оптических лучей, выполненных в виде оптических элементов различной конфигурации. Изменяя показатель преломления сред, можно управлять положением луча. Показатель преломления можно изменять различными способами: во времени и в пространстве. При временном управлении показатель преломления изменяется во всем объеме физического элемента на одинаковую величину в течение определенного отрезка времени, при пространственном—он принимает за этот же отрезок времени различные значения на разных участках оптического элемента. И при внесении разности хода или фазового сдвига между разнесенными в пространстве элементарными лучами, на которые можно разделить световой пучок, и наблюдается эффект его отклонения.

Показатель преломления сред можно изменить использованием различных электрооптических кристаллов и прохождением акустических волн сквозь различные фото упругие среды.

Законы отражения света используются в дефлекторах, выполненных с применением зеркальных отражательных элементов. Изменяя угловое положение отражателя, можно управлять направленным на него лучом. Для управления отражательными элементами могут использоваться магнитоэлектрические, электромагнитные и пьезоэлектрические явления.

По используемым физическим явлениям дефлекторы можно условно разделить на механические и «электрические». При применении механических методов управления отклонение светового пучка осуществляется механическим перемещением в пространстве оптических элементов: линз, призм, зеркал или самих источников излучения.

Электрические» методы управления можно подразделить на электрооптические, ультразвуковые, магнитоэлектрические, электромагнитные, пьезоэлектрические, и т.д.

В основе интересующих нас электрооптических методов управления лежит явление изменения оптических индикатрис различных кристаллов, обладающих электрооптическим эффектом, под воздействием электрического поля. Ультразвуковые методы управления основаны на явлении изменения показателя преломления различных оптически прозрачных фотоупругих сред под воздействием возбуждаемых в них ультразвуковых волн. В основе термооптических методов управления лежит явление изменения показателя преломления среды от температуры, изменение температурного градиента достигается пропусканием через полупроводник импульсов электрического тока. Дисперсионные методы управления основаны на изменении показателя преломления при смещении края полосы поглощения полупроводниковых сред под действием электрического поля. При применении пьезоэлектрических, магнитоэлектрических, и электромагнитных методов обеспечиваются угловые перемещения зеркальных отражателей, на которые направляется луч света. Термин «электрические» здесь является условным, так как, например, в ультразвуковых, пьезоэлектрических, магнитоэлектрических и электромагнитных методах управления используются механические колебания, возбуждаемые электрическим путем.

По характеру отклонения луча методы управления можно разделить на непрерывные (плавные) и дискретные. При непрерывном сканировании луч можно переводить в любую точку обозреваемого пространства, г?ри дискретном—в одну из многих возможных фиксированных точек.

Разработанные к настоящему времени оптические дефлекторы в основном разделяются на три группы: устройства, использующие механическое вращение зеркала или голограммы; дефлекторы, использующие явление оптической дифракции на основе акустооптического эффекта; устройства, в которых изменение показателя преломления возникает вследствие электрооптического эффекта. Первый тип дефлекторов применим, например, в лазерных принтерах. Все недостатки, связанные с использованием механического вращения достаточно очевидны. Недостатки второго типа устройств, использующих акустооптический эффект, состоит в наличии не только пика нулевого порядка, но и сравнимых с ним пиков более высоких порядков. Даже при использовании Брэгговского акустооптического дефлектора наблюдается понижение эффективности при увеличении угла отклонения, а также имеются и другие недостатки. У третьего типа дефлекторов основным недостатком служит малый угол отклонения, так как изменения коэффициента преломления малы даже при достаточно большом значении приложенного электрического поля. Однако простота разработка новых, более эффективных в смысле упомянутых проблем материалов вызвало новый интерес к дифракционным дефлекторам с электрооптическим управлением. С этой точки зрения возврат к исследованию и применению дефлекторов с электрооптическим управлением несомненно оправдан. В силу этого вызывает интерес построение математической модели такого дефлектора, что дает не только возможность исследовать свойства дифракционной отклоняющей системы, но и оптимизировать их характеристики.

Основными характеристиками сканирующих систем являются: пределы отклонения, скорость работы, потребляемая электрическая мощность, диапазон световых волн и дисперсия. Особенно важной характеристикой является разрешающая способность системы, т.е. число разрешимых световых элементов. Разрешающая способность N определяется отношением максимального угла отклонения к его угловой ширине.

В данной работе изучается поведение отклоняющей системы типа "блестящей" решетки с электрооптическим управлением при учете краевых эффектов на границах электродов. Рассчитывается фазовая задержка Г и распределение интенсивности света по дифракционным максимумам.

Дифракционная отклоняющая система с индуцированной в электрооптическом кристалле фазовой решеткой типа "блестящая" позволяет получать 100% переключение интенсивности света из одного дифракционного максимума в другой. Достоинствами отклоняющей системы на основе такой структуры являются также высокая разрешающая способность, быстродействие и простота конструкции [4, 12]. Дефлектор такой решетки представляет собой анизотропный кристалл, имеющий форму прямоугольного параллелепипеда, на противоположные грани которого симметрично нанесены электроды в форме прямоугольных треугольников.

На верхний и нижний электроды поданы напряжения +Uj/2 и — Uj/2 «соответственно. На дефлектор нормально к плоскости z==0 (рис. 1) падает плоская световая волна. Если к электродам приложено напряжение, то в электрооптическом кристалле, на основе которого построен изучаемый дефлектор, изменяется оптическая индикатриса, или, другими словами, тензор диэлектрической проницаемости кристалла. При этом происходит отклонение светового луча, разное в зависимости от приложенного напряжения. То есть при поданном напряжении происходит перекачка интенсивности света из одного дифракционного максимума в другой. Фактически, здесь возникают две проблемы для применения метода математического моделирования: одна из них - исследование электрического поля внутри кристалла, которое возникает при наличие потенциала, поданного на электроды; вторая - исследование поведения светового луча, проходящего через кристалл. Данная работа посвящена анализу первой проблемы: рассчитывается поле внутри анизотропного кристалла, исследуется влияние приложенного напряжения на прохождение света.

В данной работе строится математическая модель дифракционного дефлектора с электрооптическим управлением. Целью работы является исследование структуры поля внутри анизотропного кристалла с нанесенными на него электродами при поданном на электроды постоянном напряжении. По напряженности поля внутри кристалла рассчитываются наиболее существенные характеристики исследуемого дефлектора: фазовая задержка и перекачка интенсивности. Изменение поля внутри кристалла порождает отклонение светового луча за счет изменения фазового набега для различных лучей света в пучке. Строго говоря, изменение диэлектрической проницаемости внутри анизотропного кристалла влияет и на электростатическое поле внутри него. Однако, эти изменения поля существенно меньше, чем влияние на световой пучок, поэтому модель строилась в предположении, что изменение поля при изменении диэлектрической проницаемости не учитывается.

Рассмотрены два разных подхода к решаемой задаче: первый - с помощью метода задачи Римана-Гильберта, второй - с применением метода интегральных уравнений. Разработан и применен численный метод решения СЛАУ большой размерности, возникающих при решении исходной краевой задачи с помощью метода задачи Римана-Гильберта. (Метод задачи Римана-Гильберта состоит в том, что решение системы линейных алгебраических уравнений сводится к задаче восстановления аналитической комплексной функции по ее заданному значению на границе области.) Эта задача также решается методом интегральных уравнений, где существенно учитывается трехмерность задачи. При решении задачи методом интегральных уравнений краевая задача в частных производных сводится к решению интегрального уравнения, с помощью которого учитывается часть граничных условий исходной задачи, в то время как остальные граничные условия учитываются посредством специального выбора ядра интегрального уравнения. Проведен анализ двух подходов к решению краевой задачи и сравнение результатов численного расчета с использованием обоих методов. Исследовались условия существования и единственности решения. Для численных расчетов написаны программы на языке Фортран. На основе первого подхода к решению задачи решена задача синтеза оптимизированной фазовой решетки дефлектора с подбором более эффективной формы электродов. Проведены расчеты характеристик дефлектора, базирующиеся на найденном распределении поля внутри анизотропного кристалла.

Заключение. 1

0,5 О

40 80 120 160 М

Разработана двумерная математическая модель диэлектрического дефлектора с электрооптическим управлением, основанная на использовании метода задачи Римана-Гильберта. Исследовано влияние краевых эффектов на характеристики дефлектора.

2. Построена и реализована трехмерная математическая модель дефлектора на основе интегрального уравнения I рода с ядром в виде интеграла Фурье-Бесселя. Получено аналитическое представление ядра в виде ряда, не содержащего специальных функций, что существенно упростило численное решение.

3. Проведено сравнение двумерной и трехмерной математических моделей, оценены границы применимости двумерной модели, показана ее эффективность и адекватность примененной модели реальному физическому прибору.

4. Предложен численный метод решения бесконечной системы линейных алгебраических уравнений с экспоненциальным убыванием элемента по строке. Доказана теорема существования решения и сходимость к нему вычислительного процесса.

5. Решена задача оптимизации фазовых характеристик дефлектора на основе двумерной модели.

1. Шестопалов В.П, и др. Дифракция волн на решетках. Харьков, 1973, 260 с.

2. Шестопалов В.П. Метод задачи Римана Гильберта в теории дифракции электромагнитных волн. Харьков, 1971, 400 с.

3. Литвиненко JI.H, Шестопалов В.П. Дифракция электромагнитных волн на плоских металлических двухэлементных решетках. В кн. Численные методы решения задач математической физики. Под ред. А. А. Дородницына и др. М. Наука, 1966, с. 113-130.

4. Дианова В.А., Кузнеченко А.П., Мустель Е.Р. Дифракционный электрооптический дефлектор света. Квантовая электроника, 1980, 7, № 3, с. 649-662.

5. Янке Э, Эмде Ф., Леш Ф. Специальные функции. М.; Наука, 1968, 164 с.

6. Ninomiya Y. High S/N-Ratio Electrooptic Prism-Array Light Deflectors. IEEE, v.1974, QE-10, N3, p.358 - 362.

7. Дианова B.A., Мустель E.P., Свешников А.Г. Шапкина Н.Е Расчет электрооптического дифракционного дефлектора с учетом краевых эффектов. Радиотехника и электроника, 1982, N , стр.2016.

8. Шапкина Н.Е. О решении системы эллиптических уравнений в нецилиндрических областях. Вест. Моск. Ун-та, сер. 15, Выч. мат. и Киб., 1983, N1, стр.11.

9. Шапкина Н.Е. Решение обратной задачи оптимизации фазовых характеристик диэлектрического дефлектора с электрооптическим управлением. Вест. Моск. Ун-та, сер.З, Физика. Астрономия, 1989, т. 30, N1, стр.31-36.

10. Шапкина Н.Е. Математическое моделирование в теории электрооптического дефлектора. Тезисы докладов 6-ой Всеросс. Научно-технической конф. "Состояние и проблемы измерений", М., Изд-во МВТУ, с.43 0-431, 1999 г.

11. Е.Р.Мустель, В.Н.Парыгин. Методы модуляции и сканирования света. М.: Наука, 1970, 295с.

12. Ваньков А.Б., Волынкин В.Н., Чертков А.А. Электрооптические дефлекторы непрерывного отклонения для интенсивного лазерного излучения. Изв. АН СССР, Сер. Физ. 1991-55, №2 с.257-259.

13. Shiinoji Masao. Principle of operation of a refractive optical beam deflector and its properties as a photonic switch. Opt. Eng. 1995, 34, N6, p. 1769-1775.

14. Якимович П.А. Широкоапертурные дефлекторы света для оптической кадровой развертки объемного телевидения. Автометрия, 1995, №5, с. 51-57.

15. Xu Faming, Fan Dianiuan, Cheng Shaohe, Deng Ximing. Изучение электрооптического дефлектора на основе LiNb03. Guangxue Xuebao= Acta Opt. Sin., 1996, N3, p.369-372.

16. Utsunomiya, Toshio, Digital optical Deflector Using (Pb,La)(Zn,Ti)03 Ceramics Jap. J. Appl. Phys. Ptl, 1996, 35, N9, p. 5058-5061.

17. Utsunomiya, Toshio, Grating-Type Optical Deflector Using (Pb,La)(Zn,Ti)03 Ceramics Jap. J. Appl. Phys. Vol.34 (1995) Ptl,No 9, p. 5401-5404.

18. Xu Faming, Chen Shaohe, Fan Dianyuan, Deng Ximing, Zhogguo Jiguang, Матричное описание электрооптического дефлектора и его применение Chin. J. Lasers А. 1996,23,N10, p. 906-910.

19. Сотский А,Б., Сотская Л.И. Планарные электрооптические дефлекторы на основе связанных волноводов. Оптика и спектроскопия, 1997Б 83Б №3, с.463-472.

20. Сотский А,Б., Сивуха В.И. Теория планарных электродных систем для электрооптических устройств интегральной оптики. ЖТФД988, т.58, №.4, с.685-691.

21. Ninomiya, Yuishi. Ultrahigh Resolving Electrooptic Prism Array Deflectors. IEEE J. Of Quantum Electronics, vol. QE-9, N 8, 1973.

22. Воронин В.В., Цецохо В.А. Интерполяционный метод решения интгральных уравнений первого рода с логарифмической особенностью. ДАН СССР, 1974, т.216,№6, с.1209-1211.

23. Воронин В.В., Цецохо В.А. Численное решение интегрального уравнения первого рода с логарифмической особенностью методом интерполяции и коллокации. ЖВМ иМФ, 1981, т.21, №1, с. 40-53.

24. Численный анализ плоской дифракционной решетки с помощью несобственного интегрального уравнения "Мацусима Акшр" Technjlgy Repts, Kyushy Univ. 1994 - vol.7, N4, p.412-414 (яп).

25. Weigan Lin, Computation of the Parallel-Plate Capacitor with Symmetrically Placed Unequal Plates. IEEE Tr. on Microwave Theory and Techniques, vol. MTT-33, N9, 1985, 800-807.

26. M.P. Витков. Анализ электрического поля, управляющего продольным электрооптическим эффектом в кристаллах с полосковыми электродами. Оптика и спектроскопия, 1968, т.24, №5, с. 726.

27. Самарин Ю.Н. О коррекции погрешностей дефлекторов для лазерной записи полиграфических изображений. Моск. Полиграфический ин-т, М., 1988. (рукопись деп. В ВИНИТИ 15.03.88, :44-тм88).

28. Парыгин В.Н., Балакший В.И. Оптическая обработка информации. М.: Изд-во МГУ, 142с.

29. Дмитриев В.И., Захаров Е.В. Интегральные уравнения в краевых задачах электродинамики. Изд-во МГУ, 1987, 167 с.

30. Е.В. Захаров, Ю.В. Пименов. Численный анализ дифракции радиоволн. Радио и связь, 1982, 184 с.32. 1. V. J. Fowler, J.Schlafer, A servy of laser beam deflection techniques, «Appl. Optics» 5, № 10, 1966 c.1675.

31. F. S. С h e n, J. E. G e u s i g, S. К. К u г t z, J. G. S k i n n e r, S. H.W e m p 1 e, Light modulatio nand beam deflection with po-tassium-tantalate crystals, J. Appl. Phys. 37, № 1,1966, c.888.

32. F. S. Chen. J. E. G e u s i g, S. К. К u r t z, J. G. Skinner, S. H. W e ш p. The use of perovskite paraelectrics in beam deflectors and light modulators, Proc. IEEE 52, № 10, 1964, c.1258.

33. W. Haas, B. Yohannes, P. Cholet, Light beam deflection using the Kerr effect in single crystal prisms of BaTiOg, «Appl. Optics» 3, № 8, 1964, c. 988.

34. I. J. E. К i e f e r, J. F. L о t s p e i с h, W. P. В г о w n, Jr., H. R. S e n f. Performance characteristics of an electrooptic light beam deflector, «IEEE, Journal of Quantum Electronics», QE-3, № 6, 1967, c. 261.

35. W. E. В u с к, Т. E. H о 11 an d, Optical beam deflector, «Appl. Phys. Letters» 8, №4, 1966, c. 198.

36. А. К о г p e I, Phased array type scanning of laser beam, Pron. IEEE 53, № 10, 1965,c. 1666.

37. V. J. F о w 1 e г, C. F. В u h r e r, L. R. Bloom, Electro-optical light beam deflector, Proc. IEEE 52, № 2, 1964, c. 193.

38. R. L i p n i k, A. R e i с h, G. A. S с h о e n, Nonmechanical scanning of light in one and two dimensions, Proc. IEEE 53, № 3,1965, c. 321.

39. H. G. A a s, R. К. E r f, Application of ultrasonic standing waves to the generation of optical beam scanning, J. Acoust. Soc.Amer. 36, № 10, 1964, c.1906.

40. B. A. HI у т и л о в, Об углах и характере отклонения световогопучка в ультразвуковом поле, «Акустический журнал» 12, № 2,1966, с.239.

41. Дж. Най. Физические свойства кристаллов.М.: Мир, 1967.

42. М.Борн, Э. Вольф. Основы оптики. М.:Наука, 1973.

43. Ильинский И.С., Свешников А.Г. Методы исследования нерегулярных волноводов. ЖВМ и МФ, №2,, 1968, с.363.

44. Двайт Г.Б. Таблицы интегралов. Наука, М., 1977,223 с.