Математическое моделирование и оптимизация динамики заряженных частиц и плазмы тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ОПТИМИЗАЦИИ

ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ.

1.1. Постановка задачи. Оптимизация программного и возмущенных движений

1.2. Некоторые общие сведения.

1.3. Вариация функционала.

1.4. Необходимые условия оптимальности.

ГЛАВА 2. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ОПТИМИЗАЦИИ

ДИНАМИКИ ПУЧКОВ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ.

2.1. Управление пучком с учетом плотности распределения частиц в фазовом пространстве

2.1.1. Постановка задачи оптимизации

2.1.2. Уравнения в вариациях.

2.1.3. Приращение функционала

2.1.4. Вариация функционала.

2.1.5. Условия оптимальности

2.2. Задача управления пучком заряженных частиц с учетом их взаимодействия

2.2.1. Математическая модель управления.

2.2.2. Уравнения в вариациях.

2.2.3. Вариация функционала.

2.2.4. Условия оптимальности

ГЛАВА 3. МОДЕЛИРОВАНИЕ, АНАЛИЗ И ОПТИМИЗАЦИЯ

ЭЛЕКТРОФИЗИЧЕСКИХ СИСТЕМ.

3.1. Моделирование и оптимизация продольного движения в структуре с ПОКФ.

3.1.1. Динамика частиц в эквивалентной бегущей волне.

3.1.2. Математическая модель оптимизации.

3.1.3. Алгоритм численной оптимизации.

3.1.4. Оптимизация при наличии производных от управлений.

3.1.5. Моделирование влияния взаимодействия частиц на продольное движение.

3.1.6. Результаты численной оптимизации.

3.2. Математические модели оптимизации поперечного движения в структуре с ПОКФ.

3.2.1. Уравнения движения.

3.2.2. Задачи оптимизации.

3.2.3. Результаты оптимизации.

3.3. Параметрические подходы к оценке робастных свойств регуляторов формы и тока плазмы втокамаке.

3.3.1. Постановка задачи.

3.3.2. Интервальный радиус устойчивости.

Диссертационная работа посвящена разработке математических моделей управления, ориентированных на решение проблем моделирования, анализа и оптимизации сложной электрофизической аппаратуры. Предложены новые математические модели совместной оптимизации программного и возмущенных движений и разработаны методы их решения.

В настоящее время во всем мире уделяется большое внимание проблемам проектирования и создания ускорителей заряженных частиц различного назначения, сфера применения которых непрерывно расширяется [26, 58, 60, 62, 66, 68, 109, 116]. Они используются в фундаментальных исследованиях, во многих технологических процессах, медико-биологических исследованиях, для модификации и упрочнения различных материалов, в дефектоскопии, криминалистике, археологических и историографических исследованиях и т.д. Ведутся работы по созданию безопасной электро-ядерной энергетической установки, где управление подкритическим реактором предполагается осуществлять с помощью ускорителя заряженных частиц [28, 82]. Увеличиваются и требования к ускорителям. Они должны быть безопасными и давать пучки с требуемыми, часто уникальными характеристиками.

Следует отметить, что в качестве инжектора для ускорителей на большие и средние энергии все чаще используются ускорители с пространственно-однородной квадрупольной фокусировкой (структура с ПОКФ). Идея использования высокочастотного поля для ускорения и фокусировки заряженных частиц была высказана и получила свое воплощение в работах И.М. Капчинского и В.А. Теплякова. Характеристики инжектора во многом определяют выходные характеристики ускорительного комплекса в целом. Поэтому инжекторам уделяется особое внимание и существует множество работ отечественных и зарубежных авторов, посвященных исследованию структур с ПОКФ [10-12, 29, 34, 40, 49, 52, 72, 78, 103, 104, 106, 107, 117, 124, 132, 136].

Однако не существует общих методов поиска параметров ускоряющих структур, особенно при больших частотах ускоряющего поля и токах, обеспечивающих высокий темп ускорения и необходимые характеристики выходного пучка. Это связано со многими причинами и, в частности, с тем, что при проектировании сложных управляемых систем различного назначения (в том числе таких, как ускорители и токамаки) довольно стандартным является подход, когда сначала рассчитывается программное движение, а затем, используя уравнение в отклонениях, исследуются возмущенные движения. Однако, это не всегда приводит к желаемым результатам. Так при анализе возмущенных движений, существенно зависящих от программных движений, может оказаться, что динамические характеристики полученных возмущенных движений неудовлетворительны с той или иной точки зрения.

В связи с этим представляется актуальным построение новых математических моделей, позволяющих проводить совместную оптимизацию программного движения и ансамбля возмущенных движений. Представляется также актуальным привлечение различных подходов к анализу и синтезу систем стабилизации с учетом наличия неопределенностей [2, 21, 22, 38, 50, 98]. Особого внимания заслуживают методы количественного оценивания мер (степеней) робастной устойчивости и робастного качества замкнутых систем управления с обратной связью [31, 39, 69, 91, 94, 95, 101, 108, 118, 130, 133].

Проблемам оптимизации программных и стабилизации возмущенных движений посвящено много работ различных авторов [14, 20, 30, 43-47, 51, 53-55, 59, 65, 79, 81, 83, 93, 128]. Здесь прежде всего выделим работы В.И. Зубова, Р. Калмана, H.H. Красовского, A.M. Летова, JI.C. Понтрягина.

Особую роль в создании теории робастной устойчивости играют работы В.Л. Харитонова.

Целью диссертационной работы является разработка математических моделей и методов совместной оптимизации программного (расчетного) и возмущенных движений динамических систем, ориентированных на решение проблем оптимизации динамики пучков заряженных частиц в ускоряющих и фокусирующих структурах, и исследование проблем робастности в задачах стабилизации формы и тока плазмы в токамаках.

Следует отметить, что математические проблемы оптимизации и формирования динамики пучков заряженных частиц в ускоряющих и фокусирующих структурах разрабатывались многими авторами [1, 5, 6, 17, 23, 36, 41, 45, 46, 67, 71-75, 77, 109, 119, 129]. Так работы В.И.Зубова посвящены созданию теории построения электромагнитных полей, индуцирующих движение заряженных частиц в соответствии с заданным полем скоростей. В работах Д.А. Овсянникова разрабатывается теория оптимизации динамики заряженных частиц в системах ускорения, формирования и транспортировки пучков заряженных частиц различного назначения.

Непосредственно к исследуемым в диссертации проблемам примыкают также работы, посвященные задачам управления пучками (ансамблями) траекторий динамических систем, часто трактуемые как задача управления при неполной информации о начальных данных и внешних воздействиях [3, 4, 56, 63, 76, 87-89]. Это вызвано интересом к нестандартным задачам теории оптимального управления, имеющим широкие практические приложения. Наиболее полно разнообразные задачи управления ансамблями траекторий и оценки множеств достижимости исследованы в работах А.Б Куржанского и Ф.Л. Черноусько.

Научная новизна работы заключается в следующем. В работе впервые рассмотрены задачи совместной оптимизации программного (расчетного) и возмущенных движений управляемых динамических систем. Предложены новые математические модели оптимизации и разработаны методы их решения. Проблемы оптимизации динамики пучков заряженных частиц с учетом плотности их распределения и взаимодействия рассмотрены как задачи совместной оптимизации движения синхронной частицы и пучка заряженных частиц в целом. Разработаны новые подходы к проблеме оптимизации динамики заряженных частиц в ускорителях с пространственно-однородной квадрупольной фокусировкой (структура с ПОКФ).

В задаче стабилизации формы плазмы в токамаках предложен новый подход, позволяющий оценить границу параметрической устойчивости в пространстве физических параметров.

Проведенная оптимизация структуры с ПОКФ показала целесообразность поэтапной оптимизации, а также эффективность разработанных алгоритмов и подходов, возможность обеспечения максимального захвата частиц в режим ускорения при высоком темпе ускорения и в достаточно широком диапазоне различных параметров и характеристик.

Разработанные в диссертации методы оптимизации могут быть распространены и применены и к другим типам ускоряющих и фокусирующих структур. Например, таким как ускорители на бегущей волне, ускорители Альвареца, ускорители с фазопеременной фокусировкой, линейные ондуляторы и т.д. [19, 23, 48, 66, 68, 125, 134].

Разработанный подход к оценке меры робастности, обеспечиваемой регуляторами формы и тока плазмы в токамаках, использовался в работах по международной программе ITER [98, 115, 118, 127, 130, 131].

Первая глава посвящена проблеме совместной оптимизации программных и возмущенных движений [71, 104].

Рассматривается управляемая динамическая система, описываемая системой обыкновенных дифференциальных уравнений следующего вида: йх = /(*, х,и), (1) Ж = (2) Ж х(0) = х0, (3)

4) где Т0 = [0,Г] с Я1 - независимая переменная; хе И" и уЕЯт - векторы фазовых переменных; мейг - вектор-функция управления, Т фиксированное число, М0 - компактное множество ненулевой меры, допустимые управления и-и(О, составляют некоторый класс И кусочно-непрерывных на Т0 функций, принимающих значения из компактного множества и с .

Вводятся функционалы т

1Х (и) = /ф! (*,*(*), + g1 (х(Т)), (5) о т

72<» = | /ф2(*>*(0>;У,>и(0МУ,^ + /ягСУг^г» (6) о мГн и) = сх1х(и) + с212(и), (7) где множество М( и есть сечение в момент / пучка траекторий подсистемы (2) при управлении и{0 и соответствующем программном движении исходящих из множества М0, фх, <р2, 8Х, " неотрицательные функции, ^, с2 - неотрицательные константы.

Под программным (расчетным, выделенным) движением понимается решение подсистемы (1) при начальном условии (3). Решения подсистемы (2) с начальными условиями (4) при фиксированном программном движении называются возмущенными движениями.

Задача минимизации функционала (7) называется задачей совместной оптимизации программного и возмущенных движений.

В работе найдена первая вариация функционала (7) и получены необходимые условия оптимальности. При этом также, как и при выводе принципа максимума Л.С. Понтрягина, использовались вспомогательные (сопряженные) функции, игольчатая и классическая вариации управлений.

Во второй главе разрабатываются математические методы оптимизации динамики пучков заряженных частиц [71, 72, 103, 104]. Исследуется проблема управление пучком с учетом плотности распределения частиц в фазовом пространстве. Наряду с системой (1), (2) рассматривается уравнение изменения плотности распределения частиц р = р(0 = р(Г, у (г)) вдоль траекторий подсистемы (2):

Щ- = -р-<Цу Р(их,у,и), (8)

Ж у с начальным условием р(0) = р(0,у(0)) = р0(у0), У0£М0. (9)

На траекториях системы (1), (2), (8) рассматривается функционал и) = /1(и) + /2(м), (10) где /, определяется формулой (5), а т ф^ОЭ+СК), (п) о при этом

0= >у2 = ¡82(ут,р(Т,ут))(1ут. (12)

М1,и МТ,и

Функции Ф, С, (р2, — неотрицательные непрерывно дифференцируемые функции своих аргументов.

В работе найдены представление вариации функционала (10) и необходимые условия оптимальности.

Исследуется также задача управления пучком заряженных частиц с учетом их взаимодействия. Рассматривается система интегро-дифференциальных уравнений с1х = /(?,*,и), (13) Ж

F(í,x,)^и), (14) ш dp dt

P(t, у) • divyF(t, х, у, и), (15) с начальными условиями х(0) = х0, j(0)^0eM0, р(0,;у(0)) = Ро(Уо),у0&М0. (16)

Решением системы (13)-(15) при начальных условиях (16) и фиксированном управлении u = u(t) будут являться траектория x(t)-x(t,x0,u), пучок (ансамбль) траекторий y(t,y0) = y(t,x(t),y0,u), ;у0е М0, вместе с семейством плотностей распределения частиц p(t,y(t,y0)) на соответствующих траекториях y(t, j0), обращающие систему уравнений (13)-(15) в тождество. Заметим, что решение подсистемы (13) можно рассматривать независимо от подсистемы (14) и уравнения (15).

Введенная математическая модель управления учитывает взаимодействие частиц в пучке. Здесь вектор функция Fx определяет воздействие внешних полей на частицу, a F2 — взаимодействие частиц.

Математическая модель динамики заряженных частиц, описанная выше, представляет собой систему уравнений Власова. Однако функция F2, выражающая взаимодействие частиц, в данном случае предполагается достаточно гладкой функцией и описывает некоторое сглаженное взаимодействие частиц со всем ансамблем частиц. Это предположение обеспечивает в частности существование гладких классических решений системы Власова. Такие «сглаженные» модели мы получаем при различных численных решениях уравнения Власова, например, методом крупных частиц.

В качестве функционала, характеризующего динамику пучка, рассматривается введенный ранее функционал (25), для которого и в этом случае найдена первая вариация и доказаны необходимые условия оптимальности.

Отметим, что система вспомогательных функций, в данном случае введена иначе, чем в первой главе. В результате вариация функционала (5) не рассматривается отдельно. Она зависит не только от программного движения, но и также от целого пучка траекторий заряженных частиц с учетом плотности их распределения и взаимодействия.

Глава 3 посвящена моделированию, оптимизации и анализу электрофизических систем. В разделах 3.1 и 3.2 рассматриваются проблемы моделирования, анализа и оптимизации ускоряющих структур с ПОКФ [72, 103, 104]. Среди многочисленных работ, посвященных этим проблемам, отметим работы И.М Капчинского, В.А. Теплякова, М.Ф. Ворогушина, А.П. Мальцева, Ю.А. Свистунова, Ю.В. Зуева, В.И. Петрова, Д.А. Овсянникова, О.И. Дривотина, А.Е. Лукьяновой, А.И. Балабина, Б.И. Бондарева, А.П. Дуркина.

В разделе 3.1 разрабатываются проблемы моделирования и оптимизации продольного движения в структуре с ПОКФ. Рассматриваются уравнения динамики частиц в эквивалентной бегущей волне. На основе уравнения движения синхронной частицы и уравнений в отклонениях от движения синхронной частицы сформулированы задачи совместной оптимизации. В качестве целей оптимизации структуры с ПОКФ рассматриваются: обеспечение максимального захвата частиц в режим ускорения; получение требуемой или максимально возможной энергии на выходе ускорителя; минимизация воздействия дефокусирующего фактора; обеспечение монотонности группирования частиц по фазам. Для решения указанных задач вводятся соответствующие функционалы, в частности, специальный функционал, характеризующий скорость изменения средне квадратичного разброса частиц по фазам.

Рассмотрены вычислительные аспекты численной оптимизации введенных функционалов. Известные схемы построения минимизирующих последовательностей [13, 20, 51, 65, 73, 74, 79, 85], переносятся на исследуемые задачи управления пучками заряженных частиц. В основу этих схем положены конструктивные вычислительные методы решения задач оптимального управления на основе представления первой вариации минимизируемого функционала.

Моделированию пучков заряженных частиц с учетом их взаимодействия посвящено много работ. Отметим, в частности, работы [16, 24, 25, 27, 37, 42, 52, 74, 84, 105]. В работе приводятся возможные методы учета взаимодействия ускоряемых частиц.

Разработанные в диссертации алгоритмы были апробированы при решении задач оптимизации динамики пучка протонов в ускорителе с ПОКФ [103, 104]. В качестве управляющих параметров выбирались: закон изменения синхронной фазы, напряжение на электродах и эффективность ускорения. Полученная структура обеспечивает 100% захват частиц в режим ускорения. При этом происходит адиабатическое формирование сгустка по длине, что положительно влияет на динамику пучка при учете кулоновского расталкивания частиц. Минимизация воздействия дефокусирующего фактора создает хорошие предпосылки для формирования поперечной динамики частиц. В диссертации приведены рисунки и таблицы, иллюстрирующие полученные результаты. Следует отметить, что оптимизация продольной динамики частиц при частоте 352МГц также показала эффективность применяемых методов и подходов.

В разделе 3.2 рассматриваются математические модели оптимизации поперечного движения в структуре с ПОКФ. Рассматриваются возможные постановки задачи фокусировки пучка. Развиваемый в диссертации подход позволяет проводить поэтапную оптимизацию динамики пучка и рассматривать задачи оптимизации разной сложности. Результаты оптимизации поперечного движения представлены в диссертации в виде соответствующих таблиц и рисунков. Следует отметить, что на этапе оптимизации поперечного движения продольное движение, оптимизированное ранее, уже не изменялось. Качественное формирование пучка на этапе оптимизации продольного движения позволило на следующем этапе оптимизации характеристик поперечного движения и параметров согласователя получить хорошие характеристики пучка.

Отметим, что при необходимости, на основе разработанных методов, можно рассматривать совместную оптимизацию продольного и поперечного движения с целью получения заданных (улучшенных) характеристик пучка.

В разделе 3.3 рассматривается задача управления формой и током плазмы в токамаке ITER. Вопросы математического моделирования сложных физических процессов, протекающих в плазме, рассматриваются в многочисленных монографиях и статьях, публикуемых с начала 1950-х годов. Среди них отметим такие широко известные работы, как [33, 35, 90]. В этих работах сформирована основная математическая модель, описывающая динамику плазмы в токамаке — дифференциальные уравнения в частных производных Трэда - Шафранова. Показано, что на базе этих уравнений могут быть определены параметры равновесного состояния плазмы с учетом конструктивных особенностей конкретного токамака. Эти параметры определяют номинальный режим его функционирования.

Однако количество публикаций по вопросам управления плазмой с использованием обратных связей относительно невелико. Это определяется тем обстоятельством, что проблема неустойчивости плазмы в вертикальном направлении появилась сравнительно недавно, в связи с существенными конструктивными изменениями токамаков. Одна из первых работ, в которой сформулирована проблема вертикальной неустойчивости, является работа [7]. Выделим также монографию [64], где предлагается и достаточно всесторонне анализируются конкретные стабилизирующие управления плазмой в токамаках.

Однако необходимо отметить, что в силу исключительной сложности физических процессов, протекающих в плазме, невозможно выделить некоторый универсальный математический подход, который был бы пригоден для проведения исследований проблемы робастной стабилизации во всех возможных ситуациях. Это порождает необходимость в привлечении различных идей и методов и в проведении исследований по выявлению круга их наиболее эффективной применимости.

В работе проводится оценка меры робастности, обеспечиваемой различными регуляторами, стабилизирующими плазму в положении равновесия. Вводятся понятия интервальных радиусов устойчивости и г2, которые и принимаются в качестве оценки меры робастности рассматриваемой системы, замкнутой исследуемыми регуляторами. Определения гх и г2 основаны на введении множеств (семейств) соответствующих матриц или характеристических полиномов. Методика вычисления гх и г2 основывается на проверке устойчивости полиномов соответствующих ребрам этих семейств. Для семейств характеристических полиномов такая проверка является достаточной согласно реберной теореме [94]. Эффективные методы проверки устойчивости ребер семейств полиномов предложены в работах А.П. Жабко и В.Л. Харитонова. Предложенный в работе подход позволяет оценить границу параметрической устойчивости в пространстве физических параметров.

15

В заключении приводятся основные результаты, которые выносятся на защиту.

По теме диссертации опубликовано 10 работ. Основные результаты, представленные в диссертации, докладывались на международной конференции «Computational Modeling and Computing in Physics» (Дубна, 1996); на XXVIII и XXX научных конференциях факультета прикладной математики — процессов управления СПбГУ «Процессы управления и устойчивость» (С.-Петербург, 1997, 1999); на международной конференции по информатике и управлению ICI&C97 (С.-Петербург, 1997); на III, IV и V международных совещаниях «Динамика пучков заряженных частиц и оптимизация» (С.-Петербург, 1996, 1998; Дубна, 1997); на XVIII международной конференции «Particle Accelerator Conference» (Нью-Йорк, 1999); на международной школе молодых ученых «Проблемы ускорения заряженных частиц» (Дубна, 1999), на семинарах кафедр теории управления и теории систем управления электрофизической аппаратурой Санкт-Петербургского государственного университета.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

На защиту выносятся следующие результаты:

• разработаны математические методы совместной оптимизации программного и возмущенных движений динамических систем;

• предложены новые математические модели, которые включают описание управляемого процесса, выбор управляющих функций или оптимизируемых параметров, а также построение функционалов качества, позволяющих эффективно оценивать различные динамические характеристики исследуемых управляемых движений;

• получены представления для вариаций введенных функционалов и сформулированы необходимые условия оптимальности. В частности, даны необходимые условия оптимальности в форме принципа максимума Л.С. Понтрягина;

• предложены новые функционалы, оценивающие динамическое состояние пучка, произведен выбор управляющих параметров и разработаны методы оптимизации продольного и поперечного движения в ускорителе с ПОКФ;

• проведена численная оптимизация линейного ускорителя протонов с пространственно-однородной квадрупольной фокусировкой, подтвердившая эффективность разработанных моделей и методов;

• предложен параметрический подход к оценке меры робастности, обеспечиваемой регулятором формы и тока плазмы в токамаках.

1. Аксенчик A.B., Кураев A.A. Математическое моделирование и оптимизация по КПД процессов взаимодействия в мощных многорезонаторных клистронах // Успехи современной радиоэлектроники, 1977. В. 4. С. 45.

2. Алиев Ф.А., Ларин В.Б., Науменко К.И., Сунцев В.Н. Оптимизация линейных инвариантных во времени систем управления. — Киев: Наукова думка, 1978. —328 с.

3. Ананьина Т.Ф. Задача управления по неполным данным // Диф. уравнения. 1977. Т. 13, N 10. С. 1774-1748.

4. Ананьина Т.Ф. Задача управления по неполным данным // Диф. уравнения. 1976. Т.12, N 4. С. 612-620.

5. Андрианов С.Н., Дымников А.Д., Осетинский P.M. Об оптимальном управлении пучками заряженных частиц. — ОИЯИ, BI-912581, Дубна, 1979, —24 с.

6. Анисимов П.М., Тепляков В.А. Фокусировка ускоряющим полем // Приборы и техника эксперимента. 1963. N 1. С.21-22.

7. Арсенин В.В., Чуянов В.А. Подавление неустойчивости плазмы методом обратных связей // Успехи физических наук. 1977. Т. 123. Вып. 1. С. 83129.

8. Арсеньев A.A. Единственность и существование в малом классического решения системы уравнений Власова // Докл. АН СССР. 1974. Т. 218, N 1. С.11-12.

9. Арсеньев A.A. Существование в целом слабого решения системы уравнений Власова// Журн. вычисл. мат. и матем. физики. 1975. Т. 16, N 1. С.136-147.

10. Балабин А.И., Кабанов B.C., Капчинский М.И., Кушин В.В., Липкин И.М. О согласовании пучка с пространственно-однородным квадрупольным каналом // ЖТФ, 1985, Т. 55, В. 3, С. 585 (Препринт ИТЭФ N28, М., 1984).

11. Балабин А.И., Капчинский И.М., Липкин И.М. О выборе профиля электродов согласующего раструба на входе линейного ускорителя с пространственно-однородной квадрупольной фокусировкой // ВАНТ, Сер. Техника физического эксперимента. 1983. В. 3(15). С. 39-41.

12. Бахвалов Н.С. Численные методы. — М.: Наука, 1977. Т. 1. —632 е.

13. Беллман Р. Динамическое программирование. —М.: ИЛ, 1960.

14. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. Т. 1,2. — М.: Физматгиз, 1962.

15. Бондарев Б.И., Кабанов B.C. К исследованию эффективности численных моделей формирования интенсивных потоков заряженных частиц // Труды Пятого Всесоюзного совещания по ускорителям заряженных частиц. М., 1978. Т. 1.С. 341-343.

16. Бублик Б.Н., Гаращенко Ф.Г., Кириченко Н.Ф. Структурно-параметрическая оптимизация и устойчивость динамики пучков. — Киев: Наукова думка, 1985. — 304с.

17. Буданов Ю.А. Рост эмиттанса пучка и связь степеней свободы по пространственному заряду // XIV Совещание по ускорителям заряженных частиц. Т. 3, Протвино, 1994. С. 243.

18. Вальднер O.A., Власов А.Д., Шальнов A.B. Линейные ускорители. — М., 1969.—248с.

19. Васильев Ф.П. Методы решения экстремальных задач. —М., 1981. — 400с.

20. Веремей Е.И. Частотный метод синтеза оптимальных регуляторов для линейных систем со скалярным возмущением. Ч. 1 // Известия вузов СССР. Электромеханика. 1985. N 10. С. 52-57.

21. Веремей Е.И. Частотный метод синтеза оптимальных регуляторов для линейных систем со скалярным возмущением. Ч. 2 // Известия вузов СССР. Электромеханика. 1985. N 12. С. 33-39.

22. Владимирский В.В. Вариант жесткой фокусировки в линейном ускорителе // ПТЭ. 1956. N 3. С. 35-36.

23. Власов A.A. Теория многих частиц. —М.; JL, 1950.—348с.

24. Власов А.Д. Теория линейных ускорителей. —М., 1965.—308с.

25. Ворогушин М.Ф., Демский М.И., Румянцев В.В., Свистунов Ю.А. Линейные ускорители электронов НИИЭФА для прикладных целей // Вопросы атомной науки и техники. Серия: Ядерно-физические исследования. Вып. 2,3 (29,30). Харьков. 1997. С.28-33.

26. Ворогушин М.Ф., Свистунов Ю.А., Лукьянова А.Е., Овсянников Д.А. Математическое моделирование динамики пучков с большой плотностью объемного заряда // Вопросы атомной науки и техники. Серия: ядерно-физические исследования. Вып. 6. Харьков. 1989.

27. Вьюга E.H., Зуев Ю.В. Компьютерное моделирование согласующей ИОС инжектора компактного ускорителя ионов с ПОКФ // XIV Совещание по ускорителям заряженных частиц. Т. 3, Протвино. 1994. С. 118-123.

28. Габасов Р., Кириллова Ф. Качественная теория оптимальных процессов. — М., 1971.

29. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. — М.: Наука, 1966.

30. Гельфаид И.М., Фомин C.B. Вариационное исчисление. — М., 1961. — 228 с.

31. Девидсон Р. Теория заряженной плазмы. — М., 1978.

32. Дерновой Г.Н., Мальцев А.П. Высокочастотное согласование пучка на входе линейного ускорителя с пространственно-однородной фокусировкой //ЖТФ. 1982. Т. 52. В. 6. С. 1209.

33. Днестровский Ю.Н., Костомаров Д.П. Математическое моделирование плазмы. — М.: Наука, 1993. — 336 с.

34. Дымников А.Д. Метод огибающих в задачах управления пучками частиц // Программирование и математические методы решения физических задач. Дубна, 1978. С. 300-304.

35. Едаменко Н.С. О моделировании динамики заряженных частиц с учетом их взаимодействия // В кн. Математические методы анализа управляемых процессов. JL, 1986.

36. Жабко А.П., Харитонов B.J1. Методы линейной алгебры в задачах управления — СПб.: изд-во СПбГУ, 1993. — 320 с.

37. Жабко А.П., Харитонов B.JI. Необходимые и достаточные условия устойчивости линейного семейства полиномов // Автоматика и телемеханика. N 10. 1994. С. 125-134.

38. Жидков Е.П. и др. Оптимизация длинных согласованных промежутков синхротрона и анализ нелинейных аберраций в них с помощью непрерывного аналога метода Ньютона // Препринт ОИЯИ PI 1-11867, Дубна, 1979.

39. Зубов В.И. Математические методы исследования систем автоматического регулирования. — Л., 1974. — 336 с.

40. Зубов В.И. Лекции по теории управления. — М., 1975.

41. Зубов В.И. Динамика управляемых систем. — М., 1982.

42. Зубов В.И. Процессы управления и устойчивость. — Сборник статей опубликованных в журнале «Доклады Академии наук». Санкт-Петербург: НИИ Химии СПбГУ, 1999. — 325 с.

43. Калман P.E. Об общей теории систем управления // Труды I Конгресса ИФАК. Москва, 1961. Т. 2. С. 521-547.

44. Капчинский И.М. Динамика частиц в линейных резонансных ускорителях. — М., 1966. — 310 с.

45. Капчинский И.М. Линейный ускоритель ионов с высокочастотной жесткой фокусировкой. — Часть I. Препринт ИФВЭ ИНЖ 72-29. — 26 е., — Часть II. Препринт ИФВЭ ИНЖ 72-30. — 24 с. Серпухов, 1972.

46. Квакернаак X., Сиван Р. Линейные оптимальные системы управления — М.: Мир, 1977, —650 с.

47. Кирин Н.Е. Вычислительные методы теории оптимального управления — Л., 1968, — 144 с.

48. Коноплев Е.А., Мальцев А.П., Степанов В.Б. Численное моделирование динамики частиц в начальной части ускорителя с ВЧ квадрупольной фокусировкой. — Препринт ИФВЭ. Серпухов, 1972.

49. Красовский A.A. Статистическая теория переходных процессов в системах управления. — М., 1968. — 240 с.

50. Красовский H.H. Управление динамической системой. — М., 1985.

51. Кротов В.Ф., Гурман В.И. Методы и задачи оптимального управления. — М., 1973.

52. Куржанский А.Б. Управление и наблюдение в условиях неопределенности. — М.: Наука, 1977. —392 с.

53. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория поля. — М., 1967.

54. Лебедев А.Н., Шальнов A.B. Основы физики и техники ускорителей. — М.: Энергоатомиздат, 1991. — С. 528.

55. Летов A.M. Аналитическое конструирование регуляторов, I-IV // Автоматика и телемеханика. Т. 21, N. 4, 5, 6, 1960. Т. 22, N 4, 1961.

56. Лоусон Дж. Физика пучков заряженных частиц. — М., 1980. —440 с.

57. Матвеев Н.М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. — Минск, 1974.

58. Мешков И.Н. Ускорители в физике элементарных частиц (от электрона к хиггсу) // Сборник докладов II Научного семинара памяти В.П. Саранцева, Дубна, 1998. С.8-24.

59. Миронова P.C. Об одной задаче управления пучком траекторий управляемой системы // Вестн. Моск. У-та, Сер. 15: Вычисл. матем. и кибернетика. 1986. N 2. С. 65-67.

60. Митришкин Ю.В. Управление динамическими объектами с применением автоматической настройки. — М.: Наука, 1985. — 157 с.

61. Моисеев H.H. Численные методы в теории оптимальных систем. — М., 1971. —424 с.

62. Молоковский С.И., Сушков АД. Интенсивные электронные и ионные пучки. —Л.: Энергия, 1972.— 272 с.

63. Монастырский М.А. Принцип максимума Понтрягина в задачах синтеза катодных линз // ЖТФ. 1986. Т. 56. В. 4. С. 625-643.

64. Мурин Б.П., Бондарев Б.И., Кушин В.В., Федотов А.П. Линейные ускорители ионов. Т. 1,2. — М., 1978. — 264 с.

65. Неймарк Ю.И. Структура Д-разбиения пространства полиномов и диаграммы Вышнеградского // Докл. АН СССР. 1948. Т. 52 С. 853-856.

66. Немыцкий В.В., Степанов В.В. Качественная теория дифференциальных уравнений. — М., 1947.

67. Овсянников А.Д. Оптимизация программного и возмущенных движений // Труды XXX научной конференции факультета ПМ-ПУ СПбГУ Процессы управления и устойчивость. СПб., 1999. С. 126-129.

68. Овсянников А.Д. Оптимизация динамики заряженных частиц в структуре ЯБС) // Труды XXX научной конференции факультета ПМ-ПУ СПбГУ Процессы управления и устойчивость. СПб., 1999. С. 130-133.

69. Овсянников Д.А. Математические методы управления пучками. — Л., 1980, —228 с.

70. Овсянников Д.А. Моделирование и оптимизация динамики пучков заряженных частиц. — Л., 1990. — 312 с.

71. Овсянников Д.А., Егоров Н.В. Математическое моделирование систем формирования электронных и ионных пучков. — СПб.: изд-во СПбГУ, 1998, — 276 с.

72. Пантелеев А.В., Семенов В.В. Оптимальное управление нелинейными вероятностными системами по неполному вектору состояния // Автоматика и телемеханика. 1984. N1. С. 91-100.

73. Петренко В.В., Пономаренко В.Н., Соловьева Т.П. Исследование оптимального формирования пучка в системе инжекции ЛУЭ на основе модельных представлений//Ускорители. 1980. Вып. 19. С. 38-45.

74. Петров В.И. Численное моделирование динамики частиц в высокочастотном ускорителе ионов с пространственно-однородной фокусировкой. — Препринт НИИЭФА П-В-0847. М.: ЦНИИатоминформ, 1990.

75. Полак Д. Численные методы оптимизации. — М., 1974.

76. Понтрягин J1.C. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — М., 1965, —332 с.

77. Понтрягин JI.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. — М., 1969. — 332 с.

78. Проблемы ускорения заряженных частиц // Сборник лекций, Международная школа молодых ученых, ОИЯИ, Дубна, 1997. С. 288.

79. Розоноэр Л.И. Принцип максимума Л.С. Понтрягина в теории оптимальных систем, I, II, III // Автоматика и телемеханика. Т. 20, N 10-12. 1959, с. 1320-1334, с. 1441-1458, с. 1561-1578.

80. Рошаль А.С Моделирование пучков заряженных частиц. — М.: Атомиздат, 1979.

81. Срочко В.А. Вычислительные методы оптимального управления. — Иркутск, 1982. — 110 с.

82. Фаддеев Д.К., Фаддеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры. — М.-Л, 1963.—736 с.

83. Филиппова Т.Ф. Оптимизация интегрального функционала на пучке решений управляемого дифференциального включения // Диф. уравнения. 1987. Т. 23, N 3. С. 457-463.

84. Черноусько Ф.Л. Эллипсоидальные оценки области достижимости управляемой системы // ПММ, 1981. Т. 45. В. 1.

85. Черноусько Ф.Л. Эллипсоидальная аппроксимация множеств достижимости линейной системы с неопределенной матрицей // ПММ, 1996, Т. 60. В. 6. С. 92.

86. Шафранов В.Д. Равновесие плазмы в магнитном поле. Вопросы теории плазмы (Под ред. М.А. Леоновича). — М.: Наука, 1963.

87. Шашихин В.Н. Робастная стабилизация интервальных динамических систем // Известия Академии Наук. Теория и системы управления, 1996. N6. С. 47-53.

88. Anderson O.A. Internal dynamics and emittance growth in space-chargedominated beams // Particle accelerators, 1987. V. 21. P. 197-226.

89. Anderson B.D., MoorJ.B. Optimal Control: Linear Quadratic Methods. — Prentice Hall, Englewood Cliffs, NJ, 1989.

90. Barlett A.C., Hollot C.V., Huang Lin Roots location of an entire polytope of polynomials: It suffices to check the edges // Mathematics of Control, Signals and Systems. 1988. Vol. 1. P. 61-71.

91. Barmish B.R., Kang H.I. New extreme point results for robust stability // Control of Uncertain Dynamics Systems. CPC Press, 1991. P. 461-470.

92. Batygin Y. Conversion of space-charge-dominated beam emittance in a strong nonlinear field// Phys. Rev. E, 1996. V. 53, N. 5B. P. 5358-5364.

93. Belyakov V.A., Bulgakov S.A., Kavin A.A. et. al. Numerical simulation of plasma equilibrium and shape control in tight tokamak GLOBUS-M // Proc. of XIX Symposium on Fusion Technology. Lisbon, Portugal, 1996.

94. Berz M. High-Order Computation and Normal Form Analysis of Repetitive Systems // Chapter of «Physics of Particle Accelerators», American Institute of Physics 249, 1991. M. Month (Ed.).

95. Berz M From Taylor Series to Taylor Models // Invited Talk, Symposium on Nonlinear Dynamics, UC Santa Barbara Theory Institute, AIP Conference Proceedings, 1997.

96. BialasS. A necessary and sufficient condition for the stability of convex combinations of stable polynomials ar matrices // Bulletin of the Polish Academy of Sciences, Technical Sciences. 1985. V. 33. P. 437-480.

97. Bobyleva L., Perelstein E. On RMS envelope equation problem for nonlinear motion // EPAC-96, Barselona, 1996. P. 1063

98. Bondarev B.I., Durkin A.P., Ovsyannikov A.D. New Mathematical Optimization Models for RFQ Structures // Abstracts of the 18th Particle Accelerator Conference. New York, USA, 1999. P. 176.

99. Bondarev B.I., Durkin A.P., Ovsyannikov A.D. Beam Models for RFQ Optimization // Abstracts of Int. Workshop Beam Dynamics & Optimization, St.-Petersburg, Russia, 1998. P. 15.

100. Chen C., Davidson R.C. Nonlinear Resonances and Chaotic Behavior in a Periodically Focused Intense Charged-Particle Beam // Physical Review Letters. V.72, N.14. 1994. P. 2195-2198.

101. Chidley B., Brown J., McMichael G., Schriber S., Shubaly M. and Ungrin J. Design and constraints of the ZEBRA ingector and RFQ DTL // Proc. 1981 Linear Accelerator Conference, 1981.

102. Crandall K., Stokes R., WanglerT. RF quadrupole beam dynamics design studies // Proceedings of 1979 Linear Accelerator Conference, Montauk, 1979.

103. Djaferis T.E., HollotC.V. A Routh-like test for the stability of families of polynomials with linear uncertainty // American Control Conference. 1989. V. 1. p. 639-644

104. Drivotin O.I., Loukianova A.E., Ovsyannikov D.A., Gavrish Yu.N., Vorogushin M.F., Svistunov Yu.A. The choice of accelerating structure for PET system // European Particle Accelerator Conf. Barselona, Spain, 1996. P. 783785.

105. Dymnikov A.D., Perelstein E.A. Moment method in dynamic of charged particle beams // NIM, 1978. V.148. P. 567-571 (Particle Accelerators, 1980. V. 10. P. 181).

106. Gluckstern R.L. Analytic Model for Halo Formation in High Current Ion Linacs // Physical Review Letters. Y.73, N.9. 1994. P. 1247-1250.

107. Humphreys D. A., LeuerJ.A., KellmanA.G., HaneyS.W., BulmerR.H., Pearlstein L.D., Portone A. Design of a Plasma Shape and Stability Controltvi

108. System for Advanced Tokamaks //18 Symposium on Fusion Technology, Karlsruhe, Germany, 1994.

109. ITER Design Description Document (DDD), Poloidal Field Control (WBS Number 4.7), Appendix E, June, 1998.

110. Jameson R.A. Advanced High-Brightness Ion rf Accelerator Applications in the Nuclear Arena // Proc. of the AIP Conf., 1992.

111. Junior P. Space Charge limits in heavy-ion RFQ linacs // Particls Acceleratore, 1983. V. 13.

112. Kotina E.D. On charge particles dynamics formation // Proc. of Int. Workshop Beam Dynamics and Optimization. St-.Petersburg, Russia, 1995. P. 103-109.

113. Lagniel J.M. Halos and chaos in space-charge-dominated beams // EPAC-96, Barselona, 1996. P. 163.

114. Lagniel J.M. Chaotic behaviour induced by space charge // EPAC-94, London, 1994. P. 1177.

115. Lapostolle P. Possible emittance in crease through filamentatin due to space charge in continuous beams // IEEE Trans.Nucl.Sci., 1971. V. 18, N 3.

116. Lee E.P., Cooper R.K. General envelope equation for cylindrically symmetric charge particle beams // Particle Accelerator , 1976. V. 7, N 2.

117. Loukianova A.E., Ovsyannikov D.A., Svistunov Yu.A., Vorogushin M.F. Modeling and optimization for RFQ structures // Proc. of Int. Workshop Beam Dynamics and Optimization. St.-Petersburg, Russia, 1994. P. 115-120.

118. Masunov E.S., Polozov S.M., Roshal A.S. Modeling of Ion Ribbon Beam Focusing and Acceleration in Undulator Linac // Abstracts of the 18th Particle Accelerator Conference. New York, USA, 1999. P. 179.

119. Makino K., Berz M. Remainder Differential Algebras and their Applications // Chapter of «Computational Differentiation: Techniques, Applications and Tools», M. Berz, C. Bischof, G. Corliss and A. Griewank, eds., SIAM, 1996.

120. Misenov B.A., Ovsyannikov D.A., Ovsyannikov A.D., Veremei E.I., Zhabko A.P. Non-Linear Model of Tokamak Plasma Shape Stabilization // Proceedings of International Conference on Informatics and Control, St.-Petersburg, Russia, 1997. V. 1. P. 382-388.

121. Ovsyannikov A.D. On Numerical Solving of the Direct Regulator Problem // Proceedings of the 9th International Conference Computational Modelling and Computing in Physics. Dubna, Russia, 1996. P. 224-228.

122. Ovsyannikov D.A. Modeling and Optimization Problems of Charged Particleth

123. Beams Dynamics // Proceedings of the 4 European Control Conference, Brussels, 1997. P. 390-394.

124. Ovsyannikov D. A., Zhabko A.P., VeremeyE.I., Misenov B.A., Ovsyannikov A.D. Plasma Current and Share Stabilization with Control Power118

125. Reducing // Abstracts of Int. Workshop Beam Dynamics & Optimization, St.-Petersburg, Russia, 1998. P. 25.

126. Petrov V.l. Results of numerical optimization of compact 433 MHz RFQ // Proc. Int. Workshop Beam Dynamics & Optimization, St.-Petersburg, 1994. P. 155.

127. Rantzer A. Stability conditions for polytopes of polynomials // IEEE Trans. 1992. V. AC-37. P. 79-89.

128. Reiser M. Theory and design of charged particles beams. — NY.: Wiley, 1994. — 607 p.

129. Senichev Yu. Mechanical and thermodynamical approach to the halo creation problem // Abstracts Inter. Workshop BDO-97, Dubna, 1997. P. 12.

130. Weiss M. Radio-frequency quadrupole // Proceedings of the 5th CERN Accelerator School. Geneva, 1995. V. 2. P. 959-991.