Математическое моделирование компонентов интегральных схем в диффузионно-дрейфовом приближении тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.10 ВАК РФ

44.0А- П

Латвийский ордена Трудового Красного Знамени государственный университет имени. Петря •"'тучки

На правах рукописи УДК 53'?.311.322:621.382+519.63

Польский Борис Семенович

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ КОМПОНШТОВ ИНТЕГРАЛЬНЫХ СХЕМ В ДИФФУЗИОКНО-ДРЕЙФОВОМ ПРИБЛИЖЕНИИ

(специальность: 01,04.10 - физика полупроводников и диэлектриков; 05.13.16 - примегзнив вычислительной техники, математического моделирования и математических методов для научных исследований)

Автореферат дисссртвпии на соискание ученой степени докторч физико-математических наук

Рига - 1988

Работа выполнена в Вычислительном центре при Латвийском одоена Трудового Красного Знамени государственном угшверситете им.П.Стучки.

Официальные оппоненты: член-корреспоццент АН СССР,

доктор физико-математических наук, профессор В.И.Рыний

доктор физико-математических наук, профессор В.П.Ильин

доктор физико-математических наук, ст.н.с. Я.Г.Клява

Ведущая организация: Институт физики полупроводников

АН Лит.ССР

Защита состоится " "_1988 г. в час.

на заседании специализированного совета Д 060.01.01 при ЛГУ им.П.Стучки (226098, Рига, бульвар Райниса, 19, п/я 129).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ЛГУ им.П.Стучки.

Автореферат разослан " _,______19Ь8 г.

Ученый секретарь сиициелимцкдшшогм Нл

совета, кандидат физ.-мат.наук • А.Л,Шлягер

т; '¡л ,

свртаики,

- 3 ~

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

:~~Ч Актуальность темы. Создание больших и сверхбольших интегральных схем (БИС и СБИС) является ваян зпдачей современной науки и техники. Требование повнвснл-*« степени интеграции неминуемо связано с уменьшением размеров ком -понеитов интегральных схем, прежде всего транзисторных структур. Больше успехи микрозлектронной технологии позволяют в настоящее время создавать компоненты БКС столь малых размеров, что анализ и проектирование их с помощью упрощенных аналитических моделей становится затруднительным. Это связано с тем, что традиционные упрощающие предположения, положенные в основу аналитических моделей, такие как одномерный херактер токов, протекающих в приборе, постоянные подвижности носителей заряда, разбиение всей структуры на отдельные квазинейтральные области и области с объемной плотностью заряда и ряд других могут сущест -венно нарушаться в современных компонентах БИС, Переход к субмикронным размерам еще более осложняет проблему. В связи с этим начало складываться новое направление в моделировании компонентов БИС, основанное на численном решении с помощью ЭВМ системы уравнений, описывающей процессы переноса носителей заряда в компонентах. Такой подход позволяет избавиться от указанных 'вьше упрощений, а также естественным образом учесть и исследовать различные нелинейные физические эффекты и их влияние на внешние элект -рические характеристики прибора. Перспективность и боль -шие возможности данного направления в моделировании неоднократно отмечались академиками К.А.Валиевкм, Ю.К.Пожелой, А.В.Ржансвым, А.А.Самарским и Н.Н.Яненко.

-Следует отметить, что проведение эксперимента в период проектирования интегральных схем является весьма дли -тельным и дорогостоящим процессом. Поэтому весьма важной является проблема разработки пакетов прикладных программ, позволяющих проводить моделирование широкого класса компонентов современных БИС и наделенных хорошими сервисными возможностями. Располагая таким пакетом прикладных про-

грдаад, инженер может осуществлять анализ компонентов но -посредственно на ЭВМ, значительно сокрящея количество экспериментов. Кроме того, он монет оценить параметры для более простых электрических моделей, используемкх в даль-нсПесм для расчета ВИС и сократить количество электрических измерений на специально изготавливаемых тестовых структура*. По существу таккз пакеты, при наличии высокопроизводительной вычислительной техники, должны стать н становятся неотъемлемой составной частью систем автоматизации проектировшти (САПР) компонентов БИС.

Наряду с тем, что современный компоненты интегральных схем обладают микрониши размерами. они являются и сильно легированными. Концентр/шил ярямеенюс отомов в уремниевых структурах достигает Ю^сьГ3 и выше. Йто приводатк необходимости учитывать ряд дополнительных физических зффек -тов, вызванных сильным легированием. К таковым следует отнести эффекты, связанные с изменением зонной структуры полупроводника, т.е. возникновение примесных зон, "хвостов" плотности состояний, что приводит к эффективному сужению ширины запрещенной зоны. Эти эффекты оказывают существенное влияние на перенос заряда в биполярных приборах. Кроме того, традиционное использование статистики Больцмана для носителей заряда, вместо статистики Ферми при таких высоких концентрациях примеси становится проблематичным. В конечном итоге для адекватного описания процессов пера-носа заряда система транспортнкх уравнений должна быть модифицирована и дополнена системой уравнений, описыватацей эффекты сильного легирования. В результате получается более общая, но й значительно более сложная модель процессов переноса заряда, которая до настоящего времени практически не исследовалась.

Успешное решение проблемы математического моделирования компонентов БИС невозможно без разработки эффективных численных методов. Следует отметить, что численное решение транспортной системы уравнений, которая является сильно нелинейной, связано со значительными трудностями. Искомые

решения имеют очень большие градиенты, возникают погрпн -слои в окрестности рп, переходов, что не позволяет ис -пользовать стандартные разностные алпроксим; ■•>« производных по пространственным переменным. Кроме того, 'стестшг-ные методы решения нестационарных задач устойчи;" лишь при очень жестком ограничении на величину шага по ррсгкни, что приводит к крайне низкой их эффективности» Эта обстоятельства требуют разработки специальных реткосттас схем, учитывающих специфику задач моделирования коипоиептов БИС.

Целью работы являются:

- разработка математических моделей переносе згряда в компонентах кремниевых БИС, учитывающих эффекты сзмьного легирования;

- изучение влияния эффектов сильного легирования на электрические характеристики биполярных транзисторных структур;

- создание эффективных численных методов решения стационарных и нестационарных задач моделирования компонен ~ тов БИС и иллюстрация их возможностей на примерах расче -тов конкретных компонентов;

- разработка пакета прикладных программ, преднаэна -ченного для моделирования широкого класса компонентов кремниевых БИС,

Научная новизне работы заключается а следующем:

- Впервые предложена самосогласованная диффузионно-дрейфовая !-.:здель переноса заряда в компонентах кремниевых интегральных схем, учитывающая эффекты сииыого легирования, на основе которой введен ряд упрощениях моделей. Используя методологию "вычислительного эксперимента"*' по -

казамо существенное влияние эффектов сильного легирования • на процессы переноса заряда в биполярных транзисторных структурах.

Самарский Л.А. О математическом моделировании и вычис-яятел&ти эксперименте в физике.Вестник АН СССР,19795.

- Разработан ряд эффективных методов решения стаци -онарных задач переноса заряда, позволяющих осуществлять моделирование в двумерной и трехмерной геометрии. Впервые построена экономичная полунеявная, абсолютно устойчивая и полностью консервативная при установлении разностная схема для решения нестационарных задач переноса заряда в компонентах БИС.

- На основе разработанных моделей и' численных методов создан оригинальный пакет прикладных программ, предназначенный для анализа стационарных и переходных процессов в широком классе компонентов биполярных и ЩШ БИС.

В диссертации обобщены результаты исследований, проведениих с 1974 по 1987 годы. Все основные результаты диссертационной работы получены лично автором. Часть результатов получена совместно со студентами и соискателями под научным руководством автора и его непосредственном участии.

Практическое значение работы. Разработанные в диссертации математические модели и численные методы позволяют исследовать стационарные и переходные процессы в компонентах современных кремниевых БИС и, тем самым, позволяют оценивать их электрические характеристики, не прибегая к длительным и дорогостоящим экспериментам. Разработанный пакет прикладных программ, реализующий эти модели и методы, применяется в практике 'проектирования на ряде пред -приятий, что подтверждено актами внедрения. Годовой эко -комический оффект от внедрения составляет 206 тыс.рублей.

Апробация работы. Результаты исследований, составляющие содержание диссертации, докладывались на Всесоюзном семинаре "Математическое моделирование физических процессов микроэлектроники" (Москва, 1975); Всесоюзных школах-семинарах по автоматизации проектирования БИС (Симферо -поль, 1979-1966); Всесоюзной школе "Теоретические и прикладные проблемы вычислительной математики и математической физики" (Рига, 1982); республиканских конференциях

"Моделирование и идентификация компонентов и узлов электронной техники" (Киев, 1983-1985); Всесоюзных: совещаниях "Математическое моделирование приборов микроэлектроники" (Новосибирск, 1986-87); Всесоюзной школе ".?ип; • "гсие и физико-химические основы субмикронной технологии" (Рига, 1986); Всесоюзном совещании "Математическое моде/ирование физических процессов в полупроводниках и полупроводнике -вых приборах" (Паланга, 1987); Всесоюзной конференции "Физические и физико-химические основы ытфоъп^ктротт* (Вильнюс, 1987); научном семинаре Совета по яояуярг&ед,®-кам АН Латв.ССР; ежегодны? конференциях ЛГУ (Рига, 1978-1986); Республиканском совещании "Чясяется« методы и средства проектирования и испытан«« ая<?)«?н»зд РЭА" (Таллин, 1987).

Публикации. По результата!,; работы опубликоэекы мжэ-графил, 24 статей и тезисов докладов на Бсесовзшлс и рее-публиканских конференциях.

Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, пяти глав, выводов, изложенных на 224 стр., списка литературы на 24 стр., включающего 209 наименований, 83 рисунков на 78 стр., 12 таблиц на 10 стр. и двух приложений на 9 стр.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность проблемы, сформулирована цель работы и защищаемые положения, а также приводится краткое содержание последующих глав.

> В первой главе на основе обзора работ отечественных и зарубежных авторов дается характеристика современного состояния проблемы математического моделирования процессов переноса заряда в компонентах интегральных схем. Анализируются физические основы моделей переноса заряда, необходимость учета при моделировании аффектов, связанных с сильным легированием современных компонентов ВИС. Прово-

дится исследование применяемых численных методов для ре -шения стационарных задач и переходных процессов. В резу -льтате проведенного анализа формулируются основные задачи работы.

Во второй главе формулируется самосогласованная диффузионно-дрейфовая модель переноса заряда в сильнолегированных кремниевых компонентах интегральных схем. Эта мо -дель включает в себя транспортную систему уравнений, состоящую из уравнения Пуассона для потенциала электрического поля и уравнений неразрывности для носителей заряда, а также систему уравнений, задающую связь между концентрациями свободных носителей заряда и их химическими потенциалами:

дУ— ~ (р-гы-М^-Х^) , (I)

сИгг^-ъЯ-ъЩ'-О, (2)

¿¿■гЭ-р + + о, . (3)

(б)

Обозначения следущие: - векторы плотности эле-

ктронного и дырочного токов, - вектор плотности тока смещения, 3- - вектор плотности полного тока; п. , р - концентрации электронов и дырок; У - потенциал электрического поля;уйл, Др- подвижности электронов и дырок, У^ ,

Ур - их электрохимические потенциалы (кваэ «потенциалы Ферми); Л - скорость рекомбинации (генерации), Ь - время, <£ - абсолютная величина заряда электрона, с ~ электрическая постоянная, £ - диэлектрическая проницаемость полупроводника; М^ , Ма - концентрации донорной и акцепторной примеси, которые считаются заданными функциями от пространственных координат. Квазипотенциалы 9Л и У^ определяются равенствами:

где ^ , п - химические потенциалы электронов и дырок. В предположении справедливости статистики Ферми ^ и г^ связаны с концентрацией носителей заряда следующим образок:

со

где уз^ - функции плотности энергетических состояний электронов и дырок, а - энергия носителей, ^ - постоянная Больцмана, Т - абсолютная температура. В качестве уровня отсчета энергии взята энергия середины запрещенной зоны беспримесного полупроводника. Положительное направление энергии для электронов принято в сторону зоны проводимости, а для дырок в сторону валентной зоны. Обычно предполагают, что функции и оа зависят только от энергии по параболическому закону. Однако, как показали исследования • В.Л.Бонч-Бруевича, Кейна, Джеймса и Гинзберга, Моргана функции уз и в случае сильнолегированных полупроводниковых структур ¡зависят, также от концентрации легирующей примеси и концентраций носителей заряда, а значит я от пространственных координат (эффекты сильного легирования). В связи с этим уравнения (9) и (19) условно можно назвать

моделью эффектов сильного легирования.. Функции о и р ,

./ я р

- 10 -

полученные в работах вышеназванных авторов, имеют следующий вод:

Л - 'Л -Л ) ■ ш)

Первая из этих функций у^^ определяет-функцию плотности состояний в зоне проводимости (валентной зоне):

у (г)~ -}/ . "3>

-оо

(14)

Ео - ширина запрещенной зоны беспримесного полупроводника, пгп , т.р - эффективные массы электронов и дырок, (Г -среднее квадратичное отклонение потенциальной энергии свободных носителей, Л - длина экранирования, 10 - половина постоянной решетки кремния.

В работе используется выражение для длины экранирования Л , предложенное Стерном:

(15)

Л г

™ <16)

диффузионные энергии электронов и дырок, - эффективная температура ионного экранирования.

Функция ПЛОТНОСТИ СОСТОЯНИЙ примесной ЗОНЫ J3S(aj пРе~ дставляется в виде функции нормального распределения. Считается, что примесная зона расположена симметрично относи-

тельно энергии локальных донорных (акцепторных) уровней и имеет следующий ввд:

«j M.J,, f - (18)

* exp (- (//_ 330siï(//d * ffa})'Â J .

^d(a) ~ энеРгия ионизации донорной (акцепторной) примеси, G~e - элективное среднее квадратичное отклонение потенциальной энергии свободных носителей заряда.

Функция плотности состояний , по сравнению с классической (параболической) функцией плотности состояний, дополнительно отражает кулоновское взаимодействие атомов примеси и электронов. В приведенной выше модели построена с учетом взаимодействия электронов с атомами примеси донорного и акцепторного типов,и такие электронов между собой, посредством экранирования. Эти же процессы взаимодействия дырок с примесью и между собой отражены и в J> . Указанные виды взаимодействия"не учитывают электростатическое взаимодействие меяду электронами и дырками, изученное Лэньоном и Тафтом, и которое можно включить в общую схему в в:де прямой поправки (зависящей от концентраций свободных носителей заряда) к ширине запрещенной зонр в формулах (II). Учет электрон-дырочного взаимодействия приводит к лучшему совпадению результатов расчетов с из -вестными экспериментальными данными по сужении ширины запрещенной зоны. -

Для полной постановки задачи помимо основных уравнений', приведенных выше, необходимо задать модели подвижно-стей, скорость рекомбинации (генерации), а также сформулировать краевые и начальные условия. Модели йодвижностей J4n , J<ip как функции от концентрации легирующей примеси

и напряженности электрического поля, задаются согласно зависимостям Кофи, Томаса и Ямпгуши, полученным на основе обработки опубликованных экспериментальных данных по под-вижностим (дрейфовым скоростям) электронов и дырок. Предполагается, что в объеме полупроводника происходит два вида безизлучательных процессор рекомбинации: на дефектах, обусловленных наличием легирующей примеси (рекомбинация по Шокли-Холлу-Риду)> а также межзонная Оже рекомбинация. При моделировании МДП компонентов учитывается также ла -винная генерация носителей заряда.

Краевые услоьия на контактах моталл-полупроводнйк формулируются в предположении локального термодинамического равновесия и нейтральности заряда. В результате на этих контактах задаются значения потенциала электрического поля, зависящие от приложенных напряжений, и концентраций носителей заряда. На свободных поверхностях задаются нормальные компоненты электронного и дырочного токов, а . также нормальная компонента напряженности электрического поля.

Таким образом, для описания процессов переноса заряда в компонентах БИС, в диффузионно-дрейфовом приближении необходимо решить систему уравнений (I)-{18) с соответствующими краевыми и начгльными условиями. Самосогласован -ность формулированной вицо, модели понимается в то^ смысле, что система транспортных уравнений (1)-(7) должна бнть решена совместно с уравнениями модели эффектов сильного легирования (9)-(Ш) без упрощай:,их априорных пред -положений. Численное решение полной системы уравнений (I) -(18), которую для удобства дальнейших ссылок будем наэы -вать моделью I, требует очень больших вычислительных затрат, особенно в случае двух и трех пространственных измерений. Поэтому вводится ряд упрощенных моделей, основанных на дополнительных априорных предположениях. Прежде чем их сформулировать,отмстим, что из (Г;),{() и (9),(10) следует, что выражения для плотностей электронного и дырочного токов можнб представить и виде:

(20)

пло ЪГ н 7//" тятг няяьтаемые наптшженности квазиэлект-

Таким образом, выражения для векторов плотности токов (19),(20) в случае сильно легированного полупроводника отличаются от традиционной формы. Наряду с электрическим полем У дрейфовая компонента тока содержит квази -

электрическое поле (1&р ) . Появление этой компоненты связано с изменением зонной структуры сильно легированного полупроводника (появлением зпвисимости функций плотности энергетических состояний от пространственных координат). Действительно, если считать эти функции зависящими только от энергии по параболическому закону, что имеет м<?сто для слабо легированных структур, то = чрр "О и ЪГЛ =1/р - О .

Диффузионные составляющие электронного и дырочного токов содержат в качестве множителя диффузионные энергии Еп и Ер , появление которых обусловлено статистикой Фер-

> (21)

оо .

ми (в случае статистики Больцмана — КТ ).

Первое упрощающее предположение, которое, однако, практически не уменьшает трудностей численной реализации - это предположение о справедливости статистики Больцмана для носителей заряда (в дальнейшем модель 2). Существенное упрощение исходной задачи получается, если предположить, что квазиэлектричоскис поля и диффузионные энергии не зависят от уровня инжекции и могут быть определены на реаения квазиравновесной задачи, под которой понимается система уравнений (9)—(18), дополненная .уело -виями равновесия и нейтральности:

и-'ХГ ' (23)

п-р-М^+Мд (24)

В результате решения этой задачи определяются квазиравно-восныа значения , Ур , и Ср. После этого система транспортных уравнений (I>—(3) решается независимо от (9) -(18) для любых приложенных напряжений, при этом квази -электрические поля и диффузионные энергии в выражениях для плотностей токов (19) и (20) считаются известными и определенными из реиения квазиравновесной задачи (модель 3 - статистика Ферми, модель 4 - статистика Еольцмана), Основания для такого подхода следующие: дополнительное условие нейтральности, как правило, хорошо выполняется в сильно легированных областях прибора и нарушается в окрестности рп переходов, которые зачастую не являются сильно легированными. Кроме того, зависимость функций плотности энергетических состояний и у?, от концентраций электронов и дырок определяется главным образом через длину экранирования <//, но тогда из (21) и (22) следует, что и зависимость напряжешюстей квазиэлектрических полей и Ур от концентрации свободных носителей заряда определяется в основном через Л . Поскольку при невысоких

уровнях шсгекцин в окрестности ¡зя переходов (п./£я + +р/йр)«(//с1+Ма)/к'11, то и!% и ЪГр в о тих областях »найденные из решения квазиравновьсной задачи, будут определены с приемлемой точностью несмотря на то, что условие нейтральности в этих областях не выполняется. Однако, если области рп. переходов сказываются сильно легированными

Ма » 10* ''см-3)_и уровни инжокции достаточно велики, то определение ЬГЯ\\ Ъ!р\\ь решения квазиравновесной задачи может приводить к значительным погрешностям при моделировании процессов переноса заряда в таких приборах.

В настоящее время в практике моделирования компонентов интегральных схем наибольшее распространение получила модель 4. При этом эффекты сильного легирования описыва -ются в несколько иных терминах - в виде двух параметров (параметров сильного легирования) эффективной собственной концентрации носителей заряда а^ , тесно связанной с величиной эффективного сужения ширины запрещенной зоны й и асимметрией в сужении ширины запрещенной зоны со стороны зоны проводимости и валентной зоны СО (в дальнейшем, модель 5). Эти параметры определяются следующим об -разом:

лЕ^КТеа^- , . (25)

лг* = лх, ' Ш

' (27>

где п^ - собственная концентрация носителей в беспримесном полупроводнике, а п-0,р0 и - решение квазиравновесной задачи (9)-(18), (23), (24)_, В этом случае напряженности квазиэлектрических полей ЬГ„ и ЬГп выражается через л и а : р ■

Наиболее важным параметром является аффективная собственная концентрация носителей , которая определяется либо в результате решения квазиравновесной задачи, либо по имеющимся в настоящее время многочисленным экспериментальным данным по эффективному сужению ширины запрещенной зоны. Наиболее широко используются экспериментальные данные, полученные в работах Слотбума (Solid-Stato Electron,, 1977, vol. 20, Ко.4 ) и Виедера (IKK2 Тгапз,, 1980, vol. ED-27, Но.8 ), которые аппроксимируются простым аналитическим выражением, связывающим значение с концентрацией легирующей примеси. Однако, необходимо отметить, что эти экспериментальные данные получены в результате электрических измерений на специальных некомпенсированных боковых транзисторных структурах, у которых в сильнолеги-ровалной базовой области либо Лд ( прп, транзис -тор), либо М^ >>Л'а (р^р транзистор), В то же время эксперименты по определению эффективного сужения ширины запрещенной вони для сильно .компенсированного случая (Ntf си~й), выполненные Ловнеем (Solid-State Electron.) 1985, vol.28, No,1/2 ) показали, что в случае Компенсации эффективное сужение ширины запрещенной зоны существенно больше, чем для некомпенсированного случая и использовать простую формулу Слотбума в этой ситуации нельзя. Для современных биполярных транзисторных структур с сильно легированной базовой областью'наличие компенсации в окрестности ргь перехода эмиттер-база довольно типично, поэтому теоретическая модель, описывающая эффекты сильного легирования, должна давать результаты по эффективному сужению ширины запрещенной зоны, близкие к экспериментам -ным данным как в некомпенсированном, так и в компенсиро -ванном случаях. В заключительной части второй главы предлагается метод рещения квазиравновесной задачи (9)-(1Й), (23),(24). Приводятся результаты расчетов эффективного сужения ширины запрещенной зоны кремния, легированного бором или мышьяком (некомпенсированный случай), в зависимости от уровня легирования. Показано хорошее совпадение.

результатов расчетов с Экспериментальными данными Слотбу-Ма И Виедера в широком диапазоне концентраций легирующей примеси. Осуществлены расчеты и для компенсированного случая (акцепторная примесь - бор, донорная - фосфор).которые также хорошо совпадают с экспериментальными данными Ловнея.

Таким образом, делается ьывод о том, что для моделирования процессов переноса заряда в компонентах Крайневых биполярных интегральных схем эффекты сильного легирования необходимо включать с помощью модели (9)-(16),даю -щей результаты по эффективному сужению ширины запрещенной зоны, близкие к экспериментальным данным в широком диапазоне концентраций легирующей примеси.

Третья глава диссертации поевялена иоделированию стационарных процесров переноса заряд,а ,(Ъп-/.Ы = üp/dt*0) v компонентах БИС. Моделирование основано на численном решении сформулированных выше систем дифференциальных уравнений методом конечных разностей. Предварительно интегро-интерполяционным методом конструируются разностные схемы, аппроксимирующие исходные уравнения и вьрамающие на сетке законы сохранения (консервативные разностные схемы), а тагске разрабатываются итерационные методы решения нелинейных систем разностных уравнений, возникающих в результате дискретизации. Как уже отмечалось ранее, задачи моделирования компонентов БИС требуют разработки специальных численных методов, учитывающих специфический характер иско -мых решений. Одна из проблем связана с построением моно -тонных разностных схем для уравнений неразрывности (2), (3), т.е. схем .обеспечивающих положительность концентра -ций носителей заряда на грубых сетках, содержащих относительно небольшое.количество узлов, без-каких либо ограничений на величину шагов дискретцаеции по пространственным переменным. Если из уравнений неразрывности исключить *?л и Je с помощью равенств (19) п (2.0), то в стационарном случае получим уравнения эллиптического тина с младшими прокзводш-ми. Коэффициенты этих уравнений зависят от по -

тенцияла электрического поля, который может резко меняться в окрестности рл переходов. Кроме того, эти уравнения неявно содержат малый параметр при старшой производной,что приводит к появлению пограничных слоев в окрестности р/1 переходов. Эти обстоятельства и порождают трудности при дискретизации уравнений неразрывности. Стандартная центрально-разностная схема в этой ситуации монотонна лиаь при весьма обременительном ограничении на величину шага дискретизации по пространству (величина шага должна быть обратно пропорциональна максимально?.^ значении напряженности электрического поля Б прибора), что приводит к необходимости использовать с'-тки с очень большим количеством узлов и чрезмерном вычислительным затратам, непосильным для современных ЭВМ. В связи с этим в задачах моделирования компонентов БИС наиболее широко используются так называемые "окспо -нонциалыше" разностные схемы, обладающие свойством коно-тсннести без каких либо ограничений на величину шага по пространству. Впервые схема такого типа для одномерных задач была построена Шарфеттером и Гуммолем в предположении справедливости статистики Оольцмана для носителей заряда и пренебрежением аффектами сильного легирования. При этом существенно использовалось то обстоятельство, что в случае статистики Больцмана уравнения неразрывности с по-мадьп анспоненциальной замены приводятся к самооопряккнно-кту виду. Если попользуется статистика Ферми и учитываются бффокты сильного легирования, то в случае двух и трех пространственных измерений уравнения неразрывности к самосоп-рижеинону виду привести нельзя. Тем не менее и ь этом случае, как показано в работе, удается построить консервативную, монотонную разностную схему "экспоненциального" типа. Построение осуществляется для наиболее общей модели переноса I, а разностные схемы для остальных моделей получаются автоматически из построенной схемч при соответствующих априорных предположениях. Приведено! результаты численных: экспериментов для диодной и транзисторной структур, показывающие высокую эффективность "экспоненциальной" разностной

схемы и ее значительное преимущество по сравнению с известными традиционными схемами.

После того, как проведена дискретизация исходной системы дифференциальных уравнений, возникает проблема разработки эффективных ¿1Терациопных методов решения нелинейной системы разностных уравнений большой размерности. Одним иэ широко применяемых методов решения систем разностных уравнений, возникавших в результате дискретизации стационарных нелинейных задач математической физики,является метод установления. Однако, как показано в работе, естественные методы установления в задачах моделирования компонентов ВИС имеют весьма узкую область применена,поскольку для сильно легированных структур эти методы обеспечивают сходимость к стационарному решению лишь при очень жестком ограничении на Ееличину шага по времени (итерационного параметра) и, тем самым, требуют большого количества итераций для определения стационарного решения. В связи с этим для моделирования стационарных процессов используются иные итерационные процессы, основанные на линеаризации исходной системы уравнений. Впервые метод такого типа для решения одномерных задач был предложен Гуммелегл, Рассмотрим вначале модель 5 , которая наиболее широко используется в практике моделирования ко'мпонентоь БИС и которая в безразмерном виде сгодится к следующей системе уравнений:

Л V- ть-р-М^ т//а , (29)

я.?£лт1и-п.7С1г>+й)))] (30)

1р(Г)р -с1ы[ргр(7р -р Vin.fiи *р?(Ч'+а)))]= Я . (31) В результате аппроксимации получаем разностную схему: ■

Лл(Г)п-е, (33)

Лр(1е)р-/г,

(34)

где А ,Лп , Ар разностные операторы, аппроксимирующие ¿1 , и £р , а п , р и У функции, определенные в узлах сетки. Основная идея метода Гум.меля заклю -чпется в следующем: предполагается экспоненциальная за -висимость концентраций носителей заряда от потенциала электрического поля и осуществляется линеаризация в окрестности известного предыдущего приближения.

В результате приходим к итерационному процессу, в котором попеременно решаются линеаризованное уравнение Пуассона,

(35)

(¿-'номер итерации) и уравнения неразрывности (23),(34). Такой итерационный процесс обладает высокой (практически квадратичной) скоростыа сходимости на низких уровнях ин-кокции, когда процессы в приборе близки к равновесным, а на высоких уровнях,инжекции скорость сходимости заметно снижается. В ряде случаев, как показано в роботе, ско -рость сходимости удается повысить за счет введения в правую часть (35) итерационных параметров.

На каждом шаге гуммелевского итерационного процесса необходимо решить три линейных системы эллиптических разностных уравнений большой размерности, что в многомерном случае является весьма трудоемкой задачей, особенно при решении разностных аналогов уравнений неразрывности (33), (34). Коэффициенты стих уравнений Зависят от потенциала электрического поля, который, как отмечалось ранее, сильно меняется по структуре прибора. Это обстоятельство и использование неравномерных"сеток, измельченных в окрестности рп. переходов, приводит к очень плохой обусловленности разностных'уразнений, что затрудняет использование стандартных итерационных методов решения эллиптических разностных уравнений.' Еще один момент, который предъявляет довольно жесткие требования к итерационным методам решения уравнений неразрывности, связан с тем, что одной из

важнейших характеристик, подлежащих определении в результате численного моделирования компонентов БИС, являются токи через выводы прибора, которые находятся в результате численного дифференцирования найденного решения на контактах металл-полупроводник. В этих квазинейтральных областях, особенно на низких уровнях инфекции, квазипотенциал Ферми основных носителей заряда является практически постоянным, что приводит к потере точности при численном дифференцировании. Это означает, что для обеспечения приемлемой точности при расчете токов, необходима довольно высокая точность при решении разностных уравнений. Отметим также, что матрицы систем уравнений (33) и (34) несимметричны, а наиболее эффективные итерационные методы решения эллиптических разностных уравнений в настоящее время развиты для систем с симметричными матрицами. В связи с этим в работе предлагается модификация метода Гуммеля, в которой решение уравнений неразрывности осуществляется в два этапа. На первом уравнения (33) и (34) решаются достаточно грубо методом Булеева и определяются промежуточные значения и .Затем делается замена переменных:

п = к^ехрСУ+О)-, р = (36)

в результате чего уравнения неразрывности переходят в нелинейные уравнения относительно кваэипотенциалов Ферми Мг и ' пРИЧСм Для этих^у^авнений уже известны хорошие начальные приближения У^ * ^ и У , которые оп -ределяются по найденным ранее значениям потенциала электрического поля и концентрациям носителей'заряда я ^ и р . После этого, осуществляется линеаризация этих уравнений в окрестности У^' '/г и У '/г . , причем в . результате получаются линейные системы уравнений с симметричными положительно определенными матрицами для определения У^'' и , которые решаются методом неполного разложения Холецкого с сопряженными градиен -тами (1ССв). По найденным значениям У^' и из

(36) определяются ле*' и piH. Эффективность предложенного подхода иллюстрируется расчетами вертикального и бокового биполярных транзисторов в широком диапазоне изменения '¡сков к напряжений.

В рамках модели 5 осуществлено моделирование стационарных процессов для характерных биполярных и ЦЩ1 транзисторов в одномерной, двумерной у. трехмерной геометриях. Показывается, что учет эффектов сильного легирования существенно сказывается на результатах моделирования биполярных транзисторов. Квазиэлектрическое поле (28),. обусловленное эффектами сшшного легирования, увеличивает поток неосновных носителей (дырок) в эмиттерну» область и, те у самым, сильно возрастает концентрация дырок в эмиттере по сравнении с тем, что дает "классическая" д^фу-зиошо-дрейфовая модель, пренебрегающая квазиэлектрическими полями. Увеличение концентрации дырок в эмиттере приводит к возрастанию скорости рекомбинации, а следовательно и увеличению базового тока транзистора и снижению коэффициента усиления.

Проведенные расчеты показывают, что численные модели естественным образом учитывают такие нелинейные эффекты, возникающие на высоких уровнях шисекции, как вытеснение базы в коллекторную область .(эффект Кирка), значительной увеличение числа носителей заряда в базовой области, что приводит к изменения электрического сопротивления базы (эффект модуляции проводимости базы), возрастание плотности электронного тока в окрестности боковой границы эмиттера (аффект вытеснения эмиттерного тока) и их влияние на электрические параметры транзистора (DAX, коэффициент усиления, емкости.переходов, граничная частота). Анализ результатов одномерного и двумерного моделирования пока -зывает значительные расхождения на высоких уровнях инжек-ции, что ограничивает область применимости одномерных моделей низкими уровнями инкекции. В тоже время сравнение результатов расчетов тонкослойной транзисторной структуры по двумерной и трехмерной моделям показали, что двумерная

модель, ке учитывающая возможность протекания тока по третьему направлению, дает заниженные значения токов на высоких уровнях икжекции.

Осуществлено моделирование 15Д11 транзистора с более реальной геометрией оксида, чем обычно используемой в практике расчетов таких структур. Это позволило исследовать влияние различных расположений истока и стока относительно затвора на распределение электрического поля в канале и вольтамперние характеристики транзистора.

В последнем параграфе третьей главы проведено моделирование биполярных транзисторов по самосогласованной модели I и сравнение с результатами расчетов по упрощенным моделям. Численная реализация самосогласованной модели, как уже отмечалось, является значительно более трудоемкой задачей. В работе конструируется итерационный процесс, основанный на методе Гуммеля с последующим перь-счетом квазиэлектрических полей и диффузионных энергий по модели эффектов сильного легирования. Предлагается ряд приемов, позволяющих существенно сократить вычислительные затраты, связанные с этим пересчетом. Приводятся результаты расчетов сильно комиенсированных биполярных транзисторных структур, у которых в окрестности перехода эмит -тер-база ~ 10* см-3. Исследовано влияние квази-

электрических полей и диффузионных энергий на распределение концентраций носителей заряда. Показано, что в случае сильной компенсации учет статистики Ферми и зависимости кваэиэлектрических полей от уровня инжекции заметно сказывается на распределении концентрации дырок в эмиттере, по сравнению с упрощенными моделями. Это связано с тем, что при таких высоких концентрациях примеси в окрестности перехода эмиттер-база величина диффузионной энергии электронов Еп я; 1,5 КТ, что приводит к значительным изменениям длины экранирования Л , а также напряженностей кваэиэлектрических полей в самосогласованной модели. Результаты расчетов ВАХ, коэффициента усиления, емкости перехода эмиттер-база, граничной частоты по самосогласованной

модели также заметно отличаются от результатов, полученных по упрощенным моделям. Следует отметить, что наиболее значительные отличия, как и следовало ожидать, наблюдаются между самосогласованной моделью I и моделью 5, если величина аффективной собственной концентрации носителей в этой модели задается по формуле Слотбума, не учитывающей влияние компенсации примеси на эффективное сужение ширина запрещенной зоны, что в рассмотренном случае является весьма существенным. При уменьшении концентраций донорной и акцепторной примеси в окрестности перехода змиттер-база величина £п и, как показывают расчеты, в случае

~ Ю^см"3 все модели довт практически одинаковые результаты.

В четвертой.главе разрабатываются численные методы и исследуется переходные процессы э компонентах БИС.Простым и естественным методом расчета переходных процессов является так называемый полунеявный метод. В этом методе решение задачи на временном слое б+£ определяется следующим образом: из уравнения Пуассона, в котором правая часть считается известной с предвдущего временного слоя , определяется потенциал электрического поля, а затем с этим значением потенциала по неявной схеме решаются уравнения неразрывности для определения концентраций носителей эа-рзда. Каждый шаг этого метода связан с решением простых линейных систем разностных уравнений, что даже в многомерном случае не требует больших вычислительных затрат. Однако для этого метода величина шага по времени, обеспечивающая устойчивый счет, ограничена временем максвелловской релаксации, которое обратно пропорционально максимальному значению концентрации легирующей примеси. Для современных сильно легированных компонентов БИС величина шага по времени становятся столь малой, что этот метод практически не пригоден для расчетов деже на высокопроизводительных ЭВМ. В связи :с этим в практике моделирования компонентов БИС получила^распространение абсолютно устойчивая полностью неясная схема. В этом с^цгчае на временном слое £+/■

необходимо решить нелинейную систему уравнений, порожденную разностными аналогами уравнения Пуассона и уравнений неразрывности. Для этой цели обычно используется метод Ньптона. Причем, поскольку итерационные методы для столь сложных систем разностных уравнений, возникающих на каждой ньютоновской итерации в результате линеаризации,практически не разработаны, то используются прямые методы.Из сказанного ясно, что реализация полностью неявной схемы в многомерном случае сопряжена с очень большими затратами машинного времени и оперативной памяти ЭВМ. Закономерно возникает следующая проблема: нельзя ли сконструировать экономичную разностную схему, объединяющую в себе достоинства простейшей хюлунеявной схемы (малые вычислительные затраты на временном слое) и полностью неявной схемы (абсолютная устойчивость). В работе дается положительный ответ на этот вопрос. Для построения разностной схемы до -полнительно привлекается уравнение неразрывности для полного тока, которое является следствием уравнений (1)-(3) и, в частности, для модели 5 в безразмерном виде залисы-паэтся следующим образом:

п. ^рр) +<Хгг(ря Г* 7*0

Предлагаемая полунеявная разностная схема имеет следующий ввд:

Лл(Ч>*)п,ы*8*+ П%'лг > (38)

лр(ч>е)ре"=/ге+£^£-, о?)

Л(п.е",рсн) = - * ^ > (40)

где & - номер временного слоя, Т -величина шага по времени, Л и Р разностные операторы,аппроксимирующие левую и правую часть (37),с£= 0(1~) - параметр. Таким образом, для определения решения на слсе <?-// необходимо решить че -тире линейных системы разностных уравнений (30)-(41) (в случае самосогласованной модели дополнительно осуществляется пересчет квазкэлектрических полей и диффузионных анергий).

На линеаризованной модельной задаче показывается,что при специальном выборе параметра сС схема (33)—(41) является абсолютно устойчивой. Более того, спектральный радиус оператора перехода этой схемы стремится к 0 при 'С-^00) что позволяет организовывать простые процедуры автоматического выбора шага по времени с контролем локальной погрешности и увеличивающие величину шага по мере выхода решения на стационарный режим. Показывается также, что "дисбалансный" член )(<? уравнении

Пуассона (41) есть величина О("С3). Представлены результаты численных экспериментов, подтверждающие теоретический анализ и показывающие высокую эффективность предложе-, иной разностной схемы. Отметим, что построенная схема является полностью консервативной при установлении.

Приводятся и анализируются результаты расчетов переходных процессов в биполярньк и МДП транзисторах. Получены распределения концентраций носителей, потенциала и токов через выводы прибора в зависимости от времени. Показано существенное различие результатов одномерного и двумерного моделирования. Из двумерных расчетов следует,что квазипотенциая Ферми основных носителей в базовой области биполярного транзистора сильно меняется в ходе переходного процесса, что не учитывается в одномерной модели. В результате "двумерный" транзистор оказывается значительно более медленным, чем "одномерный". Таким образом, если для моделирования стационарных процессов в биполярных транзисторах на низких уровнях инжекции могут использоваться одномерные модели, то ъ случае переходных процессов двумерные эффекты оказывают решающее влч^ние и ис -

пользовать одномерные модели нельзя.

Проведен анализ переходных процессов в то .ослсЯиоЙ, сильно компенсированной в окрестности перехода о: -.ттер-баэа транзисторной структуре и осуществлено сран-.иние результатов моделирования по самосогласованной и упрощенным моделям. Показано, что модель, вообще не учитывающая зф -$екты сильного легирования ("классическая" диффузионно-дрейфовая модель), затягивает переходней процесс приблизительно в 3-4 раза по сравнении с моделями 1-5. Таким образом, эта модель, не учитывающая квазиэлектрические . поля, не пригодна для описания переходни:« процессов в современных биполярных транзисторах, для которых характерны малые размеры и высокие уровни легирования. Поскольку переход эмиттер-база является сильно легированным, то так .го как и в стационарном случае, наблюдаются различия в результатах расчетов по самосогласованной и упрощенным моде -лям. Самосогласованная модель, учитывающая зависимость квазиэлектрических полей от уровня шшзкцни (зависимость длины ¡экранирования Л от неравновесных значений концентрации носителей заряда) оказывается более быстрой (приб -лизительно на 40$) по сравнению с упрощенными моделями, в которых квазиэлектрические поля определены из реаения равновесной задачи.

При моделировании переходных процессов в компонентах БИС весьма важным является включение в анализ внешней нагрузки (Л?£-цепочек). Во-первых, это позволяет моделиро -вать неидеальнке контакты прибора, обладающие конечной проводимостью и емкостью. Во-вторых, это позволяет анализировать переходные процессы в компоненте в условиях, более) реально отражающих его рзботу в составе интегральной схемы и даже дает возможность проводить расчет простейших фрагментов интегральной схемы. В работе предлагается обобщение разностной схемы (38)~(41) на этот случай. При этом - естественным образом вычислительный процгсс расщепляется, на расчет прибора и расчет &С-цепочек. Приводятся результаты расчетов инвертора и омиттерного повторителя.

В пятой главе приводится описание возможностей пакета прикладных программ (ППП) "Альфа", реализующего изложенные выше модели и численные методы и предназначенного для моделирования широкого класса компонентов кремниевых биполярных й ВДП БИС. Современная практика проектирования компонентов БИС требует расчета не только транзисторов, но и значительно более сложных приборов, что особенно важно в связи с появлением функционально-интегрированных компонентов, таких, например, как структуры интегральной инжекционной логики (И2Л) и инжекционно-полевой логики (ЙПЛ). Эти обстоятельства и диктуют необходимость разработки подобного ППП, ориентированного на достаточно широкий класс компонентов и обладающего хорошими сервисными возможностями. Разработка ППП "Альфа" осуществлена А.И. Адамсоне, Л.С.ПохвалиноЙ, Я.С.Римшансоы, А.И.Шуром под общим руководством автора диссертации. Пакет позволяет осуществлять моделирование стационарных процессов в одномерной, двумерной и трехмерной геометрии (прямоугольной), а переходных процессов в одномерной и двумерной геометрии. Все подпрограммы пакета написаны на языке Фортран-1У и реализованы на ЕС ЭВМ. Пакет организован по модульному принципу, что облегчает работу с ним к упрощает процедуру изменения и развития пакета. Кроме того, при таком подходе пользователь имеет возможность включить в пакет собственные модели подвижности, рекомбинации и др. Для ППП "Альфа" разработан специализированный входной язык, на котором задается вся необходимая для проведения расчетов информация. Эта информация обрабатывается специальными программами ввода и проверки (транслятор), которые осуществляют контроль правильности вводимых данных и, в случае наличия ошибок, ведают диагностические сообщения. Наличие входного языка существенно облегчает работу с пакетом и позволяет проводить расчеты пользователю, минимально знакомому с основами численных методов и программирования.

Возможности и эффективность ППП "Альфа" иллюстрируются расчетами достаточно сложных для моделирования стру-

о

ктур, таких, как И Л с одним и двумя коллекторами, много-эмиттерный транзистор. Осуществлено сравнен;'.- результатов моделирования с помощью ППП "Альфа" вертикал ■ ".¡го и бокового биполярных транзисторов, а также МДП транзистора с экспериментальными данными. Показано вполне уде-^творительное совпадение результатов расчетов с экспериментом.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТУ

1. Для описания процессов переноса заряда в компо -нентах кремниевых интегральных схем предложена самосог -лзеованная диффузионно-дрейфовая модель, учитывающая эффекты сильного легирования. На ее основе введен ряд упрощенных моделей, в которых эффект сильного легирования определяются на основе предположений равновесия и зарядовой нейтральности.

Разработана методика расчета квазиэлектрических полей, а также параметров сильного легирования (эффективного сужения ширины запрещенной зоны, эффективной собственной концентрации носителей заряда, асимметрии в сужении ширины запрещенной зоны). Результаты расчетов хорошо согласуются с известными экспериментальными данными по сужению ширины запрещенной зоны в кремнии в широком диапазоне концентраций легирующей примеси.

2. Методом "вычислительного эксперимента" установлено существенное влияние эффектов сильного легирования на стационарные и нестационарные процессы переноса заряда в кремниевых биполярных транзисторных структурах. В случае высоких концентраций донорной и акцепторной примесей в окрестности перехода эмиттер-база необходим учет статистики Ферми и зависимости квазиэлектрических полей от уровня икжекции (самосогласованная мо -дэль). При существенно меньших концентрациях в окрестности р'ь переходов ( =гЮ^см"3) самосогласованная и упрощенные модели дают практически одинаковые ре -зультаты.

3. Эффективными численными методами для моделирова-

ния стационарных процессов в компонентах БИС являются: построенная в диссертации консервативная, монотонная разностная схема, позволяющая проводить расчеты на грубых сетках как в случае статистики Ферми для носителей заряда, так и в случае статистики Больцмана; разработанный итерационный процесс решения стационарных задач для самосогласованной модели; предложенная модификация метода Гуммеля для расчета ВАХ в широком диапазоне изменяющихся токов и напряжений. Эффективность предложенных алгоритмов показана на примерах расчетов характерных компонентов БИС в двумерной и трехмерной геометрии.

4. Экономичным методом расчета переходных процессов в компонентах БИС служит разработанная в работе полунеявная, полностью консервативная при установлении разностная схема. Ее абсолютная устойчивость доказана на линеаризованной модельной задаче. Высокая эффективность предло -кенной схемы подтверждена результатами численных экспериментов .

' Расчеты переходных процессов в характерных транзисторных структурах показали, что двумерные аффекты существенно влияют на длительность переходных процессов.

5. Моделирование стационарных и переходных процессов для широкого класса компонентов кремниевых биполярных и ВДП БИС может проводиться с помощью разработанного в диссертации пакета прикладных программ "Альфа".

Сопоставление результатов моделирования биполярных и ВДП транзисторных структур с экспериментальными данными показало их вполне удовлетворительное совпадение.

t

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Мартузан Б.Я., Польский Б.С. Метод расчета одномерных полупроводниковых структур. Изв.АН Латв.ССР,сер.ФТН, 1976, № 4, с.61-69.

2. Мартузан Б.Я., Польский Б.С. Численное моделирование одномерной биполярной транзисторной структуры. Изв.АН Латв.ССР, сер.ФТН, 1976, № 5, с.76-81.

3. Польский Б.С., Похвалина Л.С. Двумерная 'Г'стениая модель биполярного транзистора. Iton.AH Я»' -'"'IP, сер, ФТН, 1977, 4, с.59-69.

4. Мвртузан Б.Я., Польский Б.С. О сходимости 1ерациокннх методов для решения стационарных задач теор, ;i полупроводниковых приборов. В кн.: Математическое моделирование, Рига, 1978, е.79-91.

5. Мартузан Б.Я., Польский Б.С. Численное решение одномерных стационарных задач теории полупроводниковых приборов. Латв.мат.ежегодник,1978, вь?п.22,с ЛЗЗ-ИЗ.

6. Польский Б.С., Римшанс Я.С. Численное моделирование переходных процессов в биполярных полупроводниковых приборах.Изв.АН Латв.ССР, сер .ФТН, 1978,?? 4,с.70-76.

7. Polaky B.S., Rimslsana J.S. Comparison of different methods for numerical olmulatioл of transient processes in bipolar semiconductor dovicea. Solid-State Electron., 1930, vol,23» Ко.2, p.133-185.

8. Polsky B.S., Hiroshima J.S. Huacrical simulation of transient processes in 2-D bipolar trari3i3tor3.Solid-State Electron., 19Э1, vol.24, Ho.12, p.1031-1035.

9. Иванов H.M., Новиков В.И., Польский Б.С., Рш.шэнс Я.С. Комплекс программ "Альфа" для моделирования физических процессов в биполярных полупроводниковых приборах. В ■ кн.: Техника средств связи, сер.МЭА, М., 1982, вкл. КЗ), с.37-47.

10.Польский Б.С«, Римканс Я.С. Метод расчета одномерных биполярных структур с учетом аффектов сильного легирования к статистики Ферми-Дирака.Иза.сузоо-Радиозяскт-роника, 1982, Деп.а ВИНИТИ, $ 4373-62. .

11.Польский Б.С., Похвалина Л.С. Числснноз моделирование стационарных процессов в биполярных полупроводниковых приборах. Изв.зузов-Радиоэлектроника, 1962, т.25, с. 44-49.

12.Ро1вку B.S., RimehanB J.3. Fno-dimcnsional numerical simulation of bipolar semiconductor devices taking in to account heavy doping efieota and Fermi statistics.

Solid-State Electron.,1983. vol.26,Ко.4,p.275-279.

13. Польский B.C., Похвалина Л.С., Римшанс Я.С. Пакет прикладных программ "Альфа-СД83" для моделирования стационарных процессов в биполярных полупроводниковых приборах. РФАП Латв.ССР, 1984, Инв.№ ИМ0032, 100 с.

14. Poluky B.S. On 8peeding~up of iteration convergence in semiconductor problems. Solid-State Electron., 1984, vol.27, Ho.2, p.191-194.

15. Польский B.C., Римшанс Я.С. Моделирование электрических характеристик сильно легированных транзисторных структур. Электронное моделирование, 1985, т.7 № 6, с.35-38.

16. Польский B.C., Римшанс Я.С. Об одной разностной схеме для решения нестационарных задач теории полупроводниковых приборов. В кн.: Численные методы механики сплошной среды, Новосибирск, 1985, т.16, № 4, с.77 -95.

17. Дцамсоне А.И., Польский Б.С. Численное моделирование компонентов интегральных схем в трехмерной геометрии. Тезисы докладов X Всесоюзной школы "Теоретические и прикладные проблемы вычислительной математики и математической физики", Рига, 1985, с.6.

18. Польский Б.С., Римшанс Я.С. Двумерное моделирование переходных процессов в биполярных структурах. Изв. вузов-Радиоэлектроника» 1986, т.29, № 6, с.55-59.

19. Польский Б.С. Численное моделирование полупроводниковых приборов. Рига, Зинатне, 1986, 160 с.

20. Адамсоне А.И., Польский Б.С. Численное трехмерное моделирование биполярных транзисторных структур. Изв. вузов-Радиоэлектроника, 1986, т.29, $ 9, с.46-49.

21. Адамсоне А.И., Польский B.C., Похвалина Л.С.,Римшанс Я.С. Математическое и программное обеспечение моделирования компонентов биполярных интегральных схем. Автометрия, 1986, № 5, с.83-88.

22. folsicy B.S., Riaahans tl.S. Half-implicit difference echeme for numerical simulation of transient proces-

sea in semiconductor devices. Solid-Stata Electron ., 19B6, vol.29, Ho.3, p.321-328.

23. Дцвмсоне А.И., Польский B.C., Римйанс Я,..' » Шур А.И. Математическое моделирование переходных пр^ессов в компонентах кремниевых биполярных и МОП БИС, Тезисы докладов первой Всесоюзной конференции "Физические и физико-химические основы микроэлектроники", Москва, 1987, с.407.

24. Адамсоне А.И., Польский Б.С., Римшанс Я.С., Шур А.И. Численное моделирование переходных процессов в компонентах БИС совместно со схемными элемента?.«?. Тезисы докладов республиканской конференции "Численные методы и средства проектирования и испытания элементов РЭА", Таллин, 1987, с.93-96.

25. Польский B.C., Римшанс Я.С. Математическое моделирование эффективного сужения ширины запрещенной зоны сяльно легированного кремния. Тезисы докладов республиканской конференции "Численные методы.и средства . проектирования и испытания элементов РЭА", Таллин»

1987, с.97-99

Польский Борис Семенович

Математическое моделирование компонентов интегралы«« схем

в диффузионно-дрейфовом приближение

Автореферат

Подписано к печати 25.01.88. ЯТ 0901а £-г> 6(404/10

2,3 физ.печ.л. 2,1 усл.печ.л. уч.иэд.л.

Тираж 100 экз. Зак. л 180/2 Бесплатно Отпечатано в типографии ЛГУ им.П.Стучки 226950 Рига, ул.Вейденбаума 5