Математическое моделирование многокомпонентных твердых фаз в приближении метода кластерных компонентов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

> 9'Я

академия наук- грузии . институт вычислительной математики.™. н.и„ 5иусхел1ош!ш

■' На правах пукошси СирОиадзе Гия ГурамоЕич

матшатическое моделирований

многокомпонентных: твердых фаб в приближении

метода кластерных компонентов ■ * 01.01.07 - вычислительная математика

Автореферат

диссертации на соискашге ученой степени кандидата физике - математических наук

Тбилиси - 199!

Работа выполлнена в тбилисском государственном университете • им. Ив. Дкавахишвили

Научный руководитель: кандидат физирэ,- математических наук, доцент т:г. Га^ечиладзе.

\ г

Официальные оппоненты-: доктор фнвико - математических наук, профессор Е-И. Леванов кандидат физико - математических наук, ■ доцент Г.В. Мелэдзе

Ведущая организация: Институт математики АН Грузии

1991 г. в час

Защита состоится. "/¿/" сМ^&ирУн. 1991 г. в ¿^х часов на заседании специализиройашсу'о совета К 007.05.01 в Институте вычислительной математики им. Н.И. Мусхелишвияи АН Грузии по адресу: 380093, Тбилиси - 93, ул. ¿курская, 8. • -

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке- Института 'вычислительной математики им. Н.И. Мусхедишвили АН Грузии.-

Автореферат разослан "/2." ^Ойч/д^ 1991 г.

ученый секретар специализированного совета

/Н-К. Чухрукидзе/

• | ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

'" 1 1

^Актуальность темы. Проблема взаимосвязи'свойс-гво-структура--^¿^юотавявляется центральной при получении материалов с- нушшш свойствами. ■

■ Так ¿сак в настоящее время нет общей микроскопической . теории, позволяющей из первых принципов описывать зависимость свойств от' состава,■ структуры и. дефектности соединений, в Сольшенстве конкретных- случаев приходиться становиться на эмли-- рический путь решения .указанной проблемы.

В подобной оитуавди моделирование, в часности статисти-■' ческо9' моделирование, приобретает важное значение.

В работе предпринята попнтка решения проблемы количественного описания взаимосвязи свойства-структура-состав на основе численного метода статистического моделирования -метода Монте - Карло (ММК) ■ и поду эмпирического т.н. метода кластерных компонентов (МКК).' •

МКК позволяет с единой точки зрения интерпритировать большое _количество свойств твёрдых соединений переменного состава .

Основная идея МКК заключается в том, что ' реальная система • представляется в виде, совокупности невзаимодействующих, ■образований (кластерных компонентов (КК)), поведение которых позволяет судить о свойствах соединения; каздая КК- а даёт определёйый* вклад в рассматриваемое свойство с определённым статистическим весом. '

Основной характерной особенностью МКК является необходимость введения т.н. гипотетических КК-ов (ГКК), которые в чистом виде ' при данных физических условиях могут не существовоть .

Поэтому, как правило, определение, нужных свойств ' твёрдых фаз производится исходя из условий наилучшего согласия с эксперементом , что.с теоретической точки зрения является не вполне удовлетворительным. В отличие от этого в некоторых случаях^ мы предполагаем моделировать ГКК на основе .машинного

эксперимента, в основе которого лежит метод Монте-Карло (ММК), что позволяет непосредственно прогнозировать свойства соответствующих соединений".

Цель работа. Решение в рамках МКК задачи статистической . физики связанной с определением зависимости состав-' структура-сбойстео твёрдых растворов, приводимой Vчисленному моделированию случайных процессов и их статистическому анализу.

Модификация МКК с целью более адекватной математической постановки проблемы взаимосвязи . свойство-структура-состав. Постановками решение проблемы расчёта параметров упорядоченности на основе расширенной математической трактовки.

Развитие метода генерирования траекторий однородной цепи Маркова, отличающегося от известных в настоящее время методов экономией затрат машинного времени и "оперативной памяти и наиболее полно отражающего специфику изучаемого объекта.

Проведение статистического'анализа генерированных последовательностей, основывающееся на предельных теоремах для случайных последовательностей, "случайных элементов МКК".

Решение таких задач как: факторизация матриц переходных .вероятностей, задач оптим&Льнкх остановок, оптимального выбора метода'прогнозирования поведения траекторйй в будущем и т.п.

• Построение соответствующей компьютерной модели (пакета прог- ' рамм(ПП)) для многокомпонентных твёрдых фаз. Проведение компьютерных экспериментов' и сравнение результатов с. опытными • данными. ' .

Научная новизна и теоретическая ценность работы. На основе формализма фазовых функций Вигяера для элементарного акта Д.Зосдика генерирования случайной фазовой точки, ' соответствующей квадратичной реийтке, была построена в широком смысле .стационарная цепь Маркова, обеспечившая возможность использования стационарной статистики для оценки параметров порядка МКК или ГНК. - Разработана соответствующая схема

численного статистического моделирования ГКК. Доказана теорема достаточного' условия использования МКК для бийэрных сплавов. Б приближении МКК для определения параметров порядка выведены уравнения райновесия.

Практическая цештость работы. Полученние в диссертационной работе результаты'могут найти применение для оценки и прогнозирования ряда свойств многокомпонентных твердых ' соединений, на основе разработанного пакета програм.

Апробация работы. Основнио результаты диссертации неоднократно докладивались на научных семинарах Институтов физики и вычислительной математики АН Грузии, ка семинаре кафедры теории случайных процессов тбилиссого университета.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликовабн в -работах С1-7]. . ■ -

• Объём и структура работы. Диссертация состоит из введения, четырёх глав, приложении, списка литературы (87 наименований) и изложена на 140 страницах, включая 14- рисунков.

СОДЕРЖАНКЕ РАБОТЫ

Возведении диссертации, даётся краткий обзор литературы, охарактеризованы предает и цель работы, кратко описаны основные результаты.

В главе X: выведены формулы вероятностей распределения различных сортов атомов по неэквивалентным узлам ренёткн твёрдой фазы (§1).

Рассмотрены вопросы, связанные с построением матриц существования сплаЕа (МСС), которые считаются одним из основных'элементов МКК (§2). ~ ■ ,

Приводятся линейное разложение МСС, а также построение выпуклого многогранника области существования твёрдой фазы. Описаны элементарные МСС- (53).

Определены кластерные компоненты в МКК, Приведён конкретный

- б - '*

пример ( §Л). " ■',.•■

' Представлены постулаты МКК, а также соответствующая математическая модель. (§5). "

Представлен модифицированный ЫКК, ^что связано с более адекватной математической постановкой проблемы взаимосвязи свойство-состав. На вершинах каждого симпЛэйса области существования сплава строится ортонормирозанная система и, используя третий постулат МКК восстановливаотся зависимость. Здесь ке приведен класический-метод прогноза для ШХ ь нужных- терминах (§б).

В 'кафстве -примерз применения ЩК рассматривается расчёт свободных параметров на основе,. некоторых 0614ИХ эмпирических законов, ь отличие от авторов.МКК (§Т). ■ .

В главе II: представлена математическая основа 'для реализации МКК. Получены основные уравнения для определения параметров порядка в приближении МКК на основе минимизации свободной-энергш(«1).

Если твердое' соединение С^'К-.С,^ (с- - концентрация

. а 1 "п •

компонента.G^, £ 1 0 ) содержит п сортов атомов й к

типов неэквивалентных "кристаллических узлов, для .полной характеристики состава, структуры, удобно пользоваться "вектором существования сплава" nkизмерений. т.к. .в случае, когда каждый из атомов. ,...п занимает один из неэквивалентных

узлов (услйвно обозначаемый как "J", j=1,...,k),

(i* ) (ik) CP-CG ' /"1G к/"к") >0 (1)

(т.е. вероятность такого события существует), то число, всех

возможных перестановок (i1,l2.....,ik), ij=l,...,n, 1=1.,...,k,

равно,nk. Для реализации осноеной идеи МКК в' §1 был выведен

явный вид вероятности (1),

"Вектор существования сплава" можно представить так:

(о,) (oV) „к

р= pcg 1 - /"1 г,...,g •■ . (2)

Следуя МКК за КК можно принять единичные векторы линейного пространства размерности nk:

0\ = (0,0,...,0,1,0,...,0}. (3)

' i . .. Из основных постулатов ККК (§5) тлеем единственное

разложение SP на элементарные матрицы КК - :

. ТТп ' • ) (1,)

¡Р = Т, к • /"1G te/"!k"> (4>

где P(J1,обозначает один из ортов (3); Некоторое свойство i можно представить как линейный функционал на пространстве "векторов- существования сплава": . .

ï"7n ) ( 2-1,) (.'-) (oV) f(!P) }k IPfCVi1 .....G^ ЖС^1 .....0^ >. (5)-

"Дб ' . ' - ■ " -

■ îm =f( G(Q1).:.G(0n)), î(gv°1 .....c^. )s(P(31.;-..Jv))..

1 П. 1 ri

^U-i) Un.). (j.,) {¿J.)

PiG., 1 ,..., G } = P-CG . K/"k">. (6)

■ В .§5" были' предложены основше физические постулаты ККК и

¡ытекающая из них формула (5), которая и служит математичее-

:ой моделью- МКК . .

) (ii,/

Определение: Вероятности 0>(G 1 /1,...,G /к) и--их линейна* комбинации можно^ считать параметрами порядка; например:

юбой элемент 11(^1будет параметром порядка,где f..- слу-айный спин, .характеризую^ узел типа, "i" решётки твёрдой азы. Ясно,, что для полюй- характеристики (реализации) МКК еоСходя-ю разработать метод определения значений параметров орадка, соответствующих физическому равновесию твёрдой фазы ри данной температуре. ^

Рассмотрим свободную энергию S^1^... соешп-екй:

РЧЕ-^ТЗ, где Е - внутренняя энергия, К^- постоянная Больцмана, ТГ~ ■ ¿емцерагура, 5 - энтропия.

Так, как..в МКК считают, что система является "идеальным газом" невзаимодействующих КК-ов с соответсгвувдиш концентрациями (коэффициенты разложения в МКК), то внутраняя энергия Е точно удовлетворяет основному разложению МКК:

1~п (0%) (о-,) ,

' Е ^¿^Г0"1 '"-ч .....-ч }'

где ЕСб ,....в^ > -.внутренняя энергия КК-та

(¿,) ик)

а,, ,...,С, л , а энтропия:

4 \ ■ .

5 = - £ * 1 .к }Щ га^ ■.....к } . (7> ■

¿2^1=1 ^ 'к '¡ к В приближении парного взаимодействия внутренняя энергия упорядоченного стеиюметричвского соединения с учётом б'-сфер записывается гак: _ • -. • ■'

1 . к: р^ч г=1

где - число связей о'1'1 я <3^ сортов атомов на

г-той сфере между р-той.и д-той' годрешёткаш; - потенциал

взаимодействия между (И1^ к С ^атомами на г-той сфере решётки. Ясно, что

С = Е £ у , .

г=1 1<те{15}2=1 ет

Пс

где £ число связей на г-той сфере

Тогда получаем, систему уравнений равновесия в приблизкешш МКК:

П1к ИР«,, 1 ...С^, * }]. 1 к 1 К =Кт(1г...Дк) , 1 =1 1 к

(8)

1

1 ,п п п где ' П к = П ... П , К„(11,..., 1, )=

«А V-1 V1-

1.П (Ь) (¿к)

=Бхр[-(Ек И(31.....Зк,11.....К})/Кб1] ;

«а.....1 ,0....,0,1 ,0.....0)=С Пап 1"]

, («и

V /-? ч я'

л (Дт ) »„ К.

.¡5^7 1

• - (9)

где 1< рй к-1 ; п-1;- всего (п-Т) (К-1) . - параметров;

а для остальных - X :

• к } ' . ИЦ.^.... ,ЗкД., Д2,... Дк) = п а± 1 , . (10). .7;

где М [1Д1^1)=Я(11 Дг,...,1^,^=0.....п-1,1=1

■Мы имеем пШ^-1-}) независимых параметров порядка. Легко установить, что ограничивающие условия для параметров Я будут: .к * !<>.(!, Д2,. , если все чётные и.п чётное ;

0<Ш., Д2-,-.. Дк)<Ьд, если все чётные и п нечётное;

-|Ь®| < X < Ъ™ в остальных случаях(где .Ъ -собственные значения случайного спина Е ).

Считается что некоторые значения ¡ЕСй^Ч-.-.С ) -внутрекных энергий ГКК-ов неизвестны, для численной оценки которых и разработан метод Монте-Карло. Приведены практические" рекомендации для численного реиения уравнений МКК, а также общие примеры, бинарных, тройных и четверных сплавов(553-5)-.

-Mo -

В главе III: рассмартиваются вопросы статистического моделирования для определения параметров порядка твердых фаз..

Исследуются вопросы статистического моделирования и соответствующего статистического анализа траектории эргодаческой, однородной цепи Маркова с оольцмановскими факторами в качестве. стационарного -распределения -(каноническое распределение Гиббса (§1)).

Представлен новый вариант математической модели МКК и числений ШЖ для расчёта параметров порядка КК и ГКК; при этом используется формализм вигнеровских фазовых функций. Вычисления проводятся в приближении Ф.Клаппа для бинарной твёрдой фазы на квадратичной решётке. При построении модифицированного № техника прямых методов.генерирования-марковских траекторий переносятся из конфигурёцяогрюго фазового пространства в пространство параметров МКК на основе введения т.н. "молекулярных реакций", которые генерируются с помощью равновесного распределения с • учётом достаточной статистики парного взаимодействия (приближение CD. Клаппа)' (§2.).

В рассматриваемой математической мбдели параметры MKS идентифицируются как средние значения случайной последовательности марковского типа со стационарным распределением; свойстве как функционалы на пространстве матриц, существования сплавов.

Так мы получаем траекторию стационарной в широком смысле однородной цепи Маркова со стационарным больцмановскю. распределением, статистический анализ которой не представляет больших трудностей с точки зрения оценок параметров МКК. Расчёты проведены для бинарных соединений с квадратично! структурой' решётки. Заметим, что реализация описанного нзьв общего алгоритма статистического моделирования для тройных i n-компшентннх соединений на представляется .технически тру дне решаемой задачей.

1. В - дальнейшем - принято, что имеется некоторая

физическая модель А В1_ сплава на квадратичной решётки с Н узлами;, параметры порядка являются функциями от Кдв, КДА и Т«'вв равновесных средних значений количества пар АВ, ВВ, АА первых

соседей ( ^-'^^ав^аа-^в >равнЛ х=<х0'х1.....xk>*Dm >•

Рассмотрим.элементарный акт процедуры (генерирования новых конфигурации в МКК) Д. Фосдика (см.рис. 4). который эквивалентен осуществлению следующих "молекулярных реакций" :

^ (аа)+п2(вв)+ п3(аз)->21,; (аа) + n¿(BB) -г п^(ав) , (11)

где i^+n,* + + rij = Т. Если: 1) реакции (11) равно-

весные (в дальнейшем мы будем их рассматривать в приближении Ф. Клаппа ; 2) матрица вероятностей перехода обеспечивает

эргодичность цепи" (Njg'.líj^Jíjlg*), п - 0,1,2,... со .стационарным распределением Больцмана , то мы можем построить стационарные траектории, вдоль которых оцениваются

значения (Мдв'^аа'^ев ^равн соотввтсвенно 1=1,...,к.

Приведем -формальный алгоритм генерирования траектории такой цепи: _ '

0). Пусть НЙКОТСФО0 начальное приближена«

ínab,naa,nbb ^равн.'

1). Пусть (ИдвVtfj^'^BB'приближение на n-ом шаге;

2). .Если п^1'1—> n|n4i=l ,2,3)-некоторая разыгранная реализация 'реакции (11), то

Н<п>«= м(п)+ П(П)_. ,,(п+1> = ?.(п) (п). п2,

НВВ • ЕВ * n2 > НБВ " "вв + nZ

2. Величины n1 (AA),ng(BB), п3(АВ), входящие в уравнения "реакции" (12), получены из-кластеров Д. 5осдиха (см. рис. 1). Их можно 'формально представить как квчнтого-мвконические

(спиновые) состояния, симметрия кластеров).

число которых равно 64 (учитывается

В представлении ^Чу2^2^^2')

где

спиновые функции, элементы оператора реакции ( матрицы вероятностей перехода для элементарного акта ММК) таковы:

«1 , 3=1 , 1 < 32,

, ■ 3-1=1, 1-нечетное , 1< 32 ,

р± , 1-3=1, 1-чётное , 1< 32 ,'

0 , в остальных случаях (1,3), 1 5 32,

1 , 1=3, 32 < 1< 64

О < 1*3, 32 < 1< 64 ,

(13)

. т.к.

-

ч

1-нечётное , 1< 32 1-чётное , 1< 32 , 32 < 1£ 64 ,

(!4)

^ З13 = <*

1 где 1)-некоторые

постоянные, определяемые в дальнейшем (отметим, .что нумерация сшшовдх состоянии условная).

Если СФд^з ф любое представление, то

Ш В"

(15)

где { = Н (здесь В - матрица коэффицентов Клебша-Гордана Наш полученны вигнеровскда функции в представлении Ф (см. рис. 2):

(18)

а.8 8,8 2,3 2,3 т

Гц (8 Е Е Е Е а1 т а1 га 4

хВ(11,го1,12;,ш2,11^1Л2,^г )Ац¿(8а)А1 (16)

где а'Р, В - постоянные, зависящие от коэффициентов Юмбша-Гордана и параметров типа детерминанта вандермонда.

линейные функции от собственных значений з и символа

Кронекера от собственных значении а. Учитывая (15),(16) для элементов матрицы плотности, получаем :

^^/(З^Б-^^Б^Зр . ' (1Т) й 2

Тогда закон распределения состояния .....будет:

V ¥б4

р11*?>22 .....Р64,64

. ■ Оператор реакции и закон распределения (19)

■ позволяют провести моделирования траектории стационарной • в широком смысле однородной цепи Маркова ММК. Отмутим, что ,

п{п)= п1( Ф(п1). пц Ф(п)) ,1=1,2,3, п=0,1,2,3.....

( реализация.состояния ка п - шаге моделирования )

3. Нами получено явное выражение функции, условного распредления для системы, изображённой на рис. 2 :

2 3 2 3 . т , 3 . пц , з,

Е Е Е Е < з1/Р 51/? г., г' ><

• а 3 171 =0 3 =0 п7=0 ^=0 1/2 1/2 ^

» Ь* (20)

, га . 3 . т. .

Вычислим величины <$1/г ^з/з^ /-?3з/2' Б приближении С. Клаппа . Рассмотрим кластер, соответвуадий рис. 2 (см. рис. 3):

- U -

oi = ± 1 ( A <— +1, В <— -1). В приближеюши Ф. Клаппа вероятность конфигурации этого кластера записывается так :

= Expf W~1 £ a{1)xi " t} • <2,)

где 1=1,...,64 ; W-j^j-i. ~ множители Лангранка , • а •

/1 % 1-1,64 /-J \\

iaiV}i=T77 -хаРактвРисижи конфигурации (а| =1 .а^'Ыо^],

a3I)stc,1u25l • ^^«З1! ' 41)sla4°6]l • .

....,64), 1=1,...,64. - коэффиценти

кратности симметрии.

Составим систему уравнений для неизвестных 1=1,...,7: •, 64.

1=1 1 х

64

^Е TOj^i '=•. > . 3=1,...,8

^ [cfiaj3l Р1 " <0i°j> 1, J=T7cE 1<J

(22)

где <о .> s сА- сБ (cA, cB - концентрация -атомов сорта A и В., соответсвенно), линейные функции от- параметров Каули.

Численное решение уравнений (22) позволяет вычислить:

- i - i ■ . i, . 0-, б4 - i - i - i-i - 0-j

< 1/2 S3/2 S1/2 S3/2 > -¿/Л^Т/г S?/2 S1/2 S3/23l '(23) ..

после чего приближенно вычисляется F(s„,s') и, соответвенно

64 '

{р1131=1' Доказывается,.что оператор реакции (13),(14) обеспечивает стационарность цепи Маркова при удачном выборе /3^-.

( ф Еф = о , о = (q1,q2,...,Q64) , qj- больцмановские факторы).

Вспомним, что п{п)= пх( Ф(п)), п:(Ф(п)), тогда (N^,

цепь ^УД81, стационарной в широком смысле .

Отметим, что модифицированный ММК генерирования марковских траекторий . эффективен, так как можно применить статистику стационарных последовательностей' для оценки • равновесного значения параметра порядка х^ = х^ ' >раш Ы'ТПс.

т.е. можно составить эффективные программы для ЭВМ, реализующие высшеописанныё процедуры.

А.

! 11 !

в

ряс. 1

•

Л. ' Ч 3 -* 4 п

Ы/ V - -7- 32 - ♦ 4-)2

• Л • 1 -

\ «4/2

V ^п 3' 1 1 °'

рис. -2

"4

рис. 3

В главе IV: представлен разработанный нами метод Монте - Карло для моделирования гипотетических кластерных компонентов, ь частности для оце!жи их каулевских параметров ближнего порядка

с целью определения соответствующих потенциалов взаимодействия, которые в свою очередь применяются для вычисления конфигурационных равновесных средних различных параметров ГКК.

Рассматриваются некоторые вопросы динамической интерепрета-цчи процесса моделирования методом Монте-Карло, а также вопросы точности, начального' значения траектории и термодинамического предельного перехода.(при статистических оценках применяется понятие "практической устойчивости" статистик .(§51-3)).

Рассмотрены вопросы построения ГКК, в предположении, что параметры ближнего порядка бинарной твердой фазы зависят от концентрации через параметры решётки (§4).

В приложении приведено краткое описание компьютерной системы и её соответсвующих блоков (программ).

Таким образом, основные результаты диссертации заключаются в следующем: . *

1. В рамках. МКК. ставится задача статистической физики для Определения зависимости состав- структура- свойство твёрдых растворов, которая нами приводится к численному моделированию случай- ■ шх процессов и их статистическому анализу.

2. Для реализации развитого в первой части подхода возникаег необходимость в получении и исследовании траекторий эргоднчес-ких марковских, процессов. Изучается преимущество такого подхода в противовес к схеме независимых испытаний.

В работе развит метод генерирования траекторий однородной цепи Маркова, отличающийся от известных в настоящее время методов экономией затрат машинного времени и оперативной памяти и наиболее полно отражающий специфику изучаемого обьектй.-Проведён статистический анализ генерированных последовательностей, основывающийся на предельных теоремах для случайных последовательностей, "случайных элементов МКК". Строятся соответствуйте статистики для нужных параметров и развивается

теория оценок.

3; Представлена математическая основа для реали-

зации МКК. Получены основные уравнения для определении параметров порядка в.приближении МКК на основе минимизации свободной энергии. Приведены. практические рекомендации для численного решения уравнений МКК, а также общие примеры бинарных, тройных и четверных сплавов.

4. . Используя формализм фазовых функций Вигнера для элементарного акта генерирования случайных конфигураций (метод Метропол-исса) соотвеыствущих квадратичной решетке, была построена в широком смысле, стационарная цепь Маркова. При построении модифицированного ММК' техника прямых методов генерирования марковских траекторий переносятся из конфигурационного Фагового пространства в пространство параметров МКК на основе введения т.н. "молекулярных реакций" , которые генерируются с помощью равновесного распределения с учётом достаточной статистики парного взаимодействия (приближение ,Ф. Клаппа)

5.Разработан метод Монте-Карло для моделирования гипотетических кластерных компонентов, в частности для оценки их каулевских параметров ближнего порядка с целью определения соответствующих потенциалов взаимодействия, которые в свою очередь

.применяются для вычисления конфигурационных равновесных средних различных- параметров ГКК.

6. Исходя из всего этого была построена "соответствующая компьютерная модель ( пакет программ(ПП)) для многокомпонентных твёрдых фаз.

Основные результаты диссертационной работы опубликованы в работах:

1. Сирбиладзе Г.Г. Метод кластерных компонентов для четырех-компонентных растворов // Тр. Тбил. гос.ун-та (Киб. Прикл. матом.). - 1984, 251 (5). - С.162-166.

2. Сирбиладзе Г_Г. Моделирование свойств четырехкомпонентных

твердых растворов. // Тр. Тбил. гос.ун-та (Киб.. Прикл. * матем.). -1981, 224(3). - С.54-64.

3. Сирбиладзе Г.Г. Моделирование гипотетических кластерных компонентов методом Монте-Карло. ' // Тр. Тбил. гос.ун-та . (Киб. Прикл. матем.). - 1935, 258(6). - С.192-216.

4. Сирбиладзе Г.Г., Горгадзе З.Г., Гачечиладзе Т.Г. Стагис -тиче^кое моделирование некоторых свойств бинарных систем в • приближении метода- кластерных компонентов. //Тр. Тбил. гос. . ун-та (Киб. Прикл. матем.). - 1987, 272(8). - С.122-140.

5. Сирбиладзе Г.Г., Гачечиладзе Т.Г. Интерпретация зависи мости состав-твёрдость на основе метода кластерных компо -нентов. // Тр. Тбил. гос.ун-та (Киб. Прикл. матем.)-. -1988, 279(9). -С.236-259. ' ,

6. Сирбиладзе Г.Т. Моделирование эргодической однородной цепи Маркова и её статистический анализ. // Тр. Тбил. гос.,ун-та (Киб. Прикл. матем.). - 1987, .272(8). - С.141-149. ' '

7. Сирбиладзе Г.Г. Оценка и прогнозирование состава и физйко-, химических свойств . твёрдых соединений на основе математического моделирования. // Тр. Тбил. гос.ун-та (Киб. Прикл. матем.). - 1991, 308(.). - (в печати).

С.

Ьой&прсм!^ ¿по д^поЭлЬ с1д ЗйозоадпЗЗпбзб^лдбо Зуойп »¡^^з&пЬ 6о>0>эЭс>Д(\);ртп Зпад^пАз&л , ¿пЗЭпбэбдвю ЗпоЬ£од&о<Зо

(Аз1>зс; 36083) «йп^оЬп 1991

Бесплатно

Заказ N 95 Тира* 100

тВо£>о1)Г)Ь 1>дЬд£;Эбо»5п

йпДоЗйпбдг»

380028, «вп^пьо 28, п. ¿^¿<53<>сы> ¿.,2.

Ротопринт тбилисского государственного университета 380028, Тбилиси 28, ул. И. Чавчавадзе 2.