Математическое моделирование рассеяния света на частицах в слоистой структуре тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

Введение.

1. Слоистые среды. Представления для векторных потенциалов.

1.1. Физическая постановка граничной задачи рассеяния.

1.2. Математическая постановка граничной задачи рассеяния.

1.3. Теорема корректности для частицы в слоистой среде.

1.4. Идеология сведения задачи рассеяния к задаче аппроксимации поля на поверхности частицы.

1.5. Определение спектральных функций.

1.6. Дифракция плоской волны на слое.

3.3. Электромагнитные потенциалы. Спектральные электрических и магнитных мультиполей.

3.4. Представление для решения с учетом поляризации.

3.5. Вычислительный алгоритм. Внешнее возбуждение.

3.6. Диаграмма рассеяния.

3.7. Поток энергии.

3.8. Обсуждение результатов.

4.2. Математическая постановка задачи рассеяния.

4.3. Представление для приближенного решения.

4.4. Схема вычислительного алгоритма.

4.5. Диаграмма рассеяния.

4.6. Обсуждение результатов.

4.7. Заключение. Рисунки к главе 4.

Заключение.

Литература.

Введение.

Математическое моделирование дифракции электромагнитных волн на трехмерных рассеивателях произвольной формы имеет важное значение для решения как прямых, так и обратных задач теории рассеяния и находит широкое применение в различных прикладных областях: радиоастрономии, геофизике, микроэлектронике, компьютерной томографии и многих других. Интерес со стороны прикладных областей к решению задач рассеяния обусловлен как возникновением новых технологий, так и развитием более совершенных подходов к интерпретации результатов измерений.

В микроэлектронике в связи с микроминиатюризацией интегральных схем и развитием технологии объемных интегральных схем (ОИС) существенно повысились требования к чистоте обработки силиконовых вейферов, которые используются в качестве подложек ОИС. Чистота поверхности вейфера определяется количеством дефектов имеющих различную природу. Размеры дефектов, критичных для технологического процесса производства ОИС, составляют десятую долю микрона, что находится вне границ визуального контроля. Контроль за чистотой осуществляется с помощью специальных устройств - поверхностных сканеров, в которых используются лазерный источник света и коллекторы рассеянного дефектом излучения. Подобные устройства предназначены определять число дефектов, загрязняющих поверхность вейфера, их расположение и размеры. При этом производители вейферов в настоящее время стремятся контролировать дефекты размерами до 0.06 мкм [1-2].

Как отмечалось выше, дефекты слоистых структур могут иметь различную природу. Это могут быть разного размера и формы загрязняющие микрочастицы, расположенные как внутри, так и на поверхности слоистой структуры, ямы и подповерхностные пустоты и вкрапления, а также нарушения структуры самого вейфера. Дальнейшая миниатюризация и совершенствование схем микропроцессоров приводит к необходимости исследовать новые классы дефектов, возникающих в технологическом процессе их изготовления. Одной из наиболее актуальных задач является обнаружение частицы под пленкой, осажденной на поверхность силиконовой подложки для реализации процесса литографии. Проведение экспериментальных исследований подобных дефектов существенно осложняется низкой интенсивностью рассеянного частицей сигнала, а также микрошероховатостями самой пленки. Вместе с тем, именно интенсивность рассеянного частицей света и является наиболее критической при анализе возможности обнаружения дефекта поверхностным сканером. Правильная интерпретация данных измерений невозможна без результатов математического моделирования процесса рассеяния света дефектами слоистых структур на подложке.

Следует отметить, что в световом диапазоне волн относительная диэлектрическая проницаемость загрязняющих частиц (в зависимости от материала) может иметь как низкие, так и весьма высокие значения. Поэтому разработка достоверных и эффективных численных методов решения задач рассеяния на частицах, диэлектрическая проницаемость которых может меняться в широком диапазоне, и математического обеспечения, позволяющего интерпретировать результаты измерений, является важной научно-технической задачей.

Необходимо отметить еще одно, не менее важное, приложение задачи рассеяния электромагнитного поля локальным рассеивателем, расположенном в слоистой среде. Это метод быстрого экспресс-анализа вирусосодержащих растворов [3-6]. В этой задаче роль подложки выполняет толстое стекло с нанесенным сверху тончайшим слоем серебра или золота, для усиления эффекта образования неизлучающих волн, а в роли пленки выступает тестируемый водный раствор, возможно содержащий вирусы. Источник падающего излучения находится под подложкой. Благодаря специально подобранному индексу рефракции, в растворе возникает эффект неизлучающих волн. В отсутствие сколь-нибудь значительных неоднородностей в растворе в воздухе отсутствует поле, регистрируемое детекторами в волновой зоне. Если в растворе содержатся вирусы, то с течением времени они концентрируются в некоторых местах, в результате чего возникает эффект трансформации неизлучающих волн в пленке в излучающие. Это ведет к появлению рассеянного поля в воздухе и его регистрации детекторами. Из-за мельчайшего размера вирусов детектирование их другими способами может быть весьма затруднительно.

Другим важным приложением задачи в близкой постановке является задача обнаружения диэлектрической мины находящейся в верхнем рыхлом слое грунта под которым находится толстый пласт более плотной породы. Подобная задача привлекает повышенный интерес в последние годы в связи с активизацией локальных конфликтов [7-8].

В настоящее время существуют различные методы решения задач рассеяния электромагнитного поля на локальных рассеивателях, расположенных на поверхности или внутри слоистой среды. Выбор того или иного метода определяется конкретной задачей. Для трехмерных рассеивателей произвольной формы могут применяться метод граничных интегральных уравнений [9-12], комбинированный метод конечных элементов и граничных интегральных уравнений [13-14], метод Т-матриц (и его модификации), а также асимптотические методы. Метод апроксимации дискретными диполями (DDA) [15] также может применяться для решения задачи дифракции на трехмерных рассеивателях произвольной формы, но кусочно-постоянная аппроксимация электрического поля внутри рассеивателя, используемая в классической схеме этого метода, приводит к неправильным результатам при сравнении с аналитическим решением для рассеивателей с большим показателем преломлений. Для повышения достоверности получаемых результатов в этом случае необходимо учитывать квадратичные члены в разложении поля [16]. Сходный подход основан на методе объемных интегральных уравнений (ОИУ). В этом случае в качестве неизвестного рассматривается индуцированный сторонним полем объемный ток поляризации внутри рассеивателя, относительно которого выписывается интегро-дифференциальное уравнение. Обзор публикаций по применению ОИУ в задачах дифракции дан в работе [17]. В последнее время появились работы, в которых решается аналогичная задача, но для двумерного случая (случая цилиндрической осевой симметрии рассеивателя). В основу решения положен метод диаграмных уравнений. Так, например, в работах [18-19] рассматривается задача рассеяния на идеально проводящем цилиндре произвольного поперечного сечения, расположенном внутри диэлектрического слоя.

Упомянутые выше методы относятся к так называемых численно-аналитическим методам. Подобный подход позволяет свести исходную граничную задачу (ГЗ) дифракции, сформулированную в неограниченном пространстве, к интегро-функциональному соотношению на ограниченной поверхности (или объеме) и дает возможность максимально учесть все особенности рассматриваемой граничной задачи (различные типы симметрии рассеивателя, поляризацию излучения и т.п.). К данному классу методов относится и метод дискретных источников (МДИ) [20]. Одними из первых работ, посвященных систематическому описанию теоретических основ МДИ, являются работы Ясууры [21], Векуа [22] и Купрадзе [23]. В дальнейшем классическая схема Купрадзе, применительно к плоским задачам, развивалась в работах М.А. Алексидзе [24]. и Р.С. Заридзе [25]. Близким по идейной части к МДИ является метод антенного потенциала развитый в работах В.В. Кравцова [26]. На западе МДИ известен как метод обобщенных мультиполей (GMT) и в настоящее время широко используется исследователями для анализа задач 'рассеяния [27-28] (также см. книгу [29]). v

Особенностью рассматриваемого класса задач рассеяния является удаленность от дефекта как источников первичного поля, так и области наблюдения рассеянного поля. Это обстоятельство позволяет отказаться от использования рессурсоемких алгоритмов, связанных с точным удовлетворением граничным условиям на поверхности рассеивателя, и воспользоваться концепцией квазирешения [30]. Одним из наиболее эффективных способов построения квазирешения ГЗ служит МДИ. Суть его состоит в том, что приближенное решение ГЗ строится в виде конечной линейной комбинации полей элементарных источников - диполей и мультиполей, локализованных в дополнительной области. Представление для решения аналитически удовлетворяет всем условиям задачи рассеяния, кроме условий сопряжения на поверхности рассеивателя. Таким образом, ГЗ рассеяния во всем пространстве сводится к решению задачи апроксимации на поверхности локального рассеивателя [30]. Полнота системы полей ДИ и корректность внешней задачи дифракции обеспечивают сходимость приближенного решения к точному решению ГЗ. Таким образом, МДИ представляет собой аналитико-численный метод, в котором часть условий удовлетворяется аналитически, а часть -численно [20]. Поскольку МДИ дает аналитическое представление для решения всюду во вне и внутри частицы, то можно апостериорно оценить погрешность удовлетворения граничных условий на поверхности частицы. Апостериорная оценка погрешности результатов может производиться путем вычисления невязки удовлетворения граничных условий на поверхности рассеивателя в соответствующей норме.

В последнее время было проведено обобщение МДИ на класс задач дифракции волн на локальном проницаемом рассеивателе в присутствии диэлектрического полупространства. Идея обобщения схемы МДИ на новый класс задач достаточно очевидна и состоит в последовательной реализации двух шагов. Первое, решается собственно задача дифракции поля внешнего возбуждения на заданной плоскослоистой структуре в отсутствии рассеивателя. Ее решение представляет собой новое поле внешнего возбуждения, удовлетворяющее у условиям сопряжения на нелокальных границах раздела различных сред. Второе, представление для рассеянного поля вне локального препятствия строится таким образом, чтобы удовлетворить условиям сопряжения на нелокальных поверхностях разрыва сред [31]. Тем самым задача рассеяния сведена, как и раньше, к задаче аппроксимации для нового внешнего возбуждения на поверхности локального препятствия.

В основу представления для рассеянного поля положен тензор Грина соответствующей слоистой среды. Была предложена схема построения полных систем для случая рассеивателя, расположенного в полупространстве [32]. На основе реализации вычислительной схемы МДИ, применительно к задаче осевого возбуждения диэлектрических рассеивателей в полупространстве, были получены новые результаты, связанные с поведением частотных характеристик рассеяния [33-34].

В 1995 году была реализована полная схема МДИ, применительно к анализу осесимметричной, проницаемой частицы на кремниевой подложке с потерями [35-36]. В последующие годы этот подход был распространен на анализ дефектов подложек - ям и пустот [37-38]. На основе сравнительного анализа рассеивающих свойств осесимметричных микрочастиц и ям (или пустот) в подложках был предложен алгоритм идентификации этих дефектов [39], позволяющий с помощью коллекторов рассеянного света надежно отличать микрочастицу от ямы или пустоты) в подложке. Вычислительная схема МДИ неоднократно верифицировалась экспериментально [40] и в настоящее время используется как средство определения области применимости иных подходов, в частности метода Т-матриц [41].

В данной работе проводится математическое моделирование задач дифракции электромагнитного поля на частице, находящейся в пленке на поверхности подложки, на основе МДИ. Рассматриваются два случая:

1. когда ось симметрии частицы перпендикулярна граница^ плоско-слоистой структуры;

2. когда частица и слоистая структура вместе не образуют осесимметричной структуры.

В последнем случае из-за наличия границ раздела сред с различными материальными характеристиками, построение приближенного решения усложняется и требует дальнейшего расширения носителя используемых дискретных источников, что приводит к необходимым модификациям общего алгоритма. В основу построения полей ДИ полагается тензор Грина соответствующей слоистой структуры [33]. Тем самым представление для рассеянного поля удовлетворяет системе уравнений Максвелла в областях постоянства параметров среды и условиям сопряжения для полей на нелокальных границах раздела различных сред (границы плоско-слоистой структуры), а рассеянное поле дополнительно удовлетворяет условиям излучения или убывания на бесконечности. Таким образом, амплитуды ДИ определяются только из граничных условий на поверхности локального рассеивателя [35, 37, 42]. В реальном физическом случае диаметр лазерного пучка много больше размеров частиц, следовательно, модель линейно поляризованной волны Р или S поляризации является адекватной моделью внешнего возбуждения.

Моделирование большинства дефектов осуществляется на основе замены реального дефекта эквиобъемным шаром или осесимметричным дефектом. Как показывают результаты сравнения с экспериментом подобные приближения во многих практически важных случаях вполне оправданы и позволяют разработать методику распознавания дефектов различного типа, например, отличать загрязняющую частицу от подподповерхностной пустоты или ямы [43-47]. В случае осевой симметрии использование МДИ позволяет существенно учесть это обстоятельство. Во-первых, использование разработанной процедуры построения полных систем ДИ дает возможность расположить ДИ на оси симметрии или в примыкающей к оси области комплексной плоскости. Построения подобной системы полей осуществляется на основе тензора Грина слбистой среды. Во-вторых, следствием подобного подхода является то, что приближенное решение имеет вид конечной линейной комбинации тригонометрических функций по азимутальной переменной. Последнее обстоятельство дает возможность перейти от аппроксимации поля внешнего возбуждения на поверхности дефекта к последовательному решению задач аппроксимации на образующей посредством разложения в ряд Фурье внешего возбуждения [35,37].

Однако существуют целые классы дефектов, которые не могут быть заменены эквиобъемным шаром, например это могут быть металлические опилки или царапина на поверхности слоистой структуры. В этом случае в представление для рассеянного поля входят лишь дипольные источники, а не мультиполи, а амплитуды ДИ определяются на множестве точек коллокаций, расположенных на поверхности рассеивателя, а не на образующей. Кроме того, основное отличие от осесимметричного случая состоит в том, что представление для приближенного решения в данном случае не зависит от поляризации внешнего возбуждения. Это позволяет решать задачу рассеяния сразу для всего набора углов падения и двух базовых поляризаций.

Сформулируем основные результаты, полученные автором, которые выносятся на защиту:

1. Проведено обобщение метода дискретных источников на случай рассеяния света частицей, расположенной в пленке на поверхности подложки.

2. Проведено его теоретическое обоснование, доказаны теоремы полноты и замкнутости систем функций, использующихся для представления приближенного решения вне и внутри частицы и для решения задачи сопряжения. Доказана теорема корректности для рассматриваемого класса задач, дающая апостериорную оценку модуля разности точного и приближенного решения через квадратичную норму невязки в удовлетворении условия сопряжения на границе рассеивателя.

3. Разработан и реализован комплекс программ, ( осуществляющих математическое моделирование процессов рассеяния электромагнитной плоской волны на частицах в пленке. v

4. На основе вычислительного эксперимента проведено исследование влияния различных параметров частиц и пленок на физические характеристики рассеяния. Выработаны практические рекомендации для конструкций поверхностных сканеров.

Работа состоит из введения, четырех глав и заключения. Остановимся вкратце на содержании глав диссертации.

Заключение.

Данная диссертационная работа посвящена анализу рассеяния электромагнитной волны на частицах, расположенных в слоистой среде. Актуальность этой задачи обусловлена рядом практических приложений, описанных во введении. В работе рассмотрены две структуры:

• осесимметричная (наличие осевой симметрии в задаче);

• неосесимметричная (отсутствие таковой).

Для решения обеих задач использовался метод дискретных источников, теоретическому обоснованию применения которого к этим случаям в диссертации уделено большое внимание. На основании разработанного вычислительного алгоритма реализован комплекс программ по расчету физических характеристик рассеяния. С помощью этих программ был проведен большой вычислительный эксперимент, результаты которого достаточно подробно обсуждены и представлены на рисунках в конце соответствующих глав.

На основе проведенного вычислительного эксперимента сделаны некоторые выводы, важные для развития технологии идентификации дефектов слоистых структур:

1. наличие пленки приводит к существенно иному, чем в случае отсутствия пленки, поведению как интегрального поперечника рассеяния, так и интенсивности рассеянного поля;

2. деформация частицы, а также изменение ее расположения по отношению к плоскости наблюдения приводит к существенному изменению уровня интенсивности и интегрального поперечника рассеяния;

3. чтобы обеспечить высокий уровень интенсивности рассеянного поля предпочтительно выбирать небольшой угол падения плоской волны (от 15° до 35°), в этом диапазоне более предпочтительным является выбор S поляризации.

Последний вывод может быть использован в качестве рекомендации по усовершенствованию схем оптических поверхностных сканеров.

Суммируем результаты полученные в данной диссертационной работе:

1. Проведено обобщение метода дискретных источников на случай решения задач рассеяния электромагнитных волн частицей, расположенной в пленке на поверхности подложки.

2. Проведено теоретическое обоснование метода дискретных источников для данного класса задач математической физики. Доказаны теоремы полноты и замкнутости систем функций использующихся в методе дискретных источников для представления приближенного решения как вне, так и внутри частицы, и для решения задачи сопряжения. Обоснована сходимость приближенного решения к точному. Доказана теорема корректности для рассматриваемого класса задач, дающая апостериорную оценку модуля разности точного и приближенного решения через квадратичную норму невязки в удовлетворении условия сопряжения на границе рассеивателя.

3. Разработан и реализован комплекс программ, осуществляющих математическое моделирование процесса рассеяния поля электромагнитной плоской волны на частицах, расположенных в пленке на подложке.

4. Проведено исследование зависимости физических характеристик рассеяния от материала частиц, их формы и расположения, а также влияние деформаций на интенсивность и интегральный поперечник рассеяния. Проведена апостериорная оценка точности полученных результатов

5. На основании результатов проведенного вычислительного эксперимента, выработаны рекомендации по усовершенствованию методики использования оптических сканеров для идентификации дефектов интегральных схем.

1. Baliga J. Defect detection on patterened wafers//Semiconductor 1.ternational. 1997. N4. pp 64-70.

2. Takami K. Defect inspection of wafers by laser scattering/Material Science and Engineering. B44. 1997. pp.181-187.

3. Rowell N. D. Evanescent field illuminates neuron communication/VBiophotonics International. Nov.2000. pp.66-67.

4. Martin Y., Zenhausern F., Wiskramasinghe H.K. Scattering spectroscopy of molecules at nanometer resolution//Appl. Phys. Letts. 1996. V.68. N18. pp. 24752477.

5. Quinten M., Pack A., Wannemacher R. Scattering and extinction of evanescent waves by small particles//Appl. Phys. B. 1999. V.68. pp. 87-92.

6. Еремин Ю.А., Свешников А.Г. Компьютерная технология анализа задач рассеяния на основе метода дискретных источников//Журнал вычислительной математики и математической физики. 2000. Т.40. №12. С.1842-1856.

7. Bourgeois J.M. et al. A complete electromagnetic simulation of the separated-aperture sensor for detecting buried land mines//IEEE Trans. Antennas Propagation. T.46. 1998.

8. Дмитриев В.И, Захаров E.B. Интегральные уравнения в краевых задачах электродинамики. М.: Изд-во МГУ. 1987.

9. Ю.Васильев Е.Н. Возбуждение тел вращения. М.: Радио и связь. 1987.

10. П.Колтон Д., Кресс Р. Методы интегральных уравнений в теории рассеяния. -М.: Мир. 1987.

11. Umashankar К., Taflove V., Rao S.M. Electromagnetic scattering by arbitrary shaped three-dimentional homogeneous lossy dielectric objects/ЯЕЕЕ Trans. Antennas Propag. 1986. AP-34. pp.758-766.

12. Volakis J.L., Chatterje A., Kempel L.C. Review of the finite element method for three-dimentional electromagnetic scattering//J.Opt.Soc.Am.A. 1994. 11. N4. pp.1422-1433.

13. H.Antilla G.E., Alexopoulos N.G. Scattering from complex three-dimentional geometries by a curvilinear hybrid finite-element-integral equation approach//J.Opt.Soc.Am.A. 1994. 11. N4. pp.1445-1455.

14. Peltoniemi J.I. Variational volume integral equation method for electromagnetic scattering by irregular grains//JQ ST. 1996. 11. N5. pp.637-647.

15. Zwamborn A.P.M., van den Berg P.M., The three-dimentional weak form of the conjugate gradient FFP method for solving scattering problems/ЯЕЕЕ Trans. Microwave Theory Tech. 1992. MTT-40. N9. pp.1757-1765.

16. Кюркчан А.Г., Маненков C.A. Рассеяние волн неоднородностью, находящейся вблизи плоской границы раздела двух сред//Радиотехника и электроника. Т.43. 1998. №1. с.8-15.

17. Кюркчан А.Г., Маненков С.А. новый метод решения задачи дифракции на компактном препятствии в плоско-слоистой среде//Известия ВУЗов. Радиофизика. T.XLI. 1998. №12. с.874-888.

18. Векуа И.Н. О полноте системы метагармонических функций//Докл. АН СССР. 1953. Т.90. №5. с.715-721.

19. Купрадзе В. Д. О приближенном решении задач математической физики//Успехи мат. наук. 1967. Т.22. вып.2. с.58-109.

20. Алексидзе М.А. Решение граничных задач методом разложения по неортогональным функциям. М.: Наука. 1978.

21. Поповиди-Заридзе Р.С. Метод вспомогательных источников: Препринт ин-та Радиотехники и электроники АН СССР № 14/386. М. 1984.

22. Кравцов В.В. Приближение электромагнитного поля антенным потенциалом//Докл. АН СССР. 1979. Т.248. №2. с.328-331.

23. Ludwig А.С. The generalized multipole tecnique//Computer Physics Communications 68 (1991). pp.306-314.

24. Hafner Ch. The Generalized Multipole Tecnique for Computational Electromagnetics. Artech House. Norwood. Mass. 1990.

25. T. Wriedt. Generalizes Multipole Techniques for Electromagnetic and Light Scattering//Elsevier Science. Amsterdam. 1999. pp.39-79.

26. Еремин Ю.А., Свешников А.Г. Концепция квазирешения задач дифракции//Математическое моделирование. 1994. Т.6. №6. с. 1-9.

27. Еремин Ю.А., Орлов Н.В., Свешников А.Г. Исследование частотных характеристик диэлектрических рассеивателей в полупространстве//Вестник МГУ. Сер. 15. Вычисл. Математика и кибернетика. 1986. №2. с.8-13.

28. Еремин Ю.А., Орлов Н.В. К обоснование метода исследования векторных задач диракции на рассеивателе в полупространстве//Журн. Вычисл. матем. и матем. физ. 1987. Т.27. №9. с.1395-1401.

29. Еремин Ю.А., Орлов Н.В. Метод дискретных источников в задачах дифракции на теле вращения в полупространстве//Радиотехника и электроника. 1988. Т.ЗЗ. №12. с.2506-2514.

30. Еремин Ю.А., Свешников А.Г. Задачи распознавания и синтеза в теории дифракции//Журн. Вычисл. матем. и матем. физ. 1992. Т.32. №10. с. 1594-1607.

31. Еремин Ю.А., Орлов Н.В., Свешников А.Г. Анализ математической модели загрязнений силиконовых вафель на основе метода дискретных источников//Математическое моделирование. 1996. Т.8. №10. с.113-127.

32. Еремин Ю.А., Орлов Н.В. Анализ рассеяния света микрочастицами на поверхности силиконовой вафли//Оптика и спектроскопия. 1997. Т.82. №3.

33. Еремин Ю.А., Орлов Н.В., Свешников А.Г. Исследование дефектов силиконовых вафель методом дискретных источников //Математическое моделирование. 1997. Т.9. №8. с.110-118.

34. Еремин Ю.А., Орлов Н.В. Исследование рассеивающих свойств дефектов силиконовых вафель/Юптика и спектроскопия. 1998. Т.84. №4. с.625-630.

35. Еремин Ю.А., Орлов Н.В. Свешников А.Г. Идентификация дефектов силиконовых подложек в устройствах микроэлектроники методом дискретных источников//Электромагнитные волны. 1998. №5. с. 34-43.

36. Eremin Yu.A., Stover J.C. and Orlov N.V. Modeling Scatter from Silicon Wafers Features Based on Discrete Sources Method//Optical Engineering. 1999. Vol.38. No.8. pp.1296-1304.

37. Doicu A., Eremin Yu., Wriedt T. Convergency of T-matrix method for light scattering from a particle on or near a surface//Opt. Commun. 1999. Vol.159, pp. 266-277.

38. Еремин Ю.А., Орлов H.B., Свешников А.Г. Анализ сложных задач дифракции на основе метода дискретных источников////Журн. Вычисл. матем. и матем. физ. 1995. Т.35. № 6. с. 918-934.

39. Захаров E.B. О единственности и существовании решений интегральных уравнений электродинамики неоднородных сред//Вычислительные методы и программирование. XXIV. -М.: Изд-во МГУ. 1975. с.37-43.

40. Бахвалов Н.С. Численные методы. М.: Наука. 1973.

41. Eremina H.Yu., Sveshnikov A.G.Modeling of light scattering by penetrable particle inside a film based on discrete sources method//Journal of applied electromagnetism. Vol.1. N3. March 1998. Athens Greece, pp.25-37.

42. Еремина Е.Ю., Свешников А.Г. Анализ рассеяния света частицей внутри слоя на основе метода дискретных источников//Вестник Московского Университета. Сер.З. Физика. Астрономия. 1999. №1. Стр. 12-17.

43. Еремина Е.Ю. Моделирование рассеяния света частицей расположенной под пленкой на поверхности подложки//Труды международной конференции студентов и аспирантов по фундаментальным наукам "Ломоносов'99", Москва, физ.ф-т МГУ, 1999, с.228.

44. Еремина Е.Ю., Свешников А.Г. Анализ рассеивающих свойств несфери-ческ их частиц в слоистой структуре//Журнал радиоэлектроники. №4. Апрель 2000. http://ire.cplire.ru.

45. Еремина Е.Ю., Свешников А.Г. Исследование рассеяния несферической частицей в слое на подложке//Вестник Московского Университета. Сер.З. Физика. Астрономия. 2000. №6. стр. 13-17.

46. Захаров Е.В, Пименов Ю.В. Численный анализ дифракции радиоволн. М.: Радио и связь. 1982.

47. Борн М., Вольф Э. Основы оптики. М.: Наука. 1970.

48. Фелсен Л., Маркувиц Н. Излучение и рассеяние волн. М.: Мир. 1978 Т.1. с.103-129.

49. Colton D, Kress R. Inverse acoustic and electromagnetic scattering theory. Berlin: Springer. 1992. pp. 146-180.

50. Гюнтер К. Теория потенциала. М. Гостехиздат. 1953.

51. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. -М.: Наука. 1968.

52. Doicu A., Eremin Yu., Wriedt Т. Acoustic & Electromagnetic Scattering Analysis. -Academic Press. London. 2000.

53. Дмитриев В.И. Поля в слоистых средах. М.: Изд-во МГУ. 1963.

54. Еремин Ю.А., Свешников А.Г. Метод дискретных источников в теории рассеяния//Вестн. Моск. ун-та. сер. 15, Вычисл. матем. и киберн. 1992. №4. с.З-14.

55. Еремин Ю.А., Свешников А.Г. Анализ методом дискретных источников дифракции электромагнитных волн на трехмерных рассеивателях//Журн. Вычисл. матем. и матем. физ. 1999. Т.39. №12. с.2050-2063.

56. Grenfell Т.С. and Warren S.G. Representation of a nonspherical ice particle by a collection of independent spheres for scattering and absorption of radiation//J. Geophysical Res. Vol.104. No.D24. pp.31,697-31. 709. 1999.