Математическое моделирование звуковых и внутренних волн в океане методом параболического уравнения

Трофимов, Михаил Юрьевич

Математическое моделирование звуковых и внутренних волн в океане методом параболического уравнения тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.06 ВАК РФ

Трофимов, Михаил Юрьевич АВТОР

доктора физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Владивосток МЕСТО ЗАЩИТЫ

2009 ГОД ЗАЩИТЫ

01.04.06 КОД ВАК РФ

Диссертация по физике на тему «Математическое моделирование звуковых и внутренних волн в океане методом параболического уравнения»

Автореферат диссертации на тему "Математическое моделирование звуковых и внутренних волн в океане методом параболического уравнения"

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК

ДАЛЬНЕВОСТОЧНОЕ ОТДЕЛЕНИЕ

ТИХООКЕАНСКИЙ ОКЕАНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ ИМ. В.И. ИЛЬИЧЕВА

На правах рукописи

Трофимов Михаил Юрьевич

Математическое моделирование звуковых и внутренних вошИв океане методом параболического уравнения

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

01.04.06 — акустика

* О

' • £ Г-уЛ П

Владивосток — 2009

003482881

Работа выполнена в Тихоокеанском океанологическом институте им. В.И. Ильичева ДВО РАН.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

член-корреспондент РАН, профессор A.A. Буренин

Защита состоится 11 декабря 2009 года в 14 часов на заседании диссертационного совета Д 005.017.01 при Тихоокеанском океанологическом институте по адресу: г. Владивосток, ул. Балтийская, 43, ТОЙ ДВО РАН.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ТОЙ ДВО РАН. Автореферат разослан 28 октября 2009 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 005.017.01

доктор физико-математических наук, член-корреспондент РАН, профессор М.А. Гузев

доктор физико-математических наук, профессор И.О. Ярощук

Ведущая организация: Институт гидродинамики

им. М.А. Лаврентьева СО РАН

доктор технических наук, профессор

В.И. Коренбаум

Общая характеристика работы Актуальность темы

Математическое моделирование распространения звуковых и внутренних волн в океане важно не только для более глубокого понимания этих процессов, но и для решения различных прикладных задач. В последнее время интересные для практики задачи относятся в основном к океанскому шельфу, мелким морям и заливам, что приводит к необходимости разработки математических моделей, учитывающих особенности таких акваторий.

Типичные задачи подводной акустики состоят в определении звукового поля в некоторой области пространства по данным, измеренным в отдельной точке или на кривой (трассе). Таким образом, соответствующие математические модели должны допускать постановку начально-краевых задач, эволюционных по выделенной пространственной переменной. Такие задачи для типичных волновых уравнений (уравнение Гельмгольца, классическое волновое уравнение) являются, как правило, некорректными. Поэтому на практике большое распространение получили модели однонаправленного распространения, которые получаются лучевым методом (методом ВКБ), а также методом параболического уравнения.

Метод параболического уравнения, широко применяющий также для решения задач распространения электромагнитных и поверхностных волн, появился в работах М. А. Леонтовича и В. А. Фока при рассмотрении задач приземного распространения радиоволн, далее развивался трудами многочисленных отечественных и зарубежных исследователей, в (далеко не полный) список которых входят Г. В. Малюжинец (электромагнитные волны), F. D. Tappert, Н. Е. Мальцев, К. В. Авилов, О. А. Годин,М. D. Collins, S. Т. McDaniel, В. J. Orchard, P. Joly, J. A. Kriegsmann, L. Fishman и W. L. Siegmann (подводная акустика и сейсмика), J. Т. Kirby, R. A. Dalrymple, С. C. Mei, P. L. Liu (поверхностные волны). Количество работ, связанных с этим методом, достаточно велико.

Наиболее распространенным методом получения параболических моделей является метод факторизации с последующей рациональной аппроксимацией операторного квадратного корня. Следует отметить, что в этом методе коммутатор операторного квадратного корня с оператором дифференцирования по эволюционной переменной считается пренебрежимо малым и тем самым предполагается лишь слабая зависимость коэффициентов исходного волнового уравнения от эволюционной переменной. Поэтому такой подход

применим при рассмотрении только достаточно крупномасштабных задач, в случаях, когда допустимо усреднение по вариациям параметров среды более мелких масштабов.

При рассмотрении мезомасштабных и мелкомасштабных задач подводной акустики необходим тщательный учет переменности свойств среды, как водной, так и морского дна. В таких задачах большое значение имеет горизонтальная рефракция звука, а также рефракция и рассеяние звука на внутренних волнах (Наугольных и др., Кацнельсон и др.). Для учета этих факторов вывод параболических моделей следует производить с использованием асимптотических методов, из которых наиболее подходящим представляется метод многих масштабов. Известные ранее примеры применения этого метода (Orchard et al.) содержат неточности и в целом не достигают указанной цели.

Классический метод параболического уравнения применим только для сред с бесконечно малым изменением показателя преломления по поперечным переменным. Этот вопрос подробно разобран в третьем разделе первой главы диссертации. Поскольку при включении в рассмотрение морского дна вертикальные изменения скорости звука и плотности не могут считаться бесконечно малыми, большое значение для подводной акустики среднего и малого масштабов имеет разработка моделей, использующих модовое представление волнового поля по вертикали и параболических по горизонтальным переменным. Впервые такое уравнение (adiabatic mode parabolic equation) получил Collins (1993) методом факторизации и применил к одной крупномасштабной задаче. Проблема получения таких моделей (как стационарных, так и нестационарных), пригодных для расчета звуковых полей в мелком море, является актуальной. Для таких уравнений следует ставить условия прозрачности (абсорбирующие условия) на искусственных границах, ограничивающих расчетную область. Граничные условия такого типа рассматривались в многочисленных работах, но задача их получения остается весьма актуальной.

Цель работы

Получить новые параболические модели для двумерных и трехмерных задач распространения звуковых и внутренних волн в океане, рассмотреть и исследовать постановки основных начально-краевых (смешанных) задач для полученных уравнений, численно реализовать полученные модели и провести тестирующие модельные расчеты.

Вывести новые граничные условия прозрачности для параболических и волновых уравнений.

В качестве первого шага к построению модовых моделей распространения волн в движущейся среде построить теорию возмущений спектральных задач для звуковых и внутренних волн с учетом течения.

Методы исследования

Для вывода уравнений применялся обобщенный метод многих масштабов и метод разложений по собственным функциям самосопряженных обыкновенных дифференциальных операторов. Для анализа начально-краевых задач применялись классические методы общей теории уравнений в частных производных. В отдельных задачах использовались элементы спектральной теории операторных пучков и теории упорядоченных операторов. Для проверки полученных моделей были использованы тестовые численные расчеты и выполнено сравнение с точными и приближенными (приближение Борна) аналитическими решениями.

Научная новизна

В диссертационной работе получены следующие новые результаты:

- Разработаны параболические модели для задач распространения звука в нестационарных морских волноводах с зависящими от пространственных переменных и времени параметров и течениями;

- Рассмотрена в характерном для задач распространения звука в океане случае проблема применения стандартного параболического уравнения для двумерных волноводов, имеющих границу раздела, на которой показатель преломления имеет конечный скачок (разрыв первого рода);

- Систематически развит метод многих масштабов в сочетании с методом разложения по собственным функциям для вывода широкоугольных модовых параболических уравнений;

- Выведены широкоугольные модовые параболические уравнения, учитывающие все основные характеристики звуковых волноводов в мелком море и излучение звука в другие моды;

- Разработан метод параболического уравнения для внутренних волн;

- На основе лучевого метода получены и численно реализованы простые абсорбирующие граничные условия для численного решения краевых задач для параболического и волнового уравнений в неограниченных областях;

- Методом упорядоченных операторов получены абсорбирующие граничные условия для численного решения смешанных задач для волнового уравнения в неограниченных волноводах с сильной стратификацией скорости звука;

- Разработаны методы асимптотического решения спектральных задач для операторных пучков, относящихся к звуковым нормальным волнам на слабом течении и внутренним нормальным волнам на течении со слабым сдвигом, являющиеся расширением классического метода Рэлея для самосопряженных задач.

Практическая значимость работы

Полученные результаты могут быть использованы для акустического мониторинга акваторий и проектирования систем обнаружения подводных объектов на акваториях.

Выведенные уравнения могут быть использованы для новых постановок обратных задач нахождения свойств морской среды по измеряемому звуковому полю или полю внутренних волн.

Параболическое уравнение для внутренних волн может быть использована для прогноза внутреннего волнения в морях и заливах, включая акватории портов.

Апробация работы и публикации

Большая часть результатов работы доложены на семинаре "Нелинейная динамика" Тихоокеанского океанологического института ДВО РАН (руководитель д.ф.-м.н, профессор С. В. Пранц.). Часть результатов докладывалась на школе-семинаре им. Бреховских (Москва)(1998 и 2003 гг), VII Дальневосточной научно-технической конференции по судовой радиоэлектронике (1-3 мая 1994 г.) Владивосток, 1994, IV Всероссийской акустической конференции

"Исследование и освоение Мирового океана", 22-23 декабря 1998 г. Владивосток, 1998, The 8th International Symposium on Acoustic Remote Sensing and Associated Technique of the Atmosphere and Oceans, Moscow, Russia, 27-31 May 1996, The Sixth Pan Ocean Remote Sensing Conference (PORSEC), Bali, 3-6 September 2002, Дальневосточной школе-семинаре им. Золотова, МЭС "Восток", 2008, конференции памяти Шишмарева, Владивосток, 2008, международном семинаре "Акустика неоднородных сред X", Новосибирск, 1-6 июня 2009. Полностью материалы диссертации были доложены на расширенном семинаре лаборатории механики деформируемого твердого тела Института автоматики и процессов управления ДВО РАН (руководитель д.ф.-м.н, чл,-корр. РАН А. А. Буренин), расширенном семинаре отдела физики океана и атмосферы Тихоокеанского океанологического института ДВО РАН (руководитель д.ф.-м.н, профессор С. В. Пранц), объединенном семинаре Института прикладной математики ДВО РАН (руководитель д.ф.-м.н, чл.-корр. РАН М. А. Гузев), Акустическом семинаре Тихоокеанского океанологического института (руководитель д.ф.-м.н, чл.-корр. РАН Г. И. Долгих).

Основные результаты работы опубликованы в 13 статьях, вышедших в журналах, рекомендованных ВАК РФ для публикации результатов докторских диссертаций. Список этих, а также некоторых дополнительных работ приведен в конце реферата.

Личный вклад автора

В работах теоретического характера автору принадлежат постановки задач и основные результаты, в работах, выполненных совместно с экспериментаторами, автором сделан определяющий вклад в теоретическую часть работы.

Структура и объем работы

Диссертация состоит из предисловия, введения, четырех глав и заключения. Объем работы 274 страницы, в ней содержится 44 рисунка и библиография из 169 наименований.

Содержание диссертации

В предисловии кратко обсуждается история вопроса и отмечается вклад различных авторов в решение основных задач.

Во введении обсуждаются особенности постановок задач распространения акустических волн в океане, на характерном примере излагается основной метод предлагаемой работы — метод многомасштабных разложений и его применение для получения параболических моделей.

В первой главе получены параболические уравнения для квазимонохроматических пакетов звуковых волн в нестационарных волноводах и обсуждена проблема применения стандартного параболического уравнения для двумерных волноводов с границами раздела, при переходе через которые показатель преломления имеет конечный скачок.

В первом разделе приведен вывод некоторых волновых уравнений, описывающих распространение звука в нестационарных движущихся средах, которые будут применяться в последующих частях работы.

Во втором разделе рассмотрено построение параболических приближений для уравнения распространения звука в нестационарных волноводах (переменные обезразмерены)

где р — акустическое давление, р = р(х, у, г, ¿) — плотность, п = 1/с — показатель преломления, с = с(х, у, г, Ь) — скорость звука.

Построение математических моделей распространения звука в нестационарных средах актуально для изучения влияния на звуковое поле волн другой природы, например, внутренних.

Применяя метод многих масштабов с медленными переменными Т = е£, X = ех, У = % = ех!2г, одной быстрой переменной

г] = (1/е)в(Х,У,г,Т) и разложениями п2 = п%(Х,Т) + а>(Х,У,г,Т), р = р0(Х,У^,Т,г}) + ер1(Х,У^,Т,т}) + ..., мы находим, что р^ — А^(Х,У,Е,Т)ехр((1/е)9(Х,У,2,Т), где фаза 9 удовлетворяет уравнению Гамильтона-Якоби

(|9Х)2 - п20 (вт)2 = (вх + п0вт) {Ох - п0вт) = 0,

(1)

и получаем уравнения для амплитуд А^

где w = —вт — локальная частота,

.Л \ . л ,

+ i I -i/ut I Aj-1 - I uAj—2yT

+ 2i—fw^lj-i г P

P Jt \P

Эти уравнения записаны для волн, распространяющихся в положительном направлении и мы полагаем, что Ai = 0 для I < 0.

Полученные уравнения проще, чем известные ранее (Orchard et al., Collins). Показано, что система из первых двух уравнений обобщает известное широкоугольное уравнение, полученное методом факторизации с дробно-линейной аппроксимацией квадратного корня из вертикального оператора, причем наши уравнения содержат некоторые дополнительные члены, которые методом факторизации не улавливаются.

Из уравнения для Aq и уравнения Гамильтона-Якоби получается замкнутое уравнение для р0, имеющее первый порядок по переменной х. Это уравнение обобщает известное 15° уравнение сейсмической миграции (Клаербоут), для которого в литературе имеются только эвристические выводы.

Далее излагается только двумерный случай, допускающий, как это видно из полученного уравнения, прямое обобщение на трехмерный.

Для задач моделирования звуковых волн в океане наибольший интерес представляют начально-краевые задачи для уравнения Гамильтона-Якоби (1) и параболических уравнений (2) с начальными данными при X = 0 в области П = {Z0 < Z < Zi} х {Т0 < Т < Tt}.

Для энергетической нормы

при выполнении некоторых простых и естественных требований к граничным условиям, поставленных на дП, имеет место

Теорема 1. Энергетическая норма решения начально-краевой задачи для уравнения (2) при ] = 0 удовлетворяет неравенству

Если по представим в виде по = по(Х)а(Т), верно неравенство

Е(Х)<Е(Ъ)^ъщ>а(Т). (5)

Непосредственным следствием этой теоремы является единственность решения цепочки начально-краевых задач для уравнений (2), решаемых последовательно, в пространствах вида С([0, X],

Предложенный подход к широкоугольным параболическим моделям в виде треугольной системы уравнений дает естественную параллелизацию алгоритмов численного решения начально-краевых задач.

Полученные уравнения, записанные в характеристических координатах, принимают вид однопарамстрического семейства формально стационарных параболических уравнений, что дает метод их решения, допускающий высокую степень распараллеливания.

В последнем подразделе рассмотрены параболические уравнения, учитывающие течения. Показано, что для них выполняются приведенные выше оценки и верны теоремы единственности. С целью проиллюстрировать значимость введения скоростей течений в параболическое уравнение приведен численный пример.

В третьем разделе рассмотрена задача о применении стандартного (узкоугольного) параболического уравнения к расчету поля в двумерном волноводе с границей раздела, на которой показатель преломления имеет конечный скачок. Здесь рассматривается стационарный случай, когда волновое поле описывается уравнением Гельгольца

иХх + игг + к$П2и = О

Основатели метода параболического уравнения (Фок, Тапперт) неоднократно подчеркивали то обстоятельство, что вывод этого уравнения, эвристический или формальный, требует, чтобы вариации показателя преломления п по отношению к трансверсальной (вертикальной) переменной были бесконечно малыми (порядка е при асимптотическом выводе). Тем не менее, это уравнение используется в многочисленных работах по подводной акустике для вычисления звуковых полей в слоистых средах с конечным скачком показателя преломления на границах раздела, причем условия на этих границах ставятся такие же, как для уравнения Гельмгольца.

В разделе рассмотрен вопрос о применении метода параболического уравнения к для задач в двуслойной среде с конечным скачком показателя преломления на границе слоев в типичном для подводной акустики случае, когда показатель преломления в нижнем слое меньше, чем в верхнем (водном) слое.

Предположим, что, в верхнем слое волновое поле описывается стандартным параболическим уравнением, записанным в нерастянутых координатах координатах (х, £)

2\кВх + \кхВ + В« + к\г>В = 0,

где волновое поле представлено в виде и = Вехр(^), к = дх, квадрат показателя преломления представляется в виде п2 = пЦех) + еи(ех, б^2г), и фаза ■д есть решение уравнения Гамильтона-Якоби

{$х)2 = к1п1.

Стандартные условия сопряжения на границе раздела, состоящие в непрерывности давления и колебательной скорости, включают как амплитуду волнового поля, так и фазу (что ранее упускалось) и приводят к тому, что в нижнем слое параболическое приближение неприменимо и волновое поле может описываться только полным уравнением Гельмгольца. Учитывая форму представления поля, это уравнение удобно записывать в форме приведенного уравнения Гельмгольца

21кВх + 2ПВ, + 1(кх + 1,)В + Вхх + В„ + к&В = 0,

где волновое поле и показатель преломления представляются так же, как и в верхнем слое, к = дх, I = г?2, и фаза удовлетворяет уравнению Гамильтона-Якоби

Ш2 + Ш2-кУ0 = о.

Условия на границе раздела, записанные с учетом фазы, вместе с условием непрерывности фазы на этой границе, приводят к тому, что в нижнем слое фаза должна иметь положительную мнимую составляющую. Поэтому волновое поле в нижнем слое имеет характер экспоненциального пограничного слоя. Далее применяются идеи метода ВКБ с комплексной фазой (Маслов), которые состоят в том, что в таком случае можно рассматривать решения, асимптотические при стремлении мнимой части фазы к нулю. При некоторых предположениях о поведении показателя преломления в нижнем слое

Рис. 1: Зависимость относительной интенсивности волнового поля от расстояния (потери на распространение) на оси волновода для решения с полученными в разделе граничными условиями (сплошная линия) и решения методом нормальных мод (штриховая линия).

такое асимптотическое решение для нижнего слоя может быть найдено в явном виде, а поскольку оно определяется значениями поля на границе слоя, то дает граничные условия для волнового поля в верхнем слое. Тем самым задача сводится к решению начально-краевой задачи для параболического уравнения в верхнем слое с найденными граничными условия, после решения которой поле в нижнем слое находится по явным формулам.

Попытки найти граничные условия, замыкающие задачу для верхнего слоя, предпринимались и ранее (Papadakis et al, Arnold, Ehrhardt) но в этих работах комплексный характер фазы в нижнем слое (как, впрочем, и сама фаза) не принимался во внимание, что привело к неверным результатам.

Численные примеры, выполненные для волновода Пекериса с глубиной водного слоя, равной 100 м, подтвердили теоретические соображения. На рис. 1 приведены графики зависимости относительной интенсивности волно-

Рис. 2: Зависимость относительной интенсивности волнового поля от расстояния (потери на распространение) на оси волновода для решения с традиционными условиями на границе раздела (сплошная линия) и решения методом нормальных мод (штриховая линия).

вого поля на оси волновода от расстояния (кривые потерь при распространении). В качестве начальных условий использовалась сумма распространяющихся мод с равными коэффициентами. Отметим, что такое начальное условие является достаточно трудным для узкоугольного (стандартного) параболического уравнения. Приведенные на рис. 2 результаты вычислений с традиционными граничными условиями практически совпадают с результатами использования граничных условий из работы (Рарас1ак1з et а1).

Вторая глава посвящена построению и анализу параболических моделей распространения трехмерных звуковых полей и полей внутренних волн в морских волноводах.

В первом разделе параболические модели трехмерного распространения звука построены в стационарном случае, когда волновое поле описывается

уравнением Гельмгольца

(•уРх)х + (7 Ру)у + ЬРг)г + 7 п2Р = 0,

(6)

записанного в безразмерных переменных, где Р — акустическое давление, п — показатель преломления, 7 = \/р, р — плотность, обезразмеренная с использованием типичного значения плотности р.

Полагая, что ось х задает преимущественное направление распространения волн, медленные переменные вводятся соотношениями X = ех, У — е1/2?/, 2 = г. Такие масштабы приводят к параболическим уравнениям в горизонтальных переменных, по вертикальному направлению естественным образом выявляется модовая структура. Малый параметр е имеет, как обычно, геометрический смысл и показывает соотношение длин рассматриваемых волн и характерных размеров неоднородностей среды. Показатель преломления представляется в виде п2 = п1(Х,г) + еи(Х,У,г), где п0 вещественно, а мнимая часть показателя преломления, связанная с поглощением звука, отнесена к гл Параметр 7 имеет аналогичное представление 7 = 7о(Х, г) + 671 (Х,У,г). Параметры среды могут иметь разрывы на поверхностях г — И,(х,у), для которых в медленных переменных постулируется представление к = Н0(Х) + еН^Х, У). Таким образом, приняты во внимание все характерные особенности акустической среды мелкого моря, включая дно, за исключением течений.

Применение метода многих масштабов в этом случае дает узкоугольное модовое параболическое уравнение

для амплитуды нормальной моды с волновым числом к^, звуковое поле здесь представляется в виде

где фз есть решение известной спектральной задачи с собственным значением кр в которую входит только главная часть показателя преломления щ. В качестве уравнения Гамильтона-Якоби здесь выступает соотношение Ох = Ц.

Коэффициент а выражается формулой умеренной сложности, в которую входят интегралы от собственных функций по вертикали и скачки на поверхности раздела некоторых величин, выражаемые через собственные функции, плотность и показатель преломления.

2\kjAx + ^ХА + Ауу + а А = О

(7)

Р = А(Х, У) ехр((1/еЖХ, У))ф^Х, г),

Следующее приближение по параметру с дает параболическое уравнение для широкоугольной поправки

2'ikjBx + ikjxB + BYY + аВ + Ахх + ЩхАх + (XAy)y + 6Ay +РА = 0.

Звуковое поле широкоугольной поправки имеет вид

где Eji — коэффициент возбуждения моды с номером I. Таким образом, учтено то обстоятельство (впервые в рассматриваемом методе), что, взаимодействуя с неоднородностями среды, распространяющаяся мода излучает энергию во все остальные моды и тем самым порождает поле порядка t иного модового состава. При этом не учитывается резонансное взаимодействия мод с периодическими неоднородностями среды, которое происходит в ведущем порядке и описывается уже системой связанных параболических уравнений для амплитуд взаимодействующих мод.

Коэффициенты последнего уравнения довольно сложным образом зависят от показателя преломления, плотности и значений модовых функций ф и их вертикальных производных на границах разделов, причем эти параметры могут зависеть от медленных переменных X = ex, Y = г}!2у. В выражения для этих коэффициентов входят также коэффициенты Е^ и коэффициенты Cji разложения производных ф^х собственных функций по эволюционной переменной X по самим собственным функциям, = Xw C'ji^i- Для коэффициентов Eji и Cji найдены явные формулы.

Впервые широкоугольное уравнение адиабатического распространения мод было выведено Коллинзом (Collins) для среды с более простой структурой. В разделе показано, что полученные уравнения являются расширением уравнения Коллинза, причем содержат существенные дополнительные члены.

В случае, когда плотность не зависит от горизонтальных координат, имеется закон сохранения потока энергии через плоскость (у, z). Показано, что решения выведенных уравнений удовлетворяют этому закону сохранения с точностью 0(е3).

Поскольку именно учет внутренних границ, на которых происходят скачки показателя преломления и плотности, усложняет формулы для коэффициентов уравнений, приведена попытка получить формулы при наличии этих

границ из формул, когда таковых нет, с помощью ¿-образных возмущений плотности и показателя преломления. Показано, что такой подход позволяет получить часть искомых формул. Для энергетической нормы

при выполнении некоторых естественных требований к граничным условиям на границах V = Уо,2 (которым, в частности, удовлетворяют однородные условия Дирихле и Неймана), установлена

Теорема 2. Энергетическая норма решения начально-краевой задачи для уравнения (7) удовлетворяет неравенству

Из этой теоремы непосредственно следует единственность решений начально-краевых задач для полученных уравнений в пространствах вида С([0, X), L2{[Y0, Yi])), если на полуинтервале [О, X) kj(X) > const > 0.

Проведенные численные эксперименты имели цель качественного и, в простых случаях, количественного тестирования выведенных уравнений. Для обеспечения поглощения волн на боковых границах расчетной области использовался метод совершенно согласованных (perfectly matched) абсорбирующих слоев (PML), где первые два слова в названии метода означают отсутствие отражения волн на границе между первоначальной расчетной областью и поглощающим слоем. Показано, что введение этих слоев увеличивает устойчивость и не приводит к нарушению теоремы 2. Сравнение результатов решения методом параболических уравнений задачи рассеяния плоской волны на компактных неоднородностях дна специфической формы с результатами решения этой же задачи в борновском приближении показало их удовлетворительную согласованность.

В конце раздела помещено приложение с описанием решения задачи межмодового рассеяния плоской волны на компактных неоднородностях дна в борновском приближении (А. Д. Захарснко).

Е(Х)<Е{йт

(8)

Во втором разделе приведен краткий вывод нестационарного модового параболического уравнения

Ах + —АТ - г^гАуу + аА = 0,

Сд ¿К

где А — амплитуда моды с волновым числом к, сд — групповая скорость моды.

Приведены (без вывода) формулы, выражающие коэффициент а через характеристики среды и вертикальных модовых функций. При выводе этого уравнения среда предполагается не только неоднородной, но и медленно меняющейся по времени. Уравнение Гамильтона-Якоби в этом случае, в отличие от случая стационарных уравнений, не является тривиальным. Поэтому существенной частью раздела являются формулы для пространственно-временных лучей, отвечающих уравнению Гамильтона-Якоби. Приведен вид полученного параболического уравнения в соответствующих лучевых координатах. Отмечено, что приведение уравнения к лучевым координатам дает способ решения этого уравнения методами, разработанными для стационарных уравнений.

В третьем разделе из системы линейных уравнений, описывающей движения малой амплитуды невязкой стратифицированной жидкости с гармонической зависимостью от времени £ вида получено узкоугольное модовое параболическое уравнение для внутренних волн

Л + 21кАуу ~\ТА~ ЙРо(_Яо)' Й1' _Яо))2 Л = °'

в котором А — амплитуда моды с модовой функцией ф и волновым числом к, и — частота внутренних волн, Н0 + Й\— топография дна, причем Я0 может медленно меняться вдоль оси х, а Н\ <С Но — также и по оси у.

Параболическое уравнение выведено для непрерывно стратифицированной среды с фоновой плотностью, не меняющейся по горизонтали. Поле внутренних волн выражается через амплитуду Л, собственную функцию ф и фазу в формулой, совершенно аналогичной соответствующей формуле для стационарного акустического случая, причем в качестве уравнения Гамильтона-Якоби также выступает спектральная задача для мод, куда к входит как спектральный параметр.

Отметим, что хотя для внутренних волн известно уравнение Кадомцева-Петвиашвили для двуслойной жидкости (Chen, Liu, 1995), простое линейное параболическое уравнение для среды с непрерывной стратификацией нами выведено впервые. Несмотря на то, что нелинейность играет существенную роль в распространении внутренних волн, переменность коэффициентов уравнения превалирует над нелинейностью в задачах с сильно переменной топографией дна и небольшой дистанцией распространения. Таким образом, полученное уравнение пригодно для расчетов внутренних волн в небольших морях и заливах.

Постановка и анализ начально-краевых задач для полученного уравнения во многом аналогична акустическому случаю. Для введенной выше энергетической нормы Е установлена

Теорема 3. Энергетическая норма решения начально-краевой задачи для параболического уравнения удовлетворяет равенству

Из этой теоремы непосредственно следует единственность решений начально-краевых задач для полученного уравнения в пространствах вида

С{{ 0,X),L2([Yo,VX])).

Проведенные численные эксперименты имели цель тестирования выведенных уравнений. На боковых границах в этом случае были применены нелокальные граничные условия прозрачности Баскакова-Попова, вывод которых был немного модифицирован для того, чтобы охватить интересующие нас случаи. Этот вывод приведен в приложении к первому разделу главы 3.

На примере задачи рассеяния плоской волны на компактных иеоднород-ностях дна специфической формы проведено сравнение результатов, полученных применением параболического уравнения с результатами решения в борновском приближении .

В конце раздела помещено приложение с описанием решения задачи межмодового рассеяния плоской волны на компактных неоднородностях дна в борновском приближении (А. Д. Захаренко).

В третьей главе рассмотрена задача построения абсорбирующих граничных условий для параболического (нестационарного уравнения Шредин-гера) и волнового уравнений. Такие условия необходимо ставить на тех границах расчетной области, отражение волн от которых нежелательно. Это

особенно актуально для расчетов с использованием модовых параболических уравнений, где границы расчетной области редко имеют физический смысл.

Построение таких граничных условий состоит в выделении из уравнения, описывающего распространяющиеся волны той его части, которая описывает волны, распространяющиеся в определенном направлении. Наиболее популярный метод такого выделения состоит в факторизации уравнения. Например, для уравнения типа нестационарного уравнения Шредингера

1их -+- Р(х)иуу + 1>(х, у)и = 0,

факторизация

которая имеет приближенный характер, поскольку операторы у/Т/Зд/ду и л/д]Ъх—Ли, вообще говоря, не коммутируют, дает два множителя. Один из них описывает волны, распространяющиеся вдоль оси у влево, а другой — вправо. Поэтому эти множители можно использовать для формулировки абсорбирующих граничных условий на границах вида у = а, просто приравнивая соответствующий множитель нулю.

Следует, однако, заметить, что множители являются уже псевдодифференциальными операторами, применение метода конечных разностей к которым не просто. Иногда удается построить приемлемую вычислительную процедуру, как в методе Баскакова-Попова, который изложен в приложении к первому разделу данной главы. Чаще используют дифференциальные аппроксимации псевдодифференциальных операторов, получая тем самым приближенные граничные условия. Впервые это было сделано в семидесятых годах в статье Энгквиста и Майды, в основном для случая уравнений с постоянными коэффициентами.

В последнее время большую популярность приобрели абсорбирующие . условия, называемые условиями Хигдона. Они имеют вид

.7=1 4 7

и = О,

(9)

где С) — некоторые константы. Эти условия получены формальным рассмотрением плоской волны, падающей под углом на границу, и тем самым предназначены для уравнений с постоянными коэффициентами, хотя имеются попытки распространить их на более общий случай. В качестве коэффициентов в этих условиях предлагается брать фазовые или групповые скорости волн, но в общем случае удовлетворительный алгоритм подбора коэффициентов отсутствует. Хигдон доказал (в случае постоянной скорости звука с) что класс этих условий содержит все граничные условия, получаемые аппроксимациями Паде однонаправленных множителей волнового оператора (граничные условия Энгвиста-Майды).

Метод многих масштабов также позволяет построить приближенные однонаправленные уравнения. При этом, имея в своем распоряжении фазовую функцию в, можно более гибко выделять требуемое направление волн. Это соображение и используется в главе 3.

Другими словами, предлагается вместо плоских волн рассматривать ВКБ-приближения, имеющие более общую форму.

Эти идеи имеют отношение к первым двум разделам третьей главы, последний раздел использует другие соображения.

В первом разделе проведено построение новых простых условий прозрачной границы для параболического уравнения

гих + ¡в(х)иуу + и(х, у)и = 0,

Для этого мы растягиваем переменные одинаковым образом X = ех, У = су, вводим продолженные производные и получаем обычным образом уравнение Гамильтона-Якоби для фазовой функции в и амплитудные уравнения для амплитуд нулевого порядка Ло и первого порядка А\. Задача теперь заключается в том, чтобы получить уравнения для нулевого приближения поля и и Лоехр((1/е)0) и первого приближения и и (Л0 + еА^ ехр((1/е)0)

Решая эту задачу, мы получаем для расчетной области а < у <Ъ приближенные абсорбирующие граничные условия нулевого порядка

их ^ 20\к\иу - фк2и Т Р\к\у = 0 при у = а, у = Ь, (10)

и условия первого порядка

1{и + 30к2)иу - иху т Щк\их ^ \к\фк:2 + 3и)и+

щи ±/3\к\ууи ± З'ф\к\\к\уи ± 6Р\к\уиу = 0 при у = а, у = Ь,

Рис. 3: Зависимость относительной интенсивности 5 от х\ сплошная линия — при использовании граничных условий Баскакова-Попова, штриховая линия — при использовании граничных условий (11), штрих-пунктирная линия — при использовании граничных условий (10).

где к = ву и знаки '—' и '+' соответствуют у = а и у = 6 соответственно.

Эти граничные условия для простоты записаны в предположении исчезновения потенциала V на границе области. Это предположение для данного метода не является существенным и приведенные граничные условия допускают соответствующее обобщение.

Показано, что эти условия являются обобщением граничных условий, полученных ранее с использованием факторизации и аппроксимации Паде Рд и Р\ квадратного корня у/д/дх — (Shibata, Кивка).

Численные эксперименты были проведены с гауссовскими пучками, задаваемыми начальными условиями и(0,у) — ехр(—у2/а2 + [коу). Результаты расчетов на области 0 < х < 5,-10 < у < 10 с использованием сетки 500 х 400 точек представлены на рис. 3 в виде графика зависимости от х величины 8 = \и(х, у)\2 ¿у/$ \и(0,у)\2 ¿у. Поскольку моделируемый гауссовский пучок с параметрами а = 3, к0 = — 5 проходит через боковую границу области, величина 6 при больших х в основном показывает относительную интенсивность волн, отразившихся от боковых границ у = —10,

у = 10. Следует отметить, что на грубой сетке условия нулевого порядка работают лучше условий первого порядка, преимущество последних проявляется в данном случае на сетках, больших 1250 х 1000. Приведенные результаты (см. рис. 3) показывают удовлетворительную работоспособность полученных граничных условий.

Во втором разделе построены аналогичные граничные условия для волнового уравнения с двумя пространственными переменными

иХХ + Щу ~ = 0 '

При этом, в силу однородности волнового уравнения, допустима более общая зависимость приближенного решения от фазы и и А(Х, У, Т)ф(г)), что позволяет рассматривать также и асимптотики по гладкости, используя в качестве ф ступенчатую функцию Хевисайда и её (обобщенные) производные.

Рис. 4: Зависимость среднеквадратичной ошибки от времени. Сплошная линия — ошибка при использовании граничных условий (12), Штрих-пунктирная и штриховая линии — ошибки при использовании граничных условий Энгквиста-Майды первого и второго порядков соответственно.

Аналогично предыдущему разделу получены приближенные абсорбирующие граничные условия

^wu^ + + (ки)х + ких + (1и)у + 1иу- 0 (12)

где lo = —вт, к = вх и I = ву и вектор (к, I) на границе направлен вовне области. Показана корректность смешанной задачи для волнового уравнения с этими граничными условиями.

Численные эксперименты были проведены с волной, произведенной отработавшим малое время точечным источником. В качестве ф бралась функция Хевисайда, входящая в фундаментальное решение двумерного волнового уравнения. В данном случае сравнение с граничными условиями нулевого и первого порядков Энгквиста-Майды (Engquist, Majda, 1977), полученных методом факторизации, показало лучшее качество условий (12). Так, после 380 шагов по времени ошибка (L2-H0PMa разности рассчитанного и точного решений) составила для условий (12) 0.7575, а для условий Энгквиста-Майды нулевого и первого порядков 1.6343 и 0.8336 соответственно. Для сравнения укажем, что ошибки при использовании условий Дирихле и Неймана составляют соответственно 11.8878 и 11.8248. Зависимость ошибок от времени приведена на рис. 4.

В третьем разделе получено новое параболическое уравнение — нестационарная форма range refraction параболического уравнения Тапперта и исследовано применение этого уравнения в качестве абсорбирующих граничных условий для волнового уравнения в волноводе с сильной зависимостью скорости звука от вертикальной координаты у. Именно, рассматривается распространение волн в двумерном волноводе Q — {(х, у)| — оо < х < сю, а < у < Ь}, описываемое волновым уравнением

_ 1 д2и д2и д2и _ с2 dt2 дх2 ду2

и для нахождения абсорбирующих граничных условий на вертикальных границах рассматривается факторизация волнового оператора на однонаправленные псевдодифференциальные множители

где используется полностью положительная ветвь квадратного корня. В аппроксимации квадратного корня в этих множителях обычно используется предположение об узкоугольном распространении по отношению к оси х, то есть считается, что оператор (1 /c2)(d2/dt2) = А имеет порядок 0(1), а (д2/ду2) = сВ имеет порядок е относительного некоторого малого параметра 6. В случае постоянной скорости звука с, когда операторы А я В коммутируют, использование обычных рациональных аппроксимаций функции квадратного корня дает локальные (дифференциальные) волновые уравнения.

При сильной зависимости сот у операторы А и В не коммутируют даже приближенно и применимость стандартных рациональных приближений к операторному квадратному корню в уравнении (13) становится проблематичной. На самом деле трудности возникают уже при рассмотрении аппроксимации первого порядка (линейной по В). Эта задача в частном случае впервые была решена Фейнманом, который в своей статье начала пятидесятых годов ввел исчисление упорядоченных операторов и формулы выпутывания для них.

В конце семидесятых годов Ф. Тапперт вывел так называемое range refraction параболическое уравнение для одночастотного распространения звука в волноводах с произвольной зависимостью показателя преломления от глубины:

где п — показатель преломления и к0 — опорное волновое число. Он использовал формулу выпутывания

В этом разделе получена формула выпутывания Тапперта из формулы Да-лецкого и Крейна, относящейся к исчислению упорядоченных операторов, и верной для некоторого общего класса операторных функций /

\vx +

V = О,

для разложения

(А + еВ)1/2 = А1'2 + еС + 0{е2)

/(Л + б5) = /(Л) + е5

*f(A)-f{A)

+ 0(е2),

1 з

А - А

где номера над операторами (называемые Фейнмановскими номерами) определяют порядок, в котором они действуют.

Из приведенной формулы выпутывания получена нестационарная форма уравнения Тапперта для волн, распространяющихся вправо и влево

Далее рассмотрено применение этого уравнения как абсорбирующего граничного условия на вертикальных границах волновода. Доказана корректность смешанной задачи для волнового уравнения с таким граничным условием.

Проведенные расчеты (в диссертации не приводятся) показывают, что полученные граничные условия, которые формально являются условиями первого порядка, работают лучше, чем условия Хигдона второго и третьего порядков.

В четвертой главе рассмотрена проблема вычисления нормальных мод полей звука и внутренних волн на течении, что сводится к решению некоторых спектральных задач для операторных пучков. Эта проблема естественно возникает при попытке вывести соответствующие модовые параболические уравнения, и поскольку наиболее приемлемый для практических задач результат можно получить только для слабых в том или ином смысле течений, то естественно и эту задачу рассматривать методом возмущений.

Рассмотренные в главе спектральные задачи, в случае полиномиальных пучков, могут быть (не однозначно) сведены к спектральной задаче для некоторого оператора, то есть к спектральной задаче для линейного операторного пучка, но этот оператор обычно не является самосопряженным. Таким образом, в этих задачах обычно отсутствует внутренним образом определенная эрмитова метрика, хотя многие задачи определяют так называемую индефинитную метрику (то есть метрику, определенную индефинитным скалярным произведением). В построении рэлесвской теории возмущений для получения некоторых явных формул необходима нормировка собственных функций, естественное определение которой в рассматриваемых задачах отсутствует. Нами предложена, при рассмотрении

собственных значений кратности единица, нормировка собственных функций в виде условия отсутствия присоединенных функций. На приведенных в главе примерах показано, что такая нормировка обеспечивает построение теории возмущений и переходит в обычную нормировку собственных функций спектральной задачи для неподвижной среды при стремлении параметра возмущения к нулю.

В первом разделе методами теории возмущений решается задача о вычислении с точностью до первого порядка числа Маха вертикальных модовых функций акустических нормальных мод в слоистой среде с низкоскоростным горизонтальным течением.

где р = p(z) — плотность, n(z) = 1 /c(z) — показатель преломления, с = c(z) — скорость звука, к — волновое число, /3 = 1 — kv, v = v(z) — скорость течения. Переменные обезразмерены с использованием шкалы длины h = с/to, шкалы времени о;-1 (где ш — круговая частота звука, с — типичное значение скорости звука) и шкалы плотности р (типичное значение плотности).

Для собственной функции $ с собственным значением ¡к2 из условия отсутствия присоединенных функций выводится условие нормировки

которое совпадает с обычным условием нормировки для неподвижной среды при /3 = 1.

С числом Маха в качестве малого параметра разыскиваются члены разложения

= зФо + Ms<h. +М2эф2 + ...;

jk = jk0 + Mjki + M2jk2 + ... ,

где jфo и з ко — собственная функция и волновое число для неподвижной среды. Например, для поправки первого порядка к волновому числу ¡к± получается

д,1ф0с11фо"

Л = V- ( ¡Фо ¡Фо + J-н Р \

¿г &г

¿2 .

0.5 1 1.5

х ю"

Рис. 5: Зависимость относительных ошибок аппроксимации собственного числа первой моды от числа М для иллюстративного примера: сплошная линия — ¿1, штриховая линия — 62, пунктирная линия — штрих-пунктирная линия —

Первое приближение для мод на течении представлялось в виде ряда по собственным функциям оператора для неподвижной среды. Для коэффициентов ряда найдены простые выражения, в которые входят квадратуры собственных функций неподвижной среды и некоторые другие характеристики спектральной задачи для неподвижной среды. На основе этих результатов получено выражение для приближения второго порядка по числу Маха для волнового числа. Показано, что найденные приближения для собствен-

ных функций удовлетворяют условию псевдоортогональности с точностью до 0{М2).

Представлен иллюстрирующий выведенные формулы простой пример, допускающий явное аналитическое решение. В этом примере течение имеет постоянную скорость в нижней половине волновода и отсутствует (скорость течения равна нулю) в верхней половине. Вычисленные собственные значения сравнивались с вычисленными с помощью приближения эффективной скорости звука (Годин и др., 1993) и в целом оказались значительно точнее. На рис. 5 приведены графики зависимостей от числа Маха относительных ошибок аппроксимаций собственного числа первой моды: 8i — относительной ошибки при аппроксимации первого порядка, S-2 — второго, 5ец — приближения эффективной скорости звука и Spade — аппроксимации Паде, полученной из аппроксимаций первого и второго порядков. Результаты для других мод аналогичны.

гтт

- k2p{U - с)2ф - G^j-ф = 0, dz

Во втором разделе в рамках первого порядка регулярной теории возмущений, где в качестве малого параметра берется отношение характерного сдвига скоростей течения к фазовой скорости моды, получено приближенное решение спектральной задачи Тейлора-Гольдштейна на отрезке [—Н, 0], записанной для амплитуды изопикнического поднятия

ф{г)=т^

£ ¿г

с граничными условиями

ф{-Н) = о, ф(0) = о,

где № — вертикальная компонента скорости, [/ = V(г) — скорость горизонтального течения, с — фазовая скорость, к — горизонтальное волновое число, р = р(г) — плотность. Переменные обезразмерены, параметр С? есть дЬГ1И~2, где д — ускорение свободного падения.

Условие нормировки для собственных функций, полученное из требования отсутствия присоединенных функций и переходящее в общепринятое в случае неподвижной среды, здесь такое:

Разыскиваются члены разложений

Рис. 6: Зависимость относительных ошибок приближений фазовой скорости второй моды примера 2 от малого параметра е: сплошная линия — ошибок первого приближения, штриховая лнппя — ошибок второго приближения и штрих-пунктирная линия — ошибок аппроксимации Паде.

1<р= 1фо + С1ф\ +■■■ ^

Iс = 1Со + егс! + ... ,

где е — малый параметр, ¡фо, ¡со — решение задачи для неподвижной среды. Например, поправка первого порядка для фазовых скоростей имеет вид

= ,с§¡\и, ¿г.

Собственные функции на течении находятся в форме ряда по собственным функциям неподвижной среды. Приводятся формулы для коэффициентов этих рядов. На основе этих результатов получено выражение для второго

приближения к фазовой скорости, а также дробно-линейной аппроксимации Паде.

Представлены иллюстрирующие выведенные формулы простые примеры. В первом примере течение имеет постоянную скорость в нижней половине волновода и исчезает в верхней половине. Такой пример имеет явное аналитическое решение. Во втором примере течение имеет линейный сдвиг по вертикали. Этот пример допускает аналитической решение при принятии приближения Буссинеска и динноволнового приближения. В обоих примерах базовая стратификация плотности экспоненциальная.

На рис. б приведены графики зависимостей относительных ошибок первого и второго приближений, а также аппроксимации Паде фазовой скорости первой моды для первого примера.

В Заключении сформулированы основные результаты работы:

1. Методом многомасштабных разложений получены параболические приближения произвольного порядка для задач распространения звука в нестационарных волноводах, в том числе при наличии течений. Рассмотрены постановки начально-краевых задач, получены условия устойчивости и единственности решений.

2. Произведен анализ особенностей применения метода параболического уравнения для волноводов, имеющих границы раздела, на которых индекс рефракции терпит разрыв первого рода с конечным скачком. Теоретически показана неправомерность использования в такой задаче метода параболического уравнения с обычно применяемыми условиями на границе раздела. Численными экспериментами подтверждены теоретические выводы.

3. Методом многомасштабных разложений в первом порядке малого параметра получено параболическое уравнение для амплитуды акустической нормальной моды в общности, достаточной для применения этого уравнения в трехмерных задачах акустики океана. В следующем порядке получено параболическое уравнение для широкоугольной поправки к этой амплитуде. Показано, что эти два уравнения вместе могут рассматриваться как широкоугольное модовое параболическое уравнение. Рассмотрены постановки начально-краевых задач для полученных

уравнений, получены условия устойчивости и единственности решений. Проведен анализ тестовых вычислительных экспериментов.

4. Методом многомасштабных разложений выведено нестационарное параболическое уравнение для амплитуды акустической нормальной моды, распространяющейся в неоднородной и нестационарной среде. Получены уравнения характеристик и условия на характеристиках для этого уравнения.

5. Методом многомасштабных разложений выведено линейное параболическое уравнение для амплитуд нормальных мод внутренних волн, распространяющихся в непрерывно стратифицированной среде над неровным дном. Проведен анализ тестовых вычислительных экспериментов.

6. Получены новые приближенные абсорбирующие граничные условия для уравнений типа нестационарного уравнения Шредингера, основанные на факторизации уравнения Гамильтона-Якоби вместо факторизации оператора уравнения. Проведен анализ тестовых вычислительных экспериментов.

7. Получены новые приближенные абсорбирующие граничные условия для волнового уравнения, основанные на построении однонаправленных приближений к этому уравнению методом многомасштабных разложений. Проведен анализ тестовых вычислительных экспериментов.

8. Построена регулярная теория возмущений низших порядков для получения приближенного решения спектральной задачи для акустических мод на слабом течении. Проведено сравнения с другими приближенными методами.

9. Построена регулярная теория возмущений низших порядков для приближенного решения спектральной задачи Тейлора-Голдштейна для мод внутренних волн на течении со слабым сдвигом. На простых примерах подтверждена эффективность полученных формул.

Публикации по теме диссертации в журналах, рекомендованных ВАК

1. Борисов Н. Г., Гриценко А. В., Козицкий С. Б., Никора О. И., Рутен-ко А. Н., Трофимов М. Ю., Филонов А. Е. Флуктуации гидроакустических сигналов, обусловленные внутренними волнами // Акуст. журн. 1994. Т. 40, № 5. С. 749-755.

2. Коротченко Р. А., Кузнецов Ю. А., Рутенко А. И., Трофимов М. Ю. Акустико-гидрофизические эффекты, порождаемые рыболовным судном с донным тралом // Акуст. журн. 1995. Т. 41, № 2. С. 260-266.

3. Борисов С. В., Коротченко Р. А., Рутенко А. И., Трофимов М. Ю. Пример численного моделирования влияния нелинейных внутренних волн на распространение звука в мелком море // Акуст. журн. 1996. Т. 42, № 5. С. 702-705.

4. Трофимов М. Ю. Узкоугольные параболические уравнения адиабатического распространения звука одной моды в горизонтально-неоднородном мелком море // Акуст. журн. 1999. Т. 45, № 5. С. 647-652.

5. Трофимов М. Ю. Параболические уравнения с зависимостью от времени для двумерных акустических волноводов // Письма в ЖТФ. 2000. Т. 26, № 17. С. 94-98.

6. Трофимов М. Ю. Вычисление собственных значений и функций акустических нормальных мод в слоистой среде с горизонтальным течением // Акуст. журн. 2000. Т. 46, № 2. С. 274-278.

7. Трофимов М. Ю. О вычислении нормальных мод внутренних волн на течении со слабым сдвигом // Известия АН. Физика атмосферы и океана. 2000. Т. 36, № 2. С. 294-301.

8. Трофимов М. Ю. Широкоугольные модовые параболические уравнения Ц Акуст. журн. 2002. Т. 48, № 6. С. 274-278.

9. Трофимов М. Ю. Новый вывод граничных условий прозрачности для параболических уравнений // Письма ЖТФ. 2005. Т. 31, вып. 9. С. 8994.

10. Трофимов М. Ю. О новом подходе к асимптотическим абсорбирующих! граничным условиям для волнового уравнения // Письма ЖТФ. 2007. Т. 33, вып. 3. С. 21-26.

11. Trofimov М. Yu. On the interface and boundary conditions in the parabolic equation method // Europhysics letters. 2007. V. 77. P. 64005-64011.

12. Trofimov M. Yu., Kozitskiy S. В., Zakharenko A. D. On the parabolic equation method in internal wave propagation // Ocean Modelling. 2007. V. 17, No. 4. P. 327-337. arXiv.physics/0609189.

13. Petrov P. S., Trofimov M. Yu. A nonstationary form of the range rcfraction parabolic equation and its application as an artificial boundary condition for the wave equation in a waveguide // Europhysics Letters. 2009. V. 85. P. 34001-pl-34001-p6. arXiv:math-ph/0908.1249.

Публикации в сборниках трудов и препринты

14. Trofimov М. Yu. Modal acoustic tomography with mode interaction // Proceedings of the 8th International Symposium on Acoustic Remote Sensing and Associated Technique of the Atmosphere and Oceans, Moscow, Russia, 27-31 May 1996. P. 2.31-2.34

15. Korotchenko R. A., Rutenko A.,N., Trofimov M. Yu. Experimental investigations of internal waves influence on the propagation of low-frequency sound in shallow sea // Proceedings of the 8th International Symposium on Acoustic Remote Sensing and Associated Technique of the Atmosphere and Oceans, Moscow, Russia, 27-31 May 1996. P. 2.19-2.24

16. Бондарь Л. Ф., Гриценко А. В., Рутенко А. Н., Трофимов М. Ю. Акустико-гидрофизическая трасса в шельфовой зоне Японского моря //В кн. "Акустика океана." Сб. трудов школы-семинара акад. JI. М. Бреховских. М.:ГЕОС, 1998. С. 178-182

17. Трофимов М. Ю. Использование брэгговского рассеяния звука на поверхностных и внутренних волнах для акустического зондирования неоднородностей скорости звука в мелком море // В кн. "Труды IV Всероссийской акустической конференции "Исследование и освоение Мирового океана 22-23 декабря 1998 г. Владивосток, 1998. С. 52-54.

18. Трофимов М. Ю. Модовое параболическое уравнение для расчета трехмерных звуковых полей в мелком море //В кн. "Труды IV Всероссийской акустической конференции "Исследование и освоение Мирового океана 22-23 декабря 1998 г. Владивосток, 1998. С. 55-57.

19. Трофимов М. Ю. Об использовании брэгговского рассеяния звука на поверхностных и внутренних волнах для акустического зондирования гидро- и геофизических неоднородностей в мелком море //В кн. "Информатика и моделирование в океанологических исследованиях". Владивосток: Дальнаука, 1999. С. 180-185.

20. Трофимов М. Ю. Акустическая модовая томография с учетом взаимодействия мод //В кн. "Морская акустика и гидрофизика" (Труды ДВГТУ, вып. 121, сер. 9. Акустика) Владивосток: изд-во ДВГТУ, 1999. С. 35-47.

21. Trofimov М. Yu. Time dependent adiabatic mode parabolic equation // Proceedings of The Sixth Pan Ocean Remote Sensing Conference (PORSEC), Bali, 3-6 September 2002, Vol. II, pp. 773-777.

22. Трофимов M. Ю., Коротченко P. А. Характеристики нормальных мод в упругом волноводе при малых скоростях сдвиговых волн //В кн. "Акустика океана." Доклады X Школы-семинара акад. JI. М. Брехов-ских. М.:ГЕОС, 2004. С. 173-176.

23. Trofimov М. Yu. A new approach to the absorbing boundary conditions for the Schrodinger type equations // arXiv:math-ph/0611031.

24. Трофимов M. Ю., Козицкий С. Б., Захаренко А. Д. Модовые параболические уравнения в акустике океана // Дальневосточные моря России. М.: Наука, 2007. Кн. 4: Океанологические исследования. С. 385-395.

25. Trofimov М. Yu. An adiabatic mode time-dependent parabolic equation 11 arXiv:physics/0909.0204.

26. Trofimov M. Yu. Non-stationary parabolic equations for the quasi-monochromatic sound propagation in media with a non-stationary background flow // arXiv:physics/0909.0205.

Трофимов Михаил Юрьевич Математическое моделирование звуковых и внутренних волн в океане методом параболического уравнения Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук Подписано в печать 22.10.2009. Заказ № 87. Формат 60 х 90/32. Усл. печ. л. 2. Тираж 100 экз. Отпечатано в Тихоокеанском океанологическом институте им. В.И. Ильичева ДВО РАН, г. Владивосток, ул. Балтийская, 43.

Содержание диссертации автор исследовательской работы: доктора физико-математических наук, Трофимов, Михаил Юрьевич

Предисловие

Введение

Глава 1. Параболические уравнения для звуковых волн, не использующие модового представления

1.1. Волновые уравнения для звуковых волн.

1.2. Нестационарные параболические уравнения для звуковых волн

1.2.1. Введение.

1.2.2. Вывод параболического уравнения.

1.2.3. Сравнение с известными уравнения в стационарном случае.

1.2.4. Начально-краевые задачи для параболических уравнений.

1.2.5. Нестационарные параболических уравнений с учетом течений.

1.2.6. Численный пример

Введение диссертация по физике, на тему "Математическое моделирование звуковых и внутренних волн в океане методом параболического уравнения"

1.3.2. Параболическое уравнение.48

1.3.3. Приведенное уравнение Гельмгольца.50

1.3.4. Условия на границе раздела.51

1.3.5. Асимптотики пограничного слоя и условия на границе раздела в случае п < п+.53

1.3.6. Численные примеры.59

1.3.7. Заключение.64

Глава 2. Модовые параболические уравнения 68 2.1. Стационарные модовые акустические параболические уравнения.70

2.1.1. Введение.70

2.1.2. Вывод уравнений в простейшем случае.72

2.1.3. Сравнение с методом формальной факторизации 79

2.1.4. Сохранение потока энергии.82

2.1.5. Рассмотрение общего случая.'85

2.1.6. Формулы при наличии границ разделов: элементы альтернативного подхода.102

2.1.7. Начально-краевые задачи для параболических уравнений.105

2.1.8. Численные примеры.107

2.1.9. Заключение.120

2.1.10. Приложение: Б орновское приближение для меж-модового рассеяние на компактных неоднород-ностях морского дна.121

2.2. Узкоугольное модовое акустическое параболическое уравнение с зависимостью от времени .128

2.2.1. Введение.128

2.2.2. Вывод параболического уравнения.129

2.2.3. Заключение.134

2.3. Модовое параболическое уравнение для внутренних волн 135

2.3.1. Введение.135

2.3.2. Основные уравнения и шкалы.136

2.3.3. Параболическое уравнение.139

2.3.4. Начально-краевые задачи для параболических уравнений.146

2.3.5. Численные эксперименты.147

2.3.6. Заключение.155

2.3.7. Приложение: Вывод формулы (2.155).156

Глава 3. Граничные условия прозрачности 163

3.1. Условия абсорбирующей границы для параболического уравнения.165

3.1.1. Введение.165

3.1.2. Вывод абсорбирующих граничных условий . . 165

3.1.3. Численные эксперименты.171

3.1.4. Заключение.175

3.1.5. Приложение: Условия абсорбирующей границы Баскакова-Попова.176

3.2. Приближенные условия абсорбирующей границы для волнового уравнения .183

3.2.1. Введение.183

3.2.2. Вывод приближенных граничных условий . . . 184

3.2.3. Численные эксперименты.188

3.2.4. Заключение.191

3.3. Нестационарная форма параболического уравнения

Тапперта (range refraction parabolic equation) и его использование как условия абсорбирующей границы для волнового уравнения в волноводе.196

3.3.1. Введение.196

3.3.2. Вывод нестационарной формы range refraction параболического уравнения Тапперта.199

3.3.3. Уравнение (3.49) как условие абсорбирующей границы.202

3.3.4. Заключение.204

Глава 4. Теория возмущений для мод на течении 206 4.1. О вычислении акустических нормальных мод в слоистой среде с низкоскоростным горизонтальным течением 209

4.1.1. Введение.209

4.1.2. Акустические нормальные моды на горизонтальном течении.210

4.1.3. Приближенное решение задачи об акустических модах для низкоскоростного течения.213

4.1.4. Пример.217

4.1.5. Заключение.223

4.2. О вычислении нормальных мод внутренних волн на течении со слабым сдвигом.225

4.2.1. Введение.225 1

4.2.2. Спектральная задача Тейлора-Гольдштейна . . 227

4.2.3. Приближенное решение задачи Тейлора-Гольдштейна для течения со слабым сдвигом.231

4.2.4. Примеры.235

4.2.5. Заключение.245

4.2.6. Приложение: результаты для задачи Тейлора-Гольдштейна с частотой в качестве входного параметра .248

Заключение 249

Литература 252

Предисловие

Метод параболического уравнения, широко применяющийся также для решения задач распространения электромагнитных и поверхностных волн, появился в работах М. А. Леонтовича и В. А. Фока при рассмотрении задач приземного распространения радиоволн, далее развивался трудами многочисленных отечественных и зарубежных исследователей, в (далеко не полный) список которых входят Г. В. Малюжинец (электромагнитные волны), F. D. Tappert, Н. Е. Мальцев, К. В. Авилов, О. А. Годин,М. D. Collins, S. Т. McDaniel,

B. J. Orchard, P. Joly, J. A. Kriegsmann, L. Fishman и W. L. Sieg-mann (подводная акустика и сейсмика), J. Т. Kirby, R. A. Dalrymple,

C. C. Mei, P. L. Liu (поверхностные волны). Количество работ, свя занных с этим методом, достаточно велико.

При рассмотрении мезомасштабных и мелкомасштабных задач подводной акустики необходим тщательный учет переменности свойств среды, как водной, так и морского дна. В таких задачах большое значение имеет горизонтальная рефракция звука, а также рефракция и рассеяние звука на внутренних волнах (см., например, [39, 143, 153]). Для учета этих факторов вывод параболических моделей следует производить с использованием асимптотических методов, из которых наиболее подходящим представляется метод многих масштабов [64]. Известные ранее примеры применения этого метода [144] содержат неточности и в целом не достигают указанной цели.

Классический метод параболического уравнения применим только для сред с бесконечно малым изменением показателя преломления по поперечным переменным. Этот вопрос подробно разобран в третьем разделе первой главы диссертации. Поскольку при включении в рассмотрение морского дна вертикальные изменения скорости звука и плотности не могут считаться бесконечно малыми, большое значение для подводной акустики среднего и малого масштабов имеет разработка моделей, использующих модовое представление волнового поля по вертикали и параболических по горизонтальным переменным. Впервые такое уравнение (adiabatic mode parabolic equation) получил Collins [112] методом факторизации и применил к некоторым крупномасштабным задачам [113]. Проблема получения таких моделей (как стационарных, так и нестационарных), пригодных для расчета звуковых полей в мелком море, является актуальной, причем более бедный модовый состав поля на мелких акваториях усиливает значимость такого подхода. В настоящей работе методом многих масштабов получены узкоугольные и широкоугольные модовые параболические уравнения, систематически учитывающие взаимодействие звука с неоднородностями морского дна.

Для таких уравнений следует ставить условия прозрачности (абсорбирующие условия) на искусственных границах, ограничивающих расчетную область. Граничные условия такого типа рассматривались в многочисленных работах, но задача их получения остается весьма актуальной. К задаче получения таких граничных условий нами предложен новый подход, также основанный на методе многомасштабных разложений.

Задача разработки простых моделей распространения внутренних волн в непрерывно стратифицированном океане с переменной топографией дна важна как сама по себе, так и в связи с существенным влиянием этих волн па звуковое поле. Развитие для этих волн метода параболического уравнения, который, как известно, хорошо работает в задачах распространения поверхностных волн, является актуальной задачей. В настоящей работе получено линейное узкоугольное модовое параболическое уравнения для внутренних волн, распространяющихся в непрерывно стратифицированном море с переменной топографией дна. Следует отметить, что несмотря на значимость нелинейныех эффектов при распространении внутренних волн, переменность коэффициентов превалирует над нелинейностью на сравнительно коротких дистанциях распространения.

Наш интерес к описанным выше задачам возник при выполнении работ [15, 17, 46], где моделирование рефракции звука на внутренних волнах в мелком море производилось в связи с интерпретацией данных натурных экспериментов, и полученные результаты показали необходимость развития соответствующего технического аппарата.

На наш взгляд и работы недавних лет (см. [39, 143] и цитированные там работы) показывают, что имеющиеся возможности моделирования недостаточны для рассмотрения многих задач акустики мелкого моря.

Мы завершим предисловие кратким описанием содержания работы по главам.

В первой главе расположены результаты, относящиеся к параболическим уравнениям, не использующим модовое представление. В разделе 2 этой главы из приведенных в разделе 1 волновых уравнений, описывающих распространение звука в нестационарных средах с течениями, выведено семейство нестационарных параболических уравнений для двумерных и трехмерных волноводов и рассмотрены основные начально-краевые задачи для этих уравнений. В разделе 3 проанализировано, как метод параболического уравнения должен применяться к среде с конечным изменением параметров по вертикальной координате (классический метод параболического уравнения предполагает бесконечно малое изменение).

Вторая глава, основная в работе, содержит вывод модовых параболических уравнений для звуковых и внутренних волн. Обсуждаются также вопросы единственности решения соответствующих начально-краевых задач и приводятся примеры модельных расчетов.

В третьей главе выведены некоторые новые неотражающие граничные условия, важные для применения модовых параболических уравнений. Эти условия учитывают угол падения волны на границу и при дальнейшем развитии могут быть очень полезны на практике. Та же методика применена в этой главе к волновому уравнению, для которого также выведено так называемое нестационарное параболическое уравнение Тапперта, использование которого в качестве граничного условия для решения задач для волнового уравнения в открытых волноводах весьма перспективно.

В четвертой главе проведена предварительная работа для вывода модовых параболических уравнений с учетом течений: построена регулярная теория возмущения для вычисления звуковых и внутри-волновых нормальных мод на течениях.

Я благодарен своим основным соавторам: аспиранту П. С. Петрову, к.ф.-м.н. А. Д. Захаренко, к.ф.-м.н. С. Б. Козицкому, к.т.н. Р. А. Коротченко и д.ф.-м.н. А. Н. Рутенко за плодотворное многолетнее сотрудничество и руководству Тихоокеанского океанологического института ДВО РАН за поддержку исследований.

Введение

Ценность метода параболического уравнения (наряду с близким лучевым методом) для математического моделирования звуковых и других волновых полей в океане состоит не только в том, что он дает подход к решению вычислительно сложных задач, но также и в том, что он позволяет решать некорректные задачи, которые, как правило, и возникают на практике.

В самом деле, линейные уравнения (только такие мы и рассматриваем в этой работе), описывающие волны различных типов в океане, для стационарных волн имеют обычно эллиптический тип, а для нестационарных — гиперболический, причем эволюционной переменной в последнем случае является время. Корректные задачи для уравнений эллиптического типа требуют задания граничных условий на всей границе какой-либо области, а начально-краевые задачи для уравнений гиперболического типа, кроме того, еще и задания начальных условий на всей области. Такие данные, необременительные для большинства технических приложений, в геофизических задачах обычно просто недоступны. Чаще всего встречается ситуация, когда волновое поле наблюдается на многообразиях меньшей размерности, то есть на отрезке незамкнутой кривой для двумерных задач и аналогичной части поверхности для трехмерных. Краевые и начальнокраевые задачи с такими данными, как правило, некорректны и требуют особого подхода. Теория некорректных задач [51, 75] показывает, что наиболее успешно они решаются при использовании априорной информации о решении. Такой информацией может выражаться в постулировании формы решения (анзаца), в наложении на искомое решение каких-либо связей в форме равенств, неравенств или просто принадлежности компактному подмножеству некоторого функционального пространства, и т. д.

Применительно к рассматриваемым в нашей работе задачам существует один замечательный метод регуляризации, требующий, как представляется, наименьшего произвола — он состоит просто в указании пространственно-временных масштабов изучаемых явлений. В литературе этот метод носит название метода обобщенных многих масштабов [64]. Поскольку метод является весьма наглядным и элементарным, его историю трудно проследить — кажется, что им пользовались уже гидромеханики в начале XX века. Мы изложим его достаточно подробно на простом примере двумерного уравнения Гельмгольца uxx + uyy + k%n2u = 0 , (1) где ко — опорное волновое число, п — показатель преломления.

Предположим, что рассматриваемые волны таковы, что их свойства медленно изменяются в нашем двумерном пространстве, то есть становятся наглядными при "взгляде издалека". Под свойствами здесь понимаются такие, например, характеристики, как амплитуда или интенсивность, сама волна может осциллировать достаточно быстро. "Взгляд издалека" означает, что картину изменений свойств удобно наблюдать, перейдя к координатам

X — ex , Y = 5у, где ей 5 — малые параметры, то есть переменные количества, стремящиеся к нулю. В новых координатах уравнение (1) запишется так: е Vyx + 52Uyy + kln2u = 0 , (2) то есть в форме сингулярно возмущенного уравнения, не имеющего вид дифференциального уравнения при 6 = 5 = 0.

Для удобства (и по существу) эти два малых параметра как-то связываются между собой, для начала мы предположим, что е = S.

Поскольку уравнение (2) всё-таки должно описывать волны, а осцилляции теперь происходят "внутри точки" нового пространства, то необходимо ввести для "внутриточечной" геометрии новые координаты — быстрые переменные — 77, ., которые будут связаны с координатами растянутого пространства некоторыми соотношениями ту = У) , £ = , для простоты мы рассмотрим сначала случай одной быстрой переменной г] = е~19(Х, У). Использование для описания внутреннего пространства одной переменной вполне достаточно для многих случаев, оно означает, что внутреннее пространство достаточно однородно (или, вернее, нам безразлична его неоднородность).

Введенная выше конструкция напоминает то, что известно под названием расслоения (fiber bundle), координаты X, Y описывают базу расслоения, а координата rj — слой. Эти координаты теперь рассматриваются как независимые, постулированное выше соотношение задает лишь закон изменения базиса слоя. Разумеется, приведенные аналогии строгими не являются. Такие же понятия для метода усреднения введены в книге В. И. Анольда [9]. Во всяком случае, поле и теперь есть функция от rj, X, Y как независимых переменных. Дифференцировать такую функцию следует с учетом изменения базиса, то есть производные ди/дХ, ди/дУ следует заменить на продолженные производные по схеме ди ди . . . „ ди ди ди . . , „ ди

Продолженная производная вполне аналогична так называемой ко-вариантной производной на введенном расслоении (см., например, [70, 72]).

Итак, подставим в уравнение (2) продолженные производные, поле и, разложенное по степеням малого параметра и аналогично разложенный квадрат показателя преломления и = uq + eui + . , п2 = Пц + v + . , и будем выделять в отдельные уравнения члены при одинаковых степенях е. При этом будем считать, что показатель преломления от быстрой переменной не зависит (только в этом случае упомянутые выше характеристики поля будут меняться медленно).

При б° мы получаем уравнение вх? + (0у)2) щт + к20п20щ = 0 . (3)

Поскольку в и п2 не зависят от ту, это уравнение можно решать как обыкновенное дифференциальное уравнение относительно г/ с постоянными коэффициентами. В качестве (типичного) частного решения можно взять u = А(Х, Y)eKv , где

X / ~копо вх? + {ву? '

А — постоянная интегрирования, но она может зависеть от X, Y. При б1 мы получаем уравнение

6х)2 + (0у)2) Щгт + fcjngui d ^

ОхЩг,) + OXUQXT, + (ОуЩг,) + ОуЩгг, + klvuQ dXv л ' л ' dY

Опуская вычисления, укажем, что подстановка щ в уравнение (4) дает независимость К от X, Y, так как в противном случае щ будет алгебраически зависеть от ту и наше асимптотическое разложение не будет равномерным (область изменения ту не ограничена). Тогда К = const и константа может быть равна чему угодно, так как изменение этой константы изменяет компенсирующим образом ту через связь в (калибровочная инвариантность). Мы примем К — i и тогда uq = Aexp(iry), а также вх)2 + (ву)2 = klnl. (5)

Уравнение (5) называется уравнением Гамильтона-Якоби или уравнением эйконала.

Теперь, с учетом полученного выражения для uq правая часть уравнения (4) есть д . . „ . д . „ . . .,

ОхА) + ехАх + ^ [ОуА) + 9yAy + к20иА iel7? дХ v - / - - dY

Поскольку, при выполнении уравнения (5) ir] есть решение (3), уравнение (4) будет иметь решения в виде квазиполиномов от ту с нетривиальной алгебраической частью (см. [73]), что нарушит равномерность асимптотического разложения, и потому должно быть г\ о ay (ОхА) + ОхАх + ду (0УА) + вуАу + klvA = 0. (6)

Это уравнение называется уравнением переноса и в совокупности уравнения (5) и (6) составляют нулевое приближение метода ВКБ или лучевого метода [10], поскольку характеристики нелинейного уравнения первого порядка (5) в данном контексте называются лучами. Уравнения (5) и (6) — первого порядка, и для них можно ставить задачи, упомянутые в начале Введения. Вопрос о том, в каком смысле решения этих задач приближают решения каких-то задач для уравнения Гельмгольца, очень сложен и его удовлетворительное решение требует, вероятно, радикально нового подхода. Это связано, в частности, с тем, что решения уравнений разных типов естественно принадлежат функциональным пространствам, весьма различным по своей природе, так что их трудно сравнивать. Большая часть известных работ посвящена получению формальных асимптотик.

Известно что системы лучей могут иметь особенности (например, каустики), в окрестности которых описанные формальные разложения теряют силу. Эквивалентно, уравнение (5) имеет многозначные решения.

Имеются многочисленные работы, предлагающие как новые методы построения решений уравнений переноса при наличии особенностей — метод эталонных уравнений [10], метод канонического оператора Маслова [57], так и методы построения многозначных решений уравнения Гамильтона-Якоби (5) [101, 139].

Вместе с тем имеется и другой подход к разрешению упомянутых трудностей. Он связан с упрощением картины лучей, но одновременно усложняется уравнение переноса. Этот метод имеет название метода параболического уравнения, и его развитию в основном и посвящена настоящая работа.

На основе изложенного выше материала мы имеем возможность совсем кратко и понятно показать, как получаются основные уравнения этого метода. Возьмём в уравнении (2) такое соотношение малых параметров: 5 = е1//2, то есть мы рассмотрим уравнение euYY + kln2u = 0 . (7)

Вводя точно так же фазу в и продолженные производные и так же разлагая параметры и поле, мы найдем при е-1 ву)2 = 0 .

Так как щ не должна алгебраически зависеть от г], поскольку это нарушит равномерность разложения, остается положить 0у = 0, то есть в не зависит от Y. Теперь при е° мы найдем уравнение эйконала в виде

Oxf = klnl

8) из которого следует, что лучи суть прямые, параллельные оси X. Таким образом, никаких особенностей у системы лучей нет. Рассмотрение условия разрешимости уравнения при е1 дает следующее уравнение для амплитуды

Это уравнение и называется параболическим уравнением, хотя оно имеет свойства, совершенно отличные от привычных в математической физике параболических уравнений. Уравнения такого типа появляются в квантовой механике и называются там нестационарными уравнениями Шредингера. Известно, что такие уравнения при простых граничных условиях определяют унитарную динамику в пространстве квадратично суммируемых функций от переменной Y. Таким образом, сравнивать решения таких уравнений с решениями уравнения Гельмгольца, где естественным является соболевское пространство Н1, также затруднительно.

Физически уравнение (9) описывает дифракцию волн, распространяющихся под малыми углами к оси X. Какой именно угол считать малым зависит от заданной точности аппроксимации волнового поля. Как показано в литературе, см. также и настоящую работу, рассмотрение последующих приближений по степеням е дает широкоугольные поправки к (9), то есть при заданной точности угол распространения увеличивается. При этом у нас уравнение для амплитуды последующего порядка имеет такой же вид, как (9), но с правой

2iехЛх + iОххА + Ауу + k\vA = 0 .

частью, зависящей от предыдущих приближений. Такая форма широкоугольных уравнений удобна как при рассмотрении некоторых теоретических вопросов, так и для организации численного счета.

Многочисленные эвристические выводы уравнений типа (9) обычно "проходят мимо" уравнения Гамильтона-Якоби (8), которое в рассмотренном случае тривиально, но в более сложных случаях имеет существенное значение. Впрочем, даже в рассмотренном случае оно позволяет правильно определить фазу в, а тем самым и амплитуду, и избежать вопроса о "правильном выборе опорного волнового числа", которому посвящена многочисленная литература и который возник из-за определения фазы соотношением в(Х) = коХ (см. [74] и недавнюю работу [151]).

Возможно обобщение метода параболического уравнения до метода лучевого параболического уравнения, когда используются шкалы переменных такие же, как в лучевом методе, но вводится дополнительная быстрая переменная £ = e~l/2ip(X,Y). Тогда, действуя как выше, мы получим полное уравнение эйконала (5), а в качестве уравнения переноса — уравнения типа (9), в котором роль дифракционной переменной У будет играть новая переменная £ (см., например, [41, 68, 96]). Такие уравнения очень интересны, но в нашу работу они не вошли, и мы ограничимся этим кратким упоминанием.

Строгое обоснование асимптотических методов исключительно сложно и здесь имеются лишь изолированные результаты, следует упомянуть классическую работу [13], относящуюся к обыкновенным дифференциальным уравнениям и более современные работы

55, 122], содержащие некоторые результаты о моделях с частными производными.

Таким образом, выбор подходящего параболического шкалирования и введение соответствующих медленных и быстрых переменных уже без дополнительных предположений приводит к нужным уравнениям. Этот подход мы попытаемся последовательно проводить в основных частях работы.

Заключение диссертации по теме "Акустика"

Заключение

Перечислим основные результаты, полученные в работе:

5. Методом многомасштабпых разложений выведено линейное параболическое уравнение для амплитуд нормальных мод внутренних волн, распространяющихся в непрерывно стратифицированной среде над неровным дном. Проведен анализ тестовых вычислительных экспериментов.

6. Получены новые приближенные абсорбирующие граничные условия для уравнений типа нестационарного уравнения Шре-дингера, основанные на факторизации уравнения Гамильтона-Якоби вместо факторизации оператора уравнения. Проведен анализ тестовых вычислительных экспериментов.

Список источников диссертации и автореферата по физике, доктора физико-математических наук, Трофимов, Михаил Юрьевич, Владивосток

1. Авилов К. В., Мальцев Н. Е. К вычислению звуковых полей в океане методом параболического уравнения // Акуст. журн. 1981. Т. 27, № 3. С. 335-340.

2. Авилов К. В. Псевдодифференциальные параболические уравнения распространения звука в океане, плавно неоднородном по горизонтали, и их численное решение // Акуст. журн. 1995. Т. 41, № 1. С. 5-12.

3. Алексеев Г. В. Метод нормальных волн в подводной акустике. Владивосток: Дальнаука, 2006. 360 с.

4. Алексеев Г. В., Комаров Е. Г. Быстрый алгоритм вычисления собственных значений для многослойного поглощающего волновода // Акуст. журн. 1990. Т. 36, № 6. С. 965-972.

5. Алексеев Г. В., Комаров Е. Г. Несамосопряженная сингулярная спектральная задача для оператора Гельмгольца с разрывными коэффициентами // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1992. Т. 32, № 4. С. 587-597.

6. Алексии Г. Проблемы сходимости ортогональных рядов. М.:Издательство иностранной литературы, 1963. 359 с.

7. Алувэлъя Д. С., Келлер Док. Б. Точные и асимптотические представления звукового поля в стратифицированном океане //В кн. Распространение волн и подводная акустика, под ред. Дж. Б. Келлера и Дж. С. Пападакиса. М.: Мир, 1980. С. 20-75.

8. Антосик П., Микусинский Я., Сикорский Р. Теория обобщенных функций. М.: Мир, 1976. 311 с.

9. Арнольд В. И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.-.Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1978. 304 с.

10. Бабич В.М., Булдырев B.C. Асимптотические методы в задачах дифракции коротких волн. М.:Наука, 1972. 456 с.

11. Барридж. Р., Вайнберг Г. Горизонтальные лучи и вертикальные, моды //В кн. Распространение волн и подводная акустика, под ред. Дж. Б. Келлера и Дж. С. Пападакиса. М.: Мир, 1980. С. 76125.

12. Березин А. С., Жидков Н. П. Методы вычислений. Том 2. М.Государственное издательство физико-математической литературы, 1962. 640 с.

13. Боголюбов Н. Н., Митропоьский Ю. А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. Собрание научных трудов Н. Н. Боголюбова в 12 томах. Том 3. М.: Наука, 2005. 605 с.

14. Бондарь Л. Ф., Гриценко А. В., Рутенко А. Н., Трофимов М. Ю. Акустико-гидрофизическая трасса в шельфовой зоне Японскогоморя //В кн. "Акустика океана.11 Сб. трудов школы-семинара акад. Л. М. Бреховских. М.-.ГЕОС, 1998. С. 178-182

15. Борисов Н. Г., Гриценко А. В., Козицкий С. В., Никора О. И., Рутенко А. Н., Трофимов М. Ю., Филонов А. Е. Флуктуации гидроакустических сигналов, обусловленные внутренними волнами // Акуст. журн. 1994. Т. 40, № 5. С. 749 755.

16. Борисов С. В., Коротченко Р. А., Рутенко А. Н., Трофимов М. Ю. Пример численного моделирования влияния нелинейных внутренних воли на распространение звука в мелком море // Акуст. журн. 1996. Т. 42, № 5. С. 702-705.

17. Боровских А. В., Перов А. И. Лекции по обыкновенным дифференциальным уравнениям. Москва-Ижевск:НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика 2004. 540 с.

18. Бреховских Л. М., Годин О. А. Акустика слоистых сред. М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1989. 416 с.

19. Будак Б. М., Фомин С. В. Кратные интегралы и ряды. М.:Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1967. 607 с.

20. Войтович Н. Н., Каценеленбаум Б. 3., Сивов А. Н. Обобщенный метод собственных колебаний в теории дифракции. М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы. 1977. 416 с.

21. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М.:Наука, 1988. 512 с.

22. Воеводин А.Ф., Шугрин С.М. Методы решения одномерных эволюционных систем. Новосибирск: Наука, 1993. 368 с.

23. Воронович А. Г. О распространении внутренних волн в неоднородном по горизонтали океане // И АН Физика атмосферы и океана. 1976. Т. 12, № 1. С. 83-92.

24. Воронович А. Г. Распространение внутренних и поверхностных гравитационных волн в приближении геометрической оптики // ИАН Физика атмосферы и океана. 1976. Т. 12, № 8. С. 850857.

25. Годин О. А. О волновом уравнении для звукового поля в жидкости со стратификацией плотности // Докл. АН СССР. 1984. Т. 276, № 3. С. 579-582.

26. Годин О. А. Оценки фазовых и групповых скоростей акустических нормальных волн в движущейся слоистой среде // Докл. АН СССР. 1990. Т. 310, № 5. С. 1084-1089.

27. Годин О. А., Михин Д. Ю., Молчанов С. Я. О приближении эффективной скорости звука в акустике движущихся сред // Известия АН. Физика атмосферы и океана. 1993. Т. 29, № 2. С. 194-201.

28. Годин О. А. Волноводное распространение звука в горизонтально-неоднородном океане с течениями // В кн.: Океаническая акустика. М.: Наука, 1993. С. 3-8.

29. Годин О. А. О волнах малой амплитуды в неоднородной движущейся среде // ДАН. 1996. Т. 351, № 3. С. 322-325.

30. Годин О. А. О волновых уравнениях однонаправленного распространения звука на фоне потока // ДАН. 1998. Т. 361, № 4. С. 465468.

31. Годин О. А. О параболическом приближении в теории распространения звука в трехмерно-неоднородных средах // ДАН. 2000. Т. 373, № 5. С. 607-610.

32. Голанд В. И. Метод погружения в задаче определения дисперсионных кривых внутренних волн при наличии течения с вертикальным сдвигом скорости // Морской гидрофизический журнал. 1990. № 3. С. 62-65.

33. Гордиенко В. М. Симметризация смешанной задачи для гиперболического уравнения второго порядка с двумя пространственными перменными // Сиб. мат. журн. 1981. Т. XXII, № 2. С. 84-104.

34. Григорьева Н. С. Асимптотические методы в задачах о распространении звука в неоднородной движущейся среде. JL: Издательство Ленинградского университета, 1991. 240 с.

35. Додд Р., Эйлбек Док., Гиббон Дою., Моррис X. Солитоны и нелинейные волновые уравнения. М.: Мир, 1988. 694 с.

36. Захаренко А. Д. О рассеянии на малых компактных неоднород-ностях в морском звуковом волноводе // Акуст. журн. 2000. Т. 46, № 2. С. 200-203.

37. Захаренко А. Д. Рассеяние звука на малых компактных неод-нородностях в морском волноводе: обратная задача. // Акуст. журн. 2002. Т. 48, № 2. С. 200-204.

38. Кацнельсон Б. Г., Бади М., Линч Дж. Горизонтальная рефракция звука в мелком море и ее экспериментальные наблюдения // Акуст. журн. 2007. Т. 53, № 3. С. 362-376.

39. Келдыш М. В. О полноте собственных функций некоторых классов несамосопряженных дифференциальных операторов // Усп. мат. наук. 1971. Т. 26, Вып. 4. С. 15-41.

40. Киселев А. П. Модулированные гауссовы пучки // Известия ВУЗов. Радиофизика. 1983. Т. XXVI. № 8. С. 1014-1020.

41. Кляцкин В. И. Метод погружения в теории распространения волн. М.: Наука, 1986. 256 с.

42. Коддингтпон Э. А., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: ИЛ, 1958. 474 с.

43. Копачевский Н. Д., Крейн С. Г., Нго Зуй Кан. Операторные методы в линейной гидродинамике. М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1989. 416 с.

44. Коротпченко Р. А., Трофимов М. Ю. Численное моделирование рефракции звука на нелинейных внутренних волнах // Доклады VII Дальневос-точной научно-технической конференции по судовой радиоэлектронике (1-3 мая 1994 г.) Владивосток, 1994. С. 109112

45. Коротпченко Р. А., Кузнецов Ю. А., Рутпенко А. Н., Трофимов М. Ю. Акустико-гидрофизические эффекты, порождаемые рыболовным судном с донным тралом // Акуст. журн. 1995. Т. 41, № 2. С. 260 266.

46. Коротпченко Р. А., Трофимов М. Ю. Комплекс программ компьютерного моделирования гидрофизического полигона //В кн. "Информатика в океанологии ТОЙ ДВО РАН, Владивосток, 1996. С. 81-95.

47. Кравцов Ю.А., Орлов Ю.И. Геометрическая оптика неоднородных сред. М.:Наука, 1980. 304 с.

48. Краусс В. Внутренние волны. Л.: Гидрометеоиздат, 1968. 272 с.

49. Курант Р. Уравнения с частными производными. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1964. 830 с.

50. Лаврентьев М. М., Романов В. Г., Шишатский С. П. Некорректные задачи математической физики и анализа. М.: Наука, 1980. 287 с.

51. Лайтхилл Дою. Волны в жидкостях. М.: Мир, 1981. 598 с.

52. Леонтович М. А., Фок В. А. Решение задачи о распространении электромагнитных волн вдоль поверхности земли по методу параболического уравнения // В сб.: Исследования по распространению радиоволн. Вып. II. М: Издательство АН СССР, 1948. С. 13-39.

53. Лионе Ж. Л., Мадэюенес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. М.: Мир, 1971. 371 с.

54. Ломов С. А. Введение в общую теорию сингулярных возмущений. М.: Наука, 1981. 400 с.

55. Маслов В.П. О новом принципе суперпозиции для задач оптимизации // Усп. мат. наук. 1987. Т. 42, Вып. 3. С. 39-48.

56. Маслов В. П., Федорюк М. В. Квазиклассическое приближение для уравнений квантовой механики. М.:Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1976. 292 с.

57. Маслов В. П. Комплексный метод ВКБ в нелинейных уравнениях. М.:Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1977. 384 с.

58. Миропольский Ю. 3. Динамика внутренних гравитационных волн в океане. Л.: Гидрометеоиздат, 1981. 302 с.

59. Миропольский Ю. 3. Распространение внутренних волн в океане с горизонтальными неоднородностями поля плотности // Изв. АН СССР. Физика атмосферы и океана. 1974. Т. 10, № 5. С. 519532.

60. На Ц. Вычислительные методы решения прикладных граничных задач. М.: Мир, 1982. 296 с.

61. Назайкинский В. Е., Шаталов В. Е., Стернин Б. Ю. Методы некоммутативного анализа. М.: Техносфера, 2002. 336 с.

62. Наймарк М. А. Линейные дифференциальные операторы. М.:Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1969. 528 с.

63. Найфэ А.Х. Методы возмущений. М.:Мир, 1976. 456 с.

64. Найфэ А. X. Введение в методы возмущений. М.:Мир, 1984. 535 с.

65. Никифоров А. Ф., Уваров В. Б. Специальные функции математической физики. Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1978. 320 с.

66. Осташев В. Е. Распространение звука в движущихся средах. М.: Наука, 1992. 208 с.

67. Пермитин Г. В., Смирнов А. И. Волновые пакеты в плавно неоднородных диспергирующих средах // ЖЭТФ. 2001. Т. 119, вып. 1. С. 16-26.

68. Поттер Д. Вычислительные методы в физике. М.:Мир, 1975. 392 с.

69. Рашевский П. К. Риманова геометрия и тензорный анализ. М.:Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1967. 664 с.

70. Самарский А. А. Теория разностных схем. М.:Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1989. 616 с.

71. Седов Л. И. Механика сплошной среды. Т. 1. М.:Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1973. 536 с.

72. Степанов В В. Курс дифференциальных уравнений. М.:ОГИЗ. Гостехиздат, 1945. 406 с.

73. Тапперт Ф. Д. Метод параболического уравнения //В кн. Распространение волн и подводная акустика, под ред. Дж. Б. Келлера и Дж. С. Пападакиса. М.: Мир, 1980. С. 180-226.

74. Тихонов А. Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1974. 288 с.

75. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1977. 736 с.

76. Трофимов М. Ю. Об уравнениях квазистационарной модовой томографии мелкого моря с учетом взаимодействия мод //В кн. "Информатика в океанологии ТОЙ ДВО РАН, Владивосток, 1996. С. 59-66

77. Трофимов М. Ю. Использование брэгговского рассеяния звука на поверхностных и внутренних волнах для акустического зондирования неоднородностей скорости звука в мелком море //В кн.

78. Труды IV Всероссийской акустической конференции "Исследование и освоение Мирового океана 22-23 декабря 1998 г. Владивосток, 1998. С. 52-54.

79. Трофимов М. Ю. Модовое параболическое уравнение для расчета трехмерных звуковых полей в мелком море //В кн. "Труды IV Всероссийской акустической конференции "Исследование и освоение Мирового океана 22-23 декабря 1998 г. Владивосток, 1998. С. 55-57.

80. Трофимов М. Ю. Акустическая модовая томография с учетом взаимодействия мод //В кн. "Морская акустика и гидрофизика" (Труды ДВГТУ, вып. 121, сер. 9 Акустика) Владивосток: изд-во ДВГТУ, 1999. С. 35-47.

81. Трофимов М. Ю. Узкоугольные параболические уравнения адиабатического распространения звука одной моды в горизонтально-неоднородном мелком море // Акуст. журн. 1999. Т. 45,№ 5. С. 647-652.

82. Трофимов М. Ю. Параболические уравнения с зависимостью от времени для двумерных акустических волноводов // Письма в ЖТФ. 2000. Т. 26, № 17. С. 94-98.

83. Трофимов М. Ю. Вычисление собственных значений и функций акустических нормальных мод в слоистой среде с горизонтальным течением // Акуст. журн. 2000. Т. 46, № 2. С. 274-278.

84. Трофимов М. Ю. О вычислении нормальных мод внутренних волн на течении со слабым сдвигом // Известия АН. Физика атмосферы и океана. 2000. Т. 36, № 2. С. 294-301.

85. Трофимов М. Ю. Широкоугольные модовые параболические уравнения // Акуст. журн. 2002. Т. 48, № 6. С. 274-278.

86. Трофимов М. Ю., Коротпченко Р. А. Характеристики нормальных мод в упругом волноводе при малых скоростях сдвиговых волн // В кн. "Акустика океана."Доклады X Школы-семинара акад. Л. М. Бреховских. М.:ГЕОС, 2004. С. 173-176.

87. Трофимов М. Ю. Новый вывод граничных условий прозрачности для параболических уравнений // Письма в ЖТФ. 2005. Т. 31, вып. 9. С. 89-94.

88. Трофимов М. Ю. О новом подходе к асимптотическим абсорбирующим граничным условиям для волнового уравнения // Письма в ЖТФ. 2007. Т. 33, вып. 3. С. 21-26.

89. Трофимов М. Ю., Козицкий'С. Б., Захаренко А. Д. Модовые параболические уравнения в акустике океана // Дальневосточныеморя России. М.: Наука, 2007. Кн. 4: Океанологические исследования. С. 385-395.

90. Уилкинсон Дэю., Райнш К. Справочник алгоритмов на языке АЛГОЛ. Линейная алгебра. М.: Машиностроение, 1976, 390 с.

91. Флегпчер К. Численные методы на основе метода Галеркина. М.: Мир, 1988. 352 с.

92. Хартпман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1970. 720 с.

93. Abawi, А. Т., Kuperman, W. A., Collins, М, D. The coupled mode parabolic equation // J. Acoust. Soc. Amer. 1997. V. 102, N. 1. P. 233-238.

94. Ainslie M. A., Packman M. N., Harrison С. H. Fast and explicit Wentzel-Kramers-Brillouin mode sum for bottom-interacting field, including leaky modes // J. Acoust. Soc. Am. 1998. V. 103, N. 4. P. 1804-1812.

95. Ali G., Hunter J. К., Diffractive nonlinear geometrical optics for variational wave equations and Einstein equations // Comm. Pure Appl. Math. 2007. V. LX. P. 1523-1557.

96. Antoine, X., Arnold, А., В esse, C., Ehrhardt, M. and Schadle, A. A review of transparent and artificial boundary conditions technique for linear and nonlinear Schrodinger equation // Comm. Сотр. Phys. 2008. V. 4. P. 729.

97. Arnold, A. and Erhardt, M. Discrete transparent boundary conditions for wide ahgle parabolic equations in underwater acoustics // J. Сотр. Phys. 1998. V. 145. P. 611-638.

98. Banks W. H. H.} Drazin P. G., Zaturska M. B. On the normal modes of parallel flow of inviscid stratified fluid // J. Fluid. Mech. 1976. V. 75. Part 1. P. 149-171.

99. Baskakov, V. A., Popov A. V. Implementation of transparent boundaries for numerical solution of the Schrodinger equation // Wave Motion 1991. V. 14. P. 123-128.

100. Benamou, J.-D. Direct solution of multi-valued phase-space solutions for Hamilton-Jacobi tquations // Comm. Pure Appl. Math. 1999. V. 52. P. 1443-1499. См. также INRIA report N. 4628, (2002).

101. Bender, С. M. and Orszag S. A. Advanced mathematical methods for scientists and engineers. McGraw-Hill, 1978. xiv+593 p.

102. Berenger J-P. A perfectly matched layer for the absorbtion of electromagnetic waves // J. Comput. Phys. 1994. V. 114. P. 185200.

103. Chan, T. F., Shen, L. A stable explicit scheme for the ocean acoustic wave equation // Сотр. &; Maths, with Appl. 1985. V. 11, N. 9. P. 929-936.

104. Chan, T. F., Lee, D. and Shen, L. Stable explicit schemes for equations of the Schrodinger type // SIAM J. Numer. Anal. 1986. V. 23, N. 2. P. 274-281.

105. Chen Y., Liu P. L.-F. The Kadomtsev-Petviashvili equation for interfacial waves // J. Fluid Mech. 1995. V. 288. P. 383-408.

106. Collino F. Perfectly matched absorbing layers for the paraxial equations // J. Comput. Phys. 1887. V. 131. P. 164-180.

107. Collins M. D. Applications and time-domain solution of higher-order parabolic equations in underwater acoustics // J. Acoust. Soc. Amer. 1989. V. 86, N. 3. P. 1097-11-2.

108. Collins M. D. The problem of energy conservation in one-way models // J. Acoust. Soc. Amer. 1991. V. 89, N. 3. P. 1058-1067.

109. Collins M. D. A higher-order energy-conserving parabolic equation for range-dependent ocean depth, sound speed, and density // J. Acoust. Soc. Amer. 1991. V. 89, N. 3. P. 1068-1075.

110. Collins M. D. A split-step Pade solution for the parabolic equation method // J. Acoust. Soc. Am. 1993. Vol. 93, N. 4. P. 1736-1742.

111. Collins M. D. The adiabatic mode parabolic equation // J. Acoust. Soc. Amer. 1993. V. 94, N. 4. P. 2269-2278.

112. Collins M.D., McDonald B.E., Heaney K.D., Kuperman W.A. Three-dimensional effects in global acoustics // J. Acoust. Soc. Amer. 1995. V. 97, N. 3. P. 1567-1575.

113. Continuation methods. Edited by H. Wacker. Academic Press, New York et al., 1978. ix+336 pp.

114. Dalrymple, R. A, Kirby, J. Т. Models for very wide-angle water waves and wave diffraction // J. Fluid Mech. 1988. V. 192. P. 33-50.

115. Engquist, B. and Majda A. Absorbing boundary conditions for the numerical simulation of waves // Math. Сотр. 1977. V. 31, N. 139. P. 639-651.

116. Givoli, D. and Neta, B. High-order non-reflecting boundary scheme for time-dependent waves // J. Comput. Phys. 2003. V. 186. P. 24-46.

117. Green R. R. The rational approximation of the wave equation with bottom unteraction // J. Acoust. Soc. Amer. 1984. V. 76, N. 6. P. 1764-1773.

118. Ha-Duong Т., Joly P. On the stability analysis of boundary conditions for the wave equation by energy methods. Part 1: The homogeneous case // INRIA, Rapports de Recherche. 1990. N. 1306.

119. Hagedorn G. A. A particle limit for the wave equation with a variable wave speed // Comm. Pure Appl. Math. 1984. V. XXXVII. P. 91-100.

120. Hagstrom Т. Radiation boundary conditions for the numerical simulation of waves // Acta Numer. 1999. V. 8. P. 47-106.

121. Hagstrom T. New results on absorbing layers and radiation boundary conditions // In: Topics in Computational Wave Propagation, ed. M. Ainsworth, Springer-Verlag, Berlin, 2003. P. 143.

122. Higdon R. L. Initial-boundary value problems for linear hyperbolic systems // SIAM Rev. 1986. V. 28, N. 2. P. 177-217.

123. Higdon R. L. Numerical absorbing boudary conditions for the wave equation // Math. Comput. 1987. V. 49. P. 65-90.

124. Joly P. Etude mathematique de l'approximation parabolique de l'equation des ondes en milieu stratifie // INRIA, Rapports de Recherche. 1984. N. 299.

125. Keller J. В., van Mow C. Internal wave propagation in an inhomofeneous fluid of non-uniform depth // J. Fluid Mech. 1969. V. 38. P. 365-374.

126. Kirby J. Т., Dalrymple R. A. A parabolic equation for the combined refraction-diffraction of Stokes waves by mildly varying topography // J. Fluid Mech. 1983. V. 136. P. 453-466.

127. Kirby J. T. Open boundary condition in parabolic equation method // Journal of Waterway, Port, Coastal and Ocean Engineering. 1986. V. 112, No. 3. P. 460-465.

128. Kirby J. Т., Tsung-Muh Chen. Surface waves on vertically sheared flows: approximate dispersion relations // J. Geophys. Res. 1989. V. 94, N. CI. P. 1013-1027.

129. Kreiss H-O. Initial boundary value problems for hyperbolic systems // Comm. Pure Appl. Math. 1970. V. XXIII. P. 277-298.

130. Kuska J.-P. Absorbing boundary conditions for the Schrodinger equation on finite intervals // Physical Review B. 1992. Vol. 46. P. 5000-5003.

131. LeBlond P. H., Mysak L. A. Waves in the ocean. Elsevier Scientific Publishing Company, Amsterdam et al., 1978. 602 pp.

132. Liu P. L. F., Mei С. C. Water motion on a beach in the presence of a breakwater. 1 // J. Geoph. Res. 1976. V. 81. P. 3079-3094.

133. Liu P. L.-F, Yoon S. В Nonlinear refraction-diffraction of waves in shallow water // J. Fluid Mech. 1985. V. 153. P. 185-201.

134. Liu H., Osher S., Tsai R. Multi-valued solution and level set methods in computational high frequency wave propagation // Comm. Сотр. Phys. 2006. V. 1, N. 5. P. 765-804.

135. Llewellin Smith, S. G., Young W. R. Conversion of the barotropic tide. // J. Phys. Oceanogr. 2002. V. 32. P. 1554-1566.

136. Mei С. C. The applied dynamics of ocean surface waves. John Wiley к Sons, New York et al, 1983.

137. Nghuem-Ohu L., Tappert F. Parabolic equation modeling of the effects of ocean currents on sound tranmission and reciprocity in the time domain // J. Acoust. Soc. Amer. 1985. V. 78, N. 2. P. 642-648.

138. Ona R. and Finette S. Acoustic propagation through anisotropic internal wave fields: Transmission loss, cross-range coherence, and horizontal refraction // J. Acoust. Soc. Amer. 2002. V. Ill, N. 2. P. 769-784.

139. Orchard B. J., Siegmann W. L., and Jacobson M. J. Three-dimensional time-domain paraxial approximations for ocean acoustic wave propagation // J. Acoust. Soc. Amer. 1992. V. 91, N. 2. P. 788801.

140. Papadakis J. S., Taroudakis M. I. and Papadakis P. J. A new method for a realistic treatment of the sea bottom in the parabolic approximation 11 J. Acoust. Soc. Am. 1992. V. 92. P. 2030-2038.

141. Pierce A., D. Wave equation for sound in fluids with unsteady inhomogeneous flow // J. Acoust. Soc. Am. 1990. V. 67, N. 6. P. 22922297.

142. Radder A. C. On the parabolic equation method for water-wave propagation // J. Fluid Mech. 1979. V. 95. P. 159-176.

143. Robertson J S., Siegmann W. L., Jacobson M. J. Current and current shear effects in the parabolic approximation for underwater sound channel // J. Acoust. Soc. Am. 1985. V. 77, N. 5. P. 1768-1780.

144. Robertson J S.; Siegmann W. L., Jacobson M. J. A treatment of three-dimensional underwater acoustic propagation through a steady shear flow // J. Acoust. Soc. Am. 1989. V. 86, N. 4. P. 1484-1489.

145. Rypina I /., Udovichenkov I. A., Brown M. G. A transformation of the environments eliminates parabolic equation phase errors // J. Acoust. Soc. Am. 2006. V. 120, N. 3. P. 1296-1304.

146. Shang E. C. Ocean acoustic tomography based on adiabatic mode theory I j J. Acoust. Soc. Am. 1989. V. 85. P. 1531-1537.

147. Shang Е. С., Voronovich A. G., Wang У. У., Naugolnykh К., Ostrovsky L. New schemes of ocean acoustic tomography // J. Comput. Acoustics. 2000. V. 8, N. 3. P. 459-471.

148. Shang E. C., Wang У. У., Gao Т. F. On the adiabaticity of acoustic propagation through nongradual structures // J. Comput. Acoustics. 2001. V. 9, N. 2. P. 359-366.

149. Shibata T. Absorbing boundary conditions for the finite-difference time-domain calculation of the one-dimensional Schrodinger equation 11 Physical Review B. 1991. V. 43. N. 8. P. 6760-6763.

150. Siegmann W. L., Kriegsmann G. A., and Lee D. A wide-angle three-dimensional parabolic wave equation // J. Acoust. Soc. Amer. 1985. V. 78, N. 2. P. 659-664.

151. Smyth N. F., Holloway P. E. Hydraulic jump and undular bore formation on a shelf break // J. Phys. Oceanogr. 1988. V. 18. P. 947-963.

152. Trefethen L. N. Pseudospectra of linear operators // SIAM Rev. 1997. V. 39, N. 3. P. 383-406.

153. Trofimov M. Yu. Modal acoustic tomography with mode interaction // Proceedings of the 8th International Symposium on Acoustic Remote Sensing and Associated Technique of the Atmosphere and Oceans, Moscow, Russia, 27-31 May 1996. P. 2.31-2.34

154. Trofimov M. Yu. Time dependent adiabatic mode parabolic equation // Proceedings of The Sixth Pan Ocean Remote Sensing

155. Conference (PORSEC), Bali, 3-6 September 2002, Vol. II. P. 773777,

156. Trofimov M. Yu. On the interface and boundary conditions in the parabolic equation method // Europhysics letters. 2007. V. 77. P. 64005-64011.

157. Trofimov M. Yu. A new approach to the absorbing boundary conditions for the Schrodinger type equations // arXiv:math-ph/0611031.

158. Trofimov M. Yu. An adiabatic mode time-dependent parabolic equation j I arXiv:physics/0909.0204.

159. Trofimov M. Yu. Non-stationary parabolic equations for the quasi-monochromatic sound propagation in media with a non-stationary background flow // arXiv:physics/0909.0205.

160. Trofimov M. Yu., Kozitskiy S. В., Zakharenko A. D On the parabolic equation method in internal wave propagation // Ocean Modelling. 2007. V. 17, N. 4. P. 327-337. arXiv:physics/0609189.

161. Tsynkov S. V. Numerical solution of problems on unbounded domains. A review // Appl. Numer. Math. 1998. V. 27. P. 465-532.

162. Voronovich A. G., Shang E. C. A note on horizontal-refraction-modal tomography // J. Acoust. Soc. Amer. 1905. V. 98, N. 5. P. 2708-2816.

163. Wetton В.Т.К., Fawcett J.A. Scattering from small three-dimensional irregularities in the ocean floor // J. Acoust. Soc. Amer. 1989. V. 85, N. 4. P. 1482-1488.

164. Zakharenko A. D. Scattering of internal waves from small sea bottom inhomogeneities // Proceedings of The Sixth Pan Ocean Remote Sensing Conference (PORSEC), Bali, 3-6 September 2002, Vol. II. P. 773-777, arXiv:physics/0701221.