Метаоптика одномерных фотонных и магнитофотонных кристаллов тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.13 ВАК РФ

На правах рукописи

ДОРОФЕЕНКО Александр Викторович

МЕТАОПТИКА ОДНОМЕРНЫХ ФОТОННЫХ И МАГНИТОФОТОННЫХ КРИСТАЛЛОВ

01 04 13 - электрофизика, электрофизические установки

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

□ □344 6 1 1С

1 8 СЕН 2008

Москва-2008

003446116

Работа выполнена в Институте теоретической и прикладной электродинамики РАН

Научный руководитель Официальные оппоненты

доктор физико-математических наук, гл н с Виноградов А П,

доктор физико-математических наук, профессор Шевченко В В ,

кандидат физико-математических наук, ст преп Федянин А А

Ведущая организация

Институт спектроскопии РАН

Защита состоится" " (Ш^иШьЛ 2008 г в /{ ч Ор мин на заседании Диссертационного совета ДМ 002 262 01 при Институте теоретической и прикладной электродинамики РАН при участии Объединенного института высоких температур РАН по адресу г Москва, ул Ижорская, 13, экспозал ОИВТ РАН

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Объединенного института высоких температур РАН

Автореферат разослан "¿lfujsün¿{ 2008 г

Ученый секретарь Диссертационного совета кандидат физико-математических наук J АТ Кунавин

) Институт теоретической и прикладной электродинамики РАН, 2008

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность темы

Работа посвящена актуальным задачам электродинамики неоднородных сред Рассмотрены сложные системы, в которых взаимодействие электромагнитного поля с образующими эти системы элементами (включениями в матрице, ячейками фотонного кристалла, молекулами и т д ) носит непотенциальный характер и не может быть описано, как это традиционно делалось, в рамках только квазистатического приближения Новые эффекты, обусловленные запаздыванием и соленоидальностью полей, приводят к существенному отличию макроскопических свойств таких сред от свойств традиционных материалов (киральность, искусственный магнетизм, запрещенные зоны и т д), что и дало основание выделить такие системы в отдельный класс - класс метаматериалов Обычно такой композитный материал представляет собой матрицу из вещества с диэлектрической проницаемостью е порядка единицы, в которой находятся включения, имеющие резонансный отклик

Использование металлов или сред с большой диэлектрической проницаемостью как материала для включений позволяет получить включение-резонатор размером много меньше длины волны В этом случае дипольный отклик резонансного включения приводит к экстремальным значениям эффективной диэлектрической проницаемости ее]г, а возбуждение включения-резонатора в магнито-дипольной моде приводит к отличной от единицы (возможно и к отрицательной) эффективной магнитной проницаемости даже если были использованы только немагнитные материалы [1-4]

Согласно предложенной классификации, к метаматериалам можно отнести также фотонные кристаллы (ФК), т е среды с периодической пространственной зависимостью диэлектрической проницаемости Их период имеет порядок длины волны, и, таким образом, их описание как однородной среды с эффективными параметрами невозможно Роль упомянутого выше резонанса в этом случае играет брэгговское отражение, которое приводит к возникновению запрещенных зон для распространения электромагнитных волн Формирование запрещенной зоны лежит в основе разнообразных применений фотонных кристаллов [5]

В узком смысле под метаматериалами понимают среды с отрицательными значениями эффективных £ и ¡л Применение таких сред теоретически позволяет повысить разрешающую способность оптических приборов, преодолев дифракционный предел Используя материалы с г < 0 (и, по возможности, /л < 0), можно за счет плазмонного резонанса усилить ближние (неоднородные) волны, ответственные за перенос информации о деталях с размером много

меньше длины волны Идеальной для этой цели является среда Веселаго, имеющая е = /у = -1. Среды с одновременно отрицательными е и /л [6] обладают интересными с точки зрения теории и полезными для практики свойствами (распространение обратных электромагнитных волн, отрицательное преломление, создание действительного изображения плоской пластинкой) Однако только в конце 90-ых годов среда Веселаго была смоделирована с помощью метаматериалов [7-9] Также были получены киральные среды [10], среды с искусственным магнитным и квадрупольным откликом [1-4], среды с сильной пространственной дисперсией [11], с помощью которых пытаются создать приборы с разрешением выше дифракционного предела [12] В последнее время теме метаматериалов уделяется огромное внимание [13-17]

Цели работы

1 Исследование зонной структуры одномерных фотонных кристаллов, содержащих метаматериалы (слои с отрицательной диэлектрической или магнитной проницаемостью)

2 Определение физических пределов разрешения многослойной металинзы, состоящей из слоев с положительной и отрицательной диэлектрической проницаемостью

3 Объяснение эксперимента по аномальному нерезонансному прохождению ИК излучения через неупорядоченную систему отверстий в металлической пленке

4 Объяснение эксперимента по достижению сверхразрешения в СВЧ диапазоне при помощи проволочной линзы, имитирующей сверхлинзу Пендри

5 Исследование возможности усиления магнитооптических эффектов устройствами на основе метаматериалов и фотонных кристаллов

6 Разработка алгоритмов, дающих физически правильный ответ при использовании теорий Гарнетта, Бруггемана и симметризованного подхода Гарнет-та для расчета эффективных параметров композитных материалов, включающих ингредиенты с диэлектрическими проницаемостями разных знаков

Научная новизна

1 Предложен и изучен новый тип одномерных фотонных кристаллов с отрицательной контрастностью диэлектрической проницаемости, в которых зоны прозрачности возникают как результат резонансного возбуждения поверхностных плазмонов.

2 Найден механизм, определяющий влияние потерь на качество изображения, создаваемого линзой Пендри, включая потери, возникающие при детектировании изображения

3 Предсказано усиление магнитооптических эффектов в системах, содержащих поверхностные (таммовские) состояния на границе двух фотонных кристаллов На основании разработанной теории и проведенных расчетов в Технологическом университете Тояхаши (Япония) был поставлен эксперимент, в котором впервые было экспериментально продемонстрировано существование таммовского состояния и возможность усиления магнитооптики при помощи этого состояния

4 Предложен механизм (фильтрация ближних и дальних волн), объясняющий эксперимент по улучшению разрешения металинзы на основе проволок (ИТПЭ РАН, Г А Федоров и др) и эксперимент по нерезонансному аномальному прохождению света через металлическую пленку с неупорядоченной системой субволновых отверстий (ИТПЭ РАН, И В Быков и др )

5 Развито описание металинз с помощью зонной теории фотонных кристаллов, что позволило впервые выявить физический смысл ограничений разрешающей способности этих устройств

6 Показано, что известные схемы усиления магнитооптических эффектов плазмонным резонансом неэффективны из-за слабого взаимодействия плаз-мона с падающей волной Предложена модификация, не имеющая этого недостатка

7 Предложен алгоритм расчета эффективных параметров композитов, содержащих метаматериалы Указан способ выбора ветви квадратного корня, при котором формула Бруггемана и симметризованная формула Гарнетта всегда дают физически осмысленный ответ

Достоверность результатов

Результаты расчетов подтверждены в экспериментах, обнаруживших сверхразрешение в проволочной металинзе, аномальное прохождение света через систему субволновых отверстий, таммовское состояние на границе двух фотонных кристаллов и усиление магнитооптического эффекта Фарадея этим состоянием

Научная и практическая ценность

Результаты исследования возможности усиления магнитооптических эффектов могут быть использованы для уменьшения размера магнитооптических устройств и для перехода к использованию существенно более дешевых компонент, что может иметь большое практическое значение

Исследование одномерных фотонных кристаллов отрицательной контрастности имеет фундаментальное значение Для таких кристаллов предсказан новый тип блоховских волн - блоховских волн ближнего поля, представляю-

щих собой систему поверхностных плазмонов Показано, что данные волны играют ключевую роль в работе многослойных металинз, предложенных Дж Пендри [18], а также А. Алю и Н Энгетой [19] Показано, что в последних имеются запрещенные зоны нулевой ширины (точки Дирака), которые обеспечивают безотражательное прохождение света через линзу Энгеты Показано, что блоховская волна в фотонном кристалле может переносить энергию, имея нулевое волновое число

Так как рассматриваемые в работе металинзы предполагается использовать для улучшения разрешения в фотолитографии, то в работе было проведено исследование устойчивости этих линз к наличию диссипации и случайному отклонению параметров (диэлектрической проницаемости, толщины слоев), которое всегда имеет место при практической реализации

Основные положения, выносимые на защиту

1 Предсказан новый тип волн, распространяющихся по фотонному кристаллу В пределе сильной связи такая волна представляется как комбинация поверхностных плазмонов

2 Исследована работа сверхлинзы на основе проволочной среды, имитирующей материал с отрицательной диэлектрической проницаемостью Показано, что за счет отражения распространяющихся волн и пропускания ТЕ-поляризованных неоднородных волн линза Пендри и ее реализация в виде проволочной среды увеличивают разрешение для ТЕ-поляризованных волн Ранее предполагалось, что линза Пендри может работать только с ТМ-поляризованными волнами, а повышение разрешения происходит за счет усиления неоднородных ТМ-волн Необходимо отметить, что в рассмотренной проволочной линзе последний механизм вообще не реализуется

3 Показано, что тот же механизм фильтрации волн приводит к аномальному прохождению света через неупорядоченную систему субволновых отверстий в металлической пленке

4 Показано, что наличие процесса измерения приводит к частичному разрушению изображения в линзе Пендри, причем механизм ухудшения разрешения такой же, как при наличии диссипации внутри линзы А именно, возникает расфазировка плоских волн пространственного спектра

5 Показано, что диапазон пространственных частот, воспроизводимый многослойной линзой Пендри, ограничивается резонансами. Эти резонансы соответствуют собственным состояниям, для которых линза является резонатором

6 Выявлен механизм усиления магнитооптических эффектов в многослойных системах Показано, что в общем случае усиление эффекта Фарадея связано

с резонансной прозрачностью таких систем При этом угол фарадеевского вращения имеет масштаб разности фаз по разные стороны от резонанса, т е к Ранее выдвигались различные гипотезы о механизме усиления относительное увеличение поля за счет локализации в магнитооптических слоях [20], многократное прохождение резонатора волной [21], уменьшение групповой скорости и, как следствие, увеличение времени взаимодействия волны и вещества [22] В диссертации показано, что данные механизмы не являются достаточными для усиления магнитооптики, хотя они могут вносить вклад в усиление (эффект Боррмана) В частности, показано, что наличие любого из указанных явлений не обеспечивает усиление

7 Исследован оптический аналог эффекта Боррмана Теоретически предсказано усиление эффекта Фарадея вблизи одного края запрещенной зоны и ослабление вблизи другого края, что связано с отличием в распределении энергии На основании наших расчетов этот результат подтвержден экспериментально коллегами из Технологического университета Тойохаши (Япония)

8 Предложен алгоритм, который обеспечивает правильный выбор ветвей квадратного корня, входящего в формулы смешения для расчета свойств композитных материалов, в случае, когда включения могут иметь отрицательную диэлектрическую проницаемость Отмечено, что в случае метама-териалов различные формулы смешения дают качественно отличающиеся результаты

Апробация результатов

Результаты докладывались на следующих международных и российских

конференциях

1 XLVII Научная конференция МФТИ, 26 - 27 ноября 2004, Москва

2 Workshop on Metamatenals for Microwave and Optical Technologies, July 18 -20, 2005, San Sebastian, Spain

3 ICMAT 2005, 3-8 July 2005, Singapore

4 XLVIII Научная конференция МФТИ, 27 - 29 ноября 2005, Москва

5 Седьмая ежегодная научная конференция ИТПЭ ОИВТ РАН, 17 - 20 апреля 2006, Москва

6 Международная конференция Days of Diffraction 2006, May 30 - June 2, 2006, Saint Petersburg

7 Юбилейная XX Международная школа-семинар "Новые магнитные материалы микроэлектроники", 12-16 июня 2006, Москва

8 MORIS 2006 Workshop, June 6-8 2006, Chiba, Japan

9 ETOPIM 7, July 9-13 2006, Sydney, Australia

10 BIANISOTROPICS 2006, September 23 - 28 2006, Samarkand, Uzbekistan

11 Восьмая ежегодная научная конференция ИТПЭ РАН, 9-12 апреля 2007, Москва

12 VIII научная школа молодых ученых ИБРАЭ РАН, 27 апреля 2007 г, Москва

13 Международная конференция DAYS ON DIFFRACTION'2007, May 29 -June 1,2007, Saint Petersburg

14 PIERS 2007, August 27 - 30,2007, Prague, Czech Republic

15 The Fourth International Conference on Materials for Advanced Technologies (ICMAT 2007) Simposium R, Electromagnetic materials, Singapore 2007

16 International Conference "Functional Materials" ICFM-2007, Ukraine, Crimea, Partenit October 1 - 6,2007

17 First International Congress on Advanced Electromagnetic Materials, Rome, Italy, October 22 - 26, 2007

18 XLX Научная конференция МФТИ, 23 - 27 ноября 2007, Москва

19 PIERS 2008, March 24-28, Hangzhou, China

20 MISM 2008, June 20-25, Moscow

Публикации

По теме диссертации опубликовано 40 работ, в том числе 13 статей в реферируемых изданиях и 27 публикаций в сборниках трудов и тезисов докладов на конференциях

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения и списка литературы из 137 наименований Общий объем 190 страниц, в том числе 87 рисунков и 4 таблицы

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обсуждается актуальность темы работы, научная новизна, указаны цели, а также положения, выносимые на защиту

В первой главе дан обзор литературы, относящейся к теме работы Прежде всего, определено понятие ближних (неоднородных) полей, экспоненциально убывающих в пространстве, и указано, что эти поля возникают 1) при полном внутреннем отражении, 2) в средах с е<0 (металлах), 3) при рассеянии на объекте произвольной формы, причем в последнем случае спектр ближних полей определяется деталями предмета размером меньше длины волны

В отличие от плоских волн, одна неоднородная волна не может переносить энергию в направлении своего затухания Но система из двух перекрывающихся волн, затухающих в противоположных направлениях, в результате интерференции может переносить энергию, при условии наличия разности фаз между этими волнами [23] Для дальних полей интерференционный член не вносит вклада Данное явление оказалось важным для понимания работы сверхлинз

На границе металла и диэлектрика ближние волны могут сформировать решение в виде поверхностной волны (поверхностного плазмона), экспоненциально затухающей в направлениях от границы раздела сред Такая волна бежит вдоль поверхности Для возбуждения плазмона распространяющейся волной (плазмонный резонанс) требуется призма или дифракционная решетка Плазменный резонанс играет определяющую роль в формировании сверхразрешения многослойными линзами

Эти системы могут рассматриваться как одномерные фотонные кристаллы, т е системы с периодической зависимостью диэлектрической проницаемости от одной координаты Для них применима теорема Флоке-Блоха, в соответствии с которой решение имеет вид блоховской функции /(г)ехр(г^г), где функция /(г) периодическая с периодом кристалла, кв - блоховское волновое число Зависимость частоты от кв называется дисперсионным уравнением В некоторых диапазонах частот кв оказывается комплексным, что соответствует запрещенным зонам Для расчета дисперсионной зависимости в одномерном случае можно использовать метод Т-матриц В силу линейности системы амплитуды волн на входе и выходе системы связаны линейным преобразованием, диагонализация которого дает собственное решение, т е блоховскую волну

Прообразом упомянутых металинз является слой среды Веселаго (е<0, ц< 0) В такой среде векторы Ё, Н, к образуют левую тройку (поэтому такие среды также называют левыми), а фазовая скорость и вектор Пойнтинга противонаправлены На границе обычного диэлектрика и среды Веселаго происходит отрицательное преломление света Это явление дает возможность фокусировать расходящийся луч в точку с помощью плоской пластинки из левого вещества с е = [1 = - 1 (линза Веселаго) Из законов геометрической оптики следует, что пластинка должна создавать действительное изображение предмета Кроме того, как показал Пендри, такая линза усиливает волны ближнего поля за счет поверхностного плазмонного резонанса В результате изображение предмета будет включать детали размером меньше длины волны, т е будет превзойден рэ-леевский предел Получение отрицательного /л в оптическом диапазоне проблематично, поэтому Пендри предложил использовать пластинку металла с

£ = -1, ц = 1 (линза Пендри), которая создает субволновое изображение лишь для р-поляризованной части спектра В литературе предлагаются различные модификации линз Веселаго и Пендри 1) асимметричная линза изображение формируется в диэлектрике с большим е, что увеличивает устойчивость к потерям в металле, 2) многослойная линза состоит из чередующихся слоев металл/диэлектрик и имеет разрешение лучше, чем однослойная линза той же суммарной толщины, 3) линза Энгеты отрицательные значения е и ц находятся в разных слоях, что решает проблему взаимодействия включений в мета-материале

Во второй главе показывается, что перенос энергии ближними полями ограничивает разрешение линзы Пендри В частности, рассматривается влияние диссипации в материале линзы и в материале детектора В идеальном случае (без диссипации и детектора) неоднородные волны, отвечающие за субволновые детали изображения, не переносят энергии Наличие детектора означает появление потока энергии, для создания которого неоднородные волны должны поменять фазу Возникающая расфазировка портит изображение Имеет место также и уменьшение амплитуды волн, но этот эффект второго порядка по тангенсу потерь, тогда как изменение фазы линейно

В третьей главе исследуются свойства одномерных фотонных кристаллов отрицательной контрастности (т е включающих слои с е < 0) и их применение для получения сверхразрешения Если период кристалла состоит из двух однородных слоев - диэлектрика (е > 0) и металла (е < 0), - то в определенных полосах частот в нем существуют распространяющиеся блоховские волны, даже если волна является неоднородной в обоих слоях (в диэлектрике - из-за условия полного внутреннего отражения, в металле - из-за отрицательного £), см рис 1 Другими словами, для таких волн существуют разрешенные зоны В обычных ФК с е > 0 зонная структура возникает из-за того, что в окрестности условий резонансного брэгговского отражения возникают запрещенные зоны Теперь же резонанс плазмонный, и он создает разрешенные зоны Последнее утверждение обосновывается тем, что в предельном случае большой толщины одного из двух слоев периода условие, определяющее центр разрешенной зоны, совпадает с дисперсионным уравнением плазмона Этот случай соответствует приближению сильной связи, и волна в разрешенной зоне представляет собой цепочку слабо взаимодействующих плазмонов, фазово-модулированных бло-ховской экспонентой Они передают энергию друг другу за счет перекрывания неоднородных волн, имеющих разные фазы Разность фаз образуется за счет блоховского множителя

На основании развитых представлений исследуется многослойная линза, предложенная Пендри, которая представляет собой чередующиеся слои метал-

ла и вакуума. Из литературы известно, что поскольку линза является неидеальной то диапазон пространственных частот, воспроизводимых в изображении, ограничен. В диссертации показано, что данное ограничение связано с возникновением запрещенной зоны соответствующего фотонного кристалла. Но основным ограничением является наличие собственных состояний, существующих в линзе, как в резонаторе блоховских волн. По линзе они распространяются в силу существования разрешенной зоны плазмонного типа (см. третью главу), а из линзы они выйти не могут из-за условия полного внутреннего отражения. Показано, что похожим образом обстоит дело и в случае асимметричной линзы, граничащей с одной из сторон с диэлектриком е * 1.

Рассмотрена также реализация металинзы, предложенная в работе Н. Эн-геты [19]. Данная металинза представляет собой ФК с периодом из двух слоев (один с е < 0, а другой с ц < 0 ). При условиях, найденных Энгетой, любая волна проходит через эту линзу без изменения. Наш анализ, основанный на теории фотонных кристаллов, показал, что в этом случае блоховское волновое число равно нулю, и волна соответствует «запрещенной зоне нулевой ширины», или точке Дирака. Запрещенная зона на границе зоны Бриллюэна не открывается из-за постоянства импеданса в структуре. Хотя волновое число равно нулю, поток энергии создается предэкспонентой блоховской волны.

Четвертая глава посвящена явлению фильтрации, когда падающая по нормали волна почти полностью отражается, а неоднородная волна свободно проходит через объект. Это явление не связано с плазменным резонансом, т.к. оно наблюдается для ¿-поляризации и не является резонансным. В данной работе решены две задачи, в которых такая фильтрация является основным механизмом: получение субволнового разрешения и аномальное прохождения света через металлическую пленку с субволновыми отверстиями. В первой из этих задач эксперимент, проведенный в ИТПЭ РАН и моделирующий линзу Пендри в СВЧ-диапазоне системой параллельных металлических проволочек, показал наличие субволнового разрешения. Однако падающая волна была в основном л-

н

\ 1 ' к [ 1

1 \/ п V 1 1| /" N V ; ! 1 1 '■•''

Рис. 1. Блоховская волна ближнего поля в фотонном кристалле:

сплошная кривая- мгновенное распределение поля, пунктир - блоховская огибающая

поляризована, что исключает плазмонное усиление ближних полей Выяснилось, что ¿-поляризованные неоднородные волны проходят через слой металла, практически его не замечая, поскольку для них импеданс и волновое число не зависят от е При этом распространяющиеся однородные волны испытывают сильное отражение от слоя с е < 0 Таким образом, мелкие детали предмета передаются линзой, тогда как крупные (больше длины волны) искажаются

Во второй задаче наличие неупорядоченной системы субволновых отверстий в металлической пленке приводило к улучшению прохождения на несколько процентов в широком диапазоне частот Анализ показал, что это аномальное прохождение обусловлено не плазмонным резонансом, как в случаях, описанных в литературе, а указанной выше фильтрацией

В пятой главе изучаются свойства поверхностных состояний, существующих на границе фотонного кристалла в запрещенной зоне, и усиление магнитооптического эффекта Фарадея в системах, поддерживающих эти состояния Елоховской волне в запрещенной зоне соответствует комплексное волновое число, и она в среднем экспоненциально затухает от границы кристалла Такие волны могут формировать решения типа поверхностных волн на границе кристалла Если кристалл граничит с диэлектриком, поверхностная волна всегда имеет ненулевое тангенциальное волновое число, т е бежит вдоль поверхности Это свойство является общим с поверхностным плазмоном Но в отличие от него, рассматриваемая волна может иметь не только р-, но и л-поляризацию В первом случае ФК заменяет среду с е < 0, во втором - среду с /х<0 Если ФК граничит с металлом (е < 0), существует частный случай поверхностной волны в виде поверхностного состояния, которое никуда не движется, в том числе вдоль поверхности Оно аналогично известному для электронных кристаллов таммовскому поверхностному состоянию На границе двух ФК неподвижное состояние может существовать и без использования металла (рис 2), что позволяет снизить потери в реальной системе На основе наших расчетов японскими коллегами был проведен эксперимент, который подтвердил наличие таммовского состояния по пику коэффициента прохождения в запрещенной зоне обоих ФК

Таммовское состояние, наряду с другими резонансами типа Фабри-Перо, может использоваться для усиления магнитооптического эффекта Фарадея, который заключается в повороте поляризации волны, прошедшей через вещество, при наличии внешнего статического магнитного поля Обычно рассматривается падение волны на слоистую систему по нормали, и в этом случае решениями являются волны круговых поляризаций Они имеют различные фазовые скорости, поэтому резонанс расщепляется на два, для правой и левой круговых поляризаций (рис 3) Такой резонанс может создаваться дефект-модой В данной

работе для этого предлагается использовать таммовское поверхностное состояние на границе двух ФК. Проведенный анализ показал, что угол поворота поляризации определяется выражением в » -О^К / £. где Q - добротность резонатора, g I е - магнитооптический параметр, пропорциональный внешнему полю (точнее, намагниченности вещества), и< - доля энергии резонатора, находящейся в магнитооптических слоях. Изменением м> обусловлено проявление оптического аналога эффекта Боррмана, который заключается в концен-

Рис. 2. Таммовское состояние на границе двух фотонных кристаллов

трации поля в слоях с большой диэлектрической проницаемостью на частотах вблизи низкочастотной границы запрещенной зоны и в слоях с малой диэлектрической проницаемостью- вблизи высокочастотной границы. В случае наличия q¡ магнитооптических слоев это озна-

0.25 0.30 0.35 0.40 чает изменение w, что приводит к р„с 3_ Магнитооптическое расЩепление

усилению эффекта Фарадея с резонанса для правой и левой круговых

одной стороны от запрещенной поляризаций

зоны и ослаблению - с другой.

Данный результат получил экспериментальное подтверждение. Кроме того, поскольку усиление эффекта Фарадея носит интерференционный характер, было произведено обобщение метода переотражений Эйри для произвольной неоднородной резонансной структуры.

Усиление фарадеевского вращения также возможно резонансами типа плазмонного, которые усиливают только одну поляризацию. Для исследования соответствующих систем в данной работе был развит метод расчета магнитооптических эффектов, учитывающий появление поляризации, перпендикулярной к падающей (кросс-поляризации), как возмущение. Сначала была рассмотрена известная схема, в которой кросс-поляризация усиливается плазмонным резонансом. В то же время для поляризации падающей волны резонанса нет, и она практически полностью отражается. В результате прошедшая волна имеет поляризацию, перпендикулярную падающей, и угол Фарадея составляет примерно

90°, но интенсивность мала Оказалось, что интенсивность кросс-поляризации на выходе определяется логарифмом добротности плазмонного резонанса В результате проведенного анализа была предложена модификация этой схемы, когда интенсивность кросс-поляризации линейно зависит от добротности

В шестой главе обсуждается способ расчета эффективной проницаемости по формулам смешения для композитного материала, в состав которого входят вещества с е разных знаков Например, в оптическом диапазоне это система металлических включений в диэлектрической матрице Отрицательные значения материальных параметров, о которых шла речь в предыдущих главах, могут моделироваться метаматериалами, представляющими собой композитные среды Правомерность применения формул смешения и введения эффективных параметров при этом не обсуждается Формулы смешения (Гарнетта, Бруггема-на, симметризованная формула Гарнетта) имеют эмпирический характер и получаются при помощи некоторых правдоподобных рассуждений В случае различных знаков е у компонент композита формула Бруггемана требует определенного выбора ветви многозначной аналитической функции многих переменных (квадратного корня), чтобы получить физически осмысленный результат В работе указывается, как сделать этот выбор, и проводится анализ эффективной диэлектрической проницаемости, получаемой из формул смешения при вычислении указанным способом

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1 Показано, что в одномерных фотонных кристаллах (ФК), включающих металлические слои, существуют разрешенные зоны для волны, для которой кристалл является всюду запредельным В приближении сильной связи показано, что разрешенная зона возникает при условии плазмонного резонанса

2 Исследованы поверхностные состояния и волны на границе ФК и однородного вещества (диэлектрика или металла), а также на границе двух ФК Показано, что последняя схема может быть использована для усиления магнитооптического эффекта Фарадея Проведен расчет, по которому японскими коллегами поставлен эксперимент, подтвердивший существование таммов-ского состояния по наличию пика прохождения в запрещенной зоне двух ФК, а также усиление эффекта Фарадея вблизи этого пика

3 Объяснены результаты эксперимента (Г А Федоров, ИТПЭ РАН), в котором линза Пендри моделировалась слоем параллельных проволочек и наблюдалось сверхразрешение для «-поляризации Этот эффект оказался обусловленным не плазмонным усилением ближних волн, а фильтрацией, когда

ближние ¿-поляризованные волны «не замечают» слой металла, а дальние волны от него отражаются

4 Это же явление фильтрации позволило объяснить аномальное прохождение света через неупорядоченную систему субволновых отверстий в серебряной пленке, обнаруженное в эксперименте (И В Быков, ИТПЭ РАН) Получено согласие с экспериментом (спектры прохождения через сплошные пленки), теоретически объяснен спектр прохождения через пленку с отверстиями

5 Показано, что попытка детектирования изображения, созданного линзой Пендри, приводит к частичному разрушению изображения, что связано с расфазировкой неоднородных плоских волн, создающих это изображение

6 Исследованы пределы разрешения многослойной линзы Пендри Показано, что область частот, воспроизводимых в изображении, ограничена собственными состояниями линзы Они являются, стоячими блоховскими волнами, которые имеют плазменную разрешенную зону внутри линзы и не могут выйти наружу

7 Исследована линза Энгеты Показано, что она функционирует на границе зоны Бриллюэна, причем запрещенная зона не может открыться из-за постоянства импеданса в кристалле («запрещенная зона нулевой ширины», или точка Дирака) Хотя блоховское волновое число при этом равно нулю, энергия переносится за счет фазы предэкспоненты блоховской волны

8 Показано, что усиление угла Фарадея резонансами типа дефект-моды или таммовского состояния пропорционально добротности резонатора, а в схеме, усиливающей эффект Фарадея плазмонным резонансом, интенсивность кросс-поляризации зависит от добротности логарифмически

9 Теоретически предсказано проявление эффекта Бормана в магнитооптике, когда на одной границе запрещенной зоны эффект Фарадея усиливается, а на другой - ослабляется Результат проверен экспериментально сотрудниками лаборатории М Инуе (Университет Тойохаши, Япония)

10 Если композитный материал включает материалы с диэлектрическими про-ницаемостями разных знаков (металлические включения в диэлектрической матрице), то для применения формул смешения Бруггемана и симметризо-ванной формулы Гарнетта нужно правильно выбрать ветвь квадратного корня Предложен способ этого выбора

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ

Основные результаты диссертации, опубликованные в реферируемых изданиях:

1 Виноградов А П, Дорофеенко А В Елоховские волны ближнего поля в фотонных кристаллах // Радиотехника и электроника 2005 Т 50 № 10 С 1246-1251

2 Vinogradov А Р, Dorofeenko А V Destruction of the image of the Pendry lens during detection // Optics Communications 2005 V 256 P 333-336

3 Fedorov G, Maslovski SI, Dorofeenko A V, Vinogradov A P, Ryzhikov IA , Tretyakov SA, Sub-wavelength imaging Resolution enhancement using metal wire gratings // Physical Review В 2006 V 73 N 035409

4 Федоров ГА , Виноградов А П, Дорофеенко А В, Рыжиков И А , Масловский С И, Третьяков С А Формирование изображения системой параллельных проводящих проволочек, имитирующей метаматериал. // Радиотехника и электроника 2006 Т 51 №7 С 831 -838

5 Dorofeenko А V, Lisyansky А А, Merzlikin A M, and Vinogradov А Р Full-wave analysis of imaging by the Pendry-Ramakrishna stackable lens // Physical Review В 2006 V 73 N 235126

6 Vinogradov A P, Dorofeenko A V, Erokhin S G, Inoue M, Lisyansky A A , Merzlikin A M, and Granovsky А В Surface State Peculiarities at One-Dimensional Photonic Crystal Interfaces // Physical Review В 2006 V 74 N 045128

7 Merzlikin A M, Inoue M, Vinogradov AP, Dorofeenko A V, Granovsky А В and Lisyansky A A Tamm State in One-Dimensional Photonic Crystals // Journal of the Magnetics Society of Japan 2006 V 30, N 11

8 Zouhdi S, Dorofeenko A V, Merzlikin AM, and Vinogradov AP Theory of zero-width band gap effect in photonic crystals made of metamaterials // Physical Review В 2007 V 75 N 035125

9 Merzlikin A M, Vinogradov A P, Dorofeenko A V, Inoue M, Levy M and Granovsky А В Controllable Tamm states in magnetophotonic crystal // Physica В 2007 V 394 N 2 P 277-280

10 Дорофеенко А В Асимметричная многослойная линза Пендри // Радиотехника и электроника 2007 Т 52 №9 С 1116-1121

11 Виноградов А П, Дорофеенко А В, Мерзликин A M, Зухди С, Клерк ЖП Роль потерь при создании изображений с субволновым разрешением // Радиотехника и электроника 2007 Т 52 №9 С 1108-1115

12 Виноградов А Я, Дорофеенко АВ, Зухди С К вопросу об эффективных параметрах метаматериалов//УФН 2008 Т 178 №5 С 511-518

13 Dorofeenko A V, Merzlikin A M, Vinogradov A P, Lisyansky A A , Granovsky А В, Inoue M Enhancement of Faraday effect in open resonators // In- Selected papers of the International Conference Days on Diffraction 2007, May 29-June 1, St -Petersburg ed By L V Andronov, V. M Babich, V E Gnkurov, A P Kise-lev, M A Lyalinov, M V Perel, P 45-49

Статьи, принятые к публикации:

1 Быков ИВ, Виноградов А Я, Дорофеенко А В, Мерзликин А М, Рыжиков И А, Седова MB, Ильин А С Аномальное прохождение света через систему неупорядоченных отверстий в металлической пленке // Радиотехника и электроника 2008

2 Bykov I V, Dorofeenko А V, Ilym A S, Ryzhikov IA, Sedova М V, Vinogradov А Р Extraordinary Optical Transmission through a Random Array of Subwave-length Holes //Physical Review В 2008 V 78

Тезисы конференций:

1 Дорофеенко А В, Виноградов А П Елоховские волны ближнего поля в фотонных кристаллах XLVII Научная конференция МФТИ (Труды конференции, часть VIII, стр 54-55,26 - 27 ноября 2004, Москва)

2 Fedorov G, Dorofeenko А V, Vinogradov АР, Ryzhikov I A, Maslovski SI, Tretyakov SA Wire grids as Resolution-Enhancement Elements in Near-Field Imaging Workshop on Metamatenals for Microwave and Optical Technologies (Book of Abstracts, P 42, July 18-20,2005, San Sebastian, Spain)

3 Vinogradov A P, Dorofeenko A V The Role of Phase Shift at Energy Transport by Evanescent Waves ICMAT 2005 (Proceedings of the Symposium R, Electromagnetic materials, P 41-43,3-8 July 2005, Singapore)

4 Дорофеенко А В, Виноградов А П Формирование изображения проволочной средой XLVIII Научная конференция МФТИ (Труды конференции, часть VIII, С 67-68,27 - 29 ноября 2005, Москва)

5 Дорофеенко А В, Виноградов А П, Мерзликин А М Электродинамический анализ работы линзы Дж. Пендри Седьмая ежегодная научная конференция ИТПЭ ОИВТ РАН (Сборник тезисов докладов, С 14-15, 17 - 20 апреля 2006, Москва)

6 Vinogradov А Р, Merzlikin А М, Dorofeenko А V Full Wave Analysis of Imaging by the Pendry-Ramaknshna single-layer and stackable lenses Days of Diffraction 2006 (Book of Abstracts, P 77, May 30 - June 2 2006, Saint Petersburg)

7 Дорофеенко А В, Виноградов А Я, Мерзликин A M Запрещенная зона нулевой ширины в магнитофотонных кристаллах Юбилейная XX Международная школа-семинар "Новые магнитные материалы микроэлектроники" (Сборник трудов, С 284,12-16 июня 2006, Москва)

8 Merzlikin A M, Dorofeenko A V, Erokhin S G, Inoue M, Lisyansky A A , Vinogradov A P, Granovsky А В Enhancement of Magnetooptic Response by Surface State (Tamm) Resonance in ID Magneto Photonic Crystal MORIS 2006 Workshop (Technical Digest, P 84-85, June 6-8 2006, Chiba, Japan)

9 Vinogradov A P, Dorofeenko A V, Merzlikin A M, Inoue M, Granovsky А В, Erokhin S G, Lisyansky A A Influence of defect and Tamm states on magneto-optical properties of ID magneto-photonic crystals ETOPIM 7 (Proceedings of the conference, July 9-13 2006, Sydney, Australia)

10 Vinogradov A P, Merzlikin A M, Dorofeenko A V, M Inoue, Khamkaev А В, Granovsky А В, Lisyansky A A Magneto-optical properties of 2D photonic crystals ETOPIM 7 (Proceedings of the conference, July 9- 13 2006, Sydney, Australia)

11 Vinogradov A P, Dorofeenko A V, Merzlikin A M, Zouhdi S, Clerc JP Energy transfer by evanescent waves and related phenomena ETOPIM 7 (Proceedings of the conference, July 9- 13 2006, Sydney, Australia)

12 Vinogradov A P, Zouhdi S, Dorofeenko A V, Merzlikin A M, Clerc J-P Revisiting the role of losses in subwavelength imaging BIANISOTROPICS 2006 (Proceedings of the conference, P 65-66, September 23 - 28 2006, Samarkand, Uzbekistan)

13 Виноградов А П, Дорофеенко А В, Мерзликин A M Усиление магнитооптических эффектов на таммовских состояниях Восьмая ежегодная научная конференция ИТПЭ РАН (Сборник тезисов докладов, С 20, 9 - 12 апреля 2007, Москва)

14 Дорофеенко А В, Виноградов А П Усиление магнитооптических эффектов в резонансных структурах VIII научная школа молодых ученых ИБРАЭ РАН (сборник трудов, С 32,27 апреля 2007 г, Москва)

15 Vinogradov АР, Merzlikin AM, Dorofeenko А V Enhancement of magneto-optic effects with resonant structures DAYS ON DIFFRACTION'2007 (Abstracts, P. 91, Saint Petersburg, May 29 - June 1,2007)

16 Merzlikin A M, Dorofeenko A V, Vinogradov A P Distinct feature of magneto-photonic-crystals on formation of the Yeh band gap DAYS ON DIFFRACTTON'2007 (Abstracts, P 91-92, Saint Petersburg, May 29 - June 1, 2007)

17 Vinogradov A P, Dorofeenko A V, Merzlikin AM A Comparative analysis of mixing formula for SNG and DNG media. DAYS ON DIFFRACTION'2007 (Abstracts, P 92, Saint Petersburg, May 29 - June 1,2007)

18 Vinogradov A P, Merzlikin A M, Dorofeenko A V, Lisyansky A A , Inoue M Role of resonances in amplification of Faraday effect in Proc of PIERS 2007, August 27 - 30,2007, Prague, Czech Republic, p 300

19 Vinogradov АР „ Merzlikin A M, Dorofeenko A V, Granovsky А В, Lisyansky A A Distinctive feature of ID anisotropic and gyrotropic photonic crystals Proceedings of the Fourth International Conference on Materials for Advanced Technologies (ICMAT 2007) Simposium R, Electromagnetic materials, ed By Lim Hock, S Matitsine, and Gan Yeow Beng, P 41-43, Word Scientific, Singapore 2007

20 Vinogradov A P, Merzlikin A M, Dorofeenko A V (invite) Metaoptics Subwave imaging by metamatenals Book of abstracts International Conference "Functional Materials" 1CFM-2007, Ukraine, Crimea, Partenit October 1-6, 2007, P 291

21 Vinogradov A P, Merzlikin A M, Dorofeenko A V, Inoue M, Lisyansky A A Peculiar feature of photonic crystals containing anisotropic and gyrotropic ingredients Proc of the First International Congress on Advanced Electromagnetic Materials, 200726, Rome, Italy, October 22-26,2007

22 Виноградов А П, Дорофеенко А В Использование формул смешения для нахождения эффективных параметров метаматериалов XLX Научная конференция МФТИ (Труды конференции, часть VIII, 23 - 27 ноября 2007, Москва), С 71

23 Vinogradov А Р, Merzlikin А М, Dorofeenko А V, Granovsky А В, Lisyansky А А, Inoue М Magnetooptics of ID Magnetophotonic Crystal PIERS 2008, March 24-28, Hangzhou, China

24 Vinogradov A P, Merzlikin A M, Dorofeenko A V, Lisyansky A A , Zouhdi S, Clerc JP Application of Band Theory to the Imaging Problem in Stackable Lenses PIERS 2008, March 24-28, Hangzhou, China

25 Goto T, Dorofeenko A V, Merzlikin AM, BaryshevA V, Vinogradov A P, Inoue M, Lisyansky A A , Granovsky А В MISM 2008, June 20-25, Moscow, Abstracts, P 82-83

26 Dorofeenko A V, Vinogradov A P, Merzlikin A M, Granovsky А В, Lisyansky A A MISM 2008, June 20-25, Moscow, Abstracts, P 241-242

27 Bykov IV, Dorofeenko A V, Ilyin A S, Ryzhikov IA, Sedova M V, Vinogradov A P MISM 2008, June 20-25, Moscow, Abstracts, P 567-568

СПИСОК ЦИТИРУЕМЫХ РАБОТ

1 Kostin M V, Shevchenko V V Proc of CmRAL'94, ed by F Manotte, J -P Parneix, P 49-56

2 Vinogradov A P, Lagarkov A N, Romanenko EV II Electromagnetics 1997 V 17 P 213

3 Pendry J В, Holden A J, Robbins DJ, Stewart WJ II IEEE Trans Micr Theory and Techniques 1999 V 47 P 2075-2084.

I

4 Щелкунов С А , Фриис X Т Теория антенн M Гос изд технико-теор лит,

5 SakodaK Optical Properties of Photonic Crystals Berlin. Springer, 2001

6 BeccjiacoBT //Y<m 1967 T 92 C 517-526

7 Smith D R, Padilla WJ, Vier D C, Nemat-Nasser S C, Schultz S II Phys Rev Lett 2000 V 84 P 4184-4187

8 Shelby R, Smith D R, Schultz S II Science. 2001 V 292 P 77-79

9 LagarkovAN, Kissel VN //Phys Rev Lett 2004 V 92 N 077401

10 LindeU 1 V, Sihvola A H, Tretyakov S A, Vutanen A J Electromagnetic waves in Chiral and Bi-Isotropic Media London Artech House, 1994

11 Bclov PA, Marques R, Maslovski SI, Nefedov IS, Silvermha M, Simovski CR, Tretyakov S A //Phys Rev B 2003 V 67 N 113103

12 BelovP A, Simovski CR, Ikonen P //Phys Rev B 2005 V 71 N 193105

13 Optical Properties of Random Nanostructures Ed VM Shalaev Berlin Springer Verlag, 2002

14 Tretyakov S Analytical Modeling in Applied Electromagnetics Northwood, MA* Artech House, 2003

15 SakodaK Optical Properties of Photonic Crystals Berlin Springer, 2001

16 Shalaev VM //Nature Photonics 2006 V 1 P 41-48

17 Garcia de Abajo F J //Rev Mod Phys 2007 V 79.P 1267-1290

18 PcndryJB //Phys Rev Lett 2000 V 85 N 18 P 3966-3969

19 A1ÙA, EnghetaN II IEEE Tr AP 2003. V. 51 P 2558-2571

20 Inouc M, AraiK, Fuju T, Abe M II Journ of Appl Phys 1998 V 83 N 11. P 6768-6770

21 Kato H, Matsushita T, Takayama A, Egawa M, Nishimura K, Inoue M II Joum of Appl Phys 2003 V 93 N 7 P 3906-3911

22 Belotelov VI, Doskolovich L L, Zvezdin A K //Phys Rev Lett 2007 V 98 N 077401.

23 K0Ji0K0Ji0eAA,Cxp0ifKuürB //Y<DH 1992 T 162 №12 C 165-174

1959

ДОРОФЕЕНКО Александр Викторович

МЕТАОПТИКА ОДНОМЕРНЫХ ФОТОННЫХ И МАГНИТОФОТОННЫХ КРИСТАЛЛОВ

Автореферат

Подписано в печать 18 07 08

Печать офсетная

Тираж 100 экз_

Уч-издл 1,25 ЗаказЫ 115

Формат 60x84/16 Усл-печл 1,16 Бесплатно

ОИВТ РАН 125412, Москва, Ижорская ул , 13, стр 2

Введение.

Актуальность темы.

Цели работы.

Научная новизна.

Достоверность результатов.

Научная и практическая ценность.

Основные положения, выносимые на защиту.

Апробация результатов.

Публикации.

Краткое содержание работы.

Основные результаты работы.

Список публикаций.

Глава 1. Обзор литературы.

1.1 Неоднородные волны и перенос энергии.

1.1.1 Возникновение неоднородных волн при полном внутреннем отражении. Свойства неоднородных волн.

1.1.2 Представление монохроматической волны в виде суммы плоских волн. Передаточная функция.

1.1.3 Перенос энергии системой неоднородных воли.

1.1.4 Плазмонный резонанс.

1.1.5 Расчет передаточной функции слоистой среды методом Г-матриц.

1.2 Одномерные фотонные кристаллы.

1.2.1 Одномерный ФК с двухслойной ячейкой.

1.2.2 Вычисление блоховского волнового числа для ФК с многослойной ячейкой.

1.2.3 Теорема Флоке-Блоха для одномерного ФК.

1.3 Линзы В. Г. Веселаго и Дж. Пендри.

1.3.1 Среда В. Г. Веселаго.

1.3.2 Идеальная линза.

1.3.3 Возможность получения среды Веселаго.

1.3.4 Линза Дж. Пендри.„.

1.3.5 Влияние потерь на изображение. Модификации линзы Пендри.

1.3.6 Линза А. Алю и Н. Энгеты.

1.3.7 Гиперлинза и линза П.А. Белова.

Глава 2. Разрушение изображения, создаваемого линзой Дж. Пендри, при детектировании.

Глава 3. Ближние поля в фотонных кристаллах.

3.1 Общий случай одномерного фотонного кристалла.

3.1.1 Волны ближнего поля в фотонных кристаллах.

3.1.2 Происхождение разрешенных зон для блоховских волн ближнего поля.

3.2 Суперлинза как отрицательный фотонный кристалл.

3.2.1 Многослойная линза Дж. Пендри.

3.2.2 Асимметричная многослойная линза.

3.2.3 Запрещенная зона нулевой ширины в многослойной структуре А. Алю и Н. Энгеты

Глава 4. Явление фильтрации.

4.1 Суть явления фильтрации.

4.2 Создание СВЧ изображений проволочной средой.

4.2.1 Экспериментальная часть.

4.2.2 Качественное рассмотрение: прохождение .v-поляризованных волн через линзу Пендри.

4.2.3 Влияние излучения р-поляризованных волн конечной антенной.

4.2.4 Выводы.

4.3 Аномальное прохождение света через неупорядоченную систему субволновых отверстий.

4.3.1 Введение.

4.3.2 Изготовление образцов и описание эксперимента.

4.3.3 Эффект просветления при наличии неупорядоченной системы отверстий.

5.2.2 Объемный эффект Фарадея в однородной пластинке. Резонансное усиление как поверхностный эффект.119

5.2.3 Модификация метода Эйри для многослойной резонансной структуры.125

5.2.4 Оценка усиления эффекта Фарадея резонансом.129

5.2.5 Механизм усиления эффекта Фарадея.132

5.2.6 Идеальный эффект Фарадея.136

5.2.7 Усиление магнитооптических эффектов Керра и Фарадея на таммовском состоянии .138

5.2.8 Экспериментальная проверка наличия таммовских состояний и усиления МО эффектов.141

5.3 Усиление магнитооптического эффекта Фарадея поверхностным плазмоном.145

5.3.1 Схема с поверхностным плазмоном.146

5.3.2 Схема с поверхностным плазмоном и дополнительным резонатором.154

5.3.3 Схема с МО-эффектом, пропорциональным добротности.155

5.3.4 Выводы и обсуждение.161

Глава 6. Анализ формул смешения в применении к метаматериалам.162

6.1 Газовое приближение и теория Гарнетта.162

6.2 Теория Бруггемана (эффективной среды).166

6.3 Симметризованная формула Гарнетта.170

Заключение.172

Приложение.173

Список литературы. .176

Введение

Актуальность темы

Работа посвящена актуальным задачам электродинамики неоднородных сред. Рассмотрена электродинамика сложных систем, когда взаимодействие электромагнитного поля с элементами, образующими эти среды (включениями в матрице, ячейками фотонного кристалла, молекулами и т.д.) носит непотенциальный характер и не может быть описано, как это традиционно делалось, в рамках только квазистатического приближения. Новые эффекты, обусловленные запаздыванием и соленоидальностью полей (киральность, искусственный магнетизм, запрещенные зоны и т.д.), приводят к существенному отличию макроскопических свойств таких сред от свойств традиционных материалов, что и дало основание выделить такие системы в отдельный класс - класс метамате-риалов. Обычно такой композитный материал представляет собой матрицу из вещества с диэлектрической проницаемостью б порядка единицы, в которой находятся включения, имеющие резонансный отклик.

Использование металлов или сред с большой диэлектрической проницаемостью как материала для включений позволяет получить включение-резонатор размером много меньше длины волны. В этом случае дипольный отклик резонансного включения приводит к экстремальным значениям эффективной диэлектрической проницаемости seJf, а возбуждение включения-резонатора в магнито-дипольной моде приводит к отличной от единицы (возможно и к отрицательной) эффективной магнитной проницаемости fieff, даже если были использованы только немагнитные материалы [1-5].

Согласно предложенной классификации, к метаматериалам можно отнести также фотонные кристаллы (ФК), т. е. среды с периодической пространственной зависимостью диэлектрической проницаемости. Их период имеет порядок длины волны, и, таким образом, их описание как однородной среды с эффективными параметрами невозможно. Роль упомянутого выше резонанса в этом случае играет брэгговское отражение, которое приводит к возникновению запрещенных зон для распространения электромагнитных волн. Формирование запрещенной зоны лежит в основе разнообразных применений фотонных кристаллов [6-8].

В узком смысле под метаматериалами понимают среды с отрицательными значениями эффективных б и /л. Применение таких сред теоретически позволяет повысить разрешающую способность оптических приборов, преодолев дифракционный предел. Используя материалы с е < 0 (и, по возможности, fj. < 0), можно за счет плазмонного резонанса усилить ближние (неоднородные) волны, ответственные за перенос информации о деталях с размером много меньше длины волны. Идеальной для этой цели является среда Веселаго, имеющая s = jn = —\. Среды с одновременно отрицательными б и /л [9] обладают интересными с точки зрения теории и полезными для практики свойствами (распространение обратных электромагнитных волн, отрицательное преломление, создание действительного изображения плоской пластинкой). Однако только в конце 90-ых годов с помощью метаматериалов была смоделирована среда Веселаго [10-12]. Также были получены киральные среды [13], среды с большим квадрупольным откликом, среды с сильной пространственной дисперсией [14], с помощью которых пытаются создать приборы с разрешением выше дифракционного предела [15].

Цели работы

1. Исследование зонной структуры одномерных фотонных кристаллов, содержащих метаматериалы (слои с отрицательной диэлектрической или магнитной проницаемостью).

2. Определение физических пределов разрешения многослойной металинзы, состоящей из слоев с положительной и отрицательной диэлектрической проницаемостью.

3. Объяснение эксперимента по аномальному нерезонансному прохождению ИК излучения через неупорядоченную систему отверстий в металлической пленке.

4. Объяснение эксперимента по достижению сверхразрешения в СВЧ диапазоне при помощи проволочной линзы, имитирующей сверхлинзу Пендри.

5. Исследование возможности усиления магнитооптических эффектов устройствами на основе метаматериалов и фотонных кристаллов.

6. Разработка алгоритмов, дающих физически правильный ответ при использовании теорий Гарнетта, Бруггемана и симметризованного подхода Гарнет-та для расчета эффективных параметров композитных материалов, включающих ингредиенты с диэлектрическими проницаемостями разных знаков.

Научная новизна

1. Предложен и изучен новый тип одномерных фотонных кристаллов с отрицательной контрастностью диэлектрической проницаемости, в которых зоны прозрачности возникают как результат резонансного возбуждения поверхностных плазмонов.

2. Впервые показано, что возникающий в металинзе поток энергии, возникающий из-за потерь или при детектировании изображения, снижает качество изображения, создаваемого линзой Пендри.

3. Исследованы свойства поверхностных (таммовских) состояний на границе двух фотонных кристаллов и предсказано усиление магнитооптических эффектов в системах, содержащих такие состояния. На основании разработанной теории в Технологическом университете Тояхаши (Япония) был поставлен эксперимент, в котором было продемонстрировано существование там-мовского состояния и возможность усиления магнитооптики при помощи этого состояния. Показана роль эффекта Боррмана в усилении эффекта Фа-радея.

4. Предложен механизм (фильтрация ближних и дальних волн), объясняющий эксперимент по улучшению разрешения металинзы на основе проволок

ИТПЭ РАН, Г. А. Федоров и др.) и эксперимент по нерезонансному аномальному прохождению света через металлическую пленку с неупорядоченной системой субволновых отверстий (ИТПЭ РАН, И.В. Быков и др.)

5. Развито описание металинз с помощью зонной теории фотонных кристаллов, что позволило выявить физический смысл ограничений разрешающей способности этих устройств

6. Показано, что известные схемы усиления магнитооптических эффектов плазмонным резонансом неэффективны из-за слабого взаимодействия плаз-мона с падающей волной. Предложена модификация, не имеющая этого недостатка.

7. Предложен алгоритм расчета эффективных параметров композитов, содержащих метаматериалы. Указан способ выбора ветви квадратного корня, при котором формула Бруггемана и симметризованная формула Гарнетта всегда дают физически осмысленный ответ.

Достоверность результатов

Результаты расчетов подтверждены в экспериментах, обнаруживших сверхразрешение в проволочной металинзе, аномальное прохождение света через систему субволновых отверстий, таммовское состояние на границе двух фотонных кристаллов и усиление магнитооптического эффекта Фарадея этим состоянием.

Научная и практическая ценность

Результаты исследования возможности усиления магнитооптических эффектов могут быть использованы для уменьшения размера магнитооптических устройств и для перехода к использованию существенно более дешевых компонент, что имеет большое практическое значение.

Исследование одномерных фотонных кристаллов отрицательной контрастности имеет фундаментальное значение. Для таких кристаллов предсказан новый тип блоховских волн — блоховских волн ближнего поля, представляющих собой систему поверхностных плазмонов. Показано, что данные волны играют ключевую роль в работе многослойных металинз, предложенных Дж. Пендри [16], а также А. Алю и Н. Энгетой [17]. Показано, что в последних имеются запрещенные зоны нулевой ширины (точки Дирака), которые обеспечивают безотражательное прохождение света через линзу Энгеты. Показано, что блоховская волна в фотонном кристалле может переносить энергию, имея нулевое волновое число.

Так как рассматриваемые в работе металинзы предполагается использовать для улучшения разрешения в фотолитографии, то в работе было проведено исследование устойчивости этих линз к наличию диссипации и случайному отклонению параметров (диэлектрической проницаемости, толщины слоев), которое всегда имеет место при практической реализации.

Основные положения, выносимые на защиту

1. По фотонному кристаллу могут распространяться волны неизвестного ранее типа. В пределе сильной связи такая волна представляется как комбинация поверхностных плазмонов.

2. За счет фильтрации, а именно, отражения распространяющихся волн и пропускания Ш-поляризованных неоднородных волн, линза Пендри и ее реализация в виде проволочной среды увеличивают разрешение для ТЕ-поляризованных волн. Ранее предполагалось, что линза Пендри может работать только с ГМ-поляризованными волнами, а повышение разрешения происходит за счет усиления неоднородных ТМ-волн. Необходимо отметить, что в рассмотренной проволочной линзе последний механизм вообще не реализуется.

3. Этот же механизм фильтрации волн приводит к аномальному прохождению света через неупорядоченную систему субволновых отверстий в металлической пленке.

4. Наличие процесса измерения приводит к частичному разрушению изображения в линзе Пендри, причем механизм ухудшения разрешения такой же, как при наличии диссипации внутри линзы. А именно, возникает расфази-ровка плоских волн пространственного спектра.

5. Диапазон пространственных частот, воспроизводимый многослойной линзой Пендри, ограничивается резонансами. Эти резонансы соответствуют собственным состояниям, для которых линза является резонатором.

6. Выявлен механизм усиления магнитооптических эффектов в многослойных системах. В общем случае усиление эффекта Фарадея связано с резонансной прозрачностью таких систем. При этом угол фарадеевского вращения имеет масштаб разности фаз по разные стороны от резонанса, т.е. к. Ранее выдвигались различные гипотезы о механизме усиления: относительное увеличение поля за счет локализации в магнитооптических слоях [20], многократное прохождение резонатора волной [21], уменьшение групповой скорости и, как следствие, увеличение времени взаимодействия волны и вещества [22]. Данные механизмы не являются достаточными для усиления магнитооптики, хотя они могут вносить вклад в усиление. В частности, наличие любого из указанных явлений не обеспечивает усиление.

7. Теоретически предсказан оптический аналог эффекта Бормана — усиление эффекта Фарадея вблизи одного края запрещенной зоны и ослабление вблизи другого края, что связано с отличием в распределении энергии. На основании наших расчетов этот результат подтвержден экспериментально коллегами из Технологического университета Тойохаши (Япония).

8. Предложен алгоритм, который обеспечивает правильный выбор ветвей квадратного корня, входящего в формулы смешения для расчета свойств композитных материалов, в случае, когда включения могут иметь отрицательную диэлектрическую проницаемость. Отмечено, что в случае метама-териалов различные формулы смешения дают качественно отличающиеся результаты.

Апробация результатов

Результаты докладывались на следующих международных и российских конференциях:

1. XLVII Научная конференция МФТИ, 26 - 27 ноября 2004, Москва.

2. Workshop on Metamaterials for Microwave and Optical Technologies, July 18 — 20, 2005, San Sebastian, Spain.

3. ICMAT 2005, 3-8 July 2005, Singapore.

4. XLVIII Научная конференция МФТИ, 27 - 29 ноября 2005, Москва.

5. Седьмая ежегодная научная конференция ИТПЭ ОИВТ РАН, 17-20 апреля 2006, Москва.

6. Международная конференция Days of Diffraction 2006, May 30 - June 2, 2006, Saint Petersburg.

7. Юбилейная XX Международная школа-семинар "Новые магнитные материалы микроэлектроники", 12-16 июня 2006, Москва.

8. MORIS 2006 Workshop, June 6-8 2006, Chiba, Japan.

9. ETOPIM 7, July 9- 13 2006, Sydney, Australia.

10. BIANISOTROPICS 2006, September 23-28 2006, Samarkand, Uzbekistan.

11. VIII ежегодная научная конференция ИТПЭРАН, 9-12 апреля 2007, Москва.

12. VIII научная школа молодых ученых ИБРАЭ РАН, 27 апреля 2007 г., Москва.

13.Международная конференция DAYS ON DIFFRACTION'2007, May 29 -June 1, 2007, Saint Petersburg.

14. PIERS 2007, August 27-30, 2007, Prague, Czech Republic.

15. The Fourth International Conference on Materials for Advanced Technologies (ICMAT 2007) Simposium R, Electromagnetic materials, Singapore 2007.

16. International Conference "Functional Materials" ICFM-2007, Ukraine, Crimea, Partenit October 1-6, 2007.

17. First International Congress on Advanced Electromagnetic Materials, Rome, Italy, October 22-26, 2007.

18. XLX Научная конференция МФТИ, 23 - 27 ноября 2007, Москва.

19. PIERS 2008, March 24-28, Hangzhou, China.

20. MISM 2008, June 20-25, Moscow.

21. Международная конференция DAYS ON DIFFRACTION'2008, May 29 -June 1, 2007, Saint Petersburg.

Публикации

По теме диссертации опубликовано 24 работы, в том числе 11 статей в ведущих рецензируемых научных журналах и изданиях, определённых ВАК.

Краткое содержание работы

Во введении обсуждается актуальность темы работы, научная новизна, указаны цели, а также положения, выносимые на защиту.

5.3.4 Выводы и обсуждение

1. Схема, в которой кросс-поляризация усиливается поверхностным плазмоном, малоэффективна: интенсивность волны кросс-поляризации приближенно пропорциональна (g / б)2 In2 Q.

2. Интенсивность волны кросс-поляризации можно усилить дополнительным резонатором, его добротность определяет коэффициент усиления.

3. Предложена схема, в которой интенсивность волны кросс-поляризации пропорциональна (g / s)2 Q.

4. Схемы типа дефект-моды и таммовского состояния (раздел 5.2), работающие при падении по нормали, также можно рассматривать методом взаимодействующих мод, в частности, можно получить формулу (57). В этом случае резонанс усиливает волны как падающей, так и кросс-поляризации. В результате интенсивность волны кросс-поляризации пропорциональна g / s)2 Q2. Но для этой системы необходимо использовать фильтр на выходе, поскольку падающая поляризация проходит через систему.

Глава 6. Анализ формул смешения в применении к метаматериалам

Термин «метаматериал» часто предполагает, что неоднородную среду можно в некотором определенном смысле заменить однородной, имеющей какие-то материальные параметры. Для многих метаматериалов этот вопрос не решен. Часто эффекты пространственной дисперсии оказываются сильными, даже когда размер включений и расстояние между ними много меньше длины волны (например, среда из параллельных проволочек [14]). Тем не менее, даже в сомнительных случаях говорят о средах с эффективной отрицательной диэлектрической проницаемостью [40], об искусственном магнетизме немагнитных композитов [1-4], об искусственной киральности [13]. В данной работе не будет рассматриваться задача о последовательном введении эффективных параметров. Мы лишь рассмотрим применение качественных теорий — так называемых формул смешения — к метаматериалам. Они позволяют оценить эффективные параметры, например, метаматериала, заполненного металлическими шариками, и получить резонанс дипольного момента, который имеется в этой системе.

6.1 Газовое приближение и теория Гарнетта

Задача гомогенизации композитных сред в случае, когда размер включения много меньше длины волны и используются только положительные е , является решенной [116-118]. При этом рассматривается статическая задача, т.е. решается уравнение Лапласа, а не Гельмгольца. В двухмасштабной теории гомогенизации выделяется малый масштаб порядка размеров включений, на котором производится усреднение, и макроскопический масштаб, для которого выводится гомогенизированное уравнение. Из этого уравнения берется эффективное е . Другая точная теория гомогенизации была предложена A.M. Дыхне [119].

Применение точных теорий к метаматериалам [120,121], когда включения являются резонансными, оказывается спорным. Кроме них, существуют также феноменологические теории, основанные на некоторых правдоподобных рассуждениях. Результатами этих теорий являются формулы смешения: Гарнетта, фон Бруггемана и симметризованная формула Гарнетта [122-126]. Заметим, что строгое обоснование теории двухмасштабной гомогенизации существует лишь для задач с положительно определенным оператором [117]. Распространение результатов этой теории на случай метаматериалов носит «силовой», т.е. феноменологический характер. Применение же феноменологических теорий носит, как всегда, неконтролируемый с точки зрения строгой теории характер. Более того, в отличие от строгой теории, каждая из феноменологических теорий дает качественное описание лишь части свойств системы15.

Необходимо также упомянуть спектральную теорию Бергмана-Мильтона, в которой включения с отрицательным значением проницаемости играют особую роль. Так, в рамках теории Бергмана-Мильтона показывается [131], что расчет эффективной проницаемости seff может быть сведен к нахождению спектральной функции, которая, в свою очередь, определяется распределением полюсов scff как функции проницаемостей включений. Хотя теория Бергмана

Мильтона и не дает алгоритма расчета спектральной функции, но зато она показывает, что все полюса эффективной проницаемости лежат на отрицательной действительной оси [131].

Ниже мы рассмотрим применение наиболее известных феноменологических теорий для описания метаматериалов.

Все феноменологические теории формул смешения сводят, тем или иным образом, многочастичную задачу к решению одночастичной задачи. Рассмотрим, для начала, «теорию возмущений», или «газовое приближение», т.е. случай, когда концентрация включений столь мала, что мы можем пренебречь влиянием частиц друг на друга.

Рассмотрим, следуя [23], интеграл

15 Мы здесь не будем рассматривать вопрос о правомерности введения эффективных проницаемостей для композитов при резонансном взаимодействии электромагнитных волн с неод-нородностями, и лишь сошлемся на работы, где дискутируется этот вопрос [12,127-130].

1 = 1|(В-да = (В>-,и(Е> (64). будем обозначать ет и st диэлектрические проницаемости матрицы и включения). Эффективная диэлектрическая проницаемость seff определяется из уравнения (D) = £ejI (Е) и может быть выражена через интеграл I:

B) = seff(E) = sm(E) + l (65).

Принимая во внимание, что подынтегральное выражение отлично от нуля только внутри включения, где D = slЕ, получим для интеграла I:

1 = 7 J0> " = yf(s,-em )Еdv, (66). где в последнем интеграле интегрирование производится по объему включений.

Пренебрегая пространственным изменением так называемого локального поля Е/ос, в котором находится включение, получим известное выражение для поля внутри включения [23]:

Е, = Е/ос, (67). что дает нам уравнение е, + 2s™) здесь р — объемная концентрация включений).

До сих пор единственными предположениями, сделанными нами, были предположения о том, что частицы находятся в однородном внешнем поле и что расстояние между ними настолько больше их размера, что изменением полей от других частиц на масштабе любого выделенного включения можно пренебречь.

Предположив далее, что полями других частиц можно пренебречь («газовое приближение»), иными словами, Е/ос = , получим следующее выражение для расчета эффективной проницаемости:

3e»(e.-eJ e,+2 Би) ч (69).

Если величину локального поля рассчитывать по формуле Лорентц-Лоренца:

4л-

El0C={E) + -j-P (70). где — среднее поле, Ё1ос — локальное поле, Р — поляризация частицы, то придем к известной формуле Дж. К. М. Ганетта: = sm+3 р *и(*'~*и)-г (71). е{ + 2ет)-р(е{ -sm) ( ет и st —• диэлектрические проницаемости матрицы и включения, р — объемная концентрация включений). Эта формула замечательна тем, что в ней учитываются реально существующие граничные условия, что чрезвычайно важно при наличии объемных и поверхностных мод.

Применительно к включениям с отрицательными проницаемостями никаких математических проблем не возникает ни с (69), ни с (71). Концентрационные зависимости seff представлены на рис. 81.

До тех пор пока st > —2ет, наблюдается монотонное изменение seff от sm к sl при увеличении концентрации включений от нуля до единицы (рис. 81а)16. Для включений с отрицательной проницаемостью, в полном соответствии со спектральной теорией Бергмана-Мильтона, существует концентрация, при которой эффективная проницаемость обращается в ноль. При е1 < -2Ет удобнее

16 Еще раз обратим внимание на то, что эти формулы выведены в приближении малых концентраций, когда расстояние между частицами много больше размера частицы. Часто об этом забывают и применяют этих формулы для больших концентраций, что может привести к нефизическим результатам.

Рис. 81. Зависимость от концентрации /? величин: a. seff при значениях sj sm, равных -2 (1), -1.8 (2), 0 (3), со (4); б. 1I £eff при значениях sj £т, равных -2 (1), -2.8 (2), -5 (3), -со (4). Кривые получены по формуле Гарнетта (71). анализировать функцию sjf, так как вместо нуля проницаемости возникает ее полюс, т.е. эффективная проницаемость обращается в бесконечность, что связано с явлением «электромагнитной ловушки» при ех = -2ет. При выполнении этого условия дипольный момент включения, а вместе с ним и локальное поле, обращается в бесконечность, что и дало название этому явлению. Учет эффектов запаздывания ограничивает значения поля и дипольного момента, что вытекает из точной теории Ми [127,22].

При точном выполнении условия st — -2sт эффективная проницаемость перестает зависеть от концентрации (полюс находится при р- 0): eeff = —2ет. При стремлении st к минус бесконечности полюс движется к единице (рис. 84, штриховая линия). При заданных проницаемостях величина s~jf монотонно изменяется от до £~1 (рис. 816).

6.2 Теория Бруггемана (эффективной среды)

В теории фон Бруггемана, часто называемой теорией эффективной среды

ТЭС), матрица и включения рассматриваются «равноправно». Часто эту формулу называют симметричной формулой смешения. ТЭС предполагает, что «в среднем» частицы не возмущают внешнее поле, т.е. в среднем поле внутри частиц равно приложенному полю. При этом считается, что частицы, состоящие из материала включении, и частицы, состоящие из материала матрицы, погружены в некую однородную среду с искомой проницаемостью seff. Уравнение для нахождения seff принимает вид Е^ =Е0, где суммирование ведется по всем i видам материалов. С использованием (67) для двухкомпонентной смеси это уравнение приобретает вид: plAZ^ + (l-p)JkLZE^ = 0. (72). eff + £i cff + £т

Существует множество модификаций ТЭС, в которых делаются попытки учесть те или иные явления или свойства композитов, не описываемых формулой фон Бруггемана. Так, в [132,133] получено выражение, учитывающее скин-эффект на металлических включениях. В [134] предложена формула, куда порог протекания входит как свободный параметр. Существует также масса работ, где делаются попытки учесть корреляции в распределении частиц [127,135,136]. Все эти подходы базируются на уравнении (72).

Популярность формулы (72) связана с тем, что она дает описание перко-ляционного перехода при рс = 1 / 3 (в теории Гарнетта порог протекания равен единице). Т.е. при £т=0 эффективная проницаемость seff тождественно равна нулю при концентрациях ниже порога протекания и изменяется от нуля до si при увеличении концентрации включений от порога протекания до единицы. Однако получение уже этого результата требует осторожного обращения с функциями комплексного переменного.

Действительно, при стремлении sm к нулю второе слагаемое в (72) имеет вид неопределенности 0/0, и для получения правильного ответа мы должны использовать общее решение (72) в форме: еф = 0.25^,(3р-1) + (2-3р) + ^(е,(3р -1 ) + ея{2-3р)) + %s,sm J (73).

Здесь мы впервые сталкиваемся с проблемой выбора однозначной аналитической ветви корня. Физически правильный ответ (пассивные включения e'ff

2/3 В

-0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1.0

1/3 2/3 1p б

Рис. 82. Концентрационные зависимости эффективной диэлектрической проницаемости, иллюстрирующие перколяционный переход при £m/sl—> 0, в соответствии в ТЭС. а. е.= 1.6. некорректный результат (13) при е. =-1. в. корректный результат, получаемый из формулы (14) при st = -1. дают пассивную эффективную среду, а активные - активную) дает разрез по отрицательной действительной оси и определение квадратного корня как z exp

Л l'l(pz при -л < (р < 7t .

74).

Тогда в пределе ет —> 0 и si > О ТЭС дает перколяционное поведение (рис. 82а) = °-25[£' (3/> - О+(Зр - О)2 ]= 0.25(£,(3Р-1) + Ц.(3Р-1)|) = {£°'3^1)/2;

Р<Рс Р>Рс

75).

76).

Однако, чтобы получить аналогичное поведение при s. < 0, нужно выбрать другую ветвь квадратного корня, иначе получается странный результат (рис. 826) е,(Ър-\)12, р<рс SeJT 1 0, р>рс что лишает подход универсальности. Причина этого кроется в том, что мы имеем дело с функцией многих комплексных переменных. Вопрос о выделении однозначной аналитической ветви функции многих комплексных переменных на сегодняшний день не имеет окончательного решения [137]. Представляется разумным свести задачу к вычислению функций одной переменной, факторизуя

3JJ[ 2.5 2.0| Л5 l.t 0.5 0 l.i 0.8 0.6 0.4 0.2

1/3

2j3

1/3

2P a

Рис. 83. Зависимость Re£^ (сплошная линия) и (штриховая линия) от объемной доли включений р, в соответствии с ТЭС, при значениях параметров ет =1; а. Ег = 3; б. е} - -0.01; в. е1 = -0.5, г. £•,=-!. аргумент •■■■■ zn = yjz^ •. • yfz^. Вместо (75) мы получаем выражение: seff = 0.25(3р -1) + V^/WM1)> (14) дающее правильное перколяционное поведение (рис. 82в). Заметим, что при извлечении корня из квадрата проницаемости используется выражение yfs? = yft^yft^ - s,, а при извлечении корня из оставшегося выражения используется традиционная формула теории функций действительного переменного:

J(3p-l)2=\3p-l\.

Для нахождения решения в общем случае ет Ф 0 предлагается использовать выражение вида:

-10 -5 О 5

Рис.84. Характерные точки кривой в зависимости от соотношения £т- Незакрашенная область соответствует комплексным значениям seff, полученным из ТЭС. Горизонтальная штриховка показывает области, где функция £eff(p) имеет выпуклость вверх (d2£eff /dp2 <0), вертикальная штриховка показывает области с выпуклостью вниз. В незакрашенной области RQ(d2seff/dp2) = 0. Штриховая линия показывает положение полюса, в соответствии с формулой Гарнетта. seff = 0.25(5, (Зр-!) + £,„ (2 -3/0 +

9р2-9р-2 + 6^2р(1-р) (1-3 р)2

77).

9р2-9р-2-в^2р(\-р) (1-Зр)2

Расчеты по этой формуле представлены на рис. 83.

Характерной особенностью является отсутствие полюсов, что связано с нарушением условия плазмонного резонанса (вместо истинных граничных условий рассматриваются эффективные), а также наличие области концентраций, где эффективная проницаемость имеет мнимую часть (рис. 84). Возникновение «диссипации» связано с «накачкой» энергии в образующиеся резонансные конфигурации.

6.3 Симметризованная формула Гарнетта

Симметризованная формула Гарнетта [122-126] дает как перколяционный переход, так и резонансное поведение. В данном подходе рассматривается вероятность Р1 конфигураций, когда включение окружено материалом матрицы, и вероятность Рп конфигураций, когда частица матрицы окружена материалом включений. Как показано в работе [122], Р, = и{ /(м7 + ии), Рп = ии /(и; +ип), где и, =(l — рх'г)3 и un = . Для каждой из конфигураций I, II рассчитывается эффективная проницаемость в соответствии с теорией Гарнетта £m(£i-£m) еИ=е{+3(1-р) s,+2sm)-p(e.-em)

Фт~£д sm+28i)-(l-p)(8m-si) что дает правильное описание возможных резонансов. На втором шаге происходит усреднение по конфигурациям в рамках ТЭС. Предполагается, что других конфигураций нет, поэтому уравнение, определяющее эффективную проницаемость, имеет вид Pf

Seff S1 2 8eff+8l pu % Su - 0. eff + £II

Теория дает конечный порог протекания рс « 0.455 (рис. 85а). В целом поведение эффективной проницаемости носит довольно сложный характер: существуют области значений, когда наблюдаются полюса и когда наблюдается эффективная диссипация (см. рис. 856,в и рис. 86). tar I 4

0.2 0

0.6 O.t

Т(Р в

0.2 0.4 0.6 0.8 а

Рис. 85. Зависимость RQ8eff (сплошная линия) и Ьп£;# (штриховая линия) от объемной доли включений р, в соответствии с симметризованной формулой ■Гарнетта, при следующих значениях параметров: a. sm—> 0, sj = 1, б. sm = 1, em = 1, e,=-4.

1п(-е,1бт)

Рис.86. Поведение функции seffr вычисленной в соответствии с симметризованной формулой Гарнетта. Закрашенные области соответствуют комплексным значениям Eeff. Пунктирные линии показывают положение полюса.

Заключение

В работе рассмотрен ряд задач, связанных с электродинамикой и оптикой ближних полей (неоднородных волн), поверхностными волнами и состояниями, получением сверхразрешения, фотонными кристаллами, метаматериалами.

Во второй главе показано, что диссипация в линзе Пендри и детектирование приводят к расфазировке неоднородных волн из пространственного спектра предметной волны. В третьей главе рассмотрены отрицательные фотонные кристаллы и их частные случаи — многослойные линзы Пендри и Энгеты. В четвертой главе показано, что фильтрация неоднородных волн является механизмом работы линзы Пендри в Г£-поляризации и нерезонансного аномального прохождения света. В пятой главе резонаторы на основе фотонных кристаллов использованы для усиления магнитооптических эффектов. В шестой главе приведен способ оценки эффективных параметров метаматериалов, содержащих металлические включения, с помощью формул смешения.

1. Kostin M.V., Shevchenko V.V. Artificial Magnetics Based on Circular Film Elements. Proc. of Bianisotropics'93, Oct. 12-14, Gomel, Belarus, 1993 (Eds. A. Sihvola, S. Tretyakov, I. Semchenco) (Helsinki: Univ. of Technology, 1993), p. 22.

2. Kostin M.V., Shevchenko V.V., Artificial magnetic media based on double circular elements. Proc. of CHIRAL'94, May 18-20, 1994, Perigueux, France, ed. by F. Mariotte, J.-P. Parneix, p. 49-56.

3. A.P. Vinogradov, E.V. Romanenko, Artificial Magnetics Based on Racemic Helix Inclusion. Proc. of CHIRAL'95. State College PA (USA), Oct 11-14, 1995. ed. by A. Sihvola, S. Tretyakov, U. Unrau, V. Varadan, K. Whites, p. 143-148.

4. Pendry J.B., Holden A.J., Robbins D.J., Stewart W.J. Magnetism from conductors and enhanced nonlinear phenomena. // IEEE Trans. Micr. Theory and Techniques. 1999. V. 47. P. 2075-2084.

5. Щелкунов С.А., Фриис X.T. Теория антенн. М.: Гос. изд. технико-теор. лит, 1959.

6. Sakoda К. Optical Properties of Photonic Crystals. Berlin: Springer, 2001. 228 P

7. Joannopulos J.D., Villeneuve P., Fan. S. Photonic Crystals //Solid State Comm. 1997. V. 102. N. 2-3. P. 165-173.

8. Белотелов В.И., Звездин A.K. Фотонные кристаллы и другие метаматериа-лы. М.: Бюро Квантум, 2006. 144 с. (Библиотечка «Квант». Вып. 94.)

9. Веселаго В.Г. Электродинамика веществ с одновременно отрицательными значениями s к ii.ll УФН. 1967. Т. 92. С. 517-526.

10. Smith D.R., Padilla W.J., Vier D.C., Nemat-Nasser S.C., Schultz S. A composite medium with simultaneously negative permeability and permittivity. // Phys. Rev. Lett. 2000. V. 84. P. 4184-4187.

11. Shelby R., Smith D.R., Schultz S. Experimental verification of a negative index of refraction. Science. 2001. V. 292. P. 77-79.

12. Lagarkov A.N., Kissel V.N. Near-Perfect Imaging in a Focusing System Based on a Left-Handed-Material Plate // Phys. Rev. Lett. 2004. V. 92. N. 077401.

13. Lindell I.V., Sihvola A.H., Tretyakov S.A., Viitanen A.J. Electromagnetic waves in Chiral and Bi-Isotropic Media. London: Artech House, 1994.

14. Belov P.A., Marques R., Maslovski S.I., Nefedov I.S., Silverinha M., Simovski C.R., Tretyakov S.A. Strong spatial dispersion in wire media in the very large wavelength limit // Phys. Rev. B. 2003. V. 67. N. 113103.

15. Belov P., Simovski C., Ikonen P. Canalization of subwavelength images by electromagnetic crystals // Phys. Rev. B. 2005. V. 71. N. 193105.

16. Pendry J.B. Negative Refraction Makes a Perfect Lens. // Phys. Rev. Lett. 2000. V. 85. P. 3966-3969.

17. Alu A., Engheta N. Pairing an Epsilon-Negative Slab With a Mu-Negative Slab: Resonance, Tunneling and Transparency // IEEE Tr. AP. 2003. V. 51. P. 25582571.

18. Inoue M., Arai K., Fujii Т., Abe M. Magneto-optical properties of one-dimensional photonic crystals composed of magnetic and dielectric layers // Journ. Appl. Phys. 1998. V. 83. N. 11. P. 6768-6770.

19. Kato H., Matsushita Т., Takayama A., Egawa M., Nishimura K., Inoue M. Theoretical analysis of optical and magneto-optical properties of one-dimensional magnetophotonic crystals // J. Appl. Phys. 2003. V. 93. N. 7. P 3906-3911.

20. Belotelov V.I., Doskolovich L.L., Zvezdin A.K. Extraordinary magneto-optical effects and transmission through metal-dielectric plasmonic systems // Phys. Rev. Lett. 2007. V. 98. N. 077401

21. Колоколов А.А., Скроцкий Г.В. Интерференция реактивных компонент электромагнитного поля//УФН. 1992. Т. 162. С. 165.

22. Борн М., Вольф Э. Основы оптики. М.: Наука, 1973. 720 с.

23. Ландау JI.Д., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных сред. М.: Физмат-лит, 1982. 624 с.

24. Джексон Дж. Классическая электродинамика. М.: Мир, 1965. 704 с.

25. Бреховских Л.М. Волны в слоистых средах. М.: Издательство АН СССР, 1957. 504 с.

26. Вайнштейн Л.А. Электромагнитные волны. М.: Радио и связь, 1988. 440 с.

27. Поверхностные поляритоны (Электромагнитные волны на поверхностях и границах раздела сред). Сб. статей под редакцией В.М. Аграновича и Д.С. Миллса. М.: Наука, 1985. 525 с.

28. Brongersma M.L., Kik P.G. (editors) Surface Plasmon Nanophotonics. Berlin: Springer, 2007. 264 p.

29. Semelius B.E. Surface Modes in Physics —Berlin: WILEY-VCH, 2001. 370 p.

30. Петров Ю.И. Физика малых частиц. М.: Наука, 1982. 359 с.

31. Sommerfeld A. Uber die Fortpflanzung elektrodynamischer Wellen langst eines Drahtes // Ann. der Physik und Chemie. 1899. V. 67. P. 233.

32. Zenneck J. Uber die Fortpflanzung ebener elektromagnetische Wellen langst einer ebenen Leiterflasche und ihre Bezeihung zur drachtlosen Telegraphie // Ann. der Physik. 1907. V. 23. P. 848.

33. Рытов C.M. Электромагнитные свойства мелкослоистой среды // ЖЭТФ. 1955. Т. 29. С. 605.

34. Ярив А., Юх П. Оптические волны в кристаллах. М.: Мир, 1987. 616 с.

35. ПафомовВ.Е. //ЖЭТФ. 1959. Т. 36. С. 1853.

36. Мандельштам Л.И. Групповая скорость в кристаллической решетке // ЖЭТФ. 1945. Т. 15. №9. С. 475-478.

37. Блиох К.Ю., Блиох Ю.П. Что такое левые среды и чем они интересны? // УФН. Т. 174. № 4. С. 439-447.

38. Yaghjian A.D., Hansen Т.В. Plane-wave solutions to frequency-domain and time-domain scattering from magnetodielectric slabs // Phys. Rev. E. 2006 V. 73. N. 046608

39. Sarychev A.K. Electrodynamics of Metamaterials. World Scientific, 2007.

40. Pendry J.B., Holden A.J., Stewart W.J., Youngs I. Extremely low frequency plasmons in metallic mesostructures. // Phys. Rev. Lett. 1996. V. 76. P. 47734776.

41. Maslovski S.I., Tretyakov S.A., Belov P.A. Wire media with negative effective permittivity: a quasi-static model // Microwave and optical Technology Letters. 2002. V. 35. N. l.P. 47-51.

42. Kissel V.N., Lagarkov A.N. Superresolution in left-handed composite structures: From homogenization to a detailed electrodynamic description // Phys. Rev. B. 2005. V. 72. N. 085111.

43. Shalaev V.M. Optical negative-index metamaterials // Nature Photonics. 2006. V. l.P. 41-48.

44. Enkrich C., Wegener M., Linden S., Burger S., Zschiedrich L., Schmidt F., Zhou J.F., Koschny Th., Soukoulis C.M. Magnetic Metamaterials at Telecommunication and Visible Frequencies // Phys. Rev. Lett. 2005. V. 95. N. 203901.

45. Sarychev A.K., Shvets G., Shalaev V.M. Magnetic plasmon resonance // Phys. Rev. E. 2006. V. 73. N. 036609.

46. Luo C., Johnson S.G., Joannopoulos J.D., Pendry J.B. All-angle negative refraction without negative effective index // Phys. Rev. B. 2002. V. 65. N.^201104.

47. Shamonina E., Kalinin V.A., Ringhofer K.H., Solymar L. Imaging, compression and Poynting vector streamlines for negative permittivity materials. // Electronics Letters. 2001. V. 37. N. 20. P. 1243-1244.

48. Ramakrishna S.A., Pendry J.B., Schurig D., Smith. D.R., Schultz S. Asymmetric lossy near-perfect lens // Journal of modern optics. 2002. V. 49. P. 1747-1762.

49. Ramakrishna S.A., Pendry J.B., Wiltshire M.C., Stewart W.J. Imaging the Near Field // J. Mod. Optics. 2003. V. 50. P. 1419-1430.

50. Pendry J.B., Ramakrishna S.A. Refining the perfect lens // Physica B. 2003. V. 338. P. 329-332.

51. Liu Z., Lee H., Xiong Y., Sun C., Zhang X. Far-Field Optical Hyperlens Magnifying Sub-Diffraction-Limited Objects. //Science. 2007. V. 315. P. 1686.

52. Liu Z., Durant S., Lee H., Pikus Y., Fang N., Xiong Y., Sun C., Zhang X. Far-Field Optical Superlens. // Nano Lett. 2007. V. 7. N. 2. P. 403-408.

53. Belov P., Hao Y. Subwavelength Imaging at Optical Frequencies using a Transmission Device Formed by a Periodic Layered Metal-Dielectric Structure Operating in the Canalization Regime // Phys. Rev. B. 2006. V. 73. N. 113110.

54. Belov P., Hao Y., Sudhakaran S. Subwavelength microwave imaging using an array of parallel conducting wires as a lens //Phys. Rev. B. 2006. V. 73. N. 033108.

55. Shvets G, Trendafilov S., Pendry J.B., Sarychev A. Guiding, Focusing, and Sensing on the Subwavelength Scale Using Metallic Wire Arrays. // Phys. Rev. Lett. 2007. V. 99. N. 053903

56. Ikonen P., Belov P., Simovski C., Maslovski S. Experimental demonstration of subwavelength field channeling at microwave frequencies using a capacitively loaded wire medium // Phys. Rev. B. 2006. V. 73. N. 073102.

57. Виноградов А.П., Дорофеенко A.B. Елоховские волны ближнего поля в фотонных кристаллах // Радиотехника и электроника. 2005. Т. 50. С. 12461251.

58. Jiang Н., Chen Н., Li Н., Zhang Y., Zi J., Zhu S. Properties of one-dimensional photonic crystals containing single-negative materials // Phys. Rev. E. V. 69. N. 066607.

59. Fedorov G., Maslovskiy S.I., Dorofeenko A.V., Vinogradov A.P., Ryzhikov I.A., Tretyakov S.A. Sub-wavelength imaging: Resolution enhancement using metal wire gratings // Phys. Rev. B. 2006. V. 73. N. 035409.

60. Blaikie R.J., McNab S.J. Evanescent interferometric lithography // Appl. Optics. 2001. V. 40. P. 1692-1698.

61. Федоров Г.А., Виноградов А.П., Дорофеенко A.B., Рыжиков И.А., Масловский С.И., Третьяков С.А. Формирование изображения системой параллельных проводящих проволочек, имитирующей метаматериал // Радиотехника и электроника. 2006. Т. 51. № 7. С. 831-838.

62. Pitarke J.M., Silkin V.M., Chulkov E.V., Echenique P.M. Theory of surface plasmons and surface-plasmon polaritons // Rep. Prog. Phys. 2007. V. 70. P. 187.

63. Optical properties of Nanostructured Random Media. Ed. By V. V. Shalaev. Berlin: Springer, 2002.

64. Ключник A.B., Курганов С.Ю., Лозовик Ю.Е. Плазменная оптика наноструктур // Физика твердого тела. 2003. Т. 45. Вып. 7. С. 1267-1271.

65. Ebbesen T.W., Lezec H.J., Ghaemi H.F., Thio Т., Wolff P.A. Extraordinary optical transmission through subwavelength hole arrays // Nature. 1998. V. 391. P. 667-669.

66. Garcia-Vidal F.J., Pendry J.B. Collective Theory for Surface Enhanced Raman Scattering // Phys. Rev. Lett. 1996. V. 77. P. 1163-1166.

67. Martin-Moreno L., Garcia-Vidal F.J., Lezec H.J., Pellerin K.M., Thio Т., Pendry J.B., Ebbesen T.W. Theory of Extraordinary Optical Transmission through Sub-wavelength Hole Arrays // Phys. Rev. Lett. 2001. V. 86. P. 1114-1117.

68. Garcia de Abajo F J. Colloquium: Light scattering by particle and hole arrays // Rev. Mod. Phys. 2007. V. 79. P. 1267-1290.

69. Sarrazin M., Vigneron J.-P., Vigoureux J.-M. Role of Wood anomalies in optical properties of thin metallic films with a bidimensional array of subwavelength holes //Phys. Rev. B. 2003. V. 67. N. 085415.

70. Miyazaki H., Ohtaka K. Near-field images of a monolayer of periodically arrayed dielectric spheres // Phys. Rev. B. 1998. V. 58. P. 6920-6937.

71. Martin-Moreno L., Garcia-Vidal F.J., Lezec H.J., Degiron A., Ebbesen T.W. Theory of Highly Directional Emission from a Single Subwavelength Aperture Surrounded by Surface Corrugations // Phys.Rev. Lett. 2003. V. 90. N. 167401.

72. Chaloupka J., Zarbakhsh J., Hingerl K. Local density of states and modes of circular photonic crystal cavities // Phys. Rev. B. 2005. V. 72. N. 085122.

73. Garcia-Vidal F.J., Moreno E., Porto J.A., Martin-Moreno L. Transmission of Light through a Single Rectangular Hole // Phys. Rev. Lett. 2005. V. 95. N. 103901.

74. Bravo-Abad J., Fernandez-Dominguez A.I., Garcia-Vidal F.J., Martin-Moreno L. Theory of Extraordinary Transmission of Light through Quasiperiodic Arrays of Subwavelength Holes // Phys. Rev. Lett. 2007. V. 99 N. 203905.

75. Ruan Zh., Qiu M. Enhanced Transmission through Periodic Arrays of Subwavelength Holes: The Role of Localized Waveguide Resonances // Phys. Rev. Lett. 2006. V. 96. N. 233901.

76. Matsui Т., Agrawal A., Nahata A., Vardeny Z.V. Transmission resonances through aperiodic arrays of subwavelength apertures // Nature. 2007. V. 446. P. 517-521.

77. Lee J.W., Seo M.A., Kang D.H., Khim K.S., Kim D.S., Jeoung S.C. // Phys. Rev. Lett. Terahertz Electromagnetic Wave Transmission through Random Arrays of Single Rectangular Holes and Slits in Thin Metallic Sheets // 2007. V. 99. N. 137401.

78. Митрофанов A.B., Апель П.Ю., Блонская И.В., Орелович О.Л. // ЖТФ 2006 Т. 76. Вып. 9. С. 121-127.

79. Lide D.R. Handbook of Chemistry and Physics. CRC Press, 2004.

80. Bethe H.A. Theory of diffraction by small holes. // Phys. Rev. 1944. V. 66. P. 163-182.

81. Jackson J.D. Classical Electrodynamics. New York: Wiley, 1998.

82. Марков Г.Т., Чаплин А.Ф. Возбуждение электромагнитных волн. Москва-Ленинград: Энергия, 1967. 376 с.

83. Шкловский Б.И., Эфрос А.Л. Электронные свойства легированных полупроводников. М.: Наука, 1979. 416 с.

84. Kossel D. // J. Opt. Soc. Am. 1969. V. 56. P. 1464.

85. Vlasov Yu.A., Moll N., McNab S.J. Observation of surface states in a truncated photonic crystal slab // Opt. Lett. 2004. V. 29. P 2175-2177.

86. Yang J. К., Kim S.H., Kim G.H., Park H.G., Lee Y.H, Kim S.B. Slab-edge modes in two-dimensional photonic crystals // Appl. Phys. Lett. 2004. V. 84. P. 3016-3018.

87. Ramos-Mendieta F., Halevi P. Surface electromagnetic waves in two-dimensional photonic crystals: Effect of the position of the surface plane // Phys. Rev. B. 1999. V. 59. N. 15112.

88. Moreno E., Garcia-Vidal F.J., Martin-Moreno L. Enhanced transmission and beaming of light via photonic crystal surface modes // Phys. Rev. B. 2004. V. 69. N. 121402.

89. Meade R.D., Brommer K.D., Rappe A.M., Joanopoulos J.D. Electromagnetic Bloch waves at the surface of a photonic crystal // Phys. Rev. B. 1991. V. 44. N. 10961.

90. Steslicka M., Kucharczyk R., Glasser M.L. Surface states in superlattices // Phys. Rev. B. 1990. V. 42. P. 1458-1461.

91. Булгаков A.A., Мериуц A.B., Ольховский E.A. Поверхностные электромагнитные волны на границе раздела двух диэлектрических решеток. // ЖТФ. 2004. Т. 74. Вып. 10. С. 103-107.

92. Bass F.G., Tetervov А.Р. High-Frequency Phenomena in Semiconductor Superlattices // Phys. Rep. 1986. V. 140. P. 237-322.

93. Звездин A.K., Котов B.A. Магнитооптика тонких пленок. М.:Наука, 1988. 190 с.

94. Magneto optics. Ed. by S. Sugano and N. Kojioma, Springer Series in Solid State Science vol. 128 (Springer-Verlag, Berlin 2000)

95. Pittini R., Schoenes J., Wachter P. Giant magneto-optical Kerr rotation observed in CeS single crystals // Phys Rev B. 1997. V. 55. P. 7524-7532.

96. Inoue M., Fujikawa R., Baryshev A., Khanikaev A., Lim P.B., Uchida H., Aktsipetrov O.A., Murzina T.V., Fedyanin A.A., Granovsky A.B. Magnetophotonic crystals // J. Phys. D: Appl. Phys. 2006. V. 39. P. R151-R161.

97. Kohmoto M., Sutherland В., Iguchi К. Localization of optics: quasiperiodic media // Phys. Rev. Lett. 1987. V. 58. P. 2436-2438.

98. Iguchi K. Theory of quasiperiodic lattices. I. Scaling transformation for a quasiperiodic lattice // Phys. Rev. B. 1991. V. 43. P. 5915-5918.

99. Inoue M., Fujii T. A theoretical analysis of magneto-optical Faraday effect of YIG films with random multilayer structures // Journ. Appl. Phys. 1997. V.81. N8, 5659-5661.

100. Виноградов А.П., Ерохин С.Г., Грановский А.Б., Инуе М. Полярный эффект Керра в многослойных системах (магнитофотонных кристаллах). Радиотехника и электроника. 2004. Т. 49. № 6. С. 726-729.

101. Sakaguchi S., Sugimoto N. Transmission properties of multilayer films composed of magnetooptical and dielectric materials // Journ. Lightwave Technol. 1999. V. 17. P. 1087-1092.

102. Steel M.J., Levy M., Osgood R.M. Photonic bandgaps with defects and the enhancement of Faraday rotation // Journ. Lightwave Technology. 2000. V. 18. P. 1297-1308.

103. Vinogradov A.P., Dorofeenko A.V., Erokhin S.G., Inoue M., Lisyansky A.A., Merzlikin A.M., Granovsky A.B. Surface State Peculiarities at One-Dimensional Photonic Crystal Interfaces // Phys Rev B. 2006. V. 74. N. 045128.

104. Kahl S., Grishin A.M. Enhanced Faraday rotation in all-garnet magneto-optical photonic crystal // Appl. Phys. Lett. 2004. V. 84. N. 9. P. 1438-1440.

105. Zvezdin A.K., Belotelov V.I. Magnetooptical properties of photonic crystals // European Physical Journal B. 2004. V. 37. N. 4. P. 479-487.

106. Шефер К. Теоретическая физика 1938 т. Ill, часть 2, Оптика M.-JL PTTJI, 538 с.

107. Кринчик Г.С., Есикова О.В., Костюрин А.А. К теории магнитооптической интерференции в магнитных пленках. //Оптика и спектроскопия. 1978. Т.45. С. 804-806.

108. Ерохин С.Г., Виноградов А.П., Грановский А.Б., Инуе М. Распределение поля световой волны в окрестности магнитного дефекта в одномерных фотонных кристаллах // Физика твердого тела. 2007. Т. 49. Вып. 3. С. 477-479.

109. N. Richard, A. Dereux, E. Bourillot, T. David, J. P. Goudonnet, F. Scheurer, E. Beaurepaire. Near-field zone analysis of the Faraday rotation of magneto-optical thin films // Journ. Appl. Phys. 2000. V. 88. N. 5. P. 2541-2547.

110. Санчес-Паленсия Э. Неоднородные среды и теория колебаний. М.: Мир, 1984. 472 с.

111. Жиков В.В., Козлов С.М., Олейник О.А. Усреднение дифференциальных операторов. М.: Физматлит, 1993. 464 с.

112. Milton G.W. The Theory of Composites. Cambridge University Press, 2002. 720 p.

113. Дыхне А. М. Проводимость двумерной двухфазной системы // ЖЭТФ. 1970. Т. 59. С. 110.

114. Felbacq D., ВоисЫйё G. Theory of Mesoscopic Magnetism in Photonic Crystals //Phys. Rev. Lett. 2005. V. 94. N. 183902.

115. Silveirinha M.G. Metamaterial homogenization approach with application to the characterization of microstructured composites with negative parameters // Phys. Rev. B. 2007. V. 73. N. 115104.

116. Sheng P. Theory for the Dielectric Function of Granular Composite Media // Phys. Rev. Lett. 1980. V. 45. P. 60-63.

117. Niklasson G.A., Granqvist C.G. Optical properties and solar selectivity of coevaporated Co-A1203 composite films // J. Appl. Phys. 1984. V. 55. P. 33823410.

118. Brouers F Percolation threshold and conductivity in metal-insulator composite // J. Phys. C. Solid State Phys. 1986. V. 19. P. 7183-7193.

119. Gibson U.J., Buhrman R.A. Optical response of Cermet composite,films in the microstructural transition region //Phys. Rev. B. 1983. V. 27. P. 5046-5051.

120. Granovsky A., Kuzmichev M., Clerc J.P. // J. Magn. Soc. Japan. 1999. V. 23. P. 382.

121. Виноградов А.П. Электродинамика композитных материалов. М.: УРСС, 2001. 208 с.

122. Симовский К.Р. Об использовании формул Френеля для отражения и прохождения электромагнитных волн вне квазистатического приближения // Радиотехника и электроника. 2007. Т. 52. С. 1031-1050.

123. Vinogradov А.Р., Aivaziyan A.V. Scaling theory for homogenization of the Maxwell equations // Phys. Rev. E. 1999. V. 60. P. 987-993.

124. Виноградов А.П, Мерзликин A.M. К вопросу о гомогенизации одномерных систем // ЖЭТФ. 2002. Т. 121. Вып. 3. С. 565-582.

125. Bergman D.G. The dielectric constant of a composite material a problem in classical physics // Phys. Reports. 1978. V. 43. P. 377-407.

126. Левин JI. Теория волноводов. М.: Радио и связь, 1981.

127. Виноградов А.П., Панина Л.В., Сарычев А.К. // ДАН СССР. 1989. Т. 306.

128. Sarychev А.К., Vinogradov А.Р. Effective medium theory for the magnetocon-ductivity tensor of disordered materials // Phys. stat. sol. (b) 1983. V. 117. P. K113-K118.

129. Hui P. M., Stroud D. Complex dielectric response of metal-particle clusters // Phys. Rev. B. 1986. V. 33 P. 2163-2169.

130. Granek R., Nitzan A. Correlated dynamic percolation: Many bond effective-medium theory // J. Chem. Phys. 1989. V. 90. P. 3784-3794.137,Osgood W. F. Topics in the theory of functions of several complex variables. New York: Dover, 1966.1. C. 847.