Метод моделирования крупных вихрей в приложении к задачам турбулентной конвекции в подогреваемых снизу емкостях: варианты и возможности тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

Оглавление.

Основные обозначения.

Введение.

1. Методы численного моделирования турбулентных термоконвективных течений: обзор.

1.1. Предварительные замечания.

1.2. Метод прямого численного моделирования турбулентности.

1.3. Решение осредненных по Рейнольдсу уравнений переноса.

1.3.1. Уравнения Рейнольдса и подходы к их замыканию.

1.3.2. Модели турбулентной вязкости.

1.3.2.1. Исходные понятия и классификация.

1.3.2.2. Алгебраические модели.

1.3.2.3. Модели с одним уравнением.

1.3.2.4. Модели с двумя уравнениями.

1.3.3. Заметки об эволюции численных подходов к описанию турбулентной конвекции Релея-Бенара в рамках RANS.

1.4. Метод моделирования крупных вихрей.

1.4.1. Операция пространственной фильтрации.

1.4.2. Пространственно отфильтрованные определяющие уравнения.

1.4.3. Модели подсеточных напряжений.

1.4.3.1. Алгебраические модели типа модели Смагоринского.

1.4.3.2. Динамические модели.

1.4.3.3. Модели близких масштабов и смешанные модели.

1.4.3.4. Модели с одним уравнением.

1.4.3.5. Априорное тестирование SGS моделей.

1.4.4. Моделирование пристенных областей в методе LES.

1.4.5. Заключительные замечания относительно метода LES.

1.5. Комбинированные подходы к моделированию турбулентности.

1.5.1. Зональный метод.

1.5.2. Метод встраивания зоны RANS в пристенную часть сетки LES.

1.5.3. Модели, основанные на сравнении или взвешивании турбулентной вязкости.

1.5.4. Метод моделирования отсоединенных вихрей.

2. Математическая модель и численный метод.

2.1. Математическая модель.Л.'.

2.1.1. Определяющие уравнения.

2.1.2. Пристенные функции.

2.2. Численный метод.

2.2.1. Предварительные замечания.

2.2.2. Запись определяющих уравнений в обобщенной системе координат.

2.2.3. Численная схема.

2.2.4. Предшествующая верификация программного комплекса.

2.3. Реализация замыкающих моделей LES и RANS/LES в программном комплексе SINF.

2.3.1. Реализация моделей LES.

2.3.2. Модели RANS/LES и их реализация.

3. Турбулентная конвекция Релея-Бенара в областях простой формы.

3.1 Обзор аналитических и экспериментальных работ.

3.1.1. Возникновение конвекции. Переходные режимы.

3.1.2. Аналитические подходы к описанию турбулентной конвекции Р-Б.

3.1.3. Экспериментальное изучение турбулентной конвекции Р-Б.

3.2. Турбулентная конвекция во вращающемся горизонтальном слое, подогреваемом снизу.

3.2.1. Предварительные замечания.

3.2.2. Постановка и вычислительные аспекты задачи. Варианты расчетов.

3.2.3. Структура турбулентной конвекции во вращающемся и неподвижном слое.

3.2.3.1. Эффекты вращения и влияние числа Релея.

3.2.3.2. Сопоставление результатов, полученных для/?а= 1.13х при разных моделях турбулентности.

3.2.4. Статистические и спектральные характеристики.

Масштабные закономерности.

3.2.5. Предсказание теплопроводящих свойств слоя: числа Nu.

3.2.6. Заключительные замечания.

3.3. Турбулентная конвекция ртути в подогреваемой снизу. цилиндрической полости.

3.3.1. Предварительные замечания.

3.3.2. Постановка и вычислительные аспекты задачи.

-43.3.3. Общая структура течения. Влияние числа Релея.

Глобальная циркуляция в полости.

3.3.4. Характеристики осредненных полей. Толщины пограничных слоев.

3.3.5. Спектральные характеристики конвекции.

Анализ турбулентных пульсаций.

3.3.5. Интегральные тепловые потоки. Зависимость Nu (Ra).

3.4. Турбулентная конвекция воды в подогреваемой снизу кубической полости

3.4.1. Предварительные замечания.

3.4.2. Постановка и вычислительные аспекты задачи.

3.4.3. Структура Р-Б конвекции в кубической полости.

3.4.3. Анализ турбулентных пульсаций. Интегральные тепловые потоки.

4. Турбулентная конвекция расплава кремния в емкостях с геометрией, типичной для тиглей метода Чохральского.

4.1. Введение в проблему.

4.2. Постановка и вычислительные аспекты задачи.

4.3. Прямое численное моделирование конвекции расплава и транспорта кислорода при Ra = 5хЮ5.

4.3.1. Предварительные замечания.

4.3.2. Влияние вращения тигля на конвекцию расплава и концентрацию кислорода.

4.4. Моделирование конвекции расплава и транспорта кислорода при Ra = 8.2х106.

4.4.1. Результаты расчетов конвекции расплава методом LES.

4.4.1.1. Влияние скорости вращения тигля на конвекцию расплава.

4.4.1.2. Влияние расхода аргона на конвекцию расплава.

4.4.2. Результаты расчетов конвекции расплава методом RANS/LES.

Изучение конвективных движений жидкости, возникающих вследствие пространственной неоднородности плотности в полях массовых сил, имеет глубокое фундаментальное и важное практическое значение для самых разнообразных областей науки и техники таких, как геофизика, астрофизика, теплоэнергетика, микроэлектроника, кондиционирование и вентиляция, химические технологии. Неудивительно, что разнообразные формы конвективных течений постоянно привлекают повышенный интерес исследователей. Достижения в этой области отражены в ряде монографий и огромном числе отдельных научных публикаций [Гершуни, 1973; Джалурия, 1983; Роди, 1984; Монин, 1988; Сб. Гидромеханика., 1990; Гебхарт, 1991]. Вместе с тем и по сегодняшний день актуальной остается проблема расчетного предсказания характеристик турбулентных режимов конвекции, представляющих наибольший практический интерес.

В ряду высокотехнологичных практических областей, в которых особенно востребованы углубленные знания о турбулентной конвекции, важное место занимает процесс выращивания кристаллов полупроводников из расплава по методу Чохральского [Полежаев, 1984; Мюллер, 1991]. Имеющийся на сегодняшний день объем сведений, в том числе фундаментального характера, о свойствах режимов течения полупроводниковых расплавов крайне недостаточен. Проведение экспериментов, направленных на изучение турбулентных режимов конвекции в приближенных к практике условиях является весьма трудоемкой, сопряженной со значительными материальными и временными затратами, а зачастую и нереализуемой задачей. В связи с этим численное моделирование турбулентной конвекции рассматривается сегодня как реальная альтернатива экспериментальному подходу.

В определенной степени настоящая диссертационная работа направлена на создание адекватных методов расчета турбулентных режимов конвекции расплава в установках метода Чохральского, в частности, расплава кремния. Очевидно, однако, что при отработке методов численного моделирования сложных конвективных движений, имеющих место в реальных практических установках, целесообразно опираться на опыт, приобретенный в работе с модельными задачами, предполагающими использование упрощенной геометрии и идеализированных граничных условий. Это открывает возможность верификации расчетов путем сопоставления с данными, полученными в результате проведения сравнительно недорогих лабораторных экспериментов. Рассматриваемое перед обращением к проблемам технологии Чохральского свободно-конвективное движение жидкости в подогреваемых снизу областях (конвекция Релея

Бенара), является удобной моделью для отработки алгоритмов и методов численного описания структуры турбулентной конвекции, а также процессов тепло и массопереноса. Кроме того, данная задача сама по себе имеет широкое прикладное значение, и, обладая сложной внутренней структурой, представляет интерес с общих позиций [Буссе, 1983; Зимин, 1988; Siggia, 1994].

Несмотря на колоссальный прогресс в вычислительных ресурсах, а также достигнутые в последнее время значительные успехи в области построения эффективных численных алгоритмов решения задач гидродинамики и тепломассообмена, проблемы, возникающие при численном моделировании турбулентных конвективных течений по-прежнему остаются трудноразрешимыми. Среди трех используемых сегодня подходов к численному описанию турбулентной конвекции наибольшей привлекательностью, в силу своей строгости и надежности результатов расчетов при выполнении условий полной разрешимости всех составляющих движения, обладает метод прямого численного моделирования турбулентности (Direct Numerical Simulation, DNS). Однако возможности по применению DNS с полным разрешением ограничиваются модельными задачами в упрощенной геометрии при относительно невысоких числах Рейнольдса (Релея), что связано с очень быстрым ростом требований по вычислительным ресурсам при попытках продвинуться вверх по числам Рейнольдса. Метод решения осредненных по Рейнольдсу уравнений Навье-Стокса {Reynolds-Averaged Navier-Stokes, RANS), требующий значительно меньших вычислительных затрат, чем DNS, до сих пор остается наиболее распространенным подходом к моделированию турбулентных течений. Вместе с тем, общепризнанно, что результаты расчетов по методу RANS очень чувствительны к выбору той или иной модели турбулентности, а иногда и просто не способны отразить характерные особенности, присущие термоконвективным течениям. Метод моделирования крупных вихрей (Large Eddy Simulation, LES) предполагает выполнение точного расчета переноса импульса и тепла лишь крупными, энергетически важными структурами и позволяет проводить расчеты при значительно более высоких числах Рейнольдса (Релея), в сравнении с DNS, с привлечением более простых замыкающих моделей, чем те, которые используются в подходах RANS [Eidson, 1985; Wong, 1993; Piomelli, 1998; Frohlich, 2000]. Особая привлекательность метода LES применительно к расчетам термоконвективных задач объясняется способностью адекватно воспроизводить эволюцию во времени вихревых структур, которые в значительной мере определяют свойства таких течений. Хорошо известно, что наибольшие трудности метода LES связаны с расчетом пристенных зон течения. Преодолеть эти трудности, проявляющиеся при моделировании пристенных областей потока, помогают развиваемые в последнее время гибридные подходы, сочетающие в себе те или иные элементы методов RANS, LES и DNS [Balaras, 1996; Spalart, 2000; Smirnov, 20026].

Исходя из изложенных соображений, определены основные цели работы. Диссертационная работа направлена на

1) реализацию ряда замыкающих моделей метода моделирования крупных вихрей (LES) и гибридных подходов RANS/LES для численных расчетов турбулентных течений на основе базового программного комплекса SINF, развиваемого сотрудниками кафедры гидроаэродинамики СПбГПУ;

2) проведение методических расчетов, направленных на апробацию внедренных моделей в рамках методов LES и RANS/LES, на примере задачи о турбулентной конвекции в подогреваемом снизу вращающемся слое модельной жидкости (Рг =1);

3) проведение численного моделирования на основе методов DNS и RANS/LES турбулентных режимов конвекции воды (Рг = 7) и ртути (Рг = 0.025) в подогреваемых снизу замкнутых полостях простой формы, в диапазоне чисел Релея 105 < Ra < 5х109;

4) численное исследование с использованием методов DNS, LES и RANS/LES турбулентной конвекции расплава кремния в емкости, геометрия которой типична для тиглей метода Чохральского, включая вопросы транспорта выделяющегося на стенках тигля кислорода.

Первая глава диссертации посвящена обзору методов численного моделирования турбулентных термоконвективных течений. В ней даются оценки требуемых вычислительных затрат при расчетах турбулентной конвекции по методу DNS. Приводится общепринятая классификация моделей метода RANS, анализируются проблемы, возникающие при расчетах на их основе задач турбулентной термоконвекции, в частности конвекции Релея-Бенара. Рассматриваются вопросы пространственной фильтрации в методе LES, приводится обзор моделей подсеточных масштабов. Излагаются подходы к моделированию пристенных областей в рамках метода LES, а также подходы, основанные на комбинировании методов RANS и LES.

Во второй главе дается изложение математической модели и численного метода, на основе которого были проведены расчеты (задачи турбулентной конвекции рассматриваются в работе в рамках модели несжимаемой ньютоновской жидкости с постоянными физическими свойствами, для учета эффектов плавучести в поле силы тяжести используется приближение Буссинеска). Излагаются вопросы реализации замыкающих моделей метода LES (модели Смагоринского и модели с одним уравнением) и гибридных моделей RANS/LES (алгебраической и модели с одним уравнением) в использованном для расчетов программном "конечно-объемном" комплексе SINF, второго порядка точности по времени и пространству. Применительно к методу LES рассматриваются способы демпфирования подсеточной вязкости у стенок, а также особенности реализации пристенных функций.

Третья глава посвящена численному моделированию турбулентной конвекции Ре-лея-Бенара, развивающейся в областях простой геометрической формы. Проводится дополнительная верификация программного комплекса SINF для расчетов турбулентной конвекции по методу DNS при умеренных числах Релея. С целью начальной отработки реализованных LES и RANS/LES моделей расчета турбулентных термоконвективных задач рассматривается течение модельной жидкости (Pr = 1) во вращающемся о горизонтальном слое, подогреваемом снизу, при Rax 10 . Путем сопоставления с известными из литературы высокоточными данными DNS выявляются некоторые слабые и сильные стороны использованных моделей LES и RANS/LES применительно к задачам рассматриваемого класса, а также дается ряд рекомендаций по их дальнейшему использованию в расчетах. Представляются результаты численного моделирования на основе метода RANS/LES турбулентной конвекции в подогреваемой снизу кубической полости, доверху наполненной водой (Рг = 7), и конвекции ртути (Рг = 0.025) в цилиндрической полости, при варьировании числа Релея в диапазоне 108<i?a < 5х109. Анализируются специфические черты турбулентной конвекции, такие как эволюция термиков, глобальная циркуляция жидкости в полости. Проводится сопоставление с известными данными экспериментов рассчитанных толщин пограничных слоев и чисел Нуссельта.

В четвертой главе рассматриваются вопросы численного моделирования турбулентной конвекции расплава кремния в емкости с геометрией, типичной для тиглей метода Чохральского при числе Релея Ra = 8.2x106, характеризующем реальные условия роста, и при уменьшенном числе Ra = 5x105. Представляются детальные данные о пульсирующих полях скорости, температуры и концентрации кислорода при различных значениях определяющих параметров. Анализируются эффекты, связанные с изменением скорости вращения тигля и условий на свободной поверхности. Для режима с Ra = 8.2x106 проводится сопоставление с доступными экспериментальными данными по средним полям и пульсациям температуры в расплаве.

В заключении представлены основные результаты и выводы, полученные в работе.

Основные выводы по диссертационной работе сводятся к следующему: дополнительная верификация программного комплекса SINF при расчетах турбулентной конвекции по методу DNS при умеренных числах Релея показала хорошее согласие с данными других авторов;

2) реализованы и прошли апробацию на задачах турбулентной термоконвекции ряд замыкающих моделей метода моделирования крупных вихрей (LES) и гибридных подходов RANS/LESy в том числе специально адаптированная к методу RANS/LES модель турбулентности с одним дифференциальным уравнением для кинетической энергии турбулентного движения;

3) по результатам начальной отработки реализованных моделей LES и RANS/LES на задаче о турбулентном течении жидкости (Pr= 1) во вращающемся горизонтальном слое, подогреваемом снизу, выявлены (путем сопоставления с известными из литературы высокоточными данными DNS) некоторые слабые и сильные стороны моделей применительно к классу термоконвективных задач; обоснована необходимость применения пристенного демпфирования подсеточной вязкости для получения адекватных значений интегральных тепловых потоков через стенки в методе LES;

4) на основе модели с одним уравнением проведены численные исследования методом RANS/LES развитой турбулентной конвекции жидкостей в замкнутых полостях простой формы при существенно различающихся числах Прандтля; получены подробные данные о структуре конвекции, ее теплопереносных свойствах;

5) выявлена роль квазистационарной глобальной циркуляции и локальных нестационарных образований в виде термиков в турбулентной конвекции Р-Б; установлено, что глобальная циркуляция существенно более интенсивна в конвекции ртути, а в конвекции воды преимущественное влияние на свойства течения оказывают термики, что подтверждает выводы по результатам известных экспериментальных наблюдений; установлено также, что в Р-Б конвекции ртути при числах Релея Ra> 10 образуются термики, которые, в силу целого ряда осложняющих обстоятельств, не удавалось наблюдать в экспериментах; получено хорошее количественное согласование рассчитанных толщин пограничных слоев и чисел Нуссельта с доступными данными экспериментов;

6) проведены расчеты турбулентной конвекции расплава кремния во вращающейся емкости с геометрией, типичной для тиглей в процессе Чохральского при числе Релея Ra = 8.2х106, характеризующем реальные условия роста, и при уменьшенном числе Релея Ra = 5х105; показано, что увеличение скорости вращения тигля оказывает в целом упорядочивающее действие на конвекцию расплава; выявлено, что значения осредненных скоростей существенно меньше актуальных, и что интенсивные турбулентные пульсации приводят к сильным изменениям во времени локального и среднего теплового потока, подводимого к границе раздела кристалл/расплав;

7) проведено сопоставление с доступными экспериментальными данными по средним полям и пульсациям температуры в расплаве; выявлены ощутимые преимущества расчетов турбулентной конвекции в расплаве методами LES и RANS/LES над осе-симметричными расчетами на основе моделей метода RANS; последнее объясняется существенным влиянием трехмерных эффектов на осредненные поля;

8) установлено, что структура полей скорости и температуры, полученных в расчетах по методу DNS при Ra = 5х105 и по методу RANS/LES при Ra = 8.2x106 в целом схожа; данные расчетов по методу RANS/LES существенно лучше согласуются с экспериментальным уровнем кислорода в кристалле, чем данные LES; однако в обоих случаях имеются расхождения с полученной при меньшем числе Релея "тенденцией по вращению тигля", что указывает на необходимость проведения дальнейших исследований.

Заключение

1. Абрамов А.Г., Корсаков А.Б. Прямое численное моделирование турбулентной конвекции ртути в осесимметричных емкостях, включая эффекты магнитного поля / Труды III Российской национальной конференции по теплообмену, М.: Изд-во. МЭИ, 2002. Т. 3. С. 33-36.

2. Белов И.А., Кудрявцев Н.А. Теплоотдача и сопротивление пакетов труб. JI.: Энергоатомиздат, 1987.

3. Белоцерковский О.М., Опарин A.M., Чечеткин В.М. Турбулентность: новые подходы. М.: Наука, 2002. - 286 с.

4. Буссе Ф.Г. Переход к турбулентности в конвекции Релея-Бенара / В сб.: Гидродинамические неустойчивости и переход. к турбулентности под ред. X. Суинни, Дж. Голлаба. -М.: Мир, 1984. С. 124-168.

5. Березу б Н. А., Леденев А.К, Мяльдун А.З., Полежаев В.И., Простомолотов А.И. Физическое моделирование конвективных процессов при выращивании кристаллов методом Чохральского // Кристаллография. 1999. - Том 44, N6. -С.1125-1131.

6. Владимирова Н.Н., Кузнецов Б.Г., Яненко Н.Н. Численный расчет симметричного обтекания пластинки плоским потоком вязкой несжимаемой жидкости / В сб.: Некоторые вопросы вычислительной и прикладной математики. Новосибирск, 1966. С.186-192.

7. Гарбарук А.В. Современные полуэмпирические модели турбулентности для пристенных течений: тестирование и сравнительный анализ / Дисс. канд. физ.-мат. наук СПб: СПбГТУ, 1999.

8. Гидромеханика и тепломассообмен при получении материалов. М.: Наука, 1990. -296 с.

9. Гуляев А.Н., Козлов В.Е., Секундов А.Н. К созданию универсальной однопараметрической модели для турбулентной вязкости // Известия АН СССР, МЖГ,- 1993.-N4.-С. 69.

10. П.Джалурия Й. Естественная конвекция: тепло- и массообмен. М.:Мир, 1983. -400 с.

11. Зимин В.Д., ФрикП.Г. Турбулентная конвекция. М.: Наука, 1988. - 173 с.

12. Зябриков В.В., Лойцянский Л.Г. Демпфирующий фактор в теории пути смешения Прандтля. // Известия АН СССР, МЖГ. 1987. - N5. - С. 45-53.

13. Кириллов ПЛ. Обобщение опытных данных по переносу тепла в жидких металлах // Атомная энергия. 1962. - Т. 13, N5. - С. 481.

14. Колмогоров А.Н. Локальная структура турбулентности в несжимаемой жидкости при очень больших числах Рейнольдса // Докл. АН СССР. 1941. - Том 30, N4. -С. 299-303.

15. Лапин Ю.В. Турбулентный пограничный слой в сверхзвуковых потоках газа. М.: Наука, 1982.

16. Монин А.С., ЯгломА.М. Статистическая гидромеханика. Ч. 1 М.: Наука, 1965. -639 с.

17. Мюллер Г. Выращивание кристаллов из расплава. Конвекция и неоднородности. Пер. с англ. -М.: Мир, 1991. 143 с.

18. Никитин Н.В., Полежаев В.И. Трехмерная конвективная неустойчивость и колебания температуры при выращивании кристаллов по методу Чохральского // Известия РАН, МЖГ. 1999. -N3. - С.26-39.

19. Никитин Н.В., Полежаев В.И. Трехмерные эффекты переходных и турбулентных режимов тепловой гравитационной конвекции в методе Чохральского // Известия РАН, МЖГ. 1999. -N6. - С.81-90.

20. Остроумов Г.А. Свободная конвекция в условиях внутренней задачи. Л.: Гостехтеоиздат, 1952. - 256 с.

21. Полежаев В.И. Гидромеханика, тепло- и массообмен при росте кристаллов / В кн.: Итоги науки и техники. Сер. Механика жидкости и газа. М.: ВИНИТИ, 1984. -Т.18.-С.198-269.

22. Полежаев В.И. Математическое моделирование процессов гидромеханики и тепломассообмена при выращивании кристаллов и разделении веществ / В кн.: Гидромеханика и тепломассообмен при получении материалов. М.: Наука, 1990. - С.8-26.

23. Простомолотов А.И. Исследование гидродинамических процессов в условиях возможных управляющих воздействий при выращивании кристаллов методом Чохральского / В кн.: Гидромеханика и тепломассообмен при получении материалов. М.: Наука, 1990. - С.56-68.

24. РодиВ. Модели турбулентности окружающей среды / В кн.: Методы расчета турбулентных течений. Под ред. В. Кольмана. М.: Мир, 1984. - С. 227-322.

25. А2.Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкостей: В 2-х т.: Т.2.: Пер. с англ.-М.: Мир, 1991.-552 с.

26. АЪ .Шашков, Ю.М. Выращивание монокристаллов методом вытягивания. М.: Металлургия, 1982. - 312 с.

27. АА.Шуманн У., Гретцбах Г., КляйзерЛ. Прямые методы моделирования турбулентных течений / В кн.: Методы расчета турбулентных течений. Под ред. В. Кольмана. М.: Мир, 1984. - С. 103-226.

28. А5.АЬе, К., Suga, К. Large eddy simulation of passive scalar fields under several strain conditions / In: Proc. Turbulent Heat Transfer 2, Engineering Foundation Int. Conference, Manchester, 1998, Vol. 1, S. 8, pp. 15-30.

29. Adrian, R.J. Particle-image techniques for experimental fluid mechanics // Ann. Review Fluid Mechanics. 1991. - Vol. 23. - P. 261-304.

30. A&.Baggett, J.S. On the feasibility of merging LES with RANS for the near-wall region of attached turbulent flows / In: Annual Research Briefs, Center for Turbulence Research, Stanford, CA, 1998, pp. 267-277.

31. Bagwell, G., Adrian, R.J., Moser, R.D., Kim, J. Improved approximation of wall shear stress boundary conditions for large eddy simulation / In: Near Wall Turbulent Flows, C.G. Speziale and B.P. Launder eds., Elsevier, Amsterdam, 1993, pp. 265-275.

32. Baldwin, B.S., Barth, T.J. One-equation turbulence transport model for high Reynolds number wall-bounded flows // AIAA Paper 91-0610.- 1991.

33. Baldwin, B.S., Lomax, H., Thin-layer approximation and algebraic model for separated turbulent flows // AIAA Paper 1978. - Vol. 78 - P. 257.

34. Bardina, J., Ferziger, J.H. and Reynolds, W.C. Improved subgrid-scale models for large-eddy simulation. // AIAA Paper 1980. - Vol. 80 - P. 1257.

35. Bastiaans, R. J.M, Kindt, C.C.M., Steenhoven, van A.A. Experimental analysis of a confined transitional plume with respect to subgrid-scale modelling // Int. J. Heat Mass Transfer. 1998. - Vol. 41.- P. 3989-4007.

36. Basu, В., Enger, S., Breuer, M, Durst, F. Three-dimensional simulation of flow and thermal field in a Czochralski melt using a block-structured finite-volume method // J. Crystal Growth. 2000. - Vol. 219. - P. 123-143.

37. Beam, R.M., Warming, R.F. An implicit factorized scheme for the compressible Navier-Stokes equations // AIAA Journal 1978. - Vol. 16. - P.393-402.

38. Belmonte, A., Tilgner, A., Libchaber, A. Temperature and velocity boundary layers in turbulent convection // Phys. Rev. E. -1994. Vol. 50. - P. 269-279.

39. Bolgiano, R. Turbulent spectra in a stably stratified atmosphere // J. Geophys. Res. -1959. Vol. 64. - P. 2226-2229.

40. Boussinesq, J. Theorie de l'ecoulement tourbillant / Mem. Presentes par Divers Savants Acad. Sci. Inst. Fr. -1877. Vol. 23. - P. 46-50.

41. Cabot, W Large-eddy simulations of time-depend and buoyancy-driven channel flows / In: Annual Research Briefs, Center for Turbulence Research, Stanford, CA, 1992.

42. Cabot, W. Near-wall models in large eddy simulations of flow behind a backward-facing step. / In: Annual Research Briefs, Center for Turbulence Research, Stanford, CA, 1996, pp. 199-210.

43. Chilla, F., Ciliberto, S., Innocenti, C., Pampaloni, E. Boundary layer and scaling properties in turbulent thermal convection // Nuovo Cimento D. 1993. - Vol. 15. -P.1229.

44. Cholle, J. P., Lesieur, M. II J. Atmos. Sci. 1981. - Vol. 38. - P. 2747.

45. Chorin, A.J. A numerical method for solving incompressible viscous flow problems // J. Comput. Phys. 1967. - Vol. 2. - P.12-26.

46. Christie, S., Domaradzki, J.A. Numerical evidence for nonuniversality of the soft/hard turbulence classification in thermal convection // Phys. Fluids. 1994. - Vol. 6. - P. 1848.

47. Chu, Т., Goldstein, R. J. Turbulent natural convection in a horizontal layer of water // J. Fluid Mech. 1973. - Vol. 60. - P. 141-159.

48. SO. Ciliberto, S., Cioni, S. Laroche, C. Large scale flow properties of turbulent thermal convection // Phys. Rev. E 1996. - Vol. 54. - P. 5901-5905.

49. Cioni, S., Ciliberto, S., Sommeria, J. Experimental study of high-Rayleigh-number convection in mercury and water // Dyn. Atmos. Oceans. 1996. - Vol. 24. - P. 117127.

50. Clauser, F.H. Turbulent boundary layers in adverse pressure gradients // Journal Aeron. Sci.- 1954.-Vol. 21.-P. 91-108.

51. Craft, T.J., Ince, N.Z., Launder, B.E. Recent developments in second-moment closure for buoyancy-affected flows //'Dyn. Atmos. Oceans. 1996. - Vol. 23. - P. 99-114.

52. Curry, J.C., Herring, J.R., Loncaric, J., Orszag, S.A. Order and disorder in two- and three-dimensional Benard convection // J. Fluid Mech. 1984.- Vol. 147,- P. 1-38.

53. Deardorff J.W. The use of subgrid transport equations in a three-dimensional model of atmospheric turbulence // J. Fluids Engng. 1973. - Vol. 95 - P. 429-438.

54. Du, Y.-B., Tong, P. Turbulent thermal convection in a cell with ordered rough boundaries // J. Fluid. Mech. 2000. - Vol. 407. - P. 57-84.

55. Evstratov, I.Yu., Kalaev, V.V., Nabokov, V.N., Zhmakin, A.I., Makarov, Yu.N., Abramov, A.G., Ivanov, N.G., Rudinsky, E.A., Smirnov, E.M., Lowry, S.A., Dornberger, E.,

56. Virbulis, J., Tomzig, E., Ammon, W.v. Global model of Czochralski silicon growth to predict oxygen content and thermal fluctuations at the melt-crystal interface // Microelectronic Engineering. 2001. - Vol. 56 - P. 139-142.

57. Fein, J.S. An experimental study of the effects of the upper boundary condition on the thermal convection in a rotating, differentially heated cylindrical annulus of water // Geophysical Fluid Dynamics. 1973. - Vol. 5.-P. 213-248.

58. Fein, J.S., Pfeffer, R.L. An experimental study of the effects of Prandtl number on thermal convection in a rotating, differentially heated cylindrical annulus of fluid // J. Fluid. Mech. 1976. - Vol. 75. - P. 81-112.

59. Ferziger, J.H. Recent Advances in Large Eddy Simulation / In: Engineering Turbulence Modeling and Experiments 3, W. Rodi and G. Bergeles eds., Elsevier, Amsterdam, 1996, pp. 163-176.

60. Frohlich, J., Rodi, W. Introduction to large eddy simulation of turbulent flows // In: Closure Strategies for Turbulent and Transitional Flows, B.E. Launder, N.D. Sandham eds., Cambridge Univ. Press, 2000.

61. Fureby, C., Tabor, G., Weller, H.G., Gosman, A.D. Different subgrid stress models in large eddy simulations // Phys. Fluids A. 1997.- Vol. 9(5). - P. 3578-3580.

62. Garon, A.M., Goldstein, R.J. Velocity and heat transfer measurements in thermal convection//Phys. Fluids. 1973.-Vol. 16. - P. 1818-1825.

63. Germano, M. Turbulence: the filtering approach. // J. Fluid Mech. 1990. - Vol. 238. -P. 325.

64. Germano, M., Piomelli, U., Moin, P., Cabot, W.H. A dynamic subgrid-scale eddy viscosity model // Phys. Fluids A. 1991. - Vol. 3(7).- P. 1760-1765.

65. Ghosal, S., Lund, T.S., Moin, P. A local dynamic model for LES / In: Annual Research Briefs, Center for Turbulence Research, Stanford, С A, 1993, p. 3.

66. Globe, S., Dropkin, D. Natural-convection heat transfer in liquids confined by two horizontal plates and heated from below // ASME J. Heat Transfer. 1959. - Vol. 31. P. 24.

67. Goldberg, U.C. Derivation and testing of one-equation model based on two time scales // AIAA Journal. -1991. Vol. 29. - No. 8. - P. 1337-1340.

68. Goldstein, R.J., Tokuda, S. Heat transfer by thermal convection a high Rayleigh numbers // Int. J. Heat Mass Transfer. 1980. - Vol. 23. - P. 738-740.

69. Grabner O., Mtihe A., Mtiller G., Tomzig E., Virbulis J, Ammon W. Analisis of turbulent flow in silicon melts by optical temperature measurement // Material Science and Engineering В.-2000.-Vol. 73. P. 130-133.

70. Grotzbach, G. Direct numerical simulation of laminar and turbulent Benard convection // J. Fluid. Mech. 1982. - Vol. 119. - P. 27-53.

71. Grotzbach, G. Spatial resolution requirement for direct numerical simulation of Rayleigh-Benard convection // J. Сотр. Phys. 1983. - Vol. 49. - P. 241-264.

72. Grotzbach, G. Direct numerical and large eddy simulation of turbulent channel flows / Encyclopedia of fluid mechanics, edited by N. P. Cheremisinoff, Gulf Publishing, West Orange, 1987, P. 1337.

73. Grotzbach, G., Worner, M. Direct numerical and large eddy simulations in nuclear applications // Int. J. Heat and Fluid Flow. 1999. - Vol. 20. - P. 222-240.

74. Hamba, F. An approach to hybrid RANS/LES calculation of channel flows / In: Proc. of the 5th Int. Symp. On Engineering Turbulence Modelling and Measurements, 2002, Mallorca, Spain, Elsevier, pp. 297-305.

75. Hanjalic, K. One-point closure models for buoyancy-driven turbulent flows // Annu. Rev. Fluid Mech. 2002. - Vol. 34. P. 321-347.

76. Helfrich, K.R. Thermals with background rotation and stratification // J. Fluid Mech. 1994. - Vol. 259. - P. 265-280.

77. Heslot, F., Castaing, В., Libchaber, A. Transition to turbulence in helium gas // Phys. Rev. A 1987.- Vol. 36. - P. 5870-5873.

78. Hoffmann, G., Benocci, C. Approximate wall boundary conditions for large eddy simulations / In.: Advances in turbulence V, R. Benzi eds., Kluwer, Dordrecht, The Netherlands, 1995, pp. 222-228.

79. Horanyi, S., Krebs, L., Muller, U. Turbulent Rayleigh-Benard convection in low Prandtl-number fluids // Int. J. Heat Mass Transfer 1999. - Vol. 42 - P. 3983-4003.

80. Horiuti, K. A new dynamic two-parameter mixed model for large-eddy simulation // Phys. Fluids 1997. - Vol. 9. - P. 3443-3464.

81. Ivanov, N.G., Smirnov, E.M. Numerical study of 3D wave structures developing in rotating containers due to baroclinic instability / In: Book of Abstracts 4th EUROMECH Fluid Mechanics Conference, Eindhoven, 2000, P. 190.

82. Janssen R.J.A., Henkes R.A.W.M. Influence of Prandtl number on instability mechanisms and transition in a differentially heated square cavity // J. Fluid Mech.1995.-Vol. 290.-P. 319-344.

83. Julien, K, Legg S., McWilliams J., Werne J. Rapidly rotating turbulent Rayleigh-Benard convection // J. Fluid Mech. -1996. Vol. 322 - P. 243-273.

84. Kakimoto, K, Watanabe, M., Eguchi, M., Hibiya, T. Flow instability of the melt during Czochralski Si crystal growth: dependence on growth conditions; a numerical study // J. Cryst. Growth. 1994. - Vol. 139. - P. 197-205.

85. Kalaev, V.V., Zhmakin, A.I., Smirnov, E.M. Modeling of turbulent convection during Czochralski bulk crystal growth // Journal of Turbulence. 2002. - Vol. 3. - P. 13.

86. Kalaev, V.V., Zhmakin, A.I. Hybrid LES/RANS simulation of melt convection during crystal growth / In: Proc. of the 5th Int. Symp. On Engineering Turbulence Modelling and Measurements, 2002, Mallorca, Spain, Elsevier, pp. 337-346.

87. Kenjares, S., Hanjalic, K. Transient analysis of Rayleigh-Benard convection with a RANS model // Int. J. Heat Fluid Flow. 1999. - Vol. 20. - P. 329-340.

88. Kenjares, S., Hanjalic, К Convective rolls and heat transfer in finite-length Rayleigh-Benard convection: a two-dimensional numerical study / Phys. Rev. E. 2000. -Vol. 62(6).-P. 7987-7998.

89. Kerr, M.R. Rayleigh number scaling in numerical convection // J. Fluid Mech.1996.-Vol.310.-P. 139-179.

90. Kerr, M.R., Herring, J.R. Prandtl number dependence of Nusselt number in DNS // J. Fluid Mech. 2000. - Vol. 419. - P. 325-344.

91. Kimmel, S.J., Domaradzki, A. Large eddy simulations of Rayleigh-Benard convection using subgrid scale estimation model // Phys. Fluids. 2000. - Vol. 12(1). -P. 169-184.

92. Klebanoff, P.S. Characteristics of Turbulence in a Boundary Layer with Zero Pressure Gradient // NACA TN 3178. 1956.

93. Klinger, B.A., Marshall, J. Regimes and scaling laws for rotating deep convection in the ocean. // Dyn. Atmos. Oceans. 1995. - Vol. 21. - P. 227-256.

94. Kraichnan, R.H Turbulent thermal convection at arbitrary Prandtl number // Phys. Fluids. 1962.-Vol. 5.-P. 1374-1389.

95. Kuppers, G., Lortz, D. Transition from laminar convection to thermal turbulence in a rotating fluid layer // J. Fluid Mech. 1969. - Vol. 35. - P. 609-620.

96. Kwak, D., Chang, J.L.S., Shanks, S.P., Chakravarthy, S.R. A three-dimensional incompressible Navier-Stokes flow solver using primitive variables // AIAA Journal. -1986. Vol. 24. - P.390-396.

97. Lam, C.K.G., Bremhorst, K.A. Modified form of k-e model for predicting wall turbulence // ASME Journal of Fluids Engineering. 1981. - Vol. 103. - P. 456-460.

98. Launder, B.E., Sharma, B.I. Application of the energy dissipation model of turbulence to the calculation of flow near a spinning disc // Letter in Heat and Mass Transfer. 1974. - Vol. 1(2). - P. 131-138.

99. Launder, B.E., Spalding, D.B. The numerical computation of turbulent flows // Comput. Methods Appl. Mech. Eng. 1974. - Vol. 3. - P. 269-289.

100. Leonard, A. Energy cascade in large eddy simulations of turbulent fluid flows // Adv. In Geophys. 1974. - Vol. 18A. - P. 237.

101. Leonard, B.P. A stable and accurate convective modelling procedure based on quadratic upstream interpolation // Comput. Methods Appl. Mech. Eng. 1979. - Vol. 19.-P. 59-98.

102. Lilly, D.K. A proposed modification of the Germano sugrid-scale closure method // Phys. Fluids A. 1992. - Vol. 4(3). - P. 633-635.

103. Lipchin, A., Brown, R.A. Comparison of three turbulence models for simulation of melt convection in Czochralski crystal growth of silicon // J. Crystal Growth. 1999. -Vol. 205. - P.71-91.

104. Liu, S., Meneveau, C., Katz, J. On the properties of similarity subgrid-scale models as deduced from measurements in a turbulent jet // J. Fluid Mech. 1994. - Vol. 275. -P.83-119.

105. Machida, N., Suzuki, Y., Abe, K., Ono, N., Kida, M., Shimizu, Y. The effects of argon gas flow rate and furnace pressure on oxygen concentration in Czochralski-grown silicon crystals // J. Crystal Growth. 1998. - Vol. 186. - P. 362-368.

106. Malik N. A., Dracos, Th., Papantoniou, D.A. Particle tracking velocimetry in three-dimensional flows, Part II: Particle tracking // Experiments in Fluids. 1993. - Vol. 15. -P. 279-294.

107. McDonald, J., Connoly, T.J. Investigations of natural convection heat transfer in sodium // J. Nucl. Sci. Engng. 1960- Vol. 8. - P. 369-377.

108. McMillan, O.J., Ferziger, J.H. Direct testing of subgrid-scale models // AIAA J. -1979.-Vol. 17(12).-P. 1340-46.

109. Menter, F.R. Zonal two equation k-co turbulence models for aerodynamic flows / AIAA Paper. 1993. - Vol. 93. - P. 2906.

110. Menter, F.R. Eddy viscosity transport equations and their relation to the k-e model / ASME Journal of Fluids Engineering. 1994. - Vol. 119. - P. 876-884.

111. Menter, F.R., Kuntz, M., Bender, R. A scale-adaptive simulation model for turbulent flow predictions / AIAA Pap. 2003-0767, 1 lp.

112. Metais, O., Lesier, M. Coherent vortices in thermally stratified and rotating turbulence // Int. J. Heat and Fluid Flow. 1995. - Vol. 16. - P. 315-326.

113. Moeng, C.-H., Rotunno, R. Vertical-velocity skewness in buoyancy-driven boundary layer // J. Atmos. Sci. 1990. - Vol. 47. - P. 1149-1162.

114. Moin, P., Squires K., Cabot, W., Lee, S. A dynamic subgrid-scale model for compressible turbulence and scalar transport // Phys. Fluids A. 1991. - Vol. 3(11). - P. 2746-2757.

115. Moin, P., Carati, D., Lund, Т., Ghosal, S., Akselvoll, K. Developments and applications of dynamic models for large eddy simulation of complex flows / 741H AGARD Fluid Dynamics Panel, Chania, Greece, 1994.

116. Moin, P. Advances in large eddy simulation methodology for complex flows // Int. J. Heat Fluid Flow. 2002. - Vol. 23. - P. 710-720.

117. Muller, G., Miihe, A., Backofen, R., Tomzig, E., Ammon, v. W. Study of oxygen transport in Czochralski growth silicon // Microelectronic Engineering. 1999. - Vol. 1. -P. 135-147.

118. Naert, A., Segawa, Т., Sano, M. High-Reynolds number thermal turbulence in mercury // Phys. Rev. E. 1997. - Vol. 56. - P. 1302-1305.

119. Nagakawa, Y., Frenzen, P. A theoretical and experimental study of cellular convection in rotating fluids. // Tellus. 1955. - Vol. 7. - P. 1-21.

120. Nee, V., Kovasznay L. Simple phenomenological theory of turbulent shear flow // Phys. Fluids. 1969. - Vol. 12. - P. 473-484.

121. Neumann, G. Three-dimensional numerical simulations of buoyancy-driven convection in vertical cylinders heated from below // J. Fluid. Mech. 1999. - Vol. 309 (36).-P. 559.

122. Nikitin, N.V., Nicoud, F., Wasistho, В., Squires, K.D., Spalart P.R. An approach to wall modeling in large-eddy simulations // Phys. Fluids. 2000. - Vol. 12(7). - P. 16291632.

123. Peltier, L.J., Zajaczkowsky, F.J., Wyngaard, J.C. A hybrid RANS/LES approach to large-eddy simulation of high-Reynolds-number wall-bounded turbulence / FEDSM2000-11177, ASME 2000 Fluids Eng. Div. Summer Meeting, Boston, MA, 2000.

124. Peng, S.-H., Davidson, L. Comparison of subgrid-scale models in LES for turbulent convection flow with heat transfer / In: Proc. of the 2nd Turbulent Heat Transfer Conference, Vol. 1., Manchester, UK, 1998, P. 5.25-5.35.

125. Piomelli, U., Moin, P., Ferziger, J.H. Model consistency in large eddy simulation of turbulent channel flows //Phys. Fluids. 1988. - Vol. 31. - P. 1884.

126. Piomelli, U., Ferziger, J., Moin, P., Kim, J. New approximate boundary conditions for large eddy simulations of wall-bounded flows. // Phys. Fluids A 1989. - Vol. 1 - P. 1061.

127. Piomelli, U., Cabot, W.H., Moin, P., Lee, S. Subgrid-scale backscatter in turbulent and transitional flows // Phys. Fluids A. 1991. - Vol. 3(7). - P.l776-1771.

128. Piomelli, U. Large-eddy simulation of turbulent flows / In: Advances in Turbulence Modelling. Lecture Series 1998-05, Von Karman Institute for Fluid Dynamics, 1998, pp. 1-54

129. Prandtl, L. Uber die ausgebildete Turbulenz // ZAMM. 1925. Vol. 5. - P. 136-139, (русский перевод - Проблемы турбулентности. М.: ОНТИ, 1936, стр. 14-16).

130. Qiu, X.-L., Xia, K-Q. Spatial structure of the viscous boundary layer in turbulent convection // Phys. Rev. E. 1998. - Vol. 58 (5). - P. 5816-5820.

131. Qiu, X.-L., Tong, P. Large-scale structures in turbulent thermal convection // Phys. Rev. E. 2001.-Vol. 64. - P. 036304.

132. Rayleigh, L. On convection currents in a horizontal layer of fluid, when the higher temperature is on the under side // Philosophical Magazine. 1916. - Vol. 32 (6). - P. 529.

133. Rhie, C.M., Chow, W.L. A numerical study of the turbulent flow past an isolated airfoil with trailing edge separation // AIAA Journal. 1983. - Vol. 21. - P. 1525-1532.

134. Rossby, H.T. A study of Benard convection with and without rotation // J. Fluid Mech. 1969. - Vol. 36. - P.309-335.

135. Rosten, Н.1., Worrell, J.K. Generalized wall functions for turbulent flow // PHOENICS Journal. 1988. - Vol. 1. - P. 81-109.

136. Salvetti, M.V., Banerjee, S. A priori tests of a new dynamic subgrid scale model for finite difference large eddy simulation // Phys. Fluids. 1995. - Vol. 7. - P. 2831.

137. Sano, M., Wu, X.Z., Libchaber, A. Turbulence in helium-gas free convection // Phys. Rev. A. 1989. - Vol. 26. - P. 137-168.

138. Schumann, U. Subgrid scale model for finite difference simulation of turbulent flows in plane channels and annuli //J. Comput. Phys. 1975. - Vol. 18 - P. 376-404.

139. Shang, Z.-D., Xia, K.-Q. Scaling of the velocity power spectra in turbulent thermal convection // Phys. Rev. E. 2001. - Vol. 64. - 065301(R).

140. Shraiman, B.I., Siggia, E.D. Heat transport in high-Rayleigh-number convection // Phys. Rev. A. 1990. - Vol. 42. - P. 3650-3653.

141. Siggia, E.D. High Rayleigh number convection // Annu. Rev. Fluid Mech. 1994. -Vol. 26.-P. 137-168.

142. Smagorinsky, J. Numerical study of small-scale intermittency in three-dimensional turbulence. // Mon. Weather Rev. 1963. - Vol. 91. - P. 99-164.

143. Smirnov, E.M. Solving the Full Navier-Stokes Equations for Very-Long-Duct Flows Using the Artificial Compressibility Method / In: ECCOMAS-2000, Barcelona, Spain (CD-ROM publication), 2000, 17p.

144. Spalart, P.R. Strategies for turbulence modelling arid simulations // Int. J. Heat Fluid Flow. -2000 Vol. 21. - P. 252-263.

145. Spalart, P.R., Allmaras, S.R. A one-equation turbulence model for aerodynamic flows // La Rech. Adrospatiale 1994. - Vol. 1. - P. 5-21.

146. Spalart, P.R., Jou, W.-H., Strelets, M., Allmaras, S.R. Comments on the feasibility of LES for wings, and on a hybrid RANS/LES approach / In: Advances in DNS/LES, C. Liu and Z. Liu eds., Greyden Press, Columbus, OH, 1997.

147. Speziale, S.G. Comparison of explicit and traditional algebraic stress models of turbulence // AIAA Journal. 1997. - Vol. 35 (9). - P. 1506-1510.

148. Strelets, M. Detached eddy simulation of massively separated flows // AIAA Pap. 2001-0879, 18p.

149. Takeshita, Т., Segawa, Т., Glazier, J.A., Sano, M. Thermal turbulence in mercury // Phys. Rev. Lett. 1996 - Vol.76. - P.1465-1468.

150. Tanaka, H., Miyata, H. Turbulent natural convection in a horizontal water layer heated from below // Int. J. Heat Mass Transfer. 1980. - Vol. 23. - P. 1273-1281.

151. Tanaka, M., Hasebe, M., Saito, N. Pattern transition of temperature distribution at Czochralski silicon melt surface // J. Crystal Growth. 1997. - Vol. 180. - P. 487-496.

152. Taylor, C., Thomas, C.E., Morgan, K. Modelling flow over a backward-facing step using the FEM and two-equation model of turbulence // In. J. Num. Meth. Fluids. -1981.-Vol. l.-P. 295-304.

153. Temmerman, L., Leschziner, M.A., Hanjalic, K. A-priori studies of a near-wall RANS model within a hybrid LES/RANS scheme / In: Proc of 5th Int. Symp. On Engineering Turbulence Modelling and Measurements, Mallorca, Spain, 2002.

154. Tilgner, A., Belmonte, A., Libchaber, A. Temperature and velocity profiles of turbulent convection in water // Phys. Rev. E. 1993. - Vol. 47. - P. 2253-2256.

155. Tomzig, E., Ammon, W., Dornberger, E., Lambert, U., Zulehner, W. Challenges for economical growth of high quality 300 mm CZ Si crystals. // Microelectronic Engineering 1999. - Vol. 45. - P. 113-125.

156. Tong, P., Shen, Y. Relative velocity fluctuations in turbulent Rayleigh-Benard convection // Phys. Rev. Lett. 1992. - Vol. 69. - P. 2066-2069.

157. Travin, A., Shur, M., Strelets, M., Spalart, P.R. Detached-eddy simulations past a circular cylinder // Flow, Turbulence and Combustion 1999. - Vol. 63. - P. 293-313.

158. Travin, A., Shur, M., Strelets, M., Spalart, P.R. Physical and numerical upgrades in the detached-eddy simulation of complex turbulent flows // In: Proc. of EUROMECH

159. Colloquium 412, Advances in LES of Complex Flows, R. Friederich and W. Rodi eds., Kluwer Academic Publishers, Dordrecht-Boston-London, 2002, Vol.65, p. 239.

160. Van Driest, E.R. On turbulent flow near a wall // J. Aeronaut. Sci. 1956. - Vol. 23. -P. 1007.

161. Veronis, G. Large amplitude Benard convection in a rotating fluid // J. Fluid Mech.1968.-Vol. 31.-P. 113-139.

162. Verzicco, R., Camussi, R. Transitional regimes of low-Prandtl thermal convection in a cylindrical cell // Phys. Fluids 1997. - Vol. 9 (5). - P. 1287-1295.

163. Verzicco, R., Camussi, R. Prandtl number effects in convective turbulence // J. Fluid. Mech. 1999. - Vol. 383. - P. 55-73.

164. Vinokur, M. An analysis of finite-difference and finite-volume formulations of conservation laws //J. Comput. Phys. 1989.-Vol. 81.-P. 1-52.

165. Vizman, D., Grabner, O., Muller, G. Three-dimensional numerical simulation of thermal convection in an industrial Czochralski melt: comparison to experimental results // J. Crystal Growth. 2001. - Vol. 233. - P. 687-698.

166. Wagner, C., Friedrich, R. Turbulent flow in idealized Czochralski crystal growth configurations // Notes on Num. Fluid Mech. 1997. - Vol. 60. - P. 367-380.

167. Wilcox, D.C., Turbulence Modeling for CFD / Griffin Printing, Glendale, California, 1993.

168. Wolfshtein, M. The velocity and temperature distribution in one-dimensional flow with turbulence augmentation and pressure gradient // Int. J. Heat and Mass Transfer.1969.-Vol. 12. P. 301-318.

169. Wong, V, Lilly, D.K. A comparison of two dynamic subgrid closure methods for turbulent thermal convection // Phys. Fluids A. 1994. - Vol. 6 (2). - P. 1016-1023.

170. Wu, X.Z., Libchaber, A. Scaling relations in thermal turbulence: the aspect ratio dependence // Phys. Rev. A. 1992. - Vol. 45. - P. 842.

171. Xia, K.-Q., Xin, Y.-B., Tong, P. Dual-beam incoherent cross-correlation spectroscopy //J. Opt. Soc. Am. A. 1995.-Vol. 12.-P. 1571-1578.

172. Xia, K.-Q., Zhou, S.-Q. Temperature power spectra and the viscous boundary layer in thermal turbulence: the role of Prandtl number // Physica A. 2000. - Vol. 288. -P. 308-314.

173. Yackot, A., Orsgaz, S.A., Yackot, V., Israeli, M. Renormalization Group formulation of large-eddy simulations//!. Sci.Comput.- 1989.-Vol. 4.-P. 139.

174. Yang, M., Tao, W., Ozoe, H. Computation and comparison for heat and fluid flow using a QUICK and other difference schemes // Reports of Institute of Advanced Material Study, Kyushu University. 1998. - Vol. 12(1). - P. 1-6.

175. Yoshizawa, A., Horiuti, K. A statistically-derived subgrid-scale kinetic energy model for the large-eddy simulation of turbulent flows // J. Phys. Soc. Jpn. 1985. - Vol. 54. -P. 2834-2839.

176. Yoshizawa, A. Statistical Theory for Compressible Turbulent Shear Flow with the application to subgrid modelling. // Phys.Fluids A. 1986. - Vol. 29(7). - P. 2152-2164.

177. Zang, Y., Street, R.L., Koseff, J.R. A dynamic mixed subgrid-scale model and its application to turbulent recirculating flows // Phys. Fluids A 1993. - Vol. 5(12) -P. 3186.

178. Zhong, F., Ecke, R., Steinverg, V. Rotating-Benard convection: asymmetric modes and vortex states // J. Fluid Mech. 1993. - Vol. 249. - P. 769-771.

179. Zhou, S.-Q., Xia, K.-Q. Spatially correlated temperature fluctuations in turbulent convection // Phys. Rev. E. 2001. - Vol. 63. - 046308.

180. Zocchi, G., Moses, E., Libchaber, A. Coherent structures in turbulent convection, an experimental study // Physica A. 1990. - Vol. 166. - P. 387-407.

181. Zulehner, W. Historical overview of silicon crystal pulling development // Material Science and Engineering B. 2000. - Vol. 73. - P. 7-15.