Структура и устойчивость конвективных течений в цилиндрических и иных ограниченных областях тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

На правах рукописи

Чернатынский Владимир Иванович

СТРУКТУРА И УСТОЙЧИВОСТЬ КОНВЕКТИВНЫХ ТЕЧЕНИЙ В ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ И ИНЫХ ОГРАНИЧЕННЫХ ОБЛАСТЯХ

01.02.05 - Механика жидкости, газа и плазмы

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Пермь -2005

Работа выполнена на кафедре теоретической физики и компьютерного моделирования Пермского государственного педагогического университета

Официальные оппоненты:

Доктор физико-математических наук, профессор

Дементьев Олег Николаевич

Доктор физико-математических наук, профессор

Русаков Сергей Владимирович

Доктор технических наук, профессор

Цаплин Алексей Иванович

Ведущая организация — Институт механики Московского государственного университета

Защита диссертации состоится «_11_» апреля 2006 г. в 15.15 на заседании диссертационного совета Д 212.189.06 в Пермском государственном университете (614 990, г. Пермь, ГСП, ул. Букирева, 15, факс 3422237-16-11)

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Пермского государственного университета.

Автореферат разослан « ^У » А/Р^С 2006 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д212.189.06 кандидат физико-математических наук, доцент

Г.И. Субботин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Теоретические исследования структуры конвективных течений различного происхождения представляются актуальными с нескольких точек зрения. Во-первых, структура течения является одним из факторов, определяющих распределение температуры, примеси и т.д., т.е. в конечном итоге закономерности тепло и массопереноса через объемы сплошной среды как в стационарных, так и в нестационарных условиях. Во-вторых, эти исследования являются основой возможных технологических решений в материаловедении, в том числе, для разработки космических технологий. В-третьих, изучение структуры различных течений в последнее время все чаще предваряет эксперимент, так что полученные результаты используются в планировании экспериментов, особенно в условиях невесомости. В-четвертых, изучение структурных изменений конвективных потоков при комбинированных воздействиях (специальный нагрев, вибрации, вращение и т.д.) позволяет решать задачи управления конвекцией.

Исследования устойчивости состояний механического равновесия и конвективного движения представляются актуальными прежде всего с позиций развития общей теории гидродинамической устойчивости в направлении выяснения взаимосвязей структуры течения и его стабильности.

Целью работы является изучение конвективных движений, возникающих в ограниченных областях в результате воздействия различных массовых и поверхностных сил и их устойчивости.

В работе исследуются: —влияние слабых нарушений условий механического равновесия на структуру и устойчивость конвекции вблизи критических значений параметров, соответствующих границе существования механического равновесия в замкнутых и ограниченных областях; —структура стационарного конвективного движения в горизонтальном

круговом цилиндре при различных направлениях нагрева; —устойчивость надкритических конвективных движений при подогреве области снизу;

—переходные режимы конвекции, возникающие при различных импульсных воздействиях на жидкость; —колебательные режимы термокапиллярной конвекции в областях,

имеющих осевую симметрию; —колебательные режимы термокапиллярной конвекции в области мениска вблизи холодной стенки; . —влияние твердых элементов, расположенных на свободной поверхности жидкости, на интенсивность и структуру термокапиллярной конвекции;

—влияние высокочастотных поперечных вибраций на естественную и

термокапиллярную конвекцию в плоском слое; —естественная и вибрационная конвекция в зазоре между горизонтальными коаксиальными цилиндрами; —устойчивость механического равновесия и структура надкритических движений жидкого слоя на внутренней поверхности вращающегося кругового цилиндра в невесомости.

Научная новизна работы заключается в том, что в ней впервые: —рассмотрено ветвление решений уравнений конвекции при слабых нарушениях условий механического равновесия. Показано, что если возникающее медленное движение имеет структуру, близкую к критическому возмущению, реализуется несовершенная бифуркация. В случае, когда медленное движение имеет структуру, отличающуюся от структуры критического возмущения, оно становится неустойчивым. Полученные результаты использованы для интерпретации некоторых экспериментов; —изучена структура конвективного движения в круговом горизонтальном цилиндре при различных направлениях нагрева. Установлено, что при всех направлениях нагрева, кроме почти вертикального, при достаточно высоких значениях числа Грасгофа формируется замкнутый конвективный пограничный слой и ядро течения, которое при подогреве сбоку-снизу оказывается изовихревым и изотермическим, а при нагреве сбоку-сверху - неподвижным и устойчиво стратифицированным. Полученная зависимость коэффициента конвекции от угла нагрева сопоставлена с экспериментальными данными; •

—построена конечномерная модель конвекции в ячейке Хеле-Шоу для изучения колебательных режимов течения при подогреве снизу. Результаты исследования сопоставлены с экспериментом; —изучено установление механического равновесия в неравномерно нагретой жидкости после импульсного воздействия массовой силы гравитационного или вибрационного происхождения, а также импульсного нагрева. Получены зависимости времени установления равновесия от определяющих безразмерных критериев подобия. Установлена связь особенностей этих зависимостей и спектра стационарных конвективных движений;

—изучен характер возникновения вихревых термокапиллярных движений в тороидальной кювете и длинной жидкой зоне. Установлено, что возникновение вихревого течения предшествует развитию нестационарных движений типа гидротермальных волн. Результаты исследования сопоставлены с экспериментом; —изучено возникновение колебательных термокапиллярных движений в области мениска около холодной стенки. Установлено, что, как и в случае гидротермальных волн, колебаниям в области мениска предшествует появление вихревой структуры. Проведено качественное сопоставление с экспериментом;

—изучено влияние твердых элементов, периодически расположенных на свободной поверхности, на структуру и интенсивность термокапиллярного движения в плоском слое и жидкой зоне. Установлено, что увеличение числа твердых элементов эффективно уменьшает интенсивность термокапиллярного движения, несмотря на сохранение суммарной площади открытой части поверхности; —изучено совместное действие двух механизмов неустойчивости равновесия неравномерно нагретой жидкости в случае слоя на внутренней поверхности бесконечного кругового цилиндра в невесомости: термокапиллярного и центробежного. Проведены расчеты надкритических режимов течения.

Научная и практическая значимость результатов состоит в том, что они могут быть использованы и, частично, были использованы, для интерпретации известных экспериментальных данных, при составлении предложений, научно-технического обоснования и проектирования экспериментов по изучению конвективных течений в условиях микрогравитации (проект МАКБиБ-Д). Результаты диссертации могут быть использованы в ИМСС УрО РАН, Институте механики МГУ, Институте проблем механики РАН, Пермском государственном университете, Пермском государственном педагогическом университете.

Автор защищает:

• результаты „ аналитического и численного исследования ветвления стационарных решений уравнений естественной, центробежной и вибрационной конвекции и их устойчивости при слабых нарушениях условий механического равновесия неравномерно нагретой жидкости в различных областях;

• результаты численного моделирования двумерной свободной конвекции в горизонтальном круговом цилиндре и слое между горизонтальными коаксиальными цилиндрами;

• результаты численного исследования процесса восстановления равновесного состояния жидкости, нарушенного кратковременным тепловым импульсом;

• результаты исследования импульсного воздействия массовых сил гравитационного и вибрационного происхождения на процесс установления равновесного распределения температуры в замкнутой полости при внезапном повышении температуры одной из границ;

• результаты численного исследования эволюции структуры термокапиллярных течений и возникновение гидротермальных волн в тороидальной кювете и длинной жидкой зоне;

• модель мениска и исследование одного из возможных механизмов возникновения колебаний в области мениска вблизи холодной стенки;

• результаты исследования влияния вибраций на устойчивость механического равновесия в плоских слоях со свободными границами в поле тяжести и в невесомости;

• результаты исследования устойчивости механического равновесия и надкритических режимов течения в жидком слое на внутренней поверхности вращающегося кругового цилиндра в условиях невесомости.

, Достоверность результатов диссертационной работы обеспечивается сравнением аналитических решений уравнений конвекции с данными численного интегрирования уравнений конвекции методом сеток, сравнением численных данных с экспериментальными данными разных авторов, контролем сходимости численных данных с помощью стандартных методов: повышение точности вычислений, использование разных численных методов.

Публикации и апробация работы. Результаты, представленные в диссертации, докладывались на следующих конференциях: I -я (Минск, 1971 г.) и П-я (Пермь, 1975 г.) Всесоюзные конференции по тепловой конвекции, XI Уральской зимней школе физиков-теоретиков (Киров, 1971 г.), VI Всесоюзный семинар по численным методам механики вязкой жидкости, III Всесоюзный семинар по гидромеханике и тепло- и массообмену (Черноголовка, 1984); Гагаринские научные чтения по космонавтике и авиации (Москва, 1986 г.), International Aerospace Congress IAC-94 (August 15-19,1994, Moscow), International Conference, COSPAR (Warsaw, 16-23 July, 2000), IMA conference (Marburg, 10-15 September, 2003), Fluids in Space (Napoly, 8-12 April, 1996), Joint X Europian and VI Russian Simposion On Physical Science in Microgravity, Moscow, 1997, Зимняя школа по механике сплошных сред (XIII - Пермь, 2003), VIII Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике (Пермь, 2001). Большинство результатов перед опубликованием представлялись на заседаниях Пермского гидродинамического семинара имени Г. 3. Гершуни и Е. М. Жуховицкого. Список публикаций по теме диссертации приведен в конце автореферата.

Личный вклад автора.

Работы [2,3,4,9,10,11,12,13,20,21] выполнены автором лично, в работе [1] автору принадлежат основные аналитические результаты и результаты численного моделирования в случае кругового горизонтального цилиндра, в работах [5,6] постановка задачи и теоретические результаты были получены совместно с Д.В.Любимовым, в работах [7,12,13,15,16,17,18,19] В.И.Чернатынскому принадлежат результаты численного моделирования конвективных течений, в работе [8] результаты по влиянию вибраций на надкритические режимы получены совместно с соавторами, в работе [14] автору принадлежат результаты, приведенные в разделе о влиянии нормальных к поверхности вибраций на термокапиллярную неустойчивость плоского слоя со свободной границей. Во всех работах с соавторами В. И. Чернатынский принимал участие в обсуждении и интерпретации результатов.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Введение

Во Введении содержится обзор литературы, краткое содержание диссертации и основные результаты.

Глава 1. Конвекция вблизи критических чисел Релея при слабом нарушении условий механического равновесия

В первой главе рассмотрена проблема структуры и устойчивости конвективных движений в различных областях в случае слабого нарушения условий механического равновесия неравномерно нагретой жидкости, находящейся в полях различных массовых сил, связанного с малым отклонением теплопроводного градиента температуры в жидкости от линии действия напряженности силового поля. Эта проблема тесно связана с экспериментальной задачей по определению критического значения градиента температуры, поскольку в реальных условиях добиться строгого выполнения условий механического равновесия невозможно. Результаты решения ряда задач позволяют сделать общий вывод о том, что возможны две различные ситуации. Если структура течения, вызываемого нарушением равновесия в окрестности критического значения градиента температуры близка к структуре критического возмущения равновесия, имеет место несовершенная бифуркация. При этом устойчивость надкритических решений определяется особенностями спектра критических значений температурного градиента. Если структура течения, вызванного нарушением равновесия, отличается от структуры критического возмущения равновесия, имеет место неустойчивость этого течения, причем, критическое значение градиента температуры оказывается выше, чем в равновесном случае.

В первой из представленных задач рассматривается жидкость в поле тяжести, заполняющая замкнутую полость произвольной формы, на твердой поверхности которой задается распределение температуры, соответствующее в теплопроводном режиме постоянному градиенту температуры в жидкости. Направление градиента соответствует подогреву снизу и составляет малый угол с направлением силы тяжести. В этих условиях определяются структура и устойчивость решений уравнений естественной конвекции в окрестности первого критического значения числа Релея - безразмерного градиента температуры. Стационарные решения строятся методом разложения по амплитуде, которая считается малой в меру малости отклонения градиента температуры от вертикали. В каждом приближении скорость, температура и давление ищутся в виде суперпозиций решений задачи о малых нормальных возмущениях равновесия, которые образуют полный ортонормированный базис. Рассмотрение окрестности критического значения числа Релея приводит к необходимости третьего приближения, так что амплитудное уравнение оказывается кубическим. Исследование устойчивости полученных решений проведено методом малых нормальных возмущений. Оказалось, что, если первое критическое значение числа Релея не вырождено, кроме основного решения, связанного с нарушением условий равновесия, в надкритической

Рис. 1. Корни амплитудного уравнения в зависимости от числа Релея при слабом боковом нагреве.

+ Ч'ех,

области устойчивым оказывается решение, которое описывает «неправильное» движение, отличающееся от основного направлением циркуляции. Аналогичные результаты были ранее получены в теории изгиба нагруженных стержней и пластин, а также в теории намагничивания ферромагнетиков в магнитном поле в окрестности точки Кюри. В теории ветвления решений нелинейных дифференциальных уравнений этот результат рассматривается как ситуация общего положения и носит название несовершенной бифуркации.

График корней амплитудного уравнения представлен на Рис.1. Сплошные кривые 1, 3 изображают устойчивые решения, штриховая кривая 2 - неустойчивое решение.

На Рис. 2 представлены результаты численного интегрирования системы уравнений тепломассо-переноса в приближении Буссинеска методом конечных разностей для случая бесконечного горизонтального цилиндра круглого сечения (двумерная задача) при почти вертикальном подогреве в виде зависимости экстремальных значений функции тока от числа Релея. Разные кривые соответствуют различным углам наклона нагрева по отношению к вертикали, причем, кривые 2,3,4 соответствуют правильному движению, а кривые 2\3\4' - неправильному. Как видно, численные результаты соответствуют несовершенной бифуркации.

В случае, когда полость имеет вертикальную ось симметрии, например, шаровая полость, первое критическое значение числа Релея в

• - - ¿'¿Б'

-е

Рис.2. Зависимость экстремального значения функции тока от числа Релея для нескольких направлений подогрева, обозначенных на рисунке

задаче об устойчивости равновесия двукратно вырождено и в спектре нормальных возмущений существует нейтральная мода, связанная с преобразованием симметрии - поворотом вокруг вертикальной оси. Нарушение симметрии задачи - отклонение нагрева от вертикали не изменяет картину бифуркации, однако, меняется результат исследования устойчивости решений.

Оказывается, что нейтральная мода приобретает отличный от нуля инкремент и приводит к неустойчивости неправильного движения (кривая 2 на Рис.1). Приведенные результаты качественно согласуются с экспериментальными данными по конвекции в кубической полости при почти вертикальном нагреве вблизи критического значения числа Релея.

Решение задачи о конвекции жидкости в узкой вертикальной щели при нестрого вертикальном нагреве показало, что плоскопараллельное решение существует как при меньших, так и при больших, чем критическое, значениях числа Релея. Решение в надкритической области описывает течение с инвертированным профилем скорости, т.е. течение в котором жидкость опускается у более нагретой пластины. Построенная теория позволила объяснить результаты экспериментов по исследованию конвективного движения в узкой вертикальной щели, подогреваемой снизу, в которых усиление подогрева приводило к инверсии профиля скорости, случайными отклонениями подогрева от вертикали.

Следующая задача связана с результатами экспериментального исследования естественной конвекции в тонком зазоре между горизонтальными коаксиальными цилиндрами в случае более нагретого внутреннего цилиндра. В опытах было обнаружено, что с увеличением разности температур между цилиндрами течение становилось нестационарным. Переход к нестационарным режимам конвекции предварялся изменением структуры конвективного движения - появлением ячеек в верхней приполюсной области. Это структурное превращение качественно объяснялось неустойчивостью основного серповидного течения; характер перехода к ячеистому течению не был исследован.

Возникновение ячеек как следствие потери устойчивости основного течения с увеличением разности температур доказано с помощью аналитического исследования задачи в следующей постановке. Предполагалось, что границы слоя свободны, а толщина слоя гораздо меньше радиусов цилиндров, так что их отношение является малым параметром. В нулевом порядке по этому параметру приполюсная область представляется плоским релеев-ским слоем, механическое равновесие которого становится неустойчивым с увеличением числа Релея. В первом порядке равновесие сменяется медленным движением, которое наследует неустойчивость равновесия, причем критическое число Релея повышается.

Детальные сведения о характере возникновения ячеистой структуры течения в зазоре между горизонтальными коаксиальными цилиндрами, для нескольких значений его толщины, были получены при помощи численного интегрирования системы уравнений тепломассопереноса в цилиндрических координатах. Течение предполагалось двумерным, что подтверждается экспериментальными данными, по крайней мере, для стационарных движений. Использовалась также симметрия стационарных решений относительно преобразования зеркального отражения в вертикальной плоскости, содержащей ось системы. Численные решения получались методом установления по неявной конечно-разностной схеме продольно-поперечной прогонки. Для того,

xs

It

//

Рис.3. Зависимость числа Нуссельта N, нормированного теплового потока через внешний цилиндр, от числа Грасгофа Gi, определенного по толщине слоя, (а - серповидное движение, I - решение с двумя ячейками, II — устойчивое решение с тремя ячейками, III — неустойчивое решение с тремя ячейками, в которых направление циркуляции противоположно решению II).

чтобы разрешить ячейки, использовались сетки с переменным шагом по угловой координате, при которых на ячейку приходилось не менее 10 шагов. Расчеты были проведены при числе Прандтля Р=1 для нескольких значений толщины слоя от 0.08 до 0.4 (радиус внешнего цилиндра полагался равным единице) в широком диапазоне значений числа Релея. Было выяснено, что в тонких слоях существует несколько ячеистых решений, которые различным образом ответвляются от основного серповидного решения. Так в зазоре, толщина которого равна 0.1 (Рис.3), были получены решения с двумя и шестью ячейками в верхней приполюсной зоне. Зависимости характеристик интенсивности движения: экстремального значения функции тока и конвективный тепловой поток от числа Релея показали, что решение с двумя ячейками ответвляется от основного серповидного движения «мягко», а решение с шестью ячейками - «жестко». При увеличении толщины зазора решение с шестью ячейками получить не удавалось, а решение с двумя ячейками меняло характер возбуждения - оно начинало возбуждаться «жестко». Эти результаты позволяют построить сценарий перехода к плоскому релеевскому слою по мере уменьшения толщины зазора, т.е. уменьшения кривизны слоя. При уменьшении толщины зазора меняется характер ветвления решений с большим количеством ячеек в верхней приполюсной области: вместо «жесткого» ветвление становится «мягким». Критическое число Релея, соответствующее возникновению конвекции в плоском слое, оказывается пределом последовательности критических чисел Релея для «мягко» ветвящихся многоячеистых решений.

Особый интерес представляют задачи, в которых в зависимости от значений одного или нескольких определяющих параметров может иметь место несовершенная бифуркация или наблюдаться неустойчивость движения, связанного с нарушением условий механического равновесия. К таким относится задача о конвекции в зазоре между горизонтальными коаксиальными цилиндрами, которые совершают высокочастотные вибрации в направлении, перпендикулярном оси системы в невесомости. Температура внутреннего цилиндра выше, чем .температура внешнего цилиндра. Течение предполагалось двумерным. Система уравнений тепломассопереноса для осредненных полей функции тока и температуры в приближении Зеньковской интегриро-

вались численно методом сеток по двухслойной конечно-разностной схеме продольно-поперечной прогонки. При интегрировании учитывалось, что стационарные решения должны обладать симметрией по отношению к операции отражения в плоскости, перпендикулярной к оси вибраций и проходящей через диаметры цилиндров, поскольку эта ось двусторонняя. Области течения, примыкающие к этой плоскости, будем называть «экваториальными». Области течения, примыкающие к плоскости вибраций, будем называть «приполюсными». Расчеты проводились при фиксированном значении числа Прандтля Р—1 для различных значений толщины зазора и числа Грасгофа. Оказалось, что в тонких зазорах при малых значениях числа Грасгофа устанавливается течение, имеющее «двухэтажную» структуру по радиальной координате, симметричное по отношению к отражению в плоскости вибраций, проходящей через ось системы. Увеличение числа Грасгофа приводило к установлению ячеистого решения, причем ячейки сосредотачивались в экваториальных областях. В приполюсных областях формировались застойные зоны. Ячеистое течение могло быть как симметричным, так и антисимметричным относительно плоскости щимся противоположным направле-вибраций. Исследование зависимости нием циркуляции жидкости в ячей-интегральных характеристик течения от числа Грасгофа показало, что ячеистые решения «мягко» ответвляются от решения, которое возникает при малых значениях числа Грасгофа (Рис.4).

С увеличением толщины зазора ситуация меняется. Появляется решение, которое непрерывно эволюционирует при увеличении числа Грасгофа (Рис.5, кривая I). Его интенсивность достаточно быстро меняется в некотором диапазоне значений этого параметра. Наряду с этим решением существует еще три решения, которые не продолжаются в область малых значений числа Грасгофа и возбуждаются «жестко» (Рис.5, кривые И, III, практически совпадающие друг с другом) Среди них есть одно симметричное и два несимметричных решения относительно диаметральной плоскости, параллельной направлению вибраций. Объяснить полученные результаты можно с позиций нарушения условий механического равновесия. Как показали исследования, состояние механического равновесия возможно только в бесконечном плоском слое при определенном направлении вибраций по отношению к направлению градиента температуры. Если вибрации происходят вдоль направления градиента температуры (в случае плоского слоя - перпенди-

Рис.4. Зависимость экстремальных значений функции тока от вибрационного числа Грасгофа. Отношение толщины слоя к внешнему радиусу -0.1. Кривые I и II соответствуют решениям, симметричным относительно плоскости вибраций и отличаю-

кулярно ограничивающим его плоскостям), механическое равновесие оказывается абсолютно устойчивым. Если вибрации происходят в направлении перпендикулярном градиенту температуры (вдоль ограничивающих плоскостей), механическое равновесие возможно, однако, оно оказывается устойчивым лишь до некоторого, критического, значения разности температур. В замкнутых областях, а также в случае, когда направление вибраций не совпадает с направлениями, указанными выше, механическое равновесие оказывается невозможным. Основываясь на этих результатах можно сказать, что в экваториальных областях градиент температуры почти перпендикулярен направлению вибраций, так что имеет место нарушение механического равновесия, и, в зависимости от структуры возникающего при этом движения, мы наблюдаем либо его неустойчивость (тонкие слои), либо несовершенную бифуркацию (широкие зазоры). Объяснение существования симметричных и несимметричных режимов течения основано на том, что в приполюсных областях градиент температуры почти параллелен направлению вибраций. Это приводит к формированию застойных областей, которые разделяют экваториальные области, делая их гидродинамически независимыми. Таким образом, в каждой экваториальной области может быть два разных режима течения, которые произвольно комбинируются при исследовании конвекции во всем слое.

В конце первой главы представлена задача, в которой нарушение условий равновесия не приводит к заметному изменению критического числа Ре-лея, но обусловливает тонкую структуру надкритического движения. Постановку этой задачи подсказали результаты экспериментального исследования центробежной конвекции в зазоре между коаксиальными круговыми цилиндрами, вращающимися с одинаковой угловой скоростью вокруг вертикальной оси. Угловая скорость вращения была достаточно велика, чтобы в системе отсчета, связанной с цилиндрами, центробежной ускорение было гораздо больше ускорения силы тяжести. Внешний цилиндр поддерживался при более высокой температуре, так что в жидкости создавался температурный градиент, направленный вдоль центробежной силы. Определялось критическое значение числа Релея, при котором начиналось конвективное движение в форме валов, ориентированных вдоль оси вращения. Для тонкого слоя это значение оказалось близким к критическому значению числа Релея задачи об устойчивости равновесия плоского слоя жидкости с твердыми границами в

Рис.5. Зависимость экстремальных значений функции тока от вибрационного числа Грасгофа. Отношение толщины слоя к внешнему радиусу - 0.5.

поле тяжести. Однако, в отличие от плоского слоя валы с разным направлением циркуляции оказались смещены к разным границам слоя.

Для объяснения этого эффекта была решена задача о центробежно-гравитационной конвекции в описанной выше конфигурации методом разложения по малому параметру - отношению гравитационной и центробежной подъемных сил. Оказалось, что в первом приближении'по указанному параметру критическое число Релея не меняется. Надкритическое движение представляет собой линейную комбинацию валов и течения, имеющего азимутальную составляющую скорости, которая возникает в результате действия кориолисовых сил на течение вблизи ограничивающих слой торцевых поверхностей. Это азимутальное движение и приводит к смещению валов с различным направлением циркуляции к противоположным границам жидкого слоя. ' '

Глава 2. Конвективные движения в цилиндрических областях

Во второй главе представлены результаты исследования структуры движения и зависимости интегральных характеристик от определяющих параметров при свободной конвекции в горизонтальном цилиндре кругового сечения и в зазоре между горизонтальными коаксиальными цилиндрами в случае, когда толщина зазора сравнима с радиусом внешнего цилиндра.

Постановка задачи о конвекции в круговом горизонтальном цилиндре была следующей. Предполагалось, что жидкость заполняет объем в массиве, теплопроводность которого гораздо больше теплопроводности жидкости, так что на твердых границах полости задано распределение температуры такое, что теплопроводное распределение температуры в жидкости соответствовало постоянному градиенту, направленному под произвольным углом к вертикали. Движение жидкости предполагалось двумерным. Решение системы уравнений тепломассопереноса в цилиндрических координатах проводилось методом сеток. Были применены явные трехслойная и двухслойная конечно -разностные схемы, поскольку значения искомых величин для центральной точки получались в процессе решения по специальным явным формулам, полученным в работе из требований ограниченности компонент скорости, градиента температуры и завихренности в этой точке.

В случае подогрева снизу было определено критическое значение числа Релея. Оно «сказалось в хорошем согласии с результатом, полученным методом Галеркина другими авторами. С увеличением надкритичности в области формируется пограничный слой и почти изотермическое ядро течения. При дальнейшем увеличении надкритичности переходной процесс приводит к конвективным колебаниям. Граница возникновения колебаний резко понижается с ростом числа Прандтля.

Поскольку экспериментально реализуемые для кругового цилиндра значения числа Релея соответствовали большим значениям надкритичности, была предложена постановка задачи о конвекции при подогреве снизу, которая допускала экспериментальную реализацию и использование для ее решения простой конечномерной модели. Это задача об исследовании конвективных режимов в объеме, имеющем форму параллелепипеда, один из

Рис.6. Структура конвекции в разных фазах колебательного движения в ячейке Хеле-Шоу при подогреве снизу. (численный расчет и эксперимент)

горизонтальных размеров которого гораздо меньше других его размеров (ячейка Хеле-Шоу). Широкие вертикальные грани параллелепипеда считались теплоизолированными. Диссипация энергии на узких гранях считалась несущественной. Исследование системы уравнений для амплитуд наиболее существенных мод показало, что в первой критической точке от равновесия ответвляется одновихревое решение, которое затем становится колебательно неустойчивым относительно инверсионно симметричных возмущений. Численное интегрирование этих уравнений в надкритической области значений числа Релея позволило определить структуру колебательного движения и сопоставить ее с результатами, полученными методом сеток для кругового цилиндра с одной стороны и экспериментальными данными с другой стороны. Оказалось, что все данные находятся в хорошем согласии (Рис.6).

В случае нагрева строго сбоку при малых числах Грасгофа было установлено, что интегральные характеристики конвекции, полученные численно, хорошо соответствуют известным аналитическим результатам. При. увеличении числа Грасгофа в области формировался замкнутый пограничный слой и застойное ядро течения с постоянным вертикальным градиентом температуры, направленным вверх с величиной слабо зависящей от числа Прандтля. Расчеты, проведенные для значений параметров, близких к экспериментальным, показали, что картина течения и распределение локального теплового потока вдоль границы области хорошо соответствуют данным опыта.

Расчеты, проведенные при различных направлениях нагрева, позволили проследить за изменением структуры течения при переходе от подогрева снизу к нагреву сверху. Карты линий тока и изотерм показали, что почти

Рис.7. Распределение нормированного локального теплового потока вдоль границы области в случае нагрева сбоку (о - численный расчет; V - эксперимент )

с

05

а* и й£

V- Зксперимент расчет

&

У.

¥

Рис.8. Коэффициент конвекции в зависимости от угла нагрева для конвекции в горизонтальном круговом цилиндре (о - численный расчет; V - эксперимент )

изотермическое ядро течения сохраняется до больших отклонений подогрева от вертикали. Переход к изоградиентному ядру происходит в небольшом интервале направлений нагрева, близких к нагреву сбоку, но не имеет критического характера. Зависимости интегральных характеристик течения от направления нагрева при фиксированных значениях числа Грасгофа показали, что наибольшая интенсивность достигается при комбинированном нагреве сбоку - снизу. Коэффициент конвекции, как функция угла наклона нагрева к вертикали находится в согласии с данными эксперимента.

Исследование конвекции в зазоре между горизонтальными коаксиальными цилиндрами в случае нагрева внутреннего цилиндра, проводилось методом конечных разностей с помощью неявной схемы продольно-поперечной прогонки. Толщина зазора выбиралась таким образом, чтобы явления неустойчивости, связанные с нарушением условий механического равновесия, не реализовались. Расчеты показали, что с увеличением числа Грасгофа в области формируется конвективный факел над внутренним цилиндром и застойная область под ним. Оказалось, что конвективный теплоперенос в режиме существования факела практически не зависит от числа Прандтля, что соответствует экспериментальным данным по определению коэффициента конвекции.

Глава 3. Импульсные воздействия на неоднородно нагретую жидкость

В данной главе рассмотрены три задачи нестационарной конвекции в замкнутой полости. Во всех задачах нестационарность конвекции связана с тем, что тепловое или силовое воздействие на жидкость считается ограниченным по времени. Постановка таких задач была вызвана необходимостью планирования эксперимента в условиях пониженной гравитации. Интегрирование уравнений нестационарного тепломассопереноса проводилось методом сеток по неявной схеме переменных направлений. Основными результатами решения являются времена релаксации к механическому равновесию как функции параметров задачи.

Первая из представленных задач — задача о плоской нестационарной конвекции в прямоугольной вытянутой по горизонтали полости, которая возбуждается включением на ограниченное время однородного теплового потока через вертикальные боковые стенки, направленного внутрь полости. По-

0.60

0.40-

сле окончания действия теплового импульса конвективное движение .затухает. Исследовалась структура переходного процесса и его характеристики. Расчеты были проведены при фиксированных значениях числа Прандтля Р=1 и отношения сторон, равного двум. Основной чертой всех рассмотренных режимов оказалось формирование прогретой области около верхней горизонтальной границы, размывание которой после окончания действия импульса и определяет характерные времена установления равновесия. За время, равное примерно времени действия теплового импульса х, величина максимального температурного градиента уменьшается на порядок; за время на порядок большее времени действия импульса формируется асимптотический режим остывания. Максимальная температура в области при этом убывает по экпо-ненциальному закону, для параметров которого предложены критериальные зависимости.

Тт = 3400°-5т0*25е-'"а(С > 105,т < 0.1,/0 = 0.082)

Вторая задача посвящена изучению воздействия конвективного импульса, вызванного кратковременным действием силы тяжести, на процесс и

характерные - времена установления в жидкости постоянного температурного градиента.^ В качестве модели рассматривалась квадратная область с твердыми стенками. Вертикальные границы полагались теплоизолированными. На нижней горизонтальной границе в начальный момент времени задавалось постоянное значение температуры. Температура верхней границы принималась за начало отсчета. В течение нестационарного теплопроводного процесса включался одиночный гравитационный импульс с ускорением силы тяжести, направленным к нагретой "границе. Если крити-. . ческие условия для возникно-

вения конвективной неустойчивости превышены, возникает движение жидкости, искажающее распределение температуры. По этой причине время установления окончательного равновесного состояния в переходной фазе, следующей за импульсом, может существенно измениться. При решении задачи конвективное движение предполагалось двумерным. Достижение равновесного состояния фиксировалось по отклонению теплового потока от его теплопроводного значения, которое не должно было превышать 5%. Расчеты

0.20-

о.оо

Р-0.5 -■ 1.0 - » 5.0 - •

2.00

4.00

6.00

8.00

Рис.9. Зависимость времени установления механического равновесия после действия гравитационного импульса от числа Релея для различных значений числа Прандтля (время действия импульса - ДС>0.135).

проводились при различных значениях чисел Релея и Прандтля, различных значениях момента начала действия, длительности и формы импульса. В результате было установлено, что структура течения, возникающего в переходной области, зависит от структуры стационарных конвективных движений, которые наблюдались при соответствующих значениях определяющих параметров. Для времени установления равновесного состояния получены зависимости от чисел Релея и Прандтля. Рассмотрение импульсов разной формы (прямоугольный, треугольный, синусоидальный), амплитуда которых определялась из условия одинаковости гравитационной дозы, показало, что время установления слабо зависит от формы импульса. В случае коротких импульсов время установления определяется моментом, когда импульс начинает убывать. Для этой зависимости предложена асимптотическая формула.

В третьей задаче рассматривается процесс установления стационарного ? состояния жидкости (если

. ^ таковое существует), в облас-

ти квадратного сечения от момента включения на границах области разности температур при наличии вибраций. Направление вибраций предполагалось перпендикулярным направлению подогрева. Стенки области, перпендикулярные направлению вибраций считались теплоизолированными. Стационарное состояние считалось достигнутым, если отклонения интегральных характеристик составляли не более 5% от предельных установившихся значений. Расчеты были проведены для различных значений числа Прандтля в широком диапазоне значений вибрационного числа Релея. Как и в предыдущей задаче особенности зависимости времени перехода от числа Релея можно объяснить на основе данных о спектре возможных стационарных и квазистационарных режимов вибрационной конвекции. Так, например, наличие максимума на кривой указанной зависимости при числе Прандтля Р=1 (Рис.10), связано с областью существования одновихревого режима течения. Изменение спектра стационарных решений при увеличении числа Прандтля нашло свое отражение в зависимости времени перехода от числа Релея в виде второго максимума. Обработка численных результатов позволила предложить асимптотические зависимости времени перехода.

1.6-

1.2-

0.8-

0.4-

^ю-з

50

100

150

200

250

Рис.10. Время установления стационарной термовибрационной конвекции как функция вибрационного числа Релея (Р=1)

Глава 4. Некоторые задачи термокапиллярной конвекции

В четвертой главе проведено численное исследование осесймметрич-ных термокапиллярных течений и термокапиллярного течения в области мениска в результате которых было выяснено, что переход к колебательным режимам течения с возможной потерей осевой симметрии связан с эволюционной перестройкой структуры термокапиллярной конвекции, в результате которой течение приобретает ячеистую структуру. ,

Первая задача об осесимметричном течении посвящена изучению структуры термокапиллярной конвекции жидкости, заполняющей тороидальную кювету прямоугольного сечения. Внутренняя поверхность тороида полагалась изотермической, на свободной поверхности жидкости и внешней стенке задавались условия теплоотдачи по закону Ньютона. Исследование было проведено методом конечных разностей. Было. установлено, что при увеличении числа Марангони вблизи нагревателя формируется тороидальный вихрь, интенсивность которого растет. Затем структура течения усложняется: последовательно образуются вихри вблизи границы встречных потоков, локализо-

20 н

ДТ/К

10-

о

Т

•

о о

6й

V

а •

о т

▼

V •

О

□ □

о □

о о

о

о □

▼

во 62 $5

<1(тт)

I

4

Ш

Рис.11. Карта вихревых режимов термокапиллярной конвекции в тороидальной кювете на плоскости: разность температур вдоль свободной поверхности (К) —толщина слоя (мм).Звездочкой отмечены столбцы экспериментальных данных.

ванные ниже по течению и имеющие . одинаковое направление циркуляции. В результате устанавливается течение, состоящее из двух пограничных слоев, взаимодействующих друг с другом через систему вихрей. Образовавшаяся система вихрей

не является стационарной. Интенсивность вихрей меняется периодически с небольшой амплитудой около среднего значения. Эти колебания можно объяснить взаимодействием соседних вихрей, которые «мешают» друг другу. Такая эволюция течения наблюдалась в слоях различной толщины, однако, количество вихрей зависело от толщины слоя. На Рис.11 представлена карта вихревых режимов на плоскости перепад температур на свободной поверхности (К)- толщина слоя (мм). Там же представлены данные экспериментальных наблюдений (0.8с11\уаЬе), которые находятся в удовлетворительном согласии с теорией. '

-0.65 -1

-0.70

-0.75 .

209

210

21 1

—I— 212

213

Вторая задача об осесимметричном течении посвящена изучению режимов термокапиллярной конвекции в длинной жидкой зоне в условиях невесомости. Торцевые границы зоны полагались твердыми и изотермическими. На свободной поверхности считалось, что теплоотдача отсутствует. В отличие от других работ по конвекции в жидкой зоне безразмерная длина зоны полагалась равной 5. Теоретическое исследование этой задачи было инициировано подготовкой эксперимента по проекту МАК8118-4, в котором предполагалось обнаружение гидротермальных волн. Расчеты были проведены при значении числа Прандтля Р=30. Результаты расчетов показали, что с возрастанием числа Марангони до некоторого критического значения в зоне формируется стационарное многовихревое течение. Если число Марангони превышает критическое значение, возникает колебательный режим течения, в котором вихревые структуры дрейфуют в направлении противоположном направлению движения жидкости на поверхности. По результатам расчетов для конкретной жидкости-этанола,- и конкретных размеров зоны бала определена критическая разность температур, при которой должны были начинаться волновые движения, были проанализированы локальные характеристики,

чтобы правильно выбрать местоположение датчиков, проведена оценка характерных времен установления. Последние данные были существенными, т.к. эксперимент был запланирован для реализации на борту самолета, движущегося по баллистической траектории. В настоящее время ведется обработка экспериментальных данных, однако, можно сказать, что волновые режимы течения действительно существуют.

Третья задача термокапиллярной конвекции, в которой колебательный режим течения возникает после формирования вихревой структуры, также связана с экспериментом по термокапиллярной конвекции в кубической полости, стенки которой смачиваются рабочей жидкостью. В мениске вблизи холодной стенки формируется течение, похожее на систему встречных потоков, так что по мере роста интенсивности конвекции вблизи линии их разделяющей появляется маленький вихрь, который предшествует колебательным режимам, в частности, возникают колебания свободной поверхности. Для численного исследования термокапиллярной конвекции в области мениска была использована оригинальная модель: область треугольного сечения, одна из сторон которой представляет свободную поверхность жидкости. На двух других твердых сторонах задавалось распределение температуры, при кото-

Рис. 12. Фазы колебательной термокапиллярной конвекции в длинной жидкой зоне.

ром вдоль свободной поверхности возникала соответствующая разность

температур. Расчеты проводились при числе Прандтля Р=15, что соответствовало рабочей жидкости - этанолу. Было установлено, что с ростом числа Марангони в области вблизи границы встречных потоков действительно эволюционным образом появляется вихревая структура, а затем от стационарного решения ответвляются колебательные режимы. Температурный интервал, в котором эти колебания существуют, оказался близким к тому, что был установ-

(модель Области мениска Вблизи холодной. . лен экспериментально. Исследо-стенки) вания зависимости возникновения

и частоты колебаний от «угла смачивания показали, что с уменьшением угла смачивания переход к ячеистой структуре и возникновение колебательных режимов происходит при больших значениях числа Марангони. При увеличении надкритичности амплитуда колебаний растет и на некоторых стадиях процесса имеет место отрыв пограничного слоя от свободной поверхности. Это обстоятельство может быть причиной возникновения колебаний свободной поверхности в эксперименте.

Глава 5. Конвективные движения при комбинированных воздействиях

В пятой главе собраны задачи, в которых оказывается существенным взаимное влияние различных механизмов конвекции.

В первой задаче на основе обобщенной модели Лоренца рассмотрено влияние высокочастотных вибраций на надкритическую естественную конвекцию в плоском слое. Как уже отмечалось выше, в случае, когда вибрации происходят вдоль градиента температуры в плоском слое возможно механическое равновесие и оно абсолютно устойчиво. При о 4 в 1в наличии силы тяжести от равновесия от-

Рис. 14. Карта конвективных режи- ветвляются стационарные режимы, хамов на плоскости: вибрационный рактер и устойчивость которых опреде-параметр - число Релея (0 - ляются при наличии вибраций двумя па-

механическое равновесие; 1 - раметрами: числом Релея г и вибрацион-

стационарная конвекция; 2-неста- ным параметр0м Б. Аналитическое ис-

ционарная конвекция) /г, .

^ ' следование (Рис.14) показало, что на

Рис.13. Фазы колебательной термокапиллярной конвекции в треугольной области

плоскости указанных параметров можно выделить область, примыкающую к оси чисел Релея, в которой существуют устойчивые и неустойчивые стационарные решения. Вне этой области никаких других решений, кроме тривиального, описывающего механическое равновесие, не существует. Этот результат можно интерпретировать как подавление естественной конвекции с помощью вибраций.

Вторая задача посвящена исследованию влияния высокочастотных вибраций на термокапиллярную неустойчивость плоского слоя жидкости со свободной границей в случае нагрева твердой границы. Направление вибраций полагается перпендикулярным к свободной поверхности. В этом случае возможно механическое равновесие, которое становится абсолютно устойчивым (эффект подавления движений вибрационным воздействием) при увеличении вибрационного параметра. На Рис.15 изображена карта устойчивости механического равновесия на плоскости вибрационный параметр - число Ма-рангони для нескольких значений числа Био, определяющего теплоотдачу со свободной поверхности. Кривые 1,2,3 соответствуют В1=1,0.5,0.1. Штриховая кривая 4 соответствует В1=0. Область устойчивости расположена выше каждой из обозначенных кривых. Эти результаты получены в предположении, что нормальная к свободной поверхности компонента скорости обращается в нуль. Кривая 5 получена Д.В.Любимовым и др. для условия обращения в нуль давления на свободной поверхности. Как видно, эффект подавления конвекции не зависит

от граничных условий на свободной поверхности, хотя критические значения вибрационного параметра повышаются для второго варианта граничных условий.

В следующей задаче рассматривается термокапиллярная конвекция в условиях, когда свободная поверхность контактирует частично с твердыми элементами различных конструкций. В качестве модели таких контактов рассматривается система твердых элементов, образующих одномерную периодическую структуру (решетку) на свободных поверхностях бесконечного слоя жидкости. Чтобы выяснить механическое влияние твердых элементов считается, что на свободных участках границы

Рис.15. Карта устойчивости механического равновесия плоского слоя, подогреваемого снизу в невесомости, для нескольких значений числа Био на свободной поверхности.

я ,=гооо.уг*о.25

В»т9000.1/1т0.75

Рис.16. Структура термокапиллярной конвекции в плоском слое, на свободных поверхностях которого расположена решетка (период решетки сравним с полутолщиной слоя)

поддерживается постоянный градиент температуры, так что перераспределение температуры в жидкости не влияет на структуру термокапиллярного течения и по этой причине не рассматривается. В этих предположениях течение считается двумерным, периодическим вдоль слоя и симметричным относительно центральной плоскости. Исследования показали, что при заданном значении числа Марангони-Рейнольдса структура течения определяется двумя геометрическими параметрами: отношением периода решетки к полутолщине слоя и доли закрытой части. Если период решетки меньше или порядка полуширины слоя течение оказывается проточным для всех значений доли закрытой части поверхности (см Рис.16). С увеличением числа Марангони -Рейнольдса на границе встречных потоков возникают вихри. Если период решетки больше учетверенной полутолщины слоя, течение представляет собой систему вихрей, имеющих одинаковое направление циркуляции и разделенных застойными областями. Интенсивность вихрей монотонно возрастает с увеличением числа Марангони - Рейнольдса (Рис.17). Когда период решетки оказывается сравним с толщиной слоя, структура течения определяется долей закрытой части периода. Течение оказывается проточным при малых долях закрытой части, при больших - ячеистым. При увеличении числа Марангони ячеистое решение становится колебательным. В приближении «ползущего» течения построено аналитическое решение, из которого следует, что интенсивность термокапиллярной конвекции стремится к нулю по мере уменьшения периода решетки, даже если отношение размеров открытой и закрытой областей поверхности

I !

д—хооо.г/1жО-*з

Рис. 18. Структура термокапиллярного течения в жидкой зоне при наличии твердых колец на свободной поверхности (справа на рисунке свободная поверхность, слева-ось симметрии зоны).

Рис.17. Структура термокапиллярного течения в плоском слое когда период решетки больше удвоенного значения толщины слоя.

остается фиксированным.

Следующая задача посвящена проблеме управления интенсивностью и структурой термокапиллярной конвекции в жидком мостике с помощью расположения на свободной поверхности системы твердых колец. Показано, что структура конвективного движения при достаточно частом расположении тонких колец становится такой же, как в их отсут-

ствие, а интенсивность течения резко убывает, так что течение становится «ползущим» даже при больших значениях числа Марангони (Рис.18).

400

Последний параграф содержит постановку задачи и основные результаты исследования устойчивости механического равновесия и надкритических режимов конвекции в слое жидкости, расположенном на внутренней поверхности вращающегося кругового цилиндра в условиях невесомости. Показано, что совместное действие сил поверхностного натяжения и центробежных сил инерции понижает устойчивость относительно возмущений в форме рулонов, вытянутых вдоль оси вращения, в слоях различной толщины. В достаточно тонких слоях истинным критерием подобия оказывается сумма чисел Релея и Марангони. В надкритической области имеет место неединственность решений: устойчиво существуют решения с разным количеством ячеек в сечении, перпендикулярном оси. Новый критерий оказывается применим и в надкритической области.

600

1200

Рис.18. Зависимость квадрата максимального значения функции тока для надкритических режимов смешанной конвекции от суммы центробежного числа Релея и числа Марангони.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Рассмотрена структура конвективного движения в окрестности первого критического значения числа Релея при малом отклонении градиента температуры от вертикали. Показано, что в случае замкнутой полости движение имеет структуру первого критического возмущения с амплитудой, которая как функция параметров определяется решением кубического уравнения (несовершенная бифуркация). В случае ограниченных областей характер движения может быть иным.

2. Проведено исследование устойчивости конвективного движения в окрестности первого критического значения числа Релея. Показано, что в случае замкнутой полости при отсутствии вырождения первого критического числа Релея устойчивыми оказываются движения, структура которых близка к первому критическому возмущению с противоположным направлением циркуляции. Результаты, полученные аналитически, подтверждаются в численном эксперимента по конвекции в круговом горизонтальном цилиндре при почти вертикальном подогреве.

3. Показано, что в случае двукратного вырождения первого критического числа Релея, например, когда имеется вертикальная ось симметрии, устойчивым является лишь одно движение, которое генерируется нарушением равновесия. Аналитические результаты находятся в качественном согласии с данными эксперимента по конвекции в кубической полости вблизи критического значения числа Релея.

4. Показано, что в узкой вертикальной щели при почти вертикальном градиенте температуры превышение первого критического числа Релея приводит к инверсии профиля скорости. Этот результат позволил объяснить некоторые экспериментальные данные по конвекции в соответствующей области.

5. Исследованы стационарные конвективные движения в зазоре между горизонтальными коаксиальными изотермическими цилиндрами в случае более нагретого внутреннего цилиндра. Прослежены закономерности появления ячеистых течений в верхней приполюсной зоне в зависимости от толщины слоя. Показано, что в достаточно тонких слоях движения с разным количеством ячеек являются результатом неустойчивости основного серповидного движения и могут возбуждаться как мягко, так и жестко. Построен сценарий предельного перехода к плоскому релеевскому слою при уменьшении относительной толщины цилиндрического слоя.

6. Общие результаты по ветвлению решений уравнений конвекции и их устойчивости, описанные выше, используются для интерпретации данных численного эксперимента по вибрационной конвекции в цилиндрическом слое. Расчеты показали, что с ростом вибрационного числа Грасгофа в слое устанавливается ячеистое движение, которое в зависимости от толщины слоя является результатом неустойчивости основного течения или результатом непрерывного развития основного течения (несовершенная бифуркация).

7. Показано, что экспериментально обнаруженная структура надкритической конвекции в цилиндрическом слое, вращающемся с большой угловой скоростью вокруг вертикальной оси, является результатом неустойчивости медленного движения, которое генерируется полем тяжести.

8. Изучена структура стационарных конвективных движений в горизонтальном круговом цилиндре при различных направлениях нагрева. Показано, что с ростом числа Грасгофа при всех направлениях нагрева, кроме близких к подогреву снизу, в области формируется замкнутый конвективный пограничный слой и ядро течения, которое при увеличении угла нагрева эволюционирует от изотермического, имеющего почти однородную завихренность, к изоградиентному застойному ядру. Зависимость коэффициента конвекции от. угла нагрева находится в удовлетворительном согласии с данными эксперимента.

9. Изучена эволюция структуры стационарного движения в толстом слое между горизонтальными коаксиальными цилиндрами в поле тяжести. Показано, что в верхней приполюсной зоне формируется конвективный факел. Расчеты показали что, как и в эксперименте, коэффициент конвекции практически не зависит от числа Прандтля.

Ю.Исследованы переходные режимы к состоянию механического равновесия в прямоугольной области, через боковые границы которой за небольшой промежуток времени жидкости передается фиксированное

количество теплоты (тепловой импульс). Прослежены структуры течения и распределения температуры на разных этапах процесса. Основное внимание уделено зависимости интегральных характеристик от параметров задачи. Найдено, что время установления равновесия определяется временем затухания самой крупномасштабной температурной моды.

11 .Исследованы режимы установления теплопроводного распределения температуры в квадратной области в случае, когда на определенном этапе установления на некоторое время включается массовая сила, что может привести к возникновению конвекции (конвективный удар). Отслежены динамика структуры течения и распределения температуры, а также зависимости времени формирования финального температурного распределения от параметров задачи. Полученные результаты позволяют оценить время установления заданного распределения температуры в условиях микрогравитации, осложненных импульсными гравитационными воздействиями.

12.Исследованы переходные процессы установления стационарных состояний вибрационной конвекции в условиях невесомости. Обнаружена связь особенностей поведения интегральных характеристик процессов со структурой стационарных нелинейных режимов течения.

13.Изучен переход к нестационарной конвекции Марангони в случаях осесимметричной термокапиллярной конвекции в тороидальной кювете и длинной жидкой зоне. В обоих случаях колебательным режимам течений предшествовало появление ячеек вблизи линии контакта пограничного слоя на свободной поверхности и ядра течения. В первой задаче проведено сравнение с экспериментом. Результаты решения второй задачи использовались для планирования эксперимента по одной из программ Европейского космического агентства.

14. Сформулирована модель области мениска вблизи холодной стенки сосуда и проведены исследования особенностей возникновения нестационарной конвекции. Было установлено, что, как и в случаях других термокапиллярных течений, возможным колебательным режимам предшествует образование вихревой структуры.

15.Рассмотрено влияние высокочастотных поперечных вибраций на естественную конвекцию и конвекцию Марангони в плоском слое. Показано, что увеличение вибрационного параметра как в том, так и в другом случае приводит к абсолютной стабилизации механического равновесия. Для случая конвекции Марангони собственно эффект стабилизации не зависит от граничных условий для скорости на свободной поверхности жидкости.

16.Рассмотрено влияние на конвекцию Марангони периодически расположенных на свободной поверхности твердых элементов для случая плоского слоя и жидкой зоны. Показано, что интенсивность конвекции существенно понижается с ростом числа твердых элементов даже если

отношение площадей открытой и закрытой частей поверхности остается постоянным.

17.Изучена устойчивость механического равновесия и надкритические режимы конвекции в жидком слое со свободной поверхностью, который расположен на внутренней поверхности длинного кругового цилиндра, вращающегося вокруг оси с постоянной угловой скоростью. Обнаружено, что устойчивость и надкритические режимы определяют. ся аддитивным безразмерным критерием подобия.

Таким образом, на основе представленных в диссертационной работе результатов решения разнообразных задач теории конвекции, можно сказать, что структура возможных в конвективной системе стационарных движений определяет поведение системы, когда значения безразмерных параметров близки к критическим. Структура замкнутого конвективного потока определяет основные закономерности теплопереноса через ограниченную область. Поведение конвективной системы при нестационарных воздействиях определяется спектром возможных нелинейных стационарных движений. Образование вихревых стационарных структур предваряет колебательную волновую неустойчивость некоторых термокапиллярных течений. Преобразование структуры течения даже с помощью пассивных воздействий играет полезную управляющую роль. Совпадение структуры течений, вызываемых разными воздействиями, приводит к появлению новых аддитивных критериев подобия.

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ

1. Чернатынский В.И., Шлиомис М.И. Конвекция вблизи критических чисел Релея при почти вертикальном градиенте температуры. // Изв.АН СССР, МЖГ, 1973, №1, с. 64-70.

2. Чернатынский В.И. Численное исследование конвекции в горизонтальном цилиндре круглого сечения. // Уч.зап.ПГПИ, сб. Гидродинамика, 1974, вып.7, с.65-82.

3. Чернатынский В.И. О режимах конвективного движения в тонком слое между горизонтальными коаксиальными цилиндрами. // Изв. АН СССР, МЖГ, 1976,№1, с. 134-136.

4. Чернатынский В.И. Численное исследование конвекции в зазоре между горизонтальными коаксиальными цилиндрами. // Уч.зап.ПГУ, сб. Гидродинамика, 1976, вып.8, с. 23.

5. Любимов Д.В., Путин Г.Ф., Чернатынский В.И. О конвективных движениях в ячейке Хеле-Шоу. // Докл. АН СССР, 1977, т.235, №3, с.554.

6. Любимов Д.В., Путин Г.Ф., Чернатынский В.И. Конвекция в ячейке Хеле-Шоу при подогреве снизу. // Уч.зап.ПГПИ, сб.Гидродинамика, 1977, вып. 10,с.З.

7. Гершуни Г.З., Любимов Д.В., Чернатынский В.И. Нестационарная конвекция в прямоугольной полости при импульсном нагреве. // Сб. Ис-

следования тепловой конвекции и теплопередачи, Свердловск, УНЦ АН СССР, 1981, с. 16-22.

8. Закс М.А., Любимов Д.В., Чернатынский В.И. О влиянии вибрации на режимы надкритической конвекции. // Изв.АН СССР, Физика атмосферы и океана, 1983, №3, с. 89.

9. Чернатынский В.И. Конвективная устойчивость жидкости между вращающимися коаксиальными цилиндрами в поле тяжести. // Конвективные течения, Пермь, ПГПИ, 1985, с.31-36.

10.Чернатынский В.И. Численное исследование вибрационной конвекции в цилиндрическом слое. // Конвективные течения: Сб.научн.трудов ПГПИ, 1989, с.32.

11 .Чернатынский В.И. Конвекция в шаровой полости при почти вертикальном градиенте температуры. // Конвективные течения: Сб.научн.трудов ПГПИ, 1989, с.8-13.

12.Chernatynskiy V.I. Convection in a spherical cavity in the presence of a temperature gradient. // Heat Transfer - Soviet Research, v. 23, №7, 1991, pp. 977- 984.

13.Chernatynskiy V.I. Vibrational convection in a cylindrical layer. // Heat Transfer - Soviet Research, v. 23, №7,1991, pp. 1009 -1015.

H.Birikh R., Chernatinsky V. Briskman V., Schneider J., Benz S., Schwabe D. Axisymmetrical Marangoni convection in toroidal region. // Proc. Joint X Europian and VI Russian Simp. On physical science in microgravity, Moscow? 1997, v.l ,pp. 91-99.

15.Chernatinsky V.I., Gershuni G.Z., Monti R. Transient regimes of thermo-vibrational convection in a closed cavity. // Microgravity Q. v.3, №1, 1993, pp. 55-67.

16.Бирих P.B., Брискман В.А. Зуев А.Л., Чернатынский В.И., Якушин В.И. О взаимодействии термовибрационного и термокапиллярного механизмов конвекции. // Изв. РАН, МЖГ, 1994, №5, с. 107-121.

17.Chernatinsky V.I., Gershuni G.Z., Monti R. Savino R. Transient effects of g-pulses in a fluid cell heated from below. // Microgravity Q. v.5, №3, 1995, pp.152-161.

18.Birikh R.V., Briskman V.A., Chernatinsky V.I., Roux B. Thermocapillary flows due to partially closed nonisothermal liquid surface. // AIAA-paper 96-0736, 1996, 7 p.

19.Birikh R.V., Briskman V.A., Chernatinsky V.I. Schwabe D. Thermocapillary flows in long liquid bridges under microgravity. // Adv. Space Res. 2002., Vol.29, № 4, pp. 619-624.

20.Бах X., Чернатынский В.И., Швабе Д. Численное исследование термокапиллярной конвекции в области мениска. // Термо- и концентрацион-но-капиллярные эффекты в сложных системах. Екатеринбург: УроРАН, 2003, с.68-76.

21.Чернатынский В.И. Термокапиллярная конвекция в жидкой зоне при наличии твердых элементов на свободной поверхности. // Концентра-

ционно и термокапиллярные эффекты в сложных системах. Екатеринбург: УроРАН, 2002, с.28.

22.Чернатынский В.И. Устойчивость механического равновесия и надкритические течения во вращающемся жидком цилиндрическом слое со свободной границей. // Термо- и концентрационно-капиллярные эффекты в сложных системах. Екатеринбург: УроРАН, 2003, с.44-55.

Подписано в печать «_1_» марта 2006 г. Усл. печ. л. 2.0.

Тираж 100 экз. Печать офсетная. Формат 60x84 1/16. Заказ № 370 Отпечатано на ризографе ПГПУ 614990, г. Пермь, ГСП, ул. Сибирская, 24.

ВВЕДЕНИЕ

Глава 1. Конвекция вблизи критических чисел Релея при слабом нарушении условий механического равновесия

1.1. Естественная конвекция вблизи критических чисел Релея при почти вертикальном градиенте температуры.

1.1.1. Полость произвольной формы.

1.1.2. Результаты численного эксперимента для случая горизонтального цилиндра круглого сечения.

1.1.3. Конвекция в шаровой полости вблизи критических чисел Релея при почти вертикальном градиенте температуры.

1.1.4. Конвекция вблизи критических чисел Релея в вертикальной щели.

1.1.5. Тонкий цилиндрический слой.

1.1.6. Результаты численного эксперимента для тонкого слоя жидкости между горизонтальными коаксиальными цилиндрами

1.2. Конвекция вблизи критических чисел Релея в зазоре между вращающимися коаксиальными вертикальными цилиндрами

1.3. Вибрационная конвекция в зазоре между коаксиальными цилиндрами

Глава 2. Численное исследование естественной конвекции в цилиндрических областях.

2.1. Конвекция в горизонтальном круговом цилиндре.

2.1.1. Подогрев снизу.

2.2. Боковой нагрев.

2.2.1. Нагрев строго сбоку.

2.2.2. Произвольные направления нагрева.

2.3. Конвективное движение в слое между горизонтальными коакси альными цилиндрами.

Глава 3. Импульсные воздействия на неоднородно нагретую жидкость.

3.1. Тепловой импульс.

3.2. Гравитационный удар.

3.2.1. Формулировка проблемы.

3.2.2. Численное решение.

3.2.3. Численные результаты

3.3. Вибрационный удар.

3.3.1. Постановка задачи.

3.3.2. Численное решение

Глава 4. Некоторые термокапиллярные течения

4.1. Термокапиллярная конвекция в тороидальной области.

4.1.1. Численные результаты

4.2. Термокапиллярные течения в длинной жидкой зоне в невесомости

4.2.1. Постановка задачи.

4.2.2. Обсуждение результатов

4.3. Термокапиллярная конвекция в области мениска вблизи холодной стенки

4.3.1. Постановка задачи.

4.3.2. Обсуждение результатов.

Глава 5. Конвекция, вызванная комбинированными воздействиями 188 5.1. Влияние вибраций на режимы надкритической естественной конвекции в горизонтальном плоском слое.

5.2. Марангони-неустойчивость равновесия плоского слоя жидкости, совершающего высокочастотные вибрации.

5.3. Термокапиллярная конвекция в плоском слое с твердыми эле ментами на свободной поверхности.

5.3.1. Постановка задачи.

5.3.2. Численные результаты

5.4. Термокапиллярная конвекция в жидкой зоне при наличии твердых элементов на свободной поверхности.

5.4.1. Постановка задачи.

5.4.2. Результаты расчетов. Структура течения.

5.4.3. Результаты расчетов. Интенсивность течения.

5.4.4. Влияние различий тепловых свойств решетки и жидкости на структуру и интенсивность конвекции.

5.5. Устойчивость механического равновесия и надкритические течения во вращающемся цилиндрическом жидком слое со свободной поверхностью.

5.5.1. Формулировка проблемы.

5.5.2. Постановка задачи. Основные уравнения.

5.5.3. Устойчивость механического равновесия

5.5.4. Обсуждение результатов.

5.5.5. Надкритические режимы конвекции.

Исследование конвекции - движения ждкости, вызванного ее неравномерной нагретостыо, - представляет большой интерес в связи с проблемой теплопереноса. Задачи, которые при этом ставятся, весьма разнообразны и находят широкое практическое применение. Приведем ряд примеров. В некоторых технологических устройствах (отстойники, ректификационные колонны и т.д.) используется расслоение жидкости на различные фракции. Конвективное движение противодействует расслоению, поэтому важно определить условия возникновения конвекции и возможности ее подавления. В связи с этим представляет интерес изучение влияния на конвекцию различных факторов, таких как периодическое и непериодическое изменение внешних условий, взаимодействия различных механизмов конвекции и т.д.

В других ситуациях расслоение жидкости может быть нежелательным, например, при транспортировке нефтепродуктов. Здесь конвекция может играть положительную роль, так что представляет интерес выяснение вопроса о том, как интенсифицировать конвекцию при ограниченных возможностях изменения характерной разности температур.

Конвективное движение приводит к перераспределению температуры внутри области. Изменения температуры каждой точки среды важно знать, если в объеме находятся химически реагирующие вещества, скорость реакции которых зависит от температуры. Перераспределение температуры может оказаться существенным в различных оптических устройствах, т.к. вследствие зависимости показателя преломления от температуры могут возникнуть дополнительные аберррации. Значительную роль конвективные явления играют в металлургии и процессах направленной кристаллизации, поскольку качество результата зависит от распределения примесей, которое в свою очередь зависит от структуры конвективного движения.

Масштабы конвективных движений могут быть весьма различны. В том случае, когда характерный масштаб движения того же порядка, что и характерный размер области, в которой происходит конвекция, будем говорить о конвекции в ограниченных областях. Под конвекцией в замкнутых областях будем понимать случаи, когда область, заполненная жидкостью, имеет во всех измерениях размеры одного порядка.

ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ

Перейдем к обзору некоторых работ по конвекции в ограниченных и замкнутых областях. Остановимся вначале на исследовании движений при подогреве снизу. Известно, что в этом случае возможно механическое равновесие жидкости, которое устойчиво лишь до некоторого критического значения температурного градиента (в безразмерной форме - числа Релея R). Если число Релея превосходит критическое значение Rq, равновесие становится неустойчивым и сменяется стационарным конвективным движением. Математически задача определения Rq может быть сформулирована как задача на собственные функции и собственные значения линейного дифференциального оператора. В случае замкнутой области решение этой задачи дает дискретный спектр значений Rq и пространственную структуру критических возмущений. Обширная библиография по этому вопросу, а также результаты, полученные теоретически и экспериментально для областей разных конфигураций, содержатся в монографии Г.З.Гершуни и Е.М.Жуховицкого [1]. Там же обсуждается влияние на устойчивость равновесия таких факторов как просачивание жидкости через границу, модуляция параметров, наличие внутренних источноков тепла и т.д. Поэтому мы лишь кратко остановимся на некоторых работах.

Критические числа Релея, соответствующие нижним уровням неустойчивости для длинного горизонтального цилиндра круглого сечения относителы-ю плоских возмущений, определены в [2]. Пространственные возмущения в этой полости рассмотрены в работе [3]. Там же исследовано влияние конечной теплопроводности массива, окружающего полость с жидкостью, на критические числа Релея для плоских и пространственных возмущений. Показано, что с уменьшением теплопроводности массива более опасными становятся пространственные возмущения. Этот вывод подтверждается результатами работы [4], посвященной исследованию устойчивости равновесия жидкости в паралелепипеде, подогреваемом снизу, при произвольном отношении теплопроводности стенок к теплопроводности жидкости. Устойчивость равновесия жидкости в шаровой и кубической полостях, вертикальном цилиндре конечной высоты, шаровом слое рассмотрена в работах [5-8]. Отметим, что основными методами решения задач устойчивости в замкнутых и ограниченных областях являются методы Галеркина и Канторовича.

Для определения структуры вторичного движения, возникающего при R > Rq, решение можен быть построено в виде ряда по степеням "надкрй-тичности (R — Д0)1//2 [9]; при этом с точностью до членов второго порядка решение имеет структуру первого критического возмущения с амплитудой, определенной с точностью до знака, что соответствует двум противоположных направлениям циркуляции жидкости. В работе [10] стационарное решение вблизи Rq получено методом разложения по амплитуде. Этот метод использован также в [11] для рассмотрения в общей постановке задачи возникновения конвекции в жидкости с внутренними источниками тепла при наличии температурной зависимости вязкости. Полученное уравнение для амплитуды показывает, что, в отличие от случае обычной жидкости, когда обе ветви решения возбуждаются "мягко", возможно "жесткое" возбуждение одной из ветвей. Возникновение конвекции как ветвление решений нелинейных дифференциальных уравнений рассмотрено в работах В.И.Юдовича [12,13]. Исследование устойчивости полученных решений проведено в работах [9,10]. Показано, что ответвляющиеся от равновесия решения устойчивы вблизи Rq как в линейной, так и в нелинейной теории

9].

При числах Релея R, значительно больших До, аналитические методы становятся неэффективными. Поэтому для исследования конвекции в широком диапазоне значений числа Релея используются численные методы решения систем нелинейных дифференциальных уравнений, в частности, метод конечных разностей (метод сеток). В работе Г.З.Гершуни, Е.М.Жуховицкого и Е.Л.Тарунина [14] этим методом исследовано плоское конвективное течение в бесконечном горизонтальном цилиндре квадратного сечения при подогреве снизу. Особое внимание было уделено определению первого критического значения числа Релея. Сопоставление резуль

Ъ татов, полученных методом сеток и методом Галеркина показало хорошее соответствие. Это позволило для других областей, имеющих более сложную конфигурацию, при определении первого критического числа Релея ограничиться результатами численных расчетов методом сеток. В этой работе была также дана оценка области применимости первого приближения аналитического решения нелинейных уравнений конвекции по интервалу значений числа Релея, в котором амплитуда конвективного течения растет с ростом надкритичности по корневому закону (закон Ландау, полученный в феноменологической теории фазовых переходов второго рода для параметра порядка). Оказалось, что корневой закон возрастания интенсивности конвективного движения имеет место пока R < 1.5 До

При возрастании R до значения ~ 10 * Rq в области формируется почти изотермическое ядро течения и пограничный слой. При R > 12 * Rq стационарные решения сеточных уравнений не были получены. В этой работе с помощью навязывания соответствующих начальных условий было исследовано решение, имеющее структуру второго критического движения. Расчеты показали, что движение такой структуры метастабильно. Исследование влияния температурной зависимости вязкости на характер возникновения вторичных течений в квадратной области с твердыми границами проведено в [16]. Расчеты, проведенные методом сеток, показали, что неоднородность вязкости приводит к асимметрии второго критического движения относительно изменения направления циркуляции, причем, движение с восходящим осевым потоком возбуждается "жестко". Интересные результаты получены методом сеток в работе [17], посвященной численному расчету конвективных движений неныотоновской жидкости (степенная модель) в квадратной полости при подогреве снизу. Оказалось, что для дилатант-ных жидкостей равновесие абсолютно неустойчиво - конвекция начинается при сколь угодно малых числах Релея. Для псевдопластических жидкостей равновесие оказалось абсолютно устойчивым относительно малых возмущений; для получения стационарного движения, начиная с некоторого значения f?o, требовались возмущения конечной амплитуды. Изучение влияния сжимаемости на устойчивость и надкритические режимы конвекции проведено в [18,19].

Перейдем теперь к работам, посвященным задаче конвекции при нагреве сбоку. В этом случае равновесие невозможно, движение начинается при сколь угодно малой разности температур. Если разность температур мала, решение можно искать в виде рядов по степеням малого параметра - числа Грасгофа G. Для полости произвольной формы при сторого боковом нагреве такое решение построено И.Г.Шапошниковым в [20]. Конкретный вид нескольких членов рядов для функции тока и температуры определен для случая горизонтального цилиндра круглого сечения в работе [21]. Произвольные направления нагрева для этой же полости рассмотрены в работе [22]. Решение плоской задачи конвекции при малых значениях числа Релея также ищется в виде рядов по R. Определяются первые члены разложения для функции тока и температуры. В случае строго бокового нагрева решение согласуется с приведенным в [21]. Отдельно рассмотрен подогрев снизу. Полученное значение Rq оказалось завышенным по сравнению с результатами работы [2]. В работе [23] для рассмотрения медленной конвекции в прчмоугольной полости со свободной верхней границей и плоском слое конечной высоты, подогреваемом сбоку, применен метод Канторовича.

С возрастанием характерной разности температур интенсивность конвективного движения увеличивается , усложняется структура течения и распределение температуры, поэтому для аналитического решения задачи требуются упрощающие предположения. В работе Бетчелора [24] применительно к задаче плоской высокоинтенсивной конвекции в прямоугольной области, вертикальные стенки которой поддерживаются при различных температурах, были сформулированы следующие упрощения. Течение в замкнутой полости разбивается на две зоны: пограничный слой около стенок и ядро течения. В первой зоне записываются обычные уравнения пограничного слоя, во второй - уравнения для первых членов асимптотических разложений функции тока и температуры при R —у оо. На основании анализа этих уравнений и симметрии решения относительно центральной точки области сделан вывод о постоянстве температуры и завихренности в ядре. Температура в ядре находится также из соображений симметрии, а величина завихренности входит в качестве параметра в граничные условия для пограничного слоя и должна определяться из условия его замкнутости (модель Бетчелора). В работе [25] эта модель использована для решения задачи конвекции в горизонтальном круговом цилиндре, нагреваемом сбоку. Интегральным методом с учетом условий периодичности получена зависимость завихренности в ядре от числа Релея. Найден тепловой поток через полость как функция R. Интегральный метод в тех же предположениях о структуре течения использован также в работе [26].

Экспериментальные исследования конвекции в различных полостях при боковом нагреве [27-29] не подтвердили модель Бетчелора. Ядро течения оказалось практически неподвижным, а распределение температуры - близким к линейному по вертикали с градиентом, направленным вверх.

Результаты численного, методом сеток, решения полных нелинейных уравнений плоской конвекции в горизонтальном цилиндре квадратного сечения, подогреваемом сбоку, приведенные в [30], показывают, как и эксперимент, что с увеличением числа Грасгофа формируется пограничный слой и практически неподвижное ядро течения. Величина градиента температуры в ядре с ростом G стремится к постоянному значению, которое удовлетворительно согласуется с экспериментальным [31]. Аналогичным образом происходит развитие течения в вертикальной прямоугольной области, нагреваемой сбоку [32].

Существует ряд работ, содержащих попытки аналитического решения задачи конвекции в замкнутой области при наличии пограничного слоя и изоградиентного ядра течения. Так в работах [29,33] для полости прямоугольного сечения задача сводится к рассмотрению пограничного слоя у нагретой стенки при наличии постоянного градиента температуры на внешней границе погранслоя. Решение уравнений пограничного слоя стоится методом Кармана-Польгаузена. Величина градиента температуры в ядре определяется из условий подсоса жидкости в пограничный слой. Определен теплопоток в зависимости от отношения сторон полости. Сравнение с экспериментом, проведенное по этой зависимости и профилям температуры, показывает, что соответствие результатов вполне удовлетворительное. В работе [34] рассмотрен замкнутый пограничный слой в полости произвольной формы, при произвольной ориентации нагрева. Так же как в работе [22], решение нелинейных уравнений конвекции ищется в виде суми мы двух функций, одна из которых существенно отлична от нуля лишь в пристеночной области. Сшивание решений производится на границе области. Из условия замкнутости пограничного слоя получается уравнение для распределения температуры в ядре. Конкретное решение этого уравнения проведено в случае горизонтального кругового цилиндра. Распределение температуры в ядре оказывается линейным с градиентом, направленным вверх. Найдена зависимость градиента от ориентации нагрева. Следует отметить, что использованное в работе предположение малости погранслой-ной температуры по сравнению с температурой в ядре соответствует почти вертикальному нагреву сверху.

Поскольку модель Бетчелора следует из определенным образом упрощенных уравнений конвекции, возникает вопрос об условиях ее применимости. По-видимому, существует несколько ситуаций, приводящих к изотермическому ядру течения. Как указывалось выше, в работе [14] методом конечных разностей исследовалась плоская конвекция в горизонтальном цилиндре квадратного сечения, подогреваемом снизу. Расчеты показали, что при больших надкритичностях формируется пограничный слой и изотермическое ядро течения. Численные исследования, проведенные для квадратной области при нагреве сбоку [35] для чисел Релея ~ Ю10, также указывают на образование изотермического ядра и стационарного по-гранслойного течения. Однако, использование другой конечно-разностной схемы в работе [36] привело, при числах Релея того же порядка, к нестационарным режимам течения. Отметим, что при гораздо меньших значениях числа Релея была обнаружена [30] колебательная неустойчивость пограничного слоя при нагреве сбоку, подтвержденная в эксперименте [37]. В работе [38], посвященной численному исследованию конвекции в длинной вертикальной прямоугольной области, при числах Релея ~ 1011 получающиеся нестационарные режимы рассматриваются как модель турбулентной конвекции в вертикальном слое, подогреваемом сбоку.

В работах [39,41] проведено экспериментальное исследование конвекции дистиллированной воды в горизонтальном цилиндре круглого сечения. Измерения теплопереноса показали, что при различных ориентациях нагрева тепловой поток увеличивается с ростом числа Релея пропорционально i?0 25, что указывает на погранслойный характер течения. В работе [40] особое внимание уделено измерению температуры в ядре течения. Оказалось, что при переходе от нагрева сверху к нагреву снизу вертикальный градиент температуры в ядре существенно уменьшается и течение становится нестационарным. Отмечено, что в стационарных реимах течение жидкости практически плоское. Аналогичное экспериментальное исследование проведено для высоковязких жидкостей [41]. Отметим, что приведенные картины течения не имеют инверсионной симметрии, что указывает на существенную зависимость вязкости от температуры.

В работе [18] приведены результаты численного исследования теплопереноса при конвекции сжимаемого газа в горизонтальном цилиндре квадратного сечения для различных ориентаций полости относительно направления силы тяжести. Отмечается, что теплопоток максимален при комбинированном нагреве сбоку - снизу. Аналогичные результаты получены в работе [42], где численно и экспериментально исследовалась конвекция дистиллированной воды. Сравнение результатов по теплопереносу показывает хорошее соответствие при всех углах нагрева, кроме близких к подогреву снизу.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

В первой главе "Конвекция вблизи критических чисел Релея при нарушении условий механического равновесия"рассмотрены задачи о ветвлении решений системы уравнений тепло- и массопереноса в следующих ситуациях: 1) произвольная замкнутая область при почти вертикальном градиенте температуры, 2) шаровая полость при аналогичных условиях нагрева, 3) искривленный слой жидкости, 4) слой жидкости между вращающимися вокруг оси коаксиальными вертикальными цилиндрами, 5) слой жидкости между коаксиальными цилиндрами, совершающими высокочастотные вибрации в направлении, перпендикулярном оси, в невесомости. Показано, что в зависимости от структуры движения, вызванного нарушениями равновесия, имеет место либо несовершенная бифуркация, либо неустойчивость этого движения.

Во второй главе "Численное исследование конвекции в цилиндрических областях"приведены результаты численного исследования структуры конвективного движения в горизонтальном круговом цилиндре при произвольных направлениях нагрева и в полости между горизонтальными коаксиальными цилиндрами. Установлено, что в случае подогрева снизу с ростом разности температур стационарный режим течения сменяется колебательным. Для доказательства того, что этот переход обусловлен неустойчивостью течения, рассмотрена конечномерная модель конвекции в ячейке Хеле-Шоу. Для течения в зазоре между коаксиальными цилиндрами проведен расчет формирования конвективного факела. Результаты численных исследований сравниваются с экспериментом.

В третьей главе "Импульсные воздействия на неоднородно нагретую жидкость "рассмотрены три задачи нестационарной конвекции в прямоугольной области, моделирующие процессы установления теплового и механического равновесия в условиях ограниченного по времени силового или теплового воздействия. Постановка этих задач связана с проектированием экспериментальных исследований на околоземных космических станциях и самолетах, движущихся по баллистической траектории. В качестве силовых воздействий рассмотрены гравитационное и вибрационное. Тепловое воздействие представляет собой тепловую накачку. Во всех случаях определены характерные времена установления равновесия в зависимости от определяющих параметров. Показано, что особенности установления равновесия связаны со структурами стационарных конвективных движений, которые существуют в рассмотренных областях, если воздействия стационарны.

В четвертой главе "Некоторые задачи термокапиллярной конвекции "проведено исследование перехода к нестационарным режимам термокапиллярного течения в тороидальной кювете и длинной жидкой зоне, а также в области мениска около холодной стенки. Показано, что во всех случаях возникновение колебательных движений предваряется эволюционным появлением ячеистой структуры течения. В случае тороидальной кюветы проведено сопоставление результатов расчетов с экспериментом по определению областей существования стационарных и нестационарных режимов. Результаты расчетов конвекции в длинной жидкой зоне использовались для проектирования эксперимента по проекту "MAXUS-4"Европейского космического агентства (ESA). Расчеты конвекции в области мениска проведены с использованием оригинальной модели и качественно сопоставлены с экспериментом.

В пятой главе "Конвективные движения при комбинированных воздействиях "рассмотрены задачи: 1) влияние высокочастотных вибраций на устойчивость равновесия и надкритические стационарные течения в горизонтальном плоском слое (модифицированная модель Лоренца) и термокапиллярную неустойчивость плоского слоя, 2) влияние твердых эле-ментов, расположенных на свободной поверхности плоского слоя и жидкой зоны, на структуру и интенсивность термокапиллярного движения 3) влияние центробежных сил на устойчи-вость механического равновесия и надкритические режимы термокапиллярной конвекции в жидком слое на внутренней поверхности вращающегося вокруг своей оси цилиндра. Показано, что как вибрации, так и наличие твердых элементов на свободной поверхности могут привести к абсолютной стабилизации механического равновесия. Вращение жидкого цилиндри-ческого слоя оказывает дестабилизирующее воздействие на термокапиллярную устойчивость равновесия. В нелинейной области обнаружена неединственность стационарных решений.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

Рассмотрено ветвление решений уравнений конвекции при слабых нарушениях условий механического равновесия. Показано, что если возникающее медленное движение имеет структуру, близкую к критическому возмущению, реализуется несовершенная бифуркация. В случае, когда медленное движение имеет структуру, отличающуюся от структуры критического возмущения, наблюдается неустойчивость медленного движения. Полученные результаты использованы для интерпретации некоторых экспериментов.

Изучена структура конвективного движения в замкнутой полости при различных направлениях нагрева. Установлено, что при всех направлениях нагрева при достаточно высоких значениях числа Грасгофа формируется замкнутый конвективный пограничный слой и ядро течения, которое при подогреве сбоку-снизу оказывается изовихревым и изотермическим, а при нагреве сбоку-сверху - неподвижным и устойчиво стратифицированным. Полученная зависимость коэффициента конвекции от угла нагрева сопоставлена с экспериментальными данными.

Построена конечномерная модель конвекции в ячейке Хеле-Шоу для изучения колебательных режимов течения при подогреве снизу. Результаты исследования сопоставлены с экспериментом.

Изучено установление механического равновесия в неравномерно нагретой жидкости после импульсного воздействия массовой силы гравитационного или вибрационного происхождения, а также импульсного нагрева.

Получены зависимости времени установления равновесия от определяющих безразмерных критериев подобия.

Изучен характер возникновения вихревых термокапиллярных движений в тороидальной кювете и длинной жидкой зоне. Установлено, что возникновение вихревого течения предшествует развитию нестационарных движений типа годротермальных волн. Результаты исследования сопоставлены с экспериментом.

Изучено возникновение колебательных термокапиллярных движений в области мениска около холодной стенки. Установлено, что, как и в случае гидротермальных волн, колебаниям в области мениска предшествует появление вихревой структуры. Проведено качественное сопоставление с экспериментом.

Изучено влияние вибраций, перпендикулярных границам плоского слоя, на естественную и термокапиллярную конвекцию. Сделан вывод о возможности абсолютной стабилизации механического равновесия.

Изучено влияние твердых элементов, периодически расположенных на свободной поверхности, на структуру и интенсивность термокапиллярного движения в плоском слое и жидкой зоне. Установлено, что увеличение числа твердых элементов эффективно уменьшает интенсивность термокапиллярного движения, несмотря на сохранение суммарной площади открытой части поверхности.

Изучено совместное действие двух механизмов неустойчивости равновесия неравномерно нагретой жидкости в случае слоя на внутренней поверхности бесконечного кругового цилиндра в невесомости: термокапиллярного и центробежного. Проведены расчеты надкритических режимов течения.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Рассмотрено ветвление решений уравнений конвекции при слабых нарушениях условий механического равновесия. Показано, что если возникающее медленное движение имеет структуру, близкую к критическому возмущению, реализуется несовершенная бифуркация. В случае, когда медленное движение имеет структуру, отличающуюся от структуры критического возмущения, наблюдается неустойчивость медленного движения. Полученные результаты использованы для интерпретации некоторых экспериментов.

На примере горизонтального цилиндра круглого сечения изучена структура конвективного движения в замкнутой полости при различных направлениях нагрева. Установлено, что при всех направлениях нагрева при достаточно высоких значениях числа Грасгофа формируется замкнутый конвективный пограничный слой и ядро течения, которое при подогреве сбоку-снизу оказывается изовихревым и изотермическим, а при нагреве сбоку-сверху - неподвижным и устойчиво стратифицированным. Полученная зависимость коэффициента конвекции от угла нагрева сопоставлена с экспериментальными данными.

Построена конечномерная модель конвекции в ячейке Хеле-Шоу для изучения колебательных режимов течения при подогреве снизу. Результаты исследования сопоставлены с экспериментом.

Изучено установление механического равновесия в неравномерно нагретой жидкости после импульсного воздействия массовой силы гравитационного или вибрационного происхождения, а также импульсного нагрева. Получены зависимости времени установления равновесия от определяющих безразмерных критериев подобия.

Изучен характер возникновения вихревых термокапиллярных движений в тороидальной кювете и длинной жидкой зоне. Установлено, что возникновение вихревого течения предшествует развитию нестационарных движений типа годротермальных волн. Результаты исследования сопоставлены с экспериментом.

Изучено возникновение колебательных термокапиллярных движений в области мениска около холодной стенки. Установлено, что, как и в случае гидротермальных волн, колебаниям в области мениска предшествует появление вихревой структуры. Проведено качественное сопоставление с экспериментом.

Изучено влияние твердых элементов, периодически располо-женных на свободной поверхности, на структуру и интенсивность термокапиллярного движения в плоском слое и жидкой зоне. Установлено, что увеличение числа твердых элементов эффективно уменьшает интенсивность термокапиллярного движения, несмотря на сохранение суммарной площади открытой части поверхности.

Изучено совместное действие двух механизмов неустойчивости равновесия неравномерно нагретой жидкости в случае слоя на внутренней поверхности бесконечного кругового цилиндра в невесомости: термокапиллярного и центробежного. Проведены расчеты надкритических режимов течения.

1. Гершуни Г.З., Жуховищшй Е.М. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости. М.: "Наука",1972, 392 с.

2. Жуховицкий Е.М. Применение метода Галеркина к задаче об устойчивости неравномерно нагретой жидкости //ПММ, 1954, т. 18,N2, с.205.

3. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М. Устойчивость равновесия жидкости в горизонтальном цилиндре, подогреваемом снизу// ПММ, 1961, т.25, N6, с.1035.

4. Catton Ivan. Effect of wall conduction on the stability of fluid in a rectangular region heated from below //Trans. ASME, 1972, c94, p.9.

5. Гершуни Г.З., Жуховицкий E.M., Шлиомис М.И. Об основном уровне конвективной неустойчивости равновесия жидкости в шаре и горизонтальном цилиндре ("круговые критические движения") // Уч.зап.Пермск.унта, 1970,сб."Гидродинамика", вып.2. с.З.

6. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М., Овчинников А.П. Конвективная устойчивость жидкости в кубической полости // Уч.зап. Пермск.ун-та, 1968,сб."Гидродинамика", вып.1. с.49.

7. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М. Конвективная неустойчивость жидкости в вертикальном цилиндре конечной высоты // Уч.зап. Пермск.ун-та, 1970,сб."Гидродинамика", вып.2, с.39

8. Братухин Ю.К. Об устойчивости неравномерно нагретой жидкости, заполняющей шаровой слой //Уч.зап.Пермск.ун-та, 1970,сб."Гидродинамика", вып.2, с.33.

9. Юдович В.И. Устойчивость конвективных потоков //ПММ, 1967, t.31,N2, с.272.

10. Зайцев В.М., Шлиомис М.И. Гидродинамические флуктуации вблизи порога конвекции //ЖЭТФ, 1970, т.59, вып.II, с.1583.

11. Joseph Daniel D. Stability of convection in containers of arbitrary shape //J. Fl. Mech., 1971, v.4-7, p.2.

12. Юдович В.И. Свободная конвекция и ветвление //ПММ, 1967, т.31, N1, с.101.

13. Юдович В.И. 0 возникновении конвекции //ПММ, 1966, t.30,N6, с.1000.

14. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М., Тарунин EJI. Численное исследование конвекции жидкости, подогреваемой снизу //Изв. АН СССР, МЖГ, 1966, N6, с.93.

15. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М., Юрков Ю.С. Конечно-амплитудные конвективные движения в прямоугольных полостях с внутренними источниками тепла //Уч.зап.Пермск.ун-та, 1974, сб."Гидродинамика", вып.5,с. 17.

16. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М., Тарунин EJ1. Конвекция подогреваемой снизу жидкости в замкнутой полости при наличии температурной зависимости вязкости //Теплофизика высоких температур, 1973, т.II N3, с.25.

17. Любимова Т.П. О конвективных движениях неньютоновской жидкости в замкнутой полости, подогреваемой снизу //Изв. АН СССР, МЖГ, 1974, N2, с.32.

18. Полежаев В.И. Течение и теплообмен при естественной конвекции газа в замкнутой области после потери устойчивости гидростатического равновесия //Изв. АН СССР, МЖГ, 1968, N5, с.124.

19. Полежаев В.И. Влияние сжимаемости газа на течение и перенос тепла при естественной конвекции //Изв. АН СССР, МЖГ, 1968, N6, с.92.

20. Шапошников И.Г. К теории слабой конвекции //ЖТФ, 1952, т.22, N5, с. 28.

21. Жуховицкий Е.М. О свободной стационарной конвекции в бесконечной горизонтальной трубе //ЖТФ, 1952, т.22, N5, с. 12.

22. Weinbaum S. Natural convection in a horizontal circular cylinder //J. Fl. Mech., 1964, v.18, p.5.

23. Гершуни Г.З., Жуховицкий E.M. О медленных течениях вязкой жидкости в замкнутой области //Уч.зап.Пермск.ун-та,1970,сб."Гидродинамика", вып.2, с.207.

24. Batchelor G.K. Heat transfer by free convection across a closed cavity between vertical boundaries at different temperatures //Quarterly of Appl. Math., 1954,v.12,N3,p.209.

25. Гершуни Г.З., Жуховицкий E.M. Замкнутый конвективный пограничный слой //ДАН СССР, 1959, т. 124, N2, с. 96

26. Grimshaw R. On steady recirculating flows //J. Fl. Mech., 1969, v.39,p.4.

27. Шайдуров Г.Ф. Устойчивость конвективного пограничного слоя в жидкости, заполняпцей горизонтальный цилиндр //ИФЖ, 1959, т.2, N12, с.68.

28. Eckert E.R.G., Carlson W.O. Natural convection in an air layer enclosed between two vertical plates with different temperatures //Int. J. Heat and Mass Transfer, 1961, v.2, N1, p.2.

29. Elder J.W. Laminar free convection in a vertical slot //J. Fl. Mech., 1965, v.23, p.l.

30. Гершуни Г.З., Жуховицкий E.M., Тарунин EJI. Численное исследование конвективного движения в замкнутой полости //Изв. АН СССР, МЖГ, 1966, N5, с. 56.

31. Зимин В.Д., Ляхов Ю.Н., Шайдуров Г.Ф. Экспериментальное изучение поля температуры при естественной конвекции жидкости в замкнутой прямоугольной полости // Уч.зап. Пермск.ун-та,1971,сб."Гидродинамика"вып.З, с.31.

32. Тарунин E.JI. Тепловая конвекция в прямоугольной полости, подогреваемой сбоку //Уч.зап.Пермск.ун-та,1970,сб."Гидродинамика", вып.2, с.163.

33. Зимин В.Д. Естественная конвекция в замкнутой прямоугольной полости в режиме развитого пограничного слоя //Уч.зап. Пермск.ун-та, 1972,сб."Гидродинамика", вып.4, с. 97.

34. Gosta Walin, Contained non-homogeneous flowunder gravity or how to stratify a fluid in the laboratory //J. PI. Mech., 1971, v.48, p. 647.

35. Берковский B.M., Полевиков B.H. Влияние числа Прандтля на структуру и теплообмен при естественной конвекции //ИФЖ, 1973, т.24, N5, с.44.

36. Фромм Дж. Численное изучение конвекции в потоках, движущихся в закрытых помещениях // Сб. Численные методы в механике жидкостей, М.: Мир,1973, с. 150.

37. Тарунин E.JL, Шайдуров В.Г. 0 колебательном режиме конвекции в замкнутой полости при подогреве сбоку //Тезисы докл. II Всесоюзной конференции "Современные проблемы тепловой конвекции", Пермь, 1975,с.159.

38. Грязнов B.JI., Полежаев В.И. Численное решение нестационарных уравнений Навье-Стокса для турбулентного режима естественной конвекции //Препринт е81 ИПМ АН СССР, 1977, 43 с.

39. Shaidurov G.F. Convective heat transfer in horizontal cylinder //Int. J. Heat and Mass Transfer, 1961, v.2, p.280.

40. Зимин В.Д. Естественная конвекция внутри горизонтального кругового цилиндра. Изв. АН СССР, МЖГ, 1971, N2, с. 87.

41. Brooks I.H., Ostrach S. An experimental investigation of natural convection in a horizontal cylinder //J. Fl. Mech., 1970, v.44, p.3.

42. Hiroynki 0., Hayatoshi S., Churchill S.W. Natural convection in aninclined square channal //Int. J. Heat and Mass Transfer, 1974, v.17, P.3.

43. Martini W.R., Churchill S.W. Natural convection inside a horizontal circular cylinder //A.I.Ch.E.J., 1960, v.6, p.2.

44. Клюшников Ф.В., Петражидкий Г.Б. Свободная конвекция в горизонтальной цилиндрической емкости // Тр. МВТУ, 1973, N170, вып.1, с. 120.

45. Зимин В.Д., Кетов А.И. Надкритические конвективные движения в кубической полости //Изв. АН СССР, МЖГ, 1974, N5, с. 35.

46. Ландау Л.Д., Лифшиц Е,М. Гидродинамика. "Наука",М, 1986, 736с.

47. Фрязинов И.В., Бакирова М.И. Об экономичных разностных схемах решения уравнения теплопроводности в полярных, цилиндрических и сферических координатах //ЖВМ и МФ, 1972, т.12, N2, с. 67.

48. Иванов К.П.,.Ладыженская О.А., Ривкинд В.Я. Сеточный метод решения уравнений Навье-Стокса в цилиндрических координатах // "Вестн. Ленингр. ун-та", 1970, N13, с. 25.

49. Ладыженская О.А., Ривкинд В.Я. О методе переменных направлений для расчета течений вязкой несжимаемой жидкости в цилиндрических координатах //Изв. АН СССР, сер. мат., 1971, т.35, N2, с. 84.

50. Юшков П.П. О численном интегрировании уравнения теплопроводности в полярных сетках //Ленинград, технолог, ин-т холодильной пром-ти, Труды, 1956, т.Х1У, с. 187.

51. Том А., Эйплт К. Числовые расчеты полей в технике и физике. М -Л,: "Энергия", 1964, 215 с.

52. Самарский А.А. Введение в теорию разностных схем. М.: Наука, 1971, 320 с.

53. Вазов В., Форсайт Дж. Разностные методы решения дифференциальных уравнений в частных производных. ИЛ., 1963, 350 с.

54. Самарский А.А., Гулин А.В. Устойчивость разностных схем. М.:1. Наука", 1973, 280 с.

55. Годунов С.К., Рябенький B.C. Разностные схемы. М.: Наука, 1973, 310 с.

56. Тарунин E.JI. Численное исследование свободной конвекции // Уч.зап.Пермск.ун-та, 1968,сб."Гидродинамика", вып.1, с.135.

57. Тарунин E.JI. Численное решение нелинейных задач теории тепловой конвекции //Канд. дисс., Пермск. ун-т, 1968.

58. Полежаев В. И. Конвективное взаимодействие в цилиндрическом сосуде, частично заполнеиом жидкостью, при подводе тепла к боковой и свободным поверхностям и дну //Изв. АН СССР, МЖГ, 1972, N4, с.80.

59. Зимин В. Д., Кетов А.И. Конвективные колебания в подогреваемой снизу кубической полости //Уч.зап.Пермск.ун-та,сб. "Гидродинамика", вып.6, с. 92.

60. Катанова Т.Н., Путин Г.Ф. Надкритические движения в подогреваемом снизу вертикальном слое //Уч.зап.Пермск.гос. пед.ин-та, 1976,сб."Гидродинамика", вып.9, с.28.

61. Malcus W.V.R. Non periodic convection at high, and low Prandtl number. Mem.Soc.Eoy.sci.Liege, 1973, N4, p.93.

62. Welander P. On the oscillatory instability of a differentially heated fluid loop //J. Fl. Mech., 1967, v.29, p.l.

63. Должанский Ф.В., Кляцкин В.И., Обухов A.M., Чусов М.А. Нелинейные системы гидродинамического типа. М.:Наука, 1974, 287 с.

64. Зимин В.Д. Структура замкнутых конвективных потоков //Канд. дисс, Пермск.ун-т, 1971.

65. Зайцев В.М. О поведении ферромагнетика в магнитном поле вблизи точки Кюри //ФММ, 1959, т.8, вып.2, с.34.

66. Сорокин B.C., Сушкин И.В. Устойчивость равновесия подогреваемой снизу проводящей жидкости в магнитном поле //ЖЭТФ, I960, т.38,вып.2, с.612.

67. Вайнберг М.М., Треногин В,А* Теория ветвления решений нелинейных уравнений. М.: Наука, 1969, 430 с.

68. Братухин Ю.К., Шлиомис М.И. Об одном точном решении уравнений нестационарной конвекции //ПММ, 1964, т.28, N5, с.959.

69. Бирих Р. В., Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М., Рудаков Р.Н. Устойчивость стационарного конвективного движения жидкости с продольным градиентом температуры //ПММ, 1969, т.ЗЗ, N6, с.958.

70. Тарунин E.JI. Ветвление решений уравнений конвекции в замкнутой полости с подвижной границей при подогреве снизу //Сб. Современные проблемы тепловой гравитационной конвекции, Минск, 1974, с. 124.

71. Любимова Т.П. Конвекция неньютоновской жидкости при почти вертикальном подогреве //Уч.зап.Пермск.ун-та, 1975, сб, "Гидродинамика", вып.6, с.87.

72. Любимов Д.В. 0 конвективных движениях в пористой среде, подогреваемой снизу // ПМТФ, 1975, N2, с.38.

73. Тарунин Е.Л. Надкритический режим конвекции в замкнутой полости в случае малого нарушения условии равновесия //Тезисы докл. II Всесоюзной конференции "Современные проблемы тепловой конвекции", Пермь, 1975, с. 156.

74. Гершуни Г.З., Герасимова С.Б. Об одном случае решения конвективной задачи с учетом зависимости коэффициента вязкости от температуры //Уч.зап.Пермск.ун-та, 1954, т.8,с.87.

75. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М., Шихов В.М. Об устойчивости конвективного течения жидкости с вязкостью, зависящей от температуры //Теплофиз. вые. темпер., 1975, т.13, N4, с.771.

76. Palm Е. On the tendency towards hexagonal cells in steady convection //J. El. Mech., 1960, v.8, p.2.

77. Busse F.H. The stability of finite amplitude cellular convection and its relation to an extremum principle //J. Fl. Mech., 1967, v.30, p.4.

78. Torrance K.E., Turcotte D.L. Thermal convection with large viscosity variations //J. Fl. Mech., 1971, v.47, p.l.

79. Liang S.E., Vidal A., Acrivos A. Buoyancy-driven convection in cylindrical geometries //J. Fl. Mech., 1969, v.36 p.2.

80. Яненко H.H. Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики. "Наука", Новосибирск, 1967, 430 с.

81. Петражицкий Г.В., Бекнева Е.В. Экспериментальные и теоретические исследования теплообмена при естественной конвекции в замкнутой кольцевой области //Тр. МВТУ, 1973, N70, с. 146.

82. Жуховицкий Е.М. Методы решения задач теории свободной тепловой конвекции и некоторые их применения //Канд.дисс., Пермь,1953,120с.

83. Rotem Ze4,v. Conjugate free convection from horizontal conducting circular cylinders //Int. J. Heat and Mass Transfer, 1972, v.15, p.9.

84. Hadnett Patrick P. Natural convection between horizontal heated concentric circular cylinders // Z. angew. Math, und Phys., 1973, v.24, p.4.

85. Петражицкий Г.Б., Бекнева E.В., Станкевич H.M. Исследования поля течения и температуры при свободном движении вязкого сжимаемого газа в кольцевой области //Вестник Львовского политехи, ин-та, "Вопросы электро- и теплоэнергетики", 1970, N46, с. 132.

86. Powe R.E., Carley С.Т., Bishop Е.Н. Free convection flow patterns in cylindrical annuli //Trans. ASME, 1969, c91, p.3.

87. Powe R.E., Carley C.T., Carruth S.L, A numerical solution for naturalconvection in cylindrical annuli //Paper Amer. Soc. Mech, Engng„ 1970, No WA/HT-9.

88. Полежаев В.И., Грязнов В. Л. Метод расчета граничных условий для уравнений Навье-Стокса в переменных "вихрь, функция тока"// ДАН СССР, 1974, т.219, N2, с.230.

89. Сорокин B.C. Нелинейные явления в замкнутых потоках //ПММ, 1961, t.25,N2, с. 240.

90. Xu, J-J., and S. H. Davis, Convective thermocapillary instabilities in liquid bridges// Phys. Fluids , 1984, v.27,p.p. 1102 1107.

91. G. Z. Gershuni, D. V. Lubimov. Thermal Vibrational Convection, John Wiley and Sons, 1997, 358 p.

92. Г. Ф. Шайдуров, M. И. Шлиомис, Г. В. Ястребов . Конвективная устойчивость вращающейся жидкости // Изв. АН СССР, МЖГ, 1969, N6, с. 88-93.

93. В. Д. Хайт.О тепловой неустойчивости жидкости в поле центробежных сил //Изв.АН СССР, МЖГ, 1971, el, с. 137-143.97 .F. Н. Busse. Thermal instabilities in a rapidly rotating system //J. Fl. Mech.,1970, v.44, N3,p.441-460

94. Г. В. Ястребов. Применение электрохимической методики для визуализации конвективных движений быстро вращающейся жидкости // Уч.зап. Пермск. ун-та, 1974, N316. Гидродинамика, вып. 5 ,с. 287-293.

95. Г. 3. Гершуни, Е. М. Жуховицкий. О медленных течениях вязкой несжимаемой жидкости в замкнутой полости //Уч. зап. Пермск. ун-та, 1970, N216, Гидродинамика, вып.2, с. 207-218.

96. Е. J1. Тарунин. Нестационарная конвекция жидкости в замкнутой полости //Изв. АН СССР, МЖГ, 1968, N6, с.83-88.

97. Е. J1. Тарунин. Нестационарная тепловая конвекция в шаровой полости //Изв. АН СССР, МЖГ, 1970, N4, с.118-124.

98. Б. И. Вайсман, Г. 3. Гершуни, О. Н. Дементьев и др. Численное исследование одной нестационарной задачи теории конвекции //Уч. зап. Пермск. ун-та, 1972, N293, Гидродинамика, вып.4, с. 51-69.

99. В. И. Полежаев, Ю. В. Вальциферов. Численное исследование нестационарной тепловой конвекции в цилиндрическом сосуде при боковом подводе тепла. В кн.:Некоторые применения метода сеток в газовой динамике. МИзд-во МГУ, 1971, вып. 3, с. 137-174.

100. М. П. Сорокин, Г. Н. Хлебутин. Исследование конвекции в прямоугольной полости при импульсном нагреве сбоку // Уч. зап. Пермск. ун-та, 1976, N362, вып. 8, с. 134-141.

101. М. Yu. Belyaev, S. G. Zykov, S. B. Ryabukha, V. V. Sazonov, V. M. Stazhkov. Computer simulation and measuring of microacceleration on board the artifical satellite //Proc. of IAC'94, Moscow, Russia,STC "Petrovka", 1995,v.l,p.329.

102. W.Knabe, D. Eilers. Low-gravity environment in spacelab //Acta Astronfut. 1992, v.9, p.187.

103. Microgravity control plan. International Space Station Alpha Program //NASA SSP 50036, May, 1994.

104. R. Monti, D.Langbein, J. J. Favier. Influence of residual accelerations on fluid physics and material science experiments. //Fluid Sciences and

105. Material Sciences in Space. H.U.Walter Ed.,Springer Verlag, 1987,pp 637-680.

106. R. Monti, R. Savino. A new approach to g-level tolerability for fluid and material science experiments //Acta Astronaut., 1995, v.37,p.314.

107. R. Monti. Gravity Jitters: Effects on typical fluid science experiments. Low-Gravity Fluid Dynamics and Transport Phenomena // Progress in Astronautics and Aeronautics, 1990, v. 130, pp. 275-307.

108. S. Schneider, J. Straub. Influence of the Prandtl number on laminar natural convection in a cylinder caused by g-jitter //J. Crystal Growth, 1989, v.97,p.235.

109. U. H. Kurzveg. Convective instability of a hydromagnetic fluid within a rectangular cavity //Int. J. Heat Mass Transfer, 1965, v.8, p.35.

110. Г. 3. Гершуни, E. M. Жуховицкий. О свободной тепловой конвекции в вибрационном поле в невесомости //ДАН СССР, 1979, т.249, с.580.

111. Г. 3. Гершуни, Е. М. Жуховицкий. О конвективной неустойчивости жидкости в вибрационном поле в невесомости //Изв. АН СССР, МЖГ, 1981, N4, с.12.

112. JI. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. Механика, Наука, М., 1988.

113. С. С. Lin. Motion in the boundary layer with a rapidly oscillating flow //Proc. 9th Int. Congr. Appl. Mech. 1957, v.4, p.155.

114. Г. Шлихтинг. Теория пограничного слоя. Наука, М., 1974,711 с.

115. С. М. Зеньковская, И. В. Симоненко. О воздействии высокочастотных вибраций на начало конвекции //Изв. АН СССР, МЖГ, 1966, N5, с. 51.

116. С. М. Зеньковская. Исследование конвекции в жидком слое под действием вибрационных сил. Изв. АН СССР, МЖГ,1968,N1,с.55.

117. Л. М. Браверман. О типах вибрационно-конвективной неустойчивости плоского слоя жидкости в невесомости //Изв. АН СССР, МЖГ,1987, N5, с.4.

118. Г. 3. Гершуни, Е. М. Жуховицкий, Ю. С. Юрков. О вибрационной тепловой конвекции в прямоугольной области //Изв. АН СССР, МЖГ,1982, N4, с.94.

119. Г. 3. Гершуни, Е. М. Жуховицкий, А. Н. Шарифуллин. Вибрационная тепловая конвекция в цилиндрической области // Числ.мет. мех. спл. сред, Новосибирск, 1983, N14, с.21.

120. Р. Р. Сираев. Вибрационная тепловая конвекция вблизи нагретого цилиндра //Изв. АН СССР, МЖГ, 1989, N3, с.23.

121. А. Ю. Гельфгат. Развитие и неустойчивость стационарных конвективных течений в квадратной области в присутствии вертикально направленных вибрационных сил //Изв. АН СССР, МЖГ, 1991, N2, с. 9.

122. G. Z. Gershuni, Е. М. Zhukhovitsky and R. R. Siraev. A convective boundary layer in vibrating fluid at zero gravity // Stab. Anal. Contin. Media, 1991, Nl,p.349.

123. A. H. Шарифуллин. Устойчивость конвективного течения в вертикальном слое в присутствии продольных вибраций //Изв. АН СССР, МЖГ, 1983, N2, с.186.

124. Г. 3. Гершуни, Е. М. Жуховицкий. О конвективной устойчивости конвективного течения в вибрационном поле относительно пространственных возмущений //Изв. АН СССР, МЖГ,1988, N2, с.116.

125. Г. 3. Гершуни, Е. М. Жуховицкий, В. М. Шихов. Устойчивость конвективного течения в вертикальном слое при наличии поперечных вибраций //Конвективные течения, Пермь, 1987, с.18.

126. Г. 3. Гершуни, Е. М. Жуховицкий, Ю. С. Юрков. О вибрационной тепловой конвекции в условиях невесомости. Гидромеханика и тепло-массоперенос в невесомости. М,: Наука, 1982, с.230.

127. Г. 3. Гершуни, Е. М. Жуховицкий, В. М. Шихов. Устойчивость виброконвективного течения жидкости в плоском слое //Изв. АН СССР,сер. физ., 1985, N49, с.643.

128. Г. 3. Гершуни, Е. М. Жуховицкий, А. К. Колесников. Вибрационно-конвективная неустойчивость горизонтального слоя жидкости с внутренними источниками тепла //Изв. АН СССР, МЖГ, 1985, N5, с.З.

129. Г. 3. Гершуни, Е. М. Жуховицкий. О виброконвективной неустойчивости горизонтального слоя тепловыделяющей жидкости. //Численное и экспериментальное моделирование гидродинамических явлений в невесомости., Свердловск, 1988, с. 72.

130. G. Z. Gershuni, Е. М. Zhukhovitsky, А. К. Kolesnikov and Yu. S. Yurkov. Vibrational convection in a horizontal fluid layer with internal heat sourses //Int. J. Heat Mass Transf., 1989, v. 32, p. 2319.

131. Г. 3. Гершуни, E. M. Жуховицкий, А. К. Колесников. Конвективная устойчивость реагирующей жидкости в горизонтальном слое в высокочастотном вибрационном поле //Физ. горения и взрыва, 1990, N26, с. 91.

132. G. Z. Gershuni, Е. М. Zhukhovitsky. Vibrational convection in weightlessness //Fluid Mech. Sov. Res. 1986, v.15, p.63.

133. M. П. Заварыкин, С. В. Зорин, Г. Ф. Путин. Экспериментальное изучение вибрационной конвекции //ДАН СССР, 1988, т.299, с.309.

134. А. А. Иванова, В. Г. Козлов. Экспериментальное изучение воздействия вертикальных вибраций на конвекцию в горизонтальном цилиндрическом слое //Изв. АН СССР, МЖГ,1985, N6, с. 180.

135. А. А. Иванова. Устойчивость свободноконвективного течения в горизонтальном цилиндрическом слое в вибрационном поле // Конвективныетечения, Пермь, 1989, с. 37.

136. R. V. Hockney. The potential calculation and some applications //Methods in Computational Physics,Academic Press, N.Y., 1970 v.9,p. 35.

137. R.Maiti, Gravity Jitters: Effects of Typical Fluid Science Experiments //Low-Gravity Field Dynamics and Transport Phenomena (Edited by J.N.Koster and R.I. Sami) Progress in Astronautics and Aeronautics, 1990, v.130, p. 1135.

138. С. Я. Герценштейн, В. M. Шмидт.Нелинейное равзвитие и взаимодействие возмущений конечной амплитуды при конвективной неустойчивости вращающегося плоского слоя //ДАН СССР, 1975, т.225, el, с.59.

139. R. М. Clever, F. Н. Busse. Transition to time-dependency convection //J. Fl. Mech., 1974, v. 65, e4, p.625.

140. E. N. Lorenz.Deterministic nonperiodic flow //J. Atmos. Sci., 1975, v.20, p.130

141. D. A. Nield Surface tension and buoyancy effects in cellular convection. // J. Fl. Mech. 1964, V19, pp 341-352.

142. Бирих P. В., Рудаков P. H. Конвективная неустойчивость в областях с тонкой проницаемой перегородкой (сеткой). Пермь, 1996, 101 с.

143. Поттер Д. Вычислительные методы в физике.М.: Мир, 1975.392 с.

144. Birikh R. V, Briskman V. A., Chernatynsky V. I., Roux В. Control of thermocapillary convection in a liquid bridge by high frequency vibrations // Microgravity Quarterly. 1993. V. 3, N1. P. 23-28.

145. Chen G., Roux B. Analytical solution and numerical simulation of thermocapillary convection in floating zones // Adv. Spac.Res. 1991. V.ll, N7. P. 151-162.

146. В.А.Бучин. Стабилизация неустойчивого состояния равновесия жидкости, подогреваемой снизу //Изв. АН СССР, МЖГ, 1990, N6, с. 1527

147. Briskman V.A. Vibrational thermocapillary and stability // Hydromechanics and Heat/Mass Transfer in Microgravity. London: Gordon and Breach Sci. Publ.,1991, p.111-119.

148. Lyubimov D. V., Lyubimova T. P., Roux B. Mechanisms of vibrational control of heart transfer in a liquid bridge // Int. J. Heart and Mass Transfer. 1977. V. 40. P. 4031-4042.

149. V.I.Polezhaev, Hydrodynamics, Heat and Mass Transfer During Crystal Growth.Springer(1984).

150. Чернатынский В.И., Шлиомис М.И. Конвекция вблизи критических чисел Релея при почти вертикальном градиенте температуры //Изв.АН СССР, МЖГ, 1973, N1, с. 64-70.

151. Чернатынский В.И. Численное исследование конвекции в горизонтальном цилиндре круглого сечения //Уч.зап.ПГПИ, сб.Гидродинамика, 1974, вып.7, с.

152. Чернатынский В.И. О режимах конвективного движения в тонком слое ме-жду горизонтальными коаксиальными цилиндрами //Изв. АН СССР, МЖГ, 1976,N1, с. 134-136.

153. Чернатынский В.И. Численное исследование конвекции в зазоре между горизонтальными коаксиальными цилиндрами //Уч.зап.ПГУ, сб.Гидродинамика, 1976, вып.8, с.

154. Любимов Д.В., Путин Г.Ф., Чернатынский В.И. О конвективных движениях в ячейке Хеле-Шоу //ДАН СССР, 1977, т.235, N3,c.554.

155. Любимов Д.В., Путин Г.Ф., Чернатынский В.И. Конвекция в ячейке Хеле-Шоу при подогреве снизу //Уч.зап.ПГПИ, сб.Гидродинамика, 1977, вып.10,с.3.

156. Гершуни Г.З., Любимов Д.В., Чернатынский В.И. Нестационарная конвекция в прямоугольной полости при импульсном нагреве //Сб. Исследования тепловой конвекции и теплопередачи, Свердловск, УНЦ АН1. СССР, 1981, с.16.

157. Закс М.А., Любимов Д.В., Чернатынский В.И. О влиянии вибрации на режимы надкритической конвекции //Изв.АН СССР, Физика атмосферы и океана, 1983, N3, с. 89.

158. Чернатынский В.И. Конвективная устойчивость жидкости между вращающимися коаксиальными цилиндрами в поле тяжести //Конвективные течения, Пермь, ПГПИ, 1985, с.31.

159. Чернатынский В.И. Численное исследование вибрационной конвекции в цилиндрическом слое //Конвективные течения: Сб.научн.трудов ПГПИ, 1989, с.

160. Чернатынский В.И. Конвекция в шаровой полости при почти вертикальном градиенте температуры //Конвективные течения: Сб.научн.трудов ПГПИ, 1989, с.

161. Chernatynskiy V.I. Convection in a spherical cavity in the presence of a temperature gradient. // Heat Transfer Soviet Research, v. 23, e7, 1991, pp. 977- 984.

162. Chernatynskiy V.I. Vibrational convection in a cylindrical layer. // Heat Transfer Soviet Research, v. 23, e7, 1991, pp. 1009 -1015.

163. Birikh R., Chernatinsky V. Briskman V., Schneider J., Benz S., Schwabe D. Axisymmetrical Marangoni convection in toroidal region //Proc. Joint X Europian and VI Russian Simp. On physical science in microgravity, Moscow,1997, v.l , pp. 91-99.

164. Chernatinsky V.I., Gershuni G.Z., Monti R. Transient regimes of thermo-vibrational convection in a closed cavity //Microgravity Q. v.3, N1, 1993, pp. 55-67.

165. Бирих P.B., Брискман B.A. Зуев А.Л., Чернатынский В.И., Якушин В.И. О взаимодействии термовибрационного и термокапиллярного механизмов конвекции //Изв. РАН, МЖГ, 1994, е5, с. 107-121.

166. Chernatinsky V.I., Gershuni G.Z., Monti R. Savino R. Transient effects of g-pulses in a fluid cell heated from below. //Microgravity Q. v.5,e3, 1995, pp.152-161.

167. Birikh R.V., Briskman V.A., Chernatinsky V.I., Roux B. Thermocapillary flows due to partially closed nonisothermal liquid surface. //AIAA-paper 96-0736, 1996, 7p.

168. Birikh R.V., Briskman V.A., Chernatinsky V.I. Schwabe D. Thermocapillary flows in long liquid bridges under microgravity. //Adv. Space Res.2002, v.29, e 4, pp. 619-624.

169. Бах X., Чернатынский В.И., Швабе Д. Численное исследование термокапиллярной конвекции в области мениска //Термо- и концентрационно-капиллярные эффекты в сложных системах. Екатеринбург: УроРАН, 2003, с.68-76.

170. Чернатынский В.И. Термокапиллярная конвекция в жидкой зоне при наличии твердых элементов на свободной поверхности. //Концентра-ционно и термокапиллярные эффекты в сложных системах. Екатеринбург: УроРАН, 2002, с.

171. Чернатынский В.И. Устойчивость механического равновесия и надкритические течения во вращающемся жидком цилиндрическом слое со свободной границей //Термо- и концентрационно-капиллярные эффекты в сложных системах. Екатеринбург: УроРАН, 2003, с.44-55.