Метод Монте-Карло для решения некоторых диффузионных задач тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

гго-од

2 9 АЯГ. ОТ

АКАДЕМИЯ НАУК РЕСПУБЛИКИ УЗБЕКИСТАН ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ Ш1.В.И. РОМАНОВСКОГО

На правах рукописи УДК 519.21

ТОЖИЕВ ТОХИРЖОЫ ХАЛИМОВИЧ

МЕТОД М0НТЕ-1САЙ10 ДЛЯ РЕШЕНИЯ НЕКОТОРЫХ ДИФФУЗИОННЫХ ЗАДАЧ

01,01.05 - Теория вероятностей и математическая статистика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации ца соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ташкент-2000

Работа выполнена в Институте математики им. В.И. Романовского АН Республики Узбекистан.

Иаучньщ руководитель:

-кандидат фшшсо-математических наук, старший нау«шый €ОТрудншс

БА1СОЕВМ.Т. Официальные оппоненты:

-член, коор. АН РУз, профессор

ФОРМАНОВ Ш.К.

-кандидат физико-математических наук

РАСУЛОВ СЛ.

Ведущая организация:

Ташкентский Государственный Экономический Университет

Защита состоится«^/ » 2000 г. в .часоана

заседании специализированного совета Д;015:17.0! в Институте Математики имени В:И. Романовского АН Республики Узбекистан по адресу 700143 г. Ташкент -143, уа, Ф. Ходжаева, 29.

С диссертации можно ознакомится в библиотеке Института Математики имени В. И. Романовского АН 'Республики Узбекистан.

Автореферат разослан« » 2000 г.

Ученый секретарь спецнадщкровзнаого совета доктор фнз.-мат.иаук? ^^^ Ж.О.ТАХИРОВ

Актуальность темы. Методы Монте-Карло (методы статистического моделирования) находят самое широкое применение при решении многих прикладных задач. Он дает возможность конструировать алгоритмы для ряда практически важных задач, хорошо приспособленные к реализации на ЭВМ. Они обладают естественным параллелизмом и асннхроппостью. Для решения краевых задач используются существующие глубокие связи между уравнениями математической физики н случайными процессами. Первый нетривиальный пример такой связи это известное соотношение между процессом случайных блужданий и дифференциальным уравнением, описывающим изменение концентрации диффузнрующего вещества.

г*

Теория Марковских процессов широко используется при решении разнообразных линейных краевых задач математической физики, с помощью которых описываются многие нестационарные физические процессы. Получить решение уравнения математической физики с начально-краевыми условиями в аналитической форме, особенно в многомерном случае, удается лишь в исключительных случаях. Построение несмещенных оценок

функционалов от решений таких уравнений является одним из основных и

¡( I. ■ • . ■

11' быстро развивающихся разделов теории метода Монте-Карло. Поэтому построению и обоснование эффективных сташс гических алгоритмов для решения краевых задач математической физики являегся акту;тьным вопросам теории метода Монте-Карло.

Цель работы. Основной целью данной диссертационной работы является построение, обоснование н реачизацня на ЭВМ статистических алгоритмов для решения краевых задач, связанных с оператором параболического типа в сложных областях. Основные задачи исследования :

I. постороение несмещенных не- смешенных оценок с конечной дисперсией для '..решение начально-краевой задачи для некоторых диффузионных уравнений.

II. построение несмещенных и £ - смещенных оценок с конечной дисперсией дяя решена« задача Коши для обобщенного уравнения игизотрошюй диффузии,

Ш.построение целью Маркова с поглощением, слаба аппроксимирующей решение системы стохастических дифференциальных уравнений таких, что математическое ожидание определенного функционала от траекторий цепи была близко к решению первойкраевей задачи для обобщенного уравнения иеизотропной диффузии, IV.проверив предложенных алгоритмов на ЭВМ для решения конкретных задач.

Методика исследовапня 'опирается на применение методов теория случайных процессов^ теория-дифференциальных и интегральных уравнений. При построении и исследовании статистических алгоритмов используется результаты го теории мартингалов а теории методоз Монте-Карло.

Научная поспим. Все основные результаты диссертации является новыми. К наиболее существенным ее положением относятся следующие:

• разработаны алгоритмы построения несмещенных и е-смещенных оценок для решения начально-краевых задач для обобщенного уравнения иеизотропной диффузии. Построенные оценки обладают конечной дисперсией, 5

• предложены алгоритмы метода Монте-Карло для решения задачи Коши для обобщенного уравнения иеизотропной диффузии. Построены насмешенные и е-смещеиные оценки с конечной дисперсией,

• построена цепь Маркова аппроксимирующие решение системы стохастических дифференциальных уравнений, получена функционалы.

которие математическое ожидание близко решения первой граничное задачи для обобщенного уравнения' неизотропной диффузии.

Ппзстическяя ценность работы заключается Ь том, что ее результаты могут быт использованы для:

О дальнейшей разработки численных методов решения многих прикладных задач, использующих аппарат Марковских (диффузиояяих) процессов;

2) непосредственного решения ряда задач уравнения диффузии. В том числе решения задач теплопроводности;

3) непосредственного решения ряда конкретных прикладных задач. Например, задача финансовой математики, задачи стохастических теории управления , генетических задачах, изучении процесса размножения отдельной популяция в ограниченных областях , которые задается параболическим уравнением.

Апробации няботм. Основные результаты исследований докладывзлись на мездународной конференции " Математическое моделирование и вычислительный эксперимент" (Ташкент, 1994 г), на 1 конференции по теории вероятностей и математическое етзтистике, посвященной 75-летгао академика С. X. Сираждшювз (Фергана, 1995 г), на Республиканской конференции " Молодых физикоз и математиков'1, посзященион 75-летню ТашГУ (Ташкент, 1996 г), на семинаре "Математическое моделирование в экономике" Университета Мировой экономики и дипломатии, на семинаре по теории вероятностей и математической статисггике института Математики АН РУз и Ташкентского Государственного Университета им. М. Улугбека.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах.! 1-6].

Объем работы. Работа состоит из введение двух глав, списка цитируемой литературы и приложения. На 103 страницах машинописного

текста изложена основное содержание диссертации. В тексте имеется 3 таблиц, библиография содержит 74 наименования.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

Во введении дается краткий обзор существующих подходов к решению краевых задач методом Монте-Карло и достигнутых в этом направлении результатов во взаимосвязи с направлением исследования настоящей диссертации.

Кратко сформулированы цель работа, метод исследовании, результат и положения, которые выносится на защиту.

Первая глава посвящена построению и обоснованию несмещенных и

е - смешешвдх оценок для решения начально-краевой задачи и задачи Коши для некоторых диффузионных (обобщенного уравнения неизотропноп диффузии) уравнений.

Рассмотрим в (л + / ) мерном пространстве К"*' точек (у, г, !),у е /?*, ге Я , /«Я7, к + 1 = п уравнение

«я

с дифференциальным оператором постоянными коэффициентами а*, р" , (1 & у * к, I ¿т & I),

Цу>*.О* . у + Ь Ъ Р; У -Т7Г-

■ ^ « = 1 суду' ; = ¿г

где а =(«") -кик- матрица, р » Ык матрица.

Пусть ¿>сЛ" 1раниченнзя область с границей ¿>Д Объединил пр » ч .ч ; г/о одну пространственную переменную

-столбец , /) ■ Рассмотрим в пространстве Я?*' неременных (*, , ........хя,1) цилиндр П= /)х(о,7).

В параграфе 1.1 строятся несмещенные не- смещсшше оценки решения следующей начально-краевой задачи. Для функций у/(х,1) еС((Юх [0,7]) и <р(х)еСф) найти функцию ' и(х,1) еСф х [0,Г)иС(2'1)(Жх [0,Г]) удовлетворяющую в цилиндре П уравнению

М)-/(*,/), ■ <*,<)еП (!)

краевым условиям

= ф,!), X е Ю, / 610,1X (2)

и начальным условиям

и(х,0) "р(х) Хй О (3)

В дальнейшем, для удобства, вводятся матрицы размера п * п (в блочной записи), которые имеют следующий вид

0 ,3/2)

блок я»/ *= 1/4 [а'1 -I- 3/г'гк'Д] -размера блок От; р г1р - размера || : т

■ кх1, блок Щ -размера 1хк, блок гпз = Зу> - размера 1x1 и блоки 4, 0, -р, и - аналогичных размеров. Матрица а является симметричной и положительно определенной и поэтому она предстзвима в виде произведения некоторой матрицы Ъ иа ее транспортированную Ът ,а именно (г=ЬтЬ, <1(р)-диагональная матрица, и' = (/?а /?т)"'.

Пусть 2 (х, I; у, г) - фундаментальное решение (ф.р.) неоднородней уравнений (3) с сингулярностью в точке (у, г).

2(х, (; у. г) - г"п\а\п (I - г)"'3 ехр -Сх)г - Сх)\

где |а\ - определитель матрицы а, у = к+ 31.

Введем область, зависящую от параметра г > 0

£,<*,') - ОУ,г):г{хАу,г) > х"'^'1^,(> г} которую будем называть шароидой радиуса г с центрам в точке (л / ), а сс границу ¿»В, сфероидой.

При г о В, (х,1) и ЯВ^х,!) монотонно стягиваются к (х, I). Поэтому существует г ~г(х,1)> о, что сЙ при(х, I) е П. Приведем один та способов выбора параметра г > о. Пусть Щх) расстояние отточки х до границы области С, |х| « Я -наибольшее собственное значение матрацы а,

'р-тах Г2, Р}, v, - J-3^-, v, -ß\x\,

1 \8ppe

-РГ-—- ш

2v,

ЛеммаЛ.Если r ~r(x,t)~min{n (x),t ш\ при (x,t) еПдо £Г(х,0<=£2. Пусть r =-r (x, t) > ö такое, что В, (x, t) cö . Тогда, используя формулы параболического среднего для решения задачи (1) - (3) получим представление

О Я,(0)

где

о J-f п-1 J-мёрная единичная сфера, Не Sj ( о ) -единичный л-мерный вектор, Pf (р) - плотность гамма распределенной случайной величины с параметром { ]+п/2) ,р:(Н) = НТЬ а ЬИт//(х,-плотность случайного вектора,

TW)«i-rJA2, 'у(Я.Н) ■= e'r^x +(yijm-)m <1(гг £)Ь~ХН

р, >пов< »»единичной сферы.

Пусть • последовательность независимых гамма распределенных

случайных величин с параметром ( 1+ п/2 ) , последовательность

независимых случайных векторов с плотностью распределения Рг (И).

Определим в П цепь Маркова {*'следующими рекурреппшми соотношешмми:

»>■

где / - 1,2.....к, р - 1.2,..., I1,2....ги-!'■'),

Определим последовательность случайных величин следующим равенством

ш-1 у = 1

ц! 'где (/, г',) - случайная точка шароиды В/х, I) при фиксированных (У, /), имеющая плотность распределения

г{х.Г,уг)-я~"гЦтг~г

Пусть {3„}*,0-послсдователыюсть сг - алгебр порожденная

случайными величинами .....4 последовательностью векторов

лЛй>',...,ш™ случайными точками ('У, г"У , (/, т!).....(/"', и;, у,ф (х,у-

решенне задачи (1)-(3), отвечаюшее данным / щ <р.

Теорема 1. а). Последовательность образует мартингал

относительно последовательности <т - алгебра

б). Если то г/а является квадратично

интегрируемой.

Лемма 2. Для функции /(*.<> справедливо соотношение

■Аем- :г1еЩ- 2Ак1!Грх + ехр

у + '<£ у + £.

Здесь - гамма распределенная случайная величина с параметром ('п/'^ £ -бетга распределенная случайная величина с параметром (2/уД) и со- случайный единичный вектор.

Пусть М{ т. е (Ш)4} момент первого попадания процесса

(х", 1*') в т.е. Лгг -моме5ггостановки процесса (Марковский момент).

Ледша 3. Имеет место неравенство: Е(Х>1) <

Теорема 2. Пусть выполняются условия теоремы 1. Тогда г/^ является несмещенной оценкой для , Дисперсия ее конечна.

Из стандартным способом строится смещенная, но практически

реализуемая оценка .Пусть ^ (х, {)=у(х,1) на дО%[0, Т), ф^(х,0)=<р(х), х еЪ и (х* , I*) - ближайшая к (.* , /) точка границы ёгл. В оценке.Цц

А' ^ V # / щ^л. • |

заменим и(л■ *-,?*) на ,1 ) получаем Тогда для

справедлива.

Те$реш 3. ПуЬть и(х ,0 удовлетворяет условию Липшица и А(с ] модуль непрерывности и(х. ¡). Тогда случайная величина ^ является смещенной оценкой для 0%, ограниченная функция параметра«.

В параграфа 1.2 строятся оценки для решения задачи Коши для обобщенного уравнения пешотропной диффузии. Используя формулы параболического среднего для решения задач, записывается интегральное уравнение, ядро которого является плотностью распределения. Строится цепь Маркова, согласованная с интегральными уравнениями. Основываясь на теории мартингалов доказывается, сходимость процесса к граничной точке, приводится оценка для среднего числа шагов до попадания в е-окрестность границы области П . На траектории процесса строится последовательность случайных величин н доказывается что сна образует квадратично интегрируемый мартингал н является последовательностью насмешенных оценок для решения задачи. Строится, е-смещенная оценка.

В параграфе 1.3. привадится один из методов построения Марковской цепи с поглощением, стзбо аппроксгалнрутощей решение системы стохастических дифференциальных . уравнении так-, что математическое ожидание определенного ф>шщ75оиача от траекторий цепи близко к решению первой краевой задачи для обобщенного уравнений неизотролноГ! диффузии.

Пусть С - ограниченная область в Л" с границей 50 .

Рассмотрим в пространстве ¡1"" переменных (х ,1} = (х/,х2.....х„ г) цилиндр

(9 = С х [О,Т\ с границей. Г-<7 \0 Рассмотрим первую краевую задачу для обобщенного уравнения неизотропной диффузии:

<> = /(х,г) , ' (х,/)' (4)

а

и{х,1):--<р(х,1) Гх.ОеГ (5)

где -

(/«=1 СКСХ.' У=1я=1 дифференциальный оператор с постоянными коэффициентами

Пусть а ={а")-кхк - матрица, ¡3 - 1х к - матрица. Предполагается, что матрица а ~ (а") симме-риада и положительно определена, удовлетворяет условию строгой эллиптичности в Кроме того, будем смотать, что выполняются условия, обеспечивающие достаточную гладкости решения задачи (4) - (5) вплоть до границы .Введем в блочной записи п х и матрицы

Решение задачи ( 4 ) - ( 5 ) допускает следующее вероятностное представление

где Х3 . | ( s ) , Z х . ,. , ( $ ) - решение задачи Коши для снстемц стохастических дифференциальных уравнений

{dZ*f{s,X)ds,- Z(/)=»2,

(x,t) eQ~ момент выхода траектория (X(s),s) на ipamuiy Г, w(s) в (w1(i),...,wn(s:))r - стандартный сшсеравский процесс, Z - скаляр, b и • мерный вектор столбец, составленный из коэффициентов А, п * п матрица а получается из представления

о*схт =а; a = (aiJ), b~(byXj), ij = T,n . ,

Пусть (х0,/0) eQ 4 - точка равномерно распределенная нз поверхности открытого единичного шара Sei?" с центром в начал? координат,

г > о - некоторое постоянное.

Введем открытый злшшсовд I] (ха , /„ , г Л полученный с помощью

гг

Линейного преобразования го шара 5 и сдвига на —. Для любой точки

п

Ос0,г0) еО пайдется г>о такое, что точка х0 еи(х&о,г), а цилиндр П(хо, г) = Щхо. (о, г) хра ,¡0+ —) <=0.

п

Всюду ниже предполагается, что г достаточно мало. Ясно, что точка (ЛГ1,!1), где

п п

лежит награшзде верхнего осиоеошы цилиндра П(г0,

»

2о +/(1в, Хо) — п

Теорема 4 Пусть функция я является сужением в П решена» задачи ( 4) - (5 ), обладающего непрерывными в (5 производными и 0<,т+ 2к 5 4, к 0,/,... где ¿рф» означает Л-уга производную по ? и от-уто производную по х - от функции и. Пусть ' системы стохастических

дифференциальных уравнениях, а V - время выхода процесса {Хх (з),«) на границу П. ( т.е. точка (^ ^(и),у) принадлежит либо верхнему

основанию, либо боковой поверхности цилиндра П.). Тогда '

Е Г 8(Х\11)+г1 - - 0 (г4).

Построим цепь Маркова, основанную на одношлговой аппроксимации

п

лГ = х((6)

г1*' = г> , 'г" = г

]~0,1,2...... ¡-1,2, ...и, где ... ...-независимые в совокупности

случайные ьеличшш, каждая из которых имеет то же распределение, что и £ • Пусть II (х) -расстояние от точки х до границы области С,

. Ш.-мЦГ,1 '] ЧНч •] • н

2 Л

Для выбора последовательности г; справедлива следующая

Лемма4.Если г=г(5с,()=тт{г1(х),>/й7} прк (1,х) еО то П(/,г,г)ед Пусть 0?, } е (¿Т* . Положим = д .¿V , затем по формуле (6) найдем очередную точку ). Такое бдулдапис заканчивается на

случайном шаге 6, как только (Л1®, 1°)чГг2. Затем на границе Г находится точка {Xе/в), ближайшая к точке (А^, Предположим, что функция г=р/х,0 такова, что при (X ,4) еО'^гочт (Л'е д.

Теорема 5. Пусть Ев-0(-^,), а компоненты 7! цепи (6) разно.мерио г

огрничены. Пусть одношаговый порядок точности аппроксимации (6) равен 0(г4) и равномерен по при равномерно ограниченных 2°. Тогда

(Л^,/'7) аппроксимирует (Л"Хо>,0(т),г) со слабым порядком точности О (г*), т.е. 1

^(^.Г9 )+ г-' - - 2^0(г)|=

= ¡Е{н(Х'V) + 2й - к(х0,'о><ф

где К - некоторая константа.

-is.

Рассмотрим цепь Маркова ( Л* , / ) порожденную методом (6) и стартующую из точки (*,*) , т.е. f-1, Х° " х.

Пусть ( Х! , t1) j " о , 1 ..... . - некоторая реализация этой цепи. Рассмотрим все моменты 'j, j, пребывания этой реализации в цилиндрическом слое [о, T-PjxG,. Случайное число q зависит cntiix: q=q(x,t) (разумеется, ^зависиттакже п от г).

Леима S. Среднее время v (t, х) Eq (t, х) пребывания цепи (tj, Xj) в цилиндрическом слое От - [о, Т- r^fxG, удовлетворяет равномерно

— с

no(x,t/ е <?г оценке v(t, х)

В второй главе приводится разработанные алгоритмы решение задачи, ormcamie комплекс программ и : численные результаты для конкретных модельных задач. Создзтщй комплекс программ имеет модульную структуру п допусигт возмссгпссть расппфеиия и замены отдельных модулей. Для упраглешга работы комплекса программ разработана управляющая программа -Дисплеи. Программа- написаиы па языке TURDO-PASCAL на персопальннх компьютерах. А тшске приводится описание каждого из модулей и-формалы1ых параметров. В описаний указывается имя подпрограммы, ее назначения, вид обращения к ней, поясняется смысл формальных параметров, приводится краткое изложение используемого статистического метода.

Пользуясь случаем, выражаю гуубокую признательность своему научному руководитель/о кандидата физико-мзтемат1«есгак наук, старший научный сотруднику Бакоеву Матякубу Тешаевичу за постановку задачи, постоянное внимание и помо«»« р^^оте на,- :

• ' ,16- . . . СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССВРТАЦЩТ.

/. Бакоев М.Т.Дожиео Т.Х. Метод Монте-Карло для решепия начально-краевой задачи для обобщенного уравнения неизотропной диффузии // Узбек. Метем. Журнал. 1995. 2, С. 14-25.

2. Бакоев М.Т., Тожнев Т.Х. Метод Монте-Ксрло для решения задачи Коши для обобщенного уравнения нешотропной диффузии // Узбек. Матем. Журнал. 1556. №3, С. 15-22.

3. Тожиев Т.Х Метод Монте-Карло для решения смешанной задачи для обобщенного уравнения иензотрогшой диффузии// Тез. Докл. Мезадукароднон конференции "Математической моделирование и вычислительный эксперимент"//Ташкент. 1994, С. 303.

4. Токарев Т.Х. Метод Монте-Карло для решения задачи Коши для обобщенного уравнения нешотропной диффузии// Тез. Докл. Респуб. Научной конференции "Молодых физиков и математиков" , посвященная 75-лепш) ТатГУ. Ташкент,1995, С, 22.

5. Тожпеа Т.Х. Стохагшческие методы аппроксимации решения первой краевой задачи для обобщенного уравнения некзотропной диффузии / Деп.в ГОНТИ ГКНТ На 2654^Уз 97, С.И,

6. Тожиев Т.Х. Стохастические методы аппроксимации решения начальиг краевой задачи для обобщенного уравнение неизотропной диффузии Узбек. Мэтем. Журнал Л 999. 2. С.62-73.

Еаыи диффузия масалаларшшг Монте-Карло усулида ечиш.

Диссертация умумлашган нонзотроп диффузия тенгламасига ^уйилган Чегарапий масалаларнинг статистик моделлаштириш {Монте-Карло усулн) усулнда ечишга батшлонган б^лкб, у иккита боб ва иловадан ташкил топтан.

Умумлашгаи тгоизотроппк* тенгламасига zsjhnuraii бирттн чегаравий ^амда Копти масаласн ечпмлари учун силжимас ва е-силжнслн ба^олар rçypклнпш бпрнцчи бобда ^рганилгап.

Иккшии бобда ютуэркдагп хурнлган масалаларни ечкмларп учун тузилган алгорнтг.гллр, комплекс программа ^а^ида маълут.готлар ва сонлтг патплсалар жадпал пгагслнда берилгаи.

Шахаш Э^Млар учун TURBO-PASCAL тилида тузнлган комплекс программа матиларн нлопада келтирнлгап.

The method Monie-Karlo for solution a diffusion problems.

The dissertation is devoted lo solution of the problems for generalized nor.-isotropic diffusion equations by methods of statistical modelling (Monte-Karlo method) The dissertation consist of two chapters and appendix.

An unbiased and e-biased estimators of the solutions of initial-boundary and Cauchy problems for generalized non-isotwpic diffusion equations are investigated in the first chapter.

The algorithms of the solutions, complex programs and numerical results for the concrete problem are given in the second chapter.

ïhe texts of the programs in TURBO-PASCAL for PC are given in the appendix.

Подписано 6 печать 27.04.2000 г. Формат бумаги 60 х 84 1/16 Бумага типографская № 1 Объем 1,0 пл. Т-100 Зак. 130 Отпечатано на ротапринте в типографии ТИИИМСХ 700000, Ташкент, ул.Кары-№1язова,39