Метод полуклассического разложения и проблема связанных состояний в адронной физике тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

РГ6 од

Академия наук Украины - 1311'» Институт теоретической фшэнки

им. Я.Н.Боголюбова

Б а правах рукописи

ТУТИК Руслан Семенович

Метод попухлассического разложения и проблема связанных состояний в адронной физике

01.04.02. - теоретическая фиоика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора фшико-математичсскях наук

Киев - 1994

Диссертация является рукописью.

Работа выполнена на кафедре теоретической физики Днепропетровского государственного университета и в Институте теоретической фиоики им. Н.Н.Боголюбова АН Украины.

Официальные оппоненты:

1. член-корр. АН Украины, доктор физико-математических наук, профессор

2. доктор фиоихо-математических наук, профессор

3. доктор фиоико-математических наук, профессор

Фущич Вильгельм Ильич Ефимов Гарцй Владимирович Филиппов Геннадий Федорович

Ведущая органиоацид:

Харьковский физико-технический институт

Защита состоится " ^ ^ " 1994г. в * ** " час. на за-

седании специализированного Совета Д 016.34.01 при Институте теоретической фиоики им. Н.Н.Боголюбова АН Украины ( 252143, Киев-143, Метрологическая, 14-6 ).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института теоретической физики АН Украины.

Автореферат разослан "У " 1994г.

Ученый секретарь специализированного Совета, доктор фю.-мат. наук

В.Е.Куоьмичев

1 Общая характеристика работы

Диссертация посвящена ралработке теоретических основ п методов изучения связанных состояний в адронной фхгоике. Преследуемая цель состояла а развитии новых подходов а нахождению аналитических выражений дм собстве]шых функций и собственных значений квантово-мсханичесхих уравнений, с последующим применением их для описания ¡¡парк - антикнар-ковых систем, а также в выделении и аналиое регулярностей спектра ад-ронов. Центральным объектом диссертационного исследования являются реджс-траехтории, традиционно используемые в адронноп спектроскопии и представляющие собой в случае связанных состояний зависимость углового момента от энергии.

Актуальность проблемы.

Поучение связанных состояний является одной по важнейших задач квантовой механики, находящей свое приложение в различных областях фиоикн. Однако точные решения квантово-механических уравнений существуют только для очень узкого класса потенциалов, что делает актуальным построение разного рода приближенных методов. И хотя с развитием вычислительной техники большой прогресс достигнут в разработке алгоритмов численного решения, важное место в практике по-прежнему отводится аналитическим методам. Как правило, они выступают в виде различного рода разложений, для которых стремятся добиться алгебрашзации процедуры нахождения кооффициентов, сводящейся к решению простых рекуррентных соотношений.

Наиболее разработанным и широко применяемым методом приближенного решения является логарифмическая теория воомущенни. Однако данный формалном, допуская простые рекуррентные формулы для основного состояния, становится очень громоодким и мало пригодным для нахождения поправок высокого порядка даже в случае первых вообужденных уровней. Кроме того, в практике часто встречаются оадачн, в которых рзоби-ение потенциала воаимодействия на точно решаемую часть и воомущение либо нежелательно, либо вообще невозможно. Поэтому особый интерес представляют так называемые нспертурбативные методы, нсполъоующие в качестве параметра разложения величины, не входящие як но в потенциал.

Первым, по сути, непертурбативным методом явилось квапиклассэте-ское разложение по постоянной Планка, предложенное Вентцелем, Крамер-сом, Бршшюоном в получившее название ВКБ-прпблнжения. В общем случае применимость отого метода оправдана только для высоконообужден-ных состояний, соответствующих большим значениям радиального хвал-

тового числа п.

В то же время при изучении связанных состояний наибольший интерес представляют именно ниоколежащиё энергетические уровни. И хотя поиски удобного алгоритма для их описания в рамках кваоиклассичсского подхода и продолжались более шестидесяти лет, но к ¡заметному успеху не привели. Зато в последнее десятилетие был найден и получил интенсивное рашштие метод {/И - разложения. Будучи непертурбативным, так как разложение проводится по обратным степеням раомерности пространства N, отот метод с точки зрения техники вычислений является логарифмической теорией воомущений, с присущими ей недостатками при рассмотрении раднально -возбужденных состояний.

Таким образом, можно утверждать; что построение удобной процедуры нахождении решений квантово - механических уравнений для иизколежа-щих связанных состояний по-прежнему остается актуальной оадачей.

В настоящее время многие явления адронной физики нашли свое объяснение в рамках квантово - полевой калибровочной теории кварк-глххшного юапмодействия - квантовой хромодинамики (КХД). Этот подход окаоался особенно плодотворным при исследовании жестких столкновений и ояектро - слабых свойств адронов. Но в ряде важных случаев, в первую очередь при объяснении спектра адронов, вооникают принципиальные трудности, свя-оанные ^ необходимостью испольоования непертурбативных методов вычислений. Поэтому особое внимание уделяется раовитию различных модельных построений.

В частности, открытие тяжелых J/Яl хваркониев вызвало оаметньш интерес к потенциальным моделям, инициированным КХД. При отом оказалось, что до настоящего времени так и ие бып найден удобный алгоритм восстановления редже-траекторий по оаданному потенциалу. Это вынуждает, как правило, обращаться к численному решению квантово - механических уравнений, что не позволяет проследить аналитическую зависимость от параметров потенциала и приводит иногда к неверным выводам.

Другой, не менее важной проблемой является выделение регулярностев адронного спектра. В различных теоретических построениях, основан ных на кварк-гдюонной картине взаимодействия, обычно имеют дело основным приближением, таж называемым кварк-глюонным или планар ным уровнем описания. Для него характерно пренебрежение рождением 1 аннигиляцией кварковых пар и рассмотрение только "планарных" ди аграмм, идущих оа счет обмена ыдгкимн глюонами. На планарном уров» выполняется правило Окубо-Двейга-йндзуки (ОЦИ) я справедливо обмен ное вырождение редже-траекторий. Примерам и таких основных прибли-

кеннй являются планарные траехтории в дуальной 5- матричной теории [ "голый" адронный спектр в моделях, инициированных КХД.

В то же время оксиеримептальные данные свидетельствуют хая о нарушении правила ОЦИ, так и о снятии обменного вырождения траекторий. 1ричина состоит в том, что для описания фиоических адронов необходимо юмимо планарного уровня учитывать еще и непертурбативные поправк бусловленные, главным обраоом, вкладами: адронных петель в пропага-•ор реджеона; связанных состояний глюонов - глгаболов в иооспнглетные варюниумы; а также диаграмм, имеющих топологию цилиндра и тора.

Однако учет непертурбатпвных поправок носит модельный характер, ;то ставит проблему количественного выделения вклада планарной компо-елты по фиоической траектории для восстановления параметров межхвар-ового воаимодействия, объяснения природы нарушения обменного воап-юдействия и понимания явлений, не получивших еще строгого описания в 1ХД. В настоящее время эта проблема не может быть решена в рамках амоя КХД, что делает актуальным привлечение дополнительных подхо-ов.

Целью работы является;

• Разработка основ полуклассического подхода с последующим приложением к построению алгоритмов, свободных от недостатков метода 1/ДО- разложения и позволяющих получать уровни онергип и редже-траектории для ншколежащих свяоанных состояний как нерелятн-вистского, так и релятивистских квантово - механических уравнений в виде равложений по постоянной Планка сколь угодно высоких порядков.

• Явная подуклассическая трактовка метода 1 |N- раодожения я поучение его свяои с ВКБ-приближением.

• Построение аналитических выражений для редже-траекторий потенциальных моделей кварконйев и исследование их поведения.

» Поучение свойств планарного приближения и нахождение соотношении между параметрами редже-траекторий на пяанарном уровне,

• Раоработка метода выделения кварковых и адронных компонент редже-траекторий, и применение его для аналиоа спектра векторных и тен-оорных меооно» и объяснения природы нарушения обменного вырождения траекторий.

Научная иовиона настоящей работы определяется тем, что:

1. Развит пояукяассический подход, яьно дополнительный киаиикласси-ческому методу Вентцеля-Крамерса-Бриллюона и направленный на поучение ииоколежагцих связанных состояний хак нерелятивистского, так и в релятивистских квантово - механических уравнений.

2. Впервые предложены (эффективные алгоритмы нахождения квантовых поправок, в принципе, любого порядка по постоянной Планка, как для собственных оначений энергии, так и для редже - траекторий, сводящиеся к решению рекуррентных соотношений, одинаково простых и для основных и для радиалыю- вообужденных состояний.

3. Впервые дана явная нолуклассическая трактовка 1///- разложения к покаоано, что различные его модификации являются частными случаями предложенного в диссертации метода.

4. Впервые получены точные решения Л'-мерных уравнений Клейна -Гордона и Дирака с кулоновскими потенциалами, имеющими как ло-реиц - векторную, так и лоренц-скаиярную составляющие.

5. Впервые найдены аналитические выражения для редже-траекторий по-теягчальных моделей кваркониев и проанализированы их свойства.

6. Получены неравенства нового типа, регламентирующие порядок следования энергетических уровней для степенных потенциалов.

7. Впервые выведены соотношения между параметрами редже - траекторий для 5У(4)- двадцатиплетов барионов, следующие ио условия унитарности, дуальности и факторизации вычетов полюсов Редже.

8. Впервые сформулирован метод разделения хварковых и адронных компонент редже - траекторий, основанный на дисперсионном подходе с учетом свойств ппан&рного уровня, и реализован для случая векторных е тензорных мезонов.

9. Впервые дана количественная оценка эффектов, нарушающих правило обменного вырождения меоонных редже - траекторий.

10. Предложен новый подход к вычислению глюболыюй принеси в тензорных меоонах.

Практическая ценность. Методы и оригинальные результаты, описанные в диссертации могут наитн широкое применение в различных те-ореткческих исследованиях. Лодукдассический подход, развитый для решения квантово-механических уравнений уже нспояьоуется (зарубежными

авторамп. Представляется перспективным дальнейшее его применение в атомной и молекулярной спектроскопии, физике твердого тела, а также для лучшего понимания связи между квантовым и классическим описаниями физической системы. Выделение кварковой компоненты редже-траекторий будет способствовать восстановлению параметров межкваркового воаимо-действия, объяснению и предсказанию спектра адронов.

2 Основные результаты, выносимые на оанщту

1. Новый подход к построению и классификации полунлассических методов исследования низколежащих связанных состояний.

2. Вывод рекуррентных формул для нахождения редже-траекторий свя-о&нных состояний квантово-механических уравнений.

3. Явная полуклассическая (в виде Л- разложения) трактовка метода 1//Y- разложения и новый алгоритм нахождения его кооффициентов, свободный от недостатков ранее предложенных схем.

4. Точные решения N -мерных уравнений Клейна-Гордон а и Дирака с ку-лоновскими потенциалами, имеющими лоренцовские векторную и скалярную составляющие.

5. Вывод аналитических выражений для редже-траекторий потенциальных моделей кваркониев и анализ их свойств.

6. Формулировка и обоснование феноменологической модели барионных редже-траекторий и описание спектра масс SU(4) двадцатиплетов (3/2)+ и (1/2)+.

7. Метод выделения кварковых компонент редже-траекторий с применением к анализу данных о векторных и тензорных мезонах.

8. Объяснение природы нарушения обменного вырождения траекторий и вычисление величины глюбольной примеси в /2(1270) в /¿(1525) мезонах.

Апробация диссертации. Результаты работ, составивших основу диссертации, докладывались на семинарах ИТФ АН Украины, Всесоюоном совещании по проблемам современной квантовой теории поля и физике элементарных частиц (Ташкент, 1979 г.), научных сессиях Отделения Ядерной физики АН СССР (Москва, 1978-1989 гг.), Всесоюоных совещаниях "Ад-роиы" (1987-1991 гг.), а также на следующих международных конференциях: VII Варшавском симпозиуме по физике элементарных частиц (Кааи-меж, 1984 г.); Международном Совещании "Физика на УНК" (Протвино, 1989 г.); XII Европейской конференции по малочастичным системам (Ужгород, 1990 г.); Международной конференции "Адроиная материя в окстре-

- s -

мальных условиях" (Одесса, 1991 г.); Международном Совещании "Адроны 92" (Киев, 1992).

Публикации. Основные результаты опубликованы в 23 работах, списо »оторых приведен в конце автореферата.

Объем и структура диссертации. Диссертация состоит по введение двух частей, содержащих 4 п 3 главы, соответственно, заключения п би бллографического списка основной испольоованнои литературы но 219 на именованпй.Обшдй объем диссертации составляет 260 страниц машинопи сного текста, включал 22 рисунка и 29 таблиц.

3 Содержг\ние работы

Первая часть диссертации посвящена, разработке методов исслсдова. иия ниоколежащнх свяоаниых состоянии и нахождению аналитических вы ражения для собственных значений энергии и волновых функций квантов; - механических уравнений.

Во введении обосновывается актуальность темы, формулируются пре следуемые цели и дается краткое содержание диссертации.

В первой главе на примере одномерного уравнения Шредингера про водится критический анализ принципов построения и свойств модпфпка ций метода ВКБ, направленных ira улучшение описания ниоколежащю уровней онергни. Покаоано, что наиболее наглядно причина более точног< описания высоковообужденных состояний проявляется в схемах, исполь оующих, после перехода к логарифмической проиоводной волновой фун хции С(х) — bU'(x)/U(x), принцип аргумента в виде условий квантованш Цваана-Данхома

n — Q, 1,... (1

Она состоит в применяемом в ВКБ-приближении правиле перехода к клас сическому пределу, фиксирующем порядок величины hn ~ 0(1), что под рааумевает большие оначсиия радиального квантового числа п ~ 0(А~1) Поотому различные модификации этого метода, преднаоначенные для опи сания ниоколожащпх состояний, но сохраняющие правило перехода

7t —• 0, п — оо так, что ftn — consi, (2

будут внутренне противоречивыми и неспособными решить поставленнук

оадачу.

В «1.3 предлагается новый эффективный полуклассический подход к нахождению собственных функций и собственных значений волновых уравнений. Он основан на использовании альтернативной возможности перехода к классической механике согласно правилу

Л -f 0, п = const, Ьп 0, (3)

что делает его явно дополнительным методу ВКБ и направленным на рассмотрение нпзколежащпх уровней.

При этом само понятие классического предела приобретает уже иной смысл, так как при h — 0 система переходит в состояние с энергией, минимизирующей классический гамильтониан. Это, естественно, приводит к необходимости учитывать квантовые флюктуации и искать энергию в виде разложения по степеням Л, с нулевым приближением, равным значению потенциала в точке его минимума.

С технической стороны оффективность данного подхода обусловлена тем, что величина tin становится теперь порядка Л я условия квантования принимают вид

^-Jck{z)dz = 0, vfcjftl.

В то же время, при h — 0 вследствие правила перехода (3) классические точки попорота сливаются, обраоуя в точке минимума потенциала нуль функции C<)(z), порождающий, в свою очередь, кратные полюсы функций Сд.(а;). Разложение функций С^(х) в ряды Лорана в окрестности отой точки и применение теоремы о вычетах позволяет переписать условия квантования (4) в впде

= (5>

В результате этого алгоритм метода удастся свести в алгебраической процедуре решения рекуррентных соотношений, имеющих одинаково простой вид кал для основных, так и для радпально-возбужденных состояний:

' 2mEh = -С&, - £ («>

jm0 fn*Q

где лорановскне кооффицпснты С* для слагаемых C*(s) Л-разложенпя логарифмической производной определяются формулой

' 2 СИ

-(3 - 2к + /)Cf"! - £ £ С'СН - 2 £ С»С1,

(7)

начальные значения Cf которой ¡задаются параметрами потенциала.

Дальнейшее применение компьютерных программ дает возможность на ходить квантовые поправки, в принципе, любого порядка по h как чпеленно так и в аналитическом виде.

В данной главе также обсуждаются границы применимости и свойстве развиваемого подхода. Отмечено, что приближение первого порядка по 1 в разложении энергии соответствует оецплляторным колебаниям в окрестности точки минимума потенциала.

Показано, что предложении л метод, называемый далее h разложением является достаточно универсальным и позволяет проводить разложения н< только энергии, но и любого параметра уравнения Шредингера.

Во второй главе диссертации свойство универсальности ft- раопоженил получает свое дальнейшее развитие при распространении данногс метода на случай трехмерного пространства. При атом основное внимание уделяется построению алгоритмов восстановления редже - траектории а(Е) = ЩЕ), для связанных состояний квантово - механических уравнении но заданному потенциалу.

Сначала рассматривается нерелдтивистское уравнение Шредингера Специфика лолуклассического подхода к решению радиального уравнена* связана, прежде всего, с наличием помимо радиального, еще и орбитального квантового числа, для которого также необходимо задать правило перехода к классическому пределу. Принимая во внимание, что поставленное целью является нахождение редже-траехторий, для орбитального момеитг выбирается следующее правило перехода

" Ь — 0, ¡-хх> так,что Ы — const. (8]

Тогда Ы представляет собой некоторую функцию, оависящую от Л и стре мящуюся к постоянной при h — 0, что позволяет рассматривать в виде /> раоложения вместо энергии уже орбитальный член радиального уравненш Шредингера

л(г)=й(/+1)=£л*(г)к4. (в;

¿»о

В пределе h = 0, согласно принятому правилу классического перехода (3) частица теперь будет находиться в точке минимума эффективного потен цк ал а

^(r) = VC) + A0/2mr1, (Ю:

т.е. двигаться по стабильной круговой орбите радиуса го с онергией Е -КффЫ и классическим угловым моментом

Бри этом нулевое приближение Ло(7J) разложения (9) приобретает смысл "критической", или "бифуркационной", кривой, разделяющей (L, Е)- плоскость иа разрешенную область п область, где движение классической частицы с угловым моментом L при заданной энергии Е вообще невозможно.

Техника реализации Л- разложения для угловых моментов не на много отличается от рассмотренной для энергий одномерного уравнения Шре-дингера, приводя к простым рекуррентным формулам, аналогичным выражениям (б), (7) и позволяющим находить поправки любого порядка по Л в численном или аналитическом виде.

В разделах 2.2 и 2.3 дано обобщение развиваемого формализма на случай релятивистских уравнений Клейна-Гордона и Дирака с потенциалами, имеющими лоренц-скалярную и лоренц-векторную составляющие. Показано, что для кулоновского взаимодействия, а для уравнения Шредингера еще и для осцилляторного, ряд по степеням постоянной Планка для редже-траекторий обрывается, приводя к аналитическим выражениям, совпадающим с точными решениями.

На примерах потенциалов, нашедших широкое применение в адронной спектроскопии, изучается скорость сходимости получаемых разложений. Отмечено, что уже учет поправок порядка Ь3 обеспечивает точность вполне достаточную для практических расчетов.

Третья глава посвящена исследованию связанных состояний в N - мерном пространстве. Здесь дается обобщеьпе метода h - разложения для редже-траекторий на случай центральных потенциалов в N - мерном пространстве, что диктуется потребностью проследить изменение решении уравнении при переходе от одной размерности пространства к другой. Показано, что для некоторых задач квантовой механики анализ связанных :остоянии в (I, Е) - плоскости имеет преимущества перед традиционными методами, так как переход к другой размерности пространства сводится зля редже-траекторий только к их сдвигу, как целого. Данное свойство ис-тользуется для разрешения некоторых парадоксов в поведении собственных значений энергии вращающегося гармонического осциллятора при пе-)еходе от трехмерного описания к двумерному, не нашедших своего объя-:нения в других подходах.

В данной главе также найдены точные решения N -мерных уравнений Слейна-Гордона и Дирака для связанных состояний в поле кулоновского готенциала притяжения, имеющего как общепринятую лореяц-векторную iacTb V(r) = -b/r, представляющую собой временную компоненту четы->ехмерного вектора, так к лоренц-скалярную составляющую S(r) = -с V.

Обнаружено, что полученный онергетический спектр уравнения Дирака:

Е = (7 + п)™+(Ь/Пс¥ ((7 + «)У(7 + й)а-(в/Лс)а + (6/М»- аЬ1[1гс?\,

(11)

где

7 « [Х3 + (а/Ис)2 - (Ь/ЬсП'2, Х » + 2} ~ 2)/2, )-{-я/2, п = п + (з + 1)/2, з = = ±1,

переходит в спектр уравнения Клейна-Гордона при формальной подстановке з = 0 в выражения для у а ».

В четвертой главе диссертации раовивается метод Л - разложения для нахождения собственных оначеиий онергии трехмерного уравнения Шредингера и дастся его обобщение на релятивистский случай уравнений Кнейна - Гордона и Дирака.

Здесь также испольоуются правила перехода к классическому пределу для радиального (3) и орбитального (8) квантовых чисел. Однако, в отличие от метода нахождения редже-траекторий, в данном случае Л- разложение применяется как к онергии, так и к орбитальному слагаемому уравнения Шредингера. Причем последнее представляется » виде

Ла/(/+1 ) = А7 + ПЛА + ?17В. (12)

Получены рекуррентные формулы, одинаково простые как для основных, так и для радиально-вообужденных состояний. На конкретных тгрв-ыерах исследуется скорость сходимости метода и ее оависнмость от выбора начального приближения Л.

Покаоаио, что различные варианты 1/ДО - разложения являются частными случаями Ь - разложения, отличающимися только выбором Л в выражении (12). Тем самым, с одной стороны, дается явная (в виде Л- раоло-жения) полуклассическая трактовка 1 /// - метода и выясняется причина его дополнительности ВКБ-приближеншо. А с другой — формулируется новый эффективный алгоритм нахождения коэффициентов 1//У - раоложе-ш, одинаково простой и для основных и для радиалыю-вообужденных состояний, что устраняет существенный недостаток стандартных схем - разложения.

В $4.2 н §4.3 проводится обобщение метода Ь- разложения на релятивистский случай уравнений Кяейна-ГЪрдона и Дирака. При этом удается преодолеть трудности, обусловленные нелинейным включением алергав в ути уравнения, и, так же как н для уравнение Шредингера, сформулировать алгоритм решения в виде простых рекуррентных соотношений. В отличие

)Т обычно используемых схем 1/N - разложения, данный подход не сводит ¡сходные уравнения путем отбрасывания некоторых слагаемых к виду, ло-1обному шредингеровсхому, что позволяет восстановить точные решения ;ля кулоиовского потенциала.

Вторая часть диссертации посвящена исследованию вопросов адр н-юи спектроскопии.

В пятой главе диссертации с помощью И - разложения находятся и 5сследуютсл аналитические выражения для редже - траежторпй потенциальных моделей квархониев, представляющих собой связанные состояния сварка п антикварка.

В §5.1 анализируются траектории для запирающих потенциалов типа 'воронки". Обсуждается изменение пх поведения при переходе от нереля-гпвпстского описания к релятивистскому. Оценивается влияние дополнительного кулоиовского слагаемого, появляющегося на больших расстояниях 5 потенциалах струнных моделей и приводящего к проблеме перераспределил кулоново-подобной части потенциала между лоренц-векторной я горенц - скалярной компонентами.

В §5.2 строятся редже-траектории и изучаются их свойства для случая {ппояьного полевого взаимодействия, описываемого потенциалом

• " 25~г1п(В + 1/(Аг)*) - ТЕНТ + С0Ш- (13)

Гахоц потенциал, асимптотически выходящий на константу, уже не обеспечивает полного запирания нвархов. Похаоано, что в отой модели "негодного хонфайнмента" возможность рождения цветных состоянии, хотя, в принципе, п существует, но не реализуется ввпду высокого порогового значения Мтах «5-5-7 ГоВ. При отом для онергай Е < Мтая остаются справедливыми представления обычного хонфайнмента.

Рассмотрению ограничений, следующих из полуклассического представления редже-траехторий в виде к - разложения для степенных потенциалов У(г) = Л г", посвящен 55.3. На основе полученных ограничении Выводятся неравенства нового типа, такие как

при {V + - 2)> О, (14)

где р « {р + 2)/2и, которые регламентируют порядож расположения энергетических уровней и поовоаают оценивать степень роста потенциала по заданным трем соседним состояниям.

В $5.4 исследуются траектория Редге для уравнения Шрединге^а с потенциалом г313. В реоуаьтате анаяиаа аналитического представлены рецж»

- траекторий опровергается распространенное в литературе мнение о проявлении их асимптотического поведения уже в резонансной области.

Шестая глава посвящена выводу соотношений на планарном уровне между наклонами и интерсептамп барионных редже-траекторий. Основой аналиоа является применение дуальной аналитической модели, позволяющей использовать нелинейные рсдже-трасктории, к процессам, связанным условием факторизации. Строится феноменологическая модель барионных траекторий для 4) двадцатнллетов (1/2)+ и (3/2)+. Выводятся редже-вскис массовые формулы и обсуждается спектр масс.

Для двадцатиплета (3/2)+ показано, что наклоны редже-траекторий, соответствующих бар ионам разного кваркового состава, связаны ф авторизационными соотношениями, в то время как для интерсептов справедливо правило ожвлдистантности:

«в(0) = вд(0) + и + &г,

«'в = (15)

где 6 = аЕ(0) - ад(0), & = а£с(0) - ад(0) 1), = о^ : а'Д) цс = а'^ : ог^, д - число ¿-кварков, г - число с-кварков и не делается различия между и- и (I- кварками.

В случае же мультиплета (1/2)+ формулы для интерсептов принимают вид, аналогичный правилу масс в нарушенной 8и(4) симметрии:

<иа.(0)-а*(0) = ап„(0) - огЕ(0)

«Я.(0)-'ллг(0) = <*пс(0)-огЕ{0)

= аЕг(0)-1/4(ЗаА(0) + «Е(0)1 (16)

= Д[аЕ(0)-М0)],

<*л«(0)-ал(0) = ан<х(0)-1/4[3«Е(0) + аА(0))

= Д[аА(0)~л„(0)1.

Принимая во внимание доминирующую роль пленарного уровня, для проверки соответствия найденных соотношений экспериментальным данным в §6.3 строится феноменологическая модель барионных редже - траекторий. В ней используется следующая параметризация

вд» = аа(0) + »?«г/сгт0), 1/ = ±, (17)

явно упитывающая симметрию Мак-Даувлла и КХД-мотивированное рас-щепкйНЕе между мультиллетами противоположной четности V.

Га основе этой параметризации выводятся массовые формулы, типа

лгд(тд±тп0) + гЦтпа(та±гЦтп0)

- ± »/;"»„) + т?,тя(то3 ± т],то), (18)

отличающиеся от линейной и квадратичной массовых формул Гслл-Манна-Рхубо и лучше согласующиеся с экспериментальными данными.

Обсуждается полученный спектр масс для .5/7(4) двадцатиплетов. По значениям масс Лс(2280) и Ес(245о) барионов для состояния предсказано — 2.407 ГоВ, подтвержденное последующим экспериментально -измеренным значением т = 2.4665 ± 0.0029 ГоВ.

Седьмая глава посвящена детальному исследованию имеющейся экспериментальной информации о векторных и теноорных мезонах, с целью количественной оценки величин вкладов различных эффектов в нарушение обменного вырождения траекторий полюсов Редже. Предлагается метод выделения кварковых (планарных) и адронных компонент редже-траекторий.

В §7.1-7.3 формулируется постановка задачи и дается описание метода выделения квартовой а адронной компонент редже-траекторий, построенного по следующей схеме.

Планарная компонента является основным приближением к физической траектории. Для нее справедлив ряд закономерностей, таких как обменное вырождение, чистота состояний, факторизация наклонов н соотношения между интерсептами. Адрониая компонента определяет лишь поправки к основному приближению, возникающие оа счет непланарных эффектов и процессов адрониоации, обуславливающих свяоь кварк-глюонного сектора с адронным.

Уравнение, учитывающее распады планарных реджеонов на адроны, записывается в виде

= РРи* + РТил<гРРъ» (19>

где

1 о ••

Гр1ал<

(20)

- планарные редже-траектории, а <гц(л) - ядро, описывающее переходы между кварховым и адронным секторами.

Тогда траектории физических реджеонов находятся ио уравнения

<1е1(1 - Р?1ал<г). (21)

Для состояний с ненулевым изоспином уравнение (19) становится диагональным, и свяоь между физическими ак(з) и планарными äk(s) траекториями принимает простой вид

ОкС») = &k(») + **(«). (22)

к = р, а2, 1С, ак($) = сгкк.

Для вакуумных аддитивных квантовых чисел уравнение (19) связывает пары редже-полюсов /г-/|ии-^,а ядро ац(») для каждой пары представляет собой матрицу (2x2).

В отличие.от кварковой компоненты ö(«), ядро а(з) имеет адронные пороги и для него может быть использована традиционная концепция правой аналитичности, п озволяющая записать дисперсионное соотношение

При вычислении дисперсионных интегралов значения 1так{тг) в положениях реоонансов восстанавливались из характеристик распадов

Imak((mt)>) = Imak((mt)2)=Rea'k((vitnm?Tt, (24)

где mf u Ff - масса и полная ширина распада резонанса со спином / на к-ой траектории; а между положениями реоонансов параметризовались прямой линией.

Учет таких ненланарных поправок как вклады тороидальных и цилиндрических диаграмм, а также векторных и теноорных глюболов, определяющих дополнительное расщепление обменно вырожденных траектории производился с помощью феноменологических коэффициентов, усиливающих распады соответствующих реджеонов.

И, наконец, само выделение планарной компоненты редже - траекторий как подчиняющейся найденным закономерностям, проводится путем мини мизацив всех имеющихся экспериментальных данных о массах и ширинам реоонансов, с использованием значений параметров, полученных по высо хоонергетического рассеяния.

В §7.4 обсуждаются результаты проведенного анализа данных о век торных и теноорных мезонах. Показано, что вырожденность траекторш н чистота состояний, обеспечиваемые иа планарном кварковом уровне, на рушаются нестабильностью реджеонов, т.е. их связью с адронными кана лами. Обнаружена заметная нелинейность траекторий на планарном уро вне, учет которой позволяет согласовать их поведение при переходе ш области рассеяния в область реоонансов.

Р результате минимизация по всем имеющимся экспериментальным данным для планарных (квартовых) компонент траекторий получено:

áuu(.s) = -0.037 + 0.7255 + 0.030.12, a4j(s) = -0.106 + 0.f>65s + 0.023.S2, (25)

= -0.175 + 0.61 Ь + 0.018а1.

Выяснено, что для иоосннглетных мсоонов дополнительным фактором нарушения обменного вырождения является "непосредственное" взаимодействие кварколиумных реджеонов с глюболами.

В §7.5 проводится дальнейшее исследование нзосинглетных тензорных мезонов и дается оценка их глюбольной примеси.

Пиобольным состояниям соответствуют диаграммы, имеющие топологию цилиндра и нарушающие правило Окубо-Цвейга-Иидоуки. Для их количественной оценки ключевым является но-воаможностн более точное выделение вклада планарных дпаграмм, что становится возможным в результате нахождения планарных компонент реджс - траекторий. Поэтому в рамках дуальных моделей, используя явный вид кварковых компонент (25), рассмотрены распады векторных п тензорных мсоонов в планарном приближении.

Параметры моделей находились по данным о хорошо поученных восьми мезонах, которые не могут смешиваться с глюболом, и затем использовались для описания планарных распадов /:(1270) и /j(1525).

Оказалось, что если для распадов мезонов с / £ 0 согласие теоретических и (экспериментальных значений для парциальных ширин достаточно хорошее (х2 = 0.5), то для распадов /2 — тг7г и Д — КК оначения ширин на планарном уровне значительно ниже экспериментальных, что свидетельствует о наличии вклада диаграмм типа цилиндра и необходимости введения глюбольной примеси.

Используя экспериментальные и вычисленные теоретические оначения приведенных вершин, для матрицы смешивания "чистых" состояний |ий), 1«>> \9У) получено:

0.995 ±0.004 0.080 ±0.075 0.049 ±0.003 -0.0S3 * 0.075 0.994 ± 0.004 0.058 ±0.003 -0.049 ±0.003 -0.062 ±0.003 0.997 ±0.004

где G - реальный глюбол.

Найдено, что величина приведенной вершины глюбольной компоненты в нескольхо pao превышает оначение для кварковых компонент. Поэтому ширины распадов глюбояа будут намного больше мотонных, что делает проблематичным его экспериментальное наблюдение.

h }

h UJ

\ ( |uñ> 1

| Щ , (26)

{ 199) t

В оаключениц выделены основные реоультаты диссертации, которые сводятся к следующему:

1. Показано, что в дополнение к кваоиклассическому ВКБ - приближена», в основе которого лежит переход к классическому пределу согласно правилу Ь 0, п -» оо, tin — const, существует альтернативный подход, более соответствующий исследованиям низ ко лежащих уровней, с правилом перехода h -* 0, п = const, 1т — 0.

2. Разработан новый метод, названный методом ft-раоложения, для построения решений одномерного уравнения Шредпнгера, сосредоточенных в окрестности минимума потенциала, базирующийся на использовании логарифмической производной волновой функции с дальнейшим применением принципа аргумента и перехода х классическому пределу согласно правилу: Л —♦ 0, п — const, hn —► 0. Алгоритм метода сводится к простым рекур-ронтным формулам, позволяющим находить поправки любого порядка по Л как численно, так и в аналитической форме.

3. Построен эффективный алгоритм /¡-разложения для нахождения аналитических выражений для редже-траекторвй свяоанных состояний как нерелятивистского уравнения Шредингера, так и релятивистских уравнении Клейна - Гордона и Дирака.

4. Дано обобщение предложенного метода построения редже - траекторий на случай N-мерного пространства. Показано, что исследование связанных состояний в (/,£)-плоскости пооволяет объяснить некоторые парадоксальные свойства поведения собственных оначений анергии при переходе от одной размерности пространства к другой, не нашедшие своего объяснения в других подходах.

5. Найдены точные решения для уравнений Клейна-Гордона н Дирака в //-мерном пространстве с кулоновскими потенциалами, имеющими лоренц-векториую и лоренц-скалярную составляющие.

в. Рассмотрена явная полуклассическая (в виде ft- разложения) трактовка метода 1/N- разложения. Доказано, что его различные варианты являются частными случаями ft- разложения, отличающимися только выбором начального приближения. Тем самым сформулирован новый подход к вычислению коэффициентов 1/N- разложения, устраняющий недостатки ранее предложенных алгоритмов.

7. Найдены аналитические выражения дня редже-траекторий уравнений Шредингера, Клейна-Гордона и Дирака с запирающими потенциалами типа воронки и проведено их исследование. Построены редже-траектории для случая динольного представления глюонного пропагатора, реализующего возможность рождения цветных объектов, и проанализированы их

свойства.

8. Получены ограниченна на поведение редже-траекторий, приводящие к неравенствам нового типа, регламентирующим порядок следования энергетических уровней степенного потенциала.

9. В результате анализа аналитического представления редже - траекторий для потенциала г2'3 опровергнуто мнение о проявлении их асимптотического поведения уже в резонансной области.

10. Покапано, что на планарном уровне при оамене кварка одного аромата на другой нахлоны редже-траекторий двадцатиплетов барионов (3/2)+ и (1/2)+ связаны условием факторизации, в то время как их ин-тсрсепты подчиняются соотношениям, следующим ио нарушенной 5£/(4) симметрии.

11. Построена модель барионных редже - траекторий, использующая представления КХД н приводящая к новым массовым формулам, хорошо согласующимся с экспериментальными данными о (и,(1,з) - секторе п предсказавшим с высокой точностью положение недавно найденного резонанса

¿С'

12. Разработан метод выделения кварковых и адронных компонент редже - траекторий. Проведен анализ имеющихся экспериментальных данных о векторных и тензорных мезонах и найдены компоненты их редже -траекторий.

13.Показано, что нарушение обменного вырождения реджеонов с одинаковой кварковой структурой обусловлено, в первую очередь, различной связью кваркового и адронного секторов. Выяснено, что для тоосинглет-ных мезонов дополнительным фактором нарушения обменного вырождения является влияние глюболов.

14.Построена модель смешивания тензорных мезонов с гяюбояом н определена величина глюболыюй примеси в /3(1270) и /¿(1525) мезонах.

4 Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Тутик Р.С. Соотношения между параметрами траекторий Редже я новые массовые формулы для дехулдета бярноновЦ УФЖ.-1981.-26, N 12.-С. 1937-1942.

2. Glushko N.I., Kobyl'meky N.A., Shelest V.P., Tutik R.S. Hadroa instability and planar Regge trajectories// Proceedings of the VII Warsaw Sympo-

sium on elementary particle physics, Xazimierz, Pdand.-Warezawa, 1984.-P. 495-501. '

3. Глушко Н.Й., Кобмлинскин H.A., ТУтнк P.C., Шелест В.П. Киарко-вые к ал ройные компоненты л ре;; же - траекториях// ЯФ.-1987.-46, N 6(12).-С. 1747-1758. ( Preprint ITP-86-157E, Kiev, 1986 ).

4. Косенко А.И., Тутик P.C. Модель р од же- траск го рай для очарованных бириоиов (1/2)+// УФЖ.-1990.-35, N 9.-С. 1292-1297.

5. Kobylinsky N.A., Stepanov S.S., Tutik R.S. Now scmiclassical approximation for quarkonia Hegge trajectories// Phys.LeU.-1990.-B235, N 1-2.-P. 182-186. ( Preprint ITP-89-56E, Kiev, 1989 ).

6. Kobylinsky N.A., Stepanov S.S., Tutik R.S. Scmklassical approach to ground states within the Klein- Gordon equation// J.Phys.-1990.-A23, N 6.-P. I237-L241. ( Preprint ITP-89-57E, Kiev, 1989 )

7. Kobylinsky N.A., Stepanov S.S., Tutik R.S. ft- expansion for Rcgge trajectories: l.Thc Schrödinger equation// Z.Phys.-1990.-C47, N 3.-P. 469-475. ( Preprint ITP-89-58E, Kiev, 1989 ).

8. Stepanov S.S., Tutik R.S. How can the 1/N- corrections be easily found in the Schrödinger equation framework// Few-body problems in particle, nuclear, atomic and molecular physics: Proceedings of the XII-th European confer once on few-body physics.- Uzhgorod, 1990.-P. 318.

9. Korobov V.P., Stepanov S.S., Tutik R.S. The rotating oscillator in the N-dimensions: the (/, E)- plane analysis.- Kiev, 1990,- 20 p.-

( Preprint ITP-90-76E ).

10. Stepanov S.S., Tutik R.S., Yaroshenko A.P., Schlippe W. von. Sewiclassi-cal quantization non-manifestly using the method of harmonic balmce// Nuovo Cimento.- 1991.-B10Ö, N 3.-P. 329-333. ( Preprint ITP-90-52E, Kiev, 1990 ). .

11. Степанов C.C., Тутик P.C. Новая техника 1 /п-раоложения// ЖЭТФ.-1991.-100, N 2(Б).-С. 415-421.

12. Stepanov S.S., Tutik R.S. A new technique for deriving the large - N solution of the Klein-Gordon equation// J.Phys.-1991,-24, N 9.-P. L469-L474.

13. Степанов C.C., Тутик P.C. Редже - траектория для N - мерного уравнения Шрецингерь// УФЖ.-1991.-36, N 8.-С. 1262-1270.

•14. Stepanov S.S., Tutik R.S. Л - expansion for Regge Trajectork

2, H*)*tivi*tic »quationfi- Kiav, 190П.- 18 p. ( Preprint 1TP-92-14E).

15. Степанов С.С., Тут'пк Р.С. l/n-рааложепие для ургьяепня Клейна-Гордояа// ЖЭТФ.-1992.-101, N 1.-С. 18-25.

16. Степанов С.С., ТУтик Р.С. Ь-разложенне для связанных состоянии уравнения Шрсдингсра// ТМФ.-1992.-90, N 2.-С. 208-217.

17. Tutik R.S. Exact solution of the N- dimensional generalized Dirac-Coulomh equation// J.Phys.-1992.-A25, N 8.-P. L413-417. ( Preprint 1ТР-91-107Б, Kiev, 1991 ).

18. Tutik R.S. Bound states of the N- dimensional Klein-Gordon equation with vector and scalar Coulomb potentials - Kiev, 1992.- 8 p.-

( Preprint ITP-92-13E ).

19. Stepanov S.S., Tutik R.S. A new approach to the l/N - expansion for the Dirac equation// Phys.Lett.-1992.-AlG3, N l.-P. 26-31. ( Preprint ITP-91-94E, Kiev, 1991 ).

20. Kholodkov A.V., Paccanoni F., Stepanov S.S., Tutik R.S. Regge trajectories for the dipole field interaction and the quark confinement// J.Phys.-

1992.-G18, N G.-P. 985-992. ( Preprint DFPD 91 TH 34, Padova, Italy, 1991 ).

21. Paccanoni F., Stepanov S.S., Tutik R.S. Regge trajectories and level springs for the power-law potentials// Hadrons-92: Proceedings of the workshop oxrelastic and difractive scattering. Ed. by L.Jenkovszky and E.Marty-nov. - Kiev, 1992.-P. 83-86.

22. Paccanoni F., Stepanov S.S., Tutik R.S. Are the linear Regge trajectories really stright lines?// Mod.Phys.Lett.-1993.-A8, N 6.-P. 549-555.

23. Paccanoni F., Stepanov S.S., Tutik R.S. Level spacings following from the semiclassical representation for the Regge trajectories// Europhys. Lett.-

1993.-23, N 8.-P. 543-546. (Preprint DFPD 93 TH 20, Padova, Italy, 1993).....

ТУТИК РУСЛАН СЕМЕНОВИЧ

Мзтод подуклассического разложения и проблема связанных состояний в адронкой физике

Зам.- ** Формат 60x90/16 Обл.-вид.арк.- I.I6

Шдписано до друку 28.02.94р. Тира* 100 екэ.

Пол}граф}чна дтльниця 1ТФ АН Укради