Метод регуляризации Тихонова с негладкими стабилизаторами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

□ОЭ47ЭЗЗБ

На правах рукописи

КОРОТКИЙ Михаил Александрович

МЕТОД РЕГУЛЯРИЗАЦИИ ТИХОНОВА С НЕГЛАДКИМИ СТАБИЛИЗАТОРАМИ

01.01.07 - вычислительная математика

1 5 ОНТ 7ППо

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

003479935

На правах рукописи

КОРОТКИЙ Михаил Александрович

МЕТОД РЕГУЛЯРИЗАЦИИ ТИХОНОВА С НЕГЛАДКИМИ СТАБИЛИЗАТОРАМИ

01.01.07 - вычислительная математика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Работа выполнена в Государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования « Уральский государственный университет им. А.М.Горького » на кафедре вычислительной математики

член-корреспондент РАН, профессор Васин Владимир Васильевич

доктор физико-математических наук, профессор Максимов Вячеслав Иванович

доктор физико-математических наук, профессор Ягола Анатолий Григорьевич

Институт математики им. С.Л.Соболева СО РАН, г. Новосибирск

Защита диссертации состоится 12 ноября 2009 года в 14 часов на заседании диссертационного совета Д 004.006.04 по защите докторских и кандидатских диссертаций при Институте математики и механики УрО РАН по адресу: 620219, г. Екатеринбург, ул. С. Ковалевской, 16.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики и механики УрО РАН.

Автореферат разослан " 7 " октября 2009 года.

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат физико-математических наук,

ст. н. с.

В. Д. Скарин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Понятие корректности задачи математической физики было введено Ж.Адамаром 1 в начале прошлого столетия. Им было высказано мнение о том, что корректная постановка задачи является непременным условием, которому должна удовлетворять всякая математическая модель, соответствующая физической реальности. Эта точка зрения не подвергалась сомнению многие годы. Корректные задаг чи хороши тем, что классическая вычислительная математика позволяет решать такие задачи традиционными методами. При этом зачастую удаг ется ответить на вопрос о сходимости предложенного алгоритма и оценке возникающей погрешности. Конечно, в каждой конкретной задаче имеются определенные трудности реализации алгоритма на компьютере, учете погрешностей округления, представления данных и результатов вычислений и т.д. Но эти проблемы обычно успешно решаются, особенно если учесть, что технические возможности современных компьютеров расширяются очень быстро. Однако часто имеющаяся информация позволяет построить лишь такую математическую модель, для которой нет теорем существования и единственности решения в естественных функциональных пространствах и, самое главное, нет устойчивости решения по входным данным задачи. Для такой модели нельзя получить регулярные вычислительные алгоритмы с помощью традиционных методов.

В 1943 году появилась работа А.Н.Тихонова2, в которой впервые была указана практическая важность неустойчивых по входным данным (некорректно поставленных) задач и принципиальная возможность их успешного решения в условиях принадлежности точного решения компактному множеству. В середине 50-х годов и, особенно интенсивно, в начале 60-х годов прошлого столетия началось систематическое изучение некорректных задач. Образовалось новое направление в математике, лежащее на стыке функционального анализа и вычислительной математики, которое затем оформилось в самостоятельную область науки — теорию некорректных задач. Основопологающие подходы для теории некорректных задач связаны с именами А.Н.Тихонова, В.К.Иванова, М.М.Лаврентьева.

В первой отечественной монографии по некорректным задачам М.М.Лаврентьевым3 было введено понятие корректности по Тихонову задачи математической физики, на основе которого М.М.Лаврентьевым, его учениками и последователями, получены глубокие результаты по решению широкого спектра некорректных в классическом смысле задач, таких, например, как задачи аналитического продолжения, обратные задачи для дифференциальных уравнений, задачи интегральной геомет-

1 Адамар Ж. Задача Коши для линейных уравнений с частными производными гиперболического типа. М.: Наука. 1978. Первое издание этой книги на английском языке вышло в 1932 г. Многие работы Ж.Адамара, в которых обсуждалось понятие корректности задачи, относятся непосредственно к началу века.

2 Тихонов А.Н. Об устойчивости обратных задач // ДАН СССР. 1943. Т. 39. № 4. С. 195-198.

3Лаврентьев М.М. О некоторых некорректных задачах математической физики. Новосибирск: СО АН СССР. 1962. ;'

рии и многие другие. Многие результаты в этой области отражены в монографии М.М.Лаврентьева, В.Г.Романова, С.П.Шишатского 4. Там же приведена обширная библиография по данному вопросу.

С понятием корректности по Тихонову тесно связано понятие квазирешения, введенное в 1962-1963 годах В.К.Ивановым в работах 5, 6 и обобщающее понятие обычного решения операторного уравнения

Аи = /

на случай, когда оно неразрешимо для заданной пары метрических пространств [/ Э и и ^ э /. Это обобщение оказалось весьма плодотворным и индуцировало целое направление в теории некорректных задач. Для линейных задач оно представлено в монографиях А.Н.Тихонова,

B.Я.Арсенина 7 и В.К.Иванова, В.В.Васина, В.П.Тананы 8.

В 1963 году А.Н.Тихоновым в работах 9,10 было сформулировано понятие регуляризирующего алгоритма (регуляризирущего оператора, ре-гуляризатора) для некорректно поставленной задачи как однопарамет-рического семейства операторов, специальным образом аппроксимирующего обратный оператор и обеспечивающего при согласовании параметра с уровнем погрешности исходных данных устойчивое восстановление искомого решения. Понятие регуляризирующего алгоритма оказалось весьма эффективным.

В упомянутых работах А.Н.Тихоновым предложен универсальный способ построения регуляризирующего алгоритма (метод регуляризации), основанный на введении так называемого сглаживающего функционала. Универсальность метода А.Н.Тихонова заключается в том, что он применим к существенно некорректным задачам, у которых класс возможных решений не является компактом. К настоящему времени созданы общие принципы конструирования регуляризирующих алгоритмов для широких классов некорректных задач.

Понятие регуляризирующего алгоритма имело революционное значение в вычислительной математике и фактически послужило основой для развития новой математической дисциплины. Большой вклад в эту область внесли А.Л.Агеев, Я.И.Альбер, В.Я.Арсенин, А.Б.Бакушинский, Г.М.Вайникко, Ф.П.Васильев, В.В.Васин, А.Ю.Веретенников, В.А.Винокуров, Ю.Л.Гапоненко, А.М.Денисов, С.И.Кабаг нихин, А.С.Леонов, О.А.Лисковец, И.В.Мельникова, Л.Д.Менихес,

4Лаврентьев М.М., Романов В.Г., Шиыатский С.П. Некорректные задачи математической физики и анализа. М.: Наука. 1980.

5Леонов В. К. О линейных некорректных задачах // ДАН СССР. 1962. Т. 145. № 2. С. 270-272.

6 Иванов В.К. О некорректно поставленных задачах // Матем. сборник. 1963. Т. 61. № 2.

C. 211-223.

7 7Ьхонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука. 1979.

8Иванов В.К., Васин В.В., Танана В.П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения. М.: Наука. 1978.

9 Тихонов А.Н. О решении некорректно поставленных задач и методе регуляризации // ДАН СССР. 1963. Т. 151. № 3. С. 501-504.

10 Тихонов А Н. О регуляризации некорректно поставленных задач // ДАН СССР. 1963. Т. 153. № 1. С. 49-52.

В.А.Морозов, В.Г.Романов, В.Н.Страхов, В.П.Танана, А.Г.Ягола и многие другие.

Широкий круг некорректных задач составляют обратные задачи, в частности, обратные задачи, модели которых описываются дифференциальными уравнениями, в том числе, динамическими системами. Под обратной задачей для динамической системы принято понимать задачу восстановления характеристик динамической системы (коэффициентов, параметров, входящих в дифференциальные уравнения, начальные или граничные условия) по информации о пространственных координатах, скорости или других количественных характеристиках траектории (решения, движения) этой системы, поступающей в процессе специально организованных наблюдений (измерений). Такие задачи являются типичными для теории и практики обработки и интерпретации результатов наблюдений и возникают при изучении тех характеристик объектов, которые недоступны или труднодоступны для прямого измерения и о которых приходится судить по измеренным в результате эксперимента их косвенным проявлениям. В качестве примеров можно привести медицинские задачи по изучению внутренних органов человека, задачи по нераз-рушающему контролю за качеством изделий, задачи по определению физических характеристик тел по их взаимодействию с подходящими физическими полями и т.д. Хотя отдельные классы обратных задач давно рассматриваются в науке и практике, широкое исследование обратных задач началось сравнительно недавно, что связано с прогрессом в соответствующих областях знаний. К настоящему времени теория обратных задач стала самостоятельной областью математики, в ней сформировались различные направления, обусловленные как различными сферами ее приложений, так и многообразием математических постановок обратных задач, ей посвящена обширная литература (см., например, 11, , 13,

14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24\

1 > I I I > У I 1 ! )•

Существенную роль в становлении теории обратных задач сыграло

"Алифанов О.М., Артюхин Е.А., Румянцев C.B. Экстремальные методы решения некорректных задач. М.: Наука. 1988.

12Аниконов Ю.Е. Некоторые метода исследования многомерных обратных задач для дифференциальных уравнений. Новосибирск: Наука. 1978.

13Бек Дж., Вмкузлл Б., Сент—Клэр Ч.(мл.). Некоторые обратные задачи теплопроводности. М.: Мир. 1989.

1лБухгейм А.Л. Уравнения Вольтерра и обратные задачи. Новосибирск: Наука. 1983.

15Галиуллин A.C. Обратные задачи динамики. М.: Наука. 1986.

™ Гласно В.В. Обратные задачи математической физики. М.: Иэд-во МГУ. 1984.

17Горюнов A.A., Сосковец A.B. Обратные задачи рассеяния в акустике. М.: Изд-во МГУ. 1989.

Денисов A.M. Введение в теорию обратных задач. M.: Изд-во МГУ. 1994.

i9 Искендеров А.Д. Об одной обратной задаче для квазилинейных параболических уравнений // Дифференциальные уравнения. 1974. Т. 10. № 5. С. 890-898.

2аКабанихин С.И. Проекционно-разностные методы определения коэффициентов гиперболических ураннений. Новосибирск: Наука. 1988.

21 Kajdofxi Jï. А., Круковский П.Г. Методы решения обратных задач теплопереноса. Киев: Наукова думка. 1982.

22Крутъко П.Д. Обратные задачи динамики управляемых систем. Нелинейные модели. M.: Наука. 1988.

23Погорелов А.Г. Обратные задачи нестационарной химической кинетики. М.: Наука. 1988.

2*Пршепко А.И. Внутренние обратные задачи теории потенциала // ДАН СССР. 1968. Т. 182. № 3. С. 503-505.

интенсивное развитие теории некорректных задач. Дело в том, что измерения результатов наблюдений и экспериментов (входных данных) сопровождаются неизбежными ошибками, поэтому искомые решения обратных задач также будут определяться с погрешностью. Оказывается, что в большинстве своем обратные задачи естествознания неустойчивы, т.е. сколь угодно малым погрешностям изменений входных данных могут соответствовать большие погрешности в определении искомого решения обратной задачи. Это обстоятельство затрудняет применение обычных методов для поиска решения обратной задачи и требует привлечения для этих целей специальных методов, методов регуляризации, разрабатываемых в теории некорректных задач.

В большинстве исследований в области обратных задач и предлагаемых методах их решения процесс решения задачи носит статический характер, т.е. при таком решении восстановление неизвестных характеристик осуществляется по завершении наблюдений по всей совокупности поступивших измерений. Иногда это обстоятельство приводит к некоторым затруднениям из-за большого объема информации, из-за ограниченного объема памяти и конечного быстродействия имеющихся вычислительных средств.

В 1983 году вышли основополагающие работы Ю.С.Осипова и А.В.Кряжимского 25, 26, в которых для решения обратных задач динамики предлагался новый метод, получивший затем название метода динамической регуляризации. Эти работы инициировали многочисленные исследования по динамическому методу решения обратных задач. Метод получил дальнейшее всестороннее развитие в школе Ю.С.Осипова и за ее пределами 27, 28, 29, 30,31. С идейной точки зрения метод динамической регуляризации основывается на подходах теории позиционных дифференциальных игр, развитой Н.Н.Красовским и его школой 32, 33, 34, , 3 , , и подходах теории некорректных задач. Этот метод целесообразно

25 Осипов Ю.С., Кряжимский A.B. О динамическом решении операторных уравнений // ДАН СССР. 1983. Т. 269. №3. С. 552-655.

2еКряж1шский A.B., Осипов Ю.С. О моделировании управления в динамической системе // Известия АН СССР. Техническая кибернетика. 1983. №2. С. 51-60.

21 Osipov Yu.S., Kryazhimskii A.V. Inverse problems of Ordinary Differential Equations: Dynamical Solutions. L.: Gordon and Breach, 1995.

28Максимов В.И. Задачи динамического восстановления входов бесконечномерных систем. Екатеринбург: УрО РАН, 2000.

29Осипов Ю.С., Короткий А.И. Динамическое моделирование параметров в гиперболических системах // Известия АН СССР. Техническая кибернетика. 1991. №2. С. 154-164.

30Ким A.B., Короткий А.И., Осипов Ю.С. Обратные задачи динамики параболических систем // Прикладная математика и механика. 1990. Т. 54. №5. С. 754-759.

31 Осипов Ю.С., Васильев Ф.П., Потапов М.М. Основы метода динамической регуляризации. M.: Изд-во МГУ. 1999.

32Красовский H.H. Управление динамической системой: Задача о минимуме гарантированного результата. М.: Наука. 1985.

33Красовский H.H., Субботин А.И. Позиционные дифференциальные игры. M.: Наука. 1974.

34Осипов Ю.С. К теории дифференциальных игр в системах с распределенными параметрами // ДАН СССР. 1975. Т. 223. №6. С. 1314-1317.

зъКуржанский A.B. Управление и наблюдение в условиях неопределенности. M.: Наука. 1977.

зеСубботин А.И., Ченцов А.Г. Оптимизация гарантии в задачах управления. М.: Наука. 1981.

37 Ушаков В.Н. Экстремальные стратегии в дифференциальных играх с интегральными ограничениями // Прикладная математика и механика. 1972. Т. 36. № 1. С. 15-23.

применять в тех случаях, когда требуется восстановить неизвестные характеристики объекта в динамике, синхронно с его развитием или, как принято говорить в инженерной практике, в режиме реального времени. При этом предполагается, что информация об измерениях поступает в заданные дискретные моменты времени по ходу процесса и на каждом шаге метода для определения текущего приближения неизвестной характеристики объекта разрешено использовать лишь те измерения, которые уже имеются в распоряжении наблюдателя к данному моменту времени без привлечения тех измерений, которые поступят в последующие моменты времени. С подобными обратными задачами приходится иметь дело, например, в механике управляемого полета, при создании технологических и производственных процессов, в проблемах оперативной обработки информации, в проблемах обработки больших объемов информации.

Метод динамической регуляризации может быть применим и в тех ситуациях, когда уже закончены все измерения и известна вся информация о проведенных наблюдениях, но обработка этой информации традиционными (статическими) методами регуляризации затруднительна из-за большого объема информации или недостаточности вычислительных средств. Тогда имеет смысл накопленную информацию об измерениях обрабатывать отдельными порциями, опираясь на идеи метода динамической регуляризации. Таким образом, этот метод может быть использован и как метод декомпозиции, заключающийся в сведении исходной задачи большой размерности к последовательности задач меньшей размерности.

В данной диссертационной работе изучаются некорректные задачи (операторные уравнения первого рода, обратные задачи реконструкции управлений в динамических системах) и способы их регуляризации методом Тихонова. При этом регуляризация проводится с использованием нетрадиционных стабилизаторов, включающих классическую или обобщенную вариацию. Использование таких стабилизаторов имеет ряд преимуществ по сравнению с традиционными стабилизаторами, поскольку позволяет более качественно восстанавливать негладкие (разрывные) решения. К числу недостатков использования таких стабилизаторов можно отнести повышенную вычислительную трудоемкость.

Из сказанного выше следует, что тема диссертации актуальна.

Цель работы. Цель работы состоит в обосновании метода регуляризации Тихонова для рассматриваемых классов некорректных задач (операторных уравнений первого рода, обратных задач реконструкции управлений в динамических системах), доказательстве теорем о разрешимости регуляризированных задач, обосновании сходимости (в том числе кусочно-равномерной) регуляризованных решений к искомому решению, а также в разработке соответствующих вычислительных алгоритмов и проведении вычислительных экспериментов.

Методы исследования. Методы исследования опираются на концепции и результаты теории некорректных задач, функционального анализа и вычислительной математики, теории программного и позиционно-

го управления. Систематически используются понятия и методы теории функций и функционального анализа, теории дифференциальных уравнений, численных методов анализа, теории экстремальных задач и теории управления. Для проведения вычислительных экспериментов применялись современные технологии программирования.

Научная новизна. Основные результаты работы являются новыми. Они обобщают и дополняют работы отечественных и зарубежных исследователей в данной проблематике. Достоверность полученных результатов подтверждается соответствующими математическими доказательствами, соответствием полученных теоретических результатов результатам компьютерного моделирования, использованием общепризнанных апробированных математических методов и согласованностью результатов, полученных различными способами.

Теоретическая и практическая ценность. Диссертационная работа имеет теоретическую и практическую значимость. В работе построены и обоснованы новые классы регулярных методов решения некорректных (неустойчивых) задач. Практическая значимость работы обусловлена тем, что предложенные в ней методы и алгоритмы могут быть использованы при решении прикладных задач.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались на 38-ой Региональной молодежной конференции "Проблемы теоретической и прикладной математики" (Екатеринбург, 29 января - 2 февраля 2007 г.); 13-ой Всероссийской конференции "Матемаг тическое программирование и приложения" (Екатеринбург, 26 февраля -2 марта 2007 г.); 4-ой Международной конференции "Обратные задачи: модели и имитация" (Турция, ЕеЙиуе, 26 - 30 мая 2008 г.); Международной конференции "Алгоритмический анализ неустойчивых задач" (Екатеринбург, 1-6 сентября 2008 г.); Международной молодежной научной школе-конференции "Теория и численные методы решения обратных и некорректных задач" (Новосибирск, 10 - 20 августа 2009 г.); Международной конференции "Актуальные проблемы теории устойчивости и управления" (АР8СТ'2009) (Россия, Екатеринбург, 21-26 сентября 2009); научных семинарах кафедры вычислительной математики Уральского госуниверситета; научных семинарах отдела некорректных задач анализа и приложений Института математики и механики УрО РАН.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-8] (см. список в конце автореферата). Работы [1,2] опубликованы в журналах, входящих в перечень ВАК. В совместных работах [4,5,6] научному руководителю В.В.Васину принадлежат постановки задач, общее руководство исследованиями по теме диссертации и идеи доказательств основных утверждений, а диссертанту — доказательства основных теорем, разработка численных алгоритмов и программных средств для проведения численного моделирования.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа содержит список обозначений, введение, три главы и список литературы. Объем работы — 132 страницы. Библиография — 120 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении обосновывается актуальность темы исследований, обсуждается история вопроса и показывается место проводимых исследований среди других подобных исследований, формулируется цель диссертационной работы и пути её достижения, кратко описывается содержание диссертации, отмечены новизна и практическое значение работы.

В первой главе рассматривается операторное уравнение

Au = f (1)

с линейным ограниченным оператором А : Lp [а, 6] —► Lp [а, Ь], 1 ^ р < оо. Обратимость А или непрерывность обратного к А оператора не предполагаются. Для простоты считается, что задача (1) разрешима.

Для уравнения (1) исследуется метод регуляризации Тихонова

min { ||Лк - f\\2Lp + а П[и): и &U} , а = const > 0 , (2) со стабилизирующими функционалами двух видов

Sl(u) = fix(u) = ¡MU, + Gba(u) (1 < р < оо ) , П(«) = Па(«) = |Мк. + с2(и) (р = 1),

где Gba(u) — обобщенная вариация функции и, определяемая формулой Gba{u) = sup { J u{x)v'(x)dx : v eCg[a,6] , |t>(®)| < 1 } ;

|M|£ =vraimax|u|= inf \ sup |и(з;)| : mes(E) — Of;

BcM I [о,Ь]\E >

U = { не D{A) : Gha{u) < oo } .

К настоящему времени в вариационных методах регуляризации предложено несколько классов стабилизирующих функционалов, которые неплохо зарекомендовали себя для нахождения как гладких, так и негладких решений некорректных задач. Так в случае функций одной переменной наибольшее распространение получили стабилизаторы, содержащие классическую вариацию в совокупности с какой-нибудь строго выпуклой нормой, например, нормой пространства Lp [а,£>], 1 < р < оо (см., например, работы 38, 39 и библиографию в них). На этом пути удается получить сходимость регуляризованных решений к искомому в пространствах Lp [а, Ь], поточечную сходимость, сходимость вариаций и равномерную сходимость на отрезках, не содержащих точек разрыва иско-

38Агеев А.Л. Регуляризация нелинейных операторных уравнений на классе разрывных функций // Журнал вычисл. матем. и матем. физики. 1980. Т. 20. № 4. С. 819-836.

39Леонов А.С. Кусочно-равномерная регуляризация некорректных задач с разрывными решениями // Журнал вычисл. матем. и матем. физики. 1982. Т. 22. № 3. С. 516-531.

мого решения (кусочно-равномерную сходимость). В работах 40, 41 построен класс стабилизаторов (с более сильным регуляризирующим эффектом), которые гарантируют сходимость в нерефлексивном пространстве W", что влечет сходимость в пространстве вариаций функций и их щюизводных. В многомерном случае в серии работ 42, 43, 44, 45, 46, 47, стабилизшэующий функционал строился в виде суммы обобщенной вариации и нормы пространства Lp, 1 < р < оо. На этом пути в многомерном случае удается получить сходимость в Ьр регуляризо ванных по Тихонову решений и сходимость обобщенных вариаций. С помощью аналога вариации Витали для многомерного случая в работах 50, 51 установлена кусочно-равномерная сходимость метода квазирешений на замкнутых подмножествах непрерывности искомого решения, а в двумерном случае предложен численный алгоритм.

В первой главе диссертации для одномерного случая эти результаты обобщаются и усиливаются. Для тех же стабилизаторов устанавливаются поточечная сходимость, сходимость в Lp, сходимость обобщенных вариаций и кусочно-равномерная сходимость. В отличие от упомянутых работ исследуется также вариант стабилизатора с нормой пространства Lж. Для полноты обзора заметим, что в работах 8, 9 предложены два новых параметрических класса стабилизаторов, основанных на использовании нормы Липшица и нормы соболевского пространства с дробными производными. Для первого класса дается обоснование равномерной сходимости регуляризованных аппроксимаций для непрерывного решения исходной задачи, которое в общем случае может быть недифференцируе-мым. Для второго класса стабилизаторов удается установить сходимость в сильной нормированной топологии соболевского пространства, что может оказаться целесообразным для приближения как непрерывных, так и разрывных решений в зависимости от выбора показателя дифферен-цируемости.

40Леонов А.С. Об Я-свойстве функционалов в пространстве Соболева // Матем. заметки. 2005. Т. 77. Вып. 3. С. 378-394.

"Леонов А.С. О сходимости по полным вариациям регуляризующих алгоритмов решения некорректно поставленных задач // Журнал вычисл. матем. и матем. физики. 2007. Т. 47. № 5. С. 767-783.

uAcar R., Vogel C.R. Analysis of bounded variation penalty method for ill-posed problems // Inverse Problems. 1994. Vol. 10. P. 1217-1229.

42Chavent (•-, Kunish K. Regularization of linear least squares problems by total bounded variation

control // Optimization and Calculus of variation. 1997. Vol. 2. P. 359-376.

44 Vogel C.R. Computation methods for inverse problems // Philadelphia: SIAM. 2002.

45 Васин В. В. Регуляризация и дискретная аппроксимация некорректных задач в пространстве функций ограниченной вариации // Доклады РАН. 2001. Т. 376. №> 1. С. 11-14.

46 Vosin V. V. Regularization and iterativ approximation for linear ill-posed problems in the space of function of bounded variation // Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics. Supplement 1. 2002. P. 225-239.

"Васин В.В. Устойчивая аппроксимация негладких решений некорректно поставленных задач // Доклады РАН. 2005. Т. 402. № 5. С. 586-589.

48 Васин В.В. Аппроксимация негладких решений линейных некорректных задач // Труды Института математики и механики УрО РАН. 2006. Т. 12. № 1. С. 64-77.

49Giusti Е. Minima] surfaces and functions of bounded variations. Basel: Birkhauser. 1984.

50Leonov A.S. Functions of several variables with bounded variations in ill-posed problems // Сотр. Maths. Math. Phys. 1996. Vol. 36. №. 9. P. 1193-1203.

51 Леонов A.C. Кусочно-равномерная регуляризация некорректных задач с разрывными решениями: численный анализ // Журнал вычисл. матем. и матем. физики. 1999. Т. 39. № 12. С. 1939-1944.

Обоснования метода регуляризации Тихонова для стабилизаторов ííi и Пг существенно различны. Это связано с тем, что пространство Loo [а, Ь] не является рефлексивным, a норма || • Ц^ в этом пространстве не является равномерно выпуклой. В первом и втором параграфе первой главы доказываются теоремы о разрешимости регуляризированных задач и сходимости регуляризованных решений к искомому решению в Lp, а также сходимость обобщенных вариаций. Установлена связь между обобщенной и классической вариациями для функций одной переменной. С помощью найденной связи дополнительно доказаны поточечная сходимость регуляризованных решений к искомому точному решению и кусочно-равномерная сходимость.

Приведем формулировки основных результатов.

Теорема 1.2.4. Пусть А — линейный ограниченный оператор Lp[a,b] —► Lp [a, b], 1 < р < оо. Пусть правая часть уравнения (1) задана своим приближением f¡ : ||/ — fs\\Lp ^ <5- Тогда для любого а > О экстремальная задача (2)

Ф* = min j || An - fs\\2Lr + a Sli(u) : и 6 U j имеет единственное решение иа 6 U, причем при а = а{6) -» 0 , ó2/a{6) О

имеют место следующие сходимости:

1) иаМ в Lp[a,tí\;

2) uaV\x)-+u(x) Vx G [a, b};

3) =

4) uaW —> и равномерно на любом отрезке [а', £>'] С [а, 6], не содержащем точек разрыва функции и;

где и & U есть íli-нормалъное решение исходной задачи (1).

Теорема 1.3.1. Пусть А — линейный ограниченный оператор L\ [а, 6] —> L\ [a, i]. Пусть операторное уравнение (1) однозначно разрешимо на U — {и & Lao [а, 6] : Gba(u) < оо} и и есть решение этого уравнения. Пусть правая часть уравнения задана своим приближением Is '• ||/ — /íIIíj ^ S. Тогда для любого а > 0 экстремальная задача (2)

Ф* = min j ЦЛг: - fs\\Lí + a Па(и) : и € U } имеет решение иа € U и при выполнении согласований а = а{5) 0 , 6/а(8) О

имеют место следующие сходимости:

1) иаЩх)-+и{х) V хе[а,Ь);

2) и в Li [а, Ь};

не содержащем точек разрыва функции и.

В качестве иллюстрации метода приведены результаты численных экспериментов с интегральным уравнением Фредгольма первого рода. Решение регуляризованной задачи минимизации с негладким стабилизатором потребовало использования оригинальной процедуры реализации субградиентного метода со сглаживанием аргумента, но без привлечения какого-либо дополнительного сглаживания целевого функционала. Результаты вычислительных экспериментов показали, что при использовании рассматриваемых стабилизаторов тонкая структура искомого решения (разрывы, пики, изломы) в значительной степени может быть восстановлена.

Численные эксперименты проводились для интегрального уравнения

которое встречается в задачах спектроскопии, при решении обратных задач теории потенциала, в частности, описывает линеаризованный ваг риант обратной задачи гравиметрии с поверхностью раздела и = и(я) на глубине г = —А и измеряемой аномалией силы тяжести у = у{Ь) на поверхности г = 0 (см. 7).

В качестве модельного решения были выбраны три функции: 1/1(5) = (1 — в2)2 (дифференцируемая функция); «2(5) = 1 — N (непрерывная, но недифференцируемая функция); «3(5) = 1/4, если в е [—1,0], мз(^) = 3/4, если в € [0,1] (разрывная функция).

Во всех трех случаях в субградиентном методе минимизации целевого функционала стартовой точкой служила функция и°(1) = 0, которую следует отнести к достаточно далекому от модельных решений начальному приближению как по норме (||и1||х2 и 109, Ци^Н^ ~ 0.82, \Ы\Ц « 0.79 ), так и по качественному поведению. Отметим, что в выполненных численных экспериментах дополнительно не моделировались ошибки в исходных данных (ядре и правой части), т.е. присутствовали только ошибки аппроксимации и округления. Численные аппроксимации модельных решений после I = 105 итераций были получены с относительными квадратичными погрешностями Д1 = 0.00111, Д2 = 0.00241, Дз = 0.00061 соответственно. Столь большое число итераций I " 105 не диктовалось необходимостью, а было выбрано сознательно, чтобы убедиться в устойчивости счета. Ниже приводятся результаты расчетов со стабилизатора результаты со стабилизатором Пг мало чем отличаются от первых и здесь не приводятся.

На рисунках 1-3 представлены результаты восстановления модельных решений. Число точек разбиения при аппроксимации квадратуры N — 16, параметры регуляризации равны соответственно а = Ю-7, а = Ю-6,

( в расчетах /г = 1)

а = Ю-5.

-1 -0,8 -0.6 -0,4 -0.2 0 0? 0,4 0,6 0,8 1

- Точное ревела

-Чсленноерме»« I

Рисунок 1.

4),8 -0,8 -О,4 -0,2

0,2 0,4 0,6 0,8

- Точное рсисже

Рисунок 2.

¡--•4-4-4--4

-г

I

мм

Т ---Г---Т--

Г —У

1......Г

-1 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 О ОД 0,4 0,6 0,6 1

- Точное раиениа

-Числешое ре иенив

Рисунок 3.

Вторая глава диссертации посвящена исследованию задачи о восстановлении (реконструкции, идентификации) априори неизвестных управлений (параметров), действующих в управляемой динамической системе

¿(4) = /(4, х(Ь),и{1))=/1{1, х(г))+Ь(1, х{1))и{Ь), (3)

Управляющие воздействия и = и(-) 6 С/ в динамической системе могут быть заранее неизвестны и должны быть определены по результатам наблюдений за объектом, в частности, по результатам приближенных измерений текущих фазовых положений системы г(£), Ь € Т.

Хорошо известно, что рассматриваемая задача некорректна и ее решение требует привлечения методов регуляризации. Такие задачи восстановления для динамических систем изучались в разных постановках в теории управления, теории дифференциальных игр, теории оценивания и идентификации.

Для решения задачи предлагается использовать вариационный метод Тихонова, суть которого состоит в минимизации некоторого подходящего функционала невязки на множестве допустимых управлений. С точки зрения теории управления и теории обратных задач этот метод можно классифицировать как статический метод реконструкции. При решении задачи восстановления статическим методом исходной информацией

для ее решения служат результаты приближенных измерений текущих фазовых положений системы, накопленные при наблюдении за движением динамической системы в течение заданного промежутка времени. Здесь восстановление осуществляется апостериорно по прошествии соответствующего промежутка времени наблюдения за движением системы по всей совокупности поступившей информации. Особенность статического подхода к рассматриваемой задаче состоит в том, что данные для расчета управляющих воздействий известны априори, алгоритм восстановления не учитывает возможного изменения этих данных в процессе расчета, сам процесс расчета не является, вообще говоря, разовым, и его можно при необходимости повторить. Для решения задачи привлекаются понятия и методы теории программного управления и теории некорректных задач.

Во второй главе показано, что при использовании стабилизаторов в виде суммы классической вариации и нормы пространства можно получить не только традиционную для данного класса задач сходимость в 1/2 регуляризованных приближений к искомому управлению, но и сходимость в Ьр , 1 ^ р < оо, поточечную сходимость, сходимость вариаций и кусочно-равномерную сходимость.

Приведем формулировку соответствующего результата.

Пусть допустимые текущие значения управляющего воздействия подчинены заданным геометрическим ограничениям и(£) б Р, £ 6 Т, где Р — выпуклое компактное множество из Ят. Множество допустимых управлений V представляет собой множество вектор-функций

Пусть за управляемой динамической системой и ее движением х = х(£), £ € Т, осуществляется наблюдение в течение промежутка времени Т ив соответствующие текущие моменты времени £ 6 Т приближенно измеряются состояния системы х(£), причем результаты этих измерений у(£) удовлетворяют следующему условию точности измерений

где || • || п — евклидова норма в Яп, 6 — числовой параметр, характеризующий точность измерений, 0 ^ 6 < ¿о-

Задача восстановления состоит в том, чтобы по результатам у ~ у(£), £ € Т, приближенных измерений наблюдаемого движения системы х = х(1), £ € Т, приближенно определить (восстановить) ту реализацию и = ы(£), £ е Т, управляющего воздействия на динамическую систему, которая отвечает (соответствует) результатам наблюдений. При этом результат ид = £ € Т, восстановления искомого управляющего воздействия и = и(£), £ 6 Т, должен быть тем точнее, чем меньше ошибки измерений

и = { и 6 Ьз(Т; Нт): и(£) € Р п.в. £ € Т } .

Пусть функции Л : Т х Rn Rn и f2:Tx.Rn -* RnXm непрерывны на множестве Т х Rn и удовлетворяют на этом множестве условию подлинейного роста и локальному условию Липшица по переменной х

Ш*,х)||<С;(1 + |Мк), teT, xeRn, » = 1,2,

\\fi(t,xi)-fi(t,x2)\\ <Li{G)\\x1-x2\\n , teT, x&G,i= 1,2 .

Известно, что при указанных условиях для каждого элемента и е U существует единственное абсолютно непрерывное на промежутке Т решение х(-) = и) = x(t;u), t € Т, задачи Коши (3). Это решение иногда будем называть движением динамической системы (3), порожденным управлением и € U.

Введем множество всех возможных движений системы (3), отвечающих всем возможным управлениям X = {х(-) = х(-; и) : и G U}. Для каждого движения х(-) € X введем множество всех допустимых управлений, отвечающих данному движению U(x(-)) = {u 6 U : х(-) = х(-\и)} и множество всех возможных измерений этого движения F(x(-),i) =

{у € L2(T; Rn): fT || x(t) - y(t) \\%dt ^ 52}.

Искомый алгоритм решения обратной задачи отождествим с семейством отображений (методов)

D = { Ds : 0 ^ 8 ^ So } , Ds : L2(T;Rn) -> L2(T-Rm) .

Исходную задачу теперь можно сформулировать так: требуется построить алгоритм D = {D$ : 0 ^ 6 ^ öo}, который на любом наблюдаемом движении х(-) 6 X обладает регуляризирующим свойством

г*(:г(.))0, <5 0 ,

г4(х(.)) = sup { р [ Ds(y), U(x(-))} : у € У(х(-), 8)} , р \Ds{y), U(x{-))) = min { Л Ds(y) - v \\L2{T,Rm) : t; € U{x{-))} .

Обозначим через W = {и € L2{T] Rm) : V\u] < oo} банахово пространство с нормой ||u||w = |[u||e + V[u], где V[u] — полная вариация функции и : Т Э t —> u(t) S R , определенная равенством

V[u] = sup { J) ||u(ii) - u(ij-i)||m : G E } ,

¿=i

где E — множество всех конечных разбиений а отрезка Т точками ^ е Т, i - 0t0<ti< ... <ti = d.

Укажем искомый алгоритм. Для любых 5 € [0,¿о], у € L2(T\Rn) определим реализацию (значение) метода Ц:(у) по правилу

Ds(y) = v<£Uw: F^y) ^ Fair, v) < F*{y) +£, (4)

Fa*(y) = min { Fa(y; v) : v e Uw> , Uw = U Л W , (5)

Fa = Fa(y-,v)= f }\x(f,v)~y{t)fndt+aÜ{u), i^HMI^m^N >

JT

где е — неотрицательный параметр, характеризующий точность решения экстремальной задачи (5), а — положительный параметр.

Теорема 2.2.1. Пусть U(x(-)) П W ^ 0, тогда во множестве U(x(-)) существует единственный U-нормальный элемент û. Пусть параметры регуляризации а — а(6) и£ = удовлетворяют условиям согласования:

{е{6) + 62)а{6)~1 0, —О, а(<5) — 0 , ¿-0.

Тогда, алгоритм D, состоящий из методов (4), решает задачу восстановления, т.е. для любого наблюдаемого движения х(-) е X при S —* 0 имеет место сходимость rj(x(-)) —» 0. Более того, каковы бы ни случились при этом реализации измерений ys € <5) для реализаций алгоритма vg = Dg(ys) при S —» 0 имеют место следующие сходимости:

1) vs -* и сильно в Ь2(Т; Rm);

2) vs в Rm поточечно на Т;

3) v[vf]^>

4) v g—* и ей™ кусочно-равномерно на Т.

Для построения минимизирующих последовательностей целевого функционала используется аппроксимация допустимых управлений функциями из пространства Соболева Я = (Т)т и обосновается метод проекции субградиента.

Рассмотрим вспомогательную экстремальную задачу

F?{y) = inf { Fafav) : V б UH } , UH = U П H . (6)

Теорема 2.3.1. Пусть система (3) является линейной по управлению и фазовой переменной f(t,x,u) = f\(t)x + /2(i)u + f3(t) и в итерационном процессе метода проекции субградиента

щ+1 = Рг(щ - ßk Vk) , ßk > 0 , Vk 6 VF„(y; uk) , k = 0,1,2,... ,

«о — произвольное начальное приближение из Un, Pr{z) — проекция точки z € H на множество Un, Vk — произвольный субградиент из субдифференциала VFa{y\щ), параметры метода ßk> 0 удовлетворяют условию:

/3* = 1, если t)fc=0; ßk = 7*/1| vk ||я , если

ОО

7k >0» 7k~*0, ^7i = oo.

k=0

Тогда 1) множество решений U*(y) задачи (5) состоит из одного элемента и* 6 Uw; 2) F» (у) = F* (у); 3) Fa(y-,ük) -> Ff (у), где

Fa{y\Ük) — <Tk , _

ak = min { Fa{y; щ) : i G 0, k } ;

4) минимизирующая последовательность {й/ь} С Un задачи (6) сходится сильно в L2(T] Rm) к элементу и*; 5) V[ йк] —* V[ и*а ].

В последнем параграфе главы приведены результаты численного моделирования. Численное моделирование потребовало реализации метода проекции субградиента в дискретном варианте без привлечения дополнительного сглаживания целевого функционала. Проведенная серия вычислительных экспериментов показала, что тонкая структура управлений может быть в значительной степени восстановлена.

Моделировалась задача восстановления управления в нелинейной динамической системе

x{t) = u(t) sin a;(t) , t 6 T = [i0, tf] , x(t0) = x0 , x G R . (7)

Множество геометрических ограничений на управление Р представляло собой отрезок Р = [/ii, /-¿2], а приближенное измерение состояний динамической системы моделировалось соотношением y(t) = x(t) + <5 sin(aji), t € T, ш = const.

Движение динамической системы (7) аппроксимировалось методом Эйлера на равномерной сетке отрезка Т, = Хк + щ h sin^),

к = 0, ...,m — 1.

Численные эксперименты проводились при следующих параметрах задачи: fo = 0, в = 1, хо = 1, ц\ — 0, ц,2 = 2, ш - 1.

В качестве восстанавливаемых управлений были выбраны три функции:

1) и = it(i)(£) = 1 + sin 27xt (гладкое управление);

2) и = W(2)(i) — 1 — |2ж — 1| (непрерывное кусочно-гладкое управление);

3W = = / °-5, если ¿6 [0,1/4] и ¿€[3/4,1], ' №V > | 1, если f€ [1/4,3/4], (разрывное управление) .

Во всех трех случаях начальной функцией в методе проекции субградиента служила функция u^{t) = 0. Она достаточно далеко отстоит от модельных управлений как по норме, так и по качественному поведению

\Ы\\ЫТ) = (3/2)1/2 , ||«(2)||ij(T) = (1/3)1/2 , 1Кз)|к(т) = (0.625)1/2 .

Зависимость параметра е = е(5) точности минимизации в дискрети-зированном целевом функционале от погрешности 6 напрямую не контролировалась, точность ее решения определялась выбором количества итераций N в методе проекции субградиента и величиной шага h, характеризующего степень дискретизации задачи. Ниже приведены результаты расчетов при следующих значениях параметров: h = 0.025, N = 104, a — 10_6. Параметр 5 принимал два значения 0.2 и 0.05. Относительные погрешности Е¿(5) = ||и(,) - u^s ||l3(t)/IIu(oIU2(T) соответственно равны Ej(0.2) = 0.1716, Ei(0.05) = 0.0469, На(0.2) = 0.3008, S2(0.05) = 0.0865, Е3(0.2) = 0.2194, Е3(0.05) = 0.0552.

Результаты расчетов приведены на рисунках 4-6. Сплошной линией показано модельное восстанавливаемое управление, линия с точками — результат восстановления при S = 0.2, пунктирная линия — результат восстановления при 6 — 0.05.

1 ...

1

•-- ...........

) • . . ■

О 0.2 0,4 0,6 0,9

Рисунок 6.

В третьей главе рассматривается задача о восстановлении априори неизвестных управлений в системе (3) динамическим методом. При решении задачи восстановления динамическим методом исходной информацией для решения служат результаты мгновенных приближенных измерений текущих фазовых положений системы, которые поступают наблюдателю в динамике в течение заданного промежутка времени. Здесь измерения и восстановления осуществляются в динамике по ходу процесса по мгновенно поступающей информации. Особенность динамического подхода состоит в том, что данные для расчетов могут поступать только по ходу процесса и зависеть в настоящем от того, как проводилось восстановление в прошлом. Развитие такого подхода связано с тем, что в некоторых инженерных и научных разработках часто возникает необходимость осуществить восстановление синхронно с развитием процесса. С подобными задачами имеют дело в механике управляемого полета, в проблемах оперативной обработке информации при создании технологических и производственных процессов. Для решения задачи восстановления динамическим методом привлекаются понятия и методы теории позиционного управления и теории некорректных задач.

Для решения задачи построены конструктивные устойчивые регуля-ризирующие алгоритмы. Динамические алгоритмы способны также работать в режиме реального времени, обрабатывая поступающую по ходу движения системы информацию и выдавая результат в динамике по мере развития движения. Показано, что при использовании стабилизаторов в виде суммы классической вариации и нормы пространства можно

получить поточечную сходимость, сходимость В Lp , 1 < р < 00, сходимость классических вариаций и кусочно-равномерную сходимость. Традиционные результаты касались сходимости в ¿2. В этом смысле можно говорить о возможности численного восстанавления тонкой структуры искомого управления. В конце главы приведены результаты численного моделирования.

Задача восстановления здесь ставится и формализуется так же, как и во второй главе. Однако теперь алгоритм должен быть динамическим. Определим формально такой алгоритм D как семейство методов Df, D = {Df : А € Е, 0 < 5 < 50}, где Е — множество всех конечных разбиений А отрезка Т. Каждый метод Df представляет собой набор отображений Df = { D^ : i = О,..., m — 1}, Dp : Rn x Rn x Rm -> U[ti,ti + П W[titti+1], где + 1] и Wfoi 4 + ll — сужение функций из U и W на отрезок [ij,ij ]J. Функцию vf :Т —* Rm, определенную равенствами

= »»(0*(!/(*,-), *(**),«/,- - 1 (*i)). Ч < t < Ч + 1, * = 0,...,m—1,

назовем реализацией метода Df на измерении у 6 У(х(-), 6) и обозначим символом Df(y). Положим также = vm _ ^(tf). Значение z = z(ij) в момент времени Ц внутренней переменной г метода Df однозначно формируется на основании сложившейся к этому моменту времени доступной информации y(tj), j = 0,...,г — 1, о движении системы (3) и реализовавшихся управляющих воздействиях vj, j = 0,..., г — 1, этого метода. Правило формирования переменной z и управляющего воздействия t)_i (¿о) метода Df сформулируем ниже.

Исходную задачу восстановления теперь можно сформулировать следующим образом: требуется построить алгоритм D ~ {Df : А б 0 ^ 5 < ¿о}> который при определенных согласованиях параметров метода на любом наблюдаемом движении х(-) е X обладает регу-ляризирующим свойством rf(x(-)) —> 0 при d(А) —* 0 и 5 —► 0, где rf (*(•)) = suP{ р [.Df{y), U{x{-))} : у € Y(x(-), 6) }.

Пусть известно приближение u°h значения щ = u(tо), — uollm ^ h. Величина параметра h будет подчинена величине 6. Это условие о возможности нахождения приближения u°h будет использоваться в алгоритме D для назначения вектора = «Я ■ Обозначим

H](v) = 2 < z-у, ftl + 1 /а(г,i/)ü(r)dr >п -fa(S) & + 1 (и) ,

Я/ = min { ffj(v): v е U[th t{ + i; w\ Л W[t{, <j + i] } , U[t,TM = {ueU[t,T):v(t)=w} , Qj(v) = J \\vmlidr] + V[[v} ,

где — полная вариация функции V на отрезке [¿,т].

Приступим к построению конкретного алгоритма. Для любых

5 € [0, ¿о], Д € Е, * 6 {0,...,т - 1}, у £ ДЛ, г е Нп, м е Р определим значение отображения в точке (у, г, ги) по правилу

Б^(у, г,и),) = и], где есть элемент множества Ц ги] П 1), удовлетворяющий условию

+ (8)

Значение г(1) внутренней переменной г; алгоритма определим следующим образом: если 4 = ¿о, то = у(Ьо)\ если Ь £ + то

Г*

г{1) = г(Ц) + /(т, у{Ц), В\{у{Ц), _ 1(«,-)))(г) ¿т . (9)

г

Опишем по шагам работу алгоритма во времени.

Шаг г = 0. В момент времени ¿о наблюдателю поступает информация в виде измерения у(Ьо) состояния а;(¿о) наблюдаемого движения х(-) € X системы и приближенное значение щ - и^(х(-)) реального управления, порождающего это наблюдаемое движение. Положив у = у (¿о), г — г(^), ■ш = наблюдатель в момент времени (0 по правилу (8) находит часть

— Б^°(у,г,ю) реализации = Б^(у) метода которая принимается за приближение к искомому управлению на промежутке времени ¿о ^ £ ^ Значение ^(¿О, найденного управления, запоминается для выполнения следующего шага. Затем по правилу (9) определяется и запоминается для выполнения следующего шага состояние 2(^1) системы-модели (внутренней переменной алгоритма).

Шаг г = 1. В момент времени наблюдателю поступает информация в виде измерения у[Ь\) состояния х(^) наблюдаемого движения х(-) системы. Положив у = у(1 х), 2 = 2(^1), ги — наблюдатель в момент времени ¿1 по правилу (8) находит часть г'] = г,ги) реализации

метода которая принимается за приближение к искомому управлению на промежутке времени ¿1 ^ £ ^ ¿2. Значение а](¿г), найденного управления, запоминается для выполнения следующего шага. Затем по правилу (9) определяется и запоминается для выполнения следующего шага состояние г^) системы-модели.

Следующие шаги г — 2, ...,ш — 1 аналогичны шагу г = 1. Таким образом, последовательно по ходу процесса (в динамике) к конечному моменту времени ¿то = 7? будет получена полная реализация метода и£ =

Теорема 3.2.1. Пусть и(х(-)) П 11Цо, щ\ П ф 0, тогда во множестве 11(х(-)) П С/[¿о, г); «о] существует единственный П — нормальный элемент и. Если параметры регуляризации удовлетворяют при 8 —> 0 условиям согласования (с?(Д(£)) + е(ё) + —► 0, а(5) —► 0,

е(5) -* 0, к(6) —> 0, то алгоритм Б, состоящий из методов (8)-(9), решает задачу восстановления, т.е. для любого наблюдаемого движения

ж(-) 6 X при 5 —► 0 имеет место сходимость г£(х(-)) —> 0. Более того, для реализации алгоритма = 0£(у), каковы бы ни случились при этом измерения у £ У(ж(-), 5), при 5 —* О имеют место сходимости: 1) vf -*и сильно в Ь2(Т; Ят); 2) -*и в Яот поточечно на Т; 3) —> У[и]; 4) и в Лгп кусочно-равномерно на Т. При численном моделиировании рассматривалась та же самая нелинейная задача, что и во второй главе, но решалась она динамическим методом. Результаты расчетов приведены на рисунке 7. Сплошной линией показано модельное восстанавливаемое управление. Для управления 1) а = 0.0001, ¿(А) = 0.004, I = 9000. Штриховой линией показано восстановление при 6 = 0.45 и линия из точек получена при 6 = 0.02. Для управления 2) а = 0.001, ¿(А) — 0.004,1 = 7700. Штриховая линия получена при 5 = 0.08 и линия из точек при 5 — 0.005. Для управления 3) а = 0.0007, ¿{А) = 0.004, I = 9000. Штриховая линия получени при 5 = 0.46 и линия из точек при 5 = 0.01. Здесь I — число итераций в методе проекции субградиента.

Рисунок 7. Рассмотрим управляемую систему

¿1(4) - ®2(«), ®а(0 = иЦ), (6Т= [«о,0], ц(40) = 0, яг2(«„) = 0;

Ц\ ^ и({) < ¡12 > /¿1 = СОГгвЬ , (12 = СОПв1 ^ . Пусть параметры системы принимают следующие числовые значения ¿о = 0, $ = 2, = —1, № = 1, а восстанавливаемое управление имеет вид

*е (0.5,1)и1(1.5,2], ^ 4е [о, 0.5] и [1,1.5].

Результаты расчетов приведены на рисунке 8. Сплошной линией показано модельное восстанавливаемое управление. Восстановление управления проводилось при следующих значениях параметров: а = 0.001, с1(Д) = 0.0004, I = 3000. Линия с точками получена при <5 = 0.1 и пунктирной линией показано восстановление при 5 = 0.01.

0,8 0.6 0.4 0.2 О •0.2 ■0,4 0,6 ■0,8

-1,

Рисунок 8. Восстановление ы динамическим методом.

В диссертации рассмотриваются и другие численные примеры.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

• Для линейных операторных уравнений в пространствах Lp, 1 < р < оо, обоснован метод регуляризации Тихонова при использовании негладких стабилизаторов, представляющих собой сумму обобщенной вариации и нормы пространства Lp, 1 < р < оо, или сумму обобщенной вариации и нормы пространства Lж , позволивших в одномерном случае, кроме традиционной сходимости регуляризованных решений в Lp, получить сходимость обобщенных вариаций, поточечную и кусочно-равномерную сходимости.

• На основе тихоновской регуляризации со стабилизатором в форме суммы нормы пространства Ь2 и классической вариации обоснованы методы статического и динамического восстановления управлений в обратных задачах динамики. А именно, для регуляризованного семейства приближенных решений установлены поточечная сходимость, сходимость в Lp, 1 ^ р < оо, сходимость вариаций и кусочно-равномерная сходимость.

• Реализована оригинальная вычислительная технология, связанная с применением субградиентных методов минимизации целевых функционалов, которая осуществлена с помощью предварительной аппроксимации аргументов функционала более гладкими элементами пространства Соболева, но без какого-либо предварительного сглаживания целевого функционала. Разработаны соответствующие алгоритмы и выполнены численные эксперименты по восстановлению модельных решений интегральных уравнений и управлений в обратных задачах динамики, которые показали, что разработанные в работе методы позволяют восстановить с приемлемой точностью как гладкие, так и негладкие, в частности, разрывные решения.

ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Статьи, опубликованные в ведущих рецензируемых научных журналах, определенных ВАК:

1. Короткий М.А. Восстановление управлений и параметров методом Тихонова с негладкими стабилизаторами // Известия вузов. Математика. 2009. № 2. С. 76-82.

2. Короткий М.А. Восстановление управлений статическим и динамическим методами регуляризации с негладкими стабилизаторами // Прикладная математика и механика. 2009. Т. 73. Вып. 1. С. 39-53.

Другие публикации:

3. Короткий М.А. Метод регуляризации Тихонова с негладкими стабилизаторами / / Труды 38-ой Региональной молодежной конференции "Проблемы теоретической и прикладной математики" (Екатеринбург, 29 января - 2 февраля 2007 г.). Екатеринбург: УрО РАН. 2007. С. 159-163.

4. Васин В.В., Короткий М.А. Новые классы негладких стабилизаторов в вариационных методах регуляризации некорректных задач // Тезисы доклада на 13-ой Всероссийской конференции "Математическое программирование и приложения" (Екатеринбург, 26 февраля - 2 марта 2007 г.). Информационный бюллетень Ассоциации математического программирования У' 11. Научное издание. Екатеринбург: УрО РАН. 2007. С. 231-232.

5. Vasin V.V., Korotkii М.А. Tikhonov regularization with nondifferentiable stabilizing functional // Jornal of Inverse and Ill-Posed Problème. 2007. Vol. 15, №8. P. 853-865.

6. Vasin V.V., Korotkii M.A. Piecewise uniform regularization of inverse problems with nonsmooth solutions // Abstracts of the Fourth International Conférence "Inverse Problems: Modeling and Simulation" ( Turkey, Fethiye, May 26 - 30, 2008). Istanbul: Literatur Yayincilink Ltd. 2008. P. 189-190.

7. Короткий М.А. Реконструкция управлений методом Тихонова с негладким стабилизатором // Тезисы докладов Международной конференции "Алгоритмический анализ неустойчивых задач" ( Екатеринбург, 1-6 сентября 2008 г.). Екатеринбург: Издательство Уральского университета. 2008. С. 215-216.

8. Короткий М.А. Восстановление управлений методом динамической регуляризации с негладкими стабилизаторами // Тезисы докладов молодежной международной научной школы-конференции "Теория и численные методы решения обратных и некорректных задач" (Новосибирск, 10 - 20 августа 2009 г.). Новосибирск: Институт математики им. С.Л.Соболева СО РАН. 2009. С.57-58.

Подписано в печать 28.09.2009 г. Формат 60 х 84 х 16. Бумага офсетная. Усл. печ. л. 1,5. Заказ № &5Ц . Тираж 100.

Отпечатано в типографии ИПЦ

«Издательство УрГУ». г. Екатеринбург, ул. Тургенева, 4.

Обозначения и соглашения.

Введение

Глава I. Регуляризация операторных уравнений

1.1. Постановка задачи

1.2. Исследование сходимости метода Тихонова со стабилизаторами первого типа.

1.3. Исследование сходимости метода Тихонова со стабилизаторами второго типа.

1.4. Численное моделирование.

Глава II. Восстановление управлений в динамических системах статическим методом

2.1. Постановка задачи

2.2. Построение регуляризирующего алгоритма.

2.3. Построение минимизирующих последовательностей

2.4. Численное моделирование.

Глава III. Восстановление управлений в динамических системах динамическим методом

3.1. Постановка задачи

3.2. Построение регуляризирующего алгоритма.

3.3. Численное моделирование .'.

Понятие корректности задачи математической физики было введено Ж.Адамаром [1] в начале прошлого столетия. Им было высказано мнение о том, что корректная постановка является непременным условием, которому должна удовлетворять всякая математическая модель, соответствующая физической реальности. Эта точка зрения не подвергалась сомнению в течение многих лет. Корректные модели хороши тем, что классическая вычислительная математика позволяет решать задачи традиционными методами. При этом зачастую удается ответить на вопрос о сходимости предложенного алгоритма и оценке возникающей здесь погрешности. Конечно, появляются дополнительные трудности реализации алгоритма на компьютере, учете погрешностей округления, представления данных и результатов вычислений и т.д. Но эти проблемы обычно успешно решаются, особенно если учесть, что технические возможности современных компьютеров расширяются очень быстро. Однако часто имеющаяся у исследователя информация позволяет построить лишь такую математическую модель, для которой нет теорем существования решения в естественных функциональных пространствах и, самое главное, нет устойчивости решения по входным данным задачи. Для такой модели нельзя получить регулярные вычислительные алгоритмы с помощью традиционных методов.

В 1943 году появилась работа А.Н.Тихонова [2], в которой впервые была указана практическая важность неустойчивых по входным данным (некорректно поставленных) задач и принципиальная возможность их успешного решения в условиях принадлежности точного решения компактному множеству. В середине 50-х годов и, особенно интенсивно, в начале 60-х годов прошлого столетия началась систематическое изучение некорректных задач. Образовалось новое направление, лежащее на стыке функционального анализа и вычислительной математики, которое затем оформилось в самостоятельную область науки. Основопологающие подходы для теории некорректных задач связаны с именами А.Н.Тихонова, М.М.Лаврентьева, В.К.Иванова.

В первой отечественной монографии по некорректным задачам М.М.Лаврентьевым было введено понятие корректности по Тихонову [3] задачи математической физики, на основе которого М.М.Лаврентьевым, его учениками и последователями, получены глубокие результаты по регуляризации широкого спектра некорректных в классическом смысле задач, таких, например, как задача аналитического продолжения, обратные задачи для многих классов дифференциальных уравнений, задачи интегральной геометрии и многие другие. Многие результаты в этой области отражены в монографии М.М.Лаврентьева, В.Г.Романова, С.П.Шишатского [4]. Там же приведена обширная библиография по данному вопросу.

С понятием корректности по Тихонову тесно связано понятие квазирешения, введенное в 1962-1963 годах В.К.Ивановым в работах [5, 6] и обобщающее понятие обычного решения операторного уравнения

Au = f (0.0.1) на случай, когда оно неразрешимо для заданной пары метрических пространств U и F. Это обобщение оказалось чрезвычайно плодотворным и индуцировало целое направление в теории некорректных задач. Для линейных некорректных задач оно представлено в монографиях А.Н.Тихонова, В.Я.Арсенина [13] и В.К.Иванова, В.В.Васина, В.П.Тананы [7].

Дальнейшие исследования в указанном направлении проводил О.А.Лисковец, автор вышедшей в 1981 году монографии [8] (было введено понятие почти-квазирешения, проведены обобщения на максимально широкие классы функциональных пространств и операторных уравнений).

В 1963 году А.Н.Тихоновым в работах [11, 12] было сформулировано понятие регуляризирующего алгоритма (регуляризирущего оператора, регуляризатора) для некорректно поставленной задачи как однопарамет-рического семейства операторов, специальным образом аппроксимирующего обратный оператор и обеспечивающего при согласовании параметра с уровнем погрешности исходных данных устойчивое восстановление искомого решения. Для корректных по Адамару задач (например, вида (0.0.1)) в качестве формального регуляризирующего алгоритма может быть взят сам обратный оператор А~1. Другое дело, что такой алгоритм может оказаться неконструктивным (практически нереализуемым). Понятие регуляризирующего алгоритма оказалось весьма эффективным и работоспособным. Казалось, что для любой некорректной задачи можно построить соответствующий регуляризирующий алгоритм. Как отмечено в [8, стр. 14]: "В отличие от господствовавшего прежде мнения, что все задачи, описывающие физическую реальность, корректны, по современным представлениям каждая реальная задача регуляризируема, т.е. имеет хотя бы один регуляризатор". Однако оказалось не все так просто. Как показано, например в работах Л.Д.Менихеса [9, 10], некоторые линейные интегральные уравнения первого рода могут быть нерегуляризируемы на паре пространств С[0,1] и 1*2[0,1].

В работах [11, 12] А.Н.Тихоновым предложен универсальный способ построения регуляризирующего алгоритма (метод регуляризации), основанный на введении так называемого сглаживающего функционала. Универсальность метода А.Н.Тахонова заключается в том, что он применим к существенно некорректным задачам [13, стр. 53], у которых класс возможных решений не является компактом.

Значительным достижением явились фундаментальные исследования

A.Б.Бакушинского и Б.Т.Поляка [14, 15] по итеративной регуляризации некорректных задач, позволившие создать концепцию регуляризации различных итерационных процессов (например, метода Ньютона-Канторовича или простой итерации), которая дает возможность получить сильную сходимость в том случае, когда отсутствие непрерывного обратного оператора А~1 или его производной [.А']~1 исключает использование классических схем.

Понятие регуляризирующего алгоритма имело революционное значение в вычислительной математике и фактически послужило основой для развития новой математической дисциплины. Большой вклад в эту область внесли А.Л.Агеев, Я.И.Альбер, В.Я.Арсенин, А.Б.Бакушинский, Г.М.Вайникко, Ф.П.Васильев, В.В.Васин, А. Ю. Веретенников,

B.А.Винокуров, Ю.Л.Гапоненко, А.М.Денисов, С.И.Кабанихин,

A.С.Леонов, О.А.Лисковец, И.В.Мельникова, В.А.Морозов, В.Г.Романов,

B.Н.Страхов, В.П.Танана, А.Г.Ягола и многие другие.

К настоящему времени созданы общие принципы конструирования ре-гуляризирующих алгоритмов для широких классов некорректных задач. Было показано, в частности, что многие классические схемы, например итерационные методы решения линейных операторных уравнений, могут быть успешно использованы и при построении регуляризирующих алгоритмов для них. Процесс должен быть дополнен только правилом окончания (останова) итерационного процесса в зависимости от величины погрешности входных данных задачи [16-19].

В монографии В.В.Васина и А.Л.Агеева [20] систематически изложены регулярные методы решения неустойчивых задач, позволяющие учитывать дополнительную априорную информацию о решении (сведения о форме описываемого объекта, более детальные свойства гладкости, тонкую структуру решения, вытекающую из физической сущности задачи). Учет дополнительных сведений о решении особенно важен при рассмотрении математических моделей с неединственным решением базового уравнения. Много внимания в монографии уделено развитию регуляризации, основанной на введении корректирующих (демпфирующих) множителей, идея которой восходит к работам Ф.Браудера и Б.Гальперина [21, 22].

Из зарубежных исследований по некорректным задачам необходимо упомянуть результаты Ж.-Л.Лионса и Р.Латтеса [30, 31], предложивших способ регуляризации некорректных задач математической физики, известный как метод квазиобращения. В [32] A.Neubauer и O.Scherzer обосновали сходимость дискретных аппроксимаций (полученных проекционным методом) регуляризованных по Тихонову решений нелинейного операторного уравнения первого рода. Также установлены условия, гарантирующие оптимальную по порядку скорость сходимости конечномерных приближений для случая зашумленных исходных данных. В работах [33] (O.Scherzer, H.W.Engl, K.Kunisch), [34] (K.Kunisch, W.Ring), [35] (U.Tautenhahn) изучены возможности априорного и апостериорного выборов параметра регуляризации в методе Тихонова для нелинейных задач, а также оценены скорости сходимости регуляризованных решений.

Библиография по теоретическим и прикладным аспектам методов регуляризации систематизирована в монографической литературе [13, 7, 3, 4, 8, 23, 25, 26, 20, 19, 27, 28, 29].

Широкий круг некорректных задач составляют обратные задачи, в частности, обратные задачи, модели которых описываются дифференциальными уравнениями, в том числе, динамическими системами. Под обратной задачей для динамических систем принято понимать задачу восстановления характеристик динамической системы (коэффициентов, параметров, входящих в дифференциальные уравнения, в начальные или граничные условия) по информации о пространственных координатах, скорости или других количественных характеристиках траектории (решения, движения) этой системы, поступающей в процессе специально организованных наблюдений (измерений). Такие задачи являются типичными для теории и методов обработки и интерпретации результатов наблюдений и возникают при изучении тех свойств объектов или процессов, которые недоступны или труднодоступны для прямого измерения и о которых приходится судить по измеренным в результате эксперимента их косвенным проявлениям. В качестве примеров можно привести медицинские эксперименты по изучению внутренних органов человека, эксперименты по неразрушающему контролю за качеством изделий, наблюдения и эксперименты но определению физических характеристик тел по их взаимодействию с подходящими физическими полями и т.д.

Хотя отдельные классы обратных задач давно рассматриваются в науке и практике, широкое исследование обратных задач началось сравнительно недавно, что связано с прогрессом в соответствующих областях знаний. К настоящему времени теория обратных задач стала самостоятельной областью математики, в ней сформировались различные направления, обусловленные как различными сферами ее приложений, так и многообразием математических постановок обратных задач, ей посвящена обширная литература (см., например, [36-56]).

Существенную роль в становлении теории обратных задач сыграло интенсивное развитие в последние несколько десятилетий теории некорректных задач. Дело в том, что измерения результатов наблюдений и экспериментов (входных данных) сопровождаются неизбежными ошибками, поэтому искомые решения обратных задач также будут определяться с погрешностью. И оказывается, что в большинстве своем обратные задачи естествознания неустойчивы, т.е. сколь угодно малым погрешностям изменений входных данных могут соответствовать большие погрешности в определении искомого решения обратной задачи. Это обстоятельство затрудняет применение обычных методов для поиска решения обратных задач и требует привлечения для этих целей специальных методов, называемых методами регуляризации, разработанных в рамках общей теории некорректных задач [1-35].

В большинстве исследований в области обратных задач процесс решения задачи носит статический характер, т.е. при таком решении восстановление неизвестных характеристик осуществляется по завершении наблюдений по всей совокупности поступивших измерений. Иногда это обстоятельство приводит к некоторым затруднениям из-за большого объема информации, из-за ограниченного объема памяти и конечного быстродействия имеющихся вычислительных средств. В 1983 году вышли основополагающие работы академиков Ю.С.Осипова и А.В.Кряжимского [57, 58], в которых для решения обратных задач динамики предлагался новый метод, получивший затем название метода динамической регуляризации. Эти работы инициировали многочисленные исследования по динамическому методу решения обратных задач. Метод получил дальнейшее всестороннее развитие в школе Ю.С.Осипова и за ее пределами [57-70, 71]. С идейной точки зрения метод динамической регуляризации основывается на подходах теории позиционных дифференциальных игр, развитой Н.Н.Красовским и его школой [72-79], и подходах теории некорректных задач, развитой в школах А.Н.Тихонова, В.К.Иванова, М.М.Лаврентьева [2-20, 23-29, 37-39, 42-44, 46, 50, 56]. Этот метод целесообразно применять в тех случаях, когда требуется восстановить неизвестные характеристики интересующих явлений в динамике синхронно с развитием этих явлений или, как принято говорить в инженерной практике, в режиме реального времени. При этом предполагается, что информация об измерениях поступает в заданные дискретные моменты времени по ходу процесса и на каждом шаге метода для определения текущего приближения неизвестной характеристики процесса разрешено использовать лишь те измерения, которые уже имеются в распоряжении исследователя к данному моменту времени без привлечения тех измерений, которые поступят в последующие моменты времени. С подобными обратными задачами приходится иметь дело, например, в механике управляемого полета, при создании технологических и производственных процессов, в проблемах оперативной обработки информации, в проблемах обработки больших объемов информации и т.п.

Метод динамической регуляризации может быть применим и в тех ситуациях, когда уже закончены все измерения и известна вся информация о проведенных наблюдениях, но обработка этой информации традиционными (статическими) методами регуляризации затруднительна из-за большого объема информации или недостаточности вычислительных средств. Тогда имеет смысл накопленную информацию об измерениях обрабатывать отдельными порциями, опираясь на идеи метода динамической регуляризации. Таким образом, этот метод может быть использован и как метод декомпозиции, заключающийся в сведении исходной задачи большой размерности к последовательности задач меньшей размерности.

В данной диссертационной работе изучаются некорректные задачи (операторные уравнения первого рода, обратные задачи реконструкции управлений в динамических системах) и способы их регуляризации методом Тихонова. При этом регуляризация проводится с использованием нетрадиционных стабилизаторов, включающих классическую или обобщенную вариацию. Использование таких стабилизаторов имеет ряд преимуществ по сравнению с традиционными стабилизаторами, поскольку позволяет более качественно восстанавливать негладкие (разрывные) решения. Это показано на ряде задач нахождения решений операторных уравнений первого рода, восстановлении управлений в динамических системах статическими и динамическими методами. К числу недостатков использования таких стабилизаторов можно отнести большую вычислительную трудоемкость.

Цель работы состоит в обосновании метода регуляризации Тихонова для рассматриваемых классов некорректных задач, доказательстве теорем о разрешимости регуляризированных задач и кусочно-равномерной сходимости регуляризованных решений к искомому решению, а также в разработке соответствующих вычислительных алгоритмов и в проведении самих вычислительных экспериментов.

Из сказанного выше следует, что тема диссертации актуальна.

Диссертационная работа содержит список обозначений, введение, три главы и список литературы. В работе принята тройная нумерация объектов: первая цифра указывает на номер главы, вторая — на номер параграфа, третья — на номер объекта в данном параграфе.

1. Адамар Ж. Задача Коши для линейных уравнений с частными производными гиперболического типа. М.: Наука. 1978. 351 с.

2. Тихонов А.Н. Об устойчивости обратных задач // ДАН СССР. 1943. Т. 39. № 4. С. 195-198.

3. Лаврентьев М.М. О некоторых некорректных задачах математической физики. Новосибирск: СО АН СССР. 1962. 92 с.

4. Лаврентьев М.М., Романов В.Г., Шишатский С.П. Некорректные задачи математической физики и анализа. М.: Наука. 1980. 288 с.

5. Иванов В.К. О линейных некорректных задачах // ДАН СССР. 1962. Т. 145. № 2. С. 270-272.

6. Иванов В.К. О некорректно поставленных задачах // Математический сборник. 1963. Т. 61. № 2. С. 211-223.

7. Иванов В.К., Васин В.В., Танана В.П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения. М.: Наука. 1978. 206 с.

8. Лисковец О.А. Вариационные методы решения неустойчивых задач. Минск: Наука и техника. 1981. 343 с.

9. Менихес Л.Д. Об одном достаточном условии регуляризируемости линейных обратных задач // Математические заметки. 2007. Т. 82. № 2. С. 242-247.

10. Менихес Л.Д. К теории регуляризации интегральных уравнений // Известия Уральского госуниверситета. 2008. №58. (Серия: Математика. Механика. Информатика. Выпуск 11.). С. 138-154.

11. Тихонов А.Н. О решении некорректно поставленных задач и методе регуляризации // ДАН СССР. 1963. Т. 151. № 3. С. 501-504.

12. Тихонов А.Н. О регуляризации некорректно поставленных задач // ДАН СССР. 1963. Т. 153. № 1. С. 49-52.

13. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука. 1979. 288 с.

14. Бакушинский А.Б. Методы решения монотонных вариационных неравенств, основанные на принципе итеративной регуляризации // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1977. Т. 17. № 6. С. 1350-1362.

15. Бакушинский А.Б., Поляк Б.Т. О решении вариационных неравенств // ДАН СССР. 1974. Т. 219. № 5. С. 1038-1041.

16. Вайникко Г.М. Анализ дискретизационных методов. Тарту: Издательство Тартусского университета. 1976. 161 с.

17. Вайникко Г.М. Оценки погрешности метода последовательных приближений для некорректных задач // Автоматика и телемеханика. 1980. № 3. С. 84-92.

18. Вайникко Г.М. Методы решения линейных некорректно поставленных задач в гильбертовых пространствах. Тарту: Издательство Тартусского университета. 1982. 107 с.

19. Вайникко Г.М., Веретенников А.Ю. Итерационные процессы в некорректных задачах. М.: Наука. 1986. 178 с.

20. Васин В.В., Агеев A.JI. Некорректные задачи с априорной информацией. Екатеринбург: УИФ Наука. 1993. 262 с.

21. Browder F.E. Fixed point Theorem for non compact mappings in Hilbert space // Proc. Nat. Acad. Sci. USA. 1965. V. 53. № 6. P. 12721276.

22. Halperin B. Fixed pointes of nonexpensiv maps // Bull. Amer. Math. Soc. 1967. V. 73. № 6. P. 957-961.

23. Бакушинский А.В., Гончарский А.В. Некорректные задачи. Численные методы и приложения. М.: Изд-во МГУ. 1989. 197 с.

24. Бакушинский А.Б., Гончарский А.В. Итеративные методы решения некорректных задач. М.: Наука. 1989. 128 с.

25. Тихонов А.Н., Гончарский А.В., Степанов В.В., Ягола А.Г. Численные методы решения некорректных задач. М.: Наука. 1990. 230 с.

26. Тихонов А.Н., Леонов А.С., Ягола А.Г. Нелинейные некорректные задачи. М.: Наука. Физматлит. 1995. 312 с.

27. Морозов В.А. Регулярные методы решения некорректно поставленных задач. М.: Наука. 1987. 239 с.

28. Морозов В.А. Методы регуляризации неустойчивых задач. М.: Издательство МГУ. 1987. 217 с.

29. Васильев Ф.П. Методы оптимизации. М.: Факториал Пресс. 2002. 824 с.

30. Латтес Р., Лионе Ж.-Л. Метод квазиобращения и его приложения. М.: Мир. 1970. 336 с.

31. Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.: Мир. 1972. 414 с.

32. Neubauer A., Scherzer О. Finit dimensional approximation of Tikhonov - regularized solutions of nonlinear ill-posed problem // Numer. Funct. Anal, and Optimiz. 1990. V. 11. № 1-2. P. 85-99.

33. Scherzer 0., Engl H. W., Kunisch K. Optimal a posteriori parameter choise for Tikhonov regularization for solving nonlinear ill-posed problems // SIAM J. Numer. Anal. 1993. V. 30. № 6. P. 1796-1838.

34. Kunisch K., Ring W. Regularization of nonlinear ill-posed problem with closed operators // Numer. Funct. Anal, and Optimiz. 1993. V. 14. № 3-4. P. 389-404.

35. Tautenhahn U. Error estimates for regularized solutions of nonlinear ill-posed problems 11 Inverse Problems. 1994. V. 10. № 2. P. 485-500.

36. Алифанов O.M., Артюхин E.A., Румянцев С.В. Экстремальные методы решения некорректных задач. М.: Наука. 1988. 288 с.

37. Аниконов Ю.Е. Некоторые методы исследования многомерных обратных задач для дифференциальных уравнений. Новосибирск: Наука. 1978. 118 с.

38. Антоненко О.Ф., Резницкая К.Г. Метод Ньютона-Канторовича в обратной динимической задаче сейсмики // Обратные задачи для дифференциальных уравнений математической физики. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР. 1978. С. 18-25.

39. Баев А.В. О решении одной обратной задачи для волнового уравнения с помощью регуляризирующего алгоритма // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1985. Т. 25. № 1. С. 140-146.

40. Бамберже А., Шван Д., Лэли Б. Решение обратной задачи сейсмики на основе теории оптимального управления // Вычислительные методы в прикладной математике. Новосибирск: Наука. 1982. С. 108118.

41. Бек Дж., Блакуэлл Б., Сент—Клэр Ч.(мл.). Некоторые обратные задачи теплопроводности. М.: Мир. 1989. 312 с.

42. Бухгейм А.Л. Уравнения Вольтерра и обратные задачи. Новосибирск: Наука. 1983. 205 с.

43. Галиуллин А.С. Обратные задачи динамики. М.: Наука. 1986. 273 с.

44. Гласко В.Б. Обратные задачи математической физики. М.: Изд-во МГУ. 1984. 112 с.

45. Горюнов А. А., Сасковец А.В. Обратные задачи рассеяния в акустике. М.: Изд-во МГУ. 1989. 117 с.

46. Денисов A.M. Введение в теорию обратных задач. М.: Изд-во МГУ. 1994. 208 с.

47. Иманалиев М.И. Методы решения нелинейных обратных задач и их приложение. Фрунзе: Илим. 1977. 347 с.

48. Искендеров АД. Об одной обратной задаче для квазилинейных параболических уравнений // Дифференциальные уравнения. 1974. Т. 10. № 5. С. 890-898.

49. Искендеров А.Д. Обратная задача об определении коэффициентов квазилинейного эллиптического уравнения // Известия АН АзССР. Сер. физ.-техн. и мат. наук. 1978. № 2. С. 80-85.

50. Кабанихин С. И. Проекционно-разностные методы определения коэффициентов гиперболических ураннений. Новосибирск: Наука. 1988. 167 с.

51. Коздоба Л. А., Круковский П.Г. Методы решения обратных задач теп-лопереноса. Киев: Наукова думка. 1982. 359 с.

52. Крутъко П.Д. Обратные задачи динамики управляемых систем. Линейные модели. М.: Наука. 1987. 319 с.

53. Крутько П.Д. Обратные задачи динамики управляемых систем. Нелинейные модели. М.: Наука. 1988. 332 с.

54. Левитан Б.Н. Обратные задачи Штурма-Лиувилля. М.: Наука. 1984. 319 с.

55. Погорелое А.Г. Обратные задачи нестационарной химической кинетики. М.: Наука. 1988. 392 с.

56. Прилепко А.И. Внутренние обратные задачи теории потенциала // ДАН СССР. 1968. Т. 182. № 3. С. 503-505.

57. Осипов Ю.С., Кряжимский А.В. О динамическом решении операторных уравнений // ДАН СССР. 1983. Т. 269. №3. С. 552-655.

58. Кряжимский А.В., Осипов Ю.С. О моделировании управления в динамической системе // Известия АН СССР. Техническая кибернетика. 1983. №2. С. 51-60.

59. Osipov Yu.S., Kryazhimskii А. V. Inverse problems of Ordinary Differential Equations: Dynamical Solutions. L.: Gordon and Breach, 1995. 625 p.

60. Максимов В.И. Задачи динамического восстановления входов бесконечномерных систем. Екатеринбург: УрО РАН, 2000. 304 с.

61. Осипов Ю.С., Короткий А.И. Динамическое моделирование параметров в гиперболических системах // Известия АН СССР. Техническая кибернетика. 1991. №2. С. 154-164.

62. Ким А.В., Короткий А.И., Осипов Ю. С. Обратные задачи динамики параболических систем // Прикладная математика и механика. 1990. Т. 54. №5. С. 754-759.

63. Короткий А.И. Обратные задачи динамики управляемых систем с распределенными параметрами // Известия вузов. Математика. 1995. Ml. С. 101-124.

64. Вдовин А.Ю. Оценки погрешности в задаче восстановления управления // Сборник научных трудов "Задачи позиционного моделирования". Свердловск: ИММ УНЦ. 1986. С. 3-11.

65. Ловцкий К.Э. К задаче о моделировании управлении // Автоматика и телемеханика. 1987. № 6. С. 19-25.

66. Короткий А.И., Цепелев И.А. Динамическое решение обратной задачи определения параметров в системе Гурса-Дарбу // Труды Института математики и механики УрО РАН. Екатеринбург. 1995. Т. 3. С. 88-103.

67. Розенберг B.J1. О восстановлении функции источника в параболическом уравнении // Известия АН СССР. Техническая кибернетика. 1994. №6. С. 126-130.

68. Близорукова М.С., Максимов В.И. Об одном алгоритме динамической реконструкции управлений // Известия РАН. Теория и системы управления. 1998. №2. С. 56-61.

69. Мартьянов А.С. О реконструкции управлений по измерению части координат // Известия РАН. Теория и системы управления. 2004. №4. С. 52-60.

70. Дигас Б.В., Максимов В.И. О динамической реконструкции управлений в параболических системах // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1998. Т. 38. № 3. С. 398-412.

71. Осипов Ю.С., Васильев Ф.П., Потапов М.М. Основы метода динамической регуляризации. М.: Изд-во МГУ. 1999. 237 с.

72. Красовский Н.Н. Теория управления движением. М.: Наука. 1968. 476 с.

73. Красовский Н.Н. Управление динамической системой: Задача о минимуме гарантированного результата. М.: Наука. 1985. 520 с.

74. Красовский Н.Н., Субботин А.И. Позиционные дифференциальные игры. М.: Наука. 1974. 456 с.

75. Осипов Ю.С. К теории дифференциальных игр в системах с распределенными параметрами // ДАН СССР. 1975. Т. 223. №6. С. 13141317.

76. Куржанский А.Б. Управление и наблюдение в условиях неопределенности. М.: Наука. 1977. 392 с.

77. Субботин А.И., Ченцов А.Г. Оптимизация гарантии в задачах управления. М.: Наука. 1981. 288 с.

78. Ушаков В.Н., Спесивцев Л.В. Приближенное построение ядра инвариантности в дифференциальных включениях // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2005. Т. 45. № 4. С. 592-602.

79. Ушаков В.Н., Матвийчук А.Р. О построении разрешающих управлений в задачах управления с фазовыми ограничениями // Известия РАН. Теория и системы управления. 2006. №1. С. 5-20.

80. Giusti Е. Minimal surfaces and functions of bounded variations. Basel: Birkhauser. 1984. 239 p.

81. Acar R., Vogel C.R. Analysis of bounded variation penalty method for ill-posed problems // Inverse Problems. 1994. Vol. 10. P. 1217-1229.

82. Chavent G., Kunish K. Regularization of linear least squares problems by total bounded variation control // Optimization and Calculus of variation. 1997. Vol. 2. P. 359-376.

83. Vogel C.R. Computation methods for inverse problems // Philadelphia: SI AM. 2002. 183 p.

84. Neubauer A. Estimation of discontinuous solutions of ill-posed problems via adaptiv grid regularization // Jornal of Inverse and Ill-Posed Problems. 2005. Vol. 14, № 7. P. 705-716.

85. Васин В.В., Сереэ/сникова Т.И. Об одном алгоритме решения уравнения Фредгольма — Стилтьеса // Известия вузов. Математика. 2001. № 4. С. 3-10.

86. Васин В.В., Сереоюникова Т.И. Двухэтапный метод аппроксимации негладких решений и восстановление зашумленного изображения // Автоматика и телемеханика. 2004. № 2. С. 126-135.

87. Агеев А.Л. Регуляризация нелинейных операторных уравнений на классе разрывных функций // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1980. Т. 20. № 4. С. 819-836.

88. Агеев А.Л. Алгоритмы конечномерной аппроксимации стабилизирующих добавок // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1991. Т. 31. № 7. С. 943-952.

89. Леонов А. С. Кусочно-равномерная регуляризация некорректных задач с разрывными решениями // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1982. Т. 22. № 3. С. 516-531.

90. Васин В.В. Регуляризация и дискретная аппроксимация некорректных задач в пространстве функций ограниченной вариации // Доклады РАН. 2001. Т. 376. № 1. С. 11-14.

91. Васин В.В. Устойчивая аппроксимация негладких решений некорректно поставленных задач // Доклады РАН. 2005. Т. 402. № 5. С. 586-589.

92. Васин В.В. Аппроксимация негладких решений линейных некорректных задач // Труды института математики и механики УрО РАН. 2006. Т. 12. № 1. С. 64-77.

93. Leonov A.S. Regularization of ill-posed problems in Sobolev space W// Journal Inverse Ill-Posed Problems. 2005. Vol. 13. № 6. P. 595-619.

94. Леонов А.С. Об iJ-свойстве функционалов в пространстве Соболева // Матем. заметки. 2005. Т. 77. Вып. 3. С. 378-394.

95. Леонов А. С. О сходимости по полным вариациям регуляризующих алгоритмов решения некорректно поставленных задач // Журнал вычисл. матем. и матем. физики. 2007. Т. 47. № 5. С. 767-783.

96. Leonov A.S. Functions of several variables with bounded variations in ill-posed problems // Сотр. Maths. Math. Phys. 1996. Vol. 36. №. 9. P. 1193-1203.V

97. Леонов А. С. Кусочно-равномерная регуляризация двумерных некорректных задач с разрывными решениями: численный анализ // Журнал вычисл. матем. и матем. физики. 1999. Т. 39. № 12. С. 1939-1944.

98. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука. 1976. 392 с.

99. Черноусько Ф.Л., Меликян А.А. Игровые задачи управления и поиска. М.: Наука. 1978. 270 с.

100. Варга Дэю. Оптимальное управление дифференциальными и функциональными уравнениями. М.: Наука. 1977. 623 с.

101. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука. 1972. 496 с.

102. Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной. М.: Наука. 1974. 480 с.

103. By лих Б. 3. Краткий курс теории функций вещественной переменной. М.: Наука. 1973. 352 с.

104. Иосида К. Функциональный анализ. М.: Мир, 1967. 624 с.

105. Поляк Б. Т. Введение в оптимизацию. М.: Наука. 1983. 384 с.

106. Демьянов В.Ф., Васильев В.П. Недифференцируемая оптимизация. М.: Наука. 1981. 384 с.

107. Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. М.: Наука. 1974. 480 с.

108. Данфорд Н.; Шварц Дою. Т. Линейные операторы. Общая теория. М.: Едиториал УРСС. 2004. 896 с.

109. Треногин В.А. Функциональный анализ. М.: Наука. 1980. 496 с.

110. Аникин С.А. Методы регуляризации в задачах идентификации входов динамических систем. Диссертация . канд. физ.-мат. наук. Екатеринбург: ИММ УрО РАН. 2002.

111. Рублева С.С. О точности метода динамической регуляризации моделирования управления в системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Диссертация . канд. физ.-мат. наук. Екатеринбург: УрГУ. 2009.Публикации автора

112. Vasin V.V., Korotkii М.А. Tikhonov regularization with nondifferentiable stabilizing functional // Jornal of Inverse and Ill-Posed Problems. 2007. Vol.15, N 8. P.853-865.

113. Короткий М.А. Восстановление управлений и параметров методом Тихонова с негладкими стабилизаторами // Известия вузов. Математика. 2009. № 2. С. 76-82.

114. Короткий М.А. Восстановление управлений статическим и динамическим методами регуляризации с негладкими стабилизаторами // Прикладная матем. и механика. 2009. Т. 73. Вып. 1. С. 39-53.