Восстановление управлений в параболических системах тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

Ня правах рукописи

005538317 ЛиФ ^

МИХАЙЛОВА Дарья Олеговна

ВОССТАНОВЛЕНИЕ УПРАВЛЕНИЙ В ПАРАБОЛИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ

01.01.07 - вычислительная математика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Екатеринбург - 2013

005538317

Работа, выполнена в отделе прикладных задач Федерального государственного бюджетного учреждения на.укн «Институт математики и механики имени H.H. Красовского Уральского отделения Российской а.кадсмии наук»

Научный руководитель: доктор физико-математических паук, профессор Короткий Александр Илларионович.

Официальные оппоненты: Максимов Вячеслав Иванович,

доктор физико-математических паук, профессор, заведующий отделом дифференциальных уравнений, Институт математики и механики им. H.H. Красовского УрО РАН, г. Екатеринбург;

Шишлеиин Максим Александрович,, кандидат физико-математических наук, доцент, старший научный сотрудник лаборатории волновых процессом. Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН. г. Новосибирск.

Подущая организация: Московский государственный университет

им. VI.В. Ломоносова, факультет вычислительной математики и кибернетики, г. Москва.

Зашита диссертации состоится 11 декабря 2013 года п 15.00 часов на заседании диссертационного совета Л 004.ООО.04 при Институте математики и механики имени H.H. Красовского УрО РАН по адресу: 620990, г. Екатеринбург, ул. Софьи Ковалевской, 16.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Института математики и механики имени H.H. Красовского УрО РАН. Автореферат разослан 5 ноября 2013 года.

Ученый секретарь диссертационного совета., доктор физ.-мат. наук ^ В.Д. Скарин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность и степень разработанности темы. В настоящее время велика востребованность такого раздела современной математики, как теория обратных и некорректных задач. Основы теории и практики исследования таких задач были заложены учеными-пионерами в этих областях А.Н. Тихоновым, В.К. Ивановым, М.М. Лаврентьевым.

Большой вклад в развитие теории некорректных задач внесли А.Л. Агссв, О.М. Алифанов, В.Я. Арсении, А.Б. Бакушин-ский, Г.М. Вайникко, Ф.П. Васильев, В.В. Васин, В.А. Винокуров, A.M. Денисов, С.И. Кабанихин, A.C. Леонов, В.И. Максимов, И.В. Мельникова, Л.Д. Менихес, В.А. Морозов, А.И. Прилсп-ко, В.Г. Романов, В.П. Танана, А.Г. Ягола, Е. Giusti, C.R. Vogel, О. Schcrzer и многие другие.

Вероятно, по числу приложений класс обратных задач для краевых задач математической физики, в которых требуется определить априори неизвестные коэффициенты, правые части или краевые условия, является одним из самых востребованных. При этом зачастую восстанавливаемые функции могут иметь особенности (например, изломы, разрывы, близкие пики).

При решении некорректных задач часто применяется метод регуляризации Тихонова. Однако для качественного восстановления функций с особенностями требуется конструирование специальных стабилизирующих функционалов. Этими вопросами занимались В.В. Васин, А.Л. Агссв, A.C. Леонов, G. Chavcnt, К. Kunish, C.R. Vogel и другие.

Во многих научных и прикладных разработках возникают задачи реконструкции неизвестных характеристик управляемых динамических систем синхронно с развитием исследуемого процесса. В этом случае требуется разработка так называемых динамических алгоритмов восстановления. Адекватный методологический подход к динамической регуляризации — принцип регу-ляризованпого экстремального сдвига с моделью — был предложен Ю.С. Осиновым и A.B. Кряжимским1. Однако классический вариант метода не даст удовлетворительного приближения для функций с особенностями.

1 Кряжимский A.B., Осипов Ю.С. О моделировании управления в динамической системе // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1983. № 2. С. 51 - 60.

В исследованиях В.В. Васина и др.2,3 были предложены модификации методов статической и динамической реконструкции неизвестных параметров в обратных задач для операторных уравнений первого рода и систем обыкновенных дифференциальных уравнений. В данной диссертационной работе эти модификации адаптированы и обоснованы для задачи восстановления априори неизвестных управлений, функционирующих в управляемой динамической системе, описываемой краевой задачей для параболического уравнения в частных производных.

Цели и задачи исследования. Разработка статического и динамического методов восстановления распределенных и граничных управлений в обратных задачах для динамических систем параболического типа, дающих усиленную (по сравнению со среднеквадратичной) сходимость приближенных решений к точному; разработка и реализация на ЭВМ соответствующих алгоритмов, позволяющих с приемлемой точностью восстанавливать как гладкие, так и негладкие модельные управления.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации, изложенные ниже в разделе «Основные результаты», являются новыми для параболических динамических управляемых систем.

Теоретическая и практическая значимость работы. Получены и теоретически обоснованы статический и динамический методы восстановления распределенных и граничных управлений в параболических системах, которые дают, в частности, кусочно-равномерную сходимость регуляризованных приближений к искомому управлению. Восстановленные управления могут быть использованы для оперативной оценки характеристик управляемого объекта или более адекватного моделирования. Метод динамической регуляризации может применяться как метод декомпозиции в случае, если реализация метода статической регуляризации затруднена из-за большой размерности задачи, требующей большого объема машинной памяти. Однако есть основания считать, что метод статической регуляризации позволяет точнее получать приближенные решения обратной задачи.

Методы исследования. При работе над диссертацией применялись методы функционального анализа, теории некор-

2 Васин В.В., Сереэюиикова Т.И. Об одном алгоритме решения уравнения Фредгольма - Стилтьееа // Известия вузов. Математика. 2001. № 4. С. 3 - 10.

3Vasin V.V., Korotkii М.А. Tikhonov regularization with noiidifferentiable stabilizing functional // Journal of Inverse and Ill-Posed Problems. 2007. Vol. 15, № 8. P. 853 - 865.

рсктных задач, вычислительной математики и теории управления. Использовались понятия и результаты математической физики и теории дифференциальных уравнений. Численное моделирование было реализовано на языке программирования высокого уровня С I -I . Результаты обрабатывались в пакете прикладных программ Matlab.

Степень достоверности и апробация результатов. Достоверность полученных в диссертационной работе результатов подтверждается строгими математическими доказательствами, а также соответствием теории результатам численного моделирования. Основные результаты работы опубликованы в виде статей в рекомендованных ВАК изданиях [1-5] и докладывалось на ряде всероссийских и международных конференций [6-15]. В совместных работах [2-4,6,7] научному руководителю А.И. Короткому принадлежат постановка задачи и идеи некоторых доказательств; основное исследование, конкретные доказательства утверждений и численное моделирование принадлежат автору работы.

Структура и объем работы. Диссертационная работа содержит введение, четыре главы, заключение, списки обозначений, литературы, публикаций автора и приложение. Общий объем диссертационной работы составляет 160 страниц, библиография содержит 76 наименований.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Первая глава посвящена решению задачи восстановления неизвестного распределенного управления в динамической системе параболического типа статическим методом. Рассматривается система, состояние которой в момент времени t из заданного отрезка времени Т = [i0,i9] (-00 < tQ < д < +оо) характеризуется функцией y[t] = y(t,-), определенной в некоторой области ft евклидова пространства Rn, п ^ 1. Эволюция состояний y[t] = y(t,x), х G ft, во времени описывается параболической краевой задачей

yt = Ly +f{x) ■ u{t), (t,x) e Q = T x il, (1)

y(t0,x) = y0(x),xen\ y(t,x) = o,teT, xer = dn, (2)

где Уо = Уо(ж), X е ft, И f = f{x) = {fi{x),...Jm{x)), ж G ft, заданные начальное состояние системы и векторная функция соответственно; u = u(t) = {ui(t), ...,um{t)) — вектор управляющего

воздействия на систему в момент времени t Е Т\ L — заданный дифференциальный оператор, отражающий динамические свойства системы,

^ д д у ^ Q

i,j=1 1 ■> г=1 г

п q п

¿=1 1 г=1

где С = const > 0. Пусть также а^ = ajt и для коэффициентов сiij выполняется условие равномерной нараболичности.

Всюду в работе будем считать, что допустимые значения управляющего воздействия подчинены геометрическим ограничениям и могут принимать значения только из заданного выпуклого компактного множества Р С R"'. Задача восстановления состоит в том, чтобы по результатам Уб = УбЩ, t ЕТ, приближенных измерений наблюдаемого движения системы у = y[t], t Е Т, приближенно определить ту реализацию и = u(t), t Е Т, управляющего воздействия на систему, которая соответствует результатам наблюдений. При этом результат щ = ), t Е Т, восстановления искомого управляющего воздействия u = u(t), tET, должен быть тем точнее, чем меньше ошибки измерений. Задача решается в статическом варианте, то есть для расчета можно использовать совокупность данных на всем временном отрезке. Алгоритм не учитывает возможного изменения данных в процессе расчета.

В параграфах 1.1 и 1.2 дается строгая математическая постановка задачи, исследуются свойства введенной в рассмотрение динамической системы, которые будут использоваться при обосновании выбранного способа решения задачи. Во всей работе будут применяться следующие обозначения:

а) множество U = {и Е Е = L2(T; Rm) : u{t) Е Р, t Е Т} всех допустимых управлений в задаче. Здесь и в дальнейшем, говоря о тех или иных свойствах функции и из Е, мы будем иметь в виду существование по крайней мере одной функции, эквивалентной и, для которой это свойство выполнено;

б) множество Y = { у = у[-\ и] : и Е U } всех возможных движений рассматриваемой динамической системы, отвечающих всем возможным управлениям и Е U]

в) для каждого у € F множество U(y) = {и е U : у[\и]-у} всех допустимых управлений, порождающих данное движение;

г) множество Ys(y) = {у5 G L2{t; L2(Q)) : Л2(у, ys) < ¿2 }, О ^ 5 ^ ¿о = const, всех возможных измерений движения у е У; в задачах статического и динамического восстановления значение Д2(у, ys) положим равным Ai(y, ys) и Дг(у, ys) соответсвенно,

Ai(y,ys) = J Mt]-y[t}\\l2mdt; А2(у, У*) = sup ||y^]-y[i] |||2(п);

д) полная вариация = sup { II ~ u{U-i) ||кт : a E E}, функции «:ТэМ u(t) € Mm, точная верхняя грань берется по множеству Е всех конечных разбиений а отрезка Т, а : ¿о < ¿1 < ••• < U-1 <ti = ti, I G N;

с) банахово пространство W функций и \ Т —ь Rm с ограниченной вариацией V[u] и нормой || и Цц/ = || и + V[u].

Искомый алгоритм отождествим с семейством отображений (методов) D = { Ds : 0 < 5 < 50 } , Ds : L2{T; Е") -»• Е .

Исходную задачу теперь можно сформулировать так: требуется построить алгоритм D, который на любом наблюдаемом движении системы у € Y обладает регуляризующим свойством

гд(у)^0, 0, где гй-(у) = sup {p[Ds(ys), U(y)} : yseYs{y)},

p[Ds{ys), U(y)]=mm{\\Ds(ys)-v\\E: veU(y)}.

В параграфе 1.3 предлагается апостериорный метод регуляризации Тихонова с негладким стабилизатором в виде суммы классической вариации и нормы пространства Ь2. Вводятся обозначения:

Fa = Fa(z, v) = J II y[t] v] - z{t) \\l2(n) dt + a A(v),

T

F*{z) = mm{Fn{z,v) : v e Uw} , Uw = UnW, (4)

U(;(z) = {vEUw: Fn(z, v) = F*(z) } ,

где A(v) = || v Hi + V[v] — негладкий стабилизатор сглаживающего функционала Fa.

Как показано в лемме 1.3.8, при любых а > 0, z е L2(T; L2(£l)) экстремальная задача (4) разрешима, множество се решений U*(z) состоит из одного элемента и*п € Uw-

Построим искомый алгоритм, решающий задачу восстановления. Для любых 5 € [0, ¿о], г £ L2(T] L2{Q)) определим реализацию (значение) метода Ds(z) по правилу

Dö{z) = veUw: F*{z) < Fa(z, v) < F*{z) + e , О 0, (5)

где £ — точность решения экстремальной задачи (4). Величины а{6) и е(6) будут являться параметрами регуляризации.

Теорема 1.3.1. Пусть для у € У непустым является множество S = U{у) П W и параметры регуляризации а = а(5), £ = е(5) удовлетворяют следующим условиям согласования:

(£{ö) + S2)a{ö)~1 0 , е(5) 0 , a(J) ^ 0 , i0.

Тогда алгоритм D, состоящий из методов (5), решает задачу восстановления на наблюдаемом движении у, то есть гЛ-(у) —» 0 при 5-4 0. Кроме того, если и есть (Л, 3)-пормальиый элемент множества S, то каковы бы пи случились при этом реализации измерений у$ € У§(у), для реализаций г>й- = Dg(ys) методов (5) при 6 —> 0 имеют место сходимости: 1) Vs —> и сильно в Е; 2) vц —У и в Rm поточечно па Т; 3) V[v6\ -4 V[u]; 4) vs(t) -4 u(t) в Rrn равномерно по t па любом отрезке, не содерэ/сащем точек разрыва функции и.

Модифицированный вариант метода Тихонова включает задачу минимизации негладкого функционала. Для построения минимизирующих последовательностей целевого функционала можно4 аппроксимировать допустимые управления функциями из пространства Соболева W^iT)™. Это позволяет воспользоваться техникой гильбертова пространства и упростить вычисления градиентов и субградиснтов целевого функционала, требующихся в методе проекции субградиента. При этом V[u] = JT || ü(t) Цщт dt для каждого элемента и G (Т)т. Необходимые вычисления, а также вид метода проекции субградиснта приводятся в параграфе 1.4. Доказывается теорема 1.4.1 о том, что при подходящем выборе параметров метода, он решает задачу минимизации.

Поскольку восстановление управлений связано с минимизацией функционалов в бесконечномерных пространствах, то для

*Васии В.В. Регуляризация и итеративная аппроксимация для линейных некорректных задач в пространстве функций ограниченной вариации // Труды Института математики и механики УрО РАН. 2006. Т. 8. № 1. С. 189-202.

численной реализации алгоритма требуется конечномерная аппроксимация задачи восстановления. В параграфе 1.5 для частного случая оператора Ь у = щ ( ^(х) ) + а(х) У выполнена конечномерная аппроксимация задачи восстановления, основанная на методе разделения переменных. Исходные экстремальные задачи, содержащие функции со значениями из пространства 1/2 (Г2), аппроксимируются вспомогательными конечномерными задачами с использованием оператора ортогонального проектирования на М^. Доказывается теорема 1.5.1 об аппроксимации (при определенных условиях согласования параметров метода, полученный алгоритм также решает задачу восстановления и даст, кроме традиционного для данного класса задач среднеквадратичного приближения, поточечную сходимость, сходимость вариаций и кусочно-равномерную сходимость).

В заключение первой главы в параграфе 1.6 приводятся результаты численного моделирования. Ниже на рис. 1, 2 показаны результаты восстановления гладкого и кусочно-гладкого распределенных управлений (соответственно) статическим методом при следующих значениях расчетных параметров: к = 0.025 (величина шага сетки по времени), М = 103 (количество итераций в методе проекции субградиснта), а = Ю-4(параметр регуляризации в сглаживающем функционале), N = 20 (количество членов ряда Фурье, используемых для конечномерной аппроксимации задачи восстановления). Сплошной линией показано модельное восстанавливаемое управление, пунктирная линия — результат восстановления при 6 = 0.2, точко-пунктирная линия — при 6 = 0.05, линия из точек — при 5 = 0.01. По осям абсцисс откладывается время по осям ординат — управление и(£).

Рисунок 1

Рисунок 2

Во второй главе разрабатывается метод статической реконструкции граничных управлений в динамической системе параболического типа:

yt = А у + f(t, х), [t,x)eQ] y(t0,x) = у0{х), xett, (6) ду

(Ti--^ + a2-y = g(x)-u{t), teT, х G Г = дП, (7)

где о\ и <72 — неотрицательные постоянные, 0-1 + 02 > 0; уо = Уо{х), х G fi, — начальное состояние системы; / и g — заданные функции; dy/dN — внешняя конормальная производная, соответствующая оператору А] и = u{t) = ...,um(t)) — вектор управляющего воздействия на систему в момент времени t G Г; Л — заданный линейный самосопряженный дифференциальный оператор второго порядка,

0. (8)

i,j=1 1 3

Требуется но совокупности результатов приближенных измерений наблюдаемого движения, полученных в течение времени Т, восстановить зависящую от времени компоненту и действующего на границе заранее неизвестного управления.

Задача восстановления исследуется по схеме, предложенной в первой главе. В параграфах 2.1 и 2.2 дается строгая математическая постановка задачи, исследуются свойства введенной в рассмотрение динамической системы, в частности, зависимость движения системы от порождающего его управления. В параграфе 2.3 обосновывается метод восстановления, основанный, как и в первой главе, на решении экстремальной задачи вида (4). Показано, что при использовании описанного в первой главе стабилизатора в виде суммы классической вариации и нормы пространства ¿2 для задачи восстановления граничных управлений так же, как и для задачи восстановления управлений в правой части, можно получить поточечную сходимость, сходимость в ¿2, сходимость вариаций и кусочно-равномерную сходимость. Задача минимизации вида (4) также решается методом проекции субградиента, в параграфе 2.4 проведены необходимые вычисления субдифференциала целевого функционала. Параграф 2.5 посвящен аппроксимации задачи восстановления методом Фурье, справедлива теорема 2.5.1 об аппроксимации. В параграфе 2.6 приво-

дятся результаты численного моделирования. Ниже на рис. 3 показан результат восстановления всплесков статическим методом (случай граничного управления) при следующих значениях расчетных параметров: h = 0.004, M = 500, а = 10"4 • 6, N = 15. Сплошной линией показано модельное восстанавливаемое управление, пунктирная линия — результат восстановления при 6 = 3, линия из точек — при d = 0.5. На рис. 4 приведена интересная часть графика (восстановление вершины четвертого всплеска) в более крупном масштабе.

1.5

1.8

0.2

0.4 0.6

Рисунок 3

1 0.622 0.624 0.628

Рисунок 4

0.63

В третьей главе рассматривается управляемая динамическая система (1) - (3). Задача восстановления состоит в том, чтобы построить такой динамический регуляризующий алгоритм реконструкции управления, который по результатам ул- = уц[Ь], £ € Т, приближенных измерений наблюдаемого движения системы у = уЩ, £ € Т, приближенно определял бы ту реализацию и = и(Ь), Ь е Т, управляющего воздействия на динамическую систему, которая соответствует результатам наблюдений. При этом в каждый момент времени ¿* € Т наблюдатель, стремящийся к решению задачи восстановления, может использовать лишь поступившие к моменту £* е Т результаты измерений уц = УвЩ, ^ < Ь < V. Для решения задачи предлагается воспользоваться модифицированным методом динамической регуляризации. Модификация заключается в применении метода Тихонова с негладким стабилизатором при многократной локальной регуляризации (в каждом временном узле, в котором поступают новые измерения о текущем положении системы).

В параграфе 3.1 приводится математическая постановка задачи и вводится формализованное понятие регуляризующих ко-нечношаговых динамических алгоритмов (КДА).

В параграфе 3.2 описывается идея динамического метода решения задачи. Остановимся на ней подробнее. Помимо исходной динамической системы рассматривается вспомогательная система-модель (копия исходной системы), траекторию этой системы будем называть траекторией поводыря:

Zt = Lz + f(x) ■ v(t), (t, x) e Q = T x П ,

z(t0,x) = zQ{x), xett] z(t,x) = o, teT, хег = дп.

Введем разбиение отрезка времени ¿о < ¿1 < • • • < U = $ с диаметром, не превосходящим (f(S).

Построим приближение ug(t) к искомому управлению и последовательно на каждом из отрезков разбиения: Uf, (t) положим равным и\ (t) при t 6 [и, ti+\\ , где i € {0, 1, ...,/ — 1}.

Будем рассматривать на каждом из частичных отрезков экстремальные задачи:

=Ф; - min { Ф4(м) : и в U[th tM; w ] П W{ } , (9)

k+i

Фi(u) = 2 J (fu,Zi- Уб(Ъ))ц{п)dr + a = const > °> h

U[U, ti+i\ w] = {и e Ui : u(ti) = w}, i = 0, 1, ..., l-l, K(v) = II « II^M*™) + Vt*(v), A(v) = Al(v) ,

где VfT(v) — полная вариация функции v на отрезке [t, т], U и Wi — сужение, функций из U и из W соответственно на отрезок [ti,ti+i]. Формирование параметров w и zi будет описано ниже. Схема работы алгоритма во времени такова. Шаг 4 = 0. В момент времени t = to поступает измерение у/¡(to). Пусть известно также некоторое приближение щ Е Р искомого управления и в момент ¿о с точностью h(5) G [0, До]: II Uh — u(tо) lliRm ^ h .

Положим w = щ, zq = ys(to). Найдем u°5 из условия

Фо ^ ФоЮ ^ Фо +e{h- ¿о),

где £ = e(â) параметр метода регуляризации. Найденное ий& принимается за приближение к и на [to, ^i] -

Шаг г = 1, 1. В момент времени t = U поступает

измерение ys{U). Положим w = uls~l(ti), элемент 2 = Zi будем находить из решения краевой задачи:

zt = Lz + f{x)u\-\t), {t,x) е [ii_b U] xil,

z(U-i,x) = z,i-i{x), хеП] z{t,x) = o, te[ti-uti], хеГ] в момент времени ¿¿, г = 1, ...,/ — 1, положим z-t = z{U, •)•

Найдем ^ из условия Ф* < Ф< Фг* + в - Най" денное и\ принимается за приближение к и на [¿¡,¿¿+1]- Положим теперь w = ui(tM), z = zi+Повторим процедуру.

К конечному моменту времени U = д получаем полную реализацию алгоритма us(t), t € Т, причем щ{Ь) = u\(t) для такого г G {0, 1}, что t G [ii, t/+i].

В параграфе 3.2 приводится подробное описание схемы работы КДА, из которого видно, что построенный алгоритм способен работать в режиме реального времени.

Пусть выполняется дополнительное условие на коэффициенты эллиптического оператора:

п п п п

+

г=1 г=1 г=1 г=1

где D = const > 0. Тогда справедлива следующая

Теорема 3.2.1. Пусть для у &Y непустым является мно-oicecmeo S = U(y) П U[t0, tt0] П W, тогда во множестве S существует единственный А-нормалъный элемент и, то есть элемент, минимизирующий на мпоэюеетве S функционал А. Если параметры регуляризации а = а{5), £ = е(6), tp = <р{5), h = h{5) и модуль непрерывности и) = ш(5) семейства движений Y, удовлетворяют условиям согласования:

{и}{8) + £{5) + 5)а{д)-1 ->0,

er(tf) ->• 0, р{6) -> 0, h{5) 0, а(6) 0, 60,

то описанный алгоритм решает задачу восстановления на наблюдаемом двиэ/сепии у, то есть гй(у) —> 0 при 6 -¥ 0. Кроме

т.ого, каковы бы пи случились реализации измерений у$ £ Уб(у), для реализаций алгоритма и?> при 5 —> 0 имеют место сходимости: 1) и г —> и сильно в Е; 2) гщ —» и в поточечно па Т; 3) У[и^] У[и]; 4) и{£) в Мт равномерно по £

на любом отрезке, не содерэ/сащем точек разрыва функции и.

В параграфе 3.3 проводится конечномерная аппроксимация задачи восстановления (для указанного в параграфе 1.4 частного случая эллиптического оператора), основанная на методе разделения переменных, и доказывается теорема 3.3.1 об аппроксимации. В заключение третьей главы приводятся результаты численного моделирования. Ниже на рис. 5 показан результат восстановления разрывного распределенного управления динамическим методом при следующих значениях расчетных параметров: К = 0.0005, М = 1000, а = 0.25 5, N = 100, т = Н/Ъ (величина шага в методе проекции субградиента, на. частичном отрезке). Сплошной линией показано модельное восстанавливаемое управление, пунктирной линией — результат восстановления при 5 = 0.04, точко-пуиктирной линией — при 0.02, линией с точками — при 6 = 0.0005.

Рисунок 5 Рисунок 6

В четвертой главе модифицированный метод динамической реконструкции управлений адаптирован для задачи восстановления граничных управлений в системе (6) - (8), где о\ > 0. Требуется но результатам приближенных измерений наблюдаемого движения в динамике восстановить зависящую от времени компоненту и действующего на границе заранее неизвестного управления.

Задача восстановления исследуется по схеме, предложенной в третьей главе. В параграфе 4.1 дастся строгая математическая

постановка задачи. В параграфе 4.2 разрабатывается модификация метода динамической регуляризации, основанного, как и в третье главе, на решении экстремальной задачи вида (9). Чтобы определить целевой функционал, введем некоторые дополнительные обозначения.

Решение краевой задачи (6) - (8) представим в виде ряда Фурье у{1,х-и) = у№)из{х) ,1£Т,х£П, (А,,^ : з еК} -решение в И^1^) соответствующей спектральной задачи. Известно, что собственные функции щ образуют ортонормированный

базис в и базис в И7^^).

Аналогично в виде ряда Фурье представимо решение краевой задачи (системы-модели, копии исходной системы), описывающей движение поводыря. Введем в рассмотрение гильбертово пространство числовых последовательностей д = (д^ - ■ •) со

ОО / -\ /^ч

скалярным произведением (дМ, = Е Д? <?) <?) и соответ-

з=\

ствующей ему нормой || д = (д, я)^2 , где числа /3,-, з € К,

оо

удовлетворяют условиям: ^ € (0,1), ^ < оо , 0 < ^ Xj ^ 1,

з=1

3 £ N. Целевой функционал для такой постановки задачи имс-ет вид: ^

Ф^) = 2(Вп(гг-Уь(и)), Вг(I ду(т)с1т))р + аА^1(у),

Ч

Вг(ду) = (д^%,д^,...), « е Я"1;

Вп(у) = (Уъ У2, ■■■), Уз = {У,^)ь2(П), У е ¿2^2),

9{з) = ,{9тп,щ)1.2(Г)) > 3 = 1,2, ... .

КДА работает по схеме, описанной в третьей главе. Доказана основная теорема 4.2.1 о том, что при введении описанного стабилизатора в виде суммы классической вариации и нормы пространства 1/2 Для задачи восстановления граничных управлений так же, как и для задачи восстановления управлений в правой части, можно получить поточечную сходимость, сходимость в Ь2, сходимость вариаций и кусочно-равномсрную сходимость регу-ляризованных приближений к искомому управлению. Параграф 4.3 посвящен аппроксимации задачи восстановления методом Фурье, справедлива теорема 4.3.1 об аппроксимации. В параграфе

4.4 приводятся результаты численного моделирования. Выше на рис. 6 показан результат восстановления разрывного граничного управления динамическим методом при следующих значениях расчетных параметров: к = 0.0005, М = 1000, а = 0.25 5, N = 100, т = /г/5 Сплошной линией показано модельное восстанавливаемое управление, пунктирной линией — результат восстановления при 6 = 0.03, точко-пупктирпой линией — при 0.01, линией с точками — при 6 = 0.0002.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

1. Обоснован статический метод восстановления распределенных и граничных управлений в обратных задачах для динамических систем параболического тина, основанный на модифицированном методе регуляризации Тихонова со стабилизатором в форме суммы нормы пространства Ь2 и классической вариации. Для регуляризованного семейства приближенных решений установлены поточечная сходимость, сходимость в Ь2, сходимость вариаций и кусочно-равномерная сходимость.

2. Разработан и обоснован динамический метод восстановления распределенных и граничных управлений в обратных задачах для динамических систем параболического типа, основанный на модифицированном методе динамической регуляризации Осипова-Кряжимского. Модификация заключается в применении метода Тихонова с негладким стабилизатором при многократной локальной регуляризации (в каждом временном узле, в котором поступают новые измерения о текущем положении системы). Для регуляризованного семейства приближенных решений так же, как и в статическом случае, установлены поточечная сходимость, сходимость в 1/2, сходимость вариаций и кусочно-равномерная сходимость.

3. Обоснован алгоритм субградиснтного метода минимизации целевых функционалов, который потребовал предварительной аппроксимации аргументов функционала более гладкими элементами пространства Соболева, но не потребовал предварительного сглаживания целевого функционала.

4. Разработаны и реализованы на ЭВМ соответствующие алгоритмы, позволяющие с приемлемой точностью восстанавливать как гладкие, так и негладкие модельные распределенные и граничные управления в обратных задачах динамики для систем параболического типа.

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ Публикации в изданиях, рекомендованных ВАК

1. Соболева Д. О. Реконструкция управлений в параболических системах // Вестник Бурятского государственного университета. Математика и информатика. 2010. Вып. 9. С. 59 - 67.

2. Короткий А.И., Михайлова Д.О. Восстановление управлений в параболических системах методом Тихонова с негладкими стабилизаторами // Труды Института математики и механики УрО РАН. 2010. Т. 16. X» 4. С. 211 - 227.

3. Короткий А.И., Михайлова Д. О. Восстановление граничных управлений в параболических системах // Труды Института математики и мехаии ки УрО РАН. 2012. Т. 18. № 1. С. 178 -197.

4. Короткий А.И., Михайлова Д. О. Восстановление распределенных управлений в параболических системах динамическим методом // Труды Института математики и механики УрО РАН. 2013. Т. 19. № 1. С. 160 - 169.

5. Михайлова Д. О. Аппроксимация и численное моделирование задачи динамической реконструкции управлений // Вестник Тамбовского университета. Серия: Естественные и технические пауки. 2013. Т. 18, вып. 5-2. С. 2611 - 2612.

Другие публикации

6. Соболева Д.О., Короткий А.И. Восстановление управлений в параболических системах методом Тихонова с негладкими стабилизаторами // Материалы конференции «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», посвященной 50-летию кафедры вычислительной математики и математико-мехапичсского факультета Уральского государственного университета им. A.M. Горького (Екатеринбург, 21 - 22 апреля 2010 г.). Екатеринбург: Издательство Уральского университета. 2010. С. 85 - 90.

7. Соболева Д.О., Короткий А.И. Реконструкция управлений в параболической системе методом Тихонова с негладкими стабилизаторами // Тезисы доклада на Всероссийской школе-конференции молодых исследователей и V Всероссийской конференции «Актуальные проблемы прикладной математики и механики», посвященной памяти академика А.Ф. Сидорова (Абрау-Дюрсо, 13 - 18 сентября 2010 г.). Екатеринбург: УрО РАН. 2010. С. 75 - 76.

8. Михайлова Д.О. Численное моделирование задачи реконструкции управления в параболической системе // Тезисы доклада па XIV Всероссийской конференции «Математической программирование и приложения» (Екатеринбург, 28 февраля - 4ма.рта. 2011 г.). Информационный бюллетень Ассоциации математического программирования № 12. Научное издание. Екатеринбург: УрО РАН. 2011. С. 266 - 267.

9. Михайлова Д.О. Реконструкция граничных управлений в параболических системах // Материалы IV Международной конференции «Математика, ее приложения и математическое образование» (МПМО'11) (Россия, Бурятия, Улан-Удэ, 27 июня - 1 июля 2011). Улан-Удэ: Изд-во ВСГ-ТУ (Восточно-Сибирский государственный технологический университет), 2011. Часть 2. С. 123 - 127.

10. Михайлова Д.О. Численное моделирование задачи реконструкции граничных управлений в параболических системах // Тезисы докладов Международной конференции «Алгоритмический анализ неустойчивых задач», посвященной памяти В.К. Иванова (Россия, Екатеринбург, 31 октября - 5 ноября 2011 г.). Екатеринбург: Издательство Уральского федерального университета, 2011. С. 154 - 155.

11. Михайлова Д. О. Восстановление управлений в параболических системах динамическим методом // Тезисы докладов Международной конференции «Обратные и некорректные задачи математической физики», посвященной 80-летию со дня рождения академика М.М. Лаврентьева (Россия, Новосибирск, Академгородок, 5 - 12 августа 2012 г.). Новосибирск: Сибирское научное издательство, 2012. С. 218 - 219.

12. Михайлова Д.О. Восстановление статическим методом распределенных и граничных управлений с результатами численного моделирования // Тезисы докладов IV Международной молодежной научной школы-конференции «Теория и численные методы решения обратных и некорректные задач» (Россия, Новосибирск, Академгородок, 5-15 августа 2012 г.). Новосибирск: ИВМиМГ СО РАН, 2012. С. 85.

13. Михайлова Д.О. Динамическая реконструкция граничных управлений в параболических системах // Тезисы докладов Всероссийской школы-конференции молодых исследователей и VI Всероссийской конференции «Актуальные проблемы прикладной математики и механики», посвященной памяти академика. А.Ф. Сидорова (Россия, Абрау-Дюрсо, 10 - 15 сентября 2012 г.). Екатеринбург: УрО РАН, 2012. С. 53 - 54.

14. Михайлова Д.О. Численное моделирование задачи реконструкции управления в параболических системах динамическим методом // Тезисы докладов III Всероссийской конференции «Математическое моделирование и вычислительно-информационные технологии в междисциплинарных научных исследованиях» (Россия, Иркутск, 23 - 26 июня 2013 г.). Иркутск: РИО ИДСТУ СО РАН, 2013. С. 35.

15. Михайлова Д.О. Реконструкция граничных управлений в параболических системах динамическим методом // Тезисы докладов II Российско-Монгольской конференции молодых ученых по математическому моделированию, вычислительно-информационным технологиям и управлению (Россия-Монголия, Иркутск-Хнпкд, 25 июня - 1 июля 2013 г.). Иркутск: РИО ИДСТУ СО РАН, 2013. С. 44.

Подписано в печать 25.10.2013. Формат 60x84 1/16 Бумага офсетная. Усл. печ. л. 1,2. Тираж 100 экз. Заказ № 4911

Отпечатано в типографии ООО "Издательство УМЦ УПИ" г. Екатеринбург, ул. Гагарина, 35а, оф. 2

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК УРАЛЬСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ

дм

На правах рукописи УДК 517.9

04201452569

Михайлова Дарья Олеговна

ВОССТАНОВЛЕНИЕ УПРАВЛЕНИЙ В ПАРАБОЛИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ

ДИССЕРТАЦИЯ на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.07 — вычислительная математика

Научный руководитель: доктор физ.-мат. наук, профессор А.И. КОРОТКИЙ

Екатеринбург - 2013

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение..................................................................................................................4

Глава 1. Восстановление распределенных управлений

статическим методом ..................................................................................22

1.1. Постановка задачи ..................................................................................................................23

1.2. Свойства управляемой системы и обратной задачи ....................................27

1.3. Решение задачи восстановления ..................................................................................35

1.4. Построение минимизирующих последовательностей ..................................42

1.5. Аппроксимация задачи ......................................................................................................50

1.6. Численное моделирование задачи ..............................................................................56

Глава 2. Восстановление граничных управлений

статическим методом ..................................................................................65

2.1. Постановка задачи ..................................................................................................................65

2.2. Свойства управляемой системы и обратной задачи ....................................68

2.3. Решение задачи восстановления ..................................................................................73

2.4. Построение минимизирующих последовательностей ..................................74

2.5. Аппроксимация задачи ......................................................................................................75

2.6. Численное моделирование задачи..............................................................................78

Глава 3. Восстановление распределенных управлений

динамическим методом ..............................................................................83

3.1. Постановка задачи ..................................................................................................................84

3.2. Решение задачи восстановления ..................................................................................88

3.3. Аппроксимация задачи ......................................................................................................99

3.4. Численное моделирование задачи ..............................................................................105

Глава 4. Восстановление граничных управлений

динамическим методом .......................................110

4.1. Постановка задачи ......................................................... 110

4.2. Решение задачи восстановления ......................................... 112

4.3. Аппроксимация задачи ................................................... 119

4.4. Численное моделирование задачи ....................................... 125

Заключение......................................................128

Список обозначений .............................................130

Литература ......................................................133

Список публикаций по теме диссертации........................140

Приложение А...................................................143

Введение

Одним из эффективных способов изучения математическими методами физических процессов, протекающих в окружающем мире, является моделирование этих процессов с помощью дифференциальных уравнений. Весьма широкий класс физических процессов описывается линейными дифференциальными уравнениями в частных производных второго порядка (например, процессы колебаний, диффузии, теплопроводности, стационарные процессы различной природы). Для полноты описания процесса задают краевые (начальные и граничные) условия задачи. Содержащиеся в дифференциальных уравнениях коэффициенты связаны с физическими характеристиками среды, в которой протекают процессы.

При классической постановке задач математической физики требуется, зная уравнение (в частности, входящие в него коэффициенты) и краевые условия, найти решение этого уравнения, удовлетворяющее в заданных пространствах краевым условиям задачи. При этом на входящие в уравнение функции накладываются определенные ограничения, должным образом выбирается пространство, в котором ищется решение, — так, что решение задачи:

а) существует в выбранном пространстве;

б) единственно в нем;

в) непрерывно зависит от исходных данных задачи (начальных, граничных условий, свободного члена, коэффициентов уравнения).

В этом случае задача называется корректно поставленной по Адамару [1]. Задача, которая не удовлетворяет хотя бы одному из условий а) - в), называется некорректно поставленной. Понятие корректности было введено Ж. Адамаром в 1923 г.

Часто на практике встречаются такие ситуации, когда прямое исследование некоторого объекта затруднено или невозможно. Например, при поиске полезных ископаемых требуется информация о внутреннем строении земли

или о параметрах нефтегазоносных пластов; в медицине при диагностике заболеваний может потребоваться информация о внутренних органах пациента и так далее. Вследствие такой неполноты информации об объекте исследования коэффициенты, присутствующие в математической модели, являются неизвестными функциями. Таким образом, зачастую задачи практики приводят к задачам определения коэффициентов, правых частей или краевых условий дифференциальных уравнений. При этом имеется некоторая дополнительная информация о решении уравнения (доступные измерению характеристики решения), позволяющая определить (восстановить, реконструировать, идентифицировать) неизвестные параметры.

В отличие от классических прямых задач, когда требуется найти решение уравнения с заданными коэффициентами и краевыми условиями, описанные задачи реконструкции получили название обратных задач математической физики. Можно сказать, что в прямых задачах требуется отыскать следствие, зная вызвавшие его причины, в то время как в обратных задачах надо найти неизвестные причины по известным следствиям. Термин «обратная задача» употреблялся уже в 1943 г. в докладе А.Н. Тихонова [2]. В этом докладе говорилось, в частности, о практической значимости обратных задач (приводился пример обратной задачи потенциала, возникающей при геологоразведке полезных ископаемых) и о том, что в этой задаче нарушается условие непрерывности решения от исходных данных. Зачастую, действительно, обратные задачи оказываются некорректными по Адамару, и для их решения требуется привлечение методов регуляризации [3-5]. Основы теории и практики исследования таких задач, которые без преувеличения можно назвать революционными, были заложены учеными-пионерами в области некорректных задач А.Н. Тихоновым, В.К. Ивановым, М.М. Лаврентьевым.

Большой вклад в развитие теории некорректных задач внесли А.Л. Агеев, О.М. Алифанов, В.Я. Арсенин, A.B. Бакушинский, Г.М. Вайникко, Ф.П. Васильев, В.В. Васин, В.А. Винокуров, A.M. Денисов, С.И. Кабанихин, А.И. Ко-

роткий, A.C. Леонов, В.И. Максимов, И.В. Мельникова, Л.Д. Менихес, В.А. Морозов, А.И. Прилепко, В.Г. Романов, В.П. Танана, А.Г. Ягола, Е. Giusti, C.R. Vogel, О. Scherzer и многие другие. Систематическое изложение различных методов решения неустойчивых задач, а также учет априорной информации о решении (сведения о форме описываемого объекта, дополнительные свойства гладкости) имеются в [6].

Интенсивное изучение некорректных задач началось в 60-е годы двадцатого века. Замеченный академиком А.Н. Тихоновым в 1943 г. факт, что задание некоторой априорной информации о решении (часто это условие принадлежности некоторому заданному компактному множеству) делает решения многих задач устойчивыми и позволяет строить сколь угодно точные их аппроксимации, привело М.М. Лаврентьева [7] к созданию концепции корректных но Тихонову (условно-корректных) задач. Сам А.Н. Тихонов, в частности, рассмотрел задачу с обратным временем для параболического уравнения второго порядка и указал множество корректности для этой задачи. Отметим, что для условно-корректных задач возникает проблема построения устойчивых приближений к решению при неточных данных.

М.М. Лаврентьев также одним из первых обратил внимание на то, что при решении задач численного дифференцирования функций, заданных с погрешностями, надо связывать шаг конечно-разностной схемы с уровнем погрешности исходных данных.

В 1963 г. в работе [8] А.Н. Тихонов впервые сформулировал основополагающее определение регуляризующего алгоритма (регуляризатора, регуляри-зующего оператора) и предложил универсальный (применимый к существенно некорректным задачам, у которых класс решений не является компактом) способ построения регуляризующего алгоритма (метод регуляризации), основанный на введении сглаживающего функционала. Этот метод, названный впоследствии методом регуляризации Тихонова и получивший мировое признание, представляет собой эффективный вычислительный алгоритм. Он относится к

вариационным методам регуляризации. Метод Тихонова значительно расширил возможности применения математических моделей в практических задачах [9, с. 261].

Сглаживающий функцинал в методе регуляризации содержит некоторый положительный параметр регуляризации. Для сходимости регуляризованных приближений необходимо согласовать этот параметр с погрешностью входных данных. А.Н. Тихонов предложил некоторый способ согласования в [8], который был усовершенствован В.А. Морозовым в [10] и стал известен как «принцип невязки». В.Н. Страхов показал, что в широком классе линейных условно-корректных задач можно так задавать постоянную в правиле Тихонова, что при малых погрешностях это обеспечивает лучшую величину приближения, чем при задании параметра по принципу невязки [11]. В работах [66] (О.БсЬегаег, НЖЕп^, К.КишзсЬ), [67] (К.КишзсЬ, [68] (и.ТахйепЬаЬп)

изучены возможности априорного и апостериорного выборов параметра регуляризации в методе Тихонова для нелинейных задач, а также даны оценки скорости сходимости регуляризованных решений. С основными способами выбора параметра регуляризации можно ознакомиться, например, в [12, с. 153 - 156].

Зачастую задачи практики приводят к обратным задачам для уравнений в частных производных. Применение классической схемы метода Тихонова решения обратных задач для уравнений параболического типа имеется, например, в [12]. В этом учебном пособии метод регуляризации используется для идентификации правой части параболического уравнения. При этом вместо точного решения известно некоторое его приближение с заданной погрешностью измерений. Численное моделирование дает хорошие результаты для гладких искомых функций. Действительно, известно, что для линейных некорректных задач классическая тихоновская регуляризация дает высокое качество аппроксимации (восстановления) для гладких искомых функций, однако не позволяет качественно восстанавливать недифференцируемые функции, содержащие, например, изломы, близкие пики, разрывы. Но особенности такого

рода как раз могут иметь управляющие воздействия в динамических системах. Стабилизирующие функционалы, содержащие норму пространства Соболева Wg, обладают сильным регуляризирующим эффектом, что неизбежно приводит к «заглаживанию» искомой функции и потере ее тонкой структуры. В частности, стабилизирующие функционалы, содержащие норму пространства Z/2, также приводят к довольно грубой аппроксимации. Пример, демонстрирующий «заглаживание» особенности функции при использовании классической схемы метода регуляризации, имеется, в [13, с. 144 - 145]. Таким образом, возникает необходимость конструирования стабилизаторов, специально приспособленных к высокоточной аппроксимации негладких решений некорректных задач.

К настоящему времени исследователи предложили несколько классов стабилизирующих функционалов, которые неплохо зарекомендовали себя при восстановлении негладких функций. Этими вопросами занимались В.В. Васин, A.JI. Агеев, A.C. Леонов, G. Chavent, К. Kunish, C.R. Vogel и другие. В случае функций одной переменной часто используются стабилизаторы, содержащие классическую или обобщенную вариацию в совокупности с какой-нибудь строго выпуклой нормой, например, нормой пространства Lp, 1 < р < оо [14-21,69-71]. На этом пути удается получить сходимость в Ьр , поточечную сходимость, сходимость вариаций, а также равномерную сходимость на участках непрерывности искомых функций. В случае функций нескольких переменных часто используются стабилизаторы, содержащие обобщенную вариацию [72] и норму пространства Lp, 1 ^ р < оо [17-19,69,73-75]. Здесь удается получить сходимость в Lp, поточечную сходимость и сходимость вариаций регу-ляризованных приближений к искомой функции. Для получения равномерной аппроксимации непрерывного, но в общем случае недифференцируемого решения, привлекаются стабилизаторы в виде нормы пространства Липшица [19]. Использование в качестве стабилизатора нормы пространства Соболева W^ с дробными производными порядка 7 6 (0,1) может оказаться целесообраз-

ным для восстановления как непрерывных, так и разрывных искомых функций [14,19].

При решении некорректно поставленных задач большое значение имеет точность используемых методов. Характеристика точности метода, связанная с модулем непрерывности обратного оператора к оператору, задающему уравнение первого рода, и понятие оптимального (на некотором классе решений) метода приводятся в [4]. В книге имеется также доказательство оптимальности метода Тихонова на некотором классе при определенном выборе параметра регуляризации. Пионером в области оптимальной регуляризации стал В.Н. Страхов [22,23]. В частности, В.Н. Страхов первый исследовал оптимальность метода регуляризации Тихонова и показал, что метод Тихонова является оптимальным среди всех линейных методов. В школе В.П. Тананы был развит отличный от классической теории оценивания методов подход к оценке уклонения приближенного решения уравнения от точного. Этот подход основан на введении нового класса решений, учитывающего погрешность исходных данных [24]. Оценки погрешности приближенных решений, полученных методом проекционной регуляризации, некоторых обратных задач для параболических уравнений имеются в [25]. A.Neubauer и О.Scherzer в [76] обосновали сходимость дискретных аппроксимаций (полученных проекционным методом) регуляризо-ванных по Тихонову решений нелинейного операторного уравнения первого рода и установили условия, гарантирующие оптимальную по порядку скорость сходимости конечномерных приближений для случая зашумленных исходных данных.

Параболические задачи характеризуются своей эволюционностью. При решении эволюционных задач принято говорить о двух типах вычислительных алгоритмов. Первые из них можно назвать глобальными, или статическими. В таких алгоритмах для нахождения решения на заданный момент задействованы будущие моменты времени. Общая схема метода регуляризации Тихонова относится как раз к таким алгоритмам. Второй тип - это локаль-

ные (или дииамичсекие) алгоритмы решения эволюционных задач. Они основаны на определении решения по использованию входной информации только в предшествующие моменты времени. По сравнению с алгоритмами глобальной регуляризации, в общем случае, точность решения получается ниже, но возрастает оперативность.

Задачи реконструкции неизвестных характеристик управляемых динамических систем синхронно с развитием исследуемого процесса возникают во многих научных и прикладных разработках (например, в механике управляемого полета, экологии, медицине, при проектировании технологических и производственных процессов, в проблемах оперативной обработки информации). Такие задачи, как правило, оказываются на стыке теории некорректных задач и теории управления. Типичная обратная задача управления состоит в нахождении функции, реализующей заданую траекторию системы (либо заданный сигнал о траектории). Введение же возмущенных сигналов о траекториях подразумевает смещение акцента в сторону некорректных задач. При этом в реальных задачах отличительным требованием на алгоритм зачастую является его динамичность, то есть осуществимость в режиме реального времени. Адекватный методологический подход к динамической регуляризации — принцип регуляризованного экстремального сдвига с моделью — был предложен Ю.С. Осповым и A.B. Кряжимским [26]. Этот подход можно охарактеризовать как применение метода регуляризации А.Н. Тихонова к правилу экстремального сдвига H.H. Красовского, а именно, критерий экстремального сдвига совмещается с дополнительным критерием минимизации нормы текущего значения управляющего параметра. Учет дополнительного критерия выражается в добавлении к основному критерию сдвига квадратичной сглаживающей функции, предваренной малым коэффициентом регуляризации [27]. С точки зрения теории некорректных задач такая регуляризация, проводимая в каждом узле коррекции, реализует локально метод, весьма близкий к методу Тихонова. С точки зрения теории управления предложенный метод дает способ стабилиза-

ции вдоль движения некоторой вспомогательной модели некоторого функционала Ляпунова, который в последний момент времени превращается «почти что» в а