Метод свободных групповых итераций для решения систем линейных уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК УРАЛЬСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ

Р Г Б О Д На правах рукописи

О 5 ВН8 1938

Малеев Анатолий Александрович

МЕТОД СВОБОДНЫХ ГРУППОВЫХ ИТЕРАЦИЙ ДЛЯ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

01.01.07 — вычислительная математика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Екатеринбург — 1997

Работа выполнена во Всероссийском научно-исследовательском институте технической физики.

- кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник Н.Н.Анучина

: доктор физико-математических наук, профессор Р.П.Федоренко,

кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник А.П.Суетов

- Институт прикладной математики им. М.В.Келдыша РАН

Защита состоится и / О" ^ -п 1998 года в^ часов на

заседании специализированного совета К 002.07.01 по защите диссертаций на соискание ученой степени кандидата наук в Институте математики и механики УрО РАН (620219, г. Екатеринбург, ул. С.Ковалевской, 16).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики и механики УрО РАН.

Автореферат разослан " ' ^ " декабря 1997 года.

Научный руководитель

Официальные оппоненты

Ведущая организация

Ученый секретарь специализированного совета кандидат физико-математических наук

В.Д.Скарин

Актуальность проблемы. Решение системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) является одной из наиболее важных задач вычислительной математики. По некоторым оценкам1 свыше 75% всех расчетных математических задач сводится к решению СЛАУ.

В настоящее время существуют два принципиально различных подхода к решению СЛАУ: прямые методы и итерационные методы. Прямые методы достаточно эффективны, если матрица системы имеет относительно низкий порядок или специальную структуру. Для решения СЛАУ большого порядка наибольшее распространение получили итерационные методы. В литературе2 описано большое количество итерационных методов для решения СЛАУ. Однако, каждый итерационный процесс имеет свои особенности и свою ограниченную область применимости. Итерационный процесс может оказаться расходящимся для данной СЛАУ, или сходимость процесса может быть настолько медленной, что практически оказывается невозможным достигнуть удовлетворительной точности приближенного решения. Необходимо также отметить, что некоторые методы, используемые на практике, получили достаточное теоретическое обоснование только для узкого класса СЛАУ. Кроме того, бурное развитие параллельных вычислительных систем в настоящее время предъ-

'Е. Валях, Последовательно-параллельные вычислении, М.: Мир, 1985.

'Д.К.Фаддеев, В.Н.Фаддеева, Вычислительные методы линейной алгебры,

М.: Физматгиз, 1960.

Г.И.Марчук, Методы вычислительной математики, М.: Наука, 1980.

A.А.Самарский, Е.С.Николаев, Методы решения сеточных уравнений, М.: Наука, 1978.

B.В.Воеводин, Ю.А.Кузнецов, Матрицы и вычисления, М.: Наука, 1984.

Дж.Ортега, В.Рейнболдт, Итерационные методы решения нелинейных систем уравнений

со многими неизвестными, М.: Мир, 1975.

Л. Хейгеман, Д. Янг, Прикладные итерационные методы, М.: Мир, 1986.

R.S. Varga, Matrix Iterative Analysis, New Jersy: Prentice Hall, Englewood Cliffs, 1962.

являет повышенные требования к уровню параллелизма итерационных алгоритмов. Поэтому разработка итерационных методов с высоким уровнем параллелизма для решения широкого класса СЛАУ, теоретическое обоснование их сходимости и получение оценок асимптотической скорости сходимости представляет актуальную проблему в области вычислительной математики.

Цель исследования. Работа преследует две основные цели. Первая — сконструировать достаточно широкое семейство итерационных алгоритмов (в общем случае нестационарных) для решения СЛАУ, которое наряду с новыми алгоритмами содержит ряд известных итерационных процедур. Вторая — в рамках этого общего подхода обосновать сходимость и получить оценки асимптотической скорости сходимости итерационных алгоритмов для класса СЛАУ, матрицы коэффициентов которых имеют обобщенное строгое диагональное преобладание.

Методика исследования. Метод свободных групповых итераций (СГИ) идейно близок подходам, предложенным в работах3 некоторых других авторов. Обоснование сходимости и получение оценок асимптотической скорости сходимости метода СГИ опирается на технику исследования спектральных свойств матриц итерационных алгоритмов, развитую Д.К.Фаддеевым, В.В.Воеводиным, A.A.Самарским, Г.И.Марчуком, Ю.А.Кузнецовым, Дж.М.Ортега, Д.М. Яигом, Р.С.Варгой. В диссертации используются понятия и методы функционального анализа, линейной алгебры, теории разностных схем.

*Л.Ю. Колотилина, 06 одном семействе юных переобусловливаний систем линейных алгебраических уравнений с разреженными матрицами, Препринт ЛОМИ АН СССР, N Р-8-86, Л., 1986,

Jinchao Xu, Iterative Methods by Space Decomposition and Subspace Correction, SIAM Review, 1992, v.34, n.12, pp.581-613.

Практическая ценность. Все результаты диссертации, которые выносятся на защиту, получены автором самостоятельно и являются новыми. Эти результаты могут быть использованы при конструировании и исследовании сходимости стационарных и нестационарных итерационных методов решения систем разностных уравнений, которые возникают при численном интегрировании задач математической физики методом конечных разностей или конечных элементов в областях со сложной геометрией. Метод СГИ типа Якоби имеет высокий уровень параллелизма, что может позволить эффективно использовать его на параллельных вычислительных системах. Изменение настройки в нестационарном методе СГИ позволяет динамически балансировать загрузку процессорных элементов этих вычислительных систем, сохраняя при этом сходимость к точному решению. Полученные в диссертация аналитические результаты для модельных задач могут быть использованы в тестах при проверке корректности итерационных процедур, а также для оптимизации их параметров.

Апробация работы. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1]-[6], доложены на VIII, IX и X Всесоюзных семинарах "Теоретические основы и конструирование алгоритмов решения задач математической физики" (Москва, 1990,1992,1994), на семинарах в Институте прикладной математике им. М.В.Келдыша РАН и Институте математики и механике УрО РАН.

Структура И Объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, библиографии и приложения. Каждая глава завершается выводами. Объем работы составляет 154 страницы машинописного текста. Библиография включает 52 наименования. Приложение содержит 10 таблиц.

Содержание работы. Во введении дается краткий обзор литературы и результатов, полученных другими авторами, по конструированию и обоснованию сходимости итерационных алгоритмов для решения СЛАУ. Излагаются основные результаты, содержащиеся в диссертации.

В главе 1 устанавливаются некоторые результаты общего характера, которые потом используются для доказательства сходимости метода СГИ и получения оценок скорости сходимости.

В §1 содержатся основные понятия и обозначения: К„ = {1,..., п} — отрезок натурального ряда; 0 — пустое множество; 8РЯ — символ Кро-некера; Сп,п — комплексные матрицы порядка щ р{А) — спектральный радиус матрицы А\ <iet А — определитель матрицы А\ I — единичная матрица; £>„ — комплексные обратимые диагональные матрицы порядка п; С" — комплексное п-мерное векторное пространство.

Для каждой матрицы А = (ар?) 6 Сп,п и для каждого индекса р € Кп определим три величины

*р(А) = Кр1 - £ Ы, 5р(А) = £ Ы, 5;(Л)= £ |ви|. Для матрицы А € Сп,п определим два множества диагональных матриц

В (А) = {X € £>„ : ар(Х~1АХ) > 0 для Vр £ Кп}, Н{А) = {X 6 !>„ : ар(Х~1АХ) > 0 для Чр £ Кп). Матрица А называется матрицей с диагональным преобладанием (со строгим диагональным преобладанием)"1, если I £ £>(Л) (I £ II(А)).

Невырожденную матрицу А £ С"'п будем называть матрицей с обобщенным диагональным преобладанием или Д-матрицей, если Б (А) ф 0. Матрица А 6 С",п наливается матрицей с обобщенным строгим диагональным преобладанием или Я-матрицей, если Н{А) Ф 0.

ЧФ.Р. Гаигмахер, Теори« матриц, М.: Наука, 1988.

Пусть С С Л'„ и С ^ 0. Через обозначим главную подматрицу матрицы Л = (аР1) 6 С"'", стоящую на пересечении строк и столбцов, номера которых принадлежат (7. Символом А^, где р,д 6 й, будем обозначать алгебраическое дополнение элемента ап относительно подматрицы А°.

Для любого подмножества (7 С Л'„ отношение ; ^ <7 будет всюду означать сокращенную запись выражения ] € 1СП \ О. Сумма по пустому множеству индексов полагается равной нулю.

В §2 выводятся два неравенства для комплексных чисел. На базе этих неравенств в §3 доказывается рад метрических соотношений для глазных миноров произвольной матрицы. Отметим наиболее важные из них.

Лемма 5.5 Пусть заданы произвольная матрица А € Сп,п и непустое множество (7 С Кп. Тогда для V г € (7 справедливо соотношение

Е Е И£аи| < - £ *р(А)\А%

реО

причем, равенство имеет место в том и только том случае, если при каждом q 6 (7 выполнено условие

Лемма 8. Пусть заданы матрица А € Сп,п и непустое множество й С Кп, причем для каждого р € <7 элемент арр отличен от нуля. Если для индекса ¡' 6 С выполнено хотя бы одно из следующих условий

(а)

(б) 1>,И)141>0, рйв

то справедливо неравенство

у (А)

«йсрес Р6С? 1арр1

нумерация теорем, лемм и следствий такая же, как в диссертации

Лемма 9. Пусть заданы произвольная матрица А = (аР1) £ Сп,п, где п > 1, и любое множество G С Кп, содержащее более одного элемента. Тогда для V г € G u V i € Q = G \ {г} справедливо соотношение

Idet А«| Е I Е А%а„[ + [А% £ ар(А)\А%\ < |det Ас| £ | £ А«аИ|, eeíc pec ¿ее Ре<?

причел равенство имеет место в том и только том случае, если одновременно выполнены условия

N £ £ Ка„\ = | det Ас\ - £ ар(Л)|Л£|,

qiGpZG peG

(б) I £ (А$А% - А%А°)а„\ = | £ А%А°аИ\ - | £ ¿£>£«„1 V G.

pea рев Рес

Корректность метода СГИ тесно связана с вопросом обратимости главных подматриц в матрице решаемой системы уравнений. В §4 доказывается обратимость глазных подматриц D-матрицы. Отметим, что класс D-матриц содержит (причем, строго) класс Я-матриц.

Лемма 17. Любая главная подматрица D-матрицы невырождена. Изучению некоторых; свойств семейства F„ неотрицательных матриц (п — порядок матриц), чья кубическая норма6 не превосходит единицу, посвящен §5. В частности, справедлив следующий результат.

Лемма 24. Пусть задано конечное множество матриц М С Fn. Бесконечная последовательность матриц {ATj} С М, для которой выполнено соотношение

К—»00

существует в том и только толе случае, если можно указать матрицы Fi,...,yr 6 М (не обязательно различные), произведение которых удовлетворяет условию p(Yr... Yi) = 1.

'матричная корма, индуцированная равномерной векторной нормой |]х|1 = max |z,|.

Далее, обсуждается специальный подкласс матриц Гп(т]) С Рп, где 71 € [0,1). Матрица X = 6 Гп принадлежит множеству Рп(т]) в том и только в том случае, если при V г £ Кп выполнено одно из соотношений

(а) 3;(Х) < г/, (б) хц = «5,,- приУУ€ЛГ„.

Этот подкласс играет важную роль при исследовании сходимости нестационарного метода СГИ для Я-матриц. Для произведения матриц, принадлежащих подклассу ^(7)1 справедливо следующее утверждение

Лемма 27. Пусть задана последовательность матриц {.Х*} С ■^пС1?), причем для любого индекса г 6 Кп в ней существует подпоследовательность матриц {Х^.}, каждая из которых удовлетворяет неравенству Si(Xkrтl¡) < т]. Тогда справедливо соотношение

Шп ЦХьХ1.1...Х1Ц=0.

к—»со

В главе 2 формулируется метод СГИ, исследуется сходимость этого метода и выводятся оценки скорости сходимости.

Для удобства описания метода СГИ в §1 вводится понятие настройки множества К„. Обозначим семейство всех подмножеств множества

К„. Настройкой множества Кп назовем отображение и : Кп —> $>(К„), при котором для V г € Кп выполнено условие: если ф 0, то г £ с^(г').

Семейство всех настроек множества Кп обозначим символом Пп. Множество и)(г) назовем окрестностью индекса » при настройке и и обозначим С,-. Настройку ы 6 Пп назовем настройкой типа Якоби, если <7,- Ф 0 при любом г 6 К„. Символом и> обозначим настройку, определенную соотношением си (г) = '{г} при V г € К„. Эта настройка соответствует точечному методу Якоби, и поэтому назовем ее точечной.

Настройку ш € Пп назовем корректной относительно А € С"1'", если для всякой непустой окрестности выполнено условие det Лс' ф 0.

В §2 приводится описание метода СГИ, который в общем случае является линейным нестационарным одношаговым итерационным процессом. Пусть требуется решить систему линейных уравнений Ах = Ь, где А = (ау) £ Сп'п — обратимая матрица, а векторы х, Ь £ Сп. Зафиксируем произвольную корректную относительно матрицы А настройку ш € Метод СГИ заключается в следующем. Пусть приближение на к-ой итерации х[к~>) уже получено. Рассмотрим

произвольный индекс » £ Кп. Если б; = {¿1, ¿2,..., гр}, где г = г9 при некотором q € то значение находится из решения следующей

вспомогательной подсистемы

£ (¡¡¡¡Я; = Ъп - Е

£ = - Е в,-,,-**4 £ = Ь;, - Е ву®*4

Подматрица Ас' совпадает с матрицей вспомогательной подсистемы. Из корректности и вытекает, что с1е1 А0' ф 0. Следовательно, существует единственное решение (¡г*,,... ,х*г) подсистемы. Из этого решения берется компонента с индексом I, = г и полагается х ■ ' = Х{.

Изложенную процедуру необходимо выполнить для каждого г 6 Кп. В результате получим приближение на (к + 1)-ой итерации

Выше дано описание стационарного метода СГИ. Стационарность означает, что настройка и> фиксирована. Если настройка может меняться

от итерации к итерации, сохраняя при этом корректность, то будем говорить о нестационарном методе СГИ. Далее, если это специально не оговорено, под методом СГИ подразумевается нестационарный метод СГИ.

Метод СГИ объединяет достаточно широкое семейство итерационных прцессов. Каждая конкретная реализация метода СГИ определяется последовательностью корректных настроек. В §3 показывается, что ряд известных итерационных процедур содержится в рамках метода СГИ, если задавать последовательности настроек со специальными свойствами.

Нестационарный блочный метод Якоби. Этот метод реализуется в том случае, если в последовательности {ш*} С каждая настройка обладает следующими свойствами: 1) при V к настройка € П„ является настройкой типа Якоби; 2) при V к и при V € К„ из условия ф 0 следует равенство ик(г) =

Метод групповой релаксации. Пусть последовательность непустых множеств {Хь} С при V р удовлетворяет условию

кп = и хк.

к=Р

Метод групповой релаксации определяется бесконечной последовательностью {с^} С П„, в которой каждая настройка задается соотношением

Хк, если г 6 Хк

Шк{1) =

I 0, если I $ Хк

В §4 определяются матрица настройки На,и и соответствующая этой настройке итерационная матрица Саи. В этих обозначениях стандартная матричная форма метода СГИ, определенного последовательностью корректных относительно А настроек {ы*} С П„, имеет вид

*{ш)=Сл„хМ + Ьл„, к = 1,2,3,...,

где обозначено СдШ1 — I - и bAiUt = HAtUkb.

В §5 исследуется сходимость метода СГИ для СЛАУ, матрицы коэффициентов которых являются Я-матрицами. Будем говорить, что последовательность настроек {ш*} принадлежит классу если для Vie Кп и V р выполнено соотношение

t=P

Теорема 33. Пусть задача система линейных уравнений Ах = Ь, где матрица А € Сп,п является Н-матрицей. Тогда для произвольной бесконечной последовательности настроек {u>t} G метод СГИ, определенный этой последовательностью, сходится к решению исходной системы уравнений при любом начальном приближении.

В §6 выводится оценка асимптотической скорости сходимости стационарного метода СГИ типа Якоби. Для матрицы А = (ви) 6 Сп,п и ее матрицы сравнения А — (аи) £ С"'", определенной соотношениями

ам =

если q—p -|ap,|, еспзд^р

справедливо следующее утверждение

Теорема 39. Пусть задана Н-матрица А £ Сп,п. Тогда для произвольной настройки типа Якоби справедливо неравенство

р{СА,и) < Р{СА.).

Последовательность настроек {о»*} 6 назовем последовательностью типа Якоби, если любая настройка и* в ней является настройкой типа Якоби. Класс последовательностей типа Якоби обозначим Л^. СГИ процесс, который определяется последовательностю настроек {и*} 6 А^,

будем называть процессом типа Якоби. За меру асимптотической скорости сходимости этого процесса возьмем величину7

Д(М)= sup ТЕГ||Д*Ю||1Л, rO)eC" t~*0°

где Дх« = «<*> - х* обозначает разность между к-ым приближением и точным решением исходной системы уравнений. В §7 Теорема 39 обобщается на случай СГИ процесса типа Якоби.

Теорема 41. Пусть задана Н-матрица А 6 Сп,п. Тогда длж любой последовательности настроек {w*} £ Л„ справедливо неравенство

Д(Ы) <

В главе 3 доказывается ряд теоретических результатов, позволяющих сравнивать нормы итерационных матриц при различных настройках. Приводятся примеры использования некоторых СГИ процессов для решения модельных задач. Оценивается скорость сходимости этих процессов. Предлагается обобщение метода СГИ на системы нелинейных уравнений. Описываются результаты численных экспериментов.

При использовании различных настроек желательно иметь возможность сравнивать характеристики соответствующих итерационных процессов. Определенный вклад в этот вопрос вносится в §1. Пусть заданы две настройки £ ^п- Будем говорить, что и\ вложена в ыг и писать ш2, если верно соотношение uJ\(i) С wj(г) при V г £ Кп. Отметим, что точечная настройка ш вложена в любую настройку типа Якоби.

Следствие 43. Пусть задана Н-матрица А = (аи) 6 С"'". Тогда

7Дж. Ортега, В. Рейяболлт, Итерационные методы решения нелинейных систем уравнений со многими неизвестными, М.: Мир, 1975.

для любой матрицы X G Я(Л) и для любых настроек wi,u>2 6 fin, подчиненных условию lji ■< ыъ, справедливо неравенство

\\СЛмг\\х <

Это неравенство показывает, что оценка асимптотической скорости сходимости стационарного СГИ процесса типа Якоби не ухудшается при "расширении" настройки.

В §2 рассмотривается система линейных уравнений n-го порядка Ах = Ь, где матрица А имеет трехдиагональную структуру

А:

1 а —а 1 а

... О

/

—ala О ... —а 1

\

а параметр а может принимать любое действительное значение. Для спектрального радиуса матрицы Са,ш справедлива формула

р(Са&) — |2a eos

n+l

Следовательно, точечный итерационный процесс Якоби сходится к решению исходной системы при всех п и при любом начальном приближении в том и только том случае, если а £ [-0.5,0.5].

Рассмотрим теперь немного "расширенную" настройку ы, которая определяется соотношениями: ш(1) = {1,2}, ш[п) = {п - и(к) = {к — 1, к, к +-1}, к = 2,..., п - 1. Для нее справедливо неравенство

которое означает, что настройка ш порождает СГИ процесс, сходящийся при любом значении параметра а. Обратим внимание, что при |а| > 1

матрица А не является Я-матрицей. Таким образом, метод СГИ оказывается полезным не только для Я-матриц, но и для матриц из более широкого класса.

Следующие семь параграфов этой главы посвящены модельной блочной трехдиагональной системе уравнений Ах = с, где

А =

В -I 0 . . 0 ' 6 -1 0 . . (Г

-1 в -/ . . 0 -1 ь -1 . . 0

0 -I в . . 0 , в = 0 -1 6 . . 0

0 0 0 . ■ , 0 0 0 . • ь>

и диагональный элемент Ь > 4. Подобные СЛАУ возникают при численном интегрировании задач математической физики методом конечных разностей в случае двух пространственных измерений. В §3 описывается применяемый для решения СГИ алгоритм с настройкой, зависящей от ряда параметров, указанных на рисунке

основной блок

М

столбцы слева

блоки слева

\

блоки столбцы справа справа

Параметры: N - количество столбцов в счетной области (на рисунке

\

N = 28), М - количество строк в счетной области (М — 12), б - число блоков разбиения счетной области (s = 7), t - количество столбцов в блоке = 4), п - количество блоков слева или справа (п = 1), / - количество столбцов слева, (/ = 1), г - количество столбцов справа, (г = 2).

В §4 показывается, что спектральный радиус итерационной матрицы СГИ процесса для модельной СЛАУ равен спектральному радиусу некоторой неотрицательной матрицы Т более низкого порядка. В §5 строится еще одна неотрицательная матрица Я и доказывается, что матрица Т поэлементно мажорируется матрицей Я. Следовательно8, р(Т) < р(Я). Введем следующие обозначения

, , - 7Г Л

A = 6_2cos__

1

J-1, Ч> =

п + 1

где символ [г] означает целую часть числа г. Далее, введем в рассмотрение функцию /(£) = // — £ € (—оо,сю), и положим

/((n+l)t) /(nt + r + f + 1)

" /((2п+1)<+г+/ + 1)' 7 /((»+1)0 ' Вывод уравнения, которому удовлетворяет р{Н), и приближенное решение полученного уравнения содержатся в §§6-7. При этом предполагается, что выполнены условия: r+l <t-1, s > 2п + 3. Тогда вычисление р(Н) сводится к нахождению неизвестного 9 из уравнения

9f -f arcsin(7 sin 9) — 7r = О, (1)

и применению формулы

р(Н) = а (7 cos в + \j 1 - т2 sin2 в). (2)

При решении уравнения (1) рассматриваются два случая: 1) г + / < < — 1, 2) г + I = t — 1. В первом случае решение уравнения (1) отыскивается

вР. Хори, Ч. Джонсон, Матричный анализ, М.: Мир, 1989.

приближенно с помощью итераций или по формуле

.Я" . 7Г 7Г / , ,Я , 7Г

sin — sin — cos — sin — sm ■

+ V ïy_

<p tp ip¿

Во втором случае (1) имеет точное решение, которое дает

р(я) = ^+2^с03(?тт)- (3)

В частном случае 5 = ТУ, я = 0, г = I = 0 формула (3) принимает вид

который совпадает со спектральным радиусом итерационной матрицы соответствующего СГИ процесса.9

В §8 показывается, что при "расширении" настройки можно ожидать увеличения асимптотической скорости сходимости СГИ процесса в модельной задаче. Для этого выводится верхняя оценка р(Н) и доказывается, что она будет усиливаться при "расширении" настройки.

В §9 описываются результаты численных экспериментов. Эти результаты сравниваются с теоретическим прогнозом, который использует величину р(Н). Отмечается хорошое согласие численных и теоретических результатов. Все численные результаты помещены в таблицах, которые содержатся в приложении.

В §10 метод СГИ обобщается на системы нелинейных уравнений. Это обобщение заключается в комбинировании СГИ алгоритма с нелинейным методом Ньютона.10 Приводятся результаты нескольких численных экспериментов, которые потверждают работоспособность комбинированного метода СГИ-Ньютона.

SD.M. Young, Iterative solution of Large linear Systems, New York: Academic Press, 1971.

10Дж.Optera, В.Рейнболдт, Итерационные методы решении нелинейных систем уравнений со многими неизвестными, М.: Мир, 1975-

На защиту выносятся следующие положения:

1. Доказательство некоторых метрических соотношений для главных миноров произвольной матрицы.

2. Доказательство некоторых свойств произведения матриц, принадлежащих одному подклассу неотрицательных матриц.

3. Метод СГИ для решения системы линейных алгебраических уравнений.

4. Доказательство сходимости метода СГИ для системы линейных алгебраических уравнений, матрица коэффициентов которой является Я-матрицей.

5. Получение сравнительных оценок асимптотической скорости сходимости метода СГИ типа Якоби.

6. Вывод и приближенное решение уравнения для спектрального радиуса мажорантной матрицы одной модельной задачи.

Публикации по теме диссертации:

1. A.A. Малеев, Некоторые неравенства для определителей главных подматриц, ВАНТ, серия: математическое моделирование физических процессов, 1990, вып.1, с.54-57.

2. A.A. Малеев, Метод свободных групповых итераций, сб. науч. тр. "Конструирование алгоритмов и решение задач математической физики" под ред. Г.П. Воскресенского и A.B. Забродина, 1991, с.141-143.

3. A.A. Малеев, Нестационарный метод свободных групповых итераций, ВАНТ, серия: математическое моделирование физических процессов, 1992, вып.1, с.73-76.

4. A.A. Малееп, "О сходимости нестационарных итерационных процессов для систем линейных уравнений", препринт РФЯЦ-ВНИЙТФ № 84, 1995, 19 с.

5. A.A. Малеев, Т.Ф. Крюкова "Оценка сходимости СГИ алгоритма типа Якоби для одной модельной задачи", препринт РФЯЦ-ВНИИТФ № 86, 1995, 47 с.

6. A.A. Малеев, "Об асимптотической скорости сходимости СГИ алгоритма типа Якоби", препринт РФЯЦ-ВНИИТФ № 87, 1995, 27 с.

Благодарности. В первую очередь автор благодарен своему научному руководителю Анучиной H.H. за постоянное доброжелательное внимание к работе и за критические замечания, которые всегда давали творческие импульсы. Искреннюю признательность автор выражает своим коллегам Козыреву О.М., Еськову Н.С. и Диянкову О.В. за плодотворные обсуждения, изложенных в диссертации результатов. Эти обсуждения стимулировали поиск новых идей и методов доказательства. Автор с особенным удовольствием благодарит своих самых больших помощников Крюкову Т.Ф. и Федорову H.H. Большое количество численных экспериментов, которые они провели, позволили проверить и значительно глубже понять многие теоретические результаты. Много ценных советов то оформлению рукописи диссертации дал Моисеев Н.Я., за что автор выражает ему благодарность. Автор искренне признателен Шульгиной И.А. за помощь при подготовке библиографии. Наконец, автор считает своим приятным долгом сказать теплые слова благодарности всем своим коллегам и друзьям за их постоянную поддержку.