Метод понижения порядка, размерности систем нелинейных дифференциальныхуравнений МДТТ, и их линеаризация тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На правах рукописи

МЕТОД ПОНИЖЕНИЯ ПОРЯДКА. РАЗМЕРНОСТИ СИСТШ НЕЛИНЕЙНЫХ ДОФЕРЕНЦШЬНЫХ УРАВНЕНИЙ МДТТ, И ИХ ЛИНЕАРИЗАЦИЯ

01.02.04 - механика дефотшруемого твердого тела

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Сапатов 1996

Работа выполнена на кафедре "Высшая Математика" Саратовского государственного технического университета.

Научный руководитель - заслуженный деятель науки и техники РФ,

доктор технических наук, профессор Крысько Вадим Анатольевич Официальные оппоненты - Уздалев Анатолий Иванович, заслуженный деятель науки и техники РФ, доктор физико-математических наук, профессор Саратовского государственного технического университета.

технических наук, профессор Саратовского государственного университета.

Ведущая организация - Институт механики и нтииноароения Казанского научного центра РАН.

Защита состоится 4 апреля 1996 г. в 15°°- на заседании

диссертационного Совета К 063.58.02 по присуждению ученой степени кандидата технических наук в Саратовском государственном

техническом университете по адресу: 4Ю054, г.Саратов, ул.Политехническая, 7?, СГТУ, ауд. 416* .

С диссертацией можно, ознакомиться в научной библиотеке

Саратовского государственного технического университета.

Автореферат разослан " Ч " Мсорто. 1996 года

Ученый секретарь

диссертационного Совета ^ Кузнецов В.В

Антоненко Эрик Васильевич, доктор

✓ /

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Математические модели механики деформированного твердого тела, для тел с различной степенью анизотропии. в общем случае описываются нелинейными дифференциальными уравнениями в частных производных. Причем порядок старшей производной, как правило, в этих уравнениях выше двух. Искомые функции зависят от двух и более переменных. Ввиду громоздкости и сложности дифференциальных уравнений нахождение аналитических точных решений в настоящее время невозможно. Учет неоднородности материала или переменности размеров увеличивает трудность - решения конкретных задач. В связи с бурным развитием вычислительной техники, для решения разнообразных задач механики стали применяться численные методы, сводящие систему с бесконечным числом степеней свободы к конечномерной системе. В этих методах, наряду с несомненными позитивными моментами, существует ряд трудностей. Основной является то, что порядок получаемой системы алгебраических уравнений растет по степенному закону с ростом числа неизвестных. Такая закономерность приводит к резкому увеличению используемой памяти ЭВМ, а значит к сужению класса решаемых задач. В связи с этим возникает насущная потребность в развитии методов, упрощающих исходную задачу по всем направлениям: линеаризация, понижение порядка даф^эренциального уравнения, понижение размерности пространства.

Целью работы является: разработка подхода к решению некоторых нелинейных многомерных задач МДТТ.

Научная новизна работы заключается в следующем:

-разработан подход к решению широкого класса задач, как трехмерной, так и двумерной нелинейной механики деформированного твердого тела;

-разработаны численные алгоритмы исследования задач: статического деформирования пластин по моделям Кирхгофа и типа Тимошенко в линейной и нелинейной постановке с учетом и без учета теплового источника, деформирования пластин на упругом основании, контактной задачи для неспаянных пластин, распространение тепла в трехмерном теле, трехмерной . задачи термоупругости и термопластичности;

-проведено численное исследование сходимости полученных итерационных процедур, влияние на сходимость выбора начального приближения и вида правой, части получаемых дифференциальных уравнений;

-проведено исследование влияния изменений геометрических и физических параметров на поведение решения;

Достоверность результатов обеспечивается корректностью математической постановки задач, наличием доказательства сходимости предложенного подхода для' некоторых задач, решением модельной задачи, сопоставлением с результатами, полученными другими авторами.

Практическая ценность. На основе предложенной методики разработаны алгоритмы и пакет программ для решения задач трехмерной теории упругости и пластичности, а также для задач теории пластин по различным моделям. Пакет программ может применяться для расчета строительных конструкций, элементов конструкций кораблей и летательных аппаратов, расчета конструкций в приборостроении, электронике и других областях техники, где используются трехмерные и двумерные тела и их сопряжения.

Внедрение результатов. Результаты, полученные автором, внедрены на кафедре "Высшая математика" СГТУ при разработке библиотеки прикладных программ для расчета НДС тел различной размерности.

Работа проводилась в рамках программы 12.23 "Динамика" меж-

вузовского научно-технического перечня программ и проектов Государственного комитета Российской Федерации по высшему образованию, а также в рамках госбюджетной научной тематике кафедры "Высшая математика" К IB.05.01. Результаты работы внедрены на НПО "АЛМАЗ".

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались

- на III симпозиуме "Устойчивость и пластичность в механике деформированного твердого тела" (Тверь 3.09-5.09.1992г.);

- на 1-ой Саратовской международной летней школы по проблемам механики сплошной среды (Саратов, 1994г.);

- на IV М1Жнародно1 конференцп з механхки неоднорщгкх структур (Тернополх, 19-22.09.95r.);

- на 14-й Межреспубликанской конференции по численным методам решения задач теории упругости и пластичности (Волгоград 25.09 -31.09. 1995г.)

В целом работа докладывалась: на.научном семинаре "Численные методы расчета пластин и оболочек" кафедры "Высшая математика" СГТУ под руководством профессора,В.А.Крысыга (Саратов, 1995г.);

Публикации. По результатам исследований опубликовано пять работ, список которых приводится в конце автореферата.

Объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения и содержит 152 страниц машинописного текста, 64 рисунка, 14 таблиц и библиографического списка, включающего 119 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении обосновывается актуальность теш диссертации, сформулированы цели и задачи исследования, выполнен обзор работ по теме исследований.

В связи с высоким порядком, размерностью и ярко выраженной нелинейностью уравнений МДТТ возникает потребность в методах, позволяющих линеаризовать, понизить порядок и размерность исходной задачи.

Линеаризацию исходного уравнения мокно производить на двух уровнях: 1) дифференциальное уравнение; 2) система алгебраических уравнений.

Основные идеи, используемые при выводе линейных форм уравнений в приращениях, принадлежат Коши (1829) и Сен-Венану (1868). Современное полное изложение теории деформаций в приращениях дано Био (1965).

Численные методы, которые используются для решения' задач второго уровня, можно разбить на две группы: итерационные и неитерационные методы. Среди неитерационных методов можно выделить метод Гаусса и его модификации, метод квадратного корня, методы прогонки, метод редукщш и другие. Среди известных итерационных методов отметим методы спуска, градиентные методы и методы поиска. К указанным методам примыкают некоторые общие итерационные методы, основанные на непосредственном рассмотрении нелинейной системы или на ее последовательных линеаризациях. Этим методам посвящены работы В.В. Петрова, В.А. Крысько и их учеников.

Методы понижения размерности можно разбить на тр группы: методы разделения переменных, методы разложения искомой функции по одной из координат, методы, использующие известные решения.

Идея разделения переменных - одна из самых почтенных и была впервые выдвинута Фурье. Вариационная формулировка этого' метода принадлежит В.В. Власову (1932) и Л.В. Канторовичу (1933). Различные модификации этого метода описаны в работах В.В. Петрова,. В.А. Крысько и их учеников и многих других.

Кроме вариационных методов, большое распространение получили метода, разлагающие искомую функцию по одной из координат в ряды. Разложению в ряды посвящены работы В.З. Власова, И.Н. Векуа, В.В. Понятовского, В.И. Андреева и многих других.

Третье направление методов понижения размерности - методы, использующие известные решения. Так,на основе формулы распределения напряжения в неограниченной упругой среде от действия сосредоточенной силы (решение Буссинеска) появились метод отражений (А.П. Мищенко (1982)) и метод источника (Х.А. Рахматулин, В.В. Лубашевский (1980)). В основе метода отражений лежит многократное использование решения Буссинеска при удовлетворении кинематическим граничным условиям.

Одним из способов упростить исходное дифференциальное уравнение является использование методов понижения порядка. Наиболее известным является метод мембранной аналогии, выдвинутый Прзндт-лем (1903). Этот метод использовался в работах В.А. Крысько и его учеников, Г.А. Гринберга, В.П.Воронко, А.Ю.Виноградова, Ю.И. Миндолина, А.И. Уздзлева и многих других.

В первой главе представлен метод понижения порядка и линеаризации. Проведен анализ различных методов понижения размерности нелинейных, дифференциальных- уравнений.

Рассмотрим: А[иЗ - Р =0, (х.у.г)« 5 (1)

Ни] - / =0, (х.у.г)е Р (2)'

где А,I - нелинейные дифференциальные операторы; и - искомая вектор функция ; Р,/ - заданные функции.

Выделяя из АП оператор Лапласа,сводим систему (1), (2) к:

&[и"]= Б*[и"-11 + Р"~5,(х,у,2)е 3 (3)

г*[ип'!] + /"-1 ,(х,у,2)«= Р (4)

индекс п-1 в операторах В*, I* к функциях Р, / означает зависимость от решения и""1 на предыдущем шаге итерационной процедуры.

Сведение задачи (1), (2) к задаче (3), (А) дает возможность произвести линеаризацию исходной системы и понизить ее порядок, т.е. на каждой итерации фактически решать одно уравнение типа Пуассона трехмерное или двумерное, в зависимости от размерности задачи.

В §2 рассмотрены модификации метода Канторовича-Власова сведения многомерного дифференциального уравнения в частных производных к обыкновенному дифференциальному уравнению. Проведено сравнение, показаны достоинства и недостатки.

Во второй главе рассмотрено использование предложенного подхода для решения ряда линейных задач.

В §1 для уравнения Жермен-Лзгранжа, описывающего НДС пластинки модели Кирхгофа, при граничных условиях свободно-опертого края, использование предложенного подхода приводит к системе двух уравнений типа Пуассона. Для этой задачи подобный прием хорошо

известен и применялся многими авторами, в частности,В.А. Крысько и его учениками. Кавдое из уравнений Пуассона решается методом вариационных итераций (МВИ). Исследованием на сходимость по сетке показано, что 35 разбиений достаточно для достижения достоверного решения (график аналогичен рис.1). Вид функций начального приближения на количество итераций МВИ и метода понижения порядка и линеаризации (МЛЕЛ) не влияет. Проведено сравнение решений по методам Канторовича-Власова, Вайданера , МВИ и их модификаций, МКР с решением по предложенному методу.

В §2 предлагаемый метод использован для решения задачи для пластинки модели типа Тимошенко для граничных условий жесткой заделки. Итерационная процедура решения имеет вид:

( к ) (к-* ( < к>!) Ш = - q - Ь0(Ф ,4 ); Сх.у) « Б

(к! (к) (к-11

д Ф = Ь (Ш , у );

1 1 (5)

(к) (к) <к>

V = 1гШ • Ф • Где к- ншер внешней итерации, Ъ{ - дифференциальные операторы.

Достоверость решения, получаемого по итерационной процедуре

(5), подтверждена сравнением с решениями по методу Бубнова и

МКР. Для получения достоверного решения для данной задачи,

достаточно 47 разбиений (график аналогичен рис.1). Исследовано

влияние на величину прогиба и количество внешних итераций

изменение отношения линейного размера к толщине. Выявлено, что

на сходимость МВИ и МШШ не оказывает влияние вид начальных

функций. Для уточнения решения использовался МАБС. Количество

разбиений для достижения достоверного решения равно 48. На

третьей итерации МАБС интегральная невязка получаемого решения

равна нулю (график аналогичен рис4.).

В §3 рассмотрены пластинки моделей Кирхгофа и типа Тимошенко в температурном поле. Процедуры решения задач остаются такими же, как и в §1 и §2, т.к. исходные задачи не связанные и допускают естественное расщепление решения. При использовании предложенного метода замечено, что появление.в правой части температурного члена увеличивает количество разбиений для достижения достоверного решения на 5. разбиений. Количество итераций МВИ и

МППЛ не зависит от вида начальных функций.

В §4 предполагаемый подход использован для решения задачи для пластинки модели Кирхгофз на упругом Винклеровом основании, при граничных условиях свободно опертого края. Вид начальных функций не оказывает влияние на количество итераций для МВИ и для МППЛ. Достоверность получаемых решений вытекает из результатов сравнения с решением, получаемым по методу конечных разностей. Были проведены сравнения расчетов для пластинок: в свободном состоянии, на рыхлом песке, на слежавшемся песке. При рассмотрении зависимости нагрузка-количество внешних итераций, для пластинки на слежавшемся песке, наблюдается рост количества итераций на отрезках qeC0,15], q€[30,451. Достижение достоверного решения происходит при количестве разбиений 21(грзфик аналогичен рис.1).

В §5 рассмотрено решение стационарного уравнения теплопроводности для граничных условий первого рода и с зздзнным внутренним источником. Проведено сравнение с результатами, получаемыми по методу Бубнова, причем различие составляет 0,09%.Замечено, что при локальном источнике величина искомого решения убывает до определенного значения при увеличении количества разбиений, а при распределенной нагрузке - возрастает. Зависимость количество разбиений - величина прогиба аналогична приведенной на рис.1. Было проведено исследование о влиянии изменений Форш тела на значение температуры в центре. Показано, что вид начальных функций ке оказывает влияния на количество итераций МВИ и МППЛ.

В §6 рассмотрено применение предложенного метода для решения трехмерной несвязанной задачи термоупругости, при граничных условиях первого рода. Замечено, что 13 разбиений достаточно для получения достоверного решения упругой задачи, для термоупругой задачи - достаточно 24 разбиений сетки. Зависимость количество разбиений - величина перемещения аналогична показанной на рис.1. Проведено исследование зависимости перемещения и количества итераций от температуры. Отмечено при этом, что начиная с величины теплового источника д-100 до а-250 происходит резкий рост количества итераций. Для упругой задачи проводились исследования о том, как влияет изменение формы телз на величину перемещений. Показано, что вид начальных функций для МВМ и МППЛ не оказывает влияния на количество итераций.

Третья глава посвящена численному исследованию нелинейных задач ШТ.

В §1 рассмотрена система дифференциальных уравнений в перемещениях, описывавшая поведение пластинки модели Кирхгофа. Использование предложенного подхода приводит к системе 4-х уравнений типа Пуассона. Итерационная процедура решения имеет вид:

(к) (к-П (к-1) <к-1>

дм = д + Ъ0(ш , и , V );

(к) (к) АЩ = М

(к) <к) £ к-15

А и = ьги .V ):

I 1

¿к) (к) (к) д2У = Ь2Ш , и ); (х.у) е Б (6)

1(х,у)=0; М(х,у)=0; Щх,у)=0; У(х,у)=0; {х,у>еР (7) Где Ь(- дифференциальные операторы от На каждом шаге

итерационной процедуры по сути решается одно уравнение типа Пуассона. Достоверность решения подтверждена сравнением с результатами, полученными по методу установления и МКР, причем разница мевду решениями при нагрузке д=50 составляет 0% (метод установления) и 1% (МКР), а при нагрузке д=100 - 0,78% (метод установления) и 2,38% (МКР). 41 разбиения достаточно для получения достоверного решения. .Зависимость количество разбиений -величина прогиба аналогична рис.1. На рис.5 (кривая 1) приведена зависимость нагрузка-прогиб. При прогибах больше 0,4 происходит резкий рост количества итераций. Зависимость аналогична рис.2. При дальнейшем увеличении прогиба рост замедляется и при прогибах более 1 количество итераций не увеличивается. Вид начальных функций не оказывает влияние на количество итераций для МВИ и МПШГ. Для уточнения решений использовался МАБС. Количество разбиений при использовании МАБС для достижения достоверного решения равно 38. При прогибах более 0,5 происходит резкий рост количества итераций МАБС. При дальнейшем увеличении прогиба рост замедляется и уже при прогибах более 1 количество итераций для достижения решения одинаково. Интегральная невязка уже на 3 итерации МАБС практически равна нулю. График аналогичен рис.3.

В §2 приведены результаты исследования дифференциальных уравнений для задачи о НДС плзстинки модели Кирхгофа в смешанной

форме. Граничные условия Орались для свободно опертого края. Использование предлагаемого подхода приводит к системе 4-х уравнений типа Пуассона. Итерационная процедура решения имеет вид:

<k> f к- 1 > £ le- 1 i

дм = q + IjfW , F ) ;

(к) (к) AW = M ;

(к) (к)

ДМ? = L3(W );

<Ю (к!

ду = мр : ix.y} € s (8)

Где L - дифференциальные операторы от W,P. На каждом шаге итерационной процедуры решается уравнение типа Пуассона. Для подобной итерационной процедуры существует теорема: Теорема;Пусть Р - область, граница которой удовлетворяет

п 2

теоремам вложения С.Л. Соболева и W « îT (Р), q(x.y)€l (Р). Тогда найдутся такие постоянные уЛ1=Т7Б), а , р (свои для каждой

1 п п

итерации), A^i. ср*'!1"^?^' чт0 всш

HffJa>4{p)sc' сг0' и vn 0 V К 2 «02 то :1) m F , W е f*'P) л ïï (Р);

n n 2 2

4 0 2

2) существуют функции Р ,Wn е л if (Р) удовлетворяющие

системе уравнений Кармана почти всюду и при этом

;!W -W*j| —|F -F*f —4 0.

n 11 4 0 2 11 n " 1 0 2

i?2(P)^2(P) 1V2(P)^2(P)

Проведено сравнение с с результатом по методу установления, причем разница между рээультами при нагрузке q=2Q составляет 0%, а при нагрузке q=70 - 0,01% Нэ рис.5 (кривая 2) приведена зависимость нагрузка-прогиб. На отрезке изменения нагрузки от 20 до 30 происходит резкий рост количества внешних итераций, при этом величина прогиба увеличивается с 0.7 до 1. При дальнейшем увеличении нагрузки рост количества итераций прекращается (рис.2). Количества разбиений равного 39 достаточно для получения достоверного решения (рис.1). Вид начальных функций не оказывает влияния на сходимость итерационной процедуры МВИ и МППЛ. Для уточнения получаемых решений использовался МАБС. При использова-

го

0,413 0.410 0.407 0.404 0.401 0.39В

75-

/

/

■!

71

15 25 35 45 55

рис.1.

50-

25

■ У

-

• -т"1 —г- • I ' Т"Г"Т- --7"—г— т •V-T—T'T" к • Т"Г_ Г Ч '

In* 10~1

рис.2.

0.7

0.5

0.3

0.1

-0.1

- (30)

- (S)

• \

-

»----- ------1--------Г " -?-;..... Ш — i---т------

рис.3. 12

рис.4.

- / (з) (4) / > (1) |/

- // / / (2) У

- / / / У/

tf^-rç., ..,,... т s 's' » I l I ■■I.....г - W

0.0 0.4 0.8 1.2 1.6

рис.5.

РКС.7-

нии МАБС количества разбиений 31 достаточно для получения достоверного решения. Резкий рост количества итераций МАБС происходит при прогибах более 0,75. Зависимость аналогична рис.2. Мнтег-ральная невязка на третьей итерации МАБС равна нулю (рис. 3).

8 §3 предлагаемый метод использован для решение задачи о НДС пластинки модели типа Тимошенко. Уравнения .в перемещениях. Граничные условия взяты для жесткой заделки. Использование предлагаемого подхода приводит к системе 5-ти уравнений типа Пуассона. Итерационная процедура решения имеет вид:

ík) (k-í) ik-ii £ к -1 J (k-t) ík-1)

üW = - q - LqÍW , U, V, Ф, f ) ;

(к) ík) < к- 1)

д ф = L (W , у ); i i

(к! (к) (к)

V = Vw • ф (9)

<tcJ <к) <к-1>

AJJ - L3(W , V );

fki (kl ík)

¿aV = L4(W , U ); (x,y}6 S

Где I - дифференциальные операторы от W,' II, V, ф, У. На каждом шаге итерационной процедуры решается одно уравнение типа Пуассона. Достоверность получаемых результатов подтверждается сравнением с результата»® по методу установления, причем разница между решениями при нагрузке с=Ю0 составляет Количество

разбиений для достижения достоверного решения равно 48. Зависимость количество разбиений-величина прогиба аналогична рис.1. На рис.5 (линия 3) приведена зависимость нагрузкз-прогиб. При нагрузке с 24 до 32 происходит резкий рост количества итераций ШЛЯ. Зависимость итерацш-нагрузка аналогична рис.2. При дальнейшем увеличений нагрузки количество итераций растет медленнее и практически прекращается при нагрузках г юо. Влияние вида начальных функций на количество итераций МВИ и ШШЛ равно нулю. Зля уточнения решения задачи использовался МАБС. Замечено, что при количестве разбиений 45 мы получим достоверное решение. Резкий скачок количества итераций МАБС происходит при прогибах более 0,4. Интегральная невязка МАБС уже на третьей итерации практически равнз нулю. Зависимость интегральная невязка номер

итерации МАБС приведена на рис.4.

В §4 рассмотрено решение задачи о изгибе пластинки модели типа Тимошенко (уравнения в смешанной форме).Граничные условия взяты для неподвижного шарнира. Использование предлагаемого подхода приводят к системе 5-ти уравнений типа Пуассона. Итерационная процедура решения имеет вид:

Ск) < k- 1 ) (к-1) <к-1> < к—IJ

AW = - q + Lq(W , Ф , ? , F ) ;

(к) {к>

&3MF = L3(W );

(к) (к)

is? = ЖЕ ; (10)

Ск> (к) (к-1)

д Ф = I Ш , ¥ );

1 1

ik) {к) iki V - Vw • ф ix.y} € s Где Ь - дифференциальные операторы от W, F, Ф, f. Проведено сравнение с результатами по методу конечных разностей, причем разница между результатами при нагрузке q=90 составляет 3,3%, что говорит о достоверности результатов по процедуре (10). На рис. 5 (линия 4) представлена зависимость нагрузка-прогиб. При нагрузке с 20 до 30 происходит резкий рост количества итераций „МППЛ. ;График аналогичен рис. 2. При дальнейшем увеличении нагрузки количество итераций растет медленнее и практически прекращается при нагрузках а 70. Выявлено, что количества разбиений, равного 50, достаточно для получения достоверного решения. Зависимость количество разбиений - величина прогиба аналогична приведенной на рис.1. Вид начальных функций на количество итераций MBH и МПШ1 практически не влияет. Для уточнения решения задачи использовался МАБС. Замечено, что при количестве разбиений 48 мы получим достоверное решение. Резкий скачок количества итераций МАБС происходит при нагрузке более 20. Уже на третьей итерации МАБС интегральная невязка практически равна нулю. Евд графика аналогичен рис.4.

В §5 рассмотрена контактная задача для двух неспаянных пластинок модели Кирхгофа. Модель контактного давления взята из работ В.А. Крысько, A.B. Крысько и В.ф. Кириченко, причем для граничных условий жесткой заделки этими авторами доказанз

Теорема. Пусть 31(1=1,2)-ограниченные области, границы которых Р удовлетворяют условиям теорем вложения Соболева С.1., Б* - измеримая область, (х,у) £ > и, кроме того, существуют вещественные постоянные С^О, Б >0 также, что

э2У в2® - а2?? ,

Б Д(1Я ) 2 £ В —р+ В —р,—+

|В —Б ——р] + Л ю,рэх2 м.Рауг эу2-1^^

>[& < -В,„ ]-Е -«С A(W ) f

Ц м.Р этот ), /в I * ' L

Jax5jr зхэу-V,<s, i * ! Laisi>

Л '

Тогда: 1) vn, W|k>e w'^S,), 1=1,2; * Q->

2) 3W (z,y)€ Wj(S ), 1=1,2 являющиеся решением задачи (1),

(2) и при этом lim ||W^n)-W*|o -0, где: д2-бигармонический

® W^Sj)

оператор, МА~ норда в нормированном пространстве А, ¡.,.) -скалярное произведение в гильбертовом пространстве. -

Замечание к теореме: Предложенная схема доказательства остается без изменений, если одна или обе контактирующие пластины шарнир-нс закреплены.

В случае шарнирного закреплений использование предлагаемого

подхода приводит к системе 4-х уравнений типа Пуассона.

Итерационная процедура решения имеет вид:

(kl , (k-1 ) (k-1 ) . üM,(x,y) = qs(x,y) - K^Wjd.y) - h - W2iz.y)Jy;

(kl (k) ¿W (x,y)=M (x,y) ; ix,y> e S

AMg(i,y) = q2(x,y) + кДи^х.у)- - h*- WjUly)]*;

; ix,y) « S2 (11)

Где к - номер внешней итерации, К,- коэффициенты постели, h*-зэзор между пластинками, ? = И + signfW - h*- Si )]/2. На каждом шзге итерационной процедуры решается одно уравнение типа Пуассона. Достоверность решения подтверждается сравнением с результатами по методу конечных разностей, причем разница между реше-

ниями составляет около 2%. Проведено сравнение шлей контактного давления для этих двух методов, которое дало удовлетворительные результаты (0% - при начале контакта, 1,5% - при увеличении контактной зоны в 3 раза). На рис. 6 и рис.'Т приведен вид четверти контактного давления. Рис. 6 соответствует началу контакта.

В §6 предлагаемый подход использован для решения трехмерной несвязанной задачи термопластичности с граничными условиями первого рода. В результате использования предлагаемого метода получаем систему 3-х уравнений типа Пуассона. На кавдом шаге итерационной процедуры решается одно уравнение типа Пуассона. Решена задача о нахождении НДС для трехмерного кубика из никелевой стали под действием объемных сил. Из исследования выявлено, что количества разбиений,равного 35, при пластических деформациях, достаточно для получения достоверного решения. Зависимость количество разбиений - величина прогиба аналогична приеденной на рис.1.

Замечание: Рассмотренные во II и III главах задачи решены для граничных условий I рода. Предложенную методику можно распространить на другие граничные условия. Для этого строится итерационная процедура, как это было сделано в работах Ж.-Л. Лионез и В.А. Крысько.

В заключении приводятся основные результаты и выводы по работе.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ ПО ДИССЕРТАЦИИ

1. Предложен итерационный подход к решению многомерных нелинейных уравнений МОТ, который позволяет линеаризовать и понизить порядок исходных дифференциальных уравнений.

2. Для решения полученных двумерных и трехмерных уравнений типа Пуассона используются методы понижения размерности (сведения к обыкновенным дифференциальным уравнениям) - метод вариационных итераций, метод Канторовича-Власова, метод Аграновского-Баглая- Смирнова, метод Вайдинера.

3. Предложенный подход реализован для линейных многомерных задач дат в виде комплекса программ на языке F0RTRAN-77 на

персональном компьютере IBM-PC. Решены следующие задачи:

- линейный и нелинейный изгиб пластин моделей Кирхгофа и типа Тимошенко под действием поперечной нагрузки с учетом и без учета теплового источника;

- трехмерная задача теплопроводности;

- трехмерная задача термоупругости;

- трехмерная задача термопластичности;

- деформация пластин на упругом основании;

- контакт двух неспаянных пластин,

4. Проведено практическое обоснование предложенного подхода с учетом ранее доказанных теорем по сходимости МВМ и некоторых других итерационных процедур. При этом показано:

- быстрая сходимость итерационного процесса решения. Причем скорость сходимости не зависит от выбора начальных аппроксимирующих функций.

- достаточность одного члена ряда в разложении искомых функций для достижения высокой точности решения.

5. Отмечена высокая эффективность предложенного метода, простота реализации, высокая точность и быстродействие.

6. Разработанный подход может быть использован для расчета толстостенных и тонкостенных элементов конструкций современной техники. Применение метода понижения порядка систем нелинейных дифференциальных уравнений МДТТ и построенных на его основе метод®, к решению конкретных задач, позволяет учесть реальные характеристики материала, его неоднородность, наличие локализованных включений, условия на ограничивающих поверхностях я другие факторы для выбора рациональных геометрических и физических параметров конструкций с целью повышения их надежности.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Жигалов М.В., Крысько В.А. Метод решения первой краевой задачи термоупругости // Прочность конструкций в экстремальных условиях: Межвуз. научн. сборник - 1988. - Изд-во Сарат. ун-та -С.42-44.

2. Жигалов М.В., Крысько В.А. Прием сведения нелинейных уравнений в частных производных к уравнению Пуассона / Сарат. поли-

техн. ин-т. - Саратов, 1994г. 41с., Деп. в ВИНИТИ 02.03.94, N 484-В94.

3. Крысько В.А., Дедюкин И.Ю., Жигалов М.В., Мицкевич С.А. Некоторые вопросы нелинейной статики и динамики двумерных и трехмерных тел // III Симпозиум "Устойчивость и пластичность в' механике деформируемого твердого тела, -Тверь, 03.09.199205.09.1992 г., тезисы докл. С.56.

4. Жигалов М.В. .Сведение решения уравнений трехмерной теории упругости к решению уравнения Пуассона // на 1-ой Саратовской международной летней школе по проблемам механики сплошной среды (Саратов, 1994г.), тезисы докладов С.27-28.

5. Крысько В.А., Жигалов М.В. Метод линеаризации и " понижения порядка систем дифференциальных уравнений в нелинейной механике неоднородных структур. // IV Мхжнародна конференшя з механ1ки неоднорюти структур, Тернополг, 19-22.09.95г.,"' тезисы докладов С. 236

Жигалов Максим Викторович

МЕТОД ПОНИЖЕНИЯ ПОРЯДКА, РАЗМЕРНОСТИ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ МДТТ, И ИХ ЛИНЕАРИЗАЦИЯ.

Автореферат

Ответственный за выпуск Корректор

Подписано в печать 26 02. 96

Бум. оберт. Усл. — печ. л.

Тираж 400 экз. Заказ Ь{

Саратовский государственный технический университет 410016 г. Саратов, ул. Политехническая, 77 Ротапринт СГТУ. 410016 г. Саратов, ул. Политехническая,?"

Т.Ю. Ярошенко Л.А.Скворцова

Формат 60X84 1-1С >'•1. — шд. л. Бесплатно