Численное моделирование деформирования и разрушения тонкостенных конструкций тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

УДК 539.3

На правах рукописи

ШУТОВ АЛЕКСЕИ ВАЛЕРЬЕВИЧ

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДЕФОРМИРОВАНИЯ И РАЗРУШЕНИЯ ТОНКОСТЕННЫХ КОНСТРУКЦИЙ

Специальность 01.02.04 - «Механика деформируемого твердого тела»

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Новосибирск 2004

Работа выполнена на кафедре механики деформируемого твердого тела Новосибирского государственного университета

Научный руководитель:

Коробейников Сергей Николаевич, доктор физ.-мат. наук

Официальные оппоненты:

Бураго Николай Георгиевич, доктор физ.-мат. наук

Ведущая организация:

Институт вычислительного моделирования СО РАН, г. Красноярск

Защита состоится 7 июня 2004 года в 15:30 часов на заседании диссертационного совета Д.003.054.02 в Институте гидродинамики им М.А Лаврентьева СО РАН по адресу: 630090, Новосибирск, пр-т. Лаврентьева,

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института гидродинамики им. М.А Лаврентьева СО РАН.

Волчков Юрий Матвеевич, доктор физ.-мат. наук

15.

Автореферат разослан

2004 года.

Ученый секретарь диссертационного сов кандидат технических наук

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. Работа посвящена постановке и решению задач о деформировании и разрушении тонкостенных конструкций. Типичными задачами подобного рода являются задача о разрушении шлема древнего воина при ударе мечем, задача о разрушении защитного козырька здания или о разрушении нефтяного танкера. Опыт эксплуатации инженерных сооружений изобилует примерами использования частично разрушенных конструкций из оболочек и пластин, для безопасной эксплуатации которых необходимо знать дальнейшую картину растрескивания. Актуальность решения таких задач вызвана высокими требованиями к надежности и безопасности тонкостенных конструкций, применяемых на практике.

Моделирование зарождения и распространения трещин в тонкостенных конструкциях находится на стыке трех интенсивно развивающихся направлений механики деформируемого твердого тела (МДТТ): механики разрушения, теории оболочек и численных методов решения нелинейных задач МДТТ.

Целью работы является построение, исследование и применение расчетных схем, полученных с помощью МКЭ, для моделирования разрушения тонкостенных конструкций.

Задачи исследования.

♦ Представить современный подход применения МКЭ для решения нелинейных задач МДТТ.

♦ Развить МКЭ в применении к задачам нелинейного деформирования тонкостенных конструкций.

♦ Применить МКЭ для решения прикладных проблем о деформировании и разрушении тонкостенных конструкций.

Методы исследования. Для анализа напряженно-деформированного состояния трехмерных тел используются методы прикладной математики и МДТТ. Для построения расчетных схем применяется МКЭ. Для создания конечно-элементной модели и визуализации результатов расчетов применяются прикладные программные комплексы.

Достоверность полученных в работе результатов определяется корректным применением методов МДТТ и вычислительной математики, соответствием полученных результатов известным результатам, решением тестовых задач.

Научная новизна работы заключается в следующем:

1. Предложены новые модели материала и численные процедуры построения определяющих соотношений, позволяющие по заданной истории деформирования материальной точки определять тензор напряжений.

2. Полученные модели материала внедрены в конечно-элементный комплекс PIONER, в результате построены новые расчетные схемы.

3. Проведен анализ расчетных схем хрупкого разрушения. Исследован вопрос корректности предсказания линии трещины.

4. Поставлена и решена новая задача о деформировании балки с неклассическими условиями шарнирного опирания на торцах.

5. Получен и математически обоснован метод, позволяющий при некоторых допущениях сводить динамические задачи теории упругости к статическим.

6. Предложена математическая модель ударного взаимодействия стрелы и панцирного покрытия. Задача решена с учетом трех видов нели-нейностей: физической, геометрической и контактной.

Практическая ценность работы.

1. Разработаны и исследованы модели материала для учета хрупкого разрушения тонкостенных конструкций. Получен пакет программ, пригодный для решения практических задач о зарождении и распространении трещин вплоть до полной потери несущей способности.

2. Показано, что при проведении практических расчетов постановка условий шарнирного опирания должна проводиться с особой тщательностью. Приведен пример, когда проектирование технических конструкции на основе классической теории балок дает погрешность в предсказании прогибов порядка 100 процентов.

3. Показано, что применяемая на практике схема исключения конечных элементов не пригодна для описания картины растрескивания при хрупком разрушении.

Работа проведена в рамках работ по грантам РФФИ №01-06-80245-а и №02-01-00195, междисциплинарному интеграционнму проекту СО РАН (2003 г.) №129, гранту Президента Российской Федерации №НШ-319.2003.1 и гранту №А03-2.10-617 Министерства образования Российской Федерации.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы доложены на: XL (Новосибирск 2002), XLI (Новосибирск 2003) и XLII (Новосибирск 2004) международных студенческих конференцях «Студент и научно-технический прогресс»; Всероссийской школе-семинаре по современным проблемам механики деформируемого твердого тела (Новосибирск 2003); Всероссийском совещании по деформированию и сейсмичности литосферы (Иркутск 2003); международной конференции "Fracture at multiple dimensions" (Москва 2003).

Полностью работа доложена на научном семинаре кафедры механики деформируемого твердого тела НГУ под руководством член-корр. РАН Аннина Б.Д. (Новосибирск 2004); научном семинаре отдела механики твердого тела Института гидродинамики СО РАН под руководством проф. Корнева В.М. (Новосибирск 2004); научном семинаре Института, вычислительного моделирования СО РАН под руководством проф. Садовского В.М. (Красноярск 2004).

Публикации. Основные результаты диссертационной работы изложены в семи научных статьях.

Личный вклад автора. Автору принадлежат:

1. Формулировка и обоснование метода сведения динамической задачи теории упругости к статической.

2. Построение и практическая реализация на ЭВМ моделей хрупкого материала, учитывающих гипотезы теории оболочек.

3. Результаты исследований расчетных схем хрупкого разрушения.

4. Численные и аналитические решения, представленные в диссертации.

5. Математическая модель ударного взаимодействия стрелы и панцирного покрытия.

6. Пакет сервисных программ пред/постпроцессорной обработки.

Автор выражает благодарность соавторам за проведение совместных работ, и в первую очередь своему научному руководителю, доктору физико-математических наук С.Н. Коробейникову.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из четырех глав, введения и заключения. Во введении представлен обзор работ, имеющих отношение к содержанию диссертации. В начале каждой главы приводится краткое содержание ее параграфов. В конце глав сформулированы выводы по результатам исследований. Общий объем диссертации составляет 137 страниц, в том числе 37 рисунков, 4 таблицы и список литературы, включающий 134 наименования.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении показана актуальность темы диссертации, сформулированы цель и идея работы, указаны методы исследований, отражено содержание диссертации. Приведен обзор методов, примененых в диссертации, а также альтернативных к ним.

В начале прошлого века в основополагающей работе Гриффитса был предложен критерий, позволяющий определять критическую нагрузку страгивания трещины. Тем самым была заложена основа подхода линейной механики разрушения (ЛМР). В рамках ЛМР трещина соответствует математическому разрезу в упругом материале. В окрестности кончика трещины решение задачи линейной теории упругости имеет

5

особенность. Тогда же начались численные расчеты по определению критической нагрузки страгивания трещины. К недостаткам данного подхода можно отнести следующие: критическая нагрузка страгивания хорошо предсказывается только для длинных трещин, невозможно описать зарождение и распространение трещины.

Численное моделирование зарождения и распространения трещин началось только в конце 1960-х годов. Со временем популярность завоевал подход, заключающийся в моделировании трещины в рамках механики сплошной среды путем введения нелинейных определяющих соотношений материала. Моделирование трещин с учетом физической нелинейности получило название нелинейной механики разрушения (НМР).

Наиболее подходящим методом решения нелинейных задач МДТТ для трехмерных тел со сложной геометрией является МКЭ.

Первые работы (60-е годы прошлого века) по применению МКЭ для расчета тонкостенных конструкций основаны на дискретизации уравнений теории пластин и оболочек (ТПО). В случае применения кине-магической гипотезы Кирхгофа — Лява, аппроксимируемые поля перемещений должны обладать свойством непрерывной дифференцируе-мости при переходе через границы элементов. Для сходимости численного решения требуется использовать усложненные эрмитовы базисные функции (С1-подход). Начиная с 70-х годов прошлого века ряд исследователей при решении задач о деформировании оболочек МКЭ стал применять ТПО, основанную на кинематической гипотезе Тимошенко. Базисные функции при дискретизации таких уравнений ТПО можно использовать те же, что при решении трехмерных задач МДТТ (С°-подход). Начиная также с 70-х годов прошлого века возник более практичный подход, основанный на прямом введении в трехмерные уравнения МДТТ статической гипотезы Кирхгофа — Лява и кинематической гипотезы Тимошенко, минуя этап формирования уравнений ТПО. Этот второй вариант С0-подхода в последнее время стал широко распространенным. Решающим обстоятельством его популярности стал более простой путь дискретизации геометрически и физически нелинейных уравнений МДТТ по сравнению с первым вариантом С -подхода.

В диссертационной работе нелинейные определяющие соотношения хрупкого тела адаптированы для применения второго варианта С -подхода. Эта адаптация заключается во внедрении гипотез теории оболочек в формулировку определяющих соотношений.

Первая глава посвящена постановке нелинейных задач МДТТ.

Замкнутая система уравнений. Рассмотрим некоторую материальную частицу Р, вектор положения которой в начальный момент есть X. В текущем состоянии в момент времени t вектор положения этой же

материальной частицы Р есть х. Определим вектор перемещения

и деформацией, _ дх, , , .. ди, ., . рдинат) Г = — к, = (<5Ц + ®

дХ,

Тогда 3 = <!&(¥) — якобиан преобразования элементарных окрестностей. Введем тензор деформаций Грина - Лагранжа и второй тензор напряжений Пиола - Кирхгоффа

где G — метрический тензор, s — тензор напряжений Коши. Уравнения движения вместе с граничными и начальными условиями

(1) (2)

Здесь f - вектор объемных сил; а - вектор ускорения; индекс * обозначает заданную величину. Замыкают систему уравнений МДТТ определяющие соотношения упруго-пластического материала

V • в + Г = р а в V, и = и* на 5«, п • г = Т* на Бт,

и

= и5, й = у5 при г = о.

в = (¡С : Б.

(3)

Постановка контактной задачи. Пусть два тела В1 и В2 входят в контакт друг с другом. Тогда эти два тела имеют общую границу, на которой выполнены условия непроникания одного тела в другое. Доложим, что контактные нормальные силы могут быть только сжимающими. Распределенные контактные касательные силы подчинены закону трения Кулона.

Контактная задача представляет из себя задачу движения двух тел с кинематическими и статическими ограничениями. В диссертации эти ограничения формулируются на основе метода штрафных функций. Для этого к принципу возможных перемещений для двух независимых тел, которые входят в контакт, добавляется потенциал контактных сил.

Метод сведения динамической задачи линейной теории упругости к статической. Формулировка и обоснование метода проводятся в рамках линейной теории упругости при условиях малости деформаций, поворотов и перемещений. Рассмотрим динамическую задачу линейной

теории упругости (1), (2) в предположении Т* =0, Р = 0, и^ = 0. Пусть вся масса тела т сосредоточена в некоторой точке Тогда

р = т 6(х - хо). (4)

Уравнения движения в слабой форме записываются в виде

а : <5е (IV = —т и(х0) • ¿и(хо) V ¿и (¿и == 0 на 5и). (5)

Рассмотрим также статическую задачу в предположении, что на тело действует сосредоточенная в точке хм сила Е (Р = Г ¿(х — х0), Т* = 0). Тогда слабая форма уравнений равновесия запишется в виде

! а \6edV -5п{х0) V ¿и (¿и = 0 на 5и). (6)

Сравнивая уравнения (5) и (б), заключаем, что решение задачи (5) в каждый момент времени является решением задачи (6) при

Р = -шй(10). (7)

Из линейности (6) следует, что существует тензор к = кт > 0, такой что

к и(х0) = Р. (8)

Получаем уравнения движения точки x0 С начальными условиями:

ти(хо) + к и(х0) = 0, и(х0)|1=о = 0, й(х0)|<=0 = у0(х0). О) Пусть уо(хо) — собственный вектор тензора к

к УО(ХО) = ти>2у0(хо). (10)

Тогда решение задачи (9) запишется в виде

(И)

Решение динамической задачи в каждый момент времени получается из соотношений (6), (7), (10), (11). Применение данного метода существенно упрощает анализ НДС конструкций. Формула (11) позволяет получать решения в те моменты времени, когда в конструкции возникают максимальные перемещения и напряжения.

В том случае, когда требования (4), (10) выполняются лишь приблизительно, применение данного метода приведет к результату, близкому к точному.

/

Вторая глава посвящена развитию МКЭ при решении нелинейных задач МДТТ.

Общаялаграноюева формулировка основныхуравнений. Рассмотрим следующие обозначения величин. Верхний левый индекс обозначает тот момент времени, в который рассматривается данная величина. В том случае, если величина рассматривается относительно начальной конфигурации, то в левом нижнем углу появляется ноль. Например, суть компоненты второго тензора'напряжений Пиола - Кирхгоффа в момент времени I + Ы, когда отсчетной конфигурацией предполагается начальная конфигурация в момент времени t — 0.

Отсутствие левого верхнего индекса у некоторой величины обозначает ее приращение с момента времени / до момента времени < + Д^ например, и = '+д'и — 'и обозначает приращение вектора перемещений.

Пусть в момент времени t + Д£ перемещения неизвестны. Покомпонентная запись слабой формы уравнений движения в момент Ь + АЬ имеет вид:

Линеаризуем (12) относительно известного состояния в момент I

^0Сцы 0ей боец + ^ ¿0У = (13)

Здесь аЩ ~ соответственно компоненты линейной и нелинейной части приращения тензора деформаций Грина - Лагранжа; тензор £ Суы вводится из линеаризации определяющих соотношений (3)

05У = оСцы оеы . (14)

Трехмерные конечные элементы. Пусть г, 5, £ —локальные координаты элемента. Рассмотрим изопараметрический конечный элемент.

Введем глобальные векторы неизвестных перемещений и их прираще-

где Щ (г = 1Г^УЁд) — одна из компонент вектора перемещений в некоторой узловой точке, Ит — общее число неизвестных независимых компонент перемещений. С помощью аппроксимации (15) получаем из (13) дискретный аналог линеаризованного уравнения принципа возможных

Р щ + = . (17)

Изопараметрические элементы оболочки. Общие формулы (15) в случае линейной аппроксимации вдоль локальной координаты t специализируются к виду

N

Tx(r,s,t) = ^2hk{r,s)

k=1

-тх* +

2 "

1 -t

Т„к

(18)

Пусть ? — некоторое число, так что —1 ^ I ^ +1. Поверхность Ь = 1 называем отсчетной поверхностью оболочки. Формулу (18) можно переписать в виде

N

t-tN

Tx(r, в, t) = £ hk{r, s) + i-i Y, Mr, S) ak 'V*,

(19)

it=i

Jt=i

где TV£ — единичный вектор «нормали» в узле к, ак - «толщина» оболочки в i-направлении в узловой точке к отсчетной поверхности. В (19) применена кинематическая гипотеза Тимошенко (ak — const).

В каждой точке рассмотрим поверхности слоя t = const. Пусть ¿i, е2,ёз — ортонормированный набор базисных векторов системы координат слоя. Положим, что вектор ёз направлен по нормали к поверхности слоя. Определяющие соотношения (14) модифицируются с учетом статической гипотезы Кирхгоффа (о^зз = 0)

oS — qCqE ,

(20)

где qC — матрица определяющих соотношений размерностью 5x5,

В результате применения МКЭ на основе (19), (20) получаем систему уравнений вида (17).

Система ОДУ (17) решается пошаговым интегрированием по неявной схеме Ныомарка с применением итерационного уточнения по методу Ньютона — Рафсона.

Модели хрупкой тонкостенной конструкции. Построим модели материала тонкостенной конструкции в предположении, что деформации бесконечно малы. Тогда уравнение (20) перепишется в виде

& = Сё,е = [£ц, £22, 2£12, 2£13, 2£23]Т , <Т = [<7ц, 1722, ¿12, 1713, 0"2з]Т

В процессе упругого деформирования в каждый момент времени вводим в поверхности слоя новую систему координат ёх, ёг так, что г? <?2 главные напряжения. В момент выполнения критерия разрушения ориентация этой системы фиксируется относительно ¿1, ¿2 и в дальнейшем не изменяется. Модель материала задается тремя константами: Е,и — упругие постоянные, ст^ — предел прочности на растяжение.

В рамках ортотропной модели материал может находиться в четырех состояниях:

1. Неповрежденный материал моделируется изотропным линейно упругим (к = 5/6 — корректирующий множитель):

2 Материал с раскрытой трещиной моделируется ортотропным линейно упругим, ослабленным в направлении :

Малые множители применяются для регуляризации задачи.

3 Материал с закрытой трещиной моделируется изотропным линейно упругим, как и неповрежденный (21).

4 Полностью разрушенный материал:

Г *1

Е

1-й2

0 0 0

0 0 0

2 ^ 0 0

симм. к^кг 0 к—

С2 и

-

<х = 0.

В начальный момент (г = 0) материал предполагается неповрежденным. В случае ^ Се, 02 < а* материал переходит в сост. 2 и фиксируется направление трещины. Если 02 ^ <7/, то материал переходит в сост. 4.

Пусть материал находится в сост. 2. Если ёц < 0, то материал переходит в сост. 3. Если а г ^ с*, то материал переходит в сост. 4.

Пусть материал находится в состоянии 3. Если б?ц > 0, то материал переходит в сост. 2. Если то материал переходит в сост. 4.

Оказавшись в сост. 4 материал остается в этом состоянии.

Наравне с ортототропной моделью рассмотрим ее упрощенный вариант — изотропную модель. Для этой модели предполагается, что в начальный момент 0 = 0) материал находится в сост. 1. В случае ^ <Г{ материал переходит в сост. 4.

В третьей главе приведены решения тестовых задач. Представленные во второй главе модели материала внедрены в вычислительный комплекс PЮNER. С помощью ортотропной модели материала получены решения задач о разрушении пластинки при одноосном напряженном состоянии и при при двуосном напряженном состоянии. Приведены аналитическое и численное решения задачи о разрушении балки при чистом изгибе.

Разрушение симметричного образца с У-образным вырезом (рис. 1). Расчеты проведены со следующими параметрами материала: Мо-

Рис. 1. Разрушение пластинки с У-образным вырезом

дуль Юнга Е = 107Па, коэффициент Пуассона V — 0,25, предел прочности — 1 • 104Па. Нижний край пластины закреплен, а верхний край перемещается как жесткое целое на заданную величину и. В силу вертикальной и горизонтальной симметрии образца, для обеих моделей материала (изотропной и ортотропной) трещина должна зародиться в кончике выреза и распространяться строго горизонтально. Применение ортотропной модели приводит к достоверным результатам (рис. 2, а). Изотропная модель, вообще говоря, не позволяет определить направление трещины (рис. 2, б).

а б

Рис. 2. Численное решение задачи: а — по ортотропной модели; б — по

изотропной модели

Рис. 3. Шарнирно опертая балка под действием сосредоточенной силы

На сегодняшний день для моделирования разрушения деформируемых тел широко применяется следующая схема. При выполнении в некотором элементе критерия разрушения (превышение максимального главного напряжения предела прочности) элемент исключается из ансамбля элементов. В диссертации показано, что решения по этой схеме близки к тем, что получены по изотропной модели. Эта схема также не позволяет определить направление развития трещины.

Изгиб шарнирно опертой балки под действием сосредоточенной силы. Рассмотрим балку с прямоугольным поперечным сечением S (рис. 3). Длина балки — Ь, ширина и высота поперечного сечения — 6 и к соответственно. Введем координатную ось Г так, что Г = -1 соответствует пересечению этой оси с нижней, а Г = +1 — с верхней лицевой поверхностью балки. Пусть I а [—1,+1] некоторое число. Шарниры, на которые опирается балка, расположены на пересечение плоскости £ = I с торцевыми поверхностями. При шарниры располага-

ются соответственно на срединной поверхности и на нижней лицевой поверхности.

Определим продольную силу N и изгибной момент М:

N = J <ixxdS, М = J <rxxzdS. (24)

Рассмотрим условия шарнирного опирания двух типов: SS1 — стесненные в продольном направлении торцы (u = it) = М = 0); SS2 — свободные в продольном направлении торцы (N = w = М = 0).

Пусть в середине пролета к балке приложена сила Р. Задача решена в геометрически линейной постановке. Применяя кинематическую гипотезу Тимошенко получаем значения продольной силы и центральных прогибов (G — модуль сдвига):

В случае принятия кинематической гипотезы Кирхгоффа — Лява (Бернулли — Эйлера) решение получится из приведенного выше, при G —> оо. Тогда прогиб в задаче SSl|f=_i составит 7/16 от прогиба в задаче

Из данного решения задачи видно, что расположение шарниров оказывает существенное влияние на жесткость конструкции в случае принятия граничных условий SS1. При вынесении оси шарниров на нижнюю лицевую поверхность возникает ненулевая продольная сила N, которая препятствует прогибу балки.

В работе получены численные решения этой задачи с применением трехмерных элементов и элементов оболочки. Применение элементов оболочки, с возможностью управления отсчетной поверхностью, позволяет эффективно решать задачи с неклассическими условиями шарнирного опирания.

Четвертая глава посвящена решению модельных и прикладных задач.

Для оценки эффективности применения доспехов разных типов предложена и решена модельная задача о налетании стрелы на панцирное покрытие.

Рассмотрим прямоугольную бронзовую пластину, шарнирно опертую на двух противоположных торцах (рис. 4, а). Материал пластины предполагаем изотропным упругим с упругими постоянными бронзы Е = 103 ГПа, v = 0.25 и массовой плотностью р = 8,8*10~5 Н-сек2/см4.

Предел прочности на растяжение <Т{ = 200 МПа. Пусть на покоящуюся недеформированную пластину налетает стрела массой т — 0,08 кг со скоростью = 60 м/сек с бронебойным наконечником. На началь-

ном этапе моделирования решим задачу в линейной постановке.

14

Рис. 4. Налетание стрелы на прямоугольную шарнирно опертую пластину: а — геометрия пластины; б — зависимость центрального прогиба ш пластины от времени (сплошная линия — динамическая задача, пунктирная — статическая)

При решении динамической задачи (рис. 4, б сплошная линия) предполагаем, что весь носик стрелы сразу вступает во взаимодействие с пластиной, причем зону контакта считаем заданной заранее в виде квадрата Бс с центром в точке хо (рис. 4, а). Данная задача решена с помощью МКЭ в трехмерной постановке. Применен метод сведения задачи к статической (рис. 4, б пунктирная линия). Максимальное главное напряжение превзошло предел прочности на растяжение ст* и составило порядка 70 (Т{. Анализ напряженно-деформированного состояния показывает, что механизмом разрушения пластинки в данном случае является разрушение при изгибе, причем трещина зарождается на противоположной от воздействия стороне. Мельчение сетки в нормальном к поверхности пластинки направлении практически не сказывается на уточнении результата. Это позволяет заключить, что данную задачу можно успешно решать и методами теории оболочек.

Следующим этапом является исследование модельной задачи в контактной постановке. При этом стрела моделируется одним двухузло-вым элементом стержня. Для учета контактного взаимодействия применяется метод штрафных функций. Окончательно получаем, что скорость отскочившей стрелы равна 58,68 м/сек. Максимальный прогиб близок к тому, что получен в линейной задаче и составляет 2,48см.

Рассмотрим теперь модельную задачу сучетомрастрескиванияма-териала. Пластина представлена с помощью ортотропной модели хрупкой тонкостенной конструкции и моделируется девятиузловыми конечными элементами с порядком численного интегрирования 3 х 3 х 4 по ко-

ординатам г, в, < Сначала получим решение задач в геометрически линейной постановке. При скоростях подлета стрелы г>о = 1,0 м/сек (рис. 5 а, б) и г>а = 3,2 м/сек (5 в, г) пластинка частично разрушается.

Vе! м/сек

Рис 5. Кривые зависимости нормального прогиба го центральной точки от времени £ — а,в (пунктирная кривая — упругое деформирование; сплошная кривая — деформирование с разрушением); деформированные конфигурации и зоны разрушения — б,г (г — коэффициент увеличения вектора перемещений)

При увеличении начальной скорости стрелы до 1»о = 10 м/сек пластина полностью разрушается уже на «прямом ходе» стрелы. При разрушении пластины выявлено явление потери устойчивости по отношению к малому возмущению входных параметров (наблюдается хаотический разлет осколков платины).

В заключение решена модельная задача с учетом растрескивания материала и геометрической нелинейности. Учет эффекта геометрической нелинейности достигается применением обобщенной модели материала с применением общей лагранжевой формулировки. Эффект геометрической нелинейности проявляется незначительно для скорости подлета стрелы ио = 1,0 м/сек. Внесение геометрической нелинейности несколько снижает период и амплитуду колебаний. При в пластинке возникают большие растягивающие усилия, обусловленные действием мембранных сил. В геометрически линейном расчете эти силы не учтены, что привело к завышению защитной способности пластинки. В момент времени сек происходит полное разрушение пластинки.

В диссертации предложена уточненная модельная задача, в которой пластина рассматривается во взаимодействии с некоторым упругим основанием. Основание моделируется с помощью набора стержней (принята гипотеза Винклера). Максимальное главное растягивающее напряжение составило что в семь раз меньше, чем в случае шар-

нирно опертой пластины. Проведенный анализ позволяет заключить, что защитная способность пластинки существенно зависит от способа се закрепления в составе панцирного покрытия.

Задача о падении столба на защитный козырек здания (рис. 6) решена в динамической постановке с учетом геометрической и контактной нелинейностей. Учет контактного взаимодействия проведен с помощью метода штрафных функций. Для оценки параметра штрафа проведены предварительные расчеты по определению жесткости козырька. В ре-

Рис. 6. Падение столба на козырек здания: а — конечноэлементная модель; б — деформированная конфигурация

зультате расчетов определены зоны возможного разрушения козырька.

1. Предложен и математически обоснован метод, позволяющий в ряде случаев сводить динамические задачи теории упругости к статическим.

2. Предложен ряд новых нелинейных моделей хрупкого разрушения тонкостенных конструкций..

3. Модели хрупкого разрушения тонкостенной конструкции внедрены в вычислительный комплекс PЮNER.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

4. Исследован вопрос корректности определения линии распространения трещины при применении различных расчетных схем. Установлено, что схема исключения разрушенных элементов непригодна для практического применения, так как дает результат, зависящий от ориентации сетки конечных элементов. В то же время представлена модель хрупкого разрушения, которая дает правильную картину распространения зоны разрушения.

5. Получены аналитические и численные решения задачи о деформировании балки с неклассическими условиями шарнирного опирания на торцах. Обнаружен эффект сильной зависимости решения от положения шарниров.

6. Получены численные решения ряда новых задач с учетом трех видов нелинейностей: контактная, физическая и геометрическая.

СПИСОК РАБОТ, ОПУБЛИКОВАННЫХ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Аннин Б. Д., Коробейников С. Н., Шутов А. В. Моделирование хрупкого разрушения упругих блоков// Напряженно-деформированное состояние и сейсмичность литосферы: Труды Всерос. совещ., г. Иркутск, 26-29 авг. 2003 г.- Новосибирск: Изд-во СО РАН, филиал «Гео», 2003. С. 225-228.

2. Коробейников С. Н:, Худяков Ю. С, Шутов А. В. Математическое моделирование хрупкого разрушения тонких тел // Вычислительные методы и программирование. 2002. Т.З, №2. С. 94-117.

3. Коробейников С. Нм Худяков Ю. С, Шутов А. В. Методы математического моделирования для анализа защитных свойств бронзовых шлемов номадов Центральной Азии // Сибирский журнал индустриальной математики. 2002. Т.5, №2. С. 126-138.

4. Коробейников С. Н., Шутов А. В. Выбор отсчетной поверхности в уравнениях пластин и оболочек // Вычислительные технологии. 2003. Т.8, №6. С 36-57.

5. Шутов А. В. Динамическое контактное взаимодействие тонкостенной конструкции с ударником // Всероссийская школа-семинар по современным проблемам механики деформируемого твердого тела: Сборник докладов. Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2003. С. 259-263.

6. Шутов А. В. Численное моделирование ударного взаимодействия элементов строительной конструкции // Известия вузов. Строительство. 2004. №1. С. 114-119.

7. Шутов А. В. Математическая модель ударного взаимодействия стрелы с панцирным покрытием // Сибирский журнал индустриальной математики. 2003. Т.6, №2. С. 145-155..

Подписано в печать 05.04.2004 г. Формат 60x84 1/16. Офсетная печать. Уч.-изд. л. 1,25. Тираж 80 экз. Заказ № 2 4 8

Лицензия ЛР № 021285 от 6 мая 1998 г. Редакционно-издательский центр НГУ 630090, Новосибирск-90, ул.Пирогова, 2

Ni -98 07