Метод линеаризации на основе теории колец и его физические приложения тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

Российская Академия наук Физический институт им. П.Н.Лебедева

РГ6 од На правах рукописи

ЗАХЕДИ Рамин Алимохаммадович

МЕТОД ЛИНЕАРИЗАЦИИ НА ОСНОВЕ ТЕОРИИ КОЛЕЦ И ЕГО ФИЗИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ

(Специальность - 01.04.02 - теоретическая физика)

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва, 1997

Работа выполнена в Физическом институте им. П.Н. Лебедева, РАН

Научный руководитель - доктор физико-математических наук,

проф. Л.А.Шелепин Официальные оппоненты: - доктор физико-математических наук,

проф., ВЛ.Файнберг (ФИАН) - доктор физико-математических наук, проф., Солнцев В.А. (МЦ?М.) Ведущая организация Объединенный институт ядерных

исследований (лаборатория теоретической физики (Дубна)

Защита состоится "_"_199......г. в........... час.

на заседании диссертационного совета К002.39.04 в Физическом институте им. П.Н.Лебедева РАН по адресу: 117333, Москва, Ленинский пр-т, 53, ФИАН.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ФИАН.

Автореферат разослан "_"_199 г.

Ученый секретарь диссертационного совета К002.39.04, д.ф.-м.н.

В.Д.Скаржинский

Общая характеристика работы

А1сгуальность. Диссертационная работа посвящена приложениям теории колец. Как известно, математические модели физических процессов охватывают определенные классы математических объемов и отношения между этими объектами. К наиболее общеупотребительным моделям такого рода относятся группы, кольца, поля, векторные пространства и линейные алгебры. Группа - это множество О с одной бинарной операцией (умножение) а ■ Ь = с, а, Ь, сев, подчиняющейся определенным условиям. Группы отображают свойства симметрии физических объектов. Кольцо представляет собой множество элементов И, где определены уже две бинарные операции сложение и умножение. Причем по сложности это множество группа, а умножение связано со сложением законами дистрибутивности: а (Ь+с) = аЬ+ас, (Ы-с) а = Ьа+са, где а,Ь,с е К. Кольца отображают структурные свойства множества Я. В отличие от групповых моделей, модели, связанные с кольцами не полу1!или сколько-нибудь 'значительного распространения, хотя в физике широко используются алгебра матриц, алгебра гиперкомплексных чисел, алгебра Грассмана, Клиффорда и др. Как известно, из определения групп, выделяющего широкий класс математических объектов, следует целый ряд фундаментальных следствий. Свойства же объектов, связанных с кольцами, пока еще мало изучены.

В настоящей работе развивается новый подход, позволяющий получать и систематизировать результаты, вытекающие из общего определения колец. В качестве исходного пункта используется функциональная запись бинарных операций с учетом свойств коммутативности, ассоциативности, дистрибутивности и сформулированные в работе свойства симметрии. На этой основе ищутся решения нелинейных функциональных уравнений типа Р (хь х2,..., Хп) = 0, где - кольцевые элементы. В результате использования

отмеченных свойств уравнения линеаризуются - сводятся к системе линейных. Характерный пример - уравнение Дирака, полученное на основе линеаризации уравнения Клейна-Гордона.

Подробно рассмотрены методика линеаризации, системы уравнений, сохраняющих определенные инвариантные формы, их матричная запись, обсуждается связь развиваемого подхода с теоретико-групповым. Значительное внимание уделено приложениям. При линеаризации дифференциальных форм автоматически возникают уравнения Паули, Дирака, Максвелла, поля тяготения. Метод линеаризации также используется при решении нелинейных уравнений, применяемых в теории солитонов, и для решения диофантовых уравнений. В целом, развиваемый кольцевой подход носит достаточно общий характер и открывает новые нетривиальные области исследования. Все это говорит об актуальности данного направления.

Цель работы. Разработка методики линеаризации, использующей общие свойства теории колец, и реализация ее приложений в различных областях физики математики.

Научная новизна. Методика линеаризации на основе теории колец является новой. Ранее общие свойства колец в физике последовательно не использовались.

Метод применяется к большой совокупности нелинейных алгебраических и дифференциальных уравнений. Построены соответствующие им системы линейных уравнений, которые представлены в матричном виде, в частности через матрицы Клиффорда. Предложено их обобщение.

Для дифференциальных форм использования метода линеаризации дает известные уравнения Паули, Дирака, Максвелла, гравитационного поля, а также не использовавшиеся ранее в физике уравнения, содержащие прямоугольные матрицы.

Установлена взаимосвязь с групповым подходом и дана методика построения инвариантных уравнений.

Показана возможность использования предложенного метода линеаризации для исследования и классификации нелинейных уравнений, возникающих в теории солитонов.

Представлено решение целой совокупности диофантовых уравнений.

Практическая значимость. Создан метод линеаризации нелинейных уравнений на основе теории колец, который носит общий характер и может быть использован в целом ряде областей физики и математики. Показано его эффективность для алгебраических и дифференциальных форм. Исследован ряд уравнений, широко используемых в физике. Предложены новые инвариантные уравнения.

Достоверность результатов диссертации определяется использованием современного математического аппарата, взаимозависимостью ряда получаемых соотношений, сопоставление с известными результатами других авторов.

На защиту выносятся. Научные предложения, сформулированные в виде выводов по работе в разделе "Заключение".

Апробация работы. Результаты диссертации опубликованы в работах [1-6] и докладывались на 8-ой международной конференции по методам симметрии в физике (Дубна, 1997 год) [7], а также на семинарах ФИАН и МГУ.

Личный вклад автора. Метод линеаризации создан автором, в большинстве работ им сформулирована постановка задачи.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав и заключения. Общий объем 116 страниц. Список литературы содержит 49 наименований.

Содержание работы.

В первой главе представлены основы метода линеаризации. Сформулирована исходная система бинарных соотношений для кольца. Она может быть записана в виде

'Г(И) + :Г(М2 ) = £(М!+М2) +Ь1(МьМ2)

0)

Г(М0хГ(Мг ) = {(М1ХМ2) +Ь1(МьМ2) где £ Ьь Ь2 - функции {: ->К, Ьь ~>К, Ьь ->11;

, +, х), (II, +, х) - кольца. Принципиальный момент предложенной формы записи заключается в разделении стандартных бинарных соотношений, характерных для полей действительных и комплексных чисел и функций Ь; и Ь2, связанных со спецификой конкретных множеств.

При наложении определенных условий (свойства дистрибутивности, ассоциативности и коммутативности элементов кольца) можно получить решение для функции Г(М), то есть найти выражение элементов кольца через функции и Ь2. Показано, что функции обладают определенными свойствами симметрии (независимо от конкретных значений Ь1 и Ь2).

Эти свойства можно проиллюстрировать на конкретном примере системы

£ (ш, л) + { (к, 1) = £ (ш+к, п+1) + Мт, п; к, 1)

(2)

£(ш, п)хГ(к, 1) = :£"(тк*ап1,т1 + пк) +Ь2(т,п;к,1) где £ —» где Ъ^ - кольца целых элементов поля К и Ыт, п; к, 1) = - 2 (т к + п 1), Ь2(т, п; к, 1) = - 2 (сс+1) т п к 1 + Ь112 (1 - а2 к2) Из свойств функции 111 и Ь2 и системы (2) непосредственно следуют свойства симметрии для функции Г:

^т,п) = £(п,т) = Г (-т, п), Г (т, п) + Д к, 1) = Г (к, п) + Г (т, 1)

Г(т, п)хГ(к, 1) = ^пОх^к) Использование кольцевых и симметрических свойств, позволяет решать различные функциональные уравнения. Например, для системы (2) уравнение

Да, Ь) - 0), (4)

которое при обычном написании имеет вид а2+Ь2 = с2. Так, имеем

£ (а, Ь) = {(с, 0) =>У = ш,п, Г (ш, п) * 0, (т, п) = М, (а,Ь) = А Г(т,п)х£(а, Ь) = Дт,п)хДс,0)^(та + кпЬ,тЬ + па>+- (5) + Ь2(М, А) = Дс ш, с п)

Ь2(М, А) = 0 => (1 - к2) п2 Ь2 - 2 т п а Ь (к + 1) = 0 => V а, Ь, т, п

-2та+ пЬ (б) [к=-1 или к= --] Г (та - пЬ, тЬ + па) = Г(ст,сп)

Из равенства аргументов функция Г следует эквивалентная система линейных уравнений.

Схема линеаризации, рассмотренная здесь на конкретном примере, представлена в диссертации последовательно в общем виде.

Во второй главе развитый кольцевой метод применяется для линеаризации конкретных нелинейных форм. Рассмотрена целая совокупность уравнений вида Г(а,а2,...Ьп) = Г(ЬьЬ2,...,Ь„).

Найдены соответствующие им системы линейных уравнений, которые также выписаны в матричном виде.

Так, для уравнения й^а^) = Г(ЬЬЬ2),

где

Дт, п) + Г (к, 1) = Г(т+ к, п+1), (т, п)х£ (к, 1) = Г (т к - п 1, т 1 + п к).

(2-компонентная) система линейных уравнений в матричной форме имеет вид

(7)

соответствует

"1 0" "0 -Г "-1 0" "0 1' 1 ш,

0 1 + а, 1 0 _ + ь! 0 -1 +ь2

2 -1 0 I

= 0

Уравнению Т (а;, а2) = Г(а3, 0) или а* + а22 = а/ система:

1 0 0 -1

0 1 1 0

+ а,

0 -I

1 0

= 0

(8)

Для уравнения а!2 + а22 + а32 = а/ шшГ(аь аг, а3, 0) = Г(в4, О, О, 0) возникают матрицы Дирака.

Это для 4-х компонентной функции. В общем случае 4Ы-компонентной системы линейных уравнений, соответствующих формуле а!2 + а22 + а32 = а/ можно представить в виде (1 а' 4 = 84) .

[а! (X! + а2 а2 + а3 а3 + а) оц ] М = 0 (9)

где ос, - матрица размерности [4И х 41М], М - матрица столбца [4№1]. Полученные матрицы удовлетворяют перестановочным соотношениям для алгебр Клиффорда.

Аналогичные матричные уравнения получены для уравнения

з

+ аг + а32 + а/ + а32 = 0 (а3 = -1 а'3) и для уравнения ~ ^

1-1

(а.ч = -\ а' к). . Соответствующие матрицы а также удовлетворяют перестановочным соотношениям алгебр Клиффорда.

Наряду с квадратичными матрицами в результате линеаризации квадратичных форм могут возникать прямоугольные матрицы Р' размерности [Рх(Р-Ы)]. Они удовлетворяют соотношениям

р'* р! + рГ р« =2 5' (Ю)

где р1* - транспонированная матрица, а матрицы 5' имеют размерность [(Р-М)х(Р-М)].

+ а

Размерности прямоугольных матриц для числа слагаемых в формах, начиная с 4-х имеют значения 4x3, 7x4, 11x5. Перестановочные соотношения для матриц любого ранга удовлетворяют (10).

Таким образом, возникает набор прямоугольных матриц, близких по свойствам алгебрам Клиффорда.

В общем случае системы уравнений имеют вид

акР5т|=° (П)'

Наряду с квадратичхплми формами рассмотрены формы, содержащие слагаемые с более высокими степенями. Для публичных форм построены матричные уравнения. Если для квадратичных форм размерность матриц составляет 2П"2, то для публичных З"'2.

В общем случае для форм а!Г+а2г + ... + а„'г = 0 размерность квадратичных матриц составляет г"'2, то есть возникает обширный класс матриц, обобщающих алгебру Клиффорда.

Получены также системы линейных уравнений и их матричное представление для ряда смешанных форм.

В третьей главе рассматривается линеаризация нелинейных дифференциальных форм и ее приложения в физике. Показано, что в результате такой линеаризации возникают системы уравнений, представляющих значительный интерес с физической точки зрения, в частности уравнения Паули, Дирака, Максвелла, поля тяготения. Получены обобщения максвелловых уравнений электромагнитного поля для пустоты в общей теории относительности. Этот результат представляется существенным при анализе возможностей последовательного построения теории.

Важным качественным аспектом проведенного рассмотрения является взаимосвязь развитого аппарата теории колец с групповым подходом. Ряд рассмотренных форм соответствует инвариантам групповых преобразо-

ваши! Так, форма 2- инвариант ортогональных (и псевдоортогональных при комплексных а,) групп. И следующие из них линейные уравнения

типа а1(х'к<^>1С = 0 являются ковариантными относительно соответствующей группы. Взаимосвязь кольцевых и групповых методов представляется весьма перспективной: она открывает возможности применения новых расчетных методов в ряде групповых проблем, в частности в теории ковариантных уравнений.

Четвертая глава посвящена матричному представлению нелинейных уравнений, анализируемых с помощью метода обратной задачи теории рассеяния. Получение точных решений в этом методе основано на построении вспомогательных линейных уравнений, где переменная q (х, 1:) нелинейного уравнения играет роль параметра.

Обычно линеаризация осуществлялась нахождением Ь-А пары, где оператор С относился к спектральной задаче, оператор А определял эволюцию собственных функций у во времени, условие их совместности содержало нелинейное эволюционное уравнение, если Ь и А правильно выбраны. Модификация этого подхода заключалась в изначальном рассмотрении системы линейных уравнений первого порядка д\' . ох

(12)

ду -*=Т"¥

где V - п - мерный вектор, а X и Т-пхп матрица. Условие их совместности содержит нелинейное уравнение. X и Т можно рассматривать как матричное представление нелинейных уравнений. Переменные нелинейного уравнения входят в X и Т как параметры. Используя развиваемый в диссертации метод линеаризации позволяет исходить непосредственно

из нелинейного уравнения. Для ряда уравнений выписаны матрицы X и Т. Матричные представления и соответствующие им нелинейные уравнения разделены на два класса, соответственно комплексных и действительным переменным я (описываемых амплитудами вероятностей и вероятностями). Существенный момент здесь заключается в том, что для амплитуд вероятности справедливы теоретико-групповые характеристики. В частности, со-литоны, описываемые уравнениями этого типа, могут быть классифицированы на основе группового подхода аналогично атомным уровням, что существенно с прикладной точки зрения.

В пятой главе рассмотрено применение метода линеаризации к диофантовым уравнениям. Получено решение целого ряда нелинейных уравнений в кольце целых чисел Ъ. Приведено также матричное представление. Неожиданно здесь возникают матрицы, используемые в физике, в частности матрицы Дирака, а также прямоугольные матрицы. Приведены

общие решения для квадратичных уравнений типа ~ ДОЯ кубич-

ной формы XI3 + х23 + Хз3 + х/ =0, для уравнений типа:

Х13 + х23 + х33 - 3 XI х2 х3 = 0, 1/х1 + 1 /х2 + 1/х3 = 0,

Х14 + Х24 =Х34 + Х44 , Х15 + Х25 +Х33 + Х45 = 0,

4

4

4

(13)

а также для различных уравнений смешанного типа, например

Х13-х22 =х33-х42

XI2 + Р22 XI Х2 + Р12 XI х2 + хз3 = 0,

Таким образом, для значительной совокупности диофантовых уравнений построены соответствующие им системы линейных уравнений и получены решения в явном виде. Ввиду того, что эти системы имеют также матричную форму для ряда из них могут быть использованы и групповые методы. В целом, использование развиваемого метода линеаризации открывает новые возможности в анализе диофантовых уравнений.

Заключение

В работе получены следующие основные результаты :

1. Развит новый метод, позволяющий использовать в практических целях общие свойства колец: определяющие их бинарные соотношения, свойства ассоциативности, дистрибутивности, коммутативности, относящиеся к его элементам, и сформулированные в работе свойства симметрии. По своей сути - это метод линеаризации нелинейных форм, который, в принципе, может быть использован в самых различных областях физики и математики.

2. Проведена линеаризация копкретпых нелинейных алгебраических форм. Для нелинейных уравнений получены соответствующие им линейные системы, которые представлены также в матричной форме. Для квадратичных форм автоматически появляются матрицы Паули, Дирака, Клиффорда. Для кубичных форм возникает обобщение алгебр Клиффорда. Построены системы линейных уравпений с прямоугольными матрицами.

3. Проведена линеаризация конкретпых нелинейных дифференциальных форм. В результате такой линеаризации получаются, в частности известные уравпения Дирака, Максвелла, поля тяготения. Анализируется связь развиваемого метода с теоретико-групповым подходом.

Для нелинейных уравнений, анализируемых методом обратной задачи теории рассеяния, рассмотрены соответствующие им системы линейных уравнений первого порядка. С помощью метода линеаризации исследованы их свойства и проведена классификация. Для уравнений для амплитуд вероятности могут быть использовапы групповые характеристики.

5. Показана эффективность применения метода линеаризации для диофанто-вых уравнений. Последним ставятся в соответствие системы линейных

уравнений, которые также могут быть записаны в матричной форме. На этой основе находится бщее решение целой совокупности конкретных уравнений. С помощью матричной формулировки диофантовых уравнений для их анализа могут применяться также групповые методы.

Литература

Основные результаты опубликованы в следующих работах :

. Захеди Р.А. О прикладных аспектах теории колец. // КСФ, ФИАН №3-4, Москва, 1997.

!. Захеди Р.А. Метод линеаризации в теории колец. // КСФ, ФИАН, №5-6, Москва, 1997.

:. Захеди Р.А. О связи методов теории колец с групповым подходом. // КСФ,

ФИАН, №7-8, Москва, 1997. . Захеди Р.А. Шелепин JI.A. Матричное представление нелинейных уравнений. КСФ, ФИАН, №9-10, Москва, 1997. . Захеди Р.А. О функциях, теории чисел... Препринт ФИАН № 31. Москва, 1996.

. Захеди Р.А. Некоторые соображения о теории чисел, функций... . Препринт ФИАН №36, Москва, 1996. . Zachedi R.A. A new Method in the Theory of Rings. VIII International conference on Symmetry Methods in Physics. Dubna, Russia, 1997 (report).