Семантическое оценивание в кольцах и упорядоченных группах тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

академия НАУК ссср сибирское ОТДЕЛЕНИЕ

институт доошиии

На правах рукописи

А1П0Н0В Вячзслав Иосифович

УДК.512.552.35

СЕМАНТИЧЕСКОЕ ОЦЕНИВАНИЕ В КОЛЬЦАХ ' И УПОРЯДОЧЕНИЙ ГРУППАХ

О1.01.05 - ыатеиатичеснап логика» алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на. соискание ученой степени кандидата физико-математических наук'

Новосибирск - 1692

Ре бога выполнена в Бурятском ордена" Знак Почета" государственном педагогическом институте км. Д.Банзарова

Научный руководитель: доктор физико-математических неук

В.А.Любецкий

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук 1' В.К.Харчвнко,

кандидат физико-математических наук А.Г.Пинус .

Ведущая организация - Уральский ордена Трудового Красного Знаме

государственный университет им.' А.М.Горы

- Защита состоится "

и^й^Л 1992 г. в ча(

на заседании специализированного совета Д 002.23.01 при 11нстит; штвштаки СО РАН по адресу: 630090, Новосибирск,. 90, Универ< татский пр., .4, • . '

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики СО РАН.

Автореферат разослан " $ " . 1992 г.

Ученый секретарь специализированного ' совета Д 002.23.01

кандидат физико-математических наук {¡/Т/-^^ ~ Скосырский В.

ОЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ. Гейткнговозначннй анализ и, з частности левозначный анализ алгебраических структур представляет собой ¡ин из путей приложения методов теории моделей в алгебре, з тсу юле, .в теории колец .и групп [1-4]. Конструкция булевозначкого нзверсума первоначально разрабатывалась для решения сложных тео-зтико-множественнкх проблем, в частности, для доказательства не-1висшости-от аксиом теории множеств некоторых гипотез теории нояеств, например, континуум-гипотезы. Примеры таких розульта-ов можно найти в работах П.Вопенка, Д.Скотта, Р.Соловея, Г.Та-зутд и В.А.Любедкого. Однако в дальнейшем выяснялось, что гей-инговозначннй и булевозначный анализы могут применяться а для ■вшепт чисто алгебраических проблем, например в (б]. Булево-•начный анализ элективно использовался также в связи с пробле-Функционального анализа, например в [б,?}» ГеЙтинговознач-шй и булевозначный анализ применялся таете.для решения чнсто югическях проблем теории доказательств и теория, моделей, например в [з,8-ю]. Метод ортогональной полноты позволил получить ряд важных алгебраических результатов [п,12] ; он но использует понятие оценки и булеЕОзлачного, гейтингзвозиачного универсума - ключевое понятие гейтинговоэначного анализа. Для алгебраических структур метод гс-итпяговозначкоЕо анализа о"Кект;:ьен, ее.:;: удаотся построить такой еодеркателькый пучок на подпой те'А-тинговок (яли булевой^ алгебре. , что К~^пучок чазызается представляющая систему К ) . В этой связи заген попрсс о наличии такого пучка . Пржера таких пучков уонно пхЧти в работах Р.Лирса, Ц.Хаймела, 1.^аунса, К.Гз^лакз, Э.Бсрсс,

X. Сименса, Ван ден Еоша; однако, все зги пучки заданы на поли гейткнгавых алгебрах-топологиях Т некоторых топологических пространств, связанных с исходной системой А . Такому пучку -соответствует следующая оценка , определенная ка иножест:

всех ?«рмул уС*,,-.,*:*) с параметрами а' . А именно

= = ^^/-и аналогично для друга: атомарных Формул; и £<!>*?! = I[3*г3

^с /С ] у, аналогично для других связок. Эта оценка зажну только относительно интуиционистской выводимости ' (это означав если £у]}^ = 1 и ¥ щтуициониски выводима из <р , то / ^ = 1 Поэтому особый интерес представляют пучки ¿0) , определенные н полных булевых алгебрах & Б этом случае мы имеем: если Г - / е р выводима из у , то - ^ • эта оценка

залжнута относительно классической выводимости. Оценка £• 2 определенная в 'связи с алгебраической системой К , называется еше семантическим оцениванием в алгебраической системе К . В диссертации строятся пучки ?(■) , представляющие ^-группы, 4 кольца и ассоциативные кольца и определенные ка полных булевых алгебрах В- , связанных с исходной алгебраической системой. 1!з чаются семантическое оценивание ^оценки) , определенны

с помощью этих лучков . На этой основе изучаются хорновы я другие теории разных классов /-групп и ^-колец, а также -хзрновы л другие теории классов ассоциативных колец с е нкцей. В этих, направлениях раннее для ассоциативных колец 6шт получены результата 3.кЛябеихш [3,8-10,13,14] ч

ЦЕЛЬ РАГОТЫ состоит в изучении семантических оцениваний £ £ -группах, ^-кольцах и ассоциативных кольцах и сравнении зге новых а ¿япзказ к шштеорий ряда классов -упомянутых систем.

С).11ЛЯ :.ЗГ0Д::7{Л :'ССДЭДОВАГС$. 3 работе используется методы :1"г:'.т:го203!'счдого :: булэзззлачного аиа-ша. ,

":ЛГПГЛЯ ПОХСНЛ. 3 диссертации палучени елодухгллс оскозгаге

v^vv-rrH:

I. .'ipcrposr; пучо;: на пил л:: Л судозо»; алгебре, представляем ора'ололную Ь -грушу л установлено совпадение хорновых тсо -

н-лыв £ -група следующих пар хлписов t-гругш: a; .>pTom>.itoio• иросктизнке t'-rpyrniu п .yi;oс:-:до ч_ ч5п:й

■уш/н;

б) ертополвко квглфзгулярнно ^-грутип; £-преетке лн'н: 'Орядоче.члко группы.

л, Установлен;) совпадение -хорновш: гсопяз а .чзгк-э С-;;упп следующих nap классов £ -групп:

а) яроеадзшнве £-группы-и линейно упорядочаш&к? группы ; d) кзазкрегулириыс £-группы я £ -простые лпке^.на угголядо-энниа группы.

- 3. Установлено совпадение хорпошх теорий а яшгка ¿'-колец ледуюяих пар классов £ -кслзцг- ' -

а) ортогошше проективные ^ -кольца л лппэйно упорядочение кольца;

61 ортополшц квазкрогулярные - -кольца я € -прпс-п;с л;:~ ейно упорядоченные кольца.

л) ортополше яроект'ввяив f -кольца без нильпотентних элв-ент:>л ;; л.;;!ол1'о упорядоченных колец без делителя нуля, "г; лучена .теорема о переносе в .язнкэ if-itoaeu. 6. Установлено совладение

Ai

—хоряоаых теорий з язккз колец ;лодуздих пар классов колец с единицей:

а) строго гариоьстеские нормальные кольца а яокальннг

кольца- ;

б) р -кольца и простое поле характеристики f .

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. Работа кослт теор< тическхй характер. Её метода к результаты могут быть иепслъго: з дальнейшее исследованиях по гейгингозозначному £;:ал;;лу л. су; позначному анализу алгебраических структур.

АПРОБАЦИЯ РА10ТЫ. Результаты дассергациа докладывались ?.•. Международна конференциях по.алгебре ("Новосибирск - 19Е£т., ■ Барнаул - 1991г.) , на Всесоюзной конференции' яо л<£тэл;£т::ч=с:с£ »логике (Алма-Ата - 1990г.-), на II Всесоюзном симпозиуме по тес групп (','сскза - 1984г.') , Н2 17 Всесоюзно?.! сед,злн£р& по нестак; ному анализу (Саратов - ISSIr.) , на 12 Конференции иолода: у* кых Университета дружбы народов (¡.!осква - 1986г.) , на I z .II Конференции молодых ученых Сибири и Дальнего Востока (Hobcczüí - 1987,1988г. ) , на У-школе молодых математиков C;:dnp;i и £алы Востока (Новосибирск - 1950г., на семинарах по алгебре л лсл МГЛУ им.В.И.Ленина. .

ПУБЛИКАЦИИ. Основные результаты диссертации опубликованы двенадцати работах [16-27].

СТРУКТУРА И ОБЪЕМ ДИССЕРТАЦИИ.'Диссертация содержат 120 страниц машинописного текста. Содер.?.иг введение, три главц, 2 раграйов г списка литературы из 54 наименовании.

СОДЕРЖАНИЕ РАЕ07Н.

Зс введении обосновывается актуальность темы д::ссертацго:-ногс исследования и описываются результаты, полученные з диссертации. -Символ означает "равно по определению" или "з;:г: валентно по определению"".

ша I. В 5 I даптся определения понятий, используемых б дис-зтацик и разъясняются 'обозначения. Они касаются, во-первых, отческих атрибутов булевозначного анализа, и , во-вторых, зминологии в.обозначений теории решеточно упорядоченных групп £ -групп) .

Пусть С -любая ^-группа. Обозначим &СС) множество всех ее юлняеи^х /-идеалов. Это кногество является булевой алгеб-! относзтельно операций: ^ Л1*" ^ г А^ ^ + 1

Л/ т? // с наибольшим элементом ^ (£ -группа С ) к меньшим элементом (нулевой /-идеал) , где /Г1^ {-хеСI УяеА? } . Здесь и далее буква А1 с индек-

й пли без ют обозначает произвольный элемент из д(С) .

/-Группу С назовем В - группой, если буяева алгебра В(С) 5яется полной., £- Группа (Сказывается ортополной, если су-:твует € Iдля любого ортогонального ынояеет-

// волокателькых элементов (т ¿- Груша С казызает-проектизкой, если выполняется ДОЯ всех ,

3 {х* £//х1лу1=о} а . /-Группа ^

зивается квазпрегудярной, если выполняется & - ^^ и

Ао для всех , где - главный £ -

гад, порожденный зяекентсм С .

Лля любой £ -группы определяется предцучок ■?(-) на тезой ачгебре В(£) . А. именно, -^//Р1) ; если Ж « //> , вп всех , где = ,

е/// 2. • Этот; предпучок назовем

зовзческаз .црэдщгчгом.

Теорекн I. Пусть С лвбая ортополная 5- группа. Тогда ::а-звчёсюй предпучок , представдяшиУ• (г . является пучком*

т полной булевой алгебре

Здесь приводится один класс оргоишшых & - групп, а киекно - класс ортоноднше проективных I- групп. Пример I показывает, что класс ортошшшх Ь - грузш не исчерпывается орто-полнкмн проектйвкш,;и £ - группам;!.

В § 2 для.любой ортополной: группы С определяется стобрагение , где. Я(£) ~ множество всех предло

¡¡гений в языке 6 - груш с мнокестиои ■ (г в' качестве шояеетьа параметров. Это'Стобранение называемся 5 - оценкой к обозпзла ется | ^ . ..Дщ атомарного предложения оце1жа опро

деляетея'скедувда образом:' I£-¿3 ^ {//€ &С£) {

" •. Затек вто отображение продолжается на все- мнодест

Я(С) обычным образои.:'!?*^!^ £«^л £ ^ • » | I ъ

{ | :и аналогично для. везх других пропозпщг оьглътгх связок е гшакгора V . • Оцегсга I' 3 ^ »зккнуга. »унслд-тгдьис классической.зшводзщосгн'в теория С - грум;.. т.е. >лшвл пхагся : со~дспвыг, = для всех классических агссвом п во-вторых:, если -5 д. к = , а получайте-

г.г С , Ц' ло одному вз правгл вывода, то Е»^«^ . Лоз?сг.-' если 1- $ , то е =-1г, > где Ь обозначает кспесктеоктг-; 2:я50дки0е?& ' С в нйксаорой водразуг'еваем??. георзи") ,

. Теорий* Бусгь £г ортсполтга.': Ь, - грудка. Т^г-а с.1: слздугц;-:--' :

4* дроекта2«£л' Я'рупда гогда а только тогда, пегхд | С днкоМко улорлдочэнпак гйушха|:= "»р , где ^ • насба-ьш« слег,-зн? булесай. адхабк;

6} (;* кзазграхтд'яризя • I- группа тогда к только тогдо,' когда !! 0. С- простая усорядочзккая группа 1 = . где

ольший элемент булевой алгебры МЙ.

Следствие. Хорновы теории в языке I - групп следующих пар сов £ - групп совпадают:

а) ортополных проективных I- групп и линейно упорядоче-: групп;

б1) ортополных квазирегулярных I - групп и простых .та-ео упорядоченных групп.

В 5 3 для произвольной I - группы С определяется отобра-зе Я(Й -Г , где - множество всех предложении з лзн-V - групп с множеством С в качестве множества параметров и )- решетка открытых множеств стоунова пространства эбры Ь(С?). Это отображение называется - о цепко Л обозначая £■]]-■ , Для атомарного предложения оценка определяется дующим образом:

(I) , т*е<хиЫ?*т)и14?1.

ем ото отображение продолжается на все множество Я(£\ обычньи азом. Опенка !Е-1Т замкнута только относительно ингупцпоняст-

Г; выводимости в теории Ь - .'групп, т.е. выполняется: по-иерэых

Ц^гН^ для всех интуиционистских аксиом у ; я, во-вторых,

:и ¡Г'т'Д-^ и К '{'И^ 1Т , а "V получается из ^ , ^ по однсгту

правил вывода, то И^ЬИу. Поэтому: если «Л v- ^ , ю в'Зу,

! 1'Л 'г обозначает интуиционистскую выводимость С в некоторой

■ разуме ваег.'п!1, теор;:г.О .

I - Группа С называете? нормальной, если выполняется У где V// ( ^ *//.).

Буду? полезны некоторые классы Формул. Позитивными назнза-;я Формулы, не содерхаиие связка«^ (.я» развеется, спязк~ "О . : - "ормулоЗ называется формула в предваренной $орм« с пре-^гх-.! Хорновой называется *«рмуда, получе'-кал

навешиванием связок V , 3 , л на формулы вида ^а.-.л ^ , где и «ц ,, ^, ^ - атомарные формулы.

Для любого через р обозначим наименьший с - идеал,

содержащий все N из р . Тогда р = т.е. р собственный I - идеал. Обозначим (т^ ^/р , где

Группа называется, локализацией & в точке р из' М&). Локализации ( в разных точках V образуют семейство С- групп I \ » которое записываем короче {Ср \ . Будем писать

вместо £1=*^ , а£<Рс.|-= "15 вместо -

Теорема 4. а) Для !Г- значной оценки в категории С - групп (т.е. для оценки, определяемой формулой (I) и вычисляемой в-топологии 2 ) выполняются утверждения, показанные на следующей диаграмме: Я^ г" й -*г_15"

б) если 6- группа Анормальная, то для любой формулы в предваренной■нормальной форме выполняется и для любой А£- формулы выполняется ({£?$.

Теорема 5. Пусть^ ¿- группа. Тогда выполняются следующие:

а) С является проективной Е- группой тогда и только тогда, когда С нормальная 6- группа и [ ¿Гдякейно упорядоченная группа^ 1Т , где 1Т- наибольший элемент ?(£);

б) С является хвазирегулярной £ - группой тогда :: только тогда когда С нормальная В- группа иiC■ простая линейно упорядоченная группа^- /г , где - наибольший элемент

Следствие I.

- хорновы теории в языке групп следующих пар'классов груш совпадают:

а) проективные ¿- группы и линейно упорядоченные группы;

б) квазирегулярные группы и С - простые линейно упорядоченные группы.

Следствие 2. (- Группа Сявляется проективной £- группой тогда и только тогда, когда С нормальная /- группа и линейно упорядоченная группа для любого /> е .

Глава II. В § I даются определения понятий и терминологий, а также обозначений из теории решеточно упорядоченных колец

колец )

Пусть А - любое кольцо.. Обозначим множество зсех его прямых факторов. Это множество является булевой алгеброй • относительно операций: Р, Л ~ Р, " , Р<* ,пР*РЛ

с наибольшим элементом ^ кольцо Л) л наименьшим элементом £) ¿"нулевой /- идеал) , где РХ - наибольший (?- идеал такой, что РлР . Здесь и далее буква Р с индексом или без них обозначает произвольный элемент из вт.

£- Кольцо А назовем Ь~ кольцом, если булева алгебра является полной. I- Кольцо А называется ортополныы, если существует ¿ф/ибАдля любого ортогонального множества М положительных элементов А . £?- Кольцо Л называется проективным, если выполняется + для всех леА ,'где -наиболыаий 2- идеал такой, что (а>паи=о ( (а>~ главный Е- идеал, порожденный элементом о.с- А ) и ('аи) л .

Кольпо А называется квазирегулярным, если выполняется А ~ <"«> а 1 для всех с.еА. 6- Кольцо А называется ^ - кольцам, если выполняется (А р , где

<?> * ¥¿,¿,2 ((ХЛ^О) А ^

Ллл любого Р- кольца А определяется предпучок &(•) на бу-яеиоП алгебре &(А). А именно, Ш) = Р ; если Р, * РЛ , то ДЧ^З № для всех , где = ^Ы+^М , Р%ШР, и

Этот предпучок назовем каноническим.

Теорема 6. Пусть А любое ортополное 6- кольцо. Тогда канонический дредпучок ..представляющий А , является пучк( на полной булевой алгебре

Здесь приводится один класс ортополных Ь - колец,- а именно - класс ортополных проективных {■ - колец. Пример 2 показыв; что класс ортополных В - колец' не исчерпывается ортополншш п. ективными { - кольцами,, даае в классе f - колец.

, Б. § 2 для любого ортодолиого Е>- кольца А определяете отображение Я{А) —, где ЯГА)- множество всех предлож шй в языке колец е.множеством.А в качестве, множества пар метров. Это отображение называется Ь- оценкой и обозначается . Для атомарного предложения, (1-1 оценка определяете, следующим образом: Ел» У{ Р е ВДО | РС«Л = } .

Если я. , I - полиномы,, то они заменяются на их значения, внчи ленные в £ - кольце А .Затеи это отображение продолжается все множество ЯГА) обычным образом. Оценка замкнута относ

тельно классической выводимости в теории С - колец.

Теорема 7. Пусть А любое ортополное 5- кольцо. Тогда вы полняются следующие:

а) А ироетивное ^- кольцо тогда и. только тогда, когда £ Д линейное упорядоченное кольцо 1=. тае наибольший влемент булевой.алгебры

ьм.

^ б1 А квазирегулярное кольцо тогда и только тогда, когда { А простое линейно упорядоченное Кольцов =-1а , .где наибольший элемент булевой, алгебры

в4) А проективное ^- кольцо без нильпотенгшре элементоз тог да и только тогда, когда | А линейно упорядоченное кольцо бе делителей нуля Л - , где ^ наибольший элемент

6 (А) .

-т 13 -

Следствия. Хорнозы теории в языке Е - колец следующих пар классов С - колец совпадают : '

а-) ортополных проективных f- колец и линейно упорядоченных колец ;

б) ортополных квазирегулярннх f - колец и простых линейно упорядоченных колец ;

в) ортополных проективных / - колец без нильпотентных элементов -и линейно упорядоченных колец без делителей нуля.

В § 3 для произвольного <?- кольца А определяется отображение ЭД- где МУ- множество всех предложений в языке с- колец с множеством /4 э качестве множества параметров и репет-ка открытых множеств стоуноЕа пространства /('А) булевой алгебры В(Л\ Это отображение называется 3" - оценкой и обозначается Е- 1г. Для атомарного предложения оценка определяется следующим образом':' , .

(2) ™ Затем это отображение продолжается на все множество обычным образом. Оценка Е- 1Г зшлкнута только относительно интуиционистской■ выводимости в теории £ - колец.

£ - Кольцо к называется нормальным, если выполняется где У*.ЗКV?= с 4*>-В**.) .

Теорема 8. Пусть А ¿"- кольцо.. Тогда выполняются следуюцке:

г?) Д проективное ^ - кольцо тогда и только тогда, когда $ является нормальным £ - кольцом и / линейно упорядоченное кольцо ^ , где V - наибольший элемент, решетки

лак

б) Л квазирегулярное ^ - кольцо тогда;и только тогда, когда // является нормальным £ - кольцом и [А /- простое линейно упорядоченное кольцо , где Уу - наибольший'элемент ре- .. иетки УУЙ), •

в) /1 проективное - кольцо без ■ нильпотентных элементов

тогда и только тогда, когда А является" нормальным £ - кольцол и [ А линейно упорядоченное кольцо без делителей нуля Л^- , где /д. - наибольший элемент решетки. 700.

В теореме 9 получена диаграмма ( для Г - злачной оценки б категории колец, определенной формулой (2) и выполняемой в топологии Т) , подобная к диаграмме теоремы 4.

Следствие I. а) ¿- Кольцо /I является проективным ^ - кольцом тогда и только тогда, когда А нормальное и А ^ линейно упор; дочевкое кольцо для любого

б) [ - Кольцо А. является проективным ^ - кольцом без ши потенткых.элементов тогда и только тогда, когда А норма^тное и

Аг линейно упорядоченное кольцо без делителей нуля для любого /е№.

Следствие 2. АЕ - хорновы теории в языке колец следующих пар классов ¿.~- колец совпадают: -

а} проективных { - колец и линейно упорядоченных колец;

СГ) квазирегулярных у- колец и Е- простых линейно упорядоченных колец ;

в) проективных ^ - колец,без иильпотенгилх элементов п линейно упорядоченных.колец без делителя нуля.

Пусть f{>гiJ...:la*.) любая формула в дизъюнктивной' нормально*. ::орме в языке колец с множеством А в качестве множества параметров и . Определяется .следующий перевод формул . * . , где ?'Гви .. «г,, ^ ) получается из ^ переносом кванторной поиставки, тлеющейся в а затем приписыванием Л ) / - - - * Ь - ^(Ъ) Ар й ^ ) и .. . )■ ( где индекс 5 простегает число дизъюнктивных членов в ^ , ^-¿г первое равенство, а г. V'- первое неравенство в первом дизъюнктивном члене б '{' .

Теорема 10. Пусть (f любая Формула в дизъюнктивной нормаль-5орме.

а) Для любого Р - кольца А и любого элемента Р€ Ш)т-.яется ( i (A* f С Р)).

б) Для любого ортополного Ь - кольца А и любого эле:.:ен-N 5(A) выполняется ( > f) <t=> (A * ft*., /> ) .

Заштим, что перевод P) '"ормулы f(&) является горму-в языке £ - колец второго порядка, хотя cava формула ffa) яв-гся Формулой в языке Р - колец первого порядка. Поэтому, кэ-гльно указать класс и Р - колец, у которых перевод р'(а,Р) явля-г формулой в язикз £ - коЛец первого порядка. Здесь приводится л такой класс, а пкепно, класс f - колец с единицей.

Пусть A f- кольцо с единицей. Обозначим через Si/fmosec-зентральных иде'мпотентов А . Тогда любой прямой фактор -f -ьца с единицей имеет вид с А** (¿а.]аеА } , где ;ь и далее буква е индексом пли без них обозначает произволь-элемент из Л А .

Пусть fC<ttl...любая Формула в предваренной дизъвнктив-Г1орме и А , то ffbh..-t<rKl<) получается из f переносом

чторной приставки, имеющейся в f , а затем приписыванием

Cj W V«. 3i0 ((e,) A <ел A - •A(p 3 P

(<V«, = e,.i,^ a . .. л ((ci = e.V f«.--i. -i.O л (>. «л = M fi, *i-erf)* ... ) , где индекс S пробегает число дизъюнктивных

чо в a f , а в, я/, - первое равенство, a j €х - первое не-гнетю в первом дизъюнктивном члене в f . Заметим, что f' гда хорнова ^рмула.

Теорема ю'. Пусть j4 любое £ - кольцо с единицей и if любая ¿ула в языке колец в дизъюнктивной нормальной *орме.

а) Для любого элемента ееЯА

выполняется

* ОС* А)) (А * 9 '(а, с А)).

б) Для любого ортриолного & - кольца Л и любого элемента ее&Д выполняется ( В^аМ^еА^ { А *= Т'Га.еА^ .

Глава Ш. В § I даются определения понятий и терминологий, а такке обозначении аз теории ассоциативных колец с единицей. Пусть К - любое ассоциативное кольцо с единицей и МЮ множество ' всех его центральных здемпотентов. ГЛнокество 4/Мявляется булевой алгебройотн.осптельнэ операций: ¿Vл** ^ е1 45 с наибольшим, элементом /'(единица ко'льца) и наименьший элементом О (нуль кольца") . Здесь и далее буква е с индексами или без них обозначает произвольный элемент из ВС/К).

Двусторонний идеал 1 кольца К называется правым чистым идеалом., если / ). з дальнейшем правый чистый,

идеал будем просто"называть чистым идеалом. Чистый .идеал 7 -кольца К называется первично чистым, если для любах двух .чистых идеалов кольца К выполняется

Обозначим р(К) множество чистых идеалов кольца К и множество первично чистых идеалов кольца К . 3 множестве определи;.! топологию

где {7^X00¡14[15]

Для любого ассоциативного кольца с единицей определяется отображение где Я{К) - множество всех предложений

2 языке колец с множеством К в качестве множества параметров. Зто отображение называется 3" - сценкой :г обозначаете" 2 . Хдя атомарного предлогенш оценка определяется спедуигда эбиг-

зо?,;: (З4) II к---и у и { 0(1) I Л =0 .

Затем это отображение продолжается на все множество Я(К\ обкчным образом. Оценка замкнута -только относительно интуиционистской- выводимости б теории колеи.

Кольцо {ч называется нормальным, если выполняется ('К ^^Л

■л \ I \ I / ■ и

т,^ V к.V« * ¿гЛ .' Кольцо |ч с едпнлцсй наэсвглг

игрого г^рг-онлческга, спхз для лпбгсс двух неразгоас нйксздплыпэс

иг'й'гл" Л"-?.':;;ов , ЛЬ сузгстсуе? элемент е «з !)(к), рпздол.''~ цк,т.е. ес-г!., я г ^ ДО,..' К пазигается бврзгулярккм,

-сл1г д:лг"".>г'.:л.:1::' гд^л Еудглясгся кражи с;:нгле:-:к\:. Ко.:;

со .4 иа:1:.;^ о тс:: Жс.-^:);) р:'гул.:!р:!!1ч, есдл его

питчетс.? ц.-ктрл-г-.ккч ^поляг.отся ^ , где Ух ^((¿{к--1/

II. Пусть К зссои;:ат;:гг:пе ;-седыю с .

а) еелл .4 сгрг) гдрлонячеекоо :срлт.г.э, тз^'Д локаяз-чп--' • г гпысжл Сулогкч г-ру^ржстисг.

(Л л -М'рз^ляркоо колкцо тогда л только тогда, ног.,,.ч ;-.••:.". г.-- :• Д лрзстсо кольцо " Л 'л )

/V .а£ллзго рзгул.чр;оо ::олщо тогда и только тогхч Да Л НОГ^ЯЛЬН;^ ХО^ЬЦО'Л,/ /\ > и /п'Обуду.-г

г:раотъс--:г -

Б голу^те;-:;! ' { для - •.

^и^-от'схлл чол.-лт, (Г<) л «учке.'/лег..—

;;о:-оо:'лп :•: А.

;Л* - : "'.•••: г:' " • /лллц слг.'Д/:л". • г

27: - с '-'; :

г^тул-тп^х л ":?л;

■*'; I1- :• з прсс;т;'Го ¿.г-л.-: Д .

Г: ":о;п;ца и 5 - пу;т:.

Л :' колыо с елгог'га его .

- -JS-

"«'■} на булгво£ алгебре ôfô)^ А именно, ; если

т: для всех хее^К ~ Этот тшедпучок называется

хронически!: лредпучко:.;.

Кольцо Л' называется i§ - кольцом, если булева алгебра Ä'X) «¿.^¿erss пэлноё. Кольцо /Г называется пучковым, если оно Ô - ксл:-г г-ангнсчесхзгй предпучок ^ аа -Âîf)является пучкоы. .

•Лля лсбого пучкового хольпа X определяется отображение где Я (К)- tr^oseccED :всех предложений в языке колец е иночеством Л в качестве множества .параметров. Это отображение называется В оценкой и обозначается . Для атомарного предложения оценка определяется следующим образрыГ£*=^^ ^ V{eeßiK)fex=ei}. Zùjx — зишжоиы, то они заменяю^д на их значения, вычисленные в кольце К .. .Затем это отображение продол-хается на все кнокество обычнык образец. Оценка f-J^ замкнуть относительно классической выводимости в теории колец.

Теореиа 13.'Вусгь К зюдупервичное рационально' полное кольцо. Тогда Лнучковое кольцо z Г /Î первичное кольцоJ ~ / . - ^

Еласс лучковых колец :ве исчерпывается класс о:.: полуперзнчкь'х рациональво полных колец, даже з классе кои:.тут£тпвкых полуперзич-гкз: колец. А "именно, здесь згринадятся два прляера коммутативного ЦЕлуперБпчного пучкового кольца, ^которые не являются рационально голекьпз. Бсэтоьту яыаывает .интерес в.каких классах колец совпаду-понятие цучЕОВости в рациональной лшлноты.

Пресыщение 2. Пусть ¡К ;аб£Лавс ^регулярное .кольцо. Тогда ^слздуЕже условия аквивалентны.: XV ;пункэ-з кольцо; 2) panse— вальео голнэе гольда. : 1

хитгт ¿ÎJÎi -

_ та —

. Лкбецкий H.A. Некоторые приггеяеяпн теории топосоз к ззученпа алгебраических систем// Дяснсон Т.П. Теория<?опосоз.-М.: Hayr-, 1986.- С.376-433. . ДюбецкпЗ Б.А. Оценки я пучки / Ин-т проблем яерелачгг лн

CT AK СССР.- Препр.- :,?.,I9S8.- С.£4. . .Т-сбешаЗ З.А. Осэнки я пучки. О некоторых вопросах

тногс анализа // 7:51.-1389.- Т.44, вьпт.1 263 - С.93-"2, . Чулан H.A. О проблеме 18 из кнггп Г/зерла " ??гу—гзлг:^. Jon Неймана // Сяб.улт.зуркал.- 125Г.- Т.Г.- -9.131-19". ОгЛ&А. М. сЬ&л^сцА.'агг. typ* X AVi - -«></

: ¿f. Кл££. /Щ * ,-/r

'. Мусраэв А.Г. С некоторых катагсрилх п т7:-зтора;-; бул .-Езлпза // ~\Н ССС?.- 1903.- Т.271, .'3 Г.- C.9SI-9S;. . Люй?ск28 В.Л. "эделзкая пслкст*! теорзп :: сцз-сл Т-Г--У'--Алгебра и логика.- Нозоспбпрск, I99C.- Т.99.- ".13-93. Лхбепкяй З.А. ¡Тятуяцконястская тэорзя алг;браэтэс:с;;д с«сг2» нэстандартный анализ.- Алгебра и логика.- Когоспбпсгп:, I~9t. 3.- С.320-332. "" ■

9. .Тгбепкий З.А. Переход "от зыподгязстз з кдгсслческзД теории млззмста к гнвэдамоста з знту^пгонистс:-:с2 г-зсрпп гтггёсгз -г: языка келен.- Алгебра и логика.- Новосибирск, Г99Т, '* Егйдзр"A.B. Сртогзнплькая полнота алг-брглчгс-

„.,„„,,,,„, 'f -rrj _ тм= » яп Г _ " ---:

первичные идеалы // Труда сэмакара ги. 'Д.Г.Зетрззсязг: 1Т7.-

^-Сп.— O.—wf— iit>t •

9. ЛюбэЙкиЛ З.А. Алгабрапческпз аспзкгз нестандартного - 'J., 1933,- Две. Ь^ГШ, 3 9241-83. ' .

1. Лгбесклй З.А. Пучка на гейтипгсзсЗ: алгобр«: случаи

15 F, SiM^ H- ^ f, ЛуЛ-л A.&U-*..

РАБОТЫ АВТОРА IÎO ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ ' -

Антонов 3.11. Еормалънио кольца и булевоЗ}?г.чнн:'< ЗШ1ТИ» 1983, Я 3467-83,- С.13. ;7\ Антонов В.И. Гейтинг.овозначшо-опенки в пирСовокш:

колец // Деп. ВИНИТИ, 1934, JS 1524-84.- С.15. То, Лнтовов В.И. Бэровские модули в ■гейтинговозначных моделях. // Тезисы докладов IX Всесоюзного симпозиума по теории тру.'ч;. - Ы., 1984.- С.170. •

■ 19. Антонов В.И." Локальное кольцо - внутренний объект для колки.

1'елъ£анда // Деп. ВЕВЯИ, 1985, !t 1096-85.- С.12. '¿0. Антонов 3.1!. Представление колец в гейтинговозпачноы универсум теории множеств // ?«атершлы IX конференции молодых уч> икх Уидворовзота дру;аЗи народов.- И., 15-19 anp.ISSC, 4.1,~ С.67-70.

ГД. Ав-ждав 3.ÏÏ. Ассэщшивше кольца и гейтанговозкачный тниьар« // Труда конвенции ы&лодах ученых Сибири и Дальнего Восток;

- Новосибирск, 1287.- С.5-8.

22. Антонов S.K. Решеточно упорядоченные кольца и геЗетшговстач-кад укпЕзреугй // Труди II к»^ерв!шиа лсолодых ученых Свбврв :î Дальнего Востока,- Новосибирск, X9S8С.26-28. "3. Aiitoî\"b j.::. Гулезозиачнне оценки в канонических пучках, стаьляот'лх ортополные кольца // Деп.З'"5™!!, Li-:"?, '■'.'.)-

- В8С„- C.L.8. ■

24. Антонов З.Х. Ортополные à - группы и булевы оценки // Труды ; аколы молодых математиков Сибири и Дальнего Востока.- Новосибирск, • 1990.- С.3-5.

25. Антонов В.'!. Ортополные проективные £ - группы к«: линейно

- гг -

упорядоченные группы з. булевозначных моделях теории множеств // Тезисы докладов I Всесоюзной конференции по математической логике,- Алгла-Ата, 1990.- С.5.

Антонов З.К. Теорема переноса для £- колец // 17 Всесоюзны!! семинар по,нестандартному анализу // Тезисы докладов.- I99I--С.48. _ '

Антонов В.И. О проективных j - кольцах // Международная конференция по алгебре, посвященная памяти А.И.Ширшова. Тезисы докладов по теории колец и модулей.- Новосибирск, 1991,- С.6.