Методы анализа несобственных задач математического программирования тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

Введение

ГЛАВА I. Симметрическая аппроксимация несобственных задач линейного программирования

1. Вспомогательные результаты

2. Условия локального минимума

3. Анализ задачи аппроксимации

ГЛАВА 2. Аппроксимация несовместных систем линейных уравнений и неравенств

4. Методы аппроксимации, использующие евклидову норму

5. Методы, использующие другие виды функции качества аппроксимации

ГЛАВА 3. Анализ линейных моделей с интервально заданной информацией

6. Постановка задачи

7. Системы неравенств и уравнений SO

8. Задачи линейного программирования

ГЛАВА 4. Линейная коррекция выпукло-вогнутых минимаксных задач

9. Постановка задачи и вспомогательные результаты

10. Методы линейной коррекции

11. Аппроксимация несобственных задач выпуклого программирования

С: Lbf{lt*)\ ^'[^M^Gc^^acfQ] - cL (O.I) выпишем двойственную в следующем виде:

Р {%(■")' ueR* = ос* . (0.2)

Выше Q - выпуклое множество из h. -мерного евклидова пространства A* j -fj (ас) ( j= 0,1, .7 иа) - выпуклые функции, определенные на Q , О. = Р" 5 tfo (х) + (и, (ос.)} - функция Лагранжа задачи

0.1).

Среди важнейших свойств задач математического программирования (МП) такие: разрешимость или неразрешимость, конечность или бесконечность оптимального значения задачи, выполнимость или невыполнимость равенства cL - oL* . Задачи МП, для которых не выполняется свойство одновременной разрешимости прямой и двойственной задачи и совпадения их оптимальных значений, называются несобственными [зз]. Например, задача (0.1) будет несобственной, если выполняется по крайней мере одно из условий:

М = о£ , Х6 М] = J2T ,

И* = { W. : 3. (u]- cL* oio, U6 M*j = 0y at ф oL* ^ где м , м- допустимые, а м , м - оптимальные множества соответственно прямой и двойственной задач.

Систематические исследования несобственных задач математического программирования были начаты в работах И.И.Еремина, В.Д.Мазурова [23, 26, зз]. В этих и последующих работах [24, 27] подробно обсуждены причины (как практического, так и теоретического характера) возникновения несобственных задач, вызывающие необходимость развития и обоснования методов их анализа и коррекции .

В ситуации несобственности задачи требуется иной подход к формулировке как принципа двойственности, так и соответствующих ему теорем двойственности. Разработка данного подхода была осуществлена в работах [23, 24, 27].

В исследовании несобственных задач большое развитие получила идея аппроксимации (оптимальной коррекции) [24, 26, 27, зз], когда исходная несобственная задача £ (и вместе с ней двойг * ственная к ней задача L ) погружаются в некоторое семейство задач о, x6Q }, зависящих от параметра у £ R . При этом /j[ye] С^)5 s (х) 7 j - 1 .} м. при некотором £ , т.е. задачи С(%) и С совпадают. Задача аппроксимации записывается в виде ut/ {Ф (уЬ у £ К^ j , (0.3) где Я"5 - функция, оценивающая качество аппроксимации (чем меньшеСР(у) , тем более подходящим для нас является выбор задачи ч) облаДает свойством (У ^ 7

О~ - то или иное свойство задачи С (у) (быть разрешимой, собственной и т.д.). Такой подход еще носит название непрерывной аппроксимации в отличие от дискретной, когда, например, обобщенное решение несовместной системы неравенств оптимальным образом выбирается на множестве ее комитетов [27, 31-33"].

В [2, 27, зз] исследовались полусобственные задачи выпуклого программирования, т.е. такие, для которых М Ф pf , М ^ Ф 0 , но не выполняется по крайней мере одно из условий:

Цель диссертационной работы состоит в разработке новых методов анализа и коррекции несобственных задач МП, несовместных систем линейных уравнений и неравенств, а также линейных моделей с неточно заданной информацией.

Остановимся более подробно на содержании диссертационной работы.

Первая глава посвящена анализу и аппроксимации несобственных задач линейного программирования (ЛП). По-видимому, впервые аппроксимация несобственных задач ЛП рассматривалась в [26^, где исходной несобственной задаче ЛП и двойственной к ней, т.е.

L : max | [с^х) ; А х > О ] ;

L* ; yylLyl { (4, и): АТи > с , (Л ^ о j ОС £ С € 4 € А = [«Ус^т^ставятся в соответствие задачи

LСрл)' (c+a xV. Ax^^p.ivo } ,

1 ^ ) 7 (О Л) tvun { + ^ ,u>0 ], зависящие от параметров fy 6 К , p^ к . Задача аппроксимации рассматривается в виде (0.3), где рлЖГ" задача - собственная j = (1рА]' ^дача L ( ?Л) -собственная .

В такая аппроксимация была названа симметрической. Методы решения задачи (0.3) разрабатывались в [24, 26, 27, 33, 39] , причем наибольшее развитие здесь получили методы, названные методами итеративной аппроксимации, при которых в едином итерационном процессе отыскиваются одновременно [ р, ^ ] " решение задачи (0.3) и X решение задачи L » аппроксимирующей исходную.

Рассматриваемый в главе I подход к аппроксимации отличается от только что описанного тем, что наряду с векторами и С допускаются коррекции также и матрицы Д , т.е. коррекции могут подвергаться все параметры (коэффициенты) задачи L . Задачам L и L ставятся в соответствие задачи

•J^* т*

L (к^,^): гуЫП { + (A-v Н)а > e + ci , 7 в которых Н - L Kjil^ - матрица параметров, к. = ство Kqw и задача (0.3) имеют вид тп. этом множезадача собственная ^ = задача L* ( к, р,^) - собственная| , где ( к^р,^ рассматривается как вектор из (hm+M+ yl] --мерного пространства, Ц • Ц - евклидова норма. Такой подход является естественным развитием подхода (0.4-) и сохраняет свойства симметричности. Основная трудность здесь заключается в том, что множество уже не является, вообще говоря, выпуклым и замкнутым и задается системой билинейных ограничений.

В § I доказываются вспомогательные утверждения, в частности, вводится классификация матриц Ц , при которой все пространство Рч векторов h- оказывается разбитым на три непересекающихся множества , ~Yt и "Т^ , причем и Т^ открыты и замыкание их объединения равно PJ^1" , а Т^ выполняет роль границы, разделяющей и I z . Следует отметить, что различные свойства матриц и систем линейных неравенств, на которых основывается данная классификация, рассматривались и ранее (см., например, [25, Зо]).

В § 2 доказываются необходимые (теорема 2.1) и достаточные (теорема 2.2) условия локального минимума задачи аппроксимации (0.5). Согласно теореме 2.1 задача (0.5) может иметь точку локального минимума ( k°} только в случаях, когда О £ или 0 6 \ » причем, если 0 £ "Т- , то и к. в

1=1}2). Показывается, что каждой точке локального минимума (к'^р0,^0) соответствует подматрица T)jrj матрицы [- & ? А ~] с линейно независимыми столбцами, и приводятся формулы, по которым k. j р° / <?j/ , а также решение задачи L ( k\ р\ cj,0^ выражаются через 1У - собственный вектор матрицы Т)т1 Dj^ » соответствующий ее наименьшему собственному значению ft . При этом оказывается справедливым равенство J| ( к°, р*л°) ||Z = / .

Описание точек локального минимума задачи (0.5), данное в теоремах 2.1, 2.2, в ряде случаев может быть непосредственно использовано для их поиска. Кроме того, из теоремы 2.1 следует, что для поиска точек локального минимума задачи (0.5) могут использоваться методы, разрабатываемые в § 4 главы 2. Эти вопросы, а также вопрос об условиях устойчивости свойства несобственности (неразрешимости) задачи ЛП относительно вариации вектора всех коэффициентов, обсуждается в § 3.

Отметим, что исследованию устойчивости и методов регуляризации задач ЛП посвящена обширная литература (см., например, [i, 3, 17, 25, 28, 41, 42, 44], где, в частности было получено описание класса устойчиво разрешимых задач ЛП. В теореме 3.1 дается описание класса устойчиво неразрешимых задач Ж. Понятно, что это описание является одновременно и описанием класса "неустойчиво неразрешимых" задач ЛП, т.е. таких неразрешимых задач ЛП, которые могут быть превращены в разрешимые путем сколь угодно малой вариации коэффициентов (векторов С , и матрицы

Д ). С точки зрения задачи (0.5) теорема 3.1 описывает все случаи, когда L - несобственная и в то же время оптимальное значение задачи (0.5) равно нулю. Оказалось, что этот случай является редким в том смысле, что условие 0 £ ~~Г3 является для него необходимым.

Одним из проявлений несобственности задачи является несовместность ее ограничений. В главе 2 исследуется аппроксимация несовместных систем линейных уравнений и неравенств. Среди работ, в которых изучались несовместные системы, методы их коррекции или обобщенного решения, отметим [5, 14, 20 - 27, 29, 30 - 33,

35, 46, 47, 49, 51, 54, 56, 58]. Так же, как и в главе I, при исследовании аппроксимации несовместных систем в главе 2 допускаются коррекции как правых частей, так и матриц ограничений.

В § 4 рассматривается задача аппроксимации несовместной системы линейных неравенств

X ё | X*. А0зс^

0.6) здесь А0 х ^ £ - некоторая совместная и некорректируемая система, задающая дополнительные ограничения на вектор X ) вида

У(1! РДМ QXT:

Зэс, (А+Н^Х ^-р, , (0.7) гле в качестве Q , 0г можно брать любые неособенные матрицы размерности Уп х га. и ( h+ * l) \ р =

1Н,р1= L^llwt.n.l . "ОРИИВтрицы вычисляется по формуле |[Д||г= 21» • Аналогич ная задача н/{ недн.р] ог Г г рассматривается для системы линейных уравнений

Ах = £ , X 6 (зс1, Г] ,

0.8)

0.9)

В теоремах 4.1, 4.2 решение задач (0.7), (0.8) сводится к решению задачи минимизации выпуклой функции на -мерной сфере (при дополнительных линейных ограничениях), причем, если ограничения A0dc ^ & в задаче (0.8) отсутствуют, то ее оптимальное значение оказывается равным минимальному собственному числу матрицы В»"7" В (где В я Q1 , А^ Qz ), а со

HiV р и вектор , удовлетворяющий (А+Н)5с=-ё-р , выражаются по формулам через собственный вектор, соответствующий этому собственному числу. В теореме 4.3 получены формулы для вычисления радиусов совместности и несовместности систем линейных уравнений и неравенств и радиуса разрешимости задачи L . Отметим, что меры несовместности систем линейных неравенств исследовались ранее в [20, 46~).

В § 5 рассматривается задача аппроксимации системы линейных неравенств (0.6) вида

Н Iе? (М ' Зое, , [к,р] £ S ] ? (0.10) где LkpVl^H , kio--) ^Mrtik.KUi-^hi^ile R^*^ функция качества аппроксимации Я^ определена на множестве

-s гч mn+ ha

О € К » в также аналогичная задача для системы уравнений

0.9). Для функций и множеств ^ > принадлежащих некоторым классам соответственно выпуклых кусочно-линейных функций и выпуклых полиэдральных конусов, решение задачи (0.10) и аналогичной задачи для системы (0.9) удается свести к решению некоторых задач ЛП (см. теоремы 5.1, 5.2). В частности, к упомянутым классам принадлежат функции стР и множества S следующих видов:

Я^крЬ И СМИ.-max ,

V / п $ = Sl = { Lk.pl: =0, и I \ для любых I e {Ij-mH+I^NT, £Г ^ J С { 1,., И-+ .Здесь условие t^jpl^-S'Si означает, что столбцы матрицы [А,4] с номерами i в I' фиксированы и корректироваться (при решении задачи (0.10)) не могут.

В главе 3 рассматриваются системы линейных уравнений и неравенств

Ах , Q х ^ р , х V О

Q ~ С к ' Р€ ^ ) • а также задачи лп ыах (сэху. Ах = £, Qx ^ Р , зс^о ] , все или часть коэффициентов (параметров) которых заданы не конкретными значениями, а интервалами их возможных значений. Изучение линейных моделей подобного рода с множественно заданными коэффициентами было начато Данцигом и Вульфом (обобщенное линейное программирование) [l8^j и продолжено в работах [34, 43, 48, 50, 52-53, 55, 57, 59 - 65].

Как неоднократно отмечалось в [24, 26, 27, зз], неточность (неопределенность) задания информации является одной из причин возникновения несобственных задач. Поэтому различные методы учета и "раскрытия" неопределенностей одновременно выступают в роли методов преодоления или предупреждения несобственности. На важность использования множественного (и, в частности, интервального) задания параметров, отображающего реальные возможности управления ими, как на средство "улучшения надежности модели в смысле ее совместности", позволяющее в случае ее несовместности формализовать трудоемкую процедуру коррекции параметров, указывалось в [ 34, с. 5, 7, 13].

В зависимости от конкретной ситуации в качестве допустимых векторов такого рода моделей можно рассматривать или все эс , удовлетворяющие ограничениям модели при каких-либо значениях ее параметров, укладывающихся ъ заданные границы (обобщенное линейное программирование), или же все X , удовлетворяющие ограничениям модели при любых (лежащих в заданных границах) значениях неопределенных параметров. Для названия второго из этих подходов, использующего принцип гарантированного результата в условиях неопределенности информации о параметрах модели, в иностранной литературе используется термин "неточное линейное программирование", введенный в

В случае несовместности ограничений модели первый из этих подходов соответствует цели преодоления ее за счет либо рассмотрения всех эквивалентных по точности решений системы [4-I^J (если система задана приближенно), либо управления параметрами (если возможности такого управления имеются). Второй подход ("неточное ЛП") обеспечивает гарантированную допустимость выбранного (оптимального) вектора X .

Предлагаемый в главе 3 подход к "раскрытию" неопределенностей в моделях с интервально заданными параметрами включает в себя оба описанных выше подхода. При этом (в общем случае) возникают постановки игрового типа, когда вначале выбирается оптимальный план X , а затем по мере поступления дополнительной информации о параметрах модели производится соответствующая "подстройка" управляемых параметров, позволяющая в итоге обеспечить допустимость плана X и одновременно максимизировать значение целевой функции (с , х) .

Для всех рассматриваемых в главе 3 задач даются методы, сводящие их решение к решению обычных, т.е. точно заданных систем линейных неравенств или соответственно задач ЛП.

В [33, с.48-51J впервые рассматривалось погружение несобственной задачи (0.1) в семейство задач вида

С K,pV> ly4 { p,эсeQ }, зависящих от параметра [д,р^) € Я. • При этом задача аппроксимации имела вид l4 ( ^U^ U.Pl е К ] , №-и) где К = { [ - собственная J . В [Ю - II, 14, 22, 24, 27, 33, 36, 37] исследовались методы решения задачи (О.II) для случая Я*5 (с^р^к ^ и близких к (О.II) задач вида

L4 {%(?)■■ р£к< ^ , ^ {Н1: «vt кь\,

Ц { i : Ц 6 Кс , i> 0} , где и Кс - множества параметров р и , для которых не пусты допустимые множества соответственно задачи С^р) и двойственной к ней задачи С * ( р^ , Я^ - некоторая выпуклая функция качества аппроксимации, - фиксированный вектор из R .

Как известно, задачи С и могут быть записаны соответственно в виде

Lyuf. Л-up Г (х. , и) , ос в Q а > о ск^. -Vup | F(x,uV Р»")^ • осе Q u>o

Но тогда, очевидно, (О.II) может рассматриваться и как задача выбора оптимальной коррекции р! , обеспечивающей для выпукло-вогнутой функции Г (x3u)- ~ ( Р>и*) существование седловой точки на множестве .

В главе 4 в качестве исходной берется минимаксная задача tKsf -Vup F (х 1 хеХ uelL в которой F(x,u) - выпуклая по х и вогнутая по U. функция, определенная на декартовом произведении выпуклых множеств х С Г и и с ИГ . Для нее рассматривается задача оптимальной линейной коррекции (являющаяся естественным обобще -нием задачи (0.11))

Lrvf. { Я5 (X* u*') : [х*,и*1 £ К П $ 5 ; (0.12) где - выпуклая функция (качества коррекции), гч - множество всех ^x^u* f для которых функция

F - (х*, эс) - ( и\ имеет седловую точку на множестве X х U ; $ - выпуклое множество из РJ***"1 ,

Теоремы 10.1, 10.2 заключают в себе методы, сводящие решение задачи (0.12) к решению некоторой последовательности (разрешимых) выпукло-вогнутых минимаксных задач.

В § II полученные результаты применяются к описанному выше случаю аппроксимации несобственных задач ВП.

Результаты диссертационной работы являются новыми и получены автором самостоятельно. Основные результаты диссертации опубликованы в [7 - I3],j[27, §§ 12-13, 26, с.84-119, 245-262] и докладывались на семинарах в Институте математики и механики УНЦ АН СССР, на У Сибирской школе-семинаре "Методы оптимизации и их приложения" (г.Иркутск, 1980 г.), на конференции "Методы математического программирования и их программное обеспечение" (г.Свердловск, 1981 г.) и на Конференциях молодых ученых институтов математики АН СССР (г.Ленинград, 1981 г., г.Москва, 1983 г.). В работе используются следующие основные обозначения:

D "" -Л"

Г\ - евклидово пространство векторов [x1,.JxK J • ос v О э х > О означает соответственно x-L>Oy Х^>0 (для всех L ); в { X £ : х > О ^ ^

- скалярное произведение векторов С $ X ;

К = К — * ] ;

А - [«я! ы „ , г\ - матрица размерности х п и транспонированная к ней; А , "D 3 - матрица размерности ^ х (и-+ "О , образованная приписыванием справа к матрице А = l^jt]^ л матрицы

D=L<^slwt / >

Al^, С- - оптимальное множество задачи С

1. Астафьев Н.Н. Линейные неравенства и выпуклость. - М.: Наука, 1982. - 152 с.

2. Астафьев Н.Н. Аппроксимирующие многогранники Лагранжа и разрыв в двойственности. В кн.: Несобственные задачи оптимизации, Свердловск: УНЦ АН СССР, 1982, с.23-29.

3. Ашманов С.А. Линейное программирование. М.: Наука, 1981. -304 с.

4. Базара М., Шетти К. Нелинейное программирование. М.: Мир, 1982. - 584 с.

5. Булавский В.А. Методы релаксации для систем неравенств. Новосибирск: НГУ, 1981. - 84 с.

6. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. -М.: Наука, 1980. 520 с.

7. Ватолин А.А. Об условиях экстремума в аппроксимации несобственных задач линейного программирования. В кн.: Численные методы оптимизации и их приложения. - Иркутск: СЭИ СО АН СССР, 1981, с.49-57.

8. Ватолин А.А.Метод аппроксимации несобственных задач выпуклогопрограммирования. В кн.: Несобственные задачи оптимизации.-Свердловск: УНЦ АН СССР, 1982, с.67-74.

9. Ватолин А.А. Об аппроксимации несобственных задач выпуклого программирования. Мат.заметки, 1983, т.33, № 4, с.627-636.

10. Ватолин А.А. К анализу задач линейного программирования с интервальными коэффициентами. Ин-т матем. и механ. УНЦ АН СССР. Свердловск, 1983, 22 с. Рукопись деп. в ВИШИ 03.05.83,2363-83 Деп.

11. Ватолин А.А. Методы аппроксимации несовместных систем линейных уравнений и неравенств. Ин-т матем. и механ. УНЦ АН СССР, Свердловск, 1983, 17 с. Рукопись деп. в ВИНИТИ 03.05.83,2362-83 Деп.

12. Габасов Р., Кириллова §.М. Методы оптимизации. Мн.: Изд.БГУ им.В.И.Ленина, 1981. - 350 с.

13. Гермейер Ю.Б. Введение в теорию исследования операций. М.: Наука, 1971. - 383 с.

14. Гольштейн Е.Г., Юдин Д.Б. Новые направления в линейном программировании. М.: Сов.радио, 1966. - 524 с.

15. Данциг Дж. Линейное программирование, его применения и обобщения. М.: Прогресс, 1966. - 600 с.

16. Евтушенко Ю.Г. Методы решения экстремальных задач и их приме-менение в системах оптимизации. М.: Наука, 1982. - 432 с.

17. Еремин И.И. О несовместных системах линейных неравенств. -Докл. АН СССР, 1961, т.138, W 6, с.1280-1283.

18. Еремин И.И. Итеративный метод для чебышевских приближений несовместных систем линейных неравенств. Докл. АН СССР, 1962, т.143, № 6, с.1253-1256.

19. Еремин И.И. О задачах выпуклого программирования с противоречивыми ограничениями. Кибернетика, 1971, № 4, с.124-129.

20. Еремин И.И. Двойственность для несобственных задач линейного и выпуклого программирования. Докл. АН СССР, 1981, т.256, № 2, с.272-276.

21. Еремин И.И. Двойственность для несобственных задач линейного и выпуклого программирования и методы их коррекции. Известия АН СССР, Технич.кибернетика, 1983, № I, с.20-32.

22. Еремин И.И., Астафьев Н.Н. Введение в теорию линейного и выпуклого программирования. М.: Наука, 1976. - 192 с.

23. Еремин И.И., Мазуров В.Д. Нестационарные процессы математического программирования. М.: Наука, 1979. - 288 с.

24. Еремин И.И., Мазуров В.Д., Астафьев Н.Н. Несобственные задачи линейного и выпуклого программирования. М.: Наука, 1983. -336 с.

25. Карманов В.Г. Математическое программирование. М.: Наука, 1980. - 256 с.

26. Коробкин А.Д., Михайленко Ю.М. К анализу несовместности системы ограничений в задачах оптимизации. Применение ЭВМ в оптимальном планировании и управлении. (Новосибирск), 1979 (1980), № 4, с.3-25.

27. Линейные неравенства и смежные вопросы: Сб. статей/Под ред. Г.Куна и А.Таккера. М.: ИЛ, 1959. - 470 с.

28. Мазуров В.Д. 0 комитете системы выпуклых неравенств. Труды ICM 1966. - М.: Изд-во МГУ, 1966, № 14, с.41.

29. Мазуров В.Д. 0 построении комитета системы выцуклых неравенств. Кибернетика, 1967, № 2, с.56-59.

30. Несобственные модели математического программирования/Под ред.И.И.Еремина; УНЦ АН СССР. Ин-т матем. и механ., Свердловск, 1980, 466 с. Рукопись деп. в ВИНИТИ 03.07.80; чЛ, 236 е., $ 2823-80 Деп.; ч.2, 230 е., № 2824-80 Деп.

31. Плискин Л.Г. Билинейные модели оптимизации производства. -М.: Сов.радио, 1979. 200 с.

32. Плотников С.В. 0 циклическом проектировании на систему выпуклых множеств с пустым пересечением. В кн.: Несобственные задачи оптимизации, Свердловск: УНЦ АН СССР, 1982, с.60-66.

33. Попов Л.Д. Двойственный метод итеративной аппроксимации, использующий модифицированную функцию Лагранжа. В кн.: Несобственные задачи оптимизации, Свердловск: УНЦ АН СССР, 1982, с.42-51.

34. Рокафеллар Р.Т. Выцуклый анализ. М.: Мир, 1973 -472 с.

35. Скарин В.Д. 0 применении метода регуляризации для коррекции несобственных задач ЛП I рода. В кн.: Методы аппроксимации несобственных задач математического программирования. Свердловск: УНЦ АН СССР, 1984, с.51-63.

36. Стренг Г. Линейная алгебра и ее применения. М.: Мир, 1980.456 с.

37. Тихонов А.Н. 0 приближенных системах линейных алгебраических уравнений. Ж.вычисл.матем. и матем.физ., 1980, т.20, № 6, с.1373-1983.

38. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1979. - 285 с.

39. Тимохин С.Г., Шапкин А.В. О задачах линейного программирования в условиях неточных данных. Экономика и матем.методы, 1981, т.17, № 5, с.955-963.

40. Федоров В.В. Численные методы максимина. М.: Наука, 1979. - 280 с.

41. Фиакко А., Маккормик Г. Методы последовательной безусловной минимизации. М.: Мир, 1972. - 240 с.

42. Черников С.Н. Линейные неравенства. М.: Наука, 1968. - 488 с.

43. Anwendungen der linearen parametrischen Optimierung/Ed. K. Lommatzsch.- Berlin: Akad.- Verl., 1979.- 190 S.

44. Cope J.E., Rust B.W. Bounds on solutions of linear systems with inaccurate data.- SIAM Numer. Analysis, 1979» vol.16, m 6, p.950-963.

45. Elving T. Block-iterative methods for consistent and inconsistent linear equations.- Numer. Math., 1980, vol.35, IS 1» p.1-12.

46. Falk E.J. Exact solutions of inexact linear programs.- Oper. Res., 1976, vol.24, № 4, p.783-787.

47. Pan K., Glicksberg I., Hoffman A. Systems of inequalities involving convex functions.- Proc. Amer. Math. Soc., 1957» vol. 8, Hi 3, p.617-622.

48. Gay D. Solving interval linear equations.- SIM J. Numer. Analysis, 1982, vol.19, И 4, p.858-870.

49. Granot D., Granot P., Johnson E.L. Duality and pricing in multiple right-hand choice linear programming problems.-Math. Oper. Res., 1982, vol.7, J2 4, p.545-556.

50. Laczkovich M. Solvability and consistency for infinite systems of linear inequalities.- Period. Math. Hung., 1978, vol.9,Ш 1-2, p.63-70.

51. Rohn J. Systems of linear equations with inexact data.- Ekon.-mat. obzor, 1976, vol.12, № 3, p.311-315.

52. Roodmen G.M. Post-infeasibility analysis in linear programming.- Manag. Sci., 1979, vol.25, hi 9, p.916-922.

53. Sik F. A linear problem of the interval calculus.- Ekon.-mat. obzor, 1980, vol.16, N? 1, p.37-46.

54. Sik F. Solutions of a system of linear equations with given error sets for coefficients.- Aplik. Mat., 1982, vol.27, M 5, p.319-325.

55. Singh C. Convex programming with set-inclusive constraints and its applications to generalized linear and fractional programming.- J. Opzimiz. Theory and Appl., 1982, vol.38, Ne 1, p.33-42.

56. Soyster L.A. Convex programming with set-inclusive constraints and applications to inexact linear programming.- Oper. Res., 1973, vol.2, Ш 5, p.1154-1157.

57. Soyster L.A. A duality theory for convex programming with set-inclusive constraints.- Oper. Res., 1974, vol.22, Ш 4-, p.892-898.

58. Soyster L.A. Erratum.- Oper. Res., 1974, vol.22, ?.g 5, p. 1279-1280.

59. Thuente J.D. Duality theory for generalized linear programs with computational methods.- Oper. Res., 1980, vol.28, Ш 5, p.1005-1011.