Методы исследования колебаний упругих тел на основе динамической податливости тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

о

МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ КОЛЕБАНИЙ УПРУГИХ ТЕЛ НА ОСНОВЕ ДИНАМИЧЕСКОЙ ПОДАТЛИВОСТИ

01.02.04 - Механика деформируемого твердого тела

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико- математических наук

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ОД

, На правах рукописи

ВЕРНИГОР Виктор Николаевич

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ- 1994

Работа выполнена в Санкт-Петербургском государственном университете.

Научный консультант: доктор ф.-м.н., профч Зегвда С.А, Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Даль Юрий Михайлович; . доктор технических наук, профессор Попков Владимир Иванович; доктор технических наук, профессор Сабодаш Петр Филиппович

Ведущая организация: Санкт-Петербургский технический университет

Защита состоится 1994 г. в /У часмин,

на заседании специализированного совета Д 063.57.34 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора физико-математических наук в Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 198904, г. Санкт-Петербург, Старый Петергоф. Библиотечная площадь, 2, математико-механический факультет, аудитория 3534.

С диссиртацией можно ознакомиться в Научной библиотеке имени М. Горького Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: 199034, г. Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9.

Автореферат разослан

'"/^ " 1984 г.

Учений секретарь специализированного совета, доктор фивико-математических наук, профессор

С.А.Зегвда

ОВЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность. При решении задачи о колебаниях упругого тела под действием сосредоточенной силы параметрами, определяющими процесс колебаний, являются собственные частоты колебаний, козффициены демпфирования и эквивалентные массы тела, соответствующие данной точке возбуждения и точке наблюдения. Эквивалентные массы можно определить, зная собственные формы колебаний тела, и наоборот, по эквивалентным массам, соответствующим различным точкам наблюдения, можно построить собственные формы ютлебаний.

В диссертационной работе предложены аналитические и экспериментальные методы определения модальных параметров (собственных частот и эквивалентных масс) упругих систем. При создании новых машин и механизмов особое значение имеют аналитические методы, позволяющие определить эти параметры как функции длин, масс отдельных частей и других характеристик рассматриваемой системы. К таким методам, в частности; относятся методы Рэлея, Ритцз для определения нескольких первых собственных частот колебаний упругого тела. Существенным препятствием при разработке новых конструкций является то, что в литературе отсутствуют методы, позволяющие определять эквивалентные массы упругого тела как функции его конструктивных параметров.

Для сложных механических систем во многих случаях нет возможности использовать аналитические методы определения параметров колебаний. В этом случае наряду с численными расчетами по методу конечных элементов используется экспериментальный анализ колебаний. На основе модальных параметров колебаний, найденных экспериментально, проводятся дальнейшие расчеты и ведется усовершенствование конструкции. Экспериментальный анализ колебаний служит также для проверки результатов, полученных аналитическими методами.

В отечественной и зарубежной . литературе предлагаются некоторые методы, позволяющие учесть погрешности измерений характеристик колебаний при определении модальных параметров. Однако в литературе не встречаются описания методов оп-

ределения интервальных оценок модальных параметров, т.е. методов определения достаточно узкого интервала, в котором с высокой степенью вероятности находится искомый модальный параметр.

К наиболее ранним экспериментальным методам определения модальных параметров относятся методы определения собственных частот и декрементов колебаний упругих тел. Методы определения эквивалентных масс упругого тела появились сравнительно недавно и требуют дальнейшего развития. В данной работе предлагаются экспериментальные ыетоды получения интервальных оценок эквивалентных масс тела при заданных собственных частотах и декрементах колебаний.

При выполнении инженерных расчетов имеется необходимость в разработке новых приближенных способов исследования колебаний твердого тела, взаимодействующего с упругими телами. Такие способы также предлагаются в работе. Во многих случаях они позволяют достаточно просто и точно определить закон движения твердого тела, есяи известны несколько первых собственных частот и эквивалентных масс каждого из рассматриваемых упругих тел.

Цель диссертации состоит в разработке новых аналитических и экспериментальных методов определения модальных параметров упругих систем,"а также в разработке приближенного способа исследования колебаний твердого тела, взаимодействующего с упругими телами.

Научная новизна. В работе предложены и обоснованы следующие четыре новые метода:

1. Приближенный метод определения собственых частот и эквивалентных масс упругого тела.

2. Метод последовательных приближений для определения собственных частот и эквивалентных масс упругого тела.

3. Резонансный метод экспериментального определения эквивалентных масс.

4. Нерезонансный метод экспериментального определения эквивалентных масс.

Первый и второй методы являются теоретическими, третий и четвертый - экспериментальными.

В работе предложен также общий метод исследования коле-

- Б -

баний твердого тела, взаимодействующего с упругим телом. Метод основан на приближенном представлении движения упругого тела.

Достоверность научных положений и выводов обеспечивается доказательством соответствующих теорем и обоснованным использованием теоретических подходов, а их эффективность показывается на многочисленных примерах использования предложенных методов.

Апробация работы. Результаты работы регулярно докладывались на кафедре теоретической и прикладной механики Санкт-Петербургского государственного университета. Отдельные результаты доложены на шестой Всесоюзной конференции по управлению в механических системах (г. Львов, 1988) и на пятнадцатой Всесоюзной конференции по вопросам рассеяния энергии при колебаниях механических систем (Киев, 198Э). Полностью работа докладывалась на научных семинарах в Санкт-Петербургском государственном университете (кафедра теоретической и прикладной механики), ЦАГИ, институте машиноведения РАН.

Публикации. Основное содержание диссертации опубликовано в работах 11-213.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения, списка литературы (191 источник, из них 129 русских и 62 иностранных наименования), содержит 396 страниц машинописного текста, в том числе 57 рисунков и 6 таблиц.

Результаты, выносимые на заддату: ,

1. Приближенный метод определения собственных частот и эквивалентных масс упругого тела, позволяющий по известному аналитическому представлению динамической податливости тела получить приближенные формулы для первых п собственных частот и эгашвалентных масс.

2. Метод последовательных приближений, позволяющий на основе значений динамической податливости при нескольких частотах возбуждения определить собственные частоты и экви- ° валентные массы упругого тела. Способ определения собственной частоты тела предложен как с недостатком, так и с избытком.

3. Резонансный метод экспериментального определения интервальных оценок эквивалентных масс упругого тела при из-

вестных собственных частотах и коэффициентах демпфирования.

4. Способ определения эквивалентной массы упругого тела с заданной максимальной относительной погрешностью при известной относительной погрешности измерения динамической податливости.

Б. Нерезонансный метод экспериментального определения интервальных оценок эквивалентных масс упругого тела в случае малого объема статистических данных по измерениям динамической податливости.

6. Приближенный метод исследования колебаний твердого тела, взаимодействующего с упругой системой, и примеры использования этого метода.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИОННОЙ РАБОТЫ

Во введении приведен краткий обзор теоретических и эк -спериментальных работ по определению динамической податливости упругой системы, модальных параметров колебаний, а также по их использованию в различных технических задачах. Здесь показана актуальность и научная новизна диссиртации, кратко изложено ее содержание.

Глава 1 носит реферативный характер. В ней собран материал, ' необходимый для изложения диссертации. Все выражения представлены в форме, удобной для дальнейших исследований.

Важнейшей частотной характеристикой колебательной системы является динамическая податливость. Под динамической податливостью точки А упругого тела в направлен™ единичного вектора с а • соответствующей точке возбуждения В и направлению возбуждения понимается следующая функция частоты возбуждения

RM-

Ш

(1)

> U) PU) Т

гДе J A (t/ " перемещение точки А тела в направлении ¿д при установившихся колебаниях под действием сосредоточенной силы P(t)~ В0 В.^* • приложенной в точке В тела в направлении единичного вектора I & (и) - частота воэ-мудшцей силы. j* - _ £ , £0 " const).

Динамическую податливость можно получить в замкнутой форме, рассматривая вынужденные колебания тела под действием периодической силы при заданных граничных условиях. Существенно, что для достаточно иярокого класса задач ее можно представить в виде ряда, каждый член которого соответствует своей собственной частоте недемпфированных колебаний. В

частности, действительная часть такого ряда имеет вид

где 1а?^ - собственные частоты недемпфированных' колебаний,

- коэффициенты демпфирования, Л^ - эквивалентные массы тела, соответствующие точке возбуждения В, направлению возбуждения ¿& , точке наблюдения А и направлению наблюдения ¿д

При отсутствии диссипативчых сил динамическая податливость является действительной величиной, и ее можно представить в виде

Во второй главе разрабатывается метод, позволяющий по известному аналитическому представлению динамической податливости Я (ей) получить приближенные формулы для первых п собственных частот и эквивалентных масс упругого тела. Как известно, широкое распространение имеют приближенные методы определения собственных частот колебаний тела, как функций его конструктивных параметров (масс отдельных частей тела, размеров и т.п.). К таким методам.относятся, например, методы Рэлея, Ритца, Галеркина. Аналогичные методы определения эквивалентных масс упругого тела в литературе не встречаются. Однако потребность в таких методах очевидна. Эти методы наиболее полезны при конструировании новых машин и механизмов, где необходимо прогнозировать колебания отдельных деталей при различных значениях их параметров.

Дня определения приближенных выражений для собственных частот и эквивалентных масс тела в рассмотрение вводится некоторая механическая система с п степенями свободы, динами-

ческая податливость некоторой точки С которой такова:

п

где и Ai^y собственные частоты и эквивалентные

мессы введенной механической системы, величину С можно рассматривать как жесткость некоторой пружины.

Разложения в ряд Маклорена динамической податливости (4) и динамической податливости И (со) рассматриваемого упругого тела имеют вид

^(^^(¿со+Ь^+^и)1'*,., ' (В)

R(u>) = d0 +d^-bd^4*... (6)

Здесь коэффициенты c/go . da , den ,... определяются через величины С^ , и>с v . М см ( ^ = 1»

2.....п), а коэффициенты d0 . di . dg. >•■■ ' через

параметры упругого тела (массы, длины и т.п.).

В работе доказана следующая лемма.

Лемма. Собственные частоты и)ц , оОаI >■••• • (и>а < <...< (Jen. ), эквивалентные массы М ц± ,

Mez >•••• Man. > а также жесткость С^ однозначно определяются коэффициентами при U) 0 , lJ ^ , иЗ^ и) ** в разложении (5).

Искомые приближенные значения U)сV , Afсу величин иЭ у , М ^ ( » 1,2.....п) определяются из равенств . .

dcK -dü к - 0,1,2,....2п (7)

Посредством линеаризации системы уравнении (?) в работе получены выражения для относительных погрешностей

"■К ~ . | А • J Zat ~

ч; .AI

CK

соответствующие различным значениям ri. Погрешности определении собственных частот данным методом таковы

- 9 -П.

С =

4 «к* П

н 4 №

При приближенном определении эквивалентных масс, в частности, имеем

со . .

ола/

оо

в*)3

СО

22 ^^(а^а^Яа^+а^Заг)

ч (V v=5 2. -

где

к (ъ-ад*

1 /

V

Для приближенной оценки величин и ¿к рас-

смотрен случай возрастания собственных частот с увеличением их номера \7 пропорционально \) , а также V ^ • Показано, что в этих случаях рассматриваемые погрешности быстро убывают с увеличением числа п при заданном к. В работе показано также, что если точкг^ возбуждения В совпадает с точкой наблюдения А, причем ¿А - ¿д , то имеет место неравенство

2

> Lúj< (к = 1,2,... ,n). Получены явные выражения для величин о)Cfí , (к « 1,2,----п) через значения d0

в следующих случаях: Первое приближение. n=0, с/0) = i/do. Второе приближение. п»1. С4(1'= с>0 >

/ •) í^o м - di

' У'IF

Третье приближение. n=l, '-ф ©о, Четвертое приближение. п=2, —оо

+

где

г^Р-т.?

Хл = i / , ос Л = ¿ / С^Д ,

m! >- j =——

i _ di ifi di \

i t J , di л di dz \

Пятое приближение. n=2, C£ t , в этом случае параметры upCi , upaz , , m!?) , C^' , с3и) вычисляются по формулам четвертого приближения, если в н-х положить do- di . di- cl 1 , - dt/ . При этом

CCilx^-Xj) .. _ xl(Хц-OCj) dtxx-d% "z ~ 1

В качестве примеров эффективности использования предло-жбиного метода рассмотрены колебания жестко заделанного стержня с грузом на конце и колебания опертой прямоугольной пластины.

Для случая, когда точк£^ возбуждения В совпадает с точкой наблюдения А и i д .= i£ построена механическая система с п степенями свобода (механическая модель упругого тела) , приближенно описывающая колебания точки А тела. Эта модель представляет собой последовательно соединенные массы и линейные жесткости. На основе такой модели решена задача поперечного удара шара по балке с учетом местных деформаций. Решение интегрального уравнения теории удара в этом случае сводится к интегрировании системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

В третьей главе предложен и обоснован метод последовательных приближений для определения собственных частот и эквивалентных масс упругого тела. Он применяется в случае, когда динамическую податливость Ц (и> ) можно вычислить без учета сйл сопротивления при различных значениях частоты возбуждения U> . При .этом аналитическое выражение для функции R. (w) -может быть неизвестно.

Метод повволяет на основе значений функции £

при нескольких частотах воебуздекия и? определить по едино^ алгоритму собственные частот; I иЭ ц и эквивалентные массы А^ упругого гела. Метод учитывает специфические свойства динамической податливости ¡ак функции частоты возбуждения и основывается на построении быстро сходящегося итерационного процесса. Ь основу метода положены формулы

___1___

где •

Предположим, что величины, кР^ , и)ц ,..., ^«-¿э , Мц ,..., Мц'1 уже найдены, данным методом. Тогда к-е приближение и?пк • Иик для величин с^п,

М п, определяется через значения и?„ , оОп X.

по формулам 1

/V/ Л/

=^ КгМ^-^ы) сю)

Приближения и?ц}о > необходимые для вычис-

лений на первом шаге .^выбираются произвольно из некоторого интервала ( О*,

В работе доказаны теоремы, необходимые для обоснования

данного метода и даны оценки быстроты его сходимости. Использование метода в общем и частном случаях обосновывается следующими теоремами.

Теорема 1. Пусть сОц. > М ц, - собственная частота и эквивалентная масса, соответствующие п-ой форме колебаний. Используя выражения (8) и (9), построим числовые последовательности {ьЗпч} . (к=1,2,...) такие, что

Тогда для любого номера п=1,2,... существует интервал такой, «с если ,

¿¿пг^ = (¿к , Я^Мпк^

Теорема 2. Пусть выполнены условия теоремы 1, а таске неравенства ,-,

М,>0 (* = 1,1,...)> < <

, I «Ий. 0 ' . ) _ Л'

где и) ~ и?(1 - наименьший корень уравнения К;? (Ч» - " а ^ и О.„л " коэффициенты при оО2 и ^* в разложении функции в ряд Маклорена по степеням и? 2, Тогда при «аЛ,^ ^ , * [ О, последовательности ( >, < М„к > сходятся соответ -ственно к и!И и Мц. .

Оценку быстроты сходимости данного метода можно представить в виде

I9 2

| Ч и

С

(К - -1,0,1,2,...)

где (А ц - числа Фибоначчи ( К £ -1, ¿^г ■

и^.ц+и,--! , к=3,4,,5...), , С -постоянные величины, зависящие от границ интервала ( $2„ > 5?п ) причем С < 1 .Для случая 0 (Vе 1.2,..)

в работе получены значения величины С , соответствующие различным значениям границ интервала (£?*> .

В работе приведены примеры использования метода в зада-

чах поперечных колебаний балки и пластины, где определяются собственные частоты и эквивалентные массы, соответствующие первым четырем формам колебаний. Кз этих примеров видно, что даже первые приближения- для величин 00% , М# , полученные по данному методу, позволяют определить эти величины с удовлетворительной точностью.

В третьей главе предложен также способ определения собственной частоты 00 п. с недостатком и с избытком. Показано, что существует интервал > • соД^Р*31®™

точку и?- СОц. , такой что при

имеет место соотношение

Последнее равенство положено в основу предложенного способа для общего случая. В частном случае, когда все эквивалентные массы упругого тела положительны, использование способа упрощается и сводится к применению следующей теоремы.

Теорема 3. Пусть все эквивалентные массы упругого тела положительны, т.е. Л1^>0 (V -1,2,...). Пусть - наименьший корень уравнения (и)) =■ О . тогда при 1 » 0,^,1] имеет место:

1) если^ = *

то о)*, (Яц >

2) если и^П &%) = - I

то •

Если определены экспериментально статическая податливость $ / о) , а также динамическая податливость Й (Ч>) при трех значениях частоты возбуждения и) - , ,

, выбранных определенным образом в области резонансной частоты . то на основе формул (8). (9) "можно приближенно определить величина и?^ и Мп. • Причем собственную частоту и?^ можно определить как с недостатком, так и с избытком. Это означает, что данные формулы можно по-

ложить в основу нерезонансного экспериментального метода определения собственных частот и эквивалентных масс упругого тела.

Как ужэ отмечалось, к наиболее ранним экспериментальным методам определения модальных параметров относятся методы определения собственных частот и коэффициентов демпфирования. Метода определения эгаивалентных масс упругого тела появились сравнительно недавно и требуют дальнейшего развития. В диссертации разработано два экспериментальных метода определения эквивалентных масс упругого тела при известных собственных частотах и коэффициентах демпфирования.

Наименее развитыми методами модального анализа являются методы, позволяющие определять не только модальные параметры, но и погрешности, возникающие при этом определении. В литературе не обнаружено описание методов определения интервальных оценок модальных параметров, г. е. методов определения достаточно узкого интервала, в котором с высокой степенью вероятности находится искомый параметр. Методы, предлагаемые в данной работе, направлены на определение интервальных оценок эквивалентных масс упругого тела.

В главе 4 предложен резонансный метод экспериментального определения эквивалентных масс, который позволяет определить интервальную оценку для величины А/ [ по измеренным значениям , Я ц ..... И ц действительной части динамической податливости И&{И(и>)} на частотах возбуждения ^ = , ,..., &н , выбранных в некоторой окрестности резонансной частоты и) - и>1 :

л/

Здесь предполагается, что погрешности измерений величины Не на частоте и) - распределены по нормальному^ закону с нулевым математическим ожиданием и дисперсией (^ «1,2,..../V ). Интервальная оценка определяется на основе известных формул для доверительных интервалов коэффициентов уравнения регрессии. При этом показано, чтб равен-

стбо, связывающее величину

связывающее величину

с переменной

9 Л, л о 2 4

в данном интервале частот возбуждения можно представить в виде

где - ¿/Л/1 , ~ некоторая величина (свободный

член уравнения регрессии). Одним из основных условий применения у;сазанных формул для доверительных интервалов является условие равенства дисперсий = б^2 =...= , которое в нашем случае не выполняется. В работе удалось перейти к новьи переменным и выделить интервал частот возбуждения, в котором данное условие имеет место. В результате получен следующий 100(1- ^ )% - ный доверительный интервал для величины /

(12)

где

1 Я

N

>

N

N-2

N

Л

^ ) - 100(1- ^ )Х - ная точка г-распределения Стыодента с (п-2)^степенями свободы, ^; > §£ " оценки величин уI , по методу наименьших квадратов, полу-

ченные на основе результатов измерений к^ , /? о ,-■•, /I д, . Величины ^ , 2. определяются из условия минимума функции 1

Г^Ъ-Я-ЬЩ)?

Для проверки данного метода проведен численный эксперимент по определению первых четырех эквивалентных масс шар-нирно опертой балки для случая, когда точка возбуждения совпадает с точкой наблюдения и расположена в середине балки. Для этого случая имеем

^ = 0,003/1ГЧ,

где я^щг*/^*, ел-

масса балки, £ - ее длина, ^ - плотность, В - модуль Юнга, 3 - момент инерции поперечного сечения, £ его площадь. При определении каждой из четырех эквивалентных масс величины при данном численном эксперименте задавались черев значения действительной части динамической податливости по формуле

где относительные погрешности измерений £ ± , .....

£ Н были рамы случайным числам, распределенным по нормальному закону с нулевым математическим ожиданием и средним квадрагическим отклонением, равным 0,033. В этом случае у.ож-

но принять, что максимальные относительные погрешности измерений составляют =0,1 (¿=1.2,3,4), а максимальная абсолютная погрешность измерения на частоте и) — <5Р/ равна 0,1 • Не, {£ (Я.^)] Величины Не, определялись по

формуле (2). При рассмотрении каждой из форм колебаний было принято N=10, а частоты возбуждения выбирались равноотстоя -щими.друг от друга_ ьнутри области (11), где = О,

= 23, Я^ -- 85, £?22 - 97, £? - 230, 5?зг * 262. = 465, др^ - 501, -

Результаты расчетов по методу наименьших квадратов ' таковы: =,2.033, ^ = 2,022, - 1,984, ^ -« 1,999, где — Му.. При зтом 99% - ый доверительный интервал для величин« • , т.е. интервал, который с вероятностью 0,99 накрывает на числовой оси точку > при различных значениях I имеет вид

(г (1.953;2,1&7), ^¿«ё- (1,939:2,105), (1'904''2-064>' (1,926:2,072).

В приведенном примере удается получить узкие доверительные интервалы для искомых величин при достаточно широких областях частот возбуждения. Если длина некоторого доверительного интервала оказалась недостаточно мала, то для построения более узкого интервала необходимо применить описанный выше метод при других частотах возбуждения. Такой путь предполагает проведение серии дополнительных измерений динамической податливости, однако он не гарантирует, что вновь полученный' доверительный интервал обеспечит необходимую точность определения эквивалентной массы тела.

. В связи с этим в диссертационной работе решена задача экспериментального определения величины с заданной относительной погрешностью при известной относительной погрешности измерения действительной части динамичес-

кой податливости. Для использования полученного решения достаточно знать результаты предварительных измерений

к % ..... (I ц , полученные при экспериментальном определении интервальной оценки для величины у/ методом, описанным выше. Искомое приближенное значение величины

определяется по формуле

где - результат измерения действительной части динамической податливости на частоте возбуждения = , выбранной таким образом, что выполняются следующие неравенства

'у*- п-

I,

(13)

В работе получено удобное для использования аналитическое выражение для области изменения частот возбуждения в которой удовлетворяйся условия (13). Это выражение получено иа рассмотрения уравнения регрессии (12), а также совместной доверительной области для коэффициентов и этого уравнения. 1

В главе 5 разработан нерезонансный метод экспериментального определения интервальных оценок для эквивалентных масс М1 , Мц >•■■. Мц, упругого тела. Он основан на определении минимума целевой функида

И м ^ от ^ 2

где М1 , Их ...... А1

уу - точечные оценки эквивалентных мжс , Их ..... Мп . а частоты возбуждения ,

52 ^ ..........значительно удалены от резонансных (здесь

^сп.). Следует отметить, что нерезонансным методам определения модальных параметров механических систем отдается предпочтение по сравнению с резонансными, поскольку для использования этих методов не требуется подвергать конструкцию неблагоприятному воздействию возмущающих сил с частотами возбуждения, близкими к резонансным.

В работе рассмотрено влияние диссипативных сил на величину Ил { К (и))} действительной части динамической податливости упругого тела в том случае, когда частота возбуждения Ш значительно удалена от резонансных частот. Показано, что в данном случае это влияние незначительно, и здесь можно принять Иг , где Р.'^(и) - динамическая податливость тела, вычисленная без учета диссипативных сил.

Поскольку з данном случае отмеченное выше условие о равенстве дисперсий не выполнено, то при получении интерваль -ных оценок эквивалентных масс нельзя использовать известные выражения для доверительных интервалов, соответствующих этим эквивалентным массам. При_зтом использование целевой функции (14) приводит к оценкам , .■■■. М«. , не удов-

летворяющим принципу максимального правдоподобия и не обла -дающим минимальными дисперсиями. В этих условиях использование традиционных методов регрессионного анализа является не-. эффективным. ^

Точечные оценки величин , определяемые из условия минимума целевой функции (14), можно представить в виде

где ^¡.^ - погрешность определения величины из ус-

ловия минимума функции (14) при отсутствии ошибок измерений динамической податливости, т.е. при к: — )

"у^*") ~ погрешность определения , вызванная ошибка-

ми измерений. В работе получена оценка сверху для величины IЛ кI и показано, что имеет место равенство

¿¿^ в1т} -О

На примере возрастания собственных частот колебаний ¡¿^ пропорционально К . а также , показано, что величина быстро убывает с ростом т.

Величины можно представить в виде

к - 1,2,....п

в; {£(»/)}

где с J " r•J * I"""(/'"' " погрешность измерения действительной части динамической податливости на частотах возбуждения ^ — (^ =1,2,....Н), коэффициенты <¿/¿1 > ,. • ■, КМ определяются черев величины к,т,Н. Qí , ........... ^ ,

Пусть относительная погрешность измерения величины на частоте равна < i

т.е.

(17)

Тогда из выражений (15)-(17) следует, что если ш доста-

(к » 1,2,----п),

точно велико, т.е. || <<

то

У

Н

1-Г; .

А/

г

юым

(18)

к - 1,2,....п

Границы интервала (18) зависят от выбранных значений

частот возбуждения , .........., а также от

результатов измерений , Йй ,.... Ащ действитель-

ной части динамической податливости на этих частотах. Поскольку в данном случае точечная оценка не обладает минимальной дисперсией, то данный интервал может оказаться слишком большим, а его использование в качестве интервальной оценки - неэффективным. Для уточнения .этой интервальной оценки предложен и обоснован прием, согласно которому описанным выше.способом строится интервал (18), содержащий величину , не только для набора частот возбуждения

..........(базового набора), но также и для всевозможных наборов отличных друг от друга частот, каждая из которых может иметь одно из значений базового напора. Искомая

интервальная оценка для величины ^К представляет собой общую часть всех Интервалов (18), построенных для указанных наборов частот возбуждения.

Отметим, чтс описанный способ позволяет определять интервальные оценки для величин ^ , ,..., и уточнять их при иалом объеме измерений, поскольку для его использования достаточно измерить действительную часть динамической податливости на частотах возбуждения , ,

Для иллюстрации эффективности использования данного метода бьш проведен численный эксперимент по определению первых четырех эквивалентных масс жестко заделанной балки с грузом на конце. При этом погрешности измерений динамической податливости рассматривались как. случайные числа,' распределенные по нормальном/ закону с нулевым математическим ожиданием.

В главе 6 рассмотрен приближенный метод исследования колебаний твердого тела, взаимодействующего с упругой системой. Метод основан на приближенном представлении сил и моментов, приложенных к телу со стороны упругой системы. Это представление учитывает динамически первые п форм колебаний упругой системы и кваэистатически - все остальные. Оно определяется статической податливостью упругого тела, а также его первыми п собственными частотами и эквивалентными массами. Данные приближенные выражения для сил и моментов соответствуют приближенному представлению динамической податливости (3) в виде

п.

где

К 1 I

к ~ Я(о)-

В главе 6 расширяется понятие динамической податливости упругого тела, определяемой выражением (1).^0но распространяется на те случаи, когда под величиной (-£) понимается не линейное, а угловое перемещение. При этом гармони-

ческое возбуждение тела может вызываться не только сосредоточенной силой, но и изгибающим моментом. Возможно также рассмотрение кинематического возбуждения, при котором происходит линейное перемещение некоторой точки тела или угловое перемещение некоторого элемента тела.

Данный метод значительно уточняет широко используемый в настоящее гремя приближенный метод учета взаимодействия твердого и упругого тела, согласно 1соторому все формы колебаний упругого тела учитываются квазистатически, т.е. принимается, что при колебаниях зависимость перемещения твердого тела от возникающих сил упругости такая же, как и при статическом смещении тела.

Значительное место главы б посвящено построению приближенных механических моделей упругих тел. Под механической моделью здесь понимается механическая система с конечным числом степеней свободы, смещение некоторой точки которой при колебаниях системы под действием силы Р(Ь) можно приближенно представить как смещение рассматриваемой точки упругого тела при его колебаниях под действием данной' сосредоточенной силы Р(10.

На основе предложенного метода решено несколько задач, имеющих практическое значение в различных, областях техники. Исследованы колебания захвата руки манипулятора после ее удара об упор; колебания захвата руки манипулятора при ее повороте с учетом момента торможения и повторных соударений руки о жесткий упор. Исследованы колебания руки промышленного робота, снабженной ударным виброгасителем. Рассмотрены колебания элементов электромагнитного реле при его срабатывании. Исследованы колебания диска, закрепленного на валу в. его середине. Рассмотрен поперечный удар груза о балку с учетом местных деформаций в зоне контакта. Исследовано влияние неравномерности вращения ротора газотурбинного двигателя на колебания рабочих лопаток. На основе исследования фундаментального решения уравнения поперечных колебаний балки и динамической податливости балки решена задача о колебаниях бесконечной балки под действием сосредоточенной силы и задача о влиянии инерции поворота и деформации сдвига на поперечные колебания балки'.

В заключении сделаны некоторые выводы о перспективах; использования методов, разработанных в диссертации.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Вернигор В.Н. Исследование поперечного удара тела о балку на основе элементарной теории.//Прикладная механика. Вып. 3, Л., 1977..

2. Вернигор В.Н. Приближенные модели балки, при' поперечном ударе.//Прикладная механика. Вып. 3,'Л.,,1977.

3. Вернигор В.Н. .Исследование поперечного удара груза о балку на основе приближенных моделей. Вест. Ленингр. ун-та. N 19, 1978.

4. Вернигор В.Н. Исследование колебаний руки манипулятора как системы с распределенными параметрами. Известия вузов. Машиностроение. N 6, 1981.

Б. Вернигор В.Н. Исследование колебаний руки промышленного робота.//Динамика и устойчивость механических систем. Вып. 6, Л., 1984.

• 6. Вернигор В.Н., Филиппов C.B. Исследование одной виброударной системы с распределенными параметрами на основе приближенных моделей- Вестн. Ленингр. ун-та. N 8, 1985.

7. ЗегждаС.А., Вернигор В.Н. О колебаниях балки бесконечной и конечной длины. Вестн. Ленингр. ун-та. Сер. 1. Вып. 4. 1986, с. 10-14.

5. Вернигор В.Н., Гуревич В.А. Расчетные модели руки робота. Тезисы зональной научно-технической конференции молодых ученых и специалистов. Андропов, 1986.

9. Вернигор В.Н., Зеленков Ю.А. Исследование колебаний руки промышленного робота, снабженной ударным виброгасителем. Машиноведение. АН СССР. H 2, 1987.

10. Веркягор В.Н., Зеленков Ю.А. Исследование1 влияния неравномерности вращения ротора газотурбинного двигателя на колебания рабочих лопаток.//Динамика и устойчивость механических систем. Вып., 7, Л., 1988, с. 78-82.

11. Вернигор В.Н., Зеленков Ю.А. Оптимизация параметров виброударного демпфера при гашении колебаний руки промышленного робота. Тезисы шестой Всесоюзной-конференции по управлению в механических системах. Львов, 1988, с. 30.

12. Вернигор В.Н., Гуревич Ю.А. Некоторые задачи ис-

следования колебаний руки промышленного робота на основе ее механических моделей." Известия вузов. Машиностроение. N 12, 1988.

13. Вернигор В.Н., Гуревич В.А. Исследование колебаний руки промышленного робота с учетом рассеяния энергии при повторных ее ударах об /пор. Тезисы докладов 15 Всесоюзной конференции по вопросам рассеяния энергии при колебаниях механических систем. Киев, 1989, с. 32-33.

14. Вернигор В.Н., Зеленков Ю.А. Оптимизация параметров ударного гасителя колебаний руки промышленного робота. Тезисы 15 Всесоюзной конференции по вопросам рассеяния энергии при колебаниях механических систем.. Киев, 1989, с. 33.

15. Вернигор В.Н. О приближенном решении задач колебаний деформируемых твердых тел.//Прикладные задачи динамики и устойчивости механических систем. Вш. 8, Л., 1990, с. 132136.

16. Еернигор В.Н. Определение собственных частот и эквивалентных масс упругого тела по его динамической податливости. Вестн. Ленингр. ун-та. Сер. 1. 1990, вып. 4 (N 22), С. 35-42.

17. Верлигор В.Н. Об исследовании колебаний упругих механических систем на основе их динамической податливости. Вестн. Ленингр. ун-та. Сер. 1, 1991, вып. 1. с. 70-75.

18. Вернигор В.Н., Зеленков Ю.А. Об определении вектора дисбаланса деталей типа "диск". Проблемы машиностроения и надежности машин. АН СССР. N 5, 1991-, с. 31-37.

19. Вернигор В.Н. Об экспериментальном определении эквивалентных масс упругого тела. Вестн. Санкт-Петербургского ун-та. Сер. 1, 1993, вып. 1.

20.-Вернигор В.Н. О резонансном методе экспериментального определения эквивалентных масс упругого тела. Вестн. Санкт-Петербургского ун-та. Сер. 1, 1993, вып. 4.

21. Зегжда С.А., Вернигор В.Н. Исследование влияния инерции поворота и деформации сдвига при поперечном ударе. Вестн. Ленингр. ун-та. Сер. 1, 1987, вып. 2.

Подписано к печати 5.01.ЗД." Заказ б Тираж 100 Объем 1.5 п.*. ПИЛ СПГУ. 199034, Санкт-Петербург, наб. Макарова.б.