Методы квантовой теории углового момента в задаче нескольких тел тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

Меремьянин Алексей Васильевич Д Цл*

Методы квантовой теории углового момента в задаче нескольких тел

01.04.02 - теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени доктора физико-математических наук

Воронеж - 2009

003492369

Работа выполнена в Воронежском государственном университете.

Научный консультант:

доктор физико-математических наук, профессор

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук

Манаков Николай Леонидович

Абрамов Дмитрий Иванович

доктор физико-математических наук

Грум-Гржимайло Алексей Николаевич

доктор физико-математических наук,

Ведущая организация:

Лаборатория теоретической физики Объединённого института ядерных исследований.

Защита состоится "11 марта" 2010 г. в 1540 часов на заседании диссертационного совета Д 212.038.06 при Воронежском государственном университете, расположенном по адресу:

394006, г. Воронеж, Университетская площадь 1.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Воронежского государственного университета.

и

Автореферат разослан _" февраля 2010г.

Отзывы и замечания по автореферату в двух экземплярах, заверенные печатью, просьба высылать по вышеуказанному адресу на имя учёного секретаря диссертационного совета.

профессор

Кадменский Станислав Георгиевич

Учёный секретарь диссертационного совета

Общая характеристика работы

Актуальность работы

Квантовая теория углового момента является важным рабочим инструментом во многих задачах ядерной, атомной и молекулярной физики. Аппарат теории составляют коэффициенты сложения моментов (коэффициенты Клебша-Гордана), различные Згу-символы, а также неприводимые тензоры (НТ), к которым относятся, например, хорошо известные сферические функции [1]. Поскольку замкнутая система N тел инвариантна относительно вращении системы как целого, оператор полного углового момента коммутирует с гамильтонианом системы. Следовательно, волновую функцию можно представить в виде комбинации НТ - собственных функций оператора полного момента. Данный факт позволяет явно выделить зависимость волновой функции от трёх углов, определяющих ориентацию системы в пространстве. Указанные обстоятельства объясняют большую роль, которую играют НТ в квантовой задаче нескольких тел.

Изучение малочастичных систем является ключом к пониманию структуры ядер, атомов и молекул. Это связано с тем, что только в малочастичных задачах возможен достаточно точный учёт мсжчастичных корреляций. Учёт корреляций в квантовой задаче многих тел представляет большую трудность ввиду чрезвычайной сложности решения многомерных дифференциальных уравнений в частных производных. С увеличением числа частиц растёт размерность таких уравнений, что приводит к экспоненциальному росту вычислительных ресурсов, необходимых для расчёта волновых функций. Снижение размерности уравнений в квантовой задаче нескольких тел приводит к существенному упрощению численных расчётов. Как было отмечено выше, для изолированных систем возможность понижения размерности связана с сохранением полного импульса и углового момента системы.

Устранение трёх коллективных переменных, соответствующих движению центра масс системы, достигается при использовании набора векторов Яко-би [2, 3]. Отделение трёх коллективных угловых переменных, описывающих ориентацию системы, более сложно и связано с разложением волновой функции по угловому базису. При этом возникает вопрос о выборе базиса, а также о выводе уравнений на коэффициенты разложения - "обобщённые радиальные функции". Удачный выбор углового базнса может привести к упрощению решения системы радиальных уравнений. Данный вопрос исследовался многими авторами, начиная с 1930-х годов [4]. Тем не менее, ряд моментов оставался невыясненным. Например, понятно, что общий вид уравнений на радиальные функции не должен зависеть от выбора внутренних переменных, задающих относительное положение частиц. Однако, в рамках известных в литературе методов, вывод выражений для радиальных уравнений связан с фиксированием выбора внутренних переменных. Эта и другие проблемы связаны с отсутствием простой техники векторного дифференцирования НТ, разработка которой представляется актуальной задачей.

Быстрый прогресс в экспериментальной технике измерения угловых распределений в процессах многочастичной фрагментации атомов и молекул, таких как двойная фотоионизация, трёхчастичная диссоциация и т.п., делают актуальными задачи, с одной стороны, построения теории таких процессов, н, с другой стороны, развития теоретических методов анализа угловых распределений, позволяющих объяснять их особенности, вытекающие из общих требований симметрии и не связанные с конкретной моделью процесса. Первая задача, очевидно, сопряжена со значительными трудностями численного решения уравнений на волновые функции непрерывного спектра нескольких тел. Одна из основных сложностей вызвана невозможностью приписать волновой функции континуума определённое значение углового момента. В результате, например, волновая функция непрерывного спектра трёх тел за-

висит от шести переменных, что делает её прямое вычисление практически нереализуемой задачей. Однако, использование мультипольных разложений позволяет представить волновую функцию в виде ряда НТ с весами в виде функций, зависящих от трёх внутренних переменных. Более того, в ряде случаев (в двойной фотонопнзацни атома гелия, например) только один член такого разложения даст вклад в амплитуду. Возникает вопрос о выборе базиса для разложения волновой функции континуума. В литературе о задаче трёх тел наиболее популярны два варианта базиса: биполярные гармоники (тензорное произведение двух сферических функций) и ^-функции Вигнера (матрицы конечных вращений). Интерес представляет анализ общих свойств мультипольных разложений. Такой анализ удобнее всего провести на примере разложения какой-либо функции. Известно много разложений различных функций по биполярным гармоникам [1]. Однако, примеры мультипольных разложений по £)-функциям в литературе отсутствуют (за исключением формул для 5-мультиполя разложения произведения двух плоских волн [5]). В этой связи, интерес представляет изучение высших мультиполей разложения волновой функции трёх невзаимодействующих частиц.

Среди многочастичных угловых распределений наиболее просты для анализа процессы фрагментации, вызванные поглощением одного фотона. Примером такого процесса является двойная фотонопизацня атома гелия. Амплитуду процесса фотофрагментации можно представить в виде матричного элемента перехода между начальным связанным состоянием с определённым значением полного углового момента в конечное состояние непрерывного спектра трёх (или более) частиц. При этом оператор перехода является скаляром и линейно зависит от вектора поляризации фотона. В теории фотофраг-мептации атомов и молекул для оператора перехода обычно используется диполыюе приближение. Перечисленные особенности определения амплитуды позволяют делать определённые выводы об её поляризационно-угловой

структуре. Для этого, с помощью теоремы Внгнера-Экарта амплитуду процесса записывают в виде комбинации динамических (не зависящих от углов) и геометрических факторов, определяющих поляризационно-угловую зависимость процесса. Геометрические факторы представляют собой сложные конструкции - тензорные произведения сферических функций, зависящих от направлений вылета фрагментов. Таким образом, проблема параметризации угловых распределений связана с анализом произведений неприводимых тензоров.

В.А. Фок [11] впервые установил, что волновая функция атома водорода в импульсном пространстве пропорциональна четырёхмерной гиперефе-рпческой гармонике (ГСГ). Этот факт объясняет вырождение спектра по орбитальному моменту и, казалось бы, должен дать возможность применить обширный аппарат квантовой теории углового момента к вычислению различных величин, содержащих водородные волновые функции. Тем не менее, оказывается, что особенности симметрии Фока не позволяют использовать свойства ГСГ в вычислениях. Причина этого состоит в зависимости аргументов ГСГ от энергии состояния. В этой связи представляет значительный интерес вопрос о выяснении возможности применения симметрии Фока в расчётах матричных элементов с водородными волновыми функциями. Актуальность изучения симметрии Фока связана также с наличием простого выражения для импульсного представления водородной функции Грина в терминах ГСГ.

Цели диссертации

• Развитие универсального метода отделения коллективных угловых переменных в квантовой задаче N тел. Вывод уравнений на обобщенные радиальные волновые функции, соответствующие различным вариантам выбора углового базиса.

• Изучение ыультииольных разложений волновых функций непрерывного спектра системы трёх тел, включая анализ вариантов выбора углового базиса. Вывод коллективного мультипольного разложения волновой функции трёх невзаимодействующих частиц, т.е. произведения плоских волн.

• Выяснение возможности применения четырёхмерной симметрии Фока к задаче о вычислении матричных элементов с водородными волновыми функциями.

• Построение параметризации амплитуд процессов однофотонной многочастичной фрагментации атомов и простых молекул. Выяснение условий наблюдения иедипольных эффектов в многочастичных угловых распределениях.

Научная новизна и значимость работы

В диссертации впервые с единых позиций теории неприводимых тензоров изучена задача отделения трёх коллективных угловых переменных в квантовой задаче N тел. Для каждого варианта выбора коллективного углового базиса получены обобщённые радиальные уравнения, которые непосредственно могут быть использованы при расчёте радиальных волновых функций состояний с ненулевым полным угловым моментом. Кроме того, развита математическая техника векторного дифференцирования неприводимых тензоров (включая 13-функции Вигнера), позволяющая легко получать радиальные уравнения для любых вариантов выбора углового базиса.

Впервые получено и детально исследовано разложение волновой функции трёх невзаимодействующих частиц (т.е. произведения двух плоских волн) по базису В-функций Внгнера. Обнаружены и исследованы свойства симметрии полученных мультипольных разложений. Важность полученных результатов

связана с тем, что произведение плоских волн является асимптотикой волновой функции рассеяния трёх слабо взаимодействующих частиц при больших расстояниях. Такого рода функции необходимы, например, при построении теории трёхатомной диссоциации молекул.

Впервые доказана возможность применеЕшя симметрии Фока к расчету матричных элементов с нерелятивистскими водородными волновыми функциями. Получено новое компактное представление водородного форм-фак-торного матричного элемента через производные от элементарной функции. Данное представление может быть использовано: (а) для вывода замкнутых выражений для матричных элементов при некоторых частных значениях квантовых чисел, (б) для построения рекуррентных схем вычисления массивов матричных элементов. Кроме того, разработанная техника может быть применена к вычислению матричных элементов со штурмовскими функциями, которые широко используются во многих задачах атомной и молекулярной физики.

Впервые получена универсальная параметризация поляризационной зависимости амплитуды процессов многочастичной фрагментации, вызванных поглощением одного фотона. Структура параметризации сохраняется при любом числе регистрируемых фрагментов, N > 3. Полученные результаты позволяют существенно упростить анализ поляризационной зависимости сечении процессов многочастичной фотофрагментации. Впервые получена параметризация амплитуды процесса двухэлектронной фотоионизации атома с учётом недипольных эффектов. Указаны условия, оптимальные для наблюдения таких эффектов в угловых распределениях. Указаны конфигурации, при которых вклад недипольных эффектов в сечение пренебрежимо мал. Сравнение результатов расчёта с экспериментальными данными указывает на необходимость учёта недипольных эффектов при теоретическом изучении двойного фотоэффекта в атоме гелия при надпороговых энергиях фотона

порядка сотен электрон-вольт.

Результаты и положения, выносимые на защиту

• Предложен универсальный метод отделения коллективных угловых переменных в квантовой задаче N тел. Рассмотрены различные варианты выбора углового базиса. Детально изучены свойства вращающейся системы координат Экарта, минимизирующей кориолисовы члены гамильтониана вблизи положений равновесия. Указан способ, позволяющий обойти проблему калибровочных расходимостей при отделении коллективных углов.

• Проведён анализ вариантов выбора углового базиса мультипольных разложений волновых функций непрерывного спектра системы трёх тел - базис биполярных гармоник и базис Д-функций Вигнера. Получено мультипольное разложение произведения плоских волн, установлены его свойства симметрии.

• Развита техника, позволяющая применять четырёхмерную симметрию Фока к задачам вычисления матричных элементов с водородными волновыми функциями. В результате получено компактное дифференциальное представление для радиальной части форм-факторного интеграла. Для данного интеграла получены замкнутые выражения при нескольких частных значениях квантовых чисел, а также выведены рекуррентные соотношения.

• Построена универсальная параметризация амплитуд процессов однофо-тонпой многочастичной фрагментации атомов и молекул. В качестве примера рассмотрен процесс полной фотофрагментации молекулы водорода. Изучена роль недипольных эффектов в двухэлектронной фо-

тоионизации атома гелия, указаны условия их наблюдения в угловых распределениях.

Апробация работы

Результаты, содержащиеся в диссертации докладывались на семинарах в Университете Альберта-Людвига (Фрайбург, Германия), Институте физики сложных систем общества Макса Планка (Дрезден, Германия), университетах города Орхус (Дания) и города Перуджа (Италия), представлялись на международных конференциях, среди которых: XI-th International Congress of Quantum Chemistry, Bonn, 2003 (Германия), International Workshop on the Critical Stability of Few-Body Quantum Systems, Dresden, 2005 (Германия), Energicreiche Atomare Stosse, Riezlern, 2006 (Австрия), 37th Meeting of the Division of Atomic, Molecular and Optical Physics, Knoxville, 2006 (США), International Bogolyubov conference - Problems of theoretical and mathematical physics, 2009 (Дубна, Россия).

Публикации

По теме диссертации опубликовано 26 статей в международных и российских реферируемых научных журналах, список которых представлен в конце автореферата.

Личный вклад автора

Автором лично получены все основные результаты, представленные в диссертации.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из Введения, четырёх глав, Заключения, содержит Приложение и список литературы из 224 наименований. Полный текст диссертации изложен на 242 страницах и содержит 18 рисунков.

Содержание работы

Во Введении обоснована актуальность диссертационной работы, дан краткий обзор литературы, относящейся к рассматриваемым вопросам, описана структура диссертации, сформулированы цели исследования и представлены выносимые на защиту положения.

В главе 1 рассматривается задача об отделении трёх коллективных угловых переменных, описывающих ориентацию системы N тел как целого в пространстве.

Использование векторов Якоби [2] позволяет представить уравнение Шрё-диигера для системы N тел в виде

(Н-Е) Ф^(гьг2,...гп) = 0, # = + т «

а=1

где п = N — 1, р - чётность состояния и V - потенциал, зависящий, в отсутствие внешних полей, от набора Зтг — 3 внутренних переменных

Существует целый ряд методов отделения коллективных угловых переменных. Можно показать [А1], что все они эквивалентны использованию разложения волновой функции по базису угловых функций,

где - набор базисных функций, зависящих от трёх коллективных уг-

лов П, и независящие от коллективных углов функции будем называть

обобщёнными радиальными функциями. Цель главы 1 диссертации состоит в отыскании обобщённых радиальных уравнений на функции при раз-

личных вариантах выбора углового базиса Удачный выбор углового

базиса может существенно упростить решение системы связанных радиальных уравнений [6], что объясняет важность поставленной задачи. В диссертации не затрагивается вопрос о способах решения радиальных уравнений в задаче нескольких тел. Этот вопрос тесно связан со свойствами рассматриваемой задачи и представляет собой отдельную сложную проблему (см., например, книгу [3]).

В разделе 1.1 излагаются детали процедуры отделения трёх коллективных углов в уравнении Шрёдингера (1) с помощью матриц конечных вращений (МКВ). МКВ представляют собой матрицу преобразования НТ от вращающейся координатной системы (ВКС), связанной с частицами, к неподвижной лабораторной координатной системе (ЛКС). Поскольку физические характеристики не должны зависеть от выбора ВКС, связь осей ВКС с векторами Якоби системы можно рассматривать как калибровочное соглашение [6]. В методе ВКС зависимость волновой функции системы от коллективных углов параметризуется с помощью соотношения [1]

ф[%,г2...гп)=]Гф(?(0ОЦП), (3)

к=-1

где МКВ 01кт(П) зависит от трех параметров П, описывающих поворот от вращающейся к неподвижной системе координат (т.е. ВКС —> Л КС).

Возникает вопрос о существовании предпочтительной калибровки. Ответ зависит от свойств рассматриваемой системы, т.е. потенциала межчастичного взаимодействия, а также спинов и масс частиц, по, в общем случае, ответ на данный вопрос отрицателен [6].

Предлагаемый в диссертации метод получения уравнений на функции

основан на использовании тензорного представления МКВ [А2],

^ro(i2) = i4ifc{{e_i}k®{e0}i-fc}im, к > О, (4)

где Aik - нормировочный коэффициент и запись {e_i}jtM обозначает неприводимое тензорное произведение [1] к одинаковых векторов e_i = (ех—геу)/\/2, где eXiV - базисные векторы осей х, у ВКС,

{e-ibM = {• • • {{е_х <Э е_!}2 ® е_!}3... ® е^}^. (5)

Важнейшим свойством этого тензорного произведения является его независимость от схемы связи образующих его векторов [A3]. Использование представления (4) позволяет радикально упростить вычисление действия операторов градиента из (1) на угловую часть разложения (3). В результате, полный гамильтониан системы можно представить в виде

Я = #о + Нсог + Hrot, (6)

где Hq - колебательный, Ягаг - кориолисов, Hrot - вращательный гамильтонианы. Отметим, что Нд зависит только от выбора внутренних переменных £ и не зависит от выбора ВКС.

Введя обозначения и В^ для симметричной и антисимметричной частей матрицы вторых производных базисных векторов ВКС, Яу = (е* -приведём полученные выражения для гамильтонианов Я^ и

Hrot,

3 /Зп—3 о \

Я«, = »£ L* £ Clk(0w + Вк(0 ,

fc=1 V7=1 ) (7)

Hrot = 4S)(L2 - 2L\) + \ £ B\Sj(LjLi + LlLj), i=l i<j, 1

где €ijk ~ полностью антисимметричный единичный тензор, Bi(£) = В235' (Яг,з получаются циклической перестановкой индексов 1,2,3, соответствующих осям х, у, г ВКС), = (е* • L) - к-я компонента оператора полного

углового момента системы L в осях ВКС, и параметры С^к определяются первыми производными базисных векторов

1 "

С~<к = 2 YL YL ' (е<' (e¡' (8)

а=1 i,j,l

где оператор VQ в квадратных скобках действует только па вектор ej.

Таким образом, показано, что колебательно-вращателыюе разложение (6) определяется первыми и вторыми производными базисных векторов ВКС, взятыми по координатам векторов Якоби.

Согласно Экарту [7], наиболее общее определение ВКС состоит в наложении трёх ограничений на координаты частиц в ВКС,

У« = 0, г = 1,2,3, (9)

где "производящие функции" У^ зависят от 3п параметров yak = (г„ • е^), являющихся декартовыми координатами векторов Якоби в ВКС. Например, производящие функции для ВКС мгновенных главных осей инерции можно представить в виде

п о—1

где индексы ijk обозначают три циклические перестановки набора (1,2,3). Результаты п. 1.1.3 позволяют выразить параметры Вь, С7ь B¡j\ входящие в (7) через производные производящих функций В качестве примера в пп. 1.1.4-5 получены колебательно-вращательные разложения, соответствующие ВКС главных осей инерции и ВКС z-связи, у которой ось z направлена вдоль вектора rj и плоскость zx определена плоскостью векторов ri, гг. Полученные результаты совпадают с приведёнными в литературе [8, 9], что указывает на правильность разработанного метода.

Далее, в разделе 1.2 разработанный формализм применён к ВКС, опре-

делённой условиями Экарха [7],

¿[г^хга] = 0. (11)

0=1

где Га ^ соответствует вектору Якоби га в положении равновесия. Дифференцируя (11) по времени, легко убедиться, что условие Экарта (11) эквивалентно требованию малости компонент оператора полного углового момента относительно вращающихся осей в пределе малых амплитуд отклонений от положения равновесия. Это свойство выгодно отличает ВКС Экарта от системы главных осей инерции, для которой кориолисов гамильтониан не является малым при малых колебаниях. ВКС Экарта широко используется в молекулярной физике при изучении колебаний молекул.

В разделе 1.2 ВКС Экарта впервые изучена исчерпывающим образом. А именно: получены явные выражения для базисных векторов ex.y,z, а так~ же коэффициентов вращательного Hrot и кориолисова гамильтонианов НСОт-Там же рассмотрен кваптовомеханический предел малых колебаний и доказана тождественность предельных свойств системы Экарта в классическом и квантовом случаях. Детально исследован случай задачи трёх тел и получены в явном виде выражения для Н^ и Hrot для набора внутренних переменных гь r2, cos в, где в - угол между векторами ri и гг. В частности, для кориолисова гамильтониана имеем,

_ r^V^ sin(0 - вщ) ( д д\ т sinÖ Heer ~ Lz -i-2--yi-7*2- П— + Lz--jX

Т2 \ дг\ дг2) " гхГчТ^-

{(ед) (ед) о

^-(г! - г\)со*{? - 9Щ) + (г^)2 - (г^)2| (12)

где = (ггг+ (ггг^)2 + 2Г1Г2Г^Г2^ соё(в — вед). Для малых колебаний, когда в ~ вед, ~ коэффициенты перед производными пропорциональны амплитудам колебаний, что означает малость кориолисова гамильтониана для малых отклонений от положения равновесия.

Поскольку полная волновая функция не должна зависеть от величины свободных параметров равновесной конфигурации 0ея, варьируя их

можно изменять величину кориолисова гамильтониана, и, следовательно, управлять запутыванием уравнений на радиальные функции.

Отметим, что разработанный в разделах 1.1-2 метод получения колебательно-вращательных разложений (и, тем самым, уравнений на радиальные функции) является универсальным и применим к произвольной калибровке (т.е. выбору ВКС).

В разделе 1.3 в качестве базиса для отделения коллективных угловых переменных выбраны минимальные биполярные гармоники (МБГ). Обычные биполярные гармоники представляют собой тензорное произведение двух сферических функций [1],

^(гьг2) = {^(гО ® Шг2)}ы = £ С/™ ^^(ВД^а). (13)

ггцпа

12т2 ~ коэффициенты Клебша-Гордапа и ^т(г) - сферические функции. МБГ являются минимальным произведением сферических функций,

Г2) = ОЫгх) ® Ук+Х{г2)}1ш, к = 0,1,.. Л. (14)

где А = О (А = 1) для полярных (аксиальных) МБГ. В работе [А2] показано, что МБГ могут использоваться в качестве базиса для разложения произвольных неприводимых тензоров. Например, биполярные гармоники можно представить в виде [АЗ],

к

где соэ0 = (?1 • гг) и А = 0 для чётной комбинации + ^ + I, иначе А = 1. Явный вид функций получен в [АЗ].

Разложение волновой функции системы трёх тел по МБГ имеет вид

к=О

где Хр = 0 для состояний, чётность р которых совпадает с чётностью I, в противном случае А = 1. В п. 1.3.2 показано, что подстановка данного разложения в уравнение Шрёдингера задачи трёх тел приводит к системе радиальных уравнений,

Н(к»/^+¿^,££> = 0, (15)

а=-1

где и "калибровочные потенциалы" запутывающие уравнения, действуют только па внутренние переменные Приведём выражение для калибровочного потенциала

л'ЛК) .совА к + Хр \

где 1а = — {[га х Уа] - операторы одночастнчного углового момента, а = 1,2. В п. 1.3.3 получены уравнения типа (15) для задачи N тел.

Отделение коллективных углов приводит к возникновению в радиальных уравнениях членов, расходящихся при определённых конфигурациях частиц. Разным угловым базисам соответствуют разные расходящиеся конфигурации. Например, в методе МБГ калибровочные потенциалы расходятся при = 0, г% = 0, в = 0, тт. Первые две расходимости присутствуют и в колебательном гамильтониане их называют точечными расходимостями [6]; они являются аналогами центробежной расходимости в задаче двух тел. Расходимость в = 0,7Г возникает только при ненулевом полном угловом моменте I > 0. Вид расходимостей такого рода определяется калибровкой (выбором) углового базиса; их поэтому называют калибровочными расходимостями [б]. Фундаментальной причиной возникновения калибровочных расходимостей

является то, что из п векторов задачи га невозможно равноправным образом выбрать пару векторов, определяющих вид углового базиса как в методе ВКС, так и МБГ. В практических вычислениях обойти проблему калибровочных расходимостей можно, используя радиальные уравнения, соответствующие разным угловым базисам, с последующей сшивкой решений. Кроме того, в задаче трёх тел в методе МБГ калибровочные расходимости вообще сокращаются. Тем не менее, возникает вопрос о принципиальной возможности отделения коллективных углов, свободного от калибровочных расходимостей. В разделе 1.4 на этот вопрос дан положительный ответ. В основе предлагаемого способа отделения углов лежит использование переполненного базиса. Например, рассмотрим Р-состояние системы N тел. В этом случае I = 1 и волновая функция представляет собой вектор, который, для нечётного состояния, может быть комбинацией всех векторов задачи:

Ф^(гь г2... г„) = £ У1т(г,) Л). (16)

9=1

Подчеркнём, что это разложение справедливо при любых конфигурациях частиц. В данном подходе, однако, число неизвестных радиальных функций равно п, хотя, в обычных методах, для .Р-состояния число радиальных функций равно 21 + 1 = 3. Радиальные уравнения можно получить, подставляя (16) в уравнение Шрёдингера и проектируя результат па функции У\т(гя'). В результате имеем,

(г* • гд)Н„ + -^([г* х Г9] • 13)

я

Х<«> = 0, к — 1,... и,

£

«=1

Щ = Но +

'я

Написанные уравнения свободны от калибровочных расходимостей. Приве-

дём также "равноправное" разложение волновой функции /^-состояния,

Ь<к2

Здесь, тензорное произведение эквивалентно МБГ второго ранга. Соответствующие радиальные уравнения получены в разделе 1.4. Общий случай произвольного углового момента рассмотрен в обзоре [А1].

Результаты первой главы опубликованы в статьях [А1, А2, АЗ, А4, А5, Аб, А7, А8].

В главе 2 изучаются свойства мультипольных разложений волновой функции континуума трёх тел. Мультипольные разложения приходится использовать ввиду того, что волновая функция задачи рассеяния не является собственной функцией оператора полного углового момента. Таким образом, волновая функция зависит от шести переменных, которыми могут быть, например, компоненты векторов Якоби 14,Г2, заданные относительно системы координат, определённой векторами асимптотических импульсов частиц 41,42-Возникает вопрос о выборе углового базиса для разложения волновой функции непрерывного спектра системы трёх тел.

В задаче трёх тел часто используется разложение по базису биполярных гармоник (БГ) (13). Разложение по БГ эквивалентно разложению волновой функции по базису одночастичных состояний, что приводит к возникновению дополнительного бесконечного суммирования, сходимость которого не всегда удовлетворительна. В главе 2 в качестве углового базиса выбраны ¿»-функции Вигнера, описывающие поворот П от системы координат, связанной с импульсами (это неподвижная система, т.е. Л КС), к системе координат, связанной с векторами Якоби (ВКС),

00 j

фч1ч2(гьг2) = ]Г £ (17)

.7=0

где - три скалярных параметра, зависящие от и - три скалярных внутренних параметра, зависящие от г^, например, £г = г1,г2,соз0.

В качестве примера, в разделе 2.2 рассматривается мультипольное разложение произведения двух плоских волн, которое представляет собой волновую функцию трёх невзаимодействующих частиц,

}

pi(qrri+q2 r2) _

j=0 li,v=-j

Используя свойства ортогональности £>-функцпй, для коэффициентов имеем

2j + l

F3 =

8тг2

ei(qir1+q2T 2)jy (18)

Как видно, мультиноль можно понимать как импульсное представление волновой функции жёсткого трёхчастичного симметричного волчка. К сожалению, даже 5-мультиполь Щ^гЛя) не удаётся выразить в замкнутом виде через известные специальные функции. Кроме того, оказывается, что ^оозависит всего от двух внутренних параметров [5]. Установлено, что такое явление наблюдается также в случае мультиполя Гд0, соответствующего определённой калибровке. Например, при .7 = 1 мультиполь можно представить в виде векторного интеграла

s,'(qi.ri+q,r2) h2iMdQ = ¡чЬуА-Bcoei

sm0 smx J \ZA-Bcos-j

о

где cosd = (fi • r2), cos x = (qi ■ Чг), а также

Л = (?m)2 + fer2)2 + 2(q1T1)(q2-r2), В = 2]qi x n| |q2 x r2|.

В общем случае, мультиполи зависят от трёх параметров £г; для них получено несколько интегральных представлений, соответствующих двум калибровкам.

В диссертации предложено интерпретировать интеграл (18) как амплитуду мгновенного трёхчастичного распада (нредиссоциации) жёсткой молекулы типа симметричного волчка на невзаимодействующие атомы. Иными словами, мультипольные коэффициенты разложения произведения плоских волн представляют "кинематическую модель" процесса предиссоциации (раздел 2.3). Мультиполи удобно графически изображать в виде диаграмм Да-литца [10], т.е. диаграмм интенсивности в осях х = (бг — «1)/\/3 и у = 63 —1/3, где бг ~ энергия г-той частицы в единицах полной энергии Ш =

На рис. 1 показана диаграмма, соответствующая 5-мультиполю. Особенностью диаграммы является круговая симметрия. Отметим, что такая симметрия имеет место только для распада симметричного волчка.

V! = 0.5еУ, ¡=0, ц=0. у=0

-0.4-0.3-0.2-0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 X

Рис. 1. Диаграмма Далитца для 5-мультиполя |^о|2> соответствующего полной энергии \¥ = 0,5 эВ и одинаковым массам частиц, равным массе протона. Центру диаграммы соответствует симметричный разлёт частиц, краям - коллинеарный.

Если кинетическая энергия частиц велика по сравнению с межчастичным взаимодействием, то имеет смысл учитывать потенциал взаимодействия по теории возмущений. Коллективные мультипольные разложения поправочных членов, аналогичные (17), а также матричные элементы с ними, приведены

в статье [А9].

Результаты второй главы опубликованы в статьях [А10, All, А9].

В главе 3 рассматривается применение 4-мерной симметрии Фока к задаче о вычислении матричных элементов, содержащих водородные функции. В.А. Фок установил [11], что в импульсном пространстве волновая функция атома водорода пропорциональна 4-мерной гиперсферической гармонике (ГСГ). Известно, что основная трудность практического применения фоков-ской симметрии состоит в зависимости аргументов ГСГ от энергии состояния [12]. В диссертации показано, что использование полученных в работе [А12] мультипольных разложений ГСГ позволяет обойти данную проблему. Для определённости, в диссертации рассматривалась задача о вычислении форм-факторного интеграла1,

F(k) =

ij}(f)etk-^i{f)df. (20)

В разделе 3.1 задача о вычислении матричного элемента сформулирована в терминах интеграла, содержащего ГСГ,

т =

2аь'2 f„. ,_.р2

а1'2

где Уп'1>т'(у) - 4-мерная ГСГ, зависящая от единичного вектора у, см. рис. 2, 11 а = п+Т»^ = пЧТ' гДе п ~~ главное квантовое число минус единица, 1т -квантовые числа углового момента. Остальные обозначения: х = —е + 2а Ч = р - к, где р = (р,/3), к = {к,/3- а).

В разделе 3.2 получено мультипольное разложение функции (¡~2УП1„г(х.), позволяющее вычислить интеграл (20) с помощью свойств ортогональности

1 Буквы со стрелками обозначают 3-векторы, жирный шрифт - 4-векторы.

О к+р

Рис. 2. Сечение 4-сферы. Точка х - стереографическая проекция точки р, сдвинутая на

где символ ® обозначает неприводимое тензорное произведение в 4-простран-стве и коэффициенты А скалярны. Оказывается, что в (21) все четырёхмерные коэффициенты Клебша-Гордана вычисляются в замкнутом виде [А12], что резко упрощает вычисление тензорных произведений. Отметим также, что фактически в (21) бесконечна только одна сумма - она соответствует мультпполыюму разложению функции ехр 1(к ■ г). В итоге, интеграл (20) выражается в виде комбинации функций для которых получено ком-

пактное дифференциальное представление.

В разделе 3.3 изучаются свойства полученных выражений для матричных элементов. В частности, показано, что в длинноволновом приближении полученные выражения для матричных элементов совпадают с известными формулами Гордона [13].

Одним из ключевых результатов главы 3 является дифференциальное

вектор к. Ось энергии направлена вдоль вектора е = (0,1).

ГСГ. Приведём тензорный вид этого разложения,

-п3(е) <8> УПз(у ) }щ +пг }пх }п(т! (21)

представление интеграла с водородными радиальными волновыми функциями,

00

г) Мкг) Япл(Р, г) Г2йг ~

о

~ аг'(1 + <)п+1+1 д?-1'{и + т)п'+м д1~к+1+1х

х [у? + (1 + «)(* + г) + («+ г)2]-'-1(22)

где <Эг = д/дЬ, и = а//3 и ш = ■ Представление (22) позволяет полу-

чить замкнутые выражения для радиального интеграла в случае малых значений квантовых чисел (Приложение Г.З). Кроме того, дифференциальное представление (22) даёт возможность легко получать разного рода рекуррентные соотношения для радиальных интегралов. Несколько таких соотношений приведено в Приложении Г.4.

Отметим также, что разработанная техника может быть использована для вычисления двухцентровых кулоновских интегралов, а также интегралов со штурмовскими функциями.

Результаты главы 3 опубликованы в статьях [А12, А13, А14, А15].

В главе 4 рассматривается параметризация поляризационной зависимости амплитуд и сечений процессов однофотопной фрагментации атомов и молекул. В разделе 4.1 получена параметризация амплитуды Т однофотопной фрагментации в диполыюм приближении,

Т=({р}|а.е|Ф<>,

где Фг - начальное состояние, е и <1 - векторы поляризации фотона и диполь-ного момента, {р} обозначает набор асимптотических импульсов фрагментов. Параметризация основана па использовании разложения вектора поляризации фотона по базису пары векторов асимптотических импульсов фрагмен-

tob,

e sin2 9 = k2 (e • pi) - Ki (e • p-2) + [Pi x Pa] (e • [pi x p2]),

где «i,2 = [pi,2 x [pi x P2]] Ii 0 - угол между pi и p2 (при в = 0 для разложения вектора поляризации надо выбрать другую пару импульсов). В итоге, амплитуду любого процесса одпофотошгой JV-частичиой фрагментации можно записать в виде

Т = ai (е • pj) + а2 (е • р2) + А (е • [pi х р2]), (23)

где скалярные коэффициенты амплитуды равны

«i+1 = (-1) --> J = 0,1,

({p}|[pi хр2]-с1|Ф0

А =

sin2 (

Параметры не зависят от направления и поляризации фотона и яв-

ляются функциями углов между векторами импульсов.

Отметим, что для двухэлектронной фотоиопизации основного состояния гелия /1 = 0 из-за закона сохранения чётности.

Параметризация (23) является универсальной и применима для описания произвольных процессов однофотонной фрагментации. В качестве примера, в п. 4.1.2 рассматривается полная фрагментация молекулы водорода: + > р + р + е + е. Там же приведены результаты численного расчёта, основанного на использовании представления волновой функции конечного состояния в виде произведения кулоновских волн [А16].

В разделе 4.2 рассматривается параметризация амплитуды двухэлектронной фотоионизации с учётом недииольных поправок. Данная задача представляет интерес в связи с экспериментами по ионизации гелия фотонами с энергией 529 эВ [14]. В п. 4.2.1 на основе метода вычисления тензорных произведений, развитого в работах [А2, АЗ, А13, А17], получены выражения

для динамических (т.е. не зависящих от поляризации фотона) факторов амплитуды. Динамические факторы представлены в виде рядов, содержащих производные от многочленов Лежандра и приведённые матричные элементы операторов дипольного и квадрупольного моментов. Например, для ионизации ^о-состояния квадрупольпая амплитуда имеет вид,

А} = 91 (е • Р1)(Р1 • к) + 32 (е • Рг)(Р2 • к)+

+ 9з [(е • р!)(р2 • к) + (е • р2)(р! • к)],

где к = к/к (к - волновой вектор фотона), <71 = д{р\,р%созв) и дч = д(р-2,р1,с05в) н функция д определена равенством

1=2

д(р,р',cos0) = Qu'(P,P') + V6Qu(p,p')

P,(2)(cos 9),

4'=¡±2

где параметры Qw выражаются через приведённый матричный элемент оператора квадрупольного взаимодействия,

Qw ~ (PiP2,(ü')2|]Q2||0).

(Выражение для функции g¡¡ дано в [А18].)

В п. 4.2.2 рассмотрены недипольные эффекты в двойной ионизации атома гелия. Там же указаны условия, оптимальные для наблюдения недиполь-ных эффектов в угловых распределениях, см. рис. 3. Приведены правила отбора для квадрупольной амплитуды, показывающие, что её вклад обращается в ноль при ортогональной геометрии эксперимента, когда векторы импульсов фотоэлектронов перпендикулярны направлению фотонного пучка. Результаты расчёта амплитуды с помощью теории возмущений по межэлектронному взаимодействию показывают, что недипольные эффекты в угловых распределениях можно наблюдать уже при суммарной энергии фотоэлектронов ~ 80 эВ [А18, А19, А20]. Учёт недипольных эффектов в методе сильной

(а) к

Р.

Ж .

£

е,=Е2 )к<

Рис. 3. Геометрии эксперимента, удобные для наблюдения недипольных эффектов в двойной ионизации гелия. Векторы е, k, pj, рг лежат в одной плоскости. Проводятся два измерения: одно для (е, к), другое для (е, к' = —к), (а) равная энергия электронов; (Ь) неравная энергия электронов (для р2 = —Pi, т.е. в = 180°)

связи (ССС, [А19]) приводит к улучшению согласия с экспериментальными данными (см. рис. 4), что подтверждает важность недипольных эффектов в двойной ионизации гелия при энергии фотона в несколько сот электрон-вольт.

Результаты четвертой главы опубликованы в статьях [А17, А21, А22, А23, А24, А16, А18, А19, А20, А25, А26].

В Заключении приведена сводка результатов диссертации.

Основные результаты диссертации

1. Разработан универсальный метод отделения коллективных угловых переменных в квантовой задаче N тел, основанный на технике векторного дифференцирования матриц конечных вращений. Получены выражения для коэффициентов колебательно-вращательного разложения гамильтониана, справедливые для произвольного выбора вращающейся координатной системы.

2. Получены явные выражения для базисных векторов, вращательного и

о а н

(а) в! = 0° i 1 £k=50eV

к

-3-2-10 1 2 3 TDCS (Ю-3 b eV_1si--2)

10

\

й 1 > 5

0

о

U1 -5

о

а

н

-10

15

7 10

1 > 5

ï 0

-5

en

о -10

Д '

H

-15

(b) 0! = 45° 1 1 Е1 = 50 oV"

f . ; il

-10 -5 0 5 10 TDCS (10~3 b eV-lsi-"2)

(с) Si = 90° Ex = 50 eV

v' 1 1 1 1

15

\ 10

л

\ 5

¿г °

S. -5

со

Н-Ю

Ь

-15

(d) вг = о°.

Ei = 400 eV

-15 -10 -5 0 5 10 15 TDGS (10-3 beV-'sr"2)

10

7 5 >

Cfi -5 О

а н

-ю

о -1

Q

H

1 11 -1 rfi- i i Si = 400

1 4 j . .

-10 -5 0 5 10 TDCS (10"3 b eV-'sr--')

(f) 0, = 90° Ei = 400 eV

-15 -10 -5 0 5 Ю 15 TDCS (10~3 b eV-^r-2)

-2-10 1 2 TDCS (ÎO^3 Ь cV-'si-2)

Рис. 4. Дифференциальное сечение (TDCS) двойной ионизации гелия линейно поляризованным фотоном для суммарной энергии фотоэлектронов Et + Е2 = 450 эВ. Направление векторов к и £ указано на рис. (а). Угол в\ вылета электрона с энергией Еi относительно вектора поляризации е показан стрелкой. Показано угловое распределение второго электрона как функция угла вг- Сплошные линии: дипольно-квадрупольное сечение в методе ССС: прерывистые линии: дипольное приближение. Точки с интервалами погрешностей: экспериментальные данные [14]

корнолисова гамильтонианов, соответствующих вращающейся системе координат Экарта в задаче N тел.

3. Минимальные биполярные гармоники использованы для отделения коллективных углов в задаче N тел; получены уравнения для соответствующих радиальных функций.

4. Приведен способ отделения коллективных угловых переменных, свободный от калибровочных расходимостей.

5. Получены коллективные мультипольные разложения произведения двух плоских воли, что соответствует импульсному представлению волновой функции трсхчастичного симметричного волчка. Изучены свойства симметрии и правила отбора для мультипольиых коэффициентов.

6. Построена техника расчёта матричных элементов с водородными волновыми функциями на основе симметрии Фока. Получено компактное дифференциальное представление матричного элемента оператора ехр г(к-г) с волновыми функциями атома водорода; получены рекуррентные соотношения для матричных элементов.

7. Предложена универсальная параметризация поляризационной зависимости амплитуд процессов многочастичной (Ж > 3) фрагментации, вызванной поглощением одного фотона. Структура параметризации сохраняется при любом числе регистрируемых фрагментов, N >3.

8. Получена параметризация сечения процесса двухэлектрониой фотоио-ннзации атома с учётом недииольных эффектов. Указаны условия, оптимальные для наблюдения таких эффектов в угловых распределениях.

Список публикаций

[Al] А. V. Meremianin, J. S. Driggs. The irreducible tensor approach in the separation of collective angles in the quantum N-body problem // Phys. Rep. - 2003. - Vol. 384, no. 4-6. - Pp. 121-195.

[A2] N. L. Manakov, A. V. Meremianin, A. F. Starace. Invariant representations of finite rotation matrices and some applications // Phys. Rev. A. —1998. — Vol. 57. - Pp. 3233-3244.

[A3] N. L. Manakov, S. I. Marmo, A. V. Meremianin. A new technique in the theory of angular distributions in atomic processes: the angular distribution of photoelectrons in single and double photoionization //J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys. - 1996. - Vol. 29. - Pp. 2711-2737.

[A4] J. P. J. Carney, R. H. Pratt, N. L. Manakov, A. V. Meremianin. Dependence of photon-atom scattering on energy resolution and target angular momentum // Phys. Rev. A. — 2000. — Vol. 61.- P. 042704.

[A5] N. L. Manakov, A. V. Meremianin, A. F. Starace. Factorized representation for parity-projectcd Wigner (/3)-matrices // Phys. Rev. A. — 2000. — Vol. 61.-P. 022103.

[A6] N. L. Manakov, A. V. Meremianin, A. F. Starace. Invariant spinor representations of finite rotation matrices // Phys. Rev. A. — 2001. — Vol. 64. — P. 032105.

[A7] A. V. Meremianin, J. S. Briggs. Elimination of Body-Frame Singularities in the Separation of Three Collective Angles in Quantum N-Body Problems // Phys. Rev. Lett. - 2002. - Vol. 89, no. 20. - P. 200405.

[A8] A. V. Meremianin. Body frames in the separation of collective angles

in quantum N-body problems // J. Chem. Phys.— 2004.— Vol. 120. — Pp. 7861-7876.

[A9] A. V. Meremianin. Collective Multipole Expansions and the Perturbation Theory in the Quantum Three-Body Problem // Few-Body Systems.— 2009.-Vol. 45, no. 1,- Pp. 11-23.

[A10] A. V. Meremianin. The Kinematical Model of the Sudden Break-up of the Three-Body Rigid Rotator // Few-body Systems. - 2006. - Vol. 38, no. 2-4.-Pp. 199-203.

[All] A. V. Meremianin. The three-body rigid rotator and multipole expansions of the three-body continuum //J. Phys. B: Atomic, Molecular and Optical Physics. - 2005. - Vol. 38. - Pp. 757-775.

[A12] A. V. Meremianin. Multipole expansions in four-dimensional hyperspher-ical harmonics // J. Phys. A: Mathematical and General— 2006,— Vol. 39. - Pp. 3099-3112.

[A13] N. L. Manakov, A. V. Meremianin, A. F. Starace. Multipole expansions of irreducible tensor sets and some applications // J. Phys. B: Atomic, Molecular and Optical Physics. - 2002. - Vol. 35. - Pp. 77-91.

[A14] A. V. Meremianin, J-M. Rost. Multipole expansions and Fock symmetry of the Hydrogen atom //J. Phys. A: Mathematical and General. — 2006. — Vol. 39. - Pp. 12427-12445.

[A15] A. V. Meremianin. Hyperspherical harmonics with arbitrary arguments // Journal of Mathematical Physics. — 2009. — Vol. 50, no. 1. — P. 013526.

[AlG] M Walter, A. V. Meremianin, J. S. Briggs. Multi-particle photoionization

by a single photon //J. Phys. B: Atomic, Molecular and Optical Physics. — 2003,- Vol. 36,- Pp. 4561-4579.

[A17] H. JI. Манаков, А. В. Меремъянин. Поляризационно-угловая структура н эллиптический дихроизм трёхфотонных связанно-связанных переходов в атомах // ЖЭТФ. - 1997. - Т. 84. - С. 1984.

[А18] A. Y. Istomin, N. L. Manakov, А. V. Meremianin, A. F. Starace. Nondipole effects in photo double ionization of He by a vuv photon // Phys. Rev. Lett. - 2004. - Vol. 92. - P. 063002.

[A19] A. Y. Istomin, A. F. Starace, N. L. Manakov, A. V. Meremianin, A. S. Kheifets, I. Bray. Nondipole effects in double photoionization of He at 450 eV excess energy // Journal of Physics B: Atomic, Molecular and Optical Physics. - 2006. - Vol. 39, no. 2. - Pp. L35-L43.

[A20] A. Y. Istomin, N. L. Manakov, A. V. Meremianin, A. F. Starace. Nondipole effects in the triply differential cross section for double photoionization of He // Phys. Rev. A. - 2005. - Vol. 71. - P. 052702.

[A21] N. L. Manakov, S. I. Marmo, A. V. Meremjanin. Circular dichroism in VUV- and X-ray atom scattering caused by virtual photoionization // J. Electron Spectrosc. Relat. Phenom. - 1996. - Vol. 79. — Pp. 331-334.

[A22] N. L. Manakov, A. V. Meremianin, A. Maquet, J. P. J. Carney. Photon-polarization effects and their angular dependence in relativistic two-photon bound-bound transitions // Journal of Physics B: Atomic, Molecular and Optical Physics. - 2000. - Vol. 33, no. 20. - Pp. 4425-4446.

[A23] N. L. Manakov, A. V. Meremianin, J. P. J. Carney, R. H. Pratt. Circular dichroism effects in atomic x-ray scattering // Phys. Rev. A. — 2000. — March. - Vol. 61. - P. 032711.

[А24] M. Walter, A. Meremianin, J. S. Briggs. Shape-Amplitude Representation of N-Particle Photofragmentation Processes // Phys. Rev. Lett — 2003.— Vol. 90.-P. 233001.

[A25] A. Y. Istomin, N. L. Manakov, A. V. Meremianin, A. F. Starace. Circular dichroism at equal energy sharing in photo-double-ionization of He // Phys. Rev. A. - 2004. - Vol. 70. - P. 010702(R).

[A26] A. Y. Istomin, A. F. Starace, N. L. Manakov, A. V. Meremianin, A. S. Kheifets, I. Bray. Paramctrizations and dynamical analysis of angle-integrated cross sections for double photoionization including nondipole effects // Phys. Rev. A. - 2005. - Vol. 72, no. 5. - P. 052708.

Цитированная литература

[1] Д. А. Варшалович, A. H. Москалев, В. К. Херсонский. Квантовая теория углового момента. — Ленинград: Наука, 1975.

[2] Yu. F. Smirnov, К. V. Shitikova. The K-harmonics method and shell model [for nuclei with mass > 4] // Sov. J. Part. Nucl.— 1977.— Vol. 8, no. 4,— Pp. 344-370.

[3] С. П. Меркурьев, Л. Д. Фаддеев. Квантовая теория рассеяния для систем нескольких частиц. — Москва: Наука, 1985.

[4] G. Breit. Separation of Angles in the Two-Electron Problem // Phys. Rev. — 1930.- Vol. 35, no. 6.- Pp. 569-578.

[5] А. А. Квицинский, С. П. Меркурьев. Плоская волна в системе трёх частиц с нулевым полным орбитальным моментом // Алгебра и анализ. - 1990. - Т. 2, по. 4. - Сс. 182-200.

[6] R. G. Littlejohn, M. Reinsch. Gauge fields in the separation of rotations and internal motions in the ri-body problem // Rev. Mod. Phys.— 1997. — Vol. 69, no. 1.— Pp. 213-275.

[7] C. Eckart. Some Studies Concerning Rotating Axes and Polyatomic Molecules // Phys. Rev. - 1935. - Vol. 47,- Pp. 552-558.

[8] J. 0. Hirschfelder, E. Wigner. Separation of rotational coordinates form the Schrodinger equation for N particles // Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A.— 1935,- Vol. 21.- Pp. 113-119.

[9] J. Tennyson, B. T. Sutcliffe. The ab initio calcualation of the vibrational-ro-tational spectrum of triatomic systems in the close-coupling approach, with RCN and H2Ne as examples //J. Chem. Phys. - 1982. - Vol. 77, no. 7. -Pp. 4061-4072.

[10] R. H. Dalitz. On the analysis of r-meson data and the nature of the T-meson // Philos. Mag. - 1953. - Vol. 44. - P. 1068.

[11] W. Fock. Zur Theorie des Wasserstoffatoms // Z. Phys. - 1935. - Vol. 98. -P. 145.

[12] M. Lieber. 0(4) Symmetry of the Hydrogen Atom and the Lamb Shift // Phys. Rev. - 1968. - Vol. 174. - Pp. 2037-2054.

[13] W. Gordon. The calculation of matrices with the Hydrogen atom // Ann. Phys. - 1929. - Vol. 2, no. 8. - Pp. 1031-1056.

[14] A. Knapp, A. Kheifets, I. Bray et al. Photo double ionization of helium 100 eV and 450 eV above threshold: I. Linearly polarized light // Journal of Physics B: Atomic, Molecular and Optical Physics. — 2005. — Vol. 38, no. 6,-Pp. 615-633.

Полный текст диссертации доступен в сети Интернет по адресу: http://www.phys.vsu.ru/~meremianin/Meremianin_DSc.pdf

Подписано в печать 29.01.10. Формат 60*84 ]/{6. Усл. нсч. л. 2,1. Тираж 100 экз. Заказ 104

Отпечатано с готового оригинала-макета в типографии Издагельско-полиграфического центра Воронежского государственного университета. 394000, Воронеж, ул. Пушкинская, 3.

Введение .б

Глава 1. Отделение коллективных угловых переменных в уравнении Шрёдингера для системы Лг тел.

1.1. Метод вращающихся координатных систем и колебательно-вращательное разложение гамильтониана

1.1.1. Отделение коллективных углов в методе вращающихся координатных систем

1.1.2. Колебательно-вращательное разложение гамильтониана

1.1.3. Общее определение вращающихся координатных систем

1.1.4. Калибровка мгновенных главных осей инерции

1.1.5. Калибровка ^-связи

1.1.6. Примеры радиальных уравнений для задач трех и четырёх тел

1.2. Калибровка Экарта

1.2.1. Производящие функции, векторы и матрица Экарта

1.2.2. Вычисление базисных векторов и матрицы Экарта

1.2.3. Вращательный и кориолисов гамильтонианы.

1.2.4. Предел абсолютно твёрдого тела для системы Экарта

1.2.5. Планарные системы.

1.2.6. Задача трёх тел

1.2.7. Задача четырёх тел

1.3. Метод минимальных биполярных гармоник

1.3.1. Разложения по минимальным биполярным гармоникам

1.3.2. Задача трёх тел

1.3.3. Задача N тел.

1.4. Метод устранения калибровочных расходимостей

1.5. Выводы.

Глава 2. Мультипольные разложения континуума трёх свободных частиц и волновые функции волчка

2.1. Мультипольные разложения волновой функции континуума трёх тел

2.2. Разложение произведения двух плоских волн

2.2.1. Калибровка половинного угла

2.2.2. Калибровка ггх

2.2.3. Связь мультиполей, соответствующих разным калибровкам, и интегралы с функциями Бесселя.

2.3. Кинематическая модель трёхчастичного распада

2.3.1. Диаграммы Далитца

2.3.2. Распад трёхчастичного волчка.

2.4. Выводы.

Глава 3. Четырёхмерные мультипольные разложения и симметрия Фока атома водорода

3.1. Стереографические проекции и матричные элементы с водородными волновыми функциями.

3.1.1. Матричные элементы в импульсном пространстве

3.1.2. Свойства стереографической проекции

3.2. Мультипольные разложения гиперсферической гармоники

3.2.1. Тензорная форма мультипольных разложений.

3.2.2. Явные выражения для мультипольных разложений

3.3. Выражения для матричных элементов

3.3.1. Явный вид матричных элементов

3.3.2. Дигюльное приближение

3.4. Выводы.

Глава 4. Параметризация угловых распределений в процессах однофотонной фрагментации .1G

4.1. Параметризация дипольной амплитуды АГ-частичной фрагментации

4.1.1. Общие выражения для амплитуды фотофрагментации

4.1.2. Полная фрагментация молекулы водорода

4.2. Недипольные эффекты в двухэлектронной фотоионизации атомов

4.2.1. Параметризация амплитуды с учётом недипольных поправок

4.2.2. Недипольные поправки к ионизации гелия.

4.3. Выводы.

Изучение малочастичных квантовых систем имеет большое значение для понимания структуры ядер, атомов и молекул. Диапазон задач, в которых приходится иметь дело с малочастичными системами чрезвычайно широк: от изучения ядерного гало [1, 2] и мюонного катализа ядерного синтеза [3-5] до исследования полупроводниковых наноразмерных структур - квантовых точек [6-8]. Как правило, в квантовых системах нескольких тел межчастичные корреляции велики, и методы вычислений, основанные на приближении самосогласованного поля, неприменимы. Таким образом, в данном случае необходимо решать уравнение Шрёдингера напрямую, что связано с большими трудностями численного решения уравнения в частных производных в многомерном пространстве. Поэтому, развитие аналитических методов, позволяющих уменьшить количество переменных в уравнении Шрёдингера, представляется весьма важной задачей. Возможность такого понижения размерности вытекает из симметрии изолированной системы относительно коллективных трансляций и вращений.

Квантовая теория углового момента является одним из важных инструментов теоретических исследований систем нескольких тел. Коротко говоря, квантовая теория углового момента представляет собой науку о неприводимых тензорах. В трехмерном пространстве, неприводимый тензор ранга I есть совокупность (2/ + 1) компонент, преобразующихся при вращениях системы координат по линейному закону. Одно из преимуществ неприводимых тензоров заключается в том, что в трёхмерном пространстве число их компонент линейно растёт с увеличением ранга I, в отличие от обычных (декартовых) тензоров, где рост экспоненциален. Простейшим примером неприводимых тензоров1 являются сферические гармоники У/Ш(г) = У/ш(6>, ф), где 9,ф- сферические углы единичного вектора г.

Важность теории углового момента для приложений обусловлена тем обстоятельством, что для изолированной системы N тел сохраняется полный момент количества движения (момент импульса). В квантовой механике это означает, что волновая функция системы N тел в отсутствие внешних полей является собственной функцией оператора полного углового момента Л\ Как известно, собственные функции оператора Л являются неприводимыми тензорами [9-11]. Для простоты, всюду в диссертации пренебрегается эффектами спин-орбитального взаимодействия, так что сохраняется полный орбитальный момент количества движения Ь.

Нерелятивистское квантовомеханическое описание движения N частиц подразумевает решение уравнения Шрёдингера, " И2 \

- X) ^ + У(Кь К2'' • •Кдг) " Е) ф(Р)(Кь К2'. • ■ Нлг) = о, (1) г=1 Ш% ) где Е - энергия системы, V; - оператор градиента относительно радиус-вектора Б^ частицы с массой т^ Но, ■ ■ ■ Г^у) ~ полная волновая функция системы IV тел, квантовое число р описывает чётность состояния, р = 0,1 для чётного и нечётного состояний, соответственно. Уравнение (1) является дифференциальным уравнением в частных производных относительно ЗМ переменных - компонент радиус-векторов частиц

Уже для трёх тел размерность уравнения (1) равна девяти, что делает практически невозможной любую попытку его прямолинейного численного решения. Однако, задача упрощается в случае изолированной системы, т.е. при отсутствии внешний полей, действующих на частицы. В этом случае потенциальная энергия, и следовательно уравнение (1) в целом, инвариантны

1 Основные свойства неприводимых тензоров приведены в Приложении А, см. также книги [9-11]. относительно пространственных трансляций и вращений совокупности частиц. При этом удобно перейти к следующей параметризации переменных в (1): три компоненты радиус-вектора Ro центра масс (ц.м.) частиц плюс три угла описывающих ориентацию всей системы как целого в пространстве, плюс три величины £ = (£ъ£2?£з)> описывающие относительное положение трёх частиц. Данная параметризация легко обобщается на случай задачи N тел, при этом число внутренних переменных равно 3N — б, т.е.

Тот факт, что для изолированной системы потенциальная энергия V зависит только от внутренних переменных позволяет устранить из уравнения Шрёдингера шесть коллективных степеней свободы. Три из них описывают движение ц.м. и могут быть устранены из уравнения (1) несколькими способами. Одним из наиболее употребительных является использование набора векторов Якоби [12-15]. (Необходимый минимум информации об этом методе содержится в Приложении Б.) Преимущество данного метода в том. что в записи через векторы Якоби оператор кинетической энергии относительного движения имеет диагональный вид. Отметим, что диагопальность кинетической энергии сохраняется также и при использовании координат Радо (Radau coordinates, см. [12, 16-18]).

В Приложении Б показано, что при использовании масс-масштабирован-ных векторов Якоби уравнение Шрёдингера можно представить в виде2.

Сохранение полного углового момента позволяет отделить в уравнении (2)

23дееь, и далее в тексте диссертации, если иное не оговорено особо, используются единицы К = 1.

Н-Е) Ф<Р>(г1,Г2,.Гп) = 0, п=N-1

2) а=1 ещё три коллективные переменные, которые описывают ориентацию системы в пространстве. Существует целый ряд методов отделения коллективных угловых переменных. Можно показать [19], что все они основаны на разложении волновой функции по угловому базису, которое для состояния с определённым значением углового момента 1т имеет вид,

Ф^(гьг2.г = (3) где - набор базисных функций, зависящих от трёх коллективных углов Г2; независящие от коллективных углов функции ф^ (£) будем называть обобщёнными радиальными функциями. Цель главы 1 диссертации состоит в отыскании обобщённых радиальных уравнений на функции при различных вариантах выбора углового базиса Отметим, что удачный выбор углового базиса может существенно упростить решение системы радиальных уравнений [20], что объясняет важность поставленной задачи. В диссертации не затрагивается вопрос о способах решения радиальных уравнений в задаче нескольких тел. Данный вопрос тесно связан со свойствами рассматриваемой задачи и представляет собой отдельную сложную проблему (см., например, книгу [14]).

В молекулярной физике часто используется метод вращающихся координатных систем (ВКС) [12, 21], в котором коллективные углы определены как углы поворота системы координат, связанной с частицами, относи тельно осей неподвижной лабораторной координатной системы (ЛКС). При этом в (3) в качестве базисных функций используются матрицы конечных вращений (МКВ), которые при параметризации поворота углами Эйлера известны как /^-функции Вигнера О1 п(а(37). Существует, очевидно, бесконечно много вариантов выбора ВКС, так что каждый конкретный выбор ВКС можно рассматривать как "калибровочное соглашение" [12].

Известно [19], что метод ВКС эквивалентен представлению гамильтониана системы в виде суммы колебательной Щ, кориолисовой НС0Г1 и вращательной НгоЬ частей [22-28]. Колебательный гамильтониан Но описывает относительное движение частиц, вращательный гамильтониан ПгоЬ соответствует вращению системы как целого, и кориолисов гамильтониан Нсог (обозначенный в работе [19] как колебательно-вращательный гамильтониан Н^ь) описывает взаимодействие между относительным движением частиц и вращением системы. Выбор калибровки определяет относительную величину гамильтонианов Нсог и но не влияет на Но. Отметим, что малость относительной величины кориолисова гамильтониана означает независимость вращения и колебаний, и в этом случае вращение системы подобно вращению твёрдого тела. Отыскание ВКС, в которой минимизируются кориолисовы члены гамильтониана является важной задачей теории несферических ядер [20, 28-38].

В разделе 1.1 развит общий метод отыскания обобщённых радиальных уравнений, основанный на технике векторного дифференцирования неприводимых тензорных произведений, развитой в работах [19, 39-41]. Метод является универсальным и применим к отысканию радиальных уравнений для любых калибровок. В разделах 1.1-1.3 показано, что использование разложения (3) приводит к возникновению в радиальных уравнениях членов, расходящихся при определённых положениях частиц. Расходимости такого типа называют ''калибровочными" [12, 42], поскольку они зависят от выбора углового базиса (т.е. калибровки). В практических вычислениях проблему калибровочных расходимостей можно обойти сшивкой решений, соответствующих нескольким калибровкам, расходимости которых не пересекаются. Тем не менее, представляет интерес вопрос о существовании такого метода отделения коллективных углов, при котором калибровочные расходимости не возникали бы вообще [12]. Ответ на этот вопрос дан в разделе 1.4, где предложен метод отделения коллективных углов, свободный от калибровочных расходи-мостей. Метод основан па применении переполненного углового базиса муль-типолярных гармоник [19]. Цена, которую приходится платить за отсутствие расходимостей в данном методе - быстрый рост числа радиальных уравнений с увеличением числа частиц и/или полного углового момента системы.

В квантовой проблеме нескольких тел особую сложность представляет теоретическое описание процессов с участием нескольких (Л/- > 3) частиц в непрерывном спектре. Примерами таких задач могут служить двухэлек-тронная фотоионизация атомов и молекул [43-46], ионизация атомов электронным ударом [47-50], трёхчастичная диссоциация [51-54]. Одна из трудностей заключается в том, что волновая функция задачи рассеяния не является собственной функцией оператора полного углового момента. Действительно, волновая функция рассеяния характеризуется квантовыми числами асимптотических импульсов частиц, их энергией и спиральностыо. Например, квантовые числа волновой функции трёх тел в непрерывном спектре составляют асимптотические импульсы3 Р1 и рг, полная энергия и спины

•515253 (в пренебрежении спин-орбитальными эффектами). Таким образом, волновая функция рассеяния в задаче трёх тел зависит от шести пространственных переменных, представляющих собой компоненты векторов Якоби Г1 и г2 в системе координат, связанной с импульсами рх и наблюдаемыми на эксперименте.

Хотя волновой функции рассеяния нельзя приписать определённое значение углового момента, её можно разложить по набору собственных функ

Ц.м. предполагается неподвижным, так что Р1 + Р2 + Рз = 0. ций оператора полного углового момента. Такого рода разложения называют мультипольными [9, 10]. Несмотря на то, что мультипольные разложения представляют собой бесконечные ряды, часто в практических приложениях достаточная точность достигается при учёте сравнительного небольшого числа мультиполей [55, 56]. Существуют, конечно, задачи в которых скорость сходимости мультипольных разложений недостаточна. Такая ситуация, например, имеет место в задаче о рассеянии быстрых электронов атомами.

В классической задаче рассеяния полный момент импульса сохраняется и определяется массами частиц и прицельным параметром. Известно, что точность классического описания рассеяния, при данной скорости частиц, улучшается с увеличением их масс. Поэтому использование мультипольных разложений в задачах молекулярного рассеяния и диссоциации, как правило, весьма эффективно. Кроме того, часто лишь конечное число членов мультипольных разложений даёт вклад в амплитуду из-за наличия правил отбора, вытекающих из особенностей рассматриваемой задачи. Например, трёхатом-ная предиссоциация молекулы Щ [51, 53, 54], описывается матричным элементом перехода между начальным состоянием молекулы, характеризующимся определёнными квантовыми числами углового момента, и конечным состоянием непрерывного спектра. При этом оператор перехода является скаляром [57], откуда следует, что ненулевой вклад в амплитуду будут давать только те мультиполи разложения конечного состояния, угловой момент которых равен угловому моменту начального состояния. Похожая ситуация имеет место и в одпофотонной двухэлектронной ионизации атома, где в амплитуду дают вклад мультиполи конечного состояния с угловым моментом, отличающимся от момента начального состояния на единицу (см. главу 4).

В главе 2 рассмотрен вопрос о выборе базиса для разложения волновой функции непрерывного спектра в задаче трёх тел. В задаче трёх тел часто используется разложение по базису биполярных гармоник4 (БГ), т.е. тензорных произведений сферических функций, зависящих от углов векторов Яко-би. Разложение по БГ эквивалентно разложению волновой функции по базису одночастичных состояний, что приводит к возникновению дополнительного бесконечного суммирования, сходимость которого не всегда достаточна. В главе 2 в качестве углового базиса выбраны /^-функции Вигнера, описывающие поворот от системы координат, связанной с импульсами рх, р2 (это неподвижная система, т.е. ЛКС), к системе координат, связанной с векторами Якоби (вращающаяся система, В КС). Коэффициенты в разложении зависят от трёх внутренних переменных которыми могут быть, например, длины векторов Якоби и угол между ними: £ = п, г2, в.

В качестве примера, в разделе 2.2 рассматривается мультиполыгое разложение произведения двух плоских волн, которое представляет собой волновую функцию трёх невзаимодействующих частиц. Математически, коэффициенты такого мультипольного разложения эквивалентны импульсному представлению волновой функции жёсткого трёхчастичного симметричного волчка. Если рассмотреть задачу о предиссоциации молекулы типа симметричного волчка на три нейтральных фрагмента, то, в нулевом приближении, амплитуду процесса предиссоциации состояния с пулевыми колебательными квантовыми числами можно представить как интеграл перекрытия между начальным состоянием симметричного волчка и конечным состоянием невзаимодействующих частиц. Таким образом, мультипольные коэффициенты разложения произведения плоских волн можно рассматривать как "кинематическую модель" процесса предиссоциации (см. раздел 2.3). Если кинетическая

4Определение см. формулу (А.4) Приложения А. энергия частиц велика по сравнению с межчастичным взаимодействием, то потенциал взаимодействия можно учитывать по теории возмущений. Коллективные мультипольные разложения поправочных членов и матричные элементы с ними, рассмотрены в статье [58].

Как было отмечено выше, квантовая теория углового момента обычно используется в задаче нескольких тел для отделения коллективных (пли од-ночастичных) угловых переменных. Интересно, что существует задача двух тел, которую можно полностью решить методами квантовой теории углового момента. Это задача об атоме водорода - В.А. Фок в работе [59] показал, что нерелятивистские волновые функции атома водорода в импульсном пространстве пропорциональны четырёхмерным гиперсферическим гармоникам (ГСГ). Другими словами, оказывается что задача об атоме водорода обладает симметрией группы 0(4). Такое свойство квантовой кулоновскоп задачи двух тел связано с наличием дополнительной сохраняющейся величины -оператора Лапласа-Рунге-Ленца.

Приложения симметрии Фока весьма обширны. В работе [60] симметрия Фока использовалась для вычисления лэмбовского сдвига в атоме водорода. Теоретико-групповые свойства 0(4)-симметрии атома водорода изучались в [61]. Швингер [62] получил простое выражение функции Грина атома водорода в терминах четырёхмерных ГСГ. Симметрия Фока использовалась для вычисления эффектов запаздывания в двухфотонных связанно-связанных переходах в атоме водорода [63]. В работах [64-67, 67-76] четырёхмерные ГСГ использовались в качестве штурмовского базиса в многоцентровой кулоновскоп задаче. Недавно метод фоковских проекций был применён в физике конденсированного состояния к теории анизотропных экситонов [77].

Либер (М. Lieber, [60]) отметил, что основная трудность применения фоковской симметрии состоит в зависимости аргументов ГСГ от энергии. Это не позволяет использовать теорему Вигнера-Экарта для вычисления матричных элементов с водородными волновыми функциями. В некоторых случаях данную проблему можно обойти, используя набор штурмовских функций [66, 67, 72]. Эти функции в основном совпадают с водородными волновыми функциями; их отличие состоит в том, что аргументы ГСГ, соответствующих штурмовским функциям, одинаковы для всего набора. Как следствие, для вычисления интегралов со штурмовскими функциями, принадлежащими одному множеству, можно использовать стандартные методы теории углового момента в четырёхмерном пространстве [67, 78].

При вычислении интегралов со штурмовскими ф> нкциями из разных наборов, возникает та же проблема, что и при вычислении водородных матричных элементов между состояниями с разной энергией. Дело в том. что теорема Вигнера-Экарта применима только для интегралов с ГСГ, имеющими одинаковые аргументы, которые указывают на одну и ту же точку 4-сферы. Однако, водородные функции с разной энергией (или штурмовские функции из разных наборов) соответствуют разным точкам на 4-сфере.

В главе 3 диссертации показано, что использование полученных в [79] мультипольных разложений ГСГ позволяет эффективно вычислять водородные (и штурмовские) матричные элементы. Математически это означает, что удалось установить соотношение между ГСГ, соответствующим различным стереографическим проекциям. А именно, 4-гармонику, зависящую от некоторой точки 4-сферы можно представить в виде ряда ГСГ, зависящих от точки 4-сферы, соответствующей другой стереографической проекции трёхмерного пространства на 4-сферу. Причём коэффициенты такого ряда можно интерпретировать как форм-факторы атома водорода. Форм-факторные интегралы известны также как "обобщенные силы осцилляторов" (ОСО). ОСО играют важную роль в теории рассеяния быстрых частиц атомами и молекулами. Начиная с пионерской работа Бёте [80], к настоящему времени имеется обширная литература, посвящённая ОСО атома водорода (см., например, обзор [81]). В книге [82] даны компактные выражения для водородных ОСО. соответствующих переходам пЛ. В работе [83] представлены водородные ОСО для переходов между произвольными связанными состояниями в терминах комбинаций гипергеометрических функций двух переменных. Водородные матричные элементы оператора электромагнитного взаимодействия вычислялись в работе [84] с использованием параболических координат. Выражения для водородных связанно-свободных матричных элементов можно найти, например, в статьях [85, 86]. Во всех цитированных выше работах проводились прямые вычисления трёхмерных интегралов в сферических координатах. В главе 3 получено представление ОСО в виде комбинации мультипольных коэффициентов, каждый из которых выражается в компактном замкнутом виде, содержащем производные элементарной функции. Такое дифференциальное представление весьма удобно для анализа различных свойств матричных элементов, например, их асимптотического поведения. С помощью дифференциальных представлений удобно получать рекуррентные соотношения, связывающие радиальные интегралы с различными квантовыми числами.

В последние десятилетия достигнут значительный прогресс в экспериментах по изучению угловых распределений нескольких частиц в схеме совпадений [43, 46, 51, 52]. Сравнение результатов эксперимента с теорией усложняется большим количеством параметров, определяющих вид угловых распределений фрагментов. Данное обстоятельство делает актуальной задачу об отыскании удобных параметризаций амплитуд и сечений соответствующих процессов. Например, для интерпретации экспериментов по двухэлектронпой фотоионизации гелия (см. обзор [43]) в работах [39, 87, 88] были получены параметризации, позволившие установить ряд правил отбора для амплитуды процесса двойной фотоионизации.

В существующих подходах, однако, для каждого процесса фотофрагментации параметризацию приходится выводить заново. Иными словами, имеющиеся параметризации не являются универсальными. В главе 4 получена инвариантная параметризация амплитуды однофотонной фрагментации, основанная на разложении вектора поляризации фотона по базису пары векторов асимптотического импульса фрагментов (раздел 4.1). Предлагаемая параметризация применима для описания произвольных процессов многочастичной фотофрагментации. В качестве примера, в п. 4.1.2 рассматривается полная фрагментация молекулы водорода.

Далее, в разделе 4.2, рассматривается параметризация амплитуды двух-электронной фотоионизации с учётом недипольных поправок. Данная задача представляет интерес в связи с экспериментами по ионизации гелия фотонами с энергией 529 [89]. В п. 4.2.1 на основе метода вычисления тензорных произведений, развитого в работах [39-41], получены выражения для динамических факторов амплитуды, не зависящих от поляризации фотона. Динамические факторы представлены в виде рядов, содержащих производные от многочленов Лежандра с весами в виде комбинации приведённых матричных элементов операторов дипольного и квадрупольного моментов. В п. 4.2.2 рассматривается двойная ионизация атома гелпя. Там же указаны условия, оптимальные для наблюдения недипольных эффектов в угловых распределениях. Приведены правила отбора для квадрупольной амплитуды, показывающие, что её вклад обращается в ноль при ортогональной геометрии эксперимента, когда векторы импульсов фотоэлектронов перпендикулярны направлению фотонного пучка. Результаты расчёта амплитуды с помощью теории возмущений по межэлектронному взаимодействию показывают, что недипольные эффекты можно наблюдать при надпороговой энергии фотона ~ 80 эВ, см. [90-92].

Положения, выносимые на защиту.

• Предложен универсальный метод отделения коллективных угловых переменных в квантовой задаче N тел. Рассмотрены различные варианты выбора углового базиса. Детально изучены свойства вращающейся системы координат Экарта, минимизирующей кориолисовы члены гамильтониана вблизи положений равновесия. Указан способ, позволяющий обойти проблему калибровочных расходпмостей при отделении коллективных углов.

• Проведён анализ вариантов выбора углового базиса мультипольных разложений волновых функций непрерывного спектра системы трёх тел -базис биполярных гармоник и базис .О-функций Вигнера. Получено коллективное мультипольное разложение произведения двух плоских волн, установлены его свойства симметрии.

• Развита техника, позволяющая применять четырёхмерную симметрию Фока к задачам вычисления матричных элементов с водородными волновыми функциями. В результате получено компактное дифференциальное представление для радиальной части форм-факторного интеграла. Для данного интеграла получены замкнутые выражения при нескольких частных значениях квантовых чисел, а также выведены рекуррентные соотношения.

• Построена универсальная параметризация амплитуд процессов однофо-тонной многочастичной фрагментации атомов и молекул. В качестве примера рассмотрен процесс полной фотофрагментации молекулы водорода. Изучена роль недипольных эффектов в двухэлектронной фотоионизации атома гелия, указаны условия их наблюдения в угловых распределениях.

Список сокращений Ц.М. - центр масс,

ВКС - вращающаяся координатная система; система координат, связанная с телом,

ЛКС - лабораторная координатная система; неподвижная система координат,

СЭ - система Экарта, т.е. ВКС, удовлетворяющая условию Экарта (1.98), БГ - биполярные гармоники, определение см. формулу (А.4), МБГ - минимальные биполярные гармоники, см. формулу (А.9), МКВ - матрицы конечных вращений, см. формулу (А.1), ГСГ - гиперсферические гармоники,

В диссертации используются стандартные обозначения алгебры углового момента, принятые в книге [10].

4.3. Выводы

В данной главе с помощью методов квантовой теории углового момента были получены параметризации амплитуд процессов однофотонной фрагментации атомов и молекул.

Особенность предлагаемого метода состоит в использовании разложения (4.3) вектора поляризации фотона по паре векторов импульса фрагментов. В результате, становится возможным выделять поляризационную зависимость амплитуды произвольного процесса однофотонной фрагментации. В качестве примера в п. 4.1.2 получена параметризация процесса полной фрагментации молекулы H2' Отметим, что разложение (4.3) вектора поляризации фотона можно также использовать для параметризации поляризационной зависимости амплитуд двух- и трёхфотонных переходов. Разложение (4.3) не даёт, конечно, возможности установить связь между динамическими (не зависящими от поляризации) факторами амплитуд и матричными элементами оператора электромагнитного взаимодействия. Для этого должны использоваться методы теории углового момента, такие как теорема Вигнера-Экарта [10] и формулы упрощения тензорных произведений сферических гармоник [39, 40].

Представляет интерес параметризация амплитуд многочастичной фраг

-3

10 5

-3 -2-10 1 2 3 tdcs (ю-3 b ev-1sr-2)

-15 a> I о m -5 U Q

H-10

15 S 10 5 0 -5 I ш Q I О m

Q-10 H

-15 ь) вг = 45° ^ с ei = 50 ev

1 V > 7) ' i г

-10 -5 0 5 10 tdcs (ю-3 b ev-^r"2) i i (с) 0! = 90° . 1 1 k El = 50 ev

С *v« L ♦ \ )

1 1 i i

-15 -10 -5 0 5 10 15 tdcs (10~3 b ev-1sr-2)

10 i en -5 a о H

-10 1 i i e) 9i = 45° Ei = 400 ev i i ^ T г

-10 -5 0 5 10 tdcs (ю-3 b ev1sr~2)

СЛ

О О H

-2 i (f)0i=9o° j i , ei = 400 ev i 1

-15 -10 -5 0 5 10 15 tdcs (10"3 b ev-1sr-2)

-2-10 1 2 tdcs (ю-3 b cv-1sr~2)

Рис. 4.5. ТДС при энергии линейной поляризованного фотона, равной 529 эВ. Энергии электронов 50 эВ и 400 эВ. Направление векторов кие указано на рис. (а). Угол 9\ вылета электрона с энергией Е\ относительно вектора поляризации е показан стрелкой. Полярные диаграммы отображают угловое распределение второго электрона как функцию угла 9%. Сплошные линии: дипольно-квадрупольное сечение в методе ССС; прерывистые линии: диполыюе приближение. Точки с интервалами погрешностей: экспериментальные данные [89] ментации при учёте недипольных поправок, поскольку в этом случае сечения процессов зависят не только от поляризации, но и от направления фотонного пучка. В разделе 4.2.1 получена параметризация амплитуды процесса фотоионизации 15о-сос,тояния двух электронов сверх заполненной оболочки. При этом, установлена связь динамических факторов амплитуды с приведёнными матричными элементами операторов дипольного и квадрупольного моментов. Результаты расчётов с использованием теории возмущений по межэлектронному взаимодействию, приведённые в разделе 4.2.2, показывают, что неди-польные поправки в двойной фотоионизации основного состояния атома гелия возможно наблюдать уже при надпороговой энергии фотона ~ 80 Ч-100 эВ. Дальнейшие результаты, относящиеся к двойной фотоионизации атома гелия, опубликованы в статьях [90, 92, 188, 189].

Отметим, что инвариантные (т.е. не зависящие от выбора системы координат) параметризации процессов рассеяния фотонов атомами, аналогичные полученным выше параметризациям (4.4), (4.18), были получены в работах [214-217].

Заключение

В диссертации рассмотрен ряд приложений квантовой теории углового момента к задаче нескольких тел. Математическая техника, используемая в диссертации, основана на новых тензорных представлениях сферических и гиперсферических функций и матриц конечных вращений.

В диссертации получены следующие основные результаты:

1. В главе 1 разработан универсальный метод отделения коллективных угловых переменных в квантовой задаче ./V тел, основанный на технике векторного дифференцирования минимальных тензорных произведений. Получены выражения для коэффициентов колебательно-вращательного разложения гамильтониана, справедливые для произвольного выбора вращающейся координатной системы (раздел 1.1).

2. Получены явные выражения для базисных векторов, вращательного и кориолисова гамильтонианов, соответствующих вращающейся системе координат Экарта в задаче N тел (раздел 1.2).

3. Минимальные биполярные гармоники использованы для отделения коллективных углов в задаче N тел; получены уравнения для соответствующих радиальных функций (раздел 1.3).

4. Приведён способ отделения коллективных угловых переменных, свободный от калибровочных расходимостсй (раздел 1.4).

Результаты главы 1 опубликованы в статьях [19, 40, 162, 218, 219].

5. В главе 2 анализировался вопрос о выборе углового базиса для разложения волновой функции континуума трёх тел. В разделе 2.2 получены коллективные мультипольные разложения произведения двух плоских волн. Показано, что коэффиценты разложения соответствуют импульсному представлению волновой функции трёхчастичного симметричного волчка. Изучены свойства симметрии и правила отбора для мульти-польных коэффициентов. В разделе 2.3 предложено интерпретировать мультиполи как амплитуду мгновенного распада молекулы типа симметричного волчка на три нейтральных фрагмента. Резуль таты главы 2 опубликованы в статьях [57, 58, 212].

6. В главе 3 построена техника расчёта матричных элементов с водородными волновыми функциями на основе симметрии Фока. Получено компактное дифференциальное представление матричного элемента оператора expi(k ■ г); получены замкнутые выражения для матричного элемента для нескольких частных значений квантовых чисел; получены рекуррентные соотношения для матричных элементов. Результаты главы 3 опубликованы в статьях [41, 79, 172, 220].

7. В главе 4 предложена универсальная параметризация поляризационной зависимости амплитуд процессов многочастичной (N > 3) одпофотон-ной фрагментации атомов и молекул. В качестве примера рассмотрена задача полной фрагментации молекулы водорода Н2 (раздел 4.1.2).

8. Получена параметризация сечения процесса двухэлектронной фотоионизации атома с учётом недипольных эффектов (раздел 4.2). Указаны условия, оптимальные для наблюдения таких эффектов в угловых распределениях фотоэлектронов. В качестве примера рассмотрена задача об ионизации атома гелия (раздел 4.2.2).

Результаты главы 4 опубликованы в статьях [39, 90, 91, 188, 189, 192, 221].

1. Measurements of interaction cross sections and nuclear radii in the light P-shell region / 1. Tanihata, H. Hamagaki, O. Hashimoto et al. // Phys. Rev. Lett. - 1985. — Vol. 55, no. 24. - Pp. 2676-2679.

2. Nuclear charge radii of 7,9,10Be and the one-neutron halo nucleus 11 Be / W. Nortershauser, D. Tiedemann, M. Zakova et al. // Physical Review Letters. 2009. - Vol. 102, no. 6. - P. 062503.

3. Frank, F. C. Hypothetical alternative energy sources for the "second meson" events / F. C. Frank // Nature. 1947. - Vol. 160. - Pp. 525-527.

4. Jackson, J. D. Catalysis of nuclear reactions between Hydrogen isotopes by д-mesons / J. D. Jackson // Phys. Rev. — 1957. — Vol. 106. no. 2. -Pp. 330-339.

5. Рерштейи, С. С. Мюонный катализ и ядерный бридинг / С. С. Герштейн, Ю. В. Петров, Л. И. Пономарев // Успехи физических нагук. 1990. - Vol. 160, по. 8. - Pp. 3-46.

6. Molecular aspects of electron correlation in quantum dots / P. A. Macsym, H. Imamura, G. P. Mallon, H. Aoki // J. Phys. Condens. Matter. — 2000. -Vol. 12. - Pp. R299-R334.

7. Macsym, P. A. Eckardt frame theory of interacting electrons in quantum dots / P. A. Macsym // Phys. Reu. В.— 1996,- Vol. 53.-Pp. 10871-10886.

8. Puente, A. Roto-vibrational spectrum and Wigner crystallization in two-electron parabolic quantum dots / A. Puente, L. Serra, R. G. Nazmitdinov // Phys. Reu. В (Condensed Matter and Materials Physics). 2004. — Vol. 69, no. 12.-P. 125315.

9. JI. Д. Ландау. Квантовая механика. Нерелятивистская теория / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. Москва: Наука, 1989.

10. Варшалович, Д. А. Квантовая теория углового момента / Д. А. Вар-шалович, А. Н. Москалев, В. К. Херсонский. — Ленинград: Наука, 1975.

11. Biedenharn, L. С. Angular Momentum in Quantum Physics. Theory and Applications / L. C. Biedenharn, J. D. Louck. — Addison-Wesley, 1981. -рус. нерев.: Л. Биденхарн, Дж. Лаук. Угловой момент в квантовой физике. М.:«Мир», 1984.

12. Littlejohn, R. G. Gauge fields in the separation of rotations and internal motions in the N-body problem / R. G. Littlejohn, M. Reinsch // Reu. Mod. Phys. 1997. - Vol. 69, no. 1. - Pp. 213-275.

13. Смирнов, Ю. Ф. Метод К-гармоник и модель оболочек / Ю. Ф. Смирнов, К. В. Шитикова // Физика элементарных частиц и атомного ядра- 1977. — Т. 8, вып. 4. — Сс. 847-910.

14. Меркурьев, С. П. Квантовая теория рассеяния для систем нескольких частиц / С. П. Меркурьев, Л. Д. Фаддеев. — Москва: Наука, 1985.

15. Дснсибути Р.И. Метод гиперсферических функций в атомной и ядерной физике / Джибути Р.И., Шитикова К.В. — Москва: Энергоатомиздат, 1993.

16. Smith, F. T. Modified heliocentric coordinates for particle dynamics / F. T. Smith // Phys. Rev. Lett. 1980. — Vol. 45, no. 14. - Pp. 1157-1160.

17. Wei, H. An exact Eckart-embedded kinetic energy operator in Radau coordinates for triatomic molecules / H. Wei, T. Carrington Jr. // Chem. Phys. Lett. 1998. - Vol. 287. - Pp. 289-300.

18. Aquilanti. V. The quantum-mechanical hamiltonian for tetraatomic systems in symmetric hyperspherical coordinates / V. Aquilanti, S. Cavalli '! Journal of the Chemical Society-Faraday Transactions. — 1997. — Vol. 93. — Pp. 801-809.

19. Meremianin, A. V. The irreducible tensor approach in the separation of collective angles in the quantum N-body problem / A. V. Meremianin, J. S. Briggs // Phys. Rep. 2003. - Vol. 384, no. 4-6. - Pp. 121-195.

20. Herold, H. Microscopic theory of nuclear collective rotation. I. General description of rotations / H. Herold, H. Ruder // Journal of Physics G: Nuclear Physics. 1979. - Vol. 5, no. 3. — Pp. 341-350.

21. Meyer, H. The molecular Hamiltonian / H. Meyer // Ann. Rev. Phys. Chem. 2002. - Vol. 53. - Pp. 141-172.

22. Eckart, C. Some studies concerning rotating axes and polyatomic molecules / C. Eckart // Phys. Rev. 1935. - Vol. 47. - Pp. 552-558.

23. Eckart, C. The kinetic energy of polyatomic molecules / C. Eckart // Phys. Rev. 1934. - Vol. 46. - Pp. 383-387.

24. Van Vleck, J. H. The rotational energy of polyatomic molecules / J. H. Van Vleck 11 Phys. Rev. — 1935. Vol. 47.- Pp. 487-494.

25. Darling, B. T. The water vapor molecule / B. T. Darling, D. M. Dennison // Phys. Rev. 1940. - Vol. 57. - Pp. 128-139.

26. Nielsen, H. H. The vibration-rotation energies of molecules / H. H. Nielsen // Rev. Mod. Phys.- 1951,- Vol. 23, no. 2. P. 90.

27. Watson, J. K. J. Simplification of the molecular vibration-rotation Hamil-tonian / J. K. J. Watson // Mol Phys.— 1968.- Vol. 15, no. 5.— Pp. 479-490.

28. Rowe, D. J. How do deformed nuclei rotate? / D.J. Rowe / / Nuclear Physics A. 1970. - Vol. 152. - Pp. 273-294.

29. Villars, F. A note on rotational energy levels in nuclei / F. Villars // Nuclear Physics. 1957. - Vol. 3. - Pp. 240-254.

30. Villars, F. Unified theory of nuclear rotations / F. Villars, G. Cooper // Annals of Physics. 1970. - Vol. 56. - Pp. 224 -258.

31. Bohr, A. Nuclear Structure / A. Bohr, B. R. Mottelson. — New York: W.A. Benjamin, Inc., 1969. —Vol. 2.

32. Villars, F. The collective model of nuclei / F. Villars // Annual Review of Nuclear Science. 1957. - Vol. 7. - Pp. 185-230.

33. Buck, B. Collective variables for the description of rotational motion in many particle systems / B. Buck, L. C. Biedenharn, R. Y. Cusson // Nucl. Phys. A: Math. Gen. 1979. - Vol. 317. - Pp. 205-241.

34. Abraham, P. M. Rotational levels of deformed doubly even nuclei / P. M. Abraham, E. Rost // Nuclear Physics ,4.- 1971.— Vol. 162.-Pp. 173-192.

35. Herold, H. Microscopic theory of nuclear collective rotation. II. Microscopic description of deformed nuclei / H. Herold // Journal of Physics G: Nuclear Physics. 1979. - Vol. 5, no. 3. - Pp. 351-357.

36. Herold, H. Microscopic theory of nuclear collective rotation. IV. Specific decoupling for strongly deformed nuclei / H. Herold, H. Ruder // Journal of Physics G: Nuclear Physics. 1980. - Vol. 6, no. 11. - Pp. 1347-1358.

37. Manakov, N. L. Invariant representations of finite rotation matrices and some applications / N. L. Manakov, A. V. Meremianin, A. F. Starace // Phys. Rev. A. 1998. - Vol. 57. - Pp. 3233-3244.

38. Manakov, N. L. Multipole expansions of irreducible tensor sets and some applications / N. L. Manakov, A. V. Meremianin, A. F. Starace // J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys. 2002. - Vol. 35. - Pp. 77-91.

39. Body frames and frame singularities for three-atom system / R. G. Little-john, K. A. Mitchell, V. Aquilanti, S. Cavalli // Phys. Rev. A. — 1998.— Vol. 58. Pp. 3705-3717.

40. Briggs, J. S. Differential cross sections for photo-double-ionization of the Helium atom / J. S. Briggs, V. Schmidt // J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys. 2000. - Vol. 33. - Pp. R1 R48.

41. Double photoionization of spatially aligned Do / R. Dorner, H. Brauning, 0. Jagutzki et al. // Phys. Rev. Lett.— 1998.— Vol. 81, no. 26,— Pp. 5776-5779.

42. Reddish, T. J. Photo double ionization of molecular Deuterium / T. J. Reddish, J. M. Feagin //J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys. 1999. - Vol. 32. -Pp. 2473-2486.

43. King, G. C. Double-excitation and double-escape processes studied by pho-toelectron spectroscopy near threshold / G. C. King, L. Avaldi // Journal of Physics B: At. Mol. Opt, Phys. 2000. - Vol. 33, no. 16. - Pp. R215-R.284.

44. Brauncr. M. Triply-differential cross sections for ionisation of Hydrogen atoms by electrons and positrons / M. Brauner, J. S. Briggs, H. Klar // J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys. 1989. - Vol. 22. - P. 2265.

45. Avaldi, L. Electron impact ionisation of argon at intermediate energy and momentum transfer: an (e,2e) investigation / L. Avaldi, I. E. McCarthy, G. Stefani //J. Phys. B: At. Mol. and Opt. Phys.- 1989,- Vol. 22, no. 20. Pp. 3305-3314.

46. An energetic (e, 2e) reaction away from the Bethe ridge: recoil versus binary / A. S. Kheifets, A. Naja, E. M. S. Casagrande, A. Lahmam-Bennani // J. Phys. B: At. Mol. and Opt. Phys. 2009. - Vol. 42, no. 16. - P. 165204 (5pp).

47. Fragment correlation in the three-body breakup of triatomic Hydrogen / U. Müller, T. Eckert, M. Braun, H. Helm // Phys. Rev. Lett. 1999. -Vol. 83.-Pp. 2718-2721.

48. The role of excited-state topology in three-body dissociation of sym-tri-azine / J. D. Savee, V. A. Mozhayskiy, J. E. Mann et al. // Science Magazine. 2008. - Vol. 321, no. 5890. - Pp. 826-830.

49. Galster, U. Maps of nonadiabatic coupling in triatomic Hydrogen / U. Galster, U. Müller, H. Helm // Phys. Reu. Lett. 2004. - Vol. 92. - P. 073002.

50. Experimental and quantum-chemical studies on the three-particle fragmentation of neutral triatomic Hydrogen / U. Galster, F. Baumgartner, U. Müller et al. // Phys. Rev. .4. 2005. - Vol. 72. - P. 062506.

51. Istomin, A. Y. Perturbative analysis of the triply differential cross section and circular dichroism in photo double ionization of He / A. Y. Istomin, N. L. Manakov, A. F. Starace // Phys. Rev. A. 2004. - Vol. 69. -P. 032713.

52. Double photoionization: II. Analysis of experimental triple differential cross sections in Helium and Neon / L. Malegat, P. Seiles, P. Lablanque et al. // J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys. 1997. - Vol. 30. - Pp. 263-276.

53. Meremianin, A. V. The kineniatieal model of the sudden break-up of the three-body rigid rotator / A. V. Meremianin // Few-body Systems. — 2006. Vol. 38, no. 2-4. - Pp. 199-203.

54. Meremianin, A. V. Collective multipole expansions and the perturbation theory in the quantum three-body problem / A. V. Meremianin // Few-Body Systems. 2009. - Vol. 45, no. 1. — Pp. 11 23.

55. Fock, W. Zur Theorie des Wasserstoffatoms / W. Fock // Z. Phys. 1935. — Vol. 98. - P. 145.

56. Lieber. M. 0(4) symmetry of the Hydrogen atom and the Lamb shift / M. Lieber <' ' Phys. Rev. 1968. — Vol. 174,- Pp. 2037-2054.

57. Bander. M. Group theory and the Hydrogen atom (i) / M. Bander, C. Itzyk-son // Rev. Mod. Phys. 1966. Vol. 38, no. 2. - Pp. 330-345.

58. Schwinger, J. Coulomb Green's function / J. Schwinger // J. Math. Phys. — 1964. Vol. 5. - Pp. 1606-1608.

59. Maquet, A. Use of the Coulomb Green's function in atomic calculation / A. Maquet // Phys. Rev. A. 1977. - Vol. 15, no. 3. - Pp. 1088-1108.

60. Hyperspherical harmonics as Sturmian orbitals in momentum space: a systematic approach to the few-body Coulomb problem / V. Aquilanti, S. Cav-alli, C. Coletti et al. // Int. Reviews in Physical Chemistry.— 2001.— Vol. 20, no. 4. Pp. 673-709.

61. Shibuya, T. Molecular orbitals in momentum space / T. Shibuya, C. E. Wulf-man jI Proc Roy Soc A. 1965. - Vol. 286. - Pp. 376-389.

62. Avery, J. Many-center Coulomb Sturmians and Shibuya-Wulfman integrals / J. Avery // Int. J. Quantum, Chem.— 2004.— Vol. 100.— Pp. 121-130.

63. Avery, J. Hyperspherical Harmonics and Generalized Sturmians / J. Avery; Ed. by J. Maruani, S. Wilson. — Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 2000. Vol. 4 of Progress in Theoretical Chemistry and Physics.

64. Aquilanti, V. Hyperspherical symmetry of hydrogenic orbitals and recou-pling coefficients among alternative bases / V. Aquilanti, S. Cavalli, C. Co-letti // Phys. Rev. Lett. 1998. - Vol. 80. - Pp. 3209-3212.

65. Hydrogenic orbit als in momentum space and hyperspherical harmonics: Elliptic Sturmian basis sets / V. Aquilanti, A. Caligiana, S. Cavalli, C. Colet-ti // Int. J. Quantum Chem. 2003. - Vol. 92. - Pp. 212-228.

66. Aquilanti, V. The D-dimensional Hydrogen atom: Hyperspherical harmonics as momentum space orbitals and alternative Sturmian basis sets / V. Aquilanti, S. Cavalli, C. Coletti // Chem. Phys.~ 1997,- Vol. 214.— Pp. 1-13.

67. Alternative Sturmian bases and momentum space orbitals: An application to the Hydrogen molecular ion / V. Aquilanti, S. Cavalli. C. Coletti, G. Grossi // Chem. Phys. 1996. - Vol. 209. - Pp. 405-419.

68. Avery, J. Generalized Sturmian solutions for many-particle Schrodinger equations / J. Avery, J. Avery // J. Phys. Chem. A. — 2004. — Vol. 108,— Pp. 8848-8851.

69. Avery, J. Molecular Sturmians. part 1 / J. Avery, R. Shim // Int. J. Quantum Chem. 2001. - Vol. 83. - Pp. 1 10.

70. Avery, J. Many-particle Sturmians / J. Avery //J. Math. Chem.— 1997. — Vol. 21.-Pp. 285-304.

71. Avery, J. A momentum-space picture of the chemical bond / J. Avery, T. B. Hansen // Int. J. Quantum, Chem. 1996. - Vol. 60. - Pp. 201-211.

72. Sturmian basis sets in momentum space / J. Avery, T. B. Hansen, M. C. Wang, F. Antonsen // Int. J. Quantum Chem. 1996. - Vol. 57. — Pp. 401-411.

73. Hyperspherical theory of anisotropic exciton / E. A. Muljarov, A. L. Yablon-skii, S. G. Tikhodeev et al. // J. Math. Phys.- 2000.- Vol. 41.-Pp. 6026-6041.

74. Aquilanti, V. Sturmian approach to one-electron many-center systems: integrals and iteration schemes / V. Aquilanti, A. Caligiana // Chem. Phys. Lett. 2002. - Vol. 366. - Pp. 157-164.

75. Meremianin, A. V. Multipole expansions in four-dimensional hyperspherical harmonics / A. V. Meremianin // J. Phys. A: Math. Gen. — 2006.— Vol. 39.-Pp. 3099-3112.

76. Bethe, H. Theory of the passage of rapid corpuscular rays through matter / H. Bethe // Ann. Physik. 1930. - Vol. 5. - Pp. 325-400.

77. Inokuti, M. Inelastic collisions of fast charged particles with atoms and molecules the Bethe theory revisited / M. Inokuti // Rev. Mod. Phys. — 1971. - Vol. 43. - Pp. 297-347.

78. Mott, N. F. The theory of atomic collisions / N. F. Mott, H. S. W. Massey. — Oxford University Press, 1965. — Vol. II.

79. Jetzke, S. Calculation of Hydrogenic form factors / S. Jetzkc, J. T. Broad 1 / J. Phys. B: At Mol Phys. 1986. - Vol. 19. - Pp. L199-L202.

80. Parzyiiski, R. Beyond the long-wavelength approximation in electromagnetic Rydberg-Rydberg couplings / R. Parzyiiski, M. Sobczak // Opt. Comm. 2003. - Vol. 225, no. 1-3.

81. Holt, A. R. Matrix elements for bound-free transitions in atomic Hydrogen / A. R. Holt // J. Phys. B: At. Mol. Phys. 1969. - Vol. 2. - Pp. 1209-1213.

82. Datta, S. Evaluation of Coulomb integrals with hydrogenic and Slater-t}pe orbitals / S. Datta // J. Phys. B: At. Mol. Phys. 1985.- Vol. 18.— Pp. 853-857.

83. Molegat, L. Double photoinization: I. A new parametrization of the triple differential cross section from first principles / L. Malegat, P. Selles, A. Huetz H J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys.- 1997,- Vol. 30.-Pp. 251-261.

84. Maulbetsch, F. Selection rules for transitions to two-electron continuum states /' F. Maulbetsch, J. S. Briggs // J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys.— 1995. Vol. 28. - Pp. 551-564.

85. Photo double ionization of Helium 100 Ev and 450 Ev above threshold: I. linearly polarized light / A. Knapp, A. Kheifets, I. Bray et al. //J. Phys. B: At. Mol. and Opt. Phys. 2005. - Vol. 38, no. 6. - Pp. 615-633.

86. Nondipole effects in the triply differential cross section for double pho-toionization of Fie / A. Y. Istomin, N. L. Manakov, A. V. Meremianin, A. F. Starace // Phys. Rev. A. 2005. - Vol. 71. P. 052702.

87. Nondipole effects in photo double ionization of He by a VUV photon / A. Y. Istomin, N. L. Manakov, A. V. Meremianin, A. F. Starace // Phys. Rev. Lett. 2004. - Vol. 92. - P. 063002.

88. Nondipole effects in double photoionization of He at 450 Ev excess energy / A. Y. Istomin, A. F. Starace, N. L. Manakov et al. // Journal of Physics B: Atomic, Molecular and Optical Physics. — 2006.— Vol. 39, no. 2.— Pp. L35-L43.

89. T Pack, R. Choosing body-fixed axes in arrangement channels approaches to reactive scattering / R. T Pack // Advances in molecular vibrations and collision dynamics / Ed. by J. M. Bowman. — Greenwich, CT: JAI Press Inc., 1994,-Vol. 2A.- Pp. 111-145.

90. Ezra, G. S. Symmetry Properties of Molecules / G. S. Ezra. — Berlin Heidelberg: Springer Verlag, 1982. — Vol. 28 of Lecture Notes in Chemistry.

91. Casimir, H. B. G. The Rotation of a Rigid Body in Quantum Mechanics / H. B. G. Casimir. // Ned. Akad, Wetenschap. Proc.— 1931,- Vol. 34,— P. 844.

92. Wei, H. The triatomic Eckart-frame kinetic energy operator in bond coordinates / H. Wei, T. Carrington Jr. // J. Chem. Phys. 1997. - Vol. 107. -Pp. 9493-9501.

93. Natanson, G. A. The Eckart-frame Hamiltonian of a triatomic molecule in terms of the bond lengths and the intrabond angle / G. A. Natanson // Molecular Physics. 1989. — Vol. 66, no. 1. - Pp. 129-41.

94. Adler-Golden, S. M. Formulas for transforming from internal coordinates to Eckart frame coordinates of a symmetric triatomic molecule / S. M. Adler

95. Golden, G. D. Carney // Chem. Phys. Lett. 1985.- Vol. 113, no. 6.— Pp. 582-4.

96. Mardis, K. L. Derivation of rotation-vibration Hamiltonians that satisfy the Casimir condition / K. L. Mardis. E. L. Sibert III // J. Chem. Phys.— 1997. Vol. 106. - Pp. 6618-6621.

97. Wei, H. Eckart frames for planar molecules / H. Wei // J. Chem. Phys.— 2003. Vol. 118. - Pp. 7202-7207.

98. Wei, H. An Eckart-frame kinetic energy operator for tetra-atomic planar molecules / H. Wei //J. Chem. Phys. 2003. - Vol. 118. — Pp. 7208-7214.

99. Redding, R. W. On the relation of the Eckart frame to the Eulerian angles / R. W. Redding, F. O. Meyer //J. Mol. Spectr. 1979. - Vol. 74, no. 3. -Pp. 486-7.

100. Meyer, F. O. Molecular symmetry and motions of the Eckart frame / F. O. Meyer, R. W. Redding // J. Mol. Spectr. 1978. - Vol. 70, no. 3. -Pp. 410-19.

101. Winnewisser, B. P. The a matrix in molecular vibration-rotation theory / B. P. Winnewisser, J. K. J. Watson / / J. Mol. Spectr. 2001. - Vol. 205. -Pp. 227-231.

102. Tachibana, A. Complete molecular Hamiltonian based on the Born-Oppenheimer adiabatic approximation / A. Tachibana, T. Iwai // Phys. Rev. A. — 1986. Vol. 33, - Pp. 2262-9.

103. Jorgensen, F. Orientation of the Eckart frame in a polyatomic molecule by symmetric orthonormalization / F. Jorgensen // International Journal of Quantum Chemistry. — 1978. — Vol. 14. — Pp. 55-63.

104. Киселев, А. А. Отделение электронных и ядерных движении в молекуле / А. А. Киселев '/ Оптика и спектроскопия. — 1968.— Т. 24.— Сс. 181-185.

105. Hyperspherical surface functions for nonzero total angular momentum. I. Eckart singularities / В. K. Kendrick, R. T Pack, R. B. Walker, E. F. Hayes // J. Chem. Phys. 1999. - Vol. 110, no. 14. - Pp. 6673-6693.

106. Felker, P. M. Calculation of rovibrational states of weakly bound complexes by transformation from an Eckart frame: Benzene-n-2 / P. M. Felker // J. Chem. Phys. 2001. - Vol. 114. - Pp. 7901-7910.

107. Felker, P. M. Efficient calculation of molecular constants and transition intensities in weakly bound species from j=0 eigenstates: Benzene-ar as test case / P. M. Felker, D. Neuhauser, W. Kim //J. Chem. Phys. — 2001.— Vol. 114.-Pp. 1233-1241.

108. Cejchan, A. Transforming from internal coordinates to Cartesian displacements in the Eckart frame: a Taylor series expansion approach / A. Cejchan, V. Spirko // J. Mol. Spectr. 2003. - Vol. 217. - Pp. 142-145.

109. Lee, S.-H. The Casimir-Eckart condition and the transformation of dipole moment derivatives revisited / S.-H. Lee, K. Palmo, S. Krimm // Journal of Molecular Structure: THEOCIiEM.— 2001,- Vol. 546, no. 1-3. -Pp. 217-230.

110. Natanson, G. The Eckart-frame hamiltonian of a triatomie molecule in terms of the bond lengths and the intrabond angle / G. Natanson // Molecular Physics. 1989. - Vol. 66. - Pp. 129-141.

111. Robert, J. A molecular description of molecular collisions , J. Robert, J. Baudon // J. Phys. B: At. Mol. Phys. 1986. - Vol. 19. - Pp. 171-83.

112. Natanson, G. A. Analytical formula for direction cosines of the Eckart frame of a planar molecule / G. A. Natanson // Chemical physics letters. — 1985. — Vol. 121.-Pp. 343-346.

113. Pont, M. Decomposition of the two-elcctron-atom eigenvalue problem / M. Pont, R. Shakeshaft // Phys. Rev. A.- 1995.- Vol. 51. no. 1,-Pp. 257-265.

114. Breit, G. Separation of angles in the two-electron problem / G. Breit // Phys. Rev. 1930. - Vol. 35, no. 6. - Pp. 569 578.

115. Gu, X.-Y. Independent eigenstates of angular momentum in a quantum N-body system / X.-Y. Gu, B. Duan, Z.-Q. Ma // Phys. Rev. ,4. 2001. -Vol. 64.-- Pp. 042108-1-14.

116. Meremianin, A. V. Elimination of body-frame singularities in the separation of three collective angles in quantum N-body problems / A. V. Meremianin, J. S. Briggs // Phys. Rev. Lett. 2002. - Vol. 89, no. 20. - P. 200405.

117. Curtiss, C. F. The quantum mechanics of collisions between diatomic molecules / C. F. Curtiss // J. Chem. Phys.- 1953,- Vol. 21. — P. 2045.

118. Curtiss, C. F. The scattering of atoms from diatomic molecules / C. F. Curtiss, F. T. J. Ad 1er // J. Chem. Phys. 1952. Vol. 20. - P. 249.

119. Lukka, T. J. A simple method for the derivation of exact quantum-mechanical vibration-rotation Hamiltonians in terms of internal coordinates / T. J. Lukka //J. Chem. Phys. 1995. - Vol. 102, no. 10. - Pp. 3945-3955.

120. Pack. R. T. Space-fixed vs body-fixed axes in atom-diatomic molecule scattering. sudden approximations / R. T. Pack // J. Chem. Phys. — 1974. — Vol. 60. P. 633.

121. Tennyson, J. The ab initio calcualation of the vibrational-rotational spectrum of triatomic systems in the close-coupling approach, with RON and H2Ne as examples / J. Tennyson, В. T. Sutcliffe // J. Cham. Phys.— 1982,- Vol. 77. Pp. 4061-4072.

122. Вииицкий, С. И. Адиабатическое представление в задаче трёх тел с кулоновским взаимодействием / С. И. Виницкий, JT. И. Пономарёв // Физика элементарных частиц и атомного ядра. — 1982. — Т. 13, п. 6. Сс. 1336-1418.

123. Скалозуб, А. С. Колебательно-вращательный гамильтониан полиатомных нежестких молекул. Общий метод / А. С. Скалозуб, А. Я. Цауне // Оптика и спектроскопия — 1981.— Т. 50.— Сс. 458-466.

124. Скалозуб, А. С. Колебательно-вращательный гамильтониан полиатомных нежестких молекул. Отделение вращений / А. С. Скалозуб, А. Я. Цауне // Оптика и спектроскопия — 1981. — Т. 50. — Сс. 545-517.

125. Bhatia, А. К. Symmetric Euler-angle decomposition of the two-electron fixed-nucleus problem / A. K. Bhatia, A. Temkin // Rev. Mod. Phys. — 19G4. Vol. 36. - Pp. 1050-1064.

126. Nikitin, S. I. Vibro-rotational states of the two-electron atom: I. Euler angles coordinate basis / S. I. Nikitin, V. N. Ostrovsky // J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys. 1985. - Vol. 18. - Pp. 4349 4369.

127. Nikitin, S. I. Vibro-rotational states of the two-electron atom: II. Two interacting particles on the sphere /' S. I. Nikitin, V. N. Ostrovsky // J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys. 1985. Vol. 18, no. 22. - Pp. 4371-4382.

128. Hirschfelder, J. O. Separation of rotational coordinates form the Schrodinger equation for N particles / J. O. Hirschfelder. E. Wigner // Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A. 1935. - Vol. 21.-Pp. 113-119.

129. Fano, U. Real representations of coordinate rotations / U. Fano // J. Math. Phys. 1960. - Vol. 1, no. 5. - P. 417.

130. Feagin, J. M. Molecular-orbital description of the states of two-electron systems / J. M. Feagin, J. S. Briggs // Phys. Rev. A. — 1988. Vol. 37. -Pp. 4599-4613.

131. Wiberg, D. M. Theory and problems of state space and linear systems / D. M. Wiberg. Schaum's outline series.— McGraw-Hill Book Company, 1971.

132. Квицинский, А. А. Квантовая теория рассеяния для систем трёх частиц с фиксированным полным орбитальным моментом / А. А. Квицинский, В. В. Кострыкин, С. П. Меркурьев // Физика элементарных частиц и атомного ядра. 1990. — Т. 21. — Сс. 1301-1359.

133. Chapuisat, X. Principal-axis hyperspherical description of n-particle system: Quantum-mechanical treatment / X. Chapuisat // Phys. Rev. A. 1992. — Vol. 45, no. 7. Pp. 4277-4292.

134. Tsaune, A. Y. Nonrelativistic Hamiltonian in the principal central moving axes for N-particle system / A. Y. Tsaune // J. Math. Cham. 2001.— Vol. 29. Pp. 95-125.

135. The Fourier method for tri-atomic systems in the search for the optimal coordinate system / G. Katz, K. Yamashita, Y. Zeiri, R. Kosloff // J. Chem. Phys. 2002. - Vol. 116. - Pp. 4403-4414.

136. Wilson, E. B. The vibration-rotation energy levels of polyatomic molecules. I. Mathematical theory of semirigid asymmetrical top molecules. / E. B. Wilson, J. B. Howard // J. Chem. Phys. 1936. - Vol. 4. - Pp. 260-268.

137. Wei, H. Explicit expressions for triatomic Eckart frames in Jacobi, Radau, and bond coordinates / H. Wei, T. Carrington Jr. / / J. Chem. Phys. — 1997. Vol. 107. - Pp. 2813-2818.

138. Natanson, G. A. Analytical formula for direction cosines of the Eckart frame of a planar molecule / G. A. Natanson // Chem. Phys. Lett. — 1985. — Vol. 121, no. 4-5. — Pp. 343-6.

139. Louck, J. D. Eckart vectors, Eckart frames, and polyatomic molecules /

140. J. D. Louck, H. W. Galbraith // Rev. Mod. Phijs. 1976. - Vol. 48, no. 1. -Pp. 69-106.

141. Gamboa. J. M. Rotating frames and gauge invarianee in two-dimensional many-body quantum systems / J. M. Gamboa, A. O. Bouzas // J. Phys. A.: Math. Gen. 2003. - Vol. 36,- Pp. 7061-7080.

142. Iwai, T. A geometric setting for classical molecular dynamics / T. Iwai // Annales de I'Institut Henri Poincare Physique Theorique. — 1987. — Vol. 47, no. 2. Pp. 199-219.

143. Ferigle. S. M. The Eckart conditions for a polyatomic molecule / S. M. Ferigle, A. Weber // American Journal of Physics. 1953. — Vol. 21, no. 2. - Pp. 102-107.

144. Wang, D. Hyperspherical harmonics for tetraatomic systems 1 D. Wang, A. Kuppermann // J. Chem. Phys. 2001. - Vol. 115,- Pp. 9184-9208.

145. Aquilanti, V. Three-body problem in quantum mechanics: Hyperspherical elliptic coordinates and harmonic basis sets / V. Aquilanti, S. Tonzani // J. Chem. Phys. 2004. - Vol. 120. - Pp. 4066-4073.

146. Abramov, D. I. Hyperspherical Coulomb spheroidal representation in the Coulomb three-body problem / D. I. Abramov //J. of Phys. B: At. Mol. and Opt. Phys. 2008. - Vol. 41. - P. 175201 (Юрр).

147. T Pack, R. Conformally Euclidean internal coordinate space in the quantum three-body problem / R. T Pack // Chem. Phys. Lett. 1991. - Vol. 230. -Pp. 223-227.

148. Fano, U. Symmetries in Quantum Physics / U. Fano, A. R. P. Rau. — Academic Press, 1996.

149. Kuppermann, A. A new look at symmetrized hyperspherical harmonics / A. Kuppermann // Advances in molecular vibrations and collision dynamics / Ed. by J. M. Bowman.— Greenwich, CT: JAI Press Inc., 1994. -Vol. 2B.- Pp. 117-186.

150. Museth, K. Asymptotic analysis of state-to-state tetraatomic reactions using row-orthonormal hyperspherical coordinates / K. Museth, A. Kuppermann // J. Chem. Phys.- 2001,- Vol. 115. Pp. 8285-8297.

151. Internal spaces, kinematic rotations, and body frames for four-body system / R. G. Littlejohn, K. A. Mitchell, M. Reinsch et al. // Phys. Rev. .4. 1998. - Vol. 58. - Pp. 3718-3738.

152. Littlejohn, R. G. Quantum dynamics of kinematic invariants in tetra- and polyatomic systems / R. G. Littlejohn, K. A. Mitchell, V. Aquilanti // Phys. Chem. Chan. Phys. 1999. - Vol. l.-Pp. 1259 1264.

153. Malcherek, A. W. The n-electron Coulomb continuum / A. W. Malcherek, J. S. Briggs 11 J. Phys. B: At. Mol. and Opt. Phys. 1997.- Vol. 30.-Pp. 4419-4433.

154. Rwud, K. An efficient approach for calculating vibrational wave functions and zero-point vibrational corrections to molecular properties of polyatomicmolecules / К. Ruud, P. О. Astrand, P. R. Taylor // J. Chem. Phys.— 2000. Vol. 112. - Pp. 2668-2683.

155. Wiesenfeld, L. Rotational transition states: relative equilibrium points in inelastic molecular collisions / L. Wiesenfeld, A. Faure, T. Johann // J. Phys. B: At. Mol. and Opt. Phys. 2003. - Vol. 36. - Pp. 1319-1335.

156. Natanson, G. A. Quantum reactive scattering for A+BCD to AB+CD leactions: Coupled channel distorted wave theoiy / G. A. Natanson, G. C. Schatz // J. Chem. Phys. 1986.-Vol. 85.- Pp. 2038-53.

157. Meremianin. A. V. Body frames in the separation of collective angles in quantum N-body problems / A. V. Meremianin / ' J. Chem. Phys. — 2004. Vol. 120. - Pp. 7861-7876.

158. Wen, Z.-Y. Some properties of hyperspherical harmonics / Z.-Y. Wen, J. Avery Ц J. Math. Phys. 1985. - Vol. 26. - Pp. 396-403.

159. Dalitz, R. II. On the analysis of r-meson data and the nature of the r-meson / R. H. Dalitz // Philos. Mag.- 1953. Vol. 14. - P. 1068.

160. Higher trancendental functions. Bateman manuscript project / A. Erdelyi, W. Magnus, F. Oberhettinger, F. G. Tricomi. — McGraw-hill book company, Inc, 1953. Vol. II.

161. Four-particle Dalitz plots to visualize atomic bieak-up processes M. Scliulz, D. Fischer, T. Fcrger et al. // J. Phys. B: At. Mol. and Opt. Phys. 2007. - Vol. 40. - Pp. 3091-3099.

162. А. А. Квицинский. Плоская волна в системе трех частиц с нулевымполным орбитальным моментом / А. А. Квицинский, С. П. Меркурьев // Алгебра и анализ. — 1990. — Т. 2. — Сс. 182-200.

163. Vager, Z. Coulomb Explosion Imaging of Small Molecules / Z. Vager, R. Naaman. E. P. Kanter // Science.— 1989,- Vol. 244. P. 426.

164. Coulomb-explosion imaging of СЩ'. Target-polarization effects and bond-angle distribution / L. Lammich, H. Buhr, H. Kreckel et al. /j Phys. Rev. A. 2004. - Vol. 69. - P. 062904.

165. С. П. Меркурьев. Координатная асимптотика волновых функций (3 —» 3) для системы трех заряженных частиц / С. П. Меркурьев // ТМФ. — 1977. Т. 32. - Сс. 187-207.

166. С. П. Меркурьев. Координатная асимптотика волновой функции для системы трех частиц / С. П. Меркурьев // ТМФ.~ 1971,— Т. 8.— Сс. 235-250.

167. Meremianin, А. V. Hyperspherical harmonics with arbitrary arguments / A. V. Meremianin // J. Math, Phys. 2009. - Vol. 50, no. 1. - P. 013526.

168. Higher transcendental functions / A. Erdelyi, W. Magnus, F. Oberhettinger, F. G. Tricomi. — McGraw-hill book company, Inc, 1953. — Vol. I.

169. Miller, W. F. On the theory of the inelastic scattering of electrons by Helium atoms / W. F. Miller, R. L. Platzman // Proc. Phys. Soc. A.— 1957.-Vol. 70. Pp. 299-303.

170. Gordon, W. The calculation of matrices with the Hydrogen atom / W. Gordon // Ann. Phys.- 1929,- Vol. 2, no. 8. Pp. 1031-1056.

171. Крыловецкий, А. А. Обобщенные штурмовские разложения кулоновекой функции Грина и двухфотонные формулы Гордона / А. А. Крыловецкий, Н. Л. Манаков, С. И. Мармо // ЖЭТФ.— 2001. — Т. 119, Вып. 1,- Pp. 45.

172. Манаков. Н. Л. Динамические гиперполяризуемости возбужденных состояний водорода / Н. JI. Манаков, С. И. Мармо. Е. А. Пронин // ЖЭТФ. 2004. Т. 125, Вып. 2. - Pp. 288.

173. McWeeny, R. The computation of wave functions in momentum space I: The Helium atom / R. McWeeny, C. A. Coulson // Proc Phys Soc A. — 1949. - Vol. 62. - Pp. 509-518.

174. McWeeny, R. The computation of wave functions in momentum space II: The Hydrogen molecule ion / R. McWeeny // Proc Phys Soc A. — 1949. — Vol. 62. - Pp. 519-528.

175. Photo-double ionization of H2 / M. Gisselbrecht, M. Lavollee, A. Huetz et al. // Journal of Physics: Conference Series2007.- Vol. 88.— P. 012006.

176. Wannier theory for double photoionization of noble gases / A. Huetz, P. Selles, D. Waymel, J. Mazeau // J. Phys. B: At. Mol. and Opt. Phys. — 1991. — Vol. 24, no. 8. Pp. 1917-1933.

177. Argenti, L. A general algorithm for fitting efficiently triple differential cross sections of atomic double photoionization / L. Argenti, R. Colle // J. Phys. B: At. Mol. and Opt. Phys. 2008. - Vol. 41, no. 24,- P. 245205 (llpp).

178. Walter, M. Selection rules and isotope effects in the full fragmentation of the

179. Hydrogen molecule / M. Walter, J. S. Briggs // Phys. Reu. Lett. — 2000. — Vol. 85, no. 8. Pp. 1630-1633.

180. Pliotodouble ionization differential cross sections for Do with various electron energy sharing conditions / D. P. Seccombe, S. A. Collins, T. J. Reddish et al. //J. Phys. B: At. Mol. and Opt. Phys. 2002. - Vol. 35, no. 17. -Pp. 3767-3780.

181. Klar, H. Parametrization of multiply differential cross sections / H. Klar, M. Fehr // Z. Phys. D. 1992. - Vol. 23. - Pp. 295-300.

182. Blum, K. Density matrix theory and applications / K. Blum. — New-York: Plenum Press, 1981.

183. Waller, M. Selection rules and isotope effects in the full fragmentation of the Hydrogen molecule / M. Walter, J. S. Briggs // Phys. Rev. Lett. 2000.— Aug. - Vol. 85, no. 8. - Pp. 1630-1633.

184. Circular dichroism at equal energy sharing in photo-double-ionization of He / A. Y. Istomin, N. L. Manakov, A. V. Meremianin, A. F. Starace // Phys. Rev. A. 2004. - Vol. 70. P. 010702(R).

185. Parametrizations and dynamical analysis of angle-integrated cross sections for double photoionizat.ion including nondipole effects / A. Y. Istomin, A. F. Starace, N. L. Manakov et al. // Phys. Rev. A. — 2005.-Nov. -Vol. 72, no. 5. P. 052708.

186. Malegat, L. Double photoionization: I. A new parametrization of the triple differential cross section from first principles / L. Malegat, P. Seiles, A. Huetz // J. Phys. B: At. Mol. and Opt. Phys. 1997. - Vol. 30, no. 2. -Pp. 251-261.

187. Walter, M. Photo-double ionization of molecular Hydrogen / M. Walter, J. Briggs // J. Phys. B: At. Mol. and Opt. Phys.— 1999,- Vol. 32.-Pp. 2487-2501.

188. Walter. M. Multi-particle photoionization by a single photon / M. Walter,

189. A. V. Meremianin, J. S. Briggs // J. Phys. B: At. Mol. and Opt. Phys.— 2003. Vol. 36. - Pp. 4561-4579.

190. Nondipolar asymmetries of photoelectron angular distributions / B. Krässig. M. Jung, D. S. Gemmell et al. // Phys. Rev. Lett.- 1995,- Vol. 75, no. 26. Pp. 4736-4739.

191. Experimental determination of nondipolar angular distribution parameters for photoionization in the Ar K and Kr L shells / M. Jung, B. Krässig, D. S. Gemmel et al. // Phys. Reu., A.— 1996,- Vol. 54, no. 3.-Pp. 2127-2136.

192. Dramatic nondipole effects in low-energy photoionization: Experimental and theoretical study of Xe 5s / O. Hemmers, R. Guillemin, E. P. Kanter et al. // Phys. Reu. Lett. 2003. - Vol. 91, no. 5. - P. 053002.

193. E1-E2 interference in the VUV photoionization of He / E. P. Kanter,

194. B. Krässig, S. H. Southworth et al. // Phys. Rev. A. — 2003. Vol. 68.-P. 012714.

195. Cherepkov, N. A. Non-dipole effects in spin polarization of photoelectrons from Xe 4p and 5p shells / N. A. Cherepkov, S. K. Semenov // J. Phys. B: At. Mol. and Opt. Phys. 2001. - Vol. 34, no. 7. - Pp. L211-L217.

196. Experimental verification of quadrupole-dipole interference in spin-resolvedphotoionization / T. Khalil, B. Schmidtke, M. Drescher et al. // Phys. Rev. Lett, 2002. Vol. 89, no. 5. - P. 053001.

197. Grum-Grzhimailo. A. N. Non-dipole effects in magnetic dichroism in atomic photoionization / A. N. Grum-Grzhimailo // J. Phys. B: At. Mol, and Opt. Phys. 2001. - Vol. 34, no. 11. - Pp. L359-L365.

198. Mechanisms of photo double ionization of Helium by 530 ev photons / A. Knapp, A. Ivheifets, I. Bray et al. // Phys. Rev. Lett. — 2002. — Vol. 89, no. 3. P. 033004.

199. Malcherek, A. W. Triply differential cross sections for the photo-double ionization of Neon / A. W. Malcherek, F. Maulbetsch, J. S. Briggs // Journal of Physics B: Atomic, Molecular and Optical Physics. — 1996. — Vol. 29, no. 18.- Pp. 4127-4138.

200. Angular distributions for double photoionization of Helium: a comparative study / F. Maulbetsch, M. Pont, J. S. Briggs, R. Shakeshaft // J. Phys. B: At. Mol. and Opt. Phys. 1995. - Vol. 28, no. 10. - Pp. L341-L347.

201. Maulbetsch, F. Double photoionization in the case of unequal energy sharing / F. Maulbetsch, J. S. Briggs //J. Phys. B: At. Mol. and Opt. Phys. — 1994. Vol. 27, no. 18. - Pp. 4095-4104.

202. Kheifets, A. On different mechanisms of the two-electron atomic photoionization / A. Kheifets // J. Phys. B: At, Mol. and, Opt. Phys. — 2001.— Vol. 34, no. 8. Pp. L247-L252.

203. Photodouble ionization of Helium at an excess energy of 40 ev / S. Cvc-janovic, J. P. Wightman, T. J. Reddish et al. // J. Phys. B: At. Mol. and Opt. Phys. 2000. - Vol. 33, no. 2. - Pp. 265-283.

204. Experimental and theoretical study of linear and circular dichroism in Helium double photoionization / A. Kheifets, I. Bray, K. Soejima et al. // J. Phys. B: At. Mol. and Opt. Phys.— 1999.- Vol. 32. no. 17.— Pp. L501-L509.

205. Kazansky, A. K. Hyperspherical time-dependent method with semiclassical outgoing waves for double photoionization of Helium / A. K. Kazansky, P. Selles, L. Malegat // Phys. Rev. A. 2003. - Vol. 68, no. 5. - P. 052701.

206. Malegat, L. Double photoionization of Helium: The hyperspherical R-matrix method with semiclassical outgoing waves / L. Malegat, P. Selles. A. Kazansky // Phys. Rev. A. 1999. - Vol. 60, no. 5. - Pp. 3667-3676.

207. Effect of electron energy sharing on the double photoionization of Helium near threshold / P. Lablanquie, J. Mazeau, L. Andric et al. // Phys. Rev. Lett. 1995. - Vol. 74, no. 12. - Pp. 2192-2195.

208. Multicoincidence measurements of double photoionization in Helium / A. Huetz, P. Lablanquie, L. Andric et al. //J. Phys. B: At. Mol. and Opt. Phys. 1994. - Vol. 27, no. 1. - Pp. L13-L18.

209. Meremianin, A. V. The three-body rigid rotator and multipole expansions of the three-body continuum / A. V. Meremianin // J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys. 2005. - Vol. 38. - Pp. 757-775.

210. Double photoionization of Helium including quadrupole radiation effects / J. A. Ludlow, J. Colgan, T.-G. Lee et, al. // J. Phys. B: At. Mol. and Opt. Phys. 2009. - Vol. 42, no. 22. - P. 225204 (5pp).

211. Circular dichroism effects in atomic X-ray scattering / N. L. Manakov, A. V. Meremianin, J. P. J. Carney, R. H. Pratt // Phys. Rev. A. 2000. -Vol. 61.-P. 032711.

212. Мапаков, H. Л. Поляризационно-угловая структура и эллиптический дихроизм в трёхфотоиных связанно-связанных переходов в атомах / Н. Л. Манаков, А. В. Меремьянин // ЖЭТФ. 1997. - Т. 84. - С. 1984.

213. Manakov, N. L. Circular dichroism in VUV- and X-ray atom scattering caused by virtual photoionization / N. L. Manakov, S. I. Marmo, A. V. Meremjanin ] j J. Electron Spectrosc. Relat. Phenom. — 1996. — Vol. 79. — P. 331.

214. Dependence of photon-atom scattering on energy resolution and target angular momentum / J. P. J. Carney, R. H. Pratt, N. L. Manakov, A. V. Meremianin // Phys. Rev. A. 2000. - Vol. 61. - P. 042704.

215. Manakov, N. L. Invariant spinor representations of finite rotation matrices / N. L. Manakov, A. V. Meremianin, A. F. Starace // Phys. Rev. A. — 2001. — Vol. 64. P. 032105.

216. Meremianin, A. V. Multipole expansions and Fock symmetry of the hydrogen atom / A. V. Meremianin, J-M. Rost //J. Phys. A: Math. Gen.— 2006. Vol. 39. - P. 12427.

217. Walter, M. Shape-Amplitude Representation of N-Particle Photofragmentation Processes / M. Walter, A. Meremianin. J. S. Briggs // Phys. Rev. Lett. 2003. Vol. 90. - P. 233001.

218. Manakov, N. L. Factorized representation for parity-projected Wigner d?(ß)~matrices / N. L. Manakov, A. V. Meremianin, A. F. Starace // Phys. Rev. A. 2000. - Vol. 61. - P. 022103.

219. Matveenko, A. V. Three-body angular basis and simple expression for Wigner d(b) matrices / A. V. Matveenko // Phys. Rev. A. — 1999.— Vol. 59, no. 2. Pp. 1034-7.

220. Hyperspherical harmonics for polyatomic systems: Basis set for kinematic rotations / V. Aquilanti, A. Beddoni, A. Lombardi, R. Littlejohn // Int. J. Quantum Chem. 2002. - Vol. 89. - Pp. 277-291.