Методы моделирования самоорганизующихся систем тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи УДК 513.88+517.5+519.5

РГН од

КАГАН

1 5 ДЕК 1906 Евгений Владимирович

МЕТОДЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ САМООРГАНИЗВДИХСЯ СИСТЕМ

01.01.01-матемагическии анализ 01.01.07-вычислительная математика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ - 1996

Работа выполнена на кафедре прикладной математики Российского государственного педагогического университета им.А.И. Герцена.

Научный руководитель: кандидат технических наук, профессор Ю.К.Кузнецов

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Н.А.Широков кандидат физико-математических наук А.А.Атаки

на заседании специализированного соЕета КПЗ. 05.14 по присуждению ученой степени кандидата наук в ¡ГПУ им.А.И.Герцена (191186, г.С-Петербург, наб. р.Мойки, 48., корп. 1, ауд.209).

С диссертацией можно ознакомиться в фундаментальной библиотеке РГПУ им.А.И.Герцена.

Ведущая организация: Сочинский государственный институт курортного дела и туризма

Защита состоится " ^««а^ 1996г. б

час.

Автореферат разослан " 1996г.

Ученый секретарь специализированного совет

И.Б.Готская

0£ЩЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность ■темы. Явления самоорганизации наиболее широко стали обсуждаться в 50-60-е годы в связи с задачами химической кинетики, биологии н гидродинамики. В дальнейшем исследования самоорганизации приобрели более обидай характер и стали также затрагивать многие направления физию:, медицины, социологии, п&дагогикй к других дисциплин.

)Магема,гические методы анализа оамооргакизущкхся систем б настоящее время б основном связаны с качественным исследованием описывающих их нелинейных дифференциальных уравнении, научением решений этих уравнений и с методами теории нечетких графов.

Недавние-исследования Ю.Г.Борисовича. В.Д.Гельмана, А.ДЛАзшкиса, В-З.ОСухоБСКСГо, В.В.Федорчука, В.В.Филиппова и др. показали, что для изучения нелинейных дифференциальных уравнений, наряду с применяемыми качественной теорией однозначными отображениями, ыогуг весьма эффективно исполъиоьзть-ся методы теории многозначных отображений. Для таких отображений встает задача отыскания системных характеристик, аналогичных характеристикам однозначных отображений, н частности, энтропии и размерности, а также определения на их основе динамической, в частности, самоорганизующейся системы.

Для построения решений нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений В.В.Пикулем предложен асимптотический метод, основанный на формальном разложении в ряд Фуръэ старшей производной. Однако наличие в получающихся рядах слагаемых, имеющих вид алгебраических полиномов, делает их несколько неудобными для дальнейшего исследования. В связи с этим возникает необходимость усовершенствования этого метода для получения более подходящего вида решений.

Представление решения смешанной гадачи в виде ряда Фурье, полученное В.А.Чернягиным и основанное на предложенной км процедуре обоснования, ке использующей почленное дифференцирование ряда, построено для случая самосопряженного оператора. Случай не неоэмосопряженного линейного, а также нелинейного оператора остался неисследованным, хотя предложенная В.А.ЧернятиКЫм процедура обоснования оказывается для них также применимок.

Методы теории нечетких графов в системном анализе применяются, как правило, для моделирования систем искусственного интеллекта, и систем принятия р&шеняй. Для мод верования же динамических систем с помощь» нечетких гратов требуется определение их динамических и системных характеристик, аналогичных используемым в теории динамических систем.

Дели и задачи исследования:

- разработать метод нахождения энтропии и сложности самоорганизующихся систем;

- усовершенствовать метод построения решений дифференциальных уравнений б рядах Фурье;

- определить свойства и характеристики нечетких графов, необходимые для описания самоорганизующихся систем.

Методы исследования. В работе используются топологические методы, методы теории рядов Фурье, теории операторов и теории нечетких множеств и нечетких графов.

Научная новизна;

- предлагается метод нахождения энтропии многозначного отображения;

- формулируется определение системы, обладающей свойством самоорганизации, и предлагаются методы вычисления ее энтропии и сложности;

- разрабатывается метод построения решений обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных в случае несамосопряженного и нелинейного дифференциальных операторов в рядах Фурье;

- формулируются определения равновесия к устойчивости нечетких графов и исследуются их свойства;

- предлагаются методы нахождения энтропии и сложности нечетких графов.

Практическая вначммость к внедрение результатов. Полученные результаты и развитые в работе методы могут быть полезны при исследовании самоорганизующихся систем, описании и анализе конкретных объектов, при изучении обыкновенных дифференциальных уравнений, уравнений в частных производных, нечетких графов и гиперграфов.

Результаты работы использованы в НИР СГИКДиТ "Сейсмическая безопасность курортов Черноморского побережья (на

примере города-курорта Сочи)" в разделе "Моделирование работы кладет при действии сейсмических нагрузок".

Апробация работа. Теоретические результаты работы и их практические приложения докладывались и обсуждались на семинаре кафедры строительных конструкций СГйКДиТ (Сочи, 1893г.), на заседаниях кафедры теоретических основ радиотехники ТРТУ (Таганрог, 1984г.), кафедры прикладной математики РГПУ (С-Петербург, 1994-1995гг.), на конференциях в Таганрогском радиотехническом университете (199оГ.), Московском государственном авиациокно-технодогическом университете (1394г.), С-П&тербургском КМ Непрерывного Педагогического Образования (1994г.), С-Петербургской Лаборатории Изучения Образовательных Систем (1994г.), Российском государственном педагогическом университете (1995г.) и Сочинском филиале РГПУ (1996г.). Ряд прикладных результатов получил экспериментальное подтверждение.

Объем и структура работы. Диссертация наложена на 95 страницах и состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы, содержащего 32 наименования.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Введение включает краткий обзор исследований по системному анализу и процессам самоорганизации, общую характеристику полученных к настоящему времени результатов, обоснование выбора темы работы, ее актуальность и новизну, цель и задачи, научную и практическую значимость, методы исследования и сведения об апробации результатов и публикациях.

Глава 1 "Энтропия и сложность динамических систем".

В п. "1.1 "Энтропия динамических систем" содержится определение классической динамической системы, предложенное Дх.Д.Биркгофом, и приводятся связанные с ш понятия метрической СЯ.Г.СинайЗ, -топологической Ш.Ь. АсПег, А.8.КопЬе1ш, М.Н.МоАпс1геиЗ и е-энтропии СА.Н.Колмогоров].

Кратко сообщаются необходимые сведения из -теории многозначных отображений вида Р:Х-»Х и определяется их энтропия.

Пусть X - компактное топологическое пространство и Р;Х-»Х - непрерывное многозначное отображение.

и

Пусть у=-№ - произвольное открытое покрытие пространства X и п>1. Построим семейства Р~пу+='{Р+""Г1(,/):У=у} и Г~пу_={Г_~п00:\'ву}. В силу непрерывности отобрэж&нил Р при любом п>1 эти семейства образуют открытые покрытия пространства X. Так же как в случае топологической энтропии одно-

П "и1 -V , П- п-

ЗНаЧНЫХ ОТСирЗЗСбНйИ ПОЛОЖИМ У*- 1= V Р Н(У+ ),

л=и

ЬГР,У^ = Пт Н(\ЧП)/П И К!у_п)=1оеЫ(у_п),

" п-*™ ЫЭ

Ь(Р,у_)=Пга Н{л'-п)/п., где и «{'у-п) - мощности мини-

мальных конечных подпокрытий покрытий у+п и у-п соответственно .

Пусть и - такое покрытие пространства X, что 11(Р.и+)=Ь(Р(и-).

Величина 1"1(Р)=Ь(Р,и) называется топологической энтропией многозначного отображения Р:Х-»Х.

Равенство ЬСГ,и+)=н(Р,и_) выполняется при единственном открытом покрытии и=-Ш>. Для величины ¡"ЦТ) справедливы все свойства топологической энтропии, а для соответствующих пространств - установленная Е.И.ДинаОургом связь между метрической. топологической и е-энтропиями.

Рассматривается динамическая система с единственностью вида ф: ЕА.Д.Мышкис], где X - компактное топологическое

пространство. Поскольку всякому однозначному отображению по формуле Р(х.)={ф(х,1) ставится в соответствие многозначное отображение Р:Х-»Х, то энтропией динамической системы с единственностью ф:Х~К-»Х называется энтропия соответствующего ей многозначного отображения.

Пусть V - произвольное открытое покрытие пространства X и у^и. Тогда из свойства топологической энтропии, состоящего в том, что если учи, то н(Ф,у)йЬ(Ф,и) и если ущ, то п (Г, V _) С Ь С Г, 1, немедленно следует, что п(ч?' =зир

приводятся методы определения размерности и локального времени отображения ф:Х>*Б!-+Х при измеримом и произвольном г?. В первом случае зти величины соответственна совпадают с ха-

У'СДОрфОЕОИ раЗМерНОСТЬКЗ И ЛОКЗЛЬНЫЫ брОуКОВСКИЫ Временем.

HoK3.Bi3.HG, что динамическая система оев единственности

вида шIКНя-^р(X), ГДЭ г(X) - МНОЖЕСТВО БСЭл ПОДМКОЖ8СГВ X, ГА.Д.шышкис] сводится к предыдущей системе, и значит для нее справедливы относящиеся к системе ф:Х'-.К-*Х определения и свойства.

Наконец, рассматривается абстрактная самоорганизуюгцаяся система 3=ЦХ,Д)(Р,Ц)1, где X - произвольное множество, Р:Х-*Х - многозначное отображение и ; и=ИП - покрытия X и Р=т.1> соответственно, и определяется ее энтропия.

Пусть X и.Р - компактные топологические пространства и Л= -С А > , У=,:и} - их открытые покрытия, покрытие А (соотв., покрытие У) порождает многозначное отооражение ф (соотв.. многозначное отоорнксние если Ь (,. ) ~ и ($. Л-) (ее-

отв.,, )). Обозначим через Др. - открытое псжры~

тие пространства X, соответствующее покрытию Уг, я через Уп -открытое покрытие пространства >, соответствующее покрытию А-!, где А-, и ип получаются при многозначном отображении Р~П:Х-»Х, п>1. Пусть фп к <]1П - отображения, порожденные покрытиями Лп и ип соответственно. Как и для топологической зн-

П-1 , п-1

тропии положим Л"» V Фп-1"кл, Уп= У_фН(Дп)=1о£ 8 (Л") к=0 к=и

и Н(£Р)-1ог N(0"), где П(АП) (К(0П)) - мощность минимального

подпокрытия покрытия Дп (Уп). Пределы Ь(Х,Д) = Н1нН(Дп)/п и

Ь(Р,У)=11т К(1/п)/п назовем, структурной и функциональной знт-

у-км

ропиями, а величину Ь('3) =¡ЬСХ.Д^-ЬСР,^)| - энтропией системы 3=[(Х,ДИР,У)].

Для энтропии ¡КЗ) кроме свойств топологической энтропии выполнено также следующее: СКЬ(З)-:«», прячем равенство кулю достигается тогда и только тогда, когда Р:Х-»Х - многозначное отображение, порожденное покрытием А.

В п.1.2 "Сложность динамических систем" приводится классическое определение сложности конечных и счетных слов, введенное А.Н.Колмогоровым, и его вариант, предложенный П.Витаньи и ш.Ли. Формулируется связанные с ним определения

сложности и регулярной сложности траекторий динамической системы [А.А.Брудно].

Предлагаются два способа нахождения сложности динамической системы.

Пусть X - компактное топологическое пространство и Т:Х-»Х - непрерывное отображение.

Сложностью с(Х,Т) динамической системы (Х,Т) называется мощность разбиения £,цП, порождаемого открытым покрытием и" при гн«.

Пусть £=б(е,иП) - минимальная б-алгебра, содержащая элементы разбиения ^ п, ий- мера, инвариантная относительно ! и такая, что Ь(Т)«Ь(д,Г)4 где Ь(Т) - топологическая, а Г|(д,Т) - метрическая энтропии. Тогда сложность с(Х,Т) совпадает с регулярной сложностью траекторий динамической системы (Х,Т).

Пусть теперь X - некоторое множество, Г;Х-*Х - многозначнее отображение и гр.-ХхУ^Х - соответствующая ему динамическая система с единственностью. Пусть далее П^ф) - замкнутая поверхность размерности 0«Мб(9)>+К2, где •{•} - целая часть числа и 5(?) - размерность отображения всюду плотно и без самопересечении содержащая траектории системы :р:ХхУ-+Х. Тогда сложностью системы щ называется величина с=р+д, где р - число ручек и а - число листов Мебиуса, которые необходимо приклеить к сфере З2 для того, чтобы она стала гомэоморфна поверхности .

В обоих случаях для системы 3=[(Х,Л) (Р,0)] сложности с(Х,Л) и с(Р,И) называются, соответственно, структурной и функциональной сложностями.

Глаза £ "Решение дифференциальных уравнений в ряда»: Фурье".

В п.2.1 "Обыкновенные дифференциальные уравнения" на основании идеи В.В.Пикуля о представлении старшей производной в виде формального ряда Фурье доказана

Теорема -2.1. Пусть есть обыкновенное дифференциальное

уравнение, разрешенное относительно старшей производной

х<ю = Г(х<о)>__>х(к-1)) = Г(х) (1)

с начальными условиями

хш(0) = ц>и 3 = (2)

к пусть f(x)=LC0,T3. Тогда решение задачи Коши (1)-(2), если оно существузт, представляется в виде ряда

со

x(t) - Е (T/'jr)K(in)0Ca exp[iJtnt/T], (3)

n=l

где &п=(апЧйп2), an1^-^ tfn2=rn-!<, Bn=lnrn и rn=2fPn/X -1<гп<13 а гп и !?п задаются выражениями (4) и (5).

Из представления (3) немедленно вытекает

Теорема 2.2. Решение задачи (1)-(2) в виде (3) существует тогда и только тогда, когда функция fix) такова, что 0<гп<1 И фп<0, П=1...м, Т

гп = Щ1/Т) J i4x)cos(at/T)c!t]2 + О

Т

+ [(1/Т) $ f (х)sin(nt/T)dt]2}1/2, С4) О

Г Т

Фп = arctg-i[ I f(2)sin(nt/r)dt3/[ I f(x)cos(nt/T.)cit]>. (5) 0 0

Ш, наконец, справедлива

Теорема 2.3. Представление (3) решения вадачи Koira (1)-(2), если решение существует и единственно, единственно.

Пусть f (X)sL[0, Jtl. Если Bn-tXO и yn-kiO, П=1,2,.., ТО ряд (1) представляет собой производную в сшсле Вейля порядка grrk ряда Е exp[2(nt+ftCrrHv)/2) 3 или, точнее, (ф,у)-про-

изводную ряда £ exp(int)3 i|»=nCn ^ и v=rn-k.

Если же !Зггк<1, то ряд (3) есть ничто иное, как функция Вейервтрасса-Харди-Мандельброта, а кривая x(t) является фракталам. Внеяшяя и внутренняя хаусдорфовн размерности этой кривой задаются, соответственно, выражениями: dine>;-tux(t) J = 2 - n, di!r,int[x(t)3 = i/ii, где Ti=0n-k при in=const [Я.Б. Зельдович, Д.Д.Соколов] и Ti=sm/N, где sn - чаотичная суша ряда E&n-k, при pri"const.

В п.£.2 "Дифференциальные уравнения в частных производных" приводится разработанная В.А.Чернятиным процедура обос-

кования метода Фурье для решения смешанной задачи в случае самосопряженного дифференциального оператора, не использующая почленное дифференцирование ряда.

Эта процедура распространяется на случаи кесзмосопря-женного оператора. Пусть есть линейное неоднородное уравнение в частных производных

ЬхиСхД) + КнЦ'хД) = ПкД) (6)

с граничными и начальными условиями вида:

11411(0,1) + У;и(лД) =0, 1=ю,Т], 1=1,2,(?)

С^"и(л,и)

,„ - ^ П ту. -1

-;- =

СЛ3

и требуется найти функцию

и(х.,1.) « с'л'т(0.)', (9)

удовлетворяющую (б.)-(3) в обычном смысле.

Теорема £.4. Пусть оператор Ьх не является самосопряженным: = Для всех е(х) и Ь(х). удовлетворяющих (?), где 1-х* - оператор3 сопряженный к оператору Ьх-Тогда решение смешанной задачи (8)-(9)а если оно существует, единственно и представляется равномерно сходящимся по х на ограниченной области рядом Фурье

го

и(х,1) - Е Тпа.)Уп(х) (10)

П=1

по нормированной на Е0,ЯЗ системе функции {у^.л)/ , с коэффициентами Тц(Ь), определяемыми решением вадачи Коши НьТп('Ь) + МпТп(1= ГпСс),

т* (31 «> .. ^ г-, г> ■«

41 (и) = чФьУП', 1,й, . - ,111--I,

где Дп - собственные значения оператора .

Условия существования и единственность решения (10) вадачи (0)-(9) аналогичны случаю самосопряженного оператора.

Для случая нелинейного оператора предложен метод решения задачи на собственные вначения.

Положим, что решение и(х.Л) вадачи (6)-(9) при нелинейном операторе и;< представляется рядом вида ('10), и решим задачу на собственные значения оператора !_>;;

1*У00 « Лу(х). (11)

Пусть оператор Ц: может Сыть представлен в виде

Ьх = го(>:)—г + Г1 (х)—р-г + ... + гк(х),

с/х 1

где го(х)=1 и Гк(х) - линейная функция х на леем интервале [а.Ы.

Положим, что д1(х)=0, 1=1...к-1, на [а,Ь] и пусть

с/к

Уп'(х) - собственные функции оператора 1У/ = —- + гк(х).

с?хк

Подставляя Уп'(х) в (11) и полагая, что получим:

иУп'(х) = ап+1сп)® Уп*(х). (12)

Для каждого п рассмотрим оператор как функцию к+1 переменных, т.е.

а уп и у г;

ЬкУп'^РСх, ——, ^ Уп"(х)].

ОХ 4 ил ^

Тогда

"'"Уп

РЕЛп-л, лП--г—» ^п'—п ^—, - -Хп'Уп'ООЗ =

чл Ол

-»к., » лК-1., > с о Уп и Уп

где с - степень однородности функции Р.

Полагая ко и реыая (12) для Н'е(уп*) и 1т(уГ1*) с учетом начальных и граничных условий, получим значения гп и цп-

Рассматривая (хД) как параметры, имеем поверхность Ф, заданную рядом вида

01 ГС

и(хЛ) = £ £ сООехрШклХ+адз, с(к)~|кГ1-0£.

Внешняя и внутренняя размерности поверхности Ф определяются выражениями [Я.В.Зельдович, Д.Д.Соколов}:

сИШехЪ Ф = 2/«, СИт1г* Ф ='3-«, причем при 0<ск1 эта поверхность есть фрактал.

В п.2.3 "Решение системы типа "реакция-диффувия" предложен метод построения решений параболической системы второго порядка вида

сУ п

— = Е З3к-+ (и, V),

<Л о,к=1 с/х^к

с!у п

— - Е |>.-+

<Л з.к=1 е*х3с/хк

где Г(и,у) и е(и.у) - нелинейные функции своих аргументов, Си=П2окП иОу=11»дк11 ' матрицы диффузии.

Пусть и(х5Ь) и у(хД) - решения системы (12). Полежим

0»(хЛ) = !и(Х}1) - У(Х,Ь)|, С'13)

р(и,у) = ¡ГСи,V) - £(и,у)|. (14)

Вычитая в (12) ив первого уравнения второе, получим одно уравнение для о>(х,1):

С'Ш Л С/Лй)

— = I Гзк- + р(и,у), (15)

Л 3, к=1 ay.idY.y_

где

Обозначим черев Г - границу области В=КП и присоединим к уравнению (15) начальные и граничные условия

«к=й = Ф(х), (16)

» ~

— I = и,

ап\г.

где п - внешня нормаль к От-

Рассматривая смешанную задачу (15)-(1?) как задачу об управлении, где р(и,у) - управляющая функция, определенная я некоторой области и пространства (и,у), и записывая

п

р(и,у) - Е аг(1)щ(Хг^), (18)

г-1

где аг(1) - непрерывная ка 10,11 функция, получим систему

с-,

г- 11 О ШГ'

Г* ^ | п —, ■« ~ ../•,«■ 44 ^ГЛ

—— « и и^- т £¿2*4 ь 1 - .Ил л^-, и; к-а'^у

и и л=1 с/л г

с начальными и граничными условиями

(17)

<">Иг=й = Фг(х). Рг(и,у) К=й = (20) сЛог|

I _ г. тл \ -1 = и. \ С.1 }

с!п |Г

Решение задачи (19)-(21) представляется б виде произведения

п

ш(х,1) = П а>чг)и(Хг,1), г=1

где для каждого г, имеем:

ш(ХгЛ) = ? с!*.

Г"»

и

И

/ л.™ »1 фг- I Ь I ' ЧАеНИ и

С1Т~1 Ь) = -.

, / Л- \ л;--т~1

ф 1,1-; -инаи и

Отсюда, используя равенство (18) получаем решение исходном задачи.

Глава 8 "Характеристики нечетких графов". В п.3.1 "Нечеткие множества к нечеткие графы" содержатся необходимые сведения из теории нечетких множеств и нечетких графов. Приводятся эквивалентные определения гомогенных и гетерогенных нечетких множеств, определения нечетких графов и гиперграфов и их представления.

В п.3.2 "Равновесие и устойчивость нечетких градов" формулируется

Определение 3.1. Вершина :<1 нечеткого графа а=(Х,Г) называется равновесной, если гп^^'х 1) =п£(Хг), где т~(Х1) и

а а " Ь

т^Схи - мощность исхода и мощность захода вершины х^Х,

1=1...N. Нечеткий граф б называется равновесным, если все его вершины равновесны.

■ Теорема 3.1. Если матрица смежности К(в) нечеткого графа <3=(Х,Г) симметрическая, то граф <3=(Х,Р). равновесен.

Следствие. Всякий полный неориентированный граф равновесен.

Обозначим через N мощность множества вершин и через М -мощность множества дуг графа 6=(Х,Г).

Теорема 3.2. В равновесном нечетком графе 6'=(Х,Р), содержащем более одной вершины, М)и.

Следствие. Если равновесный нечеткий граф однороден

иТеиеНИ н=р ^ л j j= х , x=x...n, Tu m~ii.

Теорема ¿5.3. Равновесный обычный ориентированный граф u=(X,F), содержащий более одной вершины, однороден. Справедливо также обратное.

Теорема 3.5. Всякий равновесный нечеткий граф, содержащий более одной вершины, связен.

Следствие, Матрица расстоянии равновесного нечеткого графа G= (X,F) не содержит нулевых элементов, за исключением, быть может, диагональкых.

Пусть fí=(X,F) - нечеткий граф без петель. Построим его матрицу смежности P(G)=¡IPisi1мхН следующим образом. Будем полагать, что pij=ii(xi,x¿), если icj и Px¿--^xCxí ), если i>j. Введем матрицу K(fí)=P(G)-Р'(G), где Р' (<3.) - транспонированная матрица, и будем говорить, что матри.щ К(G) устойчива, если ее собственные значения имеют отрицательные действительные части.

Определение 3.2. Нечеткий граф ¡3'=(X,F) называется устойчивым, если его матрица К (6) устойчива.

Теорема 3.6. Если в нечетком граде G'=(X,F) p~(Xi)=p+(Xi)=2 для всех i=i...N, то граф ¡?=(X,F) устойчив.

Теорема 3.7. Если нечеткий граф' Sk= (Xk,Fk) с числом вершин не менее трех, полученный в результате последовательного слияния вершин в устойчивых подграфах Gnt...S«i_t нечеткого графа G= (X, F) , устойчив, то нечеткий граф G'=(X,Fj устойчив.

В п.3.3."Энтропия и сложность нечетких графов" описываются аксиоматическое и метрическое определения знтронии нечетких множес-ТБ. Эти определения, применяемые к нечеткому множеству дуг (хьх3)>, F=X*X, iJ«l...N-jX{, графа

G4X,F) дают, соответственно, аксиоматическое и метрическое определения энтропии этого графа.

Если же определить энтропию нечеткого графа fí=(X,F) как hM(G)=6(S)log6(G),

N N ■

где 6(G')=N £ £ |i (Xi,Xj) - его плотность связности, то i=i í=I F

х - и

энтропия hfví совпадает с определением энтропии обычных графой, введенным A.Mowshovvits.

Рассматривается определение энтропии нечеткого графа, вытекающее из определения энтропии многозначных отображений.

Пусть о=(Х,Р) - обычный или нечеткий ориентированный граф. При этом если ориентация в графе 6=(Х,Р) не задана, то будем полагать, что каждому ребру графа соответствуют две параллельные дуги со значениями принадлежности, равными значению принадлежности зтого ребра.. Поскольку каждой вершине Х1=Х, 1=1...М, графа 13=(Х,Р) соответствует некоторое множество Г(х 1>={Хз: Хз=Х, з=1... К'} Смежных ей вершин, то граф й=(Х,Р) однозначно задает многозначное отображение Р:Х-*Х конечного множества X в себя.

Энтропией графа и=(Х,Р) называется энтропия зада-

ваемого им многозначного отображения Р:Х-»Х.

Для практического приближенного вычисления энтропии Ьр(ь') нечеткого графа б=(Х,Р) предлагается формула:

Ьр(6')=-1п{ ( Е ¡\г(Ю1н)/< Е ¡^(К)!)''1, 1=1 1=1

где - собственные числа матрицы К(б) графа «=(Х,Р).

При зтом оказывается, что , где

Е 1X1 (Ю| - энтропия зргодическогс авто-

■и: |Д

ыорфггзма, задаваемого матрицей смежности К нечеткого графа и=(Х,Р) СЯ.Г.Синай!] и - его логарифмическая энтропия.

Кратко сообщается метод определения сложности обычных графов, предложенный А.В.Чзикиннм и являющийся обобщением колмогоровской сложности.

По аналогии со сложностью динамических систем определяется сложность нечетких графов. Пусть в=(Х,Р) - обычный или нечеткий граф, Р:Х-»Х - задаваемое им многозначное отображение и ч).*ХхУ-*Х - система с единственностью, соответствующая отображению Р. Пусть далее и - таков покрытие множества X, что для многозначного отображения Г:Х-»Х выполнено равенство Ь(Р,и_)=Ь(Р,и+), и ув:У.-*Х - такое однозначное отображение, для которого реализуется и(?а)=зир ■

Сложностью ср(в) графа 6'=(Х,Р) называется мощность раз-

биения £. пои п-*».

1Г

Сложностью обычного или нечеткого графа в=(Х,Р), в соответствии со вторым определением сложности динамической системы, можно также считать наименьшее число ребер £,(6), удаление которых делает граф планарньгм, а б практических приложениях - значение дефекта его матрицы К(б).

Глава 4 "Примеры анализа систем" 'имеет прикладкой характер.

В п.4.1 "Системы с распределенными параметрами" рассматривается процесс самоорганизации вданий при сейсмическом воздействии. Предлагается модель описания поведения здания с помощью линеаризированного уравнения Клейка-Гордона для трехмерной среды, состоящей из связанных осцилляторов

ни. - У2ДЦ + <ио2и = О, где у2=га2/т, г - коэффициент затухания, а - расстояние между осцилляторами, ш - масса осциллятора.

На основании уравнения фазовой динамики в осциллирующей активной среде вида:

Фьь = "(г) + а('7<р)2 + Ьйф, где <а(г) - частота волны, а и Ь - коэффициенты, устанавливается, что после каждого сейсмического удара здание следует рассматривать как новое относительно его состояния до удара.

Описывается процесс образования концентрационных структур на поверхности полупроводниковой пластины с управляемой генерацией носителей заряда при квадратичной рекомбинации.

На основании аналогии между системой типа "реакция-диффузия" и трехмерным уравнением непрерывности для избыточных носителей заряда в полупроводнике строится система = ОпДп + <хп(ипп - рпп3/3) - Зп, Бп = ВПРДЗП + ь>0пгП - ТпСЗпР + ЗрП).

р*. = ИрДр + Лр(ЧрР - СрР3/2) -Зр = ОрпЛБр + «Ор2Р ~ Тр(Зпр + БрП), где пир- неравновесные концентрации электронов и дырок, Зп и - скорости поверхностной рекомбинации, осп=1/1'ппер, оср=1/трпер, гппвр и трпер - времена переноса носителей из объема к поверхности, вп^р^гн2, иоп=1/тп, шо»=1А'р, П1=по-ро ~ равновесные концентрации носителей, гп и тр -

времена жизни носителей, и Тр=1/Трр0 - коэффициен-

ты рекомбинации, 0п=5попо к Ср=5рсРо - коэффициенты диффузии, Впр=ЗпоРа и _ коэффициенты перекрестной диффузии, иц и 'ир - управление гене рацией носителей,

Яри некоторых дополнительных предположениях отыскиваются условия существования на поверхности пластаны стационарных бегущих волн и статических структур. Определяются значения управления, соответствующие устойчивому статическому состоянию и движению структур.

Эффект образования концентрационных структур на поверхности полупроводниковой пластины недавно нашел экспериментальное подтверждение при изучении системы 2п5:Мп, проведенном С^.ооззеп, Г. -Л.Ме1иегпоз1пй1с1е и Н.-б.Рапппз.

В п.4.2 "Дискретные системы" приводится анализ деформированного состояния каменвой кладки при сейсмическом воздействии.

Описывается предложенная Е.Е.Юрченко модель каменной кладки, представляющая собой многопролетную многоэтажную раму с защемленными с-тойка!®, м приводятся исходная и конечная функции горизонтальных смещений узлов кладки. С помощью этих функций строятся нечеткие графы относительных перемещений узлов.

Анализ деформированного состояния кладки производится путем сравнения энтропии нечетких графов, соответствующих начальному Зл и конечному и2 состоянию, а анализ переходов -путем сравнения их негзнтропии, определяемой по формуле:

VI *Т »1

Л 14 iЧ

Щи^иц) = -1Н и. и |А11-А£Ц и, ¡Ацм J,

1=1 1=1 1=1

где 1 и - собственные значения матриц К(б1> и соответственко.

По зтоу* же формуле вычисляется негзнтрогшя перемещении узлов рамы при отсутствии к-го элемента, где в!К а - нечеткие графы относительных перемещений с удаленной к-той вершиной.

Выяснено, что при переходе от первой функции горизонтальных перемещений ко второй или, что то же, от графа 31 к

графу Gg, разрушения происходят в тех участках кладки, которым соответствуют элементы рамы с h (G*¡G2)<h(GakiG2k). Причем первая трещина образуется в том иа них, для которого значение h(Gik|G£k) наибольшее.

Полученные результаты полностью согласуются с результатами натурных испытаний, численных экспериментов, а также данными о происходивших землетрясениях.

Предлагается имитационная модель и структура АСУ эксплуатации ракетных технических средств.

Вначале рассматривается неиерархическая задача без управления. Пусть E=iei>, i=l... I, - множество целей, ХИх$>, 3 =1... J, - множество пускошх установок (ЛУЗ. В предположении, что кJ и каждая ПУ способна поразить одну цель, решается задача оптимального целераспределения, заключающаяся в нахождении такого отображения v:X-*£, при котором достигается максимальная вероятность поражения всего множества целей Е. Отображение v:X-*E представляется в виде двудольного графа K=(X,E,V), где X - первое множество верпин, F. - второе множество вершин и Y - множество дуг.

Вводится характеристика (t)-pjj(d), определяющая

вероятность поражения 1-той цели ¿'-той ПУ при надежности 1Г/ Qj(t.). Пусть k(i) - число ПУ, нацеленных на 3-ю цель. Тогда вероятность поражения 1-ой цели fc(i) ПУ равна

Fi (k)=Pik+d-Pik) (Pik-l+d-Pik-1 ) (Pik-2+(bPik-S)x x(Pik-3+-..+<l-Pis)Pii)...), a формула вероятности поражения всех I целей имеет вид

т

Р=(1Л) L Рi iк).

1=1

Решается задача оптимального целераснределения, состоящая в нахождении такого распределения k(i). при котором Р-чпах, и на ее основе - задача организации АСУ эксплуатации.

Наконец, вводится иерархия и управление. Пусть множест-

L

во целей Е и множество ПУ X оаабиты на L классов и Ei=E,

1=1

L

V Xi =.Х, EifiE3=0. Xji 1X3 =¡3 при i^i, i ,i=L. Пусть каждый класс 1=1

L

ПУ имеет множество Y(l)={ym3-, m=l...M(]), L Mfl)=M

1=1

командных пунктов (КП) и управление производится с помощью 7(1)={'У!„п>, п=1... N (1), канатов связи (КС). Пусть, далее, каждым классом КП управляет множество центральных КП (ЦКП)

Ь

г(1)={2<.}, 8=1. ,.3(1), Е 5(1)=3 и каждый в-ш ДКП связан с " ' ' 1=1

каждым КП класса 1 с помощью 'л'(1)={«:зг}, г=1...К(1), КС. Пусть, наконец, существует штаб А, связанный с каждым ДКП класса 1 множеством С(1)=1сь>а п=1...Н(1), КС. Будем полагать, что для каждого класса 1 каждый КП связан с каждой ПУ, каждый ЦКП - с каждым КП и каждый ЦКП - со итабом.

Рассматриваются четыре соответствия между органами управления с учетом надежности каналов связи и решается задача оптимального целераспределения. Строится модель обслуживания технических средств о учетом резервирования. На основе частных критериев оптимальности -

= М-с^ДсМ! 1 = 3 I

ад = 2 яа^/'Ш/П Е м-а-и1- - 1. 3=1 1=1

где ХсНОЧьОД)}* 1=1.-Л, - нечеткое множество моделей

уровня и, где ~ относительная сложность,

2а=шак(ша 1), ш.^а^^си ~ сложность задачи (аЛ), решаемой 1

1-ой модельи уровня и, позволяющих применять однотипную аппаратуру для реализация моделей функциональной структуры, формируется структура АСУ эксплуатации.

Заключение содержит итоги работы и возможные направления дальнейших исследований.

В работе сформулировано определение системы на основе многозначных отображений, которые естественно возникают при исследовании нелинейных дифференциальных уравнений, оиксыва-щих самоорганизующиеся системы; разработан метод нахождения ее энтропии и сложности. Усовершенствован метод построения решений обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных в рядах Фурье, позволяющий получать репения как линейных, так и нелинейных уравнений и исследо-

C.ÍJ

вать их хорошо известными методами теории тригонометрических рядов. Определены условия равновесия к устойчивости нечетких графов, их энтропия и сложность, что необходимо при описании самоорганизующихся систем. Приведены результаты прикладного характера, полученные с помощью развитых в работе методов.

Дальнейшие исследования по направлению работы могут быть связаны с изучением многозначных отображений и систем при различных видах пространств, их системных характеристик, в частности, энтропии, сложности и размерности. Появляется возможность рассмотрения свяаи структурных свойств решений дифференциальных уравнений при их приближении тригонометрическими полиномами со структурными свойствами дифференциального оператора, рассматриваемого как функция многих переменных. Развитие результатов, относящихся к нечетким графа», может быть направлено на методы оптимизации структуры дискретных и поддающихся графовой формализации непрерывных систем, а также связано с методами нечеткой топологии.

Публикации, содержащие результаты диссертации:

1. Арутюнян В.В., Каган Е.В. Применение нечетких и лингвистических переменных в педагогических измерениях // "Измерения в педагогике". 4.2. -СПб.: ЛЙОС, 19S4, 0.80-91.

2. Арутюнян В.В., Каган Е.В. О применении нечеткой логики для моделирования педагогических систем // "Актуальные проблемы непрерывного педагогического обрааовакия". В.1. -СПб.: Образование, 1334, С.72-74.

3. Каган Е.В. Об одном методе построения системы восприятия речи // "Методы и средства цифровой обработки сигна-

. »ТТЛ1!* í-ir»t-, П Л Т* 4 О

лив . -i отстриг; ins, АЗЭО, О.ЛГ-АО.

4. Каган Е.В., Рябых A.B. Фазовые портреты генераторов при стохастическом воздействии // Тагаринские чтения". "4.7.

. liiniTlf Л ОГ| ¿ Г( СО с"!

-W. : 1VU.HJJ, ¿¡зэд, u. Do-aa.

5. Каган Е.В. Об одном методе моделирования самоорганизующихся систем с распределенными параметрами // Терценозс-кие чтения-95". -СПб.: Образование, 1935, С.73-80.

В. Каган В.Б., Юрченко Е, Е. ä Каган Е.В. Системный анализ процесса разрушения каменного простенка //Строительства и архитектура. Сер.Сейсмостойкое стр-во, 1398, В.2, С.17-19.