Методы моделирования самоорганизующихся систем тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Г Ь

п

На правах рукописи УДК 513.88+517.5+519.5

КАГАЛ

Евгений Владимирович

МЕТОДЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ САМООРГАНИЗУЮЩИХСЯ СИСТЕМ

01.01.01-математический анализ 01.01.07-вычислительная математика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ - 1997

Работа выполнена на кафедре прикладной математики Российского государственного педагогического университета им. А. И. Герцена.

Научный руководитель: кандидат технических наук, профессор Ю.К.Кузнецов

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Н.А.Широков кандидат физико-математических наук A.A.Атоян

Ведущая организация: Санкт-Петербургский государственный институт информатизации и автоматизации РАН

Защита состоится " Я? " 1997г. в час.

на заседании специализированного совета КПЗ. 05.14 по присуждению ученой степени кандидата наук в РГПУ им.А.И.Герцена (191186, г.С-Петербург, наб.р.Мойки, 48, корп.1, ауд.209).

С диссертацией можно ознакомиться в фундаментальной библиотеке РГПУ им.А.И.Герцена.

Автореферат разослан " е^^хг^сР 1997г.

Ученый секретарь специализированного совета

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность теш. Явления самоорганизации наиболее широко стали обсуждаться в 50-60-е годы в связи с задачами химической кинетики, биологии и гидродинамики. В дальнейшем исследования самоорганизации приобрели более общий характер и стали также затрагивать многие направления физики, медицины, социологии, педагогики и других дисциплин.

Математические методы анализа самоорганизующихся систем в настоящее время в основном связаны с качественным исследованием описывающих их нелинейных дифференциальных уравнений, изучением решений этих уравнений и с методами теории нечетких графов.

Недавние исследования Ю.Г.Борисовича, Б.Д.Гельмана; А.Д.Мышкиса, В.В.Обуховского, В.В.Федорчука; В.В.Филиппова и др. показали, что для изучения нелинейных дифференциальных уравнений, наряду с применяемыми качественной теорией однозначными отображениями, могут весьма эффективно использоваться метода теории многозначных отображений. Для таких отображений встает задача отыскания системных характеристик, аналогичных характеристикам однозначных отображений, в частности, энтропии и размерности, а также определения на их основе динамической, в частности, самоорганизующейся системы.

Для построения решений нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений В. В.Пикулем предложен асимптотический метод, основанный на формальном разложении в ряд Фурье старшей производной. Однако наличие в получающихся рядах слагаемых, имеющих вид алгебраических полиномов, делает их несколько неудобными для дальнейшего исследования. В связи с этим возникает необходимость усовершенствования этого метода для получения более подходящего вида решений.

Представление решения смешанной задачи в виде ряда Фурье, полученное В.А.Чернятиным и основанное на предложенной им процедуре обоснования, не использующей почленное дифференцирование ряда, построено для случая самосопряженного оператора. Случай же несамосопряженного линейного, а также нелинейного оператора остался неисследованным, хотя предложенная В.А.Чернятиным процедура обоснования оказывается для них также применимой.

Методы теории нечетких графов в системном анализе применяются, как правило, для моделирования систем искусственного интеллекта и систем принятия решений. Для моделирования же динамических систем с помощью нечетких графов требуется определение их динамических и системных характеристик, аналогичных используемым в теории динамических систем.

Цели и задачи исследования:

- разработать метод нахождения энтропии и сложности самоорганизующихся систем;

- усовершенствовать метод построения решений дифференциальных уравнений в рядах Фурье;

- определить свойства и характеристики нечетких графов, необходимые для описания самоорганизующихся систем.

Методы исследования. В работе используются топологические методы, методы теории рядов Фурье, теории операторов и теории нечетких множеств и нечетких графов.

Научная новизна:

- предлагается метод нахождения энтропии многозначного отображения;

- формулируется определение системы, обладающей свойством самоорганизации, и предлагаются методы вычисления ее энтропии и сложности;

- разрабатывается метод построения решений обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных в случае несамосопряженного и нелинейного дифференциальных операторов в рядах Фурье;

- формулируются определения равновесия и устойчивости нечетких графов и исследуются их свойства;

- предлагаются методы нахождения энтропии и сложности нечетких графов.

Практическая значимость и внедрение результатов. Полученные результаты и развитые в работе метода могут быть полезны при исследовании самоорганизующихся систем, описании и анализе конкретных объектов, при изучении обыкновенных дифференциальных уравнений, уравнений в частных производных, нечетких графов и гиперграфов.

Результаты работы использованы в НИР СГИКДиГ "Сейсмическая безопасность курортов Черноморского побережья (на

примере города-курорта Сочи)" в разделе "Моделирование работы кладки при действии сейсмических нагрузок".

Апробация работы. Теоретические результаты работы и их практические приложения докладывались и обсуждались на семинаре кафедры строительных конструкций СГИКДиТ (Сочи, 1993г.), на заседаниях кафедры теоретических основ радиотехники ТРТУ (Таганрог, 1994г.), кафедры прикладной математики РГПУ (С-Петербург, 1994-1996гг.), на конференциях в Таганрогском радиотехническом университете (1993г.), Московском государственном авиационно-технологическом университете (1994г.), С-Петербургском НИИ Непрерывного Педагогического Образования (1994г.), С-Петербургской Лаборатории Изучения Образовательных Систем (1994г.), Российском государственном педагогическом университете (1995г.) и Сочинском филиале РГПУ (1996г.). Ряд прикладных результатов получил экспериментальное подтверждение.

Объем и структура работы. Диссертация изложена на 95 страницах и состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы, содержащего 82 наименования.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Введение включает краткий обзор исследований по системному анализу и процессам самоорганизации, общую характеристику полученных к настоящему времени результатов, обоснование выбора темы работы, ее актуальность и новизну, цель и задачи, научную и практическую значимость, методы исследования и сведения об апробации результатов и публикациях.

Глава 1 "Энтропия и сложность динамических систем".

В п.1.1 "Энтропия динамических систем" содержится определение классической динамической системы, предложенное Дж. Д. Биркгофом, и приводятся связанные с ним понятия метрической И.Г.Синай], топологической [R.L.Adler, А.G.KonHelm, M.H.McAndrew] и е-энтропии [А.Н.Колмогоров].

Кратко сообщаются необходимые сведения из теории многозначных отображений вида F:X-*X и определяется их энтропия.

Пусть X - компактное топологическое пространство и F:X-»X - непрерывное многозначное отображение.

Пусть - произвольное открытое покрытие пространства X и п>1. Построим семейства Р"пу+={Р+"п(\0:Уеу} и ?~ау.={?.~п(Ч):Уеу}. В силу непрерывности отображения Р при любом п>1 эти семейства образуют открытые покрытая пространства X. Так же как в случае топологической энтропии одно-

п-1 .

значных отображений положим у+ = V Р~ку+, Н(у+п)=1ояН(у+п),

к=0

п-1

МР,у+)=11т Н(у+п)/п и V.1» V Р*^., Н(у-п)=1о£И(у-п)( п-^ К=0

МР.у_)=11т Н(у_п)/п, где И(у+П) и Ы(у_п) - мощности минимальных конечных подпокрытий покрытий у+п и у.11 соответственно.

Пусть и - такое покрытие пространства X, что

Величина Ь(Г)=Ь(Р,и) называется топологической энтропией многозначного отображения Р:Х-»Х.

Равенство 1}(Р,и+)=й(Р,ц-) выполняется при единственном открытом покрытии ц=(Ш. Для величины ЩЮ справедливы все свойства топологической энтропии, а для соответствующих пространств - установленная Е.И.Динабургом связь между метрической, топологической и £-энтропиями.

Рассматривается динамическая система о единственностью вида ф:ххй-*х [А. Д.Мышкис], где X - компактное топологическое пространство. Поскольку всякому однозначному отображению по формуле Р(х)={ф(х, Ь): геЯ) ставится в соответствие многозначное отображение Г:Х-*Х. то энтропией динамической системы о единственностью ф'.Ххй-чХ называется энтропия соответствующего ей многозначного отображения.

Пусть у - произвольное открытое покрытие пространства X и Тогда из свойства топологической энтропии, состоящего в том, что если у<и, то Ь(ф, уХМф.и) и если у*и, то й(Р,у.)<Ь(Р,у+), немедленно следует, что 1)(ф)=зи|э Ыф^.

Приводятся методы определения размерности и локального времени отображения ф: ХхЕ-»Х при измеримом и произвольном Л. В первом случае эти величины соответственно совпадают с ха-

усдорфовой размерностью и локальным броуновским временем.

Показано, что динамическая система без единственности вида ||>:Хх]?-»Р(Х). где Р(Х) - множество всех подмножеств X, [А.Д.Мышкис] сводится к предыдущей системе, и значит для нее справедливы относящиеся к системе ф:ххк-»х определения и свойства.

Наконец, рассматривается абстрактная самоорганизующаяся система Б=[(X. А)(?, V)], где X - произвольное множество, Р:Х-»Х - многозначное отображение и 1ЫШ - покрытия X

и Г=Ш соответственно, и определяется ее энтропия.

Пусть X и Г - компактные топологические пространства и Л=Ш, 1ЫШ - их открытые покрытия. Покрытие А (соотв., покрытие I}) порождает многозначное отображение (р (соотв., многозначное отображение -ф>, если й(ч>,Л+)=Ь(<р,Л,) (соотв., й(11),У+)=П(1(),и.)). Обозначим через Л„ - открытое покрытие пространства X, соответствующее покрытию ип и через 1/п -открытое покрытие пространства Е=Ш, соответствующее покрытию где Аа и ий получаются при многозначном отображении Г"П:Х-*Х, п>1. Пусть <рп и % - отображения, порожденные покрытиями Лп и ип соответственно. Как и для топологической энтропии положим /|пАЛрп-ГкЛ. ип=1^\|1п-Гки, Н(Лп)=1оя ЩЛП) К=0 к=0

и Н(£/")=1о§ тип). где N(4") Ш(Яя)) - мощность минимального подпокрытия покрытия Лп (и"). Пределы Ш.Л)=11тН(/4п)/п и

Ъ.(?,и)=Ит Н(Ип)/п назовем структурной и функциональной энт-

ропиями, а величину ЖЭ)-Л)-lKF.il> | - энтропией системы >1) CF.ll)].

Для энтропии кроме свойств топологической энтропии выполнено также следующее: (Хй(3)<™, причем равенство нулю достигается тогда и только тогда, когда Р:Х-»Х - многозначное отображение, порожденное покрытием А.

В п.1.2 "Сложность динамических систем" приводится классическое определение сложности конечных и счетных слов, введенное А.Н.Колмогоровым, и его вариант, предложенный П.Витаньи и М.Ли. Формулируются связанные с ним определения

сложности и регулярной сложности траекторий динамической системы [А.А.Брудно].

Предлагаются два способа нахождения сложности динамической системы.

Пусть X - компактное топологическое пространство и Т:Х-*Х - непрерывное отображение.

Сложностью с(Х.Т) динамической системы (Х.Т) называется мощность разбиения 4цп, порождаемого открытым покрытием и11 при

Пусть I=6(£,un) - минимальная б-алгебра, содержащая элементы разбиения £цп, ид- мера, инвариантная относительно Т и такая, что h(T)=h(fi,Т), где h(T) - топологическая, а h(ji.T) - метрическая энтропии. Тогда сложность с(Х,Т) совпадает с регулярной сложностью траекторий динамической системы (Х,Т).

Пусть теперь X - некоторое множество, F:X-»X - многозначное отображение и (p:XxY-*X - соответствующая ему динамическая система с единственностью. Пусть далее Па(ф) - замкнутая поверхность размерности 0<d={5(tp)}+l<2, где {•} - целая часть числа и 5(ф) - размерность отображения <р, всюду плотно и без самопересечений содержащая траектории системы (});хху->х. Тогда сложностью системы <р называется величина c=p+q, где р - число ручек и q - число листов Мебиуса, которые необходимо приклеить к сфере S2 для того, чтобы она стала гомеоморфна поверхности nd(ip-).

В обоих случаях для системы S=t(X, A)(F, U)] сложности с(Х.А) и с(F,U) называются, соответственно, структурной и функциональной сложностями.

Глава 2 "Решение дифференциальных уравнений в рядах Фурье".

В п.2.1 "обыкновенные дифференциальные уравнения" на основании идеи В.В.Пикуля о представлении старшей производной в виде формального ряда Фурье доказана

Теорема 2.1. Пусть есть обыкновенное дифференциальное уравнение, разрешенное относительно старшей производной

х(К) = f(x(0).....x(k_1)) я f(x) (1)

с начальными условиями

х<л (0) - j - i.. .к. (2)

и пусть f(x)eL[0,Tl. Тогда решение задачи Коши (1)-(2), если оно существует, представляется в виде ряда

го

x(t) ~ I (Т/зС)k(in)"" exptumt/T], (3)

n=l

где an=(anSa/), а^-Рв-*. ane=^-k, pn=lnrn и *п=2фп/я, -1<Кп<1, a rn и фп задаются выражениями (4) и (5). Из представления (3) немедленно вытекает Теорема 2.2. Решение задачи (1)-(2) в виде (3) существует тогда и только тогда, когда функция Их) такова, что 0<гп<1 и фпСО, n=l.. .«v.

Т

гп = Щ1/Т) / f(x)cos(nt/T)dt]2 + О

Т

+ [(1/Т) J f(x)sin(nt/T)dt]г)1/г, . (4) О

Т Т

Фп - arctgi[ J f(x)sin(nt/T)dt]/[ / f(x)cos(nt/T)dt]}. (5) О О

И, наконец, справедлива

Теорема 2.3. Представление (3) решения задачи Коши (1)-(2), если решение существует и единственно, единственно.

Пусть f(x)eL[0,Jt]. Если и Kn-k<0, 11=1,2,.., то

ряд (1) представляет собой производную в смысле Вейля порядка pn-k ряда I exp[i(nt+jrC](n-k)/2)] или, точнее, (тр, v)-npo-

изводную ряда I exp(int), и

Если же рп-к<1, то ряд (3) есть ничто иное, как функция Вейерштрасеа-Харди-Мандельброта, а кривая x(t) является фракталом. Внешняя и внутренняя хаусдорфовы размерности этой кривой задаются, соответственно, выражениями: dlmext tx(t)] = 2 - п.

dlniint lx(t)3 = l/ti. где тНп-k при pn=const [Я.Б.Зельдович, Д.Д.Соколов] и ti=sH/N, где sH - частичная сумма ряда ip»-k, при pn*const.

В п.2.2 "Дифференциальные уравнения в частных производных" приводится разработанная В.А.Чернятиным процедура обос-

нования метода Фурье для решения смешанной задачи в случае самосопряженного дифференциального оператора, не использующая почленное дифференцирование ряда.

Эта процедура распространяется на случай несамосопряженного оператора. Пусть есть линейное неоднородное уравнение в частных производных

Lxu(x, t) + Htu(x, t) = f (x, t) (6)

с граничными и начальными условиями вида:

UjUCO.t) + VjUOt.t) = 0, tetO.T], 1=1,2, ...к, (7)

d3u(x, 0)

—:- = Ч>3 (X). 3=0,1,2,... m-1. (8)

dtJ

и требуется найти функцию

U(X,t) е Ck,ra(ü), (9)

удовлетворяющую (6)-(8) в обычном смысле.

Теорема 2.4. Пусть оператор L¡¡ не является самосопряженным: <Lxg,h> = <g,Lx*h> для всех g(x) и h(x), удовлетворяющих (7), где Lx* - оператор, сопряженный к оператору Lx. Тогда решение смешанной задачи (6)-(9), если оно существует, единственно и представляется равномерно сходящимся по х на ограниченной области Q=RZ рядом Фурье

u(x,t) = I Ts(t)yn(x) (10)

11=1

по нормированной на [0,л] системе функций (уп(х)} , с коэффициентами Tn(t), определяемыми решением задачи Коши HcTnCt) + MnTn(t) = FnCt).

ТП(;П(0) = <<р3.Уп>, J=0,1,2,.. ,m-l, где цп - собственные значения оператора Lx*.

Условия существования и единственность решения (10) задачи (6)-(9) аналогичны случаю самосопряженного оператора.

Для случая нелинейного оператора Lx предложен метод решения задачи на собственные значения.

Положим, что решение u(x,t) задачи (6)-(9) при нелинейном операторе Lx представляется рядом вида (10), и решим задачу на собственные значения оператора Lx:

Lxy(x) - Лу(х). (И)

- И -

Пусть оператор Ьх может быть представлен в виде б* с!*-1

Ьх = Го(Х)— + п(Х)—5— + .. . + Гц(Х),

где г0(х)а1 и гк(х) - линейная функция х на всем интервале [а, Ы.

Положим, что ql(x)sOl 1=1...к-1. на [а.Ь] и пусть

й*

Уп'(х) - собственные функции оператора Ьх' = —- + Гц(х).

йхк

Подставляя Уп'(х) в (И) и полагая, что Хп=(£п+Нп)3. получим:

ЬхУп'(х) = (и+Пп)3 Уп'(х). (12)

Для каждого п рассмотрим оператор 1х как функцию К+1 переменных, т.е.

бЬп' £Зк"1Ув'

Ьхуп'^[х, —-, .... Уп'(Х)].

<ЙК бХ

тогда к V 1

ЙкУп' 1 Уп'

ПХп-х. Хп —г—. Хп- .... Хп-Уп'(х)] -

с?хК бхк 1

0*Уп' Й^Уп'

= Х„°-Р[х. ——. .... уп'(х)1.

бх бх

где с - степень однородности Функции Г.

Полагая б=с и решая (12) для Ее(уп') и 1ш(уп') с учетом начальных и граничных условий, получим значения и Хп-

Рассматривая (х, I) как параметры, имеем поверхность Ф, заданную рядом вида

и(х, ^ =1 I с(ЮмфШкхх+М)], с(к)~|к|_1_а.

Внешняя и внутренняя размерности поверхности Ф определяются выражениями [Я.Б.Зельдович, Д.Д.Соколов]:

сипухе Ф =■ 2/а. «Лшщ» Ф = 3-а, причем при 0<а<1 эта поверхность есть фрактал.

В п.2.3 "Решение системы типа "реакция-диффузия" предложен метод построения решений параболической системы второго порядка вида

йи П Й2и

— = Е ба*-+ Ии.У).

: (12) 6ч П (? V

— = 2 К3к-+ 8(и.у).

с?г з,к=1 бх}бху

где Г(и,V) и - нелинейные функции своих аргументов,

Оц=1 |б»|| и Б^ИКакИ ~ матрицы диффузии.

Пусть и(х, и и у(х.Ч) - решения системы (12). Положим

«оСх. г) = |и(хд) - у(х, и |, (13)

р(и.V) = |Г(и,у) - е(и.V) |. (14)

Вычитая в (12) из первого уравнения второе, получим одно уравнение для ы(хЛ):

дш п (?гш

— = 2 йзк-+ р(и,у), (15)

с?Ъ 3,к=1 йХзсЗХц

где

Обозначим через Г - границу области Б=]ХП и присоединим к уравнению (15) начальные и граничные условия

шЬ = о = <р(х). х^Б, (16)

сЗш

дп

= 0, (17)

г

где п - внешняя нормаль к 0Т.

Рассматривая смешанную задачу (15)-(17) как задачу об управлении, где р(и,V) - управляющая функция, определенная в некоторой области и пространства (ил), и записывая

п

р(и,V) = I агЦ)о>(хг, I). (18)

г=1

где агШ - непрерывная на [О, Т] функция, получим систему &ог п йгшг

— - I <}г- + аг(1;)шг. г=1...п, шг=ш(хгД) (19)

дг к=1 (?хгйхк

с начальными и граничными условиями

Юг 11 = 0 = Фг(х), Рг(и, V) (1 = 0 = ^(ил). (20)

с?(1)г дп

Решение задачи (19)-(21) представляется в виде произве

= 0. (21)

г

дения

п

ш(х,г) = П аг(Юш(хГ, 1;), г=1

где для каждого г, имеем:

0)(хг,г) = ^ фг(оси,т,х,£.)

и

<ргШ -с11ат и

аг(И) =

1|>(1;) -сИат Б

Отсюда, используя равенство (18) получаем решение исходной задачи.

Глава 3 "Характеристики нечетких графов".

В п.З.1 "Нечеткие множества и нечеткие графы" содержатся необходимые сведения из теории нечетких множеств и нечетких графов. Приводятся эквивалентные определения гомогенных и гетерогенных нечетких множеств, определения нечетких графов и гиперграфов и их представления.

В п.3.2 "Равновесие и устойчивость нечетких графов" формулируется

Определение 3.1. Вершина хг нечеткого графа й={Х,Р) называется равновесной, если т^хО = т^(х1), где т£(Х1) и т£(Х1) - мощность исхода и мощность захода вершины х^Х, 1=1...N. Нечеткий граф б называется равновесным, если все его вершины равновесны.

Теорема 3.1. Если матрица смежности й(С) нечеткого графа С=(Х,Р) симметрическая, то граф б=(Х,Г) равновесен.

Следствие, Всякий полный неориентированный граф равновесен.

Обозначим через N мощность множества вершин и через М -мощность множества дуг графа б-(Х,Л.

Теорема 3.2. В равновесном нечетком графе С=(Х.Л. содержащем более одной вершины, М>Ы.

Следствие. Если равновесный нечеткий граф однороден степени п=р"(Х!)=р+(XI )=1, 1=1... N. то М=1}.

Теорема 3.3. Равновесный обычный ориентированный граф С=(Х,Р), содержащий более одной вершины, однороден. Справедливо также обратное.

Теорема 3.5. Всякий равновесный нечеткий граф, содержащий более одной вершины, связен.

Следствие. Матрица расстояний равновесного нечеткого графа б=(Х,Р) не содержит нулевых элементов, за исключением, быть монет, диагональных.

Пусть (3=(Х,Г) - нечеткий граф без петель. Построим его матрицу смежности Р(0 = ||р13||цхН следующим образом. Будем полагать, что р13=д(х1,х3), если КЗ и Р13=-^(Х1.Х3), если 1>;). Введем матрицу К(С)=Р(0-Р'(б), где Р'(б) - транспонированная матрица, и будем говорить, что матрица К(0 устойчива, если ее собственные значения имеют отрицательные действительные части.

Определение 3.2. Нечеткий граф называется ус-

тойчивым, если его матрица К(С) устойчива. - ■-• Теорема 3.6. Если в нечетком графе б=(Х.Л р"(Х£)=р+(Х!)=2 для всех 1=1...N. то граф б=(Х,Г) устойчив.

Теорема 3.7. Если нечеткий граф Ск=(Хк,Ри) с числом вершин не менее трех, полученный в результате последовательного слияния вершин в устойчивых подграфах Сп1...<?п1-1 нечеткого графа б=(Х,Г), устойчив, то нечеткий граф (2=(Х.Л устойчив.

В п.3.3 "Энтропия и сложность нечетких графов" описываются аксиоматическое и метрическое определения энтропии нечетких множеств. Эти определения, применяемые к нечеткому множеству дуг ^{^(х^хд)}, К=ХхХ, 1, 3=1.. .К=|Х|, графа б=(Х,Л дают, соответственно, аксиоматическое и метрическое определения энтропии этого графа.

Если же определить энтропию нечеткого графа С=(Х,?) как МО^ОЮвб^).

- N N

где 2 I 11г.(Х!,Х1) - его плотность связности, то

1=1 3=1'

энтропия 1ям совпадает с определением энтропии обычных графов, введенным А.МсшШжШ.

Рассматривается определение энтропии нечеткого графа, вытекающее из определения энтропии многозначных отображений.

Пусть б=(Х,Р) - обычный или нечеткий ориентированный граф. При этом если ориентация в графе С=(Х. Р) не задана, то будем полагать, что каждому ребру графа соответствуют две параллельные дуги со значениями принадлежности, равными значению принадлежности этого ребра. Поскольку каждой вершине х^х, 1=1...М, графа С= (X,Р) соответствует некоторое множество Р(хх)={хл: хлеХ. 3=1...Ш смежных ей вершин, то граф С=(Х,Р) однозначно задает многозначное отображение Г:Х-*Х конечного множества X в себя.

Энтропией Ьг(0 графа 6={Х,Р) называется энтропия задаваемого им многозначного отображения Р:Х-»Х.

Для практического приближенного вычисления энтропии Ьг(й) нечеткого графа б=(Х.Р) предлагается формула:

Мб)—1п{( I |Х1(К)|и)/( I (К) [) , 1=1 1=1

где Х^К) - собственные числа матрицы К«?) графа б=(Х,Р).

При этом оказывается, что М£)<11г(£К11эрг(С). где |ХХ|>1)~ энтропия эРг°Дического автоморфизма, задаваемого матрицей смежности Я нечеткого графа £?=(Х,р) [Я. Г. Синай] и - его логарифмическая энтропия.

Кратко сообщается метод определения сложности обычных графов, предложенный А. В. Чашкиным и являющийся обобщением колмогоровской сложности.

По аналогии со сложностью динамических систем определяется сложность нечетких графов. Пусть СНХ.Р) - обычный или нечеткий граф, Р:Х->Х - задаваемое им многозначное отображение и <р:Хху-*х - система с единственностью, соответствующая отображению Р. Пусть далее и - такое покрытие множества X, что для многозначного отображения выполнено равенство и ч>3:Х-»Х - такое однозначное отображение, для которого реализуется 11(<|>в)=зир 1п(<ръ)-

Сложностью С{ЧО графа б=(Х,Р) называется мощность раз-

биения при п->~.

Сложностью обычного или нечеткого графа (МХ, Р), в соответствии со вторым определением сложности динамической системы, можно также считать наименьшее число ребер 1,(0. удаление которых делает граф планарным, а в практических приложениях - значение дефекта его матрицы К(б).

Глава 4 "Примеры анализа систем" имеет прикладной характер.

В п.4.1 "Системы с распределенными параметрами" рассматривается процесс самоорганизации зданий при сейсмическом воздействии. Предлагается модель описания поведения здания с помощью линеаризированного уравнения Клейна-Гордона для трехмерной среды, состоящей из связанных осцилляторов

utt - v2Au + i>o2u = О, где vz-Ka*/m. у - коэффициент затухания, а - расстояние между осцилляторами, ю - масса осциллятора.

На основании уравнения фазовой динамики в осциллирующей активной среде вида:

«ptt = <ö(r) + a(V<|>)2 + bAip, где <ü(r) - частота волны, а и Ь - коэффициенты, устанавливается, что после каждого сейсмического удара здание следует рассматривать как новое относительно его состояния до удара.

Описывается процесс образования концентрационных структур на поверхности полупроводниковой пластины с управляемой генерацией носителей заряда при квадратичной рекомбинации.

На основании аналогии между системой типа "реакция-диффузия" и трехмерным уравнением непрерывности для избыточных носителей заряда в полупроводнике строится система nt = Onto + an(unn - ßnn3/3) - sn. Sn = DnpASn + ca0nZn - Yn(Snp + Spn). pt = DpÄp + ap(upp - ßpp3/3) - Sp, Sp = DpnASp + fij0p2p - Kp(Snp + spn), где пир- неравновесные концентрации электронов и дырок, Sn и Sp - скорости поверхностной рекомбинации, ап=1/тппер. ap=l/tpI,ep, tnnep и 1рпер - времена переноса носителей из объема к поверхности, ßn=ßp=l/n1z, <o0n=l/tn, юор=1/тр, ni=n0-po - равновесные концентрации носителей, тп и тр -

времена жизни носителей, ^„^АпПо и Yp=l/*pPo - коэффициенты рекомбинации, Dn=Snon0 и Dp=Spop0 - коэффициенты диффузии, Dnp=S,,0p0 и Dpn=Sp0no - коэффициенты перекрестной диффузии, un и Up управление генерацией носителей, dua/dt«a)on. <3up/dt<(dgp.

При некоторых дополнительных предположениях отыскиваются условия существования на поверхности пластины стационарных бегущих волн и статических структур. Определяются значения управления, соответствующие устойчивому статическому состоянию и движению структур.'

Эффект образования концентрационных структур на поверхности полупроводниковой пластины недавно нашел экспериментальное подтверждение при изучении системы ZnS:Mn, проведенном Ch.Gossen, F.-J.Neldernostheide и H. -G. Purwlns.

В п.4.2 "Дискретные системы" проводится анализ деформированного состояния каменной кладки при сейсмическом воздействии.

Описывается предложенная Е.Е.Юрченко модель каменной кладки, представляющая собой многопролетную многоэтажную раму с защемленными стойками, и приводятся исходная и конечная функции горизонтальных смещений узлов кладки. С помощью этих функций строятся нечеткие графы относительных перемещений узлов.

Анализ деформированного состояния кладки производится путем сравнения энтропии нечетких графов, соответствующих начальному Gi и конечному G2 состоянию, а анализ переходов -путем сравнения их негэнтропии, определяемой по формуле:

h(GilGa) = -in [( J |Хи-Хг1|")/( 2 |Xnl)H/2( S |Хг1|)"/гЗ.

1=1 1=1 1=1

где Хц и X2i - собственные значения матриц K(Gj) и K(G2) соответственно.

По этой же формуле вычисляется негэнтропия h(GiK|G2k) перемещений узлов рамы при отсутствии k-го элемента, k=l...N, где G/ и G2k - нечеткие графы относительных перемещений с удаленной k-той вершиной.

Выяснено, что при переходе от первой функции горизонтальных перемещений ко второй или, что то же, от графа Gt к

графу (Зг, разрушения происходят в тех участках кладки, которым соответствуют элементы рамы с |Сг)<11(С1к|Сг1:). Причем первая трещина образуется в том из них, для которого значение ЫС^йг*) наибольшее.

Полученные результаты полностью согласуются с результатами натурных испытаний, численных экспериментов, а также данными о происходивших землетрясениях.

Предлагается имитационная модель и структура АСУ эксплуатации ракетных технических средств.

Вначале рассматривается неиерархическая задача без управления. Пусть Е={е1}. 1=1...I, - множество целей, Х={х3), 3=1...-I, - множество пусковых установок (ПУ). В предположении, что КЛ и каждая ПУ способна поразить одну цель, решается задача оптимального целераспределения, заключающаяся в нахождении такого отображения 1>:Х->Е, при котором достигается максимальная вероятность поражения всего множества целей Е. Отображение -»:Х-»Е представляется в виде двудольного графа К=(Х,Е,V), где X - первое множество вершин, Е - второе множество вершин и V - множество дуг.

Вводится характеристика Р^ч^Ш-ри^), определяющая вероятность поражения 1-той цели ¿'-той ПУ при надежности ПУ q;)(t). Пусть к(1) - число ПУ, нацеленных на 1-ю цель. Тогда вероятность поражения 1-ой цели Ш) ПУ равна

Р'1(Ю=Р1к+(1-Рцс)(Р1к-1+(1-Р1к-1)(Р1к-г+(1-Р1к-г)х х(Р1к-з+... + (1-Р12)Рц)...). а формула вероятности поражения всех I целей имеет вид

I

Р=(1/1) I рг(к).

1=1

Решается задача оптимального целераспределения, состоящая в нахождении такого распределения к(1), при котором Р-*тах, и на ее основе - задача организации АСУ эксплуатации.

Наконец, вводится иерархия и управление. Пусть множест-

Ь

во целей Е и множество ПУ X разбиты на I классов и Е1=Е,

1=1

Ь

и Хх=Х, Е!ПЕ3=0, Х!ПХ3=0 при 1*3, 1,3=Ь. Пусть каждый класс 1=1

Ь

ПУ имеет множество У(1)={уга}. т=1...М(1), 2 М(1)=М

1=1

командных пунктов (КП) и управление производится с помощью V(1)={vmn}, n=l...N(l), каналов связи (КС). Пусть, далее, каждым классом КП управляет множество центральных КП (ЦКП)

L

Z(l)={zs}. s=l...S(l), I S(1)=S и каждый s-й ЦКП связан с

1=1

каждым КП класса 1 с помощью W(l)={wsr}, r=l...R(l), КС. Пусть, наконец, существует штаб А, связанный с каждым ЦКП класса 1 множеством С(l)={ch}, h=l...H(l), КС. Будем полагать, что для каждого класса 1 каждый КП связан с каждой ПУ, каждый ЦКП - с каждым КП и каждый ЦКП - со штабом.

Рассматриваются четыре соответствия между органами управления с учетом надежности каналов связи и решается задача оптимального целераслределения. Строится модель обслуживания технических средств с учетом резервирования. На основе частных критериев оптимальности

«аи = Aaj/Ma-ii - 1. J I

ай = [(l/J) I jieJ]/t(l/I) Z Да-ц] - 1, j=l 1=1

где Xd={(jial,Xd1)}, 1=1...I, - нечеткое множество моделей уровня d, где Hai=o)ai/Qa. - относительная сложность, йа=гаах(аа1), Wdi=aai'tai - сложность задачи (d,1), решаемой

1-ой моделью уровня а, позволяющих применять однотипную аппаратуру для реализации моделей функциональной структуры, формируется структура АСУ эксплуатации.

Заключение содержит итоги работы и возможные направления дальнейших исследований.

В работе сформулировано определение системы на основе многозначных отображений, которые естественно возникают при исследовании нелинейных дифференциальных уравнений, описывающих самоорганизующиеся системы; разработан метод нахождения ее энтропии и сложности. Усовершенствован метод построения решений обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных в рядах Фурье, позволяющий получать решения как линейных, так и нелинейных уравнений и исследо-

вать их хорошо известными методами теории тригонометрических рядов. Определены условия равновесия и устойчивости нечетких графов, их энтропия и сложность, что необходимо при описании самоорганизующихся систем. Приведены результаты прикладного характера, полученные с помощью развитых в работе методов.

Дальнейшие исследования по направлению работы могут быть связаны с изучением многозначных отображений и систем при различных видах пространств, их системных характеристик, в частности, энтропии, сложности и размерности. Появляется возможность рассмотрения связи структурных свойств решений дифференциальных уравнений при их приближении тригонометрическими полиномами со структурными свойствами дифференциального оператора, рассматриваемого как функция многих переменных. Развитие результатов, относящихся к нечетким графам, может быть направлено на методы оптимизации структуры дискретных и поддающихся графовой формализации непрерывных систем, а также связано с методами нечеткой топологии.

Публикации, содержащие результаты диссертации:

1. Арутюнян В.В., Каган Е.В. Применение нечетких и лингвистических переменных в педагогических измерениях // "Измерения в педагогике". 4.2. -СПб.: ЛИОС, 1994, С.90-91.

2. Арутюнян В.В., Каган Е. В. О применении нечеткой логики для моделирования педагогических систем // "Актуальные проблемы непрерывного педагогического, образования". В.1. -СПб.: Образование, 1994, С. 73-74.

3. Каган Е.В. Об одном методе построения системы восприятия речи // "Методы и средства цифровой обработки сигналов". -Таганрог: ТРТИ, 1993, С.17-18.

4. Каган Е.В., Рябых А.В. Фазовые портреты генераторов при стохастическом воздействии // "Гагаринские чтения". 4.7. -М.: МГАТУ, 1994, С. 58-59.

5. Каган Е.В. Об одном методе моделирования самоорганизующихся систем с распределенными параметрами // "Герценовс-кие чтения-95". -СПб.: Образование, 1995, С.79-80.

6. Каган В.Б., Юрченко Е.Е., Каган Е.В. Системный анализ процесса разрушения каменного простенка //Строительство и архитектура. Сер. Сейсмостойкое стр-во, 1996, В.2, С.17-19.