Методы последовательных оценок в задаче управления динамическими балансовыми моделями тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

РГ5 ОД

БАНИН Александр Анатольевич

МЕТОДЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ОЦЕНОК В ЗАДАЧЕ УПРАВЛЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКИМИ БАЛАНСОВЫМИ МОДЕЛЯМИ

01.01.09- математическая кибернетика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ 2000

Работа выполнена на кафедре высшей математики Череповецкого государственного университета.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор ЛЕТАВИН Михаил Иванович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор ЗАХАРОВ Виктор Васильевич

кандидат физико-математических наук, доцент ГАЛИЛЕЕВ Михаил Михайлович

Ведущая организация: Научный центр социально - экономических исследований (Леонтьевский центр), г. Санкт - Петербург.

Защита диссертации состоится 2000 г. в " 1С" часов на заседании

диссертационного совета К - 063.57.16 по защитам диссертаций на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук в Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 199004, Санкт-Петербург, 10-я линия В.О., д.ЗЗ, ауд. 30

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке им. М. Горького Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: 199034, Санкт-Петербург, Университетская набережная, 7/9.

Автореферат разослан " /V" О/С^гЯ^р -2- 2000 г.

Учёный секретарь

диссертационного совета К-063.57.16., докт. ф.-м. н., профессор

В.Ф. Горьковой

я характеристика работы

ктуалыюсть темы. Математическая модель народного хозяйства, именуемая раслевым балансом, а в зарубежной литературе "затраты - выпуск", является широко раскаленной ссгодня методологией анализа и прогнозирования общественного производства. 1гичный анализ так же может быть осуществлён и применительно к отдельному предпри-: существенным внутрипроизводственным оборотом. Задачи же оптимального управления, какицие в динамических балансовых моделях, позволяют изучить количественные характе-ки структурных сдвигов, происходящих в производственной деятельности предприятия под 1ствисм динамики выпуска товарной продукции и научно-технического прогресса. По-в современных условиях хозяйствования решение подобных задач имеет большое практи-; значение для производственной и экономической деятельности промышленных предпри-

Цель исследования. Диссертация посвящена построению статической и динамической ба-вых моделей, описывающих деятельность промышленного предприятия, а так же разра-декомпозиционного алгоритма решения задач оптимального управления, возникающих в [ической балансовой модели. Научная новизна. В диссертации

юстроены статическая и динамическая балансовые модели для описания деятельности про-[ышленного предприятия;

1азработан декомпозиционный метод решения задачи оптимизации выпусков товарной проекции (управлений) при ограничениях па производственные мощности и объёмы факторов [роизводства (фазовые координаты);

гостроен алгоритм численного решения динамических балансовых задач оптимального правления для определённых целевых функционалов;

(оказан критерий продуктивности технологической матрицы специальной структуры; шработаны методики для анализа хозяйственной деятельности предприятия (методика нечета цен на производимую продукцию, методика определения изменений цен на произ-юдимую продукцию, методика построения "поля влияний", методика построения аддитив-юго разложения матрицы прямых затрат и мультипликативного разложения матрицы пол-[ых затрат).

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на Международной конфе-[И "Прогрессивные процессы и оборудование металлургического производства" (Череповец, , на Международной научно-технической конференции "Информационные технологии в родственных, социальных и экономических процессах" (Череповец, 1999), на научном се-

з

минаре кафедры информационных систем факультета прикладной математики - процессе управления СПбГУ (Санкт-Петербург, 1999).

Структура и объём работы. Структурно работа состоит из введения, двух глав, списка ли тературы из 59 наименований и приложений. Объём диссертации - 178 страниц, 30 страниц и них - приложения.

Публикации. По теме диссертации опубликовано работы [1J- [5].

Краткое содержание работы

Во введении формулируются цели исследования, обсуждаются известные результаты, кг сающиеся статической и динамической балансовых моделей. Там же приводится аннотация гла работы.

§1 главы 1 содержит сведения об М-матрнцах и их применимости в статической балансе вой модели.

Определение1. Квадратная матрица с вещественными элементами называется М-матриц« если она удовлетворяет двум условиям:

1) все недиагональные элементы неположительны; (1)

2) все главные миноры матрицы положительны.

Замечание. Важным примером применения М-матриц в экономико-математических исследс ваниях является модель межотраслевого баланса или модель "затраты-выпуск". Представи некоторую экономическую систему как совокупность конечного числа отраслей. Основны предпосылки анализа экономики такой системы заключаются в следующем:

1) В экономической системе производятся, потребляются, продшотся и покупаются я- типо _продуктов, которые будем помечать индексами i = 1,2,...,п.

2) Каждая отрасль производит только один тип продукта, так что совместное производство ра: личных продуктов исключается. Различные отрасли производят различные типы продукта Таким образом, п отраслей и п продуктов находятся во взаимно однозначном соответствш Поэтому отрасль, производящую продукт г, так же будем отмечать индексом i.

3) Если для производства единицы j — го продукта в j — й отрасли нужно затратить atJ еду ниц i — го продукта (i, j = 1,2,...,и),то выпуск Я единиц j - го продукта требует затра Я а,; единиц i - го продукта (г = 1,2,..., и). Эти п2 величин a j (i, j = 1,2,..., п), называемы расходными (или технологическими) коэффициентами, предполагаются постоянными.

1 Гантмахер Ф.Р. Теория матриц,-4-е изд. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988 -552с. Следовательно, основное векторное уравнение модели межотраслевого баланса принимает вид

4

Ах + у = х, (2)

де х -вектор валового выпуска, у-вектор конечного потребления, А -матрица технологиче-сих коэффициентов (матрица прямых затрат).

шечание. Пусть дана квадратная матрица О = ,), (г, у = 1,...,и), которая обладает свой-гвом (1). Рассмотрим число р > шах с1а . Тогда матрица С = рЕ — Е) неотрицательна, т.е.

. л

:е её элементы неотрицательны, где Е - единичная матрица размера п X п. Следовательно, атрица I) может бьггь представлена в виде

£> = рЕ-С, (3)

К р - некоторый числовой параметр, С - неотрицательная матрица.

еорема. Пусть матрица О = (с1ч ) обладает свойством (1). Матрица О является М-матрицей

эгда и только тогда, когда она удовлетворяет одному из следующих условий: . Все последовательные главные миноры матрицы И положительны (условие Хокипса - Саймона).

. Система п линейных уравнений с п неизвестными х/ (/ = 1,2,...,«)

¿¿„х, =у, 0' = 1.....л) №

имеет своим решением набор х] > 0 (_/ = 1,..., п) при некотором наборе

У/ >0(/ = 1,...,и).

. Система (У) разрешима в величинах х ] > 0 (_/' - 1,..., и) при любом наборе . Матрица О1, транспонированная к И, является М-матрицей.

. Матрица И неотрицательно обратима, т.е. она невырождена и её обратная матрица состоит из неотрицательных элементов.

. : (<7,Яс)>0, гдеХ"=|*еЛ+" |>, =1

. Система (Н) имеет своим решением набор х1 > 0 (у = 1,...,и) при некотором наборе у, > О (¡' = \,...,п), в котором не все у{ равны нулю, и при этом для любого непустого подмножества Ь множества= {.?|,уе./, уг =о} 3 I еЬ В э вJ\L:dls <0, где У={1,2,...,и}. !. Пусть матрица Б представлена в виде (3). В соотношении (2) параметр р > 0 и матричный степенной ряд

5

1 „ С С2 С" Р„=оР Р р Р р

сходится (поэлементно).

9. Для всякого ненулевого вектора хеЛ" существует такой индекс /е{1,...,и}, что х,(Пх,)> 0.

10. Для всякого ненулевого вектора хе Я" существует положительная диагональная матрица 5 такая, что х'ИЗх >0.

11. В матрице Б диагональные элементы положительны, и существует положительная диагональная матрица £ такая, что ОБ является матрицей со строгим диагональным преобладанием:

>ЁКк 0=1,••■,«)■

12. В матрице £> диагональные элементы положительны, и существует положительная диагональная матрица 51 такая, что Я4 £>5 есть матрица со строгим диагональным преобладанием.

13. В матрице В диагональные элементы положительны, и существуют положительные диагональные матрицы Н к 8 такие, что матрица ЯД? является матрицей со строгим диагональным преобладанием и удовлетворяет условию

>-1

14. Существует положительная диагональная матрица 5 такая, что матрица ££> + В' $ есть положительно определённая матрица.

15. Если любой вектор х е Я ", для которого Вх > 0, является неотрицательным.

16. Матрица В + 1Е обратима для всех I > 07

17. Матрица 2} + £ обратима для всякой неотрицательной диагональной матрицы 5.

18. Матрица Б может быть представлена в виде В = Ьи, где Ь и ¡7 соответственно нижняя 1 верхняя треугольные М-матрицы.

(п. В. А

19. Матрица О может быть представлена в блочном виде й = I , где Д, и £>22 квадратные матрицы, и при этом £>„ и Вп - В21О^Вп являются М-матрицами.

шечание. Рассмотрим матричное уравнение межотраслевого баланса (2). Из теоремы следует, •о матрица Е — А является М-матрицей тогда и только тогда, когда система (2) разрешима в ¡отрицательных величинах ху (у = 1,...,и) при любом наборе >0, i = 1. С

юномической точки зрения разрешимость системы (&) в неотрицательных величинах х; озна-1ет работоспособность или продуктивность настоящей модели, т.е. способность экономиче-гой системы обеспечить любой конечный спрос на продукты, производимые отраслями, вхо-пцими в данную экономическую систему. Таким образом, продуктивность модели межотрас-:вого баланса или продуктивность матрицы прямых затрат А эквивалентно тому, что Е - А шяется М-матрицей.

амечапие. Критерии теоремы 1.1.1 в большинстве своём известные результаты 2>3. Новым яв-5ется критерий 7, позволяющий говорить о продуктивности технологической матрицы, по-гроеппой для экономического субъекта (экономики, отрасли, предприятия), производимые родухты которого, участвующие только во внутри производственном технологическом по-эеблении, обязательно используются в производстве какой-либо товарной продукции. Такой :хнологический внутрипроизводственный оборот характерен для промышленных предпри-гий, использующий стадии передела продукции.

ак же в данном параграфе приводятся некоторые следствия данной теоремы

В § 2 данной главы излагается статическая балансовая модель, построенная для промыш-енного предприятия. Даётся анализ рассматриваемой в данной модели схемы енообразования. Так же рассматривается изменение цены на производимую продукцию под шмнием различных факторов производства. В качестве меры чувствительности цены на изме-ение факторов производства использован коэффициент эластичности, формулы для вычисле-ия которого получены в настоящем параграфе.

Содержание § 3 главы 1 посвящено методам построения "поля влияний" для технологиче-

ких коэффициентов, основанным на формуле больших возмущений.

[усть АЛ = )- матрица возмущений технологических коэффициентов (i,j = 1,..., и) ;

d(f)^e-a-f, в={е-а)~' =£>"', b(f)=d(f)'\

'сорсма (формула больших возмущений) 4. Предположим, что det D(f) ф 0. ЖП = +Ê(-1)' £det/J(a,/5)detF(/3,a),

'=1 J=1 t-2 a.f>*Qk,n

Никайдо X. Выпуклые структуры и математическая экономика: Пер. с англ. - М.: Мир, 1972. Horn R., Johnson. Topics in matrix analysis. - Cambridge univ. press, 1991.

Sonis M., Hewings G.J.D. Coefficients Change Input - Output Models: Theory and Applications // Economie Systems Research, vol. 4, № 2,1992.

= В + - 1

(=1 а,Ре(> к „

где элементы матрицы Ф(а, р) имеют вид

Ф„ (а, Р) = (-1/ {с!е1Д((а,/), (р, у))- Ъ„ <1е1 В(а,р\

причем det в((а, /), (/}, /)) — о предел ител ь, построенный из элементов строк с номерами ах,... ,а I и столбцов с номерами /?,,...матрицы В, взятых в перечисленном порядке.

В § 4 обсуждаются экономические интерпретации собственного числа Фробениуса -Перрона для матрицы прямых затрат статической балансовой модели. Так же в данном параграфе рассматривается итерационная процедура вычисления этого числа для случая, когда это число является единственным наибольшим по модулю собственным значением технологической матрицы5. При этом учитывается разряжёнпость технологической матрицы. Замечание. Допустим, что в статической балансовой модели промышленного предприятия присутствуют виды продуктов, которые являются только товарной продукцией. Поэтому технологические коэффициенты матрицы А, отражающие потребление данных продуктов, равны нулю. Пусть количество таких продуктов равно р. Таким образом, матрица А содержит р нулевых строк. Следовательно, перенумерацией продуктов, что соответствует одновременной перестановке строк и столбцов матрицы А, можно исходную матрицу прямых затрат представить в блочном виде

-С: £)•

где а, - главная подматрица размера (и - р) х (и - р) матрицы а, а 2 - матрица размера (п-р) хр, 0, и 02 - нулевые матрицы соответственно размеров р х(п-р) и р х р .Тогда задача о нахождении доминирующего собственного значения матрицы а и соответствующего ему собственною вектора принимает вид [А ¡со +А28 = г(а)со [о = г(а) э

Следовательно, если г(а)> 0, то 5 = 0. В этом случае Л, со = г (а) а и со ^ 0, т.е. г (А) есть собственное значение матрицы а,. Значит г(а) < г[а]), но г (а) > г {а,). Таким образом, задача о нахождении положительного числа Фробениуса-Перрона матрицы А, сводится к нахождению этого же числа для матрицы А, меньшей размерности.

5 Фаддев Д.К., Фаддеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры. - М.-Л.: Физматгиз, 1963.

, , Л,й) +А2& = Г{А)СВ , \ , I \

Ах = г(А)х <х> \ ^ /Лп-, где со =[х.,...,х &

¡амечапнс. Пусть технологическая матрица а представлена в блочном виде (5). Допустим, что "(á) > 0, и г (а) единственное собственное значение матрицы л с модулем г(а). Тогда для фактического нахождения г(а) может быть использована итерационная процедура нахожде-1ия доминирующего собственного значения г[а ,) матрицы а ,. При этом, не нарушая общности, будем предполагать, что матрица А , не имеет нулевых строк. Если это условие нарушатся, то, представив матрицу А , в блочном виде (5), снова перейдём к задаче о нахождении обственного значения матрицы меньшей размерности.

1) х'0'- произвольный положительный вектор, такой что ^х'0' = 1;

1-1

2) У"'> = AtxM , = ^ , = т = 0,1,...

"еорема. Для последовательностей векторов (jc^"14' ') и неотрицательных чисел (г ыполняются следующие предельные соотношения

limr("'t,) = í-(/í1), Итх^'^о ,

В § 5 рассматривается разложение матрицы прямых затрат в конечную сумму матриц, а гатрицы полных затрат - в конечное произведение матриц. Даются экономические интерпрета-,ии полученных разложений.

В § 6 приводятся известные формулы для анализа ошибок в обратных матрицах и реше-иях линейных систем , которые связаны с экзогенным способом задания матрицы прямых за-рат.

Вторая глава посвящена построению динамической балансовой модели для промышлен-ого предприятия и решению задач оптимального управления, возникающих в данной модели.

В § 1 второй главы рассматриваются динамические модели межотраслевого баланса в раз-остиой форме. Принимая во внимание представленные в данном параграфе динамические ба-ансовые модели и учитывая специфику функционирования промышленного предприятия, для писания хозяйственной деятельности предприятия выбрана следующая модель

x(t) = A,x(t) + yO). t = 1,...,Г, (6)

= + + k, = F,(x(t + l)-x(í)). t = 0,...,t-\, (7)

z(T) = GTx(T) + ZTe, (8)

x(0) = x"S0, (9)

x(t) > 0, t = l,...,T, z(t)>0, í = 0,...,r. (10)

В настоящей модели х(1)— л-мерный вектор столбец валовых выпусков продукции предприятия в году Г, у(/) - п— мерный вектор столбец объёмов товарной продукции, Л, = (Г)- технологическая матрица в отношении производимых продуктов,

-т -мерный вектор столбец факторов производства, = Cgk|(0)ik^; -производственная матрица переменных затрат факторов производства, 2 = (2^(0) -матрица затрат на постоянные факторы производства, е - и -мерный единичный вектор столбец, - «-мерный вектор столбец инвестиций, К = (Д/(0)£п; -матрица инвестиций, х°- «-мерный вектор столбец валовых вьшусков

продукции предприятия в базовом периоде. При заданной программе выпуска товарной продукции (у (!),..., у (Т)) балансовые уравнения (6)-(9), в предположении выполнения условия продуктивности матриц А,, позволяют определить программу работы предприятия

( х (1),..., х (Т)) и объёмы потребления добавочных факторов производства ( х (0).....2 (Г)).

В случае ограничения мощностей предприятия и объёмов факторов производства данная модель включает в себя класс задач оптимизации управлений (вьшусков товарной продукции)

(11)

при ограничениях на фазовые координаты (векторы валовых выпусков и факторов производства)

х(/)<х(0, Г = 1,...,Г, 2(г)<г°(0. '=0.....Т, (12)

ХО^О, 1 = 1,..„Т. (13)

В § 2 приводятся задачи, двойственные по Лагранжу, для динамических оптимизационных задач, рассмотренных в § 1 второй главы. Здесь же приводятся достаточные условия совпадения оптимальных значений целевых функционалов прямой и двойственной задачи. Содержание § 3 посвящено принципу оптимальности Беллмана в динамических балаисовь»

-задачах-оптимального управления с конечным числом допустимых значений -фазовых-коор-

динат (векторов валового выпуска).

В § 4 рассмотрен алгоритм решения задачи (11), (6)-(10), (12), (13), в которой оптимизиру ются выпуски товарной продукции (управлений) при ограничениях на производственные мощ ности и факторы производства (фазовые координаты).

Пусть В, =(£-4)"', / = 1.....Т; Ч^Т.^, Г = 0,...,Г; х' = (х'О),...,*'^),^),...,^/')), гд.

х'(()-п-мерный вектор-строка, г = 1,...,Ги г'(?)-т-мерный вектор-строка, =(7(1),...,Г(Г),7(0).....7(Г)), где г (г)= 2°(г), Г = 0,...,Г;

Л(У) =

"Г v Р*(Т*1)

>еЯ"х R

•р' = (<р'(\),...,<р'(т),у/'(0),...,у'(т)), где (£>'(/)-и-мерный вектор-строка, / = 1 ,...,Г и ://'(/)- т-мерный вектор-строка, Г = О Рассмотрим следующие множества: С^хеГгх.Г(™>|0<х<хС(,ли},

<р(г)=В,у(0. ' = !»....Г,

у(Т) = дт+агВту{т), у{1)еУ, I = 1,...,Т

Я(а)= {<? е Л(К)| Г = Л", Ф^ОЫ*).-.^))* а}, где а б Я .

Предположение 1. Допустим, что существует такое число, обозначаемое атт, что

^("пт)* а для всех а < йи Д(а)=0.

Лемма.

1. Множество С выпуклое и компактное множество.

2.Если функционал Ф : Л"хЛ"х...х Л" -> Я является квазивыпуклым на х...х Д* , и мно-

жество У„ =

(У(1),У(2),...,/(Г))€Д>Д>...хД;| ф(^(1),Я2),...,>-(7,))<а j компактно

для любого а > amill, то множество R(a) выпукло и компактно для любого а > ата. 3.Если а' < а", то й(а')с J?(a').

Предположение 2. Будем предполагать, что для любого а > amln и любого открытого множества U э Л(а) найдётся такое число е > 0, что Л(а') с U для всех а' > ат-„, удовлетворяющих условию |а'-а| <е.

Предположение 3. Допустим, что существует такое число, обозначаемое атм, что атах >ат1Г| и i(ö„)nC*0.

Лемма. Если функционал Ф: R" х R" х... х R" —» R является квазивыпуклым на R" х... х R" , и

Г Т

множество Уа компактно для любого а > umi[1, и выполнены предположения 2,3, то существует такое число а' eta^ja^] иточка х' еС, что

a* =min{a| R(a)nC ф 0,а äamill }, (14)

i' бй(а')лС

и

Пусть выполнено предположение 1, функционал Ф : Я" х R" х ...х Л" R является

т

квазивынуклым на R" х... х R"t , и множество Ya компактно для любого а > amm . Используя

т

введённые обозначения, алгоритм решения задачи (11), (6)-(10), (12), (13) представим в виде

Шаг 1- Выбрать число а^, которое определяется предположением 1 и положить а = «„.,„.

0 f "Л ufa Выбрать начальную точку cpaR a , соответствующую / = y'(l).....у'(т) . Выбрать nací

чальную точку х е С по следующему правилу о

x,=-¡0 , <р, < 0 , ¡ = \,...,(nt + m(t + í)).

(Хс,,„Л > <?,>(Хс«„Л

Положить к = О. Шаг 2.

к

Проверка условия: <реС.

к / к к \ к Если <р е С, то алгоритм завершён и min Ф {у (l),..., у (т)) = Ф \ у (l),..., у (т) = а, причём

x\t) = B,y{t), / = 1.....Т ,

z'{0) = <j0 + Сйха + f\j, г' (Г) = qT + GTBTy (:Г),

z'{t) = q,+G,B, y(t) + F,tX (S,+l y(t +1) -B, y(t)), f = 1,...,Г-1. к

Если (p 0 С, то переходим к шагу 3 данного алгоритма.

_к Ь 1___к_ (±

Шаг 3. Рассмо трим вектор s-tp-x и найдём точку v е V\ s

Для этого решим задачу тах при ограничениях 0< х < х„„„ . Решение имеет вид

* |0, I, <0 . , ..

V* = Ч к , / = 1,...,(гаГ + т(Г + 1)).

>0

[lar 4. Обозначим 'í'(<p) = (<p, s и пусть

4>min =4»{<p')= min L, A (15)

(!« « R }

t+1 к

Гогда а и <ра определим следующим образом

a,

t+1

a

min

це P A=

min•! nejamin;+oo)

*0 , ^ „> v,s

* t\>

(16)

плГ p "(i-I)

к k\

к /к k\ к ík\ /''•'■Л

!роме того <pa ~q>', если Ч1^ < v,s , и в противном случае <ра &P\s ni? а . При этом

очка rpa е R^а jсоответствует вектору у'а 0).--^Уа О")

4+1 *+1

Llar 5. Найдём точки * € С и <р eR\ а , решив для этого задачу де x=\x+{\-X)v, <р = ,up+(l-,u)pa , Я,/хе[0;1 ].

1усть (a*,/j*) - оптимальный вектор этой задачи. Тогда положим х = X' х+ (l - я* )v

11 . * í л к 4+1 kf> (1 / \ i+1 / \ ^

р = fi" <p+[l-fi')(pa. При этом ср соответствует вектор у' = у'(1),..., у'(Т) , где

Наг 6. Положить к = к +1 и перейти к шагу 2.

* ( к . . к

к

и

¡амечание. Обозначим s' - (l),..., s'9 (т), s'r (o),..., s'r (j)J, тогда из (15)

v. J /«) «1

где

+ i = 1.....n,

P'i V /■»I r=1 /•=) y

*

к к

^ f h m к m /с m ¿

|»1 V r-l r=l r*l

Таким образом, задача (15) цринимает вид

= in (17)

í-i i-i

при ограничениях

И).....(18)

т

Ф(у(1),...,y(r))s¿ . (19) Теорема. Пусть выполнены предположения 2, 3. Тогда последовательность j|, построенная данным алгоритмом, либо конечна и ей последний элемент удовлетворяет

условию х = <р, либо бесконечна и каждая её предельная точка (х,<р) удовлетворяет условию

х = ф. Кроме того, sup а=а", где а' определяется равенством (14). i

В § 5 представлено решение задачи (16) для целевого функционала

ф(у(1),у(2),-.,у(т))^±Ш-У,(>)У (20)

м i-i

Замечание. Для шага 1 алгоритма решения рассмотренной выше динамической балансовой задачи оптимального управления где функционал (11) имеет вид (20), r/mm =0, В этом случае R(0) состоит из единственной точки, которая соответствует вектору (У'(1),5''(2),...,3>'(т)).

Эта точка <peR(o) является начальной. Такой выбор начальной точки оправдан и с экономических позиций. Поскольку прежде^ем_ретать^адачу_(6$)-(74), необходимо вьмснить^способ|ю ли предприятие произвести заданную программу выпусков товарной продукции (у'(l),У'(2),...,у'(т)) или нет. Ответ на этот вопрос дают шаг 1 и шаг 2 рассмотренного алгоритма.

Вначале найдём оптимальное решение задачи (17)-(19) для функционала (20). Обозначим (l),..., у'я (l),..., y¡ (т),..., j/* (У)) оптимальное решение задачи (17)-(19). Замечание. Не нарушая общности, будем всюду далее считать, что в целевой функции 0

для всех г = 1,...,Т и i = 1Так как в противном случае, в оптимальном решении для тех

£, (/), которые равны ¡гулю, положим у' (V) = у, (¿)>0. А для нахождения остальных компонент оптимального вектора получим задачу, аналогичную (17)-(19). Из неравенства Коши - Буняковского и неравенства (19) имеем

12Х(>)(уМУШ)

(21)

V i=i ы V /-1 i-i V '-i

причём равенство в (21) достигается тогда и только тогда, когда одновременно выполнены условия

= ' = !>...,г, / = 1.....п

¿Ш0-й(0)2=« ' (22)

U=i .»1

Из (22) следует, min j] ^Р I, (/) (у, (/) - у, (()) = - £ ^ i ] (f) -Ja , которое достигается при ! I 1*1 V

(23)

Таким образом, если в (23) все 0, то (23) является оптимальным решением задачи (17)-

(19). Допустим, что в (23) среди значений yt(t) есть отрицательные значения, т.е. существуют такие /„ е {1,..., Г } и /0 е {1,...,«}, для которых выполняется неравенство

i

Л('«) + Я,('о)<<>-

(24)

Теорема. Если для r„ е {1,...,Г} и ;0 e{l,...,и}справедливо неравенство (24), то в оптимальном решении задачи (17)-(19) _у* (/„) = 0.

Доказанная теорема позволяет построить решение задачи (17)-(19) следующим образом Шаг 1. Вычислить для всех t = 1.....Т, / = !,...,/? = "

1

а

Т п

SS'fW

1=1 (-1

-*,(()+?, (О-

Пусть = |(/,;')е у|>,(1)(()> 0}. Если 7, =/, то для всех I = 1,..., 7', г = 1.....п у'(() = у^К и

алгоритм завершён. Если Зх =0, то для всех 7 = 1 ,...,Г, / = 1,...,« = 0, и алгоритм завершён. Если Jl Ф0 и У, с У, то для всех (/. () е У \ положить >>*(?) = О, а для вычисления остальных координат оптимального решения перейти к шагу 2.

Шаг2. Вычислить для всех >'Р(0=_

УуП')

(м^л-Л

1 1^(0 II

Пусть = {(/,/) е./, |01. Если ./2 ='7,, то для всех {l,i)eJ¡ >*(/) = и алгоритм завершён. Если JJ = 0, то для всех (/, г) е Ji у' (/) = 0, и алгоритм завершён. Если 0 \ ,1г а Jí, то для всех (г, /') eJl\J2 положить у' (?) = 0, а для вычисления остальных координат оптимального решения перейти к следующему шагу.

Пусть J¡_í ={(/,/') е Js_21 у!' >0 }. Предположим, что Ф0 и J¡_¡ с Js_2.

Шаг д (ж ^2). Вычислить для всех (г,;)>','''(') =

1

м

J0 =7. Пусть ^ = {(/■,/)е ( >-,<т)(/)> 0 }. Если =./,_,, то для всех (t,i)eJs_, у',{})=у\ алгоритм завершён. Если Js = 0, то для всех (/, г) б у' (')=0, и алгоритм завершён. Есш-./, ^ 0 и , то для всех (/,;') е У,,, \ У, положить " (/) = 0, а для вычисления остальных

координат оптимального решения перейти к следующему шагу.

Пусть = {(/, г) б 1р_21 >|'/1 '' > 0 }. Предположим, что I ф 0 и с . Шаг р (р < пТ) (последний).

Вычислить для всех (/, г) е 3 р_{ у^ (/) =

и _

«-Е 15?(0

1.Ф

Пусть ./„={(?,/)> 0}. Если Зр =У„_1, то для всех (/,/)—>,*(г) =-^«п алгоритм завершён. Если = 0, то для всех (г, /) е * (?) = 0, и алгоритм завершён.

Замечание. Из алгоритма решения задачи (17)-(19) следует, что оптимальное решение данной задачи единственно. При чём оптимальное решение имеет вид:

1) если / =0,то >,'(?)=0, Г =1,...,Г, ¿ = 1,..., п (нулевое оптимальное решение).

2) если то У(0 = 0 для всех и у(/) = - ?,(')> где

Ц 0, Ф-'/

*(р) = I !>?(<)

, для всех (/, i)cJ[í. Решение задачи (17)-(19), а следовательно и (15) имеет вид

Х#(0+

А'.-)^, ('.'К

О,

где I,(<), / -1,...,7\ / = 1,..., и, определены ранее. Следовательно, если Чут1а < ^ у, ^, то что »+1 к Гк

а=а. Предположим теперь, что > , и рассмотрим алгоритм корректировки к

параметра а таким образом, чтобы выполнялось условие (16). Для этого рассмотрим задачу 1=] 1=1

(У(0.....У(г))бл;х...хл;, (22)

£>0- (23)

\.УЛГ)~УЛЧ*

1=1 1=1

Представленное в данном параграфе решение задачи (21)-(23), основанное на алгоритме

зешепия задачи (17)-(19), позволяет за конечное число шагов либо найти параметр а , либо на шком-то шаге определить, что задача (16) не имеет решений, т.е. для любого е > 0 множества

С и будут разделены плоскостью р(я ] = •{ £ € Я"т хЛ"'™'

£-у,Л = 0 1.

Этделимость этих множеств свидетельствует о том, что задача (11), (6-10), (12), (13) в случае ;елевого функционала (20) не имеет решений по причине несовместности ограничений этой ¡адачи.

{амечание. Рассмотренный алгоритм решения задачи (11), (6-10), (12), (13), где ф(у(1),...,у(г)) шеет вид (20), позволяет найти решение данной динамической балансовой задачи и в случае, га г да заранее требуется равенство нулю товарной продукции по отдельным видам продуктов в шределённые моменты времени.

Рассмотренный в данном параграфе алгоритм может быть использован и в том случае, когда целевой функционал имеет вид

M i=l

n

где длявсех/=1,...,Г ]>]рДг)=1и

В приложении 1 рассматривается построение технологической матрицы для группы подразделений ОАО "Северсталь", участвующих в производстве стали. В приложении 2 представлены расчёты некоторых показателей деятельности подразделений ОАО "Северсталь", участвующих в производстве стали.

Список работ по теме диссертации.

1. Банин A.A., Летавин М.И. Применение метода «затраты - выпуск» к оценке себестоимости продукции крупного предприятия// Прогрессивные процессы и оборудование металлургического производства: материалы первой международной научно - технической конференции. -Череповец: ЧГУ, 1998. — с.182— 184.

2. Банин A.A., Летавин М.И. структурная схема материальных и финансовых потоков для анализа себестоимости выпуска стали балансовым методом на примере ОАО «Северсталь»// Информационные технологии в производственных, социальных и экономических процессах: Материалы международной научно - технической конференции. - Череповец: ЧГУ, 1999.- с. 244-245.

3. Банин A.A., Летавин М.И. Оценка себестоимости продукции предприятия с полным циклом методами математического моделирования. Журнал «Металлург», № 6. - М., 1999. - с. 47-48.

4. Банин A.A. некоторые алгебраические вопросы метода межотраслевого баланса. Череповец, 2000, деп. в ВИНИТИ, № 1364 - BOO, 18 с.

5. Банин A.A., Летавин М.И. Динамическая балансовая модель для анализа деятельности предприятия. Журнал «Обозрение прикладной и промышленной математики», т.7, в.2. - М., 2000. -с.310 -311.

I- 1-1

Введение.

Глава 1. Статическая балансовая модель.

§ 1. Определение, характеризации и применение М-матриц.

§ 2. Статическая балансовая модель предприятия.

§ 3. Формула больших возмущений и её применение в статической балансовой модели.

§ 4. Доминирующее собственное значение технологической матрицы

Спектр М-матриц.

§ 5. Аддитивные и мультипликативные разложения.

§ 6. Анализ ошибок в статической балансовой модели.

Глава 2. Динамические балансовые модели. Задача оптимального управления в балансовых моделях.

§ 1. Примеры балансовых моделей экономической динамики. Постановка задачи оптимального управления в динамической балансовой модели.

§ 2. Задачи, двойственные по Лагранжу, в динамической балансовой модели.

§ 3. Принцип Беллмана для задач оптимального управления в динамической балансовой модели.

§ 4. Алгоритм декомпозиции для динамических балансовых задач оптимального управления.

§ 5. Некоторые частные динамические балансовые задачи оптимального управления.

Математическая модель народного хозяйства, именуемая межотраслевым балансом, а в зарубежной литературе "input-output" (затраты - выпуск), является широко распространённой методологией анализа и прогнозирования общественного производства.

Первые попытки составления межотраслевых моделей можно обнаружить в учении французских физиократов 18 в., один из которых, Франсуа Кенэ, в своей "Экономической таблице" попытался показать как происходит движение товаров и денег между различными секторами экономики. Идеи же балансового метода и способы его построения с помощью систем линейных уравнений были впервые предложены ещё в 1898 г. В.К. Дмитриевым. Анализируя работы по составлению советского баланса народного хозяйства СССР за 1923/24 г. Василий Леонтьев разработал схему и модель анализа структуры воспроизводства в разрезе детальной классификации отраслей. Но основные идеи, заложенные в методе "затраты - выпуск", были сформулированы Леонтьевым ещё в студенческие годы, во время пребывания в Европе, в частности, в статье, опубликованной в 1925 г. и посвящённой советскому экономическому балансу. Таблица "затраты - выпуск" Василия Леонтьева впервые была опубликована в работе "Структура американской экономики в 1919 - 1929 г г." [Леонтьев, 1958]. В первоначальной замкнутой модели Леонтьева было 45 отраслей, а анализ проводился для 1919 и 1929 гг. Как отмечал академик B.C. Немчинов, главное, что сделал В.В. Леонтьев, это сочетание схемы балансовой взаимоувязки межотраслевых пропорций народного хозяйства с математической моделью, характеризующей взаимосвязи между затратами на производство и выпуском продукции различных отраслей [Леонтьев, 1990, 1994, 1997]. 1

Разрабатывая свою экономическую модель, В.В. Леонтьев делал ряд допущений ограничительного характера: каждый товар производится в одном секторе, производство сопряжённых продуктов не существует, а затраты потребляющей отрасли определяются её собственным выпуском. При таких предпосылках статическая модель межотраслевого баланса записывается в виде следующего матричного уравнения х = Ах + у, (1) где неотрицательная матрица А -матрица технологических коэффициентов размера пхп (по количеству отраслей в модели), г- вектор валового выпуска, у - вектор конечного потребления. Преобразовав уравнение (1) к виду

СЕ-А)х = у, (2) приходим к тому, что в данной модели появляется матрица Е-А, элементы которой, расположенные вне главной диагонали, неположительны. А в случае выполнения требования неотрицательной разрешимости матричного уравнения (2) получим, что диагональные элементы матрицы Е-А положительны. О таких матрицах, у которых элементы на главной диагонали положительны, а остальные - неположительны, говорят, что они обладают свойством Метцлера. Впервые такие матрицы были введены Метцлером в 1945 г. и получили название М-матриц. В дальнейшем под М-матрицей стали понимать квадратную матрицу с неположительными элементами, расположенными вне главной диагонали, и положительными главными минорами [Гантмахер, 1988]. Некоторые критерии принадлежности матрицы к классу М-матриц содержатся в работах [Никайдо, 1972], [Воеводин, 1984], [Обен, 1988], [Обен, Экланд, 1988], [Нот , Johnson., 1991], [Li Wen, Zhang Moucheng, 1995], [Sun Yuxiahg, 1995]. Применение свойств М-матриц в межотраслевых моделях описано в работах [Гейл, 1963], [Никайдо, 1972], [Ицкович, 1976]. Исследованиям систем линейных уравнений, связанных с межотраслевой моделью посвящена работа [Сергеева, 2000]. Как видно, основополагающими параметрами статической балансовой модели являются коэффициенты прямых затрат, образующие матрицу А. Построению межотраслевых технологических матриц посвящены работы [Дадаян, 1973], [Воркуев, 1986], [Андрюшкевич, 1992], [Андрюшкевич, Морозова, 1992], [Морозова, 1992], [Краюшкина, Летавина 1997]. Помимо технологической матрицы А для анализа деятельности экономического субъекта используется и матрица полных затрат В-{Е- А)'1, которая при выполнении условия продуктивности матрица А существует и является неотрицательной матрицей. При этом матрица А продуктивна тогда и только тогда, когда матрица Е -А принадлежит классу М-матриц. Применению матрицы полных затрат В для описания деятельности межотраслевой экономики посвящены работы [Cuello, Mansouri, Hew-ings, 1992], [Sonis, Hewings, 1992], [Sonis, Oosterhaven, Hewings, 1993], [Sonis, Hewings, Lee, 1994]. Эмпирическими исследованиями по методу затраты - выпуск занимались помимо Василия Леонтьева [Leontief, 1953], [Leontief, 1973], [Leontief, 1976], [Leontief, 1977] и учёные других стран. Вопросы межотраслевых связей изучались в Норвегии, Дании, Голландии, Италии, Англии, Японии, Канаде, Австралии и ряде латиноамериканских стран. Так, например, первые таблицы "затраты - выпуск" в Аргентине были составлены в 1946 г. и содержали межотраслевые потоки для 20 отраслей, Бразилии - в 1953 г. и содержали 17 отраслей, Мексике -1950 г. и содержали 32 отрасли. В последнее время расширилась сфера применения статических балансовых моделей, поскольку экономический анализ по методу "затраты - выпуск" может быть осуществлён и применительно к отдельной отрасли или предприятию. В этом случае в качестве структурных звеньев изучаемой системы будут выступать подотрасли, виды производства, стадии передела продукции, подразделения и цеха. В качестве сектора конечного потребления будут фигурировать не только население и непроизводственная сфера, но и все потребители (другие отрасли, предприятия) за пределами данной отрасли или предприятия. При этом наибольшую пользу анализ "затраты - выпуск" приносит в том случае, когда речь идёт о многономенклатурном производстве с существенным внутрипроизводственным оборотом. Применение модели "затраты - выпуск" к описанию деятельности предприятия содержится в работах [Ройтбурд, Штец, 1967], [Розоноэр, 1984], [Казанцев, Летавин, 1995], [Казанцев, Летавин, 1996]. При этом матричная статическая балансовая модель предприятия позволяет достаточно полно отразить внутрипроизводственные связи между цехами предприятия и определить выпуск продукции в натуральных и денежных единицах по всем цехам и предприятию в целом. Кроме того, применение модели "затраты - выпуск" в экономическом анализе даёт возможность изучить влияние на цены производимой продукции, например, сырьевых, топливных и энергетических затрат, издержек на оплату труда, отчислений в общественные фонды, затрат на содержание основных фондов, амортизационных отчислений и т.д. Так же в рамках матричной балансовой модели возможно проанализировать влияние структурных изменений на цены выпускаемой продукции. Ещё одной характеристикой деятельности экономического субъекта, помимо о матриц прямых и полных затрат, является число Фробениуса - Перрона г{А) > 0 для неотрицательной матрицы А. При чём А продуктивная матрица тогда и только тогда, когда г{а)<\ . Это число может служить оценкой общего уровня коэффициентов прямых затрат, а следовательно величина 1 - г{а) характеризует продуктивность этих коэффициентов, т.е. возможности достижения каких - либо других (кроме текущего производственного потребления) целей: чем больше 1 -г(А), тем больше возможности достижения других целей. Таким образом, чем выше общий уровень коэффициентов матрицы А, тем больше число Фробениуса -Перрона, т.е. ниже уровень продуктивности и наоборот, чем ниже общий уровень коэффициентов матрицы А, тем меньше число Фробениуса - Перрона и выше продуктивность. Методы вычисления этого собственного числа неотрицательной матрицы рассмотрены в работах [Фаддеев, Фаддеева, 1963], [Уилкинсон, 1970], [Фам Ват Ат, 1987], [Альпин, 1994], [Альпин, 1997]. Использованию собственных чисел в модели межотраслевого баланса посвящена статья [Файзуллин, 1998].

Рассматриваемая выше статическая балансовая модель хотя и даёт возможность на количественном и качественном уровнях оценить межотраслевые взаимодействия, всё - таки характеризуется такими чертами, которые затрудняют её применение в расчётах на перспективный период. Эти трудности связаны с тем, что в качестве экзогенно задаваемых элементов конечного продукта рассматриваются и те из них, объёмы и структура которых самым непосредственным образом зависят от эндогенных переменных модели, т.е. объёмов выпуска продукции. В первую очередь это относится к показателям, характеризующим объём и структуру капитальных вложений. Зависимость капитальных вложений от объёма производства продукции наиболее чётко проявляется при рассмотрении процесса производства в динамике. Таким образом, этой балансовой модели можно придать динамический характер, вводя в неё элементы, увеличивающие доход, альтернативные производственные методы или инвестиции. В динамической модели Леонтьева [Леонтьев, 1990] основным фактором является та часть продукции, которая превращается в капитал или запасы. Но рассмотренная В. В. Леонтьевым динамическая модель "input-output" не является единственно возможной динамической балансовой моделью. Другого типа модели, включающие в себя задачи условной оптимизации, описаны в работах [Черемных, 1971], [Черемных, 1975], [Черемных, 1982], [Черемных, 1986]. В данных работах в основном рассмотрены задачи с линейными функционалами и без ограничений на фазовые координаты. Так же математическим вопросам экономической динамики посвящены монографии [Макаров, Рубинов, 1973], [Моришима, 1972], [Никайдо, 1972] и статьи [Пересада, 1993], [Бойчук, 1998]. В монографиях наибольшее место уделено изучению магистральной теории для динамических балансовых моделей. В статьях рассматриваются динамические балансовые модели в дифференциальной форме. Отметим, что все динамические модели "затраты - выпуск", описываемые в настоящих монографиях и статьях, относятся к межотраслевым моделям, которые всё-таки не являются на данный момент общими, и поэтому в случае их использования для описания деятельности промышленного предприятия не всегда в достаточной мере реально отражают технологическое и экономическое функционирование данного предприятия.

9.

Таким образом, целью данного диссертационного исследования являлось по-гроение статической, а на её основе динамической балансовых моделей, описываю-щх деятельность промышленного предприятия.

Для описания хозяйственной деятельности предприятия была выбрана следующая динамическая балансовая модель х(0 = 4*(0 + ;К0 , t = l,.,T, (3) + + к, + 1)-лг(Г)), i = 0,.,T-l, (4)

2(Т) = 0тх(Т)+гте, (5) х(0) = х° > 0,

В настоящей модели хф- п-мерный вектор столбец валовых выпусков продукции предприятия в году уф- «-мерный вектор столбец объёмов товарной продукции, Аг = (аг7(/)) —„ ~ технологическая матрица в отношении производимых продуктов, гф-тп- мерный вектор столбец факторов производства, 0( = производственная матрица переменных затрат факторов производства, 2 = {гчф) -матрица затрат на постоянные факторы производства, е - п- мерный единичный вектор столбец, к( - т - мерный вектор столбец инвестиций, ^ ф) - матрица инвестиций, х°- и-мерный вектор столбец валовых выпусков продукции предприятия в базовом периоде. При заданной программе выпуска товарной продукции (у(1),.,у(Т)) балансовые уравнения (3)-(5), в предположении выполнения условия продуктивности матриц А(, позволяют опеделить программу работы предприятия (х(1),.,х(Г)) и объёмы потребления до-эавочных факторов производства (г (0),., г (Г)).

В случае ограничения мощностей предприятия и объёмов факторов 1роизводства данная модель включает в себя класс задач оптимизации управлений выпусков товарной продукции)

Ф(у{\),.у{т))->гтп . ~(6) при ограйичениях на фазовые координаты (векторы валовых выпусков и факторов 1роизводства)

-------------- х{()<х{(), / = 1,.,'/', t = 0,.,T.-------(7)

•Я'М» * = 1,.,7\ (8)

Включение в динамическую балансовую модель задачи оптимального управ-гения позволяет изучить количественные характеристики (объёмы валовых выпусков и товарной продукции) структурных сдвигов, происходящих в 1роизводственной деятельности предприятия под воздействием динамики выпуска гродукции и научно-технического прогресса. В современных развивающихся рыючных отношениях решение подобных динамических балансовых задач оптимального управления становится актуальным и имеет большое практическое зна-' юние развития предприятия.

Исходя из методов решения задач оптимального управления, изученных в ра-5отах [Кирин, 1975], [Кирин, Морозкин, 1989], [Кирин, Исраилов, 1990], [Васильев, 1981], [Васильев, 1981], [Демьянов, Рубинов, 1968], [Полак, 1974], в настоящей диссертации построен алгоритм решения задачи (6), (3)-(5) при ограничеи ниях (7), (8). Построенный алгоритм основан декомпозиции как по временному параметру X так и по фазовым переменным с учётом разряжённости матриц А(, О,,

Таким образом, научная новизна диссертационной работы заключается в следующем:

- построены статическая и динамическая балансовые модели для описания деятельности промышленного предприятия

- разработан декомпозиционный метод решения задачи оптимизации выпусков товарной продукции (управлений) при ограничениях на производственные мощности и объёмы факторов производства (фазовые координаты)

- построен алгоритм численного решения динамических балансовых задач оптимального управления для определённых целевых функционалов

- доказан критерий продуктивности технологической матрицы специальной структуры

- разработаны методики для анализа хозяйственной деятельности предприятия (методика расчёта цен на производимую продукцию, методика определения изменений цен на производимую продукцию, методика построения "поля влияний", методика построения аддитивного разложения матрицы прямых затрат и мультипликативного разложения матрицы полных затрат)

Полученные результаты могут быть использованы при экономическом анализе деятельности промышленного предприятия с существенным внутрипроизводственным оборотом.

Структурно диссертация состоит из введения, двух глав, в каждой из которых соответственно шесть и пять параграфов, заключения, библиографического списка использованной литературы и приложения.

Заключение

Методология статического и динамического балансового моделирования деятельности предприятия позволяет, по словам В.В. Леонтьева, экономистам использовать теоретические и практические знания, которыми обладают инженеры, и в то же время позволяет инженерам разобраться в экономических составляющих деятельности предприятия. Поэтому полученные результаты могут быть использованы для экономического анализа деятельности промышленного предприятия, что в свою очередь может служить для инженеров "руководством к действию" по совершенствованию технологии производства.

Рассмотренная в настоящей работе методология построения статической балансовой модели была использована для описания деятельности подразделений ОАО "Северсталь", участвующих в производстве стали (см. приложение 1). При этом технологическая матрица А, построенная для данной группы подразделений, является продуктивной матрицей. Этот результат является прямым следствием критерия продуктивности матрицы (или критерия принадлежности матрицы Е-А к классу М-матриц), полученного для матриц специальной структуры (гл. 1, теорема 1.1.1 (п. 7)), поскольку основные продукты, которые участвуют только во внутрипроизводственном технологическом потреблении (для них отсутствует товарная продукция), обязательно используются в производстве какой-либо товарной продукции. Этот критерий является основным математическим результатом главы 1. На основе построенной технологической матрицы проведён анализ деятельности подразделений ОАО "Северсталь" в части структуры затрат на производимую продукцию (см. приложение 2). Так же представлены показатели изменений цен на выпускаемую продукцию, которые происходят под влиянием различных факторов производства (см. приложение 2). Кроме того, представленные в настоящей работе методики построения "поля влияний" для технологических коэффициентов, а так же методики аддитивного разложения матрицы прямых затрат и мультипликативных разложений матрицы полных затрат дают возможность на количественном и качественном уровнях изучить взаимодействия между подразделениями предприятия, между стадиями передела продукции.

Основной теоретический результат диссертации состоит в том, что в динамической балансовой модели

Ф(у(1),.^(7'))^тт (1) х(0 = Л*(0+Я0, 1 = 1,.,т, (2) + + к, + / = 0,.,Г-1, (3) г(Т) = Стх(Т) + 2!те, (4) г = 1' = 0(5) лг(/)>0, ¿ = 1г(0>0, Х = 0(6)

ЯО^О, Г = 1.Г, (7) х(0) = *°>0. (8) указан класс задач оптимального управления с ограничениями на фазовые координаты, решение которых может быть получено при помощи представленного в настоящей работе алгоритма. Этот алгоритм основан на декомпозиции как по временному параметру, так и по фазовым переменным с учётом разряжённости матриц, характеризующих технологическую деятельность предприятия. Разработанный алгоритм решения задачи оптимального управления (1)-(8), где в (1) целевой функционал т).-.зМ)=±±<у,м)2,

1 ¿=1 носит конструктивный характер, из которого следует численный алгоритм решения задач оптимизации управлений, реализуемых на ЭВМ.

В конце отметим, что в связи с построенным алгоритмом решения динамической балансовой задачи оптимального управления (1)-(8) встают для дальнейшего научного исследования вопросы устойчивости данного алгоритма к различным возмущениям параметров динамической модели, вопросы о взаимосвязи магистральных характеристик динамической модели (1)-(8) с оптимальными траекториями данной модели. Так же для дальнейшего исследования остаётся открытым вопрос о построении декомпозиционного алгоритма решения оптимизационной задачи, которая описывает динамическую балансовую модель вида т /=0 х(т)>Атх{т)+у(т), х(0) = х0, 2(т) = 1теп + 0тх(т) < (г),

1. Андрюшкевич O.A. Структурный анализ французской экономики на основе модели расширенного воспроизводства// Миров, динам.; анал. и моделир./ ЦЕМИ РАН, М.; 1992, с.30 -55.

2. Бойчук JIM. Балансовые динамические модели в экономике: режимы движения и прибыль// Пробл. упр. и информ., №2, 1998, с. 129 134.

3. Васильев Ф. П. Методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1981.

4. Васильев Ф. П. Численные методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1988.

5. Воеводин В.В. Вычислительные основы линейной алгебры. М,: Наука, 1977.

6. Воеводин В.В., Кузнецов Ю.А. Матрицы и вычисления. М.: Наука, 1984. - 318 с.

7. Воркуев Б.Л. Анализ решений экономико-математических моделей. М.: Изд-во Моск. ун-та,1986.- 140с.

8. Ицкович И.А. Анализ линейных экономико математических моделей. - Новосибирск: Наука, 1976. Анализ линейных экономико - математических моделей.

9. Казанцев A.A., Летавин М.И. Анализ экономической деятельности металлургического предприятия по схеме «затраты выпуск»// Тезисы докл. межд. конф. «Интеграция экон. в систему мирохозяйственных связей». - С.-Пб.: СПбГТУ, 1996.- с. 203 - 205.

10. Казанцев A.A., Летавин М.И. Опыт анализа работы металлургического предприятия на уровне основных производственных подразделений. Препринт №1/95. Череповец: НИЛ ММТ и СЭП, 1995,- 17с.

11. Кирин Н.Е. Методы последовательных оценок в задачах оптимизации управляемых систем. Л., Изд во Ленинградского университета, 1975. - 160 с.

12. Кирин Н.Е., Исраилов И. Оценочные системы в задачах теории управления. Ташкент, 1990. -160 с.

13. Кирин Н.Е., Морозкин Н.Д. Численные приближения экстремалей управляемых динамических систем: Учебное пособие. Уфа, 1989. 89 с.

14. Краюшкина Г.А., Летавина Н.М. Математические вопросы метода "затраты выпуск" В.В. Леонтьева. Череповец: Издательство НИЛ и СЭП, 1997.

15. Морозова А.Е. Особенности прогнозирования структурных коэффициентов// Миров, динам.; анал. и моделир./ ЦЕМИ РАН, М.; 1992, с.56 61.

16. Макаров В.Л., Рубинов A.M. Математическая теория экономической динамики и равновесия. М.: Наука, 1973.

17. Розоноэр Л. И. Экономико математические методы и модели. - М.: МИСИС, 1984,- 118 с.

18. Ройтбурд Л.Н., Штец К.А. Организация и планирование предприятий чёрной металлургии. М.: «Металлургия», 1967. - 513 с.

19. Сергеева Т.С. Исследование систем линейных и нелинейных интегральных и векторных уравнений (неравенств), связанных с моделью Леонтьева Форда: Автореф. дис. канд. ф.-м. наук. - Ростов-на-Дону, 2000. -21 с.

20. Уилкинсон Дж. Алгебраическая проблема собственных значений. -М.: Наука, 1970.

21. Фаддев Д.К., Фаддеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры. — M.-JL: Физматгиз,1963.

22. Файзуллин Р.Т. Обобщённая задача на собственные значения в модели межотраслевого баланса. Мат. структуры и моделирование, № 1, 1998, с. 103 109.

23. Фам Ван Ат. Об одном классе алгоритмов определения наибольшего характеристического числаи соответствующего собственного вектора неразложимой неотрицательной матрицы.// Журналвычислительной математики и мат. физики -1987., т. 27 № 11, с. 1603 - 1613.

24. Хедли Дж. Нелинейное и динамическое программирование. М.: Мир, 1967.

25. Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ: Пер. с англ. М.: Мир, 1989.- 655с.

26. Черемных Ю.Н. Анализ поведения траекторий динамики народнохозяйственных моделей. М.:1. Наука, 1982. 177 с.

27. Черемных Ю.Н. Вопросы качественного исследования решений динамических моделей экономики. М.: Наука, 1971.

28. Черемных Ю.Н. Качественное исследование оптимальных траекторий динамических моделей экономики. -М.: Наука, 1975. 183 с.

29. Wen, Zhang Moucheng. Some characterizations of a class of M-matrices. Dogbei shuxue = Northeast Math. J., t.11, №4, 1995, c. 430 436.148

30. Sonis M., Hewings G.J.D. Coefficients Change Input Output Models: Theory and Applications // Economic Systems Research, vol. 4, № 2, 1992.

31. Sonis M., Hewings G.J.D., Lee J. K. Interpreting Spatial Economic Structure and Spatial Multipliers: Three Perspectives // Geographical Analysis, vol. 26, № 2, 1994.