Методы решения двухуровневых задач дискретного монотонного программирования и их применение при оптимизации надежности непоследовательных систем тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ

Глава I. ОБЗОР МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НЕЛИНЕЙНОГО

ДИСКРЕТНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ В ЗАДАЧАХ ОПТИМИЗАЦИИ НАДЕЖНОСТИ

СЛОЖНЫХ СИСТЕМ.

§ I.I. Методы решения задач нелинейного дискретного программирования

§ 1.2. Методы решения задач оптимального резервирования при проектировании сложных систем

Глава П. МЕТОД ПОСВДОВАТЕЛЫЮГО АНАЛИЗА ВАРИАНТОВ

В ЗАДАЧАХ ДИСКРЕТНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ.

§ 2.1. Общая схема решения задач дискретной оптимизации

§ 2.2. Метод решения двухуровневой задачи дискретного программирования

§ 2.3. Метод решения задачи дискретного монотонного программирования

Глава Ш. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕМ И АЛГОРИТМЫ РЕШЕНИЯ

ЗАДАЧ ОПТИМИЗАЦИИ НАДЕЖНОСТИ НЕПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ.

§ 3.1. Постановка общей задачи оптимизации надежности непоследовательной системы

§ 3.2. Алгоритм решения задачи оптимизации надежности непоследовательной системы с явно заданными множествами возможных вариантов подсистем. Пример синтеза системы

§ 3.3. Алгоритм решения задачи оптимизации надежности непоследовательной системы с использованием разнотипного резервирования

§ 3.4. Сведение задачи оптимизации надежности непоследовательной системы к задачам дискретного сепарабельного программирования

Глава 1У. ПРОГРАММНАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ АЛГОРИТМОВ ОПТИМИЗАЦИИ НАДЕЖНОСТИ НЕПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ И ИХ ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ОПТИМАЛЬНОГО ПРОЕКТИРОВАНИЯ.

§ 4.1. Программная реализация алгоритмов оптимизации надежности непоследовательных систем.

§ 4.2. Диалоговая система автоматизированного проектирования структур сложных систем по критерию надежности

§ 4.3. Экспериментальное исследование алгоритмов оптимизации надежности непоследовательных систем.

Высокий уровень надежности - одно из основных требований, предъявляемых при проектировании технических систем. Одним из мех/ тодов повышения надежности^ сложных систем, широко применяемым в практике проектирования, является резервирование. Однако, повышение надежности систем за счет резервирования связано с увеличением значений их технико-экономических характеристик таких как вес, стоимость, габариты и т.п. Поэтому возникает задача оптимального резервирования /оптимизации надежности/, которая заключается в определении оптимального /максимального/ по надежности варианта структуры системы с учетом заданных ограничений на технико-экономические характеристики. Решение задач оптимального резервирования тесно связано с использованием моделей и методов дискретного программирования.

В настоящее время при решении задач оптимального резервирования наиболее широко используются модели последовательных систем, то есть систем, которые отказывают при отказе хотя бы одной подсистемы, причем отказы подсистем независимы. В математической постановке эти задачи с аддитивными ограничениями по технико-экономическим характеристикам представляются как задачи дискретного се-парабельного программирования, для решения которых предложены разнообразные алгоритмы.

Вместе с тем, на практике возникают более сложные задачи оптимизации надежности, поскольку появление отказов отдельных подсистем в реальных системах не приводит, вообще говоря, к полному отказу всей системы в целом, а лишь ухудшает надежность ее функк/ Здесь и ниже под надежностью понимается вероятность безотказной работы системы /подсистемы/ на заданном интервале времени

0,т]. ционирования. Примерами систем, в которых отказы отдельных подсистем не приводят к отказу всей системы в целом, являются монотонные структуры [ 7 ] /когерентные системы [ 122-124, 128 ] / или непоследовательные системы / поп series - рссга£ве£ s^séem/[l7ô], системы с произвольной структурой [97] . •

В настоящее время область прикладной теории надежности по оптимизации сложных систем интенсивно развивается: рассматриваются модели систем, обладающих промежуточным уровнем надежности, отличным от уровня, соответствующего полной работоспособности или отказу системы, конкретные примеры прикладных задач, разрабатываются и исследуются оптимизационные алгоритмы /см.обзор, помещенный в § 1.2 работы/.

Однако тсуществующие модели и алгоритмы оптимизации надежности сложных систем не удовлетворяют в полной мере растущим потребностям практики. Поэтоьцу рассмотрение новых моделей и методов решения задач оптимального резервирования сложных систем представляет как теоретический, так и практический интерес. Задачи оптимального резервирования непоследовательных систем ввиду нелинейного критерия /функции надежности/ сводятся к задачам нелинейного дискретного программирования, разработка методов решения которых представляет самостоятельное теоретическое и прикладное значение.

Накопленный к настоящему времени опыт решения задач нелинейного дискретного программирования, а также проводимые теоретические исследования свидетельствуют о том, что решение этих задач затруднительно без выявления свойств функций ограничений и критерия /монотонность, выпуклость, дифференцируемость и т.п./, специфики структуры множества ограничений, учета структуры множеств возможных значений переменных. Специфику задач необходимо учитывать кал при разработке новых подходов и применении известных ме

- б тодов дискретного программирования для решения задач из прикладных областей, так и при решении отдельных практических задач.

Среди прикладных задач оптимизации надежности последовательных и непоследовательных систем большое значение, как отмечалось зервирование осуществляется за счет использования в подсистемах разнотипных резервных элементов. В математической постановке указанная задача является двухуровневой задачей дискретного программирования: построение подсистем на основе разнотипных элементов и определение их надежности и технико-экономических характеристик - второй /нижний/ уровень; построение варианта системы в целом из отдельных подсистем - первый /верхний/ уровень.

Непосредственное сведение указанной задачи оптимального резервирования к "одноуровневой" задаче /с явно заданными множествами возможных вариантов подсистем/ на практике не представляется возможным ввиду ее огромной размерности даже при сравнительно небольшом числе подсистем, числе типов элементов и небольших значениях кратностей резервирования элементов.

Акяуальность, теоретический интерес и практическая значимость двухуровневых задач дискретной оптимизации обусловливают необходимость их дальнейшего исследования и разработки методов решения.

В прикладном отношении разрабатываемые методы решения задач нелинейного дискретного программирования должны быть ориентированы на нахождение точных и приближенных решений, учитывать особенности решаемых задач, что наиболее актуально при решении задач большой размерности, к которым относятся и двухуровневые задачи дискретной оптимизации.

Как показывает опыт, использование разработанных моделей и имеет задача оптимального резервирования, в которой ре алгоритмов особенно эффективно при создании на их основе пакетов прикладных программ и диалоговых систем с развитым математическим, системным и информационным обеспечением. Создание подобного рода систем актуально для решения задач оптимального проектирования, где они являются инструментарием в работе проектировщиков.

Одним из универсальных подходов к решению задач математического программирования является методология последовательного анализа вариантов, общий формализм которой разработан в начале 60-х годов В.С.Михалевичем [б9, 75] .

В работе этот подход является основой для разработки методов и алгоритмов решения указанных выше классов задач дискретной оптимизации и прикладных задач теории надежности.

Диссертационная работа выполнялась в рамках госбюджетной темы "Разработка методов моделирования, идентификации и оптимизации сложных динамических объектов и создание на их основе комплекса программ для автоматизации обработки натурных испытаний, структурного проектирования систем управления летательными аппаратами и линейных ускорителей", которая входит в Целевую комплексную научно техническую программу ГКНТ СССР 0.Ц.027 /Постановление ГКНТ, Госплана СССР, АН СССР № 474/250/132 от 12.12.80. Приказ Минвуза УССР № 189 от 28.04.1981 г., номер государственной регистрации 81005106/, на базе следующих хоздоговорных работ:

Разработка моделей, методов и алгоритмов оптимизации структур сложных систем по критерию надежности", выполняемой по Постановлению ЦК КПСС и СМ СССР совместно с Ж АН УССР /номер государственной регистрации 78035429/.

Разработка прикладного математического и системного обеспечения САПР динамических систем по критерию надежности", выполняемой совместно с ИК АН УССР им.В.М.Глушкова в рамках ЦК НТП ГКНТ

СССР 0.Ц.027 "САПР" и "АСНИ" /задание 03.22, номер государственной регистрации 81003080/ и в рамках ЦК НТП Минвуза УССР М072 "Автоматизация проектирования сложных динамических систем" /"АПРОДОС"/.

Основной целью работы является следующее.

Разработка и исследование методов и алгоритмов поиска решений /точных и приближенных/двухуровневых и монотонных задач дискретного программирования и их применение для решения задач оптимизации надежности непоследовательных систем с явно заданными множествами возможных вариантов подсистем и задач оптимального резервирования с использованием в подсистемах разнотипных резервных элементов.

Реализация на ЭВМ алгоритмов решения задач оптимизации надежности непоследовательных систем и создание программного комплекса, позволяющего повысить эффективность работы алгоритмов в рамках диалоговой системы автоматизированного проектирования структур сложных технических систем по критерию надежности.

Научная новизна работы заключается в следующем.

Разработаны и исследованы методы поиска точных и приближенных решений двухуровневых и монотонных задач дискретного программирования в общей постановке.

На основе методов решения рассматриваемых классов задач дискретного программирования разработаны и обоснованы новые алгоритмы решения задач оптимизации надежности непоследовательных систем с явно заданными множествами возможных вариантов реализаций подсистем и задач оптимального резервирования с использованием в подсистемах разнотипных резервных элементов.

Исследованы вопросы сведения задачи оптимизации надежности непоследовательной системы к задачам дискретного сепарабельного программирования. Для высоконадежных непоследовательных систем при таком сведении получены оценки погрешности значений функции надежности.

Разработанные алгоритмы решения задач оптимизации надежности непоследовательных систем реализованы на ЭВМ в виде программного комплекса, который включен в состав математического обеспечения диалоговой системы автоматизированного проектирования структур сложных систем по критерию надежности.

Практическая ценность работы состоит в следующем.

Разработанные методы и алгоритмы могут быть использованы при решении задач дискретной оптимизации, возникающих в проектировании, планировании и т.п., а также использоваться при решении специальных задач дискретного программирования.

Результаты, полученные в диссертационной работе, внедрены в производство.

Система автоматизированного проектирования, в состав математического обеспечения которой входят разработанные модели и алгоритмы оптимизации надежности непоследовательных систем, внедрена в производство в одном научно-производственном объединении Министерства авиационной промышленности СССР и используется для решения практических задач оптимального проектирования структур сложных систем. Получен экономический эффект.

Диссертационная работа состоит из 4-х глав, заключения, списка основной использованной литературы и двух приложений.

В первой главе приведен обзор литературы по моделям и методам решения задач нелинейного дискретного программирования /§ 1.1/, по постановкам задач оптимизации надежности сложных систем и алгоритмам их решения /§ 1.2/. Обосновывается необходимость исследования двухуровневых задач дискретного программирования.

Во второй главе приводится описание общей алгоритмической схемы решения задач дискретной оптимизации, основанной на методологии последовательного анализа и отсеивания вариантов, в рамках которой описываются предлагаемые методы решения двухуровневых и монотонных задач дискретного программирования.

В § 2.1 описывается схема решения задач дискретной оптимизации. Вводится определение подварианта, родового множества, допуска для множества подвариантов. Рассмотрены операторы анализа и отсеивания множеств подвариантов по допускам, конструирования агрегированной задачи. Сформулированы принцип оптимальности и критерии оптимальности.

Схема может быть эффективно реализована при решении задач дискретной оптимизации, для которых удается построить процедуры вычисления допусков и реализовать операторы анализа подвариантов по допускам.

В § 2.2 предлагается и исследуется метод решения задачи двухуровневого дискретного программирования в общей постановке, базирующийся на общей схеме. Вводятся допуски первого и второго уровней, конкретизируются операторы схемы и агрегированная задача. Для двухуровневой задачи с монотонно неубывающей целевой функцией и сепарабельными ограничениями доказаны теоремы, в которых определяются способы вычисления допусков первого и второго уровней.

В § 2.3 на основе схемы предлагается метод решения задачи дискретного монотонного программирования.

В третьей главе рассматривается и исследуется постановка задачи оптимизации надежности непоследовательной системы и предлагаются решающие алгоритмы, базирующиеся на разработанных в главе 2 методах.

В § 3.1 рассматривается и исследуется постановка общей задачи оптимизации надежности непоследовательной системы.

В § 3.2 предлагается алгоритм решения задачи оптимизации надежности непоследовательной системы с явно заданными множествами возможных вариантов подсистем. Приводится пример синтеза варианта структуры непоследовательной системы.

В § 3.3 приводится постановка и предлагается алгоритм решения задачи оптимального резервирования непоследовательной системы с использованием в подсистемах разнотипных резервных элементов, который основывается на методе решения двухуровневых задач дискретной оптимизации. Определяются способы вычисления допусков первого и второго уровня, описываются процедуры уточнения допусков, являющиеся основой алгоритма.

В § 3.4 предлагаются способы сведения /сепарализации/ задачи оптимизации надежности непоследовательной системы к задачам дискретного сепарабельного программирования путем введения дополнительных переменных и ограничений. Для высоконадежных непоследовательных систем при таком сведении получены оценки погрешности значений функции надежности.

В § 4.1 главы 4 приводится краткое описание программного обеспечения по формированию моделей и алгоритмов решения задач оптимизации надежности, предложенных в главе 3.

В § 4.2. описывается диалоговая система автоматизированного проектирования структур сложных систем по критерию надежности, в состав математического обеспечения которой входят разработанные модели и алгоритмы оптимизации надежности. Рассматриваются возможности системы, описывается ее функциональный состав, приводится фрагмент сценария работы. Основное внимание при описании диалоговой системы уделено проблемной части,ее математического обеспечению, в разработке и реализации на ЭВМ которого автор принимал непосредственное участие.

В § 4.3 приводятся и обсувдаются результаты вычислительных экспериментов на ЭВМ по решению задач оптимизации надежности непоследовательных систем с помощью разработанных алгоритмов.

В заключении отмечаются основные результаты работы.

В приложении I приводится пример решения задачи синтеза варианта структуры непоследовательной системы с использованием разнотипного резервирования. В приложении 2 дано описание программной реализации алгоритмов оптимизации надежности и описание основных программных модулей математического обеспечения диалоговой системы, приводятся тексты графов тем диалога и основных программ, материалы внедрения.

Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на П Всесоюзном совещании "Автоматизация проектирования и конструирования" /Ленинград, 1983/, на У1 Всесоюзной конференции "Проблемы теоретической кибернетики" /Саратов, 1983/, IX Всесоюзном совещании "Проблемы управления, 83" /Ереван, 1983/, на I Крымской весенней школе по дискретной оптимизации /Судак, 1982/, на П Всесоюзной школе "Дискретная оптимизация и ее приложения, в том числе экономические" /Кишинев, 1983/, на семинаре "Стандартизация пакетов прикладных программ оптимизации" /Йошкар-Ола, 1982/, на Ш-ей республиканской конференции "Вычислительная математика в современном научно-техническом прогрессе" /Канев, 1982/, на республиканских семинарах Научного совета АН УССР по проблеме "Кибернетика" в ИК АН УССР им.В.М.Глушкова и Киевском госуниверситете им.Т.Г.Шевченко.

По теме диссертации опубликовано 7 печатных работ.

- 13

Основные результаты диссертационной работы заключаются в следующем:

1. Разработаны и исследованы методы поиска точных и приближенных решений двухуровневых и монотонных задач дискретного программирования в общей постановке, базирующиеся на методологии последовательного анализа и отсеивания вариантов.

2. На базе методов решения рассматриваемых классов задач дискретного программирования разработаны и обоснованы алгоритмы решения задач оптимизации надежности непоследовательных систем с явно заданными множествами возможных вариантов реализаций подсистем и задач оптимального резервирования с использованием в подсистемах разнотипных резервных элементов.

3. Исследованы вопросы сведения задачи оптимизации надежности непоследовательной системы к задачам дискретного сепарабельно-го программирования. Для высоконадежных непоследовательных систем при таком сведении получены оценки погрешности значений функции надежности.

4. Разработанные алгоритмы решения задач оптимизации надежности непоследовательных систем реализованы на ЭВМ в виде программного комплекса. Вычислительные эксперименты на ЭВМ подтвердили основные теоретические положения работы и эффективность предложенных алгоритмов при решении указанных классов задач оптимизации надежности непоследовательных систем.

5. Разработанный программный комплекс включен в состав математического обеспечения диалоговой системы автоматизированного проектирования структур сложных систем по критерию надежности, которая внедрена в производство в одном научно-производственном объединении Министерства авиационной промышленности СССР и используется для решения практических задач оптимального проектирования структур сложных систем.

Получен экономический эффект в размере 321,5 тыс.руб. /1981 г./ и 228,9 тыс.руб. /1983 г./. Долевое участие автора в выполненных при разработке диалоговой системы работах определено в объеме 15% и 34% соответственно, что составляет 126 тыс.руб. экономического эффекта.

- 153

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Среди прикладных задач, возникающих при проектировании сложных технических систем, важное место занимают задачи синтеза их оптимальной структуры с учетом критерия надежности, которые формализуются в классе двухуровневых и монотонных задач дискретного программирования.

Это обусловливает необходимость разработки новых методов и построения на их основе эффективных алгоритмов для решения рассматриваемых задач дискретной оптимизации и прикладных задач теории надежности.

1. Алексеев О.Г. Об одной задаче оптимального резервирования.-Изв. АН СССР. Техн. кибернет., 1967, № I, с.44-47.

2. Алексеев О.Г. О комплексном применении метода динамического программирования и метода ветвей и границ в задачах динамического программирования. Автоматика и телемеханика, 1976, $ 4, с.66-70.

3. Алексеев О.Г. О повшении эффективности метода динамического программирования в задачах оптимального резервирования.-Изв. АН СССР. Техн. кибернет., 1974, № I, с.107-111.

4. Алексеев О.Г. О сужении области поиска в задачах динамического программирования. Изв. АН СССР. Техн. кибернет., 1976,2, с.30-35.

5. Алтырцев A.A. Применение метода линейного программирования для решения задач теории надежности. Стандартизация, 1963, № 5, с.18-22.

6. Барлоу Р., Прошан Ф. Математическая теория надежности.- М.: Советское радио, 1969. 488 с.

7. Беллман Р., Дрейфус С. Прикладные задачи динамического программирования. М.: Наука, 1965.- 458 с.

8. Белоусов Е.Г., Бабиков Г.Н. Некоторые свойства задачи выпуклого целочисленного программирования .-В сб.: Моделирование экономических процессов. М.: МГУ, 1969, вып.4, с.363-390.- 154

9. Белоусов Е.Г. Об ограниченности и разрешимости задачи полиномиального целочисленного программирования. В кн.: Вопросы экономико-математического моделирования. М.: МГУ, 1973, с.299-312.

10. Беляев Ю.К., Гнеденко Б.В., Ушаков И.А. О математических задачах теории массового обслуживания и надежности. Изв. АН. СССР. Техн. кибернет., 1983, № б, с.3-12.

11. Беляев Ю.К., Гнеденко Б.В., Ушаков И.А. О развитии теории массового обслуживания и теории надежности в СССР. Изв. АН СССР. Техн. кибернет., 1977, № 5, с.69-87.

12. Береснев В.Л. Алгоритмы минимизации полиномов от булевых переменных. В кн.: Проблемы кибернетики. М.: Наука, 1979, вып.36, с.225-246.

13. Береснев В.Л., Гимади Э.Х., Дементьев В.Г. Экстремальные задачи стандартизации. Новосибирск: Наука, 1978. - 335 с.

14. Большаков И.А., Бриккер В.И. "Квазидиагональная" задача целочисленного квадратичного программирования. В кн.: Математические методы решения экономических задач. М.: Наука, 1972, вып.З, с.137-145.

15. Бондарчук Ю.В., Волошин А.Ф., Поздняков Ю.М. Диалоговая система автоматизированного проектирования сложных систем по критерию надежности. В кн.: Пакеты прикладных программ. Методы, разработки. Новосибирск: Наука, 1981, с.140-148.

16. Бондарчук Ю.В. Об одном подходе к проектированию и реализации диспетчера связи с пользователем диалоговой системы. В кн.: Исследование операций и АСУ. Киев: Вища школа, 1981, вып.18, с.41-43.

17. Бриккер В.И. Об одной задаче целочисленного выпуклого программирования. Изв. АН СССР. Техн. кибернет., 1971, № 3, с.48-53.- 155

18. Булатов В.П. Методы погружения в задачах оптимизации. Новосибирск: Наука, 1977. - 159 с.

19. Вишневский В.М., Спиваковский С.И. Применение аппарата линейного программирования для решения некоторых оптимальных задач теории надежности. Автоматика и телемеханика, 1972, № 4,с.182-189.

20. Волкович В.Л., Волошин А.Ф. Алгоритм максимизации надежности при наличии ограничений. Автоматика, 1975, № 5, с.3-12. -Укр.

21. Волкович В.Л., Волошин А.Ф. Об одном алгоритме решения задачи дискретного сепарабельного программирования. В кн.: Исследование операций и АСУ. Киев: Вшца школа, 1977, вып.9, с.33-41.

22. Волкович В.Л., Волошин А.Ф. Об одной схеме метода последовательного анализа и отсеивания вариантов. Кибернетика, 1978, № 4, с.98-105.

23. Волошин А.Ф. Нахождение субоптимальных решений в дискретных оптимизационных задачах методом последовательного анализа и отсеивания вариантов. В кн.: Вычислительные аспекты в пакетах прикладных программ. Киев: ИК АН УССР, 1980, с.25-36.

24. Вопросы математической теории надежности /Е.Ю.Барзилович, Ю.К.Беляев, В.А.Каштанов и др.; Под ред. Б.В.Гнеденко. М.: Радио и связь, 1983. - 376 с.

25. Вотяков А.А. Целочисленное программирование. Сравнение отсечений. Экономика и матем. методы, 1972, т.УШ, № I, с.107-117.

26. Гальперин А.М. Один класс задач оптимального резервирования. -Изв. АН СССР. Техн. кибернет., 1972, № 4, с.44-53.

27. Генис Д.Г., Ушаков И.А. Оптимизация надежности многофункциональных систем. Изв. АН СССР. Техн. кибернет., 1983, № 3, с.62-69.- 156

28. Гене Г.В., Левнер Е.В. Дискретные оптимизационные задачи и эффективные приближенные алгоритмы /обзор/. Изв.АН СССР. Техн. кибернет., 1979, №6, с.9-20.

29. Глебов Н.И. О применимости метода покоординатного спуска к некоторым задачам выпуклого целочисленного программирования.-Управляемые системы, Новосибирск, 1978, № 17, с.52-59.

30. Гнеденко Б.В., Беляев Ю.К., Соловьев А.Д. Математические методы в теории надежности. М.: Наука, 1965. - 523 с.

31. Гуляницкий Л.Ф. Об одном семействе итерационных алгоритмов дискретной оптимизации. В кн.: Разработка математических и технических средств АСУ. Киев: ИК АН УССР, 1978, с.25-30.

32. Гуляницкий Л.Ф., Сергиенко И.В., Ходзинский А.И. Диалоговый пакет программ ВЕКТОР-2. Киев: 1981. - 55 с. /Препринт/ АН УССР, Ин-т кибернетики; 81-63/.

33. Евтушенко Ю.Г. Методы решения экстремальных задач и их применение в системах оптимизации. М.: Наука, 1982. - 432 с.

34. Емеличев В.А. Вогнутое программирование с сепарабельной функцией цели при линейных ограничениях. Изв. АН БССР, Сер. физ. - мат. наук, 1969, № б, с.25-28.

35. Емеличев В.А. К задачам дискретной оптимизации. ДАН СССР,1970, т.192, № 5, с.1002-1003.

36. Емеличев В.А. К теории дискетой оптимизации. ДАН СССР,1971, т.198, № 2, с.273-276.

37. Емеличев В.А. Дискретная оптимизация. Последовательные схемы решения. I, П. Кибернетика, 1971, № 6, с.109-121; 1972, № 2, с.92-103.

38. Емеличев В.А., Комлик В.И. К многопродуктовой задаче размещения. Вестник Белорусского ун-та. Серия I, 1970, № I, с.21-22.- 157

39. Емеличев В.А.,Комлик В.И. Метод построения последовательности планов для решения задач дискретной оптимизации. М.: Наука, 1981. - 208 с.

40. Емеличев В.А., Супруненко Д.А., Танаев B.C. О работах белорусских математиков в области дискретной оптимизации. Изв. АН СССР. Техн. кибернет., 1982, № б, с.25-45.

41. Епифанов А.Д. Надежность систем управления. М.: Машиностроение, 1975. - 180 с.

42. Жернак А.Н. Об одной группе алгоритмов решения квазилинейных задач целочисленного программирования. JKBM и МФ, 1976,т.16, № 5, с.1353-1359.

43. Журавлев Ю.И. Локальные алгоритмы вычисления информации. I, П.- Кибернетика, 1965, № I, с.12-19; 1966, № 2, с.1-И.

44. Зак Ю.А. Алгоритмы нелинейного псевдобулевого программирования. Изв. АН СССР. Техн. кибернет., 1978, № 5, с.35-45.

45. Золотухин В.Ф. Метод ветвей и границ в задачах дискретного нелинейного программирования. Экономика и матем. методы, 1982, т.ХУШ, № 4, с.699-706.

46. Иванин В.М., Кукса А.И. Методика решения одной задачи надежности многофункциональной системы. В сб.: Теория оптимальных решений. Киев: ИК АН УССР, 1974, с.33-39.

47. Иванин В.М. Оценка трудоемкости для некоторых задач дискретного программирования: Автореф. дис. канд. физ.-мат. наук.- Киев, 1976. 14 с.- 158

48. Карштедт И.М., Коган Л.М. Оптимальное нагруженное резервирование элементов многофункциональной системы. Изв. АН СССР. Техн. кибернет., 1972, № 4, с.54-57.

49. Каспшицкая М.Ф., Сергиенко И.В. О понятии линейности и выпуклости в одном дискретном пространстве: комбинаторные линейные задачи. I, П. Кибернетика, 1977, № 5, с.75-81; 1980, № I, с.1-6.

50. Кирюхин В.В., Сорокин С.С. Алгоритмы синтеза дискретных систем повышенной надежности. В кн.: Автоматизация логического проектирования цифровых устройств. Киев: ИК АН УССР, 1974, с.123-134.

51. Ковалев М.М. Алгоритмы решения одной нелинейной задачи псев-добулевого программирования. Вестник Белорусского ун-та. Серия I, 1973, № 3, с.3-9.

52. Ковалев М.М. Об одной задаче целочисленного программированияс выпуклой симметрической функцией цели. Вестник Белорусского ун-та. Серия I, 1974, № I, с.64-65.

53. Ковалев М.М. Дискретная оптимизация. Минск: БГУ, 1977. -192 с.

54. Ковалев М.М. Метод частичных порядков. Докл. АН БССР, 1980, т.24, с.113-116.

55. Ковалев М.М., Чинь Д. Анализ градиентного алгоритма максимизации дискретно-вогнутой функции. Изв. АН БССР. Сер. физ.-мат. наук, 1980, № 2, с.69-76.

56. Козлов Б.А., Ушаков И.А. Справочник по расчету надежности аппаратуры радиоэлектроники и автоматики. М.: Советское радио, 1975. - 471 с.

57. Корбут А.А., Сигал И.Х., Финкелыптейн Ю.Ю. Метод ветвей и границ /обзор теории, алгоритмов, программ и приложений/.- 159 -Math. Operationsforsoh. Statist., ser. Optimization, 1977, v.8, N 2, s.255-280.

58. Корбут A.A., Финкелыптейн Ю.Ю. Дискретное программирование.-М.: Наука, 1969.- 368 с.

59. Корбут A.A., Финкелыптейн Ю.Ю. Приближенные методы дискретного программирования. Изв. АН СССР. Техн. кибернет., 1983,1. I, с.165-176.

60. Котов В.М. Анализ градиентных алгоритмов в дискретной оптимизации: Автореферат дис. . канд. физ.-мат. наук. Минск, 1983. - 14 с.

61. Кукса А.И., Шор Н.З. О методе оценки количества условно оптимальных траекторий дискретного операбельного программирования. Кибернетика, 1972, № 6, с.37-44.

62. Кулаков H.H., Загоруйко O.A. Методы оценки повышения надежности технических изделий по технико-экономическим показателям. Новосибирск: Наука, 1969. - 142 с.

63. Лебедев С.С., Шейнман O.K. Двойственность в целочисленном программировании. Экономика и матем. методы, 1981, т.ХУЛ, № 3, с.593-608.

64. Литвиненко А.Е. Метод решения экстремальных комбинаторных задач с нелинейной структурой. Кибернетика, 1983, № 5, с.83-87.

65. Ллойд Д.К., Липов М.К. Надежность, организация, исследования, методы, математический аппарат. М.: Советское радио, 1964.685 с.

66. Митев Й.Г. Некоторые алгоритмы для решения целочисленных задач нелинейного математического программирования. ЖВМ и МФ, 1977, т.17, № 4, с.1042-1046.

67. Михалевич B.C. Последовательные алгоритмы оптимизации и их применение, I, П. Кибернетика, 1965, № I, с.45-55; № 2,с.85-89.

68. Михалевич B.C., Волкович В.М. Вычислительные методы исследования и проектирования сложных систем. М.: Наука, 1982. -286 с.

69. Михалевич B.C., Волкович В.Л., Волошин А.Ф., Поздняков Ю.М. Алгоритмы последовательного анализа и отсеивания вариантов в задачах диС1фетной оптимизации. Кибернетика, 1980, № 3,с.76-85.

70. Михалевич B.C., Кукса А.И. Методы последовательной оптимизации в дискретных сетевых задачах оптимального распределения ресурсов. М.: Наука, 1983. - 208 с.

71. Михалевич B.C., Сергиенко И.В., Лебедева Т.Т. и др. Пакет прикладных программ ДИСПРО, предназначенный для решения задач дискретного программирования. Кибернетика, 1981, № 3, с.117-137.

72. Михалевич B.C., Сергиенко И.В., Шор Н.З. Исследование методов решения оптимизационных задач и их приложения. Кибернетика, 1981, № 4, с.89-113.

73. Михалевич B.C., Шор Н.З. Численные решения многовариантных задач по методу последовательного анализа вариантов. В кн.: Научно-методические материалы экономико-математического семинара. М.: ЛЭММ и ВЦ АН СССР, 1962, вып.1, с.15-42.

74. Михалевич B.C., Шор Н.З. Галустова Л.А. и др. Вычислительные методы выбора оптимальных проектных решений. Киев: Наукова думка, 1979. - 344 с.

75. Моисеев H.H. Элементы теории оптимальных систем. М.: Наука, 1975. - 528 с.

76. Нетес В.А. Использование линейного представления функции эффективности для ее вычисления. Изв. АН СССР. Техн.кибернет.,1982, № 2, с.127-134.

77. Нярипя X.K. Прямой алгоритм для решения задач целочисленного выпуклого программирования. Труды вычислительного центра Тартуского государственного университета, 1973, вып.28, с .1943.

78. Оптимальные задачи надежности /Под ред. И.А.Ушакова. М.: Стандарты, 1968. - 292 с.

79. Первозванский A.A., Гайцгори В.Г. Декомпозиция, агрегирование и приближенная оптимизация. М.: Наука, 1979. - 344 с.

80. Поздняков Ю.М. Декомпозиционные методы последовательного анализа вариантов в задачах дискретной оптимизации и их применение. Автореф. дис. . канд.физтмат. наук. Киев: 1983. - 22 с.

81. Райкин А.Л. Оптимизация избыточности при наличии ограничений.-Автоматика и телемеханика, 1965, т.ХХУ1, № 2, с.388-398.

82. Райкин А.Л. Элементы теории надежности технических систем. -М.: Советское радио, 1978. 280 с.

83. Райншке К. Модели надежности и чувствительности систем. М.: Мир, 1979. - 452 с.

84. Седых Л.Г. Алгоритм решения задачи квадратичного целочисленного программирования. В кн.: Применение метода вычислительной математики и ЭВМ в технико-экономических расчетах. Казань: Казанский ун-т, 1970, вып.2, с.87-93.

85. CeprieHKO I.B. Один метод розвмязування задач на вщшукання екстремальних значень. Автоматика, 1964, № 5, с.15-21.

86. Сергиенко И.В. О применении метода вектора спада для решения задач оптимизации комбинаторного типа. Управляющие системы и машины, 1975, № 2, с.86-94.

87. Сергиенко И.В., Каспшицкая М.Ф. Модели и методы решения на ЭВМ комбинаторных задач оптимизации. Киев: Наукова думка, 1981. - 288 с.- 162

88. Смолицкий Х.Л., Чукреев П.А. К вопросу об оптимальном резервировании аппаратуры. Изв. АН СССР. Энергетика и автоматика, 1959, № 4, с.79-85.

89. Современное состояние теории исследования операций /Под ред.

90. H.Н.Моисеева. М.: Наука, 1979. - 464 с.

91. Уздемир А.П. Схема последовательной декомпозиции в задачах оптимизации. Автоматика и телемеханика, 1980, № II, с. 94105.

92. Ушаков И.А. Литература по проблемам надежности. М.: Знание, 1970. - 72 с.

93. Ушаков И.А. Методы исследования эффективности функционирования технических систем. М.: Знание, 1976, вып.1. - 56 с.

94. Ушаков И.А. Методы решения простейших задач оптимального резервирования при наличии ограничений. М.: Советское радио, 1969. - 175 с.

95. Ушаков И.А. Оценка эффективности сложных систем. В кн.: Надежность радиоэлектронной аппаратуры. М.: Советское радио, i960, с.3-8.

96. Ушаков И.А. Приближенный алгоритм для построения оптимально надежных систем с произвольной структурой. Изв. АН СССР. Техн. кибернет., 1965, №2, с.20-24.

97. Ушаков И.А. Эвристический метод оптимизации резервирования многофункциональных систем. Изв. АН СССР. Техн. кибернет.,1.972, № 4, с.58-59.

98. Ушаков И.А. Эффективность функционирования сложных систем.-В кн.: О надежности сложных технических систем. М.: Советское радио, 1966, с.26-56.

99. Ферстер В.Б. Построение усиленных отсечений полностью целочисленного алгоритма Гомори. В кн.: Исследования по дискретной оптимизации. М.: Наука, 1976, с.53-67.- 163

100. Фиакко А., Мак-Кормик Г. Нелинейное программирование. Методы последовательной безусловной минимизации. М.: Мир, 1972. - 240 с.

101. Финкелыптейн Ю.Ю. Приближенные методы и прикладные задачи дискретного программирования. М.: Наука, 1976. - 264 с.

102. Фридман A.A. О некоторых современных направлениях в дискретной оптимизации. Экономика и матем. методы, 1977, т.ХШ,5, C.III5-II3I.

103. Фридман A.A., Вотяков A.A. Дискретные задачи и метод ветвей и границ. Экономика и матем. методы, 1974, т.Х, № 3,с.611-620.

104. Хачатуров В.Р. Аппроксимационно-комбинаторный метод и некоторые его приложения. ЖВМ и МФ, 1974, т.14, № 6, с.1464-1487.

105. Ху Т. Целочисленное программирование и потоки в сетях. М.: Мир, 1974. - 520 с.

106. Червак Ю.Ю. Методы лексикографического поиска для дискретных задач выпуклого программирования. Украинский матем. журнал, 1974, т.26, № 2, с.269-272.

107. Червак Ю.Ю. Об одном усиленном варианте алгоритма Гомори. -Экономика и матем. методы, 1977, т.ХШ, № 2, с.391-394.

108. Черенин В.П. Решение некоторых комбинаторных задач оптимального планирования методом последовательных расчетов. В кн.: Научно-методические материалы экономико-математического семинара. М.: ЛЭММ и ВЦ АН СССР, 1962, вып.2. - 44 с.

109. Шишонок H.A., Репкин В.Ф., Барвинский Л.Л. Основы теории надежности и эксплуатации радиоэлектронной техники. М.: Советское радио, 1964. - 551 с.

110. Шура Бура А.Э. Метод последовательной оптимизации для решения задачи оптимального многоуровневого резервирования. -Изв. АН СССР. Техн. кибернет., 1982, № 2, с.114-119.

111. Шура-Бура А.Э. Приближенное решение задачи оптимального резервирования методом динамического программирования. Изв. АН СССР. Техн. кибернет., 1979, № 4, с.39-44.

112. Юдин Д.Б., Горяшко А.П., Немировский А.С. Математические методы оптимизации устройств и алгоритмов АСУ. М.: Радио и связь, 1982. - 288 с.

113. Aggarwal К.К., Gupta J.S., Misra К.В. A new heuristic criterion for solving a redundancy optimization problem. -ШЕЕ Trans. Reliab., 1975, v.R-24, N I, p.86-87.

114. Aggarwal K.K. Redundancy optimization in general systems. -IEEE Trans. Reliab., 1976, v.R-25, N 5, p.330-332.

115. Aggarwal K.E., Misra K.B., Gupta J.S. Reliability evaluation a comparative study of different techniques. Micro-eleotronios and reliability, 1975, v.14, N I, p.49-56.

116. Agrawal S.G. An alternate method on integer solutions to linear fractional functionals by a branch and bound technique. ШМ, 1977, N 57, p.52-53

117. Agrawal S.C. On integer solutions to quadratic programs by a branch and bound technique. Trab. estadist. invest, oper., 1974, v.25, N 1-2, p.65-70.

118. Balas E. Duality in discrete programming. The quadratic case. Management Soi., 1969, v. 16, N I, p.14-32.

119. Banarjee S.K., Rajamani K., Deshpande S.S. Optimal redundancy allocation for non series-parallel networks. IEEE Trans. Reliab., 1976, v.R-25, N 2, p.II5-II7.

120. Bodin L.D. Optimization procedures for the analysis of coherent structures. IEEE Trans. Reliab., 1969, v.R-18, N 3, p.118-126.

121. Burton R.M., Howard G.T. Optimal system reliability for a mixed series and parallel structures. J. of Math. Anal* and Appl., 1969, v.28, p.370-382.

122. Cooper L., Cooper M.W. Hon-linear integer programming. -Computers and Mathematics with Applications, 1975, v.I, N 2, p.215-222.

123. Corran E.R., Witt H.H. Reliability analysis techniques for the desighn engineer. Reliability Engineering, 1982, N 3, p.47-57.

124. Esary J.D., Prochan F. Coherent structures of non-identical components. Technometrics, 1963, v.5, N 2, p.191-209.

125. Esary J.D., Prochan F. The reliability of coherent systems. Redundancy techniques for computing systems. Spartan Books.: Washington, D.C., 1962, p.47-61.

126. Faigle V. The greedy algorithm for partially ordered sets. Disorete Math., 1979, v.28, N 2, p.153-159.

127. Florian M.P., Robillard P. Programming huperbolique en variables bivalents. Revue Française d*informatique et de

128. Recherche operationelle, 1971, N I, p.3-9«

129. Frair L.C*, Ghare P.M. Optimization of system reliability via redundancy and/or design considerations. IEEE Trans.

130. Beliab., 1980, v.R-29, N I, p.33-35.

131. Fyffe D.E., Hines W.W., Lee N.E. System reliability allocation and computational algorithm. IEEE Trans. Beliab., 1968, v.R-17, N 2, p.64-69.

132. Girlioh E., Kowaljow M. Nichtlineare diskrete Optimierung. Berlin: Academic-Verlag, 1981. - 218 s.135* Glankwahmdel A., Liebman J., Hogg G.L. Unconstraineddiscrete nonlinear programming. Eng. Optim., 1979, v.4, N 2, p.95-107.

133. Glover F. A new foundation for a simplified primal integer programming algorithm. Oper. Res., 1968, v.16, N 4, p.727-740.

134. Gomory R.E. Outline of an algorithm for integer solution to linear programs. Bui. Amer. Math. Soc., 1958, v.64, N 5» p.275-278.

135. Gopal K., Aggarwal K.K., Gupta J.S. A new method for reliability optimization. Microelectronics and reliability, 1978, v.I7, N 6, p.605-608.

136. Gopal K., Aggarwal K.K., Gupta J.S. A new method for solving reliability optimization problem. IEEE Trans. Reliab., 1980, v.R-29, N I, p.36-37.

137. Gopal K,, Aggarwal K.K., Gupta J.S. An improved algorithm for reliability optimization. IEEE Trans. Reliab., 1978, v.R-27, N 5, p.325-328.

138. Grunspan M., Thomas M.E. Hyperbolic integer programming. -Naval Res. Log. Quart., 1973, N 20, p.341-356.

139. Hammer P.L., Rudeanu S. Boolean methods in operations research and related areas. Berlin, Springer, 1968. -329 p.

140. Hansen P. Methods of nonlinear 0-1 programming. Annalsof Discrete Math., 1979, N 5, p.53-70.

141. Hartmann Z. Pein ganzzahlige line are Quotientenopfcimisrung nach dem Sohnittoerfahren von Gomory. Math. Operationsforsch. Statist., Ser. Optimization, 1975, v.6, N I, s.33-53.

142. Hartmann K. Verfahren zur Lösung ganzzahliger nichtlinearer Optimierungs probleme. Math, Operationsforsch. Statist., Ser. Optimization, 1977, v.8, N 4, s.633-647.

143. Hisashi M., Kalsuhisa 0. Decomposition of mathematical programming problems by dynamic programming and its application to block-diagonal geometric programs. J. Math. Anal, and Appl., 1970, v.32, N 2, p.370-385.

144. Hooke K., Jeeves T.S. Direot search solutions of numerical and statistical problems. J. Assoc. Compt. Math., 1961, v.8, N 2, p.212-224.

145. Integer programming and related areas. A classified bibliography / Ed. Hausmann Dirk. Lect. Notes. Econ. and Math. Syst., 1976, v.I28, - 459 p.

146. Integer programming and related areas. A classified bibliography / Ed. Hausmann Dirk. Lect. Notes. Econ. and Math. Syst., 1978, v.I60. - 314 p.

147. Kaufmann Z.W., Grouchco D., Cruon R. Mathematical models for the study of the reliability of system. New-York: Academic Press, 1977. - 221 p.

148. Kelley J.E. The cutting-plane method for solving convex programs. J. Soc. Industr. Appl. Math., I960, v.8, N 4, p.703-712.

149. Korte B. Approximative algorithms for discrete optimization problems. Annals of Discrete Math., 1979, N 4, p.I50-I60.

150. Kunzi H.P., Oettli W. Integer quadratic programming.- 168

151. Recent Advances Math. Program. New-York San Francisko -Toronto - London.: Mc.Graw-Hill Book Co. Inc., 1963, p.303-308.

152. Misra K.B. A method of solving redundancy optimizationproblems. IEEE Trans. Reliab., 1971, v.R-20, N 3, p.H7-I20.

153. Misra K.B. An optimal reliability design: a review. Proc. IFAC 6-th World Congr. Boston - Cambridge, Mass, 1973, Part 3. Pittsburg, 1973, Pa, 3.4/1 - 3.4/10.

154. Moskowitz F., McLean J.B. Some reliability aspects of system design. IRE Trans. Rel. Anal. Contr., 1956, v.RQC-8, September, p.7-35«

155. Nakagawa Y., Nakashima K. A heuristic method for determining optimal reliability allocation. IEEE Trans. Reliab., 1977, v.R-26, N 3, p.156-161.

156. Nakagawa Y., Miyazaki S. An experimental comparison of the heuristic method for solving reliability optimization problems. IEEE Trans. Reliab., 1981, v.R-30, N 2, p.181-184.- 169

157. Nakagawa K., Nakashima K., Hattori Y. Optimal reliability allocation by branch and bound technique. IEEE Trans. Reliab., 1978, v.U-27, ~ I, p.31-37.

158. Patkar V., Agarwal S.P. Branch and bound technique for integer geometric programming. ZAMM, 1979» v.59, N 8, p.395-396.

159. Pegden C.D., Petersen C.C. An algorithm (GIPC2) for solving integer programming problems with separable nonlinear objective functions. Naval Ees. Log. Quart., 1979» v.26, N 4, p.595-609.

160. Robilard P. (0,1) Hyperbolic programming problems. -Publication departement d*informatique., Universite de Monreal, 1970, 19, p.47-57.

161. Rodder V.W. Ein lexikographischer Suchalgorithmmus zur ganzzahligen Programierung: LEXS. Zeitschrift fur Operations Research, 1976, v.A-20, N 5, s.209-217.

162. Scnoch M., Lyska W. Kombinatorische Algorithmen zur Lösung spezieller nichtlinearer 0-1 Optimierungsaufgaben. Math. Operationsforsch. Statist., Ser. Optimization, 1978, v.9, N I, s.9-20.

163. Sharma J., Venkateswaran K.7. A direct method for maximizing system reliability. IEEE Trans. Reliab., 1971, v.R-20,1. 4, p.256-259.

164. Sheila B.V. Optimization of system reliability by sequential weight increasing factor technique. IEEE Trans. Reliab., 1977, v.R-26, N 5, p.339-341.

165. Sheila B.V., Ramamoorthy P. SWIFT a new constrained optimization technique. - Computer Methods in Applied Mechanics and engineering, 1975, v.6, August, p.309-317.

166. Tillman F.A., Luttschwager J.M. Integer programming formulation of constrained reliability problems. -Management Sci., 1967, v.IJ, N II, p.877-899.

167. Tillman F.A., Hwang C.L., Fan L.T., Lai K.C. Optimal reliability of a oomplex system. IEEE Trans. Reliab., 1970,v.R-19, N 3, p.95-100.